Class 10

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 15 प्रायिकता Ex 15.2 Textbook Exercise Questions and Answers

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 15 प्रायिकता Ex 15.2

प्रश्न 1.
दो ग्राहक श्याम और एकता एक विशेष दुकान पर एक ही सप्ताह में जा रहे हैं ( मंगलवार से शनिवार तक)। प्रत्येक द्वारा दुकान पर किसी दिन या किसी अन्य दिन जाने के परिणाम समप्रायिक हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि दोनों उस दुकान पर
(i) एक ही दिन जाएँगे ?
(ii) क्रमागत दिनों में जाएँगे ?
(iii) भिन्न-भिन्न दिनों में जाएँगे ?
हल :
जब श्याम और एकता एक दुकान पर एक ही सप्ताह में जा रहे हैं। संभाव्य परिणाम है :
S = {(T, T) (T, W) (T, Th) (T, F) (T, S) (W, T) (W, W)(W, Th) (W, F)(W, S) (Th, T) (Th, W) (Th, Ts) (Th, F) (Th, S) (F, T) (F, W) (F, Th) (E, F) (F, S) (S,T) (S, W) (S, Th) (S, F)(S, S)}
यहाँ T मंगलवार के लिए
W बुधवार के लिए
Th वीरवार के लिए
F शुक्रवार के लिए और
S शनिवार के लिए है।
n (S) = 25

(i) मान लीजिए ‘श्याम और एकता दुकान पर एक ही सप्ताह जा रहे हैं’ घटना A है।
A = {(T, T), (W, W) (TS, TS) (F, F), (S, S)}
n (A) = 5
दोनों एक ही दिन दुकान पर जाएंगे की प्रायिकता .
∴ P(A) = \(\frac{5}{25}=\frac{1}{5}\)

(ii) मान लीजिए ‘दोनों क्रमागत दिनों में विशेष दुकान पर जाएंगे’ घटना B है।
B = {(T, W), (W, T), (W, Th), (Th, W) (Th, F), (F, Th) (F, S) (S, F)
n(B) = 8
∴ दोनों क्रमागत दिनों में विशेष दुकान पर जाएँगे की पायिकता = \(\frac{8}{25}\)

(iii) दोनों उस दुकान पर भिन्न-भिन्न दिनों में जाएँगे की प्रायिकता = 1 – दोनों क्रमागत दिनों में दुकान पर जाएँगे।
[∵ P(\(\overline{\mathrm{A}}\)) = 1 – P(A)]
= 1 – \(\frac{1}{5}\)
= \(\frac{5-1}{5}\)
P(A) = \(\frac{4}{5}\)

प्रश्न 2.
एक पासे के फलकों पर संख्याएँ 1, 2, 2, 3, 3 और 6 लिखी हुई हैं। इसे दो बार फेंका जाता है तथा दोनों बार प्राप्त हुई संख्याओं के योग लिख लिए जाते हैं।दोनों बार फेंकने के बाद, प्राप्त योग के कुछ संभावित मान निम्नलिखित सारणी में दिए हैं। इस सारणी को पूरा कीजिए।

इसकी क्या प्रायिकता है कि कुल योग
(i) एक सम संख्या होगा ?
(ii) 6 है ?
(ii) कम से कम 6 है ?
हल :

संभाव्य परिणामों की संख्या है = 6 × 6 = 36

(i) मान लीजिए ‘कुल योग एक संख्या’ प्राप्त करना घट
A = {2, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 6, 6, 6, 6,8, 8, 8, 8, 12}
n (A) = 18
∴ एक सम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता = \(\frac{18}{36}=\frac{1}{2}\)
P (सम संख्या) = \(\frac{1}{2}\)

(ii) मान लीजिए ‘योग 6 प्राप्त करना’ घटना B है।
B = {6, 6, 6, 6}
n (B) = 4
कुल योग 6 प्राप्त करने की प्रायिकता = \(\frac{4}{36}\)
∴ P(B) = \(\frac{1}{9}\)

(iii) मान लीजिए ‘कुल योग कम से कम 6′ प्राप्त करना घटना C है।
C = {6, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 12}
n (C) = 15
∴ योग कम से कम 6 प्राप्त करने की प्रायिकता = \(\frac{15}{36}=\frac{5}{12}\)
∴ P(C) = 5

प्रश्न 3.
एक थैले में 5 लाल गेंद और कुछ नीली गेंदें हैं यदि इस थैले में से नीली गेंद निकालने की प्रायिकता लाल गेंद निकालने की प्रायिकता की दुगुनी है, तो थैले में नीली गेंदों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल :
गेंदों की संख्या = 5
मान लीजिए नीली गेंदें की संख्या = x
∴ गेंदों की कुल संख्या = 5 + x
नीली गेंदों के निकालने की प्रायिकता = \(\frac{x}{5+x}\)
लाल गेंदों के निकालने की प्रायिकता = \(\frac{5}{5+x}\)
प्रश्न के अनुसार,
नीली गेंद निकालने की प्रायिकता = 2 लाल गेंद निकालने की प्रायिकता
\(\frac{x}{5+x}=2\left[\frac{5}{5+x}\right]\)
x = 10
∴ नीली गेंदों की संख्या = 10

प्रश्न 4.
एक पेटी में 12 गेंदें हैं, जिनमें से x गेंदें काली हैं। यदि इसमें से एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है, तो इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यह गेंद काली यदि इस पेटी में 6 काली गेंद और डाल दी जाएँ, तो काली गेंद निकालने की प्रायिकता पहली प्रायिकता की दुगनी हो जाती है।x का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
थैले में गेंदों की कुल संख्या = 12
काली गेंदों की संख्या = x
∴ काली गेंद प्राप्त करने की प्रायिकता = \(\frac{x}{12}\)
यदि थैले में 6 काली गेंदें और डाल दी जाएँ, तो पेटी में गेंदों की कुल संख्या = 12 + 6 = 18
काली गेंदों की संख्या = x + 6
काली गेंद प्राप्त करने की प्रायिकता = \(\frac{x+6}{18}\)
प्रश्न के अनुसार,
काली गेंद निकालने की प्रायिकता = 2 पहली स्थिति में काली गेंद निकालने की प्रायिकता
\(\frac{x+6}{18}=\frac{2 x}{12}\)

\(\frac{x+6}{3}=\frac{2 x}{2}\)

\(\frac{x+6}{3}\) = x

x + 6 = 3x
6 = 3x – x
6 = 2x
x = 3
∴ काली गेंदों की संख्या = 3

प्रश्न 5.
एक जार में 24 कंचे हैं जिनमें कुछ हरे हैं और शेष नीले हैं। यदि इस जार में से यादृच्छया एक कंचा निकाला जाता है तो इस कंचे के हरा होने की प्रायिकता है। जार में नीले कंचों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल :
जार में कंचों की कुल की संख्या = 24
मान लीजिए हरे कंचों की संख्या = x
नीले कंचों की संख्या = 24 – x
∴ जब एक कंचा निकाला जाता है
हरा कंचा निकालने की प्रायिकता = \(\frac{2}{3}\)
\(\frac{x}{24}=\frac{2}{3}\)

x = \(\frac{24 \times 2}{3}\)

x = 16
हरे कंचों की संख्या = 16
नीले कंचों की संख्या = 24 – x = 24 – 16 = 8.

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 15 प्रायिकता Ex 15.1 Textbook Exercise Questions and Answers

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 15 प्रायिकता Ex 15.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित कथनों को पूरा कीजिए :
(i) घटना E की प्रायिकता + घटना ‘E नहीं’ की प्रायिकता = ……… है।
(ii) उस घटना की प्रायिकता जो घटित नहीं हो सकती ………. है। ऐसी घटना ……… कहलाती है।
(ii) उस घटना की प्रायिकता जिसका घटित होना निश्चित है …………. है। ऐसी घटना …………….. कहलाती है।
(iv) किसी प्रयोग की सभी प्रारंभिक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग ……….. है।
(v) किसी घटना की प्रायिकता ……………से बड़ी या उसके बराबर होती है तथा ………. से छोटी या उसके बराबर होती है।
हल :
(i) E+ की प्रायिकता घटना ‘नही E’की प्रायिकता = 1 है।
(ii) उस घटना की प्रायिकता जो घटित नहीं हो सकती 0 है। ऐसी घटना असंभव घटना कहलाती है।
(iii) उस घटना की प्रायिकता जिसका घटित होना निश्चित है। ऐसी घटना निश्चित घटना कहलाती है।
(iv) किसी प्रयोग की सभी प्रारंभिक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग 1 है।
(v) किसी घटना की प्रायिकता 0 से बड़ी या उसके बराबर होती है तथा 1 से छोटी या उसके बराबर होती है।

प्रश्न 2.
निम्निलिखित प्रयोगों में से किन-किन प्रयोगों वे परिणाम समप्रायिक हैं ? स्पष्ट कीजिए।
(i) एक ड्राइवर कार चलाने का प्रयत्न करता है कार चलनी प्रारंभ हो जाती है या कार चलना प्रारंभ नहं होती है।
(ii) एक खिलाड़ी बास्केटबॉल को बास्केट में डालने का प्रयत्न करती है। वह बास्टकेट में बॉल डाल पाती है या नहीं डाल पाती है।
(iii) एक सत्य-असत्य प्रश्न का अनुमान लगाया जाता है। उत्तर सही है या गलत होगा।
(iv) एक बच्चे का जन्म होता है। वह एक लड़का है या एक लड़की है।
हल :
(i) जब एक ड्राइवर कार चलाने का प्रयत्न करता है तो सामान्य स्थिति में कार चलने लगती है परंतु यदि कार में कोई दोष हो, तो कार नहीं चलती इसलिए परिणाम समप्रायिक नहीं है।

(ii) जब एक खिलाड़ी बास्केट बॉल को बास्केट में डालने का प्रयत्न करता है, तो इस स्थिति में परिणाम समप्रायिक नहीं हैं क्योंकि परिणाम कई तथ्यों पर निर्भर करता है जैसे खिलाड़ी का प्रशिक्षण, प्रयोग की जाने वाली बन्दूक की प्रकृति आदि।

(iii) क्योंकि एक प्रश्न के लिए दो संभावनाएँ या तो सही या गलत हैं। सत्य असत्य के इस प्रश्न के इस अभिप्रयोग में एक ही परिणाम हो सकता है : सत्य या असत्य अर्थात् इस घटना के होने का एक ही अवसर है इसलिए दो परिणाम समप्रायिक हैं।

(iv) एक नव जन्मा बच्चा (जिसका जन्म इसी क्षण हुआ है) एक लड़का भी हो सकता है और एक लड़की भी हो सकती है और दोनों पर परिणाम समप्रायिक हैं।

प्रश्न 3.
फुटबॉल के खेल को प्रारंभ करते समय यह निर्णय लेने के लिए कि कौन-सी टीम पहले बॉल लेगी, इसके लिए सिक्का उछालना एक न्यायसंगत विधि क्यों माना जाता है ? हल :
जब सिक्के को उछाला जाता है तो केवल दो ही संभावनाएँ होती हैं अर्थात् परिणाम चित या पट दो समप्रायिक हैं।
एक सिक्का उछालने के परिणाम की पूर्व भविष्यवाणी नहीं की जा सकती।

प्रश्न 4.
निम्निलिखित में से कौन-सी संख्या किसी घटना की प्रायिकता नहीं हो सकती ?
(A) \(\frac{2}{3}\)
(B) – 1.5
(C) 15%
(D) 0.7
हल : जैसा कि हम जानते हैं कि एक घटना की प्रायिकता 0 से कम और 1 से अधिक नहीं हो सकती अर्थात् 0 ≤ P (E) ≤ 1
∴ (B) – 1.5 संभव नहीं है।

प्रश्न 5.
यदि P(E) = 0.05 है, तो ‘E नहीं की प्रायिकता क्या है ?
हल :
जैसा कि हम जानते हैं कि P(E) + P (\(\overline{\mathrm{E}}\)) = 1
P(E) = 1 – P (\(\overline{\mathrm{E}}\))
= 1 – 0.05
= 0.95.

प्रश्न 6.
एक थैले में केवल नींबू की महक वाली मीठी गोलियाँ हैं। मालिनी बिना थैले में झाँके उसमें से एक गोली निकालती है। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह निकाली गई गोली
(i) संतरे की महक वाली है ?
(ii) नींबू की महक वाली है ?
हल :
(i) क्योंकि एक थैले में केवल नींबू की महक वाली मीठी गोलियाँ हैं
∴ यहाँ संतरे की महक वाली कोई गोली नहीं है। अतः, यह एक असंभव घटना है।
∴ संतरे की महक वाली गोली की प्रायिकता = 0

(ii) क्योंकि थैले में केवल नींबू की महक वाली ही गोलियाँ हैं। इसलिए यह एक निश्चित घटना है।
∴ नींबू की महक वाली गोलियाँ निकालने की प्रायिकता = \(\frac{1}{1}\) = 1

प्रश्न 7.
यह दिया हुआ है कि 3 विद्यार्थियों के एक समूह में से 2 विद्यार्थियों के जन्मदिन एक ही दिन न होने की प्रायिकता 0.992 है। इसकी क्या प्रायिकता है कि इन 2 विद्यार्थियों का जन्मदिन एक ही दिन हो ?
हल :
दो विद्यार्थियों के एक ही दिन होने की घटना को \(\overline{\mathrm{A}}\) मान लीजिए।
∴ दो विद्यार्थियों के जन्म एक ही दिन न होने की घटना में है।
∴ P (\(\overline{\mathrm{A}}\)) = 0.992
∴ P (A) = 1 – P(A) (P (A) + P (\(\overline{\mathrm{A}}\)) = 1)
= 1 – 0.992 = 0.008
∴ दो विद्यार्थियों का जन्म एक ही दिन होने की प्रायिकता 0.008 है

प्रश्न 8.
एक थैले में 3 लाल और 5 काली गेंदें हैं। इस थैले में से एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है। इसकी प्रायिकता क्या है कि गेंद
(i) लाल हो ?
(ii) लाल नहीं हो ?
हल :
लाल गेंदों की संख्या =3
काली गेंदों की संख्या = 5
गेदों की कुल संख्या = 3 + 5 = 8
एक गेंद यादृच्छया निकाली गई है

(i) लाल गेंद प्राप्त करने की प्रायिकता = अनुकूल परिणामों की संख्या / परिणामों की कुल संख्या
P (लाल गेंद) = \(\frac{3}{8}\)

(ii) लाल गेंद न प्राप्त करने की प्रायिकता
= 1 – P (लाल गेंद)
= 1 – \(\frac{3}{8}\) = \(\frac{5}{8}\)
P(\(\overline{\mathrm{A}}\)) = 1 – P(E)]

