PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.5

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.5 Textbook Exercise Questions and Answers

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.5

प्रश्न 1.
निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों में से किसका एक अद्वितीय हल है, किसका कोई हल नहीं है या किसके अपरिमित रूप से अनेक हल हैं। अद्वितीय हल की स्थिति में, उसे वज्र गुणन विधि से ज्ञात कीजिए।
(i) x – 3y – 3 = 0
3x – 9y – 2 = 0

(ii) 2x + y = 5
3x + 2y = 8

(iii) 3x – 5y = 20
6x – 10y = 40

(iv) x – 3y – 7 = 0
3x – 3y – 15 = 0
हल :
(i) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म है :
x – 3y – 3 = 0 और 3x – 9y – 2 = 0
यहाँ a₁ = 1, b₁ = – 3, c₁ = – 3
a₂ = 3, b₂ = – 9, c₂ = – 2
अब, \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{1}{3}\);

\(\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{-3}{-9}=\frac{1}{3}\);

\(\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{-3}{-2}=\frac{3}{2}\)

∴ \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}\)
अतः दी गई समीकरण निकाय का कोई हल नहीं है।

(ii) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म है :
2x + y = 5 और 3x + 2y = 8
या 2x + y – 5 = 0 और 3x + 2y — 8 = 0
यहाँ a₁ = 2, b₁ = 1, c₁ = – 5
a₂ = 3, b₂ = 2, c₂ = – 8
अब, \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{2}{3}\);

\(\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{1}{2}\);

\(\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{-5}{-8}=\frac{5}{8}\)

∴ \(\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}\)

∴ दिए गए समीकरण निकाय का एक अद्वितीय हल

या \(\frac{x}{-8+10}=\frac{y}{-15+16}=\frac{1}{4-3}\)

या

I और III से हमें प्राप्त होता है :

\(\frac{x}{2}=\frac{1}{1}\)

⇒ x = 2

II और III से हमें प्राप्त होता है :

\(\frac{y}{1}=\frac{1}{1}\)

⇒ y = 1

अत:, x = 2 और y = 1 उत्तर

(iii) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म है :
3x – 5y = 20
और 6x – 10y = 40
या 3x – 5y – 20 = 0
और 6x – 10y – 40 = 0
यहाँ a₁ = 3, b₁ = – 5, c₁ = – 20
a₂ = 6, b₂ = – 10, c₂ = – 40
यहाँ \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\);

\(\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{-5}{-10}=\frac{1}{2}\);

\(\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{-20}{-40}=\frac{1}{2}\)

∵ \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\)

अत:, दी गई समीकरण निकाय के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।

(iv) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म है :
x-3y – 7 = 0
और 3x – 3y – 15 = 0
यहाँ a₁ = 1, b₁ = – 3, c₁ = – 7
a₂ = 3, b₂ = – 3, c₂ = – 15
यहाँ अब,
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{1}{3}\);

\(\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{-3}{-3}\) = 1;

\(\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{-7}{-15}=\frac{7}{15}\)

∵ \(\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}\)
∴ दिए गए समीकरण निकाय का एक अद्वितीय हल है

यहाँ x = 4, y = – 1.

प्रश्न 2.
(i) a और b के किन मानों के लिए निम्न, रैखिक समीकरणों के युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे ?
2r + 3y = 7
(a – b) x + (a + b) y = 3a + b-2
(ii) k के युग्म के किस मान के लिए, निम्न रैखिक समीकरणों का कोई हल नहीं है ?
3x + y = 1
(2k – 1) x + (k – 1) y = 2k + 1
हल :
(i) दी गई रैखिक समीकरण युग्म है :
2x + 3y = 7
और (a – b) x + (a + b) y = 3a + b – 2
या 2x + 3y – 7 = 0
और (a – b) x + (a + b) y – (3a + b – 2) = 0
यहाँ a₁ = 2, b₁ = 3, c₁ = – 7
a₂ = a – b, b₂ = a + b, c₂ = – (3a + b – 2)
∴ दी गई समीकरण निकाय के अपरिमित रूप से अनेक हल है :
∴ \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\)

I और III से, हमें प्राप्त होता है :

\(\frac{2}{a-b}=\frac{7}{3 a+b-2}\)

या 6a + 2b – 4 = 7a – 7b
या – a + 9b – 4 = 0
या a = 9b – 4 ………….(1)
II और III से प्राप्त होता है :

\(\frac{3}{a+b}=\frac{7}{3 a+b-2}\)

या 9a + 3b – 6 = 7a + 7b
या 2a – 4b – 6 = 0
या a – 2b – 3 = 0
समीकरण (1) से a का मान उपरोक्त में प्रतिस्थापित करने पर :
9b – 4 – 2b – 3 = 0
या 7b – 7 = 0
या 7b = 7
या b = 1
b के इस मान को (1) में प्रतिस्थापित करने पर हम प्राप्त करते हैं :
a = 9 × 1 – 4 = 9 – 4
a = 5
अतः a = 5 और b = 1

