Class 10

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.4 Textbook Exercise Questions and Answers

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.4

प्रश्न 1.
निम्नलिखित बंटन किसी फैक्टरी के 50 श्रमिकों की दैनिक आय दर्शाता है :

‘उपरोक्त बंटन को एक कम प्रकार’ के संचयी बारंबारता बंटन में बदलिए और उसका तोरण खींचिए।
हल:

हम हमें बिंदुओं,
अर्थात् (120, 12); (140, 26) ; (160, 34) ; (180, 40) ; (200, 50) को ग्राफ पेपर पर आलेखित करते हैं। हम एक कम प्रकार के संचय बारंबारता का ग्राफ प्राप्त करते है।
चुना गया पैमाना :
x-अक्ष पर मात्रक 10 मात्रक = रु 10
y-अक्ष 10 मात्रक = 5 श्रमिक

प्रश्न 2.
किसी कक्षा के 35 विद्यार्थियों की मेडिकल जाँच के समय, उनके भार निम्नलिखित में रिकार्ड किए गए :

उपरोक्त आँकड़ों के “लिए कम प्रकार का तोरण’ खींचिए। इसके बाद माध्यक भार ज्ञात कीजिए। हल भार विद्यार्थियों की संख्या । वर्ग अंतराल
हल :

अब, आलेख पर बिंदुओं अर्थात् (38, 0) ; (40, 3) ; (42, 5) ; (44, 9) ; (46, 14); (48, 28); (50, 32); (52, 35) आलेखित करने पर हमें से कम प्रकार की संचयी बारंबारता बहुभज प्राप्त होता है।
चुना गया पैमाना :
x-अक्ष पर, 10 मात्रक = 2 किग्रा
y-अक्ष पर 10 मात्रक = 5 विद्यार्थी

उपरोक्त आलेख से, यह स्पष्ट है कि माध्यक = 46.5 कि ग्रा जोकि अंतराल 46-48 में स्थित है
अब, दी गई सारणी में
Σf_i = n = 35 n 35
∴ \(\frac{n}{2}=\frac{35}{2}\) = 17.5 ;
जोकि अंतराल 46 – 48 में स्थित है।
∴ माध्यक वर्ग = 46 – 48
इसलिए,
l = 46 ; n = 35 ; f= 14 ; cf = 14 और h = 2
सूत्र का प्रयोग करने पर, माध्यक = l + \(\left\{\frac{\frac{n}{2}-c f}{f}\right\}\) × h
माध्यक = 46 + \(\left\{\frac{\frac{35}{2}-14}{14}\right\}\) × 2
= 46 + \(\left\{\frac{\frac{35-28}{2}}{14}\right\}\) × 2
= 46 + \(\frac{7}{2} \times \frac{1}{14}\) × 2
= 46 + \(\frac{1}{2}\)
= 46 + 0.5 = 46.5
उपरोक्त चर्चा और ग्राफ से यह स्पष्ट है कि दोनों स्थितियों में माध्यक एक समान ही है।
अतः, विद्यार्थियों का माध्यक भार 46.5 किग्रा है।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित सारणी किसी गाँव के 100 फार्मों में हुआ प्रतिहेक्टेयर (ha) गेहूँ का उत्पादन दर्शाते हैं :

इस बंटन को “अधिक के प्रकार के” बंटन में बदलिए और फिर उसका तोरण खींचिए
हल :

अब, हम बिंदुओं अर्थात् (50, 100) ; (55, 98) ; (60, 90) ; (65, 78); (70, 54); (75, 16) को ग्राफ पेपर पर आलेखित करते हैं।
हम अधिक के प्रकार’ की संचयी बारंबारता का ग्राफ प्राप्त करते हैं।
चुना गया पैमाना:
x-अक्ष पर 10 मात्रक = 5 kg/ha
y-अक्ष पर 10 मात्रक = 10 फार्म

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.3 Textbook Exercise Questions and Answers

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.3

प्रश्न 1.
निम्नलिखित बारंबारता बंटन किसी मोहल्ले के 68 उपभोक्ताओं की बिजली कर मासिक खपत दर्शाता है। इन आंकड़ों के माध्यक, माध्य और बहुलक ज्ञात कीजिए। इनकी तुलना कीजिए।

हल:
माध्यक के लिए:

यहाँ, Σf_i = n = 68 तो \(\frac{n}{2}=\frac{68}{2}\) = 34
जो कि वर्ग अतंराल 125 – 145 में स्थित है।
∴ माध्यक वर्ग = 125 – 145
अतः,l = 125; n = 68; f = 20 ; cf = 22 और h = 20
सूत्र का प्रयोग करने पर, माध्यक = l + \(\left[\frac{\frac{n}{2}-c f}{f}\right]\) × h
= 25 + \(\left\{\frac{\frac{68}{2}-22}{20}\right\}\) × 20
= 125 + \(\frac{34-22}{20}\) × 20
= 125 + 12 = 137

माध्य के लिए:

उपरोक्त आँकड़ों से, कल्पित मान (a) = 135
वर्ग माप (h) = 20
∴ \(\bar{u}=\frac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}}=\frac{7}{68}\) = 0.102
सूत्र का प्रयोग करने पर, माध्य \((\overline{\mathrm{X}})=a+h \bar{u}\)
\(\overline{\mathrm{X}}\) = 135 + 20 (0.102)
= 135 + 2.04 = 137.04
बहुलक के लिए: दिए गए आँकड़ों में अधिकतम बारंबारता 20 है और इसके संगत वर्ग 125 – 145 है
∴ बहुलक वर्ग = 125 – 145
इसलिए,
l = 125; f = 20; f = 13; f = 14 और h = 20
सूत्र का प्रयोग करने पर, बहुलक = l + \(\left(\frac{f_{1}-f_{0}}{2 f_{1}-f_{0}-f_{2}}\right)\)
बहुलक = 125 + \(\left(\frac{20-13}{2(20)-13-14}\right)\) x 20
= 125 +\(\frac{7}{40-27}\) x 20
= 125 + \(\frac{140}{13}\)
= 125 + 10.76923
= 125 + 10.77 = 135.77.
अतः दिए गए आंकड़ों का माध्यक, माध्य और बहुलक है : 137 मात्रक, 137.04 मात्रक और 135.77 मात्रक।

प्रश्न 2.
यदि नीचे दिए हुए बंटन का माध्यक 28.5 हो, तो x और y के मान ज्ञात कीजिए :

हल:

दिए गए आंकड़ों में, if Σf_i = n = 60
∴ \(\frac{n}{2}=\frac{60}{2}\) = 30
साथ ही, बंटन का माध्यक = 28.5 …………(दिया है)
जोकि वर्ग अंतराल 20 – 30 में स्थित है।
∴ माध्यक वर्ग = 20 – 30
इसलिए, l = 20 ; f = 20 ; cf = 5 + x ; h = 10
सारणी से यह स्पष्ट है कि 45 + x + y = 60
x + y = 60 – 45 = 15
य x + y = 15 …………….(1)
अब, सूत्र का प्रयोग करने पर
माध्यक = l + \(\left\{\frac{\frac{n}{2}-c f}{f}\right\}\) × h
28.5 = 20 + \(\left\{\frac{30-(5+x)}{20}\right\}\) × 10
28.5 = 20 + \(\frac{30-5-x}{2}\)
28.5 = \(\frac{40+25-x}{2}\)
2(28.5) = 65 – x
57.0 = 65- x
x = 65 – 57 = 8
∴ x = 8
x के इस मान को (1) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है,
8 + y = 15
y = 15 – 8 = 7
अतः, x और y के मान 8 और 7 हैं।

प्रश्न 3.
एक जीवन बीमा एजेंट 100 पॉलिसी धारकों की आयु में बंटन के निम्नलिखित आंकड़ें ज्ञात करता है। माध्यक आयु परिकलित कीजिए, यदि पॉलिसी केवल उन्हीं व्यक्तियों को दी जाती है, जिनकी आयु 18 वर्ष या उससे अधिक हो, परंतु 60 वर्ष से कम हो।

हल:

यहाँ, Σf_i = n = 100
तो, \(\frac{n}{2}=\frac{100}{2}\) = 50,
जोकि अंतराल 35 – 40 में स्थित है।
∴ माध्यक वर्ग = 35 – 40
इसलिए,
1 = 35 ; n = 100 ; f = 33 ; cf = 45 और h = 5
सूत्र का प्रयोग करने पर,
माध्यक = l + \(\left\{\frac{\frac{n}{2}-c f}{f}\right\}\) × h
= 35 + \(\left\{\frac{\frac{100}{2}-45}{33}\right\}\) × 5
= 35 + \(\frac{50-45}{33}\) × 5
= 35 + \(\frac{25}{33}\)
= 35 + 0.7575
= 35 + 0.76 (लगभग)
= 35.76
अतः, दिए गए आंकड़ों की माध्यक आयु 35.76 वर्ष है।

प्रश्न 4.
एक पौधे की 40 पत्तियों की लंबाईयाँ निकटतम मिली मीटरों में मापी जाती है तथा प्राप्त आंकड़ों को निम्नलिखित सारणी के रूप में निरुपित किया जाता है :

पत्तियों की माध्यक लंबाई ज्ञात कीजिए।
हल :
क्योंकि बारंबारता बंटन लगातार नहीं है हम इसे पहले लगातार बंटन में परिवर्तित करेंगे

यहाँ, Σf_i = n = 40 Ef=n = 40 n 40
तो \(\frac{n}{2}=\frac{40}{2}\) = 20,
जो कि अंतराल 144.5 – 153.5 में स्थित है।
∴ माध्यक वर्ग = 144.5 – 153.5
इसलिए,
l = 144.5 ; f = 12 ; cf = 17; h = 9
सूत्र का प्रयोग करने पर,
माध्यक = l + \(\left\{\frac{\frac{n}{2}-c f}{f}\right\}\) × h
माध्यक = 144.5 + \(\left\{\frac{20-17}{12}\right\}\) × 9
= 144.5 + \(\frac{3 \times 9}{12}\)
= 144.5 + 2.25 = 146.75
अतः, पत्तियों की माध्यक लंबाई 146.75 mm है।

प्रश्न 5.
निम्नलिखित सारणी 400 नियॉन लैंपों के जीवन कालों (life time) को प्रदर्शित करती है : जीवन काल (घंटों में)

एक लैंप का माध्यक जीवन काल ज्ञात कीजिए। पत्तियों की माध्यक लंबाई ज्ञात कीजिए।
हल :
क्योंकि बारंबारता बंटन लगातार नहीं है हम इसे पहले लगातार बंटन में परिवर्तित करेंगे

यहाँ, Σf_i = n = 40
∴ तो, \(\frac{n}{2}=\frac{40}{2}\) = 20,
जो कि अंतराल 3000 – 3500 में स्थित है।
∴ माध्यक वर्ग = 3000 – 3500
इसलिए, l = 3000 ; n = 400 ; f = 86 ; cf = 130 और h = 500
सूत्र का प्रयोग करने पर, माध्यक वगई = l + \(\left\{\frac{\frac{n}{2}-c f}{f}\right\}\) × h
माध्यक = 3000 + \(\left\{\frac{\frac{400}{2}-130}{86}\right\}\) × 500
= 3000 + \(\left(\frac{200-130}{86}\right)\) × 500
= 3000 + \(\frac{70 \times 500}{86}\)
= 3000 + 406.9767441
= 3000 + 406.98 (लगभग) = 3406.98
अतः, लेंप का जीवन काल 3406.98 घंटे है।

प्रश्न 6.
एक स्थानीय टेलीफोन निर्देशिका से 100 कुल नाम (surnames) लिए गए उनमें प्रयुक्त अंग्रेज़ी वर्णमाला के अक्षरों की संख्या का निम्नलिखित बारंबारता बंटन प्राप्त हुआ :

हल:

Σf_i = n = 100
∴ \(\frac{n}{2}=\frac{100}{2}\) = 50
जोकि अंतराल 7 – 10 में स्थित है।
∴ माध्यक वर्ग = 7 – 10
इसलिए,
l = 7; n = 100 ; f = 40 ; cf = 36 और h = 3
सूत्र का प्रयोग करने पर, माध्यक = l + \(\left\{\frac{\frac{n}{2}-c f}{f}\right\}\) × h
माध्यक = 7 + \(\left\{\frac{\frac{100}{2}-36}{40}\right\}\) × 3
= 7 + \(\left\{\frac{50-36}{40}\right\}\) × 3
= 7 + \(\frac{14 \times 3}{40}\)
= 7 + \(\frac{21}{20}\)
= 7 + 1.05 = 8.05
अतः, माध्यक अक्षरों की संख्या 8.05 है।

माध्य के लिए:

उपरोक्त आँकड़ों से, कल्पित माध्य (a) = 8.5
वर्ग माप (h) = 3
∴ \(\bar{u}=\frac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}}=\bar{u}=\frac{-6}{100}\) = – 0.06
सूत्र का प्रयोग करने पर,
माध्यक \((\bar{x})=a+h \bar{u}\)
\(\bar{x}\) = 8.5 + 3 (- 0.06)
= 8.5 – 0.18 = 8.32
अतः, कुल नामों में माध्य अक्षरों की संख्या 8.32 अक्षर है।

बहुलक के लिए :
दिए गए आँकड़ों में अधिकतम बारंबारता 40 है और इसका संगत अंतराल 7 – 10 है।
∴ बहुलक वर्ग = 7 – 10
इसलिए,
l = 7; f₁ = 40 ; f₀ = 30 ; f₂ = 16 और h = 3
सूत्र का प्रयोग करने पर,
बहुलक = l + \(\left(\frac{f_{1}-f_{0}}{2 f_{1}-f_{0}-f_{2}}\right)\) × h
बहुलक = 7 + \(\left(\frac{40-30}{2(40)-30-16}\right)\) × 3
= 7 + \(\frac{10}{80-46}\) × 3
= 7 + \(\frac{30}{34}\)
= 7 + 0.882352941
= 7 + 0.88 (लगभग) = 7.88
अतः, कुलनामों का बहुलक माप 7.88 अक्षर है।

प्रश्न 7.
नीचे दिया हुआ बंटन एक कक्षा के 30 विद्यार्थियों के भार दर्शा रहा है। विद्यार्थियों का माध्यक भार ज्ञात कीजिए:

हल:

यहाँ Σf_i = n = 30
∴ \(\frac{n}{2}=\frac{30}{2}\) = 15;
जोकि अंतराल 55 – 60 में स्थित है।
∴ माध्यक वर्ग = 55 – 60
इसलिए, n = 30; f = 6; cf = 13 और h = 5
सूत्र का प्रयोग करने पर, माध्यक = l + \(\left\{\frac{\frac{n}{2}-c f}{f}\right\}\) × h
माध्यक = 55 + \(\left\{\frac{\frac{30}{2}-13}{6}\right\}\) × 5
= 55 + \(\left\{\frac{15-13}{6}\right\}\) × 5
= 55 + \(\frac{2 \times 5}{6}\)
माध्यक = 55 + \(\frac{5}{3}\)
= 55 + 1.66666
= 55 + 1.67 लगभग = 56.67
अतः, माध्यक भार 56.67 किलोग्राम है।

