PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.2

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.2 Textbook Exercise Questions and Answers

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.2

प्रश्न 1.
गुणनखंड विधि से निम्न द्विघात समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए:
(i) x² – 3x – 10 = 0
(ii) 2x² + x – 6 = 0
(iii) √2x² + 7x + 5√2 = 0
(iv) 2x² – x + \(\frac{1}{8}\) = 0
(v) 100x² – 20x + 1 = 0
हल :
(i) दी गई द्विघात समीकरण है
x² – 3x – 10 = 0
S = – 3, P = – 10
या x² – 5x + 2x – 10 = 0
या x (x – 5) + 2 (x – 5) = 0
या (x – 5) (x + 2) = 0
अर्थात् x – 5 = 0 या x + 2 = 0
x = 5 या x = – 2
अतः, 5 और – 2 दी गई द्विघात समीकरण के मूल हैं।

(ii) दी गई द्विघात समीकरण है :
2x² + x – 6 = 0
S = 1, P = – 6 × 2 = – 12
या 2x² + 4x – 3x – 6 = 0
या 2x (x + 2) – 3 (x + 2) = 0
या (x + 2) (2x – 3) = 0
अर्थात् x + 2 = 0 या 2x – 3 = 0
x = – 2 या x = \(\frac{3}{2}\)
अर्थात् – 2 और \(\frac{3}{2}\) में दी गई द्विघात समीकरण के मूल हैं।

(iii) दी गई समीकरण है :
√2x² + 7x + 5√2 = 0
S = 7, P = √2 × 5√2 = 10
या √2x² + 2x + 5x + 5√2 = 0
या √2x (x + √2) + 5 (x + √2) = 0
या (x + √2) (√2x + 5) = 0
अर्थात् x + √2 = 0 या √2x+ 5 = 0
x = – √2 या x = \(\frac{-5}{\sqrt{2}}\)
अतः, – √2 और \(\frac{-5}{\sqrt{2}}\) दी गई द्विघात समीकरण के मूल हैं।

(iv) दी गई द्विघात समीकरण है :
2x² – x + \(\frac{1}{8}\) = 0
या \(\frac{16 x^{2}-8 x+1}{8}\) = 0
या 16x² – 8x + 1 = 0,
S = – 8, P = 16 × 1 = 16
या 16x² – 4x – 4x + 1 = 0
या 4x (4x – 1) – 1 (4x – 1) = 0
या (4x – 1) (4x – 1) = 0
अर्थात् 4x – 1 = 0 या 4x – 1 = 0
x = \(\frac{1}{4}\) या x = \(\frac{1}{4}\)
अतः \(\frac{1}{4}\) और \(\frac{1}{4}\) दी गई समीकरण के मूल हैं।

(v) दी गई समीकरण है :
100x² – 20x + 1 = 0
S = – 20, P = 100 × 1 = 100
या 100x² – 10x – 10x + 1 = 0
या 10x (10x – 1) (10x – 1) = 0
या (10x – 1) (10x – 1) = 0
अर्थात् 10x – 1 = 0 या 10x – 1 = 0
x = \(\frac{1}{10}\) या x = \(\frac{1}{10}\)
अतः, \(\frac{1}{10}\) और \(\frac{1}{10}\) दी गई द्विघात समीकरण के मूल हैं।

प्रश्न 2.
उदाहरण 1 में दी गई समस्याओं को हल कीजिए। इस समस्याओं का कथन नीचे दिया गया है :
(i) जॉन और जीवंती दोनों के पास कुल मिलाकर 45 कंचे हैं। दोनों पाँच-पाँच कंचे खो देते हैं और अब उनके पास कंचों की संख्या का गुणनफल 124 है। हम जानना चाहेंगे कि आरंभ में उनके पास कितने कंचे थे ?

(ii) एक कुटीर उद्योग एक दिन में कुछ खिलौने निर्मित करता है, प्रत्येक खिलौने का मूल्य(₹ में)55 में से एक दिन में निर्माण किए गए खिलौने की संख्या को घटाने से प्राप्त संख्या के बराबर है। किसी एक दिन, कुल निर्माण लागत ₹ 750 थी। हम उस दिन निर्माण किए गए खिलौनों की संख्या ज्ञात करना चाहेंगे।
हल :
(i) मान लीजिए जॉन के पास कंचों की संख्या थी = x
तब जीवंती के कंचों की संख्या थी = 45 – x
जॉन के पास, 5 कंचे खो देने के बाद बचे कंचों की संख्या = x – 5
जीवंती के पास, 5 कंचों को खो देने के बाद बचे, कंचों की संख्या = 45 – x – 5 = 40 – x
अतः, उनका गुणनफल = (x – 5) (40 – x)
= 40x – x² – 200 + 5x
= – x² + 45x – 200
प्रश्न अनुसार,
– x² + 45x – 200 = 124
या – x² + 45x – 324 = 0
S = – 45, P = 324
या x² – 45x + 324 = 0
या x² – 36x – 9x + 324 = 0
या x (x – 36) – 9 (x – 36) = 0
या (x – 36) (x – 9) = 0
अर्थात् x – 36 = 0 या x – 9 = 0
x = 36 या x = 9
∴ x = 36, 9
अतः, कंचों की संख्या जो उनके पास आरंभ में थी 136 और 9 या 9 और 36 है।

