PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.3

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.3 Textbook Exercise Questions and Answers

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.3

प्रश्न 1.
निम्नलिखित समांतर श्रेढ़ियों का योग ज्ञात कीजिए :
(i) 2, 7, 12, …………. 10 पदों तक।
(ii) – 37, – 33, – 29, …………… 12 पदों तक।
(iii) 0.6, 1.7, 2.8, ………….. 100 पदों तक।
(iv) \(\frac{1}{15}\), \(\frac{1}{12}\), \(\frac{1}{10}\), …………. 11 पदों तक।
हल :
(i) दी गई A.P. है 2, 7, 12, ………….
यहाँ a = 2, d = 7 – 2 = 5. और n = 10
सूत्र S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n -1) d] के प्रयोग से,
∴ S₁₀ = \(\frac{10}{2}\) [2 × 2 + (10 – 1) 5]
= 5 [4 + 15] = 95

(ii) दी गई A.P. है – 37, – 33, – 29 ……………
यहाँ a = – 37, d = – 33 + 37 = 4 और n = 12
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n -1) d] के प्रयोग से,
∴ S₁₂ = \(\frac{12}{2}\) [2 (- 37) + (12 – 1) 4]
= 6 [- 74 + 44]
= – 180

(iii) दी गई A.P. है 0.6, 1.7, 2.8, ……………
यहां a = 0.6, d = 1.7 – 0.6 = 1.1 और n = 100
सूत्र S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n -1) d] के प्रयोग से,
∴ S₁₀₀ = \(\frac{100}{2}\) [2 (0.6) + (100 – 1) 1.1]
= 50 [1.2 + 108.9]
= 5505

(iv) दी गई A.P. है \(\frac{1}{15}\), \(\frac{1}{12}\), \(\frac{1}{10}\), …………. 11
यहाँ a = \(\frac{1}{15}\)

d = \(\frac{1}{12}-\frac{1}{15}=\frac{5-4}{60}\)

d = \(\frac{1}{60}\)
और n = 11
सूत्र S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1) d] के प्रयोग से,

∴ S₁₁ = \(\frac{11}{2}\left[2\left(\frac{1}{15}\right)+(11-1) \frac{1}{60}\right]\)

= \(\frac{11}{2}\left[\frac{2}{15}+\frac{10}{60}\right]=\frac{11}{2}\left[\frac{2}{15}+\frac{1}{6}\right]\)

= \(\frac{11}{2}\left[\frac{4+5}{30}=\frac{9}{30}\right]=\frac{33}{20}\)

प्रश्न 2.
नीचे दिए हुए योगफलों को ज्ञात कीजिए :
(i) 7 + 10 \(\frac{1}{2}\) + 14 + ………….. + 84
(ii) 34 + 32 + 30 + ……………… + 10
(ii) – 5 + (- 8) + (- 11) + ………..+ (- 230)
हल :-
(i) दी गई A.P. है।
7 + 10 \(\frac{1}{2}\) + 14 + ………….. + 84
यहां a = 7,
d = 10 \(\frac{1}{2}\) – 7 = \(\frac{21}{2}\) – 7
= \(\frac{21-14}{2}=\frac{7}{2}\)
और l = T_n = 84
या a + (n – 1) d = 84
या 7 + (n – 1) \(\frac{7}{2}\) = 84
या (n – 1) \(\frac{7}{2}\) = 84 – 7 = 77
या n – 1 = 77 × \(\frac{2}{7}\) = 22
या n = 22 + 1 = 23
अब, S₂₃ = \(\frac{23}{2}\) [7 + 84]
[∵ S_n = \(\frac{n}{2}\) [a + l]]
= \(\frac{23}{2}\) × 91
= \(\frac{2093}{2}\)

(ii) दी गई A.P. है
34 + 32 + 30 + …………….. + 10
यहां a = 34, d = 32 – 34 = – 2 और
l = T_n = 10
a + (n – 1) d = 10
या 34 + (n – 1) (- 2) = 10
या – 2 (n -1) = 10 – 34 = – 24
या n – 1 = \(\frac{24}{2}\) = 12
n = 12 + 1 = 13
S₁₃ = \(\frac{13}{2}\) [34 +10]

[∵ S_n = \(\frac{n}{2}\) [a + l]]

