PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.3

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.3 Textbook Exercise Questions and Answers

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 2 बहुपद Ex 2.3

प्रश्न 1.
विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करके, निम्न में P(x) को g(x) से भाग देने पर भागफल तथा शेषफल ज्ञात कीजिए:
(i) P(x) = x³ – 3x² + 5x – 3, g(x) = x² – 2
(ii) P(x) = x⁴ – 3x² + 4x + 5, g(x) = x² + 1 – x
(iii) P(x) = x⁴ – 5x + 6, g(x) = 2 – x²
हल :
(i) दिया है कि p (x) = x³ – 3x² + 5x – 3 और g(x) = x² – 2

विभाजन एल्गोरिथ्म से, x³ – 3x² + 5x – 3
= (x – 3) (x² – 2) + (7x – 9)
अतः, भागफल = x – 3 और शेषफल = 7x – 9 उत्तर

(ii) दिया है कि p (x) = x⁴ – 3x² + 4x + 5 या p(x) = x⁴ + 0x³ – 3x² + 4x + 5
और g(x) = x² + 1 – x

विभाजन एल्गोरिथ्म से, x⁴ – 3x² + 4x + 5
= (x² + x – 3) (x² – x + 1) + 8
अतः, भागफल = x² + x – 3 और शेषफल = 8 उत्तर

(iii) दिया है कि p(x) = x – 5x + 6
p (x) = x⁴ + 0x³ + 0x² – 5x + 6
और g (x) = 2 – x²
या g (x) = – x² + 2

विभाजन एल्गोरिथ्म से,
x⁴ – 5x + 6 = (- x² – 2) (- x² + 2) + (- 5x + 10)
अतः भागफल = – x² – 2
शेषफल = – 5x + 10 उत्तर

प्रश्न 2.
पहले बहुपद से दूसरे बहुपद को भाग करके, जाँच कीजिए कि क्या प्रथम बहुपद द्वितीय बहुपद का एक गुणनखंड है :

(i) t² – 3, 2t⁴ + 3t³ – 2t² – 9t – 12
(ii) x² + 3x + 1, 3x⁴ + 5x³ – 7x² + 2x + 2
(iii) x³ – 3x + 1, x⁵ – 4x³ + x² + 3x + 1
हल :
(i)

∵ शेषफल शून्य नहीं है 41 -12
∴ विभाजन एल्गोरिथ्म से.
t² – 3, 2t⁴ + 3t³ – 2t² – 9t – 12 का गुणनखंड नहीं है। उत्तर

(ii)

∵ शेषफल शून्य है।
∴ विभाजन एल्गोरिथ्म से
x² + 3x + 1, 3x⁴ + 5x³ – 7x² + 2x + 2 का गुणनखंड है। उत्तर

(iii)

∵ शेषफल शून्य है।
∴ विभाजन एल्गोरिथ्म से
x³ – 3x + 1, x⁵ – 4x³ + x² + 3x + 1 का गुणनखंड हैं। उत्तर

प्रश्न 3.
3x⁴ + 6x³ – 2x⁴ – 10x – 5 के अन्य सभी शून्यक ज्ञात कीजिए, यदि इसके दो शून्यक और \(\sqrt{\frac{5}{3}}\) और \(-\sqrt{\frac{5}{3}}\) हैं।
हल :
दिया है कि दो शून्य हैं \(\sqrt{\frac{5}{3}}\) और \(-\sqrt{\frac{5}{3}}\) हैं।

∴ (x – \(\sqrt{\frac{5}{3}}\)) [x – (- \(\sqrt{\frac{5}{3}}\))] दिये गए बहु पद के गुणनखंड हैं।

या (x – \(\sqrt{\frac{5}{3}}\)) (x + \(\sqrt{\frac{5}{3}}\)) दिये गए बहुपद के गुणनखंड हैं।

या x² – \(\frac{5}{3}\) दिये गए बहु पद के गुणनखंड हैं।

दिये गए बहु पद और x² – \(\frac{5}{3}\) पर विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करने पर,

∴ 3x⁴ + 6x³ – 2x⁴ – 10x – 5 = (x² – \(\frac{5}{3}\)) [3x² + 6x + 3]
S = 2, P = 1
= (x² – \(\frac{5}{3}\)) (3) [x² + 2x + 1]

= 3 (x² – \(\frac{5}{3}\)) [x² + x + x + 1]

= 3 (x² – \(\frac{5}{3}\)) [x (x + 1) + 1 (x + 1)]

= 3 (x² – \(\frac{5}{3}\)) (x + 1) (x + 1)
अब, बहुपद के अन्य शून्यक दिए गए हैं
x + 1 = 0 या x + 1 = 0
x = – 1 या x = – 1
∴ दी गई चार घात वाली बहुपद के शून्यक हैं :
\(\sqrt{\frac{5}{3}}\), – \(\sqrt{\frac{5}{3}}\), – 1, – 1 उत्तर

प्रश्न 4.
यदि x³ – 3x² + x + 2 को एक बहुपद g (x) से दिये गए बहुपद और .x-5 भाग देने पर, भागफल और शेषफल क्रमशः x – 2 और – 2x + 4 हैं, तो g (x) ज्ञात कीजिए :
हल :
मान लीजिए
p (x) = x³ – 3x² + x + 2
और q (x) = (x – 2)
और r (x) = – 2x + 4
दिए गए आँकड़ों की विभाजन एल्गोरिथ्म से तुलना करने पर हम प्राप्त करते हैं :
p (x) = g (x) . q (x) + r (x)
या p (x) – r (x) = g (x) . q (x)
या g (x) . q (x) = p (x) – r (x)
या g(x) = \(\frac{p(x)-r(x)}{q(x)}\)
भिन्न-भिन्न मान प्रतिस्थापित करने पर हम प्राप्त करते हैं :

∴ \(\frac{x^{3}-3 x^{2}+3 x-2}{x-2}\) = x² – x + 1
(1) और (2), से हम प्राप्त करते हैं g(x) = x² – x + 1 उत्तर.

प्रश्न 5.
बहुपदों p (x), g (x), q (x) और r (x) के ऐसे उदाहरण दीजिए जो विभाजन एल्गोरिथ्म को संतुष्ट करते हैं तथा
(i) घात p (x) = घात q (x)
(ii) घात q (x) = 0
(iii) घात q (x) = घात r (x)
हल :
(i) p(x)= 5x² – 5x + 10; g(x)= 5
q (x) = x² – x + 2; r (x) = 0

∴ विभाजन एल्गोरिथ्म से,
5x² – 5x + 10 = 5 (x² – x + 2) + 0
या p (x) = g (x) q (x) + r (x)
साथ ही, p (x) की घात = q (x) की घात = 2

(ii) मान लीजिए p (x) = 7x³ – 42x + 53;
g (x) = x³ – 6x + 7;
q(x) = 7;
r (x) = 4

∴ विभाजन एल्गोरिथ्म से 7x³ – 42x + 53 = 7 (x³ – 6x + 7) + 4
या p (x) = q (x) . g (x) + r (x)
साथ ही घात q (x) = 0

(iii) मान लीजिए p (x) = 4x³ + x² + 3x + 6
g(x) = x² + 3x + 1
q(x) = 4x – 11; r(x) = 32x + 17

∴ विभाजन एल्गोरिथ्म से 4x³ + x² + 3x + 6 = (4x – 11) (x² + 3x + 1) + (32x + 17)
या p (x) = q (x) . g (x) + r (x)
साथ ही घात q (x) = घात r (x)