Class 10

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 9 ਤਿਕੋਣਮਿਤੀਦੇ ਕੁਝ ਉਪਯੋਗ Ex 9.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 9 ਤਿਕੋਣਮਿਤੀਦੇ ਕੁਝ ਉਪਯੋਗ Exercise 9.1

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 1.
ਸਰਕਸ ਦਾ ਇੱਕ ਕਲਾਕਾਰ ਇੱਕ 20 m ਲੰਬੀ ਰੱਸੀ ‘ਤੇ ਚੜ੍ਹ ਰਿਹਾ ਹੈ ਜੋ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਨਾਲ ਤਣੀ (ਕਸੀ) ਹੋਈ ਹੈ ਅਤੇ ਧਰਤੀ ‘ਤੇ ਸਿੱਧੇ ਖੜੇ ਖੰਬੇ ਦੇ ਸਿਖਰ ਨਾਲ ਬੰਨੀ ਹੋਈ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਰੱਸੀ ਧਰਤੀ ਦੇ ਤਲ ਨਾਲ 30° ਦਾ ਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਖੰਬੇ ਦੀ ਉੱਚਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ ।(ਦੇਖੋ ਚਿੱਤਰ)।

ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ AB ਖੰਬੇ ਦੀ ਉੱਚਾਈ ਹੈ।
AC = 20 m ਰੱਸੀ ਦੀ ਲੰਬਾਈ

ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿਚ ਉਚਾਣ ਕੋਣ 30° ਹੈ ।
ਸਮਕੋਣ △ABC ਵਿੱਚ,
ਜਾਂ \(\frac{AB}{AC}\) = sin 30°
ਜਾਂ AB = \(\frac{1}{2}\) × 20 = 10
∴ ਖੰਬੇ ਦੀ ਉਚਾਈ 10 m ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 2.
ਹਨੇਰੀ ਆਉਣ ਨਾਲ ਇੱਕ ਦਰੱਖਤ ਟੁੱਟ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਟੁੱਟਿਆ ਹੋਇਆ ਭਾਗ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਨਾਲ ਮੁੜ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਦਰੱਖਤ ਦਾ ਸਿਖ਼ਰ ਜਮੀਨ ਨੂੰ ਛੂਹਣ (touch) ਲੱਗਦਾ ਹੈ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਦੇ ਨਾਲ 30° ਦਾ ਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ । ਦਰੱਖ਼ਤ ਦੇ ਆਧਾਰ ਬਿੰਦੂ ਦੀ ਦੂਰੀ, ਜਿੱਥੇ ਦਰੱਖ਼ਤ ਦਾ ਸਿਖਰ ਜਮੀਨ ਨੂੰ ਛੂਹਦਾ ਹੈ, 8 m ਹੈ । ਦਰਖ਼ਤ ਦੀ ਉੱਚਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ ਹਨੇਰੀ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਦਰੱਖ਼ਤ ਦੀ ਉੱਚਾਈ BD ਹੈ । ਹਨੇਰੀ ਤੋਂ ਬਾਅਦ AD = AC = ਟੁੱਟੇ ਹੋਏ ਦਰੱਖ਼ਤ ਦੇ ਦੋ ਭਾਗਾਂ ਦੀ ਲੰਬਾਈ (ਚਿੱਤਰ ਵਿਚ ਦਿਖਾਏ ਤੋਂ ਅਨੁਸਾਰ

ਸਮਕੋਣ △ABC ਵਿੱਚ,
\(\frac{AB}{BC}\) = tan 30°

ਦਰੱਖਤ ਦੀ ਕੁੱਲ ਉੱਚਾਈ = h₁ + h₂
= \(\frac{8}{3}\)\(\sqrt {3}\) + \(\frac{16}{3}\)\(\sqrt {3}\) [(1) ਅਤੇ (2) ਤੋਂ।]
= [latex]\frac{8+16}{3}[/latex]\(\sqrt {3}\) = \(\frac{24}{3}\)\(\sqrt {3}\)
= 8\(\sqrt {3}\) m
∴ ਦਰੱਖ਼ਤ ਦੀ ਉੱਚਾਈ 83 m ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 3.
ਇਕ ਠੇਕੇਦਾਰ ਬੱਚਿਆਂ ਦੇ ਖੇਡਣ ਵਾਲੇ ਇਕ ਪਾਰਕ ਵਿਚ ਦੋ ਤਿਲਕਣ ਪੱਟੀਆਂ (Slides) ਨੂੰ ਲਗਾਉਣਾ ਚਾਹੁੰਦਾ ਹੈ । 5 ਸਾਲ ਤੋਂ ਘੱਟ ਉਮਰ ਦੇ ਬੱਚਿਆਂ ਲਈ ਉਹ ਇਸ ਤਰਾਂ ਦੀ ਤਿਲਕਣ ਪੱਟੀ ਲਗਾਉਣਾ ਚਾਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਦਾ ਸਿਖਰ 1.5 m ਉੱਚਾਈ ‘ਤੇ ਹੋਵੇ ਅਤੇ ਉਹ ਜਮੀਨ ਨਾਲ 30° ਕੋਣ ‘ ਤੇ ਝੁਕੀ ਹੋਵੇ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਇਸ ਤੋਂ ਵੱਧ ਉਮਰ ਦੇ ਬੱਚਿਆਂ ਲਈ ਉਹ 3m ਦੀ ਉੱਚਾਈ ‘ਤੇ ਇੱਕ ਵੱਧ ਢਾਲ ਦੀ ਤਿਲਕਣਪੱਟੀ ਲਗਾਉਣਾ ਚਾਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਜਮੀਨ ਨਾਲ 60° ਦਾ ਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੋਵੇ । ਹਰ ਇੱਕ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਤਿਲਕਣ ਪੱਟੀ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਕਿੰਨੀ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ।
ਹੱਲ:
ਸਥਿਤੀ 1. 5 ਸਾਲ ਤੋਂ ਛੋਟੇ ਬੱਚਿਆਂ ਲਈ
ਮੰਨ ਲਉ AC = l₁m ਤਿਲਕਣ ਪੱਟੀ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਹੈ ਅਤੇ BC = 1.5 m ਤਿਲਕਣ ਪੱਟੀ ਦੀ ਉੱਚਾਈ ਹੈ । ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿਚ ਜ਼ਮੀਨ ਨਾਲ ਬਣਿਆ ਕੋਣ 30° ਦਾ ਹੈ (ਦੇਖੋ ਚਿੱਤਰ)

ਸਮਕੋਣ △ABC ਵਿੱਚ,
\(\frac{BC}{AC}\) = sin 30°
ਜਾਂ \(\frac{1 \cdot 5}{l_{1}}\) = \(\frac{1}{2}\)
ਜਾਂ l₁ = 1.5 × 2 = 3m
ਸਥਿਤੀ II. 5 ਸਾਲ ਤੋਂ ਵੱਧ ਉਮਰ ਦੇ ਬੱਚਿਆਂ ਲਈ
ਮੰਨ ਲਉ AC = l₂m ਤਿਲਕਣ ਪੱਟੀ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਹੈ ਅਤੇ BC = 3 m ਤਿਲਕਣ ਪੱਟੀ ਦੀ ਉੱਚਾਈ ਹੈ ਅਤੇ ਜਮੀਨ ਨਾਲ ਬਣਿਆ ਕੋਣ 60° ਦਾ ਹੈ । (ਦੇਖੋ ਚਿੱਤਰ) ।

ਸਮਕੋਣ △ABC ਵਿੱਚ
\(\frac{BC}{AC}\) = sin 60°
ਜਾਂ \(\frac{3}{l_{2}}\) = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
ਜਾਂ l₂ = \(\frac{3 \times 2}{\sqrt{3}}\) = \(\frac{6}{\sqrt{3}}\)
= \(\frac{6}{\sqrt{3}}\) × \(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\) = \(\frac{6 \sqrt{3}}{3}\) = 2\(\sqrt {3}\) m
∴ 5 ਸਾਲ ਤੋਂ ਛੋਟੇ ਬੱਚਿਆਂ ਲਈ ਅਤੇ ਉਸ ਤੋਂ ਵੱਧ ਉਮਰ ਦੇ ਬੱਚਿਆਂ ਲਈ ਤਿਲਕਣ ਪੱਟੀ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਕੁਮਵਾਰ
3 m ਅਤੇ 2\(\sqrt {3}\)m ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 4.
ਜਮੀਨ ਦੇ ਇਕ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਜੋ ਮੀਨਾਰ ਦੇ ਆਧਾਰ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ 30 m ਦੀ ਦੂਰੀ ‘ਤੇ ਹੈ, ਮੀਨਾਰ ਦੇ ਸਿਖ਼ਰ ਦਾ ਉੱਚਾਣ ਕੋਣ 30° ਹੈ । ਮੀਨਾਰ ਦੀ ਉੱਚਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ BC = h m ਮੀਨਾਰ ਦੀ ਉੱਚਾਈ ਹੈ ਅਤੇ AB = 30 m ਆਧਾਰ ਤੋਂ ਬਿੰਦੂ ਦੀ ਦੂਰੀ (ਦੇਖੋ ਚਿੱਤਰ) ਹੈ।

ਸਮਕੋਣ △ABC ਵਿੱਚ,
\(\frac{BC}{AB}\) = tan 30°
ਜਾਂ \(\frac{h}{30}\) = \(\frac{1}{1}\)
ਜਾਂ h = \(\frac{30}{\sqrt{3}}\) × \(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\) = \(\frac{30 \sqrt{3}}{3}\)
= 10\(\sqrt {3}\) = 10 × 1.732
h = 17:32 m
ਮੀਨਾਰ ਦੀ ਉੱਚਾਈ ਲਗਭਗ 17.32 m. ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 5.
ਜਮੀਨ ਤੋਂ 60 m ਉੱਚਾਈ ‘ਤੇ ਇੱਕ ਪਤੰਗ ਉੱਡ ਰਹੀ ਹੈ। ਪਤੰਗ ਨਾਲ ਲੱਗੇ ਧਾਗੇ ਨੂੰ ਅਸਥਾਈ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਜਮੀਨ ‘ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਨਾਲ ਬੰਨ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਜ਼ਮੀਨ ਨਾਲ ਧਾਗੇ ਦਾ ਝੁਕਾਵ 60° ਹੈ। ਇਹ ਮੰਨਕੇ ਕਿ ਧਾਗੇ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਢਿੱਲ ਨਹੀਂ ਹੈ , ਧਾਗੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ ਬਿੰਦੂ ਤੇ ਪਤੰਗ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਹੈ AC = l m ਪਤੰਗ ਦੇ ਨਾਲ ਲੱਗੇ ਧਾਗੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਸਿਖਰ ਕੋਣ 60° ਦਾ ਹੈ । (ਦੇਖੋ ਚਿੱਤਰ)

