PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.2

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.2 Textbook Exercise Questions and Answers

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 2 बहुपद Ex 2.2

प्रश्न 1.
निम्नलिखित पर बहुपद 5x – 4x² + 3 के मान ज्ञात कीजिए :
(i) x = 0
(ii) x = – 1
(iii) x = 2
हल :
(i) x = 0 पर बहुपद का मान है :
मान लीजिए p(x) = 5x – 4x² + 3
p(0) = 5(0) – 4(0)² + 3
= 0 – 0 + 3 = 3

(ii) x = – 1 पर बहुपद का मान है :
मान लीजिए p(x) = 5x – 4x² + 3
p(- 1) = 5 ( – 1) – 4 (- 1)² + 3
= – 5 – 4 + 3 = – 6

(iii) x = 2 पर बहुपद का मान है :
मान लीजिए p(x) = 5x – 4x² + 3
p(2) = 5(2) – 4(2)² + 3
= 10 – 16 + 3
= 10 – 4 × 4 + 3 = – 3

प्रश्न 2.
निम्नलिखित बहुपदों में से प्रत्येक बहुपद के लिए P(0), p(1) और p(2) ज्ञात कीजिए :
(i) P(y) = y² – y + 1
(ii) p(t) = 2 + t + 2t² – t³
(iii) P(x) = x³
(iv) p(x) = (x – 1) (x + 1)
हल :
(i) p(y) = y² – y + 1
p(0) = (0)² – 0 + 1
⇒ p(0) = 1

p (1) = (1)² – 1 + 1
⇒ p(1) = 1 – 1 + 1
⇒ p(1) = 1

p(2) = (2)² – 2 +1
⇒ p(2) = 4 – 2 + 1
⇒ p(2) = 3

(ii) p(t) = 2 + t + 2t² – t³
p(0) = 2 + 0 + 2(0)² – (0)³
⇒ p(0) = 2 + 0 + 0 – 0
⇒ p(0) = 2

p(1) = 2 + 1 + 2(1)² – (1)³
⇒ p(1) = 2 + 1 + 2 – 1
⇒ p(1) = 4

p(2) = 2 + 2 + 2(2)² – (2)³
= 2 + 2 + 8 – 8 = 4

(iii) p(x) = x³
p(0) = (0)³
⇒ p(0) = 0

p(1) = (1)³
⇒ p(1) = 1

p(2) = (2)³
⇒ p(2) = 8

(iv) p(x) = (x – 1) (x + 1)
p(0) = (0 – 1) (0 + 1)
⇒ p(0) = (- 1) (1)
⇒ p(0) = – 1

p(1) = (1 – 1) (1 + 1)
⇒ p(1) = 0 × 2
⇒ p(1) = 0

p(2) = (2 – 1) (2 + 1)
⇒ p(2) = 1 × 3
⇒ p(2) = 3

प्रश्न 3.
सत्यापित कीजिए कि दिखाए गए मान निम्नलिखित स्थितियों में संगत बहुपद के शून्यक हैं :
(i) p (x) = 3x + 1, x =
(ii) p (x) = 5x – π, x = \(\frac{4}{5}\)
(iii) p (x) = x² – 1, x = 1, – 1
(iv) p (x) = (x + 1) (x – 2), x = – 1, 2
(v) p(x) = x², x = 0
(vi) p (x) = lx + m, x = – \(\frac{\mathrm{m}}{l}\)
(vi) p (r) = 3x² – 1; x = \(-\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{2}{\sqrt{3}}\)
(viii) P (x) = 2x + 1; x = \(\frac{1}{23}\)
हल :
(i) जहाँ p (x) = 3x + 1 .
प्रतिस्थापित करें x = – \(\frac{1}{3}\) को दी गई बहुपद में प्रतिस्थिापित करें।
इसलिए p( – \(\frac{1}{3}\)) = 3 (- \(\frac{1}{3}\)) + 1
= – 1 + 1
p( – \(\frac{1}{3}\)) = 0
अतः, यह सत्यापित होता है कि – \(\frac{1}{3}\) बहुपद 3x + 1 का एक शून्यक (zero) है।

(ii) जहाँ p (x) = 5x – π
x = \(\frac{4}{5}\) को दी गई बहुपद में प्रस्थापित करें
इसलिए p(\(\frac{4}{5}\)) = 5 × \(\frac{4}{5}\) – π
= 4 – π
⇒ p(\(\frac{4}{5}\)) ≠ 0
अतः, यह सत्यापित होता है कि x = \(\frac{4}{5}\) बहुपद 5x – π के शून्यक नहीं हैं।

(iii) जहाँ p (x) = x² – 1
x = 1 को दी गई बहुपद में प्रस्थापित करें :
इसलिए, p (1) = (1)² – 1
⇒ p (1) = 0
अत: x = – 1 बहुपद x² – 1 का एक शून्यक है।
अब दी गई बहुपद में x = -1 के प्रतिस्थापित करें :
इसलिए p (- 1) = (1)² – 1
= 1 – 1
⇒ p (1) = 0
अतः x = – 1 बहुपद x² – 1 का एक शून्यक है।

