Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.2 Textbook Exercise Questions and Answers
PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.2
प्रश्न 1.
निम्नलिखित सारणी किसी अस्पताल में एक विशेष वर्ष में भर्ती हुए रोगियों की आयु को दर्शाती है :
संख्या उपरोक्त आँकड़ों के बहुलक और माध्य ज्ञात कीजिए। दोनों केंद्रीय प्रवृत्ति की मापों की तुलना कीजिए और उनकी व्याख्या कीजिए।
हल :
बहुलक के लिए :
दिए गए आँकड़ों में अधिकतम बारंबारता 23 है और इसके संगत वर्ग अंतराल 35 – 45 है :
∴ बहुलक वर्ग = 35 – 45 इसलिए,
l = 35 ; f1 = 23 ; f0 = 21; f2 = 14 और h = 10
सूत्र का प्रयोग करने पर, बहुलक = l + \(\left(\frac{f_{1}-f_{0}}{2 f_{1}-f_{0}-f_{2}}\right)\) × h
बहुलक = 35 + \(\left[\frac{23-21}{2(23)-21-14}\right]\) × 10
= 35 + \(\frac{2}{46-35}\) × 10
= 35 + \(\frac{20}{11}\)
= 35 + 1.8 = 36.8
माध्य के लिए
उपरोक्त आँकड़ों से
कल्पित मान (a) = 30
वर्ग माप (h) = 10
∴ \(\bar{u}=\frac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}}=\frac{43}{80}\) = 0.5375
सूत्र का प्रयोग करने पर, माध्य \((\overline{\mathrm{X}})=a+h \bar{u}\)
\(\overline{\mathrm{X}}\) = 30 + 10 (0.5375)
= 30 + 5.375
= 35.375 = 35.37
अतः दिए गए आँकड़ों का बहुलक 36.8 वर्ष है और दिए गए आँकड़ों का माध्य 35.37 है
साथ ही, उपरोक्त चर्चा से यह स्पष्ट है कि अस्पताल में भर्ती हुए रोगियों की औसत आयु 35.37 वर्ष है और अस्पताल में भर्ती हुए अधिकतम रोगियों की आयु 36.8 वर्ष है।
प्रश्न 2.
निम्नलिखित आंकड़े, 225 बिजली उपकरणों के प्रेक्षित जीवन काल (घंटों में) की सूचना देते हैं :
उपकरणो का बहुलक जीवन काल ज्ञात कीजिए।
हल :
दिए गए आँकड़ों में अधिकतम बारंबारता 61 है और इसकी संगत वर्ग अंतराल 60 – 80 है।
बहुलक वर्ग = 60 – 80
अतः, l = 60 ; f1 = 61; f0 = 52 ; f2 = 38 और h = 20
सत्र का प्रयोग करने पर. बहलक = l + \(\left(\frac{f_{1}-f_{0}}{2 f_{1}-f_{0}-f_{2}}\right)\) × h
बहलुक = 60 + \(\left(\frac{61-52}{2(61)-52-38}\right)\) × 20
= 60 + \(\frac{9}{122-52-38}\) × 20
= 60 + \(\frac{9}{32}\) × 20
= 60 + \(\frac{180}{32}\)
= 60 + 5.625 = 65.625
अतः, उपकरणों का बहुलक जीवन काल 65.625 घंटे है।
प्रश्न 3.
निम्नलिखित आँकड़े किसी गाँव के 200 परिवारों के कुल मासिक घरेलू व्यय के बंटन को दर्शाते हैं। इन परिवारों का बहुलक मासिक व्यय ज्ञात कीजिए। साथ ही, माध्य मासिक व्यय भी ज्ञात कीजिए।
हल :
बहुलक के लिए:
दिए गए आँकड़ों में अधिकतम बारंबारता 40 है तथा इस बारंबारता के संगत वर्ग 1500 – 2000 है।
बहुलक वर्ग = 1500 – 2000
अतः, l = 1500 ; f1 = 40; f0 = 24 ; f2 = 33 और h = 500
सूत्र का प्रयोग करते हुए, बहुलक = l + \(\left(\frac{f_{1}-f_{0}}{2 f_{1}-f_{0}-f_{2}}\right)\) × h
= 1500 + \(\left\{\frac{40-24}{2(40)-24-33}\right\}\) × 500
= 1500 + \(\left\{\frac{16}{80-24-33}\right\}\) × 500
= 1500 + \(\frac{16 \times 500}{23}\)
= 1500 + \(\frac{8000}{23}\)
= 1500 + 347.83 = 1847.83
मध्य के लिए:
उपरोक्त आँकड़ों से,
कल्पित माध्य (a) = 2750
वर्ग माप (h) = 500
∴ \(\frac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}}=-\frac{35}{200}\) = – 0.175
सूत्र का प्रयोग करने पर,
माध्य \((\overline{\mathrm{X}})=a+h \bar{u}\)
\(\overline{\mathrm{X}}\) = 2750 + 500 (- 0.175)
= 2750 – 87.50
= 2662.50
अतः, परिवारों का बहुलक मासिक व्यय ₹ 1847.83 है और माध्य मासिक व्यय ₹ 2662.50 है।
प्रश्न 4.