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.2 Textbook Exercise Questions and Answers

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.2

प्रश्न 1.
निम्नलिखित सारणी किसी अस्पताल में एक विशेष वर्ष में भर्ती हुए रोगियों की आयु को दर्शाती है :

संख्या उपरोक्त आँकड़ों के बहुलक और माध्य ज्ञात कीजिए। दोनों केंद्रीय प्रवृत्ति की मापों की तुलना कीजिए और उनकी व्याख्या कीजिए।
हल :
बहुलक के लिए :
दिए गए आँकड़ों में अधिकतम बारंबारता 23 है और इसके संगत वर्ग अंतराल 35 – 45 है :
∴ बहुलक वर्ग = 35 – 45 इसलिए,
l = 35 ; f₁ = 23 ; f₀ = 21; f₂ = 14 और h = 10
सूत्र का प्रयोग करने पर, बहुलक = l + \(\left(\frac{f_{1}-f_{0}}{2 f_{1}-f_{0}-f_{2}}\right)\) × h
बहुलक = 35 + \(\left[\frac{23-21}{2(23)-21-14}\right]\) × 10
= 35 + \(\frac{2}{46-35}\) × 10
= 35 + \(\frac{20}{11}\)
= 35 + 1.8 = 36.8

माध्य के लिए

उपरोक्त आँकड़ों से
कल्पित मान (a) = 30
वर्ग माप (h) = 10
∴ \(\bar{u}=\frac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}}=\frac{43}{80}\) = 0.5375
सूत्र का प्रयोग करने पर, माध्य \((\overline{\mathrm{X}})=a+h \bar{u}\)
\(\overline{\mathrm{X}}\) = 30 + 10 (0.5375)
= 30 + 5.375
= 35.375 = 35.37
अतः दिए गए आँकड़ों का बहुलक 36.8 वर्ष है और दिए गए आँकड़ों का माध्य 35.37 है
साथ ही, उपरोक्त चर्चा से यह स्पष्ट है कि अस्पताल में भर्ती हुए रोगियों की औसत आयु 35.37 वर्ष है और अस्पताल में भर्ती हुए अधिकतम रोगियों की आयु 36.8 वर्ष है।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित आंकड़े, 225 बिजली उपकरणों के प्रेक्षित जीवन काल (घंटों में) की सूचना देते हैं :

उपकरणो का बहुलक जीवन काल ज्ञात कीजिए।
हल :
दिए गए आँकड़ों में अधिकतम बारंबारता 61 है और इसकी संगत वर्ग अंतराल 60 – 80 है।
बहुलक वर्ग = 60 – 80
अतः, l = 60 ; f₁ = 61; f₀ = 52 ; f₂ = 38 और h = 20
सत्र का प्रयोग करने पर. बहलक = l + \(\left(\frac{f_{1}-f_{0}}{2 f_{1}-f_{0}-f_{2}}\right)\) × h
बहलुक = 60 + \(\left(\frac{61-52}{2(61)-52-38}\right)\) × 20
= 60 + \(\frac{9}{122-52-38}\) × 20
= 60 + \(\frac{9}{32}\) × 20
= 60 + \(\frac{180}{32}\)
= 60 + 5.625 = 65.625
अतः, उपकरणों का बहुलक जीवन काल 65.625 घंटे है।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित आँकड़े किसी गाँव के 200 परिवारों के कुल मासिक घरेलू व्यय के बंटन को दर्शाते हैं। इन परिवारों का बहुलक मासिक व्यय ज्ञात कीजिए। साथ ही, माध्य मासिक व्यय भी ज्ञात कीजिए।

हल :
बहुलक के लिए:
दिए गए आँकड़ों में अधिकतम बारंबारता 40 है तथा इस बारंबारता के संगत वर्ग 1500 – 2000 है।
बहुलक वर्ग = 1500 – 2000
अतः, l = 1500 ; f₁ = 40; f₀ = 24 ; f₂ = 33 और h = 500
सूत्र का प्रयोग करते हुए, बहुलक = l + \(\left(\frac{f_{1}-f_{0}}{2 f_{1}-f_{0}-f_{2}}\right)\) × h
= 1500 + \(\left\{\frac{40-24}{2(40)-24-33}\right\}\) × 500
= 1500 + \(\left\{\frac{16}{80-24-33}\right\}\) × 500
= 1500 + \(\frac{16 \times 500}{23}\)
= 1500 + \(\frac{8000}{23}\)
= 1500 + 347.83 = 1847.83
मध्य के लिए:

उपरोक्त आँकड़ों से,
कल्पित माध्य (a) = 2750
वर्ग माप (h) = 500
∴ \(\frac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}}=-\frac{35}{200}\) = – 0.175

सूत्र का प्रयोग करने पर,
माध्य \((\overline{\mathrm{X}})=a+h \bar{u}\)
\(\overline{\mathrm{X}}\) = 2750 + 500 (- 0.175)
= 2750 – 87.50
= 2662.50
अतः, परिवारों का बहुलक मासिक व्यय ₹ 1847.83 है और माध्य मासिक व्यय ₹ 2662.50 है।

प्रश्न 4.
निम्नलिखित बंटन भारत के उच्चतर माध्यमिक स्कूलों में, राज्यों के अनुसार, शिक्षक विद्यार्थी अनुपात को दर्शाता है। इन आँकड़ों के बहुलक और माध्य ज्ञात कीजिए। दोनों मापकों की व्याख्या कीजिए।

हल :
बहुलक के लिए: दिए गए आँकड़ों में अधिकतम बारंबारता 10 है और इसके संगत वर्ग अंतराल 30 – 35 है।
∴ बहुलक वर्ग = 30 – 35.
इसलिए,
l = 30; f₁ = 10 ; f₀ = 9; f₂ = 3 और h = 5
सूत्र के प्रयोग से,
बहुलक = l + \(\left(\frac{f_{1}-f_{0}}{2 f_{1}-f_{0}-f_{2}}\right)\) × h
बहुलक = 30 + \(\left(\frac{10-9}{2(10)-9-3}\right)\) × 5
= 30 + \(\frac{1}{20-12}\) × 5
= 30 + \(\frac{5}{8}\)
= 30 + 0.625 = 30.625 = 30.63 (लगभग)

माध्य के लिए:

उपरोक्त आँकड़ों से, कल्पित माध्य (a) = 32.5
वर्ग माप (h) = 5
∴ \(\bar{u}=\frac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}}=-\frac{23}{35}\) = – 0.65
सूत्र का प्रयोग करने पर, माध्य \((\overline{\mathrm{X}})=a+h \bar{u}\)
\(\overline{\mathrm{X}}\) = 32.5 + 5 (-0.65)
= 32.5 – 3.25 = 29.25 (लगभग)
अतः, दिए गए आँकड़ों का बहुलक और माध्य 30.63 और 29.25 है।
साथ ही, उपरोक्त चर्चा से यह स्पष्ट है कि राज्यों/संघीय क्षेत्र में प्रतिशिक्षक विद्यार्थियों की संख्या 30.63 है और औसत के अनुसार यह अनुपात 29.25 है।

प्रश्न 5.
दिया हुआ बंटन विश्व के श्रेष्ठतम बल्लेबाजों द्वारा एक दिवसीय अंतर्राष्ट्रीय क्रिकट मैचों में बनाए गए रनों को दर्शाता है :

इन आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए।
हल :
दिए गए आँकड़ों में, अधिकतम बारंबारता 18 है और इसके संगत वर्ग अंतराल 4000 – 5000 है।
∴ बहुलक वर्ग = 4000 – 5000 अतः,
l = 4000 ; f₁ = 18 ; f₀ = 4; f₂ = 9 और h = 1000
सूत्र का प्रयोग करने पर, बहुलक = l + \(\left(\frac{f_{1}-f_{0}}{2 f_{1}-f_{0}-f_{2}}\right)\) × h
बहुलक = 4000 + \(\left(\frac{18-4}{2(18)-4-9}\right)\) × 1000
= 4000 + \(\frac{14}{36-13}\) × 1000
= 4000 + \(\frac{14000}{23}\) × 1000
= 4000 + 608.6956
= 4000 + 608.7 = 4608.7 (लगभग)
अतः, दिए गए आंकड़ों का बहुलक 4608.7 रन है।

प्रश्न 6.
एक विद्यार्थी ने एक सड़क के किसी स्थान से होकर जाती हुई कारों की संख्याएँ नोट की और उन्हें नीचे दी हुई सारणी में व्यक्त किया। सारणी में दिया प्रत्येक प्रेक्षण 3 मिनट के अंतराल में उस स्थान से होकर जाने वाली कारों की संख्याओं से संबंधित है। ऐसे 100 अंतरालों पर प्रक्षेण लिए गए। इन आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए।

हल :
दिए गए आंकड़ों में अधिकतम बारंबारता 20 है और इसके संगत वर्ग अंतराल 40 – 50 है।
बहुलक वर्ग = 40 – 50
इसलिए,
l = 40; f₁ = 20 ; f₀ = 12 ; f₂ = 11 और h = 10
सूत्र का प्रयोग करने पर,
बहुलक = l + \(\left(\frac{f_{1}-f_{0}}{2 f_{1}-f_{0}-f_{2}}\right)\) × h
बहुलक: = 40 + \(\left(\frac{20-12}{2(20)-12-11}\right)\) × 10
= 40 + \(\frac{8}{40-23}\) × 10
= 40 + \(\frac{80}{17}\)
= 40 + 4.70588
= 40 + 4.7 = 44.7 (लगभग)
अतः, दिए हुए आँकड़ों का बहुलक 44.7 कारें।

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.1 Textbook Exercise Questions and Answers

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.1

प्रश्न 1.
विद्यार्थियों के एक समूह द्वारा पर्यावरण संचेतना अभियान के अंतर्गत एक सर्वेक्षण किया गया, जिसमें उन्होंने एक मोहल्ले के 20 घरों में लगे हुए पौधों से संबंधित निम्नलिखित आँकड़े एकत्रित किए। प्रतिघर माध्य पौधों की संख्या ज्ञात कीजिए।

माध्य ज्ञात करने के लिए आपने किस विधि का प्रयोग किया और क्यों ?
हल :
क्योंकि पौधों की संख्या और घरों की संख्या मानों में कम है, इसलिए हमें प्रत्यक्ष विधि का प्रयोग करना चाहिए पौधों की संख्या

माध्य \(\overline{\mathrm{X}}=\frac{\Sigma f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{i}}\)
= \(\frac{162}{20}\) = 8.1
अतः, प्रति घर पौधों को संख्या का माध्य 8.1 है।

प्रश्न 2.
किसी फैक्टरी के 50 श्रमिकों की दैनिक मजदूरी के निम्नलिखित बंटन पर विचार कीजिए :

एक उपर्युक्त विधि का प्रयोग करते हुए इस फैक्टरी के श्रमिकों की माध्य दैनिक मज़दूरी ज्ञात कीजिए।
हल :

दिए गए आँकड़ों से
कल्पित मान (a) = 150
और वर्ग माप (h) = 20
∴ \(\bar{u}=\frac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}}\)
= \(\frac{-12}{50}\) = – 0.24
सूत्र का प्रयोग करने पर, माध्य (\(\overline{X}\)) = a + h\(\overline{u}\)
= 150 + (20) (- 0.24)
= 150 – 4.8 = 145.2
अतः फैक्टरी के श्रमिकों की माध्य दैनिक मज़दूरी ₹ 145.20 है।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित बंटन एक मोहल्ले के बच्चों के दैनिक जेब खर्च दर्शाता है। माध्य जेब खर्च ₹18 है। लुप्त बारंबारता f ज्ञात कीजिए।

हल :

उपरोक्त आँकड़ों से
कल्पित माध्य (a) = 18
सूत्र का प्रयोग करने पर, माध्य \((\overline{\mathrm{X}})=a+\frac{\Sigma f_{i} d_{i}}{\Sigma f_{i}}\)

\(\overline{\mathrm{X}}=18+\frac{2 f-40}{44+f}\)

आँकड़ों का माध्य \((\overline{\mathrm{X}})\) = 18 …..(दिया है)
18 = 18 + \(\frac{2 f-40}{44+f}\)
\(\frac{2 f-40}{44+f}\) = 18 – 18 = 0 44 +f
2f – 40 = 0
2f = 40
f = \(\frac{40}{2}\) = 20
अतः, लुप्त बारंबारता f = 20 है।

प्रश्न 4.
किसी अस्पताल में, एक डॉक्टर द्वारा 30 महिलाओं की जाँच की गई और उनके हृदय स्पंदन (beat) की प्रति मिनट संख्या नोट करके नीचे दर्शाए अनुसार संक्षिप्त रूप में लिखी गई। एक उपयुक्त विधि चुनते हुए, इन महिलाओं के हृदय स्पंदन की प्रतिमिनट मध्य संख्या ज्ञात कीजिए।

हल :

उपरोक्त आँकड़ो से,
कल्पित माध्य (a) = 75.5
वर्ग माप (h) = 3
\(\bar{u}=\frac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}}\)
= \(\frac{4}{30}\) = 0.13 (लगभग)
सूत्र का प्रयोग करने पर,
माध्य \((\overline{\mathrm{X}})=a+h \bar{u}\)
= 75.5 + 3 (0.13)
= 75.5 + 0.39
\(\overline{\mathrm{X}}\) = 78.89
अतः महिलाओं के हृदय स्पंदन की प्रति मिनट माध्य संख्या 78.89 है।

प्रश्न 5.
किसी फुटकर बाजार में, फल विक्रेता पेटियों में रखे आम बेच रहे थे। इन पेटियों में आमों की संख्याएँ भिन्न-भिन्न थीं। पेटियों की संख्या के अनुसार, आमों का बंटन निम्नलिखित था :

एक पेटी में रेखे आमों की माध्य संख्या ज्ञात कीजिए। आपने माध्य ज्ञात करने की किस विधि का प्रयोग किया ?
हल :
क्योंकि आमों की संख्या और पेटियों की संख्या के मान संख्यात्मक रूप से बड़े हैं इसलिए हम पद विचलन विधि का प्रयोग करेंगे।

उपरोक्त आँकड़ो से,
कल्पित माध्य (a) = 57
वर्गमाप (h) = 3
∴ \(\bar{u}=\frac{\sum f_{i} u_{i}}{\sum f_{i}}\)
\(\bar{u}=\frac{25}{400}\) = 0.0625
सूत्र का प्रयोग करने पर, माध्य \((\overline{\mathrm{X}})=a+h \bar{u}\)
\(\overline{\mathrm{X}}\) = 57 + 3 (0.0625)
= 57 + 0.1875
= 57.1875
= 57.19 (लगभग)
अतः, पेटी में रखे आमों की माध्य संख्या 57.19 है।

प्रश्न 6.
निम्नलिखित सारणी किसी मोहल्ले के 25 परिवारों में भोजन पर हुए दैनिक व्यय को दर्शाती है :

