PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 1 ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ Ex 1.3

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 1 ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ Ex 1.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 1 ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ Exercise 1.3

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 1.
ਸਿੱਧ ਕਰੋ ਕਿ \(\sqrt {5}\) ਇੱਕ ਅਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ ਕਿ \(\sqrt {5}\) ਇਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਦੋ ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ , ਅਤੇ s (s ≠ 0)
ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ \(\sqrt {5}\) = \(\frac{r}{s}\) ਹੋਵੇ ।
ਮੰਨ ਲਓ r ਅਤੇ s ਦਾ 1 ਤੋਂ ਬਿਨਾਂ ਕੋਈ ਹੋਰ ਵੀ | ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੋ ਜਿਸ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਕੇ ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ।
\(\sqrt {5}\) = \(\frac{a}{b}\) ਜਿਥੇ a ਅਤੇ b, (b ≠ 0) ਸਹਿਅਭਾਜ ਹਨ ।
⇒ b\(\sqrt {5}\) = a
ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਵਰਗ ਕਰਨ ਤੇ
⇒ (b\(\sqrt {5}\))² = a²
⇒ b²(\(\sqrt {5}\))² = a²
⇒ 5b² = a² …… (1)
∴ 5, a² ਨੂੰ ਭਾਗ ਕਰਦਾ ਹੈ ।
ਪ੍ਰਮੇਯ ਅਨੁਸਾਰ ਇਕ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆ ‘p’, a² ਨੂੰ ਭਾਗ ਕਰਦੀ ਹੈ ਤਾਂ ‘p’, a ਜਿੱਥੇ a ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ਨੂੰ ਵੀ ਭਾਗ ਕਰਦੀ ਹੈ ।
⇒ 5, 4 ਨੂੰ ਵੀ ਭਾਗ ਕਰਦਾ ਹੈ .. …. (2)
ਇਸ ਲਈ a = 5c ਜਿੱਥੇ c ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ।
a ਦਾ ਮੁੱਲ ਰੱਖਣ ਤੇ (1)
5b² = (5c)²
5b² = 25c²
b² = 5c²
ਜਾਂ 5c² = b²
⇒ 5, b² ਨੂੰ ਵੀ ਇਹ ਭਾਗ ਕਰਦਾ ਹੈ ।
[∵ ਮੇਯ ਅਨੁਸਾਰ ਇਕ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆ “p”, a² ਨੂੰ ਭਾਗ ਕਰਦੀ ਹੈ ਤਾਂ ‘p’, a ਜਿੱਥੇ a ਦਾ ਇਕ ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ਨੂੰ ਵੀ ਭਾਗ ਕਰਦਾ ਹੈ ,
⇒ 5, b ਨੂੰ ਵੀ ਵਿਭਾਜਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ । …. (3)
(2) ਅਤੇ (3) ਤੋਂ a ਅਤੇ b ਦਾ ਇੱਕ ਗੁਣਨਖੰਡ 5 ਹੈ ।
ਪਰੰਤੂ ਇਹ ਸੋਚ ਗ਼ਲਤ ਹੈ ਕਿ a ਅਤੇ b ਵਿਭਾਜਿਤ ਹਨ ਭਾਵ ਇਨ੍ਹਾਂ ਦਾ 1 ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਹੋਰ ਕੋਈ ਗੁਣਨਖੰਡ ਵੀ ਹੈ ।
∴ ਸਾਡੀ ਸੋਚ ਕਿ \(\sqrt {5}\) ਇੱਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ਗਲਤ ਹੈ ।
ਇਸ ਲਈ \(\sqrt {5}\) ਇਕ ਅਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 2.
ਸਿੱਧ ਕਰੋ ਕਿ 3 + 2\(\sqrt {5}\) ਦੀ ਇਕ ਅਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ ਕਿ 3 + 2\(\sqrt {5}\) ਇੱਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ।
∴ ਅਸੀਂ ਦੋ ਸਹਿ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆਵਾਂ a ਅਤੇ b ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿੱਥੇ a ਅਤੇ b (b ≠ 0) ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ ।
3 + 2\(\sqrt {5}\) = \(\frac{a}{b}\)
∴ \(\frac{a}{b}\) – 3 = 2\(\sqrt {5}\)

= ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ
ਇਸ ਲਈ (1) ਤੋਂ \(\sqrt {5}\) ਇੱਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ।
ਪਰ ਇਹ ਇਸ ਤੱਥ ਦੇ ਉੱਲਟ ਹੈ ਕਿ \(\sqrt {5}\) ਇਕ ਅਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ।
∴ ਸਾਡੀ ਸੋਚ ਗ਼ਲਤ ਹੈ ।
ਇਸ ਲਈ 3 + 2\(\sqrt {5}\) ਇਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ।

3. ਸਿੱਧ ਕਰੋ ਕਿ ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਅਪਰਿਮੇਯ ਹਨ :

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (i).
\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
ਉੱਤਰ:
\(\frac{1}{\sqrt{2}}\) = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) × \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
= \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) = \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
ਮੰਨ ਲਉ ਕਿ \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) ਇੱਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ।
∴ ਅਸੀਂ ਦੋ ਸਹਿ ਅਭਾਜ ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ a ਅਤੇ b (b ≠ 0) ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ ।
⇒ \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) = \(\frac{a}{b}\)
⇒ \(\sqrt {2}\) = \(\frac{2a}{b}\) ………(1)
ਕਿਉਂਕਿ ਦੋ ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਭਾਗਫਲ ਇੱਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ।
ਇਸ ਲਈ \(\frac{2a}{b}\) = ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ
∴ (1) ਤੋਂ \(\sqrt {2}\) ਵੀ ਇਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ।
ਪਰ ਇਹ ਇਸਦੇ ਉਲਟ ਹੈ ਕਿ \(\sqrt {2}\) ਇਕ ਅਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ।
∴ ਸਾਡੀ ਸੋਚ ਗ਼ਲਤ ਹੈ ।
ਇਸ ਲਈ \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) ਇਕ ਅਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ii).
7\(\sqrt {5}\)
ਉੱਤਰ:
7\(\sqrt {5}\)
ਮੰਨ ਲਉ 7\(\sqrt {5}\) ਇਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ।
∴ ਅਸੀਂ ਦੋ ਇਹੋ ਜਿਹੇ ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ a ਅਤੇ b (b ≠ 0) ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ
7\(\sqrt {5}\) = \(\frac{a}{b}\)
⇒ 7b\(\sqrt {5}\) = a
⇒ \(\sqrt {5}\) = \(\frac{a}{7b}\) ….. (1)
ਕਿਉਂਕਿ a, 7 ਅਤੇ ੪ ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ ਅਤੇ ਦੋ ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਭਾਗਫਲ ਵੀ ਇੱਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
∴ \(\frac{a}{7b}\) = ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ
∴ (1) ਤੋਂ \(\sqrt {5}\) = ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ
ਜੋ ਕਿ ਇਸ ਤੱਥ ਦੇ ਉਲਟ ਹੈ ਕਿ \(\sqrt {5}\) ਇਕ ਅਪਰਿਮੇਯ ਖਿਆ ਹੈ ।
∴ ਸਾਡੀ ਸੋਚ ਗਲਤ ਹੈ ।
∴ 7\(\sqrt {5}\) ਇਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iii).
6 + \(\sqrt {2}\)
ਉੱਤਰ:
6 + \(\sqrt {2}\)
ਮੰਨ ਲਉ ਕਿ 6 + \(\sqrt {2}\) ਇੱਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ।
∴ ਅਸੀਂ ਇਹੋ ਜਿਹੀਆਂ ਸਹਿਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆਵਾਂ a ਅਤੇ b (b ≠ 0) ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ
6 + \(\sqrt {2}\) = \(\frac{a}{b}\)
∴ \(\frac{a}{b}\) – 6 = \(\sqrt {2}\)
\(\sqrt {2}\) = \(\frac{a-6b}{b}\) ………(1)
ਕਿਉਂਕਿ a ਅਤੇ 6 ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ ।

ਇਸ ਲਈ (1) ਤੋਂ
\(\sqrt {2}\) = ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ
ਪਰੰਤੂ ਜੋ ਕਿ ਇਸ ਕਥਨ ਦੇ ਉਲਟ ਹੈ ਕਿ \(\sqrt {2}\) ਇਕ ਅਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ।
∴ ਸਾਡੀ ਸੋਚ ਗ਼ਲਤ ਹੈ ।
ਇਸ ਲਈ 6 + \(\sqrt {2}\) ਇਕ ਅਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ।