Class 9

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 10 वृत्त Ex 10.5 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 10 वृत्त Ex 10.5

प्रश्न 1.
आकृति में, केंद्र O वाले एक वृत्त पर तीन बिंदु A, B, और C इस प्रकार है कि ∠BOC = 30° तथा ∠AOB = 60° हैं। यदि चाप ABC के अतिरिक्त वृत्त पर D एक बिंदु है, तो ∠ADC ज्ञात कीजिए।

हल :
∠AOC = ∠AOB + ∠BOC
⇒ ∠AOC = 60° + 30°
⇒ ∠AOC = 90°
अब,
∠AOC = 2∠ADC
[∵ किसी चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण उसी चाप द्वारा वृत्त के शेष भाग पर अंतरित कोण का दुगुना होता है।
या ∠ADC = \(\frac{1}{2}\)∠AOC
⇒ ∠ADC = \(\frac{1}{2}\) × 90°
⇒ ∠ADC = 45°.

प्रश्न 2.
किसी वृत्त की एक जीवा वृत्त की त्रिज्या के बराबर है। जीवा दवारा लघु चाप के किसी बिंद पर अंतरित कोण ज्ञात कीजिए तथा दीर्घ चाप के किसी बिंदु पर भी अंतरित कोण ज्ञात कीजिए।
हल :

मान लीजिए AB एक लघु चाप है।
जीवा AB = त्रिज्या OA = त्रिज्या OB
∴ ΔAOB एक समबाहु त्रिभुज है।
∴ ∠AOB = 60°
[∵ समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण 60° है।]
अब m \(\widehat{\mathrm{AB}}\) + m\(\widehat{\mathrm{BA}}\) = 360°
⇒ ∠AOB + ∠BOA = 360°
⇒ 60° + ∠BOA = 360°
⇒ ∠BOA = 360° – 60°
⇒ ∠BOA = 300°
D लघु चाप पर एक बिंदु है।
∴ m\(\widehat{\mathrm{BA}}\) = 2∠BDA

⇒ ∠BOA = 2∠BDA
[∵ किसी चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण उसी चाप द्वारा वृत्त के शेष भाग पर अंतरित कोण का दुगुना होता है।]
या ∠BDA = \(\frac{1}{2}\)∠BOA
∠BDA = \(\frac{1}{2}\) × 300°
⇒ ∠BDA = 150°
अतः, लघु चाप \(\widehat{\mathrm{BA}}\) द्वारा लघु चाप के किसी बिंदु D पर अंतरित कोण 150° है।
मान लीजिए दीर्घ चाप \(\widehat{\mathrm{BA}}\) पर एक बिंदु E है।

∴ m\(\widehat{\mathrm{AB}}\) = 2∠AEB
⇒ ∠AOB = 2∠AEB
[∵ किसी चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण उसी चाप द्वारा वृत्त के शेष भाग पर अंतरित कोण का दुगुना होता है।]
या ∠AEB = \(\frac{1}{2}\)∠AOB
⇒ ∠AEB = \(\frac{1}{2}\) × 60°
⇒ ∠AEB = 30°
अतः लघु चाप \(\widehat{\mathrm{AB}}\) द्वारा दीर्घ चाप के किसी बिंदु E पर अंतरित कोण 30° है।

प्रश्न 3.
आकृति में, ∠PQR = 100°है, जहाँ P, Q तथा R केंद्र O वाले एक वृत्त पर स्थित हैं। ∠OPR ज्ञात कीजिए।

हल :
आकृति ; Q लघु चाप \(\widehat{\mathrm{PQR}}\) पर स्थित कोई बिंदु है।
∴ m\(\widehat{\mathrm{RP}}\) = 2∠PQR
⇒ ∠ROP = 2∠PQR
[∵ किसी चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण उसी चाप द्वारा वृत्त के शेष भाग पर अंतरित कोण का दुगुना होता है।]
∴ ∠ROP = 2 × 100°
⇒ ∠ROP = 200°
अब
m\(\widehat{\mathrm{PR}}\) + m\(\widehat{\mathrm{RP}}\) = 360°
⇒ ∠POR + ∠ROP = 360°
⇒ ∠POR + 200° = 360°
⇒ ∠POR = 360° – 200°
⇒ ∠POR = 160° ………(i)
अब, ΔOPR एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
∴ OP = OR (वृत्त की त्रिज्याएँ)
∴ ∠OPR = ∠ORP
(बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण) …….(ii)
अब समद्विबाहु त्रिभुज OPR में,
∠OPR + ∠ORP + ∠POR = 180°
⇒ ∠OPR + ∠OPR + 160° = 180°
[(i) और (ii) का प्रयोग करने पर]
⇒ 2∠OPR = 180° – 160°
⇒ 2∠OPR = 20°
⇒ ∠OPR = \(\frac{20^{\circ}}{2}\)
⇒ 2∠OPR = 10°

प्रश्न 4.
आकृति में, ∠ABC = 69° और ∠ACB = 31° हो, तो ∠BDC ज्ञात कीजिए।

हल :
ΔABC में,
∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°
⇒ ∠BAC + 69° + 31° = 180°
⇒ ∠BAC = 180° – 69° – 31°
⇒ ∠BAC = 80° ……..(i)
बिंदु A और D वृत्त के एक ही वृत्तखंड में है।
इसलिए, ∠BDC = ∠BAC [∵ किसी चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण उसी चाप द्वारा वृत्त के शेष भाग पर अंतरित कोण का दुगुना होता है।]
⇒ ∠BDC = 80° [(i) का प्रयोग करने पर]

प्रश्न 5.
आकृति में, एक वृत्त पर A, B, C और D चार बिंदु हैं। AC और BD एक बिंदु E पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि ∠BEC = 130° और ∠ECD = 20° हैं। ∠BAC ज्ञात कीजिए।

हल :
आकृति के अनुसार ∠CED + ∠BEC = 180° (रैखिक युग्म)
⇒ ∠CED + 130° = 180°
⇒ ∠CED = 180° – 130°
⇒ ∠CED = 50°… (i)
∠AEB = ∠CED (शीर्षाभिमुख कोण)
∠AEB = 50° [(i) का प्रयोग करने पर]
अब,
∠ABD = ∠ACD
[चाप AD द्वारा एक ही वृत्तखंड में अंतरित कोण बराबर होते हैं।]
⇒ ∠ABD = 20°
[∵ ∠ACD = 20° (दिया है)]
अब, ΔAEB में,
∠BAE + ∠ABE + ∠AEB = 180°
[त्रिभुज का कोण योग गुण]
⇒ ∠BAE + 20° + 50° = 180°
⇒ ∠BAE = 180° – 20° – 50°
⇒ ∠BAE = 110°
या ∠BAE = 110°

प्रश्न 6.
ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है जिसके विकर्ण एक बिंदु E पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि ∠DBC = 70° और ∠BAC = 30° हो, तो ∠BCD ज्ञात कीजिए। पुनः, यदि AB = BC हो, तो ∠ECD ज्ञात कीजिए।
हल :

∠BDC = ∠BAC
[एक ही वृत्तखंड के कोण]
∠BDC = 30° (∵ ∠BAC = 30°)
ΔBCD में,
⇒ ∠BCD + ∠DBC + ∠BDC = 180°
⇒ ∠BCD + 70° + 30° = 180°
[∵ ∠DBC = 70°]
⇒ ∠BCD = 180° – 70° – 30°
⇒ ∠BCD = 80° ……(i)
यदि AB = BC
तो ΔABC में;
∠ACB = ∠BAC
(त्रिभुज की बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।).
⇒ ∠ACB = 30° …….(ii)
अब
∠BCD = ∠ACB + ∠ACD
⇒ 80° = 30° + ∠ACD
[(i) और (ii) का प्रयोग करने पर]
⇒ 80° – 30° = ∠ACD
⇒ 50° = ∠ACD
या, ∠ACD = 50°
या, ∠ECD = 50°

प्रश्न 7.
यदि एक चक्रीय चतुर्भुज के विकर्ण उसके शीर्षों से जाने वाले वृत्त के व्यास हों, तो सिद्ध कीजिए कि वह एक आयत है।
हल :

AC एक व्यास है।
∴ ∠B = ∠D = 90° ……(1)
(अर्धवृत्त में कोण समकोण होता है।)
इसी प्रकार BD व्यास है।
∴ ∠A = ∠C = 90° …(2)
अब, व्यास
AC = BD
⇒ \(\overparen{\mathrm{AC}}\) ≅ \(\overparen{\mathrm{BD}}\)
(बराबर जीवाओं की सम्मुख चापें)
\(\overparen{\mathrm{AC}}\) – \(\overparen{\mathrm{DC}}\) ≅ \(\overparen{\mathrm{BD}}\) – \(\overparen{\mathrm{DC}}\)
⇒ \(\overparen{\mathrm{AD}}\) ≅ \(\overparen{\mathrm{BC}}\)
⇒ AD = BC
(बराबर चापों को सम्मुख जीवाएँ ) ….. (3)
इसी प्रकार AB = DC ….. (4)
(1), (2), (3) और (4) में हम देखते हैं कि चतुर्भुज का प्रत्येक कोण 90° का है और सम्मुख भुजाएँ बराबर है।
अतः, ABCD एक आयत है।

प्रश्न 8.
यदि एक समलंब की असमांतर भुजाएँ बराबर हैं, तो सिद्ध कीजिए कि वह चक्रीय है।
हल :
दिया है : एक समलंब ABCD जिसमें AB || CD और AD = BC है।

सिद्ध करना है : बिंदु A, B, C, D चक्रीय है। (अर्थात् ABCD चक्रीय समलंब है)
रचना : DE || CB खींचिए।
उपपत्ति : DE || CB और EB || DC.
∴ EBCD एक समांतर चतुर्भुज है।
∴ DE = CB और CDEB = LDCB.
∵ समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
अब, ∵ AD = BC और BC = DE
∴ DA = DE ⇒ ∠DAE = ∠DEA.
[∵ त्रिभुज की बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं]
परंतु ∠DEA + ∠DEB = 180° … ( रैखिक युग्म)
⇒ ∠DAE + ∠DCB = 180°
[∵ ∠DEA = ∠DAE और ∠DEB = ∠DCB] (ऊपर प्रमाणित)
⇒ ∠DAB + ∠DCB = 180° …….(1)
⇒ ∠A + ∠C = 180°
अतः, ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है।
[∵ चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण संपूरक होते हैं जैसा कि परिणाम (1) है।]

