Class 9

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 15 प्रायिकता Ex 15.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 15 प्रायिकता Ex 15.1

प्रश्न 1.
एक क्रिकेट मैच में, एक महिला बल्लेबाज खेली गई 30 गेंदों में 6 बार चौका मारती है। चौका न मारे जाने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल :
बल्लेबाज द्वारा खेली गई गेंदों की संख्या = 30
गेंदों की संख्या जिन पर चौका मारा = 6
गेंदों की संख्या जिन पर चौका नहीं लगा = 30 – 6 = 24
P (अगली गेंद जिस पर चौका नहीं लगेगा)

= \(\frac{24}{30}\)
= \(\frac{4}{5}\)

प्रश्न 2.
2 बच्चों वाले 1500 परिवारों की यदृच्छया चयन किया गया है और निम्नलिखित आंकड़े लिख लिए गए हैं :

परिवार में लड़कियों की संख्या	परिवारों की संख्या
2	475
1	814
0	211

यदृच्छया चुने गए उस परिवार की प्रायिकता ज्ञात कीजिए, जिसमें
(i) दो लड़कियाँ हों
(i) एक लड़की हो
(iii) कोई लड़की न हो।
साथ ही, यह भी जाँच कीजिए कि इन प्रायिकताओं का योगफल 1 है या नहीं।
हल :
(i) परिवारों की कुल संख्या = 1500
2 लड़कियों वाले परिवारों की संख्या = 475
2 लड़कियों वाले परिवारों की प्रायिकता P (2 लड़कियों वाले परिवार)

(ii) 1 लड़की वाले परिवारों की संख्या = 814
∴ P (1 लड़की वाले परिवार)

(iii) परिवारों की संख्या जिनकी कोई लड़की नहीं है = 211
∴ P (परिवार जिनकी कोई लड़की नहीं)

जाँच :
प्रायिकताओं का योग
= \(\frac{19}{60}+\frac{407}{750}+\frac{211}{1500}\)
= \(\frac{475+814+211}{1500}\)
= \(\frac{1500}{1500}\) = 1
अतः, सभी तीन प्रायिकताओं का योगफल 1 है।

प्रश्न 3.
अध्याय 14, के अनुच्छेद 14.4 का उदाहरण लीजिए। कक्षा के किसी एक विद्यार्थी का जन्म अगस्त महीने में होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल :
अध्याय 14 के अनुच्छेद 14.4 की उदाहरण 5
अनुसार नवीं कक्षा के विद्यार्थी की कुल संख्या = 40
अगस्त मास में जन्मे विद्यार्थियों की कुल संख्या = 6
P (अगस्त में जन्मा विद्यार्थी)

प्रश्न 4.
तीन सिक्कों को एक साथ 200 बार उछाला गया है तथा इनमें विभिन्न परिणामों की बारंबारताएँ ये हैं :

परिणाम	बारंबारता
3 चित	23
2 चित	72
1 चित	77
कोई भी चित नहीं	28

यदि तीनों सिक्कों को पुनः एक साथ उछाला जाए, तो दो चित आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल :
तीन सिक्कों को एक साथ जितनी बार उछाला गया = 200
2 चित आने की बारंबारता = 72
2 चित आने की प्रायिकता अर्थात् P (2 चित आएँ)

प्रश्न 5.
एक कंपनी ने यदृच्छया 2400 परिवार चुनकर एक घर की आय स्तर और वाहनों की संख्या के बीच संबंध स्थापित करने के लिए उनका सर्वेक्षण किया। एकत्रित किए गए आंकड़े आगे सारणी में दिए गए हैं :

मान लीजिए एक परिवार चुना गया है। प्रायिकता रह कीजिए कि चुने गए परिवार :
(i) की आय ₹ 10000-13000 रु. प्रति माह है और उसके पास ठीक-ठीक दो वाहन हैं।
(ii) की आय प्रति माह ₹ 16000 रु. या इससे अधिक है और उसके पास ठीक 1 वाहन है।
(iii) की आय ₹ 7000 रु. प्रति माह से कम है और उसके पास कोई वाहन नहीं है।
(iv) की आय ₹ 13000-16000 रु. प्रति माह है और उसके पास 2 से अधिक वाहन है।
(v) जिसके पास 1 से अधिक वाहन नहीं है।
हल :
कंपनी द्वारा सर्वेक्षण किए गए परिवारों की कुल संख्या = 2400
(i) 10,000 – 13000 रु. प्रति माह आय वाले और ठीक-ठाक दो वाहन रखने वाले परिवारों की संख्या = 29
∴ 10,000 – 13000 रु. प्रति माह आय वाले और ठीक-ठीक दो वाहन रखने वाले परिवारों की प्रायिकता = \(\frac{29}{2400}\)

(ii) 16000 रु. या अधिक प्रति माह आये वाले और ठीक 1 वाहन रखने वाले परिवारों की संख्या = 579
∴ 16000 रु. या इससे अधिक प्रतिमाह आय और ठीक 1 वाहन वाले चुने गए परिवारों की प्रायिकता = \(\frac{576}{2400}\)

(iii) 7000 रु. प्रतिमाह से कम और कोई वाहन न रखने वाले परिवारों की संख्या = 10
∴ P (7000 रु. से कम और कोई वाहन न रखने वाला परिवार)
= \(\frac{10}{2400}\)
= \(\frac{1}{240}\)

(iv) 13000 – 16000 रु. प्रति माह आय वाले और 2 से अधिक वाहन रखने वाले परिवारों की संख्या = 25
∴ P (13000 – 16000 रु. आय और 2 से अधिक वाहन रखने वाले) = \(\frac{25}{2400}\)
= \(\frac{1}{96}\)

(v) परिवारों की संख्या जिसके पास 1 से अधिक वाहन नहीं है।
= कोई वाहन न रखने वाले परिवारों की संख्या + केवल 1 वाहन रखने वाले परिवारों की संख्या
= (10 + 0+ 1 + 2 + 1) + (160 + 305 + 535 + 469 + 579)
= 14 + 2048
= 2062
∴ P (एक परिवार जिसके पास 1 से अधिक वाहन नहीं है।
= \(\frac{2062}{2400}\)
= \(\frac{1031}{1200}\)

प्रश्न 6.
अध्याय 14 की सारणी 14.7 लीजिए।
(i) गणित की परीक्षा में एक विद्यार्थी द्वारा 20% कम अंक प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
(ii) एक विद्यार्थी द्वारा 60 या इससे अधिक अंक प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल :
अध्याय 14 की सारणी 14.7 के अनुसार विद्यार्थियों की कुल संख्या = 90
(i) 20% से कम अंक लेने वाले विद्यार्थियों की संख्या = 7
∴ P (20% से कम अंक प्राप्त करने वाला विद्यार्थी)

(ii) 60 या इससे अधिक अंक प्राप्त करने वाले विद्यार्थियों की संख्या = 60 – 70 अंक प्राप्त करने वाले विद्यार्थी + 70 और उससे अधिक अंक प्राप्त करने वाले विद्यार्थी
= 15 +8
= 23

प्रश्न 7.
सांख्यिकी के बारे में विद्यार्थियों का मत जानने के लिए 200 विद्यार्थियों का सर्वेक्षण किया गया। प्राप्त आँकड़ों को नीचे दी गई सारणी में लिख लिया गया है:

मत	विद्यार्थियों की संख्या
पसंद करते हैं	135
पसंद नहीं करते हैं	65

प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यदृच्छया चुना गया विद्यार्थी
(i) सांख्यिकी पसंद करता है।
(ii) सांख्यिकी पसंद नहीं करता है।
हल :
सांख्यिकी के विद्यार्थियों की कुल संख्या जिन पर सर्वेक्षण किया गया = 200
(i) विदयार्थियों की संख्या जो सांख्यिकी को पसंद करते हैं = 135
∴ P (सांख्यिकी पसंद करता विदयार्थी) विद्यार्थी जो सांख्यिकी पसंद करते हैं

(ii) सांख्यिकी को पसंद करने वाले विद्यार्थियों की संख्या = 65
∴ P (सांख्यिकी को पसंद न करने वाले विद्यार्थी)

प्रश्न 8.
प्रश्नावली 14.2 का प्रश्न 2 देखिए। इसकी आनुभविक प्रायिकता क्या होगी कि इंजीनियर
(i) अपने कार्यस्थल से 7 km से कम दूरी पर रहती है ?
(ii) अपने कार्यस्थल से 7 km या इससे अधिक दूरी पर रहती है ?
(iii) अपने कार्यस्थल से \(\frac{1}{2}\) km या इससे कम दूरी पर रहती है ?
हल :
प्रश्नावली 14.2 के प्रश्न 2 के अनुसार इंजीनियरों की कुल संख्या = 40
(i) अपने कार्यस्थल से 7 km से कम दूरी पर रहने वाले इंजीनियरों की संख्या = 9
∴ P (इंजीनियर जो कार्यस्थल से 7 km से कम दूरी पर रहते हैं)

(ii) अपने कार्यस्थल से 7 km या इससे अधिक दूरी पर रहने वाले इंजीनियरों की संख्या = 31
∴ P (इंजीनियर जो कार्यस्थल से 7 km या इससे अधिक दूरी पर रहता है)

(iii) अपने कार्यस्थल से \(\frac{1}{2}\) km या इससे कम दूरी पर रहने वाले इंजीनियरों की संख्या = 0
∴ P (इंजीनियर जो कार्यस्थल से \(\frac{1}{2}\) km या इससे कम दूरी पर रहता है)