ਸਮਕੋਣ △ABC ਵਿੱਚ,
\(\frac{CB}{CA}\) = sin 60°
ਜਾਂ \(\frac{60}{l}\) = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
ਜਾਂ l = \(\frac{60 \times 2}{\sqrt{3}}\) = \(\frac{120}{\sqrt{3}}\) × \(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\)
= \(\frac{120 \sqrt{3}}{3}\) = 40\(\sqrt {3}\) m
∴ ਧਾਗੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 403 m ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 6.
1.5 m ਲੰਬਾ ਲੜਕਾ 30 ਮੀਟਰ ਉੱਚੀ ਇੱਕ ਇਮਾਰਤ | ਤੋਂ ਕੁੱਝ ਦੂਰੀ ‘ਤੇ ਖੜ੍ਹਾ ਹੈ । ਜਦੋਂ ਉਹ ਇਮਾਰਤ ਵੱਲ ਜਾਂਦਾ ਹੈ (ਚਲਦਾ ਹੈ। ਤਾਂ ਉਸਦੀ ਅੱਖ ਨਾਲ ਇਮਾਰਤ ਦੇ ਸਿਖ਼ਰ ਦਾ | ਉੱਚਾਣ ਕੋਣ 30° ਤੋਂ 60° ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ । ਦੱਸੋ ਕਿ ਉਹ | ਇਮਾਰਤ ਵੱਲ ਕਿੰਨੀ ਦੂਰੀ ਤੱਕ ਚਲ ਕੇ ਗਿਆ ?
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ ED = 30 m ਇਮਾਰਤ ਦੀ ਉੱਚਾਈ | ਹੈ ਅਤੇ EC = 1.5 m ਲੜਕੇ ਦੀ ਉੱਚਾਈ ਹੈ । ਭਿੰਨ-ਭਿੰਨ | ਸਥਿਤੀਆਂ ਵਿਚ ਸਿਖ਼ਰ ਦਾ ਉੱਚਾਣ ਕੋਣ 30° ਅਤੇ 60° ਹੈ । (ਦੇਖੋ ਚਿੱਤਰ)

ਸਮਕੋਣ △ACD ਵਿੱਚ,
\(\frac{DC}{AC}\) = tan 30°
ਜਾਂ \(\frac{28.5}{x+y}\) = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
ਜਾਂ x + y = 28.5 × \(\sqrt {3}\) m …(1)
ਹੁਣ, ਸਮਕੋਣ △BCD ਵਿੱਚ,

∴ ਲੜਕੇ ਦੁਆਰਾ ਇਮਾਰਤ ਵੱਲ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਦੂਰੀ 19\(\sqrt {3}\) m ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 7.
ਜਮੀਨ ਦੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਇੱਕ 20 m ਉੱਚੀ ਇਮਾਰਤ ਦੇ ਸਿਖ਼ਰ ‘ਤੇ ਲੱਗੇ ਸੰਚਾਰ ਮੀਨਾਰ (transmission tower) ਦੇ ਤਲ ਅਤੇ ਸਿਖ਼ਰ ਦਾ ਉੱਚਾਣ ਕੋਣ ਕੁਮਵਾਰ 45° ਅਤੇ 60° ਹੈ। ਸੰਚਾਰ ਮੀਨਾਰ ਦੀ ਉੱਚਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ BC = 20 m ਇਮਾਰਤ ਦੀ ਉੱਚਾਈ ਹੈ DC=h m ਸੰਚਾਰ ਮੀਨਾਰ ਦੀ ਉੱਚਾਈ ਹੈ । ਇਮਾਰਤ ਦੇ ਸਿਖਰ ਤੇ ਲੱਗੀ ਇਕ ਸੰਚਾਰ ਮੀਨਾਰ ਦੇ ਤਲ ਅਤੇ ਸਿਖਰ ਦੇ ਉੱਚਾਣ ਕੋਣ ਕੁਮਵਾਰ 45° ਅਤੇ 60° ਹੈ । (ਦੇਖੋ ਚਿੱਤਰ)

ਸਮਕੋਣ △ABC ਵਿੱਚ,
\(\frac{AB}{BC}\) = cot 45°
ਜਾਂ \(\frac{AB}{20}\) = 1
ਜਾਂ AB = 20 m ….(1)
ਨਾਲ ਹੀ, ਸਮਕੋਣ △ABD ਵਿੱਚ,
\(\frac{AB}{BD}\) = cot 60°
ਜਾਂ \(\frac{AB}{20+h}\) = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
ਜਾਂ AB = \(\frac{20+h}{\sqrt{3}}\)
ਜਾਂ AB = \(\frac{(20+h)}{\sqrt{3}}\) ….(2)
(1) ਅਤੇ (2) ਤੋਂ ,
20 = \(\frac{(20+h)}{\sqrt{3}}\)
ਜਾਂ 20\(\sqrt {3}\) = 20 + h
ਜਾਂ h = 20\(\sqrt {3}\) – 20
ਜਾਂ h = 20(\(\sqrt {3}\) – 1)m
= 20 (1732 – 1) m
= 20 × 0.732 = 14∙64 m
∴ ਸੰਚਾਰ ਮੀਨਾਰ ਦੀ ਉੱਚਾਈ 1464 m ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 8.
ਇੱਕ ਪੈਡਸਟਲ (Pedestal) ਦੇ ਸਿਖਰ ‘ਤੇ ਇੱਕ 1.6 m ਉੱਚੀ ਮੂਰਤੀ ਲੱਗੀ ਹੋਈ ਹੈ । ਜਮੀਨ ਦੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਮੂਰਤੀ ਦੇ ਸਿਖ਼ਰ ਦਾ ਉੱਚਾਣ ਕੋਣ 60° ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਹੀ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਪੈਡਸਟਲ ਦੇ ਸਿਖ਼ਰ ਦਾ ਉੱਚਾਣ ਕੋਣ 45° ਹੈ । ਪੈਡਸਟਲ ਦੀ ਉੱਚਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ BC = hm ਪੈਡਸਟਲ ਦੀ ਉੱਚਾਈ ਹੈ CD = 1.6 m ਮੂਰਤੀ ਦੀ ਉੱਚਾਈ ਹੈ । ਜਮੀਨ ‘ਤੇ ਦਿੱਤੇ ਬਿੰਦੁ A ਤੋਂ ਮੁਰਤੀ ਦੇ ਸਿਖ਼ਰ ਅਤੇ ਪੈਡਸਟਲ ਦੇ ਸਿਖਰ ਦਾ ਉੱਚਾਂਣ ਕੋਣ 60° ਅਤੇ 45° ਹੈ । (ਦੇਖੋ ਚਿੱਤਰ)

ਸਮਕੋਣ △ABC ਵਿੱਚ,
\(\frac{AB}{BC}\) = cot 45°
ਜਾਂ \(\frac{AB}{h}\) = 1
ਜਾਂ AB = h m …(1)
ਸਮਕੋਣ △ABD ਵਿੱਚ,
\(\frac{AB}{BD}\) = cot 60°
ਜਾਂ \(\frac{AB}{h+1.6}\) = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
ਜਾਂ AB = \(\frac{h+1.6}{\sqrt{3}}\) ….(2)
(1) ਅਤੇ (2), ਤੋਂ
h = \(\frac{h+1.6}{\sqrt{3}}\)
ਜਾਂ \(\sqrt {3}\)h = h + 1∙6
ਜਾਂ (\(\sqrt {3}\) – 1) h = 1∙6
ਜਾਂ (1∙732 – 1) h = 1∙6
ਜਾਂ (0∙732)h = 1∙6
ਜਾਂ h = \(\frac{1∙6}{0∙732}\) = 2·1857923
= 2·20 m (ਲਗਭਗ)
∴ ਪੈਡਸਟਲ ਦੀ ਉੱਚਾਈ 2:20 m ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 9.
ਇੱਕ ਮੀਨਾਰ ਦੇ ਆਧਾਰ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਇੱਕ ਇਮਾਰਤ ਦੇ ਸਿਖ਼ਰ ਦਾ ਉੱਚਾਣ ਕੋਣ 30° ਹੈ ਅਤੇ ਇਮਾਰਤ ਦੇ ਆਧਾਰ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਮੀਨਾਰ ਦੇ ਸਿਖਰ ਦਾ ਉੱਚਾਣ ਕੋਣ 60° ਹੈ । ਜੇਕਰ ਮੀਨਾਰ 50 ਮੀਟਰ ਉੱਚੀ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਇਮਾਰਤ ਦੀ ਉੱਚਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ BC = 50 m ਮੀਨਾਰ ਦੀ ਉੱਚਾਈ ਹੈ AD = hm ਇਮਾਰਤ ਦੀ ਉੱਚਾਈ ਹੈ । ਮੀਨਾਰ ਦੇ ਆਧਾਰ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਇਮਾਰਤ ਦੇ ਸਿਖ਼ਰ ਤੱਕ ਅਤੇ ਇਮਾਰਤ ਦੇ ਆਧਾਰ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਮੀਨਾਰ ਦੇ ਸਿਖ਼ਰ ਦੇ ਉੱਚਾਣ ਕੋਣ ਕ੍ਰਮਵਾਰ 30° ਅਤੇ 60° ਹਨ । (ਦੇਖੋ ਚਿੱਤਰ)

