PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.1

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.1 Textbook Exercise Questions and Answers

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित स्थितियों में से किन स्थितियों में संबद्ध संख्याओं की सूची A.P. है और क्यों ?
(i) प्रत्येक किलो मीटर के बाद का टैक्सी का किराया जबकि प्रथम किलो मीटर के लिए किराया ₹ 15 है और प्रत्येक अतिरिक्त किलोमीटर के लिए किराया ₹ 8 है।

(ii) किसी बेलन (cylinder) में उपस्थित हवा की मात्रा, जबकि वायु निकालने वाला पंप प्रत्येक बार बेलन की शेष हवा का \(\frac{1}{4}\) भाग बाहर निकाल देता है।

(iii) प्रत्येक मीटर की खुदाई के बाद, एक कुआँ खोदने में आई लागत, जबकि प्रथम मीटर खुदाई की लागत ₹ 150 है और बाद में प्रत्येक मीटर की खुदाई की लागत ₹ 50 बढ़ती जाती है।

(iv) खाते में प्रत्येक वर्षका मिश्रधन,जबकि ₹ 10000 की राशि8%वार्षिक की दर से चक्रवृद्धि ब्याज पर जमा की जाती है।
हल :
(i) मान लीजिए टैक्सी का n वें कि मी का किराया T_n से व्यक्त किया जाता है।
प्रश्न के अनुसार,
T₁ = 15 km ; T₂ = 15 + 8 = 23 ;
T₃ = 23 + 8 = 31 ……….
अब, T₃ – T₂ = 31 – 23 = 8
T₂ – T₁ = 23 – 15 = 8
यहाँ T₃ – T₂ = T₂ – T₁ = 8
∴ दी गई स्थिति A.P. के रूप की है।

(ii) मान लीजिए एक बेलन में उपस्थित हवा की मात्रा को T_n से व्यक्त करते हैं।
प्रश्न के अनुसार,

यहाँ T₃ – T₂ ≠ T₂ – T₁
∴ दी गई स्थिति A.P. का रूप नहीं है

(iii) मान लीजिए एक कुआँ खोदने के nवें मीटर की लागत को T_n से व्यक्त करते हैं। प्रश्न के अनुसार,
T₁ = ₹ 150
T₂ = ₹ (150 +50) = ₹ 200
T₃ = ₹ (200 + 50) = ₹ 250
और आगे भी अब T₃ – T₂ = ₹ (250 – 200) = ₹ 50
T₂ – T₁ = ₹ (200 – 150) = ₹ 50
यहाँ T₃ – T₂ = T₂ – T₁ = 50
∴ दी गई स्थिति A.P. का ही रूप है।

(iv) मान लीजिए nवें वर्ष के मिश्रधन को T_n से व्यक्त किया जाता है। प्रश्न के अनुसार,
T₁ = ₹ 10,000

T₂ = ₹ 10,000 + ₹ \(\left[\frac{10,000 \times 8 \times 1}{100}\right]\)
= ₹ 10,000 + 800 = ₹ 10,800
T3 = ₹ 10,800 + \(\left[\frac{10,000 \times 8 \times 1}{100}\right]\)
= ₹ 10,800 + 864
= 11,640 रु और इसी तरह आगे भी
अब T₃ – T₂ = ₹ (11,640 – 10,800) = ₹ 840
T – T = ₹ (10,800 – 10,000) = ₹ 800
यहाँ T₃ – T₂ # T₂ – T₁
∴ दी गई स्थिति A.P. के रूप की नहीं है।

प्रश्न 2.
दी हुई A.P. के प्रथम चार पद लिखिए, जबकि प्रथम पद और सार्व अंतर d निम्नलिखित हैं:
(i) a = 10, d= 10
(ii) a = – 2, d = 0
(iii) a = 4, d = – 3
(iv) a = – 1, d = 7
(iv) a = – 1.25, d = -0.25
हल :
(i) दिया है कि प्रथम पद = a = 10
और सार्व अंतर = d = 10
∴ T₁ = a = 10;
T₂ = a + d
= 10+ 10 = 20;
T₃ = a + 2d = 10 + 2 × 10
= 10 + 20 = 30;
T₄ = a + 3d = 10 + 3 × 10
= 10 + 30 = 40
अतः, A.P. के प्रथम चार पद हैं : 10, 20, 30, 40………

