Class 9

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 1 संख्या पद्धति MCQ Questions with Answers

PSEB 9th Class Maths Chapter 1 संख्या पद्धति MCQ Questions

बहुविकल्पीय प्रश्न:

नीचे प्रत्येक प्रश्न के चार उत्तर दिए गए हैं। सही उत्तर का चयन कीजिए।

प्रश्न 1.
परिमेय संख्या के बराबर है।
(A) 0.75
(B) 0.12
(C) 0.012
(D) 0.075.
उत्तर:
(D) 0.075.

प्रश्न 2.
3 और 4 के बीच एक परिमेय संख्या है
(A) \(\frac{3}{2}\)
(B) \(\frac{4}{3}\)
(C) \(\frac{7}{2}\)
(D)\(\frac{7}{4}\)
उत्तर:
(C) \(\frac{7}{2}\)

प्रश्न 3.
\(\frac{3}{5}\) और \(\frac{4}{5}\) के बीच एक परिमेय संख्या है
(A) \(\frac{7}{5}\)
(B) \(\frac{7}{10}\)
(C) \(\frac{3}{10}\)
(D) \(\frac{4}{10}\)
उत्तर-
(B) \(\frac{7}{10}\)

प्रश्न 4.
\(\frac{1}{2}\) और \(\frac{3}{4}\) के बीच एक परिमेय संख्या है
(A) \(\frac{2}{5}\)
(B) \(\frac{5}{8}\)
(C) \(\frac{4}{3}\)
(D) \(\frac{1}{4}\)
उत्तर-
(B) \(\frac{5}{8}\)

प्रश्न 5.
निम्न में से कौन-सी परिमेय संख्या नहीं हैं ?
(A) √2
(B) 0
(C) √4
(D) √- 16.
उत्तर-
(A) √2

प्रश्न 6.
निम्न में कौन-सी अपरिमेय संख्या है ?
(A) √4
(B) 3√18
(C) √100
(D) – √0.64
उत्तर-
(B) 3√18

प्रश्न 7.
\(\frac{1}{5}\) का दशमलव रूप है
(A) .2
(B) .5
(C) .02
(D) .02.
उत्तर-
(A) .2

प्रश्न 8.
3\(\frac{3}{8}\) का दशमलव रूप है
(A) 3.35
(B) 3.375
(C) 33.75
(D) 337.5.
उत्तर-
(B) 3.375

प्रश्न 9.
का दशमलव रूप है-
(A) \(.8 \overline{3}\)
(B) \(.8 \overline{33}\)
(C) \(.6 \overline{3}\)
(D) \(.6 \overline{33}\)
उत्तर-
(A) \(.8 \overline{3}\)

प्रश्न 10.
परिमेय संख्या का दशमलव निरूपण है
(A) \(0 . \overline{296}\)
(B) \(0.29 \overline{6}\)
(C) \(0.2 \overline{96}\)
(D) 0.296
उत्तर-
(A) \(0 . \overline{296}\)

प्रश्न 11.
निम्न में कौन-सी परिमेय संख्या है ?
(A) √3
(B) √2
(C) 0
(D) √5
उत्तर-
(C) 0

प्रश्न 12.
0.6666 का \(\frac{p}{q}\) रूप है
(A) \(\frac{6}{99}\)
(B) \(\frac{2}{3}\)
(C) \(\frac{3}{55}\)
(D) \(\frac{1}{66}\)
उत्तर-
(B) \(\frac{2}{3}\)

प्रश्न 13.
4 \(\frac{1}{8}\) का दशमलव रूप है
(A) 4.15
(B) \(4 . \overline{15}\)
(C) \(4 .1 \overline{5}\)
(D) \(0 . \overline{415}\)
उत्तर-
(A) 4.15

प्रश्न 14.
\(\frac{1}{11}\) का दशमलव रूप है
(A) \(0.0 \overline{99}\)
(B) \(0. \overline{909}\)
(C) \(0. \overline{09}\)
(D) \(0.00 \overline{9}\)
उत्तर-
(C) \(0. \overline{09}\)

प्रश्न 15.
\(\frac{2}{11}\) का दशमलव रूप है
(A) \(0 . \overline{18}\)
(B) \(0 .11 \overline{8}\)
(C) \(0 .1 \overline{18}\)
(D) \(0 . \overline{018}\)
उत्तर-
(A) \(0 . \overline{18}\)

प्रश्न 16.
\(0 . \overline{47}\) का रूप है
(A) \(\frac{47}{90}\)
(B) \(\frac{43}{99}\)
(C) \(\frac{43}{90}\)
(D) \(\frac{43}{99}\)
उत्तर-
(C) \(\frac{43}{90}\)

प्रश्न 17.
\(0 . \overline{001}\) का \(\frac{p}{q}\) रूप है
(A) \(\frac{1}{99}\)
(B) \(\frac{01}{9}\)
(C) \(\frac{1}{999}\)
(D) \(\frac{11}{9}\)
उत्तर-
(C) \(\frac{1}{999}\)

प्रश्न 18.
किसी भी परिमेय संख्या का सांत दशमलव
निरूपण तभी होगा, यदि उसके हर में
(A) 2 या 5 हो
(B) 3 या 5 हो
(C) 9 या 11 हो
(D) 3 या 7 हो
उत्तर-
(A) 2 या 5 हो

प्रश्न 19.
निम्न में कौन-सी एक अपरिमेय संख्या है ?
(A) 2 – √5
(B) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
(C) 2π
(D) \(\frac{2 \sqrt{7}}{7 \sqrt{7}}\)
उत्तर-
(C) 2π

प्रश्न 20.
(3 + √3) (2 + √2) का मान है
(A) 6 + 3√2 + 2√3 + √6
(B) 3 +3√2 + 3√3 + 6
(C) 6 – 3√2 – 2√3 – √6
(D) 6 – 3√2 + 2√3 – √6.
उत्तर-
(A) 6 + 3√2 + 2√3 + √6

प्रश्न 21.
(3 + √3) (3 – √3) का मान है
(A) 0
(B) 6
(C) 9
(D) 3
उत्तर-
(B) 6

प्रश्न 22.
(√5 + √2)₂ का मान है
(A) 7 + 2√5
(B) 1 + 5√2
(C) 7 + 2√10
(D) 7 – 2√10 .
उत्तर-
(C) 7 + 2√10

प्रश्न 23.
(√5 – √2) (√5 + √2) का मान है
(A) 10
(B) 7
(C) 3
(D) √3 .
उत्तर-
(C) 3

प्रश्न 24.
(√11 – √7) (√11 + √7) का मान है
(A) 4
(B) – 4
(C) 18
(D) – 18.
उत्तर-
(A) 4

प्रश्न 25.
(√5 + √5) (√5 – √5) का मान है
(A) 0
(B) 25
(C) 20
(D) – 20.
उत्तर-
(C) 20

प्रश्न 26.
\(\frac{1}{\sqrt{7}}\) के हर का परिमेयकरण करने पर प्राप्त होगा
(A) 7
(B) \(\frac{\sqrt{7}}{7}\)
(C) √7
(D) \(\frac{-\sqrt{7}}{7}\).
उत्तर-
(B) \(\frac{\sqrt{7}}{7}\)4

प्रश्न 27.
\(\) के हर का परिमेयकरण करने पर
प्राप्त होगा
(A) √7 + √6
(B) √7 – √6
(C) \(\frac{\sqrt{7}+\sqrt{6}}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}\)
(D) \(\frac{\sqrt{7}-\sqrt{6}}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}\)
उत्तर-
(A) √7 + √6

प्रश्न 28.
F के हर का परिमेयकरण करने पर प्राप्त होगा
(A) √5 – √2
(B) √2 – √5
(C) \(\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}\)
(D) \(\frac{\sqrt{2}-\sqrt{5}}{3}\)
उत्तर-
(C) \(\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}\)

प्रश्न 29.
नि, के हर का परिमेयकरण करने पर प्राप्त होगा
(A) √7 + 2
(B) √7 – 2
(c) \(\frac{\sqrt{7}-2}{3}\)
(D) \(\frac{\sqrt{7}+2}{3}\)
उत्तर-
(D) \(\frac{\sqrt{7}+2}{3}\)

प्रश्न 30.
(2 – √2) (2 + √2) का मान है
(A) 0
(B) 2
(C) √2
(D) – √2.
उत्तर-
(B) 2

प्रश्न 31.
(√13 + √7) (√13 – √7) का मान है
(A) 20
(B) – 6
(C) 6
(D) – 20.
उत्तर-
(C) 6

प्रश्न 32.
\(\frac{1}{\sqrt{2}}\) के हर का परिमेयकरण करने पर प्राप्त
(A) √2
(B) 2
(C) \(\frac{2}{\sqrt{2}}\)
(D) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
उत्तर-
(D) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

प्रश्न 33.
\(\frac{1}{2+\sqrt{3}}\) के हर का परिमेयकरण करने पर प्राप्त होगा
(A) 2 – √3
(B) √3 – 2
(C) 2 + √3
(D) – √3 – 2.
उत्तर-
(A) 2 – √3

प्रश्न 34.
\(\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\) के हर का परिमेयकरण करने पर प्राप्त होगा
(A) \(\frac{1}{\sqrt{3+\sqrt{2}}\)
(B) √3 + √2
(C) √2 – √3
(D) – √3 – √2
उत्तर-
(B) √3 + √2

प्रश्न 35.
\(\sqrt[3]{7}\) का घातांकी रूप है
(A) 7³
(B) 3⁷
(C) 7^{\(\frac{1}{3}\)}
(D) 3^{\(\frac{1}{7}\)}
उत्तर-
(C) 7^{\(\frac{1}{3}\)}

प्रश्न 36.
\(\sqrt[8]{\frac{61}{1123}}\) का घातांकी रूप है
(A) \(\left(\frac{61}{1123}\right)^{\frac{1}{8}}\)
(B) \(\left(\frac{1123}{61}\right)^{\frac{1}{8}}\)
(C) \(\left(\frac{61}{1123}\right)^{8}\)
(D) \(\left(\frac{1123}{61}\right)^{8}\)
उत्तर-
(A) \(\left(\frac{61}{1123}\right)^{\frac{1}{8}}\)

प्रश्न 37.
\(4^{\frac{1}{2}}\) का मान है
(A) 8
(B) 4
(C) 16
(D) 32.
उत्तर-
(A) 8

प्रश्न 38.
\(32^{\frac{1}{5}}\) का मान है
(A) 16
(B) 160
(C) 2
(D) 18.
उत्तर-
(C) 2