ਸਮਕੋਣ △ABC ਵਿੱਚ,
\(\frac{AB}{BC}\) = cot 60°
ਜਾਂ \(\frac{AB}{50}\) = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
ਜਾਂ AB = \(\frac{50}{\sqrt{3}}\) …(1)
ਸਮਕੋਣ △DAB ਵਿੱਚ,
\(\frac{AB}{DA}\) = cot 30°
ਜਾਂ \(\frac{AB}{h}\) = \(\sqrt {3}\)
ਜਾਂ AB = h\(\sqrt {3}\) …(2)
(1) ਅਤੇ (2), ਤੋਂ ,
\(\frac{50}{\sqrt{3}}\) = h \(\sqrt {3}\)
ਜਾਂ \(\frac{50}{\sqrt{3}}\) \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) = h
ਜਾਂ h = \(\frac{50}{3}\) = 16∙6666
ਜਾਂ h = 16∙70 m (ਲਗਭਗ
∴ ਇਮਾਰਤ ਦੀ ਉੱਚਾਈ 16-70 m ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 10.
ਇੱਕ 80 ਮੀਟਰ ਚੌੜੀ ਸੜਕ ਦੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ‘ਤੇ ਆਹਮਣੇ-ਸਾਹਮਣੇ ਬਰਾਬਰ ਲੰਬਾਈ ਵਾਲੇ ਦੋ ਖੰਬੇ ਲੱਗੇ ਹੋਏ ਹਨ । ਇਹਨਾਂ ਦੋਹਾਂ ਖੰਬਿਆਂ ਦੇ ਵਿੱਚ ਸੜਕ ‘ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਖੰਬਿਆਂ ਦੇ ਸਿਖ਼ਰਾਂ ਦੇ ਉੱਚਾਣ ਕੋਣ ਕੁਮਵਾਰ 60° ਅਤੇ 30° ਹੈ । ਖੰਬਿਆਂ ਦੀ ਉੱਚਾਈ ਅਤੇ ਖੰਬਿਆਂ ਤੋਂ ਬਿੰਦੁ ਦੀ ਦੂਰੀ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ BC = DE = hm ਦੋ ਬਰਾਬਰ ਲੰਬਾਈ ਵਾਲੇ ਖੰਬਿਆਂ ਦੀ ਉੱਚਾਈ ਹੈ ਅਤੇ ਬਿੰਦੂ A ਲੋੜੀਂਦਾ ਬਿੰਦੂ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ ਦੋਹਾਂ ਖੰਬਿਆ ਦੇ ਉੱਚਾਣ ਕੋਣ ਕੁਮਵਾਰ 30° ਅਤੇ 60° ਹੈ । (ਦੇਖੋ ਚਿੱਤਰ)

ਸਮਕੋਣ △ADE ਵਿੱਚ,
\(\frac{ED}{DA}\) = tan 30°
ਜਾਂ \(\frac{h}{x}\) = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
ਜਾਂ h = \(\frac{h}{\sqrt{3}}\) ….(1)
ਸਮਕੋਣ △ABC ਵਿੱਚ,
\(\frac{BC}{AB}\) = tan 60°
ਜਾਂ \(\frac{h}{80-x}\) = \(\sqrt {3}\)
ਜਾਂ h = (80 – x)\(\sqrt {3}\)
(1) ਅਤੇ (2) ਤੋਂ
\(\frac{x}{\sqrt{3}}\) = (80 – x)\(\sqrt {3}\)
ਜਾਂ x = (80 – x)\(\sqrt {3}\) × \(\sqrt {3}\)
ਜਾਂ x = (80 – x) 3
ਜਾਂ x = 240 – 3x
ਜਾਂ 4x = 240
ਜਾਂ x = \(\frac{240}{4}\) = 60
x ਦਾ ਮੁੱਲ (1) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ
h = \(\frac{60}{\sqrt{3}}\) = \(\frac{60}{\sqrt{3}}\) × \(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\)
= \(\frac{60 \sqrt{3}}{3}\) = 20\(\sqrt {3}\)
= (20 × 1.732) m = 34.64 m
∴ DA = x = 60 m
ਅਤੇ AB = 80 – x = (80 – 60) m = 20m.
∴ ਹਰੇਕ ਖੰਬੇ ਦੀ ਉੱਚਾਈ 34:64 m ਅਤੇ ਖੰਬਿਆਂ ਤੋਂ ਬਿੰਦੁ ਦੀ ਦੂਰੀ 20 m ਅਤੇ 60 m ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 11.
ਇੱਕ ਨਹਿਰ ਦੇ ਇੱਕ ਤੱਟ ‘ਤੇ ਇੱਕ ਟੀ. ਵੀ. ਟਾਵਰ ਸਿੱਧਾ ਖੜਾ ਹੈ । ਟਾਵਰ ਦੇ ਠੀਕ ਸਾਹਮਣੇ ਦੂਸਰੇ ਤੱਟ ‘ਤੇ ਇੱਕ ਹੋਰ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਟਾਵਰ ਦੇ ਸਿਖ਼ਰ ਦਾ ਉੱਚਾਣ ਕੋਣ 60° ਹੈ । ਇਸੇ ਤੱਟ ‘ਤੋਂ ਇਸ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ 20 m ਦੂਰ ਅਤੇ ਇਸ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਮੀਨਾਰ ਦੇ ਆਧਾਰ ਬਿੰਦੂ ਨਾਲ ਮਿਲਾਉਣ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ‘ ਤੇ ਸਥਿਤ ਇੱਕ ਹੋਰ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਟਾਵਰ ਦੇ ਸਿੱਖ਼ਰ ਦਾ ਉੱਚਾਣ ਕੋਣ 30° ਹੈ (ਦੇਖੋ ਚਿੱਤਰ ਟਾਵਰ ਦੀ ਉੱਚਾਈ ਅਤੇ ਨਹਿਰ ਦੀ ਚੌੜਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ ।

ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ BC = x m ਨਹਿਰ ਦੀ ਚੌੜਾਈ ਹੈ ਅਤੇ AB= hm ਟੀ.ਵੀ. ਟਾਵਰ ਦੀ ਉੱਚਾਈ ਹੈ | ਅਲੱਗਅਲੱਗ ਸਥਿਤੀਆਂ ਵਿਚ ਟਾਵਰ ਦੇ ਉੱਚਾਣ ਕੋਣ ਕ੍ਰਮਵਾਰ 30° ਅਤੇ 60° ਹਨ ।
(ਦੇਖੋ ਚਿੱਤਰ)

ਸਮਕੋਣ △ABC ਵਿੱਚ,
\(\frac{AB}{BC}\) = tan 60°
ਜਾਂ \(\frac{h}{x}\) = \(\sqrt {3}\)
ਜਾਂ h = \(\sqrt {3}\)x …(1)
ਨਾਲ ਹੀ, ਸਮਕੋਣ △ABD ਵਿੱਚ,
\(\frac{AB}{AD}\) = tan 30°
ਜਾਂ \(\frac{h}{20+x}\) = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
ਜਾਂ h = \(\frac{20+x}{\sqrt{3}}\) …..(2)
(1) ਅਤੇ (2) ਤੋਂ
\(\sqrt {3}\)x = \(\frac{20+x}{\sqrt{3}}\)
ਜਾਂ \(\sqrt {3}\)(\(\sqrt {3}\)x) = 20 + x
ਜਾਂ 3x = 20 + x
ਜਾਂ 2x = 20
ਜਾਂ x = \(\frac{20}{2}\) = 10
x ਦਾ ਮੁੱਲ (1) ਵਿਚ ਭਰਨ ਤੇ
h= 10(\(\sqrt {3}\)).
= 10 × 1∙732
h= 17∙32 m
∴ ਟੀ.ਵੀ. ਟਾਵਰ ਦੀ ਉੱਚਾਈ 17:32 m ਹੈ ਅਤੇ ਨਹਿਰ ਦੀ ਚੌੜਾਈ 10 m. ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 12.
7m ਉੱਚੀ ਇਮਾਰਤ ਦੇ ਸਿਖ਼ਰ ਤੋਂ ਇੱਕ ਕੇਬਲ ਟਾਵਰ ਦੇ ਸਿਖ਼ਰ ਦਾ ਉੱਚਾਣ ਕੋਣ 60° ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਪੈਰ ਦਾ ਨੀਵਾਨ ਕੋਣ 45° ਹੈ। ਟਾਵਰ ਦੀ ਉੱਚਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ BD = hm ਕੇਵਲ ਟਾਵਰ ਦੀ ਉੱਚਾਈ ਹੈ ਅਤੇ AE = 7 m ਇਮਾਰਤ ਦੀ ਉੱਚਾਈ ਹੈ । ਕੇਵਲ ਟਾਵਰ ਦੇ ਸਿਖਰ ਦਾ ਉੱਚਾਣ ਕੋਣ ਅਤੇ ਪੈਰ ਦਾ ਨੀਵਾਨ ਕੋਣ ਕੁਮਵਾਰ 60° ਅਤੇ 45° ਹੈ ।
(ਦੇਖੋ ਚਿੱਤਰ)

ਸਮਕੋਣ △BAE ਵਿੱਚ
\(\frac{AB}{AE}\) = cot 45°
ਜਾਂ \(\frac{AB}{7}\) = 1
ਜਾਂ AB = 7 m …..(1)
ਸਮਕੋਣ △DCE ਵਿੱਚ
\(\frac{EC}{DC}\) = cot 60°
ਜਾਂ \(\frac{EC}{h-7}\) = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
ਜਾਂ EC = \(\frac{h-7}{\sqrt{3}}\) …(2)
ਪਰ AB = EC …(ਦਿੱਤਾ ਹੈ।)
7 = \(\frac{h-7}{\sqrt{3}}\)
[(1) ਅਤੇ (2) ਤੋਂ।]
ਜਾਂ 7\(\sqrt {3}\) = h – 7
ਜਾਂ h = 7\(\sqrt {3}\) + 7 = 7 (\(\sqrt {x}\) + 1)
ਜਾਂ h = 7(1∙732 + 1) = 7(2∙732)
ਜਾਂ h = 19∙124
ਜਾਂ h = 19∙20 m (ਲਗਭਗ)
∴ ਕੇਬਲ ਟਾਵਰ ਦੀ ਉੱਚਾਈ 19.20 m ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 13.
ਸਮੁੰਦਰ ਤਲ ਤੋਂ 75 m ਉੱਚੇ ਲਾਈਟ ਹਾਊਸ ਦੇ ਸਿਖ਼ਰ ਤੋਂ ਦੇਖਣ ਨਾਲ ਦੋ ਸਮੁੰਦਰੀ ਜਹਾਜ਼ਾਂ ਦੇ ਨੀਵਾਨ ਕੋਣ ਕੁਮਵਾਰ 30° ਅਤੇ 45° ਹਨ । ਜੇਕਰ ਲਾਈਟ ਹਾਊਸ ਦੇ ਇੱਕ ਹੀ ਪਾਸੇ ਤੋਂ ਇੱਕ ਜਹਾਜ਼ ਦੂਸਰੇ ਜਹਾਜ਼ ਦੇ ਬਿਲਕੁਲ ਪਿੱਛੇ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਦੋਵੇਂ ਜਹਾਜ਼ਾਂ ਦੀ ਵਿਚਕਾਰਲੀ ਦੂਰੀ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:

