Class 10

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Exercise 6.1

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 1.
ਬਰੈਕਟਾਂ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿਚੋਂ ਸਹੀ ਸ਼ਬਦਾਂ ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਕੇ, ਖ਼ਾਲੀ ਸਥਾਨ ਭਰੋ :
(i) ਸਾਰੇ ਚੱਕਰ ………. ਹੁੰਦੇ ਹਨ । (ਸਰਬੰਗਸਮ , ਸਮਰੂਪ)
(ii) ਸਾਰੇ ਵਰਗ …………… ਹੁੰਦੇ ਹਨ । (ਸਮਰੂਪ, ਸਰਬੰਗਮ)
(iii) ਸਾਰੇ ……………. ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਸਮਰੂਪ ਹੁੰਦੇ ਹਨ । (ਸਮਦੋਭੁਜੀ, ਸਮਭੁਜੀ)
(iv) ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸਮਾਨ ਸੰਖਿਆ ਵਾਲੇ ਦੋ ਬਹੁਭੁਜ ਸਮਰੂਪ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੇਕਰ
(i) ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਸੰਗਤ ਕੋਣ ……….. ਹੋਣ ਅਤੇ
(ii) ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ……. ਹੋਣ । (ਬਰਾਬਰ, ਸਮਾਨੁਪਾਤੀ)
ਹੱਲ:
(i) ਸਾਰੇ ਚੱਕਰ ਸਮਰੂਪ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ।
(ii) ਸਾਰੇ ਵਰਗ ਸਮਰੂਪ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ।
(iii) ਸਾਰੇ ਸਮਭੁਜੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਸਮਰੂਪ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ।
(iv) ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸਮਾਨ ਸੰਖਿਆ ਵਾਲੇ ਦੋ ਬਹੁਭੁਜ ਸਮਰੂਪ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜੇਕਰ
(i) ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਸੰਗਤ ਕੋਣ ਬਰਾਬਰ ਹੋਣ ਅਤੇ
(ii) ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਸਮਾਨੁਪਾਤੀ ਹੋਣ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 2.
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਜੋੜਿਆਂ ਦੀਆਂ ਦੋ ਭਿੰਨ-ਭਿੰਨ ਉਦਾਹਰਣਾਂ ਦਿਉ ।
(i) ਸਮਰੂਪ ਚਿੱਤਰ
(ii) ਅਜਿਹੇ ਚਿੱਤਰ ਜੋ ਸਮਰੂਪ ਨਹੀਂ ਹਨ ।
ਹੱਲ:
(i) (a) ਸਮਭੁਜੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਦੇ ਜੋੜੇ ਸਮਰੂਪ ਆਕ੍ਰਿਤੀਆਂ ਹਨ ,
(b) ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਜੋੜੇ ਸਮਰੂਪ ਆਕ੍ਰਿਤੀਆਂ ਹਨ ।
(ii) (a) ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਅਤੇ ਇਕ ਚਤੁਰਭੁਜ ਇਹੋ ਜਿਹੀ ਅਕੂਤੀਆਂ ਹਨ ਜੋ ਸਮਰੂਪ ਨਹੀਂ ਹਨ ।
(b) ਇਕ ਵਰਗ ਅਤੇ ਸਮ ਚਤੁਰਭੁਜ ਅਜਿਹੇ ਜੋੜੇ ਹਨ ਜੋ ਸਮਰੂਪ ਨਹੀਂ ਹਨ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 3.
ਦੱਸੋ ਕਿ ਹੇਠ ਦਿੱਤੇ ਚਤੁਰਭੁਜ ਸਮਰੂਪ ਹਨ ਜਾਂ ਨਹੀਂ :

ਹੱਲ:
ਦੋਵੇਂ ਚਤੁਰਭੁਜ ਸਮਰੂਪ ਨਹੀਂ ਹਨ ਕਿਉਂਕਿ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਸੰਗਤ ਕੋਣ ਬਰਾਬਰ ਨਹੀਂ ਹਨ ।

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 5 ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ Ex 5.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 5 ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ Exercise 5.4

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 1.
A.P. : 121, 117, 113, … ਦਾ ਕਿਹੜਾ ਸਭ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾ ਰਿਣਾਤਮਕ ਪਦ ਹੋਵੇਗਾ ?
ਸਿੰਕੇਤ : a_n < 0 ਦੇ ਲਈ 1 ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹਲ:
ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ A.P. ਹੈ ।
121, 117, 113, …
ਇੱਥੇ a = T₁ = 121 ; T₂ = 117; T₃ = 113
d = T₂ = T₁ = 117 – 121 = -4
ਸੂਤਰ T_n = a + (n – 1) d ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਨ ਤੇ
T_n = 121 + (n – 1) (-4)
= 121 – 4n + 4
= 125 – 4n
ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਅਨੁਸਾਰ
T_n < 0
125 – 4n < 0 4n > 125
n > \(\frac{125}{4}\)
n > 31\(\frac{1}{4}\)
ਪਰ ਪਹਿਲੇ ਰਿਣਾਤਮਕ ਪਦ ਲਈ n ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ।
∴ n = 32
∴ ਦਿੱਤੀ ਗਈ A.P. ਦਾ 32ਵਾਂ ਪਦ ਪਹਿਲਾ ਰਿਣਾਤਮਕ ਪਦ ਹੋਵੇਗਾ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 2.
ਕਿਸੇ A.P. ਦੇ ਤੀਸਰੇ ਅਤੇ ਸੱਤਵੇਂ ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜ 6 ਹੈ ਅਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ 8 ਹੈ । ਇਸ A.P. ਦੇ ਪਹਿਲੇ 16 ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹਲ:
ਮੰਨ ਲਉ ‘a’ ਅਤੇ ‘d’ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ A.P. ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਪਦ ਅਤੇ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਹੈ ।
ਪਹਿਲੀ ਸ਼ਰਤ ਅਨੁਸਾਰ,
T₃ + T₇ = 6
[a + (3 – 1)d] + [a + (7 – 1) d] = 6
|∵ T_n = a + (n – 1)d
a + 2d + a + 6d = 6
2a + 8d = 6
a + 4d = 3 …(1)
ਦੂਸਰੀ ਸ਼ਰਤ ਅਨੁਸਾਰ,
T₃(T₇) = 8
[a + (3 – 1) d] [a + (7 – 1) d] = 8
|∵ T_n = a + (n – 1) d
(a + 2d) (a + 6d) = 8
[3 – 4d + 2] [3 – 4d + 6d] = 8
[(1) ਤੋਂ a = 3 – 4d]
(3 – 2d) (3 + 2d) = 8
9 – 4d² = 8
4d² =9 – 8
d² = \(\frac{1}{4}\)
d = ±\(\frac{1}{2}\)
ਸਥਿਤੀ I. ਜਦੋਂ d = \(\frac{1}{2}\)
d = \(\frac{1}{2}\) ਦਾ ਮੁੱਲ (1) ਵਿਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਮਿਲਦਾ ਹੈ
a + 4\(\left(\frac{1}{2}\right)\) = 3
a + 2 = 3
a = 3 – 2 = 1
ਸੂਤਰ ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਕੇ \(\frac{n}{2}\) = [2a + (n – 1) d]
S_n = \(\frac{16}{2}\)[2(1) + (16 – 1)\(\frac{1}{2}\)]
= 8[2 + \(\frac{15}{2}\)]
= 8[latex]\frac{4+15}{2}[/latex]
= 8 × \(\frac{19}{2}\)
S₁₆ = 76.
ਸਥਿਤੀ II. ਜਦੋਂ ਵੀ d = \(-\frac{1}{2}\)
d = \(-\frac{1}{2}\) ਦਾ ਮੁੱਲ (1) ਵਿਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ

S₁₆ = 20.

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 3.
ਇੱਕ ਪੌੜੀ ਦੇ ਲਗਾਤਾਰ ਡੰਡੇ ਆਪਸ ਵਿੱਚ 25 cm ਦੀ ਦੂਰੀ ‘ਤੇ ਹਨ (ਦੇਖੋ ਚਿੱਤਰ ( ਡੰਡਿਆਂ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਇਕ ਸਮਾਨ ਰੂਪ ਨਾਲ ਘੱਟਦੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਸਭ ਤੋਂ ਹੇਠਲੇ ਡੰਡੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 45 cm ਅਤੇ ਸਭ ਤੋਂ ਉਪਰਲੇ ਡੰਡੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 25 cm ਹੈ । ਜੇਕਰ ਉਪਰਲੇ ਅਤੇ ਹੇਠਲੇ ਡੰਡੇ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰਲੀ ਦੂਰੀ 2\(\frac{1}{2}\) m ਹੈ ਤਾਂ ਡੰਡਿਆਂ ਨੂੰ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਲੱਕੜੀ ਦੀ ਕਿੰਨੀ ਲੰਬਾਈ ਦੀ ਲੋੜ ਹੋਵੇਗੀ ?

ਸੰਕੇਤ : ਡੰਡਿਆਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆਂ = \(\frac{250}{25}\) + 1 ਹੈ ।
ਹਲ:
ਡੰਡਿਆਂ ਵਿਚਕਾਰਲੀ ਕੁਲ ਲੰਬਾਈ
= 2\(\frac{1}{2}\)m = \(\frac{5}{2}\)m
= (\(\frac{5}{2}\) × 100)m
= 250 cm
ਹਰੇਕ ਡੰਡੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ = 25 cm

= \(\frac{250}{25}\) = 10
ਪਹਿਲੇ ਡੰਡੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ = 45 cm
ਇੱਥੇ a = 45; l = 25 ; n = 10
ਡੰਡਿਆਂ ਦੇ ਲਈ ਲਕੜੀ ਦੀ ਲੰਬਾਈ = S₁₀
= \(\frac{n}{2}\)[a + l]
= \(\frac{10}{2}\)[45 + 25]
= 5 (70)
= 350.
ਡੰਡਿਆਂ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੀ ਲਕੜੀ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 350 cm ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 4.
ਇਕ ਕਤਾਰ ਵਿੱਚ ਮਕਾਨਾਂ ਨੂੰ ਲਗਾਤਾਰ ਸੰਖਿਆਂ ਤੋਂ 49 ਨਾਲ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ । ਦਿਖਾਉ ਕਿ 1 ਦਾ ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਮੁੱਲ ਹੈ ਕਿ x ਨਾਲ ਦਰਸਾਏ ਮਕਾਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲੇ ਦੇ ਮਕਾਨਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਉਸ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਵਾਲੇ ਮਕਾਨਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ । ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ । | [ਸੰਕੇਤ : S_x-1= S₄₉ – S_x ਹੈ ]
ਹਲ:
ਮੰਨ ਲਉ x’ ਕਿਸੇ ਮਕਾਨ ਦੀ ਸੰਖਿਆਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ।
ਇੱਥ a = T₁ = 1; d = 1
ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਅਨੁਸਾਰ
S_x-1 = S₄₉ – S_x
= \(\frac{x-1}{2}\)[2(1) + (x – 1 – 1) (1)]
= \(\frac{49}{2}\)[1 + 49] – \(\frac{x}{2}\)[2 (1) + (x -1)(1)]
[ਸੂਤਰ S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
ਅਤੇ \(\frac{n}{2}\)(a + l) ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਕੇ

x² = 1225
x = 35

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 5.
ਇੱਕ ਫੁੱਟਬਾਲ ਦੇ ਮੈਦਾਨ ਵਿਚ ਇੱਕ ਛੋਟਾ ਚਬੂਤਰਾ ਹੈ | ਜਿਸ ਵਿਚ 15 ਪੌੜੀਆਂ ਬਣੀਆਂ ਹੋਈਆਂ ਹਨ । ਇਨ੍ਹਾਂ ਪੌੜੀਆਂ ਵਿਚੋਂ ਹਰੇਕ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 50 m ਹੈ ਅਤੇ ਠੋਸ ਕੰਕਰੀਟ ਦੀ ਬਣੀ ਹੋਈ ਹੈ । ਹਰੇਕ ਪੌੜੀ ਵਿੱਚ \(\frac{1}{4}\) m ਦੀ ਚੌੜਾਈ ਅਤੇ \(\frac{1}{2}\) m ਦਾ ਫੈਲਾਵ (ਚੌੜਾਈ) ਹੈ । (ਦੇਖੋ ਚਿੱਤਰ) । ਇਸ ਚਬੂਤਰੇ ਨੂੰ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਲੱਗੀ ਕੰਕਰੀਟ ਦਾ ਕੁਲ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
[ਸੰਕੇਤ : ਪਹਿਲੀ ਪੌੜੀ ਨੂੰ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਲੱਗੀ ਕੰਕਰੀਟ ਦਾ ਆਇਤਨ \(\frac{1}{4}\) × \(\frac{1}{2}\) × 50 m²ਹੈ ॥]

ਹੱਲ :
ਪਹਿਲੀ ਪੌੜੀ ਬਣਾਉਣ ਵਿਚ ਲੱਗੀ ਕੰਕਰੀਟ ਦਾ
ਆਇਤਨ = (\(\frac{1}{4}\) × \(\frac{1}{2}\) × 50) m³
= \(\left(\frac{25}{4}\right)\) m³
ਦੂਸਰੀ ਪੌੜੀ ਬਣਾਉਣ ਵਿਚ ਲੱਗੀ ਕੰਕ੍ਰਿਟ ਦਾ ਆਇਤਨ
= (\(\frac{2}{4}\) × \(\frac{1}{2}\) × 50) m³
= \(\left(\frac{25}{2}\right)\) m³
ਤੀਸਰੀ ਪੌੜੀ ਬਣਾਉਣ ਵਿਚ ਲੱਗੀ ਕੰਕਰੀਟ ਦਾ ਆਇਤਨ
= (\(\frac{3}{4}\) × \(\frac{1}{2}\) × 50) m³
= \(\left(\frac{75}{4}\right)\) m³
ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅੱਗੋਂ 15 ਪੌੜੀਆਂ ਹਨ ।

ਚਬੂਤਰਾ ਬਣਾਉਣ ਵਿਚ ਲੱਗੇ ਕੰਕਰੀਟ ਦਾ ਆਇਤਨ
= S₁₅

∴ ਚਬੂਤਰਾ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਲੋਂੜੀਦਾ ਦਾ ਕੰਕਰੀਟ = 750 m³

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 5 ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ Ex 5.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 5 ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ Exercise 5.3

1. ਹੇਠ ਦਿੱਤੀਆਂ ਅੰਕ ਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ ਦਾ ਜੋੜਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ :

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (i).
2, 7, 12, … 10 ਪਦਾਂ ਤੱਕ
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ A.P. ਹੈ : 2, 7, 12, …
ਇੱਥੇ = 2, d = 7 – 2 = 5, n = 10
ਸੂਤਰ S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1) d] ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਕੇ
∴ S₁₀ = \(\frac{10}{2}\)[2 × 2 + (10 – 1) 5]
= 5 [4 + 45] = 95

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ii).
– 37, – 33, – 29… 12 ਪਦਾਂ ਤੱਕ
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ A.P. ਹੈ : 37, – 33, – 29…
ਇੱਥੇ a = – 37, d = – 33 + 37 = 4, n = 12
ਸੂਤਰ S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1) d] ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਕੇ
∴ S₁₂ = \(\frac{12}{2}\)[2(-37) + (12 – 1) 4]
= 6 [-74 + 44]
= – 180

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iii).
0.6, 1.7, 2.8, … 100 ਪਦਾਂ ਤੱਕ
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ A.P. ਹੈ 0.6, 1.7, 2.8,….
ਇੱਥੇ a = 0.6, d = 1.7 – 0.6 = 1.1
n = 100
ਇੱਥੇ S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1) ] ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਕੇ
∴ S₁₀₀ = \(\frac{100}{2}\)[2(0.6) + (100 – 1) 1.1]
= 50 [1.2 + 108.9]
= 5505

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iv).
\(\frac{1}{15}\), \(\frac{1}{12}\), \(\frac{1}{10}\), ….. 11 ਪਦਾਂ ਤੱਕ ।
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ A.P. ਹੈ :
\(\frac{1}{15}\), \(\frac{1}{12}\), \(\frac{1}{10}\), …..
ਇੱਥੇ a = \(\frac{1}{15}\),
d = \(\frac{1}{12}\) – \(\frac{1}{15}\) = \(\frac{5-4}{60}\)
= \(\frac{1}{60}\),
n = 11
ਸੂਤਰ S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)] ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਤੋਂ

2. ਹੇਠ ਦਿੱਤਿਆਂ ਦਾ ਜੋੜਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ :

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (i).
7 + 10\(\frac{1}{2}\) + 14 + … + 84
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ A.P. ਹੈ :
7 + 10\(\frac{1}{2}\) + 14 + … + 84
ਇੱਥੇ a = 7, d = 10\(\frac{1}{2}\) – 7 = \(\frac{21}{2}\) – 7
= \(\frac{21-14}{2}\) = \(\frac{7}{2}\)
ਅਤੇ l = T_n = 84
a + (n – 1) d = 84
7 + (n – 1)\(\frac{7}{2}\) = 84
(n – 1)\(\frac{7}{2}\) = 84 – 7 = 77
n – 1 = 77 × \(\frac{2}{7}\) = 22
n = 22 + 1 = 23
ਹੁਣ S₂₃ = \(\frac{23}{2}\)[7 + 84] |∵ S_n = \(\frac{n}{2}\)[a + l]
\(\frac{23}{2}\) × 91 = 2093

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ii).
34 + 32 + 30 + … + 10
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ A.P. ਹੈ
34 + 32 + 30 +… + 10
a = 34, d = 32 – 34 = – 2 l = T_n = 10
a + (n – 1) d = 10
34 + (n – 1) (-2) = 10
– 2(n – 1) = 10 – 34 = – 24
n – 1 = \(\frac{24}{2}\) = 12
n = 12 + 1 = 13
S₁₃ = \(\frac{13}{2}\)[34 + 10]
= \(\frac{13}{2}\) 44 |∵ S_n = \(\frac{n}{2}\)[a + l]
= 13 × 22 = 286

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iii).
– 5 +(-8) + (-11) + ….. + (-230)
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ A.P. ਹੈ
– 5 + (-8) + (-11) + … +(- 230)
a = -5, d = – 8 + 5 = – 3
l = T_n = – 230
a + (n – 1) d = – 230
-5 + (n – 1) (-3) = – 230
– 3 (n – 1) = – 230 + 5 = – 225
n – 1 = \(\frac{225}{3}\) = 75
n = 75 + 1 = 76
S₇₆ = \(\frac{76}{2}\)[-5 + (-230)] |∵ S_n = \(\frac{n}{2}\)[a + l]
= 38 (-235)
= – 8930

3. ਇੱਕ AP ਵਿੱਚ

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (i).
a = 5, d = 3 ਅਤੇ a_n = 50 ਦਿੱਤਾ ਹੈ । n ਅਤੇ S_n ਪਤਾ ਕਰੋ
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : a = 5, d = 3, a_n = 50
∵ a_n = 50
a + (n – 1) d = 50
5 + (n – 1) 3 = 50
3(n – 1) = 50 – 5 = 45
n – 1 = \(\frac{45}{3}\) = 15
n = 15 + 1 = 16
ਹੁਣ S_n = \(\frac{n}{2}\)[a + l]
= \(\frac{16}{2}\)[5 + 50] = 8 × 55
= 440

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ii).
a = 7 ਅਤੇ a₁₃ = 35 ਦਿੱਤਾ ਹੈ ।d ਅਤੇ S₁₃ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : a = 7, a₁₃ = 35
a₁₃ = 35
a + (n – 1) d = 35
7 + (13 – 1) d = 35
12d = 35 – 7 = 28
d = \(\frac{28}{12_{3}}\) = \(\frac{7}{3}\)
ਹੁਣ S₁₃ = \(\frac{13}{2}\)[7 + 35] = |∵ S_n = \(\frac{n}{2}\)[a + l]
= \(\frac{13}{2}\) × 42 = 13 × 21
= 273

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iii).
a₁₂ = 37 ਅਤੇ d = 3 ਦਿੱਤਾ ਹੈ a ਜੀਵ S₁₂ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : a₁₂ = 37, d = 3
∵ a₁₂ = 37
a + (n – 1) d = 37
a + (12 – 1) 3 = 37
a + 37 – 33 = 4
a + 33 = 37
a = 37 – 33 =4
S₁₂ = \(\frac{12}{2}\)[4 + 37] |S_n = \(\frac{n}{2}\)[a + l]
= 6 × 41 = 246

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iv).
a₃ = 15 ਅਤੇ S₁₀ = 125 ਦਿੱਤਾ ਹੈ । d ਅਤੇ a₁₀ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : a₃ = 15, S₁₀ = 125
∵ a₃ = 15
a + (n – 1) d = 15
a + (3 – 1) d = 15
a + 2d = 15 …(1)
∵ S₁₀ = 125
\(\frac{10}{2}\)[2n + (10 – 1) d] = 125
|∵ S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
[24 + 9d] = 125
2a + 9d = \(\frac{125}{5}\) = 25
ਜਾਂ 2a +9d = 25 …(2)
‘a’ ਦਾ ਮੁੱਲ (2), ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ
2(15 – 2d) + 9d = 25
30 – 4d + 9d = 25
5d = 25 – 30
d = \(\frac{-5}{5}\) = -1
‘d’ ਦਾ ਮੁੱਲ (3) ਵਿਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ
a = 15 – 2(-1)
= 15 + 2 = 17
a₁₀ = 17 + (10 – 1) (-1)
|∵ S_n = a + (n – 1) d
= 17 – 9 = 8

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (v).
d = 5 ਅਤੇ S₉ = 75, ਦਿੱਤਾ ਹੈ । a ਅਤੇ a₉ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : d = 5, S₉ = 75
∵ S₉ = 75
\(\frac{9}{2}\)[2a + (9 – 1) 5) = 75
|∵ S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (vi).
a = 2, d = 8 ਅਤੇ S_n = 90 ਦਿੱਤਾ ਹੈ । n ਅਤੇ a_n ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : a = 2, d = 8, S_n = 90,
∵ S_n = 90
\(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1) d] = 90
\(\frac{n}{2}\)[2 × 2 + (n – 1) 8] = 90
n[2 + 4n -4] = 90
n(4n – 2) = 90
4n² – 2n – 90 = 0
2n² – n – 45 = 0
2n² – 10n + 9n – 45 = 0
|S = – 2
|P = -45 × 2 = – 90
2n [n – 5] + 9 (n – 5) = 0
(2n + 9) (n – 5) = 0
2n + 9 = 0 or n – 5= 0
n = \(-\frac{9}{2}\) or n = – 5
∵ n ਰਿਣਾਤਮਕ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦਾ n = \(-\frac{9}{2}\) ਛਡ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ ।
∴ n = 5
ਹੁਣ a_n = a₅ = a + (5 – 1) d
= 2 + (5 – 1)8
= 2 + 32 = 34

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (vii).
a = 8, a_n = 62 ਅਤੇ S_n = 210 ਦਿੱਤਾ ਹੈ । n ਅਤੇ d ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : a = 8, a_n = 62, S_n = 210
∵ S_n = 210
\(\frac{n}{2}\)[a + a_n] = 210
\(\frac{n}{2}\)[8 + 6] = 210
\(\frac{n}{2}\) × 76 = 210
n = \(\frac{210}{35}\) = 6
a_n = 62
ਹੁਣ 8 + (6 – 1) d = 62
|∵ T_n = a + (n – 1) d
5d = 62 – 8 = 54
d = \(\frac{54}{5}\)

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (viii).
a_n = 4, d = 2 ਅਤੇ S_n = – 14 ਦਿੱਤਾ ਹੈ । n ਅਤੇ a ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : a_n =4, d = 2, S_n = – 14
∵ a_n = 4
a + (n – 1) d = 4
a + (n – 1)2 = 4
a + 2n – 2 = 4
a = 6 – 2n …(1)
S_n = – 14
\(\frac{n}{2}\)[a + a_n] = -14
\(\frac{n}{2}\)[6 – 2n + 4] = -14 ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਕੇ
\(\frac{n}{2}\)[10 – 2n] = – 14
5n – n² + 14 = 0
n² – 5n – 14 = 0 |S = – 5
n² – 7n + 2n – 14 = 0 | P = 1 × – 14 = 14
n² – 7n + 2n – 14 = 0
n (n – 7) + 2 (n – 7) = 0
(n – 7) (n + 2) = 0
n = 7 ਜਾਂ n =-2
∵ n ਹਿਣਾਤਮਕ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦਾ
∴ n = -2 ਨੂੰ ਛੱਡ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ ।
∴ n = 7
n ਦਾ ਮੁੱਲ (1) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ
a = 6 – 2 × 7
= 6 – 14 = – 8

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ix).
a = 3, n = 8 ਅਤੇ S = 192 ਦਿੱਤਾ ਹੈ ।d ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : a = 3, n = 8, S = 192
∵ S = 192
⇒ S₈ = 192 [∵ n = 8]
\(\frac{8}{2}\) [2 × 3 + (8 – 1) d]=192
|∵ S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1) d]
4 [6 + 7d] = 192
6 + 7d = \(\frac{192}{4}\) =48
7d = 48 – 6 = 42
d = \(\frac{42}{7}\) = 6

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (x).
l = 28, S = 144 ਅਤੇ ਕੁੱਲ 9 ਪਦ ਹਨ a ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : l= 28, S = 144
ਹੁਣ ਕੁੱਲ ਪਦ 9 ਹਨ ।
∴ n = 9 ; l = a₉ = 28 ; S₉ = 144
∵ a₉ = 28
a + (9 – 1)d = 28
|∵ a_n = T_n = 9 + (n – 1)d
a + 8d = 28 …(1)
S₉ = 144
\(\frac{9}{2}\)[a + 28] = 144 (∵ S_n = \(\frac{n}{2}\)(a + 1))
a + 28 = \(\frac{144×2}{9}\) = 32
a = 32 – 28 = 4.