प्रश्न 9.
एक डिब्बे में 5 लाल कंचे, 8 सफेद कंचे और 4 हरे कंचे हैं। इस डिब्बे में से एक कंचा यादृच्छया निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि निकाला गया कंचा
(i) लाल है ?
(ii) सफेद है ?
(iii) हरा नहीं है ?
हल :
लाल कंचों की संख्या = 5
सफेद कंचों की संख्या = 8
हरे कंचों की संख्या = 4
कंचों की कुल संख्या = 5 + 8 + 4 = 17
क्योंकि एक कंचा निकाला गया है

(i) लाल कंचे 5 हैं लाल कंचा निकालने की प्रायिकता = अनुकूल परिणामों की संख्या / परिणामों की कुल संख्या
= \(\frac{5}{17}\)

(ii) क्योंकि सफेद कंचे 8 हैं।
सफेद कंचा निकालने की प्रायिकता = अनुकूल परिणामों की संख्या / परिणामों की कुल संख्या
= \(\frac{4}{17}\)

(iii) हरे कंचे 4 हैं।
हरा कंचा निकालने की प्रायिकता = अनुकूल परिणामों की संख्या / परिणामों की कुल संख्या
= \(\frac{4}{17}\)
∴ हरा कंचा न निकालने की प्रायिकता = 1 – हरा कंचा निकालने की प्रायिकता
= 1 – \(\frac{4}{17}\)
= \(\frac{17-4}{17}\)
= \(\frac{13}{17}\)

प्रश्न 10.
एक पिग्गी बैंक (piggy bank) में, 50 पैसे के सौ सिक्के हैं, ₹ 1 के पचास सिक्के हैं, ₹ 2 के बीस सिक्के और ₹ 5 के दस सिक्के हैं। यदि पिग्गी बैंक को हिलाकर उल्टा करने पर कोई एक सिक्का गिरने के परिणाम समप्रायिक हैं, तो इसकी क्या प्रायिकता है कि वह गिरा हुआ सिक्का
(i) 50 पैसे का होगा ?
(ii) ₹5 का नहीं होगा ?
हल : 50 पैसे के सिक्कों की संख्या = 100
1 ₹ के सिक्कों की संख्या = 50
2 ₹ के सिक्कों की संख्या = 20
5 ₹ के सिक्कों की संख्या = 10
सिक्कों की कुल संख्या = 100 + 50 + 20 + 10 = 180

(i) चूँकि 50 पैसे के 100 सिक्के हैं
50 पैसे के सिक्के प्राप्त करने की प्रायिकता = अनुकूल परिणामों की संख्या / परिणामों की कुल संख्या
= \(\frac{100}{180}\)

(50 p के सिक्के) = \(\frac{5}{9}\)

(ii) ₹ 5 के सिक्कों की संख्या = 10
∴ ₹ 5 के सिक्के प्राप्त करने की प्रायकिता = अनुकूल परिणामों की संख्या / परिणामों की कुल संख्या 10 1
P (₹ 5 के सिक्के) = \(\frac{10}{180}=\frac{1}{18}\)
₹5 के सिक्के प्राप्त न करने की प्रायकिता = 1 – P (₹ 5 के सिक्के)
= 1 – \(\frac{1}{18}\)
= \(\frac{18-1}{18}\)
= \(\frac{17}{18}\)

प्रश्न 11.
गोपी अपने जल-जीव कुंड (aquarium) के लिए एक दुकान से मछली खरीदती है। दुकानदार एक टंकी, जिसमें 5 नर मछली और 8 मादा मछली हैं, में से एक मछली यादृच्छया Ke उसे देने के लिए निकालती है ( देखिए आकृति)। इसकी क्या प्रायिकता है कि निकाली गई मछली नर मछली है ?

हल :
नर मछलियों की संख्या = 5
मादा मछलियों की संख्या = 8
जल-जीव कुण्ड में मछलियों की कुल संख्या = 5 + 8 = 13
नर मछली प्राप्त करने की प्रायिकता = अनुकूल परिणामों की संख्या / परिणामों की कुल संख्या
P(नर मछली) = \(\frac{5}{13}\)

प्रश्न 12.
संयोग (chance) के एक खेल में, एक तीर को घुमाया जाता है, जो विश्राम में आने के बाद संख्याओं 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, और 8 में से किसी एक संख्या को इंगित करता है ( देखिए आकृति)।यदि ये सभी परिणाम समप्रायिक हों तो इसकी क्या प्रायिकता है कि यह तीर इंगित
(i) 8 को करेगा ?
(ii) एक विषम संख्या को करेगा ?
(ii) 2 से बड़ी संख्या को करेगा ?
(iv) 9 से छोटी संख्या को करेगा ?

हल :
(i) परिणामों की कुल संख्या = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
‘8’ प्राप्त करने की प्रायिकता = \(\frac{1}{8}\)

(ii) विषम संख्याएँ हैं = {1, 3, 5, 7}’
विषम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता = \(\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\)

(iii) 2 से बड़ी संख्याएँ हैं {3, 4, 5, 6, 7, 8}
∴ 2 से बड़ी संख्याएँ प्राप्त करने की प्रायिकता 2 = \(\frac{6}{8}=\frac{3}{4}\)
P (2 से बड़ी संख्या) = \(\frac{3}{4}\)

(iv) 9 से छोटी संख्याएँ हैं : {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
∴ 9 से छोटी संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता = \(\frac{8}{8}\)
P (9 से छोटी संख्या) = 1

प्रश्न 13.
एक पासे को एक बार फेंका जाता है। निम्नलिखित को प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए:
(i) एक अभाज्य संख्या,
(ii) 2 और 6 के बीच स्थित | कोई संख्या
(iii) एक विषम संख्या।
हल :
जब पासे को एक बार फेंका जाता है तो संभव परिणाम हैं
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
(i) अभाज्य संख्याएँ हैं : {2, 3, 5}
∴ अभाज्य संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता = \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)

(ii) 2 और 6 के बीच स्थित संख्याएँ = {3, 4, 5}
2 और 6 के बीच स्थित संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता = \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)

(ii) विषम संख्याएँ हैं = {1, 3, 5}
एक विषम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता = \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)
P (एक विषम संख्या) = \(\frac{1}{2}\)

प्रश्न 14.
52 पत्तों की अच्छी प्रकार से फेटी गई एक गड्डी में से एक पत्ता निकाला जाता है। निम्नलिखित को प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए :
(i) लाल रंग का बादशाह
(ii) एक फेस कार्ड अर्थात् तस्वीर वाला पत्ता
(ii) लाल रंग की तस्वीर वाला पत्ता
(iv) पान का गुलाम
(v) हुकुम का पत्ता
(vi) एक ईट की बेगम
हल :
52 पत्तों की एक गड्डी में पत्तों की संख्या | 52 है।
(i) लाल रंग के दो बादशाह हैं अर्थात् पान का बादशाह और ईंट का बादशाह
लाल रंग का बादशाह प्राप्त करने की प्रायिकता = \(\frac{2}{52}=\frac{1}{26}\)
P (लाल रंग का बादशाह) = \(\frac{1}{26}\)

(ii) 12 फेस कार्ड हैं अर्थात् 4 गुलाम, 4 बेगम और 4 बादशाह
तस्वीर वाला पत्ता प्राप्त करने की प्रायिकता = \(\frac{12}{52}\)
P (एक फेस कार्ड) = \(\frac{3}{13}\)

(iii) क्योंकि लाल रंग के 6 पत्ते हैं अर्थात् 2 गुलाम 2 बेगम और 2 बादशाह हैं।
∴ 6 लाल रंग के फेस कार्ड प्राप्त करने की प्रायिकता = \(\frac{6}{52}\)
P (लाल रंग का फेस कार्ड) = \(\frac{3}{26}\)

(iv) पान का केवल एक ही गुलाम है।
∴ एक पान का गुलाम प्राप्त करने की प्रायिकता = \(\frac{1}{52}\)
P (एक पान का गुलाम) = \(\frac{1}{52}\)

(v) चूँकि हुकुम के 13 पत्ते हैं
∴ हुकुम का पत्ता प्राप्त करने की प्रायिकता = \(\frac{13}{52}\)
P (एक हुकुम का पत्ता) = \(\frac{1}{4}\)

(vi) चूँकि ईंट की बेगम केवल एक ही है
∴ ईंट की बेगम प्राप्त करने की प्रायिकता = \(\frac{1}{52}\)
P(ईंट की प्रायिकता) = \(\frac{1}{52}\)

प्रश्न 15.
ताश के पाँच पत्तों-ईंट का दहला, गुलाम, बेगम, बादशाह और इक्का, को पलट कर के अच्छी प्रकार फेटा जाता है। फिर इनमें से यादृच्छेया एक पत्ता निकाला जाता है। (i) इसकी क्या प्रायिकता है कि यह पत्ता एक बेगम है ?
(ii) यदि बेगम निकल आती है, तो उसे अलग रख दिया जाता है और एक अन्य पत्ता निकाला जाता है।
इसकी क्या प्रायिकता है कि दूसरा निकाला गया पत्ता
(a) एक इक्का है ?
(b) एक बेगम है ?
हल :
पाँच पत्ते ईंट का दहला, गुलाम, बेगम, बादशाह और इक्का हैं।
(i) बेगम प्राप्त करने की प्रायिकता = \(\frac{1}{5}\)
∴ P (एक बेगम) = \(\frac{1}{5}\)

(ii) यदि बेगम निकल आती है, तो उसे अलग रख दिया जाता है तो चार पत्ते बच जाते हैं : ईंट का दहला, गुलाम, बादशाह और इक्का
(a) इक्का प्राप्त करने की प्रायिकता = \(\frac{1}{4}\)
P(एक इक्का) = \(\frac{1}{4}\)
कोई बेगम नहीं बची।

(b) बेगम प्राप्त करने की प्रायिकता = \(\frac{0}{4}\) = 0
P (एक बेगम) = 0

प्रश्न 16.
किसी कारण 12 खराब पेन 132 अच्छे पेनों में मिल गए हैं। केवल देखकर यह नहीं बताया जा सकता है कि कोई पेन खराब है या अच्छा है। इस मिश्रण में से, एक पेन यादृच्छया निकाला जाता है। निकाले गए पेन की अच्छा होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल :
खराब पेनों की संख्या = 12
अच्छे पेनों की संख्या = 132
पेनों की कुल संख्या = 12 + 132 = 144
अच्छा पेन प्राप्त करने की प्रायिकता = \(\frac{132}{144}=\frac{11}{12}\)
P (एक अच्छा पेन) = \(\frac{11}{12}\)

प्रश्न 17.
(i) 20 बल्बों के एक समूह में 4 बल्ब खराब हैं। इस समूह में से एक बल्ब यादृच्छया निकाला जाता है। इसका क्या प्रायिकता है कि यह बल्ब खराब होगा ?
(ii) मान लीजिए (i) में निकाला गया बल्ब खराब नहीं है और न ही इसे दुबारा बल्बों के साथ मिलाया जाता है। अब शेष बल्बों में से एक बल्ब यादृच्छया निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि यह बल्ब खराब नहीं होगा?
हल :
(i) खराब बल्बों की संख्या = 4
अच्छे बल्बों (खराब नहीं) की संख्या = 16
बल्बों की कुल संख्या = 4 + 16 = 20
खराब बल्ब प्राप्त करने की प्रायिकता = \(\frac{4}{20}\)

(ii) जब निकाला गया बल्ब दोबारा बल्बों के साथ नहीं मिलाया जाता है, तो 19 बल्ब शेष बच जाते हैं।
अब खराब बल्ब प्राप्त न करने की प्रायिकता = \(\frac{15}{19}\)
∴ P(खराब बल्ब नहीं) = \(\frac{15}{19}\)

प्रश्न 18.
एक पेटी में 90 डिस्क (discs) हैं, जिन पर 1 से 90 तक संख्याएँ अंकित हैं। यदि इस पेटी में से एक डिस्क यादृच्छया निकाली जाती है तो इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि इस डिस्क पर अंकित होगी:
(i) दो अंकों की एक संख्या
(ii) एक पूर्ण वर्ग संख्या
(iii) 5 से विभाज्य एक संख्या।
हल :
1 से 90 तक कुल 90 संख्याएँ हैं और 10 से 90 तक 80 संख्याएँ दो अंकों वाली हैं।
(i) दो अंकों वाली संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता = \(\frac{81}{90}\)
∴ P (दो अंकों की एक संख्या) = \(\frac{81}{90}\)

(ii) पूर्ण वर्ग संख्याएँ हैं : {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81}
1 से 90 तक 9 पूर्ण वर्ग संख्याएँ हैं।
पूर्ण वर्ग संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता = \(\frac{9}{90}=\frac{1}{10}\)
P (एक पूर्ण वर्ग संख्या) = \(\frac{1}{10}\)

(ii) 5 से विभाज्य संख्याएँ हैं : {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90}
5 से विभाज्य 18 संख्याएँ हैं :
∴ 5 से विभाज्य संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता = \(\frac{18}{90}=\frac{1}{5}\)
∴ अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac{1}{5}\).

प्रश्न 19.
एक बच्चे के पास ऐसा पासा हैं जिसके फलकों पर निम्नलिखित अक्षर अंकित हैं :

इस पासे को एक बार फेंका जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि
(i) A प्राप्त हो ?
(ii) D प्राप्त हो ?
हल :
पासे के फलकों की संख्या = 6
S = {A, B, C, D, E, A}
n (S) = 6.
(1) चूंकि दो फलकों पर A हैं।
∴ A प्राप्त करने की प्रायिकता = \(\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)
P(A) = \(\frac{1}{3}\)

(2) चूँकि केवल एक फलक पर D अंकित है।
D प्राप्त करने की प्रायिकता = \(\frac{1}{6}\)
∴ P(D) = \(\frac{1}{6}\)

प्रश्न 20.
मान लीजिए आप एक पासे को आकृति में दर्शाए आयताकार क्षेत्र में यादृच्छया रूप से गिराते हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह पासा 1 m व्यास वाले वृत्त के अंदर गिरेगा ?