ਮੰਨ ਲਉ CD = 75 m ਲਾਈਟ ਹਾਊਸ ਦੀ ਉੱਚਾਈ | ਅਤੇ ਲਾਈਟ ਹਾਊਸ ਦੇ ਸਿਖ਼ਰ ਦੇ ਬਿੰਦੁ ਤੋਂ ਜਹਾਜਾਂ ਦੇ | ਨੀਵਾਨ ਕੋਣ ਕ੍ਰਮਵਾਰ 30° ਅਤੇ 45° ਹੈ ।
(ਦੇਖੋ ਚਿੱਤਰ)
ਸਮਕੋਣ △BCD ਵਿੱਚ,
\(\frac{BC}{CD}\) = cot 45°
ਜਾਂ \(\frac{y}{75}\) = 1
ਜਾਂ y = 75 m ….(1)
ਸਮਕੋਣ △ACD ਵਿੱਚ,
\(\frac{AC}{CD}\) = cot 30°
ਜਾਂ \(\frac{x+y}{75}\) = \(\sqrt {3}\)
ਜਾਂ x + y = 75\(\sqrt {3}\)
ਜਾਂ x + 75 = 75\(\sqrt {x}\)
[1) ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਨ ਤੋਂ]
ਜਾਂ x = 75\(\sqrt {x}\) – 75
= 75 (\(\sqrt {x}\) – 1)
= 75 (1∙732 – 1)
= 75 (0∙732)
x = 54∙90
∴ ਦੋਵੇਂ ਜਹਾਜਾਂ ਵਿਚਕਾਰਲੀ ਦੂਰੀ 54∙90 m ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 14.
1.2 m ਲੰਬੀ ਇੱਕ ਲੜਕੀ ਜਮੀਨ ਤੋਂ 88.2 m ਦੀ ਉੱਚਾਈ ‘ਤੇ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੇ ਰੇਖਾ ਵਿੱਚ ਉੱਡ ਰਹੇ ਗੁਬਾਰੇ ਨੂੰ ਦੇਖਦੀ ਹੈ । ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਮੇਂ ਲੜਕੀ ਦੀ ਅੱਖ ਨਾਲ ਗੁਬਾਰੇ ਦਾ ਉੱਚਾਣ ਕੋਣ 60° ਹੈ । ਕੁੱਝ ਸਮੇਂ ਬਾਅਦ ਉੱਚਾਣ ਕੋਣ ਘੱਟ ਕੇ 30° ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਦੇਖੋ ਚਿੱਤਰ) । ਇਸ ਅੰਤਰਾਲ ਦੌਰਾਨ ਗੁਬਾਰੇ ਦੁਆਰਾ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਦੂਰੀ ਪਤਾ ਕਰੋ ।

ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ 1.2 m ਲੰਬੀ ਲੜਕੀ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ‘A’ ਹੈ । ਇਸ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਗੁਬਾਰੇ ਦੇ ਉੱਚਾਣ ਕੋਣ ਕ੍ਰਮਵਾਰ 30° ਅਤੇ 60° ਹਨ । ਨਾਲ ਹੀ
BE = CD = 88.2 m ਗੁਬਾਰੇ ਦੀ ਉੱਚਾਈ ਹੈ।
(ਦੇਖੋ ਚਿੱਤਰ)

ਸਮਕੋਣ △ABE ਵਿੱਚ,
\(\frac{AB}{BE}\) = cot 60°
ਜਾਂ \(\frac{x}{88.2}\) = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
ਜਾਂ x = \(\frac{88.2}{\sqrt{3}}\) m …(1)
ਸਮਕੋਣ △ACD ਵਿੱਚ
\(\frac{AC}{CD}\) = cot 30°
ਜਾਂ \(\frac{x+y}{88.2}\) = \(\sqrt {3}\)
ਜਾਂ x + y = 88.2\(\sqrt {3}\)
ਜਾਂ \(\frac{88.2}{\sqrt{3}}\) + y = 88.2\(\sqrt {3}\)
ਜਾਂ y = 88.2\(\sqrt {3}\) = \(\frac{88.2}{\sqrt{3}}\)
ਜਾਂ y = 88.2[\(\sqrt {3}\) – \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)]
ਜਾਂ y = 88.2[latex]\frac{3-1}{\sqrt{3}}[/latex] × \(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\)
ਜਾਂ y = \(\frac{88.2 \times 2 \times \sqrt{3}}{3}\)
ਜਾਂ y = 58.8\(\sqrt {3}\) m
ਜਾਂ y = 58.8 (1.732) = 101.8416 m
ਜਾਂ y = 101.90 m
∴ ਗੁਬਾਰੇ ਦੁਆਰਾ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਗਈ ਦੂਰੀ 101.90 m. ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 15.
ਇੱਕ ਸਿੱਧਾ ਰਾਜ ਮਾਰਗ ਇੱਕ ਮੀਨਾਰ ਦੇ ਆਧਾਰ ਤੱਕ ਜਾਂਦਾ ਹੈ । ਮੀਨਾਰ ਦੇ ਸਿਖ਼ਰ ‘ ਤੇ ਖੜਾ ਇੱਕ ਆਦਮੀ ਇੱਕ ਕਾਰ ਨੂੰ 30° ਨੀਵਾਨ ਕੋਣ ‘ਤੇ ਦੇਖਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਮੀਨਾਰ ਦੇ ਆਧਾਰ ਵੱਲ ਇੱਕ ਸਮਾਨ ਚਾਲ ਨਾਲ ਆ ਰਹੀ ਹੈ । ਛੇ ਸੈਕਿੰਡ ਬਾਅਦ ਕਾਰ ਦਾ ਨੀਵਾਨ ਕੋਣ 60° ਹੋ ਗਿਆ । ਇਸ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਮੀਨਾਰ ਦੇ ਆਧਾਰ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਲਈ ਕਾਰ ਦੁਆਰਾ ਲਿਆ ਗਿਆ ਸਮਾਂ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ CD = hm ਮੀਨਾਰ ਦੀ ਉੱਚਾਈ ਹੈ । ਮੰਨ ਲਉ A’ ਕਾਰ ਦੀ ਪਹਿਲੀ ਸਥਿਤੀ ਹੈ ਅਤੇ ਛੇ ਸੈਕਿੰਡ ਦੇ ਬਾਅਦ ਕਾਰ B ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਜਾਂਦੀ ਹੈ । A ਅਤੇ B ਉੱਤੇ ਕਾਰ ਦੇ ਨੀਵਾਨ ਕੋਣ 30° ਅਤੇ 60° ਹਨ ।
(ਦੇਖੇ ਚਿੱਤਰ)

ਮੰਨ ਲਉ ਕਾਰ ਦੀ ਚਾਲ v ਮੀਟਰ ਪ੍ਰਤੀ ਸੈਕਿੰਡ ਹੈ ਸੂਤਰ ਦੂਰੀ = ਚਾਲ × ਸਮਾਂ ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਕੇ
AB = ਕਾਰਾਂ ਦੁਆਰਾ 6 ਸੈਕਿੰਡ ਵਿੱਚ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਗਈ ਦੂਰੀ
AB = 6v ਮੀਟਰ
ਕਾਰ ਦੁਆਰਾ ਮੀਨਾਰ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਵਿਚ ਲਿਆ ਗਿਆ ਸਮਾਂ ‘n’ ਸੈਕਿੰਡ ਹੈ ।
∴ BC = nv ਮੀਟਰ
ਸਮਕੋਣ △ACD ਵਿੱਚ
\(\frac{CD}{AC}\) = tan 30°
ਜਾਂ \(\frac{h}{6v+nv}\) = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
ਜਾਂ h = \(\frac{6v+nv}{\sqrt{3}}\) …(1)
ਸਮਕੋਣ △BCD ਵਿੱਚ,
\(\frac{CD}{BC}\) = tan 60°
ਜਾਂ \(\frac{h}{nv}\) = \(\sqrt {3}\)
ਜਾਂ h = nv(\(\sqrt {3}\) ) ….(2)
(1) ਅਤੇ (2) ਤੋਂ ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ।
ਜਾਂ \(\frac{6v+nv}{\sqrt{3}}\) = nv(\(\sqrt {3}\))
ਜਾਂ 6v + nv = nv(\(\sqrt {3}\) × \(\sqrt {3}\))
ਜਾਂ 6v + nv = 3nv ਜਾਂ 6v = 2nv
ਜਾਂ n = \(\frac{6v}{2v}\) = 3
ਮੀਨਾਰ ਦੇ ਆਧਾਰ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਲਈ ਕਾਰ ਦੁਆਰਾ ਲਿਆ ਗਿਆ ਸਮਾਂ 3 ਸੈਕਿੰਡ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 16.
ਮੀਨਾਰ ਦੇ ਆਧਾਰ ‘ਤੇ ਇੱਕ ਸਰਲ ਰੇਖਾ 4m ਅਤੇ 9 m ਦੀ ਦੂਰੀ ‘ਤੇ ਸਥਿਤ ਦੋ ਬਿੰਦੁਆਂ ਤੋਂ ਮੀਨਾਰ ਦੇ ਸਿਖ਼ਰ ਦੇ ਉੱਚਾਣ ਕੋਣ ਪੂਰਕ ਕੋਣ ਹਨ। ਸਿੱਧ ਕਰੋ ਕਿ ਮੀਨਾਰ ਦੀ ਉੱਚਾਈ 6 m ਹੈ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ CD = h m ਮੀਨਾਰ ਦੀ ਉਚਾਈ ਹੈ। ਅਤੇ B; Aਲੋਂੜੀਂਦੇ ਬਿੰਦੂ ਹਨ ਜੋ ਮੀਨਾਰ ਤੋਂ ਕ੍ਰਮਵਾਰ 4 m ਅਤੇ 9 m ਦੀ ਦੂਰੀ ‘ਤੇ ਹਨ ।
(ਦੇਖੋ ਚਿੱਤਰ)

ਸਮਕੋਣ △BCD ਵਿੱਚ,
\(\frac{CD}{BC}\) = tan θ
ਜਾਂ \(\frac{h}{4}\) = tan θ …(1)
ਨਾਲ ਹੀ, ਸਮਕੋਣ △ACD ਵਿੱਚ,
\(\frac{CD}{AC}\) = tan (90 – θ)
\(\frac{h}{9}\) = cot θ …(2)
(1) ਅਤੇ (2) ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ‘ਤੇ
\(\frac{h}{4}\) × \(\frac{h}{9}\) = tan θ × cot θ
ਜਾਂ \(\frac{h^{2}}{36}\) = tan θ × \(\frac{1}{\tan \theta}\)
ਜਾਂ h² = 36 = (6)²
ਜਾਂ h= 6
∴ ਮੀਨਾਰ ਦੀ ਉੱਚਾਈ 6 m ਹੈ

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 8 ਤਿਕੋਣਮਿਤੀ ਬਾਰੇ ਜਾਣ ਪਛਾਣ Ex 8.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 8 ਤਿਕੋਣਮਿਤੀ ਬਾਰੇ ਜਾਣ ਪਛਾਣ Exercise 8.4