(ii) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म है :
3x + y = 1 और (2k – 1) x + (k -1 1) y = 2k + 1
या 3x + 1 – 1 = 0
और (2k – 1) x + (k – 1) y – (2k + 1) = 0
यहाँ a₁ = 3, b₁ = 1, c₁ = – 1
a₂ = (2k – 1), b₂ = k – 1, c₂ = – (2k + 1)
∴ दी गई समीकरण निकाय का कोई हल नहीं है ..
∴ \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}\)

I और III से हमें प्राप्त होता है :

\(\frac{3}{2 k-1} \neq \frac{1}{(2 k+1)}\)

⇒ 6k + 3 ≠ 2k – 1

⇒ 4k ≠ – 4

⇒ k ≠ – \(\frac{4}{4}\)
I और II से हमें प्राप्त होता है :

\(\frac{3}{2 k-1}=\frac{1}{k-1}\)

⇒ 3k – 3 = 2k – 1 | k-1

⇒ k = 2

k = 2
अतः, k = 2 और k ≠ – 1.

प्रश्न 3.
निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म को प्रतिस्थापन एवं वज्र-गुणन विधियों से हल कीजिए। किस विधि को आप उपयुक्त मानते हैं ?
&x + 5y = 9
3x + 2y = 4
हल :
दिया गया रैखिक समीकरण युग्म है :
8x + 5y = 9 ………….(1)
3x + 2y = 4 ………….(2)
प्रतिस्थापन विधि
(2) से,
2y = 4 – 3x
y = \(\frac{4-3 x}{2}\) …………..(3)

y के इस मान का (1), में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :
8x + 5 \(\left[\frac{4-3 x}{2}\right]\) = 9

\(\frac{16 x+20-15 x}{2}\) = 9

x + 20 = 18
x = 18 – 20 = – 2
x का यह मूल्य (3) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :
y = \(\frac{4-3(-2)}{2}=\frac{4+6}{2}\)
= \(\frac{10}{2}\) = 5
अतः, x = – 2 और y = 5

वज्र गुणनविधि द्वारा:
रैखिक समीकरण युग्म
8x + 5y – 9 = 0 और 3x + 2y – 4 = 0
a₁ = 8, b₁ = 5, c₁ = – 9
a₂ = 3, b₂ = 2, c₂ = – 4
अब, \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{8}{3}\);

\(\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{5}{2}\);

\(\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{-9}{-4}=\frac{9}{4}\)

∵ \(\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}\)

∴ निकाय का एक अद्वितीय हल है।

I और III से हमें प्राप्त होता है :

\(\frac{x}{-2}=\frac{1}{1}\)

⇒ x = – 2

II और III से हमें प्राप्त होता है :
\(\frac{y}{5}=\frac{1}{1}\)

⇒ y = 5
अतः, x = – 2 और y = 5.

प्रश्न 4.
निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके हल( यदि उनका अस्त्तिव हो)किसी बीजगणितीय विधि से ज्ञात कीजिए :
(i) एक छात्रावास के मासिक व्यय का एक भाग नियत है तथा शेष इस पर निर्भर करता है कि छात्र ने कितने दिन भोजन लिया है। जब एक विद्यार्थी A को, जो 20 दिन भोजन करता है, ₹ 1000 छात्रावास के व्यय के लिए अदा करने पड़ते हैं, जबकि एक विद्यार्थी B को, जो 26 | दिन भोजन करता है छात्रावास के व्यय के लिए ₹ 1180 अदा करने पड़ते हैं। नियत व्यय और प्रतिदिन के भोजन का मूल्य ज्ञात कीजिए।

(ii) एक भिन्न \(\frac{1}{3}\) हो जाती है जब उसके अंश में से 1 घटाया जाता है और वह \(\frac{1}{4}\) हो जाती है, जब हर में 8 जोड़ दिया जाता है। वह भिन्न ज्ञात कीजिए।

(iii) यश ने एक टेस्ट में 40 अंक अर्जित किए, जब उसे प्रत्येक सही उत्तर पर 3 अंक मिले तथा अशुद्ध उत्तर पर 1 अंक की कटौती की गई। यदि उसे सही उत्तर पर 4 अंक मिलते हैं तथा अशुद्ध उत्तर पर 2 अंक कटते, तो यश 50 अंक अर्जित करता। टेस्ट में कितने प्रश्न थे ?