एक उपयुक्त विधि द्वारा भोजन पर हुआ माध्य व्यय ज्ञात कीजिए।
हल:

उपरोक्त आँकड़ों से,
कल्पित माध्य (a) = 225
वर्ग माप (h) = 50
∴ \(\bar{u}=\frac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}}\)

\(\bar{u}=-\frac{7}{25}\)
= – 0.28
सूत्र का प्रयोग करने पर, माध्य \((\overline{\mathrm{X}})=a+h \bar{u}\)
\(\overline{\mathrm{X}})\) = 225 + 50 (- 0.28)
\(\overline{\mathrm{X}})\) = 225 – 14
\(\overline{\mathrm{X}})\) = 211
अतः, भोजन पर हुआ माध्य व्यय ₹ 211 है।

प्रश्न 7.
वायु में सल्फर डाइआक्साइड (SO₂) की सांद्रता (भाग प्रतिमिलियन में) को ज्ञात करने के लिए, एक नगर के 30 को मोहल्लों से आँकड़ें एकत्रित किए गए, जिन्हें नीचे प्रस्तुत किया गया है :

वायु में SO₂ की सांद्रता का माध्य ज्ञात कीजिए।
हल:

उपरोक्त आँकड़ों से
कल्पित माध्य (a) = 0.10
वर्ग माप (h) = 0.04
\(\bar{u}=\frac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}}=\frac{-1}{30}\)
= – 0.33 (लगभग)
सूत्र का प्रयोग करने पर, माध्य \((\overline{\mathrm{X}})=a+h \bar{u}\)
\(\overline{\mathrm{X}}\) = 0.10 + 0.04 (- 0.33)
= 0.10 – 0.0013 = 0.0987 (लगभग)
वायु में SO₂ की सांद्रता का माध्य 0.0987 ppm है।

प्रश्न 8.
किसी कक्षा अध्यापिका ने पूरे सत्र के लिए अपनी कक्षा के 40 विद्यार्थियों की अनुपस्थिति निम्नलिखित रूप में रिकार्ड (record) की। एक विद्यार्थी जितने दिन अनुपस्थित रहा उनका माध्य ज्ञात कीजिए :

हल:

उपरोक्त आँकड़ों से,
कल्पित माध्य (a) = 17
सूत्र का प्रयोग करने पर,
माध्य \((\overline{\mathrm{X}})=a+\frac{\sum f_{i} d_{i}}{\sum f_{i}}\)

\(\overline{\mathrm{X}}\) = 17 + \(\frac{(-181)}{40}\)
= 17 – 4.52
= 12.48
अतः, एक विद्यार्थी जितने दिन अनुपस्थित रहा उनका माध्य 12.48 है।

प्रश्न 9.
निम्नलिखित सारणी 35 नगरों की साक्षरता दर ( प्रतिशत में ) दर्शाती है। माध्य साक्षरता दर ज्ञात कीजिए :

हल :

उपरोक्त आँकड़ों से,
कल्पित माध्य (a) = 70
वर्ग माप (h) = 10
∴ u = \(\bar{u}=\frac{\sum f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}}=\frac{-2}{35}\) = – 0.07

सूत्र का प्रयोग करने पर,
माद्य \((\overline{\mathrm{X}})=a+h \bar{u}\)
\((\overline{\mathrm{X}}\) = 70 + 10 (-0.057)
= 70 – 0.57 = 69.43
अतः, माध्य साक्षरता दर 69.43% है।

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन Ex 13.5 Textbook Exercise Questions and Answers

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन Ex 13.5

प्रश्न 1.
व्यास 3 mm वाले ताँबे के तार को 12 cm लंबे और 10 cm व्यास वाले एक बेलन पर इस प्रकार लपेटा जाता है कि वह बेलन के वक्र पृष्ठ को पूर्णतया ढक लेता है। तार की लंबाई और द्रव्यमान ज्ञात कीजिए, यह मानते हुए कि ताँबे का घनत्व 8.88 g प्रति cm है।
हल :
तार का व्यास (d) = 3 mm
∴ तार की त्रिज्या (r) = \(\frac{3}{2}\) mm = \(\frac{3}{20}\) mm

बेलन का व्यास = 10 cm
बेलन की त्रिज्या (R) = 5 cm
बेलन की ऊँचाई (H) = 12 cm
बेलन का परिमाप = एक लपेटे में प्रयुक्त तार की लंबाई
2πR = एक लपेटे में प्रयुक्त तार की लंबाई
2 × \(\frac{22}{7}\) × 5 = एक लपेटे में प्रयुक्त तार की लंबाई
\(\frac{220}{7}\) = एक लपेटे में प्रयुक्त तार की लंबाई
लपेटों की संख्या = बेलन की ऊँचाई / तार का व्यास
= \(\frac{12 \mathrm{~cm}}{3 \mathrm{~mm}}=\frac{12}{3} \times 10\)
= \(\frac{120}{3}\) = 40
∴ प्रयुक्त तार की लंबाई = लपेटों की संख्या × एक लपेटे में प्रयुक्त तार की लंबाई
H = 40 × \(\frac{220}{7}\) cm = 1257.14 cm
प्रयुक्त तार का आयतन = πr²H
= \(\frac{22}{7} \times \frac{3}{20} \times \frac{3}{20}\) × 1257.14
= 88.89 cm³
1 cm³ का द्रव्यमान = 8.88 gm
88.89 cm³ का द्रव्यमान = 8.88 x 88.89 = 789.41 gm

प्रश्न 2.
एक समकोण त्रिभुज, जिसकी भुजाएँ 3 cm और 4 cm हैं (कर्ण के अतिरिक्त), को उसके कर्ण के परितः घुमाया जाता है। इस प्रकार प्राप्त द्वि-शंकु (double cone) के आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। ( का मान जो भी उपयुक्त लगे, प्रयोग कीजिए।)
हल :
मान लीजिए ∆ABC समकोण त्रिभुज हैं जिसके A पर समकोण है।
AB और AC का माप क्रमकर 3 cm और 4 cm है।

भुजा BC (कर्ण) की लंबाई = \(\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}\) = 5 cm
यहां, AO (या A’O ) प्राप्त द्विशंकु के साझें आधार की त्रिज्या समकोण त्रिभुज भुज BC के पास घूमकर बनती है।

शंकु BAA’ की ऊँचाई BO और तिर्यक ऊँचाई 3 cm है।
शंकु CAA’ की ऊँचाई CO और तिर्यक ऊँचाई 4 cm है।
अब, ∆AOB ~ ∆CAB (AA समरुपता)
∴ \(\frac{\mathrm{AO}}{4}=\frac{3}{5}\)

⇒ AO = \(\frac{4 \times 3}{5}=\frac{12}{5}\) cm

साथ ही \(\frac{\mathrm{BO}}{3}=\frac{3}{5}\)

⇒ BO = \(\frac{3 \times 3}{5}=\frac{9}{5}\) cm
अत: CO = BC – OB
= 5 – \(\frac{9}{5}\)
= \(\frac{16}{5}\)
अब द्विशंकु का आयतन = शंकु ABA’ का आयतनन + शंकु ACA’ का आयतन

प्रश्न 3.
एक टंकी, जिसके आंतरिक मापन 150 cm × 120 cm × 110 cm हैं, में 129600 cm पानी है। इस पानी में कुछ छिद्र वाली ईंटें तब तक डाली जाती हैं, जब तक कि टंकी पूरी ऊपर तक भर न जाए। प्रत्येक ईंट अपने आयतन का, पानी सोख लेती है। यदि प्रत्येक ईंट का माप 22.5 cm x 7.5 cm x 6.5 cm हैं, तो टंकी में कुल कितनी ईंटें डाली जा सकती हैं, ताकि उसमें से पानी बाहर न बहे ?
हल :
ईंटों का आयतन = 22.5 × 7.5 × 6.5 cm³ = 1096.87 cm³
टंकी का आयतन = 150 × 120 × 110 cm³ = 1980000
मान लीजिए प्रयुक्त ईंटों की संख्या = n
n ईंटों का आयतन = n (एक ईंट का आयतन)
= n [1096.87] cm³
ईंटों के लिए उपलब्ध पानी का आयतन = 1980000 – 129600 = 1850400 cm³
प्रत्येक ईंट अपने आयतन का \(\frac{1}{17}\) वाँ आयतन पानी अवशोषित करती है।
ईंटों द्वारा अवशोषित पानी का आयतन = \(\frac{17}{10}\) × ईंटों के लिए उपलब्ध पानी का आयतन
= \(\frac{17}{10}\) × 1850400
ईंटों द्वारा अवशोषित पानी का आयतन = 1966050 cm³
n ईंटों का कुल आयतन = ईंटों द्वारा अवशोषित पानी की मात्रा
n[1096.87] cm³ = 1966050 cm³ .
n = \(\frac{1966050}{1096.87}\)
n = 1792.42
प्रयुक्त ईंटों की संख्या = 1792.

प्रश्न 4.
किसी महीने के 15 दिनों में, एक नदी की घाटी में 10 cm वर्षा हुई। यदि इस घाटी का क्षेत्रफल 97280 km है, तो दर्शाइए कि कुल वर्षा लगभग तीन नदियों के सामान्य पानी के योग के समतुल्य थी, जबकि प्रत्येक नदी 1072 km लंबी, 75 m चौड़ी और 3 m गहरी है।.
हल :
घाटी का क्षेत्रफल = 97280 km²
घाटी में वर्षा = 10 cm
∴ कुल वर्षा का आयतन = 97280 × \(\frac{10}{100} \times \frac{1}{1000}\) km³
= 9.728 km³

प्रश्न 5.
टीन की बनी हुई एक तेल की कुप्पी 10 cm लंबे एक बेलन में एक शंकु के छिन्नक को जोड़ने से बनी है। यदि इसकी कुल ऊँचाई 22 cm है, बेलनाकार भाग का व्यास 8 cm है और कुप्पी के ऊपरी सिरे का व्यास 18 cm है, तो इसके बनाने में लगी टीन की चादर का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। ( देखिए आकृति)

हल :
कुप्पी के ऊपरी सिरे का व्यास = 18 cm
∴ कुप्पी के ऊपरी सिरे की त्रिज्या (R) = \(\frac{18}{2}\) cm = 9 cm
कुप्पी के आधार का व्यास = 8 cm
कुप्पी के आधार की त्रिज्या (r) = 4 cm
बेलनाकार भाग की ऊँचाई (h) = 10 cm
छिन्नक की ऊँचाई (H) = (22 – 10) = 12 cm
छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई (l) = \(\sqrt{\mathrm{H}^{2}+(\mathrm{R}-r)^{2}}\)
= \(\sqrt{(12)^{2}+(9-4)^{2}}\)
= \(\sqrt{144+(5)^{2}}\)
= \(\sqrt{144+25}=\sqrt{169}\)
छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई (I) = 13 cm
टीन की चादर का क्षेत्रफल = बेलनाकार आधार का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 2πrh + πL [R + r]
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × 4 × 10 + \(\frac{212}{7}\) × 13 [9 + 4] cm²
= 251.42 + 531.14
= 782.56 cm²
प्रयुक्त की गई धातु की चादर का कुल क्षेत्रफल = 782.56 cm²

प्रश्न 6.
शंकु के छिन्नक के लिए, पूर्व स्पष्ट किए संकेतों का प्रयोग करते हुए, वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल के उन सूत्रों को सिद्ध कीजिए, जो अनुच्छेद 13.5 में दिये गए हैं।
हल :
एक लंब वृत्तीय शंकु के छिन्नक दो असमान वृत्ताकार आधार और वक्र पृष्ठ होता है।
मान लीजिए भाग VCD को हटाकर प्राप्त छिन्नक ACDB है।
दोनों आधारों के केन्द्रों को मिलाने वाला रेखाखंड OP छिन्नक की ऊँचाई कहलाता है।
छिन्नक ACDB का प्रत्येक रेखाखंड AC और BD तिर्यक ऊँचाई है।

मान लीजिए R और r (R > r) शंकु (VAB) को छिन्नक ACDB के वृत्तीय सिरों की त्रिज्याएँ हैं ।
हम शंक्वाकार भाग VCD को पूरा करते हैं। मान लीजिए h और l क्रमश: ऊर्ध्वाधर ऊँचाई और तिर्यक ऊँचाई है।
तब OP = h और AC = BD = l.

लंब वृत्तीय शंकु के छिन्नक को दो लंबवृत्तीय शंकुओं के बराबर VAB और VCD के अंतर के रूप में देखा जा सकता है।
मान लीजिए शंकु VAB की ऊँचाई h, और तिर्यक ऊँचाई l है।
अर्थात् VP = h₁, और VA = VB = l₁.
अब समकोण त्रिभुज ∆ DEB में,
DB² = DE² + BE²
⇒ l² = h² + (R – r)²
l = \(\sqrt{h^{2}+(\mathrm{R}-r)^{2}}\)
पुनः ∆VOD ~ ∆VPB

शंकु के छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = πRl₁ – πr(l₁ – l)
[शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = π × r × l]
= πR . \(\frac{l \mathrm{R}}{\mathrm{R}-r}\) – πr . \(\frac{l r}{\mathrm{R}-r}\)
= πl \(\left(\frac{\mathrm{R}^{2}-r^{2}}{\mathrm{R}-r}\right)\)
= \(\frac{\pi l(\mathrm{R}-r)(\mathrm{R}+r)}{(\mathrm{R}-r)}\)
= πl (R + r) वर्ग मात्रक
∴ लंब वृत्तीय शंकु की छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = πl (R + r) वर्ग मात्रक
जहाँ l = \(\sqrt{h^{2}+(\mathrm{R}-r)^{2}}\)
और लंब वृत्तीय शंकु की छिन्नक का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + आधार का क्षेत्रफल + ऊपरी सिरे का क्षेत्रफल
= πl (R + r) + πR² + πr²
= π [R² + r² + l (R + r)] वर्ग मात्रक।

प्रश्न 7.
शंकु के एक छिन्नक के लिए, पूर्व स्पष्ट किए संकेतों का प्रयोग करते हुए, आयतन का वह सूत्र सिद्ध कीजिए, जो अनुच्छेद 13.5 में दिया गया है।
हल :
एक लंब वृत्तीय शंकु के छिन्नक दो असमान वृत्ताकार आधार और वक्र पृष्ठ होता है।
मान लीजिए भाग VCD को हटाकर प्राप्त छिन्नक ACDB है।
दोनों आधारों के केन्द्रों को मिलाने वाला रेखाखंड OP छिन्नक की ऊँचाई कहलाता है।
छिन्नक ACDB का प्रत्येक रेखाखंड AC और BD तिर्यक ऊँचाई है।

मान लीजिए R और r (R > r) शंकु (VAB) को छिन्नक ACDB के वृत्तीय सिरों की त्रिज्याएँ हैं।
हम शंक्वाकार भाग VCD को पूरा करते हैं। मान लीजिए h और l क्रमश: ऊर्ध्वाधर ऊँचाई और तिर्यक ऊँचाई है।
तब OP = h और AC = BD = l.