(ii) दिया है कि प्रथम पद = a = – 2
और सार्व अंतर = d = 0
∴ T₁ = a = – 2;
T₂ = a + d = – 2 + 0 = – 2
T₃ = a + 2d = – 2 + 2 × 0 = – 2
T = a + 3d
= – 2 + 3 × 0 = – 2
अतः, A.P. के प्रथम चार पद हैं : – 2, – 2, – 2, – 2,…………

(iii) दिया है कि प्रथम पद = a = 4
और सार्व अंतर = d = – 3
∴ T₁ = a = 4 ;
T₂ = a + d
= 4 – 3 = 1
T₃ = a + 2d
= 4 + 2 (- 3) = 4 – 6 = – 2
T₄ = a + 3d
= 4 + 3 (- 3) = 4 – 9 = – 5
अतः, A.P. के प्रथम चार पद हैं :
4, 1, – 2, – 5,………..

(iv) दिया है कि प्रथम पद = a = – 1
और सार्व अंतर = d = \(\frac{1}{2}\)
∴ T₁ = a = – 1;
T₂ = a + d
= – 1 + \(\frac{1}{2}\) = – \(\frac{1}{2}\)
T₃ = a + 2d
= – 1 + 2(\(\frac{1}{2}\))
= – 1 + 1 = 0
T₄ = a + 3d
= – 1 + 3 (\(\frac{1}{2}\))
= \(\frac{-2+3}{2}=\frac{1}{2}\).
अतः, A.P. के प्रथम चार पद हैं :
– 1, – \(\frac{1}{2}\), 0, \(\frac{1}{2}\), ……………..

(v) दिया है कि प्रथम पद = a = – 1.25
और सार्व अंतर = d = – 0.25
∴ T₁ = a = – 1.25;
T₂ = a +d = – 1.25 – 0.25 = – 1.50
T₃ = a+2d = – 1.25 + 2 (- 0.25)
= – 1.25 – 0.50 = – 1.75
T₄ = a + 3d = – 1.25 + 3 (- 0.25)
= – 1.25 – 0.75 = – 2
अतः, A.P. के प्रथम चार पद हैं :
– 1.25, – 1.50, – 1.75, – 2,

प्रश्न 3.
निम्नलिखित में से प्रत्येक A.P.के लिए प्रथम पद तथा सार्व अंतर लिखिए :
(i) 3, 1, – 1, – 3, ………
(ii) – 5, – 1, 3, 7, ………..
(iii) \(\frac{1}{3}, \frac{5}{3}, \frac{9}{3}, \frac{13}{3}, \ldots\)
(iv) 0.6, 1.7, 2.8, 3.9, ……….
हल :
(i) दी गई A.P, है : 3, 1, – 1, – 3, …………..
यहाँ T₁ = 3, T₂ = 1;
T₃ = – 1, T₄ = – 3, ………
प्रथम पद = T₁ = 3
अब, T₂ – T₁ = 1 – 3 = – 2
T₃ – T₂ = – 1 – 1 = – 2
T₄ – T₃ = – 3 + 1 = – 2
∴ T₂ – T₂ = T₃ – T₂ = T₄ – T₃ = – 2
अतः, सार्व अंतर = – 2 और प्रथम पद = 3

(ii) दी गई A.P. है : – 5, – 1, 3, 7, …
T₁ = – 5,
T₂ = -1,
T₃ = 3,
T₄ = 7
प्रथम पद = T₁ = 5
अब,
T₂ – T₁ = – 1 + 5 = 4
T₃ – T₂ = 3 + 1 = 4
T₄ – T₃ = 7 – 3 = 4
T₂ – T₁ = T₃ – T₂ = T₄ – T₃ = 4
अतः, सार्व अंतर = 4
और प्रथम पद = – 5

(iii) दी गई A.P. है \(\frac{1}{3}, \frac{5}{3}, \frac{9}{3}, \frac{13}{3}, \ldots\)
यहाँ T₁ = \(\frac{1}{3}\)

T₂ = \(\frac{5}{3}\)

T₃ = \(\frac{9}{3}\)

T₄ = \(\frac{15}{3}\)

प्रथम पद = T₁ = \(\frac{1}{3}\)
अब T₂ – T₁ = \(\frac{5}{3}-\frac{1}{3}=\frac{5-1}{3}=\frac{4}{3}\)

T₃ – T₂ = \(\frac{9}{3}-\frac{5}{3}=\frac{9-5}{3}=\frac{4}{3}\)

T₄ – T₃ = \(\frac{13}{3}-\frac{9}{3}=\frac{13-9}{3}=\frac{4}{3}\)

∴ T₂ – T₁ = T₃ – T₂ = T₄ – T₂ = \(\frac{4}{3}\)
अतः, सार्व अंतर = \(\frac{4}{3}\) और प्रथम पद = \(\frac{1}{3}\)

(iv) दी गई A.P. है 0.6, 1.7, 2.8, 3.9, ………….
यहाँ T₁ = 0.6, T₂ = 1.7,
T₃ = 2.8, T₄ = 3.9
प्रथम पद = T₁ = 0.6
अब, T₂ – T₁ = 1.7 – 0.6 = 1.1
T₃ – T₂ = 2.8 – 1.7 = 1.1
T₄ – T₃ = 3.9 – 2.8 = 1.1
अतः, सार्व अंतर = 1.1 और प्रथम पद = 0.6

प्रश्न 4.
निम्नलिखित में से कौन-कौन सी A.P. है ? यदि कोई A.P है, तो इसका सार्व अंतर ज्ञात कीजिए और इनके तीन और पद लिखिए :
(i) 2, 4, 8, 16
(ii) 2, \(\frac{5}{2}\), 3, \(\frac{7}{2}\), ………..
(iii) – 1.2, – 3.2, – 5.2, – 7.2 , …….
(iv) – 10, -6, – 2, 2,………
(v) 3, 3+ 2, 3 + 202,3+ 3/2,………..
(vi) 0.2, 0.22, 0.222, 0.2222, ………
(vii) 0, – 4, – 8, – 12, ………….
(viii) – \(\frac{1}{2}\), – \(\frac{1}{2}\), – \(\frac{1}{2}\), – \(\frac{1}{2}\), ……….
(ix) 1, 3, 9, 27, ……………
(x) a, 2a, 3a, 4a, …………….
(xi) a, a², a³, a⁴, …………….
(xii) √2, √8, √18, √32, …………
(xiii) 13, 16, 19, 112, …………..
(xiv) 12, 32, 52, 72, ………….
(xv) 12, 32, 72, 73, …………..
हल :
(i) दिए गए पद हैं : 2, 4, 8, 16 ………
यहाँ T₁ = 2, T₂ = 4, T₃ = 8, T₄ = 16
T₂ – T₁ = 4 – 2 = 2
T₃ – T₂ = 8 – 4 = 4
∵ T₂ – T₂ ≠ T₃ – T₂
अत:, दी गई संख्याओं की सूची एक A.P. नहीं है।

(ii) दिए गए पद हैं : 2, \(\frac{5}{2}\), 3, \(\frac{7}{2}\), ……….
यहाँ T₁ = 2, T₂ = \(\frac{5}{2}\) = T₃ = 3, T₄ = \(\frac{7}{2}\)
T₂ – T₁ = \(\frac{5}{2}\) – 2
= \(\frac{5-4}{2}=\frac{1}{2}\)

T₃ – T₂ = 3 – \(\frac{5}{2}\)
= \(\frac{6-5}{2}=\frac{1}{2}\)

T₄ – T₃ = \(\frac{7}{2}\) – 3
= \(\frac{7-6}{2}=\frac{1}{2}\)

∵ T₂ – T₁ = T₃ – T₂ = T₄ – T₃
∴ सार्व अंतर = d = \(\frac{1}{2}\)
अब, T₅ = a + 4d
= 2 + 4 (\(\frac{1}{2}\)) = 4

T₆ = a + 5d
= 2 + 5 (\(\frac{4}{4}\))
= \(\frac{4+5}{2}=\frac{9}{2}\)