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 4.
636 ਜੋੜ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ A.P.: 9, 17, 25 … ਦੇ ਕਿੰਨੇ ਪਦ ਲੈਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ ?
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ A.P. 9, 17, 25, ……
ਜਿੱਥੇ a = 9, d = 17 – 9 = 8
ਕਿਉਂਕਿ S_n = 636
\(\frac{n}{2}\)[2a+(n – 1) d] = 636
\(\frac{n}{2}\)[2(9) + (n – 1) 8] = 636
\(\frac{n}{2}\)[18+ 8n – 8] = 636
n[4n + 5] = 636
4n² + 5n – 636 = 0
a = 4, b = 5, c = – 636
D = (5)² – 4 × 4 × (-636)
= 25 + 10176
= 10201

∵ n ਰਿਣਾਤਮਕ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦਾ ।
n = \(-\frac{53}{4}\) ਨੂੰ ਛੱਡ ਦਿੰਦੇ ਹਨ ।
∴ n = 12
∴ ਦਿੱਤੀ ਗਈ A.P. ਦੇ 12 ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜ 636 ਹੈ ॥

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 5.
ਕਿਸੇ AP. ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਪਦ 5, ਅੰਤਿਮ ਪਦ 45 ਅਤੇ ਜੋੜਫਲ 400 ਹਨ । ਪਦਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਅਤੇ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : a = T₁ = 5; l = a_n = 45
S_n = 400
∵ T_n = 45
a + (n – 1) d = 45
5 + (n – 1)d = 45
(n – 1)d = 45 – 5 = 40
(n – 1)d = 40
S_n = 400
\(\frac{n}{2}\)[a + a_n] = 400
\(\frac{n}{2}\)[5 + 45] = 400
25n = 400
n = \(\frac{400}{25}\) = 16
n ਦਾ ਮੁੱਲ (1) ਵਿਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ
(16 – 1) d = 40
15d = 40
d = \(\frac{40}{15}\) = \(\frac{8}{3}\)
n = 16, d = \(\frac{8}{3}\)

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 6.
ਕਿਸੇ A.P. ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਪਦ ਕੁਮਵਾਰ 17 ਅਤੇ 350 ਹਨ । ਜੇਕਰ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ 9 ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਇਸ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨੇ ਪਦ ਹੋਣਗੇ ਅਤੇ ਇਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਜੋੜਫਲ ਕਿੰਨਾ ਹੋਵੇਗਾ ?
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : a = T₁ = 17
l = a_n = 350, d = 9
∵ l = a_n = 350
a + (n -1) d = 350
17 + (n – 1) 9 = 350
9 (n – 1) = 350 – 17 = 333
n – 1 = \(\frac{333}{9}\) = 37
n = 37 + 1 = 38
ਹੁਣ S₃₈ = \(\frac{n}{2}\)[a + l]
= \(\frac{38}{2}\)[17 + 350]
= 19 × 367 = 6973
∵ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ A.P. ਦੇ 38 ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜ 6973 ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 7.
ਉਸ A.P. ਦੇ ਪਹਿਲੇ 22 ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਜਿਸ ਵਿਚ d = 7 ਹੈ ਅਤੇ 22ਵਾਂ ਪਦ 149 ਹੈ ।
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : d = 7; T₂₂ = 149
n = 22
∵ T₂₂ = 149
a + (n – 1) d = 149
a + (22 – 1) 7 = 149
a + 147 = 149
a = 149 – 147 = 2
ਹੁਣ S₂₂ = \(\frac{n}{2}\)[a + T₂₂]
= \(\frac{22}{2}\)[2 + 149]
= 11 × 151 = 1661
∴ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ A.P. ਦੇ ਪਹਿਲੇ 22 ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜਫਲ 1661 ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 8.
ਉਸ A.P. ਦੇ ਪਹਿਲੇ 51 ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਜਿਸਦੇ ਦੁਸਰੇ ਅਤੇ ਤੀਸਰੇ ਪਦ ਕੁਮਵਾਰ 14 ਅਤੇ 18 ਹਨ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ ‘a’ ਅਤੇ ‘d’ ਪਹਿਲਾ ਪਦ ਅਤੇ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਹੈ ।
ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ T₂ = 14; T₃ = 18
n = 51
∵ T₂ = 14
a + (n – 1) d = 14
a + (2 – 1) d = 14
a + d = 14
a = 14 – d …(1)
T₃ = 18
a + (n – 1) d = 18
a + (3 – 1) d = 18
a + 2d = 18
14 – d + 2d = 18
d = 18 – 14 = 4
d = 4
d ਦਾ ਮੁੱਲ (1) ਵਿਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ
a = 14 – 4 = 10
ਹੁਣ S₅₁ = \(\frac{n}{2}\)[24 + (n – 1) d]
= \(\frac{51}{2}\)[2 × 10 + (51 – 1) 4]
= \(\frac{51}{2}\)[20 + 200]
= \(\frac{51}{2}\) × 220 = 51 × 110 = 5610
∴ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ A.P. ਦੇ ਪਹਿਲੇ 51 ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜ 5610 ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 9.
ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ A.P. ਦੇ ਪਹਿਲੇ 7 ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜਫਲ 49 ਹੈ ਅਤੇ ਪਹਿਲੇ 17 ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜ 289 ਹੈ ; ਤਾਂ ਇਸਦੇ ਪਹਿਲੇ ॥ ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ a’ ਅਤੇ ‘d’ ਦਿੱਤੀ ਗਈ A.P. ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਪਦ ਅਤੇ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਹੈ ।
ਪਹਿਲੀ ਸ਼ਰਤ ਅਨੁਸਾਰ
S₇ = 49
\(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1) d] = 49
\(\frac{7}{2}\)[2a + (7 – 1) d] = 49
\(\frac{7}{2}\)[2a + 6d] = 49
\(\frac{7}{2}\)[2a + 6d]= 49
a + 3d = 7
a = 7 – 3d …(1)
ਦੂਸਰੀ ਸ਼ਰਤ ਅਨੁਸਾਰ
S₇ = 289
\(\frac{n}{2}\)[2a +(17 – 1) d] = 289
= \(\frac{17}{2}\)[2a + (17 – 1) d] = 289
a + 8d = \(\frac{289}{17}\) = 17
‘a’ ਦਾ ਮੁੱਲ (1) ਵਿਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ ।
7 – 3d + 8d = 17
5d = 17 – 7 = 10
d = \(\frac{10}{5}\) = 2
‘d’ ਦਾ ਮੁੱਲ (1), ਵਿਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ
a = 7 – 3 × 2
= 7 – 6 = 1
ਹੁਣ S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
= \(\frac{n}{2}\)[2 × 1 + (n – 1)2]
= n[1 + n – 1] = n × n
= n²
∴ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ A.P. ਦੇ ਪਹਿਲੇ n ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜ n² ਹੈ ।

10. ਦਿਖਾਉ ਕਿ a₁, a₂, …a_n… ਤੋਂ ਇੱਕ A.P. ਬਣਦੀ ਹੈ, ਜੇਕਰ a_n ਹੇਠ ਦਿੱਤੇ ਅਨੁਸਾਰ ਪ੍ਰਭਾਸ਼ਿਤ ਹੋਵੇ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (i).
a_n = 3 + 4n
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ ਕਿ a_n = 3 + 4n …(1)
‘n’ ਦੇ ਭਿੰਨ-ਭਿੰਨ ਮੁੱਲ (1), ਵਿਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ
a₁ = 3 + 4 (1) = 7
a₂ = 3 + 4 (2) = 11
a₃ = 3 + 4 (3) = 15,
ਹੁਣ a₂ – a₁, a₃ – a₂ = 15 – 11 = 4
∵ a₂ – a₁ = 11 – 7 = 4
a₃ – a₂ = 4 = d (ਮੰਨ ਲਉ)
∴ ਇਹ ਇੱਕ A.P. ਹੈ ।
ਇੱਥੇ a = 7, d = 4 ਅਤੇ n = 15
∴ S₁₅ = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
= \(\frac{15}{2}\)[2(7) + (15 – 1)4]
= \(\frac{15}{2}\)[14 + 56] = \(\frac{15}{2}\) × 70
= 15 × 35 = 525

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ii).
a_n = 9 – 5n ਨਾਲ ਹੀ, ਹਰੇਕ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਪਹਿਲੇ 15 ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ ਕਿ a_n = 9 – 5n …(1)
n ਦੇ ਭਿੰਨ-ਭਿੰਨ ਮੁੱਲ (1) ਵਿੱਚ ਭਰਨ ‘ਤੇ
a₁ = 9 – 5 (1) = 4
a₂ =² 9 – 5(2) = -1
a₃ = 9 – 5 (3) = – 6
ਹੁਣ a₂ – a₁ = -1 – 4 = – 5
ਇੱਥੇ a₃ – a₂ = – 6 + 1 = – 5
∴ a₂ – a₁ = a₃ – a₂ = -5 = d (ਮੰਨ ਲਉ)
∴ ਇਹ ਇਕ A.P. ਹੈ ।
ਇੱਥੇ a = 4, d = -5, n = 15
∴ S₁₅ = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)a]
= \(\frac{15}{2}\)[2(4) + (15 – 1) (-5)]
= \(\frac{15}{2}\)[8 – 70] = \(\frac{15}{2}\)(-62)
= – 465

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 11.
ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ A.P. ਦੇ ਪਹਿਲੇ n ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜਫਲ 4n + n² ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਇਸ ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਪਦ (ਭਾਵ S₁) ਕੀ ਹੈ ? ਪਹਿਲੇ ਦੋ ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜਫਲ ਕੀ ਹੈ ? ਦੂਜਾ ਪਦ ਕੀ ਹੈ ? ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਤੀਸਰਾ, 10ਵਾਂ ਅਤੇ ਵਾਂ ਪਦ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ ਕਿ A.P. ਦੇ ‘n’ ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜਫਲ ਹੈ
S_n = 4n – n² …(1)
n = 1 ਦਾ ਮੁੱਲ (1) ਵਿਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ
S₂ = 4(2) – (2)² = 8 – 4
S₂ = 4
T₁ + T₂ = 4
3 + T₂ = 4
T₂ = 4 – 3 = 1
n = 3 ਦਾ ਮੁਲ (1) ਵਿਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ
S₃ = 4 (3) – (3)² = 12 – 9 = 3
ਜਾਂ S₂ + T₃ = 3
4 + T₃ = 3
T₃ = 3 – 4 = -1
ਹੁਣ d = T₂ – T₁
= 1 – 3 = – 2
∴ T₁₀ = a + (n – 1) d
= 3 (10 – 1) (-2)
T₁₀ = 3 – 18 = -15
T_n = a + (n – 1) d
= 3 + (n – 1) (-2)
= 3 – 2n + 2
T_n = 5 – 2n

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 12.
ਅਜਿਹੀਆਂ ਪਹਿਲੀਆਂ 40 ਧਨ ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਜੋੜਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜੋ 6 ਨਾਲ ਭਾਜਯੋਗ ਹਨ ।
ਹੱਲ:
6 ਨਾਲ ਭਾਜਯੋਗ ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ
6, 12, 18, 24, 30, 36 42, …
ਇੱਥੇ a = T₁ = 6, T₂ = 12,
T₃ = 18, T₄ = 24
T₂ – T₁ = 12 – 6 = 6
T₃ – T₂ = 18 – 12 = 6
T₄ – T₃ = 24 – 18 = 6
∵ T₂ – T₁ = T₃ – T₂
= T₄ – T₃ = 6 = d (ਮੰਨ ਲਉ)
ਸੂਤਰ S_n = \(\frac{n}{2}\)[24 + (n – 1) d]
S₄₀ = \(\frac{40}{2}\)[2(6) + (40 – 1) 6]
= 20 [12 + 234]
= 20 (246) = 4920
∴ 6 ਨਾਲ ਭਾਜਯੋਗ 40 ਧਨ ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਜੋੜਫਲ 4920 ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 13.
8 ਦੇ ਪਹਿਲੇ 15 ਗੁਜਾਂ ਦਾ ਜੋੜਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
8 ਦੇ ਗੁਣ ਹਨ : 8, 16, 24, 32, 40, 48, …
ਇੱਥੇ a = T₁ = 8; T₂ = 16 ;
T₃ = 24 ; T₄ = 32
T₂ – T₁ = 16 – 8 = 8
T₃ – T₂ = 24 – 16 = 8
∵ T₂ – T₁ = T₃ – T₂ = 8 = d (ਮੰਨ ਲਉ।)
ਸੂਤਰ S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
S₁₅ = \(\frac{15}{2}\)[2(8) + (15 – 1)8]
= \(\frac{15}{2}\)[16 + 112]
= \(\frac{15}{2}\) × 128 = 960
∴ 8 ਦੇ ਪਹਿਲੇ 15 ਗੁਣਕਾਂ ਦਾ ਜੋੜਫਲ 960 ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 14.
0 ਅਤੇ 50 ਦੇ ਵਿਚ ਟਾਂਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਜੋੜਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
0 ਅਤੇ 50 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਟਾਂਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ 1, 3, 5, 7, 9, …, 49
ਇੱਥੇ a = T₁ = 1; T₂ = 3
T₃ = 5 ; T₄ = 7
l = T_n = 49
T₂ – T₁ = 3 – 1 = 2
T₃ – T₂ = 5 – 3 = 2
∵ T₂ – T₁ = T₃ – T₂ = 1 d (ਮੰਨ ਲਉ)
l = T_n = 49
a + (n – 1)d = 49
1 + (n – 1) 2 = 49
2(n – 1) = 49 – 1 = 48
n – 1 = \(\frac{48}{2}\) = 24
n = 24 + 1 = 25
ਸੂਤਰ S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
S₂₅ = \(\frac{25}{2}\)[2(1) + (25 – 1) 2]
= \(\frac{25}{2}\)[2 + 48]
= \(\frac{25}{2}\) × 50 = 625
∴ 0 ਅਤੇ 50 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਟਾਂਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਜੋੜਫਲ 625 ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 15.
ਨਿਰਮਾਣ ਕਾਰਜ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਤ ਕਿਸੇ ਠੇਕੇ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਮਿਤੀ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਕੰਮ ਦੇਰੀ ਨਾਲ ਪੂਰਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਜ਼ੁਰਮਾਨਾ ਲਗਾਉਣ ਦੀ ਵਿਵਸਥਾ ਇਸ ਪ੍ਰਕਾਰ ਹੈ :
ਪਹਿਲੇ ਦਿਨ ਦੇ ਲਈ ₹ 200, ਦੂਸਰੇ ਦਿਨ ਲਈ ₹ 250, ਤੀਸਰੇ ਦਿਨ ਲਈ ₹ 300 ਆਦਿ ਭਾਵ ਹਰੇਕ ਅਗਲੇ ਦਿਨ ਦਾ ਜ਼ੁਰਮਾਨਾ ਆਪਣੇ ਤੋਂ ਠੀਕ ਪਹਿਲੇ ਦਿਨ ਦੇ ਜੁਰਮਾਨੇ ਨਾਲੋਂ ₹ 50 ਵੱਧ ਹੈ । ਇੱਕ ਠੇਕੇਦਾਰ ਨੂੰ ਜੁਰਮਾਨੇ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿਚ ਕਿੰਨੀ ਰਕਮ ਦੇਣੀ ਪਵੇਗੀ, ਜੇਕਰ ਉਹ ਇਸ ਕੰਮ ਵਿੱਚ 30 ਦਿਨ ਦੀ ਦੇਰੀ ਕਰ ਦਿੰਦਾ ਹੈ ।
ਹੱਲ:
ਪਹਿਲੇ, ਦੁਸਰੇ ਅਤੇ ਤੀਸਰੇ ਦਿਨ ਲਈ ਜ਼ੁਰਮਾਨਾਂ ਹੈ : ₹ 200, ₹ 250, ₹ 300
ਜ਼ੁਰਮਾਨੇ ਵਿਚ ਅੰਤਰ ₹ 50 ਨਾਲ ਵੱਧਦਾ ਹੈ ।
∴ ਇਹ A.P. ਹੈ ।
₹ 200, ₹ 250, ₹ 300, ₹ 350
ਇੱਥੇ a = T₁ = 200 ; d = 50 ਅਤੇ n = 30
30 ਦਿਨਾਂ ਬਾਅਦ ਦੇਣਯੋਗ ਰਾਸ਼ੀ
S₃₀ = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1l) d]
= \(\frac{30}{2}\)[2(200) + (30 -1) 50]
= 15 [400 + 1450]
= 15 (1850) = 27750
∴ ਠੇਕੇਦਾਰ ਨੂੰ ਇਹ ਰਾਸ਼ੀ ₹ 27,750 ਜ਼ੁਰਮਾਨੇ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿਚ ਦੇਣੀ ਪਵੇਗੀ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 16.
ਕਿਸੇ ਸਕੂਲ ਦੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਨੂੰ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਸਮੁੱਚੇ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਨ ਲਈ 7 ਨਕਦ ਇਨਾਮ ਦੇਣ ਲਈ ₹ 700 ਦੀ ਰਾਸ਼ੀ ਰੱਖੀ ਗਈ ਹੈ । ਜੇਕਰ ਹਰੇਕ ਇਨਾਮ ਆਪਣੇ ਤੋਂ ਠੀਕ ਪਹਿਲੇ ਇਨਾਮ ਤੋਂ ₹ 20 ਘੱਟ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਹਰੇਕ ਇਨਾਮ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ ਪਹਿਲੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਨੂੰ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਇਨਾਮੀ ਦੀ ਰਾਸ਼ੀ = ₹ x
ਦੂਸਰੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਨੂੰ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਰਾਸ਼ੀ = ₹ (x – 20)
ਤੀਸਰੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਦੀ ਰਾਸ਼ੀ
= ₹ [x – 20 – 20}
= ₹ (-40)
∴ ਲੋੜੀਂਦਾ ਹੈ ।
₹ x, ₹ (x – 20), ₹ (x – 40)
∴ ਇਹ A.P. ਹੈ ।
a = ₹ x, d = – ₹ 20 n = 7
S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
S₇ = \(\frac{7}{2}\)[2(x) + (7 – 1) (-20)
S₇ = \(\frac{7}{2}\)[2x – 120] = 7 (x – 60)
7 (x – 60) = 700
x – 60 = \(\frac{700}{7}\) = 100
x = 100 + 60.
x = 160
∴ 7 ਇਨਾਮ ਹਨ ₹ 160, ₹ 140, ₹ 120, ₹ 100, ₹ 80, ₹ 60, ₹ 40

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 17.
ਇੱਕ ਸਕੂਲ ਦੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਨੇ ਹਵਾ ਪ੍ਰਦੂਸ਼ਣ ਘਟਾਉਣ ਲਈ ਸਕੂਲ ਦੇ ਅੰਦਰ ਅਤੇ ਬਾਹਰ ਪੌਦੇ ਲਗਾਉਣ ਬਾਰੇ ਸੋਚਿਆ । ਇਹ ਫੈਸਲਾ ਲਿਆ ਗਿਆ ਕਿ ਹਰੇਕ ਸ਼੍ਰੇਣੀ ਦਾ ਹਰੇਕ ਸੈਕਸ਼ਨ ਆਪਣੀ ਸ਼੍ਰੇਣੀ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਪੌਦੇ ਲਗਾਵੇਗਾ । ਉਦਾਹਰਣ ਦੇ ਲਈ ਪਹਿਲੀ ਸ਼੍ਰੇਣੀ ਦਾ ਇੱਕ ਸੈਕਸ਼ਨ 1 ਪੌਦਾ ਲਗਾਵੇਗਾ, ਸ਼੍ਰੇਣੀ II ਦਾ ਇੱਕ ਸੈਕਸ਼ਨ 2 ਪੌਦੇ ਲਗਾਵੇਗਾ, ਸ਼੍ਰੇਣੀ I ਦਾ ਇੱਕ ਸੈਕਸ਼ਨ 3 ਪੌਦੇ ਲਗਾਵੇਗਾ, ਆਦਿ, ਅਤੇ ਅਜਿਹਾ ਸ਼੍ਰੇਣੀ XII ਤੱਕ ਚਲਦਾ ਰਹੇਗਾ | ਹਰੇਕ ਸ਼੍ਰੇਣੀ ਦੇ 3 ਸੈਕਸ਼ਨ ਹਨ । ਇਸ ਸਕੂਲ ਦੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੁਆਰਾ ਲਗਾਏ ਗਏ ਪੌਦਿਆਂ ਦੀ ਕੁੱਲ ਸੰਖਿਆ ਕਿੰਨੀ ਹੋਵੇਗੀ ?
ਹੱਲ:
ਸ਼੍ਰੇਣੀ I ਦੇ ਤਿੰਨ ਸੈਕਸ਼ਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਲਗਾਏ ਗਏ ਪੌਦਿਆਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ = 3 × 1 = 3
ਸ਼੍ਰੇਣੀ II ਦੇ ਤਿੰਨ ਸੈਕਸ਼ਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਲਗਾਏ ਗਏ ਪੌਦਿਆਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ = 3 × 2 = 6
ਸ਼੍ਰੇਣੀ III ਦੇ ਤਿੰਨ ਸੈਕਸ਼ਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਲਗਾਏ ਗਏ ਪੌਦਿਆਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ = 3 × 3 = 9
……………………………………………..
……………………………………………..
……………………………………………..
ਸ਼੍ਰੇਣੀ XII ਦੇ ਤਿੰਨ ਸੈਕਸ਼ਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਲਗਾਏ ਗਏ ਪੌਦਿਆਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ = 3 × 12 = 36
∴ ਲੌੜੀਂਦਾ A.P. ਹੈ 3, 6, 9,…, 36
ਇੱਥੇ a = T₁ = 3 ; T₂ = 6; T₃ = 9
l = T_n = 36 ; n = 12
d = T₂ – T₁ = 6 – 3 = 3
ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੁਆਰਾ ਲਗਾਏ ਗਏ ਪੌਦਿਆਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ
= S₁₂
= \(\frac{n}{2}\)[a + l]
= \(\frac{12}{2}\)[3 + 36] = 6 × 39 = 234
∴ ਵਾਯੂ ਪ੍ਰਦੂਸ਼ਣ ਰੋਕਣ ਲਈ ਲਗਾਏ ਗਏ ਪੋਦਿਆਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆਂ 234 ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 18.
ਕੇਂਦਰ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਵਾਰੀ-ਵਾਰੀ ਨਾਲ | A ਅਤੇ B ਨੂੰ ਕੇਂਦਰ ਮੰਨਦੇ ਹੋਏ ਅਰਧ ਵਿਆਸ 0.5 cm, 1.0 cm, 1.5 cm, 2.0 cm, …..ਵਾਲੇ ਲਗਾਤਾਰ ਅਰਧ ਚੱਕਰਾਂ ਨੂੰ ਖਿੱਚ ਕੇ ਇਕ ਕੁੰਡਲਦਾਰ (Spiral) ਬਣਾਇਆ | ਗਿਆ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ ਵਿਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ । ਤੇਰਾਂ ਲਗਾਤਾਰ ਅਰਧ ਚੱਕਰਾਂ ਤੇ ਬਣੇ ਇਸ ਕੁੰਡਲਦਾਰ (Spiral) ਦੀ ਕੁੱਲ ਲੰਬਾਈ ਕੀ ਹੈ ? (π = \(\frac{22}{7}\) ਲਉ)
[ਸੰਕੇਤ : ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਕੇਂਦਰ A, B, A, B… ਵਾਲੇ ਅਰਧ ( ਚੱਕਰਾਂ ਦੀਆਂ ਲੰਬਾਈਆਂ l₁, l₂, l₃, l₄ ਹਨ ]

ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ l₁ = ਪਹਿਲੇ ਅਰਧ ਚੱਕਰ ਦੀ ਲੰਬਾਈ
= πr₁ = π(0.5) = \(\frac{\pi}{2}\)
l₂ = ਦੂਸਰੇ ਅਰਧ ਚੱਕਰ ਦੀ ਲੰਬਾਈ
= πry = π(1) = π
l₃ = ਤੀਸਰੇ ਅਰਧ ਚੱਕਰ ਦੀ ਲੰਬਾਈ
= πr₃ = π(1.5) = \(\frac{3 \pi}{2}\)
l₄ = ਚੌਥੇ ਅਰਧ ਚੱਕਰ ਦੀ ਲੰਬਾਈ
= πr₄ = π(2) = 2π
∵ ਹਰੇਕ ਲੜੀ ਵਿਚ ਅਰਧ ਚੱਕਰਾਂ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਇਕ A.P. ਬਣਦੀ ਹੈ ।
ਇੱਥੇ a = T₁ = \(\frac{\pi}{2}\); T₂ = π
T₃ = \(\frac{3\pi}{2}\); T₄ = 2π …. ਅਤੇ n = 13
d = T₂ – T₁ = π – \(\frac{\pi}{2}\)
\(\frac{2 \pi-\pi}{2}\) = \(\frac{\pi}{2}\)
∴ ਕੁੰਡਲਦਾਰ (Spiral) ਦੀ ਕੁਲ ਲੰਬਾਈ = S₁₃

∴ ਕੁੰਡਲਦਾਰ (Spiral) ਦੀ ਕੁਲ ਲੰਬਾਈ = 143 ਸਮ

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 19.
200 ਮੋਟੀਆਂ ਲੱਕੜਾਂ (Logs) ਦੀ ਢੇਰੀ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਰੱਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸਭ ਤੋਂ ਹੇਠ ਵਾਲੀ ਕਤਾਰ ਵਿਚ 20 ਮੋਟੀਆਂ ਲੱਕੜਾਂ ਉਸ ਤੋਂ ਅਗਲੀ ਕਤਾਰ ਵਿਚ 19 ਮੋਟੀਆਂ ਲੱਕੜਾਂ ਉਸ ਤੋਂ ਅਗਲੀ ਕਤਾਰ ਵਿਚ 18 ਮੋਟੀਆਂ ਲੱਕੜਾਂ ਆਦਿ (ਦੇਖੋ ਚਿਤਰ)। ਇਹ 200 ਮੋਟੀਆਂ ਲੱਕੜਾਂ ਕਿੰਨੀਆਂ ਕਤਾਰਾਂ ਵਿੱਚ ਰੱਖੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ ਅਤੇ ਸਭ ਤੋਂ ਉਪਰਲੀ ਕਤਾਰ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨੀਆਂ ਮੋਟੀਆਂ ਲੱਕੜਾਂ ਹਨ ?