लंब वृत्तीय शंकु के छिन्नक को दो लंबवृत्तीय शंकुओं के बराबर VAB और VCD के अंतर के रूप में देखा जा सकता है।
मान लीजिए शंकु VAB की ऊँचाई h, और तिर्यक ऊँचाई है।
अर्थात् VP = h₁, और VA = VB = l₁.
∴ शंकु VCD की ऊँचाई = VP – OP
= h₁ – h
क्योंकि समकोण त्रिभुज VOD और VPB समरूप हैं
⇒ \(\frac{\mathrm{VO}}{\mathrm{VP}}=\frac{\mathrm{OD}}{\mathrm{PB}}=\frac{h_{1}-h}{h_{1}}=\frac{r}{\mathrm{R}}\)

⇒ 1 – \(\frac{h}{h_{1}}=\frac{r}{\mathrm{R}}\)

⇒ \(\frac{h}{h_{1}}=1-\frac{r}{\mathrm{R}}=\frac{\mathrm{R}-r}{\mathrm{R}}\)

⇒ h₁ = \(\frac{h \mathrm{R}}{\mathrm{R}-r}\)
शंकु की ऊँचाई VCD = h₁ – h
= \(\frac{h \mathrm{R}}{\mathrm{R}-r}\) – h
= \(\frac{h \mathrm{R}-h \mathrm{R}+h r}{\mathrm{R}-r}=\frac{h \mathrm{R}}{\mathrm{R}-r}\)
शंकु VAB के छिन्नक ACDB का आयतन = शंकु (V, AB) का आयतन – शंकु (V, CD) का आयतन

= \(\frac{1}{3}\) πh (R² + Rr + r²)
अतः शंकु के छिन्नक का आयतन = \(\frac{1}{3}\) πh (R² + Rr + r²)
पुनः यदि A₁ और A₂ (A₁ > A₂) दो वृत्ताकार आधारों के पृष्ठीय क्षेत्रफल हैं।
A₁ = πR² और A₂ = πr².
अब शंकु के छिन्नक का आयतन = \(\frac{1}{3}\) πh (R² + Rr + r²)
= \(\frac{h}{3}\left(\pi \mathrm{R}^{2}+\pi r^{2}+\sqrt{\pi \mathrm{R}^{2}} \sqrt{\pi r^{2}}\right)\)
= \(\frac{h}{3}\left(\mathrm{~A}_{1}+\mathrm{A}_{2}+\sqrt{\mathrm{A}_{1} \mathrm{~A}_{2}}\right)\)

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन Ex 13.3 Textbook Exercise Questions and Answers

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन Ex 13.3

(जब तक अन्यथा न कहा जाए, π = \(\frac{22}{7}\) लीजिए।)

प्रश्न 1.
त्रिज्या 4.2 cm वाले धातु के एक गोले को पिघलाकर त्रिज्या 6 cm वाले एक बेलन के रूप में ढाला जाता है। बेलन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:

गोले की त्रिज्या (r) = 4.2 cm
बेलन की त्रिज्या (R) = 6 cm
मान लो, बेलन की ऊँचाई = H cm
ढालने पर आयतन पहले जितना ही रहता है।
गोले का आयतन = बेलन का आयतन
\(\frac{4}{3}\) πr³ = πR²H
\(\frac{4}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) × 4.2 × 4.2 × 4.2 = \(\frac{22}{7}\) × 6 × 6 × H
∴ H = \(\frac{\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 4.2 \times 4.2 \times 4.2}{\frac{22}{7} \times 6 \times 6}\)

= \(\frac{4}{3} \times \frac{42}{10} \times \frac{42}{10} \times \frac{42}{10} \times \frac{1}{6 \times 6}\)

= \(\frac{2744}{1000}\)

= 2.744 cm
बेलन की ऊँचाई (H) = 2.744 cm.

प्रश्न 2.
क्रमशः 6 cm, 8 cm और 10 cm त्रिज्याओं वाले धातु के तीन ठोस गोलों को पिघलाकर एक बड़ा ठोस गोला बनाया जाता है। इस गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हल:

पहले गोले की त्रिज्या (r₁) = 6 cm
दसरे गोले की त्रिज्या (r₂) = 8 cm
तीसरे गोले की त्रिज्या (r₃) = 10 cm
मान लीजिए नए बने गोले की त्रिज्या = R cm
तीनों गोलों का आयतन = बड़े गोले का आयतन

R= 12 cm
गोले की त्रिज्या = 12 cm.

प्रश्न 3.
व्यास 7 m वाला 20 m गहरा एक कुँआ खोदा जाता है और खोदने से निकली हुई मिट्टी को समान रूप से फैलाकर 22 m × 14 m वाला एक चबूतरा बनाया गया है। इस चबूतरे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :
कुएँ का व्यास = 7
कुएँ (बेलन की त्रिज्या)R = \(\frac{7}{2}\) m
कुएँ की ऊँचाई (H) = 20 m
चबूतरे की लंबाई (L) = 22 m
चबूतरे की चौड़ाई (B) = 14 m
मान लीजिए चबूतरे की त्रिज्या, Hm

कुएँ में से निकाली गई मिट्टी का आयतन = बनाए गए चबूतरे का आयतन

πR²H = L × B × H
\(\frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \times 20\) = 22 × 14 × H
∴ H = \(\frac{\frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \times 20}{22 \times 14}\)
H = 2.5 m
∴ चबूतरे की ऊँचाई, H = 2.5 m.

प्रश्न 4.
व्यास 3 m का एक कुँआ 14 m की गहराई तक खोदा जाता है। इससे निकाली हुई मिट्टी को कुँए के चारों ओर 4 m चौड़ी एक वृत्ताकार वलय (ring) बनाते हुए, समान रूप से फैलाकर एक प्रकार का बाँध बनाया जाता है। इस बाँध की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :
कुँए की गहराई (h) = 14 m
कुएँ की त्रिज्या (r) = \(\frac{3}{2}\) m

बाँध खोखले बेलन के आकार का है जिसकी आंतरिक त्रिज्या कुएँ की त्रिज्या के समान है और बाँध की चौड़ाई 4 m है।
बाँध की आंतरिक त्रिज्या = कुएँ की त्रिज्या (r) = \(\frac{3}{2}\) m
बाँध की बाहरी त्रिज्या (R) = (\(\frac{3}{2}\) + 4) m
R = \(\frac{11}{2}\) m = 5.5 m
निकाली हुई मिट्टी का आयतन = इस प्रकार बने बाँध का आयतन
πr²h = बाह्य बेलन का आयतन – आंतरिक बेलन का आयतन
πr²h = πR²H – πr²H
= πH [R² – r²]

\(\frac{22}{7} \times \frac{3}{2} \times \frac{3}{2}\) × 14 = \(\frac{22}{7}\) × H [(5.5)² – (1.5)²]

H = \(\frac{\frac{22}{7} \times \frac{3}{2} \times \frac{3}{2} \times 14}{\frac{22}{7} \times(5.5-1.5)(5.5+1.5)}\)

= \(\frac{1.5 \times 1.5 \times 14}{4 \times 7}\) = 1.125 m
बाँध की ऊँचाई H = 1.125 m.

प्रश्न 5.
व्यास 12 cm और ऊँचाई 15 cm वाले एक लंब वृत्तीय बेलन के आकार का बर्तन आइसक्रीम से पूरा भरा हुआ है। इस आइसक्रीम को ऊँचाई 12 cm और व्यास 6 cm वाले शंकुओं में भरा जाना है, जिनका ऊपरी सिरा अर्धगोलाकार होगा। उन शंकुओं की संख्या ज्ञात कीजिए जो इस आइसक्रीम से भरे जा सकते हैं।
हल :

बेलन का व्यास (D) = 12 cm
∴ बेलन की त्रिज्या (R) = 6 cm
बेलन की ऊँचाई (H) = 15 cm
शंकु का व्यास = 6 cm
शंकु की त्रिज्या (r) = 3 cm
अर्धगोले की त्रिज्या (r) = 3 cm
शंकु की ऊँचाई (h) = 12 cm
मान लीजिए कि आइसक्रीम भरने के लिए प्रयोग किए गए शंकुओं की संख्या = n
बर्तन में आइसक्रीम का आयतन = n [एक शंकु में आइसक्रीम का आयतन]
πR²H = n
[शंकु का आयतन + अर्धगोले का आयतन]

n = 10
बने शंकुओं की संख्या = 10.

प्रश्न 6.
विमाओं 5.5 cm × 10 cm × 3.5 cm वाला एक घनाभ बनाने के लिए 1.75 cm व्यास और 2 mm मोटाई वाले कितने चाँदी के सिक्कों को पिघलाना पड़ेगा ?
हल :
चाँदी का सिक्का बेलन के आकार का है।
चाँदी के सिक्के का व्यास = 1.75 cm
∴ चाँदी के सिक्के की त्रिज्या (r) = \(\frac{1.75}{2}\) cm
चाँदी के सिक्के की मोटाई = बेलन की ऊँचाई (H) = 2 mm

अर्थात् h = \(\frac{2}{10}\) cm.
घनाभ की लंबाई (L) = 5.5 cm
घनाभ की चौड़ाई (B) = 10 cm

घनाभ की ऊँचाई (H) = 3.5 cm
मान लीजिए चाँदी के n सिक्कों को पिघला कर नया घनाभ बनाया गया है।
घनाभ का आयतन = n [चाँदी के एक सिक्के का आयतन] = n[πr²h]
5.5 × 10 × 3.5 = n × \(\frac{22}{7} \times \frac{1.75}{2} \times \frac{1.75}{2} \times \frac{2}{10}\)

\(\frac{\frac{55}{10} \times 10 \times \frac{35}{10}}{\frac{22}{7} \times \frac{175}{200} \times \frac{175}{200} \times \frac{2}{10}}\) = n

n = 400
इस प्रकार बने सिक्कों की संख्या = 400.

प्रश्न 7.
32 cm ऊँची और आधार त्रिज्या 18 cm वाली एक बेलनाकार बाल्टी रेत से भरी हुई है। इस बाल्टी को भूमि पर खाली किया जाता है और इस रेत की एक शंक्वाकार ढेरी बनाई जाती है। यदि शंक्वाकार ढेरी की ऊँचाई 24 cm है, तो इस ढेरी की त्रिज्या और तिर्यक ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:

बेलनाकार बाल्टी की त्रिज्या (R) = 18 cm
बेलनाकार बाल्टी की ऊँचाई (H) = 32 cm
शंकु की ऊँचाई (h) = 24 cm
मान लीजिए, शंकु की त्रिज्या और तिर्यक ऊँचाई ‘r’ cm और ‘l’ cm है।
बाल्टी में रेत का आयतन = शंकु में रेत का आयतन
πR²H = \(\frac{1}{3}\) πr²h

\(\frac{22}{7}\) × 18 × 18 × 32 = \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7}\) × r² × 24

\(\frac{\frac{22}{7} \times 18 \times 18 \times 32}{\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 24}\) = r²

r² = \(\frac{18 \times 18 \times 32}{8}\)
r² = 1296
r = √1296
r = 36
∴ शंकु की त्रिज्या (r) = 36
जैसा कि हम जानते हैं,
(तिर्यक ऊँचाई)² = (त्रिज्या)² + (ऊँचाई)²
l = \(\sqrt{(36)^{2}+(24)^{2}}\)
= \(\sqrt{1296+576}\)
= \(\sqrt{1872}\)
= \(\sqrt{12 \times 12 \times 13}\)
l = 12√13 cm
∴ शंकु की तिर्यक ऊँचाई (l) = 12√13 cm.

प्रश्न 8.
6 m चौड़ी और 1.5 m गहरी एक नहर में पानी 10 km/h की चाल से बह रहा है। 30 मिनट में, यह नहर कितने क्षेत्रफल की सिंचाई कर पाएगी, जबकि सिंचाई के लिए 8 cm गहरे पानी की आवश्यकता होती
है।
हल : नहर की चौड़ाई = 6 m
नहर में पानी की गहराई = 1.5 m
जिस गति से पानी बह रहा है = 10 km/hr
एक घण्टे में निकले पानी का आयतन = एक घण्टे में निकले पानी की चाल
= (6 × 1.5 m) × 10 km
= 6 × 1.5 × 10 × 10 × 1000 m³
∴ \(\frac{1}{2}\) घण्टे में निकले पानी का आयतन = \(\frac{1}{2} \times \frac{6 \times 15}{10}\) × 100000
= 450000 m³
आओ हम मान लें सिंचाई का क्षेत्रफल = (x) m²
प्रश्नानुसार खेत में 8 cm गहरे पानी की आवश्यकता है।
∴ \(\frac{1}{2}\) घण्टे में निकले पानी का आयतन = खेत में पानी का आयतन 450000 m³
= (खेत का क्षेत्रफल) x पानी की ऊँचाई
450000 m³ = x × (\(\frac{8}{100}\) m)
\(\frac{8}{100}\) × 100 = x
x = 562500 m²
x = \(\frac{562500}{10000}\)
(1 m² = 10000 hectares]
x= 56.25 हेक्टेयर
∴ खेत का क्षेत्रफल = 56.25 हेक्टेयर

प्रश्न 9.
एक किसान अपने खेत में बनी 10 m व्यास वाली और 2 m गहरी एक बेलनाकार टंकी को आंतरिक व्यास 20 cm वाले एक पाइप द्वारा एक नहर से जोड़ता है। यदि पाइप में पानी 3 km/h की चाल से बह रहा है, तो कितने समय बाद टंकी पूरी भर जाएगी ?
हल :
पानी की चाल = 3 km/hr
पाइप का व्यास = 20 cm
∴ पाइप की त्रिज्या (r) = 10 cm = \(\frac{10}{100}\) m
= \(\frac{1}{10}\) m
टंकी का व्यास = 10 m
टंकी की त्रिज्या (R) = 5 m
टंकी की गहराई (H) = 2 m
मान लीजिए पाइप n मिनटों में टंकी को भरती है।
टंकी में पानी का आयतन = पाइप द्वारा n मिनटों में बहा पानी
πR²H = n [अंत: काट का क्षेत्रफल × पानी की चाल]
πR²H = n[(πr²) × 3 km/h]
\(\frac{22}{7}\) × (5)² × 2 = n [latex]\frac{22}{7} \times \frac{1}{10} \times \frac{1}{10} \times \frac{3 \times 1000}{60}[/latex]
= 25 × 2
= n \(\frac{1}{100}\) × 50
⇒ n = 100 मिनट
∴ टंकी को भरने में लगा समय = 100 मिनट

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन Ex 13.2 Textbook Exercise Questions and Answers

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन Ex 13.2

(जब तक अन्यथा न कहा जाए, π = \(\frac{22}{7}\) लीजिए।)

प्रश्न 1.
एक ठोस एक अर्धगोले पर खड़े एक शंकु के आकार का है जिनकी त्रिज्याएँ 1 cm हैं, तथा शंकु की ऊँचाई उसकी त्रिज्या के बराबर है।इस ठोस का आयतन के पदों में ज्ञात कीजिए।
हल :
शंकु की त्रिज्या = अर्धगोले की त्रिज्या = 1 cm

R = 1 cm
शंकु की ऊँचाई (H) = 1 cm
ठोस का आयतन = शंकु का आयतन + अर्धगोले का आयतन
= \(\frac{1}{3}\) π R²H + \(\frac{2}{3}\) πR³
= \(\frac{1}{3}\) π R² [H + 2R]
= \(\frac{1}{3}\) π × 1 × 1 [1 + 2 × 1]
= \(\frac{1}{3}\) π × 3
= \(\frac{3 \pi}{3}\)
= π cm³
∴ ठोस का आयतन = π cm³.