प्रश्न 9.
दो वृत्त बिंदुओं B और C पर प्रतिच्छेद करते हैं। B से जाने वाले दो रेखाखंड ABD और PBQ वृत्तों को A, D और P, Q पर क्रमशः प्रतिच्छेद करते हुए खींचे गए हैं (देखिए आकृति)। सिद्ध कीजिए कि ∠ACP = ∠QCD है।

हल :

वृत्त I की चाप एक ही वृत्त खण्ड में ∠1 और ∠2 अंतरित करती है।
∴ ∠1 = ∠2
[एक ही वृत्त खण्ड के कोण बराबर होते हैं।]
चाप BC वृत्त II के एक ही वृत्तखण्ड में ∠3 और ∠4 अंतरित करती है।
∴ ∠3 = ∠4 [उपरोक्त कारण ही]
अब, ΔACD में,
∠A + ∠C + ∠D = 180° [त्रिभुज का कोण योग गुण]
∠1 + ∠5 + ∠6 + ∠3 = 180° … (i)
ΔPCQ में,
∠P + ∠C + ∠Q = 180°
[त्रिभुज का कोण योग गुण]
⇒ ∠2 + ∠5 + ∠7 + ∠4 = 180° ….. (ii)
(i) और (ii) से,
∠1 + ∠5 + ∠6 + ∠3 = ∠2 + ∠5 + ∠7 + ∠4 ……. (iii)
परंतु ∠1 = ∠2 और ∠3 = ∠4 (ऊपर प्रमाणित)
∴ (iii) से हमें प्राप्त होता है :
∠1 + ∠5 + ∠6 + ∠3 = ∠1 + ∠5 + ∠7 + ∠3
⇒ ∠6 = ∠7
या ∠ACP = ∠QCD इति सिद्धम

प्रश्न 10.
यदि किसी त्रिभुज की दो भुजाओं को व्यास मानकर वृत्त खींचे जाएं, तो सिद्ध कीजिए कि इन | वृत्तों का प्रतिच्छेद बिंदु तीसरी भुजा पर स्थित है।
हल :
दिया है : दो वृत्त एक दूसरे को बिंदुओं A और B प्रतिच्छेद करते हैं। AP और AQ उनके व्यास हैं।

सिद्ध करना है : बिंदु B, तीसरी भुजा PQ पर स्थित है।
रचना : A और B को मिलाइए।
उपपत्ति : AP व्यास है।
∴ ∠1 = 90° (अर्धवृत्त का कोण)
साथ ही, AQ व्यास है।
∴ ∠2 = 90° (अर्धवृत्त का कोण)
∠1 + ∠2 = 90° + 90°
⇒ ∠PBQ = 180°
⇒ PBQ एक सरल रेखा है
अतः, B अर्थात् इन वृत्तों का प्रतिच्छेद बिंदु तीसरी भुजा अर्थात् PQ पर स्थित है।

प्रश्न 11.
उभयनिष्ठ कर्ण AC वाले दो समकोण त्रिभुज ABC और ADC है। सिद्ध कीजिए कि ∠CAD = ∠CBD है।
हल:

दिया है कि दो समकोण त्रिभुज ABC और ADC जिनमें B और D पर क्रमशः समकोण हैं।
∴ ∠ABC = ∠ADC (प्रत्येक 90°)
यदि हम AC (उभयनिष्ठ कर्ण) व्यास लेकर एक वृत्त खींचे तो यह निश्चित रूप से बिंदुओं B और D में से होकर जाएगा।
[क्योंकि B और D वे बिंदु है जो चाप AC के एकांतर खंडों में हैं।]
अब, \(\overparen{\mathrm{CD}}\) एक ही वृत्तखंड में ∠CBD और ∠CAD अंतरित करती है।
∴ ∠CAD = ∠CBD (इति सिद्धम)

प्रश्न 12.
सिद्ध कीजिए कि एक चक्रीय समांतर चतुर्भुज आयत होता है।
हल :
मान लीजिए ABCD एक चक्रीय समांतर चतुर्भुज है। यह सिद्ध करने के लिए कि यह एक आयत है इतना ही सिद्ध करना पर्याप्त है कि समांतर चतुर्भुज का एक कोण समकोण है।

अब, ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।
⇒ ∠B = ∠D …….(i)
[∵ समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।]
साथ ही, ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है।
⇒ ∠B + ∠D = 180° …….(ii)
(i) और (ii) से हमें प्राप्त होता है :
∠B + ∠B = 180°
⇒ ∠2B = 180°
⇒ ∠B = 90°
इसलिए, ∠B = ∠D = 90°
अतः, ABCD एक आयत है।

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 10 वृत्त Ex 10.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 10 वृत्त Ex 10.4

प्रश्न 1.
5 cm तथा 3 cm त्रिज्या वाले दो वृत्त दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं तथा उनके केंद्रों के बीच की दूरी 4 cm है। उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए दो वृत्त जिनके केंद्र O और O’ हैं, परस्पर बिंदुओं A और B पर प्रतिच्छेद करते हैं। A और B को मिलाने पर, AB उभयनिष्ठ जीवा है।

त्रिज्या OA = 5 cm, त्रिज्या O’A = 3 cm,
उनके केंद्रों के बीच की दूरी OO’ = 4 cm
हम देखते हैं कि त्रिभुज AOO’ में ;
5² = 4² + 3²
⇒ 25 = 16 + 9
⇒ 25 = 25
ΔAO’O में पाइथागोरस का परिणाम संतुष्ट होता है।
अतः, ΔAO’O एक समकोण त्रिभुज है जिसमें O’ पर समकोण है।
जैसा कि हम जानते हैं कि वृत्त के केंद्र से जीवा पर गिराया गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।
अतः O जीवा AB का मध्य-बिंदु है। साथ ही O’ वृत्त II का केंद्र है।
इसलिए जीवा AB की लंबाई = वृत्त II का व्यास
∴ जीवा AB की लंबाई = 2 × 3 cm
= 6 cm.

वैकल्पिक

मान लीजिए दो वृत्त, जिनके केंद्र O और O’ हैं, परस्पर बिंदुओं A और B पर प्रतिच्छेद करते हैं।
मान लीजिए उभयनिष्ठ जीवा AB, OO’ को C पर प्रतिच्छेद करती है।
मान लीजिए OC = x cm
∴ O’C = 4 – x cm
जैसा कि हम जानते हैं कि दो वृत्तों के केंद्रों को मिलाने वाली रेखा वृत्तों को उभयनिष्ठ जीवा का लंब समद्विभाजक होते हैं।
∴ समकोण ΔOCA में,
AC² + OC² = OA²
[पाइथागोरस के परिणाम का प्रयोग करके
⇒ AC² + x² = 5²
⇒ AC² = 25 – x² ……(i)
इसी प्रकार ΔACO’ में,
AC² + O’C² = AO²
⇒ AC² + (4 – x)² = 3²
⇒ AC² = 9 – (4 – x) …..(ii)
(i) और (ii) से हमें प्राप्त होता है :
25 – x² = 9 – (4 – x)²
⇒ 25 – x² = 9 – (16 + x² – 8x)
⇒ 25 – x² = 9 – 16 – x² + 8x
⇒ – 8x = 9 – 16 – 25 – x² + x²
⇒ – 8x = – 32
⇒ x = 4
∴ CO’ = 4 – x
⇒ CO’ = 4 – 4
⇒ CO’ = 0
इसका अर्थ है कि O’, C के साथ संपाती है।
∴ AC = त्रिज्या AO’ = 3 cm
जीवा AB की लंबाई = केंद्र O’ वाले वृत्त का व्यास
जीवा AB की लंबाई = 2 × AO’
= 2 × AC
= 2 × 3
= 6 cm.

प्रश्न 2.
यदि एक वृत्त की दो समान जीवाएँ वृत्त के अंदर प्रतिच्छेद करें, तो सिद्ध कीजिए कि एक जीवा के खंड दूसरी जीवा के संगत खंडों के बराबर हैं।
हल :
मान लीजिए एक वृत्त जिसका केंद्र O है, की दो समान जीवाएँ AB तथा CD वृत्त के अंदर E पर प्रतिच्छेद करती हैं।
हमने सिद्ध करना है कि
(a) AE = CE
(b) BE = DE.
रचना : OM⊥AB, ON⊥CD खींचिए OE को मिलाइए।

उपपत्ति : समकोण ΔOME और समकोण ΔONE
∠OME = ∠ONE (प्रत्येक 90°)
OM = ON [∵ समान जीवाएँ वृत्त के केंद्र से समदूरस्थ होगी।
कर्ण OE = कर्ण OE (उभयनिष्ठ)
∴ ΔΟΜΕ ≅ ΔΟΝΕ
[R.H.S. सर्वांगसमता नियम]
∴ ME = NE
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग) ….(i)
अब ; O वृत्त का केंद्र है और
OM ⊥ AB
∴ AM = \(\frac{1}{2}\)AB
[∵ वृत्त के केंद्र से जीवा पर लंब जीव को समद्विभाजित करता है।] …(ii)
इसी प्रकार, NC = \(\frac{1}{2}\)CD ….(iii)
परंतु AB = CD (दिया है)
(ii) और (iii) से हमें प्राप्त होता है
AM = NC ….(iv) साथ ही,
MB = DN ….(v)
(i) और (iv) को जोड़ने पर हमें प्राप्त होता है :
AM + ME = NC + NE
⇒ AE = CE भाग (a) सिद्ध हुआ
अब AB = CD (दिया है)
AE = CE (ऊपर सिद्ध किया है)
AB – AE = CD – CE
⇒ BE = DE भाग (b) सिद्ध हुआ

प्रश्न 3.
यदि एक वृत्त की दो समान जीवाएँ वृत्त के अंदर प्रतिच्छेद करें, तो सिद्ध कीजिए कि प्रतिच्छेद बिंदु को केंद्र से मिलाने वाली रेखा जीवाओं से बराबर कोण बनाती है।
हल :
मान लीजिए एक वृत्त जिसका केंद्र O है, की दो समान जीवाएँ AB तथा CD वृत्त के अंदर E पर प्रतिच्छेद करती हैं। हमने सिद्ध करना है कि
∠OEM = ∠OEN.
रचना : OM ⊥ AB, ON ⊥ CD खींचिए। OE को मिलाइए।

