Punjab State Board PSEB 8th Class Maths Book Solutions Chapter 14 ਗੁਣਨਖੰਡੀਕਰਨ Ex 14.2 Textbook Exercise Questions and Answers.
PSEB Solutions for Class 8 Maths Chapter 14 ਗੁਣਨਖੰਡੀਕਰਨ Exercise 14.2
1. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਵਿਅੰਜਕਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਉ :
ਪ੍ਰਸ਼ਨ (i).
a2 + 8a + 16
ਹੱਲ:
a2 + 8a + 16
ਇਸਦੀ ਤੁਲਨਾ : x2 + (a + b)x + ab ਨਾਲ ਕਰਨ ਤੇ
ਇੱਥੇ ab = 16 ਅਤੇ a + b = 8.
∴ ਇਸਦੀ ਤੁਲਨਾ ਨਾਲ ; a = 4 ਅਤੇ b = 4.
ਇਸ ਲਈ (a2 + 8a + 16) ਅਤੇ (a + 4) ਅਤੇ (b + 4)
∴ a2 + 8a + 16 = (a + 4) (a + 4) = (a + 4)2
ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ii).
p2 – 10p + 25
ਹੱਲ:
p2 – 10p + 25
ਇਸਦੀ ਤੁਲਨਾ : x2 + (a + b)x + ab ਨਾਲ ਕਰਨ ਤੇ,
ਇੱਥੇ ab = 25 ਅਤੇ (a + b) = – 10
ਇਸਦੇ ਲਈ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ ; a = – 5 ਅਤੇ b = – 5
∴ p2 – 10p + 25 = p2 + (-5 – 5) p + 25
= p2 – 5p – 5p + 25
= p (p – 5) – 5 (p – 5).
= p – 5) (p – 5)
= (p – 5)2 = (p – 5)2
ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iii).
25m2 + 30m + 9
ਹੱਲ:
25m2 + 30m +9
ਇੱਥੇ, ਅਸੀਂ (25 × 9) (ਅਰਥਾਤ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਦੇ ਗੁਣਾਂ × ਅਖਿਰੀ ਪਦ) ਦੇ ਇਹੋ ਜਿਹੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦਾ ਪਤਾ ਕਰਨਾ ਹੈ ਜਿਹਨਾਂ ਦਾ ਜੋੜ 30 ਹੋਵੇ ।
∴ 25m2 + 30m + 9 = 25m2 + (15 + 15) m + 9
= 25m2 + 15m + 15m + 9
= 5m (5m + 3) + 3(5m + 3)
= (5m + 3) (5m + 3)
= (5m – 3)2
ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iv).
49y2 + 84yz + 36z2
ਹੱਲ:
49y2 + 84yz + 36z2
ਇੱਥੇ, ਸਾਨੂੰ 49 × 36 (ਅਰਥਾਤ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਦੇ ਗਣਾਂਕ × ਆਖਰੀ ਪਦ) ਦੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾ ਦਾ ਪਤਾ ਕਰਨਾ ਹੈ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਜੋੜ 84 ਹੋਵੇ ।
∴ 49y2 + 84yz + 36z2 = 49y2 + 42yz + 42yz + 36z2
= 7y (7y + 6z) + 6z(7y + 6z)
= (7y + 6z) (7y + 6)
= (7y + 6z)2
ਪ੍ਰਸ਼ਨ (v).
4x2 – 8x + 4
ਹੱਲ:
4x2 – 3x + 4
ਇੱਥੇ, ਅਸੀਂ 4 × 4 (ਅਰਥਾਤ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕ × ਆਖਰੀ ਪਦ) ਦੇ ਅਜਿਹੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦਾ ਪਤਾ ਕਰਨਾ ਹੈ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਜੋੜ – 8 ਹੋਵੇ ।
∴ 4x2 – 8x + 4 = 4x2 – 4x – 4x + 4
= 4x (x – 1) – 4 (x – 1)
= (4x – 4) (x – 1)
= 4 (x – 1) (x – 1)
= 4(x – 1)2
ਪ੍ਰਸ਼ਨ (vi).