प्रश्न 9.
क्रियाकलाप : अपने विद्यालय के गेट के सामने से एक समय-अंतराल में गुज़रने वाले दो पहिया, तीन पहिया और चार पहिया वाहनों की बारंबारता लिख लीजिए। आप द्वारा देखे गए वाहनों में से किसी एक वाहन का दो पहिया वाहन होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए आपने विद्यालय के समय के बाद (3 p.m. से 3.30 p.m.) आधा घंटा विद्यालय के गेट के बाहर से गुजरने वाले वाहनों के प्रकार को देखा है।

मान लीजिए वाहनों की बारंबारता नीचे दी गई सारणी में दर्शाई गई है :

वाहन का प्रकार	वाहनों की बारंबारता
दो पाहिया	125
तीन पहिया	45
चार पहिया	30

इस अंतराल के बाद गुज़रने वाले वाहन का दो पहिया वाहन होने की प्रायिकता

प्रश्न 10.
क्रियाकलाप : आप अपनी कक्षा के विद्यार्थियों से एक 3 अंक वाली संख्या लिखने को कहिए। आप कक्षा से एक विद्यार्थी को यदृच्छया चुन लीजिए। इस बात की प्रायिकता क्या होगी कि उसके द्वारा लिखी गई संख्या 3 से भाज्य है? याद रखिए कि कोई संख्या 3 से भाज्य होती है, यदि उसके अंकों का योग 4 से भाज्य हो।
हल :
मान लीजिए आप की कक्षा में विद्यार्थियों की संख्या 24.
मान लीजिए प्रत्येक विद्यार्थी द्वारा लिखे गए 3 अंक वाली संख्याएँ हैं :
837, 172, 643, 371, 124, 512, 432, 948, 311, 252, 999, 557, 784, 928, 867, 798, 665, 245, 107, 463, 267, 523, 944, 314.
3 से विभाजित होने वाली संख्याएँ हैं : 837, 432, 948, 252, 999, 867,798 और 267
3 से विभाजित 3 अंकों वाली संख्याओं की संख्या 8 है :
∴ P (3 अंकों वाली 3 से विभाजित संख्याएँ)

प्रश्न 11.
आटे की उन ग्यारह थैलियों में, जिन पर 5 kg अंकित है, वास्तव में आटे के निम्नलिखित भार (kg में) हैं :
4.97, 5.05, 5.08, 5.03, 5.00, 5.06, 5.08, 4.98, 5.04, 5.07, 5.00.
यदृच्छाया चुनी गई एक थैली में 5 Kg से अधिक आटा होने की प्रायिकता क्या होगी ?
हल :
आटे की थैलियों की कुल संख्या = 11
5 kg से अधिक आटे वाली थैलियों की संख्या = 7
P (5 kg से अधिक आटा)

प्रश्न 12.
प्रश्नावली 14.2 के प्रश्न 5 में आपसे 30 दिनों तक एक नगर की प्रति वायु में सल्फर डाइ-ऑक्साइड की भाग प्रति मिलियन में सांद्रता से संबंधित एक बारंबारता बंटन सारणी बनाने के लिए कहा गया था। इस सारणी की सहायता से इनमें से किसी एक दिन अंतराल (0.12-0.16) में सल्फर डाइ-ऑक्साइड के सांद्रण होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल :
प्रश्नवाली 14.2 के प्रश्न 5 के अनुसार अंतराल (0.12 – 0.16) की बारंबारता = 2
दिनों की कुल संख्या= 30
अंतराल (0.12 – 0.16) में सल्फर डाइ-ऑक्साइड के सांद्रण होने की प्रायिकता

अंतराल (0.12 – 0.16) की बारंबारता
= \(\frac{2}{30}\)
= \(\frac{1}{15}\)

प्रश्न 13.
प्रश्नावली 14.2 के प्रश्न 1 में आपसे एक कक्षा के 30 विद्यार्थियों के रक्त-समूह से संबंधित बारंबारता बंटन सारणी बनाने के लिए कहा गया था। इस सारणी की सहायता से इस कक्षा से यदृच्छया चुने गए एक विद्यार्थी का रक्त समूह AB होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल :
प्रश्नावली 14.2 के प्रश्न 1 अनुसार,
रक्त समूह AB के विद्यार्थियों की संख्या = 3
विद्यार्थियों की कुल संख्या = 30
चुने गए एक विद्यार्थी का रक्त समूह AB होने की प्रायिकता

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 6 रेखाएँ और कोण Ex 6.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 6 रेखाएँ और कोण Ex 6.3

प्रश्न 1.
आकृति में, ΔPQR की भुजाओं QP और RQ को क्रमश: : बिंदुओं S और T तक बढ़ाया गया है। यदि ∠SPR = 135° है और ∠PQT = 110° हैं, तो ∠PRQ ज्ञात कीजिए।

हल:
∠SPR + ∠QPR = 180° (रैखिक युग्म)
⇒ 135°+ ∠QPR = 180°
⇒ ∠QPR = 180° – 135°
⇒ ∠QPR = 45°
जैसा कि हम जानते हैं कि एक त्रिभुज का बहिष्कोण में अंतः अभिमुख कोणों के योग के बराबर होता है।
ΔPQR में ;
कोण ∠PQT = ∠QPR + ∠PRQ
⇒ 110° = 45° + ∠PRQ
⇒ 110° – 45° = ∠PRQ
⇒ 65° = ∠PRQ
य ∠PRQ = 65°

प्रश्न 2.
आकृति में ∠x = 62° और ∠XYZ = 54° है। यदि YO और ZO क्रमश: ΔXYZ के ∠XYZ और ∠XZY के समद्विभाजक हैं, तो ∠OZY और ∠YOZ ज्ञात कीजिए।

हल :
ΔXYZ में,
∠x + ∠XYZ + ∠XZY = 180°
(त्रिभुज का कोण योग गुण)
⇒ 62° + 54° + ∠XZY = 180°
⇒ ∠XZY = 180° – 62° – 54°
⇒ ∠XZY = 64°
अब ZO, ∠XZY का समद्विभाजक है।
∴ ∠OZY = ∠OZX = \(\frac {1}{2}\)∠XZY
∠OZY = ∠OZX = \(\frac {1}{2}\) × 64°
⇒ ∠OZY = ∠OZX = 32°
∠OZY = 32°
YO, ∠XYZ का समद्विभाजक है।
∴ ∠OYZ = ∠OYX = \(\frac {1}{2}\)∠XYZ
⇒ ∠OYZ = \(\frac {1}{2}\) × 54°
⇒ ∠OYZ = 27°
अब ΔOYZ में
⇒ ∠YOZ + ∠OYZ + ∠OZY = 180°
(त्रिभुज का कोण योग गुण)
⇒ ∠YOZ + 27° + 32° = 180°
⇒ ∠YOZ = 180° – 27° – 32°
⇒ ∠YOZ = 121°

प्रश्न 3.
आकृति में, यदि AB || DE, ∠BAC = 35° और ∠CDE = 53° है, तो ∠DCE ज्ञात कीजिए।
हल :
AB || DE और AE एक तिर्यक रेखा है।

∴ ∠BAE = ∠AED (एकांतर कोण)
या ∠BAC = ∠AED
⇒ 35° = ∠AED
या ∠AED = 35°
या ∠CED = 35°
अब ΔCDE में;
∠DCE + ∠CDE + ∠CED = 180° (त्रिभुज का कोण योग गुण)
⇒ ∠DCE + 53° + 35° = 180°
⇒ ∠DCE + 88° = 180°
⇒ ∠DCE = 180° – 88°
⇒ ∠DCE = 92°

प्रश्न 4.
आकृति में, यदि रेखाएँ PQ और RS बिंदु T | पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करती हैं कि ∠PRT = 40°, ∠RPT = 95° और ∠TSQ = 75° है, तो ∠SQT ज्ञात कीजिए।

हल :
ΔPRT में; ∠RPT + ∠PRT + ∠PTR = 180°
(त्रिभुज का कोण योग गुण)
⇒ 95° + 40° + ∠PTR = 180°
⇒ ∠PTR = 180° – 95° – 40°
⇒ ∠PTR = 180° – 1350
⇒ ∠PTR = 45° …(i)
PQ और RS परस्पर बिंदु T पर प्रतिच्छेदित करते हैं।
∴ ∠STQ = ∠PTR
(शीर्षाभिमुख कोण)
⇒ ∠STQ = 45°
[(i) का प्रयोग करने पर।]
अब ΔSTQ में,
⇒ ∠SQT + ∠STQ + ∠QST = 180°
(त्रिभुज का कोण योग गुण)
⇒ ∠SQT + 45° + 75° = 180°
⇒ ∠SQT = 180° – 45° – 75°
⇒ ∠SQT = 180° – 120°
⇒ ∠SQT = 60°

प्रश्न 5.
आकृति में, यदि PQ ⊥ PS, PQ || SR, ∠SQR = 28° और ∠QRT = 65° है, तो x और y के मान ज्ञात कीजिए।
हल :
जैसा कि हम जानते हैं कि त्रिभुज का एक बहिष्कोण दोनों अंत: अभिमुख कोणों के योग के बराबर होता है।
ΔQSR में,
बहिष्कोण ∠QRT = ∠QSR + ∠SQR
⇒ 65° = ∠QSR + 28°
⇒ 65° – 28° = ∠QSR
⇒ 37° = ∠QSR या
∠QSR = ∠37° ………….(i)

PQ || SR और SQ एक तिर्यक रेखा है
∴ x = ∠QSR
⇒ x = 37°
[(i) का प्रयोग करने पर] … (ii)
PQ ⊥ PS
⇒ ∠QPS = 90° … (iii)
समकोण ΔPQS में;
ΔQPS + x + y = 180°
(त्रिभुज का कोण योग गुण)
⇒ 90° + 37° + y = 180°
[(ii) और (iii) का प्रयोग करने पर।]
⇒ 127° + y = 180°
⇒ y = 180° – 127°
⇒ y= 53°