प्रश्न 39.
\((125)^{1 / 3}\) का मान है
(A) 5
(B) 25
(C) 45
(D) 35.
उत्तर-
(A) 5

प्रश्न 40.
\(9^{3 / 2}\) का मान है
(A) 18
(B) 27
(C) – 18
(D) 7.
उत्तर-
(B) 27

प्रश्न 41.
\(32^{2 / 5}\) का मान है
(A) 2
(B) 4
(C) 16
(D) 14.
उत्तर-
(B) 4

प्रश्न 42.
\(16^{3 / 4}\) का मान है
(A) 4
(B) 12
(C) 8
(D) 48
उत्तर-
(C) 8

प्रश्न 43.
\(125^{-\frac{1}{3}}\) का मान है-
(A) \(\frac{1}{5}\)
(B) \(\frac{1}{25}\)
(C) \(\frac{1}{15}\)
(D) \(\frac{1}{125}\)
उत्तर-
(A) \(\frac{1}{5}\)

प्रश्न 44.
\(2^{\frac{2}{3}}, 2^{\frac{1}{5}}\) बराबर है
(A) \(2^{\frac{2}{3}+\frac{1}{5}}\)
(B) \(2^{\frac{2}{3}-\frac{1}{5}}\)
(C) \(2^{\frac{2}{3} \times \frac{1}{5}}\)
(D) \(2^{\frac{2}{3} \div \frac{1}{5}}\)
उत्तर-
(A) \(2^{\frac{2}{3}+\frac{1}{5}}\)

प्रश्न 45.
\(\frac{11^{\frac{1}{2}}}{11^{\frac{1}{4}}}\) बराबर है
(A) \(11^{1 / 4}\)
(B) \(11^{3 / 4}\)
(C) \(11^{1 / 8}\)
(D) 11²
उत्तर-
(A) \(11^{1 / 4}\)

प्रश्न 46.
सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या है
(A) 0
(B) 1
(C) – 1
(D) 2.
उत्तर-
(B) 1

प्रश्न 47.
16¹⁷ ÷ 16¹⁵ बराबर है
(A) 2
(B) 225
(C) 256
(D) 22
उत्तर-
(C) 226

प्रश्न 48.
25^{\(-\frac{1}{2}\)} का मान है
(A) 5
(B) \(\frac{1}{5}\)
(C) 121/2
(D) – 1/5.
उत्तर-
(B) \(\frac{1}{5}\)

प्रश्न 49.
\(64^{-3 / 2}\) का मान है
(A) \(\frac{1}{96}\)
(B) \(\frac{1}{64}\)
(C) 512
(D) \(\frac{1}{512}\)
उत्तर-
(D) \(\frac{1}{512}\)

प्रश्न 50.
\(125^{\frac{2}{3}}\) का मान है
(A) 5
(B) 25
(C) 125\({\frac{2}{3}}\)
(D) \(\frac{15625}{3}\)
उत्तर-
(B) 25

प्रश्न 51.
(25)⁰ का मान है
(A) 0
(B) 25
(C) 1
(D) 5.
उत्तर-
(C) 1

प्रश्न 52.
\(16^{\frac{1}{2}} \times 16^{\frac{1}{2}}\) का मान है
(A) 32^1/2
(B) 16^1/4
(C) 16
(D) 256^1/2
उत्तर-
(C) 16

प्रश्न 53.
\(13^{1 / 5} \cdot 17^{1 / 5}\) को सरल करने पर प्राप्त होता
(A) (14)^1/35
(B) (221)^1/5
(C) 221^1/5
(D) 17^1/5
उत्तर-
(B) (221)^1/5

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 3 निर्देशांक ज्यामिति Ex 3.3 Textbook Exercise Questions and Answers

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 3 निर्देशांक ज्यामिति Ex 3.3

प्रश्न 1.
किस चतुर्थांश में या किस अक्ष पर बिंदु (- 2, 4), (3, – 1), (- 1, 0), (1, 2) और (- 3, – 5) स्थित हैं। कार्तीय तल पर इन का स्थान निर्धारण करके अपने उत्तर को सत्यापित कीजिए।
हल :
हम दिए गए बिंदुओं के संगत चतुर्थांश का निर्धारण निम्न की सहायता से करते हैं।

बिंदु (- 2, 4) में ; x-निर्देशांक ऋणात्मक है और y-निर्देशांक धनात्मक है।
अतः बिंदु (- 2, 4) चतुर्थांश II में स्थित है।
बिंदु (3, – 1) में ; x-निर्देशांक धनात्मक है और y-निर्देशांक ऋणात्मक है।
अतः बिंदु (3, – 1) चतुर्थांश IV में स्थित है।
बिंदु (- 1, 0) में, x-निर्देशांक ऋणात्मक है और y-निर्देशांक शून्य है।
अतः बिंदु (- 1, 0) x-अक्ष पर स्थित है।
बिंदु (1, 2) में ; x-निर्देशांक धनात्मक है और y-निर्देशांक धनात्मक है।
अतः बिंदु (1, 2) चतुर्थांश I में स्थित है।
बिंदु (- 3, – 5) में ; x-अक्ष निर्देशांक ऋणात्मक है और y-निर्देशांक ऋणात्मक है।
अतः बिंदु (- 3, – 5) में चतुर्थांश III में स्थित है।

प्रश्न 2.
अक्षों पर दूरी का उपयुक्त एकक लेकर नीचे सारणी में दिए गए बिंदुओं को तल पर आलेखित कीजिए :

हल :
सारणी में दिए गए बिंदु नीचे दिखाए अनुसार आलेख में आलेखित किए गए हैं।

Scale chosen :
x-अक्ष पर 1 बड़ा भाग = 1 सेमी०
y-अक्ष पर 1 बड़ा भाग = 1 सेमी०

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 3 निर्देशांक ज्यामिति Ex 3.2 Textbook Exercise Questions and Answers

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 3 निर्देशांक ज्यामिति Ex 3.2

प्रश्न 1.
निम्नलिखित प्रश्नों में से प्रत्येक प्रश्न का उत्तर दीजिए :
(i) कार्तीय तल में किसी बिंदु की स्थिति निर्धारित करने वाली क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर रेखाओं के क्या नाम हैं?
(ii) इन दो रेखाओं से बने तल के प्रत्येक भाग के नाम बताइए।
(iii) उस बिंदु का नाम बताइए जहाँ ये दो रेखाएँ प्रतिच्छेदित होती हैं।
हल :
(i) कार्तीय तल में किसी बिंदु की स्थिति निर्धारित करने वाली क्षैतिज और उर्ध्वाकर रेखाओं को अक्ष (axis) कहते हैं।

(ii) इन दो रेखाओं द्वारा बनाए गए प्रत्येक भाग को चतुर्थांश कहा जाता है।

(iii) वह बिंदु जहाँ ये दो रेखाएँ प्रतिच्छेदित होती हैं, मूल बिन्दु कहलाता है।

प्रश्न 2.
आकृति में देखकर निम्नलिखित को लिखिए :
(i) B के निर्देशांक
(ii) C के निर्देशांक
(iii) निर्देशांक (- 3, – 5) द्वारा पहचाना गया बिंदु
(iv) निर्देशांक (2, – 4) द्वारा पहचाना गया बिंदु
(v) बिंदु D का भुज
(vi) बिंदु H के निर्देशांक
(vii) बिंदु L के निर्देशांक
(viii) बिंदु M के निर्देशांक

हल :
(i) बिंदु B तक पहुँचने के लिए हम मूल बिंदु से 5 एकक बायीं ओर तथा 2 एकक ऊपर की ओर चलते हैं।
दूसरे शब्दों में B का x-निर्देशांक – 5 और yनिर्देशांक 2 है। अत: B के निर्देशांक (- 5, 2) हैं।
(i) बिंदु C का निर्धारण करने के लिए हम मूल बिंदु के दायीं ओर 5 एकक और 5 एकक नीचे की ओर चलते हैं। दूसरे शब्दों में बिंदु का x-निर्देशांक 5 और y निर्देशांक – 5 है। अत: C के निर्देशांक (5, -5) हैं।
(iii) निर्देशांक (-3, -5) का पहचाना गया बिंदु E है।
(iv) निर्देशांक (2, -4) का पहचाना गया बिंदु G
(v) बिंदु D का भुज अर्थात् x-निर्देशांक 6 है।
(vi) बिंदु H का y-निर्देशांक – 3 है।
(vii) बिंदु L पर पहुँचने के लिए, हम उर्ध्वाधर अक्ष पर मूल बिंदु से 5 एकक ऊपर की ओर चलते हैं। दूसरे शब्दों में L का x-निर्देशांक 0 और y-निर्देशांक 5 है। अतः L का निर्देशांक (0, 5) है।
(viii) बिंदु M का निर्धारण करने के लिए हम क्षैतिज अक्ष पर मूल बिंदु से 3 एकक बायीं ओर चलते हैं ! दूसरे शब्दों में M का x-निर्देशांक – 3 है और y-निर्देशांक 0 अत: M के निर्देशांक (- 3, 0) हैं।

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 3 निर्देशांक ज्यामिति Ex 3.1 Textbook Exercise Questions and Answers

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 3 निर्देशांक ज्यामिति Ex 3.1

प्रश्न 1.
एक अन्य व्यक्ति को आप अपने अध्ययन मेज़ पर रखे टेबल लैंप की स्थिति किस तरह बताएँगे ?
उत्तर :
लैंप को एक बिंदु मान लीजिए और मेज़ को एक समतल। मेज़ का कोई भी दो लंब कोर लीजिए। बड़े कोर से लैंप की दूरी माप लीजिए। मान लीजिए यह दूरी 25 सेमी हैं। अब, छोटे कोर से लैंप की दूरी मापिए और मान लीजिए यह दूरी 40 सेमी है। जिस क्रम में आपने लैंप रखा है उसके अनुसार उसकी स्थिति को (40, 25) या (25, 40) लिख सकते हैं।

प्रश्न 2.
(सड़क योजना) : एक नगर में दो मुख्य सड़कें हैं, जो नगर के केंद्र पर मिलती हैं। ये दो सड़कें उत्तर-दक्षिण दिशा और पूर्व-पश्चिम की दिशा में हैं। नगर की अन्य सभी सड़कें इन मुख्य सड़कों के समांतर परस्पर 200 मीटर की दूरी पर हैं। प्रत्येक दिशा में लगभग पाँच सड़कें हैं। सेंटीमीटर = 200 मीटर का पैमाना लेकर अपनी नोट बुक में नगर का एक मॉडल बनाइए। सड़कों को एकल रेखाओं से निरूपित कीजिए।

