PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 12 वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल Ex 12.3

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 12 वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल Ex 12.3 Textbook Exercise Questions and Answers

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 12 वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल Ex 12.3

(जब तक अन्यथा न कहा जाए, == का प्रयोग कीजिए।)

प्रश्न 1.
आकृति में, छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि PQ = 24 cm, PR = 7 cm तथा 0 वृत्त का केन्द्र है।

हल :
PQ = 24 cm
PR = 7 cm
RQ वृत्त का व्यास है।
∠RPQ = 90°
अर्धवृत्त का कोण ∆PQR में,
QR² = RP² + PQ²
QR = \(\sqrt{(7)^{2}+(24)^{2}}=\sqrt{49+576}\)
= √625
QR = 25 cm
∴ वृत्त का व्यास (QR) = 25 cm
वृत्त की त्रिज्या (R) = \(\frac{25}{2}\) cm
छायांकित भाग का क्षेत्रफल = अर्धवृत्त का क्षेत्रफल – ∆RPQ का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\) πR² – \(\frac{1}{2}\) RP × PQ
= \(\left[\frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times \frac{25}{2} \times \frac{25}{2}-\frac{1}{2} \times 7 \times 24\right]\) cm²
= [\(\frac{6875}{28}\) – 84]
= 245.53 – 84
= 161.53 cm²
छायांकित भाग का क्षेत्रफल = 161.53 cm²

प्रश्न 2.
आकृति में, छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि केन्द्र 0 वाले दोनों सकेंद्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमश: 7 cm और 14 cm हैं तथा ∠AOC = 40° है।
हल :

छोटे वृत्त की त्रिज्या (r) = 7 cm
बड़े वृत्त की त्रिज्या (R) = 14 cm
केन्द्रीय कोण ∠AOC (θ) = 40°
छायांकित भाग का क्षेत्रफल = दीर्घ त्रिज्यखंड OAC का क्षेत्रफल – लघु त्रिज्यखंड OBD का क्षेत्रफल

∴ छायांकित भाग का क्षेत्रफल = 51.33 cm²

प्रश्न 3.
आकृति में, छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि ABCD भुजा 14 cm का एक वर्ग है तथा APD और BPC दो अर्धवृत्त हैं।

हल :
वर्ग की भुजा = 14 cm
अर्धवृत्त का व्यास (AB = BC) = 14 cm
अर्धवृत्त की त्रिज्या (R) = 7 cm
वर्ग का क्षेत्रफल = (भुजा)
= 14 × 14 = 196 cm²
अर्धवृत्त का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) πR²
= \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{22}{7}\) × 7 × 7
= 77 cm²
दो अर्धवृत्तों का क्षेत्रफल = 2(77)
= 154 cm²
छायांकित भाग का क्षेत्रफल = वर्ग ABCD का क्षेत्रफल – दो अर्धवृत्तों का क्षेत्रफल
= (196 – 154)
= 42 cm²
∴ छायांकित भाग का क्षेत्रफल = 42 cm²

प्रश्न 4.
आकृति में, छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जहाँ भुजा 12 cm वाले एक समबाहु त्रिभुज OAB के शीर्ष 0 को केन्द्र मान कर 6 cm त्रिज्या वाला एक वृत्तीय चाप खींचा गया है।

हल :
चाप की त्रिज्या (R) = 6 cm
समबाहु त्रिभुज OAB की भुजा = 12 cm
OA = OB = AB = 12 cm
त्रिज्यखंड का केन्द्रीय कोण = 60°
[समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण 60°
वृत्त के दीर्घ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = वृत्त का क्षेत्रफल – त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल
= πR² – \(\frac{\pi \mathrm{R}^{2} \theta}{360}\)
= \(\frac{22}{7}\) × 6 × 6 – \(\frac{22}{7}\) × 6 × 6 × \(\frac{60^{\circ}}{360^{\circ}}\)
= \(\frac{22}{7}\) × 6 × 6 [1 – \(\frac{60}{360}\)]
= \(\frac{22}{7}\) × 36 × \(\frac{5}{6}\)
= 94.28 cm²
∴ वृत्त के दीर्घ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = 94.28 cm²
समबाहु त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल = \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) (भुजा)²
= \(\frac{1.73}{4}\) × 12 × 12
= 1.73 × 36
= 62.28 cm²
छायांकित क्षेत्रफल = समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल OAB + वृत्त की दीर्घ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल
= 62.28 + 94.28
= 156.56
छायांकित क्षेत्रफल = 156.56 cm²