121b2 – 88bc + 16c2
ਹੱਲ:
121b2 – 88bc + 16c2
ਇੱਥੇ, ਅਸੀਂ 121 × 16 (ਅਰਥਾਤ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕ × ਆਖਰੀ ਪਦ) ਦੇ ਅਜਿਹੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦਾ ਪਤਾ ਕਰਨਾ ਹੈ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਜੋੜ – 88 ਹੋਵੇ ।
∴ 121b2 – 88bc + 16c2 = 121b2 – 44bc – 44bc + 16c2
= 11b (11b – 4c) – 4c(11b – 4c)
= (11b – 4c) (11b – 4c)
= (11b -4c)2
ਪ੍ਰਸ਼ਨ (vii).
(l + m)2 – 4lm
ਹੱਲ:
(l + m)2 – 4lm
ਇੱਥੇ, ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾ (l + m)2 ਨੂੰ ਵਿਸਤਰਿਤ ਕਰਨਾ ਹੈ :
∴ (l + m)2 – 4lm = l2 + 2lm + m2 – 4lm
= l2 – 2lm + m2
= l2 – lm – lm + m2
= l(l – m) – m (l – m)
= (l – m) (l – m) = (l – m)2
ਪ੍ਰਸ਼ਨ (viii).
a4 + 2a2b2 + b4
ਹੱਲ:
a4 + 2a2b2 + b4
a4 + 2a2b2 + b4 = a4 + a2b2 + a2b2 + b4
= a2(a2 + b2) + b2(a2 + b2)
= (a2 + b2) (a2 + b2)
= (a2 + b2
2. ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਉ :
ਪ੍ਰਸ਼ਨ (i).
4p2 – 9q2
ਹੱਲ:
4p2 – 9q2
= (2p)2 – (3q)2
[∵ (a2 – b2) = (a + b) (a – b)]
= (2p + 3q) (2p – 3q)
ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ii).
63a2 – 112b2
ਹੱਲ:
63a2 – 112b2
= 7 (9a2 – 16b2)
= 7 [(3a)2 – (4b)2]
[∵ (a2 – b2) = (a + b) (a – b)]
= 7 (3a + 4b) (3a – 4b)
ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iii).
49x2 – 36
ਹੱਲ:
49x2 – 36
= (7x)2 – (6)2
[∵ (a2 – b2) = (a + b) (a – b)]
= (7x + 6) (7x – 6).
ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iv).
16x5 – 144x3
ਹੱਲ:
16x5 – 144x2
= 16x3(x2 – 9)
= 16x3 (x2 – 32)
[∵ (a2 – b2) = (a + b) (a – b)]
= 16x3(x + 3) (x – 3)
ਪ੍ਰਸ਼ਨ (v).
(l + m)2 – (l – m)2
ਹੱਲ:
(l + m)2 – (l – m)2
[∵ (a2 – b2) = (a + b) (a – b)]
= (l + m + l – m) (l + m – l + m)
= (2l) (2m)
= 4lm
ਪ੍ਰਸ਼ਨ (vi).
9x2y2 – 16
ਹੱਲ:
9x2y2 – 16
= (3xy)2 – (4)2
[∵ (a2 – b2) = (a + b) (a – b)]
= (3xy + 4)(3xy – 4)
ਪ੍ਰਸ਼ਨ (vii).
(x2 – 2xy + y2) – z2
ਹੱਲ:
(x2 – 2xy + y2) – z2
= (x2 – xy – xy + y2) – z2
= [x (x – y) – y (x – y)] – z2
= [(x – y) (x – y)] – z2
= (x – y)2 – z2
[∵ (a2 – b2) = (a + b) (a – b)]
= (x – y + z) (x – y – z)
ਪ੍ਰਸ਼ਨ (viii).
25a2 – 4b2 + 28bc – 49c2.