उपपत्ति : समकोण त्रिभुजों OME और ONE में,
∠OME = ∠ONE (प्रत्येक 90°)
OM = ON
[∵ वृत्त की समान जीवाएँ केंद्र से समदूरस्थ होती हैं।]
कर्ण OE = कर्ण OE (उभयनिष्ठ)
∴ ΔOME ≅ ΔONE
[R.H.S. सर्वांगसमता नियम]
∴ ∠OEM = ∠OEN
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)

प्रश्न 4.
यदि एक रेखा दो संकेंद्री वृत्तों (एक ही केंद्र वाले वृत्त) को जिनका केंद्र O है, A, B, C और D पर प्रतिच्छेद करे, तो सिद्ध कीजिए AB = CD है (देखिए आकृति)।
हल :
एक रेखा l दो संकेंद्रीय वृत्तों को, जिनका केंद्र O है, A, B, C और D पर प्रतिच्छेद करती है।
हमने सिद्ध करना है कि
AB = CD

रचना : OL ⊥ l खींचिए
उपपत्ति : AD बाह्य वृत्त की जीवा है
और OL ⊥ AD
∴ AL = LD
[∵ केंद्र से खींचा गया लंब, जीवा को समद्विभाजित करता है।] …..(i)
अब ; BC अंत: वृत्त की जीवा है और OL ⊥ BC.
∴ BL = LC
[∵ केंद्र से खींचा गया लंब, जीवा को समद्विभाजित करता है। …(ii)
(ii) को (i), में से घटाने पर हमें प्राप्त होता है।
AL – BL = LD – LC
⇒ AB = CD (इति सिद्धम्)

प्रश्न 5.
एक पार्क में बने 5 मी त्रिज्या वाले वृत्त पर खड़ी तीन लड़कियाँ रेशमा, सलमा एवं मनदीप खेल रही हैं। रेशमा एक गेंद को सलमा के पास, सलमा मनदीप के पास तथा मनदीप रेशमा के पास फेंकती हैं। यदि रेशमा तथा सलमा के बीच और सलमा तथा मनदीप के बीच की प्रत्येक दूरी 6 m हो, तो रेशमा और मनदीप के बीच की दूरी क्या है ?
हल :
मान लीजिए रेशमा, सलमा और मनदीप की स्थिति को बिंदुओं A, B और C से दर्शाया गया है।
दिया गया है कि रेशमा और सलमा के बीच की दूरी 6 मी है तथा सलमा और मनदीप के बीच की दूरी भी 6 मी है। इसका अर्थ है कि :
AB = BC = 6 मी
∴ वृत्त का केंद्र ∠BAC के समद्विभाजक पर स्थित है।
मान लीजिए कि M, BC और OA का प्रतिच्छेद बिंदु है।
पुनः क्योंकि AB= BC
और AM, ∠CAB को समद्विभाजित करता है
∴ AM⊥CB और M, CB का मध्य बिंदु है।
मान लीजिए OM = x
तब MA = 5 – x
अब, समकोण ΔOMB से
⇒ OB² = OM² + MB²
5² = x² + MB²

पुन: समकोण ΔAMB से,
AB² = AM² + MB²
⇒ 6² = (5 – x)² + MB ….(2)
(1) और (2) से MB² के मूल्य को बराबर करने से हमें प्राप्त होता है :
5² – x² = 6² – (5 – x)²
⇒ (5 – x)² – x² = 6² – 5²
⇒ (25 – 10x + x²) – x² = 36 – 253
⇒ 25 – 10x + x² – x² = 11
⇒ -10x = 11 – 25
⇒ -10x = -14
⇒ x = \(\frac{14}{10}\)
अतः, (i) से,
MB² = 5² – x²

∴ BC = 2MB = 2 × 4.8 = 9.6 मी
अतः, रेशमा और मनदीप के बीच की दूरी 9.6 मी है।

प्रश्न 6.
20 m त्रिज्या का एक गोल पार्क (वृत्ताकार) एक कालोनी में स्थित है। तीन लड़के अंकुर, सैय्यद तथा डेविड उसकी परिसीमा पर बराबर दूरी पर बैठे हैं और प्रत्येक के हाथ में एक खिलौना टेलीफोन आपस में बात करने के लिए हैं। प्रत्येक फोन की डोरी की लंबाई ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए तीनों लड़कों अंकुर, सैय्यद तथा डेविड की स्थिति को बिंदुओं A, B और C से दर्शाया गया है।
तीनों बिंदु स मान दूरी पर हैं।
∴ AB = BC = AC = a m (माना)

समबाहु त्रिभुज की समान भुजाएँ वृत्त की समान जीवाएँ । हैं और वृत्त की समान जीवाएँ केंद्र से समदूरस्थ होती हैं।
∴ OD = OE = OF = x m (माना)
OA, OB और OC को मिलाइए।
अब, हमारे पास तीन सर्वांगसम त्रिभुजें हैं।
ΔOAB, ΔOBC और ΔAOC
∴ ar (ΔAOB) = ar (ΔBOC)
= ar (ΔAOC) …(i)
अब, a भुजा वाली समबाहु ΔABC का क्षेत्रफल
= ar (ΔAOB) + ar (ΔBOC) + ar (ΔAOC) …(ii)
⇒ ar (ΔABC) = 3ar (ΔBOC)
[(i) को (ii) में प्रयोग करने पर]

OE ⊥ BC
∴ BE = EC = \(\frac{1}{2}\)BC
[∵ केंद्र से खींचा गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।]
BE = EC = \(\frac{1}{2}\)a
BE = EC = \(\frac{1}{2}\)(2\(\sqrt{3}\)x)
[(iii) को प्रयोग करने पर]
⇒ BE = EC = \(\sqrt{3}\)x
अब, समकोण ΔBEO में,
OE² + BE² = OB² (पाइथागोरस प्रमेय)
⇒ x² + (\(\sqrt{3}\)x²) = 20²
⇒ x² + 3x² = 400
4x² = 400
⇒ x² = \(\frac{400}{4}\)
⇒ x² = 100
⇒ x = \(\sqrt{100}\)
⇒ x = 10 m …(iv)
अब (iii) से हमें प्राप्त होता हैं।
a = 2\(\sqrt{3}\)x
⇒ a = 2\(\sqrt{3}\) × 10 मी
[(iv) का प्रयोग करने पर]
⇒ a = 20\(\sqrt{3}\) मी
अतः, किन्हीं दो लड़कों के बीच की दूरी 20\(\sqrt{3}\) मी है।

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 10 वृत्त Ex 10.6 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 10 वृत्त Ex 10.6

प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए कि दो प्रतिच्छेदित करते हुए वृत्तों की केंद्रों की रेखा दोनों प्रतिच्छेद बिंदुओं पर समान कोण अंतरित करती है।
हल :
मान लीजिए दो वृत्त जिन के केंद्र क्रमश: A और B हैं, परस्पर C और D पर प्रतिच्छेद करते हैं। हमने सिद्ध करना है कि ∠ACB = ∠ADB

उपपति : ΔABC और ΔABD में,
AC = AD (प्रत्येक = r)
BC = BD (प्रत्येक = r)
AB = AB (उभयनिष्ठ)
∴ ΔABC ≅ ΔABD
(SSS सर्वांगसमता नियम)
⇒ ∠ACB = ∠ADB
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)

प्रश्न 2.
एक वृत्त की 5 cm तथा 11 cm लंबी दो जीवाएँ AB और CD समांतर हैं और केंद्र की विपरीत दिशा में स्थित हैं। यदि AB और CD के बीच की दूरी 6 cm हो, तो वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए O वृत्त का केंद्र है।
OA और OC को मिलाइए।
क्योंकि वृत्त के केंद्र से जीवा पर खींचा गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।

प्रश्न 3.
किसी वृत्त की दो समांतर जीवाओं की लंबाइयाँ 6 cm और 8 cm हैं। यदि छोटी जीवा केंद्र से 4 cm की दूरी पर हो, तो दूसरी जीवा केंद्र से कितनी दूर है ?
हल :
मान लीजिए AB = 6 cm और CD = 8 cm, O केंद्र वाले वृत्त की जीवाएँ हैं।

OA और C को मिलाइए।
क्योंकि वृत्त के केंद्र से जीवा पर खींचा गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।
∴ AE = EB = \(\frac {1}{2}\)AB
= \(\frac {1}{2}\) × 6 = 3cm
और
CF = FD = \(\frac {1}{2}\)CD
= \(\frac {1}{2}\) × 8
= 4 cm
जीवा AB की केंद्र O से लंबात्मक दूरी OE है।
∴ OE = 4 cm
अब समकोण ΔAOE में,
OA² = AE² + OE² [पाइथागोरस का परिणाम प्रयोग करने पर]
⇒ r² = 3² + 4²
⇒ r² = 9 + 16
⇒ r² = 25
⇒ r² = \(\sqrt{25}\)
⇒ r² = 5cm
जीवा CD की केंद्र O से लंबात्मक दूरी OF है।
समकोण ΔOFC में,
OC² = CF² + OF²
[पाइथागोरस का परिणाम प्रयोग करने पर] |
⇒ r² = 4² + OF²
⇒ 5² = 4² + OF²
या OF² = 25 – 16
⇒ OF² = 9
⇒ OF = \(\sqrt{9}\)
⇒ OF = 3 cm
अतः, दूसरी जीवा की केंद्र से दूरी 3 cm है।

प्रश्न 4.
मान लीजिए कि कोण ABC का शीर्ष एक वृत्त के बाहर स्थित है और कोण की भुजाएँ वृत्त से बराबर जीवाएँ AD और CE काटती हैं। सिद्ध कीजिए कि ∠ABC जीवाओं AC तथा DE द्वारा केंद्र पर अंतरित कोणों के अंतर का आधा है।
हल :
∠ABC का शीर्ष B एक वृत्त (जिसका केंद्र O है) के बाहर स्थित है।