आपके मॉडल में एक-दूसरे को काटती हई अनेक क्रॉस-स्ट्रीट (चौराहे ) हो सकती हैं। एक विशेष क्रॉसस्ट्रीट दो सड़कों से बनी हैं, जिनमें से एक उत्तरदक्षिण दिशा में जाती है और दसरी पर्व-पश्चिम की दिशा में। प्रत्येक क्रॉस-स्ट्रीट का निर्देशन इस प्रकार किया जाता है : यदि दूसरी सड़क उत्तर-दक्षिण दिशा में जाती है और पाँचवों सड़क पूर्व-पश्चिम दिशा में जाती है और ये क्रॉसिंग पर मिलती है, तब इसे हम क्रॉस स्ट्रीट (2, 5) कहेंगे। इसी परंपरा से यह ज्ञात कीजिए कि
(i) कितनी क्रॉस-स्ट्रीटों को (4, 3) माना जा सकता है।
(ii) कितनी क्रॉस-स्ट्रीटों को (3, 4) माना जा सकता है।
उत्तर :
सड़क योजना नीचे दी गई आकृति में दिखाई गई है।

क्रास-स्ट्रीट (4, 3) पर पहुँचने के लिए हम उत्तरदक्षिण दिशा में जाने वाली चौथी और पूर्व-पश्चिम की दिशा में जाने वाली तीसरी सड़क को चुनते हैं।
तब (4, 3) से निर्देशित क्रॉस-स्ट्रीट बिंदु से चिन्हित किया जाता है जैसा कि उपरोक्त आकृति में दिखाया गया है।
इसी प्रकार (3, 4) से निर्देशित बिंदु से चिन्हित किया जाता है।
हम देखते हैं कि दोनों क्रॉस-स्ट्रीट अद्वितीयतः प्राप्त करते हैं। क्योंकि दो संदर्भ रेखाओं में

को हमने स्थान निर्धारण के लिए प्रयोग किया है।

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.5 Textbook Exercise Questions and Answers

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 2 बहुपद Ex 2.5

प्रश्न 1.
उपयुक्त सर्वसमिकाओं को प्रयोग करके निम्नलिखित गुणनफल ज्ञात कीजिए :
(i) (x + 4) (x + 10)
(ii) (x + 8) (x – 10)
(iii) (3x + 4) (3x – 5)
(iv) (y² + \(\frac{3}{2}\)) (y² – \(\frac{3}{2}\)).
हल :
(i) (x + 4) (x + 10) = x² + (4 + 10)x + 4 × 10
[सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x² + (a + b)x + ab का प्रयोग करने पर, जहाँ a = 4, b = 10]
= x² + 14x + 40

(ii) (x + 8) (x – 10) = x² + {8 + ( – 10)} x + 8 × ( – 10)
= x² – 2x – 80
[सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x² + (a + b) x + ab का प्रयोग करने पर, जहाँ a = 8, b = – 10]

(iii) (3x + 4) (3x – 5)
3x = y प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त | होता है :
(y + 4) (y – 5) = y + {4 + (- 5)} y + 4 (- 5)
= y² – y – 20
= (3x)² – 3x – 20 [∵ 3x = y]
[सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x² + (a + b)x + ab का प्रयोग करने पर, जहाँ a = 4, b = – 5]
= 9x² – 3x – 20

(iv) (y² + \(\frac{3}{2}\)) (y² – \(\frac{3}{2}\))
y² = x प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :
(x + \(\frac{3}{2}\)) (x – \(\frac{3}{2}\))
= x² + (\(\frac{3}{2}\) – \(\frac{3}{2}\)) x + \(\frac{3}{2}\) (- \(\frac{3}{2}\))
[सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x² + (a + b) x + ab का प्रयोग करने पर, जहाँ a = \(\frac{3}{2}\), b = – \(\frac{3}{2}\)]
= x² + 0x – \(\frac{9}{4}\).
= y⁴ – \(\frac{9}{4}\)
[∵ y² = x]

(v) (3 – 2x) (3 + 2x)
= – (2x – 3) (2x + 3)
= – (2x + 3) (2x – 3)
2x = y प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :
– (y + 3) (y — 3) = – [y² + (3 – 3)y + 3 ( – 3)]
[सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x² + (a + b)x + ab का प्रयोग करने पर, जहाँ a = 3, b = – 3]
= – (y² + 0y – 9)
= – (y² – 9) .
= – [(2x)² – 9]
[जहाँ 2x = y को प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं]
= – (4x² – 9)
= 9 – 4x²

प्रश्न 2.
सीधे गुणा किए बिना निम्नलिखित गुणनफलों के मान ज्ञात कीजिए :
(i) 103 × 107
(ii) 95 × 96
(iii) 104 × 96.
हल :
(a) 103 × 107
= (100 + 3) (100 + 7)
[103 को 100 + 3 और 107 को 100 + 7 लिखने पर]
= (100)² + (3 +7) 100 + 3 × 7।
= 10000 + 10 x 100 + 21
= 10000 + 1000 + 21 = 11021
[सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x² + (a + b)x + ab का प्रयोग करने पर, जहाँ x = 100, a = 3, b = 7]
= 10000 + 10 × 100 + 21
= 10000 + 1000 + 21 = 11021

(ii) 95 × 96
= (100 – 5) (100 – 4)
[95 को 100 – 5 और 96 को 100 – 4 लिखने पर]
= (100)² + [( – 5) + ( – 4)] 100 + ( – 5) ( – 4)
[सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x² + (a + b) x + ab का प्रयोग करने पर, जहाँ
x = 100, a = – 5, b = – 4]
= 10000 + (- 9) 100 + 20
= 10000 – 900 + 20
= 9120

(iii) 104 × 96
= (100 + 4) (100 – 4)
[104 को 100 + 4 और 96 को 100 – 4]
(100)² – (4)²
[सर्वसमिका a² – b² = (a + b) (a – b) का प्रयोग करने पर, जहाँ a = 100 और b = 4]
= 10000 – 16
= 9984

प्रश्न 3.
उपयुक्त सर्वसमिकाएँ प्रयोग करके निम्नलिखित का गुणनखंडन कीजिए :
(i) 9x² + 6xy + y²
(ii) 4y² – 4y + 1
(iii) x² – \(\frac{y^{2}}{100}\)
हल :
(i) 9x² + 6yx + y²
= (3x)² + 2(3x)y + y²
= (3x + y)²
[सर्वसमिका (a + b)² = a² + 2ab + b²2 का प्रयोग करने पर, जहाँ a = 3x और b = y]

(ii) 4y² – 4y +1
= (2y)² – 2(2y) 1 + 12
= (2y – 1)²
[सर्वसमिका (a – b)² = a² – 2ab + b² का प्रयोग करने पर, जहाँ a = 2y और b = 1]

(iii) x² – \(\frac{y^{2}}{100}\)
= x² – \(\left(\frac{y}{10}\right)^{2}\)
= \(\left(x+\frac{y}{10}\right)\left(x-\frac{y}{10}\right)\)
[सर्वसमिका a² – b² = (a + b) (a – b) का प्रयोग करने पर, जहाँ a = x, b = \(\frac{y}{10}\)]

प्रश्न 4.
उपयुक्त सर्वसमिकाओं का प्रयोग करके निम्नलिखित में से प्रत्येक का प्रसार कीजिए :
(i) (x + 2y + 4z)²
(ii) (2x – y + z)²
(ii) ( – 2x + 3y + 2z)²
(iv) (3a – 7b – c)²
(v) ( – 2x + 5y – 3z)²
हल :
(i) (x + 2y + 4z)²
दिए गए व्यंजक की तुलना (a + b + c)² से करने पर हम पाते हैं कि a = x, b = 2y और c = 4z.
इसलिए सर्वसमिका का प्रयोग करने पर
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca
हम लिखते हैं (x + 2y + 4z)² = x² + (2y)² + (4z)² + 2x(2y) + 2(2y) (47) + 2(4zx
= x² + 4y² + 16z² + 4xy + 16yz + 8xz.

(ii) (2x – y + z)²
= [2x + (-y) + z]²
दिए गए व्यंजक की तुलना
(a + b + c)² से करने पर हम पाते हैं कि a = 2x, b = – y और c = z.
इसलिए सर्वसमिका
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca का प्रयोग करने पर हम प्राप्त करते हैं :
(2x + ( – y) + z)²
= (2x)² + ( – y)² + z² + 2(2x) (- y) + 2(- y) z + 2z (2x)
= 4x² + y² + z² – 4xy – 2yz + 4z²

(iii) ( – 2x + 3y + 22)²
दिए गए व्यंजक की तुलना (a + b + c)² से करने पर हम पाते हैं कि a = – 2x, b = 3y और c = 2z
इसलिए सर्वसमिका
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca का प्रयोग करने पर हम प्राप्त करते हैं :
(- 2x + 3y + 22)² = (- 2x)² + (3y)² + (2z)² + 2(- 2x) (3y) + 2 (3y) (2z) + 2(2z) ( – 2x)
= 4x² + 9y² + 4z² – 12xy + 12yz – 8zx.

(iv) (3a – 7b – c)² = [(3a + (- 7b) + (- c)]²
इसलिए सर्वसमिका
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca का प्रयोग करने पर हम प्राप्त करते हैं :
[3a + (- 7b) + (- c)]² = (3a)² + (- 7b)² + (- c)² + 2 (3a) (- 7b) + 2 (- 7b) (- c) + 2(- c) (3a)
= 9a² + 49b² + c² – 42ab + 14bc – 6ca

(v) (- 2x + 5y – 32)²
= [- 2x + 5y + (- 32)]²
दिए गए व्यंजक की तुलना (a + b + c) से करने पर हम पाते हैं कि a = – 2x, b = 5y और = -3z
इसलिए सर्वसमिका
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca का प्रयोग करने पर हम प्राप्त करते हैं :
[- 2x + 5y + (- 32)]² = (- 2x)² + (5y)² + (- 32)² + 2(- 2x) (5y) + 2(5y) (- 3z) + 2 (- 3z) (- 2x)
= 4x² + 25y² + 9z² – 20xy – 30yz + 12zx

(vi) \(\left[\frac{1}{4} a-\frac{1}{2} b+1\right]^{2}=\left[\frac{1}{4} a+\left(\frac{-1}{2} b\right)+1\right]^{2}\)
दिए गए व्यंजक की तुलना
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca
से करने पर हम पाते हैं :

प्रश्न 5.
गुणनखंडन कीजिए :
(i) 4x² + 9y² + 16x² + 12xy – 24yz – 16xz.
(ii) 2x² + y² + 8z² – 2√2 xy + 4√2yz – 8xz.
हल :
(i) जहाँ 4x² + 9y² + 16x² + 12xy – 24yz – 16xz.
= (2x)² + (3y)² + (- 4z)² + 2 × (2x) × (3y) + 2x (3y) (- 4z) + 2 (2x) (- 4z)
= [2x + 3y + (- 4z)]²
[सर्वसमिका a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca
= (a + b + c)² का प्रयोग करने पर]
= (2x + 3y – 4z)²
= (2x + 3y – 4z) (2x + 3y – 4z)

