PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 12 हीरोन का सूत्र Ex 12.2

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 12 हीरोन का सूत्र Ex 12.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 12 हीरोन का सूत्र Ex 12.2

प्रश्न 1.
एक पार्क चतुर्भुज ABCD के आकार का है, जिसमें ∠C = 90° है, AB = 9 m, BC = 12 m, CD = 5 m और AD = 8 m है। इस पार्क का कितना क्षेत्रफल है ?
हल:

आकृति में यदि हम BD को मिलाते हैं तो हम देखते हैं कि विकर्ण BD चतुर्भुज ABCD को त्रिभुजों
(i) समकोण त्रिभुज BCD (ii) ABD में विभाजित कर देती है।
समकोण ΔBCD, में C पर समकोण है।
इसलिए आधार CD = 5 m
और शीर्षलंब, BC = 12 m
ΔBCD का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) × CD × BC
= \(\frac{1}{2}\) × 5 × 12 m²
= 30 m²
ΔABD; का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए हमें भुजा BD की आवश्यकता है, इसलिए इसे इस प्रकार निकालते है।
समकोण ABCD, में C पर समकोण है।
BD² = CD² + BC²
[पाइथागोरस परिणाम का प्रयोग करने पर]
⇒ BD² = 5² + 12²
= 25 + 144
⇒ BD² = 169
⇒ BD = \(\sqrt{169}\) = \(\sqrt{13 \times 13}\)
= 13 m
ΔABD का परिमाप = (9 + 8 + 13) m
ΔABD का अर्ध-परिमाप = \(\frac{30}{2}\) m
⇒ s = 15 m
हीरोन के सूत्र का प्रयोग करने पर,
ΔABD का क्षेत्रफल

= 6\(\sqrt{35}\) m²
= 6 × 5.92 m²
= 35.5 m² (लगभग)
चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल
= ar (ΔBCD) + ar (ΔABD)
= 30 m² + 35.5 m²
= (30 + 35.5) m²
= 65.5 m²
अतः, चतुर्भुज का क्षेत्रफल 65.5 m² लगभग है।

प्रश्न 2.
एक चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसमें AB = 3 cm, BC = 4 cm, CD = 4 cm, DA = 5 cm और AC = 5 cm हैं।
हल :
चतुर्भुज ABCD; में विकर्ण AC इसे दो त्रिभुजों ΔABC और ΔADC में विभाजित करता है।

ΔABC का परिमाप = (3 + 4 + 5) cm
⇒ 2s = 12 cm
⇒ s = \(\frac{12}{2}\) = 6 cm
हीरोन के सूत्र का प्रयोग करने पर;
ΔABC का क्षेत्रफल

= 2 × 3 cm² = 6 cm²
ΔADC का परिमाप = (4 + 5 + 5) cm
⇒ 2s’ = 14 cm
⇒ s’ = \(\frac{14}{2}\) cm
⇒ s’ = 7 cm
हीरोन के सूत्र को प्रयोग करने पर;
ΔADC का क्षेत्रफल = \(\sqrt{7(7-4)(7-5)(7-5)}\) cm²
= \(\sqrt{7 \times 3 \times 2 \times 2}\) cm²
= 2\(\sqrt{21}\) cm2
= 2 × 4.6 cm² लगभग
= 9.2 cm² लगभग
अब चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = ΔABC का क्षेत्रफल + ΔADC का क्षेत्रफल
= 6 cm² + 9.2 cm²
= (6 + 9.2) cm²
= 15.2 cm² लगभग
अतः, चतुर्भुज ABCD का अभीष्ट क्षेत्रफल 15.2 cm² लगभग है।

प्रश्न 3.
राधा ने एक रंगीन कागज़ से एक हवाईजहाज़ का चित्र बनाया, जैसा कि आकृति में दिखाया गया है। प्रयोग किए गए कागज़ का कुल क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
भाग I का क्षेत्रफल
भाग I एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसकी भुजा 5 cm और 1 cm है।


भाग II का क्षेत्रफल
भाग II एक आयत के रूप में है जिसकी भुजाएँ 6.5 cm और 1 cm है।
भाग II का क्षेत्रफल = 6.5 × 1 = 6.5 cm …. (2)
भाग II का क्षेत्रफल
भाग | एक समलंब के रूप में है जिसकी असमान भुजाएं 1 से० मी० और 2 cm, समान भुजाएं 1 cm की है।