भुजा AB, जीवा CE को बिंदु E पर प्रतिच्छेद करती है और BC जीवा AD को बिंदु D पर प्रतिच्छेद करती है।
हमने सिद्ध करना है कि
∠ABC = \(\frac {1}{2}\)[∠AOC – ∠DOE]
OA, OC, OE और OD को मिलाइए।
अब, ∠AOC = 2∠AEC [चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण वृत्त के शेष भाग के किसी बिंदु पर अंतरित कोण का दुगुना होता है]
या \(\frac {1}{2}\)∠AOC = ∠AEC …………(i)
इसी प्रकार, \(\frac {1}{2}\) ∠DOE = ∠DCE …………..(ii)
[उपरोक्त कारण से]
(ii) को (i) में से घटाने पर हमें प्राप्त होता है,
\(\frac {1}{2}\)[∠AOC – ∠DOE] = ∠AEC – ∠DCE …………(iii)
अब, ∠AEC = ∠ADC …….(iv)
(एक ही वृत्तखंड के कोण)
साथ ही, ∠DCE = ∠DAE
(एक ही वृत्तखंड के कोण)
(iv) और (v) को (iii) में प्रयोग करने पर हमें प्राप्त होता है,
\(\frac {1}{2}\)[∠AOC – ∠DOE] = ∠ADC – ∠DAE …….(vi)
ΔADB में,
∠ADC = ∠DAE + ∠ABD …(vii) (त्रिभुज का बाह्य कोण अंत:अभिमुख कोणों के योग के बराबर होता है)
(vii) को (vi) में प्रयोग करने पर हमें प्राप्त होता है :
\(\frac {1}{2}\)[∠AOC – ∠DOE] = ∠DAE + ∠ABD – ∠DAE
⇒ \(\frac {1}{2}\)[∠AOC – ∠DOE] = ∠ABD
या \(\frac {1}{2}\)[∠AOC – ∠DOE] = ∠ABC
(इति सिद्धम)

प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिए कि किसी चतुर्भुज की किसी भूजा को व्यास मानकर खींचा गया वृत्त उसके विकणों के प्रतिच्छेद बिंदु से होकर जाता है।
हल :
मान लीजिए कि ABCD एक समचतुर्भुज है जिसमें विकर्ण AC और BD परस्पर बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।

जैसा कि हमें ज्ञात है कि समचतुर्भुज के विकर्ण एकदूसरे के लंब समद्विभाजिक होते हैं।
∴ ∠AOB = 90°
यदि हम AB को व्यास मानकर वृत्त खींचे तो यह निश्चित रूप से ही बिंदु ०(विकर्णों का प्रतिच्छेद बिंदु) में से होकर जाएगा। क्योंकि तब ∠AOB = 90° इसके अर्धवृत्त में बना कोण होगा।

प्रश्न 6.
ABCD एक समांतर चतुर्भुज है। A, B और C से होकर जाने वाला वृत्त CD (यदि आवश्यक हो तो बढ़ाकर) को E पर प्रतिच्छेद करता है। सिद्ध कीजिए कि AE = AD है।
हल :

आकृति (a) में,
ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।
⇒ ∠1 = ∠3 …………(i)
(समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण)
ABCE एक चक्रीय चतुर्भुज है।
∠1 + ∠6 = 180° …… (ii)
∠5 + ∠6 = 180°…(रैखिक युग्म)… (iii)
(ii) और (iii) से
∠1 = ∠5 …. (iv)
अब, (i) और (iv) से
∠3 = ∠5
अब, ΔAED में,
∠3 = ∠5
⇒ AE = AD (∵ त्रिभुज के बराबर कोणों की सम्मुख भुजाएँ) आकृति (b) में,
ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।
⇒ ∠1 = ∠3 (समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण)
∠2 = ∠4
साथ ही AB || CD और BC इनको मिलती है।
∠1 + ∠2 = 180° ……. (1)
और AD || BC और EC इनको मिलती है।
∠5 = ∠2 (संगत कोण) …… (2)
ABCE एक चक्रीय चतुर्भुज है।
∴ ∠1 + ∠6 = 180°
(1) और (3) से हमें प्राप्त होता है :
∠1 + ∠2 = ∠1 + ∠6
⇒ ∠2 = ∠6
परंतु (2) से,
∠2 = ∠5
⇒ ∠5 = ∠6
अब, ΔAED में,
∠5 = ∠6
⇒ AE = AD
अतः, दोनों स्थितियों में,
AE = AD.

प्रश्न 7.
AC और BD एक वृत्त की जीवाएँ हैं जो परस्पर समद्विभाजित करती हैं। सिद्ध कीजिए :
(i) AC और BD व्यास हैं,
(ii) ABCD एक आयत है।
हल :

मान लीजिए वृत्त की जीवाएँ AC और BD परस्पर O पर समद्विभाजित करती हैं।
तो OA = OC और OB = OD.
हमने सिद्ध करना है कि (i) AC और BD व्यास हैं दूसरे शब्दों में, O वृत्त का केंद्र है।
ΔAOD और ΔBOC में,
AO = OC (दिया है।)
∠AOD = ∠BOC (शीर्षाभिमुख कोण)
OD = OB (दिया है)
∴ ΔAOD ≅ ΔCOB
(SAS सर्वांगसमता नियम)
⇒ AD = CB
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
इसी प्रकार, ΔAOB ≅ ΔCOD
⇒ AB = CD
⇒ \(\widehat{\mathrm{AB}}\) ≅ \(\widehat{\mathrm{CD}}\)
[बराबर जीवाओं की सम्मुख चा]
⇒ \(\widehat{\mathrm{AB}}\) + \(\widehat{\mathrm{BC}}\)
⇒ \(\widehat{\mathrm{CD}}\) + \(\widehat{\mathrm{BC}}\)
⇒ \(\widehat{\mathrm{ABC}}\) = \(\widehat{\mathrm{BCD}}\)
⇒ AC = BD
(बराबर चापों की सम्मुख जीवाएँ)
∴ AC और BD व्यास हैं। क्योंकि केवल व्यास ही, वृत्त की जीवाओं के रूप में परस्पर समदृविभाजित करते हैं।
(ii) के लिए (i) में जैसा कि सिद्ध हुआ ;
AC व्यास है।
∴ ∠B = ∠D = 90° ………(1)
[अन्त का कोण समकोण होता है]
इसी प्रकार BD व्यास है
∴ ∠A = ∠C = 90° …(2)
अब व्यास
AC = BD
⇒ \(\widehat{\mathrm{AC}}\) ≅ \(\widehat{\mathrm{BD}}\)
(बराबर जीवाओं की संगत चाप बराबर होती हैं)
⇒ \(\widehat{\mathrm{AC}}\) – \(\widehat{\mathrm{DC}}\) ≅ \(\widehat{\mathrm{BD}}\) – \(\widehat{\mathrm{DC}}\)
⇒ \(\widehat{\mathrm{AD}}\) ≅ \(\widehat{\mathrm{BC}}\)
⇒ AD = BC
(बराबर जीवाओं की संगत चाप बराबर होती हैं) ……..(3)
इसी प्रकार AB = DC ……..(4)
(1), (2), (3) और (4) से हम देखते हैं कि चतुर्भुज का प्रत्येक कोण 90° का है तथा सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।
अतः, ABCD एक आयत है।

प्रश्न 8.
एक त्रिभुज ABC के कोणों A, B और C के समद्विभाजक इसके परिवृत्त को क्रमश: D, E और F पर प्रतिच्छेद करते हैं। सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज DEF के कोण 90° – \(\frac {1}{2}\)A, 90° – \(\frac {1}{2}\)B तथा 90° – \(\frac {1}{2}\)C हैं।
हल :
प्रश्न के अनुसार (नीचे दी गई आकृति को देखिए)।

AD, ∠A का समद्विभाजक है
∴ ∠1 = ∠2 = \(\frac {A}{2}\)
BE, ∠B का समद्विभाजक है।
∴ ∠3 = ∠4 = \(\frac {B}{2}\)
CE, ∠C का समद्विभाजक है।
∴ ∠5 = ∠6 = \(\frac {C}{2}\)
जैसा कि हम जानते हैं कि एक ही वृत्तखंड के कोण बराबर होते हैं।
∴ ∠9 = ∠3
(\(\widehat{\mathrm{AE}}\) द्वारा अंतरित कोण)
∠8 =∠5
(\(\widehat{\mathrm{FA}}\) द्वारा अंतरित कोण)
∠9 + ∠8 = ∠3 + ∠5

प्रश्न 9.
दो सर्वांगसम वृत्त परस्पर बिंदुओं A और B पर प्रतिच्छेद करते हैं। A से होकर कोई रेखाखंड PAQ इस प्रकार खींचा गया है कि P और दोनों वृत्तों पर स्थित हैं। सिद्ध कीजिए कि BP = BQ है।
हल :

दिया है : दो सर्वांगसम वृत्त बिंदुओं A और B पर प्रतिच्छेद करते हैं।
A से खींची गई रेखा वृत्तों को P और Q पर मिलती
सिद्ध करना है : BP = BQ
रचना : A और B को मिलाइए
उपपत्ति : AB उभयनिष्ठ जीवा है और वृत्त बराबर हैं।
∴ उभयनिष्ठ जीवा के संगत चाप बराबर होते हैं।
अर्थात्
\(\widehat{\mathrm{ACB}}=\widehat{\mathrm{ADB}}\)
क्योंकि दो सर्वांगसम वृत्तों के सर्वांगसम चाप वृत्त के । शेष भाग पर बराबर कोण बनाते हैं
इसलिए, हमें प्राप्त है
∠1 = ∠2
APBQ में,
∠1 = ∠2 (सिद्ध किया है)
∴ त्रिभुज के बराबर कोणों की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।
इसलिए :
BP = BQ.

प्रश्न 10.
किसी त्रिभुज ABC में, यदि ∠A का समद्विभाजक तथा BC का लंब समद्विभाजक प्रतिच्छेद करें, तो सिद्ध कीजिए कि वे ΔABC के परिवृत्त पर प्रतिच्छेद करेंगे।
हल :
दिया है कि ABC एक त्रिभुज है और इसके शीर्षों में से वृत्त गुजरता है।

मान लीजिए कि कोण A का समद्विभाजक तथा सम्मुख भुजा BC का लंब समद्विभाजक (कह लीजिए) बिंदु P पर प्रतिच्छेद करते हैं।
हमें सिद्ध करना है कि त्रिभुज ABC का परिवृत्त भी बिंद P में से होकर जाएगा।
उपपत्ति : जैसा कि हमें ज्ञात है कि किसी भुजा के लंब समद्विभाजक पर कोई भी बिंदु इस संगत भुजा के अंत:बिंदुओं से समदूरस्थ होता है।
∴ BP = PC ………(i)
साथ ही प्राप्त है: ∠1 = ∠2 …… (ii) [ क्योंकि, AP, ∠A का समद्विभाजक है।
(दिया है)]
(i) और (ii) से हमें ज्ञात होता है कि बराबर रेखाखंड वृत्त के एक ही खंड (अर्थात् Δ ABC के परिवृत्त के बिंदु A पर) में बराबर कोण बनाते हैं।
इसलिए BP और PC, ΔABC के परिवृत्त की जीवाओं के रूप में हैं और उनकी संगत चापें ; \(\widehat{\mathrm{BP}}\) और \(\widehat{\mathrm{PC}}\) परिवृत्त के ही भाग हैं।
अतः बिंदु P परिवृत्त पर ही है।
दूसरे शब्दों में, बिंदु A, B, P और C एकवृत्तीय हैं।
(इति सिद्धम)

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 10 वृत्त MCQ Questions with Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 10 वृत्त MCQ Questions

बहुविकल्पीय प्रश्न

दिये गए चार विकल्पों में से सही उत्तर का चयन करें।

प्रश्न 1.
दी गई आकृति में AB = 5 सेमी. है। जीवा CD की लंबाई पता करो।

(A) 6 सेमी०
(B) 10 सेमी०
(C) 5 सेमी०
(D) 2.5 सेमी०।
उत्तर –
(C) 5 सेमी०

प्रश्न 2.
कितने असरेख बिंदुओं में से केवल एक ही वृत्त खींचा जा सकता है ?
(A) तीन
(B) चार
(C) पाँच
(D) छः।
उत्तर –
(A) तीन

प्रश्न 3.
दी गई आकृति में AB = CD = 5 सेमी। OM = 3 सेमी० तब ON की लंबाई है:

(A) 4 सेमी०
(B) 6 सेमी०
(C) 1.5 सेमी०
(D) 3 सेमी०।
उत्तर –
(D) 3 सेमी०।

प्रश्न 4.
दी गई आकृति में 0 वृत्त का केंद्र है। ∠AOB = 60° है। ∠ACB का मान क्या है ?