हल : आयत की लंबाई (l) = 3 m
आयत की चौड़ाई (b) = 2 m
∴ आयत का क्षेत्रफल = 3 m × 2 m = 6 m²
वृत्त का व्यास = 1 m
वृत्त की त्रिज्या (R) = \(\frac{1}{2}\) m
∴ वृत्त का क्षेत्रफल = πR²
= π(\(\frac{1}{2}\))²
= \(\frac{\pi}{4}\) m²
वृत्त के अंदर गिरने वाले पासे = वृत का क्षेत्रफल / आयत का क्षेत्रफल
= \(\frac{\frac{\pi}{4} m^{2}}{6 m^{2}}=\frac{\pi}{24}\)
∴ अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac{\pi}{24}\)

प्रश्न 21.
144 बॉल पेनों के एक समूह में 20 बॉलपेन खराब हैं और शेष अच्छे हैं। आप वही पेन खरीदना चाहेंगे जो अच्छा हो, परंतु खराब पेन आप खरीदना नहीं चाहेंगे। दुकानदार इन पेनों में से, यादृच्छया एक पेन निकालकर आपको देता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि
(i) आप वह पेन खरीदेंगे ?
(ii) आप वह पेन नहीं खरीदेंगे ?
हल :
समूह में बॉल पेनों की कुल संख्या = 144
खराब पेनों की संख्या = 200
∴ अच्छे पेनों की संख्या = 144 – 20 = 124

(i) मान लीजिए आप वह पेन खरीदने की घटना A है
∴ पेन खरीदने की प्रायिकता = \(\frac{144}{124}\)
P(A) = \(\frac{31}{36}\)

(ii) वह पेन नही खरीदने की घटना \(\overline{\mathrm{A}}\) होगी :
P(\(\overline{\mathrm{A}}\)) = 1 – P (A)
= 1 – \(\frac{31}{36}\)
= \(\frac{36-31}{36}\)
∴ P(पेन नहीं खरीदने) = \(\frac{5}{36}\)

प्रश्न 22.
एक सलेटी पासे और एक नीले पासे को एक साथ फेंका जाता है। सभी संभावित परिणामों का लिाखए।
(i) निम्नलिखित सारणी को पूरा कीजिए :

(ii) एक विद्यार्थी यह तर्क देता है कि ‘यहाँ कुल 11 परिणाम 2, 3, 4, 5, 6, 7,8,9 10, 11 और 12 हैं। अतः, प्रत्येक की प्रायिकता है। क्या आप इस तर्क से सहमत हैं ? सकारण उत्तर दीजिए।
हल :
जब दो पासे फेंके जाते हैं तो संभाव्य परिणामों की कुल संख्या है :
S = [(1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6) (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2,6) (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6) (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6) (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5,5) (5, 6) (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6),]
n(S) = 36
मान लीजिए योग 3 प्राप्त करना’ घटना A है।
∴ A = {(1,2) (2,1)}
n (A) = 2
∴ योग 3 प्राप्त करने की प्रायिकता = \(\frac{2}{36}=\frac{1}{18}\)
P(A) = \(\frac{1}{18}\)

मान लीजिए ‘योग 4 प्राप्त करना’ घटना B है
B = {(1, 3), (3, 1), (2, 2)}
n(B) = 3
∴ P(B) = \(\frac{3}{36}=\frac{1}{12}\)

मान लीजिए ‘योग 5 प्राप्त करना’ घटना C है
C = {(14) (4, 1) (2, 3) (3, 2)}
n (C) = 4
P(C) = \(\frac{4}{36}=\frac{1}{9}\)

मान लीजिए ‘योग 6 प्राप्त करना’ घटना D है
D = {(1, 5) (5, 1) (2,4) (4, 2) (3, 3)},
n(D) = 5
∴ P(6) = \(\frac{5}{36}\)

मान लीजिए ‘योग 7 प्राप्त करना’ घटना E है
E = {(1.6) (6, 1) (2, 5) (5, 2) (4, 3) (3,4)}
∴ P(E) = P (योग 7 प्राप्त करना) = \(\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\)

जब दोनो पासों को फेंका जाता हैं तो मान लीजिए ‘योग 8 प्राप्त करना’ घटना F है
F = {(2, 6) (6, 2) (3, 5) (4, 4) (5, 3)}
∴ n (F) = 5
P (F) = P (योग 8 प्राप्त करना) = \(\frac{5}{36}\)

मान लीजिए ‘योग 9 प्राप्त करना’ घटना G है
G = {(4, 5) (5, 4) (3, 6) (6, 3)}
n(G) = 4 .
∴ P (G) = P (योग 9 प्राप्त करना) = \(\frac{4}{36}=\frac{1}{9}\)

मान लीजिए ‘योग 10 प्राप्त करना’ घटना H है
H = {(6, 4) (4. 6) (5, 5)}
n (H) = 3
∴ P(H) = P (योग 10 प्राप्त करना) = \(\frac{3}{36}=\frac{1}{12}\)

मान लीजिए ‘योग 11 प्राप्त करना’ घटना I है
I = {(5,6) (6, 5)}
n (I) = 2
∴ P(I) = \(\frac{3}{36}=\frac{1}{12}\)

मान लीजिए ‘योग 12 प्राप्त करना’ घटना J है
J= {(6, 6};
n (J) = 1
∴ P (J) = \(\frac{1}{36}\)

(ii) नहीं सभी 11 संभाव्य परिणाम समप्रायिक नहीं हैं। क्योंकि उनकी प्रायिकता भिन्न-भिन्न है।

प्रश्न 23.
एक खेल में एक रुपए के सिक्के को तीन बार उछाला जाता है और प्रत्येक बार का परिणाम लिख लिया जाता है। तीनों परिणाम समान होने पर, अर्थात् तीन चित या तीन पट प्राप्त होने पर, हनीफ खेल में जीत जाएगा, अन्यथा वह हार जाएगा। हनीफ के खेल में हार | जाने की प्रायिकता परिकलित कीजिए।
हल :
जब एक रुपये के सिक्के को तीन बार उछाला जाता है तो संभाव्य परिणाम हैं :
S = {HHH, HHT HTH, THH, HTT, THT, TTH, TIT}
n (S) = 8
मान लीजिए तीनों परिणाम समान होना घटना A है अर्थात् {HHH, TIT}
∴ P(A) = हार जाने की प्रायिकता = 1 – P (A)
P\((\overline{\mathrm{A}})\) = \(1-\frac{1}{4}=\frac{4-1}{4}=\frac{3}{4}\)
∴ हार जाने की प्रायिकता = \(\frac{3}{4}\)

प्रश्न 24.
एक पासे को दो बार फेंका जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि
(i) 5 किसी भी बार में नहीं आएगा ?
(ii) 5 कम से कम एक बार आएगा ?
हल :
जब पासे को दो बार फेंका जाता है तो सभी संभाव्य परिणाम हैं :
S = [(1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6) (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6) (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6) (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6) (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6) (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)]
n (S) = 36
मान लीजिए ‘5 प्रत्येक बार 5 आएगा’ घटना A है
A = {(1, 5) (2, 5) (3, 5) (4, 5) (5, 5) (6, 5) (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5)}
n (A) = 11
∴ 5 किसी भी बार नहीं आएगा’ घटना \(\overline{\mathrm{A}}\) है
n(\(\overline{\mathrm{A}}\)) = 36 – 11 = 25

(i) ∴ ‘5 किसी भी बार में नहीं आएगा’ की प्रायिकता = \(\frac{25}{36}\)
P(\(\overline{\mathrm{A}}\)) = \(\frac{25}{36}\)
कम से कम एक बार आएगा’ की प्रायिकता = \(\frac{11}{36}\)
∴ P(A) = \(\frac{11}{36}\)

प्रश्न 25.
निम्नलिखित में से कौन-से तर्क सर्त्य हैं और कौन-से तर्क असत्य हैं ? सकारण उत्तर दीजिए।
(i) यदि दो सिक्कों को एक साथ उछाला जाता है, तो इसके तीन संभावित परिणाम-दो चित, दो पट या प्रत्येक एक बार हैं। अतः, इनमें से प्रत्येक परिणाम की प्रायिकता \(\frac{1}{3}\) है।
(ii) यदि एक पासे को फेंका जाता है, तो इसके दो संभावित परिणाम-एक विषम संख्या या एक सम संख्या हैं। अतः एक विषम संख्या ज्ञात करने की प्रायिकता \(\frac{1}{2}\) है।
हल :
(i) जब दो सिक्कों को उछाला जाता है, तो संभाव्य परिणाम हैं :
S = {HH, HT, TH, TT}
दो चित प्राप्त करने की प्रायिकता = \(\frac{1}{4}\)
P (HH) = \(\frac{1}{4}\)
दो पट प्राप्त करने की प्रायिकता = \(\frac{1}{4}\)
P (TT) = \(\frac{1}{4}\)
एक चित और एक पट प्राप्त करने की प्रायिकता
∴ (i) तर्क असत्य है।

(ii) जब पासे को फेंका जाता है तो संभाव्य परिणाम हैं:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
n (S) = 6
विषम संख्याएँ हैं : 1, 3, 5
∴ विषम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता = \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)
सम संख्याएँ हैं : 2, 4, 6
∴ सम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता = \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)

(ii) तर्क सत्य है।

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.4 Textbook Exercise Questions and Answers

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.4

प्रश्न 1.
निम्नलिखित बंटन किसी फैक्टरी के 50 श्रमिकों की दैनिक आय दर्शाता है :

‘उपरोक्त बंटन को एक कम प्रकार’ के संचयी बारंबारता बंटन में बदलिए और उसका तोरण खींचिए।
हल:

हम हमें बिंदुओं,
अर्थात् (120, 12); (140, 26) ; (160, 34) ; (180, 40) ; (200, 50) को ग्राफ पेपर पर आलेखित करते हैं। हम एक कम प्रकार के संचय बारंबारता का ग्राफ प्राप्त करते है।
चुना गया पैमाना :
x-अक्ष पर मात्रक 10 मात्रक = रु 10
y-अक्ष 10 मात्रक = 5 श्रमिक

प्रश्न 2.
किसी कक्षा के 35 विद्यार्थियों की मेडिकल जाँच के समय, उनके भार निम्नलिखित में रिकार्ड किए गए :

उपरोक्त आँकड़ों के “लिए कम प्रकार का तोरण’ खींचिए। इसके बाद माध्यक भार ज्ञात कीजिए। हल भार विद्यार्थियों की संख्या । वर्ग अंतराल
हल :

अब, आलेख पर बिंदुओं अर्थात् (38, 0) ; (40, 3) ; (42, 5) ; (44, 9) ; (46, 14); (48, 28); (50, 32); (52, 35) आलेखित करने पर हमें से कम प्रकार की संचयी बारंबारता बहुभज प्राप्त होता है।
चुना गया पैमाना :
x-अक्ष पर, 10 मात्रक = 2 किग्रा
y-अक्ष पर 10 मात्रक = 5 विद्यार्थी

उपरोक्त आलेख से, यह स्पष्ट है कि माध्यक = 46.5 कि ग्रा जोकि अंतराल 46-48 में स्थित है
अब, दी गई सारणी में
Σf_i = n = 35 n 35
∴ \(\frac{n}{2}=\frac{35}{2}\) = 17.5 ;
जोकि अंतराल 46 – 48 में स्थित है।
∴ माध्यक वर्ग = 46 – 48
इसलिए,
l = 46 ; n = 35 ; f= 14 ; cf = 14 और h = 2
सूत्र का प्रयोग करने पर, माध्यक = l + \(\left\{\frac{\frac{n}{2}-c f}{f}\right\}\) × h
माध्यक = 46 + \(\left\{\frac{\frac{35}{2}-14}{14}\right\}\) × 2
= 46 + \(\left\{\frac{\frac{35-28}{2}}{14}\right\}\) × 2
= 46 + \(\frac{7}{2} \times \frac{1}{14}\) × 2
= 46 + \(\frac{1}{2}\)
= 46 + 0.5 = 46.5
उपरोक्त चर्चा और ग्राफ से यह स्पष्ट है कि दोनों स्थितियों में माध्यक एक समान ही है।
अतः, विद्यार्थियों का माध्यक भार 46.5 किग्रा है।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित सारणी किसी गाँव के 100 फार्मों में हुआ प्रतिहेक्टेयर (ha) गेहूँ का उत्पादन दर्शाते हैं :

इस बंटन को “अधिक के प्रकार के” बंटन में बदलिए और फिर उसका तोरण खींचिए
हल :

अब, हम बिंदुओं अर्थात् (50, 100) ; (55, 98) ; (60, 90) ; (65, 78); (70, 54); (75, 16) को ग्राफ पेपर पर आलेखित करते हैं।
हम अधिक के प्रकार’ की संचयी बारंबारता का ग्राफ प्राप्त करते हैं।
चुना गया पैमाना:
x-अक्ष पर 10 मात्रक = 5 kg/ha
y-अक्ष पर 10 मात्रक = 10 फार्म

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.3 Textbook Exercise Questions and Answers

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.3

प्रश्न 1.
निम्नलिखित बारंबारता बंटन किसी मोहल्ले के 68 उपभोक्ताओं की बिजली कर मासिक खपत दर्शाता है। इन आंकड़ों के माध्यक, माध्य और बहुलक ज्ञात कीजिए। इनकी तुलना कीजिए।

हल:
माध्यक के लिए:

यहाँ, Σf_i = n = 68 तो \(\frac{n}{2}=\frac{68}{2}\) = 34
जो कि वर्ग अतंराल 125 – 145 में स्थित है।
∴ माध्यक वर्ग = 125 – 145
अतः,l = 125; n = 68; f = 20 ; cf = 22 और h = 20
सूत्र का प्रयोग करने पर, माध्यक = l + \(\left[\frac{\frac{n}{2}-c f}{f}\right]\) × h
= 25 + \(\left\{\frac{\frac{68}{2}-22}{20}\right\}\) × 20
= 125 + \(\frac{34-22}{20}\) × 20
= 125 + 12 = 137

माध्य के लिए:

उपरोक्त आँकड़ों से, कल्पित मान (a) = 135
वर्ग माप (h) = 20
∴ \(\bar{u}=\frac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}}=\frac{7}{68}\) = 0.102
सूत्र का प्रयोग करने पर, माध्य \((\overline{\mathrm{X}})=a+h \bar{u}\)
\(\overline{\mathrm{X}}\) = 135 + 20 (0.102)
= 135 + 2.04 = 137.04
बहुलक के लिए: दिए गए आँकड़ों में अधिकतम बारंबारता 20 है और इसके संगत वर्ग 125 – 145 है
∴ बहुलक वर्ग = 125 – 145
इसलिए,
l = 125; f = 20; f = 13; f = 14 और h = 20
सूत्र का प्रयोग करने पर, बहुलक = l + \(\left(\frac{f_{1}-f_{0}}{2 f_{1}-f_{0}-f_{2}}\right)\)
बहुलक = 125 + \(\left(\frac{20-13}{2(20)-13-14}\right)\) x 20
= 125 +\(\frac{7}{40-27}\) x 20
= 125 + \(\frac{140}{13}\)
= 125 + 10.76923
= 125 + 10.77 = 135.77.
अतः दिए गए आंकड़ों का माध्यक, माध्य और बहुलक है : 137 मात्रक, 137.04 मात्रक और 135.77 मात्रक।

प्रश्न 2.
यदि नीचे दिए हुए बंटन का माध्यक 28.5 हो, तो x और y के मान ज्ञात कीजिए :

हल:

दिए गए आंकड़ों में, if Σf_i = n = 60
∴ \(\frac{n}{2}=\frac{60}{2}\) = 30
साथ ही, बंटन का माध्यक = 28.5 …………(दिया है)
जोकि वर्ग अंतराल 20 – 30 में स्थित है।
∴ माध्यक वर्ग = 20 – 30
इसलिए, l = 20 ; f = 20 ; cf = 5 + x ; h = 10
सारणी से यह स्पष्ट है कि 45 + x + y = 60
x + y = 60 – 45 = 15
य x + y = 15 …………….(1)
अब, सूत्र का प्रयोग करने पर
माध्यक = l + \(\left\{\frac{\frac{n}{2}-c f}{f}\right\}\) × h
28.5 = 20 + \(\left\{\frac{30-(5+x)}{20}\right\}\) × 10
28.5 = 20 + \(\frac{30-5-x}{2}\)
28.5 = \(\frac{40+25-x}{2}\)
2(28.5) = 65 – x
57.0 = 65- x
x = 65 – 57 = 8
∴ x = 8
x के इस मान को (1) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है,
8 + y = 15
y = 15 – 8 = 7
अतः, x और y के मान 8 और 7 हैं।

प्रश्न 3.
एक जीवन बीमा एजेंट 100 पॉलिसी धारकों की आयु में बंटन के निम्नलिखित आंकड़ें ज्ञात करता है। माध्यक आयु परिकलित कीजिए, यदि पॉलिसी केवल उन्हीं व्यक्तियों को दी जाती है, जिनकी आयु 18 वर्ष या उससे अधिक हो, परंतु 60 वर्ष से कम हो।

हल:

यहाँ, Σf_i = n = 100
तो, \(\frac{n}{2}=\frac{100}{2}\) = 50,
जोकि अंतराल 35 – 40 में स्थित है।
∴ माध्यक वर्ग = 35 – 40
इसलिए,
1 = 35 ; n = 100 ; f = 33 ; cf = 45 और h = 5
सूत्र का प्रयोग करने पर,
माध्यक = l + \(\left\{\frac{\frac{n}{2}-c f}{f}\right\}\) × h
= 35 + \(\left\{\frac{\frac{100}{2}-45}{33}\right\}\) × 5
= 35 + \(\frac{50-45}{33}\) × 5
= 35 + \(\frac{25}{33}\)
= 35 + 0.7575
= 35 + 0.76 (लगभग)
= 35.76
अतः, दिए गए आंकड़ों की माध्यक आयु 35.76 वर्ष है।

प्रश्न 4.
एक पौधे की 40 पत्तियों की लंबाईयाँ निकटतम मिली मीटरों में मापी जाती है तथा प्राप्त आंकड़ों को निम्नलिखित सारणी के रूप में निरुपित किया जाता है :

पत्तियों की माध्यक लंबाई ज्ञात कीजिए।
हल :
क्योंकि बारंबारता बंटन लगातार नहीं है हम इसे पहले लगातार बंटन में परिवर्तित करेंगे

यहाँ, Σf_i = n = 40 Ef=n = 40 n 40
तो \(\frac{n}{2}=\frac{40}{2}\) = 20,
जो कि अंतराल 144.5 – 153.5 में स्थित है।
∴ माध्यक वर्ग = 144.5 – 153.5
इसलिए,
l = 144.5 ; f = 12 ; cf = 17; h = 9
सूत्र का प्रयोग करने पर,
माध्यक = l + \(\left\{\frac{\frac{n}{2}-c f}{f}\right\}\) × h
माध्यक = 144.5 + \(\left\{\frac{20-17}{12}\right\}\) × 9
= 144.5 + \(\frac{3 \times 9}{12}\)
= 144.5 + 2.25 = 146.75
अतः, पत्तियों की माध्यक लंबाई 146.75 mm है।

प्रश्न 5.
निम्नलिखित सारणी 400 नियॉन लैंपों के जीवन कालों (life time) को प्रदर्शित करती है : जीवन काल (घंटों में)

एक लैंप का माध्यक जीवन काल ज्ञात कीजिए। पत्तियों की माध्यक लंबाई ज्ञात कीजिए।
हल :
क्योंकि बारंबारता बंटन लगातार नहीं है हम इसे पहले लगातार बंटन में परिवर्तित करेंगे

यहाँ, Σf_i = n = 40
∴ तो, \(\frac{n}{2}=\frac{40}{2}\) = 20,
जो कि अंतराल 3000 – 3500 में स्थित है।
∴ माध्यक वर्ग = 3000 – 3500
इसलिए, l = 3000 ; n = 400 ; f = 86 ; cf = 130 और h = 500
सूत्र का प्रयोग करने पर, माध्यक वगई = l + \(\left\{\frac{\frac{n}{2}-c f}{f}\right\}\) × h
माध्यक = 3000 + \(\left\{\frac{\frac{400}{2}-130}{86}\right\}\) × 500
= 3000 + \(\left(\frac{200-130}{86}\right)\) × 500
= 3000 + \(\frac{70 \times 500}{86}\)
= 3000 + 406.9767441
= 3000 + 406.98 (लगभग) = 3406.98
अतः, लेंप का जीवन काल 3406.98 घंटे है।

प्रश्न 6.
एक स्थानीय टेलीफोन निर्देशिका से 100 कुल नाम (surnames) लिए गए उनमें प्रयुक्त अंग्रेज़ी वर्णमाला के अक्षरों की संख्या का निम्नलिखित बारंबारता बंटन प्राप्त हुआ :

हल:

Σf_i = n = 100
∴ \(\frac{n}{2}=\frac{100}{2}\) = 50
जोकि अंतराल 7 – 10 में स्थित है।
∴ माध्यक वर्ग = 7 – 10
इसलिए,
l = 7; n = 100 ; f = 40 ; cf = 36 और h = 3
सूत्र का प्रयोग करने पर, माध्यक = l + \(\left\{\frac{\frac{n}{2}-c f}{f}\right\}\) × h
माध्यक = 7 + \(\left\{\frac{\frac{100}{2}-36}{40}\right\}\) × 3
= 7 + \(\left\{\frac{50-36}{40}\right\}\) × 3
= 7 + \(\frac{14 \times 3}{40}\)
= 7 + \(\frac{21}{20}\)
= 7 + 1.05 = 8.05
अतः, माध्यक अक्षरों की संख्या 8.05 है।

माध्य के लिए:

उपरोक्त आँकड़ों से, कल्पित माध्य (a) = 8.5
वर्ग माप (h) = 3
∴ \(\bar{u}=\frac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}}=\bar{u}=\frac{-6}{100}\) = – 0.06
सूत्र का प्रयोग करने पर,
माध्यक \((\bar{x})=a+h \bar{u}\)
\(\bar{x}\) = 8.5 + 3 (- 0.06)
= 8.5 – 0.18 = 8.32
अतः, कुल नामों में माध्य अक्षरों की संख्या 8.32 अक्षर है।

बहुलक के लिए :
दिए गए आँकड़ों में अधिकतम बारंबारता 40 है और इसका संगत अंतराल 7 – 10 है।
∴ बहुलक वर्ग = 7 – 10
इसलिए,
l = 7; f₁ = 40 ; f₀ = 30 ; f₂ = 16 और h = 3
सूत्र का प्रयोग करने पर,
बहुलक = l + \(\left(\frac{f_{1}-f_{0}}{2 f_{1}-f_{0}-f_{2}}\right)\) × h
बहुलक = 7 + \(\left(\frac{40-30}{2(40)-30-16}\right)\) × 3
= 7 + \(\frac{10}{80-46}\) × 3
= 7 + \(\frac{30}{34}\)
= 7 + 0.882352941
= 7 + 0.88 (लगभग) = 7.88
अतः, कुलनामों का बहुलक माप 7.88 अक्षर है।

प्रश्न 7.
नीचे दिया हुआ बंटन एक कक्षा के 30 विद्यार्थियों के भार दर्शा रहा है। विद्यार्थियों का माध्यक भार ज्ञात कीजिए:

हल:

यहाँ Σf_i = n = 30
∴ \(\frac{n}{2}=\frac{30}{2}\) = 15;
जोकि अंतराल 55 – 60 में स्थित है।
∴ माध्यक वर्ग = 55 – 60
इसलिए, n = 30; f = 6; cf = 13 और h = 5
सूत्र का प्रयोग करने पर, माध्यक = l + \(\left\{\frac{\frac{n}{2}-c f}{f}\right\}\) × h
माध्यक = 55 + \(\left\{\frac{\frac{30}{2}-13}{6}\right\}\) × 5
= 55 + \(\left\{\frac{15-13}{6}\right\}\) × 5
= 55 + \(\frac{2 \times 5}{6}\)
माध्यक = 55 + \(\frac{5}{3}\)
= 55 + 1.66666
= 55 + 1.67 लगभग = 56.67
अतः, माध्यक भार 56.67 किलोग्राम है।

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.2 Textbook Exercise Questions and Answers

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.2

प्रश्न 1.
निम्नलिखित सारणी किसी अस्पताल में एक विशेष वर्ष में भर्ती हुए रोगियों की आयु को दर्शाती है :

संख्या उपरोक्त आँकड़ों के बहुलक और माध्य ज्ञात कीजिए। दोनों केंद्रीय प्रवृत्ति की मापों की तुलना कीजिए और उनकी व्याख्या कीजिए।
हल :
बहुलक के लिए :
दिए गए आँकड़ों में अधिकतम बारंबारता 23 है और इसके संगत वर्ग अंतराल 35 – 45 है :
∴ बहुलक वर्ग = 35 – 45 इसलिए,
l = 35 ; f₁ = 23 ; f₀ = 21; f₂ = 14 और h = 10
सूत्र का प्रयोग करने पर, बहुलक = l + \(\left(\frac{f_{1}-f_{0}}{2 f_{1}-f_{0}-f_{2}}\right)\) × h
बहुलक = 35 + \(\left[\frac{23-21}{2(23)-21-14}\right]\) × 10
= 35 + \(\frac{2}{46-35}\) × 10
= 35 + \(\frac{20}{11}\)
= 35 + 1.8 = 36.8

माध्य के लिए

उपरोक्त आँकड़ों से
कल्पित मान (a) = 30
वर्ग माप (h) = 10
∴ \(\bar{u}=\frac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}}=\frac{43}{80}\) = 0.5375
सूत्र का प्रयोग करने पर, माध्य \((\overline{\mathrm{X}})=a+h \bar{u}\)
\(\overline{\mathrm{X}}\) = 30 + 10 (0.5375)
= 30 + 5.375
= 35.375 = 35.37
अतः दिए गए आँकड़ों का बहुलक 36.8 वर्ष है और दिए गए आँकड़ों का माध्य 35.37 है
साथ ही, उपरोक्त चर्चा से यह स्पष्ट है कि अस्पताल में भर्ती हुए रोगियों की औसत आयु 35.37 वर्ष है और अस्पताल में भर्ती हुए अधिकतम रोगियों की आयु 36.8 वर्ष है।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित आंकड़े, 225 बिजली उपकरणों के प्रेक्षित जीवन काल (घंटों में) की सूचना देते हैं :

उपकरणो का बहुलक जीवन काल ज्ञात कीजिए।
हल :
दिए गए आँकड़ों में अधिकतम बारंबारता 61 है और इसकी संगत वर्ग अंतराल 60 – 80 है।
बहुलक वर्ग = 60 – 80
अतः, l = 60 ; f₁ = 61; f₀ = 52 ; f₂ = 38 और h = 20
सत्र का प्रयोग करने पर. बहलक = l + \(\left(\frac{f_{1}-f_{0}}{2 f_{1}-f_{0}-f_{2}}\right)\) × h
बहलुक = 60 + \(\left(\frac{61-52}{2(61)-52-38}\right)\) × 20
= 60 + \(\frac{9}{122-52-38}\) × 20
= 60 + \(\frac{9}{32}\) × 20
= 60 + \(\frac{180}{32}\)
= 60 + 5.625 = 65.625
अतः, उपकरणों का बहुलक जीवन काल 65.625 घंटे है।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित आँकड़े किसी गाँव के 200 परिवारों के कुल मासिक घरेलू व्यय के बंटन को दर्शाते हैं। इन परिवारों का बहुलक मासिक व्यय ज्ञात कीजिए। साथ ही, माध्य मासिक व्यय भी ज्ञात कीजिए।

हल :
बहुलक के लिए:
दिए गए आँकड़ों में अधिकतम बारंबारता 40 है तथा इस बारंबारता के संगत वर्ग 1500 – 2000 है।
बहुलक वर्ग = 1500 – 2000
अतः, l = 1500 ; f₁ = 40; f₀ = 24 ; f₂ = 33 और h = 500
सूत्र का प्रयोग करते हुए, बहुलक = l + \(\left(\frac{f_{1}-f_{0}}{2 f_{1}-f_{0}-f_{2}}\right)\) × h
= 1500 + \(\left\{\frac{40-24}{2(40)-24-33}\right\}\) × 500
= 1500 + \(\left\{\frac{16}{80-24-33}\right\}\) × 500
= 1500 + \(\frac{16 \times 500}{23}\)
= 1500 + \(\frac{8000}{23}\)
= 1500 + 347.83 = 1847.83
मध्य के लिए:

उपरोक्त आँकड़ों से,
कल्पित माध्य (a) = 2750
वर्ग माप (h) = 500
∴ \(\frac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}}=-\frac{35}{200}\) = – 0.175

सूत्र का प्रयोग करने पर,
माध्य \((\overline{\mathrm{X}})=a+h \bar{u}\)
\(\overline{\mathrm{X}}\) = 2750 + 500 (- 0.175)
= 2750 – 87.50
= 2662.50
अतः, परिवारों का बहुलक मासिक व्यय ₹ 1847.83 है और माध्य मासिक व्यय ₹ 2662.50 है।

प्रश्न 4.
निम्नलिखित बंटन भारत के उच्चतर माध्यमिक स्कूलों में, राज्यों के अनुसार, शिक्षक विद्यार्थी अनुपात को दर्शाता है। इन आँकड़ों के बहुलक और माध्य ज्ञात कीजिए। दोनों मापकों की व्याख्या कीजिए।

हल :
बहुलक के लिए: दिए गए आँकड़ों में अधिकतम बारंबारता 10 है और इसके संगत वर्ग अंतराल 30 – 35 है।
∴ बहुलक वर्ग = 30 – 35.
इसलिए,
l = 30; f₁ = 10 ; f₀ = 9; f₂ = 3 और h = 5
सूत्र के प्रयोग से,
बहुलक = l + \(\left(\frac{f_{1}-f_{0}}{2 f_{1}-f_{0}-f_{2}}\right)\) × h
बहुलक = 30 + \(\left(\frac{10-9}{2(10)-9-3}\right)\) × 5
= 30 + \(\frac{1}{20-12}\) × 5
= 30 + \(\frac{5}{8}\)
= 30 + 0.625 = 30.625 = 30.63 (लगभग)

माध्य के लिए:

