Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 10 वृत्त Ex 10.3 Textbook Exercise Questions and Answers.
PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 10 वृत्त Ex 10.3
प्रश्न 1.
वृत्तों के कई जोड़े (युग्म ) खींचिए। प्रत्येक जोड़े में कितने बिंदु उभयनिष्ठ हैं ? उभयनिष्ठ बिंदुओं की अधिकतम संख्या क्या है ?
हल :
आकृति से हम देखते हैं कि जब वृत्तों के विभिन्न युग्म हम खींचते हैं; हरेक युग्म में दो बिंदु (मान लीजिए A और B) उभयनिष्ठ हैं।
उभयनिष्ठ बिंदुओं की अधिकतम संख्या दो है।
मान लीजिए कि दो वृत्त C (O, r) और C (O’ s) परस्पर बिंदु तीन बिंदुओं A, B और C पर प्रतिच्छेद करते हैं।
तब A, B और C असरेख बिंदु हैं।
हम जानते हैं कि तीन असरेख बिंदुओं से होकर एक और केवल एक वृत्त जाता है। इसलिए A, B और C से एक अद्वितीय वृत्त गुजरता है।
⇒ O’O के साथ संपाती है और
जो कि तथ्य का अंतर्विरोध है।
C(O’, s) ≠ C(O, r)
∴ हमारी कल्पना गलत है।
इसलिए दो भिन्न वृत्त एक दूसरे को दो से अधिक बिंदुओं पर प्रतिच्छेदित नहीं कर सकते हैं।
प्रश्न 2.
मान लीजिए आपको एक वृत्त दिया है। एक रचना इसके केंद्र को ज्ञात करने के लिए दीजिए।
हल :
रचना के चरण :
1. वृत्त पर कोई तीन बिंदु A, B और C लीजिए।
2. AB और BC को मिलाइए।
3. AB का लंब समद्विभाजक LM खींचिए।
4. BC का लंब समद्विभाजक PQ खींचिए।
5. मान लीजिए LM और PQ बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं।
तब O वृत्त का केंद्र है।
सत्यापन :
O, AB के लंब समद्विभाजक पर स्थित है।
∴ OA = OB ……. (i)
O, BC के लंब समद्विभाजक पर स्थित है।
∴ OB = OC …… (ii)
(i) और (ii) से हम देखते हैं कि
OA = OB = OC = r (माना)
तीन सरेख बिंदु A, B और C वृत्त के अंदर स्थिति बिंदु O से बराबर दूरी (r) पर हैं
अतः, O वृत्त का केंद्र है।
प्रश्न 3.
यदि दो वृत्त, परस्पर दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करें, तो सिद्ध कीजिए कि उनके केंद्र उभयनिष्ठ जीवा के लंब समद्विभाजक पर स्थित हैं।
हल :
उपपत्ति- मान लीजिए दो वृत्त C (O, r) और C (O’, s) A और B पर प्रतिच्छेद करते हैं। हमने सिद्ध करना है कि OO’ जीवा AB का लंब समद्विभाजक है। इसके लिए हम OA, OB, O’A और O’B को मिलाते हैं (देखिए आकृति)
त्रिभुजों OAO’ और OBO’ में,
OA = OB = r
O’A = O’B = s
और OO’ = OO’
∴ ΔOAO’ ≅ ΔOBO’ (SSS अभिगृहीत)
∴ ∠AOO’ = ∠BOO’
मान लीजिए AB और OO’ का प्रतिच्छेदित बिंदु M है। तब त्रिभुजों AOM और BOM में,
OA = OB
∠AOM = ∠BOM
(∵ ∠AOO’ = ∠AOM और ∠BOO’ = ∠BOM)
और OM = OM
∴ ΔAOM ≅ ΔBOM (SAS अभिगृहीत)
∴ AM = MB …… (i)
और ∠AMO = ∠BMO …… (ii)
अब, ∠AMO + ∠BMO = 180°
(रैखिक युग्म अभिगृहीत)
⇒ ∠AMO + ∠AMO = 180°
⇒ 2∠AMO = 180°
⇒ ∠AMO = \(\frac{180^{\circ}}{2}\)
⇒ ∠AMO = 90°
साथ ही, ∠BMO = 90°
(∵ ∠AMO = ∠BMO)
अब हमें प्राप्त है
AM = MB
∠AMO = ∠BMO = 90°
इससे सिद्ध होता है कि केंद्रों O और O’ को मिलाने वाली रेखा उभयनिष्ठ जीवा के लंब समद्विभाजक पर स्थित है।