(A) 60°
(B) 30°
(C) 15°
(D) 20°.
उत्तर –
(B) 30°

प्रश्न 5.
दी गई आकृति में O वृत्त का केंद्र है। ∠ADB का माप क्या है ?

(A) 40°
(B) 20°
(C) 30°
(D) 60°.
उत्तर –
(B) 20°

प्रश्न 6.
एक चक्रीय चतुर्भुज ABCD में AOC वृत्त का व्यास है। यदि ∠CAD = 50° हो तो ∠ACD का मान क्या है ?

(A) 50°
(B) 90°
(C) 40°
(D) 60°.
उत्तर –
(C) 40°

प्रश्न 7.
किसी वृत्त का AD एक व्यास है और AB एक जीवा है। यदि AD = 34 cm. AB = 30 cm है, तो वृत्त के केंद्र से AB की दूरी है
(A) 17 cm
(B) 15 cm
(C) 4 cm
(D) 8 cm.
उत्तर –
(D) 8 cm.

प्रश्न 8.
आकृति में, यदि OA = 5cm, AB = 8 cm तथा OD जीवा AB पर लंब है, तो CD बराबर है

(A) 2cm
(B) 3 cm
(C) 4 cm
(D) 5 cm.
उत्तर –
(A) 2cm

प्रश्न 9.
यदि AB = 12 cm, BC = 16 cm और AB रेखाखंड BC पर लंब है, तो A, B और C से होकर जाने वाले वृत्त की त्रिज्या है
(A) 6 cm
(B) 8 cm
(C) 10 cm
(D) 12 cm.
उत्तर –
(C) 10 cm

प्रश्न 10.
आकृति में, यदि ∠ABC = 20° है तो ∠AOC बराबर है-

(A) 20°
(B) 40°
(C) 60°
(D) 10°.
उत्तर –
(B) 40°

प्रश्न 11.
आकृति में, यदि AOB वृत्त का एक व्यास तथा AC = BC है, तो ∠CAB बराबर है-

(A) 30°
(B) 60°
(C) 90°
(D) 45°……
उत्तर –
(D) 45°……

प्रश्न 12.
आकृति में, यदि ∠OAB = 40° है, तो ∠ACB बराबर है-

(A) 50°
(B) 40°
(C) 60°
(D) 70°.
उत्तर –
(A) 50°

प्रश्न 13.
आकृति में, यदि ∠DAB = 60°, ∠ABD = 50° है, तो ∠ACB बराबर है-

(A) 60°
(B) 50°
(C) 70°
(D) 80°.
उत्तर –
(C) 70°

प्रश्न 14.
ABCD एक ऐसा चक्रीय चतुर्भुज है कि AB इस चतुर्भुज के परिंगत वृत्त का एक व्यास है तथा ∠ADC = 140° है तब, ∠BAC बराबर है-

(A) 80°
(B) 50°
(C) 40°
(D) 30°.
उत्तर –
(B) 50°

प्रश्न 15.
आकृति में, BC वृत्त का व्यास है तथा ∠BAO = 60° है। तब, ∠ADC बराबर है-
(A) 30°
(B) 45°
(C) 60°
(D) 120°
उत्तर –
(C) 60°

प्रश्न 16.
आकृति में, ∠AOB = 900 और ∠ABC = 30° है। तब, ∠CAO बराबर है-

(A) 30°
(B) 45°
(C) 90°
(D) 60°.
उत्तर –
(D) 60°

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 10 वृत्त Ex 10.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 10 वृत्त Ex 10.3

प्रश्न 1.
वृत्तों के कई जोड़े (युग्म ) खींचिए। प्रत्येक जोड़े में कितने बिंदु उभयनिष्ठ हैं ? उभयनिष्ठ बिंदुओं की अधिकतम संख्या क्या है ?
हल :

आकृति से हम देखते हैं कि जब वृत्तों के विभिन्न युग्म हम खींचते हैं; हरेक युग्म में दो बिंदु (मान लीजिए A और B) उभयनिष्ठ हैं।
उभयनिष्ठ बिंदुओं की अधिकतम संख्या दो है।
मान लीजिए कि दो वृत्त C (O, r) और C (O’ s) परस्पर बिंदु तीन बिंदुओं A, B और C पर प्रतिच्छेद करते हैं।
तब A, B और C असरेख बिंदु हैं।

हम जानते हैं कि तीन असरेख बिंदुओं से होकर एक और केवल एक वृत्त जाता है। इसलिए A, B और C से एक अद्वितीय वृत्त गुजरता है।
⇒ O’O के साथ संपाती है और
जो कि तथ्य का अंतर्विरोध है।
C(O’, s) ≠ C(O, r)
∴ हमारी कल्पना गलत है।
इसलिए दो भिन्न वृत्त एक दूसरे को दो से अधिक बिंदुओं पर प्रतिच्छेदित नहीं कर सकते हैं।

प्रश्न 2.
मान लीजिए आपको एक वृत्त दिया है। एक रचना इसके केंद्र को ज्ञात करने के लिए दीजिए।
हल :
रचना के चरण :
1. वृत्त पर कोई तीन बिंदु A, B और C लीजिए।
2. AB और BC को मिलाइए।
3. AB का लंब समद्विभाजक LM खींचिए।

4. BC का लंब समद्विभाजक PQ खींचिए।
5. मान लीजिए LM और PQ बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं।
तब O वृत्त का केंद्र है।

सत्यापन :
O, AB के लंब समद्विभाजक पर स्थित है।
∴ OA = OB ……. (i)
O, BC के लंब समद्विभाजक पर स्थित है।
∴ OB = OC …… (ii)
(i) और (ii) से हम देखते हैं कि
OA = OB = OC = r (माना)
तीन सरेख बिंदु A, B और C वृत्त के अंदर स्थिति बिंदु O से बराबर दूरी (r) पर हैं
अतः, O वृत्त का केंद्र है।

प्रश्न 3.
यदि दो वृत्त, परस्पर दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करें, तो सिद्ध कीजिए कि उनके केंद्र उभयनिष्ठ जीवा के लंब समद्विभाजक पर स्थित हैं।
हल :
उपपत्ति- मान लीजिए दो वृत्त C (O, r) और C (O’, s) A और B पर प्रतिच्छेद करते हैं। हमने सिद्ध करना है कि OO’ जीवा AB का लंब समद्विभाजक है। इसके लिए हम OA, OB, O’A और O’B को मिलाते हैं (देखिए आकृति)

त्रिभुजों OAO’ और OBO’ में,
OA = OB = r
O’A = O’B = s
और OO’ = OO’
∴ ΔOAO’ ≅ ΔOBO’ (SSS अभिगृहीत)
∴ ∠AOO’ = ∠BOO’
मान लीजिए AB और OO’ का प्रतिच्छेदित बिंदु M है। तब त्रिभुजों AOM और BOM में,
OA = OB
∠AOM = ∠BOM
(∵ ∠AOO’ = ∠AOM और ∠BOO’ = ∠BOM)
और OM = OM
∴ ΔAOM ≅ ΔBOM (SAS अभिगृहीत)
∴ AM = MB …… (i)
और ∠AMO = ∠BMO …… (ii)
अब, ∠AMO + ∠BMO = 180°
(रैखिक युग्म अभिगृहीत)
⇒ ∠AMO + ∠AMO = 180°
⇒ 2∠AMO = 180°
⇒ ∠AMO = \(\frac{180^{\circ}}{2}\)
⇒ ∠AMO = 90°
साथ ही, ∠BMO = 90°
(∵ ∠AMO = ∠BMO)
अब हमें प्राप्त है
AM = MB
∠AMO = ∠BMO = 90°
इससे सिद्ध होता है कि केंद्रों O और O’ को मिलाने वाली रेखा उभयनिष्ठ जीवा के लंब समद्विभाजक पर स्थित है।

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 9 समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल MCQ Questions with Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 9 समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल MCQ Questions

बहुविकल्पीय प्रश्न

दिये गए चार विकल्पों में से सही उत्तर का चयन करें।

प्रश्न 1.
दी गई आकृति में ABCD एक समांतर चतुर्भुज है। लंब AE की लंबाई क्या है ?

(A) 3 सेमी०
(B) 6 सेमी०
(C) 9 सेमी०
(D) 2 सेमी०।
उत्तर –
(A) 3 सेमी०

प्रश्न 2.
E, F, G और H समांतर चतुर्भुज ABCD की भुजाओं के मध्य बिंदु है।
तब क्षे० (EFGH) = ………. :

(A) \(\frac {1}{3}\) से (ABCD)
(B) क्षे० (ABCD)
(C) \(\frac {1}{2}\)क्षे० (ABCD)
(D) \(\frac {1}{4}\)क्षे० (ABCD).
उत्तर –
(C) \(\frac {1}{2}\)क्षे० (ABCD)

प्रश्न 3.
दी गई आकृति में ABCD एक समांतर चतुर्भुज है। ABE एक त्रिभुज है। यदि AB || CE हो और क्षे० (ABCD) = 60 सेमी०² हो तो ΔABE का क्षेत्रफल क्या है ?