(ii) मान लीजिए उस दिन निर्मित खिलौनों की संख्या = x.
इसलिए, उस दिन प्रत्येक खिलौने की निर्माण लागत (रुपयों में) = 55 -x
अतः, उस दिन कुल निर्माण लागत (रुपयों में) = x (55 -x)
प्रश्न अनुसार,
x (55 – x) = 750 या
55x – x = 750
– x² + 55x – 750 = 0
S = – 33, P = 750
x² – 55x + 750 = 0 |
या x² – 30x – 25x + 750 = 0
या x (x – 30) – 25 (x – 30) = 0
या (x – 30) (x – 25) = 0
अर्थात् x- 30 = 0 या x – 25 = 0
x = 30 या x = 25
∴ x = 30, 25
अतः, उस दिन निर्मित खिलौनों की संख्या 30 और 25 या 25 और 30 है। उत्तर

प्रश्न 3.
ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए, जिनका योग 27 हो और गुणनफल 182 हो।
हल :
मान लीजिए पहली संख्या = x
दूसरी संख्या = 27 – x
अतः, उनका गुणनफल = x (27 – x)
= 27x – x²
प्रश्न अनुसार,
27x – x² = 182
x² + 27x – 182 = 0
S = – 27, P = 182
या x² – 27x + 182 = 0
या x² – 13x – 14x + 182 = 0
या x (x – 13) – 14 (x – 13) = 0
या (x – 13) (x – 14) = 0
अर्थात् x – 13 = 0 या x – 14 = 0
x = 13 या x = 14
x = 13, 14
अतः, दो संख्याएँ 13 और 14 या 14 और 13 हैं।

प्रश्न 4.
दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिए जिनके वर्गों का योग 365 हो।
हल :
मान लीजिए पहला धनात्मक पूर्णांक = x
दूसरा धनात्मक पूर्णांक = x + 1
प्रश्न अनुसार,
(x)² + (x + 1)² = 365
x² + x² + 1 + 2x = 365
2x² + 2x + 1 – 365 = 0
या 2x² + 2x – 364 = 0
या x² + x – 182 = 0
या x² + 14x – 13x – 182 = 0
या x (x + 14) – 13 (x + 14) = 0
या (x + 14) (x – 13) = 0
अर्थात् x + 14 = 0 या X – 13 = 0
x = – 14 या x = 13
∵ हमें धनात्मक पूर्णांक चाहिए।
इसलिए x = – 14 संभव नहीं है।
∴ x = 13
∴ एक धनात्मक पूर्णांक = 13.
दूसरा धनात्मक पूर्णांक है = 13 + 1 = 14
अतः, दो अभीष्ट क्रमागत पूर्णांक 13 और 14 हैं।

प्रश्न 5.
एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई इसके आधार से 7 cm कम है। यदि कर्ण 13 cm का हो, तो अन्य दो भुजाएँ ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए समकोण त्रिभुज का आधार = x cm
इसलिए समकोण त्रिभुज की ऊँचाई (लंब) = (x – 7) cm
और समकोण त्रिभुज का कर्ण = 13 cm ……(दिया है)
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,
(आधार)² + (लंब)² = (कर्ण)²
(x)² + (x – 7)² = (13)².
या x² + x² + 49 – 14x = 169
या 2x² – 14x + 49 – 169 = 0
या 2x² – 14x – 120 = 0
या 2 [x² – 7x – 60] = 0
या x² – 7x – 60 = 0
या x² – 12x + 5x – 60 = 0
S = – 7, P = – 60
या x (x – 12) + 5 (x – 12) = 0
या (x – 12) (x + 5) = 0
अर्थात् x – 12 = 0 या x + 5 = 0
x = 12 या x = – 5
∵ त्रिभुज की लंबाई कभी ऋणात्मक नहीं हो सकती। इसलिए हम x = – 5 को छोड़ देते हैं।
∴ x = 12
अतः, समकोण त्रिभुज का आधार = 12 cm
समकोण त्रिभुज की ऊँचाई (लंब) = (12 – 7) cm = 5 cm

प्रश्न 6.
एक कुटीर उद्योग एक दिन में कुछ बर्तनों का निर्माण करता है। एक विशेष दिन यह देखा गया कि प्रत्येक नग की निर्माण लागत (रुपयों में) उस दिन के निर्माण किए बर्तनों की संख्या के दुगुने से 3 अधिक थी। यदि उस दिन की कुल निर्माण लागत ₹ 90 थी, तो निर्मित बर्तनों की संख्या और प्रत्येक नग की लागत ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए एक दिन में उद्योग द्वारा निर्मित बिर्तनों की संख्या = x प्
रत्येक नग की निर्माण लागत = ₹ (2x + 3)
∴ एक विशेष दिन की कुल निर्माण = ₹ [x (2x + 3)]
= ₹ (2x² + 3x)
प्रश्न अनुसार,
2x² + 3x = 90
S = 3, P = 2 × – 90 = – 180
या 2x² + 3x – 90 = 0
या 2x² – 12x + 15x – 90 = 0
या 2x (x – 6) + 15 (x – 6) = 0
या (x – 6) (2x + 15) = 0
अर्थात् – 6 = 0 या 2x + 15 = 0
x = 6 या x = – \(\frac{15}{2}\)
∵ नगों की संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती। इसलिए हम x = – \(\frac{15}{2}\) को छोड़ देते हैं। |
∴ x = 6
∴ अतः विशेष दिन निर्मित नगों की संख्या = 6
और प्रत्येक नग की निर्माण लागत = ₹ [2 × 6 + 3] = ₹ 15