प्रश्न 5.
भुजा 4 cm वाले एक वर्ग के प्रत्येक कोने से 1 cm त्रिज्या वाले वृत्त का एक चतुर्थांश काटा गया है तथा बीच में 2 cm व्यास का एक वृत्त भी काटा गया है, जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। वर्ग के शेष भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल :
वर्ग की भुजा = 4 cm
काटे गए प्रत्येक अर्धवृत्त की त्रिज्या (r) = 1 cm
वृत्त का व्यास (R) = 2 cm
∴ वृत्त की त्रिज्या (R) = 1 cm
वर्ग का क्षेत्रफल = (भुजा)²
= (4)² = 16 cm²
4 चतुर्थांशों का क्षेत्रफल = 4 \(\left[\frac{\pi r^{2} \theta}{360}\right]\)
= \(\frac{4 \times 90}{360} \times \frac{22}{7}\)
= 1 × \(\frac{22}{7}\) × 1 × 1 = 3.14 cm²
वृत्त का क्षेत्रफल = πR²
= \(\frac{22}{7}\) × 1 × 1 = \(\frac{22}{7}\)
वृत्त का क्षेत्रफल = 3.14 cm²
अभीष्ट क्षेत्रफल = [वर्ग का क्षेत्रफल] – [4 चतुर्थांशों का क्षेत्रफल] – [वृत्त का क्षेत्रफलका]
= (16 – 3.14 – 3.14) cm²
= 9.72 cm²
अभीष्ट क्षेत्रफल = 9.72 cm²

प्रश्न 6.
एक वृत्ताकार मेज़ पोश, जिसकी त्रिज्या 32 cm है, में बीच में एक समबाहु त्रिभुज ABC छोड़ते हुए एक डिज़ाइन बना हुआ है, जैसा कि आकृति में दिखाया गया है। इस छायांकित डिज़ाइन का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल :
मेज़पोश की त्रिज्या (R) = 32 cm
OA = OB = OC = 32 cm

∆ABC एक समबाहु त्रिभुज है जिसमें
AB = AC = BC = 32 cm
∠A = ∠B = ∠C = 60°
∠AOB = 120° = BOC
OM ⊥ BC
BM = MC = \(\frac{1}{2}\) BC
∆OBM = ∆OMC [ RHS सर्वांगसमता]
अब ∆BOC में,
बिन्दु O से OM, ∠BOC और BC का लम्ब समद्विभाजक खींचा।
∴ BM = MC = \(\frac{1}{2}\) BC
परन्तु, OB = OC
एक वृत की त्रिज्या
∴ ∠B = ∠C
∴ ∠O + ∠B + ∠C = 180°
120° + 2∠B = 180°
∴ ∠B = 30°
और ∠B = ∠C = 30°
अब, ∠BOM = ∠COM = 60°
∆OMB = ∆OMC समकोण-कर्ण-भुजा सर्वांगसमता
∴ ∆OMB में,
∠OBM = 30°
[∠O = 60° और ∠M = 90°]
∴ \(\frac{\mathrm{BM}}{\mathrm{OB}}\) = cos 30°
\(\frac{\mathrm{BM}}{32}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
BM = 16√3 cm
BC = 2MB = 32√3 cm
वृत्त का क्षेत्रफल = πR²
= \(\frac{22}{7}\) × (32)²
= \(\frac{22}{7}\) × 32 × 32
= 3218.28 cm²
∆ABC का क्षेत्रफल = \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) (भुजा)²
= \(\frac{1.73}{4}\) × 32√3 × 32√3
= 1328.64 cm²
अभीष्ट क्षेत्रफल = वृत्त का क्षेत्रफल – ∆ABC का क्षेत्रफल
= 3218.28 – 1328.64
= 1889.64 cm²

प्रश्न 7.
आकृति में, ∆BCD भुजा 14 cm वाला एक वर्ग है। A, B, C और D को केन्द्र मानकर, चार वृत्त इस प्रकार खींचे गए हैं कि प्रत्येक वृत्त तीन शेष वृत्तों में से दो वृत्तों को बाह्य रूप से स्पर्श करता है। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल :
वर्ग ABCD की भुजा = 14 cm
वृत्त की त्रिज्या (R) = 7 cm
त्रिज्याखंड कोण (θ) = 90°
[वर्ग का प्रत्येक कोण 90° है]
वर्ग का क्षेत्रफल = (भुजा)
= 14 × 14 = 196 cm²
चार चतुर्थांशों का क्षेत्रफल = \(\left[\frac{\pi \mathrm{R}^{2} \theta}{360}\right]\)
= \(4 \times \frac{22}{7} \times \frac{7 \times 7 \times 90}{360}\)
= 22 × 7 = 154 cm²
अभीष्ट छायांकित क्षेत्रफल = वर्ग का क्षेत्रफल – चार चतुर्थांशों का क्षेत्रफल
= 196 – 154
= 42 cm²