(A) 60 सेमी²
(B) 30 सेमी०²
(C) 120 सेमी०²
(D) 50 सेमी०² ।
उत्तर –
(B) 30 सेमी०²

प्रश्न 4.
ΔABC की माध्यिका AD पर बिंदु E है। यदि क्षे० (ΔABE) = 10 सेमी०² तब क्षे० (ΔACE) है :

(A) 20 सेमी०²
(B) 5 सेमी०²
(C) 30 सेमी०²
(D) 10 सेमी०²
उत्तर –
(D) 10 सेमी०²

प्रश्न 5.
समलंब चतुर्भुज ABCD में AB || DC है। यदि क्षे० (AOD) = 15 सेमी०² तब क्षे० (BOC) है :
(A) 30 सेमी०²
(B) 15 सेमी०²
(C) 10 सेमी०²
(D) 7.5 सेमी.² ।

उत्तर –
(B) 15 सेमी०²

प्रश्न 6.
एक त्रिभुज की माध्यिका उसे विभाजित करती है,
(A) बराबर क्षेत्रफल वाले त्रिभुजों में
(B) सर्वांगसम त्रिभुजों में
(C) समकोण त्रिभुजों में
(D) समद्विबाहु त्रिभुजों में
उत्तर –
(A) बराबर क्षेत्रफल वाले त्रिभुजों में

प्रश्न 7.
निम्नलिखित आकृतियों में से किसमें आप एक ही आधार पर और एक ही समांतर रेखाओं के बीच, बने दो बहुभुज प्राप्त होते हैं :

उत्तर –

प्रश्न 8.
8cm और 6 cm भुजाओं वाले एक आयत की आसन्न भुजाओं के मध्य-बिन्दुओं को मिलाने से बनी आकृति है :
(A) 24 cm² क्षेत्रफल का एक आयात
(B) 25 cm² क्षेत्रफल का एक वर्ग
(C) 24 cm² क्षेत्रफल का एक समलंब
(D) 24 cm² क्षेत्रफल का एक समचतुर्भुज
उत्तर –
(D) 24 cm² क्षेत्रफल का एक समचतुर्भुज

प्रश्न 9.
आकृति में, समांतर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल हैं :
(A) AB × BM
(B) BC × BN
(C) DC × DL
(D) AD × DL

उत्तर –
(C) DC × DL

प्रश्न 10.
आकृति में, यदि समांतर चतुर्भुज ABCD और आयत AREM समान क्षेत्रफल के हैं, तो :
(A) ABCD का परिमाप = ABEM का परिमाप
(B) ABCD का परिमाप < AREM का परिमाप
(C) ABCD का परिमाप > ABEM का परिमाप
(D) ABCD का परिमाप = \(\frac {1}{2}\)(ABEM का परिमाप)

उत्तर –
(C) ABCD का परिमाप > ABEM का परिमाप

प्रश्न 11.
एक त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिंदु किसी भी एक शीर्ष को चौथा बिंदु लेकर एक समांतर चतुर्भुज बनाते हैं, जिसका क्षेत्रफल बराबर है :
(A) \(\frac {1}{2}\)ar (ABC)
(B) \(\frac {1}{3}\)ar (ABC)
(C) \(\frac {1}{4}\)ar (ABC)
(D) ar (ABC)
उत्तर –
(A) \(\frac {1}{2}\)ar (ABC)

प्रश्न 12.
दो समांतर चतुर्भुज बराबर आधारों पर और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित हैं। उनके क्षेत्रफलों का अनुपात है।
(A) 1 : 2
(B) 1 : 1
(C) 2 : 1
(D) 3 : 1.
उत्तर –
(B) 1 : 1

प्रश्न 13.
ABCD एक चतुर्भुज है जिसका विकर्ण AC उसे बराबर क्षेत्रफल वाले दो भागों में विभाजित करता है। तब, ABCD
(A) एक आयत है
(B) सदैव एक समचतुर्भुज है
(C) एक समांतर चतुर्भुज है।
(D) (A), (B) या (C) में से कोई भी होना आवश्यक नहीं।
उत्तर –
(D) (A), (B) या (C) में से कोई भी होना आवश्यक नहीं।

प्रश्न 14.
एक त्रिभुज और एक समांतर चतुर्भुज एक ही आधार पर और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित हैं, तो त्रिभुज के क्षेत्रफल का समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल से अनुपात है।
(A) 1 : 3
(B) 1 : 2
(C) 3 : 1
(D) 1 : 4
उत्तर –
(B) 1 : 2

प्रश्न 15.
ABCD एक समलंब है जिसकी समांतर भुजाएँ AB = a cm और DC = bcm है। E और F असमांतर भुजाओं के मध्य-बिंदु हैं। ar (ABFE) और ar (EFCD) का अनुपात है।
(A) ab
(B) (3a + b) : (a + 3b)
(C) (a + 3b) : (3a + 3b)
(D) (2a + b) : (3a + b)

उत्तर –
(B) (3a + b) : (a + 3b)

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 9 समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Ex 9.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 9 समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Ex 9.4

प्रश्न 1.
समांतर चतुर्भुज ABCD और आयत ABEF एक ही आधार AB पर स्थित हैं और उनके क्षेत्रफल बराबर हैं। दर्शाइए कि समांतर चतुर्भुज का परिमाप आयत के परिमाप से अधिक है।
हल:
दिया है : समांतर चतुर्भुज ABCD और आयत ABEF एक ही आधार AB पर और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित हैं।
ar (|| gm ABCD) = ar (आयत ABEF)
सिद्ध करना है: AB + BC + CD + AD > AB + BE + EF + AE.

उपपत्ति – AB = CD. [∵ चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।]
AB = EF [∵ चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती है।]
CD = EF ………..(1)
(1) के दोनों ओर AB जोड़ने पर
AB + CD = AB + EF ………(2)
∴ किसी बिंदु से जो दी हुई रेखा पर स्थित नहीं है, रेखा तक खींचे गए सभी रेखाखंडों में से लांबिक रेखाखंड सबसे छोटा होता है।
∴ BE < BC |
और AF < ADI या, BC > BE
और AD> AF
∴ BC + AD > BE + AF …….(3)
(2) और (3) से हमें प्राप्त होता है
AB + BC + CD + AF > AB + BE + EF + AF.
इति सिद्धम्

प्रश्न 2.
आकृति में भुजा BC पर दो बिंदु D और E इस प्रकार स्थित हैं कि BD = DE = EC है। दर्शाइए कि ar (ABD) = ar (ADE) = ar (AEC) है।।
क्या आप अब उस प्रश्न का उत्तर दे सकतें हैं, जो आपने इस अध्याय की भूमिका में छोड़ दिया था। कि “क्या बुधिया का खेत वास्तव में बराबर क्षेत्रफलों वाले तीन भागों में विभाजित हो गया है” ?

हल:
ΔABC में, बिंदु D और E, BC को तीन बराबर भागों में इस प्रकार विभाजित करते हैं कि
BD = DE = EC है।
∴ BD = DE = EC = \(\frac {1}{3}\)BC
AF ⊥ BC खींचिए।
ar (ΔABC) = \(\frac {1}{2}\)BC × AF ………..(i)
[∵ त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\frac {1}{2}\)आधार × लम्ब]
ar (ΔABD) = \(\frac {1}{2}\) × BD × AF
= \(\frac {1}{3}\) × \(\frac {BC}{3}\) × AF
[∵ BD = \(\frac {1}{3}\)BC]
= \(\frac {1}{3}\) [\(\frac {1}{2}\) × BC × AF]
= \(\frac {1}{3}\) ar (ΔABC) ………..(ii)
इसी प्रकार, ar (ΔADE) = \(\frac {1}{3}\)ar (ΔABC) ………..(iii)
और ar (ΔAEC) = \(\frac {1}{3}\)ar (ΔABC) ….(iv)
(ii), (iii) और (iv) से हमें प्राप्त होता है :
ar (ΔABD) = ar (ΔADE) = ar (ΔAEC)
इति सिद्धम्

[टिप्पणी : ध्यान दीजिए कि यदि BD = DE = EC, लें तो ΔABC बराबर क्षेत्रफलों वाले तीन त्रिभुजों ABD, ADE और AEC में विभाजित हो जाता है। इसी प्रकार, BC को बराबर भागों में विभाजित करके और इस भुजा को विभाजित करने वाले बिंदुओं को सम्मुख शीर्ष A से मिलाकर हम इस त्रिभुज को बराबर क्षेत्रफलों वाले । त्रिभुजों में विभाजित कर सकते हैं।]

प्रश्न 3.
आकृति में, ABCD, DCFE और ABFE समांतर चतुर्भुज है। दर्शाइए कि
ar (ADE) = ar (BCF) है।
हल:
जैसा कि हम जानते हैं कि समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।

∴ समांतर चतुर्भुज ABFE में,
AE = BF और AB = EF
||gm DCFE में,
DE = CF और DC = EF
||gm ABCD में,
AD = BC और AB = DC
अब, ΔADE और ΔBCF में,
AE = BF [|| gm ABFE की सम्मुख भुजाएँ]
DE = CF [|| gm DCFE की सम्मुख भुजाएँ।
और AD = BC [|| gm of ABCD की सम्मुख भुजाएँ।
∴ ΔADE ≅ ΔBCF
[SSS सांगसमता नियम]
इसलिए, ar (ΔADE) = ar (ΔBCF) [∵ दो सर्वांगसम आकृतियों का क्षेत्रफल सदैव बराबर होता है।]

प्रश्न 4.
आकृति में, ABCD एक समांतर चतुर्भुज है और BC को एक बिंदु Q तक इस प्रकार बढ़ाया गया है कि AD = CQ है। यदि AQ भुजा DC को P पर प्रतिच्छेद करती है, तो दर्शाइए कि ar (BPC) = ar (DPO) है।
हल :
A और C मिलाइए
ΔAPC और ΔBPC एक ही आधार PC पर तथा एक ही समांतर रेखाओं PC और AB के बीच स्थित हैं।
∴ ar (ΔAPC) = ar (ΔBPC) … (1)