उपरोक्त आँकड़ों से, कल्पित माध्य (a) = 32.5
वर्ग माप (h) = 5
∴ \(\bar{u}=\frac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}}=-\frac{23}{35}\) = – 0.65
सूत्र का प्रयोग करने पर, माध्य \((\overline{\mathrm{X}})=a+h \bar{u}\)
\(\overline{\mathrm{X}}\) = 32.5 + 5 (-0.65)
= 32.5 – 3.25 = 29.25 (लगभग)
अतः, दिए गए आँकड़ों का बहुलक और माध्य 30.63 और 29.25 है।
साथ ही, उपरोक्त चर्चा से यह स्पष्ट है कि राज्यों/संघीय क्षेत्र में प्रतिशिक्षक विद्यार्थियों की संख्या 30.63 है और औसत के अनुसार यह अनुपात 29.25 है।

प्रश्न 5.
दिया हुआ बंटन विश्व के श्रेष्ठतम बल्लेबाजों द्वारा एक दिवसीय अंतर्राष्ट्रीय क्रिकट मैचों में बनाए गए रनों को दर्शाता है :

इन आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए।
हल :
दिए गए आँकड़ों में, अधिकतम बारंबारता 18 है और इसके संगत वर्ग अंतराल 4000 – 5000 है।
∴ बहुलक वर्ग = 4000 – 5000 अतः,
l = 4000 ; f₁ = 18 ; f₀ = 4; f₂ = 9 और h = 1000
सूत्र का प्रयोग करने पर, बहुलक = l + \(\left(\frac{f_{1}-f_{0}}{2 f_{1}-f_{0}-f_{2}}\right)\) × h
बहुलक = 4000 + \(\left(\frac{18-4}{2(18)-4-9}\right)\) × 1000
= 4000 + \(\frac{14}{36-13}\) × 1000
= 4000 + \(\frac{14000}{23}\) × 1000
= 4000 + 608.6956
= 4000 + 608.7 = 4608.7 (लगभग)
अतः, दिए गए आंकड़ों का बहुलक 4608.7 रन है।

प्रश्न 6.
एक विद्यार्थी ने एक सड़क के किसी स्थान से होकर जाती हुई कारों की संख्याएँ नोट की और उन्हें नीचे दी हुई सारणी में व्यक्त किया। सारणी में दिया प्रत्येक प्रेक्षण 3 मिनट के अंतराल में उस स्थान से होकर जाने वाली कारों की संख्याओं से संबंधित है। ऐसे 100 अंतरालों पर प्रक्षेण लिए गए। इन आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए।

हल :
दिए गए आंकड़ों में अधिकतम बारंबारता 20 है और इसके संगत वर्ग अंतराल 40 – 50 है।
बहुलक वर्ग = 40 – 50
इसलिए,
l = 40; f₁ = 20 ; f₀ = 12 ; f₂ = 11 और h = 10
सूत्र का प्रयोग करने पर,
बहुलक = l + \(\left(\frac{f_{1}-f_{0}}{2 f_{1}-f_{0}-f_{2}}\right)\) × h
बहुलक: = 40 + \(\left(\frac{20-12}{2(20)-12-11}\right)\) × 10
= 40 + \(\frac{8}{40-23}\) × 10
= 40 + \(\frac{80}{17}\)
= 40 + 4.70588
= 40 + 4.7 = 44.7 (लगभग)
अतः, दिए हुए आँकड़ों का बहुलक 44.7 कारें।

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.1 Textbook Exercise Questions and Answers

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.1

प्रश्न 1.
विद्यार्थियों के एक समूह द्वारा पर्यावरण संचेतना अभियान के अंतर्गत एक सर्वेक्षण किया गया, जिसमें उन्होंने एक मोहल्ले के 20 घरों में लगे हुए पौधों से संबंधित निम्नलिखित आँकड़े एकत्रित किए। प्रतिघर माध्य पौधों की संख्या ज्ञात कीजिए।

माध्य ज्ञात करने के लिए आपने किस विधि का प्रयोग किया और क्यों ?
हल :
क्योंकि पौधों की संख्या और घरों की संख्या मानों में कम है, इसलिए हमें प्रत्यक्ष विधि का प्रयोग करना चाहिए पौधों की संख्या

माध्य \(\overline{\mathrm{X}}=\frac{\Sigma f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{i}}\)
= \(\frac{162}{20}\) = 8.1
अतः, प्रति घर पौधों को संख्या का माध्य 8.1 है।

प्रश्न 2.
किसी फैक्टरी के 50 श्रमिकों की दैनिक मजदूरी के निम्नलिखित बंटन पर विचार कीजिए :

एक उपर्युक्त विधि का प्रयोग करते हुए इस फैक्टरी के श्रमिकों की माध्य दैनिक मज़दूरी ज्ञात कीजिए।
हल :

दिए गए आँकड़ों से
कल्पित मान (a) = 150
और वर्ग माप (h) = 20
∴ \(\bar{u}=\frac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}}\)
= \(\frac{-12}{50}\) = – 0.24
सूत्र का प्रयोग करने पर, माध्य (\(\overline{X}\)) = a + h\(\overline{u}\)
= 150 + (20) (- 0.24)
= 150 – 4.8 = 145.2
अतः फैक्टरी के श्रमिकों की माध्य दैनिक मज़दूरी ₹ 145.20 है।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित बंटन एक मोहल्ले के बच्चों के दैनिक जेब खर्च दर्शाता है। माध्य जेब खर्च ₹18 है। लुप्त बारंबारता f ज्ञात कीजिए।

हल :

उपरोक्त आँकड़ों से
कल्पित माध्य (a) = 18
सूत्र का प्रयोग करने पर, माध्य \((\overline{\mathrm{X}})=a+\frac{\Sigma f_{i} d_{i}}{\Sigma f_{i}}\)

\(\overline{\mathrm{X}}=18+\frac{2 f-40}{44+f}\)

आँकड़ों का माध्य \((\overline{\mathrm{X}})\) = 18 …..(दिया है)
18 = 18 + \(\frac{2 f-40}{44+f}\)
\(\frac{2 f-40}{44+f}\) = 18 – 18 = 0 44 +f
2f – 40 = 0
2f = 40
f = \(\frac{40}{2}\) = 20
अतः, लुप्त बारंबारता f = 20 है।

प्रश्न 4.
किसी अस्पताल में, एक डॉक्टर द्वारा 30 महिलाओं की जाँच की गई और उनके हृदय स्पंदन (beat) की प्रति मिनट संख्या नोट करके नीचे दर्शाए अनुसार संक्षिप्त रूप में लिखी गई। एक उपयुक्त विधि चुनते हुए, इन महिलाओं के हृदय स्पंदन की प्रतिमिनट मध्य संख्या ज्ञात कीजिए।

हल :

उपरोक्त आँकड़ो से,
कल्पित माध्य (a) = 75.5
वर्ग माप (h) = 3
\(\bar{u}=\frac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}}\)
= \(\frac{4}{30}\) = 0.13 (लगभग)
सूत्र का प्रयोग करने पर,
माध्य \((\overline{\mathrm{X}})=a+h \bar{u}\)
= 75.5 + 3 (0.13)
= 75.5 + 0.39
\(\overline{\mathrm{X}}\) = 78.89
अतः महिलाओं के हृदय स्पंदन की प्रति मिनट माध्य संख्या 78.89 है।

प्रश्न 5.
किसी फुटकर बाजार में, फल विक्रेता पेटियों में रखे आम बेच रहे थे। इन पेटियों में आमों की संख्याएँ भिन्न-भिन्न थीं। पेटियों की संख्या के अनुसार, आमों का बंटन निम्नलिखित था :

एक पेटी में रेखे आमों की माध्य संख्या ज्ञात कीजिए। आपने माध्य ज्ञात करने की किस विधि का प्रयोग किया ?
हल :
क्योंकि आमों की संख्या और पेटियों की संख्या के मान संख्यात्मक रूप से बड़े हैं इसलिए हम पद विचलन विधि का प्रयोग करेंगे।

उपरोक्त आँकड़ो से,
कल्पित माध्य (a) = 57
वर्गमाप (h) = 3
∴ \(\bar{u}=\frac{\sum f_{i} u_{i}}{\sum f_{i}}\)
\(\bar{u}=\frac{25}{400}\) = 0.0625
सूत्र का प्रयोग करने पर, माध्य \((\overline{\mathrm{X}})=a+h \bar{u}\)
\(\overline{\mathrm{X}}\) = 57 + 3 (0.0625)
= 57 + 0.1875
= 57.1875
= 57.19 (लगभग)
अतः, पेटी में रखे आमों की माध्य संख्या 57.19 है।

प्रश्न 6.
निम्नलिखित सारणी किसी मोहल्ले के 25 परिवारों में भोजन पर हुए दैनिक व्यय को दर्शाती है :

एक उपयुक्त विधि द्वारा भोजन पर हुआ माध्य व्यय ज्ञात कीजिए।
हल:

उपरोक्त आँकड़ों से,
कल्पित माध्य (a) = 225
वर्ग माप (h) = 50
∴ \(\bar{u}=\frac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}}\)

\(\bar{u}=-\frac{7}{25}\)
= – 0.28
सूत्र का प्रयोग करने पर, माध्य \((\overline{\mathrm{X}})=a+h \bar{u}\)
\(\overline{\mathrm{X}})\) = 225 + 50 (- 0.28)
\(\overline{\mathrm{X}})\) = 225 – 14
\(\overline{\mathrm{X}})\) = 211
अतः, भोजन पर हुआ माध्य व्यय ₹ 211 है।

प्रश्न 7.
वायु में सल्फर डाइआक्साइड (SO₂) की सांद्रता (भाग प्रतिमिलियन में) को ज्ञात करने के लिए, एक नगर के 30 को मोहल्लों से आँकड़ें एकत्रित किए गए, जिन्हें नीचे प्रस्तुत किया गया है :

वायु में SO₂ की सांद्रता का माध्य ज्ञात कीजिए।
हल:

उपरोक्त आँकड़ों से
कल्पित माध्य (a) = 0.10
वर्ग माप (h) = 0.04
\(\bar{u}=\frac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}}=\frac{-1}{30}\)
= – 0.33 (लगभग)
सूत्र का प्रयोग करने पर, माध्य \((\overline{\mathrm{X}})=a+h \bar{u}\)
\(\overline{\mathrm{X}}\) = 0.10 + 0.04 (- 0.33)
= 0.10 – 0.0013 = 0.0987 (लगभग)
वायु में SO₂ की सांद्रता का माध्य 0.0987 ppm है।

प्रश्न 8.
किसी कक्षा अध्यापिका ने पूरे सत्र के लिए अपनी कक्षा के 40 विद्यार्थियों की अनुपस्थिति निम्नलिखित रूप में रिकार्ड (record) की। एक विद्यार्थी जितने दिन अनुपस्थित रहा उनका माध्य ज्ञात कीजिए :

हल:

उपरोक्त आँकड़ों से,
कल्पित माध्य (a) = 17
सूत्र का प्रयोग करने पर,
माध्य \((\overline{\mathrm{X}})=a+\frac{\sum f_{i} d_{i}}{\sum f_{i}}\)

\(\overline{\mathrm{X}}\) = 17 + \(\frac{(-181)}{40}\)
= 17 – 4.52
= 12.48
अतः, एक विद्यार्थी जितने दिन अनुपस्थित रहा उनका माध्य 12.48 है।

प्रश्न 9.
निम्नलिखित सारणी 35 नगरों की साक्षरता दर ( प्रतिशत में ) दर्शाती है। माध्य साक्षरता दर ज्ञात कीजिए :

हल :

उपरोक्त आँकड़ों से,
कल्पित माध्य (a) = 70
वर्ग माप (h) = 10
∴ u = \(\bar{u}=\frac{\sum f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}}=\frac{-2}{35}\) = – 0.07

सूत्र का प्रयोग करने पर,
माद्य \((\overline{\mathrm{X}})=a+h \bar{u}\)
\((\overline{\mathrm{X}}\) = 70 + 10 (-0.057)
= 70 – 0.57 = 69.43
अतः, माध्य साक्षरता दर 69.43% है।

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन Ex 13.5 Textbook Exercise Questions and Answers

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन Ex 13.5

प्रश्न 1.
व्यास 3 mm वाले ताँबे के तार को 12 cm लंबे और 10 cm व्यास वाले एक बेलन पर इस प्रकार लपेटा जाता है कि वह बेलन के वक्र पृष्ठ को पूर्णतया ढक लेता है। तार की लंबाई और द्रव्यमान ज्ञात कीजिए, यह मानते हुए कि ताँबे का घनत्व 8.88 g प्रति cm है।
हल :
तार का व्यास (d) = 3 mm
∴ तार की त्रिज्या (r) = \(\frac{3}{2}\) mm = \(\frac{3}{20}\) mm

बेलन का व्यास = 10 cm
बेलन की त्रिज्या (R) = 5 cm
बेलन की ऊँचाई (H) = 12 cm
बेलन का परिमाप = एक लपेटे में प्रयुक्त तार की लंबाई
2πR = एक लपेटे में प्रयुक्त तार की लंबाई
2 × \(\frac{22}{7}\) × 5 = एक लपेटे में प्रयुक्त तार की लंबाई
\(\frac{220}{7}\) = एक लपेटे में प्रयुक्त तार की लंबाई
लपेटों की संख्या = बेलन की ऊँचाई / तार का व्यास
= \(\frac{12 \mathrm{~cm}}{3 \mathrm{~mm}}=\frac{12}{3} \times 10\)
= \(\frac{120}{3}\) = 40
∴ प्रयुक्त तार की लंबाई = लपेटों की संख्या × एक लपेटे में प्रयुक्त तार की लंबाई
H = 40 × \(\frac{220}{7}\) cm = 1257.14 cm
प्रयुक्त तार का आयतन = πr²H
= \(\frac{22}{7} \times \frac{3}{20} \times \frac{3}{20}\) × 1257.14
= 88.89 cm³
1 cm³ का द्रव्यमान = 8.88 gm
88.89 cm³ का द्रव्यमान = 8.88 x 88.89 = 789.41 gm

प्रश्न 2.
एक समकोण त्रिभुज, जिसकी भुजाएँ 3 cm और 4 cm हैं (कर्ण के अतिरिक्त), को उसके कर्ण के परितः घुमाया जाता है। इस प्रकार प्राप्त द्वि-शंकु (double cone) के आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। ( का मान जो भी उपयुक्त लगे, प्रयोग कीजिए।)
हल :
मान लीजिए ∆ABC समकोण त्रिभुज हैं जिसके A पर समकोण है।
AB और AC का माप क्रमकर 3 cm और 4 cm है।

भुजा BC (कर्ण) की लंबाई = \(\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}\) = 5 cm
यहां, AO (या A’O ) प्राप्त द्विशंकु के साझें आधार की त्रिज्या समकोण त्रिभुज भुज BC के पास घूमकर बनती है।

शंकु BAA’ की ऊँचाई BO और तिर्यक ऊँचाई 3 cm है।
शंकु CAA’ की ऊँचाई CO और तिर्यक ऊँचाई 4 cm है।
अब, ∆AOB ~ ∆CAB (AA समरुपता)
∴ \(\frac{\mathrm{AO}}{4}=\frac{3}{5}\)