प्रश्न 2.
एक इंजीनियरिंग के विद्यार्थी रचेल से एक पतली एल्यूमीनियम की शीट का प्रयोग करते हुए एक मॉडल बनाने को कहा गया जो एक ऐसे बेलन के आकार का हो जिसके दोनों सिरों पर दो शंकु जुड़े हुए हों। इस मॉडल का व्यास 3 cm है और इसकी लंबाई 12 cm है। यदि प्रत्येक शंकु की ऊँचाई 2 cm हो, तो रचेल द्वारा बनाए गए मॉडल में अंतर्विष्ट हवा का आयतन ज्ञात कीजिए। (यह मान लीजिए कि मॉडल की आंतरिक और बाहरी विमाएँ लगभग बराबर हैं।) ।
हल:

शंकु की त्रिज्या = बेलन की त्रिज्या (R) = \(\frac{3}{2}\) cm
R = 1.5 cm
प्रत्येक शंकु की ऊँचाई (h) = 2 cm
∴ बेलन की ऊँचाई = 12 – 2 – 2 = 8 cm
बेलन में हवा का आयतन = बेलन का आयतन + 2 (शंकु का आयतन)
= πR²H + 2 [\(\frac{1}{3}\) πR³h]

बेलन में हवा का आयतन = \(\frac{22}{7} \times \frac{3}{2} \times \frac{3}{2} \times \frac{28}{3}\)
= 22 × 3 = 66 cm³
बेलन में हवा का आयतन = 66 cm³.

प्रश्न 3.
एक गुलाब जामुन में उसके आयतन की लगभग 30% चीनी की चाशनी होती है। 45 गुलाब जामुनों में लगभग कितनी चाशनी होगी, यदि प्रत्येक गुलाब जामुन एक बेलन के आकार का है, जिसके दोनों सिरे अर्धगोलाकार हैं तथा इसकी लंबाई 5 cm और व्यास 2.8 cm है (देखिए आकृति)।

हल :
गुलाब जामुन बेलन के आकार का है। बेलन का व्यास = अर्धगोले का व्यास = 2.8 cm
बेलन की त्रिज्या = अर्धगोले की त्रिज्या (R)
= \(\frac{2.8}{2}\) = 1.4 cm
R = 1.4 cm

बेलनाकार भाग की ऊँचाई = 5 – 1.4 – 1.4
= (5 – 2.8) cm = 2.2 cm.
एक गुलाब जामुन का आयतन = बेलन का आयतन + 2 [अर्धगोले का आयतन]

एक गुलाब जामुन का आयतन = 25.05 cm³
अब 45 गुलाब जामुनों का आयतन = 45 × 25.05 cm³
= 1127.28 cm³
∴ चीनी की चाशनी का आयतन = 45 गुलाब जामुनों के आयतन का 30%
= \(\frac{30 \times 1127.28}{100}\)
= 338.184 cm³
चीनी का चाशनी की लगभग मात्रा = 338 cm³.

प्रश्न 4.
एक कलमदान घनाभ के आकार की एक लकड़ी से बना है जिसमें कलम रखने के लिए चार शंक्वाकार गड्ढे बने हुए हैं। घनाभ की विमाएँ 15 cm × 10 cm × 3.5 cm हैं। प्रत्येक गड्ढे की त्रिज्या 0.5 cm है और गहराई 1.4 cm है। पूरे कलमदान में लकड़ी का आयतन ज्ञात कीजिए ( देखिए आकृति )।

हल :
घनाभ की लंबाई (L) = 15 cm
घनाभ की चौड़ाई (B) = 10 cm
घनाभ की ऊँचाई (H) = 3.5 cm
शंक्वाकार गड्ढे की त्रिज्या (r) = 0.5 cm
शंक्वाकार गड्ढे की ऊँचाई (h) = 1.4 cm
कलमदान में लकड़ी का आयतन = घनाभ का आयतन – 4 [शंकु का आयतन]
= LBH – 4 [\(\frac{1}{3}\) πr²h]
= 15 × 10 × 3 – \(\frac{4}{3} \times \frac{22}{7}\) × 0.5 × 0.5 × 1.4

= \(\frac{15 \times 10 \times 35}{10}-\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{5}{10} \times \frac{5}{10} \times \frac{14}{10}\)

= (15 × 35 – \(\frac{22}{3 \times 5}\)) cm²

= (525 – 1.466) cm²
= 523.534 cm³.
अतः, कलमदान में लकड़ी का आयतन = 523.53 cm³.

प्रश्न 5.
एक बर्तन एक उल्टे शंकु के आकार का है। इसकी ऊँचाई 8 cm है और इसका ऊपरी सिरे ( जो खुला हुआ है) की त्रिज्या 5 cm है। यह ऊपर तक पानी | से भरा हुआ है। जब इस बर्तन में सीसे की कुछ गोलियाँ जिनमें प्रत्येक 0.5 cm त्रिज्या वाला एक गोला है, डाली जाती हैं, तो इसमें से भरे हुए पानी का एक चौथाई भाग बाहर निकल जाता है। बर्तन में डाली गई सीसे की गोलियों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल:

शंकु की त्रिज्या (R) = 5 cm
शंकु की ऊँचाई (H) = 8 cm
सीसे की प्रत्येक गोली की त्रिज्या (r) = 0.5 cm
मान लीजिए शंकु में डाली गई गोलियों की संख्या = N तो पानी का एक चौथाई भाग बाहर निकल जाता है।
N [सीसे की एक गोली का आयतन] = \(\frac{1}{4}\) शंक में पानी का आयतन

= \(\frac{1}{4 \times 4}\) × 8 × 2 × 10 × 10
= 10 × 10 = 100
सीसे की गोलियों की संख्या = 100.

प्रश्न 6.
ऊँचाई 220 cm और आधार व्यास 24 cm वाले एक बेलन, जिसमें ऊँचाई 60 cm और त्रिज्या 8 cm वाला एक अन्य बेलन आरोपित है, से लोहे का एक स्तंभ बना है। इस स्तंभ का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए, जबकि दिया है 1 cm लोहे का द्रव्यमान लगभग 8g होता है। (π = 3.14 लीजिए।)
हल :
नीचे वाले बेलन का व्यास = 24 cm
नीचे वाले बेलन की त्रिज्या (R) = 12 cm
नीचे वाले बेलन की ऊँचाई (H) = 220 cm
ऊपर वाले बेलन की त्रिज्या (7) = 8 cm
ऊपर वाले बेलन की ऊँचाई (h) = 60 cm
स्तंभ का आयतन = नीचे वाले बेलन का आयतन + ऊपर वाले बेलन का आयतन
= πR² H + πrh
= 3.14 × 12 × 12 × 220 + 3.14 × 8 × 8 × 60
= 99475.2 + 12057.6

स्तंभ का आयतन = 111532.8 cm³
1 cm³ का द्रव्यमान = 8 gm
111532.8 cm³ का द्रव्यमान = 8 × 111532. 8 = 892262.4 gm
= \(\frac{892262.4}{1000}\) kg
= 892.2624 kg
स्तंभ का द्रव्यमान = 892.2624 kg.

प्रश्न 7.
एक ठोस में, ऊँचाई 120 cm और त्रिज्या 60 cm वाला एक शंकु सम्मिलित है, जो 60 cm त्रिज्या वाले एक अर्धगोले पर आरोपित है। इस ठोस को पानी से भरे हुए एक लंब वृत्तीय बेलन में इस प्रकार सीधा डाल दिया जाता है कि यह बेलन की तली को स्पर्श करे। यदि बेलन की त्रिज्या 60 cm है और ऊँचाई 180 cm है तो बेलन में शेष बचे पानी का आयतन ज्ञात कीजिए।
हल :
शंकु की त्रिज्या = अर्धगोले की त्रिज्या = बेलन की त्रिज्या

R = 60 cm
शंकु की ऊँचाई (h) = 120 cm
बेलन की ऊँचाई (H) = 180 cm
बेलनाकार बर्तन का आयतन = πRH
= \(\frac{22}{7}\) × 60 × 60 × 180
= 2036571.4 cm³
बेलन में डाले गए ठोस का आयतन = अर्धगोले का आयतन + शंकु का आयतन
= \(\frac{1}{3}\) πR³ + \(\frac{2}{3}\) πR²h =
= \(\frac{1}{3}\) πR² [2R + h]
= \(\frac{1}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) ×60 × 60 [2 × 60 + 120]
= \(\frac{1}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) × 3600 [120 + 120]
= \(\frac{1}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) × 3600 × 240
= 905142.86 cm³
बाहर निकले पानी का आयतन = 905142.86 cm³
∴ बेलन में शेष बचे पानी का आयतन = बेलन का आयतन – बर्तन में डाले गए ठोस का आयतन
= (2036571.4 – 905142.86) cm³
= 1131428.5 cm³
= \(\frac{1131428.5}{100 \times 100 \times 100}\) m³
= 1.131 m³
बेलन में शेष बचे पानी का आयतन = 1.131 m³ .

प्रश्न 8.
एक गोलाकार काँच के बर्तन की एक बेलन के आकार की गर्दन है जिसकी लंबाई 8 cm है और व्यास 2 cm है जबकि गोलाकार भाग का व्यास 8.5 cm है। इसमें भरे जा सकने वाले पानी की मात्रा माप कर, एक बच्चे ने यह ज्ञात किया कि इस बर्तन का आयतन 345 cm है। जाँच कीजिए कि उस बच्चे का उत्तर सही है या नहीं, यह मानते हुए कि उपरोक्त मापन आंतरिक मापन है और π = 3.14.
हल :
गर्दन का व्यास (बेलनाकार भाग) = 2 cm

∴ गर्दन की त्रिज्या (r) = 1 cm
बेलनाकार भाग की ऊँचाई (H) = 8 cm
गोलाकार भाग का व्यास = 8.5 cm
गोलाकार भाग की त्रिज्या (R) = \(\frac{8.5}{2}\) cm
बर्तन में पानी का आयतन = गोले का आयतन + बेलन का आयतन
= \(\frac{4}{3}\) πR³ + πr²h
= \(\frac{4}{3}\) × 3.14 × 4.25 × 4.25 × 2.25 + 3.14 × 1 × 1 × 8
= 321.39 + 25.12
= 346.51 cm³
बर्तन में पानी का आयतन = 346.51 cm³ और वह गलत है।

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन Ex 13.1 Textbook Exercise Questions and Answers

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन Ex 13.1

जब तक अन्यथा न कहा जाए, π = \(\frac{22}{7}\) लीजिए।

प्रश्न 1.
दो घनों, जिनमें से प्रत्येक का आयतन 64 cm है, के संलग्न फलकों को मिलाकर एक ठोस बनाया जाता है। इससे प्राप्त घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए घन की प्रत्येक भुजा = x cm
घन का आयतन = 64 cm³
[घन का आयतन = (भुजा)³]

x³ = 64
x = \(\sqrt[3]{64}\)
= \(\sqrt[3]{4 \times 4 \times 4}\)
x = 4 cm
∴ घन की भुजा = 4 cm.
जब घनों को साथ-साथ जोड़ा जाता है तो घनाभ बन जाता है।
जिसकी लंबाई (L) = 2x cm
= 2(4) = 8 cm
चौड़ाई (B) = x cm = 4 cm
ऊँचाई (H) = x cm = 4 cm

घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2[LB + Bh + hL]
= 2 [8 × 4 + 4 × 4 + 4 × 8]
= 2 [ 32 + 16 + 32]
= 2 [80]
घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 160 cm².

प्रश्न 2.
कोई बर्तन एक खोखले अर्धगोले के आकार का है जिसके ऊपर एक खोखला बेलन अध्यारोपित है। अर्धगोले का व्यास 14 cm है और इस बर्तन ( पात्र) की कुल ऊँचाई 13 cm है। इस बर्तन का आंतरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
अर्धगोले का व्यास = बेलन का व्यास = 14 cm
2R = 14 cm
अर्धगोले की त्रिज्या (R) = 7 cm

बर्तन की कुल ऊँचाई = 13 cm
∴ बेलन की ऊँचाई = (13 – 7) = 6 cm
बर्तन का आंतरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल = बेलन का आंतरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल + अर्धगोले का आंतरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 2πRH + 2πR²
= 2πR [H + R]
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × 7 [6 + 7]
= 44 × 13 = 572 cm²
बर्तन का आंतरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल = 572 cm².