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 1.
ਤਿਕੋਣਮਿਤਈ ਅਨੁਪਾਤਾਂ sin A, sec A ਅਤੇ tan A ਨੂੰ cot A ਦੇ ਪਦਾਂ ਵਿਚ ਦਰਸਾਉ।
ਹੱਲ:
ਤਤਸਮਕ ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਨ ‘ਤੇ,
cosec² A – cot² A = 1
⇒ cosec² A = 1 + cot² A
⇒ (cosec A)² = cot² A + 1
⇒ \(\left(\frac{1}{\sin A}\right)^{2}\) = cot² A + 1
⇒ (sin A)² = \(\frac{1}{\cot ^{2} \mathrm{~A}+1}\)
⇒ sin A = ±\(\frac{1}{\sqrt{\cot ^{2} A+1}}\)
ਅਸੀਂ ਨਿਉਨ ਕੋਣ A ਦੇ ਲਈ sin A ਦੇ ਰਿਣਾਤਮਕ ਮੁੱਲ ਛਡ ਦਿੰਦੇ ਹਨ ।
∴ sin A = \(\frac{1}{\sqrt{\cot ^{2} A+1}}\)
ਤਤਸਮਕ ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਨ ਤੇ,
sec² A – tan² A = 1
⇒ sec² A = 1 + tan² A

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 2.
∠A ਦੇ ਬਾਕੀ ਸਾਰੇ ਤਿਕੋਣਮਿਤਈ ਅਨੁਪਾਤਾਂ ਨੂੰ sec A ਦੇ ਪਦਾਂ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਉ ।
ਹੱਲ:
sin² A + cos² A = 1
⇒ sin² A = 1 – cos² A

[ਨਿਊਨ ਕੋਣ A ਦੇ ਲਈ – ve ਚਿੰਨ੍ਹ ਨੂੰ ਛੱਡ ਦਿਓ]
⇒ sin A = \(\frac{\sqrt{\sec ^{2} A-1}}{\sec A}\)
cos A = \(\frac{1}{\sec A}\)
1 + tan² A = sec² A
tan² A = sec² A – 1
(tan A)² = sec² A – 1
⇒ tan A = ±\(\sqrt{\sec ^{2} A-1}\)
[ਨਿਊਨ ਕੋਣ A ਦੇ ਲਈ – ve ਚਿੰਨ੍ਹ ਨੂੰ ਛੱਡ ਦਿਓ]

3. ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੇ :

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (i).
\(\frac{\sin ^{2} 63^{\circ}+\sin ^{2} 27^{\circ}}{\cos ^{2} 17^{\circ}+\cos ^{2} 73^{\circ}}\)
ਉੱਤਰ:

∵ sin (90° – θ)= cos θ
ਅਤੇ cos (90° – θ) = sin θ.
= \(\frac{\cos ^{2} 27^{\circ}+\sin ^{2} 27^{\circ}}{\cos ^{2} 17^{\circ}+\sin ^{2} 17^{\circ}}\)
= \(\frac{1}{1}\) = 1

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ii).
sin 25° cos 65° + cos 25° sin 65°.
ਉੱਤਰ:
sin 25° cos 65° + cos 25° sin 65°
= sin 25° × cos (90° – 25°) + cos 25° × sin (90° – 25°)
∵ cos (90° – θ) = sin θ
sin (90° – θ) = cos θ
= sin 25° × sin 25° + cos 25° × cos 25°
= sin² 25° + cos² 25°
= 1.

4. ਸਹੀ ਉੱਤਰ ਚੁਣੋ ਅਤੇ ਆਪਣੇ ਵਿਕਲਪ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰੇ:

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (i).
9 sec² A – 9 tan²
(A) 1
(B) 9
(C) 8
(D) 0
ਉੱਤਰ:
9 sec² A – 9 tan² A
= 9 (sec² A – tan² A)
= 9 × 1 = 9.
∴ ਸਹੀ ਵਿਕਲਪ (B) ਹੈ

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ii).
(1 + tan θ + sec θ) (1 + cotθ – cosec θ) ਬਰਾਬਰ ਹੈ :
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) -1.
ਉੱਤਰ:
(1 + tan θ + sec θ) (1 + cotθ – cosec θ)


∴ ਸਹੀ ਵਿਕਲਪ (C) ਹੈ

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iii).
(sec A + tan A) (1 – sin A) ਬਰਾਬਰ ਹੈ :
(A) sec A
(B) sin A
(C) cosec A
(D) cos A.
ਉੱਤਰ:
(sec A + tan A) (1 – sin A)

[∵ cos² A = 1 – sin² A]
= cos A.
∴ ਸਹੀ ਵਿਕਲਪ (D) ਹੈ

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iv).
\(\frac{1+\tan ^{2} A}{1+\cot ^{2} A}\)
(A) sec² A
(B) -1
(C) cot² A
(D) tan² A.
ਉੱਤਰ:
\(\frac{1+\tan ^{2} A}{1+\cot ^{2} A}\)

∴ ਸਹੀ ਵਿਕਲਪ (D) ਹੈ

5. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਸਰਬਸਮਤਾਵਾਂ (ਤਤਸਮਕਾਂ) ਸਿੱਧ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ ਉਹ ਕੋਣ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਲਈ ਵਿਅੰਜਕਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹਨ, ਨਿਊਨ ਕੋਣ ਹਨ :

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (i).
(cosec θ – cot θ)² = \(\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}\)
ਉੱਤਰ:
L.H.S. = (cosec θ – cot θ)²
= \(\left\{\frac{1}{\sin \theta}-\frac{\cos \theta}{\sin \theta}\right\}^{2}\)

∴ L.H.S. = R.H.S.

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ii).
\(\frac{\cos A}{1+\sin A}\) + \(\frac{1+\sin A}{\cos A}\) = 2 sec A
ਉੱਤਰ:
L.H.S. = \(\frac{\cos A}{1+\sin A}\) + \(\frac{1+\sin A}{\cos A}\)

∴ L.H.S. = R.H.S.

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iii).
\(\frac{\tan \theta}{1-\cot \theta}\) + \(\frac{\cot \theta}{1-\tan \theta}\) = 1 + secθcosecθ
[ਸੰਕੇਤ : ਵਿਅੰਜਕ ਨੂੰ sin θ, ਅਤੇ cos θ ਦੇ ਪਦਾਂ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ1]
ਉੱਤਰ:
L.H.S. = \(\frac{\tan \theta}{1-\cot \theta}\) + \(\frac{\cot \theta}{1-\tan \theta}\)



= 1 + sec θ cosec θ
∴ L.H.S. = R.H.S.

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iv).
\(\frac{1+\sec A}{\sec A}\) = \(\frac{\sin ^{2} A}{1-\cos A}\)
[ਸੰਕੇਤ : ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਨੂੰ ਅਲੱਗ-ਅਲੱਗ ਸਰਲ ਕਰੋ ]
ਉੱਤਰ:


= 1 + cos A.
∴ L.H.S. = R.H.S.

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (v).
ਤਤਮਸਕ cosec² A = 1 + cot² A ਨੂੰ ਵਰਤਦੇ ਹੋਏ, ਸਿੱਧ ਕਰੋ :
\(\frac{\cos A-\sin A+1}{\cos A+\sin A-1}\) = cosec A + cot A,
ਉੱਤਰ:
\(\frac{\cos A-\sin A+1}{\cos A+\sin A-1}\)
(ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ sin A ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਨ ਤੇ)

= cosec A + cot A
= R.H.S.

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (vi).
\(\sqrt{\frac{1+\sin A}{1-\sin A}}\) = sec A + tan A
ਉੱਤਰ:
L.H.S. = \(\sqrt{\frac{1+\sin A}{1-\sin A}}\)

= sec A + tan A
∴ L.H.S. = R.H.S.

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (vii).
\(\frac{\sin \theta-2 \sin ^{3} \theta}{2 \cos ^{3} \theta-\cos \theta}\) = tan θ
ਉੱਤਰ:
L.H.S. = \(\frac{\sin \theta-2 \sin ^{3} \theta}{2 \cos ^{3} \theta-\cos \theta}\)

∴ L.H.S. = R.H.S.

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (viii).
(sin A + cosec A)² + (cos A + sec A)² = 7 + tan² A + cot² A
ਉੱਤਰ:
L.H.S. = (sin A + cosec A)² + (cos A + sec A)²
= {sin² A + cosec² A + 2 sin A × cosec A} + {cos² A + sec² A + 2 cos A × sec A}
[∵ cosec A = \(\frac{1}{\sin A}\)]

= 2 + 2 + (sin² A + cos² A) + sec² A + cosec² A
= 2 + 2 + 1 + 1 + tan² A + 1 + cot² A
(∵ sec² A = tan² A + 1,
(cosec² A = cot² A + 1)
= 7 + tan² A + cot² A
∴ L.H.S. = R.H.S.

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ix).
(cosec A – sin A) (sec A – cos A) = \(\frac{1}{\tan A+\cot A}\)
[ਸੰਕੇਤ : ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਨੂੰ ਅਲੱਗ-ਅਲੱਗ ਸਰਲ ਕਰੋ]
ਉੱਤਰ:
L.H.S. = (cosec A – sin A) (sec A – cos A)

∴ L.H.S. = R.H.S.

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (x).
\(\left(\frac{1+\tan ^{2} A}{1+\cot ^{2} A}\right)\) = \(\left(\frac{1-\tan A}{1-\cot A}\right)^{2}\) = tan² A
ਉੱਤਰ:

∴ L.H.S. = R.H.S.

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 8 ਤਿਕੋਣਮਿਤੀ ਬਾਰੇ ਜਾਣ ਪਛਾਣ Ex 8.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 8 ਤਿਕੋਣਮਿਤੀ ਬਾਰੇ ਜਾਣ ਪਛਾਣ Exercise 8.3

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 1.
ਹੇਠ ਲਿਖਿਆਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ :
(i) \(\frac{\sin 18^{\circ}}{\cos 72^{\circ}}\)
(ii) \(\frac{\tan 26^{\circ}}{\cot 64^{\circ}}\)
(iii) cos 48° – sin 42°
(iv) cosec 31° – sec 59o.
ਹੱਲ:
(i) \(\frac{\sin 18^{\circ}}{\cos 72^{\circ}}\) = \(\frac{\sin 18^{\circ}}{\cos \left(90^{\circ}-18^{\circ}\right)}\)
= \(\frac{\sin 18^{\circ}}{\sin 18^{\circ}}\) = 1.
[∵ cos (90° – θ) = sin θ]

(ii) \(\frac{\tan 26^{\circ}}{\cot 64^{\circ}}\) = \(\frac{\tan 26^{\circ}}{\cot \left(90^{\circ}-26^{\circ}\right)}\)
= \(\frac{\tan 26^{\circ}}{\tan 26^{\circ}}\) = 1.
[∵ cot (90° – θ) = tan θ]

(iii) cos 48° – sin 42° = cos (90° – 42°) – sin 42°
[∵ cos (90° – θ) = sin θ]
= sin 42° – sin 42° = 0.