समबाहु त्रिभुज TQS का क्षेत्रफल = \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) × (भुजा)²
= \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) × (1)²
= \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) cm²
समबाहु त्रिभुज TQS का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) × आधार × शीर्षलव
= \(\frac{1}{2}\) × 1 × शीर्षलव
अब, \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) = \(\frac{1}{2}\) × शीर्षलन
या शीर्षलम्ब = \(\frac{2 \times \sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}\) cm
समलम्ब PQRS का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) × (समांतर भुजाओं का योग) × शीर्षलम्ब
= \(\frac{1}{2} \times(1+2) \times \frac{\sqrt{3}}{2}\)
= \(\frac{3}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3 \sqrt{3}}{4}\)
= \(\frac{3 \times 1.732}{4}\)
= 1.3 cm² …. (3)
भाग IV और भाग v का क्षेत्रफल
भाग IV और भाग V एक त्रिभुज के रूप में है जिनकी भुजाएँ 1.5 cm और 6 cm है।
∴ भाग IV का क्षेत्रफल = भाग II का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\) × आधार × शीर्षलव
= \(\frac{1}{2}\) × 1.5 × 6
= 4.5 cm² …. (4)
प्रयोग किए गए कागज़ का क्षेत्रफल = भाग I का क्षेत्रफल + भाग II का क्षेत्रफल + भाग III का क्षेत्रफल + भाग IV का क्षेत्रफल + भाग V का क्षेत्रफल
= (2.5 + 6.5 + 1.3 + 4.5 + 4.5) cm²
[(1), (2), (3), (4) के प्रयोग से]
= 19.3 cm² (लगभग)

प्रश्न 4.
एक त्रिभुज और एक समांतर चतुर्भुज का एक ही आधार है और क्षेत्रफल भी एक ही है। यदि त्रिभुज की भुजाएँ 26 cm, 28 cm और 30 cm हैं तथा समांतर चतुर्भुज 28 cm के आधार पर स्थित है, तो उसकी संगत ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल :
त्रिभुज की भुजाएं 26 cm, 28 cm और 30 cm हैं।
∴ त्रिभुज का परिमाप (2s) = (26 + 28 + 30) cm
⇒ 2s = 84 cm
⇒ अर्ध-परिमाप s = \(\frac{84}{2}\) cm
⇒ s = 42 cm
हीरोन के सूत्र का प्रयोग करने पर;
त्रिभुज का क्षेत्रफल

= 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 7 cm
= 336 cm²
दिया है कि समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = त्रिभुज का क्षेत्रफल
⇒ आधार × संगत ऊँचाई = 336 cm²
⇒ 28 cm × ऊँचाई = 336 cm²
⇒ ऊँचाई = \(\frac{336}{28}\) cm
⇒ ऊँचाई = 12 cm
अतः, समांतर चतुर्भुज की संगत ऊँचाई 12 cm हैं।

प्रश्न 5.
एक समचतुर्भुजाकार घास के खेत में 18 गायों के चरने के लिए घास है। यदि इस समचतुर्भुज की प्रत्येक भुजा 30 m है और बड़ा विकर्ण 48 m है, तो प्रत्येक गाय को चरने के लिए इस घास के खेत का कितना क्षेत्रफल प्राप्त होगा ?
हल :
मान लीजिए समचतुर्भुजाकार खेत ABCD है।

इसलिए इसकी प्रत्येक बराबर भुजा; AB = BC = CD = DA = 30 m
और मान लीजिए इसका बड़ा विकर्ण AC = 48 m विकर्ण AC समचतुर्भुज को दो सर्वांगसम त्रिभुजों
(i) ΔABC और (ii) ΔACD में विभाजित करता है। जैसा कि हम जानते हैं कि दो सर्वांगसम त्रिभुजों का क्षेत्रफल बराबर होता है।
इसलिए ar (AABC) = ar (ΔACD)
अब ΔABC का क्षेत्रफल निकालना ही पर्याप्त है।
जिसकी भुजाएँ AB = BC = 30 m
और AC = 48 m हैं ;
(2s) of ΔABC का परिमाप = (30 + 30 + 48) m
⇒ 2s = 108 m
⇒ अर्ध-परिमाप ; s = \(\frac{108}{2}\)m
⇒ s = 54 m
हीरोन के सूत्र का प्रयोग करने पर; ΔABC त्रिभुज का क्षेत्रफल

= 3 × 6 × 24 m²
= 432 m²
समचतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = AABC का क्षेत्रफल + AACD का क्षेत्रफल
= ar. (ΔABC) + ar. (ΔABC)
[∵ ar. (ΔABC) = ar. (ΔACD]
= 2 ar. (ΔABC)
= 2 × 432 m²
= 864 m²
18 गायों के चरने के लिए प्राप्त क्षेत्रफल = 864 m²
1 गाय के लिए प्राप्त घास का क्षेत्रफल = \(\frac{864}{18}\)m²
= 48 m²
अतः, प्रत्येक गाय को चरने के लिए घास के खेत का 48 cm² क्षेत्रफल प्राप्त होगा।

प्रश्न 6.
दो विभिन्न रंगों के कपड़ों के 10 त्रिभुजाकार टुकड़ों को सीकर एक छाता बनाया गया है ( देखिए आकृति) प्रत्येक टुकड़े के माप 20 cm, 50 cm और 50 cm हैं। छाते में प्रत्येक रंग का कितना कपड़ा लगा है ?