प्रश्न 3.
एक खिलौना त्रिज्या 3.5 cm वाले एक शंकु के आकार का है, जो उसी त्रिज्या वाले एक अर्धगोले पर अध्यारोपित है। इस खिलौने की संपूर्ण ऊँचाई 15.5 cm है। इस खिलौने का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
शंकु की त्रिज्या = अर्धगोले की त्रिज्या (R) = 3.5 cm
खिलौने की कुल ऊँचाई = 15.5 cm
∴ शंकु की ऊँचाई (H) = (15.5 – 3.5) = 12 cm

शंकु की तिर्यक ऊँचाई = \(\sqrt{\mathrm{R}^{2}+\mathrm{H}^{2}}\)
= \(\sqrt{(3.5)^{2}+(12)^{2}}\)
= \(\sqrt{12.25+144}\)
= \(\sqrt{156.25}\)
शंकु की तिर्यक ऊँचाई (1) = 12.5 cm
खिलौने का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल + अर्धगोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल
= πRL + 2πR²
= πR [L + 2R]
= \(\frac{22}{7}\) × 3.5 [12.5 + 2(3.5)]
= \(\frac{22}{7}\) × 3.5 [19.5]
= \(\frac{15015}{7}\)
= 214.5 cm³
∴ खिलौने का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 214.5 cm³

प्रश्न 4.
भुजा 7 cm वाले एक घनाकार ब्लॉक के ऊपर एक अर्धगोला रखा हुआ है। अर्धगोले का अधिकतम व्यास क्या हो सकता है ? इस प्रकार बने ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
घनाकार ब्लॉक की भुजा = 7 cm

अर्धगोले का व्यास = घनाकार ब्लॉक की भुजा = 7 cm
2R = 7
R = \(\frac{7}{2}\) cm
बने ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल = घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल + अर्धगोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 6(भुजा)² + 2πR²
= 6(l)² + πR²
= 6(7)² + 2 × \(\frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2}\)
= 294 + 77
= 371 cm²
ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल = (घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल) – (अर्ध गोले के आधार का क्षेत्रफल) + (अर्ध गोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल)
= 6l² – πR² + 2πR²
= 6l² + πR²
= 6(7)² + \(\frac{22}{7} \times\left(\frac{7}{2}\right)^{2}\)]
= [6 (49) + 11 \(\frac{7}{2}\)] cm²
= 332.5 cm²

प्रश्न 5.
एक घनाकार ब्लॉक के एक फलक को अंदर की ओर से काट कर एक अर्धगोलाकार गड्ढा इस प्रकार बनाया गया है कि अर्धगोले का व्यास घन के एक किनारे के बराबर है। शेष बचे ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए घन की भुजा = a
∴ अर्धगोले का व्यास = घन की भुजा
2R = a
R = a/2

शेष बचे ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल = घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल – घन के तल का क्षेत्रफल + अर्धगोले का आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 6 (भुजा)² – πR² + 2πR²
= 6(a)² + πR²
= 6(a)² + π \(\left(\frac{a}{2}\right)^{2}\)
= 6a² + π \(\frac{a^{2}}{4}\)
= a² [6 + \(\frac{\pi}{4}\)] cm²

प्रश्न 6.
दवा का एक कैप्सूल (capsule) एक बेलन के आकार का है जिसके दोनों सिरों पर एक-एक अर्धगोला लगा हुआ है ( देखिए आकृति)। पूरे कैप्सूल की लंबाई 14 mm है और उसका व्यास 5 mm है। इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल :
कैप्सूल का व्यास = अर्धगोले का व्यास = बेलन का व्यास = 5 mm
2R = 5 mm
R = \(\frac{5}{2}\) mm

कैप्सूल की आंतरिक लंबाई = 14 mm
बेलनाकार भाग की ऊँचाई = (14 – \(\frac{5}{2}\) – \(\frac{5}{2}\)) mm
= (14 – 5) mm
H = 9 mm
कैप्सूल का पृष्ठीय क्षेत्रफल = बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल + 2 अर्धगोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 2πRH + 2 (2πR²)
= 2πRH + 4πR²
= 2πR [H + 2R]
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × \(\frac{5}{2}\) [9 + 2 (\(\frac{5}{2}\))]
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × \(\frac{5}{2}\) [9 + 5]
= \(\frac{22}{7}\) × 5 × 14
= 22 × 5 × 2
= 220 mm²
कैप्सूल का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 220 mm² .

प्रश्न 7.
कोई तंबू एक बेलन के आकार का है जिस पर एक शंकु अध्यारोपित है। यदि बेलनाकार भाग की ऊँचाई और व्यास क्रमश: 2.1 m और 4 m है तथा शंकु की तिर्यक ऊँचाई 2.8 m है तो इस तंबू को बनाने में प्रयुक्त कैनवस (canvas) का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। साथ ही, ₹500 प्रति m- की दर से इसमें प्रयुक्त कैनवस की लागत ज्ञात कीजिए।(ध्यान दीजिए कि तंबू के आधार को कैनवस से नहीं ढका जाता है।)
हल :
शंकु का व्यास = बेलन का व्यास
2R = 4
R = 2 m

शंकु की त्रिज्या = बेलन की त्रिज्या
बेलन की ऊँचाई (H) = 2.1 m
शंकु की तिर्यक ऊँचाई(L) = 2.8m
तंबू का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + शंक्वाकार भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 2πRH + πRL
= πR [2H + L]
= \(\frac{22}{7}\) × 2[2 (2.1) + 28]
= \(\frac{22}{7}\) × 2[4.2 + 28]
= \(\frac{22}{7}\) × 2 × 7
= 44 m²
∴ तंबू का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 44 m²
1m² कैनवस की लागत = ₹ 500
44 m² कैनवस की लागत = ₹ 44 × 500 = ₹ 22000
कैनवस की कुल लागत = ₹ 22000

प्रश्न 8.
ऊँचाई 2.4 cm और व्यास 1.4 cm वाले एक ठोस बेलन में से इसी ऊँचाई और इसी व्यास वाला एक शंक्वाकार खोल (cavity) काट लिया जाता है। शेष बचे ठोस का निकटतम वर्ग सेंटीमीटर तक पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
बेलन का व्यास (D) = 1.4 cm = शंकु का व्यास
∴ बेलन की त्रिज्या = शंकु की त्रिज्या (R) = 0.7 cm
बेलन की ऊँचाई (H) = 2.4 cm

जैसा कि हम जानते हैं, L² = R² + H²
L = \(\sqrt{(0.7)^{2}+(2.4)^{2}}\)
= \(\sqrt{0.49+5.76}\)
= \(\sqrt{6.25}\)
L = 2.5 cm
शेष बचे ठोस का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + बेलन के आधार का क्षेत्रफल + शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 2πRH + πR² + πRL
= πR [2R + R + L]
= \(\frac{22}{7}\) × 0.7 [2(2.4) + 0.7 + 2.5]
= \(\frac{22}{7} \times \frac{7}{10}\) [4.8 + 3.2]
= \(\frac{22}{10}\) [8]
= \(\frac{176}{10}\)
= 17.6 cm²
शेष बचे ठोस का निकटतम वर्ग सेंटीमीटर तक पृष्ठीय क्षेत्रफल = 18 cm².

प्रश्न 9.
लकड़ी के एक ठोस बेलन के प्रत्येक सिरे पर एक अर्धगोला खोदकर निकालते हुए, एक वस्तु बनाई गई है, जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। यदि बेलन की ऊँचाई 10 cm है और आधार की त्रिज्या 3.5 cm है तो इस वस्तु का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल :
बेलन की ऊँचाई (H) = 10 cm
बेलन की त्रिज्या = अर्धगोले की त्रिज्या (R) = 3.5 cm

वस्तु का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + 2 अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 2πRH + 2 (2πR)
= 2πR [H + 2R]
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × 3.5 [10 + 2(3.5)]
= \(\frac{44}{7} \times \frac{35}{10}\) [10 +7]
= 44 × \(\frac{5}{10}\) × 17
= 44 × \(\frac{1}{2}\) × 17
= 22 × 17
= 374 cm² .
∴ वस्तु का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल : = 374 cm².

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 12 वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल Ex 12.3 Textbook Exercise Questions and Answers

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 12 वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल Ex 12.3

(जब तक अन्यथा न कहा जाए, == का प्रयोग कीजिए।)

प्रश्न 1.
आकृति में, छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि PQ = 24 cm, PR = 7 cm तथा 0 वृत्त का केन्द्र है।

हल :
PQ = 24 cm
PR = 7 cm
RQ वृत्त का व्यास है।
∠RPQ = 90°
अर्धवृत्त का कोण ∆PQR में,
QR² = RP² + PQ²
QR = \(\sqrt{(7)^{2}+(24)^{2}}=\sqrt{49+576}\)
= √625
QR = 25 cm
∴ वृत्त का व्यास (QR) = 25 cm
वृत्त की त्रिज्या (R) = \(\frac{25}{2}\) cm
छायांकित भाग का क्षेत्रफल = अर्धवृत्त का क्षेत्रफल – ∆RPQ का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\) πR² – \(\frac{1}{2}\) RP × PQ
= \(\left[\frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times \frac{25}{2} \times \frac{25}{2}-\frac{1}{2} \times 7 \times 24\right]\) cm²
= [\(\frac{6875}{28}\) – 84]
= 245.53 – 84
= 161.53 cm²
छायांकित भाग का क्षेत्रफल = 161.53 cm²

प्रश्न 2.
आकृति में, छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि केन्द्र 0 वाले दोनों सकेंद्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमश: 7 cm और 14 cm हैं तथा ∠AOC = 40° है।
हल :

छोटे वृत्त की त्रिज्या (r) = 7 cm
बड़े वृत्त की त्रिज्या (R) = 14 cm
केन्द्रीय कोण ∠AOC (θ) = 40°
छायांकित भाग का क्षेत्रफल = दीर्घ त्रिज्यखंड OAC का क्षेत्रफल – लघु त्रिज्यखंड OBD का क्षेत्रफल

∴ छायांकित भाग का क्षेत्रफल = 51.33 cm²

प्रश्न 3.
आकृति में, छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि ABCD भुजा 14 cm का एक वर्ग है तथा APD और BPC दो अर्धवृत्त हैं।

हल :
वर्ग की भुजा = 14 cm
अर्धवृत्त का व्यास (AB = BC) = 14 cm
अर्धवृत्त की त्रिज्या (R) = 7 cm
वर्ग का क्षेत्रफल = (भुजा)
= 14 × 14 = 196 cm²
अर्धवृत्त का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) πR²
= \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{22}{7}\) × 7 × 7
= 77 cm²
दो अर्धवृत्तों का क्षेत्रफल = 2(77)
= 154 cm²
छायांकित भाग का क्षेत्रफल = वर्ग ABCD का क्षेत्रफल – दो अर्धवृत्तों का क्षेत्रफल
= (196 – 154)
= 42 cm²
∴ छायांकित भाग का क्षेत्रफल = 42 cm²

प्रश्न 4.
आकृति में, छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जहाँ भुजा 12 cm वाले एक समबाहु त्रिभुज OAB के शीर्ष 0 को केन्द्र मान कर 6 cm त्रिज्या वाला एक वृत्तीय चाप खींचा गया है।

हल :
चाप की त्रिज्या (R) = 6 cm
समबाहु त्रिभुज OAB की भुजा = 12 cm
OA = OB = AB = 12 cm
त्रिज्यखंड का केन्द्रीय कोण = 60°
[समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण 60°
वृत्त के दीर्घ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = वृत्त का क्षेत्रफल – त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल
= πR² – \(\frac{\pi \mathrm{R}^{2} \theta}{360}\)
= \(\frac{22}{7}\) × 6 × 6 – \(\frac{22}{7}\) × 6 × 6 × \(\frac{60^{\circ}}{360^{\circ}}\)
= \(\frac{22}{7}\) × 6 × 6 [1 – \(\frac{60}{360}\)]
= \(\frac{22}{7}\) × 36 × \(\frac{5}{6}\)
= 94.28 cm²
∴ वृत्त के दीर्घ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = 94.28 cm²
समबाहु त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल = \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) (भुजा)²
= \(\frac{1.73}{4}\) × 12 × 12
= 1.73 × 36
= 62.28 cm²
छायांकित क्षेत्रफल = समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल OAB + वृत्त की दीर्घ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल
= 62.28 + 94.28
= 156.56
छायांकित क्षेत्रफल = 156.56 cm²

प्रश्न 5.
भुजा 4 cm वाले एक वर्ग के प्रत्येक कोने से 1 cm त्रिज्या वाले वृत्त का एक चतुर्थांश काटा गया है तथा बीच में 2 cm व्यास का एक वृत्त भी काटा गया है, जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। वर्ग के शेष भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल :
वर्ग की भुजा = 4 cm
काटे गए प्रत्येक अर्धवृत्त की त्रिज्या (r) = 1 cm
वृत्त का व्यास (R) = 2 cm
∴ वृत्त की त्रिज्या (R) = 1 cm
वर्ग का क्षेत्रफल = (भुजा)²
= (4)² = 16 cm²
4 चतुर्थांशों का क्षेत्रफल = 4 \(\left[\frac{\pi r^{2} \theta}{360}\right]\)
= \(\frac{4 \times 90}{360} \times \frac{22}{7}\)
= 1 × \(\frac{22}{7}\) × 1 × 1 = 3.14 cm²
वृत्त का क्षेत्रफल = πR²
= \(\frac{22}{7}\) × 1 × 1 = \(\frac{22}{7}\)
वृत्त का क्षेत्रफल = 3.14 cm²
अभीष्ट क्षेत्रफल = [वर्ग का क्षेत्रफल] – [4 चतुर्थांशों का क्षेत्रफल] – [वृत्त का क्षेत्रफलका]
= (16 – 3.14 – 3.14) cm²
= 9.72 cm²
अभीष्ट क्षेत्रफल = 9.72 cm²

प्रश्न 6.
एक वृत्ताकार मेज़ पोश, जिसकी त्रिज्या 32 cm है, में बीच में एक समबाहु त्रिभुज ABC छोड़ते हुए एक डिज़ाइन बना हुआ है, जैसा कि आकृति में दिखाया गया है। इस छायांकित डिज़ाइन का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल :
मेज़पोश की त्रिज्या (R) = 32 cm
OA = OB = OC = 32 cm

∆ABC एक समबाहु त्रिभुज है जिसमें
AB = AC = BC = 32 cm
∠A = ∠B = ∠C = 60°
∠AOB = 120° = BOC
OM ⊥ BC
BM = MC = \(\frac{1}{2}\) BC
∆OBM = ∆OMC [ RHS सर्वांगसमता]
अब ∆BOC में,
बिन्दु O से OM, ∠BOC और BC का लम्ब समद्विभाजक खींचा।
∴ BM = MC = \(\frac{1}{2}\) BC
परन्तु, OB = OC
एक वृत की त्रिज्या
∴ ∠B = ∠C
∴ ∠O + ∠B + ∠C = 180°
120° + 2∠B = 180°
∴ ∠B = 30°
और ∠B = ∠C = 30°
अब, ∠BOM = ∠COM = 60°
∆OMB = ∆OMC समकोण-कर्ण-भुजा सर्वांगसमता
∴ ∆OMB में,
∠OBM = 30°
[∠O = 60° और ∠M = 90°]
∴ \(\frac{\mathrm{BM}}{\mathrm{OB}}\) = cos 30°
\(\frac{\mathrm{BM}}{32}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
BM = 16√3 cm
BC = 2MB = 32√3 cm
वृत्त का क्षेत्रफल = πR²
= \(\frac{22}{7}\) × (32)²
= \(\frac{22}{7}\) × 32 × 32
= 3218.28 cm²
∆ABC का क्षेत्रफल = \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) (भुजा)²
= \(\frac{1.73}{4}\) × 32√3 × 32√3
= 1328.64 cm²
अभीष्ट क्षेत्रफल = वृत्त का क्षेत्रफल – ∆ABC का क्षेत्रफल
= 3218.28 – 1328.64
= 1889.64 cm²

प्रश्न 7.
आकृति में, ∆BCD भुजा 14 cm वाला एक वर्ग है। A, B, C और D को केन्द्र मानकर, चार वृत्त इस प्रकार खींचे गए हैं कि प्रत्येक वृत्त तीन शेष वृत्तों में से दो वृत्तों को बाह्य रूप से स्पर्श करता है। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल :
वर्ग ABCD की भुजा = 14 cm
वृत्त की त्रिज्या (R) = 7 cm
त्रिज्याखंड कोण (θ) = 90°
[वर्ग का प्रत्येक कोण 90° है]
वर्ग का क्षेत्रफल = (भुजा)
= 14 × 14 = 196 cm²
चार चतुर्थांशों का क्षेत्रफल = \(\left[\frac{\pi \mathrm{R}^{2} \theta}{360}\right]\)
= \(4 \times \frac{22}{7} \times \frac{7 \times 7 \times 90}{360}\)
= 22 × 7 = 154 cm²
अभीष्ट छायांकित क्षेत्रफल = वर्ग का क्षेत्रफल – चार चतुर्थांशों का क्षेत्रफल
= 196 – 154
= 42 cm²