(iv) एक राजमार्ग पर दो स्थान A और B 100 km की दूरी पर हैं। एक कार A से तथा दूसरी कार B से एक ही समय चलना प्रारम्भ करती है। यदि ये कारें भिन्न-भिन्न चालों से एक ही दिशा में चलती है, तो वे 5 घंटे पश्चात् मिलती है। दोनों कारों की चाल ज्ञात कीजिए।

(v) एक आयत का क्षेत्रफल 9 वर्ग इकाई कम हो जाता है, यदि उसकी लंबाई 5 इकाई कम कर दी जाती है और चौड़ाई 3 इकाई बढ़ा दी जाती है। यदि हम लंबाई को 3 इकाई और चौड़ाई को 2 इकाई बढ़ा दें, तो क्षेत्रफल 67 वर्ग इकाई बढ़ जाता है। आयत की विमाएँ ज्ञात कीजिए।

हल :
(i) मान लीजिए होस्टल का नियत मासिक किराया = ₹ x
और प्रतिदिन भोजन का मूल्य = ₹ y
पहली शर्त के अनुसार,
x + 20y = 1000 …………..(1)
प्रश्न की दूसरी शर्त अनुसार,
x + 26y = 1180 …………….(2)

या \(\frac{x}{-23600+26000}=\frac{y}{-1000+1180}=\frac{1}{26-20}\)

या

I और III से हमें प्राप्त होता है :
\(\frac{x}{5}=\frac{1}{1}\)
x = 5
II और III से हमें प्राप्त होता है :
\(\frac{y}{12}=\frac{1}{1}\)
y = 12
अतः, अभीष्ट भिन्न \(\frac{5}{12}\) है।

(iii) मान लीजिए यश द्वारा किए गए सही प्रश्नों की संख्या = x
और यश द्वारा किए गए गलत प्रश्नों की संख्या = y
पहली शर्त अनुसार,
3x – y = 40
या 3x – y – 40 = 0 ………….(1)
दूसरी शर्त अनुसार,
4x – 2y = 50
या 4x – 2y – 50 = 0 …………….(2)

I और III से हमें प्राप्त होता है :

\(\frac{x}{-30}=\frac{1}{-2}\)

⇒ x = \(\frac{-30}{-2}\)

⇒ x = 15

II और III से हमें प्राप्त होता है :

\(\frac{y}{-10}=\frac{1}{-2}\)

⇒ y = \(\frac{-10}{-2}\)

⇒ y = 5
∴ सही प्रश्नों की संख्या = 15
गलत प्रश्नों की संख्या = 5
अतः प्रश्नों की कुल संख्या = [सही प्रश्नों की संख्या] + [गलत प्रश्नों की संख्या]
= 15 + 5 = 20

(iv) मान लीजिए स्थान A वाली कार की चा = x km/hour
और स्थान B वाली कार की चाल = y km/hour
A और B के बीच की दूरी = 100 km
5 घंटे की स्थिति में
कार A द्वारा तय की गई दूरी = 5x km
[∵ दूरी = चाल × समय]
कार B द्वारा तय की गई दूरी = 5y km
पहली शर्त अनुसार,
5x – 5y = 100
या x – y = 20
या x – y – 20 = 0 ………….(1)
एक घंटे की स्थिति में
कार A द्वारा तय की गई दूरी = x km
[∵ दूरी = चाल × समय]
कार B द्वारा तय की गई दूरी = y km
दूसरी शर्त अनुसार,
x + y = 100
या x + y – 100 = 00 ………….(2)

\(\frac{x}{100-(-20)}=\frac{y}{-20-(-100)}\) = \(\frac{1}{1-(-1)}\)

या

II और III सेह्य हमें प्राप्त होता है :
\(\frac{x}{120}=\frac{1}{2}\)

x = \(\frac{1}{2}\) × 120 = 60

I और III से हमें प्राप्त होता है :

\(\frac{y}{80}=\frac{1}{2}\)

y = \(\frac{1}{2}\) × 80

y = 40
अतः, बिंदुओं A तथा B से चलने वाली कारों की चालें क्रमश: 60 किमी./घंटा और 40 किमी./घंटा है।

(v) मान लीजिए आयत की लंबाई = x मात्रक
और आयत की चौड़ाई = y मात्रक
∴ आयत का क्षेत्रफल = xy वर्ग मात्रक
पहली शर्त अनुसार,
(x -5) (y + 3) = xy – 9
या xy + 3x – 5y – 15 = xy – 9
या 3x – 5y – 6 = 0 …………..(1)
दूसरी शर्त अनुसार,
(x + 3) (y + 2) = xy + 67
या xy + 2x + 3y + 6 = xy + 67
या 2x + 3y – 61 = 0 ……………..(2)

या \(\frac{x}{305+18}=\frac{y}{-12+183}=\frac{1}{9+10}\)

या

I और III से हमें प्राप्त होता है

\(\frac{x}{323}=\frac{1}{19}\)

x = \(\frac{323}{19}\) = 17

II और III से हमें प्राप्त होता है :

\(\frac{y}{171}=\frac{1}{19}\)

y = \(\frac{171}{19}\) = 9
अत: आयत की लंबाई और चौडाई क्रमश: 17 मात्रक और 9 मात्रक है।