प्रश्न 6.
आकृति में, ΔPQR की भुजा QR को बिंदु S तक बढ़ाया गया है। यदि ∠PQR और ∠PRS के समद्विभाजक बिंदु T पर मिलते हैं, तो सिद्ध कीजिए कि ∠QTR = \(\frac {1}{2}\) ∠QPR है।

हल :
QT ∠PQR का समद्विभाजक है।
∴ ∠PQT = ∠RQT … (i)
RT, ∠PRS का समद्विभाजक
∴ ∠PRT = ∠TRS … (ii)
जैसा कि हम जानते हैं कि एक त्रिभुज एक बहिष्कोण दोनों अंत: अभिमुख कोणों के योग के बराबर होता है।
∴ Δ PQR में,
बहिष्कोण ∠PRS = ∠QPR + ∠PQR
⇒ (∠PRT + ∠TRS) = ∠QPR + (∠PQT + ∠RQT)
⇒ ∠TRS + ∠TRS = ∠QPR + (∠RQT + ∠RQT) [(i) और (ii) के प्रयोग करने से]
⇒ 2∠TRS = ∠QPR + 2∠RQT
⇒ 2(∠TRS – ∠RQT) = ∠QPR
⇒ ∠TRS – ∠RQT= \(\frac {1}{2}\) ∠QPR … (iii)
अब ΔQTR में ;
बहिष्कोण ∠TRS = (∠QTR) + (∠RQT) …… (iv)
[∵ त्रिभुज का बहिष्कोण दोनों अंतः अभिमुख कोणों के योग के बराबर होता है।]
(iv) से ∠TRS को ∠QTR और ∠RQT के रूप में (iii) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है।
∠QTR + ∠RQT – ∠RQT = \(\frac {1}{2}\)∠QPR
⇒ ∠QTR = \(\frac {1}{2}\) ∠QPR

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 6 रेखाएँ और कोण Ex 6.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 6 रेखाएँ और कोण Ex 6.2

प्रश्न 1.
आकृति में, x और y के मान ज्ञात कीजिए और फिर दर्शाइए कि AB || CD है।
हल :
मान लीजिए तिर्यक रेखा l, AB और CD को क्रमश: P और Q पर प्रतिच्छेदित करती है।

दी गई आकृति में,
50° + x = 180° (रैखिक युग्म)
⇒ x = 180° -50°
⇒ x = 130° …………. (i)
y= 130°
(शीर्षाभिमुख कोण)…….(ii)
(i) और (ii), से हम देखते हैं कि
x = y
यह दर्शाता है कि अंत: एकांतर कोण बराबर हैं।
जैसा कि हम जानते हैं कि यदि एक तिर्यक रेखा (मान लीजिए l) दो रेखाओं को इस प्रकार प्रतिच्छेदित करती है कि अंत: एकांतर कोणों के युग्म बराबर हों, तो दो रेखाएँ समांतर होती हैं।
अत: AB || CD.

प्रश्न 2.
आकृति में, यदि AB || CD, CD || EF और y : z = 3 : 7 है, तोx का मान ज्ञात कीजिए।

हल:
AB || CD
∴ x + y = 180° ……….(i)
[∵ दो समांतर रेखाओं के बीच एक तिर्यक रेखा के एक ओर के अंत: कोणों का योग 180° होता है।]
दिया है कि
AB || CD, CD||EF
∴ AB || EF [∵ एक ही रेखा के समांतर खींची गई दो रेखाएँ परस्पर समांतर होती हैं।]
अत: x = z (समांतर रेखाओं के लिए एकांतर अंतः कोण बराबर होते हैं।) …(ii)
(ii) से x का मान (i) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :
z + y = 180° ….(iii)
दिया है कि y : z = 3 : 7
मान लीजिए कि y = 3k ∴ z = 7k
जहाँ अचर k > 0
y और z के मान (iii) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :
7k + 3k = 180°
⇒ 10k = 180°
⇒ k = \(\frac {180°}{10}\)
⇒ k=18°
अत: y = 3k
⇒ y = 3 × 18°
⇒ y= 54°
⇒ z = 7k
⇒ z = 7 × 18°
⇒ z = 126°
(ii) से हमें प्राप्त होता है : x = z
∴ x = 126°

प्रश्न 3.
आकृति में, यदि AB ||CD, EF ⊥ CD और ∠GED = 126° है, तो ∠AGE, ∠GEF और ∠FGE ज्ञात कीजिए।

हल :
AB || CD और GE एक तिर्यक रेखा है.
∵ ∠AGE = ∠GED [एकांतर कोण]
⇒ ∠AGE = 126°
[∵ ∠GED = 126° (दिया है)]
∠GED = 126° (दिया है)
या ∠GEF + ∠FED = 126°
⇒ ∠GEF + 90° = 126°
[∵ EF ⊥ CD (दिया है)]
[∵ ∠FED = 90°]
⇒ ∠GEF = 126° – 90°
⇒ ∠GEF = 36°
अब ∠AGE + ∠FGE = 180° (रैखिक युग्म)
⇒ 126° + ∠FGE = 180°
[∵ ∠AGE = 126° (ऊपर प्राप्त किया है)]
⇒ ∠FGE = 180° – 126°
⇒ ∠FGE = 54°.

प्रश्न 4.
आकृति में, यदि PQ || ST, ∠PQR = 110° और ∠RST = 130° है, तो ∠QRS ज्ञात कीजिए।

हल :
बिंदु R से होकर ST के समांतर एक रेखा RN खींचिए।
अब ST || RN
⇒ ∠RST + ∠SRN = 180°

[∵ दो समांतर रेखाओं के बीच एक तिर्यक रेखा के एक ओर के अंत:कोणों का योग 180° होता है।]
⇒ 130° + ∠SRN = 180°
⇒ ∠SRN = 180° – 130°
⇒ ∠SRN = 50° …(i)
अब PQ || ST (दिया है)
ओर RN || ST (रचना)
∴ PQ || RN [∵ दो रेखाएँ जो एक ही रेखा के समांतर हों परस्पर समांतर हैं]
अब PQ || RN और QR एक तिर्यक रेखा है।
∴ ∠QRN = ∠PQR (एकांतर कोण)
⇒ ∠QRN = 110°
[∵ ∠PQR = 110° (दिया है)]
∠QRN = 110°
⇒ ∠QRS + ∠SRN= 110°
⇒ ∠QRS + 50° = 110°
[(i) का प्रयोग करने पर]
⇒ ∠QRS = 110° – 50°
⇒ ∠QRS = 60°.

प्रश्न 5.
आकृति में, यदि AB || CD, ∠APQ = 50° और ∠PRD = 127° है, तो x और y ज्ञात कीजिए।

हल :
AB || CD; PQ एक तिर्यक रेखा है
∴ x = ∠APQ (एकांतर कोण)
⇒ x = 50°
[∵ ∠APQ = 50° (दिया है)]
AB || CD; PR एक तिर्यक रेखा है।
∴ ∠APR = ∠PRD (एकांतर कोण)
⇒ ∠APQ + ∠QPR = ∠PRD
⇒ 50° + y = 127°
⇒ y = 127° – 50°
⇒ y = 77°

प्रश्न 6.
आकृति में, PQ और RS दो दर्पण हैं जो एक दूसरे के समांतर रखे गए हैं। एक आपतन किरण (incident ray) AB, दर्पण PQ से B पर टकराती है और परवर्तित किरण (Reflected ray) पथ BC पर चल कर दर्पण RS से C पर टकराती हैं तथा पुन: CD के अनुदिश परावर्तित हो जाती है। सिद्ध कीजिए कि AB || CD है।

हल :
दी गई आकृति के अनुसार PQ और RS दो दर्पण हैं जो एक दूसरे के समांतर हैं। एक आपतन किरण AB, दर्पण PQ से B पर टकराती है। CD एक परावर्तित किरण है जो दर्पण RS से परावर्तित होती है।
हमने सिद्ध करना है
AB || CD
उपपति : जैसा कि हम जानते हैं कि
आपतन कोण = परावर्तित कोण
∴ ∠1 = ∠2 और ∠3 = ∠4 ………….(i)
[∴ ∠1 आपाती किरण AB और अभिलंब BL]
∴ ∠1 एक आपतन कोण है, ∠2 परावर्तित किरण BC और अभिलंब BL के बीच स्थित है। इसलिए ∠2 परावर्तित कोण है। इसी तरह ∠3 और ∠4 क्रमश: आपतन कोण और परावर्तित कोण हैं।
∴ PQ || RS और BL ⊥ PQ
और CM ⊥ RS
BL || CM
अब समांतर रेखाएँ BL और CM हैं। एक तिर्यक रेखा BC इन्हें प्रतिच्छेद करती है।
∴ ∠2 = ∠3 (एकांतर कोण) …(ii)
अब ∠ABC = ∠1 + ∠2
⇒ ∠ABC = ∠2 + ∠2 [∵ ∠1 = ∠2]
⇒ ∠ABC = 2∠2
और ∠BCD = ∠3 + ∠4
⇒ ∠BCD = ∠3 + ∠3
⇒ [∵ ∠3 = ∠4]
⇒ ∠BCD = 2∠3
परंतु (ii), से हमें प्राप्त होता है
⇒ ∠2 = ∠3
⇒ 2∠2 = 2∠3
⇒ ∠ABC = ∠BCD
ये एकांतर कोण हैं। BC एक तिर्यक रेखा है।
अत: AB || CD.