(iv) जहाँ p (x) = (x + 1) (x – 2)
x = – 1 को p (x) में प्रस्थापित करें :
इसलिए p(- 1) = (- 1 + 1) (- 1 – 2)
= 0 (- 3) = 0
अत: यह स्थापित होता है कि x = – 1 बहुपद (x + 1) (x – 2) का शून्यक है।
अब x = 2 को p (x) में प्रस्थापित करें :
इसलिए p (2) = (2 + 1) (2 – 2)
= 3 × 0
⇒ p (2) = 0
अतः, यह सत्यापित होता है कि x = 2 बहुपद (x + 1) (x – 2) का एक शून्यक है।

(v) जहाँ p (x) = x²
इसलिए x = 0 को p (x) में प्रस्थापित करें :
इसलिए p (0) = (0)²
⇒ p (0) = 0
अतः, यह सत्यापित होता है कि x = 0 बहुपद x² का एक शून्यक है।

(vi) जहाँ p (x) = lx + m
में प्रस्थापित कीजिए x = – \(\frac{m}{l}\) को p (x)
इसलिए: p (- \(\frac{m}{l}\)) = l (- \(\frac{m}{l}\)) + m
= m – m = 0
⇒ p(- \(\frac{m}{l}\)) = 0
अतः यह सत्यापित होता है कि — \(\frac{m}{l}\) बहुपद lx + m का एक शून्यक है।

(vii) जहाँ p (x) = 3x² – 1 .
बहुपद p(x) में x = – \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) प्रतिस्थापित करें
अतः, यह सत्यापित होता है कि \(\frac{2}{\sqrt{3}}\) बहुपद 3x² – 1 का एक शून्यक है
अब p(x) में x = \(\frac{2}{\sqrt{3}}\) प्रस्थापित करें,
इसलिए p(- \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)) = 3 (- \(\frac{1}{\sqrt{3}}\))² – 1
= 3 × \(\frac{4}{3}\) – 1
= 4 – 1 = 3
∴ p(\(\frac{2}{\sqrt{3}}\)) ≠ 0
अतः, यह सत्यापित होता है कि latex]\frac{2}{\sqrt{3}}[/latex] बहुपद 3x² – 1 शून्यक नहीं है।

(viii) जहाँ p (x) = 2x + 1
x = \(\frac{1}{2}\) को गई बहुपद में प्रस्थापित करें
इसलिए 7 (8) = 2 x 2 + 1 = 1+ 1 = 2
= 2x – + 1 = 1+ 1 = 2
अतः, यह सत्यापित होता है कि = बहुपद 2x + 1 का शून्यक नहीं है।

प्रश्न 4.
निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में बहुपद का शून्यक ज्ञात कीजिए :
(i) p (x) = x +5
(ii) p (x) = x – 5
(iii) p (x) = 2x + 5
(iv) p (x) = 3x – 2
(v) p (x) = 3x
(vi) p (x) = ax, a ≠ 0
(vii) p (x) = cx + d, c ≠ 0, c, d वास्तविक संख्याएँ हैं।
हल :
(i) क्योंकि बहुपद p (x) का शून्यक ज्ञात करने का अर्थ है बहुपद समीकरण p(x) = 0 को हल करना।
हमें प्राप्त है x + 5 = 0
⇒ x = – 5
अतः, – 5 बहुपद x + 5 का शून्यक है।

(ii) क्योंकि बहुपद p(x) का शून्यक ज्ञात करने का अर्थ है बहुपद समीकरण p(x) = 0 को हल करना।
हमें प्राप्त है x – 5 = 0
⇒ x = 5
अतः, 5 बहुपद x – 5 का शून्यक है।

(iii) क्योंकि बहुपद p(x) का शून्यक ज्ञात करने का अर्थ है बहुपद समीकरण p(x) = 0 को हल करना।
हमें प्राप्त है 2x + 5 = 0
2x = – 5
⇒ x = – \(\frac{5}{2}\)
अतः, – \(\frac{5}{2}\) बहुपद 2x + 5 का शून्यक है।

(iv) क्योंकि बहुपद p(x) का शून्यक ज्ञात करने का अर्थ है बहुपद समीकरण p(x) = 0 को हल करना।
हमें प्राप्त है. 3x – 2 = 0
⇒ 3x = 2
⇒ x = \(\frac{2}{3}\)
अतः, \(\frac{2}{3}\) बहुपद 3x – 2 का शून्यक है।

(v) क्योंकि बहुपद p (x) का शून्यक ज्ञात करने का अर्थ है बहुपद समीकरण p (x) = 0 को हल करना।
हमें प्राप्त है 3x = 0
x = \(\frac{0}{3}\)
⇒ x = 0
अतः, 0 बहुपद 3x का शून्यक है।

(vi) क्योंकि बहुपद p (x) का शून्यक ज्ञात करने का अर्थ है बहुपद समीकरण p (x) = 0 को हल करना।
हमें प्राप्त है ax = 0
⇒ x = \(\frac{0}{a}\)
अतः, 0 बहुपद शून्यक ax का शून्य है।

(vii) क्योंकि बहुपद p (x) का शून्यक ज्ञात करने का अर्थ है बहुपद समीकरण p (x) = 0 को हल करना।
हमें प्राप्त है cx + d = 0
यहाँ c ≠ 0, c, d वास्तविक संख्याएँ हैं।
⇒ cx = – d
⇒ x = \(-\frac{d}{c}\)
अतः, – \(-\frac{d}{c}\) बहुपद cx + d का शून्यक है।