PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.3

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.3 Textbook Exercise Questions and Answers

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 2 बहुपद Ex 2.3

प्रश्न 1.
x³ + 3x² + 3x + 1 को निम्नलिखित से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।
(i) x + 1
(ii) x – \(\frac{1}{2}\)
(iii) x
(iv) x + π
(v) 5 + 2x
हल :
(i) मान लीजिए p (x) बहुपद x³ + 3x² + 3x + 1 है और x + 1 भाजक है।
लंबे भाग से शेषफल इस प्रकार है :

शेषफल 0 है।

वैकल्पिक विधि :
हम शेषफल प्रमेय का प्रयोग करके शेष फल ज्ञात करते हैं।
मान लीजिए p (x) = x³ + 3x² + 3x + 1
जहाँ x + 1 भाजक है।
अब x + 1 = 0 लीजिए।
⇒ x = – 1
x = – 1 को p (x) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :
p (- 1) = (- 1)³ + 3 (- 1)² + 3 (- 1) + 1
= – 1 + 3 – 3 + 1 .
⇒ p (- 1) = 0
अतः, शेषफल 0 है।

(ii) मान लीजिए p (x) = x³ + 3x² + 3x + 1 जहाँ x – \(\frac{1}{2}\) भाजक है।
शेषफल प्रमेय का प्रयोग करके शेष फल ज्ञात करते हैं
अब x – \(\frac{1}{2}\) = 0 लीजिए ..
x = \(\frac{1}{2}\) को p (x) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है
p(\(\frac{1}{2}\)) = \(\left(\frac{1}{2}\right)^{3}+3\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+3\left(\frac{1}{2}\right)+1\)
= \(\frac{1}{8}+\frac{3}{4}+\frac{3}{2}+1\)
= \(\frac{1+6+12+8}{8}\)
p(\(\frac{1}{2}\)) = \(\frac{27}{8}\)
अतः, शेषफल \(\frac{27}{8}\) है।

(iii) p (x) = x³ + 3x² + 3x + 1
जहाँ x भाजक है।
हम शेषफल प्रमेय का प्रयोग करके शेषफल ज्ञात करते हैं।
इसलिए x = 0 लीजिए
x = 0 को p (x) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है_ p (0) = (0)³ + 3(0)² + 3(0) + 1
= 0 + 0 + 0 + 1
⇒ p (0) = 1
अतः शेषफल 1 है।

(iv) मान लीजिए p (x) = x³ + 3x² + 3x + 1 जहाँ x + π भाजक है। हम शेषफल प्रमेय का प्रयोग करके शेषफल ज्ञात करते
इसलिए हम x + π = 0 लेते हैं।
⇒ x = – π
अब x = – π को p (x) में प्रतिस्थापित करने पर हम प्राप्त करते हैं।
p (- π) = (- π)³ + 3(- π)² + 3(- π) + 1
= – π³ + 3π² – 3π + 1
अतः शेषफल है : – π³ + 3π² – 3π + 1

(v) मान लीजिए p (x) = x³ + 3x² + 3x + 1
जहाँ भाजक 5 + 2x है :
हम शेषफल प्रमेय का प्रयोग करके शेषफल ज्ञात करते हैं :
इसलिए 5 + 2x = 0 लेते हैं।
⇒ x = – \(\frac{5}{2}\)
अब x = – \(\frac{5}{2}\) को p (x) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :
\(\mathrm{p}\left(-\frac{5}{2}\right)=\left(-\frac{5}{2}\right)^{3}+3\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}+3\left(-\frac{5}{2}\right)+1\)
= \(-\frac{125}{8}+3\left(\frac{25}{4}\right)-\frac{15}{2}+1\)
= \(\frac{-125+150-60+8}{8}\)
= \(-\frac{27}{8}\)
अतः शेषफल \(-\frac{27}{8}\) है।

प्रश्न 2.
x³ – ax² + 6x – a को x – a से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए p (x) = x³ – ax² + 6x – a
अब हम x – a = 0 लेते हैं।
⇒ x = a
x = a को p (x) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :
p (a) = a³ – a (a)² + 6 (a)-a
= a³ – a³ + 6a – a
= 5a
अतः शेषफल 5a है।

प्रश्न 3.
जाँच कीजिए कि 7 + 3x, 3x³ + 7x का एक गुणनखंड है या नहीं।
हल :
जैसा कि आप जानते हैं कि 7 + 3x बहुपद p (x) = 3x³ + 7x का गुणनखंड केवल तब होगा जब कि 7 + 3x से p (x) को भाग देने पर कोई शेष न बचता हो।
अब 7 + 3x = 0 लेने पर हमें प्राप्त होता है :
3x = – 7
x = – \(\frac{7}{3}\)
और \(p\left(-\frac{7}{3}\right)=3\left(-\frac{7}{3}\right)^{3}+7\left(-\frac{7}{3}\right)\)
= \(3 \times \frac{-343}{27}-\frac{49}{3}\)
= \(\frac{-343}{27}-\frac{49}{3}\)
= \(\frac{-343-147}{9}=\frac{-490}{9}\)
∴ p (x) को 7 + 3x से भाग देने पर प्राप्त शेषफल 0 नहीं है।
अत: 7 + 3x दिए गए बहुपद का गुणनखंड नहीं है।