ACBD एक समांतर चतुर्भुज है।
∴ AD = BC [∵ समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।]
साथ ही, BC = CQ (दिया है)
∴ AD = CQ
अब, AD || CQ
[∵ CQ, बढ़ी हुई BC है]
और
AD = CQ
∴ ADQC एक समांतर चतुर्भुज है।
[∵ यदि चतुर्भुज को सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समांतर हो, तो वह समांतर चतुर्भुज होती हैं।]
क्योंकि ||gm के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं।
∴ AP = PQ और CP = DP
अब, ΔAPC और ΔDPQ
AP = PQ (ऊपर सिद्ध किया है)
∠APC = ∠DPQ (शीर्षाभिमुख कोण)
PC = PD(ऊपर सिद्ध किया गया है)
∴ ΔAPC ≅ ΔDPQ …(2)
⇒ ar (ΔAPC) = ar (ΔDPQ) [∵ सर्वांगसम आकृतियों का क्षेत्रफल सदैव बराबर होता है]
(1) और (2) से हमें प्राप्त होता है ।
ar (ΔBPC) = ar (ΔDPQ) इति सिद्धम्

प्रश्न 5.
आकृति में, ABC और BDE दो समबाहु त्रिभुज इस प्रकार हैं कि D भुजा BC का मध्य-बिंदु है। यदि AE भुजा BC कोF पर प्रतिच्छेद करती है, तो दर्शाइए कि
(i) ar (BDE) = \(\frac {1}{4}\) ar (ABC)
(ii) ar (BDE) = \(\frac {1}{2}\)ar (BAE)
(iii) ar (ARC) = 2ar (BEC)
(iv) ar (BFE) = ar (AFD)
(v) ar (BFE) = 2ar (FED)
(vi) ar (FED) = \(\frac {1}{8}\) ar (AFC)

हल:
EC और AD को मिलाइए।
ΔABC एक समबाहु त्रिभुज है।
∴ ∠A = ∠B = ∠C = 60°
ΔBDE भी एक समबाहु त्रिभुज है।
∴ ∠B = ∠D = ∠E = 60°
यदि हम दो रेखाएँ AC और BE तथा BC को तिर्यक रेखा लें,
∠B = ∠C
[(प्रत्येक = 60°) एकांतर कोण]
⇒ BE || AC [∵ जब एकांतर कोण बराबर होते हैं तो रेखाएँ समांतर होती हैं।]
इसी प्रकार, रेखाओं AB और DE तथा BF तिर्यक रेखा के लिए ∠B = ∠D
(प्रत्येक = 60°) [एकांतर कोण]
∴ AB || DE
(i) समबाहु त्रिभुज BDE का क्षेत्रफल
= \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) (BD)²
[∵ समबाहु Δ का क्षेत्रफल = \(\frac{\sqrt{3}}{4}\)(भुजा)²] ………..(1)
समबाहु ΔABC का क्षेत्रफल
= \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) (BC)² ………..(2)
(1) को (2) से भाग देने पर हम प्राप्त करते हैं

[∵ दिया है कि D, BC का मध्य-बिंदु है।
∴ BD = DC
अब, BC = BD + DC
⇒ BC = BD + BD
⇒ BC = 2BD]
या, ar (ΔBDE) = \(\frac{\sqrt{1}}{4}\)ar (ΔABC)

(ii) ΔBEC में, ED माध्यिका है।
∴ ar (ΔBDE) = \(\frac{\sqrt{1}}{2}\)ar (ΔBEC) …… (3)
[∵ माध्यिका त्रिभुज को बराबर क्षेत्रफलों वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।]
हमें प्राप्त है : BE || AC.
इसलिए ΔBEC और ΔBAE एक ही आधार BE तथा एक ही समांतर रेखाओं BE और AC के बीच स्थित है।
∴ ar (ABEC) = ar (ABAE) … (4)
(4) को (3) में प्रयोग करने पर हमें प्राप्त होता है
ar (ΔBDE) = \(\frac{\sqrt{1}}{2}\)ar (ΔBAE)
(iii) क्योंकि ED त्रिभुज BEC की एक माध्यिका है।
∴ ar (BDE) = \(\frac{\sqrt{1}}{2}\)ar (BEC)
भाग (i) से, ar (BDE) = \(\frac{\sqrt{1}}{4}\)ar (ABC)
∴ \(\frac{\sqrt{1}}{4}\)ar (ABC) = \(\frac{\sqrt{1}}{2}\)ar (BEC)
⇒ ar (ABC) = 4 × \(\frac{\sqrt{1}}{2}\)ar (BEC)
अत:, ar (ABC) = 2ar (BEC)

(iv) अब, ∠BDE = ∠ABD = 60° (दिया है)
परंतु ये एकांतर कोण का युग्म है।
∴ AB || DE
अब, ΔBDE और ΔADE एक ही आधार DE तथा समांतर रेखाओं AB और DE के बीच स्थित हैं।
∴ ar (BDE) = ar (ADE)
दोनों ओर से ar (FED) घटाने पर,
ar (BDE) – ar (FED) = ar (ADE) – ar (FED)
ar (BFE) = ar (AFD)

(v) ΔBDE और ΔAED एक ही आधार DE एक ही समांतर रेखाओं DE पर स्थित हैं
ar (ΔBDE) = (ΔAED)
ar (ΔFED) को दोनों पक्षों में से घटाने पर हमें प्राप्त होता है :
ar (ΔBDE) – ar (ΔFED)
= ar (ΔAED) – ar (ΔFED)
⇒ ar(ΔBFE) = ar(ΔAFD) ……… (5)
एक समबाहु त्रिभुज में खीची गई माध्यिका भुजा पर लम्ब भी होती है।
∴ AD ⊥ BC
[∵ AD, ΔABC की माध्यिका है।]
अब, ar (ΔAFD) = \(\frac {1}{2}\) FD × AD ………. (6)
EG ⊥ BC खींचिए।
∴ ar (ΔFED) = \(\frac {1}{2}\)FD × EG … (7)

(6) को (7) से भाग देने पर हमें प्राप्त होता है

⇒ \(\frac {ar (ΔAFD)}{ar (Δ FED)}\) = \(\frac {2BD}{BD}\)
या ar (ΔAFD) = 2ar (Δ FED) …… (8)

(8) को (5) में प्रयोग करने पर हमें प्राप्त होता है।
ar (ΔBFE) = 2 ar (ΔFED)
(vi) ar (ΔAFC) = ar (ΔAFD)+ar (ΔADC)
= 2 ar (ΔFED) + \(\frac {1}{2}\) ar (ΔABC)
[संबंध (8) के प्रयोग करने पर और हम यह भी जानते हैं कि माध्यिका त्रिभुज को बराबर क्षेत्रफलों वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती हैं।]
= 2 ar (ΔFED) + \(\frac {1}{2}\) [4 ar (ΔBDE)]
[भाग (i) के परिणाम को प्रयोग करने पर]
= 2 ar (ΔFED) + 2 ar (ΔBDE)
= 2 ar (ΔFED) + 2 ar(ΔAED)
[∵ ΔBDE और ΔAED एक ही आधार ED तथा एक ही समांतर रेखाओं AB और DE के बीच स्थित हैं]
= 2 ar (ΔFED) + 2 [ar (ΔAFD) + ar (ΔFED)]
= 2 ar (ΔFED) + 2ar (ΔAFD) + 2ar (ΔFED)
= 4 ar (ΔFED) + 2(2 ar (ΔFED)]
[परिणाम को (8) में प्रयोग करने पर] |
= 4 ar (ΔFED) + 4 ar (ΔFED)
⇒ ar (ΔAFC) = 8 ar (ΔFED)
या, 8 ar (ΔFED) = ar (ΔAFC)
⇒ ar (ΔFED) = \(\frac {1}{8}\) ar (ΔAFC)
इति सिद्धम्

प्रश्न 6.
चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD परस्पर बिंदु P पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि ar (APB) × ar (CPD) = ar (APD) × ar (BPC) है।
हल:
दिया है : एक चतुर्भुज ABCD जिसमें विकर्ण AC और BD परस्पर P पर प्रतिच्छेद करते हैं।
सिद्ध करना है:
ar (ΔAPD) × ar (ΔBPC)
= ar (ΔABP) × ar (ΔCDP)
रचना :
A से AM ⊥ BD और C, CN ⊥ BD खींचिए।

उपपत्ति
ar (ΔABP) = F × BP × AM ….(i)
ar (ΔAPD) = \(\frac {1}{2}\) × DP × AM .. (ii)
(ii) को (i), से भाग देने पर हमें प्राप्त होता है

इति सिद्धम्

प्रश्न 7.
P और Q क्रमश: त्रिभुज ABC की भुजाओं AB और BC के मध्य-बिंदु हैं तथा R रेखाखंड AP का मध्य-बिंदु है। दर्शाइए कि
(i) ar (PRQ) = \(\frac {1}{2}\)ar (ARC)
(ii) ar (RQC) = \(\frac {3}{8}\)ar (ABC)
(iii) ar (PBQ) = ar (ARC)
हल:

(i) ΔABC में, P और Q क्रमशः भुजाओं AB और BC के मध्य बिंदु हैं।
AQ और PC को मिलाइए।
QR, त्रिभुज ABQ की माध्यिका है।



= \(\frac {1}{4}\) ar (ABC)
समीकरण (9) और (10) से
ar (PBQ) = ar (ARC)

प्रश्न 8.
आकृति में, ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण A समकोण है। BCED, ACFG और ABMN क्रमश: भुजाओं BC, CA और AB पर बने वर्ग हैं। रेखाखंड AX ⊥ DE भुजा BC को बिंदु Y पर मिलता है। दर्शाइए कि :
(i) ΔMBC ≅ ΔABD
(ii) ar (BYXD) = 2 ar (MBC)
(iii) ar (BYXD) = ar (ABMN)
(iv) ΔFCB ≅ ΔACE
(v) ar (CYXE) = 2 ar (FCB)
(vi) ar (CYXE) = ar (ACFG)
(vii) ar (BCED) = ar (ABMN) + ar (ACFG)

हल :
(i) ΔMBC और ΔABD में,
BC = BD[वर्ग BCED की भुजाएँ]
∠MBC = ∠ABD
[∵ प्रत्येक = 90° + ∠ABC]
MB = AB
[वर्ग ABMN की भुजाएँ]
∴ ΔMBC ≅ ΔABD
[SAS सर्वांगसमता नियम से]

(ii) ΔABD और वर्ग BYXD एक ही आधार BD और एक ही समांतर रेखाओं BD और AX के बीच स्थित हैं।
∴ ar (ADB) = \(\frac {1}{2}\)ar (BYXD)
परंतु ΔMBC ≅ ΔABD
[भाग (i) में सिद्ध किया है।]
⇒ ar (MBC) = ar (ABD)
∴ ar (MBC) = \(\frac {1}{2}\)ar (BYXD) … (1)
⇒ ar (BYXD) = 2ar (MBC)