ਹੱਲ:
25a2 – 4b2 + 28bc – 49c2
= 25a2 – (4b2 – 28bc + 49c2)
= 25a2 – [4b2 – 14bc – 14bc + 49c2]
= 25a2 – [2b (2b – 7c) – 7c (2b – 7c)]
= 25a2 – [(2b – 7c) (2b – 7c)]
= 25a2 – (2b – 7c)2
[∵ a2 – b2 = (a + b) (a – b)]
= (5a)2 – (2b – 7c)2
= (5a + 2b – 7c) (5a – 2b + 7c).
3. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਵਿਅੰਜਕਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਉ :
ਪ੍ਰਸ਼ਨ (i).
ax2 + bx
ਹੱਲ:
ax2 + bx
= x (ax + b).
ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ii).
7p2 + 21q2
ਹੱਲ:
7p2 + 21q2
= 7 (p2 + 3q2)
ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iii).
2x3 + 2xy2 + 2xz2
ਹੱਲ:
2x3 + 2xy2 + 2xz2
= 2x (x2 + y2 + z2)
ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iv).
am2 + bm2 + bn2 + an2
ਹੱਲ:
am2 + bm2 + bn2 + an2
= m2(a + b) + n2(b + a)
= (a + b) (m2 + n2)
ਪ੍ਰਸ਼ਨ (v).
(lm + l) + (m + 1)
ਹੱਲ:
(lm + l) + (m + 1)
= l(m + 1) + 1(m + 1)
= (m + 1) (l + 1)
ਪ੍ਰਸ਼ਨ (vi).
y (y + z) + 9 (y + z)
ਹੱਲ:
y (y + z) + 9 (y + z)
= (y + z) (y + 9)
ਪ੍ਰਸ਼ਨ (vii).
5y2 – 20y – 8z + 2yz.
ਹੱਲ:
5y2 – 20y – 8z + 2yz .
= 5y (y – 4) + 2z (- 4 + y)
= 5y (y – 4) + 2z (y – 4)
= (y – 4) (5y + 2z)
ਪ੍ਰਸ਼ਨ (viii).
10ab + 4a + 5b + 2
ਹੱਲ:
10ab + 4a + 5b + 2
= 2a (5b + 2) + 1 (5b + 2)
= (5b + 2) (2a + 1)
ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ix).
6xy – 4y + 6 – 9x.
ਹੱਲ:
6xy – 4y + 6 – 9x
= 2y (3x – 2) + 3 (2 – 3x)
= 2y (3x – 2) – 3 (3x – 2)
= (3x – 2) (2y – 3)
4. ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਉ :
ਪ੍ਰਸ਼ਨ (i).
a4 – b4
ਹੱਲ:
a4 – b4
∴ a4 – b4 = (a2)2 – (b2)2
[∵ (a2 – b2) = (a + b) (a – b)]
= (a2 + b2) (a2 – b2)
= (a2 + b2) (a + b) (a – b)
ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ii).
p4 – 81
ਹੱਲ:
p4 – 81
∴ p4 – 81 = (p2)2 – (9)2
[∵ (a2 – b2) = (a + b) (a – b)]
= (p2 + 9) (p2 – 9)
= (p2 + 9) (p2 – 32)
= (p2 + 9) (p + 3) (p – 3).
ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iii).
x4 – (y + z)4
ਹੱਲ:
x4 – (y + z)4
∴ x4 – (y + z)4 = (x2)2 – [(y + z)2]2
[∵ (a2 – b2) = (a + b) (a – b)]
= [x2 + (y + z)2] [x2 – (y + z)2]
= [x2 + y2 + z2 + 2yz] [(x + y + z)(x – y – z)]
= [x2 + (y + z)2] (x – y = z) (x + y + z)
ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iv).
x4 – (x – z)4
ਹੱਲ:
x4 – (x – z)4
∴ x4 – (x – z)4 = (x2)2 – ((x – z)2)2
[∵ (a2 – b2) = (a + b)(a – b)]
= [x2 + (x – z)2] . [x2 – (x – z)2]
= (x2 + x2 – 2xz + z2) [(x + x – z)(x – x + z)]
= (2x2 – 2x + z2) (2x – z) (z)
ਪ੍ਰਸ਼ਨ (v).
a4 – 2a2b2 + b4.