ਹੱਲ:
ਸਭ ਤੋਂ ਹੇਠਲੀ ਕਤਾਰ ਵਿਚ ਮੋਟੀਆਂ ਲੱਕੜਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ = 20
ਦੂਸਰੀ ਕਤਾਰ ਵਿਚ ਮੋਟੀਆਂ ਲੱਕੜਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆਂ = 19
ਤੀਸਰੀ ਕਤਾਰ ਵਿਚ ਮੋਟੀਆਂ ਲੱਕੜਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆਂ = 18
ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅੱਗੇ ਵੀ ਹੈ
∴ ਹਰੇਕ ਕਤਾਰ ਵਿਚ ਰੱਖੀਆਂ ਗਈਆਂ ਮੋਟੀਆਂ ਲੱਕੜਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆਂ ਇਕ A.P. ਬਣਾਂਦੀ ਹੈ ।
ਇੱਥੇ a = T₁ = 20 ;
T₂ = 19 ; T₃ = 18…
d = T₂ – T₁
= 19 – 20 = -1
ਮੰਨ ਲਓ S_n ਮੋਟੀਆਂ ਲੱਕੜਾਂ ਦੀ ਕੁਲ ਸਿੱਖਿਆ ਦੱਸਦੀ ਹੈ ।
∴ S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
= \(\frac{n}{2}\)[2(20) + (n – 1) (-1)]
= \(\frac{n}{2}\)[40 – n + 1]
ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਅਨੁਸਾਰ
\(\frac{n}{2}\)[41 – n] = 200
41n – n² = 400
-n² + 41n – 400 = 0 | S = – 41
n² – 41n + 400 = 0 |P = 400
n² – 16n – 25n + 400 = 0
n (n – 16) – 25 (n – 16) = 0
(n – 16) (n – 25) = 0
n – 16 = 0 ਜਾਂ n – 25 = 0
n = 16, 25
ਸਥਿਤੀ I. ਜਦੋਂ n = 25
T₂₅ = a + (n – 1) d
= 20 + (25 – 1) (-1)
= 20 – 24 = -4 ਜੋ ਅਸੰਭਵ ਹੈ।
∴ n = 25 ਛਡ ਦਿੰਦੇ ਹਨ ।
ਸਥਿਤੀ II. ਜਦੋਂ n = 16
T₁₆ = a + (n – 1) d
= 20 + (16 – 1) (-1)
= 20 – 15 = 5
∴ ਕੁੱਲ 16 ਕਤਾਰਾਂ ਹਨ ਅਤੇ ਉਪਰਲੀ ਕਤਾਰ ਵਿਚ 5 ਮੋਟੀਆਂ ਲੱਕੜਾਂ ਹਨ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 20.
ਇੱਕ ਆਲੂ ਦੌੜ (potato race) ਵਿਚ ਆਰੰਭਿਕ ਸਥਾਨ ‘ਤੇ ਇੱਕ ਬਾਲਟੀ ਰੱਖੀ ਹੋਈ ਹੈ । ਜੋ ਪਹਿਲੇ ਆਲੂ ਤੋਂ 5 ਮੀਟਰ ਦੂਰ ਹੈ ਅਤੇ ਬਾਕੀ ਆਲੂਆਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਰੇਖਾ ਵਿਚ 3 m ਦੀ ਆਪਸੀ ਦੂਰੀ ਤੇ ਰੱਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ । ਇਸ ਰੇਖਾ ਉੱਤੇ 10 ਆਲੂ ਰੱਖੇ ਗਏ ਹਨ (ਦੇਖੋ ਚਿੱਤਰ)

ਹਰੇਕ ਪ੍ਰਤਿਯੋਗੀ ਬਾਲਟੀ ਤੋਂ ਚਲਣਾ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਨਜਦੀਕ ਤੋਂ ਨਜਦੀਕ ਵਾਲੇ ਆਲੂ ਨੂੰ ਚੁੱਕਦੀ ਹੈ, ਉਸਨੂੰ ਲੈਕੇ ਵਾਪਿਸ ਆ ਕੇ (ਦੌੜ ਕੇ) ਬਾਲਟੀ ਵਿੱਚ ਪਾ ਦਿੰਦੀ ਹੈ, ਦੂਸਰਾ ਆਲੂ ਚੁੱਕਣ ਲਈ ਵਾਪਸ ਦੌੜਦੀ ਹੈ, ਉਸ ਨੂੰ ਚੁੱਕ ਕੇ ਵਾਪਿਸ ਬਾਲਟੀ ਵਿਚ ਪਾ ਦਿੰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਉਹ ਅਜਿਹਾ ਉਦੋਂ ਤੱਕ ਕਰਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਸਾਰੇ ਆਲੂ ਬਾਲਟੀ ਵਿੱਚ ਨਾ ਆ ਜਾਣ । ਇਸ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤੀਯੋਗੀ ਨੂੰ ਕੁੱਲ ਕਿੰਨੀ ਦੂਰੀ ਤੈਅ ਕਰਨੀ ਪਵੇਗੀ ?
[ਸੰਕੇਤ : ਪਹਿਲੇ ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਆਲੂਆਂ ਨੂੰ ਚੁੱਕ ਕੇ ਬਾਲਟੀ ਵਿਚ ਪਾਉਣ ਲਈ ਦੌੜੀ ਗਈ ਦੂਰੀ = 2 × 5 + 2 × (5 + 3) ਹੈ ।]
ਹੱਲ:
ਪਹਿਲਾ ਆਲੂ ਚੁੱਕਣ ਲਈ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਦੂਰੀ = 2(5) ਮੀ. = 10 ਮੀ.
ਪਹਿਲੇ ਆਲੂਆਂ ਵਿਚ ਦੁਰੀ = 3 ਮੀ.
∴ ਦੂਜੇ ਆਲੂ ਲਈ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਦੂਰੀ
= 2 (5 +3) ਸਮ = 16 ਮੀ.
ਤੀਸਰਾ ਆਲੂ ਚੁੱਕਣ ਲਈ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਦੂਰੀ
= 2 (5 + 3 + 3) ਮੀ.
= 22 ਮੀ.
ਇਹ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਚਲਦੀ ਰਹੇਗੀ
∴ ਇਹ A.P. ਬਣ ਜਾਏਗੀ ।
10 ਮੀ., 16 ਮੀ., 22 ਮੀ., 28 ਮੀ., ……
a = T₁ = 10; T₂ = 16; T₃ = 22, …
d = T₂ – T₁ = 16 – 10 = 6
n = 10
∴ ਕੁਲ ਜਿੰਨੀ ਦੌੜ ਲਗਾਉਣੀ ਪਵੇਗੀ = S₁₀
= \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1) d]
= \(\frac{10}{2}\)[2(10) + (10 – 1) 6]
=5 [20 + 54]
= 5 × 74 = 370
∴ ਪ੍ਰਤੀਯੋਗੀ ਨੂੰ ਕੁਲ 370 ਮੀ. ਦੀ ਦੁਰੀ ਦੌੜ ਕੇ ਤੈਅ ਕਰਨੀ ਹੈ ।

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 5 ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ Ex 5.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 5 ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ Exercise 5.2

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 1.
ਹੇਠਾਂ ਲਿਖੀ ਸਾਰਣੀ ਵਿਚ ਖ਼ਾਲੀ ਸਥਾਨਾਂ ਨੂੰ ਭਰੋ, ਜਿੱਥੇ A.P. ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਪਦ ‘a’, ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ‘d’ ਅਤੇ n ਵਾਂ ਪਦ a_n ਹੈ ।

ਹੱਲ:
(i) a = 7, d = 3, n = 8
∵ a_n = a + (n – 1) d
∴ a₈ = 7 + ( 8 – 1) 3
= 7 + 21 = 28

(ii) a = – 18, n = 10, a_n = 0
∵ a_n = a + (n – 1) d
∴ a₁₀ = – 18 + (10 – 1)d
0 = – 18 + 9d
9d = 18
d = \(\frac{18}{9}\) = 2

(iii) d = -3, n= 18, a_n = -5
∵ a_n = a + (n – 1) d
∴ a₁₈ = a + (18 – 1) (-3)
-5 = a – 51
a = – 5 + 51 = 46

(iv) a = – 18.9, d = 2.5, a_n = 3.6
∵ a_n = a + (n – 1) d
∴ 3.6 = – 18. 9 + (n – 1) 2.5
3.6 + 18.9 = (n – 1) 2.5
(n – 1) 2.5 = 22.5
n – 1 = \(\frac{22.5}{2.5}\) = 9
n = 9 + 1 = 10

(v) a = 3.5, d = 0, n = 105
∵ a_n = + (n – 1) d
∴ a_n = 3.5 + (105 – 1) 0
a_n = 3.5 + 0 = 3.5

2. ਹੇਠ ਦਿੱਤਿਆਂ ਵਿਚੋਂ ਸਹੀ ਉੱਤਰ ਚੁਣੋ ਅਤੇ ਉਸਦਾ ਕਾਰਣ ਦੱਸੋ :

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (i).
AP: 10, 7, 4……., ਦਾ 30 ਵਾਂ ਪਦ ਹੈ :
(A) 97
(B) 77
(C) -77
(D) -87
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੀ ਗਈ A.P. ਹੈ : 10, 7, 4, …..
T₁ = 10, T₂ = 7, T₃ = 4
T₂ – T₁ = 7 – 10 = – 3
T₃ – T₂ = 4 – 7 = -3
∵ T₂ – T₁ = T₃ – T₂ = – 3 = d
∴ T_n = a + (n – 1) d
T₃₀ = 10 + (30 – 1) (-3)
= 10 – 87 = -77
∴ ਸਹੀ ਉੱਤਰ (C) ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ii).
AP: -3, \(-\frac{1}{2}\), 2, …, ਦਾ 11 ਵਾਂ ਪਦ ਹੈ :
(A) 28
(B) 22
(C) -38
(D) -48\(\frac{1}{2}\)
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੀ ਗਈ A.P. ਹੈ : 3, \(-\frac{1}{2}\), 2, …
T₁ =-3, T₂ = \(-\frac{1}{2}\), T₃ = 2, …
T₂ – T₁ = \(-\frac{1}{2}\) + 3 = \(\frac{-1+6}{2}\) = \(\frac{5}{2}\)
T₃ – T₂ = 2 + \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{4+1}{2}\) = \(\frac{5}{2}\)
∵ T₂ – T₁ = T₃ – T₂ = \(\frac{5}{2}\) = d (ਮੰਨ ਲਓ)
∴ T_n = a + (n – 1) d
T₁₁ = – 3 + (11 – 1)\(\frac{5}{2}\)
= -3 + 10 × \(\frac{5}{2}\) = – 3 + 25
= 22
∴ ਸਹੀ ਉੱਤਰ (B) ਤੇ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 3.
ਹੇਠ ਦਿੱਤੀਆਂ ਅੰਕ ਗਾਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ (A.P.) ਵਿੱਚ ਖ਼ਾਲੀ ਖ਼ਾਨਿਆਂ ਦੇ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਪਤਾ ਕਰੋ :

ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ ਦਿੱਤੀ ਗਈ A.P. ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਪਦ a ਅਤੇ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ d ਹੈ !
(i) ਇੱਥੇ , T₁ = a = 2
T₃ = a + 2d = 26
2 + 2d = 26
2d = 26 – 2 = 24
d = \(\frac{24}{2}\) = 12
∴ T₂ = a + d
= 2 + 12 = 14

(ii) ਇੱਥੇ T₂ = a + d = 13 …(1)
T₄ = a + 3d = 3 …(2)
(2) – (1) ਤੋਂ ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ।

d ਦਾ ਇਹ ਮੁੱਲ (1), ਵਿਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ
a – 5 = 13
a = 13 + 5 = 18
∴ T₁ = a = 18
T₂ = a + 2d = 18 + 2 (-5)
18 – 10 = 8

(iii) ਇੱਥੇ T₁ = a = 5
T₄ = a + 3d = 9\(\frac{1}{2}\)
a + 3d = \(\frac{19}{2}\),
5 + 3d = \(\frac{19}{2}\)
3d = \(\frac{19}{2}\) – 5
3d = \(\frac{19-10}{2}\) = \(\frac{9}{2}\)
d = \(\frac{9}{2}\) × \(\frac{1}{3}\) = \(\frac{3}{2}\)
T₂ = a + d = 5 + \(\frac{3}{2}\)
= \(\frac{10+3}{2}\) = \(\frac{13}{2}\)
T₃ = a + 2d = 5 + 2\(\left(\frac{3}{2}\right)\)
= 5 + 3 = 8

(iv) ਇੱਥੇ T₁ = a = -4
T₆ = a + 5d = 6
-4 + 5d = 6
5d = 6 + 4
5d = 10
d = \(\frac{10}{5}\) = 2
T₂ = a + d = -4 + 2 = -2
T₃ = a + 2d = -4 + 2(2)
= -4 + 4 = 0
T₄ = a + 3d = -4 + 3 (2)
= -4 + 6 = 2
T₅ = a + 4d = -4 + 4 (2)
= – 4 + 8 = 4

(v) ਇੱਥੇ T₂ = a + d = 38 …(1)
T₆ = a + 5d = – 22 …(2)
ਹੁਣ (2) – (1) ਤੋਂ ਮਿਲਦਾ ਹੈ।

d ਦਾ ਮੁੱਲ (1), ਵਿਚ ਭਰਨ ‘ਤੇ
a + (-15) = 38
a = 38 + 15 = 53
∴ T₁ = a = 53
T₃ = a + 2d = 53 + 2 (-15)
= 53 – 30 = 23
T₄ = a + 3d = 53 + 3 (15)
= 53 – 45 = 8
T₅ = a + 4d = 53 + 4 (-15)
=53 – 60 = -7

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 4.
A.P.: 3, 8, 13, 18,….ਦਾ ਕਿੰਨਵਾਂ ਪਦ 78 ਹੈ ?
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ A.P. ਹੈ: 3, 8, 13, 18, …..
T₁ = 3, T₂ = 8, T₃ = 13, T₄ = 18
T₂ – T₁ = 8 – 3 = 5
T₃ – T₂ = 13 – 8 = 5
∵ T₂ – T₁ = T₃ – T₂ = 5 = d
T_n = a + (n – 1)d ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਕੇ
78 = 3 + (n – 1) 5
5(n -1) = 78 – 3
n – 1 = \(\frac{75}{5}\) = 15
n = 15 + 1 = 16
∴ ਦਿੱਤੀ ਗਈ A.P. ਦਾ 16ਵਾਂ ਪਦ 78 ਹੈ ।

5. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨੇ ਪਦ ਹਨ ?

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (i).
7, 13, 19,…, 205
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ A.P. ਹੈ : 7, 13, 19,…
T₁ = 7, T₂ = 13, T₃ = 19
T₂ – T₁ = 13 – 7 = 6
T₃ – T₂ = 19 – 13 = 6
∵ T₂ – T₁ = T₃ – T₂ = 6 = d.
ਸੂਤਰ T_n = a + (n – 1) d ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਕੇ
205 = 7+ (n – 1)6
(n – 1)6 = 205 – 7
(n – 1) = \(\frac{196}{6}\)
n – 1 = 33
n = 33 + 1 = 34
∴ 34ਵਾਂ ਪਦ 205 ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ii).
18, 15\(\frac{1}{2}\), 13,…….., – 47
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ A.P. ਹੈ : 18, 15\(\frac{1}{2}\), 13,…
T₁ = 18, T₂ = 15\(\frac{1}{2}\) = \(\frac{31}{2}\), T₃ = 13
T₂ – T₁ = \(\frac{31}{2}\) – 18 = \(\frac{31-36}{2}\) = \(-\frac{5}{2}\)
T₃ – T₁ = 13 – \(\frac{31}{2}\) = \(\frac{26-31}{2}\) = \(-\frac{5}{2}\)
T₂ – T₁ = T₃ – T₂ = \(-\frac{5}{2}\) = d
ਸੂਤਰ T_n = a + (n – 1) d ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਕੇ
-47 = 18 + (n – 1)\(\left(\frac{-5}{2}\right)\)
(n – 1)\(\left(\frac{-5}{2}\right)\) = -47 – 18
(n – 1)\(\left(\frac{-5}{2}\right)\) = -65
n – 1 = -65 × \(-\frac{2}{5}\)
n – 1 = 26
n = 26 + 1 = 27
∴ 27 ਵਾਂ ਪਦ -47 ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 6.
ਕੀ A.P. 11, 8, 5, 2…. ਦਾ ਇੱਕ ਪਦ -150 ਹੈ ? ਕਿਉਂ ?
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ A.P. ਹੈ
11, 8, 5, 2…..
T₁ = 11, T₂ = 8, T₃ = 5, T₄ = 2
T₂ – T₁ = 8 – 11 = -3
T₃ – T₂ = 5 – 8 = – 3
T₄ – T₃ = 2 – 5 = -3
∵ T₂ – T₁ = T₃ – T₂
= T₄ – T₃ = -3 = d
ਮੰਨ ਲਉ -150 ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ A.P. ਦਾ ਇਕ ਪਦ ਹੈ !
T_n = -150
a + (n – 1) d = -150
11 + (n – 1) (-3) = – 150
(n – 1) (-3) =- 150 – 11 = -161
n – 1 = \(\frac{161}{3}\)
n = \(\frac{161}{3}\) + 1 = \(\frac{161+3}{3}\)
n = \(\frac{164}{3}\) = 54\(\frac{2}{3}\)
ਜੋ ਪ੍ਰਾਕ੍ਰਿਤਕ ਸੰਖਿਆ ਨਹੀਂ ਹੈ ।
∴ -150 ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ A.P. ਦਾ ਪਦ ਨਹੀਂ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 7.
ਉਸ A.P. ਦਾ 31ਵਾਂ ਪਦ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਿਸਦਾ 11ਵਾਂ ਪਦ 38 ਹੈ ਅਤੇ 16ਵਾਂ ਪਦ 73 ਹੈ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ ‘a’ ਅਤੇ ‘d’ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ A.P. ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਪਦ ਅਤੇ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਹੈ ।
T₁₁ = 38
a + (11 – 1) d = 38
[∵ T_n = a + (n – 1) d]
a + 10 d = 38 …(1)
ਅਤੇ T₁₆ = 73
a + (16 – 1) d = 73
[∵ T_n = a + (n – 1) d]
a + 15 d = 73 …(2)
ਹੁਣ (2) – (1) ਤੋਂ

d ਦਾ ਮੁੱਲ (1) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ .
a+ 10 (7) = 38
a + 70 = 38
a = 38 – 70 = -32
ਹੁਣ T₃₁ = a + (31 – 1) d = -32 + 30 (7)
= -32 + 210 = 178

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 8.
ਇੱਕ A.P. ਵਿੱਚ 50 ਪਦ ਹਨ, ਜਿਸਦਾ ਤੀਸਰਾ ਪਦ 12 ਹੈ ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਪਦ 106 ਹੈ । ਇਸ ਦਾ 29ਵਾਂ ਪਦ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ ‘a’ ਅਤੇ ‘d’ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ A.P. ਦਾ । ਪਹਿਲਾ ਪਦ ਅਤੇ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਹੈ ।
ਦਿੱਤਾ ਹੈ T₃ = 12
a + (3 – 1) d = 12
|∵ T_n = a + (n – 1)d
a + 2d = 12 …..(1)
∴ ਅੰਤਿਮ ਪਦ = T₅₀ = 106
a + (50 – 1) d = 106
|∵ T_n = a+ (n – 1) d
a + 49 d = 106 …(2)
ਹੁਣ (2) – (1) ਤੋਂ ਮਿਲਦਾ ਹੈ।

d ਦਾ ਮੁੱਲ (1) ਵਿਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ
a + 2(2) = 12
a + 4 = 12
a + 12 – 4 = 8
ਹੁਣ T₂₉ = a + (29 – 1) d
= 8 + 28 (2)
= 8 + 56 = 64

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 9.
ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ A.P.ਦਾ ਤੀਸਰਾ ਅਤੇ 9ਵਾਂ ਪਦ ਕੁਮਵਾਰ 4 ਅਤੇ – 8 ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਇਸਦਾ ਕਿੰਨਵਾਂ ਪਦ ਸਿਫ਼ਰ ਹੋਵੇਗਾ ?
ਹਲ:
ਮੰਨ ਲਉ ‘a’ ਅਤੇ ‘d’ ਕੁਮਵਾਰ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ A.P. ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਪਦ ਅਤੇ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਹੈ
ਦਿੱਤਾ ਹੈ T₃ = 4
a + (3 – 1) d = 4
|∵ T_n = a + (n – 1) d
a + 2d = 4
ਅਤੇ T₉ = – 8
a + (9 – 1) d = – 8
|∵ T_n = a + (n – 1) d
a + 8d = – 8 …(2)
ਹੁਣ (2) -(1) ਤੋਂ ਮਿਲਦਾ ਹੈ।

d ਦਾ ਇਹ ਮੁੱਲ (1) ਵਿਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ
a + 2 (-2) = 4
a – 4 = 4
a = 4 + 4 = 8
ਹੁਣ T_n = 0
a + (n – 1) d = 0
8 + (n – 1) (-2) = 0
-2 (n – 1) = – 8
n – 1 = 4
n = 4 + 1 = 5
∴ A.P. ਦਾ ਪੰਜਵਾਂ ਪਦ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 10.
ਕਿਸੇ A.P. ਦਾ 17ਵਾਂ ਪਦ ਉਸਦੇ 10ਵੇਂ ਪਦ ਤੋਂ 7 ਤੋਂ ਵੱਧ ਹੈ । ਇਸਦਾ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ ‘a’ ਅਤੇ ‘d ਕੁਮਵਾਰ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ A.P. ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਪਦ ਅਤੇ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਹੈ ।
ਹੁਣ T₁₇ = a (17 – 1)d
= a + 16d
T₁₀ = a + (10 – 1) d
= a + 9d
ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਅਨੁਸਾਰ
T₁₇ – T₁₀ = 7
(a + 16d) – (a + 9d) = 7
a + 16d – a – 9d = 7
7d = 7
d = \(\frac{7}{7}\) = 1
∴ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ 1 ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 11.
A.P.:3, 15, 27, 39,.. ਦਾ ਕਿੰਨਵਾ ਪਦ ਉਸਦੇ 54ਵੇਂ ਪਦ ਤੋਂ 132 ਵੱਧ ਹੋਵੇਗਾ ?
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ ‘a’ ਅਤੇ ‘d’ ਕੁਮਵਾਰ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ A.P. ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਪਦ ਅਤੇ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਹੈ ।
ਦਿੱਤੀ ਗਈ A.P. ਹੈ : 3, 15, 27, 39, …
T₁ = 3, T₂ = 15,
T₃ = 27, T₄ = 39
T₂ – T₂ = 15 – 3 = 12
T₃ – T₂ = 27 – 15 = 12
∴ d = T₂ – T₁ = T₃ – T₂ = 12
T₅₄ = a + (54 – 1) d
= 3 + 53 (12)
= 3 + 636 = 639
ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ
T_n = T₅₄ + 132
a + (n – 1) d = 639 + 132
3 + (n – 1) (12) = 771
(n – 1) 12 = 771 – 3 = 768
n – 1 = \(\frac{768}{12}\) = 64
n = 64 + 1 = 65
∴ A.P. ਦਾ 65ਵਾਂ ਪਦ ਉਸਦੇ 54ਵੇਂ ਪਦ ਤੋਂ 132 ਜ਼ਿਆਦਾ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 12.
ਦੋ ਅੰਕ ਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ ਦਾ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਬਰਾਬਰ ਹੈ । ਜੇਕਰ ਇਹਨਾਂ ਦੇ 100ਵੇਂ ਪਦਾਂ ਦਾ ਅੰਤਰ 100 ਹੈ ਤਾਂ ਇਹਨਾਂ ਦੇ 1000ਵੇਂ ਪਦਾਂ ਦਾ ਅੰਤਰ ਕੀ ਹੋਵੇਗਾ ?
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ “a’ ਅਤੇ ‘d’ ਪਹਿਲੀ A.P. ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਪਦ ਅਤੇ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਹੈ।
‘A’ ਅਤੇ ‘d’ ਦੂਸਰੀ A.P. ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਪਦ ਅਤੇ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਹੈ ।
ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ
[ਦੂਸਰੀ A.P. ਦਾ T₁₀₀] – ਪਹਿਲੀ A.P. ਦਾ T₁₀₀] = 100
[A+ (100 – 1)d] – [a + (100 – 1)d] = 100
A + 99 d – a – 99 d = 100
A – a = 100 …(1)
ਹੁਣ [ਦੂਸਰੀ A.P. ਦਾ T₁₀₀₀] – [ਪਹਿਲੀ A.P. ਦਾ T₁₀₀₀]
= [A + (1000 – 1) d] – a + (1000 – 1) d]
= A + 999d – a – 999 d
= A – a
= 100 [(1) ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਕੇ]

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 13.
ਤਿੰਨ ਅੰਕਾਂ ਵਾਲੀਆਂ ਕਿੰਨੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ 7 ਨਾਲ ਭਾਜਯੋਗ ਹਨ ।
ਹੱਲ:
7 ਨਾਲ ਵੰਡੀਆਂ ਜਾਣ ਵਾਲੀਆਂ ਤਿੰਨ ਅੰਕਾਂ , ਵਾਲੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ ।
105, 112, 119,…., 994 .
a = T₁ = 105,
T₂ = 112, T₃ = 119
T_n = 994
T₂ – T₁ = 112 – 105 = 7
T₃ – T₂ = 119 – 112 = 7
∴ d = T₂ – T₁
= T₃ – T₂ = 7
ਦਿੱਤਾ ਹੈ T_n = 994
a + (n – 1) d = 994
105 + (n – 1) 7 = 994
(n – 1) 7 = 994 – 105
(n – 1) 7 = 889
n – 1 = \(\frac{889}{7}\) = 123
n = 123 + 1 = 124.
∴ ਤਿੰਨ ਅੰਕਾਂ ਵਾਲੀ 124 ਸੰਖਿਆਵਾਂ 7 ਨਾਲ ਵੰਡੀਆਂ ਜਾਣ ਵਾਲੀਆਂ ਹਨ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 14.
10 ਅਤੇ 250 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ 4 ਦੇ ਕਿੰਨੇ ਗੁਣ ਹਨ ?
ਹੱਲ:
10 ਅਤੇ 250 ਦੇ ਵਿਚ 4 ਦੇ ਗੁਣਜ ਹਨ
12, 16, 20, 24, … 248
a = T₁ = 12,
T₂ = 16, T₃ = 20
T_n = 248
T₂ – T₁ = 16 – 12 =4
T₃ – T₂ = 20 – 16 = 4
∴ d = T₂ – T₁ = T₃ – T₂ = 4
ਦਿੱਤਾ ਹੈ T_n = 248
a + (n – 1)d = 248
12 + (n – 1) 4 = 248
4 (n – 1) = 248 – 12 = 236
n – 1 = \(\frac{236}{4}\) = 59
n = 59 + 1 = 60
∴ 10 ਅਤੇ 250 ਦੇ ਵਿਚ 4 ਦੇ ਗੁਣਜ 60 ਹਨ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 15.
n ਦੇ ਕਿਹੜੇ ਮੁੱਲ ਦੇ ਲਈ, ਦੋਵੇਂ ਅੰਕ ਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ 63, 65, 67… ਅਤੇ 3, 10, 17… ਦੇ ਵੇਂ ਪਦ ਬਰਾਬਰ ਹੋਣਗੇ ?
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤੀ ਗਈ A.P. ਹੈ 63, 65, 67…….
ਇੱਥੇ a = T₁ = 63,
T₂ = 65, T₃ = 67
T₂ – T₁ = 65 – 63 = 2
T₃ – T₂ = 67 – 65 =2
∴ d = T₂ – T₁ = T₃ – T₂ = 2
ਦੁਸਰੀ A.P. ਹੈ 3, 10, 17, ….
ਇੱਥੇ a = T₁ = 3, T₂ = 10, T₃ = 17
T₂ – T₁ = 10 – 3 = 7
T₃ – T₂ = 17 – 10 = 7
ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਅਨੁਸਾਰ
[ਪਹਿਲੀ A.P ਦਾ ਵਾਂ ਪਦੀ] = [ਦੂਸਰੀ A.P. ਦਾ ਸਵਾਂ ਪ]
63 + (n – 1) 2 = 3 + (n – 1)7
63 + 2n – 2 = 3 + 7n -7
61 + 2n = 7n – 4
2n – 7n = -4 – 61
-5n = – 65
n = \(\frac{65}{5}\) = 13