निम्नलिखित बंटन भारत के उच्चतर माध्यमिक स्कूलों में, राज्यों के अनुसार, शिक्षक विद्यार्थी अनुपात को दर्शाता है। इन आँकड़ों के बहुलक और माध्य ज्ञात कीजिए। दोनों मापकों की व्याख्या कीजिए।
हल :
बहुलक के लिए: दिए गए आँकड़ों में अधिकतम बारंबारता 10 है और इसके संगत वर्ग अंतराल 30 – 35 है।
∴ बहुलक वर्ग = 30 – 35.
इसलिए,
l = 30; f1 = 10 ; f0 = 9; f2 = 3 और h = 5
सूत्र के प्रयोग से,
बहुलक = l + \(\left(\frac{f_{1}-f_{0}}{2 f_{1}-f_{0}-f_{2}}\right)\) × h
बहुलक = 30 + \(\left(\frac{10-9}{2(10)-9-3}\right)\) × 5
= 30 + \(\frac{1}{20-12}\) × 5
= 30 + \(\frac{5}{8}\)
= 30 + 0.625 = 30.625 = 30.63 (लगभग)
माध्य के लिए:
उपरोक्त आँकड़ों से, कल्पित माध्य (a) = 32.5
वर्ग माप (h) = 5
∴ \(\bar{u}=\frac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}}=-\frac{23}{35}\) = – 0.65
सूत्र का प्रयोग करने पर, माध्य \((\overline{\mathrm{X}})=a+h \bar{u}\)
\(\overline{\mathrm{X}}\) = 32.5 + 5 (-0.65)
= 32.5 – 3.25 = 29.25 (लगभग)
अतः, दिए गए आँकड़ों का बहुलक और माध्य 30.63 और 29.25 है।
साथ ही, उपरोक्त चर्चा से यह स्पष्ट है कि राज्यों/संघीय क्षेत्र में प्रतिशिक्षक विद्यार्थियों की संख्या 30.63 है और औसत के अनुसार यह अनुपात 29.25 है।
प्रश्न 5.
दिया हुआ बंटन विश्व के श्रेष्ठतम बल्लेबाजों द्वारा एक दिवसीय अंतर्राष्ट्रीय क्रिकट मैचों में बनाए गए रनों को दर्शाता है :
इन आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए।
हल :
दिए गए आँकड़ों में, अधिकतम बारंबारता 18 है और इसके संगत वर्ग अंतराल 4000 – 5000 है।
∴ बहुलक वर्ग = 4000 – 5000 अतः,
l = 4000 ; f1 = 18 ; f0 = 4; f2 = 9 और h = 1000
सूत्र का प्रयोग करने पर, बहुलक = l + \(\left(\frac{f_{1}-f_{0}}{2 f_{1}-f_{0}-f_{2}}\right)\) × h
बहुलक = 4000 + \(\left(\frac{18-4}{2(18)-4-9}\right)\) × 1000
= 4000 + \(\frac{14}{36-13}\) × 1000
= 4000 + \(\frac{14000}{23}\) × 1000
= 4000 + 608.6956
= 4000 + 608.7 = 4608.7 (लगभग)
अतः, दिए गए आंकड़ों का बहुलक 4608.7 रन है।
प्रश्न 6.
एक विद्यार्थी ने एक सड़क के किसी स्थान से होकर जाती हुई कारों की संख्याएँ नोट की और उन्हें नीचे दी हुई सारणी में व्यक्त किया। सारणी में दिया प्रत्येक प्रेक्षण 3 मिनट के अंतराल में उस स्थान से होकर जाने वाली कारों की संख्याओं से संबंधित है। ऐसे 100 अंतरालों पर प्रक्षेण लिए गए। इन आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए।
हल :
दिए गए आंकड़ों में अधिकतम बारंबारता 20 है और इसके संगत वर्ग अंतराल 40 – 50 है।
बहुलक वर्ग = 40 – 50
इसलिए,
l = 40; f1 = 20 ; f0 = 12 ; f2 = 11 और h = 10
सूत्र का प्रयोग करने पर,
बहुलक = l + \(\left(\frac{f_{1}-f_{0}}{2 f_{1}-f_{0}-f_{2}}\right)\) × h
बहुलक: = 40 + \(\left(\frac{20-12}{2(20)-12-11}\right)\) × 10
= 40 + \(\frac{8}{40-23}\) × 10
= 40 + \(\frac{80}{17}\)
= 40 + 4.70588
= 40 + 4.7 = 44.7 (लगभग)
अतः, दिए हुए आँकड़ों का बहुलक 44.7 कारें।