Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 7 त्रिभुज Ex 7.5 Textbook Exercise Questions and Answers.
PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 7 त्रिभुज Ex 7.5
प्रश्न 1.
ABC एक त्रिभुज है। इसके अभ्यंतर में एक ऐसा बिंदु ज्ञात कीजिए जो ΔABC के तीनों शीर्षों से समदूरस्थ है।
हल :
मान लीजिए ABC एक त्रिभुज है।
इसकी भुजाओं AB और BC के लंब समद्विभाजित क्रमश: PQ और RS खींचिए। मान लीजिए PQ. AB को M पर समद्विभाजित करता है और RS, BC को बिंदु N पर समद्विभाजित करता है।
मान लीजिए PQ और RS बिंदु O पर पर प्रतिच्छेद करते हैं।
OA, OB और OC को मिलाइए।
अब, ΔAOM और BOM में
AM = MB (रचना से)
∠AMO = ∠BMO (प्रत्येक = 90°) [रचना से] (उभयनिष्ठ)
OM = OM
∴ ΔAOM ≅ ΔBOM
(SAS सर्वांगसमता नियम)
इसलिए. OA = OB (सर्वांगसम. त्रिभुजों के संगत भाग)….(i)
इसी तरह, ΔBON ≅ ΔCON
⇒ OB =OC
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)……..(ii)
(i) और (ii) से हम देखते हैं कि
OA = OB = OC
अतः, ΔABC की किन्हीं दो भुजाओं के लंब समद्विभाजकों का प्रतिच्छेद बिंदु O, इसके तीनों शीर्षों से समदूरस्थ है।
प्रश्न 2.
किसी त्रिभुज के अभ्यांतर में एक ऐसा बिंदु ज्ञात कीजिए जो त्रिभुज की सभी भुजाओं से समदूरस्थ हों।
हल :
मान लीजिए ABC एक त्रिभुज है।
∠B और ∠C के समद्विभाजक खींचिए।
मान लीजिए ये कोण समद्विभाजक परस्पर बिंदु I पर प्रतिच्छेद करते हैं।
IK ⊥ BC खींचिए।
साथ ही, IJ ⊥ AB
और IL ⊥ AC खींचिए।
AI को मिलाइए।
ΔBIK और ΔBIJ में,
∠IKB = ∠IJB (प्रत्येक = 90°)
(रचना से)
∠IBK = ∠IBJ [∵ BI ∠B का समद्विभाजक है]
(रचना से)
BI = BI (उभयनिष्ठ)
∴ ΔBIK ≅ ΔBIJ
(AAS सर्वांगसमता नियम)
∴ IK = IJ
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग) ….(i)
इसी प्रकार, ΔCIK ≅ ΔCIL
इसलिए, IK = IL
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)….(ii)
(i) और (ii), से हमें प्राप्त होता है
IJ = IK = IL;
अतः, ΔABC के किन्हीं दो कोणों को समद्विभाजकों का प्रतिच्छे बिंदु I इसकी भुजाओं से समदूरस्थ है।
प्रश्न 3.
एक बड़े पार्क में लोग तीन बिंदुओं (स्थानों) पर केंद्रित हैं (देखिए आकृति)।
A : जहाँ बच्चों के लिए फिसल पट्टी और झूले
B: जिसके पास मानव-निर्मित एक झील है।
C: जो एक बड़े पार्किंग स्थल और बाहर निकलने के रास्ते के निकट है। एक आइसक्रीम का स्टाल कहाँ लगाना चाहिए ताकि वहाँ लोगों की अधिकतम संख्या पहुंच सके ?
हल :
स्टाल A, B और C से समदूरस्थ होना चाहिए। इसके लिए हम बिंदुओं B और C को मिलाने वाली रेखा का लंब समद्विभाजक l और बिंदुओं A और C को मिलाने वाली रेखा का लंब समद्विभाजक m खींचते हैं।
मान लीजिए l और m परस्पर बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं।
अब बिंदु O बिंदुओं A, B और C से समदूरस्थ हैं। OA, OB और OC को मिलाइए।
उपपत्ति : ΔBOP और ΔCOP में,
OP = OP (उभयनिष्ठ)
∠OPB = ∠OPC (प्रत्येक = 90°) (रचना से)
BP = PC
[∵ P, BC का मध्य-बिंदु है]
∴ ΔBOP ≅ ΔCOP
[SAS सर्वांगसमता नियम]
इसलिए, OB = OC
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)…(i)
इसी तरह, ΔAOQ ≅ ΔCOQ
⇒ OA = OC
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग) ..(ii)
(i) और (ii) से हमें प्राप्त होता है
OA = OB = OC
हम देखते हैं कि इन बिंदुओं को मिलाने से प्राप्त तीन भुजाओं में से किन्हीं दो भुजाओं के लंब समद्विभाजकों का प्रतिच्छेद बिंदु O ही वह बिंदु है जहाँ पर आइसक्रीम स्टाल लगाना चाहिए।
प्रश्न 4.
षड्भुजीय और तारे के आकार की रंगोलियों (देखिए आकृति (i) और (ii)] को 1 cm भुजा वाले समबाहु त्रिभुजों से भर कर पूरा कीजिए। प्रत्येक स्थिति में, त्रिभुजों की संख्या गिनिए। किसमें अधिक त्रिभुज हैं?
हल :
षड्भुजीय रंगोली में : प्रत्येक 5 cm भुजा वाली समबाहु त्रिभुजों की संख्या
षड्भुजीय रंगोली का क्षेत्रफल = 6 × एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल
= 6 × \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) × 25
= 150 × \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) cm2 …(i)
1 cm भुजा वाली समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल
= \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) (1)2
= \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) cm2 ………. (ii)
षड्भुजीय रंगोली में 1 cm भुजा वाले समबाहु त्रिभुजों की संख्या = 150\(\frac{\sqrt{3}}{4}\) ÷ \(\frac{\sqrt{3}}{4}\)
= 150 \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) × \(\frac{4}{\sqrt{3}}\)
= 150 ….(iii)
अब तारे के आकार की रंगोली में
प्रत्येक 5 cm भुजा वाली समबाहु त्रिभुजों की संख्या = 12
इसलिए तारे के आकार वाली रंगोली का कुल क्षेत्रफल = 12 × 5 cm भुजा वाली एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल
तारे के आकार वाली रंगोली में 1 cm भुजा वाली त्रिभुजों की संख्या
= 300 \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) ÷ \(\frac{\sqrt{3}}{4}\)
[ (iv) को (ii) से भाग देने पर]
= 300 \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) × \(\frac{4}{\sqrt{3}}\)
= 300 …….(v)
(iii) और (v) से हम देखते हैं कि तारे के आकार वाली रंगोली में 1 cm भुजा वाली समबाहु त्रिभुजों की संख्या अधिक है।