हल :
दो विभिन्न रंगों के कपड़ों के 10 त्रिभुजाकार टुकड़ों में से प्रत्येक टुकड़े का माप 20 cm, 50 cm और 50 cm है।

∴ एक त्रिभुजाकार टुकड़े का परिमाप (2s)
= (20 + 50 + 50) cm
⇒ 2s = 120 cm
अर्ध-परिमाप ; s = \(\frac{120}{2}\)
⇒ s = 60 cm
हीरोन के सूत्र का प्रयोग करने पर,
प्रत्येक त्रिभुजाकार टुकड़े का क्षेत्रफल

प्रश्नानुसार दो विभिन्न रंगों के कपड़ों के 10 त्रिभुजाकार टुकड़े हैं।
इसलिए 5 टुकड़े लाल रंग के और 5 टुकड़े हरे रंग के हैं।
प्रत्येक टुकड़े के लिए अभीष्ट कपडा = 200\(\sqrt{6}\) cm²
∴ लाल टुकड़ों के लिए अभीष्ट कपड़ा
= 5 × 200\(\sqrt{6}\) cm²
= 1000\(\sqrt{6}\) cm²
इसी प्रकार 5 हरे टुकड़ों के लिए अभीष्ट कपड़ा
= 5 × 200\(\sqrt{6}\) cm²
= 1000\(\sqrt{6}\) cm²

प्रश्न 7.
एक पतंग तीन भिन्न-भिन्न शेडों (shades) के कागज़ों से बनी है। इन्हें आकृति में 1, II और III से दर्शाया गया है। पतंग का ऊपरी भाग 32 cm विकर्ण का एक वर्ग है और निचला भाग 6 cm, 6 cm और 8 cm भुजाओं का एक समद्विबाहु त्रिभुज है। ज्ञात कीजिए कि प्रत्येक शेड का कितना कागज़ प्रयुक्त किया गया है।

हल:

शेड I का क्षेत्रफल = शेड II का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\) × 32 × 16 cm
= 256 cm²
शेड III के क्षेत्रफल के लिए
अर्धपरिमाप s = \(\frac{6+6+8}{2}=\frac{20}{2}\) = 10 cm
शेड III का क्षेत्रफल

प्रश्न 8.
फर्श पर एक फूलों का डिज़ाइन 16 त्रिभुजाकार टाइलों से बनाया गया है, जिनमें से प्रत्येक की भुजाएँ 9 cm, 28 cm और 35 cm हैं ( देखिए आकृति)। इन टाइलों को 50 पैसे प्रति cm² की दर से पालिश कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।

हल :
त्रिभुजाकार टाइल की भुजाएँ 9 cm, 28 cm और 35 cm हैं।
टाइल का परिमाप (2s) = (9 + 28 + 35) cm
⇒ 2s = 72 cm
⇒ अर्ध परिमाप ; s = \(\frac{72}{2}\) cm
⇒ s = 36 cm
हीरोन के सूत्र का प्रयोग करने पर,
त्रिभुजाकार टाइल का क्षेत्रफल

= 36\(\sqrt{6}\) cm²
= 36 × 2.45 cm² लगभग
= 88.2 cm² लगभग
हमें प्राप्त है, एक टाइल का क्षेत्रफल = 88.2 cm लगभग
∴ 16 टाइलों का क्षेत्रफल = 16 × 88.2 cm²
= 1411.2 cm² लगभग
दिया है कि 1 cm² का पॉलिश करवाने का व्यय = 50 पैसे
∴ 1411.2 cm² का पॉलिश करवाने का व्यय = (50 × 1411.2) पैसे
= \(\frac{50}{100}\) × 1411.2 रु.
[∵ 100 पैसे = 1 रु.
∴ 50 पैसे = \(\frac{50}{100}\) रु.]
= 705.60 रु. लगभग
अतः, टाइलों को पॉलिश कराने का कुल व्यय 705.60 रु० है।

प्रश्न 9.
एक खेत समलंब के आकार का है जिसकी समांतर भुजाएँ 25 m और 10 m हैं। इसकी असमांतर भुजाएँ 14 m और 13 m हैं। इस खेत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल :
मान लीजिए ABCD एक समलंब है जिसमें
AB || DC और AB = 10 m, DC = 25 m, AD = 13 m, CB = 14 m
BE || AD खींचिए।
BE || AD और AB || DC
∴ BE = AD = 13 m [समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।]
और EC = 25 m – 10 m = 15 cm
अब BM ⊥ EC खींचिए।
ΔBEC की भुजाएँ 15 m, 14 m और 13 m हैं।
अर्ध-परिमाप, s = \(\frac{15+14+13}{2}=\frac{42}{2}\) = 21.
हीरोन के सूत्र का प्रयोग करने पर,
ΔBEC का क्षेत्रफल =

समलंब ABCD का क्षेत्रफल = समांतर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल + BEC का क्षेत्रफल
= (10 × \(\frac{56}{5}\) + 84)m²
[समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = आधार × संगत शीर्षलंब]
= (112 + 84) m²
= 196 m²