(iv) cosec 31° – sec 59°
= cosec 31° – sec (90° – 31°)
= cosec 31° – cosec 31°
[∵ sec (90° – θ) = cosec θ]
= 0.

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 2.
ਦਿਖਾਉ ਕਿ
(i) tan 48° tan 23° tan 42° tan 67° = 1
(ii) cos 38° cos 52° – sin 38° sin 52° = 0
ਹੱਲ:
(i) L.H.S.
= tan 48° tan 23° tan 42° tan 67°
= tan48° × tan 23° × tan(90° -48°) × tan (90°–23°)
= tan 48° × tan 23° × cot 48° × cot 23°
= tan 48° × tan 23° × \(\frac{1}{\tan 48^{\circ}}\) × \(\frac{1}{\tan 23^{\circ}}\) = 1.
∴ L.H.S. = R.H.S.

(ii) L.H.S.= cos 38° cos 52° – sin 38° sin 52°
= cos 38° × cos (90° – 38) – sin 38° × sin (90° – 380)
= cos 38° × sin 38° – sin 38° × cos 38°
= 0.
∴ L.H.S. = R.H.S.

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 3.
ਜੇਕਰ tan 2A = cot (A – 18°), ਜਿੱਥੇ 2A ਇੱਕ ਨਿਊਨ ਕੋਣ ਹੈ, ਤਾਂ A ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : tan 2A = cot (A – 18°)
A ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸਾਨੂੰ ਦੋਵੇ ਪਾਸੇ ਜਾਂ ਤਾਂ cot θ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਜਾਂ tan θ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ।
[∵ cot (90° – θ) = tan θ]
⇒ cot (90° – 2A) = cot (A – 18°)
⇒ 90° – 2A = A – 18°
⇒ 3A = 108°
A = 36°.

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 4.
ਜੇਕਰ tan A = cot B, ਤਾਂ ਸਿੱਧ ਕਰੋ ਕਿ A + B = 90°.
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : tan A = cot B
A + B = 90° ਦਿਖਾਉਣ ਦੇ ਲਈ ਦੋਵੇ ਪਾਸੇ ਜਾਂ ਤਾਂ tan ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਜਾਂ cotθ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
[∵ tan (90° – θ) = cot θ]
⇒ tan A = tan (90° – B)
⇒ A = 90° – B
⇒ A + B = 90°.

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 5.
ਜੇਕਰ sec 4A = cosec (A – 20°), ਜਿੱਥੇ 4A ਇੱਕ ਨਿਊਨ ਕੋਣ ਹੈ ਤਾਂ A ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : sec 4A = cosec (A – 20°)
A, ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸਾਨੂੰ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ sec θ ਜਾਂ cosec θ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ
[∵ cosec (90° – θ) = sec θ]
⇒ cosec (90° – 4A) = cosec (A – 20°)
⇒ 90° – 4A = A – 20°
⇒ 90° + 20° = A + 4 A
110° = 5A
⇒ A = 22°.

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 6.
ਜੇਕਰ A, B ਅਤੇ Cਤ੍ਰਿਭੁਜ ABC ਦੇ ਅੰਦਰੂਨੀ ਕੋਣ ਹਨ, ਤਾਂ ਦਿਖਾਓ ਕਿ
sin \(\left(\frac{B+C}{2}\right)\) = cos \(\left(\frac{,A}{2}\right)\)
ਹੱਲ:
ਕਿਉਂਕਿ A, B ਅਤੇ cਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੇ ਅੰਦਰੂਨੀ ਕੋਣ ਹਨ ।
∴ A + B + C = 180° [ਤਿਭੁਜ ਦੇ ਤਿੰਨੋਂ ਕੋਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜ 180° ਹੁੰਦਾ ਹੈ।]
⇒ B + C = 180° – A
⇒ \(\frac{\mathrm{B}+\mathrm{C}}{2}\) = \(\frac{180^{\circ}-\mathrm{A}}{2}\)
⇒ \(\frac{\mathrm{B}+\mathrm{C}}{2}\) = (90° – \(\frac{\mathrm{A}}{2}\))
ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ sin ਲੈਣ ਤੇ,
⇒ sin\(\left(\frac{B+C}{2}\right)\) = sin(90° – \(\frac{\mathrm{A}}{2}\))
= cos \(\frac{\mathrm{B}+\mathrm{C}}{2}\)
[∵ sin (90° – θ) = cos θ]

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 7.
sin 67° + cos 75° ਨੂੰ 0° ਅਤੇ 45° ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਦੇ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਤਿਕੋਣਮਿਤਈ ਅਨੁਪਾਤਾਂ ਦੇ ਪਦਾਂ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਉ।
ਹੱਲ:
sin 67° + cos 75°
= sin (90° – 23°) + cos (90° – 15°)
= cos 23° + sin 15°
{∵ sin (90° – θ) = cos θ
ਅਤੇ cos (90° – θ) = sin θ}

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 8 ਤਿਕੋਣਮਿਤੀ ਬਾਰੇ ਜਾਣ ਪਛਾਣ Ex 8.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 8 ਤਿਕੋਣਮਿਤੀ ਬਾਰੇ ਜਾਣ ਪਛਾਣ Exercise 8.2

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 1.
ਹੇਠ ਲਿਖਿਆਂ ਦੇ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ :
(i) sin 60° cos 30° + sin 30° cos 60°
(ii) 2 tan² 45° + cos² 30° – sin² 60°
(iii) \(\frac{\cos 45^{\circ}}{\sec 30^{\circ}+{cosec} 30^{\circ}}\)
(iv) \(\frac{\sin 30^{\circ}+\tan 45^{\circ}-{cosec} 60^{\circ}}{\sec 30^{\circ}+\cos 60^{\circ}+\cot 45^{\circ}}\)
(v) \(\frac{5 \cos ^{2} 60^{\circ}+4 \sec ^{2} 30^{\circ}-\tan ^{2} 45^{\circ}}{\sin ^{2} 30^{\circ}+\cos ^{2} 30^{\circ}}\)
ਹੱਲ:
(i) ਦਿੱਤਾ ਹੈ :
sin 60° cos 30° + sin 30° cos 60°
= \(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\)\(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\) + \(\left(\frac{1}{2}\right)\)\(\left(\frac{1}{2}\right)\)
= \(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\) + \(\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\)
= \(\frac{3}{4}\) + \(\frac{1}{4}\) = 1.

(ii) ਦਿੱਤਾ ਹੈ :
2 tan² 45° + cos² 30° – sin² 60°
= 2 (tan 45°)² + (cos 30°)² – (sin 60°)²
= 2(1)² + \(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\) – \(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\) = 2.

(iii) ਦਿੱਤਾ ਹੈ : \(\frac{\cos 45^{\circ}}{\sec 30^{\circ}+{cosec} 30^{\circ}}\)

(iv) ਦਿੱਤਾ ਹੈ : \(\frac{\sin 30^{\circ}+\tan 45^{\circ}-{cosec} 60^{\circ}}{\sec 30^{\circ}+\cos 60^{\circ}+\cot 45^{\circ}}\)

(v) ਦਿੱਤਾ ਹੈ : \(\frac{5 \cos ^{2} 60^{\circ}+4 \sec ^{2} 30^{\circ}-\tan ^{2} 45^{\circ}}{\sin ^{2} 30^{\circ}+\cos ^{2} 30^{\circ}}\)

= \(\frac{5}{4}\) + \(\frac{16}{3}\) – 1 = \(\frac{15+64-12}{12}\)
= \(\frac{67}{12}\).

2. ਸਹੀ ਉੱਤਰ ਚੁਣੋ ਅਤੇ ਉਸਦਾ ਕਾਰਣ ਦੱਸੋ :

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (i).
\(\frac{2 \tan 30^{\circ}}{1+\tan ^{2} 30^{\circ}}\)
(A) sin 60°
(B) cos 60°
(C) tan 60°
(D) sin 30°
ਉੱਤਰ:

∴ ਵਿਕਲਪ ‘A’ ਸਹੀ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ii).
\(\frac{1-\tan ^{2} 45^{\circ}}{1+\tan ^{2} 45^{\circ}}\)
(A) tan 90°
(B) 1
(C) sin45°
(D) 0.
ਉੱਤਰ:
\(\frac{1-\tan ^{2} 45^{\circ}}{1+\tan ^{2} 45^{\circ}}\) = \(\frac{1-(1)^{2}}{1+(1)^{2}}\) = 0.
∴ ਵਿਕਲਪ “D’ ਸਹੀ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iii).
sin2A = 2sin A ਉਦੋਂ ਸੱਚ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਦੋਂ A ਬਰਾਬਰ ਹੈ :
(A) 0°
(B) 30°
(C) 450
(D) 60°
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ, sin 2A = 2 sin A
ਜਦੋਂ, A = 0° ਹੋਵੇ ਤਾਂ
sin 2(0) = 2 sin 0
sin 0 = 0
0 = 0; ਜੋ ਸੱਚ ਹੈ ।
∴ ਵਿਕਲਪ ‘A’ ਸਹੀ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iv).
\(\frac{2 \tan 30^{\circ}}{1-\tan ^{2} 30^{\circ}}\) ਬਰਾਬਰ ਹੈ :
(A) cos 60°
(B) sin 60°
(C) tan 60°
(D) sin 30°.
ਉੱਤਰ:

∴ ਵਿਕਲਪ ‘C’ ਸਹੀ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 3.
ਜੇਕਰ tan (A + B) = \(\sqrt {3}\) ਅਤੇ tan (A – B) = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\); 0° < A + B ≤ 90° ; A > B ਤਾਂ A ਅਤੇ B ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
tan (A + B) = \(\sqrt {3}\)
tan (A + B) = tan 60°
⇒ A + B = 60° …(1)
tan (A – B) = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
ਜਾਂ tan (A – B) = tan 30°
⇒ A – B = 30° …(2)
(1) ਅਤੇ (2) ਜੋੜਨ ‘ਤੇ

A = 45°
(1) ਵਿਚ ਮੁੱਲ ਭਰਨ ‘ਤੇ
45° + B = 60°
B = 60° – 45°
B = 15°
∴ A = 45° ਅਤੇ B = 15°

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 4.
ਦੱਸੋ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਹੜਾ ਸਹੀ ਹੈ ਅਤੇ ਕਿਹੜਾ ਗਲਤ। ਕਾਰਣ ਸਹਿਤ ਆਪਣੇ ਉੱਤਰ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰੋ।
(i) sin (A + B) = sin A + sin B.
(ii) θ ਦੇ ਵੱਧਣ ਨਾਲ sin θ ਦਾ ਮੁੱਲ ਵੀ ਵਧਦਾ ਹੈ।
(iii) θ ਦੇ ਵੱਧਣ ਨਾਲ cos θ ਦਾ ਮੁੱਲ ਵੀ ਵਧਦਾ ਹੈ।
(iv) θ ਦੇ ਸਾਰੇ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ sin θ = cos θ.
(v) A = 0° ਤੇ cot A ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਨਹੀਂ ਹੈ ।
ਹੱਲ:
(i) ਠੀਕ ਨਹੀਂ
ਜਦੋਂ A = 60°, B = 30°
L.H.S. = sin (A + B)
= sin (60° + 30°)
= sin 90° = 1
R.H.S. = sin A + sin B
= sin 60° + sin 30°
= \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) + \(\frac{1}{2}\) ≠ 1
ਅਰਥ L.H.S. ≠ R.H.S.