(ii) जहाँ 2x² + y² + 8z² – 2√2 xy + 4√2 yz – 8xz.
=(- √2x)² + (y)² + (2√2 z)² + 2 (- √2x) (y) + 2 (y) (2 √2 ) + 2 (- √2x) (2√2 z)
= [(- √2 x) + y + (2√2 z)]²
[सर्वसमिका a² + b² + c² + 2ab + 2b c + 2ca + (a + b + c)2 का प्रयोग करने पर]
= (- √2 x + y + 2√2z)²
= (- √2x + y + 2√2 z) (- √2x + y + 2√2z)

प्रश्न 6.
निम्नलिखित घनों को प्रसारित रूप मे लिखिए :
(i) (2x + 1)³
(ii) (2a – 3b)³
(iii) [(\(\frac{3}{2}\)x + 1]³
(iv) [x – \(\frac{2}{3}\) y]³
हल :
(i) (2x + 1)³
दिए गए व्यंजक की तुलना (2x + 1)³ की तुलना (a + b)³, से करने पर हम पाते हैं कि a = 2x, b = 1
इसलिए सर्वसमिया
(a + b)³ = a³ + b³ + 3ab (a + b) का प्रयोग करने पर हम प्राप्त करते हैं
(2x + 1)³ = (2x)³ + (1)³ + 3(2x) 1 (2x + 1)
= 8x³ + 1 + 12x² + 6x
= 8x³ + 12x² + 6x + 1 x की घटती हुई घातांक में व्यवस्थित करते हुए।

(i) (2a – 3b)³ दिए गए व्यंजक (2a – 3b)³ की तुलना
(x – y)³ के साथ रने पर हम प्राप्त करते हैं x = 24, y = 3b
इसलिए सर्वसमिका
(x – y)³ = x³ – y³ – 3xy (x – y) का प्रयोग करने | पर हम प्राप्त करते है :
(2a – 3b)³ = (2a)³ – 3 (3b)³ – 3 (2a) (3b) (2a – 3b)
= 8a³ – 27b³ – 36a²b + 54ab²

(iii) [\(\frac{3}{2}\)x + 1]³
दिए गए व्यंजक [\(\frac{3}{2}\)x + 1] की तुलना (a +b)³ से करने पर हम पाते हैं कि a = \(\frac{3}{2}\)x, b = 1
इसलिए सर्वसमिका
(a + b)³ = a³ + b³ + 3ab (a + b) प्रयोग करने पर हम प्राप्त करते हैं
\(\left(\frac{3}{2} x+1\right)^{3}=\left(\frac{3}{2} x\right)^{3}+1^{3}+3\left(\frac{3}{2} x\right) 1\left(\frac{3}{2} x+1\right)\)

= \(\frac{27}{8} x^{3}+1+\frac{27}{4} x^{2}+\frac{9}{2} x\)

= \(\frac{27}{8} x^{3}+\frac{27}{4} x^{2}+\frac{9}{2} x+1\)
[x की घटती हुई घातांक के रूप में व्यवस्थित करने पर]

(iv) दिए गए व्यंजक [x – \(\frac{2}{3}\) y]³ की तुलना (a – b)³ से करने पर हम पाते हैं कि
a = x, b = \(\frac{2}{3}\) y
इसलिए सर्वसमिका
(a – b)³ = a³ – b³ – 3ab (a – b) का प्रयोग करने पर हमें प्राप्त होता है :
\(\left(x-\frac{2}{3} y\right)^{3}=x^{3}-\left(\frac{2}{3} y\right)^{3}-3 x\left(\frac{2}{3} y\right)\left[x-\frac{2}{3} y\right]\)

= \(x^{3}-\frac{8}{27} y^{3}-2 x^{2} y+\frac{4}{3} x y^{2}\)

= \(x^{3}-2 x^{2} y+\frac{4}{3} x y^{2}-\frac{8}{27} y^{3}\)

[x के घातांकों के घटते क्रम में रखने पर]

प्रश्न 7.
उपयुक्त सर्वसमिकाएँ प्रयोग करके निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए : ..
(i) (99)³
(ii) (102)³
(iii) (998)³
हल :
(i) (99)³ = (100 – 1)³
= (100)³ – 1³ – 3 (100) 1 (100 – 1)
[सर्वसमिका (a – b)³ = a³ – b³ – 3ab (a – b) का प्रयोग करने पर
= 1000000 – 1 – 30000 + 300
= 970299

(ii) (102)³
= (100 + 2)³
= (100)³ + 2³ + 3(100) (2) [100 + 2]
[सर्वसमिका (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab (a + b) का प्रयोग करने पर]
= 1000000 + 8 + 60000 + 1200
= 106208

(iii) (998)³
= (1000 – 2)³
= (1000)³ – 2³ – 3 (1000) (2) (1000 – 2)
[सर्वसमिका (a – b)³ = a³ – b³ – 3ab (a – b) का प्रयोग करने पर]
= 1000000000 – 8 – 6000000 + 12000
= 10000 12000 – 6000008
= 99401992

प्रश्न 8.
निम्नलिखित में से प्रत्येक का गुणनखंडन कीजिए :
(i) 8a³ + b³ + 12a²b + 6ab²
(ii) 8a³ – b³ – 12a²b + 6ab²
(ii) 27 – 125a³ – 135a + 225a²
(iv) 64a³ – 27b³ – 144a²b + 108ab²
(v) 27p³ – \(\frac{1}{216}-\frac{9}{2} p^{2}+\frac{1}{4} p\)
हल :
(i) 8a³ + b³ + 12a²b + 6ab²
= (2a)³ + b³ + 3 (2a) b (2a + b)
= (2a + b)³
[सर्वसमिका (x + y)³ = x + y + 3xy (x + y) का प्रयोग करने पर,]
जहाँ x = 2a और y = b

(ii) 8a³ – b³ – 12a²b + 6ab²
= (2a)³ – b³ – 3 (2a) b (2a + b)
= (2a – b)³
[सर्वसमिका (x – y)³ = x³ – y³ – 3xy (x – y) का प्रयोग करने पर]
जहाँ x = 2a और y = b

(iii) 27 – 125a³ – 135a + 225a³
= (3)³ – (5a)³ – 3 (3) (5a) [3 – 5a]
= (3 – 5a)³
[सर्वसमिका (x – y)³ = x³ – y³ – 3xy (x – y)]
जहाँ x = 3, y = 5a

(iv) 64a² – 27b³ – 144a²b + 108ab²
= (4a)³ – (3b)³ – 3 (4a) (3b) [4a – 3b]
= (4a – 3b)³
[सर्वसमिका (x – y)³ = x³ – y³ – 3xy (x – y) का प्रयोग करने पर, जहाँ x = 4a, y = 3b]

(v) 27p³ \(\frac{1}{216}-\frac{9}{2} p^{2}+\frac{1}{4} p\)
= \((3 p)^{3}-\left(\frac{1}{6}\right)^{3}-3(3 p) \frac{1}{6}\left[3 p-\frac{1}{6}\right]\)
= \(\left[3 p-\frac{1}{6}\right]^{3}\)
[सर्वसमिका (x – y)³ = x³ – y³ – 3xy (x – y) का प्रयोग करने पर, जहाँ x = 3p, y = \(\frac{1}{6}\)]

प्रश्न 9.
सत्यापित कीजिए :
(i) x³ + y³ = (x + y) (x² – xy + y²)
(ii) x³ – y³ = (x – y) (x² + xy + y²).
हल :
(i) x³ + y³ = (x + y) (x² – xy + y²)
R.H.S. लीजिए
(x + y) (x² – xy + y²) = x (x² – xy + y²) + y (x² – xy + y²)
= x³ – x²y + xy² + x²y – xy² + y³
= x³ + x²y – x²y + xy² – xy² + y³
= x³ + y³
= L.H.S.

(ii) x³ – y³ = (x – y) (x² + xy + y²)
R.H.S. लीजिए
(x – y) (x² + xy + y²)
= x (x² + xy + y²) – y (x² + xy + y²)
= x³ + x²y + xy² – yx² – xy² – y³
= x² + x²y – x²y + xy² – xy² – y³²
= x³ – y³
= L.H.S.

प्रश्न 10.
निम्नलिखित में से प्रत्येक का गुणनखंडन कीजिए :
(i) 27y³ + 125x³
(ii) 64m³ – 343n³
हल :
(a) 27y³ + 125z³
= (3y)³ + (5z)³
= (3y + 5z) [(3y)² – (3y) (5z) + (5z)²]
[सर्वसमिका a³ + b³ = (a + b) (a² – ab + b²) का प्रयोग करने पर],
यहाँ. a = 3y, b = 5z]
= (3y + 5z) (9y² – 15yz + 25z²)

(ii) 64m³ – 343n³
= (4m)² + (7n)²
= (4m – 7n) [(4m)²+ (4m) (7n) + (7n)²]
[सर्वसमिका a3 – b3 = (a – b) (a + ab + b2)
यहाँ a = 4m, b = 7n का प्रयोग करने पर]
= (4m – 7n) [16m² + 28mn + 49n²)

प्रश्न 11.
गुणनखंडन कीजिए: 27x³ + y³ + z³ – 9xyz.
हल :
हम लिख सकते हैं :
27x³ + y³ + z³ – 9xyz
= (3x)³ + y³ + z³ – 3 (3x) yz
= (3x + y + z) [(3x)² + y² + z² – (3x) y – yz – (3x) z]
[सर्वसमिका a³ + b³ + c³ – 3abc = – (a + b + c) (a² + b² + c² – ab – bc – ca) का प्रयोग करने पर],
जहाँ a = 3x, b = y, c = z]
= (3x + y + z) (9x² + y² + z² – 3xy – yz – 3xz)

प्रश्न 12.
सत्यापित कीजिए x³ + y³ + z³ – 3xy. = (x + y + 2) [(x – y)² + (y – z)² + (z – x)².]
हल :
R.H.S. लीजिए \(\frac{1}{2}\) (x + y + z) [(x – y)² + (y – z)² + (z – x)²]
= (x + y + 2) [x² + y² – 2xy + y² + z² – 2yz + z² + x² – 2zx]
= \(\frac{1}{2}\) (x + y + z) [2x² + 2y² + 2x² – 2xy – 2yz – 2zx]
= \(\frac{1}{2}\) (x + y + 2) 2 [x² + y² + z² – xy – yz – zx]
= (x + y + z) (x² + y² + z² – xy – yz – zx)
= x (x² + y² + z² – xy – yz – zx) + y (x² + y² + z² – xy – yz – zx) + z (x² + y² + z² – xy – yz – zx)
= x³ + xy² + xz² – x²y – xyz – zx² + yx² + y³ + yz² – xy² – y²z – xyz + x²z + zy² + z³ – xyz – yz² – z²x
= x³ + (xy² – xy²) + (xz² – xz²) + (- x²y + yx²) + (zx² – x²z) + (y²z – (zy² – y²z) + y³ + z³ – 3xyz.
= x³ + y³ + z³ – 3xyz
= L.H.S.