ਹੱਲ:
a4 – 2a2b2 + b4
∴ a4 – 2a2b2 + b4 = (a2)2 – a2b2 – a2b2 + (b2)2
= a2(a2 – b2) – b2(a2 – b2)
= (a2 – b2) (a2 – b2)
[∵ (a2 – b2) = (a + b) (a – b)]
= (a + b) (a – b) (a + b) (a – b)
= (a – b)2 (a + b)2
5. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਵਿਅੰਜਕਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਉ :
ਪ੍ਰਸ਼ਨ (i).
p2 + 6p + 8
ਹੱਲ:
p2 + 6p + 8
ਵਰਗ ਪੂਰਾ ਕਰਨ ਦੇ ਲਈ ਸਾਨੂੰ, (\(\frac{1}{2}\) x ਦਾ ਗੁਣਜ)2 ਅਰਥਾਤ (\(\frac{1}{2}\) ਦਾ ਗੁਣਜ)2, ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਘਟਾਉਂਦੇ ਹਾਂ :
ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿਚ
(\(\frac{1}{2}\) × 6)2 = (3)2 = 9
∴ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਵਿਅੰਜਕ ਵਿਚ 9 ਨੂੰ ਜੋੜੋ ਅਤੇ ਘਟਾਉ।
∵ p2 + 6p + 8 = p2 + 6p + 9 – 9 + 8
= (p)2 + 2(3) (p) + (3)2 – 1
= (p + 3)2 – (1)
[(a2 – b2) = (a + b) (a – b)]
= (p + 3 + 1) (p + 3 – 1)
= (p + 4) (p + 2).
ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ii).
q2 – 10q + 21
ਹੱਲ:
q2 – 10q + 21
ਵਰਗ ਪੂਰਾ ਕਰਨ ਦੇ ਲਈ ਸਾਨੂੰ (\(\frac{1}{2}\) x ਦਾ ਗੁਣਜ)2 ਅਰਥਾਤ (\(\frac{1}{2}\) q ਦਾ ਗੁਣਜ)2, ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਅਤੇ ਘਟਾਉਂਦੇ ਹਾਂ,
ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿਚ,
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਵਿਅੰਜਕ ਵਿਚ [\(\frac{1}{2}\) × (-10)]2 = (-5)2 = 25 ਨੂੰ ਜੋੜੋ ਅਤੇ ਘਟਾਉ ॥
∴ q2 – 10q + 21 = q2 – 10q + 25 – 25 + 21
= (q)2 – 2 (5) q + (5)2 – 4
= (q – 5)2 – (2)2
[∵ (a2 – b2) = (a + b) (a – b)].
= (q – 5 + 2) (q – 5 – 2)
= (q – 3) (q – 7)
ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iii).
p2 + 6p – 16
ਹੱਲ:
p2 + 6p – 16.
ਵਰਗ ਪੂਰਾ ਕਰਨ ਦੇ ਲਈ (\(\frac{1}{2}\) x ਦਾ ਗੁਣਜ)2 ਅਰਥਾਤ (\(\frac{1}{2}\) p ਦਾ ਗੁਣਜ)2, ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਵਿਅੰਜਕ ਵਿਚ (\(\frac{1}{2}\) × 6)2
= (3)2 = 9 ਨੂੰ ਜੋੜੋ ਅਤੇ ਘਟਾਉ ।
∴ p2 + 6p – 16 = p2 + 6p + 9 – 9 – 16
= (p)2 + 2(3) (p) + (3)2 – 25
= (p + 3)2 – (5)2
[∵ (a2 – b2) = (a + b) (a – b)]
= (p + 3 + 5) (p + 3 – 5)
= (p + 8) (p – 2).