= \(\frac{13}{2}\) × 44

= 13 × 22 = 286

(iii) दी गई A.P. है – 5 + (- 8) + (- 11) + …………. + (- 230)
यहाँ a = – 5, d = – 8 + 5 = – 3
और l = T_n = – 230
a + (n – 1) d = – 230
या – 5 + (n – 1) (- 3) = – 230
या – 3 (n – 1) = – 230 + 5 = – 225
या n – 1 = \(\frac{225}{3}\) = 75
या n = 75 + 1 = 76
अब, S₇₆ = 79 – 5+ (- 230]
[∵ S_n = \(\frac{n}{2}\) [a + l]]
= 38 (- 235)
= – 8930

प्रश्न 3.
एक AP में,
(i) a = 5, d = 3, a_n = 50 दिया है। n और S_n ज्ञात कीजिए।
(ii) a = 7, a₁₃ = 35 दिया है। d और S₁₃ ज्ञात कीजिए।
(iii) a₁₂ = 37, d = 3 दिया है। a और S₁₂ ज्ञात कीजिए।
(iv) a₃ = 15, S₁₀ = 125 दिया है। d और a₁₀ ज्ञात कीजिए।
(v) d = 5, S = 75 दिया है। a और a₉ ज्ञात कीजिए।
(vi) a = 2, d = 8 और S_n = 90 दिया है। n और a_n ज्ञात कीजिए।
(vii) a = 8, a_n = 62 और S_n = 210 दिया है। n और d ज्ञात कीजिए।
(viii) a_n = 4, d = 2 और S_n = – 14 दिया है। n और a ज्ञात कीजिए।
(ix) a = 3, n = 8 और S = 192 दिया है। d ज्ञात कीजिए।
(x) l = 28, S = 144 और कुल 9 पद हैं। a ज्ञात कीजिए।
हल :
(i) दिया है a = 5, d = 3, a_n = 50
∵ a_n = 50
a + (n – 1)d = 50
या 5 + (n – 1) 3 = 50
या 3 (n – 1) = 50 – 5 = 45
या n – 1 = \(\frac{45}{3}\) = 15
या n = 15 + 1 = 16
अब, S_n = \(\frac{n}{2}\) [a + l]

= \(\frac{16}{2}\) [5+ 50]
= 8 × 55 = 440

(ii) दिया है a = 7, a₁₃ = 35
∵ a₁₃ = 35
a + (n – 1)d = 35
7 + (13 -1) d = 35
या 12 d = 35 – 7 = 28
या d = \(\frac{28}{12}=\frac{7}{3}\)

अब, S₁₃ = \(\frac{13}{2}\) [7 + 35]

[∵ S_n = \(\frac{n}{2}\) [a + l]]
= \(\frac{13}{2}\) × 42
= 13 × 21 = 273

(iii) दिया है a_n = 37, d = 3
∵ a₁₂ = 37
a + (n – 1)d = 37
या a + (12 – 1) 3 = 37
a + 37 – 33 = 4
या a = 37 – 33 = 4
अब, S₁₂ = \(\frac{12}{2}\) [4 + 37]

[∵ S_n = \(\frac{n}{2}\) [a + l]]

= 6 × 41 = 246.

(iv) दिया है a₃ = 15, S₁₀ = 125
∵ a₃ = 15
या a + (n – 1) d = 15
या a + (3 -1)d = 15
या a + 2d = 15 ………………(1)
∵ S₁₀ = 125
\(\frac{10}{2}\) [2a + (10 – 1) d] = 125
[∵ S_n = \(\frac{n}{2}\) [a + l]]

या [2a + 9d] = 125
या 2a + 9d = \(\frac{125}{2}\) = 25
या 2a + 9d = 25 ………..(2)
(1) से a = 15 – 2d
a का मान (2), में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :
2(15 – 2d) + 9d = 25
या 30-4d + 9d = 25
5d = 25 – 30
d = \(\frac{-5}{5}\) = – 1
d का मान (3) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :
a = 15 – 2 (- 1)
a = 15 + 2 = 17
अब, a₁₀ = 17 + (10 – 1) (- 1)
[∵ S_n = \(\frac{n}{2}\) [a + l]]
= 17 – 9 = 8

(v) दिया है d = 5, S₉ = 75
∵ S₉ = 75
\(\frac{9}{2}\) [2a + (9 – 1) 5] = 75

[∵ S_n = \(\frac{n}{2}\) [a + l]]

या \(\frac{9}{2}\) [2a + 40] = 75

या 2a + 40 = \(\frac{74 \times 2}{9}=\frac{50}{3}\)

या 2a = \(\frac{50}{3}\) – 40
= \(\frac{50-120}{3}\)