T₇ = a + 6d
= 2 + 6 (\(\frac{4}{4}\))
= 2 + 3 = 5

(iii) दिए गए पद हैं : – 1.2, – 3.2, -5.2, -7.2, …
यहाँ T₁ = – 1.2, T₂ = – 3.2,
T₃ = -5.2, T₄ = -7.2
T₂ – T₁ = — 3.2 + 1.2 = -2
T₃ – T₂ = – 5.2 + 3.2 = – 2
T₄ – T₃ = – 7.2 + 5.2 = -2
T₂ – T₁ = T₃ – T₂ = T₄ – T₃ = – 2.
सार्व अंतर = d = -2
अब, T₅ = a + 4d
= – 1.2 + 4 (- 2)
= – 1.2 – 8 = – 9.2

T₆ = a + 5d
= – 1.2 + 5 (- 2)
= – 1.2 – 10 = – 11.2

T₇ = a + 6d
= – 1.2 + 6 (- 2)
= – 1.2 – 12 = – 13.2

(iv) दिए गए पद हैं :- 10, – 6, – 2, 2,
यहाँ T₁ = – 10, T₂ = – 6,
T₃ = – 2, T₄ = 2
T₂ – T₁ = – 6 + 10 = 4
T₃ – T₂x x = – 2 + 6 =4
T₄ – T₃ = 2 + 2 = 4
∵ T₂ – T₁ = T₃ – T₂ = T₄ – T₃ = 4
∴ सार्व अंतर = d = 4
अब, T₅ = a + 4d
= – 10 + 4 (4)
= 10 + 16 = 6
T₆ = a + 5d
= 10 + 5 (4)
= 10 + 20 = 10
T₇ = a + 6d
= – 10 + 6(4)
= – 10 + 24 = 14

(v) दिए गए पद हैं : 3, 3 + √2, 3 + 2√2 , 3 + 3√2, ………….
यहाँ T₁ = 3, T₂ = 3 + √2,
T₃ = 3 + 2√2, T₄ = 3 + 3√2
T₂ – T₁ = 3 + √2 – 3 = √2
T₃ – T₂ = 3 + 2√2 – (3 + √2)
= 3 + 2√2 – 3 – √2 = √2
T₄ – T₃ = 3 + 3/2 – (3 + 2√2)
= 3 + 3√2 – 3 – 2√2 = √2
∵ T₂ – T₁ = T₃ – T₂ = T₄ – T₃ = √2
∴ सार्व अंतर = d = √2
अब, T₅ = a + 4d = 3 + 4 (√2)
= 3 + 4√2
T₆ = a + 5d = 3 + 5√2
T₇ = a + 6d = 3 + 6√2

(vi) दिए गए पद हैं :
0.2, 0.22, 0.222, 0.2222, ………..
यहाँ, T₁ = 0.2,
T₂ = 0.22,
T₃ = 0.222,
T₄ = 0.2222.
T₂ – T₁ = 0.22 – 0.2 = 0.02
T₃ – T₂ = 0.222 – 0.22 = 0.002
∵ T – T ≠ T – T
∴ दिए गए पद एक A.P. नहीं हैं।

(vii) दिए गए पद हैं : 0, – 4, – 8, – 12, ….
यहाँ T₁ = 0, T₂ = – 4,
T₃ = – 8, T₄ = – 12
T₂ – T₁ = – 4 – 0 = – 4
T₃ – T₂ = – 8 + 4 = – 4
T₄ – T₃ = – 12 + 8 = – 4.
∵ T₂ – T₁ = T₃ – T₂ = T₄ – T₃
सार्व अंतर = d = – 4
अब, T₄ = a + 4d = 0 + 4 (- 4) = – 16
T₅ = a + 5d = 0 + 5 (- 4) = – 20
T₆ = a + 6d = 0 + 6 (- 4) = – 24

(viii) दिए गए पद हैं :- – \(\frac{1}{2}\), – \(\frac{1}{2}\), – \(\frac{1}{2}\), – \(\frac{1}{2}\)
यहाँ T₁ = – \(\frac{1}{2}\),
T₂ = – \(\frac{1}{2}\)
T₃ = – \(\frac{1}{2}\),
T₄ = – \(\frac{1}{2}\)
T₂ – T₁ = – \(\frac{1}{2}\) + \(\frac{1}{2}\) = 0