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 6 रेखाएँ और कोण Ex 6.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 6 रेखाएँ और कोण Ex 6.1

प्रश्न 1.
आकृति में, रेखाएँ AB और CD बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि ∠AOC + ∠BOE = 70° है और ∠BOD = 40° है, तो ∠BOE और प्रतिवर्ती ∠COE ज्ञात कीजिए।

हल:
∠AOC + ∠COE + ∠BOE = 180° (रैखिक युग्म)
या (∠AOC + ∠BOE) + ∠COE = 180°
⇒ 70° + ∠COE = 180°
⇒ ∠COE = 180° – 70°
⇒ ∠COE = 110° … (i)
प्रतिवर्ती ∠COE
= 360° – ∠COE
= 360° – 110°
= 250°
इसलिए प्रतिवर्ती ∠COE = 250°
साथ ही, ∠COE + ∠BOE + ∠BOD = 180° (रैखिक युग्म)
110° + ∠BOE + 40° = 180°
⇒ ∠BOE = 180° – 110° – 40°
⇒ ∠BOE = 30°

वैकल्पिक विधि
∠AOC = ∠BOD (शीर्षाभिमुख कोण)
⇒ ∠AOC = 40°
[∵ ∠BOD = 40° (दिया है)]
अब ∠AOC + ∠BOE = 70° (दिया है)
⇒ 40° + ∠BOE = 70°
⇒ ∠BOE = 70° – 40°
⇒ ∠BOE = 30° उत्तर
प्रतिवर्ती ∠COE
= 360° – ∠COE
= 360° – 110°
= 250°
अतः प्रतिवर्ती ∠COE = 250°

प्रश्न 2.
आकृति में, रेखाएँ XY और MN बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि ∠POY = 90° और a : b = 2 : 3 है, तो c ज्ञात कीजिए।

हल :
∠POX + ∠POY = 180° (रैखिक युग्म)
⇒ ∠POX + 90° = 180°
⇒ ∠POX = 180° – 90°
⇒ ∠POX = 90°
अब मान लीजिए a = 2k और b = 3k
जहाँ k अचर है और k > 0
∠POX = 90°
⇒ a + b = 90°
⇒ 2k + 3k = 90°
⇒ 5k = 90°
⇒ k = \(\frac {90°}{5}\)
⇒ k = 18°
इसलिए a = 2k
⇒ a = 2 × 18
⇒ a = 36°
और b = 3k
⇒ b = 3 × 18
⇒ b = 54°
अब ∠MOX + ∠NOX = 180° (रैखिक युग्म)
⇒ b + c = 180°
⇒ 54° + c = 180°
⇒ c = 180° – 54°
⇒ c = 126°
अतः, अभीष्ट c का माप 126° हैं।

प्रश्न 3.
आकृति में, यदि ∠PQR = ∠PRQ है, तो सिद्ध कीजिए कि ∠PQS = ∠PRT है।

हल :
दी गई आकृति के अनुसार ∠PQS + ∠PQR = 180° (रैखिय युग्म) ……… (i)
साथ ही, ∠PRT + ∠PRQ = 180° (रैखिक युग्म) … (ii)
(i) और (ii) से हमें प्राप्त होता है।
∠PQS + ∠PQR = ∠PRT + ∠PRQ … (iii)
परंतु ∠PQR = ∠PRQ (दिया है)
इसलिए हम (iii) को इस प्रकार लिख सकते हैं।
∠PQS + ∠PQR = ∠PRT + ∠PQR
⇒ ∠PQS = ∠PRT + ∠PQR – ∠PQR
⇒ ∠PQS = ∠PRT

प्रश्न 4.
आकृति में, यदि x + y = w + z है, तो सिद्ध कीजिए कि AOB एक रेखा है।

हल :
दी गई आकृति के अनुसार ∠AOC + ∠BOC + ∠DOB + ∠AOD = 360°
⇒ x + y + w + z = 360°
⇒ x + y + x + y = 360°
[∵ x + y = w + z (दिया है)]
⇒ 2x + 2y = 360°
⇒ 2 (x + y) = 360
⇒ x + y = \(\frac {360°}{2}\)
⇒ x + y = 180° (रैखिक युग्म)
या ∠BOC + ∠AOC = 180°
यह दर्शाता है कि OC, ∠AOC और ∠BOC की उभयनिष्ठ भुजा है जो रैखिक युग्म बनाते हैं।
अत: AOB एक रेखा है।

प्रश्न 5.
आकृति में POQ एक रेखा है। किरण OR रेखा PQ पर लंब है। किरणों OP और OR के बीच में OS एक अन्य किरण है। सिद्ध कीजिए :
∠ROS = \(\frac {1}{2}\) (∠QOS – ∠POS)

हल:
दी गई आकृति के अनुसार
∠QOR + ∠POR = 180° (रैखिक युग्म)
⇒ 90° + ∠POR = 180°
⇒ ∠POR = 180° – 90°
⇒ ∠POR = 90°
या ∠ROS + ∠POS = 90°
⇒ ∠ROS = 90° – ∠POS … (i)
पुन: ∠QOS + ∠POS = 180° (रैखिक युग्म) …. (ii)
2∠POS को (ii) के दोनों ओर से घटाने पर
∠QOS + ∠POS – 2∠POS
= 180°- 2∠POS
⇒ ∠QOS – ∠POS = 2 (90° – ∠POS)
या \(\frac {1}{2}\) (∠QOS – ∠POS) = 90° – ∠POS …….. (iii)
(i) और (iii) से हमें प्राप्त होता है:
∠ROS = \(\frac {1}{2}\) (∠QOS – ∠POS)

प्रश्न 6.
यह दिया है कि ∠XYZ = 64° है और XY को बिंदु P तक बढ़ाया गया है। दी हुई सूचना से एक आकृति खींचिए। यदि किरण YQ, ∠ZYP को समद्विभाजित करती है, तो ∠XYQ और प्रतिवर्ती ∠QYP के मान ज्ञात कीजिए।
हल :
XY की बिंदु P तक बढ़ाया गया है।
∴ XP एक सरल रेखा है।
अत: ∠XYZ + ∠ZYP = 180° (रैखिक युग्म)
⇒ 64° + ∠ZYP = 180°
⇒ ∠ZYP = 180° – 64°
⇒ ∠ZYP = 116° … (i)

दिया है कि YQ, ∠ZYP का समद्विभाजक है।
∴ ∠ZYQ = ∠QYP = \(\frac {1}{2}\) ∠ZYP
⇒ ∠ZYQ = ∠QYP = \(\frac {1}{2}\) × 116° [(i) का प्रयोग करने पर]
⇒ ∠ZYQ = ∠QYP = 58° … (ii)
⇒ ∠QYP = 58°
अब ∠XYQ = ∠XYZ + ∠ZYQ
⇒ ∠XYQ = 64° + 58°
⇒ ∠XYQ = 122°

(ii) से हमें प्राप्त हैं : ∠ZYQ = ∠QYP
∵ ∠XYZ = 64° (दिया है)
और ∠ZYQ = 58°
∴ प्रतिवर्ती ∠QYP = 360° – ∠QYP
⇒ प्रतिवर्ती ∠QYP = 360° – 58°
⇒ प्रतिवर्ती ∠QYP = 302°

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 5 युक्लिड के ज्यामिति का परिचय MCQ Questions with Answers

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 5 युक्लिड के ज्यामिति का परिचय MCQ Questions

बहुविकल्पीय प्रश्न :

नीचे प्रत्येक प्रश्न के चार उत्तर दिए गए हैं। सही उत्तर का चयन कीजिए।

प्रश्न 1.
दिए हुए दो भिन्न बिन्दुओं से होकर
(A) एक अद्वितीय रेखा खींची जा सकती है।
(B) अनेक रेखाएं खींची जा सकती है।
(C) दो रेखाएं खींची जा सकती है।
(D) पांच रेखाएं खींची जा सकती हैं।
उत्तर-
(A) एक अद्वितीय रेखा खींची जा सकती है।

प्रश्न 2.
दिए हुए एक बिन्दु से
(A) एक अद्वितीय रेखा खींची जा सकती है।
(B) असंख्य रेखाएं खींची जा सकती हैं।
(C) कोई रेखा नहीं खींची जा सकती।
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर-
(B) असंख्य रेखाएं खींची जा सकती हैं।

प्रश्न 3.
एक समकोण सम्पूर्ण कोण का
(A) एक आधा होता है
(B) एक तिहाई होता है।
(C) एक चौथाई होता है।
(D) दो तिहाई होता है।
उत्तर-
(C) एक चौथाई होता है।

प्रश्न 4. समभुज की
(A) दो भुजाएं बराबर होती हैं।
(B) सभी भुजाएं बराबर होती हैं
(C) एक भुजा बराबर होती हैं।
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर-
(B) सभी भुजाएं बराबर होती हैं

प्रश्न 5.
न्यून कोण
(A) समकोण से बड़ा होता है।
(B) समकोण के बराबर होता है।
(C) समकोण से छोटा है।
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर-
(C) समकोण से छोटा है।

प्रश्न 6.
लम्ब रेखाओं में
(A) प्रत्येक बराबर कोण समकोण होता है।
(B) प्रत्येक बराबर कोण अधिक कोण होता है।
(C) प्रत्येक बराबर कोण न्यून कोण होता है।
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर-
(A) प्रत्येक बराबर कोण समकोण होता है।

प्रश्न 7. समबाहु त्रिभुज की
(A) तीनों भुजाएं बराबर होती हैं।
(B) दो भुजाएं बराबर होती हैं।
(C) कोई भुजा बराबर नहीं होती।
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर-
(A) तीनों भुजाएं बराबर होती हैं।