प्रश्न 13.
यदि x + y + 2 = 0 हो, तो दिखाइए कि x3 +ys + z3 = 3xyz
हल :
x + y + z = 0
x + y = – z
दोनों ओर घन करने पर हम प्राप्त करते हैं :
(x + y)³ = (- z)³
⇒ x³ + y³ + 3xy (x + y) = – z³
⇒ x³ + y³ + 3xy (- z) = – z³
[∵ (i) x + y = – z से]
⇒ x³ + y³ – 3xyz = – z³
⇒ x³ + y³ + z³ = 3xyz प्रमाणित हुआ।

प्रश्न 14.
वास्तव में घनों का परिकलन किए बिना निम्नलिखित में से प्रत्येक का मान ज्ञात कीजिए :
(i) (-12) + (7)³ + (5)³
(ii) (28) + (- 15)³ + (- 13)³.
हल :
(i) मान लीजिए a = – 12, b = 7 और c = 5
जब a + b + c = 0
तब a³ + b³ + c³ = 3abc
जहाँ a + b + c = – 12 + 7 +5 = 0
∴(- 12)³ + (7)³ + (5)³
= 3 (- 12) (7) (5)
= – 1260

(ii) मान लीजिए a = 28, b = – 15 और c = – 13
अब a + b + c = 28 + (- 15) + (- 13)
= 28 – 15 – 13
= 28 – 28
⇒ a + b + c = 0
∴ a³ + b³ + c³ = 3abc
⇒(28)³ + (- 15)³ + (- 13)³
= 3(28) (- 15) (- 13)
= 16380

प्रश्न 15.
नीचे दिए गए आयतों, जिनमें उनके क्षेत्रफल दिए गए हैं, में से प्रत्येक की लंबाई और चौड़ाई के लिए संभव व्यंजक दीजिए।
(i) क्षेत्रफल : 25a² – 35a + 12
(ii) क्षेत्रफल : 35y² + 13y – 12
हल :
(i) आयत का क्षेत्रफल = 25a² – 35a + 12 (दिया है)
⇒ लंबाई × चौड़ाई = 25a² – 15a – 20a + 12
= 5a (5a – 3) – 4 (5a – 3)
= (5a – 4) (5a – 3)
यदि लंबाई = (5a – 4)
तब चौड़ाई = 5a – 3
यदि लंबाई = 5a – 3
तब चौड़ाई = 5a – 4

(ii) आयत का क्षेत्रफल = 35y² + 13y – 12
⇒ लंबाई × चौड़ाई = 35y² + 28y – 15y – 12
= 7y (5y + 4) – 3 (5y + 4)
⇒ लंबाई × चौड़ाई = (5y + 4) (7y – 3)
यदि लंबाई = 5y + 4
तब चौड़ाई = 7y – 3
यदि लंबाई = 7y – 3
तब चौड़ाई = 5y + 4

प्रश्न 16.
घनाभों (cuboids), जिनके आयतन नीचे दिए गए हैं, विमाओं के लिए संभव व्यंनक क्या हैं ?
आयतन : 3x² – 12x
(i) आयतन : 12ky² + 8ky – 20k
हल :
(i) घनाभ का आयतन = 3x² – 12x (दिया है)
-लंबाई × चौड़ाई × ऊँचाई = 3x (x – 4)
∴ धनाभ की एक संभव विमाएँ हैं: 3, x और x – 4

(ii) धनाभ का आयतन हैं = 12ky² + 8ky – 20k
लंबाई × चौड़ाई × ऊँचाई = 4k (3y² + 2y – 5)
= 4k [3y² + 5y – 3y – 5]
= 4k [y(3y + 5) – 1 (3y + 5)]
= 4k [(3y + 5) (y – 1)]
लंबाई x चौड़ाई x ऊँचाई = 4k (3y + 5) (y – 1)
घनाभ की एक संभव विमाएँ हैं 4k, (3y + 5) और y – 1.

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.4 Textbook Exercise Questions and Answers

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 2 बहुपद Ex 2.4

प्रश्न 1.
बताइए कि निम्नलिखित बहुपदों में से किस बहुपद का एक गुणनखंड x + 1 है।
(i) x³ + x² + x + 1
(ii) x⁴ + x³ + x² + x + 1
(iii) x⁴ + 3x³ + 3x² + x + 1
(iv) x³ – x² – (2 + √2)x + 2
हल :
(i) मान लीजिए : p (x) = x³ + x² + x + 1
x = – 1 को p (x) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :
p (-1) = (- 1)³ + (- 1)² + (- 1) + 1
= – 1 + 1 – 1 + 1 = 0
अतः, गुणनखंड प्रमेय द्वारा x + 1 बहुपद x³ + x² + x + 1 का एक गुणनखंड है।

(ii) मान लीजिए p (x) = x⁴ + x³ + x² + x + 1 1
x = – 1 को p (x) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त
होता है : p (- 1) = (-1)⁴ + (- 1)³ + (- 1)²+ (- 1) + 1
= 1 – 1 + 1 – 1 + 1
= 1 ≠ 0
अतः, गुणनखंड प्रमेय द्वारा x + 1 बहुपद x⁴ + x³ + x² + x + 1 का एक गुणनखंड नहीं है।

(iii) मान लीजिए p (x) = x⁴ + 3x³ + 3x² + x + 1
x = – 1 को p (x) में प्रस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :
p (- 1) = (- 1)⁴ + 3(- 1)³ + 3(- 1)² + (- 1) + 1
= 1 – 3 + 3 – 1 + 1
= 1 ≠ 0
अतः, गुणनखंड प्रमेय द्वारा x + 1 बहुपद x⁴ + 3x³ + 3x² + x + 1 का गुणनखंड नहीं है

(iv) x³ – x² – (2 + √2 ) x + √2
x = – 1 को p (x) में प्रस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :
p (- 1) = (- 1)³ – (- 1)³ – (2 + √2 ) (- 1) + – √2
= – 1 – 1 + 2 + √2 + √2
= 2√2 + 0
अतः, गुणनखंड प्रमेय द्वारा x + 1 बहुपद x³ – x² – (2 + √2) x + √2 का गुणनखंड नहीं है।

प्रश्न 2.
गुणनखंड प्रमेय लागू करके बताइए कि निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में g (x), p (x) का एक गुणनखंड है या नहीं
(i) p (x) = 2x³ + x² – 2x – 1, g (x) = x + 1
(ii) p (x) = x³ + 3x² + 3x + 1,g (x) = x + 2
(iii) p (x) = x³ – 4x² + x + 6, g (x) = x – 3.
हल :
(i) हमें प्राप्त है
p (x) = 2x³ + x² – 2x – 1 और भाजक
g(x) = x + 1
(x + 1) = 0 लीजिए
⇒ x = -1
x = – 1 को p (x), में प्रस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है
p (- 1) = 2 (- 1)³ + (- 1)² – 2(- 1) – 1
= – 2 + 1 + 2 – 1 = 0
अतः, गुणनखंड प्रमेय द्वारा x + 1 अर्थात् g (x) बहुपद 2x³ + x² – 2x – 1 का गुणनखंड है।

(ii) हमें प्राप्त है :
p(x) = x³ + 3x² + 3x + 1 और भाजक
g(x) = x + 2
x + 2 = 0 लीजिए
⇒ x = – 2
x = – 2 को p (x) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :
p (- 2) = (- 2)³ + 3(- 2)² + 3(- 2) + 1
= – 8 + 12 – 6 + 1 = – 1 ≠ 0
अतः, गुणनखंड प्रमेय द्वारा x + 2 अर्थात् g (x) बहुपद x³ + 3x² + 3x + 1 का गुणनखंड नहीं है।

(iii) हमें प्राप्त है :
p (x) = x³ – 4x² + x + 6 और भाजक
g (x) = x – 3
x – 3 = 0 लीजिए
x = 3
x = 3 को p (x), में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त | होता है
p (3) = (3)³ – 4 (3)² + 3 + 6
= 27 – 36 + 3 + 6
= 36 – 36 = 0
अतः, गुणनखंड प्रमेय द्वारा x – 3, अर्थात् g (x) बहुपद x³ – 4x² + x + 6 का गुणनखंड है।

प्रश्न 3.
k का मान ज्ञात कीजिए जबकि निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में (x – 1), p (x) का एक गुणनखंड हो :
(i) P (x) = x² + x + k
(ii) p (x) = 2x² + kx + √2
(iii) p (x) = kx² – √2x +1
(iv) p(x) = kx² – 3x + k.
हल :
(i) क्योंकि x – 1 बहुपद p (x) = x² + x + k का गुणनखंड है।
∴ गुणनखंड प्रमेय द्वारा p (1) = 0
⇒ (1)² + 1 + k = 0
⇒ 1 + 1 + k = 0
⇒ 2 + k = 0
⇒ k = – 2

(ii) क्योंकि x – 1 बहुपद p (x) = 2x² + kx + √2 का गुणनखंड है।
∴ गुणनखंड प्रमेय द्वारा p (1) = 0
⇒ 2(1)∴ + k (1) + – 2
⇒ 2 + k + √2 = 0
k = – 2 – √2
k = – (2 + √2)

(iii) क्योंकि x – 1 बहुपद
p (x) = kx² – √2x + 1 का गुणनखंड है।
∴ गुणनखंड प्रमेय द्वारा, p (1) = 0
⇒ k (1)² – √2 (1) + 1 = 0 +
k – √2 + 1 = 0
k = √2 – 1

(iv) क्योंकि x – 1 बहुपद p (x) = kx² – 3x + k का गुणनखंड है।
∴ गुणनखंड प्रमेय द्वारा,
p (1) = 0
⇒ k (1)² – 3(1) + k = 0
⇒ k – 3 + k = 0
⇒ 2k = 3
k = \(\frac{3}{2}\)

प्रश्न 4.
गुणनखंड ज्ञात कीजिए :
(i) 12x² – 7x + 1
(ii) 2x² + 7x + 3
(iii) 6x² + 5x – 6
(iv) 3x² – x – 4.
हल :
(i) 12x² – 7x + 1 = 12x² – 3x – 4x + 1
[∵ योग = – 3 – 4 = – 7 और गुणनफल (- 3) (- 4) = 12 L सिरों के पदों का गुणनफल]
12 × 1 = 12
3x (4x – 1) – 1 (4x – 1) = (4x – 1) (3x – 1)
⇒ 12x² – 7x + 1 = (4x – 1) (3x – 1)