प्रश्न 8.
दोनों आंतरिक समांतर रेखाखंडों के बीच की दूरी 60 m है तथा इनमें से प्रत्येक रेखाखंड 106 m लंबा है। यदि यह पथ 10 m चौड़ा है, तो ज्ञात कीजिए।
(i) पथ के आंतरिक किनारों के अनुदिश एक पूरा चक्कर लगाने में चली गई दूरी
(ii) पथ का क्षेत्रफल

हल:

यहाँ AB = DC = 106 m
AF = BE = CG = HD = 10 m
आंतरिक अर्धवृत्त का व्यास (APD और BRC) = 60 m
∴ अर्धवृत्त की आन्तरिक त्रिज्या (APD) (r) = 30 m
अर्धवृत्त की बाहरी त्रिज्या (R) = r + 10
= 30 + 10 = 40 m
पथ के आंतरिक किनारों के अनुदिश एक पूरा चक्कर लगाने में चली गई दूरी, = AB + अर्धवृत्त BRC का परिमाप + CD + अर्धवृत्त DRA का परिमाप
= 2AB + 2 [अर्धवृत्त BRC का क्षेत्रफल]
= 2 (106) + 2 (\(\frac{2 \pi r}{2}\))
= 212 + 2πr
= 212 + 2 × \(\frac{22}{7}\)× 30
= 212 + \(\frac{60 \times 22}{7}\)
= 212 + 188.57
= 400.57 m
∴ पथ के आंतरिक किनारों के अनुदिश एक पूरा चक्कर लगाने में चली गई दूरी, = 400.57 m

(ii) पथ का क्षेत्रफल = आयत ABEF का क्षेत्रफल + क्षेत्र BEMGCRB का क्षेत्रफल + आयत CGHD का क्षेत्रफल + क्षेत्र का क्षेत्रफल
= 2 आयत ABCD का क्षेत्रफल + 2 क्षेत्र का क्षेत्रफल
= 2 (AB × AF) + 2 [अर्धवृत्त की त्रिज्या 60 cm – अर्धवृत्त जिस की त्रिज्याएँ 30 cm हैं, का क्षेत्रफल]
= 2[106 × 10] + 2 \(\left[\frac{\pi \mathrm{R}^{2}}{2}-\frac{\pi r^{2}}{2}\right]\)
= 2 × 1060 + \(\frac{2 \pi}{2}\) [R² – r²]
= 2120 + \(\frac{22}{7}\) × (40² – 30²)
= 2120 + \(\frac{22}{7}\) [1600 – 900]
= 2120 + \(\frac{22}{7}\) [700]
= 2120 + 2200
= 4320 m²
∴ पथ का क्षेत्रफल = 4320 m²

प्रश्न 9.
आकृति में, AB और CD केन्द्र 0 वाले एक वृत्त के दो परस्पर लंब व्यास हैं तथा OD छोटे वृत्त का व्यास है। यदिOA = 7 cm है, तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल :
वृत्त का व्यास = 14 cm
वृत्त की त्रिज्या = 7 cm
छोटे वृत्त का व्यास = 7 cm
∴ छोटे वृत्त की त्रिज्या = \(\frac{7}{2}\) cm
AB और CD एक वृत्त के दो परस्पर लंब व्यास है।
∴ AD ⊥ CD
बड़े वृत्त का क्षेत्रफल = πR²
= \(\frac{22}{7}\) × 7 × 7
= 154 cm²
छोटे वृत्त का क्षेत्रफल = \(\frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2}\)
= 38.50 cm²
∆ ABC का क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई
= \(\frac{1}{2}\) × 14 × 7
= 49 cm²
∴ छायांकित क्षेत्रफल = बड़े वृत्त का क्षेत्रफल – छोटे वृत्त का क्षेत्रफल – त्रिभुज का क्षेत्रफल
= (154 – 38.5 – 49) cm²
= 66.5 cm²

प्रश्न 10.
एक समबाहु त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल 17320.5 cm है। इस त्रिभुज के प्रत्येक शीर्ष को केन्द्र मानकर त्रिभुज की भुजा के आधे के बराबर की त्रिज्या लेकर एक वृत्त खींचा जाता है ( देखिए आकृति )। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
(π = 3.14 और √3 = 1.73205 लीजिए।)