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 16.
ਉਹ A.P. ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਿਸਦਾ ਤੀਜਾ ਪਦ 16 ਹੈ ਅਤੇ 7ਵਾਂ ਪਦ 5ਵੇਂ ਪਦ ਨਾਲੋਂ 12 ਵੱਧ ਹੈ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ ‘a’ ਅਤੇ ‘d’ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ A.P. ਦਾ ਪਹਿਲਾਂ ਪਦ ਅਤੇ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਹੈ।
ਦਿੱਤਾ ਹੈ T₃ = 16
a + (3 – 1) d = 16
a + 2d = 16 …(1)
ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਅਨੁਸਾਰ T₇ – T₅ = 12.
a + (7 – 1) d – [a + (5 – 1) d] = 12
a + 6d – a – 4d = 12
2d = 12
d = \(\frac{12}{2}\) = 6
d ਦਾ ਇਹ ਮੁੱਲ (1), ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ
a + 2 (6) = 16
a = 16 – 12 =4
∴ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ A.P. ਹੈ 4, 10, 16, 22, 28,……

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 17.
A.P. : 3, 8, 13…, 253 ਵਿੱਚ ਅੰਤਿਮ ਪਦ ਤੋਂ 20 ਵਾਂ ਪਦ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹਲ:
ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ A.P. ਹੈ 3, 8, 13, …, 253
ਇੱਥੇ a = T₁ = 3, T₂ = 8, T₃ = 13
T_n = 253
T₂ – T₁ = 8 – 3 = 5
T₃ – T₂ = 13 – 8 = 5
∴ d = T₂ – T₁ = T₃ – T₂ = 5
ਹੁਣ T_n = 253
3 + (n – 1) 5 = 253
(n – 1) 5 = 250
n – 1 = \(\frac{250}{5}\) = 50 |∵ T_n = a + (n – 1)d
n – 1 = \(\frac{250}{5}\) = 50
(n – 1) = 50
n = 50 + 1 = 51
∴ AP ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਪਦ ਤੋਂ 20ਵਾਂ ਪਦ
= (ਪਦਾਂ ਦੀ ਕੁੱਲ ਸੰਖਿਆ) – 20 +1
= 51 – 20 + 1 = 32ਵਾਂ ਪਦੇ
∴ AP ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਪਦ ਤੋਂ 20ਵਾਂ ਪਦ
= ਸ਼ੁਰੂ ਤੋਂ 32ਵਾਂ ਪਦ
= 3 + (32 – 1) 5 |∵ T = a + (n – 1) d
= 3 + 31 × 5
= 3 + 155 = 158

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 18.
ਕਿਸੇ A.P. ਦੇ ਚੌਥੇ ਅਤੇ 8ਵੇਂ ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜ 4 ਹੈ ਅਤੇ 6ਵੇਂ ਅਤੇ 10ਵੇਂ ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜ 4 ਹੈ । ਇਸ A.P. ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਤਿੰਨ ਪਦ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹਲ:
ਮੰਨ ਲਉ ‘a’ ਅਤੇ ‘d` ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ A.P. ਦੇ ਪਹਿਲਾ ਪਦ ਅਤੇ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਹੈ ।
ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਦੀ ਪਹਿਲੀ ਸ਼ਰਤ ਅਨੁਸਾਰ
T₄ + T₈ = 24
a + (4 – 1) d + a + (8 – 1) d = 24
|∵ T_n = a + (n – 1)d
2a + 3d + 7d = 24
2a + 10d = 24
a + 5d = 12 …..(1)
ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਦੀ ਦੂਸਰੀ ਸ਼ਰਤ ਅਨੁਸਾਰ
T₆ + T₁₀ = 44
a + (6 – 1)d + a + (10 – 1)d = 44
|∵ T_n = a + (n – 1) d
2a + 5d + 9d = 44 ….(2)
2a + 14d = 4
a + 7d = 22
(2) – (1) ਤੋਂ ਮਿਲਦਾ ਹੈ

‘d’ ਦਾ ਇਹ ਮੁੱਲ (1) ਵਿਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ..
a + 5 (5) = 12
a + 25 = 12
a = 12 – 25 = – 13
T₁ = a = -13
T₂ = a + d
= – 13 + 5 = – 8
T₂ = a + 2d = – 13 + 2 (5)
= -13 + 10 = -3
∴ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ A.P. ਹੈ – 13, – 8, -3,…

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 19.
ਸੁਬਾ ਰਾਓ ਨੇ 1995 ਵਿੱਚ ₹ 5000 ਪ੍ਰਤਿ ਮਹੀਨਾ ਤਨਖਾਹ ‘ਤੇ ਕੰਮ ਸ਼ੁਰੂ ਕੀਤਾ ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਸਾਲ ₹ 200 ਦਾ ਸਾਲਾਨਾ ਵਾਧਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ । ਕਿਹੜੇ ਸਾਲ ਉਸਦੀ ਤਨਖਾਹ ₹ 7000 ਹੋ ਜਾਵੇਗੀ ?
ਹੱਲ:
ਸੂਬਾ ਰਾਓ ਦੀ ਅਰੰਭਿਕ ਤਨਖ਼ਾਹ = ₹ 5000
ਸਾਲਾਨਾ ਵਾਧਾ = ₹ 200 ਮੰਨ
ਲਉ ‘n’ ਸਾਲਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਦੱਸਦਾ ਹੈ
∴ ਪਹਿਲਾ ਪਦ = a = ₹ 5000
ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ = d = ₹ 200
ਅਤੇ T_n = ₹ 7000
ਹੁਣ 5000 + (n – 1) 200 = 7000
|∵ T_n = a + (n – 1) d
(n – 1) 200 = 7000 – 5000
(n – 1) 200 = 2000
n – 1 = \(\frac{2000}{200}\) = 10
n – 1 = 10
n = 10+1
= 11
ਸਾਲਾਂ ਦੀ ਸਥਿਤੀ
1995, 1996, 1997, …
ਇੱਥੇ a = 1995, d= 1 n = 11
∴ T_n = 1995 + (11 – 1) 1
= 1995 + 10 = 2005
ਇਸ ਲਈ 2005 ਵਿਚ ਸੂਬਾ ਰਾਵ ਦੀ ਤਨਖ਼ਾਹ ₹ 7000 ਹੋ ਜਾਵੇਗੀ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 20.
ਰਾਮਕਲੀ ਨੇ ਕਿਸੇ ਸਾਲ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਹਫ਼ਤੇ ₹ 5 ਦੀ ਬੱਚਤ ਕੀਤੀ ਅਤੇ ਫਿਰ ਆਪਣੀ ਹਫਤਾਵਾਰੀ ਬੱਚਤ ₹ 1.75 ਵਧਾਉਂਦੀ ਗਈ । ਜੇਕਰ ਵੇਂ ਹਫਤੇ ਵਿਚ ਉਸ ਦੀ ਹਫਤਾਵਾਰੀ ਬੱਚਤ ₹ 20.75 ਹੋਵੇ ਤਾਂ ‘n’ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹਲ:
ਪਹਿਲੇ ਹਫ਼ਤੇ ਬੱਚਤ = ₹ 5
ਹਰੇਕ ਹਫ਼ਤੇ ਦੀ ਬਚਤ ਵਿਚ ਵਾਧਾ = ₹ 1.75
∴ ਇਹ A.P. ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਪਦ ਹਨ
T₁ = 5, d = 1.75
∴ T₂ = 5 + 1.75 = 6.75
T₃ = 6.75 + 1.75 = 8.50
T_n = 20. 75 (ਦਿੱਤਾ ਹੈ)
5 + (n -1) 1.75 = 20.75
[∵ T_n = a + (n – 1) d]
(n – 1) 1.75 = 20.75 – 5
(n – 1) 1.75 = 15.75
(n – 1) = \(\frac{1575}{100}\) \(\frac{100}{175}\)
n – 1 = 9
n = 9 + 1 = 10
∴ 10ਵੇਂ ਹਫ਼ਤੇ ਰਾਮਕਲੀ ਦੀ ਬੱਚਤ 20.75 ਹੋ ਜਾਵੇਗੀ ।

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 5 ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ Ex 5.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 5 ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ Exercise 5.1

1. ਹੇਠਾਂ ਲਿਖੀਆਂ ਸਥਿਤੀਆਂ ਵਿਚੋਂ ਕਿਹੜੀਆਂ ਸਥਿਤੀਆਂ ਵਿਚ ਸੰਬੰਧਿਤ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀ ਸੂਚੀ A.P. ਹੈ ਅਤੇ ਕਿਉਂ ?

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (i).
ਹਰੇਕ ਕਿਲੋਮੀਟਰ ਦੇ ਬਾਅਦ ਟੈਕਸੀ ਦਾ ਕਿਰਾਇਆ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਪਹਿਲੇ ਕਿਲੋਮੀਟਰ ਲਈ ਕਿਰਾਇਆ ₹ 15 ਹੈ ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਵਾਧੂ ਕਿਲੋਮੀਟਰ ਦਾ ਕਿਰਾਇਆ
₹ 8 ਹੈ ।
ਉੱਤਰ:
ਮੰਨ ਲਓ ਟੈਕਸੀ ਦਾ ਵੇਂ ਕਿਲੋਮੀਟਰ ਦਾ ਕਿਰਾਇਆ T_n ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ ।
ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਅਨੁਸਾਰ
T₁ = 15 ਕਿ.ਮੀ. ; T₂ = 15 + 8 = 23 ;
T₃ = 23 + 8 =31………
ਹੁਣ T₃ – T₂ = 31 – 23 = 8
T₂ – T₁ = 23 – 15 = 8
ਇੱਥੇ T₃ – T₂ = T₂ – T₁ = 8
∴ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸਥਿਤੀ A.P. ਦਾ ਰੂਪ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ii).
ਕਿਸੇ ਬੇਲਨ (cylinder) ਵਿਚ ਹਵਾ ਦੀ ਮਾਤਰਾ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਹਵਾ ਕੱਢਣ ਵਾਲਾ ਪੰਪ ਹਰੇਕ ਵਾਰ ਬੇਲਨ ਵਿੱਚ ਬਾਕੀ ਹਵਾ ਦਾ \(\frac{1}{4}\) ਹਿੱਸਾ ਬਾਹਰ ਕੱਢ ਦਿੰਦਾ ਹੈ ।
ਉੱਤਰ:
ਮੰਨ ਲਓ ਬੇਲਨ ਵਿਚ ਭਰੀ ਹਵਾ ਨੂੰ T_n ਨਾਲ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ ।
ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਅਨੁਸਾਰ,

ਇੱਥੇ T₃ – T₂ ≠ T₂ – T₁
∴ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸਥਿਤੀ A.P. ਦਾ ਰੂਪ ਨਹੀਂ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iii).
ਹਰੇਕ ਮੀਟਰ ਦੀ ਖੁਦਾਈ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਇੱਕ ਖੂਹ | ਪੁਟੱਣ ਦੀ ਲਾਗਤ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਪਹਿਲੇ ਮੀਟਰ ਖੁਦਾਈ ਦੀ ਲਾਗਤ ₹ 150 ਹੈ ਅਤੇ ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤਿ | ਮੀਟਰ ਖੁਦਾਈ ਦੀ ਲਾਗਤ ₹ 50 ਵੱਧ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ।
ਉੱਤਰ:
ਮੰਨ ਲਉ ਖੂਹ ਪੁੱਟਣ ਦੇ ਵੇਂ ਮੀਟਰ ਦੀ ਲਾਗਤ ਨੂੰ T_n ਨਾਲ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ ।
ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਅਨੁਸਾਰ,
T₁ = ₹150
T₂ = ₹(150 + 50)
= ₹ 200
T₃ = ₹ (200 + 50)
= ₹ 250
ਹੁਣੌ T₃ – T₂ = ₹ (250 – 200) = ₹ 50
T₂ – T₁ = ₹ (200 – 150) = ₹ 50
ਇੱਥੇ T₃ – T₂ = T₂ – T₁ = 50
∴ ਦਿੱਤੀ ਗਈਸਥਿਥੀ A.P. ਦਾ ਰੂਪ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iv).
ਖਾਤੇ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਸਾਲ ਦਾ ਮਿਸ਼ਰਧਨ, ਜਦੋਂ ਕਿ ₹ 10000 ਦੀ ਰਕਮ 8 ਸਾਲਾਨਾ ਦਰ ‘ਤੇ ਮਿਸ਼ਰਿਤ ਵਿਆਜ ‘ਤੇ ਜਮਾਂ ਕਰਵਾਈ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
ਉੱਤਰ:
ਮੰਨ ਲਉ ‘n’ਵੇਂ ਸਾਲ ਦਾ ਮਿਸ਼ਰਧਨ T_n ਹੈ :
ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਅਨੁਸਾਰ,
T₁ = ₹ 10,000
T₂ = ₹ \(\left[\frac{10,000 \times 8 \times 1}{100}\right]\)
= ₹ 10,000 + ₹ 800 = ਤ₹ 10,800
T₃ = ₹ \(\left[\frac{10,800 \times 8 \times 1}{100}\right]\)
= ₹ 10,800 + ₹ 864
= ₹11,640 ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅੱਗੇ ਵੀ
ਹੁਣ T₃ – T₂= ₹ (11,640 – 10,800)
= ₹ 840
T₂ – T₁= ₹ (10,800 – 10,000)
= ₹ 800 fent
ਇੱਥੇ T₃ – T₂ 6 T₂ – T₁
∴ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਸਥਿਤੀ A.P. ਦਾ ਰੂਪ ਨਹੀਂ ਹੈ ।

2. ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ A.P. ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਚਾਰ ਪਦ ਲਿਖੋ, ਜਦੋਂ | ਕਿ ਪਹਿਲਾ ਪਦ a ਅਤੇ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ dਹੇਠ ਅਨੁਸਾਰ ਹਨ :

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (i).
a = 10, d= 10
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਹੋਇਆ ਪਹਿਲਾ ਪਦ a = 10
ਅਤੇ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ = d = 10
∴ T₁ = a = 10 ;
T₂ = a + d
= 10 + 10 = 20
T₃ = a + d = 10 + 2 × 10
= 10 + 20 == 30 ;
T₄ = a + 3d = 10 + 3 × 10
= 10 + 30 = 40
∴ A.P. ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਚਾਰ ਪਦ ਹਨ
10, 20, 30, 40….

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ii).
a = -2, d = 0
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਹੋਇਆ ਪਹਿਲਾ ਪਦ = a = -2
ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ = d = 0
∴ T₁ = a = -2 ;
T₂ = a + d = -2 + 0 = -2
T₃ = a + d = -2 + 2 × 0 = – 2
T₄ = a + 3d
– 2 + 3 × 0 = – 2
∴ A.P. ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਚਾਰ ਪਦ ਹਨ – 2, – 2, — 2, – 2,…………

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iii).
a = 4, d = -3
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਹੋਇਆ ਪਹਿਲਾ ਪਦ = 4 =4
ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ d = -3
∴ T₁ = a = 4 T₂ = a + d = 4 – 3 = 1
T₃ = a + 2d = 4 + 2(-3) = 4 – 6 = -2
T₄ = a + 3d = 4 + 3 (-3) = 4 – 9 = – 5
∴ A.P. ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਚਾਰ ਪਦ ਹਨ
4, 1, – 2, – 5,……….

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iv).
a = -1, d = \(\frac{1}{2}\)
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਹੋਇਆ ਪਹਿਲਾ ਪਦ, = a = – 1
ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ = d =\(\frac{1}{2}\)
T₁ = a = -1; T₂ = a + d
= -1 + \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{-1}{2}\)
T₃ = a + 2d = -1 + 2\(\left(\frac{1}{2}\right)\)
= -1 + 1 = 0
T ₄= a + 3d = -1 + 3\(\left(\frac{1}{2}\right)\)
= \(\frac{-2+3}{2}\) = \(\frac{1}{2}\)
∴ A.P. ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਚਾਰ ਪਦ ਹਨ
-1, \(\frac{-1}{2}\), 0, \(\frac{1}{2}\), ……

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (v).
a = – 1.25, d = – 0.25
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਹੋਇਆ ਪਹਿਲਾ ਪਦ = a = – 1.25
ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ d = – 0.25
∴ T₁ = a = – 1.25;
T₂ = a + d = – 1.25 – 0.25 – 1.50
T₃ = a + 2d = – 1.25 + 2(0.25)
=- 1.25 – 0.50
= – 1.75
T₄ = a + 3d = – 1.25 + 3 (0.25)
– 1.25 – 0.75 = – 2
∴ A.P. ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਚਾਰ ਪਦ ਹਨ
– 1.25, – 1.50, – 1.75, -2, ……..

3. ਹੇਠਾਂ ਹਰੇਕ AP. ਦੇ ਲਈ ਪਹਿਲਾ ਪਦ ਅਤੇ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਪਤਾ ਕਰੋ :

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (i).
3, 1, -1, -3, ……
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ A.P. ਹੈ, 3, 1, – 1, – 3, ….
ਇੱਥੇ T₁ = 3, T₂ = 1,
T₃ = -1, T₄ = -3
ਪਹਿਲਾ ਪਦ T₁ = 3
ਹੁਣ, T₂ – T₁ = 1 – 3 = -2
T₃ – T₂ = – 1 – 1 = -2
T₄ – T₃ = -3 + 1 = -2
∴ T₂ – T₁ = T₃ – T₂ = T₄ – T₃ = -2
∴ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ = – 2 ਅਤੇ ਪਹਿਲਾ ਪਦ = 3

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ii).
-5, -1, 3, 7, ……
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ A.P. ਹੈ
-5, – 1, 3, 7, …
ਇੱਥੇ T₁ = -5, T₂ = -1,
T₃ = 3, T₄ = 7
ਪਹਿਲਾ ਪਦ = T₁ = -5
T₂ – T₁ – 1 + 5 = 4
T₃ – T₂ = 3 + 1 = 4
T₄ – T₃ = 7 – 3 = 4
∴ T₂ – T₁ = T₃ – T₂ = T₄ – T₃ = 4
∴ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ = 4
ਪਹਿਲਾ ਪਦ = – 5

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iii).
\(\frac{1}{3}\), \(\frac{5}{3}\), \(\frac{9}{3}\), \(\frac{13}{3}\), ……
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ A.P. ਹੈ
\(\frac{1}{3}\), \(\frac{5}{3}\), \(\frac{9}{3}\), \(\frac{13}{3}\), ……
ਇੱਥੇ T₁ = \(\frac{1}{3}\), T₂ = \(\frac{5}{3}\)
T₃ = \(\frac{9}{3}\), T₄ = \(\frac{13}{3}\)
ਪਹਿਲਾ ਪਦ T₁ = \(\frac{1}{3}\)
ਹੁਣ, T₂ – T₁ = \(\frac{5}{3}\) – \(\frac{1}{3}\) = \(\frac{5-1}{3}\) = \(\frac{4}{3}\)
T₃ – T₂ = \(\frac{9}{3}\) – \(\frac{5}{3}\) = \(\frac{9-5}{3}\) = \(\frac{4}{3}\)
T₄ – T₃ = \(\frac{13}{3}\) – \(\frac{9}{3}\) = \(\frac{13-9}{3}\) = \(\frac{4}{3}\)
∴ T₂ – T₁ = T₃ – T₂ = T₄ – T₃ = \(\frac{4}{3}\)
∴ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ = \(\frac{4}{3}\)
ਪਹਿਲਾ ਪਦ = \(\frac{1}{3}\)

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iv).
0.6, 1.7, 28, 39, …..
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ A.P. ਹੈ
0.6, 1.7, 2.8, 3.9,…
ਇੱਥੇ T₁ = 0.6, T₂ = 1.7,
T₃ = 2.8, T₄ = 3.9
ਪਹਿਲਾ ਪਦ = T₁ = 0.6
ਹੁਣ T₂ – T₁ = 1.7 – 0.6 = 1.1
T₃ – T₂ = 2.8 – 1.7 = 1.1
T₄ – T₃ = 3.9 – 2.8 == 1.1
∴ T₂ = T₁ = T₃ = T₂ = T₄ = T₃ = 1.1
∴ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ = 1.1
ਪਹਿਲਾ ਪਦ = 0.6

4. ਹੇਠ ਲਿਖਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਹੜੇ-ਕਿਹੜੇ A.P. ਹਨ ? ਜੇਕਰ ਕੋਈ A.P ਹੈ ਤਾਂ ਉਸਦਾ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਪਤਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਉਸਦੇ ਤਿੰਨ ਪਦ ਲਿਖੋ :

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (i).
2, 4, 8, 16…..
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਪਦ ਹਨ : 2, 4, 8, 16…
ਇੱਥੇ T₁ = 2, T₂ = 4, T₃ = 8, T₄ = 16
T₂ – T₁ = 4 – 2 = 2
T₃ – T₂ = 8 – 4 = 4
∵ T₂ – T₁ ≠ T₃ – T₂
∴ ਇਹ A.P. ਨਹੀਂ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ii).
2, \(\frac{5}{2}\), 3, \(\frac{7}{2}\), ………..
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਪਦ ਹਨ : 2, \(\frac{5}{2}\), 3, \(\frac{7}{2}\) …
ਇੱਥੇ T₁ = 2, T₂ = \(\frac{5}{2}\), T₃ = 3, T₄ = \(\frac{7}{2}\)
T₂ – T₁ = \(\frac{5}{2}\) – 2 = \(\frac{5-4}{2}\) = \(\frac{1}{2}\)
T₃ – T₂ = 3 – \(\frac{5}{2}\) = \(\frac{6-5}{2}=\frac{1}{2}\)
T₄ – T₃ = \(\frac{7}{2}-3=\frac{7-6}{2}=\frac{1}{2}\)
∵ T₂ – T₁ = T₃ – T₂ = T₄ – T₃ = \(\frac{1}{2}\)
∴ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ = d = \(\frac{1}{2}\)
ਹੁਣ, T₅ = a + 4d = 2 + 4\(\left(\frac{1}{2}\right)\) = 4
T₆ = a + 5d = 2 + 5\(\left(\frac{1}{2}\right)\) = \(\frac{4+5}{2}=\frac{9}{2}\)
T₇ = a + 6d = 2 + 6\(\left(\frac{1}{2}\right)\) = 2 + 3 = 5.

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iii).
– 1.2, – 3.2, – 5.2, -7.2 , …
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਪਦ ਹਨ।
– 1.2, – 3.2, – 5.2, – 7.2, …
ਇੱਥੇ T₁ = – 1.2, T₂ = – 3.2,
T₃ – 5.2, T₄ = – 7.2
T₂ – T₁ = -3.2 + 1.2 = -2
T₃ – T₂ = – 5.2 + 3.2 = – 2
T₄ – T₃ = -7.2 + 5.2 = – 2
∵ T₂ – T₁ = T₃ – T₂ = T₄ – T₃ = -2
∴ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ = d = -2
ਹੁਣ, T₅ = a + 4d
= – 1.2 + 4(-2)
= -1.2 – 8 = -9.2
T₆ = a + 5d = – 1.2 + 5 (-2)
= – 1.2 – 10 = – 11.2
T₇ = a + 6d = – 1.2 + 6 (-2)
= -1.2 – 12 = -13.2

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iv).
– 10, – 6, – 2, 2, ……
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਪਦ ਹਨ :
– 10, -6, -2, 2, ….
ਇੱਥੇ T₁ = – 10, T₂ = -6,
T₃ = -2, T₄ = 2
T₂ – T₁ = – 6 + 10 = 4
T₃ – T₂ = – 2 + 6 = 4
T₄ – T₃ = 2 + 2 = 4
∵ T₂ – T₁ = T₃ – T₂ = T₄ – T₃ = 4
∴ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ = d = 4
ਹੁਣ, T₅ = a + 4d = – 10 + 4 (4)
= – 10 + 16 = 6
T₆ = a + 5d = – 10 + 5 (4)
= -10 + 20 = 10
T₇ = a + 6d = – 10 + 6(4)
= -10 + 24 = 14

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (v).
3, 3 + \(\sqrt {2}\), 3 + 2\(\sqrt {2}\), 3 + 3\(\sqrt {2}\) , …
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਪਦ ਹਨ
T₁ = 3, T₂ = 3 + \(\sqrt {2}\),
T₃ = 3 + 2\(\sqrt {2}\), T₄= 3 + 3\(\sqrt {2}\)
ਇੱਥੇ T₂ – T₁ = 3 + \(\sqrt {2}\) – 3 = \(\sqrt {2}\)
T₂ – T₃ = 3 + 2\(\sqrt {2}\) – (3 + \(\sqrt {2}\))
= 3 + 2\(\sqrt {2}\) – 3 – \(\sqrt {2}\) = \(\sqrt {2}\)
T₄ – T₃ = 3 + 3\(\sqrt {2}\) – (3 + 2\(\sqrt {2}\))
= 3 + 3\(\sqrt {2}\) – 3 – 2\(\sqrt {2}\) = \(\sqrt {2}\)
∵ T₂ -T₁ = T₃ – T₂ = T₄ – T₃ = \(\sqrt {2}\)
∴ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ = d = \(\sqrt {2}\)
ਹੁਣ, T₅ = a +4d = 3 + 4 (\(\sqrt {2}\) )
= 3 + 4\(\sqrt {2}\)
T₆ = a + 5d = 3 + 5\(\sqrt {2}\)
T₇ = a + 6d = 3 + 6\(\sqrt {2}\)

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (vi).
0.2, 0.22, 0.222, 0.2222, …
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਪਦ ਹਨ :
0.2, 0.22, 0.222, 0.2222, …
T₁ = 0.2, T₂ = 0.22,
T₃ = 0.222,
T₄ = 0.2222.
T₂ – T₁ = 0.22 – 0.2 = 0.02
T₃ – T₂ = 0.222 – 0.22 = 0.002
T₂ – T₁ ≠ T₃ – T₂
∴ ਇਹ A.P. ਨਹੀਂ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (vii).
0, -4, – 8, – 12, …
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਪਦ ਹਨ :
0, -4, – 8, — 12, ….
ਇੱਥੇ T₁, = 0, T₂ = -4,
T₃ =- 8, T₄ = – 12
T₂ -T₁ = -4 – 0 = -4
T₃ – T₂ = -8 + 4 = -4
T₄ – T₃ = – 12 + 8 = -4.
∵ T₂ – T₁ = T₃ – T₂ = T₄ – T₃
∴ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ = d = -4
ਹੁਣ, T₅ = a + 4d = 0 + 4 (-4) = -16
T₆ = a + 5d = 0 + 5(-4) = -20.
T₇ = a + 6d = 0 + 6(4) = – 24