(ii) 2x² + 7x + 3
= 2x² + 6x + x + 3
= 2x (x + 3) + 1 (x + 3)
= (x + 3)(2x + 1)

(iii) 6x² + 5x – 6
= 6x² + 9x – 4x – 6
= 3x (2x +3) – 2 (2x + 3)
= (2x + 3)(3x – 2)

(iv) 13x² – x – 4 = 3x² – 4x + 3x.- 4
= x (3x – 4) + 1 (3x – 4)
= (3x – 4) (x + 1)

प्रश्न 5.
गुणनखंड ज्ञात कीजिए
(i) x³ – 2x² – x + 2
(ii) x³ – 3x² – 9x – 5
(iii) x³ + 13x² + 32x + 20
(iv) 2y³ + y² – 2y – 1.
हल :
(i) हमें प्राप्त है : x³ – 2x² – x + 2
आइए दी हुई बहुपद को p(x) से निरूपित करें
इसलिए, p(x) = x³ – 2x² – x – 2
– 2 के सभी गुणनखंड हैं ± 1, ± 2
निरीक्षण द्वारा
p(- 1) = (- 1)³ – 2(- 1)² – (- 1) – 2
= – 1 – 2 + 1 + 2
⇒ p(- 1) = 0
इसलिए गुणनखंड प्रमेय से (x + 1) बहुपद p(x) का एक गुणनखंड है।
अब p(x) को (x + 1) से विभक्त कीजिए :

अतः x³ – 2x² – x + 2 = (x – 1) (x² – 3x + 2)
अब x² – 3x + 2 के गुणनखंड मध्य वाले पद को दो भागों में बाँटकर या गुणनखंड प्रमेय का प्रयोग करके प्राप्त कर सकते हैं :
मध्य के पद को दो भागों में बाँटने पर हमें प्राप्त है :
x² – 3x + 2 = x² – x- 2x + 2
= x(x – 1) – 2 (x – 1)
= (x – 1) (x – 2)
इसलिए, x³ – 2x² – x + 2 = (x + 1) (x – 1) (x-2)

(ii) आइए दी हुई बहुपद को p (x) से निरूपित करें :
p(x) = x³ – 3x² – 9x – 5
– 5 के सभी गुणनखंड हैं ± 1, ± 5
निरीक्षण द्वारा p(- 1) = (- 1)³ – 3 (- 1)² – 9 (- 1) – 5
= – 1 – 3 + 9 – 5
= 9 – 9 = 0
इसलिए, गुणनखंड प्रमेय द्वारा x + 1 बहुपद p(x) का गुणनखंड है।
अब p(x) को x + 1 से भाग दीजिए।

अत: x³ – 3x² – 9x – 5 = (x + 1) (x² – 4x – 5)
मध्य के पद को दो भागों में बाँटकर x² – 4x – 5 के गुणनखंड है :
x² – 4x – 5 = x² – 5x + x – 5
= x(x – 5) + 1 (x – 5)
= (x – 5) (x + 1)
इसलिए, x³ – 3x² – 9x – 5 = (x + 1) (x – 5) (x + 1)
= (x + 1) (x + 1) (x – 5)

(iii) आइए हम दी गई बहुपद को p (x) से निरूपित करें :
p(x) = x³ + 13x² + 32x + 20 20 के सभी गुणनखंड हैं ± 1, ± 2, ± 4, ± 5, ± 10, ± 20
निरीक्षण द्वारा
p(- 1) = (- 1)³ + 13 (- 1)² + 32 (- 1) + 20
= – 1 + 13 – 32 + 20
= 33 – 33
⇒ p(- 1) = 0
इसलिए, गुणनखंड प्रमेय द्वारा x + 1 बहुपद p(x) का गुणनखंड है।
अब p(x) को (x + 1) से भाग दीजिए :

अत: x³ + 13x² + 32x + 20 = (x + 1) (x² + 12x + 20)
x² + 12x + 20 के गुणनखंड मध्य के पद को दो भागों में बाँटने पर
x² + 12x + 20 = x² + 2x + 10x + 20
= x(x + 2) + 10 (x + 2)
= (x + 2) (x + 10)
इसलिए, x³ + 13x² + 32 x + 20 = (x + 1) (x + 2) (x + 10)

(iv) आइए हम दी गई बहुपद को p (y) से इस प्रकार निरूपित करें
p(y) = 2y³ + y² – 2y – 1
– 1 का गुणनखंड + 1है। निरीक्षण द्वारा
p(1) = 2(1)³ + (1)² – 2(1) – 1
= 2 + 1 – 2 – 1
= 3 – 3
⇒ p(1) = 0
इसलिए गुणनखंड प्रमेय से ; y – 1 बहुपद p(y) का गुणनखंड है।
अब p(x) को y – 1 से भाग दीजिए :

अतः 2y³ + y² – 2y – 1 = (y – 1) (2y² + 3y + 1)
2y² + 3y + 1 के गुणनखंड मध्य भाग को दो भागों के नीचे दिए अनुसार बाँटने पर;
2y² + 3y + 1 = 2y² + 2y + y + 1
= 2y (y + 1) + 1 (y + 1)
= (y + 1) (2y + 1)
इसलिए, 2y³ + y² – 2y – 1 = (y – 1) (y + 1) (2y + 1)

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.3 Textbook Exercise Questions and Answers

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 2 बहुपद Ex 2.3

प्रश्न 1.
x³ + 3x² + 3x + 1 को निम्नलिखित से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।
(i) x + 1
(ii) x – \(\frac{1}{2}\)
(iii) x
(iv) x + π
(v) 5 + 2x
हल :
(i) मान लीजिए p (x) बहुपद x³ + 3x² + 3x + 1 है और x + 1 भाजक है।
लंबे भाग से शेषफल इस प्रकार है :

शेषफल 0 है।

वैकल्पिक विधि :
हम शेषफल प्रमेय का प्रयोग करके शेष फल ज्ञात करते हैं।
मान लीजिए p (x) = x³ + 3x² + 3x + 1
जहाँ x + 1 भाजक है।
अब x + 1 = 0 लीजिए।
⇒ x = – 1
x = – 1 को p (x) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :
p (- 1) = (- 1)³ + 3 (- 1)² + 3 (- 1) + 1
= – 1 + 3 – 3 + 1 .
⇒ p (- 1) = 0
अतः, शेषफल 0 है।

(ii) मान लीजिए p (x) = x³ + 3x² + 3x + 1 जहाँ x – \(\frac{1}{2}\) भाजक है।
शेषफल प्रमेय का प्रयोग करके शेष फल ज्ञात करते हैं
अब x – \(\frac{1}{2}\) = 0 लीजिए ..
x = \(\frac{1}{2}\) को p (x) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है
p(\(\frac{1}{2}\)) = \(\left(\frac{1}{2}\right)^{3}+3\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+3\left(\frac{1}{2}\right)+1\)
= \(\frac{1}{8}+\frac{3}{4}+\frac{3}{2}+1\)
= \(\frac{1+6+12+8}{8}\)
p(\(\frac{1}{2}\)) = \(\frac{27}{8}\)
अतः, शेषफल \(\frac{27}{8}\) है।

(iii) p (x) = x³ + 3x² + 3x + 1
जहाँ x भाजक है।
हम शेषफल प्रमेय का प्रयोग करके शेषफल ज्ञात करते हैं।
इसलिए x = 0 लीजिए
x = 0 को p (x) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है_ p (0) = (0)³ + 3(0)² + 3(0) + 1
= 0 + 0 + 0 + 1
⇒ p (0) = 1
अतः शेषफल 1 है।

(iv) मान लीजिए p (x) = x³ + 3x² + 3x + 1 जहाँ x + π भाजक है। हम शेषफल प्रमेय का प्रयोग करके शेषफल ज्ञात करते
इसलिए हम x + π = 0 लेते हैं।
⇒ x = – π
अब x = – π को p (x) में प्रतिस्थापित करने पर हम प्राप्त करते हैं।
p (- π) = (- π)³ + 3(- π)² + 3(- π) + 1
= – π³ + 3π² – 3π + 1
अतः शेषफल है : – π³ + 3π² – 3π + 1

(v) मान लीजिए p (x) = x³ + 3x² + 3x + 1
जहाँ भाजक 5 + 2x है :
हम शेषफल प्रमेय का प्रयोग करके शेषफल ज्ञात करते हैं :
इसलिए 5 + 2x = 0 लेते हैं।
⇒ x = – \(\frac{5}{2}\)
अब x = – \(\frac{5}{2}\) को p (x) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :
\(\mathrm{p}\left(-\frac{5}{2}\right)=\left(-\frac{5}{2}\right)^{3}+3\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}+3\left(-\frac{5}{2}\right)+1\)
= \(-\frac{125}{8}+3\left(\frac{25}{4}\right)-\frac{15}{2}+1\)
= \(\frac{-125+150-60+8}{8}\)
= \(-\frac{27}{8}\)
अतः शेषफल \(-\frac{27}{8}\) है।

प्रश्न 2.
x³ – ax² + 6x – a को x – a से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए p (x) = x³ – ax² + 6x – a
अब हम x – a = 0 लेते हैं।
⇒ x = a
x = a को p (x) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :
p (a) = a³ – a (a)² + 6 (a)-a
= a³ – a³ + 6a – a
= 5a
अतः शेषफल 5a है।

प्रश्न 3.
जाँच कीजिए कि 7 + 3x, 3x³ + 7x का एक गुणनखंड है या नहीं।
हल :
जैसा कि आप जानते हैं कि 7 + 3x बहुपद p (x) = 3x³ + 7x का गुणनखंड केवल तब होगा जब कि 7 + 3x से p (x) को भाग देने पर कोई शेष न बचता हो।
अब 7 + 3x = 0 लेने पर हमें प्राप्त होता है :
3x = – 7
x = – \(\frac{7}{3}\)
और \(p\left(-\frac{7}{3}\right)=3\left(-\frac{7}{3}\right)^{3}+7\left(-\frac{7}{3}\right)\)
= \(3 \times \frac{-343}{27}-\frac{49}{3}\)
= \(\frac{-343}{27}-\frac{49}{3}\)
= \(\frac{-343-147}{9}=\frac{-490}{9}\)
∴ p (x) को 7 + 3x से भाग देने पर प्राप्त शेषफल 0 नहीं है।
अत: 7 + 3x दिए गए बहुपद का गुणनखंड नहीं है।

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.2 Textbook Exercise Questions and Answers

