PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 12 वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल Ex 12.1

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 12 वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल Ex 12.1 Textbook Exercise Questions and Answers

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 12 वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल Ex 12.1

(जब तक अन्यथा न कहा जाए, π = \(\frac{22}{7}\) का प्रयोग कीजिए)

प्रश्न 1.
दो वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमश : 19 cm और 9 cm हैं। उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जिसकी परिधि इन दोनों वृत्तों की परिधियों के योग के बराबर है।
हल :

पहले वृत्त की त्रिज्या (r₁) = 19 cm
दूसरे वृत्त की त्रिज्या (r₂) = 9 cm
मान लीजिए तीसरे वृत्त की त्रिज्या = R cm
प्रश्न के अनुसार,
पहले वृत्त की परिधि + दूसरे वृत्त की परिधि = तीसरे वृत्त की परिधि
2πr₁ + 2πr₂ = 2πR
2π [r₁ + r₂] = 2πR
19 + 9 = R
∴ R = 28
∴ तीसरे वृत्त की त्रिज्या (R) = 28 cm

प्रश्न 2.
दो वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः 8 cm और 6 cm हैं। उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जिसका क्षेत्रफल इन दोनों वृत्तों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है।
हल :
पहले वृत्त की त्रिज्या (r₁) = 8 cm
दूसरे वृत्त की त्रिज्या (r₂) = 6 cm
तीसरे वृत्त की त्रिज्या = R cm
प्रश्न के अनुसार, तीसरे वृत्त का क्षेत्रफल = पहले वृत्त का क्षेत्रफल + दूसरे वृत्त का क्षेत्रफल
πR² = πr₁² + πr₂²
πR² = π [r₁² + r₂²]
R² = (8)² + (6)²
R = \(\sqrt{64+36}=\sqrt{100}\)
R = 10 cm
∴ अभीष्ट वृत्त की त्रिज्या (R) = 10 cm.

प्रश्न 3.
आकृति एक तीरंदाजी लक्ष्य को दर्शाती है, जिसमें केंद्र से बाहर कीओर पाँच क्षेत्र Gold, Red, Blue, Black और White चिह्नित हैं, जिनसे अंक अर्जित किए जा सकते हैं। Gold अंक वाले क्षेत्र का व्यास 21 cm है तथा प्रत्येक अन्य पट्टी 10.5 cm चौड़ी है। अंक प्राप्त करने वाले इन पाँचों क्षेत्रों में से प्रत्येक का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल :
Gold क्षेत्र का व्यास = 21 cm
Gold क्षेत्र की त्रिज्या (R₁) = \(\frac{21}{2}\) = 10.5 cm
∴ Gold क्षेत्र का क्षेत्रफल = πR₁²
= \(\frac{22}{7} \times \frac{21}{2} \times \frac{21}{2}=\frac{693}{2}\) cm²
346.5 dm²
प्रत्येक पट्टी की चौड़ाई = 10.5 cm
∴ Red और Gold क्षेत्र की त्रिज्या (R₂) = (10.5 + 10.5) = 21 cm
Blue, Red और Gold क्षेत्र की संयुक्त त्रिज्या (R₃) = R₂ + 10.5 cm
= 21 + 10.5 = 31.5 cm
Black, Blue, Red और Gold क्षेत्र की संयुक्त त्रिज्या (R₄) = R₃ + 10.5
= 31.5 + 10.5 = 42 cm
Black क्षेत्र का क्षेत्रफल = Gold, Red, Blue और Black क्षेत्र का संयुक्त क्षेत्रफल – Gold, Red और Blue क्षेत्र का संयुक्त क्षेत्रफल
= πr₄² – πr₃²
= π [(42)² – (31.5)²]
= 22 [1764 – 992.25]
= 22[771.75]
= 2425.5 cm
White, black, blue, red, gold क्षेत्र की संयुक्त त्रिज्या (R₅) = R₄ + 10.5
R₅ = 42 + 10.5 = 52.5 cm
Black, blue, red और gold क्षेत्र की संयुक्त त्रिज्या = (R₄) = 42 cm.
White अंक वाले क्षेत्र का क्षेत्रफल = White, black, blue, red, gold क्षेत्र का संयुक्त क्षेत्रफलBlack blue, red और gold क्षेत्र का संयुक्त क्षेत्रफल
= πR₅² – πR₄²
= π[R₅² – R₄²]
= \(\frac{22}{7}\) × [(52.5)² – (42)²]

= \(\frac{22}{7}\) [2756.25 – 1764]

= \(\frac{22 \times 992.25}{7}=\frac{21829.5}{7}\)

= 3118.5 cm²
∴ White अंक वाले क्षेत्र का क्षेत्रफल = 3118.5 cm².
∴ Red क्षेत्र का क्षेत्रफल = Red or Gold क्षेत्र का क्षेत्रफल – Gold क्षेत्र का क्षेत्रफल
= πR₂² – πR₁²

∴ Red क्षेत्र का क्षेत्रफल = 1039.5 cm²
Gold, Red और Blue की संयुक्त त्रिज्या R₃ = (10.5 + 10.5 + 10.5) = 31.5 cm
Blue अंक वाले क्षेत्र का क्षेत्रफल = Red, blue और Gold क्षेत्र का संयुक्त क्षेत्रफल – Gold और Red क्षेत्र का संयुक्त क्षेत्रफल
= πR₃² – πR₂²
= π [R₃² – R₂²]
= \(\frac{22}{7}\) [(31.5)² – (21)²]
= \(\frac{22}{7}\) [992.25 – 441]
= \(\frac{22}{7}\) × 551.25
= \(\frac{12127.5}{7}\) = 1732.5 cm².

प्रश्न 4.
किसी कार के प्रत्येक पहिए का व्यास 80 cm है। यदि यह कार 66 km प्रति घंटे की चाल से चल रही है, तो 10 मिनट में प्रत्येक पहिया कितने चक्कर लगाती है ?
हल :
पहिए का व्यास = 80 cm
पहिए की त्रिज्या (R) = 40 cm
= \(\frac{4}{100}\) = 0.04 m
पहिये की परिधि = 2πr
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × 0.04
मान लीजिए कार का पहिया n पूरे चक्कर लगाने में 10 मिनट में दूरी तय करता है = n [0.08 × \(\frac{22}{7}\)]
कार की चाल = 66 किमी०/घंटा
60 मिनट में तय की गई दूरी = 66 km = 66 × 1000 m
10 मिनट में तय की गई दूरी = \(\frac{66 \times 1000}{60}\) × 10
= 11000 m
∴ n [0.08 × \(\frac{22}{7}\)] = 11000
n = \(\frac{11000}{0.08} \times \frac{7}{22}\)
n = 4375
अत: कार के पहिए द्वारा 10 मिनट में लगाए गए पूरे | चक्करों की संख्या = 4375

प्रश्न 5.
निम्नलिखित में सही उत्तर चुनिए तथा अपने उत्तर का औचित्य दीजिए :
यदि एक वृत्त का परिमाप और क्षेत्रफल संख्यात्मक रूप से बराबर है, तो उस वृत्त की त्रिज्या है :
(A) 2 मात्रक
(B) T मात्रक
(C) 4 मात्रक
(D) 7 मात्रक
हल :
वृत्त की परिधि = वृत्त का क्षेत्रफल
2πR = πR²
2R = R²
⇒ R= 2
∴ सही विकल्प A है (R) = 2 मात्रक