हल :
समबाहु त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल = 17320.5 cm²

भुजा = 2 × 100 = 200 cm
∴ AB = BC = AC
वृत्त की त्रिज्या (R) = \(\frac{\mathrm{AB}}{2}=\frac{200}{2}\) = 100 cm
त्रिज्यखंड का कोण, θ = 60°
त्रिज्यखंड APN का क्षेत्रफल = \(\frac{\pi \mathrm{R}^{2} \theta}{360}\)
= \(\frac{3.14 \times 100 \times 100 \times 60^{\circ}}{360}\)
= 5233.33 cm²
तीनों त्रिज्यखंडों का क्षेत्रफल = 3 × 5233.33 cm²
= 15699.99 = 15700
∴ अभीष्ट छायांकित क्षेत्रफल = त्रिभुज का क्षेत्रफल – तीन त्रिज्यखंडों का क्षेत्रफल
= 17320.5 – 15700 = 1620.5 cm²
∴ छायांकित क्षेत्रफल = 1620.5 cm²

प्रश्न 11.
एक वर्गाकार रूमाल पर, नौ वृत्ताकार डिज़ाइन बने हैं, जिनमें से प्रत्येक की त्रिज्या 7 cm है ( देखिए आकृति)। रूमाल के शेष भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल :
वृत्त की त्रिज्या (R) = 7 cm
वृत्त का व्यास = 2 × R
= 2 × 7
= 14 cm
क्योंकि वर्ग की भुजा के अनुदिश तीन वृत्त हैं।
∴ वर्ग की भुजा = 3 [14] = 42 cm
रूमाल का कुल क्षेत्रफल = वर्ग का क्षेत्रफल = (भुजा)²
= (42)² = 1764 cm² .
नौ वृत्ताकार डिज़ाइनों का क्षेत्रफल = 9TR²
= 9 × \(\frac{22}{7}\) × (7)
= 9 × \(\frac{22}{7}\) × 7 × 7
= 9 × 154
= 1386 cm²
∴ शेष भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = वर्ग का क्षेत्रफल – 9 वृत्ताकार डिज़ाइनों का क्षेत्रफल
= 1764 – 1386 = 378 cm²
∴ शेष भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 378 cm²

प्रश्न 12.
आकृति में, OACB केन्द्र 0 और त्रिज्या 3.5 cm वाले एक वृत्त का चतुर्थांश है। यदि OD = 2 cm है, तो निम्नलिखित के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए :
(i) चतुर्थांश OACB
(ii) छायांकित भाग

हल :
चतुर्थांश की त्रिज्या (R) = 3.5 cm
त्रिज्यखंड का कोण (θ) = 90°
OD = 2 cm.
(i) चतुर्थांश OACB का क्षेत्रफल = \(\frac{\pi \mathrm{R}^{2} \theta}{360}\)
= \(\frac{22}{7} \times \frac{3.5 \times 3.5 \times 90^{\circ}}{360}\)
= 9.625 cm²

(ii) ∆ODB का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) आधार × ऊँचाई
= \(\frac{1}{2}\) × 3.5 × 2 = 3.5 cm²
∴ छायांकित क्षेत्रफल = चतुर्थांश OACB का क्षेत्रफल – ∆ODB का क्षेत्रफल = 9.625 – 3.5
= 6.125 cm²
∴ छायांकित क्षेत्रफल = 6.125 cm²

प्रश्न 13.
आकृति में, एक चतुर्थांश OPBQ के अंतर्गत एक वर्ग OABC बना हुआ है। यदि OA = 20 cm है, – तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
(π = 3.14 लीजिए।)

हल :
वर्ग ABCO की भुजा = 20 cm
∠AOC = 90°
AB = OA

∴ ∆OAB में,
OB² = OA² + AB²
OB = \(\sqrt{(20)^{2}+(20)^{2}}\)
= \(\sqrt{400+400}\)
= \(\sqrt{800}\)
OB = 20√2 cm

वर्ग OABC का क्षेत्रफल = (side)² = (20)²
∴ वर्ग का क्षेत्रफल = 400
चतुर्थांश की त्रिज्या (R) = 20√2
त्रिज्यखंड का कोण (θ) = 90°
∴ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = \(\frac{\pi \mathrm{R}^{2} \theta}{360}\)
= \(\frac{3.14 \times 20 \sqrt{2} \times 20 \sqrt{2} \times 90^{\circ}}{360}\)
= 2 × 314 cm²
= 628 cm²
अभीष्ट छायांकित क्षेत्रफल = त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल – वर्ग का क्षेत्रफल
= (628 – 400) cm²
= 228 cm²

