PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.3

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.3 Textbook Exercise Questions and Answers

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.3

प्रश्न 1.
यदि निम्नलिखित द्विघात समीकरणों के मूलों का अस्तित्व हो, तो इन्हें पूर्ण वर्ग बनाने की विधि द्वारा ज्ञात कीजिए :
(i) 2x² – 7x + 3 = 0
(ii) 2x² + x – 4 = 0
(iii) 4x² + 4√3x + 3 = 0
(iv) 2x² + x + 4 = 0
हल :
(i) दी गई द्विघात समीकरण है
2x² – 7x + 3 = 0
या 2x² – 7x = – 3

स्थिति I:
x – \(\frac{7}{4}\) = \(\frac{5}{4}\)

x = \(\frac{5}{4}+\frac{7}{4}=\frac{5+7}{4}\)

x = \(\frac{12}{4}\) = 3

स्थिति II:

जब x – \(\frac{7}{4}\) = – \(\frac{5}{4}\)

या x = \(\frac{-5}{4}+\frac{7}{4}=\frac{-5+7}{4}\)

या x = \(\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)

अतः, दी गई द्विघात समीकरण के मूल है

(ii) दी गई द्विघात समीकरण है
2x² + x – 4 = 0
या 2x² + x = 4
या x² + \(\frac{1}{2}\) x = \(\frac{4}{2}\)

स्थिति I.
जब x + \(\frac{1}{4}\) = \(\frac{\sqrt{33}}{4}\)

x = \(\frac{\sqrt{33}}{4}-\frac{1}{4}\)

x = \(\frac{\sqrt{33}-1}{4}\)

स्थिति II.
जब x + \(\frac{1}{4}\) = – \(\frac{\sqrt{33}}{4}\)

या x = \(-\frac{\sqrt{33}}{4}-\frac{1}{4}\)

या x = \(\frac{-\sqrt{33}-1}{4}\)
अतः, दी गई द्विघात समीकरण के मूल हैं : \(\frac{-1+\sqrt{33}}{4}\) और \(\frac{-1-\sqrt{33}}{4}\).

(iii) दी गई द्विघात समीकरण है :
4x² + 4√3x + 3 = 0
या 4x² + 4√3x = – 3
या x² + \(\frac{4 \sqrt{3}}{4} x=\frac{-3}{4}\)

या x² + √3x = \(\frac{-3}{4}\)

या x = \(\)

अतः दी गई समीकरण के मूल \(\) और \(\) हैं।

(iv) दी गई द्विघात समीकरण है :
2x² + x + 4 = 0
या 2x² + x = – 4
या x² + (\(\frac{1}{2}\)) x = – \(\frac{4}{2}\)
या \(x^{2}+\frac{1}{2} x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=-2+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}\)

या \(\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=-2+\frac{1}{16}\)

या \(\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{-32+1}{16}\)

या \(\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{-31}{16}\) < 0

∵ किसी संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता।
इसलिए, (x + \(\frac{4}{4}\))², के किसी भी वास्तविक मान के लिए ऋणात्मक नहीं हो सकता।
∴ यहाँ x का कोई भी वास्तविक मान नहीं है जो दी गई द्विघात समीकरण को संतुष्ट करता हो।
अतः, दिए गए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं।

प्रश्न 2.
उपर्युक्त प्रश्न 1 में दिए गए द्विघात समीकरणों के मूल, द्विघाती सूत्र का उपयोग करके ज्ञात कीजिए।
हल :
(i) दी गई द्विघात समीकरण है :
2x² – 7x + 3 = 0
इसकी ax² + bx + c = 0 से तुलना करने पर,
∴ a = 2, b = – 7, c = 3
अब, b² – 4ac
= (- 7)² – 4 × 2 × 3
= 49 – 24 = 25 > 0

अतः, 3 और \(\frac{1}{2}\) दी गई द्विघात समीकरण के मूल हैं।

(ii) दी गई द्विघात समीकरण है :
2x² + x – 4 = 0
इसकी तुलना ax² + bx + c = 0 से करने पर,
∴ a = 1, b = 1, c = – 4
अब, b² – 4ac = (1)² – 4 × 2 × (- 4)
= 1 + 32
= 33 > 0

अतः, \(\frac{-1+\sqrt{33}}{4}\) और \(\frac{-1-\sqrt{33}}{4}\)दी गई द्विघात समीकरण के मूल हैं।

(iii) दी गई द्विघात समीकरण है :
4x² + 4√ 3 + 3 = 0
इसकी तुलना ax² + bx + c = 0 से करने पर,
∴ a = 4, b = 4√ 3, c = 3
अब, b² – 4ac = (4√ 3) – 4 × 4 × 3
= 48 – 48 = 0

अतः, – \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) और – \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) दी गई द्विघात समीकरण के मूल हैं।

(iv) दी गई द्विघात समीकरण है : .
2x² + x + 4 = 0
इसकी तुलना ax² + bx + c = 0 से करने पर,
∴ a = 2, b = 1, c = 4
अब, b² – 4ac
= (1)² – 4 × 2 × 4
= 1 – 32
= – 31 < 0
परंतु x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)
क्योंकि एक वास्तविक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता। इसलिए x का कोई वास्तविक मान नहीं होगा। अतः दिए गए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं।

उपरोक्त दो प्रश्नों में, हमने द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करने के लिए दोनों विधियों का प्रयोग किया है। हम देखते हैं कि द्विघात सूत्र का प्रयोग, पूर्ण वर्ग बनाने की विधि की अपेक्षा अधिक आसान है।

प्रश्न 3.
निम्न समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए :
x – \(\frac{1}{x}\) = 3, x ≠ 0
(ii) \(\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x-7}=\frac{11}{30}\), x ≠ – 4, 7
हल :
(i) दी गई समीकरण हैं :
x – \(\frac{1}{x}\) = 3

या \(\frac{x^{2}-1}{x}\) = 3

या x² – 1 = 3x
या x² – 3x – 1 = 0
इसकी तुलना ax² + bx + c = 0 से करने पर,
∴ a = 1, b = – 3, c = – 1
अब, b² – 4ac = (- 3)² – 4. 1. (- 1)
= 9 + 4 = 13 > 0

अत:, \(\frac{3+\sqrt{13}}{2}\) और \(\frac{3-\sqrt{13}}{2}\) दी गई द्विघात समीकरण के मूल हैं।

(ii) दी गई समीकरण है :

\(\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x-7}=\frac{11}{30}\)

या \(\frac{(x-7)-(x+4)}{(x+4)(x-7)}=\frac{11}{30}\)

या \(\frac{\not x-7-\not x-4}{x^{2}-7 x+4 x-28}=\frac{11}{30}\)

या \(\frac{-11}{x^{2}-3 x-28}=\frac{11}{30}\)

या – 11 x 30 = 11 (x² – 3x – 28)
– 30 = x² – 3x – 28
या x² – 3x – 28 + 30 = 0
या x² – 3x + 2 = 0
इसकी तुलना ax² + bx + c = 0 से करने पर :
∴ a = 1, b = – 3, c = 2
अब, b² – 4ac = (- 3)² – 4 × 1 × 2
= 9 – 8 = 1 > 0
∴ x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

= \(\frac{-(-3) \pm \sqrt{1}}{2 \times 1}=\frac{3 \pm 1}{2}\)

= \(\frac{3+1}{2}\) और \(\frac{3-1}{2}\)

= \(\frac{4}{2}\) और \(\frac{2}{2}\)
= 2 और 1
अतः, 2 और 1 दी गई द्विघात समीकरण के मूल हैं।

प्रश्न 4.
3 वर्ष पूर्व रहमान की आयु (वर्षों में) का व्युत्क्रम और अब से 5 वर्ष पश्चात् आयु के व्युत्क्रम का योग है। उसकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए रहमान की वर्तमान आयु = x वर्ष
3 वर्ष पूर्व रहमान की आयु = (x – 3) वर्ष
अब से 5 वर्ष पश्चात् रहमान की आयु = (x+5) वर्ष
प्रश्न अनुसार
\(\frac{1}{x-3}+\frac{1}{x+5}=\frac{1}{3}\)

या \(\frac{x+5+x-3}{(x-3)(x+5)}=\frac{1}{3}\)

या \(\frac{2 x+2}{x^{2}+5 x-3 x-15}=\frac{1}{3}\)

या \(\frac{2 x+2}{x^{2}+2 x-15}=\frac{1}{3}\)

या 6x + 6 = x² + 2x – 15
या x² + 2x – 15 – 6x -6 = 0
या x² – 4x – 21 = 0,
जोकि x में द्विघात है।
इसलिए इसकी तुलना ax² + bx + c = 0 से करने पर,
a = 1, b = – 4, c = – 21
अब, b² – 4ac = (- 4)² – 4 × 1 × (- 21)
= 16 + 84
= 100 > 0

∴ आयु ऋणात्मक नहीं हो सकती। इसलिए हम x = – 3 को छोड़ देते हैं।
∴ x = 7
अतः, रहमान की वर्तमान आयु = 7 वर्ष।

प्रश्न 5.
एक क्लास टेस्ट में शेफाली के गणित और अंग्रेजी में प्राप्त किए गए अंकों का योग 30 है। यदि उसको गणित में 2 अंक अधिक और अंग्रेजी में 3 अंक कम मिले होते, तो उनके अंकों का गुणनफल 210 होता। उसके द्वारा दोनों विषयों में प्राप्त किए अंक ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए शेफाली के गणित में प्राप्त अंक = x
∴ शेफाली के अंग्रेजी में अंक = 30 – x
पहली शर्त के अनुसार,
शेफाली के गणित में अंक = x + 2
और शेफाली के अंग्रेजी में अंक द्विघात है। = 30 – x – 3
= 27 – x
उनका गुणनफल= (x + 2) (27 – x)
= 27x – x² + 54 – 2x
= – x² + 25x + 54
प्रश्न की दूसरी शर्त अनुसार,
– x² + 25x + 54 = 210
या – x² + 25x + 54 – 210 = 0
या – x² + 25x – 156 = 0
या x² – 25x + 156 = 0 .
इसकी तुलना ax² + bx + c = 0 से करने पर,
∴ a = 1, b = – 25, c = 156
अब, b² – 4ac = (- 25)² – 4 × 1 × 156
= 625 – 624
= 1 > 0

स्थिति I.
जब x = 13
तब शेफाली के गणित में अंक = 13
शेफाली के अंग्रेज़ी में अंक = 30 – 13 = 17

स्थिति II.
जब x = 12
तब शेफाली के गणित में अंक = 12
शेफाली के अंग्रेज़ी में अंक = 30 – 12 = 18
अतः, शेफाली के दो विषयों में अंक हैं : 13 और 17 या 12 और 18.

प्रश्न 6.
एक आयताकार खेत का विकर्ण उसकी छोटी भुजा से 60 मी अधिक लंबा है। यदि बड़ी भुजा छोटी भुजा से 30 मी अधिक हो, तो खेत की भुजाएँ ज्ञात कीजिए।
हल :

मान लीजिए आयताकर खेत की छोटी भुजा = AD = x m
आयताकार खेत की लंबी भुजा = AB = (x + 30) m
और आयताकार खेत का विकर्ण = DB = (x + 60) m
एक आयत में लंबाई और चौड़ाई के बीच का कोण समकोण होता है।
∴ ∠DAB = 90°
अब समकोण त्रिभुज DAB में, पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करने पर,
(DB)² = (AD)² + (AB)²
(x + 60)² = (x)² + (x + 30)²
या x² + 3600 + 120x = x² + x² + 900 + 60x
या x² + 3600 + 120x – 2x² – 900 – 60x = 0
– x² + 60x + 2700 = 0
x² – 60x – 2700 = 0
इसकी तुलना ax² + bx + c = 0 से करने पर,
∴ a = 1, b = – 60, c = – 2700 और
b² – 4ac = (- 60)² – 4 . 1 . (- 2700)
= 3600 + 10800
= 14400 > 0

∵ किसी भी भुजा की लंबाई ऋणात्मक नहीं होती।
इसलिए हम x = – 30 को छोड़ देते हैं।
∴ x = 90
अतः आयताकार खेत की सबसे छोटी भुजा = 90 m
आयताकार खेत की सबसे लंबी भुजा = (90 + 30) m
= 120 m