(ii) ਠੀਕ ਹੈ sin 30° = \(\frac{1}{2}\) = 0.5,
ਕਿਉਂਕਿ, sin 45 = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) = 0.7 (ਲਗਭਗ )
sin 60° = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) = 0.87 (ਲਗਭਗ)
ਅਤੇ sin 90° = 1
ਅਰਥ, ਜਦੋਂ θ ਦਾ ਮੁੱਲ 0° ਤੋਂ 90° ਤਕ ਵਧਦਾ ਹੈ ਤਾਂ sin 6 ਦਾ ਮੁੱਲ ਵੀ ਵਧਦਾ ਹੈ ।

(iii) ਠੀਕ ਨਹੀਂ
ਕਿਉਂਕਿ cos 0° = 1,
cos 30° = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) = 0.87 (ਲਗਭਗ) ।
cos 45° = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) = 0.7 (ਲਗਭਗ)
cos 60°= \(\frac{1}{2}\) = 0.5
ਅਤੇ cos 90° = 0.
ਜਦੋਂ θ ਦਾ ਮੁੱਲ 0° ਤੋਂ 90° ਤੱਕ ਵਧਦਾ ਹੈ ਤਾਂ cos 9 ਦਾ ਮੁੱਲ ਘਟਦਾ ਹੈ ।

(iv) ਠੀਕ ਨਹੀਂ
ਕਿਉਂਕਿ sin 30° = \(\frac{1}{2}\)
ਅਤੇ cos 30° = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
ਜਾਂ sin 30° ≠ cos 30°
ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ :
sin 45° = cos 45°.
\(\frac{1}{\sqrt{2}}\) = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)

(v) ਠੀਕ ਹੈ
cot 0°= \(\frac{1}{\tan 0^{\circ}}\) = \(\frac{1}{0}\), ਜਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਨਹੀਂ ।

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 8 ਤਿਕੋਣਮਿਤੀ ਬਾਰੇ ਜਾਣ ਪਛਾਣ Ex 8.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 8 ਤਿਕੋਣਮਿਤੀ ਬਾਰੇ ਜਾਣ ਪਛਾਣ Exercise 8.1

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 1.
△ABC ਵਿੱਚ, ਜਿਸਦਾ ਕੋਣ B ਸਮਕੋਣ ਹੈ, AB = 24 cm ਅਤੇ BC = 7 cm ਹੈ। ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਿਆਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ :
(i) sin A, cos A
(ii) sin C, cos C.
ਹੱਲ:
(i) ਅਸੀਂ ਪਤਾ ਕਰਨਾ ਹੈ sin A, cos A AB = 24 cm ; BC = 7 cm

ਪਾਈਥਾਗੋਰਸ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਦੇ ਹੋਏ,
AC² = AB² + BC²
AC² = (24)² + (7)²
AC² = 576 + 49
AC² = 625.
AC = \(\sqrt {625}\)
AC = 25 cm.
sin A = \(\frac{BC}{AC}\)
sin A = \(\frac{7 cm}{25 cm}\) = \(\frac{7}{25}\)
cos A = \(\frac{AB}{AC}\) = \(\frac{24 cm}{25 cm}\)
cos A = \(\frac{24}{25}\)
sin A = \(\frac{7}{25}\) ਅਤੇ cos A = \(\frac{24}{25}\)

(ii) sin C = \(\frac{AB}{AC}\) = \(\frac{24 cm}{25 cm}\)

sin C = \(\frac{24}{25}\)
cos C = \(\frac{BC}{AC}\) = \(\frac{7 cm}{25 cm}\)
cos C = \(\frac{7}{25}\)
sin C = \(\frac{24}{25}\) ਅਤੇ cos C = \(\frac{7}{25}\)

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 2.
ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ, tan P – cot R ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ।

ਹੱਲ:
ਕਰਣ PR = 13 cm, ਲੰਬ PQ = 12 cm

ਪਾਈਥਾਗੋਰਸ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਨ ‘ਤੇ,
PR² = PQ² + OR²
ਜਾਂ (13)² = (12)² + QR²
ਜਾਂ 169 = 144 + (OR)²
ਜਾਂ 169 – 144 = (QR)²
ਜਾਂ 25 = (QR)²
ਜਾਂ QR = ±\(\sqrt {25}\)
ਜਾਂ QR = 5, – 5.
ਪਰ QR = 5 cm.
[QR ≠ -5 ਕਿਉਂਕਿ ਭੁਜਾ ਰਿਣਾਤਮਕ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ]
tan P = \(\frac{RQ}{QP}\) = \(\frac{5}{12}\)
cot R = \(\frac{RQ}{PQ}\) = \(\frac{5}{12}\)
∴ tan P – cot R = \(\frac{5}{12}\) – \(\frac{5}{12}\) = 0
ਇਸ ਲਈ tan P – cot R = 0.

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 3.
ਜੇਕਰ sin A = \(\frac{3}{4}\), ਤਾਂ cos A ਅਤੇ tan A ਦਾ ਮਾਨ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ ABC ਕੋਈ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿਚ ਕੋਣ B ਸਮਕੋਣ ਹੈ ।

sin A = \(\frac{3}{4}\)
ਪਰ sin A = \(\frac{BC}{AC}\) [ਚਿੱਤਰ ਵਿਚ]
∴ \(\frac{BC}{AC}\) = \(\frac{3}{4}\)
ਪਰ \(\frac{BC}{AC}\) = \(\frac{3}{4}\) = k
K, ਇਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਹੈ ।
⇒ BC = 3K,
AC = 4K
ਪਾਈਥਾਗੋਰਸ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਕੇ,
AC² = AB² + BC²
ਜਾਂ (4K)² = (AB)² + (3K)²
ਜਾਂ 16K² = AB² + 9K²
ਜਾਂ 16K² – 9K² = AB²
ਜਾਂ 7K² = AB²
ਜਾਂ AB = ±\(\sqrt{7 \mathrm{~K}^{2}}\)
ਜਾਂ AB = ±\(\sqrt {7}\) K
[AB ≠ – 7K ਕਿਉਂਕਿ ਭੁਜਾ ਰਿਣਾਤਮਕ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦੀ ] AB= 17 K
⇒ AB = \(\sqrt {7}\) K
cos A = \(\frac{AB}{AC}\)
cos A = \(\frac{\sqrt{7} K}{4 K}\) = \(\frac{\sqrt{7}}{4}\)
tan A = \(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}\) = \(\frac{3 K}{\sqrt{7} K}\) = \(\frac{3}{\sqrt{7}}\)
∴ cos A = \(\frac{\sqrt{7}}{4}\) ਅਤੇ tan A = \(\frac{3}{\sqrt{7}}\)

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 4.
ਜੇਕਰ 15 cot A = 8 ਹੋਵੇ ਤਾਂ sin A ਅਤੇ sec A ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ ABC ਕੋਈ ਸਮਕੋਣ ਤਿਭੁਜ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿਚ ∠A ਨਿਊਨ ਕੋਣ ਹੈ ਅਤੇ B ਸਮਕੋਣ ਹੈ ।

15 cot A = 8
cot A = \(\frac{8}{15}\)
ਪਰ cot A = \(\frac{AB}{BC}\) [ਚਿੱਤਰ ਵਿਚ]
⇒ \(\frac{AB}{BC}\) = \(\frac{8}{15}\) = K
K, ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਹੈ ।
⇒ AB = 8 K, BC = 15 K
ਪਾਈਥਾਗੋਰਸ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਨ ‘ਤੇ
AC² = AB² + BC²
AC² = (8K)² + (15K)²
AC² = 64K² + 225 K²
AC² = 289 K²
AC = ±\(\sqrt{289 K^{2}}\)
AC = ±17K
⇒ AC = 17K
[AC = – 17 K, ਕਿਉਂਕਿ ਭੁਜਾ ਰਿਣਾਤਮਕ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦੀ ]

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 5.
ਜੇਕਰ sec θ = \(\frac{13}{12}\) ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਬਾਕੀ ਸਾਰੇ ਤਿਕੋਣਮਿਤਈ ਅਨੁਪਾਤ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ ABC ਕੋਈ ਸਮਕੋਣ ਤਿਭੁਜ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿਚ ∠B ਸਮਕੋਣ ਹੈ ।
∠BAC = θ

sec θ = \(\frac{13}{12}\)
ਪਰ sec θ = \(\frac{AC}{AB}\) …[ਚਿੱਤਰ ਵਿਚ]
\(\frac{AC}{AB}\) = \(\frac{13}{12}\)
ਪਰ \(\frac{AC}{AB}\) = \(\frac{13}{12}\) = k
k ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਹੈ ।
AC = 13k ਅਤੇ AB = 12k
ਪਾਈਥਾਗੋਰਸ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੇ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਨ ‘ਤੇ,
AC² = (AB)² + (BC)²
ਜਾਂ (13k)² = (12k)² + (BC)²
ਜਾਂ169k² = 144k² + BC²
ਜਾਂ 169k² – 144k² = BC²
ਜਾਂ (BC)² = 25k²
ਜਾਂ BC = ±\(\sqrt{25 k^{2}}\)
ਜਾਂ BC = ±5k
ਜਾਂ BC = 5k.
[BC ≠ – 5k ਕਿਉਂਕਿ ਭੁਜਾ ਰਿਣਾਤਮਕ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦੀ]