प्रश्न 8.
दोनों आंतरिक समांतर रेखाखंडों के बीच की दूरी 60 m है तथा इनमें से प्रत्येक रेखाखंड 106 m लंबा है। यदि यह पथ 10 m चौड़ा है, तो ज्ञात कीजिए।
(i) पथ के आंतरिक किनारों के अनुदिश एक पूरा चक्कर लगाने में चली गई दूरी
(ii) पथ का क्षेत्रफल

हल:

यहाँ AB = DC = 106 m
AF = BE = CG = HD = 10 m
आंतरिक अर्धवृत्त का व्यास (APD और BRC) = 60 m
∴ अर्धवृत्त की आन्तरिक त्रिज्या (APD) (r) = 30 m
अर्धवृत्त की बाहरी त्रिज्या (R) = r + 10
= 30 + 10 = 40 m
पथ के आंतरिक किनारों के अनुदिश एक पूरा चक्कर लगाने में चली गई दूरी, = AB + अर्धवृत्त BRC का परिमाप + CD + अर्धवृत्त DRA का परिमाप
= 2AB + 2 [अर्धवृत्त BRC का क्षेत्रफल]
= 2 (106) + 2 (\(\frac{2 \pi r}{2}\))
= 212 + 2πr
= 212 + 2 × \(\frac{22}{7}\)× 30
= 212 + \(\frac{60 \times 22}{7}\)
= 212 + 188.57
= 400.57 m
∴ पथ के आंतरिक किनारों के अनुदिश एक पूरा चक्कर लगाने में चली गई दूरी, = 400.57 m

(ii) पथ का क्षेत्रफल = आयत ABEF का क्षेत्रफल + क्षेत्र BEMGCRB का क्षेत्रफल + आयत CGHD का क्षेत्रफल + क्षेत्र का क्षेत्रफल
= 2 आयत ABCD का क्षेत्रफल + 2 क्षेत्र का क्षेत्रफल
= 2 (AB × AF) + 2 [अर्धवृत्त की त्रिज्या 60 cm – अर्धवृत्त जिस की त्रिज्याएँ 30 cm हैं, का क्षेत्रफल]
= 2[106 × 10] + 2 \(\left[\frac{\pi \mathrm{R}^{2}}{2}-\frac{\pi r^{2}}{2}\right]\)
= 2 × 1060 + \(\frac{2 \pi}{2}\) [R² – r²]
= 2120 + \(\frac{22}{7}\) × (40² – 30²)
= 2120 + \(\frac{22}{7}\) [1600 – 900]
= 2120 + \(\frac{22}{7}\) [700]
= 2120 + 2200
= 4320 m²
∴ पथ का क्षेत्रफल = 4320 m²

प्रश्न 9.
आकृति में, AB और CD केन्द्र 0 वाले एक वृत्त के दो परस्पर लंब व्यास हैं तथा OD छोटे वृत्त का व्यास है। यदिOA = 7 cm है, तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल :
वृत्त का व्यास = 14 cm
वृत्त की त्रिज्या = 7 cm
छोटे वृत्त का व्यास = 7 cm
∴ छोटे वृत्त की त्रिज्या = \(\frac{7}{2}\) cm
AB और CD एक वृत्त के दो परस्पर लंब व्यास है।
∴ AD ⊥ CD
बड़े वृत्त का क्षेत्रफल = πR²
= \(\frac{22}{7}\) × 7 × 7
= 154 cm²
छोटे वृत्त का क्षेत्रफल = \(\frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2}\)
= 38.50 cm²
∆ ABC का क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई
= \(\frac{1}{2}\) × 14 × 7
= 49 cm²
∴ छायांकित क्षेत्रफल = बड़े वृत्त का क्षेत्रफल – छोटे वृत्त का क्षेत्रफल – त्रिभुज का क्षेत्रफल
= (154 – 38.5 – 49) cm²
= 66.5 cm²

प्रश्न 10.
एक समबाहु त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल 17320.5 cm है। इस त्रिभुज के प्रत्येक शीर्ष को केन्द्र मानकर त्रिभुज की भुजा के आधे के बराबर की त्रिज्या लेकर एक वृत्त खींचा जाता है ( देखिए आकृति )। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
(π = 3.14 और √3 = 1.73205 लीजिए।)

हल :
समबाहु त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल = 17320.5 cm²

भुजा = 2 × 100 = 200 cm
∴ AB = BC = AC
वृत्त की त्रिज्या (R) = \(\frac{\mathrm{AB}}{2}=\frac{200}{2}\) = 100 cm
त्रिज्यखंड का कोण, θ = 60°
त्रिज्यखंड APN का क्षेत्रफल = \(\frac{\pi \mathrm{R}^{2} \theta}{360}\)
= \(\frac{3.14 \times 100 \times 100 \times 60^{\circ}}{360}\)
= 5233.33 cm²
तीनों त्रिज्यखंडों का क्षेत्रफल = 3 × 5233.33 cm²
= 15699.99 = 15700
∴ अभीष्ट छायांकित क्षेत्रफल = त्रिभुज का क्षेत्रफल – तीन त्रिज्यखंडों का क्षेत्रफल
= 17320.5 – 15700 = 1620.5 cm²
∴ छायांकित क्षेत्रफल = 1620.5 cm²

प्रश्न 11.
एक वर्गाकार रूमाल पर, नौ वृत्ताकार डिज़ाइन बने हैं, जिनमें से प्रत्येक की त्रिज्या 7 cm है ( देखिए आकृति)। रूमाल के शेष भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल :
वृत्त की त्रिज्या (R) = 7 cm
वृत्त का व्यास = 2 × R
= 2 × 7
= 14 cm
क्योंकि वर्ग की भुजा के अनुदिश तीन वृत्त हैं।
∴ वर्ग की भुजा = 3 [14] = 42 cm
रूमाल का कुल क्षेत्रफल = वर्ग का क्षेत्रफल = (भुजा)²
= (42)² = 1764 cm² .
नौ वृत्ताकार डिज़ाइनों का क्षेत्रफल = 9TR²
= 9 × \(\frac{22}{7}\) × (7)
= 9 × \(\frac{22}{7}\) × 7 × 7
= 9 × 154
= 1386 cm²
∴ शेष भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = वर्ग का क्षेत्रफल – 9 वृत्ताकार डिज़ाइनों का क्षेत्रफल
= 1764 – 1386 = 378 cm²
∴ शेष भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 378 cm²

प्रश्न 12.
आकृति में, OACB केन्द्र 0 और त्रिज्या 3.5 cm वाले एक वृत्त का चतुर्थांश है। यदि OD = 2 cm है, तो निम्नलिखित के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए :
(i) चतुर्थांश OACB
(ii) छायांकित भाग

हल :
चतुर्थांश की त्रिज्या (R) = 3.5 cm
त्रिज्यखंड का कोण (θ) = 90°
OD = 2 cm.
(i) चतुर्थांश OACB का क्षेत्रफल = \(\frac{\pi \mathrm{R}^{2} \theta}{360}\)
= \(\frac{22}{7} \times \frac{3.5 \times 3.5 \times 90^{\circ}}{360}\)
= 9.625 cm²

(ii) ∆ODB का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) आधार × ऊँचाई
= \(\frac{1}{2}\) × 3.5 × 2 = 3.5 cm²
∴ छायांकित क्षेत्रफल = चतुर्थांश OACB का क्षेत्रफल – ∆ODB का क्षेत्रफल = 9.625 – 3.5
= 6.125 cm²
∴ छायांकित क्षेत्रफल = 6.125 cm²

प्रश्न 13.
आकृति में, एक चतुर्थांश OPBQ के अंतर्गत एक वर्ग OABC बना हुआ है। यदि OA = 20 cm है, – तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
(π = 3.14 लीजिए।)

हल :
वर्ग ABCO की भुजा = 20 cm
∠AOC = 90°
AB = OA

∴ ∆OAB में,
OB² = OA² + AB²
OB = \(\sqrt{(20)^{2}+(20)^{2}}\)
= \(\sqrt{400+400}\)
= \(\sqrt{800}\)
OB = 20√2 cm

वर्ग OABC का क्षेत्रफल = (side)² = (20)²
∴ वर्ग का क्षेत्रफल = 400
चतुर्थांश की त्रिज्या (R) = 20√2
त्रिज्यखंड का कोण (θ) = 90°
∴ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = \(\frac{\pi \mathrm{R}^{2} \theta}{360}\)
= \(\frac{3.14 \times 20 \sqrt{2} \times 20 \sqrt{2} \times 90^{\circ}}{360}\)
= 2 × 314 cm²
= 628 cm²
अभीष्ट छायांकित क्षेत्रफल = त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल – वर्ग का क्षेत्रफल
= (628 – 400) cm²
= 228 cm²

प्रश्न 14.
AB और CD केन्द्र 0 तथा त्रिज्याओं 21 cm और 7 cm वाले दो संकेंद्रीय वृत्तों के क्रमशः दो चाप हैं ( देखिए आकृति)। यदि ∠AOB = 30° है, तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल :
त्रिज्यखंड OBA (R) की त्रिज्या = 21 cm त्रिज्यखंड ODC (r) की त्रिज्या = 7 cm
त्रिज्यखंड का कोण (θ) = 30°
बड़े त्रिज्यखंड (OAB) का क्षेत्रफल = \(\frac{\pi \mathrm{R}^{2} \theta}{360}\)
= \(\frac{22}{7} \times \frac{21 \times 21 \times 30^{\circ}}{360}\)
= 115.5 cm
छोटे त्रिज्यखंड (ODC) का क्षेत्रफल = \(\frac{\pi \mathrm{R}^{2} \theta}{360}\)
= \(\frac{22}{7} \times \frac{7 \times 7 \times 30^{\circ}}{360}\)
छोटे त्रिज्यखंड (ODC) का क्षेत्रफल = 12.83 cm
अब छायांकित भाग का क्षेत्रफल = बड़े त्रिज्यखंड OAB का क्षेत्रफल – छोटे त्रिज्यखंड OCD का क्षेत्रफल
= 115.5 – 12.83
= 102.66
छायांकित भाग का क्षेत्रफल = 102.66 cm²

प्रश्न 15.
आकृति में, ABC त्रिज्या 14 cm वाले एक वृत्त का चतुर्थांश है तथा BC को व्यास मान कर एक अर्धवृत्त खींचा गया है। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल :
त्रिज्यखंड ACPB की त्रिज्या (r) = 14 cm
त्रिज्यखंड कोण (θ) = 90°
AB = AC = 7 cm

त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) × AB × AC
= \(\frac{1}{2}\) × 14 × 14
= 98 cm²

त्रिज्यखंड ACPB का क्षेत्रफल = \(\frac{\pi r^{2} \theta}{360}\)
= \(\frac{22}{7} \times \frac{14 \times 14 \times 90^{\circ}}{360}\)
= 154 cm²

∴ BOCPB का क्षेत्रफल = त्रिज्यखंड ∆BPC का क्षेत्रफल – ∆ABC का क्षेत्रफल
= 154 cm² – 98 cm²
= 56 cm²

∆BAC में,
AB² + AC² = B²
(14)² + (14)² = BC²
BC = \(\sqrt{196+196}=\sqrt{2(196)}\)
= 14√2.

∴ अर्धवृत्त BOCR की त्रिज्या = 14√2
= 7√2

अर्धवृत्त का क्षेत्रफल = \(\frac{\pi \mathrm{R}^{2}}{2}\)
= \(\frac{22}{7} \times \frac{7 \sqrt{2} \times 7 \sqrt{2}}{2}\)
= \(\frac{22}{7} \times \frac{7 \times 7 \times 2}{2}\)
= 154 cm²

अभीष्ट क्षेत्रफल = अर्धवृत्त का क्षेत्रफल — [त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल – ∆BAC का क्षेत्रफल]
= 154 – [154 – 98]
= 154 – 56
= 98 cm²
छायांकित भाग का क्षेत्रफल = 98 cm²

प्रश्न 16.
आकृति में, छायांकित डिज़ाइन का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जो 8 cm त्रिज्याओं वाले दो वृत्तों के चतुर्थांशों के बीच उभयनिष्ठ है।

हल :
वर्ग की भुजा = 8 cm
वर्ग का क्षेत्रफल = (8)² = 64 cm²
रेखा BD वर्ग ∆BCD को समान भागों में विभाजित करती है।
∆ABD का क्षेत्रफल = ∆BDC का क्षेत्रफल
त्रिज्यखंड का कोण, θ = 90°
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = \(\frac{\pi \mathrm{R}^{2} \theta}{360}\)
= \(\frac{22}{7} \times \frac{8 \times 8 \times 90^{\circ}}{360}\)

त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = 50.28 cm²
∆ABD का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) × AB × AD
= \(\frac{1}{2}\) × 8 × 8
= 32 cm²

∴ वृत्तखंड DMBPD का क्षेत्रफल = ∆BPD का क्षेत्रफल – AABD का क्षेत्रफल
= 50.28 – 32
= 18.28 cm²
छायांकित क्षेत्रफल = 2 वृत्तखंड DMBPD का क्षेत्रफल
= 2 (18.28) = 36.56 cm².

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 12 वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल Ex 12.2 Textbook Exercise Questions and Answers

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 12 वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल Ex 12.2

(जब तक अन्यथा न कहा जाए, π = \(\frac{22}{7}\) का प्रयोग कीजिए)

प्रश्न 1.
6 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त के एक त्रिज्याखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसका कोण 60° है।
हल :
वृत्त के त्रिज्याखंड की त्रिज्या (R) = 6 cm

केंद्रीय कोण (9) = 60°
त्रिज्याखंड का क्षेत्रफल = \(\frac{\pi \mathrm{R}^{2} \theta}{360}\)
= \(\frac{22}{7} \times \frac{6 \times 6 \times 60}{360}\)
= \(\frac{132}{7}\) cm²
∴ त्रिज्याखंड का क्षेत्रफल = 18.86 cm²

प्रश्न 2.
एक वृत्त के चतुर्थांश (quadrant) का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसकी परिधि 22 cm है।
हल :
वृत्त की परिधि = 22 cm
2πR = 22
R = \(\frac{22 \times 7}{2 \times 22}=\frac{7}{2}\) cm
R = \(\frac{7}{2}\)
केंद्रीय कोण [चतुर्थांश] (θ) = 90°
∴ चतुर्थांश का क्षेत्रफल = \(\frac{\pi \mathrm{R}^{2} \theta}{360}\)
= \(\frac{\frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \times 90}{360}\)
= \(\frac{77}{8}\) cm²
चतुर्थांश का क्षेत्रफल = 9.625 cm²

प्रश्न 3.
एक घड़ी की मिनट की सुई जिसकी लंबाई 14 cm है। इस सुई द्वारा 5 मिनट में रचित क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
मिनट की सुई की लंबाई = वृत्त की त्रिज्या (R) = 14 cm

हमें ज्ञात है,
60′ = 360°
1′ = \(\frac{360}{60}\)= 6.
5′ = 6° x 5 = 30°
त्रिज्यखंड कोण (θ) = 30°
∴ सुई द्वारा 5 मिनट में रचित क्षेत्रफल = \(\frac{\pi \mathrm{R}^{2} \theta}{360}\)

= \(\frac{22}{7}\) × 14 × 14 × \(\frac{30^{\circ}}{360^{\circ}}\)

= \(\frac{1}{12}\) × 22 × 8

= \(\frac{154}{3}\) cm²

सुई द्वारा 5 मिनट में रचित क्षेत्रफल = 51.33 cm².