(iii) ΔMBC और वर्ग ABMN एक ही आधार MB और एक ही समांतर रेखाओं MB और NAC के बीच स्थित है।
∴ ar (MBC) = \(\frac {1}{2}\)ar (ABMN) …(2)
(1) और (2) से,
ar (BYXD) = ar (ABMN)

(iv) ΔFCB और ΔACE में,
CB = CE[वर्ग BCED की भुजाएं]
∠FCB = ∠ACE
[∵ प्रत्येक = 90° + ∠BCA]
FC = AC [वर्ग ACFG की भुजाएं]
∴ ΔFCB ≅ ΔACE
(SAS सर्वांगसमता नियम)

(v) ΔACE और वर्ग CYXE एक ही आधार CE और एक ही समांतर रेखाओं CE और AYX के बीच स्थित हैं।
∴ ar (ACE) = \(\frac {1}{2}\) ar (CYXE)
⇒ \(\frac {1}{2}\) ar (CYXE) = ar (FCB)
⇒ ar (CYXE) = 2ar (FCB)
[भाग (iii) से ΔFCB ≅ ΔACE ]

(vi) वर्ग ACFG और ΔBCF एक ही आधार CF और एक ही समांतर रेखाओं CF और BAG के बीच स्थित है।
∴ ar (BCF) = \(\frac {1}{2}\) ar (ACFG)
साथ ही, ar (FCB) = \(\frac {1}{2}\)ar (CYXE)
⇒ \(\frac {1}{2}\) ar (CYXE) = \(\frac {1}{2}\) ar (ACFG)
⇒ \(\frac {1}{2}\) ar (CYXE) = ar (ACFG)
भाग (iii) से, ar (BYXD) = ar (ABMN)
भाग (vi) से, ar (CYXE) = ar (ACFG)
जोड़ने पर, ar (BYXD) + ar (CYXE) = ar (ABMN) + ar (ACFG)
⇒ ar (BCED) = ar (ABMN) + ar (ACFG)
इति सिद्धम्

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 10 वृत्त Ex 10.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 10 वृत्त Ex 10.2

प्रश्न 1.
याद कीजिए कि दो वृत्त सर्वांगसम होते हैं, यदि उनकी त्रिज्याएँ बराबर हों। सिद्ध कीजिए कि सर्वांगसम वृत्तों की बराबर जीवाएँ उनके केंद्रों पर बराबर कोण अंतरित करती हैं।
हल :
दो वृत्त सर्वांगसम कहे जाते हैं यदि उनमें से एक को दूसरे के ऊपर रखने पर वे एक-दूसरे को पूर्णतया ढक लें।
मान लीजिए C(O, r) और C(O’, s) दो वृत्त हैं। मान लीजिए वृत्त C(O’, s) को C(O, r) के ऊपर इस प्रकार रखते हैं कि O’, O को ढक ले। तब हम सुमगता से देख सकते हैं कि वृत्त C(O’, s) वृत्त C(O, r) को पूर्णतया ढक लेता है। यदि r = s.
अतः, हम कह सकते हैं कि दो वृत्त सर्वांगसम होते हैं यदि उनकी त्रिज्याएँ बराबर हों।
अब, इस धारणा का प्रयोग करते हुए हमने सिद्ध करना है कि दो सर्वांगसम वृत्तों की जीवाएं केंद्र पर बराबर कोण अंतरित करती हैं। इसे इस प्रकार सिद्ध कर सकते हैं :

दिया है : PQ और RS सर्वांगसम वृत्तों C(O, r) और C'(O’ r) की बराबर जीवाएँ हैं।

सिद्ध करना है : ∠POQ = ∠RO’S
उपपत्ति : त्रिभुजों POQ और RO’S में,
(देखिए आकृति)
OP = OQ = O’R = O’S
= r (त्रिज्या) PQ = RS (दिया है)
∴ ΔPOQ ≅ ΔRO’S
(SSS सर्वांगसमता नियम)
∴ ∠POQ = ∠RO’S
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)

प्रश्न 2.
सिद्ध कीजिए कि यदि सर्वांगसम वृत्तों की जीवाएँ उनके केंद्रों पर बराबर कोण अंतरित करें, तो जीवाएँ बराबर होती हैं।
हल :
दिया है : दो जीवाएँ PQ और RS इस प्रकार हैं कि | दो सर्वांगसम वृत्तों C(O, r) और C'(O’, r)
∠POQ = ∠RO’S
सिद्ध करना है : PQ = RS
उपपत्ति: ΔPOQ और ΔRO’S में, (आकृति देखिए)

OP = OQ = O’R = O’S = r (त्रिज्या)
∠POQ = ∠RO’S (दिया है)
∴ ΔPOQ ≅ ΔRO’S
(SAS सर्वांगसमता नियम)
∴ PQ = RS
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 10 वृत्त Ex 10.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 10 वृत्त Ex 10.1

प्रश्न 1.
खाली स्थान भरिए :
(i) वृत्त का केंद्र वृत्त के ……………… में स्थित है। (बर्हि भाग/अभ्यंतर)
(ii) एक बिंद, जिसकी वृत्त के केंद्र से दूरी त्रिज्या से अधिक हो, वृत्त के ……………. में स्थिर होता है। (बर्हिभाग/अभ्यंतर)
(iii) वृत्त की सबसे बड़ी जीवा वृत्त का …………… होता है।
(iv) एक चाप ………………. होता है, जब इसके सिरे एक व्यास के सिरे हों।
(v) वृत्ताखंड एक चाप तथा ……………….. के बीच का भाग होता है।
(vi) एक वृत्त, जिस तल पर स्थित है, उसे ………………… भागों में विभाजित करता है।
हल :
(i) अभ्यंतर
(ii) बर्हिभाग
(iii) व्यास
(iv) अर्धवृत्त
(v) जीवा
(vi) तीन।

प्रश्न 2.
लिखिए, सत्य या असत्य। अपने उत्तर के कारण दीजिए :
(i) केंद्र को वृत्त पर किसी बिंदु से मिलाने वाला रेखाखंड वृत्त की त्रिज्या होती है।
(ii) एक वृत्त में समान लंबाई की परिमित जीवाएँ होती हैं।
(iii) यदि एक वृत्त को तीन बराबर चापों में बांट दिया जाए, तो प्रत्येक भाग दीर्घ चाप होता है।
(iv) वृत्त की एक जीवा, जिसकी लंबाई त्रिज्या से दो गुनी हो, वृत्त का व्यास है।
(v) त्रिज्यखंड, जीवा एवं संगत चाप के बीच का क्षेत्र होता है।
(vi) वृत्त एक समतल आकृति है।
हल :
(i) सत्य
(ii) असत्य
सही कथन : एक वृत्त में समान लंबाई की अपरिमित जीवाएँ होती हैं।
(iii) असत्य
(iv) सत्य
(v) असत्य
सही कथन : वृत्त का वृत्तखंड जीवा एवं संगत चाप के बीच का क्षेत्र होता है।
(vi) सत्य

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 11 रचनाएँ MCQ Questions with Answers.

PSEB 9th Class Maths Chapter 11 रचनाएँ MCQ Questions

बहुविकल्पीय प्रश्न :

दिये गए चार विकल्पों में से सही उत्तर का चयन करें।

प्रश्न 1.
सेट-स्कवायर के युग्म में एक के कोण होते हैं :
(A) 30°, 60°, 90°
(B) 30°, 30°, 45°
(C) 75°, 25°, 80°
(D) 65°, 15°, 100°.
उत्तर:
(A) 30°, 60°, 90°

प्रश्न 2.
सेट-स्कवायर के युग्म में दूसरे के कोण होते हैं :
(A) 45°, 45°, 90°
(B) 30°, 50°, 100°
(C) 60°, 60°, 60°
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर:
(A) 45°, 45°, 90°

प्रश्न 3.
किसी रेखाखंड AB का लंब समद्विभाजक खींचने के लिए हम चाप लगाने के लिए परकार-
(A) \(\frac{1}{2}\)AB से अधिक खोलते हैं
(B) \(\frac{1}{2}\)AB से कम खोलते हैं
(C) AB के बराबर खोलते हैं
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर:
(A) \(\frac{1}{2}\)AB से अधिक खोलते हैं

प्रश्न 4.
22\(\frac{1}{2}\)° के कोण की रचना करने के लिए हम-
(A) 60° के कोण का समद्विभाजन करते हैं।
(B) 30° के कोण का समद्विभाजन करते हैं।
(C) 45° के कोण का समदविभाजन करते हैं।
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर:
(C) 45° के कोण का समदविभाजन करते हैं।

प्रश्न 5.
किसी त्रिभुज की रचना के लिए उसके कम-से कम ……….. भाग दिए होने चाहिएं।
(A) दो
(B) एक
(C) तीन
(D) पाँच।
उत्तर:
(C) तीन

प्रश्न 6.
निम्न में किस स्थिति में त्रिभुज की रचना सम्भव नहीं है ?
(A) यदि दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण न दिया हो ?
(B) यदि दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण दिया हो
(C) तीनों भुजाएँ दी गई हों।
(D) दो कोण और बीच की भुजाएँ दी गई हों।
उत्तर:
(A) यदि दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण न दिया हो ?

प्रश्न 7.
त्रिभुज ABC की रचना सम्भव नहीं होगी यदि-
(A) AB + AC < BC
(B) AB + AC = BC
(C) A और B दोनों
(D) AB + AC > BC.
उत्तर:
(C) A और B दोनों

प्रश्न 8.
पटरी और परकर की सहायता से निम्नलिखित कोण की रचना करना संभव नहीं है-
(A) 37.5°
(B) 40°
(C) 22.5°
(D) 67.5°.
उत्तर:
(B) 40°

प्रश्न 9.
एक त्रिभुज ABC, जिसमें BC = 6 cm और ∠B = 45° दिया है,की रचना संभव नहीं है, यदि AB और AC का अंतर है-
(A) 6.9 cm
(B) 5.2 cm
(C) 5.0 cm
(D) 4.0 cm.
उत्तर:
(A) 6.9 cm

प्रश्न 10.
एक त्रिभुज ABC, जिसमें BC = 3 cm और ∠C = 60° है, की रचना संभव है जब AB और AC अंतर बराबर है-
(A) 3.2 cm
(B) 3.1 cm
(C) 3 cm
(D) 2.8 cm.
उत्तर:
(D) 2.8 cm.