प्रश्न 14.
AB और CD केन्द्र 0 तथा त्रिज्याओं 21 cm और 7 cm वाले दो संकेंद्रीय वृत्तों के क्रमशः दो चाप हैं ( देखिए आकृति)। यदि ∠AOB = 30° है, तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल :
त्रिज्यखंड OBA (R) की त्रिज्या = 21 cm त्रिज्यखंड ODC (r) की त्रिज्या = 7 cm
त्रिज्यखंड का कोण (θ) = 30°
बड़े त्रिज्यखंड (OAB) का क्षेत्रफल = \(\frac{\pi \mathrm{R}^{2} \theta}{360}\)
= \(\frac{22}{7} \times \frac{21 \times 21 \times 30^{\circ}}{360}\)
= 115.5 cm
छोटे त्रिज्यखंड (ODC) का क्षेत्रफल = \(\frac{\pi \mathrm{R}^{2} \theta}{360}\)
= \(\frac{22}{7} \times \frac{7 \times 7 \times 30^{\circ}}{360}\)
छोटे त्रिज्यखंड (ODC) का क्षेत्रफल = 12.83 cm
अब छायांकित भाग का क्षेत्रफल = बड़े त्रिज्यखंड OAB का क्षेत्रफल – छोटे त्रिज्यखंड OCD का क्षेत्रफल
= 115.5 – 12.83
= 102.66
छायांकित भाग का क्षेत्रफल = 102.66 cm²

प्रश्न 15.
आकृति में, ABC त्रिज्या 14 cm वाले एक वृत्त का चतुर्थांश है तथा BC को व्यास मान कर एक अर्धवृत्त खींचा गया है। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल :
त्रिज्यखंड ACPB की त्रिज्या (r) = 14 cm
त्रिज्यखंड कोण (θ) = 90°
AB = AC = 7 cm

त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) × AB × AC
= \(\frac{1}{2}\) × 14 × 14
= 98 cm²

त्रिज्यखंड ACPB का क्षेत्रफल = \(\frac{\pi r^{2} \theta}{360}\)
= \(\frac{22}{7} \times \frac{14 \times 14 \times 90^{\circ}}{360}\)
= 154 cm²

∴ BOCPB का क्षेत्रफल = त्रिज्यखंड ∆BPC का क्षेत्रफल – ∆ABC का क्षेत्रफल
= 154 cm² – 98 cm²
= 56 cm²

∆BAC में,
AB² + AC² = B²
(14)² + (14)² = BC²
BC = \(\sqrt{196+196}=\sqrt{2(196)}\)
= 14√2.

∴ अर्धवृत्त BOCR की त्रिज्या = 14√2
= 7√2

अर्धवृत्त का क्षेत्रफल = \(\frac{\pi \mathrm{R}^{2}}{2}\)
= \(\frac{22}{7} \times \frac{7 \sqrt{2} \times 7 \sqrt{2}}{2}\)
= \(\frac{22}{7} \times \frac{7 \times 7 \times 2}{2}\)
= 154 cm²

अभीष्ट क्षेत्रफल = अर्धवृत्त का क्षेत्रफल — [त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल – ∆BAC का क्षेत्रफल]
= 154 – [154 – 98]
= 154 – 56
= 98 cm²
छायांकित भाग का क्षेत्रफल = 98 cm²

प्रश्न 16.
आकृति में, छायांकित डिज़ाइन का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जो 8 cm त्रिज्याओं वाले दो वृत्तों के चतुर्थांशों के बीच उभयनिष्ठ है।

हल :
वर्ग की भुजा = 8 cm
वर्ग का क्षेत्रफल = (8)² = 64 cm²
रेखा BD वर्ग ∆BCD को समान भागों में विभाजित करती है।
∆ABD का क्षेत्रफल = ∆BDC का क्षेत्रफल
त्रिज्यखंड का कोण, θ = 90°
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = \(\frac{\pi \mathrm{R}^{2} \theta}{360}\)
= \(\frac{22}{7} \times \frac{8 \times 8 \times 90^{\circ}}{360}\)

त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = 50.28 cm²
∆ABD का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) × AB × AD
= \(\frac{1}{2}\) × 8 × 8
= 32 cm²

∴ वृत्तखंड DMBPD का क्षेत्रफल = ∆BPD का क्षेत्रफल – AABD का क्षेत्रफल
= 50.28 – 32
= 18.28 cm²
छायांकित क्षेत्रफल = 2 वृत्तखंड DMBPD का क्षेत्रफल
= 2 (18.28) = 36.56 cm².