Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 7 त्रिभुज Ex 7.1 Textbook Exercise Questions and Answers.
PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 7 त्रिभुज Ex 7.1
प्रश्न 1.
चतुर्भुज ABCD में AC = AD है और AB, कोण A को समद्विभाजित करता है ( देखिए आकृति) दर्शाइए कि ΔABC ≅ ΔABD है। BC और BD के बारे में आप क्या कह सकते है ?
हल:
दिया है : चतुर्भुज ABCD में, AC = AD और AB, ∠A को समद्विभाजित करता है
सिद्ध करना है : ΔABC ≅ ΔABD.
उपपत्ति : ΔABC और ΔABD में,
AC = AD (दिया है)
∠BAC = ∠BAD [∵ AB, CA को समद्विभाजित करता है । (दिया है)]
AB = AB (उभयनिष्ठ)
∴ ΔABC ≅ ΔABD
[SAS सर्वांगसमता नियम द्वारा]
अत: BC = BD
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
प्रश्न 2.
ABCD एक चतुर्भुज है, जिसमें AD = BC और ∠DAB = ∠CBA है (देखिए आकृति)। सिद्ध कीजिए कि
(i) ΔABD ≅ ABAC
(ii) BD = AC
(iii) ∠ABD = ∠BAC
हल:
ΔABD और ΔABC में,
AD = BC (दिया है)
∠DAB = ∠CBA (दिया है)
AB = AB (उभयनिष्ठ)
∴ ΔABD = ΔBAC
(SAS सर्वांगसमता नियम द्वारा)
⇒ BD = AC
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
और ∠ABD = ∠BAC
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
प्रश्न 3.
एक रेखाखंड AB पर AD और BC दो बराबर लम्ब रेखाखंड हैं ( देखिए आकृति)। दशाईए कि CD, रेखाखंड AB को समद्विभाजित करता है।
हल:
ABOC और AAOD में,
∠OBC = ∠OAD
[प्रत्येक 90° (दिया है)]
∠BOC = ∠AOD
(शीर्षाभिमुख कोण)
BC = AD (दिया है)
∴ ΔBOC ≅ ΔAOD
(AAS सर्वांगसमता नियम द्वारा)
OB = QA
और OC = OD
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
अतः O रेखाखंड AB और CD का मध्य-बिंदु है।
प्रश्न 4.
l और m दो समांतर रेखाएँ हैं जिन्हें समांतर रेखाओं p और q का एक अन्य युग्म प्रतिच्छेदित करता है (देखिए आकृति) दर्शाइए कि
ΔABC ≅ ΔCDA है।
हल:
l || m(दिया है)
AC एक तिर्यक रेखा है।
इसलिए, ∠DAC = ∠ACB (एकांतर कोण)
P || q (दिया है)
AC एक तिर्यक रेखा है
इसलिए, ∠BAC = ∠ACD (एकांतर कोण)
अब, ΔABC और ΔCDA,
∠ACB = ∠DAC (ऊपर सिद्ध किया है)
∠BAC = ∠ACD (ऊपर सिद्ध किया है।)
AC = AC (उभयनिष्ठ)
∴ ΔABC ≅ ΔCDA
(AAS सर्वांगसमता नियम द्वारा)
प्रश्न 5.
रेखा l कोण A को समद्विभाजित करती है और B रेखा l पर स्थित कोई बिंदु है। BP और BQ कोण A की भुजाओं पर B से डाले गए लंब हैं। (देखिए आकृति) दर्शाइए कि
(i) ΔAPB ≅ ΔAQB
(ii) BP = BQ है, अर्थात् बिंदु B कोण की भुजाओं से समदूरस्थ है।
हल:
दिया है कि रेखा l, ∠A को समद्विभाजित करती है।
∴ ∠BAP = ∠BAQ
अब, ΔAPB और ΔAQB में,
∠BAP = ∠BAQ (दिया है)
∠BPA = ∠BQA
[प्रत्येक 90° (दिया है)]
AB = AB (उभयनिष्ठ)
∴ ΔAPB ≅ ΔAQB
(AAS सर्वांगसमता नियम से)
⇒ BP = BQ (सर्वांगसम त्रिभुज के संगत भाग अर्थात् B, ∠A की भुजाओं से समदूरस्थ है।)
प्रश्न 6.