प्रश्न 4.
10 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त की कोई जीवा केंद्र पर एक समकोण अंतरित करती है। निम्नलिखित के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए :
(i) संगत लघु वृत्तखंड
(ii) संगत दीर्घ त्रिज्यखंड
(π = 3.14 का प्रयोग कीजिए)।
हल :
वृत्त की त्रिज्या (R) = 10 cm
केंद्रीय कोण (θ) = 90°
लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = \(\frac{\pi \mathrm{R}^{2} \theta}{360}\)
= 3.14 × 10 × 10 × \(\frac{90}{360}\) = \(\frac{314}{4}\)
लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = \(\frac{314}{4}\) = 78.5 cm²
लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल = लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल – ∆AOB का क्षेत्रफल
= 78.5 – \(\frac{1}{2}\) आधार × ऊँचाई
= (78.5 – \(\frac{1}{2}\) × 10 × 10) cm²
= (78.5 – 50) cm²
= 28.5 cm²
∴ लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल = 28.5 cm
दीर्घ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = \(\frac{(360-90)}{360}\) πR²

= \(\frac{270}{360}\) × 3.14 × 100

= \(\frac{3 \times 314}{4}=\frac{3 \times 157}{2}\)
∴ दीर्घ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = 235.5 cm²

प्रश्न 5.
त्रिज्या 21 cm वाले वृत्त का एक चाप केंद्र पर 60° का कोण अंतरित करता है। ज्ञात कीजिए :
(i) चाप की लंबाई
(ii) चाप द्वारा बनाए गए त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल
(iii) संगत जीवा द्वारा बनाए गए वृत्तखंड का क्षेत्रफल
हल :
(i) वृत्त की त्रिज्या (R) = 21 cm

केंद्रीय कोण (θ) = 60°
चाप की लंबाई = \(\frac{\theta}{360}\) × 2πR
= \(\frac{60}{360}\) × 2 × \(\frac{22}{7}\) × 21
चाप की लंबाई = 22 cm

(ii) चाप द्वारा बनाए गए त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = \(\frac{\pi \mathrm{R}^{2} \theta}{360}\)
= \(\frac{22}{7} \times \frac{21 \times 21 \times 60}{360}\)
= 231 cm²
(क्योंकि ∆OAB समबाहु त्रिभुज है जिसमें θ = 60°).

(iii) वृत्तखंड का क्षेत्रफल = त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल – ∆AOB का क्षेत्रफल
= \(\frac{\pi \mathrm{R}^{2} \theta}{360}-\frac{\sqrt{3}}{4}(\text { भुजा })^{2}\)
= 231 – \(\frac{1.73}{4}\) × 21 × 21
= 231 – 0.4325 × 441
= 231 – 190.7325
वृत्तखंड का क्षेत्रफल = 40.26 cm²

प्रश्न 6.
15 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त की कोई जीवा केंद्र पर 60° का कोण अंतरित करती है। संगत लघु और दीर्घ वृत्तखंडों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
(π = 3.14 और √ 3 = 1.73 का प्रयोग कीजिए।)
हल :
वृत्त की त्रिज्या = (R) = 15 cm
केंद्रीय कोण (θ) = 60°

∆OAB में, केंद्रीय कोण θ = 60°
OA = OB = 15 cm
∴ ∠A = ∠B = 60°
∴ ∆OAB समबाहु त्रिभुज है।
[लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल] = [समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल] – [लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल]

लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल = 20.43 cm²
दीर्घ वृत्तखंड का क्षेत्रफल = वृत्त का क्षेत्रफल – लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल
= πR² – 20.43
= 3.14 × 15 × 15 – 20.43
= 706.5 – 20.43
= 686.07 cm²
दीर्घ वृत्तखंड का क्षेत्रफल = 686.07 cm²

प्रश्न 7.
त्रिज्या 12 cm वाले एक वृत्त की कोई जीवा केंद्र पर 120° का कोण अंतरित करती है। संगत वृत्तखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
(π = 3.14 और √3 = 1.73 का प्रयोग कीजिए।)
हल :
वृत्त की त्रिज्या (R) = 12 cm
केंद्रीय कोण (θ) = 120°
∆OAM में,
OM ⊥ A B
∴ AM = MB = \(\frac{1}{2}\) AB

∴ ∠OAM = 30° = ∠OBM

AB = 2AM
= 2 \(\left(\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{OA}}\right)\) OA
= 2 (sin 60°) 12
AB = 2 × \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) × 12 = 12√3 cm
OM = OA \(\left(\frac{\mathrm{OM}}{\mathrm{OA}}\right)\)
= 12 (cos 60°)
= 12 × \(\frac{1}{2}\) = 6 cm
वृत्तखंड का क्षेत्रफल = त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल – ∆OAB का क्षेत्रफल वृत्तखंड का क्षेत्रफल
= \(\frac{\pi \mathrm{R}^{2} \theta}{360}\) – \(\frac{1}{2}\) AB × OM

= \(\frac{3.14 \times 12 \times 12 \times 120^{\circ}}{360}\) – \(\frac{1}{2}\) × 12√3 × 6

= \(\frac{314}{100} \times \frac{144 \times 120^{\circ}}{360}\) – 36√3

= 150.72 – 36 × 1.73
= (150.72 – 62.28) cm²
= 88.44 cm²
∴ वृत्तखंड का क्षेत्रफल = 88.44 cm²

प्रश्न 8.
15 m भुजा वाले एक वर्गाकार घास के मैदान के एक कोने पर लगे खूटे से एक घोड़े को 5 m लंबी रस्सी से बांध दिया गया है (देखिए आकृति। ज्ञात कीजिए 🙂
(i) मैदान के उस भाग का क्षेत्रफल जहाँ घोड़ा घास चर सकता है।
(ii) चरे जा सकने वाले क्षेत्रफल में वृद्धि, यदि घोड़े को 5 m लंबी रस्सी के स्थान पर 10 m लंबी रस्सी से बांध दिया जाए। (70 = 3.14 का प्रयोग कीजिए।)

हल :
वर्ग की भुजा = 15 m
(i) खूटे की रस्सी की लंबाई = रस्सी की त्रिज्या (R) = 5 m
केंद्रीय कोण (θ) = 90° [वर्ग का प्रत्येक कोण]

त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = \(\frac{\pi \mathrm{R}^{2} \theta}{360}\)
= \(\frac{3.14 \times 5 \times 5 \times 90^{\circ}}{360}\)
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = \(\frac{3.14 \times 25}{4}=\frac{78.5}{4}\) m²
= 19.625 m²

(ii) जब त्रिज्यखंड की त्रिज्या 10 m बढ़ जाती है।
त्रिज्यखंड OCD (R₁) = 10 m
केंद्रीय कोण (θ) = 90°
∴ त्रिज्यखंड OCD का क्षेत्रफल = \(\frac{\pi \mathrm{R}_{1}^{2} \theta}{360}\)
= \(\frac{3.14 \times 10 \times 10 \times 90^{\circ}}{360}\)
= \(\frac{314}{100} \times \frac{100 \times 90^{\circ}}{360}\)
= \(\frac{314}{4}\)
= 78.5 m²
∴ चरे जा सकने वाले क्षेत्रफल में वृद्धि = त्रिज्यखंड OCD का क्षेत्रफल – त्रिज्यखंड OAB का क्षेत्रफल
= 78.5 – 19.625
1 = 58.875 m²
चरे जा सकने वाले क्षेत्रफल में वृद्धि = 58.875 m²

प्रश्न 9.
एक वृत्ताकार ब्रूच (brooch) को चाँदी के तार से बनाया जाना है जिसका व्यास 35 mm है। तार को वृत्त के 5 व्यासों को बनाने में भी प्रयुक्त किया गया है जो उसे 10 बराबर त्रिज्यखंडों में विभाजित करता है जैसा कि आकृिति में दर्शाया गया है। तो ज्ञात कीजिए :
(i) कुल वांछित चाँदी के तार की लंबाई
(ii) ब्रूच के प्रत्येक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल

हल :
वृत्त का व्यास (D) = 35 mm
वृत्त की त्रिज्या (R) = \(\frac{35}{2}\) mm
व्यासों की संख्या = 5
बराबर त्रिज्यखंडों की संख्या = 10

(i) प्रयोग की गई तार की लंबाई = 5 व्यासों की लंबाई + वृत्त (ब्रूच) का परिमाप
= 5(35) + 2πR
= 175 + 2 × \(\frac{22}{7}\) × \(\frac{35}{2}\)
= 175 + 110
= 285 mm

(ii) ब्रूच का त्रिज्यखंड का कोण

प्रत्येक ब्रूच का क्षेत्रफल = 96.25 mm².

प्रश्न 10.
एक छतरी में आठ ताने हैं, जो बराबर दूरी पर लगे हुए हैं ( देखिए आकृति)। छतरी को 45 cm त्रिज्या वाला एक सपाट वृत्त मानते हुए, इसकी दो क्रमागत तानों के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल :
वृत्त की त्रिज्या = 45 cm
तानों की संख्या = 8
केंद्रीय कोण (त्रिज्याखंड कोण) = \(\frac{360}{8}\) = 45°
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = \(\frac{\pi R^{2} \theta}{360}\)

= \(\frac{45}{360} \times \frac{22}{7} \times 45 \times 45\)

= \(\frac{1}{8} \times \frac{22}{7} \times 45 \times 45\)

= \(\frac{22275}{28}\)
त्रिज्याखंड का क्षेत्रफल = 795.53 cm²
∴ छतरी के दो क्रमागत तानों के बीच का क्षेत्रफल = 795.53 cm²

प्रश्न 11.
किसी कार के दो वाइपर (Wipers), परस्पर कभी आच्छादित नहीं होते हैं। प्रत्येक वाइपर की पत्ती की लंबाई 25 cm है और 115° के कोण तक घूम कर सफाई कर सकता है। पत्तियों की प्रत्येक बुहार के साथ जितना क्षेत्रफल साफ हो जाता है, वह ज्ञात कीजिए।
हल :
पत्ती की लंबाई (R) = 25 cm
त्रिज्यखंड का कोण (θ) = 115°
वाइपर त्रिज्यखंड के रूप में घूमता है।

त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = एक पत्ती द्वारा घूमा गया क्षेत्रफल
= \(\frac{\pi R^{2} \theta}{360}\)
= \(\frac{22}{7} \times \frac{115}{360}\) × 25 × 25
= 627.48
वाइपर की दो पत्तियों द्वारा घूमा गया क्षेत्रफल = 2
त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = 2 × 627.48
= 1254.96 cm

प्रश्न 12.
जहाज़ों को समुद्र में जलस्तर के नीचे स्थित चट्टानों की चेतावनी देने के लिए, एक लाइट हाउस (light house) 80° कोण वाले एक त्रिज्याखंड में 16.5 km की दूरी तक लाल रंग का प्रकाश फैलाता है। समुद्र के उस भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसमें जहाज़ों को चेतावनी दी जा सके। (π = 3.14 का प्रयोग कीजिए।)
हल :
त्रिज्यखंड कोण (θ) = 80°
त्रिज्यखंड की त्रिज्या (R) = 16.5 km

समुद्र के उस भाग का क्षेत्रफल जिसमें जहाज़ों को चेतावनी दी जा सके
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = \(\frac{\pi R^{2} \theta}{360}\)
= \(\frac{3.14 \times 16.5 \times 16.5 \times 80}{360}\)
= 189.97 km²
समुद्र के उस भाग का क्षेत्रफल जिसमें जहाज़ों को चेतावनी दी जा सके = 189.97 km²

प्रश्न 13.
एक गोल मेज़पोश पर छः समान डिज़ाइन बने हुए हैं जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। यदि मेज़पोश की त्रिज्या 28 cm है, तो ₹ 3.50 प्रति वर्ग सेंटीमीटर की दर से इन डिज़ाइनों को बनाने की लागत ज्ञात कीजिए। (√3 = 1.7 का प्रयोग कीजिए)

हल :
समान डिज़ाइनों की संख्या = 6
डिज़ाइन की त्रिज्या (R) = 28 cm
प्रत्येक डिज़ाइन त्रिज्यखंड के आकार का है, केंद्रीय कोण (θ) = \(\frac{360^{\circ}}{6}\) = 60°
क्योंकि केंद्रीयकोण 60° है और OA = OB है।
∴ ∆OAB एक समबाहु त्रिभुज है जिसकी भुजा 28 cm है।

एक छायांकित डिज़ाइन भाग का क्षेत्रफल = वृत्तखंड का क्षेत्रफल
= त्रिज्यखण्ड OAB का क्षेत्रफल – ∆OAB का क्षेत्रफल
= \(\frac{\pi \mathrm{R}^{2} \theta}{360}-\frac{\sqrt{3}}{4}\)
= \(\left(\frac{22}{7} \times \frac{28 \times 28}{360} \times 60-\frac{1.7}{4} \times 28 \times 28\right)\) cm²
= (410.66 – 333.2) cm²
= 77.46 cm²

एक छायांकित डिज़ाइन भाग का क्षेत्रफल = 77.46 cm²
छ: डिज़ाइन भागों का क्षेत्रफल = 6 [एक डिज़ाइन भाग का क्षेत्रफल]
= 6 [77.46]
= 464.76 cm²
10 cm² डिज़ाइन बनाने का खर्च = ₹ 3.50
1 cm² डिज़ाइन बनाने का खर्च = 2.50
464.76 cm² डिज़ाइन बनाने का खर्च = ₹ \(\frac{3.50}{10}\) × 464.76
= ₹ 162.68

प्रश्न 14.
निम्नलिखित में सही उत्तर चुनिए :
त्रिज्या R वाले वृत्त के उस त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल जिसका कोण p° है, निम्नलिखित है :
(A) \(\frac{p}{180}\) × 2πR
(B) \(\frac{p}{180}\) × πR²
(C) \(\frac{p}{360}\) × 2πR
(D) \(\frac{p}{720}\) × 2πR²
हल :
त्रिज्यखंड का कोण (θ) = p°
वृत्त की त्रिज्या = R
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = \(\frac{\pi R^{2} \theta}{360}\)
= \(\frac{\pi \mathrm{R}^{2} \times p}{360}\)
∴ सही विकल्प (D) है।