या a = \(-\frac{70}{3} \times \frac{1}{2}\)

या a = – \(\frac{35}{3}\)

a₉ = a + (n – 1) d
= – \(\frac{35}{3}\) + (9 – 1)⁵

= \(\frac{-35}{3}+40=\frac{-35+120}{3}\)

a₉ = \(\frac{85}{3}\)

(vi) दिया है a = 2, d = 8, S_n = 90
∵ S_n = 90
\(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1) d] = 90
या \(\frac{n}{2}\) [2 × 2 + (n – 1) 8] = 90
या n [2 + 4n -4] = 90
या n (4n – 2) = 90
या 4n² – 2n – 90 = 0
या 2n² – n – 45 = 0
या 2n² – 10n + 9n – 45 = 0
S = – 2, P= – 45 × 2 = – 90
या 2n [n – 5] + 9 (n – 5) = 0
या (2n + 9) (n – 5) = 0
अर्थात् 2n + 9 = 0 या n – 5 = 0
या n = – \(\frac{9}{2}\), या n = 5
∵ n ऋणात्मक नहीं हो सकता इसलिए n = – \(\frac{9}{2}\) को छोड़ दीजिए।
∴ n = 5
अब, a_n = a₅ = a + (n – 1)d
= 2 + (5 – 1) 8
= 2 + 32 = 34

(vii) दिया है a = 8, a_n = 62, S_n = 210
∵ S_n = 210
\(\frac{n}{2}\) [a + a_n] = 210

या \(\frac{n}{2}\) [8 + 62] = 210

या \(\frac{n}{2}\) × 76 = 210

या n = \(\frac{210}{35}\) = 6

a_n = 62
8 + (6 – 1) d = 62
∵ T_n = a + (n – 1)d
या 5d = 62 – 8 = 54
या d = \(\frac{54}{5}\)

(viii) दिया है a_n = 4, d = 2, S_n = – 14
∵ a_n = 4
a + (n – 1) d = 4
a + (n – 1) 2 = 4
a + 2n – 2 = 4
a = 6 – 2n ………..(1)
S_n = – 14
\(\frac{n}{2}\) [a + a_n] = – 14
या \(\frac{n}{2}\) [6 – 2n + 4] = – 14 ((1) के प्रयोग से)
या \(\frac{n}{2}\) [10 – 2n] = – 14
5n – n² + 14 = 10
या n² – 5n – 14 = 0
S = – 5, P = 1 × – 14 = – 14
या n² – 7n + 2n – 14 = 0
n² – 7n + 2n – 14 = 0
या n (n – 7) + 2 (n – 7) = 0
या (n – 7) (n + 2) = 0
अर्थात् n – 7 = 0 या n + 2 = 0
n = 7 या n = – 2
∵ n ऋणात्मक नहीं हो सकता।
∵ n = – 2 को छोड़ दीजिए।
∴ n = 7
nका मान (1) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :
a = 6 – 2 × 7
a= 6 – 14 = – 8

(ix) दिया हैं a = 3, n = 8, S = 192
∵ S = 192
⇒ S_g = 192 [∵ n = 8]
या \(\frac{8}{2}\) [2 × 3 + (8 – 1) d] = 192
[∵ S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1) d]
या 4 [6 + 7d] = 192
या 6 + 7d = \(\frac{192}{4}\) = 48
या 7d = 48 – 6 = 42
d = \(\frac{42}{7}\) = 6

(x) दिया है। l = 28, S = 144
और कुल पद 9 हैं।
∴ n = 9; l = a₉ = 28 ; S₉ = 144
∵ a₉ = 28
या a + (9 – 1) d = 28
[∵ a_n = T_n = 9 + (n – 1) d]
या a + 8d = 28 ……….(1)
और S₉ = 144
\(\frac{9}{2}\) [a + 28] = 144
[∵ S_n = \(\frac{n}{2}\) [a + a_n]]
या a + 28 = \(\frac{144^{16} \times 2}{9}\) = 32
a = 32 – 28 = 4.