⇒ AO = \(\frac{4 \times 3}{5}=\frac{12}{5}\) cm

साथ ही \(\frac{\mathrm{BO}}{3}=\frac{3}{5}\)

⇒ BO = \(\frac{3 \times 3}{5}=\frac{9}{5}\) cm
अत: CO = BC – OB
= 5 – \(\frac{9}{5}\)
= \(\frac{16}{5}\)
अब द्विशंकु का आयतन = शंकु ABA’ का आयतनन + शंकु ACA’ का आयतन

प्रश्न 3.
एक टंकी, जिसके आंतरिक मापन 150 cm × 120 cm × 110 cm हैं, में 129600 cm पानी है। इस पानी में कुछ छिद्र वाली ईंटें तब तक डाली जाती हैं, जब तक कि टंकी पूरी ऊपर तक भर न जाए। प्रत्येक ईंट अपने आयतन का, पानी सोख लेती है। यदि प्रत्येक ईंट का माप 22.5 cm x 7.5 cm x 6.5 cm हैं, तो टंकी में कुल कितनी ईंटें डाली जा सकती हैं, ताकि उसमें से पानी बाहर न बहे ?
हल :
ईंटों का आयतन = 22.5 × 7.5 × 6.5 cm³ = 1096.87 cm³
टंकी का आयतन = 150 × 120 × 110 cm³ = 1980000
मान लीजिए प्रयुक्त ईंटों की संख्या = n
n ईंटों का आयतन = n (एक ईंट का आयतन)
= n [1096.87] cm³
ईंटों के लिए उपलब्ध पानी का आयतन = 1980000 – 129600 = 1850400 cm³
प्रत्येक ईंट अपने आयतन का \(\frac{1}{17}\) वाँ आयतन पानी अवशोषित करती है।
ईंटों द्वारा अवशोषित पानी का आयतन = \(\frac{17}{10}\) × ईंटों के लिए उपलब्ध पानी का आयतन
= \(\frac{17}{10}\) × 1850400
ईंटों द्वारा अवशोषित पानी का आयतन = 1966050 cm³
n ईंटों का कुल आयतन = ईंटों द्वारा अवशोषित पानी की मात्रा
n[1096.87] cm³ = 1966050 cm³ .
n = \(\frac{1966050}{1096.87}\)
n = 1792.42
प्रयुक्त ईंटों की संख्या = 1792.

प्रश्न 4.
किसी महीने के 15 दिनों में, एक नदी की घाटी में 10 cm वर्षा हुई। यदि इस घाटी का क्षेत्रफल 97280 km है, तो दर्शाइए कि कुल वर्षा लगभग तीन नदियों के सामान्य पानी के योग के समतुल्य थी, जबकि प्रत्येक नदी 1072 km लंबी, 75 m चौड़ी और 3 m गहरी है।.
हल :
घाटी का क्षेत्रफल = 97280 km²
घाटी में वर्षा = 10 cm
∴ कुल वर्षा का आयतन = 97280 × \(\frac{10}{100} \times \frac{1}{1000}\) km³
= 9.728 km³

प्रश्न 5.
टीन की बनी हुई एक तेल की कुप्पी 10 cm लंबे एक बेलन में एक शंकु के छिन्नक को जोड़ने से बनी है। यदि इसकी कुल ऊँचाई 22 cm है, बेलनाकार भाग का व्यास 8 cm है और कुप्पी के ऊपरी सिरे का व्यास 18 cm है, तो इसके बनाने में लगी टीन की चादर का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। ( देखिए आकृति)

हल :
कुप्पी के ऊपरी सिरे का व्यास = 18 cm
∴ कुप्पी के ऊपरी सिरे की त्रिज्या (R) = \(\frac{18}{2}\) cm = 9 cm
कुप्पी के आधार का व्यास = 8 cm
कुप्पी के आधार की त्रिज्या (r) = 4 cm
बेलनाकार भाग की ऊँचाई (h) = 10 cm
छिन्नक की ऊँचाई (H) = (22 – 10) = 12 cm
छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई (l) = \(\sqrt{\mathrm{H}^{2}+(\mathrm{R}-r)^{2}}\)
= \(\sqrt{(12)^{2}+(9-4)^{2}}\)
= \(\sqrt{144+(5)^{2}}\)
= \(\sqrt{144+25}=\sqrt{169}\)
छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई (I) = 13 cm
टीन की चादर का क्षेत्रफल = बेलनाकार आधार का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 2πrh + πL [R + r]
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × 4 × 10 + \(\frac{212}{7}\) × 13 [9 + 4] cm²
= 251.42 + 531.14
= 782.56 cm²
प्रयुक्त की गई धातु की चादर का कुल क्षेत्रफल = 782.56 cm²

प्रश्न 6.
शंकु के छिन्नक के लिए, पूर्व स्पष्ट किए संकेतों का प्रयोग करते हुए, वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल के उन सूत्रों को सिद्ध कीजिए, जो अनुच्छेद 13.5 में दिये गए हैं।
हल :
एक लंब वृत्तीय शंकु के छिन्नक दो असमान वृत्ताकार आधार और वक्र पृष्ठ होता है।
मान लीजिए भाग VCD को हटाकर प्राप्त छिन्नक ACDB है।
दोनों आधारों के केन्द्रों को मिलाने वाला रेखाखंड OP छिन्नक की ऊँचाई कहलाता है।
छिन्नक ACDB का प्रत्येक रेखाखंड AC और BD तिर्यक ऊँचाई है।

मान लीजिए R और r (R > r) शंकु (VAB) को छिन्नक ACDB के वृत्तीय सिरों की त्रिज्याएँ हैं ।
हम शंक्वाकार भाग VCD को पूरा करते हैं। मान लीजिए h और l क्रमश: ऊर्ध्वाधर ऊँचाई और तिर्यक ऊँचाई है।
तब OP = h और AC = BD = l.

लंब वृत्तीय शंकु के छिन्नक को दो लंबवृत्तीय शंकुओं के बराबर VAB और VCD के अंतर के रूप में देखा जा सकता है।
मान लीजिए शंकु VAB की ऊँचाई h, और तिर्यक ऊँचाई l है।
अर्थात् VP = h₁, और VA = VB = l₁.
अब समकोण त्रिभुज ∆ DEB में,
DB² = DE² + BE²
⇒ l² = h² + (R – r)²
l = \(\sqrt{h^{2}+(\mathrm{R}-r)^{2}}\)
पुनः ∆VOD ~ ∆VPB

शंकु के छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = πRl₁ – πr(l₁ – l)
[शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = π × r × l]
= πR . \(\frac{l \mathrm{R}}{\mathrm{R}-r}\) – πr . \(\frac{l r}{\mathrm{R}-r}\)
= πl \(\left(\frac{\mathrm{R}^{2}-r^{2}}{\mathrm{R}-r}\right)\)
= \(\frac{\pi l(\mathrm{R}-r)(\mathrm{R}+r)}{(\mathrm{R}-r)}\)
= πl (R + r) वर्ग मात्रक
∴ लंब वृत्तीय शंकु की छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = πl (R + r) वर्ग मात्रक
जहाँ l = \(\sqrt{h^{2}+(\mathrm{R}-r)^{2}}\)
और लंब वृत्तीय शंकु की छिन्नक का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + आधार का क्षेत्रफल + ऊपरी सिरे का क्षेत्रफल
= πl (R + r) + πR² + πr²
= π [R² + r² + l (R + r)] वर्ग मात्रक।

प्रश्न 7.
शंकु के एक छिन्नक के लिए, पूर्व स्पष्ट किए संकेतों का प्रयोग करते हुए, आयतन का वह सूत्र सिद्ध कीजिए, जो अनुच्छेद 13.5 में दिया गया है।
हल :
एक लंब वृत्तीय शंकु के छिन्नक दो असमान वृत्ताकार आधार और वक्र पृष्ठ होता है।
मान लीजिए भाग VCD को हटाकर प्राप्त छिन्नक ACDB है।
दोनों आधारों के केन्द्रों को मिलाने वाला रेखाखंड OP छिन्नक की ऊँचाई कहलाता है।
छिन्नक ACDB का प्रत्येक रेखाखंड AC और BD तिर्यक ऊँचाई है।

मान लीजिए R और r (R > r) शंकु (VAB) को छिन्नक ACDB के वृत्तीय सिरों की त्रिज्याएँ हैं।
हम शंक्वाकार भाग VCD को पूरा करते हैं। मान लीजिए h और l क्रमश: ऊर्ध्वाधर ऊँचाई और तिर्यक ऊँचाई है।
तब OP = h और AC = BD = l.

लंब वृत्तीय शंकु के छिन्नक को दो लंबवृत्तीय शंकुओं के बराबर VAB और VCD के अंतर के रूप में देखा जा सकता है।
मान लीजिए शंकु VAB की ऊँचाई h, और तिर्यक ऊँचाई है।
अर्थात् VP = h₁, और VA = VB = l₁.
∴ शंकु VCD की ऊँचाई = VP – OP
= h₁ – h
क्योंकि समकोण त्रिभुज VOD और VPB समरूप हैं
⇒ \(\frac{\mathrm{VO}}{\mathrm{VP}}=\frac{\mathrm{OD}}{\mathrm{PB}}=\frac{h_{1}-h}{h_{1}}=\frac{r}{\mathrm{R}}\)

⇒ 1 – \(\frac{h}{h_{1}}=\frac{r}{\mathrm{R}}\)

⇒ \(\frac{h}{h_{1}}=1-\frac{r}{\mathrm{R}}=\frac{\mathrm{R}-r}{\mathrm{R}}\)

⇒ h₁ = \(\frac{h \mathrm{R}}{\mathrm{R}-r}\)
शंकु की ऊँचाई VCD = h₁ – h
= \(\frac{h \mathrm{R}}{\mathrm{R}-r}\) – h
= \(\frac{h \mathrm{R}-h \mathrm{R}+h r}{\mathrm{R}-r}=\frac{h \mathrm{R}}{\mathrm{R}-r}\)
शंकु VAB के छिन्नक ACDB का आयतन = शंकु (V, AB) का आयतन – शंकु (V, CD) का आयतन

= \(\frac{1}{3}\) πh (R² + Rr + r²)
अतः शंकु के छिन्नक का आयतन = \(\frac{1}{3}\) πh (R² + Rr + r²)
पुनः यदि A₁ और A₂ (A₁ > A₂) दो वृत्ताकार आधारों के पृष्ठीय क्षेत्रफल हैं।
A₁ = πR² और A₂ = πr².
अब शंकु के छिन्नक का आयतन = \(\frac{1}{3}\) πh (R² + Rr + r²)
= \(\frac{h}{3}\left(\pi \mathrm{R}^{2}+\pi r^{2}+\sqrt{\pi \mathrm{R}^{2}} \sqrt{\pi r^{2}}\right)\)
= \(\frac{h}{3}\left(\mathrm{~A}_{1}+\mathrm{A}_{2}+\sqrt{\mathrm{A}_{1} \mathrm{~A}_{2}}\right)\)

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन Ex 13.3 Textbook Exercise Questions and Answers

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन Ex 13.3

(जब तक अन्यथा न कहा जाए, π = \(\frac{22}{7}\) लीजिए।)

प्रश्न 1.
त्रिज्या 4.2 cm वाले धातु के एक गोले को पिघलाकर त्रिज्या 6 cm वाले एक बेलन के रूप में ढाला जाता है। बेलन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:

गोले की त्रिज्या (r) = 4.2 cm
बेलन की त्रिज्या (R) = 6 cm
मान लो, बेलन की ऊँचाई = H cm
ढालने पर आयतन पहले जितना ही रहता है।
गोले का आयतन = बेलन का आयतन
\(\frac{4}{3}\) πr³ = πR²H
\(\frac{4}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) × 4.2 × 4.2 × 4.2 = \(\frac{22}{7}\) × 6 × 6 × H
∴ H = \(\frac{\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 4.2 \times 4.2 \times 4.2}{\frac{22}{7} \times 6 \times 6}\)

= \(\frac{4}{3} \times \frac{42}{10} \times \frac{42}{10} \times \frac{42}{10} \times \frac{1}{6 \times 6}\)

= \(\frac{2744}{1000}\)

= 2.744 cm
बेलन की ऊँचाई (H) = 2.744 cm.

प्रश्न 2.
क्रमशः 6 cm, 8 cm और 10 cm त्रिज्याओं वाले धातु के तीन ठोस गोलों को पिघलाकर एक बड़ा ठोस गोला बनाया जाता है। इस गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हल:

पहले गोले की त्रिज्या (r₁) = 6 cm
दसरे गोले की त्रिज्या (r₂) = 8 cm
तीसरे गोले की त्रिज्या (r₃) = 10 cm
मान लीजिए नए बने गोले की त्रिज्या = R cm
तीनों गोलों का आयतन = बड़े गोले का आयतन

R= 12 cm
गोले की त्रिज्या = 12 cm.

प्रश्न 3.
व्यास 7 m वाला 20 m गहरा एक कुँआ खोदा जाता है और खोदने से निकली हुई मिट्टी को समान रूप से फैलाकर 22 m × 14 m वाला एक चबूतरा बनाया गया है। इस चबूतरे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :
कुएँ का व्यास = 7
कुएँ (बेलन की त्रिज्या)R = \(\frac{7}{2}\) m
कुएँ की ऊँचाई (H) = 20 m
चबूतरे की लंबाई (L) = 22 m
चबूतरे की चौड़ाई (B) = 14 m
मान लीजिए चबूतरे की त्रिज्या, Hm

कुएँ में से निकाली गई मिट्टी का आयतन = बनाए गए चबूतरे का आयतन

πR²H = L × B × H
\(\frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \times 20\) = 22 × 14 × H
∴ H = \(\frac{\frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \times 20}{22 \times 14}\)
H = 2.5 m
∴ चबूतरे की ऊँचाई, H = 2.5 m.

प्रश्न 4.
व्यास 3 m का एक कुँआ 14 m की गहराई तक खोदा जाता है। इससे निकाली हुई मिट्टी को कुँए के चारों ओर 4 m चौड़ी एक वृत्ताकार वलय (ring) बनाते हुए, समान रूप से फैलाकर एक प्रकार का बाँध बनाया जाता है। इस बाँध की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :
कुँए की गहराई (h) = 14 m
कुएँ की त्रिज्या (r) = \(\frac{3}{2}\) m

बाँध खोखले बेलन के आकार का है जिसकी आंतरिक त्रिज्या कुएँ की त्रिज्या के समान है और बाँध की चौड़ाई 4 m है।
बाँध की आंतरिक त्रिज्या = कुएँ की त्रिज्या (r) = \(\frac{3}{2}\) m
बाँध की बाहरी त्रिज्या (R) = (\(\frac{3}{2}\) + 4) m
R = \(\frac{11}{2}\) m = 5.5 m
निकाली हुई मिट्टी का आयतन = इस प्रकार बने बाँध का आयतन
πr²h = बाह्य बेलन का आयतन – आंतरिक बेलन का आयतन
πr²h = πR²H – πr²H
= πH [R² – r²]

\(\frac{22}{7} \times \frac{3}{2} \times \frac{3}{2}\) × 14 = \(\frac{22}{7}\) × H [(5.5)² – (1.5)²]

H = \(\frac{\frac{22}{7} \times \frac{3}{2} \times \frac{3}{2} \times 14}{\frac{22}{7} \times(5.5-1.5)(5.5+1.5)}\)

= \(\frac{1.5 \times 1.5 \times 14}{4 \times 7}\) = 1.125 m
बाँध की ऊँचाई H = 1.125 m.