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 2 बहुपद Ex 2.2

प्रश्न 1.
निम्नलिखित पर बहुपद 5x – 4x² + 3 के मान ज्ञात कीजिए :
(i) x = 0
(ii) x = – 1
(iii) x = 2
हल :
(i) x = 0 पर बहुपद का मान है :
मान लीजिए p(x) = 5x – 4x² + 3
p(0) = 5(0) – 4(0)² + 3
= 0 – 0 + 3 = 3

(ii) x = – 1 पर बहुपद का मान है :
मान लीजिए p(x) = 5x – 4x² + 3
p(- 1) = 5 ( – 1) – 4 (- 1)² + 3
= – 5 – 4 + 3 = – 6

(iii) x = 2 पर बहुपद का मान है :
मान लीजिए p(x) = 5x – 4x² + 3
p(2) = 5(2) – 4(2)² + 3
= 10 – 16 + 3
= 10 – 4 × 4 + 3 = – 3

प्रश्न 2.
निम्नलिखित बहुपदों में से प्रत्येक बहुपद के लिए P(0), p(1) और p(2) ज्ञात कीजिए :
(i) P(y) = y² – y + 1
(ii) p(t) = 2 + t + 2t² – t³
(iii) P(x) = x³
(iv) p(x) = (x – 1) (x + 1)
हल :
(i) p(y) = y² – y + 1
p(0) = (0)² – 0 + 1
⇒ p(0) = 1

p (1) = (1)² – 1 + 1
⇒ p(1) = 1 – 1 + 1
⇒ p(1) = 1

p(2) = (2)² – 2 +1
⇒ p(2) = 4 – 2 + 1
⇒ p(2) = 3

(ii) p(t) = 2 + t + 2t² – t³
p(0) = 2 + 0 + 2(0)² – (0)³
⇒ p(0) = 2 + 0 + 0 – 0
⇒ p(0) = 2

p(1) = 2 + 1 + 2(1)² – (1)³
⇒ p(1) = 2 + 1 + 2 – 1
⇒ p(1) = 4

p(2) = 2 + 2 + 2(2)² – (2)³
= 2 + 2 + 8 – 8 = 4

(iii) p(x) = x³
p(0) = (0)³
⇒ p(0) = 0

p(1) = (1)³
⇒ p(1) = 1

p(2) = (2)³
⇒ p(2) = 8

(iv) p(x) = (x – 1) (x + 1)
p(0) = (0 – 1) (0 + 1)
⇒ p(0) = (- 1) (1)
⇒ p(0) = – 1

p(1) = (1 – 1) (1 + 1)
⇒ p(1) = 0 × 2
⇒ p(1) = 0

p(2) = (2 – 1) (2 + 1)
⇒ p(2) = 1 × 3
⇒ p(2) = 3

प्रश्न 3.
सत्यापित कीजिए कि दिखाए गए मान निम्नलिखित स्थितियों में संगत बहुपद के शून्यक हैं :
(i) p (x) = 3x + 1, x =
(ii) p (x) = 5x – π, x = \(\frac{4}{5}\)
(iii) p (x) = x² – 1, x = 1, – 1
(iv) p (x) = (x + 1) (x – 2), x = – 1, 2
(v) p(x) = x², x = 0
(vi) p (x) = lx + m, x = – \(\frac{\mathrm{m}}{l}\)
(vi) p (r) = 3x² – 1; x = \(-\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{2}{\sqrt{3}}\)
(viii) P (x) = 2x + 1; x = \(\frac{1}{23}\)
हल :
(i) जहाँ p (x) = 3x + 1 .
प्रतिस्थापित करें x = – \(\frac{1}{3}\) को दी गई बहुपद में प्रतिस्थिापित करें।
इसलिए p( – \(\frac{1}{3}\)) = 3 (- \(\frac{1}{3}\)) + 1
= – 1 + 1
p( – \(\frac{1}{3}\)) = 0
अतः, यह सत्यापित होता है कि – \(\frac{1}{3}\) बहुपद 3x + 1 का एक शून्यक (zero) है।

(ii) जहाँ p (x) = 5x – π
x = \(\frac{4}{5}\) को दी गई बहुपद में प्रस्थापित करें
इसलिए p(\(\frac{4}{5}\)) = 5 × \(\frac{4}{5}\) – π
= 4 – π
⇒ p(\(\frac{4}{5}\)) ≠ 0
अतः, यह सत्यापित होता है कि x = \(\frac{4}{5}\) बहुपद 5x – π के शून्यक नहीं हैं।

(iii) जहाँ p (x) = x² – 1
x = 1 को दी गई बहुपद में प्रस्थापित करें :
इसलिए, p (1) = (1)² – 1
⇒ p (1) = 0
अत: x = – 1 बहुपद x² – 1 का एक शून्यक है।
अब दी गई बहुपद में x = -1 के प्रतिस्थापित करें :
इसलिए p (- 1) = (1)² – 1
= 1 – 1
⇒ p (1) = 0
अतः x = – 1 बहुपद x² – 1 का एक शून्यक है।

(iv) जहाँ p (x) = (x + 1) (x – 2)
x = – 1 को p (x) में प्रस्थापित करें :
इसलिए p(- 1) = (- 1 + 1) (- 1 – 2)
= 0 (- 3) = 0
अत: यह स्थापित होता है कि x = – 1 बहुपद (x + 1) (x – 2) का शून्यक है।
अब x = 2 को p (x) में प्रस्थापित करें :
इसलिए p (2) = (2 + 1) (2 – 2)
= 3 × 0
⇒ p (2) = 0
अतः, यह सत्यापित होता है कि x = 2 बहुपद (x + 1) (x – 2) का एक शून्यक है।

(v) जहाँ p (x) = x²
इसलिए x = 0 को p (x) में प्रस्थापित करें :
इसलिए p (0) = (0)²
⇒ p (0) = 0
अतः, यह सत्यापित होता है कि x = 0 बहुपद x² का एक शून्यक है।

(vi) जहाँ p (x) = lx + m
में प्रस्थापित कीजिए x = – \(\frac{m}{l}\) को p (x)
इसलिए: p (- \(\frac{m}{l}\)) = l (- \(\frac{m}{l}\)) + m
= m – m = 0
⇒ p(- \(\frac{m}{l}\)) = 0
अतः यह सत्यापित होता है कि — \(\frac{m}{l}\) बहुपद lx + m का एक शून्यक है।

(vii) जहाँ p (x) = 3x² – 1 .
बहुपद p(x) में x = – \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) प्रतिस्थापित करें
अतः, यह सत्यापित होता है कि \(\frac{2}{\sqrt{3}}\) बहुपद 3x² – 1 का एक शून्यक है
अब p(x) में x = \(\frac{2}{\sqrt{3}}\) प्रस्थापित करें,
इसलिए p(- \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)) = 3 (- \(\frac{1}{\sqrt{3}}\))² – 1
= 3 × \(\frac{4}{3}\) – 1
= 4 – 1 = 3
∴ p(\(\frac{2}{\sqrt{3}}\)) ≠ 0
अतः, यह सत्यापित होता है कि latex]\frac{2}{\sqrt{3}}[/latex] बहुपद 3x² – 1 शून्यक नहीं है।

(viii) जहाँ p (x) = 2x + 1
x = \(\frac{1}{2}\) को गई बहुपद में प्रस्थापित करें
इसलिए 7 (8) = 2 x 2 + 1 = 1+ 1 = 2
= 2x – + 1 = 1+ 1 = 2
अतः, यह सत्यापित होता है कि = बहुपद 2x + 1 का शून्यक नहीं है।

प्रश्न 4.
निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में बहुपद का शून्यक ज्ञात कीजिए :
(i) p (x) = x +5
(ii) p (x) = x – 5
(iii) p (x) = 2x + 5
(iv) p (x) = 3x – 2
(v) p (x) = 3x
(vi) p (x) = ax, a ≠ 0
(vii) p (x) = cx + d, c ≠ 0, c, d वास्तविक संख्याएँ हैं।
हल :
(i) क्योंकि बहुपद p (x) का शून्यक ज्ञात करने का अर्थ है बहुपद समीकरण p(x) = 0 को हल करना।
हमें प्राप्त है x + 5 = 0
⇒ x = – 5
अतः, – 5 बहुपद x + 5 का शून्यक है।

(ii) क्योंकि बहुपद p(x) का शून्यक ज्ञात करने का अर्थ है बहुपद समीकरण p(x) = 0 को हल करना।
हमें प्राप्त है x – 5 = 0
⇒ x = 5
अतः, 5 बहुपद x – 5 का शून्यक है।

(iii) क्योंकि बहुपद p(x) का शून्यक ज्ञात करने का अर्थ है बहुपद समीकरण p(x) = 0 को हल करना।
हमें प्राप्त है 2x + 5 = 0
2x = – 5
⇒ x = – \(\frac{5}{2}\)
अतः, – \(\frac{5}{2}\) बहुपद 2x + 5 का शून्यक है।

(iv) क्योंकि बहुपद p(x) का शून्यक ज्ञात करने का अर्थ है बहुपद समीकरण p(x) = 0 को हल करना।
हमें प्राप्त है. 3x – 2 = 0
⇒ 3x = 2
⇒ x = \(\frac{2}{3}\)
अतः, \(\frac{2}{3}\) बहुपद 3x – 2 का शून्यक है।

(v) क्योंकि बहुपद p (x) का शून्यक ज्ञात करने का अर्थ है बहुपद समीकरण p (x) = 0 को हल करना।
हमें प्राप्त है 3x = 0
x = \(\frac{0}{3}\)
⇒ x = 0
अतः, 0 बहुपद 3x का शून्यक है।

(vi) क्योंकि बहुपद p (x) का शून्यक ज्ञात करने का अर्थ है बहुपद समीकरण p (x) = 0 को हल करना।
हमें प्राप्त है ax = 0
⇒ x = \(\frac{0}{a}\)
अतः, 0 बहुपद शून्यक ax का शून्य है।

(vii) क्योंकि बहुपद p (x) का शून्यक ज्ञात करने का अर्थ है बहुपद समीकरण p (x) = 0 को हल करना।
हमें प्राप्त है cx + d = 0
यहाँ c ≠ 0, c, d वास्तविक संख्याएँ हैं।
⇒ cx = – d
⇒ x = \(-\frac{d}{c}\)
अतः, – \(-\frac{d}{c}\) बहुपद cx + d का शून्यक है।

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.1 Textbook Exercise Questions and Answers