प्रश्न 4.
636 योग प्राप्त करने के लिए, A.P.; 9, 17, 25 … के कितने पद लेने चाहिए ?
हल :
दिया है A.P. 9, 17, 25, ……………
यहां a = 9, d = 17 – 9 = 8
क्योंकि S_n = 636
\(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1) d] = 636

या \(\frac{n}{2}\) [2 (9) + (n – 1) 8] = 636

या \(\frac{n}{2}\) [18 + 8n – 8] = 636

या n [4n + 5] = 636
4n² + 5n – 636 = 0
a = 4, b = 5, c = – 636
D = (5)² – 4 × 4 × (- 636)
= 25 + 10176
= 10201
∴ n = \(\frac{-b \pm \sqrt{\mathrm{D}}}{2 a}\)

= \(\frac{-5 \pm \sqrt{10201}}{2 \times 4}=\frac{-5 \pm 101}{8}\)

= \(\frac{-106}{8}\) या \(\frac{96}{8}\)

= \(\frac{-53}{4}\) या 12.

∵ n ऋणात्मक नहीं हो सकता।
अंत: n = \(\frac{-53}{4}\) को छोड़ दीजिए
∴ n = 12
अंत: दी गई A.P. के 12 पदों का योग 636 है।

प्रश्न 5.
किसी A.P. का प्रथम पद 5, अंतिम पद 45 और योग 400 है। पदों की संख्या और सार्व अंतर ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया है a = T₁ = 5; l = a_n = 45
और S_n = 400
∵ T_n = 45
a + (n – 1) d = 45
या 5 + (n – 1) d = 45
या (n – 1) d = 45 – 5 = 40
या (n – 1) d = 40 …………..(1)
और S_n = 400
\(\frac{n}{2}\) [a + a_n] = 400

or \(\frac{n}{2}\) [5 + 45] = 400
या 25n = 400
या n = \(\frac{400}{25}\) = 16
n का मान (1), में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है :
(16 – 1) d = 40
या 15d = 40
या d = \(\frac{40}{15}=\frac{8}{3}\)
अतः, n = 16 और d = \(\frac{8}{3}\)

प्रश्न 6.
किसी A.P. के प्रथम और अंतिम पद क्रमशः 17 और 350 हैं। यदि सार्व अंतर 9 है, तो इसमें कितने पद हैं और इनका योग क्या है ?
हल :
दिया है कि a = T₁ = 17;
l = a_n = 350 और d = 9
∵ l = a_n = 350
a + (n – 1) d = 350
17 + (n – 1) 9 = 350
या 9 (n – 1) = 350 – 17 = 333
या n – 1 = \(\frac{333}{9}\) = 37
या n = 37 + 1 = 38
अब, S₃₈ = \(\frac{n}{2}\) [a + l]
= \(\frac{38}{2}\) [17 + 350]
= 19 × 367 = 6973
अतः दी गई A.P. के 38 पदों का योग 6973 है।

प्रश्न 7.
उस A.P. के प्रथम 22 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसमें d = 7 है और 22वाँ पद 149 है।
हल :
दिया है कि d = 7; T₂₂ = 149 और n = 22
∵ T₂₂ = 149
a + (n – 1) d = 149
a + (22 – 1) 7 = 149
a + 147 = 149
a = 149 – 147 = 2
अब, S₂₂ = \(\frac{n}{2}\) [a + T₂₂]
= \(\frac{22}{2}\) [2 + 149]
= 11 × 151 = 1661
अतः, दी गई A.P. के प्रथम 22 पदों का योग 1661 है।

प्रश्न 8.
उस A.P. के प्रथम 51 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसके दूसरे और तीसरे पद क्रमशः 14 और 18 हैं।
हल :
मान लीजिए ‘a’ और ‘d प्रथम पद और सार्व अंतर है।
दिया गया है कि T₂ = 14; T₃ = 18 और n = 51
∵ T₂ = 14
a + (n – 1) d = 14
a + (2 – 1) d = 14
या a + d = 14
a = 14 – d
और T₃ = 18 (दिया है)
a + (n – 1) d = 18
a + (3 – 1) d = 18
या a + 2d = 18
या 14 – d + 2d = 18
d = 18 – 14 = 4
d = 4
d का मान (1), में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है :
a = 14 – 4 = 10
अब, S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a+ (n – 1) d]
= \(\frac{51}{2}\) [2 × 10 + (51 – 1) 4]

= \(\frac{51}{2}\) [20 + 200]

= \(\frac{51}{2}\) × 220

= 51 × 110 = 5610
अतः, दी गई A.P. के प्रथम 51 पदों का योग 5610 है।

प्रश्न 9.
यदि किसी A.P. के प्रथम 7 पदों का योग 49 है और प्रथम 17 पदों का योग 289 है, तो इसके प्रथम n पदों का योग ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए ‘a’ और ‘d’ दी गई A.P. का प्रथम पद और सार्व अंतर है। पहली शर्त के अनुसार,
S₇ = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d] = 49