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (viii).
\(-\frac{1}{2}\), \(-\frac{1}{2}\), \(-\frac{1}{2}\), \(-\frac{1}{2}\), ……..
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਪਦ ਹਨ :
\(-\frac{1}{2}\), \(-\frac{1}{2}\), \(-\frac{1}{2}\), \(-\frac{1}{2}\), ……….
ਇੱਥੇ T₁ = \(-\frac{1}{2}\), T₂ = –\(\frac{1}{2}\)
T₃ = \(-\frac{1}{2}\), T₄ = \(-\frac{1}{2}\)
T₂ – T₁ = \(-\frac{1}{2}\) + \(\frac{1}{2}\) = 0
T₃ – T₂ = \(-\frac{1}{2}\) + \(\frac{1}{2}\) = 0
T₃ – T₂ = \(-\frac{1}{2}\) + \(\frac{1}{2}\) =0
∵ T₂ – T₁ = T₃ – T₂ = 0
∴ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ = 0 (∵ a = \(\frac{1}{2}\), d = 0)
ਹੁਣ T₅ = T₆ = T₇ = \(-\frac{1}{2}\)

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ix).
1, 3, 9, 27, …
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਪਦ ਹਨ : 1, 3, 9, 27
T₁ = 1, T₂ = 3, T₃ = 9, T₄ = 27
T₂ – T₁ = 3 – 1 = 2
T₃ – T₂ = 9 – 3 = 6
∵ T₂ – T₂ + T₃ – T₂
∴ ਇਹ A.P. ਨਹੀਂ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (x).
a, 2a, 3a, 4a, …
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਪਦ ਹਨ : a, 2a, 3a, 4a, …
T₁ = a, T₂ = 2a, T₃ = 3a, T₁ = 4a
T₂ – T₁ = 2a – a = a
T₃ – T₂ = 3a – 2a = a
T₄ – T₃ = 4a – 3a = a
∵ T₂ – T₁ = T₃ – T₂ = T₄ – T₃ = a
∴ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ = d = a
ਇੱਥੇ T₅ = a + 4d = a + 4 (a) = a + 4a = 5a
T₆o = a + 5d = a + 5a = 6a
T₇ = a + 6d = a + 6d = 7a

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (xi).
a, a², a³, a⁴, …
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਪਦ ਹਨ a, a², a³, a⁴, …
T₁ = a, T₂ = a, T₃ = a², T₄ = a³, T = a⁴
T₂ – T₁ = a² – a
T₃ – T₂ = a³ – a²
∵ T₂ – T₁ ≠ T₃ – T₂
∴ ਇਹ A.P. ਨਹੀਂ ਹੈ

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (xii).
\(\sqrt {2}\), \(\sqrt {8}\), \(\sqrt {18}\), \(\sqrt {32}\), ………
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਪਦ ਹਨ \(\sqrt {2}\) , \(\sqrt {8}\) , \(\sqrt {18}\) , \(\sqrt {32}\) ,…
ਇੱਥੇ T₁ = \(\sqrt {2}\), T₂ = \(\sqrt {8}\) ,
T₃ = \(\sqrt {18}\) , T₄ = \(\sqrt {32}\)
ਜਾਂ T₁ = \(\sqrt {2}\), T₂ = 2\(\sqrt {2}\),
T₃ = 3\(\sqrt {2}\), T₄ = 4\(\sqrt {2}\)
T₂ – T₁ = 2\(\sqrt {2}\) – \(\sqrt {2}\) = \(\sqrt {2}\)
T₃ – T₂ = 3\(\sqrt {2}\) – 2\(\sqrt {2}\) = \(\sqrt {2}\)
T₄ – T₃ = 4\(\sqrt {2}\) – 3\(\sqrt {2}\) = \(\sqrt {2}\)
∵ T₂ – T₁ = T₃ – T₂ = T₄ – T₃ = \(\sqrt {2}\)
∴ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ = d = \(\sqrt {2}\)
ਇੱਥੇ T₅ = a + 4d = \(\sqrt {2}\) + 4\(\sqrt {2}\) = 5\(\sqrt {2}\)
T₆ = a + 5d = \(\sqrt {2}\) + 5\(\sqrt {2}\) = 6\(\sqrt {2}\)
T₇ = a + 6d = \(\sqrt {2}\) + 6\(\sqrt {2}\) = 7\(\sqrt {2}\)

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (xiii).
\(\sqrt {3}\), \(\sqrt {6}\), \(\sqrt {9}\), \(\sqrt {12}\), …
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਪਦ ਹਨ
\(\sqrt {3}\), \(\sqrt {6}\), \(\sqrt {9}\), \(\sqrt {12}\),…
ਇੱਥੇ T₁ = \(\sqrt {3}\), T₂ = \(\sqrt {6}\),
T₃ = \(\sqrt {9}\), T₄ = \(\sqrt {12}\)
ਜਾਂ T₁ = \(\sqrt {3}\), T₂ = \(\sqrt {6}\),
T₃ = 3, T₄ = 2\(\sqrt {3}\)
T₂ – T₁ = \(\sqrt {6}\) – \(\sqrt {3}\)
ਹੁਣ, T₂₃ – T₂ = 3 – \(\sqrt {6}\)
∵ T₂ – T₁ ≠ T₃ – T₂
∴ ਇਹ A.P. ਨਹੀਂ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (xiv).
1², 3², 5², 7², …
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਪਦ ਹਨ 1², 3², 5², 7²……
T₁ = 1², T₂ = 3², T₃ = 5², T₄ = 7²
ਜਾਂ T₁ = 1, T₂ = 9, T₃ = 25, T₄ = 49
T₂ – T₁ = 9 – 1= 8
T₃ – T₂ = 25 – 9 = 16
∵ T₂ – T₁ ≠ T₃ – T₂
∴ ਇਹ A.P. ਨਹੀਂ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (xv).
1², 5², 7², 7³, …
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਪਦ ਹਨ 1², 5², 7², 73, ….
T₁ = 1², T₂ = 5², T₃ = 7², T₄ = 73
ਜਾਂ T₁ = 1, T₂ = 25, T₂₃ = 49, T₄ = 73
T₂ – T₁ = 25 – 1 = 24
T₃ – T₂ = 49 – 25 = 24
T₄ – T₃ = 73 – 49 = 24
∵ T₂ – T₁ = T₃ – T₂ = T₄ – T₃ = 24
∴ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ = d = 24
T₅ = a + 4d = 1 + 4 (24) = 1 + 96 = 97
T₆ = a + 5d = 1 + 5 (24) = 1 + 120 = 121
T₇ = a + 6d = 1 + 6 (24) = 1 + 144 = 145

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 4 ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ Ex 4.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 4 ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ Exercise 4.4

1. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦੇ ਮੂਲਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਕ੍ਰਿਤੀ ਪਤਾ ਲਗਾਉ । ਜੇਕਰ ਮੂਲ ਸੰਭਵ ਹੋਣ ਤਾਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (i).
2x² – 3x + 5 = 0
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਹੈ।
2x² – 3x + 5 = 0
ਇਸ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ax² + bx + c = 0 ਨਾਲ ਕਰਨ ਤੇ
∴ a = 2, b = – 3, c = 5
D = b² – 4ac
= (-3)² – 4 × 2 × 5
= 9 – 40
= – 31 < 0
∴ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਦਾ ਕੋਈ ਵਾਸਤਵਿਕ ਮੂਲ ਨਹੀਂ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ii).
3x² – 4\(\sqrt {3}\) x + 4 = 0
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਹੈ
3x² – 4\(\sqrt {3}\)x + 4 = 0
ਇਸ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ax² + bx + c = 0 ਨਾਲ ਕਰਨ ‘ਤੇ
∴ a = 3, b = -4\(\sqrt {3}\), c = 4
D = b² – 4ac
= (-4\(\sqrt {3}\)x)² -4 x 3 x 4
= 48 – 48 = 0
∴ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਸਮੀਕਰਣ ਦੇ ਵਾਸਤਵਿਕ ਅਤੇ ਬਰਾਬਰ ਮੂਲ ਹਨ ।

∴ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਦੇ ਮੂਲ ਹਨ \(\frac{2}{\sqrt{3}}\) ਅਤੇ \(\frac{2}{\sqrt{3}}\)

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iii).
2x² – 6x + 3 = 0
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਹੈ
2x² – 6x + 3 = 0
ਇਸ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ax² + bx + c = 0 ਨਾਲ ਕਰਨ ‘ਤੇ
∴ a = 2, b = – 6, c = 3
D = b² – 4ac
= (-6)² – 4 × 2 × 3
= 36 – 24
= 12 > 0
∴ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਦੇ ਵਾਸਤਵਿਕ ਨੂੰ ਅਤੇ ਅਲਗ-ਅਲਗ ਮੂਲ ਹਨ :

∴ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਦੇ ਮੂਲ \(\frac{3+\sqrt{3}}{2}\) ਅਤੇ \(\frac{3-\sqrt{3}}{2}\) ਹਨ ।

2. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਹਰੇਕ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਵਿਚ k ਦਾ ਅਜਿਹਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ਕਿ ਉਸ ਦੇ ਦੋ ਬਰਾਬਰ ਮੂਲ ਹੋਣ :

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (i).
2x² + kx + 3 = 0
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਹੈ
2x² + kx + 3 = 0
ਇਸ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ax² + bx + c = 0 ਨਾਲ ਕਰਨ ਤੇ
∴ a = 2, b = k, c = 3
∵ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਦੇ ਮੂਲ ਹਨ
∴ D = 0
b² – 4ac = 0
(k)² – 4 × 2 × 3 = 0
k² – 24 = 0 .
k² = 24
k² = ±\(\sqrt {24}\)
k = ±2\(\sqrt {6}\)

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ii).
kx (x – 2) + 6 = 0.
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਹੈ
kx(x – 2) + 6 = 0
kx² – 2kx + 6 = 0
ਇਸਦੀ ਤੁਲਨਾ ax² + bx + c = 0 ਨਾਲ ਕਰਨ ਤੇ
∴ a = k, b = -2k, c = 6
∵ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਦੇ ਮੂਲ ਬਰਾਬਰ | ਹਨ।
∴ D = 0
b² – 4ac = 0
(-2k)² – 4 × k × 6 = 0
4k² – 24k = 0
4k [k – 6] = 0
ਭਾਵ 4k = 0 ਜਾਂ k – 6 = 0
k = 0 ਜਾਂ . k = 6
∴ k = 0, 6

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 3.
ਕੀ ਅਜਿਹਾ ਅੰਬਾਂ ਦਾ ਆਇਤਾਕਾਰ ਬਾਗ ਲਗਾਉਣਾ | ਸੰਭਵ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਲੰਬਾਈ, ਚੌੜਾਈ ਤੋਂ ਦੁੱਗਣੀ ਹੋਵੇ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਖੇਤਰਫਲ 800 m ਹੋਵੇ । ਜੇਕਰ ਸੰਭਵ ਹੈ ਤਾਂ ਇਸਦੀ ਲੰਬਾਈ ਅਤੇ ਚੌੜਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਓ ਆਇਤਾਕਾਰ ਬਾਗ ਦੀ ਲੰਬਾਈ = x m
ਅਤੇ ਆਇਤਾਕਾਰ ਬਾਗ ਦੀ ਚੌੜਾਈ = 2x m
ਆਇਤਾਕਾਰ ਬਾਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = ਲੰਬਾਈ × ਚੌੜਾਈ
= [x × 2x] ਮੀ.²
= 2x² ਮੀ.²
ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ,
2x² = 800
x² = \(\frac{800}{2}\) = 400
x = ±\(\sqrt {400}\)
x = ±20
∵ ਬਾਗ਼ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਰਿਣਾਤਮਕ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦੀ ।
∴ ਅਸੀਂ x = 20 ਨੂੰ ਛੱਡ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ ।
∴ x = 20
∴ ਬਾਗ਼ ਦੀ ਚੌੜਾਈ = 20 m
ਬਾਗ਼ ਦੀ ਲੰਬਾਈ
= (2 × 20) m = 40 m

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 4.
ਕੀ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਸਥਿਤੀ ਸੰਭਵ ਹੈ । ਜੇਕਰ ਹਾਂ ਤਾਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀ ਵਰਤਮਾਨ ਉਮਰਾਂ ਪਤਾ ਕਰੋ । ਦੋ ਮਿੱਤਰਾਂ ਦੀਆਂ ਉਮਰਾਂ ਦਾ ਜੋੜ 20 ਸਾਲ ਹੈ । ਚਾਰ ਸਾਲ ਪਹਿਲਾਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਉਮਰਾਂ ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ) ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ 48 ਸੀ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਓ ਪਹਿਲੇ ਮਿੱਤਰ ਦੀ ਉਮਰ = x ਸਾਲ
ਦੂਸਰੇ ਮਿੱਤਰ ਦੀ ਉਮਰ = (20 – x) ਸਾਲ
ਚਾਰ ਸਾਲ ਪਹਿਲਾਂ :
ਪਹਿਲੇ ਮਿੱਤਰ ਦੀ ਉਮਰ = (x – 4) ਸਾਲ
ਦੂਸਰੇ ਮਿੱਤਰ ਦੀ ਉਮਰ = (20 – x – 4) ਸਾਲ
= (16 – x) ਸਾਲ
ਉਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ = (x – 4) (16 – x)
= 16x – x² – 64 + 4x
= -x² + 20x – 64
ਪ੍ਰਸ਼ਨੇ ਅਨੁਸਾਰ,
-x² + 20x – 64 = 48
-x² + 20x – 64 – 48 = 0
-x² + 20x – 112 = 0
x² – 20x + 12 = 0 …(1)
ਇਸ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ax² + bx + c = 0 ਨਾਲ ਕਰਨ ਤੇ
a = 1, b = – 20, c = 112
D = b² – 4ac
= (-20)² – 4 × 1 × 112
= 400 – 448
= – 48 < 0
∵ ਮੂਲ ਵਾਸਤਵਿਕ ਨਹੀਂ ਹਨ
∴ ਦਾ ਕੋਈ ਮੁੱਲ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ (1) ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ ਹੈ
∴ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਸਥਿਤੀ ਸੰਭਵ ਨਹੀਂ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 5.
ਕੀ ਪਰਿਮਾਪ 80 m ਅਤੇ ਖੇਤਰਫਲ 400 m² ਦੇ ਇੱਕ ਪਾਰਕ ਨੂੰ ਬਣਾਉਣਾ ਸੰਭਵ ਹੈ ? ਜੇਕਰ ਹੈ ਤਾਂ ਉਸਦੀ ਲੰਬਾਈ, ਚੌੜਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਓ ਆਇਤਾਕਾਰ ਪਾਰਕ ਦੀ ਲੰਬਾਈ = x ਮੀ.
ਆਇਤਾਕਾਰ ਪਾਰਕ ਦੀ ਚੌੜਾਈ = y ਮੀ.
∴ ਆਇਤਾਕਾਰ ਪਾਰਕ ਦਾ ਪਰਿਮਾਪ =2 (x + y) ਮੀ.
∴ ਆਇਤਾਕਾਰ ਪਾਰਕ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = xy ਮੀ.²
ਪਹਿਲੀ ਸ਼ਰਤ ਅਨੁਸਾਰ
2 (x + y) = 80
x + y = \(\frac{80}{2}\) = 40
y = 40 – x …(1)
ਦੂਸਰੀ ਸ਼ਰਤ ਅਨੁਸਾਰ
xy = 400
x(40 – x) = 400 [(1) ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਨ ਤੇ]
ਜਾਂ 40x – x² = 400
ਜਾਂ 40x – x² – 400 = 0
ਜਾਂ x² – 40x + 400 = 0
ਇਸ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ax² + b + c = 0 ਨਾਲ ਕਰਨ ਤੇ
∴ a = 1, b = -40, c = 400
D = b² – 4ac
= (-40)² – 4 × 1 × 400
= 1600 – 1600 = 0

ਹੁਣ x = 20, ਤਾਂ (1) ਤੋਂ
y = 40 – 20 = 20
∴ ਆਇਤਾਕਾਰ ਪਾਰਕ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਅਤੇ ਚੌੜਾਈ ਦਾ | ਮਾਪ 20 m ਬਰਾਬਰ ਹੈ ।
∴ ਆਇਤਾਕਾਰ ਪਾਰਕ ਸੰਭਵ ਹੈ । ਇਹ ਵਰਗ ਹੈ ।

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 4 ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ Ex 4.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 4 ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ Exercise 4.3

1. ਜੇਕਰ ਹੇਠ ਲਿਖਿਆਂ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦੇ ਮੂਲ ਸੰਭਵ ਹੋਣ ਤਾਂ ਪੂਰਨ ਵਰਗ ਬਣਾਉਣ ਦੀ ਵਿਧੀ ਰਾਹੀਂ ਪਤਾ ਕਰੋ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (i).
2x² – 7x + 3 = 0
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸਮੀਕਰਣ ਹੈ
2x² – 7x + 3 = 0
ਜਾਂ 2x² – 7x = – 3


ਇਸ ਲਈ, ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਦੇ ਮੂਲ 3, \(\frac{1}{2}\) ਹਨ

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ii).
2x² + x – 4 = 0
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸਮੀਕਰਣ ਹੈ
2x² + x – 4 = 0
ਜਾਂ 2x² + x = 4


ਇਸ ਲਈ, ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਦੇ ਮੂਲ ਹਨ: \(\frac{-1+\sqrt{33}}{4}\) ਅਤੇ \(\frac{-1-\sqrt{33}}{4}\)

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iii).
4x² + 4\(\sqrt {3}\) x + 3 = 0
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਹੈ
4x² + 4\(\sqrt {3}\)x + 3 = 0
ਜਾਂ 4x² + 4\(\sqrt {3}\)x = – 3

ਜਾਂ x + \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) = 0
ਜਾਂ x = \(\frac{-\sqrt{3}}{2}\)
ਇਸ ਲਈ, ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸਮੀਕਰਣ ਦੇ ਮੂਲ ਹਨ :
\(\frac{-\sqrt{3}}{2}\) ਅਤੇ \(\frac{-\sqrt{3}}{2}\)

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iv).
2x² + x + 4 = 0
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਹੈ
2x² + x + 4 = 0
ਜਾਂ 2x² + x = -4

∵ ਕਿਸੇ ਸੰਖਿਆਂ ਦਾ ਵਰਗ ਰਿਣਾਤਮਕ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦਾ ।
∴ (x + \(\frac{1}{4}\))², x ਦੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਮੁੱਲ ਲਈ ਰਿਣਾਤਮਕ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦਾ ।
∴ ਇੱਥੇ x ਦਾ ਕੋਈ ਵਾਸਤਵਿਕ ਮੁਲ ਨਹੀਂ ਹੈ ਜੋ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ ।
∴ ਇਸਦੇ ਮੂਲ ਵਾਸਤਵਿਕ ਨਹੀਂ ਹਨ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 2.
ਉਪਰੋਕਤ ਪ੍ਰਸ਼ਨ (1) ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਦੋ ਘਾਤੀ | ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦੇ ਮੂਲ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਕੇ ਪਤਾ ਲਗਾਉ ॥
ਹੱਲ:
(i) ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਹੈ
2x² – 7x + 3 = 0
ਇਸਦੀ ax² + bx + c = 0 ਨਾਲ ਤੁਲਨਾ ਕਰਨ ਤੇ ।
a = 2, b = – 7, c = 3
ਹੁਣ b² – 4ac = (-7) – 4 × 2 × 3
= 49 – 24
= 25 > 0

∴ 3 ਅਤੇ \(\frac{1}{2}\)ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸਮੀਕਰਣ ਦੇ ਮੂਲ ਹਨ ।

(ii) ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਹੈ
2x² + x – 4 = 0
ਇਸ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ax² + bx + c = 0 ਨਾਲ ਕਰਨ ਤੇ
∴ a = 1, b = 1, c = – 4
ਹੁਣ b² – 4ac = (1)² – 4 × 2 × (-4)
= 1 + 32
= 33 > 0

ਇਸ ਲਈ \(\frac{-1+\sqrt{33}}{4}\) ਅਤੇ \(\frac{-1-\sqrt{33}}{4}\) ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਸਮੀਕਰਣ ਦੇ ਮੂਲ ਹਨ ।

(iii) ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਹੈ
4x² + 4\(\sqrt {3}\) + 3 = 0
ਇਸ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ax² + bx + = 0 ਨਾਲ ਕਰਨ ਤੇ :
∴ a = 4, b = 4\(\sqrt {3}\) , c = 3
ਹੁਣ b² – 4ac = (4\(\sqrt {3}\))² – 4 × 4 × 3
= 48 – 48 = 0

\(\frac{-\sqrt{3}}{2}\) ਅਤੇ \(\frac{-\sqrt{3}}{2}\) ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸਮੀਕਰਣ ਦੇ ਮੂਲ ਹਨ ।

(iv) ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਹੈ
2x² + x + 4 = 0
ਇਸ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ax² + bx + 0 = 0 ਨਾਲ ਕਰਨ ਤੇ
∴ a = 2, b = 1, c = 4
ਹੁਣ b² – 4ac = (1)² – 4 × 2 × 4
= 1 – 32 = – 31 < 0
∴ x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)
ਕਿਉਂਕਿ ਇਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਵਰਗ ਰਿਣਾਤਮਕ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ । ਇਸ ਲਈ x ਦਾ ਕੋਈ ਵਾਸਤਵਿਕ ਮੂਲ ਹੀਂ ਹੈ !
∴ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਸਮੀਕਰਣ ਦੇ ਮੂਲ ਵਾਸਤਵਿਕ ਨਹੀਂ ਹਨ ।
ਉਪਰ ਦਿੱਤੇ ਦੋ ਪ੍ਰਸ਼ਨਾਂ ਵਿਚ ਅਸੀਂ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਦੇ ਮੁਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਦੋਵਾਂ ਵਿਧੀਆਂ ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕੀਤਾ ਹੈ । ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ, ਪੂਰਨ ਵਰਗ ਬਣਾਉਣ ਨਾਲੋਂ ਜ਼ਿਆਦਾ ਅਸਾਨ ਹੈ ।

3. ਹੇਠਾਂ ਲਿਖੀਆਂ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦੇ ਮੂਲ ਪਤਾ ਕਰੋ :

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (i).
x – \(\frac{1}{x}\) = 3, x ≠ 0
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸਮੀਕਰਣ ਹੈ
x – \(\frac{1}{x}\) = 3
ਜਾਂ \(\frac{x^{2}-1}{x}\) = 3
ਜਾਂ x² – 1 = 3x
ਜਾਂ x² – 3x – 1 = 0
ਇਸ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ax² + bx + c = 0 ਨਾਲ ਕਰਨ ਤੇ
∴ a = 1, b = – 3, c = – 1
ਹੁਣ b² – 4ac = (-3)² – 4. 1 (-1)
= 9 + 4 = 13 > 0

ਇਸ ਲਈ \(\frac{3+\sqrt{13}}{2}\) ਅਤੇ \(\frac{3-\sqrt{13}}{2}\) ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਦੇ ਮੂਲ ਹਨ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ii).
\(\frac{1}{x+4}\) – \(\frac{1}{x-7}\) = \(\frac{11}{30}\), x ≠ -4, 7
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਸਮੀਕਰਣ ਹੈ
\(\frac{1}{x+4}\) – \(\frac{1}{x-7}\) = \(\frac{11}{30}\)
ਜਾਂ \(\frac{(x-7)-(x+4)}{(x+4)(x-7)}\) = \(\frac{11}{30}\)

ਜਾਂ -11 × 30 = 11 (x² – 3x – 28)
ਜਾਂ x² – 3x – 28 + 30 = 0
ਜਾਂ x² – 3x + 2 = 0
ਇਸ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ax² + bx + c = 0 ਨਾਲ ਕਰਨ ਤੇ
∴ a = 1, b = – 3, c = 2
ਹੁਣ, b² – 4ac = (-3)² – 4 × 1 × 2
= 9 – 8
= 1 > 0

∴ 2 ਅਤੇ 1 ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਸਮੀਕਰਣ ਦੇ ਮੂਲ ਹਨ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 4.
3 ਸਾਲ ਪਹਿਲਾਂ ਰਹਿਮਾਨ ਦੀ ਉਮਰ (ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ) ਅਤੇ ਹੁਣ ਤੋਂ ਪੰਜ ਸਾਲ ਬਾਅਦ ਦੀ ਉਮਰ ਦੇ ਉਲਟਮਾਂ ਦਾ ਜੋੜ \(\frac{1}{3}\) ਹੈ । ਉਸ ਦੀ ਵਰਤਮਾਨ ਉਮਰ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਓ ਰਹਿਮਾਨ ਦੀ ਵਰਤਮਾਨ ਉਮਰ = x ਸਾਲ
3 ਸਾਲ ਪਹਿਲਾਂ ਰਹਿਮਾਨ ਦੀ ਉਮਰ = (x – 3) ਸਾਲ
ਹੁਣ ਤੋਂ 5 ਸਾਲ ਬਾਅਦ ਰਹਿਮਾਨ ਦੀ ਉਮਰ = (x + 5) ਸਾਲ
ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਅਨੁਸਾਰ
\(\frac{1}{x-3}\) + \(\frac{1}{x+5}\) = \(\frac{1}{3}\)

ਜਾਂ 6x + 6 = x² + 2x – 15
ਜਾਂ x² + 2x – 15 – 6x – 6 = 0
ਜਾਂ x² – 4x – 21 = 0, ਜੋ ਕਿ 1 ਵਿਚ ਦੋ ਘਾਤ ਹੈ ਇਸ ਲਈ ਇਸ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ax² + bx + c = 0 ਨਾਲ ਕਰਨ ਤੇ
∴ a = 1, b = – 4, c = – 21
ਹੁਣ b² – 4ac = (-4)² – 4 × 1 × (21)
= 16 + 84
= 100 > 0