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 6.
ਜੇਕਰ ∠A ਅਤੇ ∠B ਨਿਊਨ ਕੋਣ ਹੋਣ, ਜਿੱਥੇ cos A = cos B, ਤਾਂ ਦਿਖਾਉ ਕਿ ∠A = ∠B.
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ ABC ਕੋਈ ਤਿਭੁਜ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ∠A ਅਤੇ ∠B ਨਿਊਨ ਕੋਣੇ ਹਨ | cos A ਅਤੇ cos B ਪਤਾ ਕਰੋ ।

CM ⊥ AB
∠AMC : ∠BMC = 90°
ਸਮਕੋਣ △AMC ਵਿਚ,
\(\frac{AM}{AC}\) = cos A …(1)
ਸਮਕੋਣ △BMC ਵਿਚ,
\(\frac{BM}{BC}\) = cos B …(2)
ਪਰ cos A = cos B [ਦਿੱਤਾ ਹੈ ] …(3)
(1), (2) ਅਤੇ (3) ਤੋਂ,
\(\frac{AM}{AC}\) = \(\frac{BM}{BC}\)
\(\frac{AM}{BM}\) = \(\frac{AC}{BC}\) = \(\frac{CM}{CM}\)
∴ △AMC ~ △BMC [SSS ਕਸੌਟੀ ]
⇒ ∠A = ∠B [∵ ਕਿਉਂਕਿ ਸਮਰੂਪ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਸੰਗਤ ਕੋਣ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ]

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 7.
ਜੇਕਰ cot θ = \(\frac{7}{8}\), ਤਾਂ
(i) \(\frac{(1+\sin \theta)(1-\sin \theta)}{(1+\cos \theta)(1-\cos \theta)}\)
(ii) cot²θ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
(i) ∠ABC = θ
ਸਮਕੋਣ ਤਿਭੁਜ ABC ਵਿਚ C ਉੱਤੇ ਸਮਕੋਣ ਹੈ ।

ਦਿੱਤਾ ਹੈ : cot θ = \(\frac{7}{8}\)
ਪਰ cot θ = \(\frac{BC}{AC}\) [ਚਿੱਤਰ ਵਿਚ]
⇒ \(\frac{BC}{AC}\) = \(\frac{7}{8}\)
ਮੰਨ ਲਓ \(\frac{BC}{AC}\) = \(\frac{7}{8}\) = k
ਜਿੱਥੇ k ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਹੈ ।
⇒ BC = 7k, AC = 8k
ਪਾਈਥਾਗੋਰਸ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਨ ‘ਤੇ,
AB² = (BC)² + (AC)²
ਜਾਂ (AB)² = (7k)² + (8k)²
ਜਾਂ (AB)² = 49k² + 64k²
ਜਾਂ(AB)² = 113k²
ਜਾਂ AB = ±\(\sqrt{113 k^{2}}\)
AB = \(\sqrt{113}\) k
[AB ≠ –\(\sqrt{113}\) k ਕਿਉਂਕਿ ਭੁਜਾ ਰਿਣਾਤਮਕ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦੀ]

[ਸੂਤਰ (a + b) (a – b) = a² – b² ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਨ ‘ਤੇ]
= 1 – \(\frac{64}{113}\)
(1 + sin θ) (1 – sin θ)
= \(\frac{113-64}{113}\) = \(\frac{49}{113}\)
⇒ (1 + sin θ) (1 – sin θ) = \(\frac{49}{113}\) …(1)
(1 + cos θ) (1 – cos θ)

(ii) cot θ = \(\frac{BC}{AC}\) = \(\frac{7}{8}\)
cot² θ = (cot θ)²
cot² θ = \(\left(\frac{7}{8}\right)^{2}\)
⇒ cot² θ = \(\frac{49}{64}\).

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 8.
ਜੇਕਰ 3 cot A = 4 ਤਾਂ ਪੜਤਾਲ ਕਰੋ ਕਿ \(\frac{1-\tan ^{2} A}{1+\tan ^{2} A}\) = cos²A – sin²A ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ ABC ਇਕ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਹੈ ਜਿਸ ‘ ਵਿਚ B ਸਮਕੋਣ ਹੈ ॥

ਇਹ ਦਿੱਤਾ ਹੈ ਕਿ 3 cot A = 4
cot A = \(\frac{4}{3}\)
ਪਰ cot A = \(\frac{AB}{BC}\) [ਚਿੱਤਰ ਵਿਚੀ]
\(\frac{AB}{BC}\) = \(\frac{4}{3}\)
ਪਰ \(\frac{AB}{BC}\) = \(\frac{4k}{3k}\)
⇒ AB = 4k, BC = 3k
ਪਾਈਥਾਗੋਰਸ, ਪ੍ਰਮੇਯ ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਨ ਤੇ,
AC² = AB² + BC²
AC² = 4k² + 3k²
AC² = 16k² + 9k²
AC² = 25²
AC = ± \(\sqrt{25 k^{2}}\)
AC = ± 5k
ਪਰ AC = 5k.
[AC ≠ – 5k, ਕਿਉਂਕਿ ਭੁਜਾ ਰਿਣਾਤਮਕ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।]

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 9.
AABC ਵਿਚ, ਜਿਸਦਾ ਕੋਣ B ਸਮਕੋਣ ਹੈ, ਜੇਕਰ tan A = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\), ਤਾਂ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ :
(i) sin A cos C + cos A sin C
(ii) cos A cos C – sin A sin C.
ਹੱਲ:
(i) ਦਿੱਤਾ ਹੈ : △ABC ਜਿਸਦਾ ਕੋਣ B ਸਮਕੋਣ ਹੈ ।

tan A = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) …(1)
ਪਰ tan A = \(\frac{BC}{AB}\) …(2)
(1) ਅਤੇ (2) ਤੋਂ, .
\(\frac{BC}{AB}\) = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
ਮੰਨ ਲਉ \(\frac{BC}{AB}\) = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) = k
BC = k, AB = \(\sqrt {3}\) k
ਜਿੱਥੇ k ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਹੈ ।
ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ABC ਵਿਚ,
ਪਾਈਥਾਗੋਰਸ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਨ ‘ਤੇ,
AC² = AB² + Bc²
(AC)² = ( k)² + (k)²
AC² = 3k² + k²
AC² = 4k²
AC = ± \(\sqrt{4 k^{2}}\)
AC = ± 2k.
ਇੱਥੇ AC = 2k
[AC ≠ – 2k ∵ ਭੁਜਾ ਰਿਣਾਤਮਕ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦੀ]

sin A cos C = \(\left(\frac{1}{2}\right)\)\(\left(\frac{1}{2}\right)\) = \(\frac{1}{4}\)
cos A sin C = \(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\)\(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\) = \(\frac{3}{4}\)
sin A cos C + cos A sinC
= \(\frac{1}{4}\) + \(\frac{3}{4}\)
= \(\frac{1+3}{4}\) = \(\frac{4}{4}\) = 1
∴ sin A cos C + cos A sin C = 1.

(ii) cos A cos C = \(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\)\(\left(\frac{1}{2}\right)\) = \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) [(3) ਤੋਂ]
sin A sin C = \(\left(\frac{1}{2}\right)\)\(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\) = \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) [(3) ਤੋਂ।]
cos A cos C – sin A sin C
= \(\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)\) – \(\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)\) = 0

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 10.
△POR ਵਿੱਚ, ਜਿਸਦਾ ਕੋਣ Q ਸਮਕੋਣ ਹੈ, PR + QR = 25 cm ਅਤੇ PQ = 5 cm ਹੈ । sin P, cos P ਅਤੇ tan P ਦੇ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : △PQR, ਵਿੱਚ Q ਸਮਕੋਣ ਹੈ ।

PR + QR = 25 cm
PQ = 5 cm
ਸਮਕੋਣ ਭੁਜ PQR ਵਿਚ,
ਪਾਈਥਾਗੋਰਸ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਨ ਤੇ,
PR² = PQ² + RQ²
ਜਾਂ PR² = 5² + RQ²
[∵ PR + OR = 25
QR = 25 – PR]
PR² = 25 + [25 – PR]²
PR² = 25 + 25² + PR² – 2 × 25 × PR PR² = 25 + 625 + PR² – 50 PR
PR² – PR² + 50 PR = 650
PR = \(\frac{650}{50}\)
PR = 13
∴ QR = 25 – PR
⇒ 25 – 13
= 12 cm.
sin P = \(\frac{QR}{PR}\) = \(\frac{12}{13}\)
cos P = \(\frac{PQ}{PR}\) = \(\frac{5}{13}\)
tan P = \(\frac{QR}{PQ}\) = \(\frac{12}{5}\)

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 11.
ਦੱਸੋ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਕਥਨ ਠੀਕ ਹਨ ਜਾਂ ਗਲਤ, ਕਾਰਣ ਸਹਿਤ ਆਪਣੇ ਉੱਤਰ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰੋ।
(i) tan A ਦਾ ਮੁੱਲ ਹਮੇਸ਼ਾ 1 ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
(ii) ਕੋਣ A ਦੇ ਕਿਸੇ ਮੁੱਲ ਲਈ sec A = \(\frac{12}{5}\).
(iii) cos A, ਕੋਣ A ਦੇ cosecant ਦਾ ਸੰਖੇਪ ਰੂਪ ਹੈ ।
(iv) cot A, cot ਅਤੇ A ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ !
(v) ਕਿਸੇ ਵੀ ਕੋਣ 8 ਦੇ ਲਈ sin θ = \(\frac{4}{3}\).
ਹੱਲ:
(i) ਠੀਕ ਨਹੀਂ ਹੈ
∵ tan 60° = \(\sqrt {3}\) = 1.732 > 1.
(ii) ਠੀਕ ਹੈ, sec A = \(\frac{12}{5}\) = 2:40 > 1
∵ Sec A ਹਮੇਸ਼ਾਂ A ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
(ii) ਠੀਕ ਨਹੀਂ
ਕਿਉਂਕਿ cos A, cosine A ਦੇ ਲਈ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ।
(iv) ਠੀਕ ਨਹੀਂ
ਕਿਉਂਕਿ cot A, ਕੋਣ A ਦਾ cotangent ਹੈ ਨਾ ਕਿ cot ਅਤੇ A ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ।
(v) ਠੀਕ ਨਹੀਂ sin θ = \(\frac{4}{3}\) = 1 666 > 1
ਕਿਉਂਕਿ sin θ ਹਮੇਸ਼ਾਂ 1 ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।