प्रश्न 7.
दो संख्याओं के वर्गों का अंतर 180 है। छोटी संख्या का वर्ग बड़ी संख्या का आठ गुना है। दोनों संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए बड़ी संख्या =x
छोटी संख्या = y
प्रश्न की पहली शर्त अनुसार,
x² – y² = 180 ………….(1)
प्रश्न की दूसरी शर्त अनुसार
y² = 8x …………..(2)
(1) और (2) से हम प्राप्त करते हैं,
x² – 8x = 180
या x² – 8x – 180 = 0.
इसकी तुलना ax² + bx + c = 0 से करने पर,
a = 1, b = – 8, c = – 180
और b² – 4ac = (- 8)² – 4 × 1 × (- 180)
= 64 + 720
= 784 > 0

जब x = – 10 तो, (2) से y²= 8 (- 10) = – 80, जोकि संभव नहीं है।
इसलिए हम x = – 10 को छोड़ देते हैं।
जब x = 18, तो (2) से,
y² = 8 (18) = 144
या y = ± √144
या y = ± 12
अतः अभीष्ट संख्याएं 18 और 12 या 18 और – 12 हैं।

प्रश्न 8.
एक रेलगाड़ी एक समान चाल से 360 km की | दूरी तय करती है। यदि यह चाल 5 km/h अधिक होती, तो वह उसी यात्रा में 1 घंटा कम समय लेती।। रेलगाड़ी की चाल ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए रेलगाड़ी की समान चाल = x km/h
रेलगाड़ी द्वारा तय की गई दूरी = 360 km

रेलगाड़ी द्वारा लिया गया समय = दूरी / चाल (∵ चाल = दूरी / समय )
= \(\frac{360}{x}\) घंटे
रेलगाड़ी की बड़ी हुई चाल = (x + 5) km/hour
∴ बढ़ी हुई चाल से रेलगाड़ी द्वारा लिया गया समय = \(\frac{360}{x+5}\) घंटे
प्रश्न अनुसार,
\(\frac{360}{x}\) – \(\frac{360}{x+5}\) = 1

या \(\frac{360(x+5)-360 x}{x(x+5)}\) = 1

या \(\frac{360 x+1800-360 x}{x^{2}+5 x}\) = 1
या 1800 = x² + 5x
या x² + 5x – 1800 = 0
इसकी तुलना ax² + bx + c = 0 से करने पर, :
a = 1, b = 5, c = – 1800
और b² – 4ac = (5)² – 4 × 1 × (- 1800)
= 25 + 7200
= 7225 >0
∴ x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

= \(\frac{-5 \pm \sqrt{7225}}{2 \times 1}\)

= \(\frac{-5+85}{2}\) और \(\frac{-5-85}{2}\)

= \(\frac{80}{2\) और \(\frac{-90}{2\)

= 40 और – 45

∴ किसी रेलगाड़ी की चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती।
इसलिए हम x = — 45 को छोड़ देते हैं।
∴ x = 40
अतः रेलगाड़ी की चाल = 40 km/hour

प्रश्न 9.
दो पानी के नल एक-साथ एक हौज घंटों में भर सकते हैं। बड़े व्यास वाला नल हौज को भरने में, कम व्यास वाले नल से 10 घंटे कम समय लेता है। प्रत्येक द्वारा अलग से हौज को भरने के समय ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए बड़े व्यास वाले नल द्वारा हौज को भरने में लिया समय = x
घंटे छोटे नल द्वारा हौज भरने में लिया समय = (x + 10) घंटे
एक घंटे की स्थिति में,
बड़ा नल हौज भर सकता है = \(\frac{1}{x}\)
छोटा नल हौज भर सकता है = \(\frac{1}{x+10}\)
∴ बड़ा और छोटा दोनों नल हौज को भरते हैं = \(\frac{1}{x}\) + \(\frac{1}{x+10}\) ……………..(1)
परंतु दोनों नल एक साथ हौज भरने में समय लेते हैं = 9\(\frac{3}{8}\) घंटे
= \(\frac{75}{8}\) घंटे
अब, दोनों नल एक साथ एक घंटे में हौज भर सकते हैं = \(\frac{8}{75}\) घंटे ……………(2)
(1) और (2) से हम प्राप्त करते हैं,
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+10}=\frac{8}{75}\)

या \(\frac{x+10+x}{x(x+10)}=\frac{8}{75}\)

या \(\frac{2 x+10}{x^{2}+10 x}=\frac{8}{75}\)