प्रश्न 8.
समद्विबाहु त्रिभुज की
(A) सभी भुजाएं बराबर होती हैं।
(B) दो भुजाएं बराबर होती हैं।
(C) कोई भुजा बराबर नहीं होती।
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर-
(B) दो भुजाएं बराबर होती हैं।

प्रश्न 9.
समकोण त्रिभुज में
(A) एक कोण समकोण होता है।
(B) दो कोण समकोण होते हैं।
(C) तीन कोण समकोण होते हैं
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर-
(A) एक कोण समकोण होता है।

प्रश्न 10.
वर्ग
(A) समभुज और समकोणिक होता है।
(B) दो भुजाएं और दो कोण बराबर होते हैं।
(C) सम्मुख भुजाएं और कोण बराबर होते हैं।
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर-
(A) समभुज और समकोणिक होता है।

प्रश्न 11.
समचतुर्भुज के
(A) सभी कोण और भुजाएं बराबर होती है।
(B) सम्मुख कोण और सम्मुख भुजाएं समान होती हैं।
(C) a और b दोनों
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर-
(B) सम्मुख कोण और सम्मुख भुजाएं समान होती हैं।

 

प्रश्न 12.
एक समकोण त्रिभुज में एक कोण होता है
(A) 180°
(B) 90°
(C) 30°
(D) 60°
उत्तर-
(B) 90°

प्रश्न 13.
एक अधिक कोण त्रिभुज में
(A) एक अधिक कोण होता है।
(B) दो अधिक कोण होते हैं।
(C) कोई अधिक कोण नहीं होता।
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर-
(A) एक अधिक कोण होता है।

प्रश्न 14.
दो रेखाएं तभी समान्तर कही जाती हैं जब उनका प्रतिच्छेदी बिन्दु
(A) एक बिन्दु हो
(B) एक रेखा हो
(C) कोई न हो
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर-
(C) कोई न हो

प्रश्न 15.
समान्तर चतुर्भुज में सम्मुख कोण
(A) असमान होते हैं।
(B) समान होते हैं।
(C) 90° से कम होते हैं।
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर-
(B) समान होते हैं।

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 5 युक्लिड के ज्यामिति का परिचय Ex 5.2 Textbook Exercise Questions and Answers

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 5 युक्लिड के ज्यामिति का परिचय Ex 5.2

प्रश्न 1.
यूक्लिड की पाँचवी अभिधारणा को किस प्रकार लिखेंगे ताकि वह सरलता से समझी जा सके ?
हल :
यूक्लिड की अभिधारणा पाँच के अनेक समतुल्य रूपांतरण हैं। इनमें से एक प्लेफेयर का अभिगृहीत है जो कि सरलता से समझा जा सकता है। इसके अनुसार : – प्रत्येक रेखा और उस पर न स्थित प्रत्येक बिंदु P के लिए, एक अद्वितीय रेखा m ऐसी होती है जो P से होकर जाती है और l के समांतर है।

स्पष्टतया P से होकर जाने वाली सभी रेखाओं में केवल m ही रेखा के समांतर है।

प्रश्न 2.
क्या यूक्लिड की पाँचवी अभिधारणा से समांतर रेखाओं के अस्तित्व का औचित्य निर्धारित होता है ? स्पष्ट कीजिए।
हल :
हां, यूक्लिड की पाँचवी अभिधारणा समांतर रेखाओं के अस्तित्व का औचित्य निर्धारित करती हैं, क्योंकि

यदि कोई रेखा ! दो सरल रेखाओं m और n पर पड़ती हो कि l की एक ओर के अंत: कोणों का योग दो समकोण हो, तो यूक्लिड के पाँचवें अभिगृहीत के अनुसार यह रेखा l के इस ओर नहीं मिलेगी। अब आप जानते हैं कि रेखा । की दूसरी ओर के अंत: कोणों का योग भी दो समकोण होगा। अतः दूसरी ओर भी ये नहीं मिलेंगे। अतः रेखाएँ 1 l और n कभी भी नहीं मिलेंगे और इसलिए ये समांतर हैं।

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 5 युक्लिड के ज्यामिति का परिचय Ex 5.1 Textbook Exercise Questions and Answers

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 5 युक्लिड के ज्यामिति का परिचय Ex 5.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित कथनों में से कौन-से कथन सत्य हैं और कौन-से असत्य हैं ? अपने उत्तरों के लिए कारण दीजिए।
(i) एक बिंदु से होकर केवल एक ही रेखा खींची जा सकती है।
(ii) दो भिन्न बिंदुओं से होकर जाने वाली असंख्य रेखाएँ हैं।
(iii) एक सांत रेखा दोनों ओर अनिश्चित रूप से बढ़ाई जा सकती है।
(iv) यदि दो वृत्त बराबर हैं, तो उनकी त्रिज्याएँ बराबर होती हैं।
(v) आकृति में यदि AB = PQ और PQ = XY है, तो AB = XY होगा।

हल :
(i) असत्य :
सही कथन :
एक बिंदु से होकर असीमित रूप से अनेक रेखाएँ खींची जा सकती हैं। यह स्वयं सिद्ध है और इसे छात्र अपने आँखों से देख सकते हैं जैसा कि नीचे आकृति दी है :

(ii) असत्य :
क्योंकि दिया गया कथन यूक्लिड के अभिगृहित 1 का अंतर्विरोध करता है जिसके अनुसार दिए हुए दो भिन्न बिंदुओं से होकर एक अद्वितीय रेखा खींची जा सकती है।
दो बिंदुओं P और Q में से एक अद्वितीय रेखा खींची जा सकती है।

(iii) सत्य
यूक्ल्डि की अभिधारणा 2 के अनुसार एक सांत रेखा (terminated line) को अनिश्चित रूप से बढ़ाया जा सकता है।

(iv) सत्य
प्रमाण :
यूक्लिड के अभिगृहीत 4 के अनुसार वे वस्तुएँ जो परस्पर संपाती हों एक-दूसरे के बराबर होती हैं। यदि एक वृत्त से परिबद्ध प्रदेश को दूसरे प्रदेश पर अध्यारोपित करें, तो वे संपाती होंगे। अत: इनके केंद्र और परिसीमाएँ संपाती होती हैं। अतः इनकी त्रिज्या संपाती होती है।

(v) सत्य
प्रमाण :
यूक्लिड की अभिगृहीत 1 का कथन है कि वे वस्तुएँ जो एक ही वस्तु के बराबर हो। एक दूसरे के बराबर होती हैं।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित पदों में से प्रत्येक की परिभाषा दीजिए। क्या इनके लिए कुछ ऐसे पद हैं, जिन्हें परिभाषित करने की आवश्यकता है? वे क्या हैं और आप इन्हें कैसे परिभाषित कर पाएँगे?
(i) समांतर रेखाएँ
(ii) लंब रेखाएँ
(iii) रेखाखंड
(iv) वृत्त की त्रिज्या
(v) वर्ग
हल :
(i) समांतर रेखाएँ : समांतर रेखाएँ वे सीधी रेखाएँ हैं जोकि एक तल पर होती हैं और दोनों दिशाओं में असीमित रूप से बढ़ाने पर एक-दूसरे को किसी भी दिशा में नहीं मिलती। अन्य पद जो इसमें आता है, वह है समतल, हम समतल को एक अपरिभाषित पद लेते हैं। इसे हम केवल अन्तः प्रेरणा से स्पष्ट कर सकते हैं या भौतिक माडल की सहायता से इसकी व्याख्या कर सकते हैं। _

(ii) लंब रेखाएँ : जब एक सीधी रेखा, किसी अन्य सीधी रेखा पर इस प्रकार खड़ी हो कि आसन्न कोण एकदूसरे के बराबर बने, तो प्रत्येक समान कोण समकोण होता है और सीधी रेखा जो दूसरी पर खड़ी है, उस पर लंब (perpendicular) कहलाती है जिस पर यह खड़ी है। अन्य पद जिन्हें पहले परिभाषित करने की आवश्यकता है, वे हैं (1) कोण, (2) आसन्न कोण, (3) समकोण। आइए हम इन्हें परिभाषित करें :
(1) कोण (Angle) : एक समतल कोण (plane angle) समतल में मिलने वाली दो रेखाओं का एक-दूसरे के साथ झुकाव है जो एक-दूसरे को मिलती हैं और एक | सीधी रेखा में स्थित नहीं होती।

(2) आसन्न कोण (Adjacent angles) : दो कोण, जिनका एक ही शीर्ष होता है, एक भुजा उभयनिष्ठ होती है और दूसरी भुजा उभनिष्ठ भुजा के विपरीत दिशाओं में होती हैं, आसन्न कोण कहलाते हैं।

(3) समकोण (Right angle) : यह कोण जो कि संपूर्ण कोण का एक चौथाई होता है, समकोण कहलाता

(iii) रेखाखंड (Line segment) : एक रेखाखंड जो दोनों दिशाओं में असीमित रूप से बढ़ाने पर रेखा देती है। एक अन्य पद रेखा है। हम रेखा को अपरिभाषित पद रहने देते हैं। हम इसे केवल अन्तः प्रेरणा से स्पष्ट कर सकते हैं या भौतिक माडल की सहायता से इसकी व्याख्या कर सकते हैं।

(iv) वृत्त की त्रिज्या (Radius) : एक रेखाखंड जो वृत्त के किसी बिंदु को केंद्र से मिलाता है, वृत्त की त्रिज्या कहलाता हैं।
अन्य पद जिन्हें पहले परिभाषित करने की आवश्यकता हैं।
(1) वृत्त (Circle),
(2) केंद्र (Centre)
आइए इन्हें परिभाषित करें
(1) वृत्त (Circle). वृत्त तल में बनी वह बंद आकृति है, जिसके तल में स्थित सभी बिंदु एक निश्चित बिंदु से समान दूरी पर होते हैं।
(2) वृत्त का केंद्र (Centre of circle) : वह स्थिर बिंदु जिससे वृत्त पर स्थित सभी बिंदु एक समान दूरी पर हो, वृत्त का केंद्र कहलाता है।