= 7 ਅਤੇ – 2
∵ ਉਮਰ ਰਿਣਾਤਮਕ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ
∴ x = – 3 ਨੂੰ ਛੱਡ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ
∴ x = 7
∴ ਰਹਿਮਾਨ ਦੀ ਵਰਤਮਾਨ ਉਮਰ x = 7 ਸਾਲ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 5.
ਇਕ ਸ਼੍ਰੇਣੀ ਟੈਸਟ ਵਿਚ ਸ਼ੈਫਾਲੀ ਦੇ ਗਣਿਤ ਅਤੇ ਅੰਗ੍ਰੇਜ਼ੀ ਵਿਚ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੇ ਅੰਕਾਂ ਦਾ ਜੋੜ 30 ਹੈ । ਜੇਕਰ ਉਸ ਨੂੰ ਗਣਿਤ ਵਿਚ 2 ਅੰਕ ਵੱਧ ਅਤੇ ਅੰਗ੍ਰੇਜ਼ੀ ਵਿਚ 3 ਅੰਕ ਘੱਟ ਮਿਲੇ ਹੁੰਦੇ ਤਾਂ ਉਸਦੇ ਅੰਕਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ 20 ਹੁੰਦਾ । ਉਸ ਦੁਆਰਾ ਦੋਵੇਂ ਵਿਸ਼ਿਆਂ ਵਿਚ ਪ੍ਰਾਪਤ ਅੰਕ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਓ ਸ਼ੈਫਾਲੀ ਨੇ ਗਣਿਤ ਵਿਚ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੇ ਅੰਕ = x
∴ ਸ਼ੈਫਾਲੀ ਦੇ ਅੰਗ੍ਰੇਜ਼ੀ ਵਿਚ ਪ੍ਰਾਪਤ ਅੰਕ = 30 – x
ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਦੀ ਸ਼ਰਤ ਅਨੁਸਾਰ
ਸ਼ੈਫਾਲੀ ਦੇ ਗਣਿਤ ਵਿਚ ਅੰਕ = x + 2
ਸ਼ੈਫਾਲੀ ਦੇ ਅੰਗੇਜ਼ੀ ਵਿੱਚ ਅੰਕ
= 30 – x – 3
= 27 – 1
∴ ਉਸਦੇ ਅੰਕਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ = (x + 27) (27 – x)
= 27x – x² + 54 – 2x
= -x² + 25x + 54
ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਦੀ ਦੂਸਰੀ ਸ਼ਰਤ ਅਨੁਸਾਰ
-x² + 25x + 54 = 210
ਜਾਂ -x² + 25x + 54 – 210 = 0
ਜਾਂ -x² + 25x – 156 = 0
ਜਾਂ x² – 25x + 156 = 0
ਇਸ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ax² + bx + c = 0 ਨਾਲ ਕਰਨ ਤੇ
a = 1, b = – 25, c = 156
ਹੁਣ b² – 4ac = (-25)² – 4 × 1 × 156
= 625 – 624
= 1 > 0

= 13 ਅਤੇ 12
ਸਥਿਤੀ I.
ਜਦੋਂ x = 13
∴ ਸ਼ੈਫਾਲੀ ਦੇ ਗਣਿਤ ਦੇ ਅੰਕ = 13
ਸ਼ੈਫਾਲੀ ਦੇ ਅੰਗ੍ਰੇਜ਼ੀ ਦੇ ਅੰਕ = 30 – 13 = 17
ਸਥਿਤੀ II.
ਜਦੋਂ = 12
ਸ਼ੈਫਾਲੀ ਦੇ ਗਣਿਤ ਦੇ ਅੰਕ = 12
ਅੰਗ੍ਰੇਜ਼ੀ ਦੇ ਅੰਕ = 30 – 12 = 18
∴ ਸ਼ੈਫਾਲੀ ਦੇ ਦੋ ਵਿਸ਼ਿਆਂ ਦੇ ਅੰਕ ਹਨ : 13 ਅਤੇ 17 ਜਾਂ 12 ਅਤੇ 18

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 6.
ਇਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਖੇਤ ਦਾ ਵਿਕਰਣ ਉਸਦੀ ਛੋਟੀ ਭੁਜਾ ਤੋਂ 60 m ਲੰਬਾ ਹੈ । ਜੇਕਰ ਵੱਡੀ ਭੁਜਾ ਛੋਟੀ ਭੁਜਾ ਤੋਂ 30 m ਵੱਧ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਖੇਤ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਓ ਆਇਤਾਕਾਰ ਖੇਤ ਦੀ ਛੋਟੀ ਭੁਜਾ
= AD = x m

ਆਇਤਾਕਾਰ ਖੇਤ ਦੀ ਵੱਡੀ ਭੁ
= AB = (x + 30) m
ਆਇਤਾਕਾਰ ਖੇਤ ਦਾ ਵਿਕਰਣ
= DB = (x+ 60) m
ਇਕ ਆਇਤ ਵਿਚ ਲੰਬਾਈ ਅਤੇ ਚੌੜਾਈ ਦੇ ਵਿਚ ਦਾ } ਕੋਣ ਸਮਕੋਣ ਹੁੰਦਾ ਹੈ
∴ ∠AB = 90°
ਹੁਣ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ DAB ਵਿਚ
ਪਾਇਥਾਗੋਰਸ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਅਨੁਸਾਰ
(DB)² = (AD)² + (AB)²
(x + 60)² = (x)² + (x + 30)²
ਜਾਂ x² + 3600 + 120x
= x² + x² + 900 + 60x
ਜਾਂ x² + 3600 + 120x – 2x² – 900 – 60x = 0
ਜਾਂ -x² + 6x + 2700 = 0
ਜਾਂ x² – 60x – 2700 = 0
ਇਸ ਦੀ ਤੁਲਣਾ ax² + bx + c = 0 ਨਾਲ ਕਰਨ ਤੇ
∴ a = 1, b = – 60, c = – 2700
ਅਤੇ b² – 4ac = (-60)² – 4 . 1. (-2700)
= 3600 + 10800
= 14400 > 0

= 90 ਅਤੇ -30
∵ ਕਿਸੇ ਖੇਤ ਦੀ ਭੁਜਾ ਰਿਣਾਤਮਕ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦੀ
∴ ਅਸੀਂ x = -30 ਨੂੰ ਛੱਡ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ
∴ x = 90
∴ ਆਇਤਾਕਾਰ ਖੇਤ ਦੀ ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟੀ ਭੁਜਾ
= 90 m
ਆਇਤਾਕਾਰ ਖੇਤ ਦੀ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੀ ਭੁਜਾ
= (9) + 30)
= 120 m

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 7.
ਦੋ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਵਰਗਾਂ ਦਾ ਅੰਤਰ 180 ਹੈ । ਛੋਟੀ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਵਰਗ, ਵੱਡੀ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਅੱਠ ਗੁਣਾ ਹੈ । ਦੋਵੇਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਓ ਵੱਡੀ ਸੰਖਿਆ = 1
ਛੋਟੀ ਸੰਖਿਆ =y ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਦੀ ਸ਼ਰਤ ਅਨੁਸਾਰ
x² – y² = 180 ….(i)
ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਦੀ ਦੂਸਰੀ ਸ਼ਰਤ ਅਨੁਸਾਰ
² = 8z …(ii)
(i) ਅਤੇ (ii) ਤੋਂ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
x² – 8x = 180
ਜਾਂ x² – 8x – 180 = 0
ਇਸਦੀ ਤੁਲਨਾ ax² + bx + c = 0 ਨਾਲ ਕਰਨ ਤੇ
a = 1, b = – 8, c = – 180
ਅਤੇ b² – 4ac = (-8)² – 4 × 1 × (-180)
= 64 + 720
= 784 > 0

= 18 ਅਤੇ – 10
ਜਦੋਂ x = – 10 ਤਾਂ, (ii) ਤੋਂ
y² = 8 (-10) = – 80, ਜੋ ਸੰਭਵ ਨਹੀਂ ਹੈ
∴ ਅਸੀਂ x = – 10 ਨੂੰ ਛੱਡ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ
ਜਦੋਂ x = 18, ਤਾਂ (2) ਤੋਂ,
y² = (18) 8 = 144
ਜਾਂ y = ±\(\sqrt {144}\)
ਜਾਂ y = ±12
∴ ਲੋੜੀਂਦੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ 18 ਅਤੇ 12 ਜਾਂ 18 ਅਤੇ – 12

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 8.
ਇੱਕ ਰੇਲਗੱਡੀ ਇੱਕ ਸਮਾਨ ਚਾਲ ਨਾਲ 360 km ਦਾ ਸਫ਼ਰ ਤੈਅ ਕਰਦੀ ਹੈ । ਜੇਕਰ ਇਹ ਚਾਲ 5 km/h ਵੱਧ ਹੁੰਦੀ ਤਾਂ ਉਹ ਉਸੇ ਸਫ਼ਰ ਲਈ 1 ਘੰਟਾ ਘੱਟ ਸਮਾਂ ਲੈਂਦੀ । ਰੇਲਗੱਡੀ ਦੀ ਚਾਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਓ ਰੇਲਗੱਡੀ ਦੀ ਇਕ ਸਮਾਨ ਚਾਲ = x km/h
ਰੇਲਗੱਡੀ ਦੁਆਰਾ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਦੂਰੀ = 360 km

ਰੇਲਗੱਡੀ ਦੀ ਵੱਧੀ ਹੋਈ ਚਾਲ = (x + 5) km/h
∴ ਵੱਧੀ ਹੋਈ ਚਾਲ ਨਾਲ ਰੇਲਗੱਡੀ ਦੁਆਰਾ ਲੱਗਿਆ ਸਮਾਂ
= \(\frac{360}{x+5}\)
ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਅਨੁਸਾਰ
\(\frac{360}{x}\) – \(\frac{360}{x+5}\) = 1
\(\frac{360(x+5)-360 x}{x(x+5)}\) = 1
\(\frac{360 x+1800-360 x}{x^{2}+5 x}\) = 1
1800 = x² + 5x
x² + 5x – 1800 = 0
ਇਸ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ax² + bx + c = 0 ਨਾਲ ਕਰਨ ਤੇ
a = 1, b = 5, c = – 1800
ਅਤੇ b² – 4ac = (5)² – 4 × 1 × (-1800)
= 25 + 7200
= 7225 > 0.

= 40 ਅਤੇ – 45
∴ ਕਿਸੇ ਰੇਲਗੱਡੀ ਦੀ ਚਾਲ ਰਿਣਾਤਮਕ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦੀ
∴ਅਸੀਂ x = – 45 ਨੂੰ ਛੱਡ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ
∴ x = 40
∴ ਰੇਲਗੱਡੀ ਦੀ ਚਾਲ = 40 km/h

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 9.
ਦੋ ਟੁੱਟੀਆਂ ਮਿਲਕੇ ਇੱਕ ਹੌਜ ਨੂੰ 9\(\frac{3}{8}\) ਘੰਟਿਆਂ ਵਿੱਚ ਭਰ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ । ਵੱਡੇ ਵਿਆਸ ਵਾਲੀ ਟੁੱਟੀ, ਘੱਟ ਵਿਆਸ ਵਾਲੀ ਟੁੱਟੀ ਤੋਂ 10 ਘੰਟੇ ਘੱਟ ਸਮਾਂ ਲੈਂਦੀ ਹੈ । ਹਰੇਕ ਟੁੱਟੀ ਦੁਆਰਾ ਹੌਜ਼ ਨੂੰ ਭਰਨ ਲਈ ਲਿਆ ਗਿਆ ਸਮਾਂ | ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਓ ਵੱਡੇ ਵਿਆਸ ਵਾਲੀ ਟੁੱਟੀ ਹੌਜ਼ ਭਰਨ ਵਿਚ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਸਮਾਂ ਲੈਂਦੀ ਹੈ = x
ਘੰਟੇ ਛੋਟੇ ਵਿਆਸ ਵਾਲੀ ਲੈਂਦੀ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਸਮਾਂ ਲੈਂਦੀ ਹੈ = (x + 10)
ਘੰਟੇ ਇੱਕ ਘੰਟੇ ਦੀ ਸਥਿਤੀ
ਵੱਡੀ ਟੁੱਟੀ ਹੌਜ਼ ਭਰ ਸਕਦੀ ਹੈ = \(\frac{1}{x+10}\)
∴ ਵੱਡੀ ਅਤੇ ਛੋਟੀ ਟੁੱਟੀ ਹੌਜ਼ ਭਰ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ
= \(\frac{1}{x}\) = \(\frac{1}{x+10}\) ….(1)
ਪਰ ਦੋਵੇਂ ਟੁੱਟੀਆਂ ਹੌਜ਼ ਭਰਨ ਵਿਚ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਸਮਾਂ ਲੈਣਗੀਆਂ
= 9\(\frac{3}{8}\) ਘੰਟੇ = \(\frac{75}{8}\) ਘੰਟੇ
ਹੁਣ ਦੋਵੇਂ ਟੁੱਟੀਆਂ ਇਕ ਘੰਟੇ ਵਿਚ ਹੌਜ਼ ਭਰ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ
= \(\frac{8}{75}\) …(2)
(1) ਅਤੇ (2) ਤੋਂ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ

75 (2x + 10) = 8(x² + 10x)
150x + 750 = 8x² + 80x
ਜਾਂ 8x² + 80 – 150x – 750 = 0
8x² – 70x – 750 = 0
4x² – 35x – 375 = 0
ਇਸ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ax² + bx + c = 0 ਨਾਲ ਕਰਨ ਤੇ ,
∴ a = 4, b = – 35, c = – 375
ਅਤੇ b² – 4ac = (-35)² –4 × 4 × (375)
= 1225 + 6000
= 7225 > 0

∵ ਸਮਾਂ ਰਿਣਾਤਮਕ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ
ਇਸ ਲਈ, ਅਸੀਂ x = \(\frac{-25}{4}\)ਨੂੰ ਛੱਡ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ
∴ x = 15
ਇਸ ਲਈ ਵੱਡੀ ਟੁੱਟੀ ਹੌਜ਼ ਭਰਨ ਵਿਚ ਸਮਾਂ ਲੈਂਦੀ ਹੈ = 15 ਘੰਟੇ
ਅਤੇ ਛੋਟੀ ਟੁੱਟੀ ਹੌਜ਼ ਭਰਨ ਵਿੱਚ ਸਮਾਂ ਲੈਂਦੀ ਹੈ
= (15 + 10) ਘੰਟੇ
= 25 ਘੰਟੇ

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 10.
ਮੈਸਰ ਅਤੇ ਬੰਗਲੌਰ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ 132 km ਦਾ ਸਫ਼ਰ ਕਰਨ ਲਈ ਇਕ ਐਕਸਪ੍ਰੈੱਸ ਰੇਲਗੱਡੀ, ਸਵਾਰੀ ਗੱਡੀ ਤੋਂ 1 ਘੰਟਾ ਘੱਟ ਸਮਾਂ ਲੈਂਦੀ ਹੈ । ਵਿਚਕਾਰਲੇ ਸਟੇਸ਼ਨਾਂ ਤੇ ਰੁਕਣ ਦਾ ਸਮਾਂ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਨਾ ਰੱਖਿਆ । ਜਾਵੇ) ਜੇਕਰ ਐਕਸਪ੍ਰੈਸ ਰੇਲਗੱਡੀ ਦੀ ਔਸਤ ਚਾਲ, ਸਵਾਰੀ ਗੱਡੀ ਦੀ ਔਸਤ ਚਾਲ ਤੋਂ 11 km/h ਜ਼ਿਆਦਾ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਦੋਵੇਂ ਰੇਲਗੱਡੀਆਂ ਦੀ ਔਸਤ ਚਾਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਓ ਸਵਾਰੀ ਗੱਡੀ ਦੀ ਔਸਤ ਚਾਲ
= x km/h
ਐਕਸਪ੍ਰੈੱਸ ਰੇਲਗੱਡੀ ਦੀ ਔਸਤ ਚਾਲ
= (x + 11) km/h
ਮੈਸੂਰ ਅਤੇ ਬੰਗਲੌਰ ਵਿਚ ਦੂਰੀ
= 132 ਕਿ.ਮੀ.
ਸਵਾਰੀ ਗੱਡੀ ਦੁਆਰਾ ਲਿਆ ਸਮਾਂ = \(\frac{132}{x}\) ਘੰਟੇ

1452 = x² + 11x
ਜਾਂ x² + 11x – 1452 = 0
ਇਸ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ax² + bx + c = 0 ਨਾਲ ਕਰਨ ਤੇ
∴ a = 1, b = 11, c = – 1452
ਅਤੇ b² – 4ac = (11)² – 4 × 1 × (- 1452)
= 121 + 5808
= 5929 > 0

= \(\frac{66}{2}\) ਅਤੇ \(\frac{-88}{2}\)
= 33, – 44
∵ ਰੇਲਗੱਡੀ ਦੀ ਚਾਲ ਰਿਣਾਤਮਕ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦੀ
∴ x = 33
∴ ਸਵਾਰੀ ਗੱਡੀ ਦੀ ਔਸਤ ਚਾਲ
= 33 km/h.
ਅਤੇ ਐਕਸਪ੍ਰੈੱਸ ਰੇਲਗੱਡੀ ਦੀ ਔਸਤ ਚਾਲ
= (33 + 11) km/h
= 44 km/h

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 11.
ਦੋ ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲਾਂ ਦਾ ਜੋੜ 48 m² ਹੈ । ਜੇਕਰ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਪਰਿਮਾਪਾਂ ਦਾ ਅੰਤਰ 24 m ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਦੋਵੇਂ ਵਰਗਾਂ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਪਹਿਲਾਂ ਵੱਡੇ ਵਰਗ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਵਿਚ
ਮੰਨ ਲਓ ਵਰਗ ਦੀ ਹਰੇਕ ਭੁਜਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ = x m
ਵਰਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = x² m²
ਵਰਗ ਦਾ ਪਰਿਮਾਪ = 4x m
ਛੋਟੇ ਵਰਗ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ
ਮੰਨ ਲਓ ਵਰਗ ਦੀ ਹਰੇਕ ਭੁਜਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ
= y m
ਵਰਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = y²
ਵਰਗ ਦਾ ਪਰਿਮਾਪ = 4y m
ਪਹਿਲੀ ਸ਼ਰਤ ਅਨੁਸਾਰ,
x² + y² = 468 …(1)
ਦੂਸਰੀ ਸ਼ਰਤ ਅਨੁਸਾਰ,
4x – 4y = 24
4(x – y) = 24
x – y = 6
ਜਾਂ x = 6 + y ….(2)
(1) ਅਤੇ (2) ਤੋਂ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
(6 + y)² + y² = 468
36 + y² + 12y + y² = 468
2y² + 12y + 36 – 468 = 0
2y² + 12y – 432 = 0
y² + 6y – 216 = 0
ਇਸ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ay² + by + c = 0 ਨਾਲ ਕਰਨ ਤੇ
∴ a = 1, b = 6, c = – 216
ਅਤੇ b² – 4ac = (6)² – 4 × 1 × (216)
= 36 + 864
= 900 > 0

= 12 ਅਤੇ – 18
∵ ਵਰਗ ਦੀ ਭੁਜਾ ਰਿਣਾਤਮਕ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦੀ
∴ ਅਸੀਂ y = – 18 ਨੂੰ ਛੱਡ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ
∴ y = 12
(2) ਤੋਂ, x = 6 + 12 = 18
∴ ਦੋਵੇਂ ਵਰਗਾਂ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ
12 m ਅਤੇ 18 m ਹਨ ।

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 4 ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ Ex 4.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 4 ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ Exercise 4.2

1. ਗੁਣਨਖੰਡ ਵਿਧੀ ਰਾਹੀਂ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਦੇ ਮੁਲ ਪਤਾ ਕਰੋ :

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (i).
x² – 3x – 10 = 0
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਹੈ
x² – 3x – 10 = 0 | S = – 3
x² – 5x + 2x – 10 = 0 | P = – 10
x(x – 5) + 2 (x – 5) = 0
(x – 5) (x + 2) = 0
ਭਾਵ x – 5 = 0 ਜਾਂ x + 2 = 0
x = 5 ਜਾਂ x = – 2
∴ 5 ਅਤੇ – 2 ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਦੇ ਮੂਲ ਹਨ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ii).
2x² + x – 6 = 0
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਹੈ :
2x² + x – 6 = 0 |S = 1
ਜਾਂ 2x² + 4x – 3x – 6 = 0 |P = – 6 × 2 = -12
2x (x + 2) – 3 (x + 2) = 0
(x + 2) (2x – 3) = 0
ਭਾਵ x + 2 = 0 ਜਾਂ 2x – 3 = 0
x = – 2 ਜਾਂ x = \(\frac{3}{2}\)
ਭਾਵ – 2 ਅਤੇ \(\frac{3}{2}\) ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਦੇ ਮੂਲ ਹਨ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iii).
\(\sqrt {2}\) x² + 7x + 5\(\sqrt {2}\) = 0
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਹੈ :
\(\sqrt {2}\)x² + 7x + 5\(\sqrt {2}\) = 0 |S = 7
|P = \(\sqrt {2}\) × \(\sqrt {5}\)
= 10
ਜਾਂ \(\sqrt {2}\)x² + 2x + 5x + 5\(\sqrt {2}\) = 0
ਜਾਂ \(\sqrt {2}\)x(x + \(\sqrt {2}\)) + 5(x +\(\sqrt {2}\)) = 0
ਜਾਂ (x + \(\sqrt {2}\)) (\(\sqrt {2}\)x + 5) = 0
ਭਾਵ x + \(\sqrt {2}\) = 0 ਜਾਂ \(\sqrt {2}\)x + 5 = 0
x = \(-\sqrt {2}\) x = \(\frac{-5}{\sqrt{2}}\)
ਇਸ ਲਈ, \(\sqrt {2}\) ਅਤੇ \(\frac{-5}{\sqrt{2}}\) ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਸਮੀਕਰਣ ਦੇ ਹੱਲ ਹਨ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iv).
2x² – x + \(\frac{1}{8}\) = 0
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਦੇ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਹੈ
2x² – x + \(\frac{1}{8}\) = 0
ਜਾਂ \(\frac{16 x^{2}-8 x+1}{8}\) = 0
S = – 8
|P = 16 × 1 = 16
16x² – 8x + 1= 0,
16x² – 4x – 4x + 1 = 0
4x(4x – 1) – 1 (4x – 1) = 0
ਜਾਂ (4x – 1) (4x – 1) = 0
ਭਾਵ 4x – 1 = 0
ਜਾਂ 4x – 1 = 0
4x = 1 4x = 1
x =\(\frac{1}{4}\) ਜਾਂ x = \(\frac{1}{4}\)
ਇਸ ਲਈ \(\frac{1}{4}\) ਅਤੇ \(\frac{1}{4}\) ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਸਮੀਕਰਣ ਦੇ ਮੂਲ ਹਨ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (v).
100x² – 20x + 1 = 0
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਦੇ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਹੈ
100x² – 20x + 1 = 0
100x² – 10x – 10x + 1 = 0 | S = – 20
| P = 100 × 1
= 100
ਜਾਂ 10x (10x – 1) – (10x – 1) = 0
ਜਾਂ (10x – 1) (10x – 1) = 0
ਭਾਵ 10x – 1 = 0 ਜਾਂ 10x – 1 = 0
x = \(\frac{1}{10}\) ਜਾਂ x = \(\frac{1}{10}\)
ਇਸ ਲਈ \(\frac{1}{10}\) ਅਤੇ \(\frac{1}{10}\) ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਸਮੀਕਰਣ ਦੇ ਮੂਲ ਹਨ ।

2. ਉਦਾਹਰਣ 1 ਵਿਚ ਦਿੱਤੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ । ਇਨ੍ਹਾਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਦੇ ਕਥਨ ਹੇਠ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (i).
ਜਾਂਨ ਅਤੇ ਰੇਖਾ ਦੋਹਾਂ ਕੋਲ ਕੁੱਲ 45 ਬੰਦੇ ਹਨ । ਦੋਵੇਂ ਪੰਜ-ਪੰਜ ਬੰਟੇ ਗੁਆ ਦਿੰਦੇ ਹਨ, ਹੁਣ ਉਹਨਾਂ ਕੋਲ ਬੰਟਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ 124 ਹੈ । ਅਸੀਂ ਜਾਨਣਾਂ ਚਾਹਾਂਗੇ ਕਿ | ਸ਼ੁਰੂ ਵਿੱਚ ਉਨ੍ਹਾਂ ਕੋਲ ਕਿੰਨੇ-ਕਿੰਨੇ ਬੰਟੇ ਸਨ ।
ਉੱਤਰ:
ਮੰਨ ਲਉ ਜਾਂਨ ਕੋਲ ਬੰਟਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ = x
ਰੇਖਾ ਕੋਲ ਬੰਟਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ = 45 – x
ਜਾਂਨ ਦੇ 5 ਬੰਟੇ ਗੁਆਉਣ ਪਿਛੋਂ ਗਿਣਤੀ = x – 5
ਰੇਖਾ ਦੇ 5 ਬੰਟੇ ਗੁਵਾਉਣ ਪਿਛੋਂ ਗਿਣਤੀ
= 45 – x – 5
= 40 – x
ਇਸ ਲਈ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ = (x – 5) (40 – x)
= 40x – x² – 200 + 5x
= – x² + 45x – 200
ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਅਨੁਸਾਰ,
-x² + 45x – 200 = 124
-x² + 45x – 324 = 0 |S = – 45,
ਜਾਂ x² – 45x + 324 = 0 | P = 324
x² – 36x – 9x + 324 = 0
ਜਾਂ x(x – 36) – 9 (x – 36) = 0
ਜਾਂ (x – 36) (x – 9) = 0
ਭਾਵ x – 36 = 10 ਜਾਂ x – 9 = 0
x = 36 ਜਾਂ x = 9
∴ x = 36, 9
ਇਸ ਲਈ, ਬੰਟਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਜੋ ਉਨ੍ਹਾਂ ਕੋਲ ਸੀ 36 ਅਤੇ 9 ਜਾਂ 9 ਅਤੇ 36 ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ii).
ਇਕ ਘਰੇਲੂ ਉਦਯੋਗ ਇੱਕ ਦਿਨ ਵਿਚ ਕੁਝ ਖਿਡੌਣੇ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ । ਹਰੇਕ ਖਿਡੌਣੇ ਦਾ ਮੁੱਲ (₹ ਵਿਚ) 55 ਵਿਚੋਂ | ਇੱਕ ਦਿਨ ਬਣਾਏ ਗਏ ਖਿਡੌਣਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਘਟਾਉਣ ਉਪਰੰਤ ਪ੍ਰਾਪਤ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ । ਕਿਸੇ ਇੱਕ ਦਿਨ ਖਿਡੌਣੇ ਬਣਾਉਣ ‘ਤੇ ਕੁੱਲ ਖਰਚ ਤੇ 750 ਸੀ । ਅਸੀਂ ਉਸ ਦਿਨ ਬਣਾਏ ਗਏ ਖਿਡੌਣਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਪਤਾ ਕਰਨਾ ਚਾਹਾਂਗੇ ।
ਉੱਤਰ:
ਮੰਨ ਲਓ ਉਸ ਦਿਨ ਨਿਰਮਾਣ ਕੀਤੇ ਖਿਡੌਣੇ = x
ਉਸ ਦਿਨ ਹਰੇਕ ਖਿਡੌਣੇ ਦੀ ਨਿਰਮਾਣ ਲਾਗਤ (₹ ਵਿੱਚ) = 55 – x
ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਅਨੁਸਾਰ
x (55 – x) = 750
ਜਾਂ 55x – x² = 750
ਜਾਂ -x² + 55x – 750 = 0 | S = – 33,
ਜਾਂ x² – 55x + 750 = 0 | P = 750
ਜਾਂ x² – 30x – 25x + 750 = 0
ਜਾਂ x (x – 30) – 25 (x – 30) = 0
ਜਾਂ (x – 30) (x – 25) = 0
ਭਾਵ x – 30 = 0 ਜਾਂ x – 25 = 0
x = 30 ਜਾਂ x = 25
∴ x = 30, 25
ਇਸ ਲਈ, ਉਸ ਦਿਨ ਬਣਾਏ ਗਏ ਖਿਡੌਣਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ 30 ਅਤੇ 25 ਜਾਂ 25 ਅਤੇ 30 ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 3.
ਦੋ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਪਤਾ ਕਰ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਜੋੜ 27 ਅਤੇ ਗੁਣਨਫਲ 182 ਹੋਵੇ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਓ ਪਹਿਲੀ ਸੰਖਿਆ = 1
ਦੂਸਰੀ ਸੰਖਿਆ = 27 – x
ਇਸ ਲਈ, ਉਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ = x (27 – x)
= 27x -x²
ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਅਨੁਸਾਰ,
27x – x² = 182
ਜਾਂ x² + 27x – 182 = 0 | S = – 27
ਜਾਂ x² – 27x + 182 = 0 | P = 182
ਜਾਂ x² – 13x – 14x + 182 = 0
ਜਾਂ x (x – 13) – 14 (x – 13) = 0
ਜਾਂ (x – 13) (x – 14) = 0
ਭਾਵ x – 13 = 0 ਜਾਂ x – 14 = 0
x = 13 ਜਾਂ x = 14
∴ x = 13, 14
ਇਸ ਲਈ, ਦੋ ਸੰਖਿਆਵਾਂ 13 ਅਤੇ 14 ਜਾਂ 14 ਅਤੇ 13 ਹਨ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 4.
ਦੋ ਲਗਾਤਾਰ ਧਨ ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਵਰਗਾਂ ਦਾ ਜੋੜ 365 ਹੋਵੇ
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਓ ਪਹਿਲੀ ਧਨ ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ = x
ਦੂਸਰੀ ਧਨ ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ = x + 1
ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਅਨੁਸਾਰ,
(x)² + (x + 1)² = 365
ਜਾਂ , x² + x² + 1 + 2x = 365
ਜਾਂ 2x² + 2x + 1 – 365 = 0
ਜਾਂ 2x² + 2x – 364 = 0
ਜਾਂ x² + x – 182 = 0
ਜਾਂ x² + 14x – 13x – 182 = 0
ਜਾਂ x(x + 14) – 13 (x + 14) = 0
ਜਾਂ (x + 14) (x – 13) = 0
ਭਾਵ x + 14 = 0 , ਜਾਂ x – 13 = 0
x = – 14 ਜਾਂ x = 13
∵ ਸਾਨੂੰ ਧਨ ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਚਾਹੀਦੀਆਂ ਹਨ ਇਸ ਲਈ x =- 14 ਨਹੀਂ ਹੈ ।
∴ x = 13
∴ ਪਹਿਲੀ ਧਨ ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ = 13
ਦੂਸਰੀ ਧਨ ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ = 13 + 1 = 14
ਇਸ ਲਈ ਦੋ ਧਨ ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ 13 ਅਤੇ 14