T₃ – T₂ = – \(\frac{1}{2}\) + \(\frac{1}{2}\) = 0

T₄ – T₃ = – \(\frac{1}{2}\) + \(\frac{1}{2}\) = 0
∴ सार्व अंतर = d = 0
अब, T₅ = T₆ = T₇ = – \(\frac{1}{2}\)
[∵ a = – \(\frac{1}{2}\), d = 0]

(ix) दिए गए पद हैं : 1, 3, 9, 2, 7
T₁ = 1, T₂ = 3, T₃ = 9, T₄ = 27
T₂ – T₁ = 3 – 1 = 2
T₃ – T₂ = 9 – 3 = 6
T₂ – T₁ ≠ T₃ – T₂
∴ दिए गए पद एक A.P. नहीं हैं।

(x) दिए गए पद हैं : a, 2a, 3a, 4a, …
T₁ = a, T₂ = 2a, T₃ = 3a, T₄ = 4a
T₂ – T₁ = 2a – a = a
T₃ – T₂ = 3a – 2a = a
T₄ – T₃ = 4a – 3a = a
∴ T₂ – T₁ = T₃ – T₂ = T₄ – T₃ = a
∴ सार्व अंतर = d = a
अब, T₅ = a + 4d = a + 4 (a) = a + 4a
T₆ = a + 5d = a + 5a
T₇ = a + 6d = a + 6a

(xi) दिए गए पद हैं : a, a², a³, a⁴, ………..
T₁ = a, T₂ = a², T₃ = a³, T₄ = a⁴
T₂ – T₁ = a2-a
T₃ – T₂ = a – a
∵ T₂ – T₁ ≠ T₃ – T₂
∴ दिए गए पद एक A.P. नहीं हैं।

(xii) दिए गए पद हैं : √2, √8, √18, √32, …….
यहाँ T₁ = √2, T₂ = √8,
T₃ = √8, T₄ = √32
या T₁ = √2 , T = √2,
T₃ = 3√2 , T₄ = 4√2
T₂ – T₁ = 2√2 – √2 = √2
T₃ – T₂ = 3√2 – 2√2 = √2
T₄ – T₃ = 4√2 – 3√2 = √2
∵ T – T = T – T = T – T = √2
∴ सार्व अंतर = d = √2
अब, T₅ = a + 4d = √2 + 4√2 = 5√2
T₆ = a + 5d = √2 + 5√2 = 6√2
T₇ = a + 6d = √2 + 6√2 = 7√2.

(xiii) दिए गए पद हैं : √3, √6, √9, √12, ………..
यहाँ T₁ = √3 , T₂ = √6,
T₃ = √9, T₄ = √2
या T₁ = √3, T₂ = √6
T₃ = 3, T₄ = 2√3
T₂ – T₁ = √6 – √3
अतः, T₃ – T₂ = 3 – √6
∴ दिए गए पद एक A.P. नहीं हैं।

(xiv) दिए गए पद हैं: 1², 3², 5², 7² …………..
T₁ = 1², T₂ = 3², T₃ = 5², T₄ = 7²
या T₁ = 1, T₂ = 9, T₃ = 25, T₄ = 49
T₂ – T₁ = 9 – 1 =8
T₃ – T₂ = 25 – 9 = 16
T₂ – T₁ ≠ T₃ – T₂
∴ दिए गए पद एक A.P. नहीं हैं।

(xv) दिए गए पद हैं : 1², 5², 7², 73, ….
T₁ = 1², T₂ = 5², T₃ = 7², T₄ = 73 .
या T₁ = 1, T₂ = 25, T₃ = 49, T₄ = 73
T₂ – T₁ = 25 – 1 = 24
T₃ – T₂ = 49 – 25 = 24
T₄ – T₃ = 73 – 49 = 24
:: T2 – T₁ = T3 – T2 = T4 – T3 = 24
∴ सार्व अंतर = d = 24
T₅ = a + 4d = 1 + 4 (24) = 1 + 96 = 97
T₆ = a + 5d = 1 + 5 (24) = 1 + 120 = 121
T₇ = a + 6d = 1 +6 (24) = 1 + 144 = 145