या \(\frac{7}{2}\) [2a + (7 – 1) d] = 49

या \(\frac{7}{2}\) [2a + 6d] = 49

या a + 3d = 7
a = 7 – 3d
दूसरी शर्त के अनुसार,
S₁₇ = 289

\(\frac{n}{2}\) [2a + (17 – 1) d] = 289

\(\frac{17}{2}\) [2a+ (17 – 1) d] = 289

a + 8d = \(\frac{289}{17}\) = 17

a का मान (1), में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :
7 – 3d + 8d = 17
5d = 17 – 7 = 10
d = \(\frac{10}{5}\) = 2
d का मान (1), में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :
a = 7 – 3 × 2
a = 7 – 6 = 1
अब, S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1) d]

= \(\frac{n}{2}\) [2 × 1 + (n – 1)²]
= n [1 + n – 1]
= n × n
= n²
अतः, दी गई A.P. की प्रथम n पदों का योग n2 है।

प्रश्न 10.
दर्शाइए कि a₁, a₂, …………. a_n …….. से एक A.P. बनती है, यदिa, नीचे दिए अनुसार परिभाषित है :
(i) a_n = 3 + 4n
(ii) a_n = 9 – 5n
साथ ही, प्रत्येक स्थिति में, प्रथम 15 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
हल :
(i) दिया है कि a = 3 + 4n ………….(1)
n के विभिन्न मान (1), में प्रतिस्थापित करने पर हमें
a₁ = 3 + 4 (1) = 7;
a₂ = 3 + 4 (2) = 11
a₃ = 3 + 4 (3) = 15, ……………
अब a₂ – a₁, a₃ – a₂ = 15 – 11 = 4
∵ a₂ – a₁ = 11 – 7 = 4
और a₃ – a₂ = 4 = d (मान लीजिए)
∴ दिया गया अनुक्रम A.P. का ही रूप है।
यहाँ a = 7, d = 4 और n = 15
∴ S₁₅ = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d]

= \(\frac{15}{2}\) [27 + (15 – 1) 4]

= \(\frac{15}{2}\) [14 + 56]
= \(\frac{15}{2}\) × 70
= 15 × 35 = 525

(ii) दिया है कि a_n = 9 – 5n ………….(1)
n के विभिन्न मान (1) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :
a₁ = 9 – 5 (1) = 4;
a₂ = 9 – 5(2) = – 1;
a₃ = 9 – 5 (3) = – 6
अब, a₂ – a₁ = – 1 – 4 = – 5
और a₃ – a₂ = – 6 + 1 = – 5
∵ a₂ – 4₁ = a₃ – 4₂ = – 5 = d (मान लीजिए)
∴ दिया गया अनुक्रम A.P. का ही रूप है।
यहाँ a = 4, d = – 5 और n = 15
∴ S₁₅ = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1) d]

= \(\frac{15}{2}\) [2 (4) + (15 – 1) (- 5)]

= \(\frac{15}{2}\) [8 – 70]

= \(\frac{15}{2}\) (- 62)
= – 465

प्रश्न 11.
यदि किसी A.P. के प्रथम n पदों का योग 4n – n² है, तो इसका प्रथम पद (अर्थात् S₁) क्या है ? प्रथम दो पदों का योग क्या है ? दूसरा पद क्या है ? इसी प्रकार, तीसरे, 10वें और nd पद ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया है कि A.P. के n पदों का योग है।
S_n = 4n – n² ………….(1)
n = 1 का मान (1), में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है
S₁ = 4 (1) – (1)² = 4 – 1
S₁ = 3
∴ a = T₁ = S₁ = 3
n = 2, का मान (1), में प्रतिस्थापित करने पर हमें | प्राप्त होता है :
S₂ = 4 (2) – (2)² = 8 – 4
S₂ = 4
या T₁ + T₂ = 4
या 3 + T₂ = 4
या T₂ = 4 – 3 = 1
n = 3 का मान (1), में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :
S₃ = 4 (3) – (3)² = 12 – 9
S₂ = 3
या S₂ + T₃ = 3
या 4 + T₃ = 3
या T₃ = 3 – 4 = – 1
अब, d = T₂ = T₁
= 1 – 3 = – 2
T₁₀ = a + (n – 1) d
= 3 (10 – 1) (- 2)
T₁₀ = 3 – 18 = – 15
और T_n = a + (n – 1) d
= 3 + (n – 1) (- 2)
= 3 – 2n + 2
T_n = 5 – 2n