या 75 (2x + 10) = 8 (x² + 10x)
या 150x + 750 = 8x² + 80x
या 8x² + 80x – 150x – 750 = 0
या 8x² – 70x – 750 = 0
या 4x² – 35x – 375 = 0
इसकी तुलना ax² + bx + c = 0 से करने पर, ..
∴ a = 4, b = – 35, c = – 375
और b² – 4ac = (- 35)² – 4 × 4 × (- 375)
= 1225 + 6000
= 7225 > 0

∵ समय ऋणात्मक नहीं हो सकता। इसलिए, हम x = – \(\frac{25}{4}\) छोड़ देते हैं :
∴ x = 15
अतः बड़े नल द्वारा हौज भरने का समय = 15 घंटे
और छोटे नल द्वारा हौज भरने का समय = (15 + 10) घंटे = 25 घंटे

प्रश्न 10.
मैसूर और बैंगलोर के बीच के 132 km यात्रा करने में एक एक्सप्रेस रेलगाड़ी, सवारी गाड़ी से 1 घंटा समय कम लेती है (मध्य के स्टेशनों पर ठहरने का समय ध्यान में न लिया जाएं)। यदि एक्सप्रेस रेलगाडी की औसत चाल, सवारी गाड़ी की औसत चाल से 11 km/h अधिक हो, तो दोनों रेलगाड़ियों की औसत चाल ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए सवारी गाड़ी का औसत चाल = x km/hour
एक्सप्रेस रेलगाड़ी की औसत चाल = (x + 11) km/hour
मैसूर और बैंगलोर के बीच की दूरी = 132 km
सवारी गाड़ी द्वारा लिया गया समय = \(\frac{132}{x}\) घंटे
[∵ चाल = दूरी / समय]
एक्सप्रेस रेलगाड़ी द्वारा लिया गया समय = \(\frac{132}{x+11}\) घटे
प्रश्न अनुसार,
\(\frac{132}{x}-\frac{132}{x+11}=1\)

या \(\frac{132(x+11)-132 x}{x(x+11)}=1\)

या \(\frac{132 x+1452-132 x}{x^{2}+11 x}=1\)

या 1452 = x² + 11

या x² + 11x – 1452 = 0

इसकी तुलना ax² + bx + c = 0 से करने पर,
∴ a = 1, b = 11, c = – 1452
और b² – 4ac = (11)² – 4 × 1 × (- 1452)
= 121 + 5808
= 5929 > 0

∵ रेलगाड़ी की चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती
∴ x = 33
अतः, सवारी गाड़ी की औसत चाल = 33 km/hour
और एक्सप्रेस रेलगाड़ी की औसत चाल = (33 + 11) km/hour
= 44 km/hour

प्रश्न 11.
दो वर्गों के क्षेत्रफलों का योग 468 m है। यदि उनके परिमापों का अंतर 24 m हो, तो दोनों वर्गों की भुजाएँ ज्ञात कीजिए।
हल :
पहले बड़े वर्ग की स्थिति में मान लीजिए वर्ग की प्रत्येक भुजा की लंबाई = x m
वर्ग का क्षेत्रफल = x² m²
वर्ग का परिमाप = 4x m
छोटे वर्ग की स्थिति में
मान लीजिए वर्ग की प्रत्येक भुजा की लंबाई = y m
वर्ग का क्षेत्रफल = y² m²
वर्ग का परिणाप = 4y m
पहली की पहली शर्त के अनुसार,
x² + y² = 468 …………..(1)
दूसरी शर्त के अनुसार,
4x – 4y = 24
या 4 (x – y) = 24
या x – y = 6
या x = 6 + y ………….(2)
(1) और (2) से हम प्राप्त करते हैं,
(6 + y)² + y² = 468
या 36 + y² + 12y + y² = 468
या 2y² + 12y + 36 – 468 = 0
या 2y² + 12y – 432 = 0
या y² + 6y – 216 = 0
इसकी तुलना ay² + by + c = 0 से करने पर,
∴ a = 1, b = 6, c = – 216
और b² – 4ac = (6)² – 4 × 1 × (- 216)
= 36 + 864
= 900 > 0

∵ वर्ग की भुजा की लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती।
इसलिए हम y = – 18 को छोड़ देते हैं।