आकृति में, AC = AE, AB = AD और ∠BAD = ∠EAC है। दर्शाइए कि BC = DE है।
हल :
दिया है कि
∠BAD = ∠EAC
दोनों पक्षों में, ∠DAC जोड़ने पर हमें प्राप्त होता है
∠BAD + ∠DAC = ∠EAC + ∠DAC
⇒ ∠BAC = ∠EAD
अब, ΔABC और ΔAED में,
AB = AD (दिया है)
AC = AE (दिया है)
∠BAC = ∠EAD [(i) से]
∴ ΔABC = ΔADE
(AAS सर्वांगसम नियम से)
⇒ BC = DE
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
प्रश्न 7.
AB एक रेखाखंड है और P इसका मध्य-बिंदु है।D और E रेखाखंड AB के एक ही ओर स्थित दो बिंदु इस प्रकार हैं कि ∠BAD = ∠ABE और ∠EPA = ∠DPB है। (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि
(i) ΔDAP ≅ ΔEBP
(ii) AD = BE
हल:
दिया है कि
∠EPA = ∠DPB
दोनों पक्षों में ∠EPD जोड़ने पर हमें प्राप्त होता है :
∠EPA + ∠EPD = ∠DPB + ∠EPD
⇒ ∠APD = ∠BPE … (i)
अब, ΔDAP और ΔEBP में,
∠PAD = ∠PBE [∵ ∠BAD = ∠ABE (दिया है)
∴ ∠PAD = ∠PBE]
∠APD = ∠BPE [(i) से]
AP = PB
[∵ P, AB का मध्य-बिंदु है (दिया है)]
∴ ΔDAP ≅ ΔEBP
[AAS सर्वांसमता नियम द्वारा]
⇒ AD = BE (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
प्रश्न 8.
एक समकोण त्रिभुज ABC में, जिसमें कोण C समकोण है, M कर्ण AB का मध्य-बिंदु है। को M से मिलाकर D तक इस प्रकार बढ़ाया गया है कि
DM = CM है। बिंदु D को बिंदु B से मिला दिया जाता है (देखिए आकृति) दर्शाइए कि
(i) ΔAMC ≅ ΔBMD
(ii) ∠DBC एक समकोण है
(iii) ΔDBC ≅ ΔACB
(iv) CM = \(\frac {1}{2}\)AB
हल:
(i) ΔAMC और ΔBMD में,
AM = BM [∵ M कर्ण AB का मध्य-बिंदु है (दिया है)]
∠AMC = ∠BMD
(शीर्षाभिमुख कोण)
CM = DM (दिया है)
∴ ΔAMC ≅ ΔBMD
(SAS सर्वांगसमता नियम से)
∴ ∠ACM = ∠BDM
∠CAM = ∠DBM
और AC = BD
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
(ii) दो रेखाओं AC और DB के लिए DC एक तिर्यक रेखा है।
हमें प्राप्त है।
∠ACD = ∠BDC (एकांतर कोण) [∵ ∠ACM = ∠BDM, (a) का प्रयोग करने से
∴ ∠ACD = ∠BDC]
∴ AC || DB [∵ यदि एकांतर कोण बराबर हों तो रेखाएँ समांतर होती हैं।]
अब समांतर रेखाओं AC और DB के लिए BC एक तिर्यक रेखा है।
∠DEC = ∠ACB (एकांतर कोण) …….(b)
परंतु ΔABC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें C पर समकोण है।
∴ ∠ACB = 90° ……. (c)
इसलिए ∠DBC = 90° [(b) और (c) का प्रयोग करने से]
अतः ∠DBC एक सकोण है।
(iii) अब ΔDBC और ΔABC में,
DB = AC
[भाग (i) में सिद्ध किया है]
∠DBC = ∠ACB [प्रत्येक 90° भाग (ii) में सिद्ध किया है]
BC = BC (उभयनिष्ठ)
∴ ΔDBC ≅ ΔACB
(SAS सर्वांगसमता नियम से)
(iv) भाग (iii) में हमने सिद्ध किया है कि
ΔDBC ≅ ΔACB
∴ DC = AB
⇒ DM + CM = AB
⇒ CM + CM = AB
[∵ DM = CM (दिया है)]
⇒ 2 CM = AB
⇒ CM = \(\frac {1}{2}\)AB
अत: सिद्ध किया है।