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 5.
ਇੱਕ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੀ ਉੱਚਾਈ ਇਸ ਦੇ ਆਧਾਰ ਤੋਂ 7 cm ਘੱਟ ਹੈ । ਜੇਕਰ ਕਰਣ 13 cm ਹੈ ਤਾਂ ਬਾਕੀ ਦੋ । ਭੁਜਾਵਾਂ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਓ ਸਮਕੋਣ ਤਿਭੁਜ ਦਾ ਆਧਾਰ = x cm
ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੀ ਉੱਚਾਈ (ਲੰਬ) = x – 7 cm
ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦਾ ਕਰਣ = 13 cm ……(ਦਿੱਤਾ ਹੈ।)
ਪਾਇਥਾਗੋਰਸ ਪਮੇਯ ਅਨੁਸਾਰ,
(ਅਧਾਰ)² + (ਲੰਬ)² = (ਕਰਣ)²
(x)² + (x – 7)² = (13)²
ਜਾਂ x² + x² + 49 – 14x = 169
ਜਾਂ 2x² – 14x + 49 – 169 = 0
2x² – 14x – 120 = 0
ਜਾਂ 2 [x² – 7x – 60] = 0
ਜਾਂ x² – 7x – 60 = 0 | S = 7
ਜਾਂ x² – 12x + 5x – 60 = 0 | P = – 60
ਜਾਂ x (x – 12) + 5 (x – 12) = 0
ਜਾਂ (x – 12) (x + 5) = 0
ਭਾਵ x – 12 = 0 ਜਾਂ x + 5 = 0
x = 12 ਜਾਂ x = – 5
ਇਸ ਲਈ, ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਰਿਣਾਤਮਕ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦੀ
∴ x = -5 ਨੂੰ ਛੱਡ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ
∴ x = 12
∴ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦਾ ਆਧਾਰ = 12 cm
ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੀ ਉੱਚਾਈ (ਲੰਬ) = (12 – 7) cm
= 5 cm

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 6.
ਇਕ ਘਰੇਲੂ ਉਦਯੋਗ ਇੱਕ ਦਿਨ ਵਿਚ ਕੁਝ ਬਰਤਨ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ । ਇੱਕ ਦਿਨ ਇਹ ਵੇਖਿਆ ਗਿਆ ਕਿ ਹਰੇਕ | ਨਗ ਦੀ ਨਿਰਮਾਣ ਲਾਗਤ (ਰੁਪਇਆਂ ਵਿਚ) ਉਸ ਦਿਨ | ਬਣਾਏ ਗਏ ਬਰਤਨਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਦੁੱਗਣੇ ਤੋਂ 3 ਵੱਧ ਸੀ । ਜੇਕਰ ਉਸ ਦਿਨ ਦੀ ਕੁੱਲ ਨਿਰਮਾਣ ਲਾਗਤ ₹ 90 ਸੀ | ਤਾਂ ਉਸ ਦਿਨ ਬਣਾਏ ਗਏ ਬਰਤਨਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਨਗ ਨੂੰ ਬਣਾਉਣ ਦੀ ਲਾਗਤ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਓ ਇਕ ਦਿਨ ਵਿਚ ਬਣਾਏ ਗਏ ਬਰਤਨਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ = x
ਹਰੇਕ ਨਗ ਬਣਾਉਣ ਦੀ ਲਾਗਤ = ₹ (2x + 3)
∴ ਇਕ ਦਿਨ ਤੇ ਕੁਲ ਨਿਰਮਾਣ ਲਾਗਤ
= ₹ [x (2x + 3)]
= ₹ (2x² + 3x)
ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਅਨੁਸਾਰ,
2x² + 3x = 90
| S = 3,
P = 2 × -90
= – 180
2x² + 3x – 90 = 0
ਜਾਂ 2x² – 12x + 15x – 90 = 0
ਜਾਂ 2x (x – 6) + 15 (x – 6) = 0
ਜਾਂ (x – 6) (2x + 15) = 0
ਭਾਵ x – 6 = 0 ਜਾਂ 2x + 15 = 0
x = 6 ਜਾਂ x = \(\frac{-15}{2}\)
∵ ਨਗਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਰਿਣਾਤਮਕ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦੀ ।.
∴ ਅਸੀਂ x = \(\frac{-15}{2}\) ਨੂੰ ਛੱਡ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ ।
∴ x = 6
∴ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਦਿਨ ਨਗਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ = 6
ਹਰੇਕ ਨਗ ਦੀ ਲਾਗਤ = ₹(2 × 6 + 3)
= ₹15

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 4 ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ Ex 4.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 4 ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ Exercise 4.1

1. ਜਾਂਚ ਕਰੋ ਕਿ ਦਿੱਤੀਆਂ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦੇ ਘਾਤੀ ਹਨ ਜਾਂ ਨਹੀਂ :

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (i).
(x + 1)² = 2 (x – 3)
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ ਕਿ
(x + 1)² = 2 (x – 3)
ਜਾਂ x² + 1 + 2x = 2x – 6
ਜਾਂ x² + 1 + 2x – 2x + 6 = 0
ਜਾਂ x² + 7 = 0
x² + 0x + 7 = 0
ਜੋ ਕਿ x² + bx + 0 = 0; (a ≠ 0) ਦੇ ਰੂਪ ਦਾ ਸਮੀਕਰਣ ਹੈ
∴ ਇਹ ਇੱਕ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ii).
x² – 2x = (-2) (3 – x)
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ ਕਿ
x² – 2x = (-2) (3 – x)
x² – 2x = – 6 + 2x
ਜਾਂ x² – 2x + 6 – 2x = 0
ਜਾਂ x² – 4x + 6 = 0
ਜੋ ਕਿ ax² + bx + 0 = 0; a ≠ 0 ਦੇ ਰੂਪ ਦਾ ਹੈ |
∴ ਇਹ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iii).
(x – 2) (x + 1) = (x – 1) (x + 3)
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ ਕਿ
(x – 2) (x + 1) = (x – 1) (x + 3)
ਜਾਂ x² + x – 2x – 2 = x² + 3x – x – 3
ਜਾਂ x² – x – 2 = x² + 2x – 3
ਜਾਂ x² – x – 2 – x² – 2x + 3 =0
– 3x + 1 = 0,
ਜਿਸ ਵਿਚ x² ਦਾ ਕੋਈ ਪਦ ਨਹੀਂ ਹੈ
∴ ਇਹ ਇੱਕ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਨਹੀਂ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iv).
(x – 3) (2x + 1) = x(x + 5)
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ ਕਿ
(x – 3) (2x + 1) = x (x + 5)
ਜਾਂ 2x² + x – 6x – 3 = x² + 5x
ਜਾਂ 2x² – 5x – 3 – x² – 5 = 0
ਜਾਂ x² – 10x – 3 = 0
ਜੋ ਕਿ ax² + bx + c = 0; (a ≠ 0) ਦੇ ਰੂਪ ਦਾ ਹੈ ।
∴ ਇਹ ਇੱਕ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (v).
(2x – 1) (x – 3) = (x + 5) (x – 1)
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ ਕਿ
(2x – 1) (x – 3) = (x + 5) (x – 1)
ਜਾਂ 2x² – 6x – x + 3 = x² – x + 5x – 5
ਜਾਂ 2x² – 7x + 3 = x² + 4x + 5 = 0
x² – 11x + 8 = 0
ਜੋ ਕਿ ax² + bx + x = 0, a ≠ 0 ਦੇ ਰੂਪ ਦਾ ਹੈ।
∴ ਇਹ ਇੱਕ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (vi).
x² + 3x + 1 = (x – 2)²
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ ਕਿ
x² + 3x + 1 = (x – 2)²
ਜਾਂ x² + 3x + 1 = x² + 4 – 4x
ਜਾਂ x² + 3x + 1 – x² – 4 + 4x = 0
ਜਾਂ 7x – 3 = 0
ਜਿਸ ਵਿੱਚ x² ਦਾ ਪਦ ਨਹੀਂ ਹੈ।
∴ ਇਹ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਨਹੀਂ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (vii).
(x + 2)² = 2x(x² – 1)
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ ਕਿ (x + 2)³ = 2x (x² – 1)
ਜਾਂ x³ + (2)³ + 3(x)²2 + 3x (2)²
= 2x³ – 2x
ਜਾਂ x³ + 8 + 6x² + 12x = 23x³ – 2x
ਜਾਂ x³ + 8 + 6x² + 12x – 2x³ + 2x = 0
ਜਾਂ – x³ + 6x² + 14x – 8 = 0
ਇੱਥੇ x ਦੀ ਉੱਚਤਮ ਘਾਤ 3 ਹੈ ।
ਇਹ ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਹੈ
∴ ਇਹ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਨਹੀਂ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (viii).
x³ – 4x² – x + 1 = (x – 2)³
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ।
x³ – 4x² – x + 1 = (x – 2)³
ਜਾਂ x³ – 4x² – x + 1 = x³ – (2)³ + 3 (x)² (-2) + 3 (x) (- 2)²
ਜਾਂ x³ – 4x² – x + 1 = x³ – 8 – 6x² + 12x
ਜਾਂ x³ – 4x² – x + 1 – x³ + 8 + 6x² – 12x = 0
ਜਾਂ 2x² – 13x + 9 = 0.
ਜੋ ਕਿ ax² + bx + c = 0; (a ≠ 0) ਦੇ ਰੂਪ ਦਾ ਹੈ।
∴ ਇਹ ਇੱਕ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਹੈ ।

2. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਸਥਿਤੀਆਂ ਨੂੰ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿਚ ਬਦਲੋ :

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (i).
ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਪਲਾਟ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ 528 m² ਹੈ । ਪਲਾਟ ਦੀ ਲੰਬਾਈ (ਮੀਟਰਾਂ ਵਿੱਚ) ਚੌੜਾਈ ਦੇ ਦੁੱਗਣੇ ਤੋਂ ਇੱਕ ਵੱਧ ਹੈ । ਅਸੀਂ ਪਲਾਟ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਅਤੇ ਚੌੜਾਈ ਪਤਾ ਕਰਨੀ ਹੈ ।
ਉੱਤਰ:
ਮੰਨ ਲਓ ਆਇਤਾਕਾਰ ਪਲਾਟ ਦੀ ਚੌੜਾਈ = x m
ਆਇਤਾਕਾਰ ਪਲਾਟ ਦੀ ਲੰਬਾਈ = (2x + 1) m
∴ ਆਇਤਾਕਾਰ ਪਲਾਟ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= [x (2 + 1)] m²
= (2x² + x) m²
ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਅਨੁਸਾਰ 2x² + x = 528
|S = 1
P = – 528 × 2
= – 1056
ਜਾਂ 2x² + x – 528 = 0
2x² – 32x + 33x – 528 = 0
2x (x – 16) + 33 (x – 16) = 0
(x – 16) (2x + 33) = 0
ਭਾਵ x – 16 = 0 ਜਾਂ 2x + 33 = 0
x = 16 ਜਾਂ x = \(\frac{-33}{2}\)
∴ ਕਿਸੇ ਆਇਤ ਦੀ ਚੌੜਾਈ ਰਿਣਾਤਮਕ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦੀ ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ \(\frac{-33}{2}\) ਨੂੰ ਛੱਡ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ
∴ x = 16
ਪਲਾਟ ਦੀ ਚੌੜਾਈ = 16 m
ਲੰਬਾਈ = (2 × 16 + 1) = 33 m
ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਦਾ ਰੂਪ ਹੈ।
2x² + x – 528 = 0

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ii).
ਦੋ ਲਗਾਤਾਰ ਧਨਾਤਮਕ ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ 306 ਹੈ | ਅਸੀਂ ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਪਤਾ ਕਰਨੀਆਂ ਹਨ ।
ਉੱਤਰ:
ਮੰਨ ਲਓ x ਅਤੇ x + 1 ਦੋ ਲਗਾਤਾਰ ਧਨਾਤਮਕ ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ
ਸੰਪੁਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ = x (x + 1)
= x² + x
ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਅਨੁਸਾਰ
x² + x = 306
ਜਾਂ x² + x – 306 = 0
| S = 1,
| P = – 306
x² + 18 – 17x – 306 = 0
x(x + 18) – 17 (x + 18) = 0
(x + 18) (x – 17) = 0
x = – 18 ਜਾਂ x = 17
∵ ਅਸੀਂ ਧਨਾਤਮਕ ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਪਤਾ ਕਰਨੀਆਂ ਹਨ ।
∴ ਅਸੀਂ x = -18 ਨੂੰ ਛੱਡ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ ।
∴ x = 17
ਦੋ ਲਗਾਤਾਰ ਧਨਾਤਮਕ ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ
17, 17 + 1 = 18
ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਦਾ ਰੂਪ ਹੈ
x² + x – 306 = 0

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iii).
ਰੋਹਨ ਦੀ ਮਾਂ ਉਸ ਨਾਲੋਂ 26 ਸਾਲ ਵੱਡੀ ਹੈਂ । ਹੁਣ ਤੋਂ ਤਿੰਨ ਸਾਲ ਬਾਅਦ ਉਨਾਂ ਦੀਆਂ ਉਮਰਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ 360 ਹੋ ਜਾਵੇਗਾ ਅਸੀਂ ਰੋਹਨ ਦੀ ਵਰਤਮਾਨ ਉਮਰ ਪਤਾ ਕਰਨੀ ਹੈ ।
ਉੱਤਰ:
ਮੰਨ ਲਓ ਰੋਹਨ ਦੀ ਵਰਤਮਾਨ ਉਮਰ = x ਸਾਲ
ਰੋਹਨ ਦੀ ਮਾਂ ਦੀ ਉਮਰ = (x + 26) ਸਾਲ
3 ਸਾਲ ਬਾਅਦ
ਰੋਹਨ ਦੀ ਉਮਰ = (x + 3) ਸਾਲ
ਰੋਹਨ ਦੀ ਮਾਂ ਦੀ ਉਮਰ = (x + 26 + 3) ਸਾਲ
= (x + 29) ਸਾਲ
∴ ਉਹਨਾਂ ਦੀਆਂ ਉਮਰਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ
= (x + 3) (x + 29)
= x² + 29x + 3x + 87
= x² + 32x + 87
ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਅਨੁਸਾਰ
x² + 32x + 87 = 360
x² + 32x + 87 – 360 = 0
x² + 32x – 273 = 0
|S = 32,
|P = – 273
x² + 39x – 7x – 273 = 0
x(x + 39) – 7(x + 39) = 0
(x + 39) (x – 7) = 0
ਭਾਵ x + 39 = 0 ਜਾਂ x – 7 = 0
x = – 39 ਜਾਂ x = 7
∵ ਕਿਸੇ ਆਦਮੀ ਦੀ ਉਮਰ ਰਿਣਾਤਮਕ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦੀ ਅਸੀਂ x = – 39 ਨੂੰ ਛੱਡ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ
∴ x = 7
ਰੋਹਨ ਦੀ ਵਰਤਮਾਨ ਉਮਰ = 7 ਸਾਲ
ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਦਾ ਰੂਪ ਹੈ :
x² + 32x – 273 = 0

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iv).
ਇਕ ਰੇਲਗੱਡੀ 480 km ਦੀ ਦੂਰੀ ਇੱਕ ਸਮਾਨ ਚਾਲ ਨਾਲ ਤੈਅ ਕਰਦੀ ਹੈ । ਜੇਕਰ ਇਸਦੀ ਚਾਲ 8 km/h ਘੱਟ ਹੁੰਦੀ ਤਾਂ ਉਹ ਉਸ ਦੂਰੀ ਨੂੰ ਤੈਅ ਕਰਨ ਲਈ 3 ਘੰਟੇ ਵੱਧ ਸਮਾਂ ਲੈਂਦੀ | ਅਸੀਂ ਰੇਲਗੱਡੀ ਦੀ ਚਾਲ ਪਤਾ ਕਰਨੀ ਹੈ ।
ਉੱਤਰ:
ਮੰਨ ਲਓ ਰੇਲਗੱਡੀ ਦੁਆਰਾ ਲਿਆ ਗਿਆ ਸਮਾਂ = x ਘੰਟੇ
ਰੇਲਗੱਡੀ ਦੁਆਰਾ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਦੂਰੀ = 480 km

ਰੇਲਗੱਡੀ ਦੁਆਰਾ ਲਿਆ ਗਿਆ ਨਵਾਂ ਸਮਾਂ = (x + 3) ਘੰਟੇ
ਦੁਰੀ = 480 km
ਸੂਤਰ ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਕੇ

ਜਾਂ -8x² + 456x + 1440 – 480x = 0
-8x² – 24x + 1440 = 0
-8[x² + 3x – 180] = 0
x² + 3x – 180 = 0
x² + 15x – 12x – 180 = 0
x(x + 15) – 12(x + 15) = 0
(x + 15) (x – 12) = 0
ਭਾਵ x + 15 = 0 ਜਾਂ x – 12 = 0
x = – 15 ਜਾਂ x = 12
∵ ਸਮਾਂ ਰਿਣਾਤਮਕ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਅਸੀਂ x = – 15 ਨੂੰ ਛੱਡ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ
∴ x = 12
ਹੁਣ ਰੇਲਗੱਡੀ ਦੁਆਰਾ ਲਿਆ ਸਮਾਂ = 12 ਘੰਟੇ
ਰੇਲਗੱਡੀ ਦੁਆਰਾ ਤੈਅ ਦੂਰੀ = 480 km/h
ਰੇਲਗੱਡੀ ਦੀ ਚਾਲ = \(\left(\frac{480}{12}\right)\)km/h
= 40 km/h
∴ ਰੇਲਗੱਡੀ ਦੀ ਚਾਲ = 40 km/h
ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਦਾ ਰੂਪ ਹੈ
x² + 3x – 180 = 0

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 3 ਦੋ ਚਲਾਂ ਵਿੱਚ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜੇ Ex 3.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 ਦੋ ਚਲਾਂ ਵਿੱਚ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜੇ Exercise 3.2

1. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜੇ ਬਣਾਉ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫੀ (ਆਲੇਖੀ) ਵਿਧੀ ਨਾਲ ਹੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (i).
ਜਮਾਤ X ਦੇ 10 ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਨੇ ਗਣਿਤ ਦੀ ਇੱਕ ਬੁਝਾਰਤ ਮੁਕਾਬਲੇ ਵਿਚ ਭਾਗ ਲਿਆ । ਜੇਕਰ ਲੜਕੀਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ, ਲੜਕਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਤੋਂ 4 ਵੱਧ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਮੁਕਾਬਲੇ ਵਿਚ ਭਾਗ ਲੈਣ ਵਾਲੇ ਲੜਕੇ ਅਤੇ ਲੜਕੀਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਉੱਤਰ:
ਮੰਨ ਲਉ – ਮੁਕਾਬਲੇ ਵਿਚ ਲੜਕਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ = x
ਅਤੇ ਮੁਕਾਬਲੇ ਵਿਚ ਲੜਕੀਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ = y
ਮੁਕਾਬਲੇ ਵਿੱਚ ਭਾਗ ਲੈਣ ਵਾਲੇ ਕੁੱਲ ਵਿਦਿਆਰਥੀ = 10
∴ x + y = 10
ਜਾਂ x + y – 10 = 0
ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਅਨੁਸਾਰ
y = x + 4
ਜਾਂ x = y – 4
ਹੁਣ, ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ,
x + y = 10
ਅਤੇ x – y + 4 = 0 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਖਿੱਚੋ ।
x + y = 10
ਜਾਂ x = 10 – y …..(1)
y = 0 ਨੂੰ (1) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
x = 10 – 0 = 10
y = 7 ਨੂੰ (1) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
x = 10 – 7 = 3
y = 10 ਨੂੰ (1) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
x = 10 – 10 = 0 .
ਸਾਰਣੀ

ਬਿੰਦੂਆਂ A (10, 0), B (3, 7), C (0, 10) ਨੂੰ ਆਖਿਤ ਕਰਨ ‘ਤੇ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਮਿਲਾਉਂਦੇ ਹੋਏ ਰੇਖਾ ਖਿੱਚਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਸਮੀਕਰਣ x + y = 10 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
x – y + 4 = 0
ਜਾਂ x = y – 4 ….(2)
y = 0 ਨੂੰ (2) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :
x = 0 – 4 = -4
y = 7 ਨੂੰ (2) ਵਿਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ ।
x = 7 – 4 = 3
y = 4 ਨੂੰ (2) ਵਿਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ ।
x = 4 – 4 = 0
ਸਾਰਣੀ

ਬਿੰਦੁਆਂ D (-4, 0), B (3, 7), E (0, 4) ਨੂੰ ਆਲੇਖਿਤ ਕਰਨ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਮਿਲਾਉਂਦੇ ਹੋਏ ਰੇਖਾ ਖਿੱਚਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਸਮੀਕਰਣ x – y + 4 = 0 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਆਲੇਖ) ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।

ਆਲੇਖ ਤੋਂ ਇਹ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੈ ਕਿ ਦੋਵੇਂ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ | ਬਿੰਦੂ B (3, 7) ਉੱਤੇ ਮਿਲਦੀਆਂ ਹਨ ।
∴ ਬਿੰਦੂ B (3, 7) ਆਲੇਖੀ ਸਥਿਤੀ ਹੈ ।
ਮੁਕਾਬਲੇ ਵਿਚ ਲੜਕਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ = 3
ਮੁਕਾਬਲੇ ਵਿਚ ਲੜਕੀਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ = 7

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ii).
5 ਪੈਨਸਿਲਾਂ ਅਤੇ 7 ਕਲਮਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ₹ 50 ਹੈ, ਜਦ ਕਿ 7 ਪੈਨਸਿਲਾਂ ਅਤੇ 5 ਕਲਮਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ₹ 46 ਹੈ । ਇਕ ਪੈਨਸਿਲ ਅਤੇ ਇਕ ਕਲਮ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਉੱਤਰ:
ਮੰਨ ਲਉ 1 ਪੈਨਸਿਲ ਦਾ ਮੁੱਲ = ₹ 2
ਅਤੇ 1 ਕਲਮ ਦਾ ਮੁੱਲ = ₹ y
ਪਹਿਲੀ ਸ਼ਰਤ ਅਨੁਸਾਰ
5x + 7y = 50
ਦੂਸਰੀ ਸ਼ਰਤ ਅਨੁਸਾਰ
7x + 5y = 46
∴ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣ ਜੋੜਾ ਹੈ :
5x + 7y = 50
7x + 5y = 46
ਹੁਣ, ਇਨ੍ਹਾਂ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਆਲੇਖ ਖਿੱਚੋ !
5x + 7y = 50
ਜਾਂ 5x = 50 – 7y
ਜਾਂ x = \(\frac{50-7 y}{5}\) …(1)
y = 0 ਨੂੰ (1) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ :

ਬਿੰਦੁਆਂ A (10, 0), B (3, 5), C (0.2, 7) ਨੂੰ । ਆਲੇਖਿਤ ਕਰਨ ਅਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਮਿਲਾਉਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਸਮੀਕਰਣ 5x + 7y =50 ਦਾ ਆਲੇਖ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
7x + 5y = 46
ਨੂੰ 7x = 46 – 5y

ਬਿੰਦੂਆਂ E (6.5, 0), B (3, 5), F (9.5, – 4) ਨੂੰ ਆਲੇਖਿਤ ਕਰਨ ਅਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਮਿਲਾਉਂਦੇ ਹੋਏ ਰੇਖਾ ਖਿੱਚਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਸਮੀਕਰਣ 7x + 5y = 46 ਦਾ ਆਲੇਖ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
ਆਲੇਖ ਤੋਂ ਇਹ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੈ ਕਿ ਦੋਵੇਂ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣ ਬਿੰਦੂ B (3, 5) ਤੇ ਮਿਲਦੇ ਹਨ ।
∴ ਬਿੰਦੂ B (3, 5) ਆਲੇਖੀ ਸਥਿਤੀ ਹੈ ।
ਇਕ ਪੈਨਸਿਲ ਦਾ ਮੁੱਲ = ₹ 3
ਇਕ ਕਲਮ ਦਾ ਮੁੱਲ = ₹ 5