प्रश्न 5.
व्यास 12 cm और ऊँचाई 15 cm वाले एक लंब वृत्तीय बेलन के आकार का बर्तन आइसक्रीम से पूरा भरा हुआ है। इस आइसक्रीम को ऊँचाई 12 cm और व्यास 6 cm वाले शंकुओं में भरा जाना है, जिनका ऊपरी सिरा अर्धगोलाकार होगा। उन शंकुओं की संख्या ज्ञात कीजिए जो इस आइसक्रीम से भरे जा सकते हैं।
हल :

बेलन का व्यास (D) = 12 cm
∴ बेलन की त्रिज्या (R) = 6 cm
बेलन की ऊँचाई (H) = 15 cm
शंकु का व्यास = 6 cm
शंकु की त्रिज्या (r) = 3 cm
अर्धगोले की त्रिज्या (r) = 3 cm
शंकु की ऊँचाई (h) = 12 cm
मान लीजिए कि आइसक्रीम भरने के लिए प्रयोग किए गए शंकुओं की संख्या = n
बर्तन में आइसक्रीम का आयतन = n [एक शंकु में आइसक्रीम का आयतन]
πR²H = n
[शंकु का आयतन + अर्धगोले का आयतन]

n = 10
बने शंकुओं की संख्या = 10.

प्रश्न 6.
विमाओं 5.5 cm × 10 cm × 3.5 cm वाला एक घनाभ बनाने के लिए 1.75 cm व्यास और 2 mm मोटाई वाले कितने चाँदी के सिक्कों को पिघलाना पड़ेगा ?
हल :
चाँदी का सिक्का बेलन के आकार का है।
चाँदी के सिक्के का व्यास = 1.75 cm
∴ चाँदी के सिक्के की त्रिज्या (r) = \(\frac{1.75}{2}\) cm
चाँदी के सिक्के की मोटाई = बेलन की ऊँचाई (H) = 2 mm

अर्थात् h = \(\frac{2}{10}\) cm.
घनाभ की लंबाई (L) = 5.5 cm
घनाभ की चौड़ाई (B) = 10 cm

घनाभ की ऊँचाई (H) = 3.5 cm
मान लीजिए चाँदी के n सिक्कों को पिघला कर नया घनाभ बनाया गया है।
घनाभ का आयतन = n [चाँदी के एक सिक्के का आयतन] = n[πr²h]
5.5 × 10 × 3.5 = n × \(\frac{22}{7} \times \frac{1.75}{2} \times \frac{1.75}{2} \times \frac{2}{10}\)

\(\frac{\frac{55}{10} \times 10 \times \frac{35}{10}}{\frac{22}{7} \times \frac{175}{200} \times \frac{175}{200} \times \frac{2}{10}}\) = n

n = 400
इस प्रकार बने सिक्कों की संख्या = 400.

प्रश्न 7.
32 cm ऊँची और आधार त्रिज्या 18 cm वाली एक बेलनाकार बाल्टी रेत से भरी हुई है। इस बाल्टी को भूमि पर खाली किया जाता है और इस रेत की एक शंक्वाकार ढेरी बनाई जाती है। यदि शंक्वाकार ढेरी की ऊँचाई 24 cm है, तो इस ढेरी की त्रिज्या और तिर्यक ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:

बेलनाकार बाल्टी की त्रिज्या (R) = 18 cm
बेलनाकार बाल्टी की ऊँचाई (H) = 32 cm
शंकु की ऊँचाई (h) = 24 cm
मान लीजिए, शंकु की त्रिज्या और तिर्यक ऊँचाई ‘r’ cm और ‘l’ cm है।
बाल्टी में रेत का आयतन = शंकु में रेत का आयतन
πR²H = \(\frac{1}{3}\) πr²h

\(\frac{22}{7}\) × 18 × 18 × 32 = \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7}\) × r² × 24

\(\frac{\frac{22}{7} \times 18 \times 18 \times 32}{\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 24}\) = r²

r² = \(\frac{18 \times 18 \times 32}{8}\)
r² = 1296
r = √1296
r = 36
∴ शंकु की त्रिज्या (r) = 36
जैसा कि हम जानते हैं,
(तिर्यक ऊँचाई)² = (त्रिज्या)² + (ऊँचाई)²
l = \(\sqrt{(36)^{2}+(24)^{2}}\)
= \(\sqrt{1296+576}\)
= \(\sqrt{1872}\)
= \(\sqrt{12 \times 12 \times 13}\)
l = 12√13 cm
∴ शंकु की तिर्यक ऊँचाई (l) = 12√13 cm.

प्रश्न 8.
6 m चौड़ी और 1.5 m गहरी एक नहर में पानी 10 km/h की चाल से बह रहा है। 30 मिनट में, यह नहर कितने क्षेत्रफल की सिंचाई कर पाएगी, जबकि सिंचाई के लिए 8 cm गहरे पानी की आवश्यकता होती
है।
हल : नहर की चौड़ाई = 6 m
नहर में पानी की गहराई = 1.5 m
जिस गति से पानी बह रहा है = 10 km/hr
एक घण्टे में निकले पानी का आयतन = एक घण्टे में निकले पानी की चाल
= (6 × 1.5 m) × 10 km
= 6 × 1.5 × 10 × 10 × 1000 m³
∴ \(\frac{1}{2}\) घण्टे में निकले पानी का आयतन = \(\frac{1}{2} \times \frac{6 \times 15}{10}\) × 100000
= 450000 m³
आओ हम मान लें सिंचाई का क्षेत्रफल = (x) m²
प्रश्नानुसार खेत में 8 cm गहरे पानी की आवश्यकता है।
∴ \(\frac{1}{2}\) घण्टे में निकले पानी का आयतन = खेत में पानी का आयतन 450000 m³
= (खेत का क्षेत्रफल) x पानी की ऊँचाई
450000 m³ = x × (\(\frac{8}{100}\) m)
\(\frac{8}{100}\) × 100 = x
x = 562500 m²
x = \(\frac{562500}{10000}\)
(1 m² = 10000 hectares]
x= 56.25 हेक्टेयर
∴ खेत का क्षेत्रफल = 56.25 हेक्टेयर

प्रश्न 9.
एक किसान अपने खेत में बनी 10 m व्यास वाली और 2 m गहरी एक बेलनाकार टंकी को आंतरिक व्यास 20 cm वाले एक पाइप द्वारा एक नहर से जोड़ता है। यदि पाइप में पानी 3 km/h की चाल से बह रहा है, तो कितने समय बाद टंकी पूरी भर जाएगी ?
हल :
पानी की चाल = 3 km/hr
पाइप का व्यास = 20 cm
∴ पाइप की त्रिज्या (r) = 10 cm = \(\frac{10}{100}\) m
= \(\frac{1}{10}\) m
टंकी का व्यास = 10 m
टंकी की त्रिज्या (R) = 5 m
टंकी की गहराई (H) = 2 m
मान लीजिए पाइप n मिनटों में टंकी को भरती है।
टंकी में पानी का आयतन = पाइप द्वारा n मिनटों में बहा पानी
πR²H = n [अंत: काट का क्षेत्रफल × पानी की चाल]
πR²H = n[(πr²) × 3 km/h]
\(\frac{22}{7}\) × (5)² × 2 = n [latex]\frac{22}{7} \times \frac{1}{10} \times \frac{1}{10} \times \frac{3 \times 1000}{60}[/latex]
= 25 × 2
= n \(\frac{1}{100}\) × 50
⇒ n = 100 मिनट
∴ टंकी को भरने में लगा समय = 100 मिनट

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन Ex 13.2 Textbook Exercise Questions and Answers

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन Ex 13.2

(जब तक अन्यथा न कहा जाए, π = \(\frac{22}{7}\) लीजिए।)

प्रश्न 1.
एक ठोस एक अर्धगोले पर खड़े एक शंकु के आकार का है जिनकी त्रिज्याएँ 1 cm हैं, तथा शंकु की ऊँचाई उसकी त्रिज्या के बराबर है।इस ठोस का आयतन के पदों में ज्ञात कीजिए।
हल :
शंकु की त्रिज्या = अर्धगोले की त्रिज्या = 1 cm

R = 1 cm
शंकु की ऊँचाई (H) = 1 cm
ठोस का आयतन = शंकु का आयतन + अर्धगोले का आयतन
= \(\frac{1}{3}\) π R²H + \(\frac{2}{3}\) πR³
= \(\frac{1}{3}\) π R² [H + 2R]
= \(\frac{1}{3}\) π × 1 × 1 [1 + 2 × 1]
= \(\frac{1}{3}\) π × 3
= \(\frac{3 \pi}{3}\)
= π cm³
∴ ठोस का आयतन = π cm³.

प्रश्न 2.
एक इंजीनियरिंग के विद्यार्थी रचेल से एक पतली एल्यूमीनियम की शीट का प्रयोग करते हुए एक मॉडल बनाने को कहा गया जो एक ऐसे बेलन के आकार का हो जिसके दोनों सिरों पर दो शंकु जुड़े हुए हों। इस मॉडल का व्यास 3 cm है और इसकी लंबाई 12 cm है। यदि प्रत्येक शंकु की ऊँचाई 2 cm हो, तो रचेल द्वारा बनाए गए मॉडल में अंतर्विष्ट हवा का आयतन ज्ञात कीजिए। (यह मान लीजिए कि मॉडल की आंतरिक और बाहरी विमाएँ लगभग बराबर हैं।) ।
हल:

शंकु की त्रिज्या = बेलन की त्रिज्या (R) = \(\frac{3}{2}\) cm
R = 1.5 cm
प्रत्येक शंकु की ऊँचाई (h) = 2 cm
∴ बेलन की ऊँचाई = 12 – 2 – 2 = 8 cm
बेलन में हवा का आयतन = बेलन का आयतन + 2 (शंकु का आयतन)
= πR²H + 2 [\(\frac{1}{3}\) πR³h]

बेलन में हवा का आयतन = \(\frac{22}{7} \times \frac{3}{2} \times \frac{3}{2} \times \frac{28}{3}\)
= 22 × 3 = 66 cm³
बेलन में हवा का आयतन = 66 cm³.

प्रश्न 3.
एक गुलाब जामुन में उसके आयतन की लगभग 30% चीनी की चाशनी होती है। 45 गुलाब जामुनों में लगभग कितनी चाशनी होगी, यदि प्रत्येक गुलाब जामुन एक बेलन के आकार का है, जिसके दोनों सिरे अर्धगोलाकार हैं तथा इसकी लंबाई 5 cm और व्यास 2.8 cm है (देखिए आकृति)।

हल :
गुलाब जामुन बेलन के आकार का है। बेलन का व्यास = अर्धगोले का व्यास = 2.8 cm
बेलन की त्रिज्या = अर्धगोले की त्रिज्या (R)
= \(\frac{2.8}{2}\) = 1.4 cm
R = 1.4 cm

बेलनाकार भाग की ऊँचाई = 5 – 1.4 – 1.4
= (5 – 2.8) cm = 2.2 cm.
एक गुलाब जामुन का आयतन = बेलन का आयतन + 2 [अर्धगोले का आयतन]

एक गुलाब जामुन का आयतन = 25.05 cm³
अब 45 गुलाब जामुनों का आयतन = 45 × 25.05 cm³
= 1127.28 cm³
∴ चीनी की चाशनी का आयतन = 45 गुलाब जामुनों के आयतन का 30%
= \(\frac{30 \times 1127.28}{100}\)
= 338.184 cm³
चीनी का चाशनी की लगभग मात्रा = 338 cm³.

प्रश्न 4.
एक कलमदान घनाभ के आकार की एक लकड़ी से बना है जिसमें कलम रखने के लिए चार शंक्वाकार गड्ढे बने हुए हैं। घनाभ की विमाएँ 15 cm × 10 cm × 3.5 cm हैं। प्रत्येक गड्ढे की त्रिज्या 0.5 cm है और गहराई 1.4 cm है। पूरे कलमदान में लकड़ी का आयतन ज्ञात कीजिए ( देखिए आकृति )।

हल :
घनाभ की लंबाई (L) = 15 cm
घनाभ की चौड़ाई (B) = 10 cm
घनाभ की ऊँचाई (H) = 3.5 cm
शंक्वाकार गड्ढे की त्रिज्या (r) = 0.5 cm
शंक्वाकार गड्ढे की ऊँचाई (h) = 1.4 cm
कलमदान में लकड़ी का आयतन = घनाभ का आयतन – 4 [शंकु का आयतन]
= LBH – 4 [\(\frac{1}{3}\) πr²h]
= 15 × 10 × 3 – \(\frac{4}{3} \times \frac{22}{7}\) × 0.5 × 0.5 × 1.4

= \(\frac{15 \times 10 \times 35}{10}-\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{5}{10} \times \frac{5}{10} \times \frac{14}{10}\)

= (15 × 35 – \(\frac{22}{3 \times 5}\)) cm²

= (525 – 1.466) cm²
= 523.534 cm³.
अतः, कलमदान में लकड़ी का आयतन = 523.53 cm³.

प्रश्न 5.
एक बर्तन एक उल्टे शंकु के आकार का है। इसकी ऊँचाई 8 cm है और इसका ऊपरी सिरे ( जो खुला हुआ है) की त्रिज्या 5 cm है। यह ऊपर तक पानी | से भरा हुआ है। जब इस बर्तन में सीसे की कुछ गोलियाँ जिनमें प्रत्येक 0.5 cm त्रिज्या वाला एक गोला है, डाली जाती हैं, तो इसमें से भरे हुए पानी का एक चौथाई भाग बाहर निकल जाता है। बर्तन में डाली गई सीसे की गोलियों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल:

शंकु की त्रिज्या (R) = 5 cm
शंकु की ऊँचाई (H) = 8 cm
सीसे की प्रत्येक गोली की त्रिज्या (r) = 0.5 cm
मान लीजिए शंकु में डाली गई गोलियों की संख्या = N तो पानी का एक चौथाई भाग बाहर निकल जाता है।
N [सीसे की एक गोली का आयतन] = \(\frac{1}{4}\) शंक में पानी का आयतन

= \(\frac{1}{4 \times 4}\) × 8 × 2 × 10 × 10
= 10 × 10 = 100
सीसे की गोलियों की संख्या = 100.