(v) वर्ग (Square). वर्ग वह चतुभुर्जी आकृति है, जो समभुज और समकोणिक दोनों ही हों। अन्य पद जिनको परिभाषित करने की आवश्यकता है : (1) समभुज, (2)
समकोण
(1) समभुज (Equilateral) : एक आकृति जिसकी सभी भुजाएँ बराबर हों समभुज या समबाहु कहलाती हैं।
(2) समकोण (Right angle) : एक कोण जो संपूर्ण कोण का एक चौथाई होता है, वह समकोण कहलाता है।

प्रश्न 3.
इस प्रकार नीचे दी हुई दो अभिधारणाओं पर विचार कीजिए :
(i) दो भिन्न बिंदु A और B दिए रहने पर, एक तीसरा बिंदु C ऐसा विद्यमान है जो A और B के बीच स्थित होता है।
(ii) यहाँ कम से कम ऐसे तीन बिंदु विद्यमान हैं कि वे एक रेखा पर स्थित नहीं हैं।
क्या इन अभिधारणाओं में कोई अपरिभाषित शब्द हैं? क्या ये अभिधारणाएँ अविरोधी हैं ? क्या ये यूक्लिड की अभिधारणाओं से प्राप्त होती हैं ? स्पष्ट कीजिए।
हल :
ऐसे अनेक अपरिभाषित शब्द हैं जिनकी जानकारी छात्र को होनी चाहिए। ये दो अभिधारणाएँ (i) और (ii) संगत हैं क्योंकि इनमें दो अलग-अलग स्थितियों का
अध्ययन किया जाता है। अभिधारणा (i) का कथन है कि यदि दो बिंदु A और B दिए हुए हों, तो उनके बीच में स्थित एक बिंदु C होता है।

अभिधारणा (ii) का कथन है कि दो दिए हुए बिंदुओं A और B के लिए हम एक बिंदु C ले सकते हैं। जो A और B से होकर जाने वाली रेखा पर स्थित नहीं होता।

अतः हम देखते हैं कि ये अभिगृहीत यूक्लिड के अभिगृहीतों का अनुसरण नहीं करते। फिर भी ये अभिगृहीत (1) का अनुसरण करते हैं जिसके अनुसार दिए गए दो बिंदुओं के लिए भिन्न एक अद्वितीय रेखा होती है जो उनमें से होकर जाती है।

प्रश्न 4.
यदि दो बिंदुओं A और B के बीच एक बिंदु C ऐसा स्थित है कि AC = BC है, तो सिद्ध कीजिए कि AC = \(\frac{1}{2}\) AB है। एक आकृति खींच कर इसे स्पष्ट कीजिए।
हल:

दिया है कि C, A और B के बीच स्थित है।
और AC = BC
इसलिए AC + AC = BC + AC
यूक्लिड की परिभाषा के अनुसार बराबरों को बराबरों में जोड़ा गया है।
अर्थात् 2AC = AB
[BC + AC, AB के संपाती है।]
अत: AC = \(\frac{1}{2}\) AB

प्रश्न 5.
प्रश्न 4 में, C रेखाखंड AB का एक मध्य बिंदु कहलाता है। सिद्ध कीजिए कि एक रेखाखंड का एक और केवल एक ही मध्य-बिंदु होता है।
हल:
मान लीजिए कि AB के दो मध्य-बिंदु C और D हैं।
इसलिए, यूक्लिड की अभिगृहीत (4) के अनुसार जब रेखा को बिंदु C पर मोड़ा जाता है तो हम देखते हैं कि भाग BC भाग AC पर अध्यारोपित होता है।
⇒ AC = BC ……………(i)
इसी प्रकार D, AB का मध्य बिंदु है।
⇒ AD = BD …………….(ii)
हमें प्राप्त है AB = AB
या AC + BC = AD + BD
AC + AC = AD + AD
[(i) और (ii) का प्रयोग करने पर]
2AC = 2AD
AC = AD ……………(iii)

जब हम AD को AC पर और BD को BC पर अध्यारोपित करते हैं तो हम देखते हैं कि D पूरी तरह CB के ऊपर आता है। इससे परिणाम निकलता है कि D और C दो भिन्न बिंदु नहीं हैं परंतु एक ही हैं। अतः, हम इस निष्कर्ष पर पहुंचते हैं कि एक रेखा-खंड का एक ही मध्य-बिंदु होता है।

प्रश्न 6.
आकृति में यदि AC = BD है, तो सिद्ध कीजिए कि AB = CD है।

हल :
दिया है कि AC = BD …………..(1)
AC = AB + BC
[बिंदु B, A और C के बीच स्थित है] …………..(2)
BD = BC + CD [बिंदु C, B और D के बीच स्थित है] ………………..(3)
(2) और (3) को (1) में प्रतिस्थापित करने पर हम प्राप्त करते हैं
AB + BC = BC + CD
दोनों ओर से BC घटाने पर हम प्राप्त करते हैं।
AB + BC – BC = BC + CD – BC
= BC – BC + CD
इसलिए AB = CD
[∵ बराबरों में से बराबरों को घटाने पर शेषफल भी बराबर होता है।]

प्रश्न 7.
यूक्लिड की अभिगृहीतों की सूची में दिया हुआ अभिगृहीत 5 एक सर्वव्यापी सत्य क्यों माना जाता है ?
हल :
यूक्लिड अभिगृहीत 5 का कथन है कि ‘एक पूर्ण अपने भाग से बड़ा होता है’ क्योंकि विश्व के किसी भाग में किसी भी वस्तु के लिए यह सत्य होता है, इसलिए इसे सार्वभौमिक सत्य माना जाता है।

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 4 दो चरों वाले रैखिक समीकरण MCQ Questions with Answers

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 4 दो चरों वाले रैखिक समीकरण MCQ Questions

बहुविकल्पीय प्रश्न

दिये गए चार विकल्पों में से सही उत्तर का चयन कीजिए।

प्रश्न 1.
समीकरण x – 2y = 4 का हल है :
(A) (0, 2)
(B) (4, 0)
(C) (1, 1)
(D) (2, 0).
उत्तर:
(B) (4, 0)

प्रश्न 2.
y = – 4 के आलेखीय रूप में रेखा :
(A) x-अक्ष के समांतर है
(B) y-अक्ष के समांतर है
(C) मूल बिंदु में से गुजरती है
(D) कुछ भी नहीं।
उत्तर:
(A) x-अक्ष के समांतर है

प्रश्न 3.
समीकरण 2x + 1 = x + 3 का हल है :
(A) 3
(B) 4
(C) 2
(D) 1
उत्तर:
(C) 2

प्रश्न 4.
समीकरण x – y = 0 आलेख किस बिंदु में से गुजरता है :
(A) (2, 3)
(B) (3, 4)
(C) (5, 6)
(D) (0, 0)
उत्तर:
(D) (0, 0)

प्रश्न 5.
समीकरण x + y = 7 का आलेख x-अक्ष को किस बिंदु पर काटता है ?
(A) (7, 0)
(B) (0, 7)
(C) (- 7, 0)
(D) (0, – 7)
उत्तर:
(A) (7, 0)

प्रश्न 6.
बिंदु (4, 1) किस रेखा के समीकरण को संतुष्ट
करता है ?
(A) x + 2y = 5
(B) x + 2y = – 6
(C) x + 2y = 6
(D) x + 2y = 16
उत्तर:
(C) x + 2y = 6

प्रश्न 7.
x = 2 का आलेख निरूपण :
(A) x-अक्ष के समांतर है
(B) y-अक्ष के समांतर है
(C) मूल बिंदु में से गुजरता है
(D) कुछ नहीं।
उत्तर:
(B) y-अक्ष के समांतर है

प्रश्न 8.
रैखिक समीकरण 2x – 5y = 7
(A) का एक अद्वितीय हल है
(B) के दो हल हैं
(C) के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं
(D) का कोई हल नहीं है।
उत्तर:
(C) के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं

प्रश्न 9.
रैखिक समीकरण 2x + 5y = 7 का एक अद्वितीय हल है, यदि x, y है
(A) प्राकृत संख्याएँ
(B) धनात्मक वास्तविक संख्याएँ
(C) वास्तविक संख्याएँ
(D) परिमेय संख्याएँ।
उत्तर:
(A) प्राकृत संख्याएँ

प्रश्न 10.
यदि (2, 0) रैखिक समीकरण 2x + 3y = k का एक हल है, तो k का मान है
(A) 4
(B) 6
(C) 5
(D) 2
उत्तर:
(A) 4

प्रश्न 11.
दो चरों वाली रैखिक समीकरण 2x + 0y + 9 = 0 के किसी भी हल का रूप होता है
(A) (- \(\frac{9}{2}\), m)
(B) (n, – \(\frac{9}{2}\))
(C) (0, – \(\frac{9}{2}\))
(D) (- 9, 0)
उत्तर:
(A) (- \(\frac{9}{2}\), m)

प्रश्न 12.
रैखिक समीकरण 2x + 3y = 6 का आलेख y अक्ष को निम्नलिखित में से किस बिंदु पर काटता
(A) (2, 0)
(B) (0, 3)
(C) (3, 0)
(D) (0, 2)
उत्तर:
(D) (0, 2)