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 2 बहुपद Ex 2.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित व्यंजकों में कौन-कौन एक चर में में बहुपद हैं और कौन-कौन नहीं हैं ? कारण के साथ अपने उत्तर दीजिए :
(i) 4x² – 3x + 7
(ii) y² + √2
(iii) 3√t + t√2
(iv) y + \(\frac{2}{y}\)
(v) x¹⁰ + y³ + t⁵⁰
हल :
(i) 4x² – 3x + 7, यह x में एक बहुपद है, क्योंकि प्रत्येक पद में x की घात पूर्ण संख्या है।
(ii) y² + √2 , यह y में बहुपद है, क्योंकि प्रत्येक पद की घात एक पूर्ण संख्या है।
(iii) 3√t + t√2 , यह 1 में एक बहुपद नहीं है क्योंकि पहले पद 3t^{\(\frac{1}{2}\)} में 1 की घात \(\frac{1}{2}\) है, जो पूर्ण संख्या नहीं है।
(iv) y + \(\frac{2}{y}\) यह y में बहुपद नहीं है, क्योंकि दूसरे पद अर्थात् 2y^{– 1} में y की घात – 1 है। जो कि पूर्ण संख्या नहीं है।
(v) यह एक चर में बहुपद नहीं हैं, क्योंकि इस में तीन चर है।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित में से प्रत्येक में x का गुणांक लिखिए :
(i) 2 + x² + x
(ii) 2 – x² + x³
(iii) \(\frac{\pi}{2}\) x² + x
(iv) √2x – 1.
हल :
(i) बहुपद x² में 2 + x² + x में x² का गुणांक 1 है।
(ii) बहुपद x² में 2 – x² + x³ में 2 का गुणांक -1 है।
(ii) बहुपद \(\frac{\pi}{2}\) x² + x में x² का गुणांक \(\frac{\pi}{2}\) है।
(iv) बहुपद √2x – 1 में x² का गुणांक √2 है।

 

प्रश्न 3.
35 घात के द्विपद का और 100 घात के एकपदी का एक-एक उदाहरण दीजिए।
हल :
35 घात का द्विपद = 3x³⁵ – 4
100 घात की एकपदी = √2y¹⁰⁰ अलग-अलग गुणांकों वाले कुछ और बहुपद आप स्वयं लिख सकते हैं।

प्रश्न 4.
निम्नलिखित बहुपदों में से प्रत्येक बहुपद की घात लिखिए :
(i) 5x³ + 4x² + 7x
(ii) 4 – y²
(iii) 5t – √7
(iv) 3
हल :
(i) बहुपद 5x³ +4x² + 7x का अधिकतम घातांक 3 है। अतः बहुपद की घात 3 है।
(ii) बहुपद के चर का अधिकतम घातांक 2 है। अतः बहुपद की घात 2 है। ।
(iii) बहुपद में चर का अधिकतम घातांक 1 है। अत: बहुपद का घातांक 1 हो, इसलिए बहुपद की घात 1 है।
(iv) 3 = 3 × 1 = 3x⁰ बहुपद का एक ही पद 3 है। अत: बहुपद की घात 0 है।

प्रश्न 5.
बताइए कि निम्नलिखित बहुपदों में कौन-कौन बहुपद रैखिक हैं, कौन-कौन द्विघाती हैं और कौनकौन त्रिघाती हैं :
(i) x² + x
(ii) x² – 5x
(iii) y + y² + 4
(iv) 1 + x
(v) 3t
(vi) r²
(vii) 7x³.
(vi) 2
हल :
(i) बहुपद x² + x का घातांक 2 है। अत: यह एक द्विघाती बहुपद है।
(ii) बहुपद x – x³ का घातांक 3 है। अत: यह एक त्रिघाती बहुपद है।
(ii) बहुपद y + y² + 4 का घातांक 2 है। अतः यह एक द्विघाती बहुपद है।
(iv) बहुपद 1 + x का घातांक 1 है। अतः यह एक रैखिक बहुपद है।
(v) बहुपद 3t का घातांक 1 है। अत: यह एक रैखिक बहुपद है।
(vi) बहुपद r² का घातांक 2 है। अतः यह एक द्विघाती बहुपद है।
(vii) बहुपद 7x³ का घातांक 3 है। अत: यह एक त्रिघाती बहुपद है।

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 1 संख्या पद्धति Ex 1.5 Textbook Exercise Questions and Answers

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 1 संख्या पद्धति Ex 1.5

प्रश्न 1.
बताइए नीचे दी गई संख्याओं में कौन-कौन परिमेय हैं और कौन-कौन अपरिमेय हैं :
(i) 2 – √5
(ii) (3 + √23) – √23
(iii) \(\frac{2 \sqrt{7}}{7 \sqrt{7}}\)
(iv) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
(v) 2π
हल :
(i) दी गई संख्या में ; 2 एक परिमेय संख्या है और √5 एक अपरिमेय संख्या है।
जैसा कि हम जानते हैं कि एक परिमेय और अपरिमेय संख्या का अंतर सदा अपरिमेय संख्या होता है।
∴ 2 – √5 अपरिमेय संख्या है।

(ii) (3 + √23) – √23
= 3 + √23 – √23

(iii) \(\frac{2 \sqrt{7}}{7 \sqrt{7}}\)
= \(\frac{2}{7}\) एक परिमेय संख्या है।

(iv) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
दी गई संख्या में, 1 एक परिमेय संख्या है।
√2 एक अपरिमेय संख्या है। जैसा कि हम जानते हैं कि एक शून्येतर परिमेय संख्या और एक अपरिमेय संख्या का भागफल सदा एक अपरिमेय संख्या होता है।
अतः, \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) एक अपरिमेय संख्या है।

(v) दी गई संख्या में,
2 एक परिमेय संख्या है और π एक अपरिमेय संख्या है। जैसा कि हम जानते हैं कि एक शून्येत्तर परिमेय संख्या और एक अपरिमेय संख्या का गुणनफल सदा एक अपरिमेय संख्या है।
अतः, 2π एक अपरिमेय संख्या है।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित व्यंजकों में से प्रत्येक व्यंजक को सरल कीजिए :
(i) (3 + √3) (2 + √2)
(ii) (3 + √3) (3 – √3)
(iii) (√5 + √2)²
(iv) (√5 – √2) (√5 + √2)
हल :
(i) (3 + √3) (2 + √2) = 3 × 2 + 3√2 + 2√3 + √3 × √2
= 6 + 3√2 + 2√3 + √6

(ii) (3 + √3) (3 – √3) = 3 × 3 – 3√3 + 3√3 – √3 × √3
= 9 – 3 = 6

(ii) (√5 + √2)² = (√5)² + (√2)² + 2√5 × √2
[∵ (a + b)² = a² + b² + 2ab]
= 5 + 2 + 2√10
= 7 + 2√10

(iv) (√5 – √2) (√5 + √2)
= (√5)² – (√2)²
[: (a – b) (a + b) = a² – b²]
= 5 – 2 = 3 .

प्रश्न 3.
आपको याद होगा किश को एक वृत्त की परिधि | (मान लीजिए c) और उसके व्यास (मान लीजिए d) के अनुपात से परिभाषित किया जाता है, अर्थात् π = \(\frac{c}{d}\) है। यह इस तथ्य का अंतर्विरोध करता हुआ प्रतीत होता है कि अपरिमेय है। इस अंतर्विरोध का निराकरण आप किस प्रकार करेंगे ?
हल :
जैसा कि हम जानते हैं कि एक शून्येत्तर परिमेय संख्या और एक अपरिमेय संख्या का भागफल या एक अपरिमेय संख्या और एक शून्येत्तर परिमेय संख्या का भागफल सदा एक अपरिमेय संख्या होता है।
यहाँ π = \(\frac{c}{d}\)
अतः इसमें कोई अंतर्विरोध नहीं है क्योंकि c या d अपरिमेय हैं। अत: π एक अपरिमेय संख्या है।

प्रश्न 4.
संख्या रेखा पर √9.3 को निरूपित कीजिए।
हल :
एक दी हुई रेखा पर एक स्थिर बिन्दु A से 9.3 एकक की दूरी पर चिह्न लगाने पर एक ऐसा बिन्दु B प्राप्त होता है, जिससे कि AB = 9.3 एकक (देखिए आकृति)।
B से 1 एकक की दूरी पर एक चिह्न लगाइए और इस नए बिन्दु को C मान लीजिए।
AC का मध्य-बिन्दु ज्ञात कीजिए और उस बिन्दु को 0 मान लीजिए। 0 को केन्द्र और OC = 4.65 एकक त्रिज्या लेकर एक अर्धवृत्त बनाइए।
AC पर लम्ब एक ऐसी रेखा खींचिए जो B से होकर जाती हो और अर्धवृत्त को D पर काटती हो।
तब BD = √9.3 है।

गणितीय कारण – OA = OC = OD (अर्धवृत्त की त्रिज्याएँ)
OA = OC = OD = \(\frac{1}{2}\) AC
= \(\frac{1}{2}\) [AB + BC]
[∵ AC = AB + BC]
= \(\frac{1}{2}\) [9.3 + 1.0]
= \(\frac{1}{2}\) × 10.3
OD = 5.15
समकोणीय ∆OBD में, पाईथागोरस प्रमेय अनुसार, OB² + BD² = OD²
BD² = OD² – OB²
BD = \(\sqrt{(\mathrm{OD}+\mathrm{OB})(\mathrm{OD}-\mathrm{OB})}\)
[∵ a² – b² = (a + b) (a – b)]
BD = \(\sqrt{(5.15+4.15)(5.15-4.15)}\)
[∵ OB = OC – BC = 5.15 – 1 = 4.15]
BD = \(\sqrt{9.3 \times 1}\) = √9.3.

प्रश्न 5.
निम्नलिखित के हरों का परिमेयकरण कीजिए:
(i) \(\frac{1}{\sqrt{7}}\)
(ii) \(\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}\)
(iii) \(\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}\)
(iv) \(\frac{1}{\sqrt{7}-2}\)
हल :
(i) \(\frac{1}{\sqrt{7}}\) अंश और हर को √7 पर हमें प्राप्त होता है :
= \(\frac{1}{\sqrt{7}} \times \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}\)
= \(\frac{\sqrt{7}}{7}\)

(i) \(\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}\)
= \(\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{6}} \times \frac{\sqrt{7}+\sqrt{6}}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}\)
[अंश और हर को √7 + √6 से गुणा करके हर का परिमेयकरण करने पर]

(iii) \(\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}\)

(iv) \(\frac{1}{\sqrt{7}-2}\)
= \(\frac{1}{\sqrt{7}-2} \times \frac{\sqrt{7}+2}{\sqrt{7}+2}\)
[हर का परिमेयकरण करने पर]
= \(\frac{\sqrt{7}+2}{(\sqrt{7})^{2}-2^{2}}\)
[∵ a² – b² = (a – b) (a + b)]
= \(\frac{\sqrt{7}+2}{7-4}\)
= \(\frac{\sqrt{7}+2}{3}\)