प्रश्न 6.
ऊँचाई 220 cm और आधार व्यास 24 cm वाले एक बेलन, जिसमें ऊँचाई 60 cm और त्रिज्या 8 cm वाला एक अन्य बेलन आरोपित है, से लोहे का एक स्तंभ बना है। इस स्तंभ का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए, जबकि दिया है 1 cm लोहे का द्रव्यमान लगभग 8g होता है। (π = 3.14 लीजिए।)
हल :
नीचे वाले बेलन का व्यास = 24 cm
नीचे वाले बेलन की त्रिज्या (R) = 12 cm
नीचे वाले बेलन की ऊँचाई (H) = 220 cm
ऊपर वाले बेलन की त्रिज्या (7) = 8 cm
ऊपर वाले बेलन की ऊँचाई (h) = 60 cm
स्तंभ का आयतन = नीचे वाले बेलन का आयतन + ऊपर वाले बेलन का आयतन
= πR² H + πrh
= 3.14 × 12 × 12 × 220 + 3.14 × 8 × 8 × 60
= 99475.2 + 12057.6

स्तंभ का आयतन = 111532.8 cm³
1 cm³ का द्रव्यमान = 8 gm
111532.8 cm³ का द्रव्यमान = 8 × 111532. 8 = 892262.4 gm
= \(\frac{892262.4}{1000}\) kg
= 892.2624 kg
स्तंभ का द्रव्यमान = 892.2624 kg.

प्रश्न 7.
एक ठोस में, ऊँचाई 120 cm और त्रिज्या 60 cm वाला एक शंकु सम्मिलित है, जो 60 cm त्रिज्या वाले एक अर्धगोले पर आरोपित है। इस ठोस को पानी से भरे हुए एक लंब वृत्तीय बेलन में इस प्रकार सीधा डाल दिया जाता है कि यह बेलन की तली को स्पर्श करे। यदि बेलन की त्रिज्या 60 cm है और ऊँचाई 180 cm है तो बेलन में शेष बचे पानी का आयतन ज्ञात कीजिए।
हल :
शंकु की त्रिज्या = अर्धगोले की त्रिज्या = बेलन की त्रिज्या

R = 60 cm
शंकु की ऊँचाई (h) = 120 cm
बेलन की ऊँचाई (H) = 180 cm
बेलनाकार बर्तन का आयतन = πRH
= \(\frac{22}{7}\) × 60 × 60 × 180
= 2036571.4 cm³
बेलन में डाले गए ठोस का आयतन = अर्धगोले का आयतन + शंकु का आयतन
= \(\frac{1}{3}\) πR³ + \(\frac{2}{3}\) πR²h =
= \(\frac{1}{3}\) πR² [2R + h]
= \(\frac{1}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) ×60 × 60 [2 × 60 + 120]
= \(\frac{1}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) × 3600 [120 + 120]
= \(\frac{1}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) × 3600 × 240
= 905142.86 cm³
बाहर निकले पानी का आयतन = 905142.86 cm³
∴ बेलन में शेष बचे पानी का आयतन = बेलन का आयतन – बर्तन में डाले गए ठोस का आयतन
= (2036571.4 – 905142.86) cm³
= 1131428.5 cm³
= \(\frac{1131428.5}{100 \times 100 \times 100}\) m³
= 1.131 m³
बेलन में शेष बचे पानी का आयतन = 1.131 m³ .

प्रश्न 8.
एक गोलाकार काँच के बर्तन की एक बेलन के आकार की गर्दन है जिसकी लंबाई 8 cm है और व्यास 2 cm है जबकि गोलाकार भाग का व्यास 8.5 cm है। इसमें भरे जा सकने वाले पानी की मात्रा माप कर, एक बच्चे ने यह ज्ञात किया कि इस बर्तन का आयतन 345 cm है। जाँच कीजिए कि उस बच्चे का उत्तर सही है या नहीं, यह मानते हुए कि उपरोक्त मापन आंतरिक मापन है और π = 3.14.
हल :
गर्दन का व्यास (बेलनाकार भाग) = 2 cm

∴ गर्दन की त्रिज्या (r) = 1 cm
बेलनाकार भाग की ऊँचाई (H) = 8 cm
गोलाकार भाग का व्यास = 8.5 cm
गोलाकार भाग की त्रिज्या (R) = \(\frac{8.5}{2}\) cm
बर्तन में पानी का आयतन = गोले का आयतन + बेलन का आयतन
= \(\frac{4}{3}\) πR³ + πr²h
= \(\frac{4}{3}\) × 3.14 × 4.25 × 4.25 × 2.25 + 3.14 × 1 × 1 × 8
= 321.39 + 25.12
= 346.51 cm³
बर्तन में पानी का आयतन = 346.51 cm³ और वह गलत है।

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन Ex 13.1 Textbook Exercise Questions and Answers

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन Ex 13.1

जब तक अन्यथा न कहा जाए, π = \(\frac{22}{7}\) लीजिए।

प्रश्न 1.
दो घनों, जिनमें से प्रत्येक का आयतन 64 cm है, के संलग्न फलकों को मिलाकर एक ठोस बनाया जाता है। इससे प्राप्त घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए घन की प्रत्येक भुजा = x cm
घन का आयतन = 64 cm³
[घन का आयतन = (भुजा)³]

x³ = 64
x = \(\sqrt[3]{64}\)
= \(\sqrt[3]{4 \times 4 \times 4}\)
x = 4 cm
∴ घन की भुजा = 4 cm.
जब घनों को साथ-साथ जोड़ा जाता है तो घनाभ बन जाता है।
जिसकी लंबाई (L) = 2x cm
= 2(4) = 8 cm
चौड़ाई (B) = x cm = 4 cm
ऊँचाई (H) = x cm = 4 cm

घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2[LB + Bh + hL]
= 2 [8 × 4 + 4 × 4 + 4 × 8]
= 2 [ 32 + 16 + 32]
= 2 [80]
घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 160 cm².

प्रश्न 2.
कोई बर्तन एक खोखले अर्धगोले के आकार का है जिसके ऊपर एक खोखला बेलन अध्यारोपित है। अर्धगोले का व्यास 14 cm है और इस बर्तन ( पात्र) की कुल ऊँचाई 13 cm है। इस बर्तन का आंतरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
अर्धगोले का व्यास = बेलन का व्यास = 14 cm
2R = 14 cm
अर्धगोले की त्रिज्या (R) = 7 cm

बर्तन की कुल ऊँचाई = 13 cm
∴ बेलन की ऊँचाई = (13 – 7) = 6 cm
बर्तन का आंतरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल = बेलन का आंतरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल + अर्धगोले का आंतरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 2πRH + 2πR²
= 2πR [H + R]
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × 7 [6 + 7]
= 44 × 13 = 572 cm²
बर्तन का आंतरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल = 572 cm².

प्रश्न 3.
एक खिलौना त्रिज्या 3.5 cm वाले एक शंकु के आकार का है, जो उसी त्रिज्या वाले एक अर्धगोले पर अध्यारोपित है। इस खिलौने की संपूर्ण ऊँचाई 15.5 cm है। इस खिलौने का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
शंकु की त्रिज्या = अर्धगोले की त्रिज्या (R) = 3.5 cm
खिलौने की कुल ऊँचाई = 15.5 cm
∴ शंकु की ऊँचाई (H) = (15.5 – 3.5) = 12 cm

शंकु की तिर्यक ऊँचाई = \(\sqrt{\mathrm{R}^{2}+\mathrm{H}^{2}}\)
= \(\sqrt{(3.5)^{2}+(12)^{2}}\)
= \(\sqrt{12.25+144}\)
= \(\sqrt{156.25}\)
शंकु की तिर्यक ऊँचाई (1) = 12.5 cm
खिलौने का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल + अर्धगोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल
= πRL + 2πR²
= πR [L + 2R]
= \(\frac{22}{7}\) × 3.5 [12.5 + 2(3.5)]
= \(\frac{22}{7}\) × 3.5 [19.5]
= \(\frac{15015}{7}\)
= 214.5 cm³
∴ खिलौने का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 214.5 cm³

प्रश्न 4.
भुजा 7 cm वाले एक घनाकार ब्लॉक के ऊपर एक अर्धगोला रखा हुआ है। अर्धगोले का अधिकतम व्यास क्या हो सकता है ? इस प्रकार बने ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
घनाकार ब्लॉक की भुजा = 7 cm

अर्धगोले का व्यास = घनाकार ब्लॉक की भुजा = 7 cm
2R = 7
R = \(\frac{7}{2}\) cm
बने ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल = घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल + अर्धगोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 6(भुजा)² + 2πR²
= 6(l)² + πR²
= 6(7)² + 2 × \(\frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2}\)
= 294 + 77
= 371 cm²
ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल = (घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल) – (अर्ध गोले के आधार का क्षेत्रफल) + (अर्ध गोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल)
= 6l² – πR² + 2πR²
= 6l² + πR²
= 6(7)² + \(\frac{22}{7} \times\left(\frac{7}{2}\right)^{2}\)]
= [6 (49) + 11 \(\frac{7}{2}\)] cm²
= 332.5 cm²

प्रश्न 5.
एक घनाकार ब्लॉक के एक फलक को अंदर की ओर से काट कर एक अर्धगोलाकार गड्ढा इस प्रकार बनाया गया है कि अर्धगोले का व्यास घन के एक किनारे के बराबर है। शेष बचे ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए घन की भुजा = a
∴ अर्धगोले का व्यास = घन की भुजा
2R = a
R = a/2

शेष बचे ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल = घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल – घन के तल का क्षेत्रफल + अर्धगोले का आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 6 (भुजा)² – πR² + 2πR²
= 6(a)² + πR²
= 6(a)² + π \(\left(\frac{a}{2}\right)^{2}\)
= 6a² + π \(\frac{a^{2}}{4}\)
= a² [6 + \(\frac{\pi}{4}\)] cm²

प्रश्न 6.
दवा का एक कैप्सूल (capsule) एक बेलन के आकार का है जिसके दोनों सिरों पर एक-एक अर्धगोला लगा हुआ है ( देखिए आकृति)। पूरे कैप्सूल की लंबाई 14 mm है और उसका व्यास 5 mm है। इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल :
कैप्सूल का व्यास = अर्धगोले का व्यास = बेलन का व्यास = 5 mm
2R = 5 mm
R = \(\frac{5}{2}\) mm

कैप्सूल की आंतरिक लंबाई = 14 mm
बेलनाकार भाग की ऊँचाई = (14 – \(\frac{5}{2}\) – \(\frac{5}{2}\)) mm
= (14 – 5) mm
H = 9 mm
कैप्सूल का पृष्ठीय क्षेत्रफल = बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल + 2 अर्धगोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 2πRH + 2 (2πR²)
= 2πRH + 4πR²
= 2πR [H + 2R]
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × \(\frac{5}{2}\) [9 + 2 (\(\frac{5}{2}\))]
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × \(\frac{5}{2}\) [9 + 5]
= \(\frac{22}{7}\) × 5 × 14
= 22 × 5 × 2
= 220 mm²
कैप्सूल का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 220 mm² .

प्रश्न 7.
कोई तंबू एक बेलन के आकार का है जिस पर एक शंकु अध्यारोपित है। यदि बेलनाकार भाग की ऊँचाई और व्यास क्रमश: 2.1 m और 4 m है तथा शंकु की तिर्यक ऊँचाई 2.8 m है तो इस तंबू को बनाने में प्रयुक्त कैनवस (canvas) का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। साथ ही, ₹500 प्रति m- की दर से इसमें प्रयुक्त कैनवस की लागत ज्ञात कीजिए।(ध्यान दीजिए कि तंबू के आधार को कैनवस से नहीं ढका जाता है।)
हल :
शंकु का व्यास = बेलन का व्यास
2R = 4
R = 2 m

शंकु की त्रिज्या = बेलन की त्रिज्या
बेलन की ऊँचाई (H) = 2.1 m
शंकु की तिर्यक ऊँचाई(L) = 2.8m
तंबू का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + शंक्वाकार भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 2πRH + πRL
= πR [2H + L]
= \(\frac{22}{7}\) × 2[2 (2.1) + 28]
= \(\frac{22}{7}\) × 2[4.2 + 28]
= \(\frac{22}{7}\) × 2 × 7
= 44 m²
∴ तंबू का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 44 m²
1m² कैनवस की लागत = ₹ 500
44 m² कैनवस की लागत = ₹ 44 × 500 = ₹ 22000
कैनवस की कुल लागत = ₹ 22000

प्रश्न 8.
ऊँचाई 2.4 cm और व्यास 1.4 cm वाले एक ठोस बेलन में से इसी ऊँचाई और इसी व्यास वाला एक शंक्वाकार खोल (cavity) काट लिया जाता है। शेष बचे ठोस का निकटतम वर्ग सेंटीमीटर तक पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
बेलन का व्यास (D) = 1.4 cm = शंकु का व्यास
∴ बेलन की त्रिज्या = शंकु की त्रिज्या (R) = 0.7 cm
बेलन की ऊँचाई (H) = 2.4 cm

जैसा कि हम जानते हैं, L² = R² + H²
L = \(\sqrt{(0.7)^{2}+(2.4)^{2}}\)
= \(\sqrt{0.49+5.76}\)
= \(\sqrt{6.25}\)
L = 2.5 cm
शेष बचे ठोस का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + बेलन के आधार का क्षेत्रफल + शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 2πRH + πR² + πRL
= πR [2R + R + L]
= \(\frac{22}{7}\) × 0.7 [2(2.4) + 0.7 + 2.5]
= \(\frac{22}{7} \times \frac{7}{10}\) [4.8 + 3.2]
= \(\frac{22}{10}\) [8]
= \(\frac{176}{10}\)
= 17.6 cm²
शेष बचे ठोस का निकटतम वर्ग सेंटीमीटर तक पृष्ठीय क्षेत्रफल = 18 cm².

प्रश्न 9.
लकड़ी के एक ठोस बेलन के प्रत्येक सिरे पर एक अर्धगोला खोदकर निकालते हुए, एक वस्तु बनाई गई है, जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। यदि बेलन की ऊँचाई 10 cm है और आधार की त्रिज्या 3.5 cm है तो इस वस्तु का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल :
बेलन की ऊँचाई (H) = 10 cm
बेलन की त्रिज्या = अर्धगोले की त्रिज्या (R) = 3.5 cm

वस्तु का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + 2 अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 2πRH + 2 (2πR)
= 2πR [H + 2R]
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × 3.5 [10 + 2(3.5)]
= \(\frac{44}{7} \times \frac{35}{10}\) [10 +7]
= 44 × \(\frac{5}{10}\) × 17
= 44 × \(\frac{1}{2}\) × 17
= 22 × 17
= 374 cm² .
∴ वस्तु का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल : = 374 cm².