2. ਅਨੁਪਾਤਾਂ \(\frac{a_{1}}{a_{2}}\), \(\frac{b_{1}}{b_{2}}\) ਅਤੇ \(\frac{c_{1}}{c_{2}}\) ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰਕੇ ਪਤਾ ਕਰੋ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਸਮੀਕਰਣ ਜੋੜਿਆਂ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਉਂਦੀਆਂ ਰੇਖਾਵਾਂ, ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ’ਤੇ ਕੱਟਦੀਆਂ ਹਨ, ਸਮਾਂਤਰ ਹਨ ਜਾਂ ਸੰਪਾਤੀ ਹਨ :

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (i).
5x – 4y + 8 = 0
7x + 6y – 9 = 4
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਹੈ :
5x – 4y + 8 = 0
ਅਤੇ 7x + 6y – 9 = 0
ਇੱਥੇ a₁ = 5, b₁ = – 4, c₁ = 8
a₂ = 7, b₂ = 6, c₂ = – 9

∴ \(\frac{a_{1}}{a_{2}}\) ≠ \(\frac{b_{1}}{b_{2}}\) ≠ \(\frac{c_{1}}{c_{2}}\)
ਇਸ ਲਈ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਉੱਤੇ ਕੱਟਦਾ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ii).
9x + 3y + 12 = 0
18x + 6y + 24 = 0
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਹੈ :
9x + 3y + 12 = 0
ਅਤੇ 18x + 6y + 24 = 0
ਇੱਥੇ a₁ = 9, b₁ = 3, c₁ = 12
a₂ = 18, b₂ = 6, c₂ = 24

ਇਸ ਲਈ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਸੰਪਾਤੀ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iii).
6x – 3y + 10 = 0
2x – y + 9 = 0
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਹੈ :
6x – 3y + 10 = 0,
ਅਤੇ 2x – y + 9 = 0
ਇੱਥੇ a₁ = 6, b₁ = -3, c₁ = 10
a₂ = 2, b₂ = -1, c₂ = 9

ਇਸ ਲਈ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ । ਇੱਕ-ਦੂਜੇ ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਹੈ ।

3. ਅਨੁਪਾਤਾਂ \(\frac{a_{1}}{a_{2}}\), \(\frac{b_{1}}{b_{2}}\) ਅਤੇ \(\frac{c_{1}}{c_{2}}\) ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰਕੇ ਪਤਾ ਕਰੋ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜੇ ਸੰਗਤ ਹਨ ਜਾਂ ਅਸੰਗਤ :

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (i).
3x + 2y = 5; 2x – 3y = 7
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਹੈ :
3x + 2y = 5
ਅਤੇ 2x – 3y = 7
ਜਾਂ 3x + 2y – 5 = 0
ਅਤੇ 2x – 3y – 7 = 0
ਇੱਥੇ a₁ = 3, b₁ = 2, c₁ = – 5
a₂ = 2, b₂ = – 3, c₂ = – 7

ਇਸ ਲਈ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਸੰਗਤ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ii).
2x – 3y = 8; 4x – 6y = 9
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਹੈ :
2x – 3y = 8
ਅਤੇ 4x – 6y = 9
ਜਾਂ 2x – 3y – 8 = 0
4x – 6y – 9 = 0
ਇੱਥੇ a₁ = 2, b₁ = – 3, c₁ = – 8
a₂ = 4, b₂ = – 6, c₂ = -9

ਇਸ ਲਈ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਅਸੰਗਤ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iii).
\(\frac{3}{2}\)x + \(\frac{5}{3}\)y = 7; 9x – 10y = 14
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਹੈ :
\(\frac{3}{2}\)x + \(\frac{5}{3}\)y = 7
ਅਤੇ 9x – 10y = 14
ਜਾਂ \(\frac{3}{2}\)x + \(\frac{5}{3}\)y – 7 = 0
ਅਤੇ 9x – 10y – 14 = 0
ਇੱਥੇ a₁ = \(\frac{3}{2}\), b₁ = \(\frac{5}{3}\), c₁ = -7
a₂ = 9, b₂ = – 10, c₂ = – 14

ਇਸ ਲਈ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਸੰਗਤ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iv).
5x – 3y = 11; -10x + 6y = – 22
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਹੈ :
5x – 3y = 11
ਅਤੇ -10x + 6y = – 22
ਜਾਂ 5x – 3y – 11 = 0
ਅਤੇ -10x + 6y + 22 = 0
ਇੱਥੇ a₁ = 5, b₁ = -3, c₁ = – 11
a₂ = – 10, b₂ = 6, c₂ = 22

ਇਸ ਲਈ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਸੰਗਤ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (v).
\(\frac{4}{3}\)x + 2y = 8; 2x + 3y = 12
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਹੈ :
\(\frac{4}{3}\)x + 2y = 8 ਅਤੇ 2x + 3y = 12
ਅਤੇ \(\frac{4}{3}\)x + 2y – 8 = 0
ਜਾਂ 2x + 3y – 12 = 0
ਇੱਥੇ a₁ = \(\frac{4}{3}\), b₁ = 2, c₁ = -12 .
a₂ = 2, b₂ = 3, c₂ = – 12

ਇਸ ਲਈ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਸੰਗਤ ਹੈ ।

4. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜਿਆਂ ਵਿੱਚ ਕਿਹੜਾ ਜੋੜਾ ਸੰਗਤ ਹੈ ਅਤੇ ਕਿਹੜਾ ਅਸੰਗਤ ਜੇਕਰ ਜੋੜਾ ਸੰਗਤ ਹੈ ਤਾਂ ਆਲੇਖੀ (ਫੀ) ਵਿਧੀ ਨਾਲ ਹੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ :

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (i).
x + y = 5, 2x + 2y = 10
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਹੈ :
x + y = 5
ਅਤੇ 2x + 2y = 10
ਜਾਂ x + y – 5 = 0
2x + 2y – 10 = 0
ਇੱਥੇ a₁ = 1, b₁ = 1, c₁ = -5
a₂ = 2, b₂ = 2, c₂ = – 10

∴ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜੇ ਦਾ ਆਲੇਖ | ਖਿੱਚੋ
x + y = 5
x = 5 – y …..(1)
y = 0 ਨੂੰ (1) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
x = 5 – 0 = 5
y = 3 ਨੂੰ (1) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
x = 5 – 3 = 2
y = 5 ਨੂੰ (1) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
x = 5 – 5 = 0
ਸਾਰਣੀ

ਬਿੰਦੂਆਂ A (5, 0), B (2, 3), C (0, 5) ਨੂੰ ਆਲੇਖਿਤ ਕਰਨ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਮਿਲਾਉਣ ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਸਮੀਕਰਣ x + y = 5 ਦਾ ਆਲੇਖ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
2x + 2y = 10 ਜਾਂ 2 (x + y) = 10
ਜਾਂ x + y = 5
ਜਾਂ x = 5 – …(2)
y = 0 ਨੂੰ (1) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
x = 5 – 0 = 5
y = 2 ਨੂੰ (2) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
x = 5 – 2 = 3

ਬਿੰਦੂਆਂ A (5, 0), D (3, 2), C (0, 5) ਨੂੰ ਆਲੇਖਿਤ ਕਰਨ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਮਿਲਾਉਣ ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਸਮੀਕਰਣ 2x + 2y = 10 ਦਾ ਆਲੇਖ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
ਆਲੇਖ ਤੋਂ ਇਹ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੈ ਕਿ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਸੰਪਾਤੀ, ਅਤੇ ਇਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਅਨੇਕ ਹੱਲ ਹਨ !

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ii).
x – y = 8, 3x – 3y = 16
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਹੈ :
x – y = 8
ਅਤੇ 3x – 3y = 16
ਜਾਂ x – y – 8 = 0
ਅਤੇ 3x – 3y – 16 = 0
ਇੱਥੇ a₁ =1, b₁ = -1 , c₁ = – 8
a₂ = 3, b₂ = – 3, c₂ = – 16
y = 5 ਨੂੰ (2) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
x = 5 – 5 = 0
ਸਾਰਣੀ


ਇਸ ਲਈ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਰੇਖੀ ਮੀਕਣਾਂ ਦਾ ਹੋ ਅਸੰਗਤ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iii).
2x + y – 6 = 0, 4x – 2y – 4 = 0
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਹੈ :
2x + y – 6 = 0
ਅਤੇ 4x – 2y – 4 = 0
ਇੱਥੇ a₁ = 2, b₁ = 1, c₁ = 6
a₂ = 4, b₂ = -2, c₂ = -4

∴ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜੇ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਖਿੱਚੋ :
2x + y – 6 = 0
ਜਾਂ 2x = 6 – y
ਜਾਂ y = \(\frac{6-y}{2}\) ….(1)
y = 0 ਨੂੰ (1) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
x = \(\frac{6-0}{2}\) = \(\frac{6}{2}\) = 3
y = 2 ਨੂੰ (1), ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
x = \(\frac{6-2}{2}\)
= \(\frac{4}{2}\) = 2
y = -2 ਨੂੰ (1) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
x = \(\frac{6-(-2)}{2}\) = \(\frac{6+2}{2}\)
= \(\frac{8}{2}\) = 4
ਸਾਰਣੀ

ਬਿੰਦੂਆਂ A (3, 0), B (2, 2), C (4, – 2) ਨੂੰ ਆਖਿਤ ਕਰਨ ‘ਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਮਿਲਾਉਂਦੇ ਹੋਏ ਰੇਖਾ ਖਿਚਣ ‘ਤੇ ਸਮੀਕਰਣ 2x +y – 6 = 0 ਦਾ ਆਲੇਖ ਮਿਲਦਾ ਹੈ ।
4x – 2y – 4 = 0
ਜਾਂ 2[2x – y – 2] = 0
ਜਾਂ 2x – y – 2 = 0
ਜਾਂ 2x = y + 2
ਜਾਂ x = \(\frac{y+2}{2}\) …(2)
y = 0 ਨੂੰ (2) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
x = \(\frac{0+2}{2}\) = \(\frac{2}{2}\) = 1
y = 2 ਨੂੰ (2) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
x = \(\frac{2+2}{2}\) = \(\frac{4}{2}\) = 2
y = -2 ਨੂੰ (2) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸ਼ਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
x = \(\frac{-2+2}{2}\)
= \(\frac{0}{2}\) = 0
ਸਾਰਣੀ

ਬਿੰਦੂਆਂ D (1, 0), B (2, 2), E (0, -2) ਨੂੰ ਆਲੇਖਿਤ ਕਰਨ ‘ਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਮਿਲਾਉਂਦੇ ਹੋਏ ਰੇਖਾ ਖਿਚਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਸਮੀਕਰਣ 4x – 2y -4 = 0 ਦਾ ਆਲੇਖ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
ਆਲੇਖ ਤੋਂ ਇਹ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੈ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਬਿੰਦੂ B (2, 2) ਉੱਤੇ ਮਿਲਦਾ ਹੈ ।
∴ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਵਿਲੱਖਣ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iv).
2x – 2y – 2 = 0, 4x – 4y – 5 = 0
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਹੈ :
2x – 2y – 2 = 0
ਅਤੇ 4x – 4y – 5 = 0
ਇੱਥੇ a₁ = 2, b₁ = – 2, c₁ = – 2
a₂ = 4, b₂ = – 4, c₂ = – 5

ਇਸ ਲਈ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਅਸੰਗਤ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 5.
ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਬਾਗ, ਜਿਸਦੀ ਲੰਬਾਈ, ਚੌੜਾਈ ਤੋਂ 4 ਮੀ. ਵੱਧ ਹੈ, ਦਾ ਅਰਧ ਪਰਿਮਾਪ 36 ਮੀ. ਹੈ । ਬਾਗ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਅਤੇ ਚੌੜਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ :
ਮੰਨ ਲਓ ਬਾਗ ਦੀ ਲੰਬਾਈ = x ਮੀ.
ਬਾਗ ਦੀ ਚੌੜਾਈ = y ਮੀ.
ਬਾਗ ਦਾ ਪਰਿਮਾਪ = 2 [x + y] ਮੀ.
ਬਾਗ ਦਾ ਅਰਧ ਪਰਿਮਾਪ = (x + y) ਮੀ
ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਦੀ ਪਹਿਲੀ ਸ਼ਰਤ ਅਨੁਸਾਰ
x = y + 4
ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਦੀ ਦੂਸਰੀ ਸ਼ਰਤ ਅਨੁਸਾਰ
x + y = 36
∴ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਹੈ :
x = y + 4
ਅਤੇ x + y = 36
x = y + 4 …(1)
y = 0 ਨੂੰ (1) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
x = 0 + 4 = 4
y = -4 ਨੂੰ (1) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
x = – 4 + 4 = 0
y = 16 ਨੂੰ (1) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
x = 16 + 4 = 20
ਸਾਰਣੀ

ਬਿੰਦੁਆਂ A (4, 0), B (0, – 4), C (20, 16) ਨੂੰ ਆਲੇਖਿਤ ਕਰਨ ਤੇ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਮਿਲਾਉਂਦੇ ਹੋਏ ਰੇਖਾ ਖਿੱਚਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਸਮੀਕਰਣ x = y + 4 ਦਾ ਆਲੇਖ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
x + y = 36
x = 36 – y …..(2)
y = 12 ਨੂੰ (2) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
x = 36 – 12 = 24

ਆਲੇਖ ਤੋਂ ਇਹ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੈ ਕਿ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਬਿੰਦੂ C (20, 16) ਤੇ ਮਿਲਦਾ ਹੈ ।
∴ C (20, 16) ਭਾਵ x = 20 ਅਤੇ y = 16 ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜੇ ਦਾ ਹੱਲ ਹੈ ।
∴ ਬਾਗ ਦੀ ਲੰਬਾਈ = 20 ਮੀ.
ਬਾਗ ਦੀ ਚੌੜਾਈ = 16 ਮੀ. ||
y = 24 ਨੂੰ (2) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
x = 36 – 24 = 12
y = 16 ਨੂੰ (2) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
x = 36 – 16 = 20
ਸਾਰਣੀ

ਬਿੰਦੂਆਂ D (24, 12), E ( 12, 24), C (20, 16) ਨੂੰ ਆਲੇਖਿਤ ਕਰਨ ‘ਤੇ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਮਿਲਾਉਂਦੇ ਹੋਏ ਰੇਖਾ ਖਿੱਚਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਸਮੀਕਰਣ x + y = 36 ਦਾ ਆਲੇਖ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
ਇੱਕ ਹੋਰ ਵਿੱਧੀ
ਮੰਨ ਲਉ ਬਾਗ ਦੀ ਚੌੜਾਈ = x ਮੀ.
ਬਾਗ ਦੀ ਲੰਬਾਈ = (x + 4) ਮੀ.
ਬਾਗ ਦਾ ਪਰਿਮਾਪ = 2 ਲੰ: + ਚੌ:]
= 2 [x + x + 4] ਮੀ.
= 2 [2x + 4] ਮੀ.
∴ ਬਾਗ ਦਾ ਅਰਧ ਪਰਿਮਾਪੁ = (2x + 4)
ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਅਨੁਸਾਰ
2x + 4 = 36
ਜਾਂ 2x = 36 – 4
ਜਾਂ 2x = 32
ਜਾਂ x = \(\frac{32}{2}\) = 16
∴ ਬਾਗ ਦੀ ਚੌੜਾਈ = 16 ਮੀ.
ਬਾਗ ਦੀ ਲੰਬਾਈ = (16 + 4) ਮੀ.
= 20 ਮੀ.

6. ਇਕ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣ 2x + 3y – 8 = 9 ਦਿੱਤੀ ਗਈ । ਹੈ । ਦੋ ਚਲਾਂ ਵਿੱਚ ਇਕ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੀ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣ ਲਿਖੋ ਤਾਂ ਕਿ ਪ੍ਰਾਪਤ ਜੋੜੇ ਦਾ ਜਿਮਾਇਤੀ ਰੂਪ

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (i).
ਕੱਟਦੀਆਂ ਰੇਖਾਵਾਂ ਹੋਣ ।
ਉੱਤਰ:
ਸਥਿਤੀ (i) ਕੱਟਦੀਆਂ ਰੇਖਾਵਾਂ
ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣ ਹੈ :
2x + 3y – 8 = 0 ….(1)
ਇੱਥੇ ਕਾਟਵੀਂ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੀ ਸ਼ਰਤਾਂ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਨ ਲਈ ਅਨੇਕ ਮੁੱਲ ਹਨ ।
ਭਾਵ \(\frac{a_{1}}{a_{2}}\) ≠ \(\frac{b_{1}}{b_{2}}\) ≠ \(\frac{c_{1}}{c_{2}}\)
ਇਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਹੈ ।
3x – 2y – 6 = 0 ….(2)
ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ( 1 ) ਅਤੇ (2) ਦਾ ਆਲੇਖ ਖਿੱਚੋ ।
2x + 3y – 8 = 0
ਜਾਂ 2x = 8 – 3y
ਜਾਂ x = \(\frac{8-3y}{2}\) …… (3)
y = 0 ਨੂੰ (3) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
x = \(\frac{8-30}{2}\) = \(\frac{8}{2}\) = 4
y = – 2 ਨੂੰ (3) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
x = \(\frac{8-3(-2)}{2}\) = \(\frac{14}{2}\) = 7
y = 2 ਨੂੰ (3) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
x = \(\frac{8-3×2}{2}\) = \(\frac{8-6}{2}\) = \(\frac{2}{2}\) = 1
ਸਾਰਣੀ

ਬਿੰਦੁਆਂ A (4, 0), B (7, – 2), C (1, 2) ਨੂੰ ਆਲੇਖਿਤ ਕਰਨ ‘ਤੇ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਮਿਲਾਉਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਰੇਖਾ ਸਮੀਕਰਣ 2x + 3y – 8 = 9 ਦਾ ਆਲੇਖ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
3x – 2y – 6 = 0
ਜਾਂ 3x = 6 + 2y
ਜਾਂ x = \(\frac{6+2y}{3}\) …(4)
y = 0 ਨੂੰ (1) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
x = \(\frac{6+2×0}{3}\) = \(\frac{6}{3}\) = 2
y = – 3 ਨੂੰ (4) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
x = \(\frac{6+2(-3)}{3}\)
= \(\frac{6-6}{3}\) = 0
y = 3 ਨੂੰ (4) ਵਿਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
x = \(\frac{6+2×3}{3}\) = \(\frac{6+6}{3}\)
= \(\frac{12}{3}\) = 4

ਸਾਰਣੀ

ਬਿੰਦੂਆਂ D (2, 0), E (0, -3), F (4, 3) ਨੂੰ ਆ ਖਿਤ ਕਰਨ ‘ਤੇ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਮਿਲਾਉਂਦੇ ਹੋਏ ਰੇਖਾ ਖਿਚਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਸਮੀਕਰਣ’ 3x – 2y – 6 = 0 ਦਾ ਆਲੇਖ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ !
ਆਲੇਖ ਤੋਂ ਇਹ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੈ ਕਿ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਬਿੰਦੂ G ਉੱਤੇ ਕੱਟਦਾ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ii).
ਸਮਾਂਤਰ ਰੇਖਾਵਾਂ ਹੋਣ ।
ਉੱਤਰ:
ਸਥਿਤੀ (ii) ਸਮਾਂਤਰ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣ ਹੈ :
2x + 3y – 8 = 9 …(1)
ਇੱਥੇ ਦੋ ਚਲਾਂ ਵਾਲੀਆਂ ਹੋਰ ਵੀ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਹੋ
ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ ਜੋ ਸਮਾਂਤਰ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੀ ਸ਼ਰਤ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ ਭਾਵ
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}\) = \(\frac{b_{1}}{b_{2}}\) ≠ \(\frac{c_{1}}{c_{2}}\)
ਉਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਹੈ ।
2x + 3y – 5 = 0 ….(2)
ਹੁਣ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ( 1 ) ਅਤੇ (2) ਦਾ ਆਲੇਖ ਖਿੱਚੋ । ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣ 2x + 3 – 8 = 0 ਲਈ ਆਲੇਖ ਹੈ :
ਸਾਰਣੀ

2x + 3y – 5 = 0
ਜਾਂ 2x = 5 – 3y
ਜਾਂ x = \(\frac{5-3y}{2}\) …(3)
y = 0 ਨੂੰ (3) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
x = \(\frac{5-3×0}{2}\) = \(\frac{5}{2}\) = 2.5

ਸਾਰਣੀ

ਬਿੰਦੂਆਂ G (2.5, 0), H (- 2, 3), I (7, – 3) ਨੂੰ ਆਲੇਖਿਤ ਕਰਨ ‘ਤੇ ਅਤੇ ਮਿਲਾਉਂਦੇ ਹੋਏ ਰੇਖਾ ਖਿੱਚਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਸਮੀਕਰਣ 2x + 3y – 5 = 0 ਦਾ ਆਲੇਖ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
y = 3 ਨੂੰ (3) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
y = \(\frac{5-3×3}{2}\) = \(\frac{5-9}{2}\) = \(\frac{-4}{2}\) = -2
y = -3 ਨੂੰ (3) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
x = \(\frac{5-3(-3)}{2}\) = \(\frac{5+9}{2}\) = \(\frac{14}{2}\)
= 7

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iii).
ਸੰਪਾਤੀ ਰੇਖਾਵਾਂ ਹੋਣ ।
ਉੱਤਰ:
ਸਥਿਤੀ (iii) ਸੰਪਾਤੀ ਰੇਖਾਵਾਂ ਲਈ
ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਸਮੀਕਰਣ
2x + 3y – 8 = 0 ….(1)
ਦੋ ਚਲਾਂ ਵਿੱਚ ਅਜਿਹੇ ਹੋਰ ਵੀ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ ਜੋ ਸੰਪਾਤੀ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੀਆਂ ਸ਼ਰਤਾਂ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦੇ ਹੋਣ ।
ਭਾਵ \(\frac{a_{1}}{a_{2}}\) = \(\frac{b_{1}}{b_{2}}\) = \(\frac{c_{1}}{c_{2}}\)
ਉਨ੍ਹਾਂ ਵਿਚ ਇਸ ਪ੍ਰਕਾਰ ਹੈ ।
6x + 9y – 24 = 0 ….(2)

ਹੁਣ ਰੇਖੀ (1) ਅਤੇ (2) ਦਾ ਆਲੇਖ ਖਿਚਣ ‘ਤੇ
ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣ (2) ਲਉ ॥
6x + 9y – 24 = 0
ਜਾਂ 3 [2x + 3y – 8] = 0
ਜਾਂ 2 + 3y – 8 = 0
∴ ਦੋਵਾਂ ਵਿਚ ਬਿੰਦੂ ਇਕ ਸਮਾਨ ਹਨ ਇਸ ਲਈ ਦੋਵੇਂ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਇਕ ਹੀ ਰੇਖਾ ਹਨ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 7.
ਸਮੀਕਰਣਾਂ x – y + 1 = 0 ਅਤੇ 3x + 2y – 12 = 0 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਖਿੱਚੋ । x-ਧੁਰੇ ਅਤੇ ਇਨ੍ਹਾਂ ਰੇਖਾਵਾਂ ਨਾਲ ਬਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੇ ਸਿਖ਼ਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਪਤਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਤਿਭੁਜ ਆਕਾਰ ਨੂੰ ਛਾਇਆ-ਅੰਕਿਤ (Shade) ਕਰੋ ।
ਹੱਲ :
ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਹੈ ।
x – y + 1 = 0
ਅਤੇ 3x + 2y – 12 = 0
x – y + 1 = 0
ਜਾਂ x = y – 1 ……(1)
y = 0 ਨੂੰ (1) ਵਿਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
x = 0 – 1 = – 1
y = 3 ਨੂੰ (1) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
x = 3 – 1 = 2
y = 1 ਨੂੰ ( 3 ) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
x = 1 – 1 = 0
ਸਾਰਣੀ

ਬਿੰਦੁਆਂ A -1, 0), B (2, 3), C (0, 1) ਨੂੰ ਆਲੇਖਿਤ ਕਰਨ ‘ਤੇ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਮਿਲਾਉਂਦੇ ਹੋਏ ਰੇਖਾ ਖਿੱਚਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਸਮੀਕਰਣ x – y + 1 = 0 ਦਾ ਆਲੇਖ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
ਜਾਂ 3x + 2y – 12 = 0
3x = 12 – 2y
x = \(\frac{12-2y}{3}\) …….(2)

y = 0 ਨੂੰ (2) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
x = \(\frac{12-2×0}{3}\) = \(\frac{12}{3}\) = 4
y = 3 ਨੂੰ (2), ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
x = \(\frac{12-2×3}{3}\) = \(\frac{12-6}{3}\) = \(\frac{6}{3}\) = 2
y = 6 ਨੂੰ (2) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
x = \(\frac{12-2×6}{3}\) = \(\frac{12-12}{3}\) = 0
ਸਾਰਣੀ

ਬਿੰਦੂਆਂ D (4, 0), B (2, 3), E (0, 6) ਨੂੰ ਆਲੇਖਿਤ ਕਰਨ ‘ਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਮਿਲਾਉਂਦੇ ਹੋਏ ਰੇਖਾ ਖਿੱਚਣ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਸਮੀਕਰਣ 3x +2y – 12 = 0 ਦਾ ਆਲੇਖ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜੇ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਰਾ ਬਣਾਏ ਗਏ ਤਿਭੁਜ ਦੇ ਸਿਖ਼ਰਾਂ ਦੇ ਆਲੇਖ ਨੂੰ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ ।
∴ △ABD ਇਸ ਪ੍ਰਕਾਰ ਬਣੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਹੈ ।
△ABD ਦੇ ਸਿਖ਼ਰ ਹਨ : A (-1, 0), B (2, 3) ਅਤੇ D (4, 0).
ਹੁਣ, ਅਧਾਰ AD ਦੀ ਲੰਬਾਈ = AO + OD
= 1+ 4 = 5 ਇਕਾਈਆਂ
ਲੰਬ BF ਦੀ ਲੰਬਾਈ = 3 ਇਕਾਈਆਂ
∴ △ABD ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = \(\frac{1}{2}\) × ਅਧਾਰ × ਲੰਬ
= \(\frac{1}{2}\) × AD × BF
= (\(\frac{1}{2}\) × 5 × 3)
ਵਰਗ ਇਕਾਈਆਂ |
= \(\frac{15}{2}\) = 7.5
ਵਰਗ ਇਕਾਈਆਂ