प्रश्न 13.
समीकरण x = 7 को दो चरों में इस प्रकार लिखा जा सकता है
(A) 1.x + 1.y = 7
(B) 1.x + 0.y = 7
(C) 0.x + 1.y = 7
(D) 0.x + 0.y = 7
उत्तर:
(B) 1.x + 0.y = 7

प्रश्न 14.
x-अक्ष पर स्थित किसी बिंदु का रूप होता है
(A) (x, y)
(B) (0, y)
(C) (x, 0)
(D) (x, x)
उत्तर:
(C) (x, 0)

प्रश्न 15.
रेखा y = x पर स्थित किसी बिंदु का रूप होता
(A) (a, a)
(B) (0, a)
(C) (a, 0)
(D) (a, – a)
उत्तर:
(A) (a, a)

प्रश्न 16.
x-अक्ष की समीकरण का रूप है
(A) x = 0
(B) y = 0
(C) x + y = 0
(D) x = y.
उत्तर:
(B) y = 0

प्रश्न 17.
y = 6 का आलेख एक रेखा है, जो
(A) x-अक्ष के समांतर है और मूलबिंदु से 6 मात्रक की दूरी पर है
(B) y-अक्ष के समांतर है और मूलबिंदु से 6 मात्रक की दूरी पर है
(C) x-अक्ष पर अंत:खंड 6 काटती है
(D) दोनों अक्षों पर अंत-खंड 6 काटती है।
उत्तर:
(A) x-अक्ष के समांतर है और मूलबिंदु से 6 मात्रक की दूरी पर है

प्रश्न 18.
x = 5, y = 2 निम्नलिखित रैखिक समीकरण का एक हल है
(A) x + 2y = 7
(B) 5x + 2y = 7
(C) x + y = 7
(D) 5x + y = 7
उत्तर:
(C) x + y = 7

प्रश्न 19.
यदि किसी रैखिक समीकरण के हल (- 2, 2), (0, 0) और (2, – 2) हैं, तो इसका रूप होता है
(A) y – x = 0
(B) x + y = 0
(C) – 2x + y = 0
(D) – x + 2y = 0
उत्तर:
(B) x + y = 0

प्रश्न 20.
समीकरण ax + by +c = 0 के धनात्मक हल सदैव निम्नलिखित में स्थित होते हैं
(A) प्रथम चतुर्थांश
(B) द्वितीय चतुर्थंश
(C) तृतीया चतुर्थांश
(D) चतुर्थ चतुर्थांश।
उत्तर:
(A) प्रथम चतुर्थांश

प्रश्न 21.
रैखिक समीकरण 2x + 3y = 6 का आलेख . एक रेखा है जो x-अक्ष को निम्नलिखित बिंदु पर मिलती है
(A) (0, 2)
(B) (2, 0)
(C) (3, 0)
(D) (0, 3)
उत्तर:
(C) (3, 0)

प्रश्न 22.
रैखिक समीकरण y = x का आलेख निम्नलिखित बिंदु से होकर जाता है
(A) (\(\frac{3}{2}\), – \(\frac{3}{2}\))
(B) (0, \(\frac{3}{2}\))
(C) (1, 1)
(D) (- \(\frac{1}{2}\), \(\frac{1}{2}\))
उत्तर:
(C) (1, 1)

प्रश्न 23.
यदि हम किसी रैखिक समीकरण को एक शून्येतर संख्या से गुणा करें या भाग दें तो उस रैखिक समीकरण का हल
(A) बदल जाता है
(B) वही रहता है
(C) हकेवल गुणा की स्थिति में बदल जाता है
(D) केवल भाग की स्थिति में बदल जाता है।
उत्तर:
(B) वही रहता है

प्रश्न 24.
x = 1 और y = 2 द्वारा x और y में कितनी रैखिक समीकरण संतुष्ट होती हैं ?
(A) केवल एक
(B) दो
(C) अपरिमित रूप से अनेक
(D) तीन।
उत्तर:
(C) अपरिमित रूप से अनेक

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 4 दो चरों वाले रैखिक समीकरण Ex 4.4 Textbook Exercise Questions and Answers

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 4 दो चरों वाले रैखिक समीकरण Ex 4.4

प्रश्न 1.
(i) एक चर वाले
(ii) दो चर वाले
समीकरण के रूप में y = 3 का ज्यामितीय निरूपण कीजिए।
हल :
(i) एक चर वाले समीकरण के रूप में y = 3 को संख्या रेखा पर निरूपित किया गया है।

(ii) दो चर वाले समीकरण के रूप में y = 3 को कार्तीय निर्देशांक पद्धति से निरूपण इस प्रकार है :

प्रश्न 2.
(i) एक चर वाले
(ii) दो चर वाले
समीकरण के रूप में 2x + 9 = 0 का ज्यामितीय निरूपण कीजिए।
हल :
(i) एक चर वाले समीकरण के रूप में 2x + 9 = 0 को संख्या रेखा पर निरूपण किया जाता है।
2x + 9 = 0
2x = – 9
x = – \(\frac{9}{2}\)

(ii) 2x + 9 = 0 अर्थात् x = – \(\frac{9}{2}\) को दो चर वाले समीकरण के रूप में कार्तीय निर्देशांक पद्धति में निरूपित किया जाता है।

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 4 दो चरों वाले रैखिक समीकरण Ex 4.3 Textbook Exercise Questions and Answers

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 4 दो चरों वाले रैखिक समीकरण Ex 4.3

प्रश्न 1.
दो चरों वाले निम्नलिखित रैखिक समीकरणों में से प्रत्येक का आलेख खींचिएँ :
(i) x + y = 4
(ii) x – y = 2
(ii) y = 3x
(iv) 3 = 2x + y
हल :
(i) x + y = 4
⇒ y = 4 – x
x के मानों के संगत y के मानों को दर्शाती सारणी इस प्रकार है|

बिंदुओं A (0, 4), B (2, 2) और C (4, 0) को आलेख कागज़ पर आलेखित कीजिए। इन बिंदुओं को मिलाइए और रेखा प्राप्त कीजिए।

पैमाना (Scale chosen) :
X-अक्ष (X-axis) पर 5 भाग = 1 एकक
Y-अक्ष (Y-axis) पर 5 भाग = 1 एकक

(ii) x – y = 2
⇒ – y = 2 – x
या y = x – 2
x के मानों के संगत y के मानों को दर्शाती सारणी इस प्रकार है. :

बिंदुओं P (0, – 2), Q (1, – 1) और R (2, 0) आलेख कागज़ पर आलेखित कीजिए। इन बिंदुओं को मिलाइए और रेखा प्राप्त कीजिए।
पैमाना (Scale chosen) :
X-अक्ष (X-axis) पर :
5 भाग = 1 एकक
Y-अक्ष (Y-axis) पर :
5 भाग = 1 एकक

(iii) y = 3x
xके मानों के संगत । के मानों को दर्शाती सारणी इस प्रकार है

बिंदुओं P (- 1, – 3), Q (0, 0) और R (1, 3) को आलेख कागज़ पर आलेखित कीजिए।
इन बिंदुओं को मिलाइए और रेखा प्राप्त कीजिए।

पैमाना (Scale chosen) :
X-अक्ष (X-axis) पर :
5 भाग = 1 एकक
Y-अक्ष (Y-axis) पर :
5 भाग = 1 एकक

(iv) 3 = 2x + y
⇒ 3 – 2x = y
या y = 3 – 2x
x के मानों के संगत y के मानों को दर्शाती सारणी इस प्रकार है :

बिंदुओं L (0, 3), M (1, 1) और N (2, – 1) को आलेख कागज़ पर आलेखित कीजिए। इन बिंदुओं को मिलाइए और रेखा प्राप्त कीजिए।

पैमाना (Scale chosen) :
X-अक्ष (X-axis) पर :
5 भाग = 1 एकक
Y-अक्ष (Y-axis) पर :
5 भाग = 1 एकक

प्रश्न 2.
बिंदु (2, 14) से होकर जाने वाली दो रेखाओं के समीकरण लिखिए। इस प्रकार की और कितनी रेखाएं हो सकती हैं, और क्यों ?
हल :
हम जानते हैं कि एक बिंदु में से असीमित रूप से अनेक रेखाएँ खींची जा सकती हैं। इनमें से कोई दो रैखिक समीकरण जो बिंदु (2, 14) द्वारा संतुष्ट होते हैं। निम्न अनुसार हैं :
मान लीजिए x और y में रैखिक समीकरण में ax + by = c बिंदु (2, 14) द्वारा संतुष्ट होता हैं।
अतः, बिंदु (2, 14) इस पर स्थित हैं।
∴ 2a + 14b = c
समीकरण में c का मान भरने पर, हमें प्राप्त होता है
ax + by = 2a + 14b
⇒ a(x – 2) + b (y – 14) = D
⇒ b (y – 14) = – a (x – 2)
⇒ \(\frac{y-14}{x-2}=-\frac{a}{b}\)
a और b के विभिन्न मानों का प्रयोग करके हम अभीष्ट अनेक समीकरण प्राप्त कर सकते हैं।
यदि a = 2, b = 1
तो \(\frac{y-14}{x-2}=\frac{-2}{1}\)
⇒ y – 14 = – 2x + 4
⇒ 2x + y = 18
यदि a = 7, b = – 1
तो \(\frac{y-14}{x-2}=-\left(\frac{7}{-1}\right)\)
⇒ y – 14 = 7x – 14
⇒ 7x – y = 0

प्रश्न 3.
यदि बिंदु (3, 4) समीकरण 3y = ax + 7 के आलेख पर स्थित है, तो a का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
यह दिया है कि बिंदु (3, 4) निम्नलिखित आलेख पर स्थित हैं :
3y = ax + 7
अतः, बिंदु (3, 4) इस समीकरण को संतुष्ट करता
∴ 3 × 4 = a × 3 + 7
⇒ 12 = 3a + 7
⇒ 12 – 7 = 3a
⇒ 5 = 3a
⇒ 3a = 5
⇒ a = \(\frac{3}{5}\)
अतः, a का अभीष्ट \(\frac{3}{5}\) है

स्पष्टीकरण :
दिए गए समीकरण में a = \(\frac{3}{5}\) प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :
⇒ 3y = \(\frac{3}{5}\) x + 7
9y = 5x + 21
⇒ y = \(\frac{5 x+21}{9}\)
x के मानों के संगत y के मानों को दर्शाती सारणी निम्न अनुसार है :

बिंदुओं P(- 6, – 1) और Q (12, 9) को आलेख पेपर पर आलेखित कीजिए। इन बिंदुओं को मिलाइए और एक रेखा प्राप्त कीजिए।
आलेख से हम देखते हैं कि बिंदु (3, 4) रेखा पर स्थित हैं।
अतः, यह समीकरण 3y = \(\frac{5}{3}\) x + 7 को संतुष्ट करता है।
अतः, a का प्राप्त किया गया मान सही है।

पैमाना x-अक्ष पर
5 भाग = 2 एकक
y-अक्ष पर
5 भाग = 1 एकक

प्रश्न 4.
एक नगर में टैक्सी का किराया निम्नलिखित पहले किलोमीटर का किराया 8 रु है और उसके बाद की दूरी के लिए प्रति किलोमीटर का किराया 5 रु है। यदि तय की गई दूरी x किलोमीटर हो, और कुल किरायाy रु हो, तो इसका एक रैखिक समीकरण लिखिए और उसका आलेख खींचिए।
हल :

तय की गई कुल दूरी x लेने पर पहले किलोमीटर का किराया = 8 रु
पहले किलोमीटर के बाद के प्रत्येक किमी का किराया = 5 रु
कुल किराया = y रु
∴ 8 रु + 5 (x – 1) रु = y रु
⇒ 8 + 5 (x – 1) = y
⇒ 8 + 5x – 5 = y
⇒ 5x + 3 = y
⇒ 5x – y + 3 = 0 …………..(1)
यह दी गई सूचना का एक रैखिक समीकरण है।
समीकरण (1) का आलेख खींचने के लिए x के मानों के संगत y के मानों की दर्शाती समीकरण निम्न अनुसार है :

बिंदुओं P(1.8) और 0 (2, 13) को ग्राफ पेपर पर आलेखित कीजिए। इन बिंदुओं को मिलाइए और रेखा प्राप्त कीजिए।

पैमाना
x-अक्ष पर 5 भाग = 1 किमी
y-अक्ष पर 5 भाग = 1 रु

प्रश्न 5.
निम्नलिखित आलेखों में से प्रत्येक के लिए दिए गए विकल्पों से सही समीकरण का चयन कीजिए :
आकृति (क) के लिए आकृति (ख) के लिए
(i) y = x
(ii) x + y = 0
(iii) y = 2r
(iv) 2 + 3y = 7x

(i) y = x + 2
(ii) y = x -2
(ii) y = -x + 2
(iv) x + 2y = 6

हल :
आलेख (क) पर स्थित प्रत्येक बिंदु समीकरण (ii) x + y = 0 को संतुष्ट करता है।
अतः, आलेख (क) के लिए चारों समीकरणों में से सही समीकरण है :
x + y = 0
∵ x + y = 0
y = – x
x = 0 के लिए y = 0
x = 1 के लिए y = – 1.
x = – 1 के लिए y = 1 .
अब आलेख (ख) का प्रत्येक बिंदु समीकरण

(iii) y = – x + 2 में संतुष्ट है।
अतः, आलेख (ख) के लिए चारों समीकरणों में से सही समीकरण है :
y = – x + 2
∵ y = – x + 2 में
x = 2 के लिए y = – 2 + 2
⇒ y = 0
x = 0 के लिए y = – 0 = 2
⇒ y = 2
x = – 1 के लिए y = – (-1) + 2
⇒ y = 1 + 2
⇒ y = 3

प्रश्न 6.
एक अचर बल लगाने पर एक पिंड द्वारा किया गया कार्य पिंड द्वारा तय की गई दूरी के अनुक्रमानुपाती होता है। इस कथन को दो चरों वाले एक समीकरण के रूप में व्यक्त कीजिए और अचर बल 5 मात्रक लेकर इसका आलेख खींचिए। यदि पिंड द्वारा तय की गई दूरी
(i) 2 मात्रक
(ii) 0 मात्रक
हो, तो आलेख से किया हुआ कार्य ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए स्थिर बल (माना k मात्रक) द्वारा किया गया कार्य y मात्रक है और पिंड द्वारा तय की गई दूरी x मात्रक है।
हम जानते हैं कि बल द्वारा किया गया कार्य पिंड द्वारा तय की गई दूरी के अनुक्रमानुपाती होता है।
अनुपात और समानुपात से, हम इस तथ्य को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं :
y = kx
k = 5 मात्रक लेने पर
y = 5x …………(1)
जो कि दो चलों में रैखिक समीकरण है।
समीकरण (1) का आलेख खींचने के लिए ; x के मानों के संगत y के मानों को दर्शाती सारणी निम्न अनुसार है :

बिंदुओं P(1/2, 5/2) , Q (1, 5) और R(3, 15) को ग्राफ पेपर पर आलेखित कीजिए। इन बिंदुओं को मिलाइए और रेखा प्राप्त कीजिए।
पैमाना
x-अक्ष पर
5 भाग = 1 मात्रक तय की गई दूरी
y-अक्ष पर
5 भाग = 1 मात्रक किया गया कार्य।
आलेख से हम देखते हैं कि
(i) जब x = 2 मात्रक, तो y = 10 मात्रक
अतः जब पिंड द्वारा तय की गई दूरी 2 मात्रक हो, तो किया गया कार्य 10 मात्रक है।

(ii) जब x = 0 मात्रक
तब y = 0 मात्रक
अतः, जब कोई दूरी तय न की गई हो तब कोई कार्य नहीं होता।

प्रश्न 7.
एक विद्यालय की कक्षा IX की छात्राएँ यामिनी और फातिमा ने मिलकर भूकंप पीड़ित व्यक्तियों की सहायता के लिए प्रधानमंत्री राहत कोष में 100 रु अंशदान दिया। एक रैखिक समीकरण लिखिए जो इन आंकड़ों को संतुष्ट करती हो। (आप उनका अंशदान : रु और y रु मान सकते हैं)। इस समीकरण का आलेख खींचिए।
हल :
मान लीजिए दामिनी ने x रु और फातिमा ने y रु प्रधानमंत्री राहत कोष में अंशदान दिया
दोनों का कुल अंशदान = 100 रु
⇒ x + y = 100 …………(1)
जो कि दो चरों में एक रैखिक समीकरण है।
समीकरण (1) का आलेख खींचने के लिए हम x के मानों के संगत y के मानों को दर्शाती सारणी खींचते हैं।

बिंदुओं P (40, 60), Q(50, 50) और P(70, 30) को ग्राफ पेपर पर आलेखित कीजिए। इन बिंदुओं को मिलाइए और रेखा प्राप्त कीजिए।

प्रश्न 8.
अमरीका और कनाडा जैसे देशों में तापमान फारेनहाइट में मापा जाता है, जबकि भारत जैसे देशों में तापमान सेल्सियस में मापा जाता है। यहाँ फारेनहाइट को सेल्सियस में रूपांतरित करने वाला एक रैखिक समीकरण दिया गया है :
F = (\(\frac{9}{5}\)) C + 32
(i) सेल्सियस को -अक्ष और फारेनहाइट को yअक्ष मानकर ऊपर दिए गए रैखिक समीकरण का आलेख खींचिए।।
(ii) यदि तापमान 30°C है, तो फारेनहाइट में तापमान क्या होगा?
(iii) यदि तापमान 95°F है, तो सेल्सियस में तापमान क्या होगा ?
(iv) यदि तापमान 0°C है, तो फारेनहाइट में तापमान क्या होगा और यदि तापमान 0°F है, तो सेल्सियस में तापमान क्या होगा ?
(v) क्या ऐसा भी कोई तापमान है जो फारेनहाइट और सेल्सियस दोनों के लिए संख्यात्मकतः समान है। यदि हाँ, तो उसे ज्ञात कीजिए।
हल :
दो चरों °F और °C में रैखिक समीकरण है :
F = (\(\frac{9}{5}\)) C + 32 ……………..(1)
समीकरण (1) का आलेख खींचने के लिए हम C के संगत F के मानों को दर्शाती सारणी खींचते हैं।

बिंदुओं (0, 32) और (- 20, – 4) को ग्राफ पेपर पर आलेखित कीजिए। इन बिंदुओं को मिलाइए और रेखा प्राप्त कीजिए।
(ii)आलेख से, यदि तापमान 30°C है तो फारेनहाइट में तापमान 86°F है।
(iii)आलेख से, यदि तापमान 95°F है, तो सेल्सियस में यह 35°C है।
(iv)आलेख से, यदि तापमान 0°C हो तो फारेनाहाइट में 32°F है।
यदि तापमान 0°F हो, तो सेल्सियस में यह तापमान – 17.8°C (लगभग) है।
(v) हाँ, ऐसा भी तापमान है जो फारेनहाइट और सेल्सियस दोनों के लिए संख्यात्मकतः समान है। आलेख से हम देखते हैं कि बिंदु (-40, – 40) रेखा पर स्थित
अतः, – 40 (दोनों F और C पर) संख्यात्मकतः समान तापमान है।