प्रश्न 12.
ऐसे प्रथम 40 धन पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए जो 6 से विभाज्य हैं।
हल :
6 से विभाज्य धन पूर्णांक हैं : 6, 12, 18, 24, 30, 36 42, ………….
यहाँ a = T₁ = 6, T₂ = 12,
T₃ = 18, T₄ = 24
T₂ – T₁ = 12 – 6 = 6
T₃ – T₂ = 18 – 12 = 6
T₄ – T₃ = 24 – 18 = 6
T₂ – T₁ = T₃ – T₂ = T₄ – T₃ = 6 = d (मान लीजिए)
सूत्र S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1) d] का प्रयोग करने पर,
S₄₀ = \(\frac{40}{2}\) [2(6) + (40 – 1) 6]
= 20 [12 + 234]
= 20 (246) = 4920
अतः, 6 से विभाज्य 40 धन पूर्णांकों का योग 4920 है।

प्रश्न 13.
8 के प्रथम 15 गुणजों का योग ज्ञात कीजिए।
हल :
8 के गुणज हैं : 8, 16, 24, 32, 40, 48, ……………
यहाँ a = T₁ = 8 ; T₂ = 16;
T₃ = 24 ; T₄ = 32
T₂ – T₁ = 16 – 8 = 8
T₃ – T₂ = 24 – 16 = 8
T₂ – T₁ = T₃ – T₂ = 8 = d (मान लीजिए)
सूत्र S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1) d] का प्रयोग करने पर
S₁₅ = [2 (8) + (15 – 1) 8]
= \(\frac{15}{2}\) [16 + 112]
= \(\frac{15}{2}\) × 128 = 960
अतः, 8 के प्रथम 15 गुणजों का योग 960 है।

प्रश्न 14.
0 और 50 के बीच की विषम संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।
हल :
0 और 50 के बीच की विषम संख्याएँ हैं : 1, 3, 5, 7, 9, …………., 49
यहाँ a = T₁ = 1 ; T₂ = 3 ;
T₃ = 5 ; T₄ = 7 और l = T_n = 49
T₂ – T₁ = 3 – 1 = 2
T₃ – T₂ = 5 – 3 = 2
∵ T₂ – T₁ = T₃ – T₂ = 2 = d (मान लीजिए)
साथ ही l = T_n = 49
a + (n – 1) = 49
1 + (n – 1) 2 = 49
या 2 (n – 1) = 49 – 1 = 48
या n – 1 = \(\frac{48}{2}\) = 24.
या = 24 + 1 = 25
सूत्र S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1) d] का प्रयोग करने पर,
S₂₅ = [2 (1) + (25 – 1) 2]
= \(\frac{25}{2}\) [2 + 48]
= \(\frac{25}{2}\) × 50 = 625
अतः, 0 और 50 के बीच की विषम संख्याओं का योग 625 है।

प्रश्न 15.
निर्माण कार्य से संबंधित किसी ठेके में, एक निश्चित तिथि के बाद कार्य को विलंब से पूरा करने के लिए, जुर्माना लगाने का प्रावधान इस प्रकार हैं : पहले दिन के लिए ₹ 200 दूसरे दिन के लिए ₹ 250, तीसरे दिने के लिए ₹ 300 इत्यादि, अर्थात् प्रत्येक उत्तरोत्तर दिन का जुर्माना अपने से ठीक पहले दिन के जुर्माने से ₹ 50 अधिक है। एक ठेकेदार को जुर्माने के रूप में कितनी राशि अदा करनी पड़ेगी, यदि वह इस कार्य में 30 दिन का विलंब कर देता है ?
हल :
पहले, दूसरे और तीसरे दिन के विलंब के लिए जुर्माना है : – ₹ 200 ₹ 250 ₹ 300
अब, जुर्माना अगले दिन ₹ 50 के अंतर से बढ़ता जाता है
∴ अभीष्ट A.P. है : ₹ 200, ₹ 250, ₹300, ₹ 350……………..
यहाँ a = T₁ = 200; d = 50 और n = 30
30 दिन के पश्चात् दी जाने वाली जुर्माने की राशि
= S₃₀
= \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1) d]
= \(\frac{30}{2}\) [2 (200) + (30 – 1) 50]
= 15 [400 + 1450]
= 15 (1850) = 27750
अतः, यदि ठेकेदार कार्य में 30 दिन विलंब करता है, तो उसे जुर्माने के रूप में ₹ 27,750 देने होंगे।

प्रश्न 16.
किसी स्कूल के विद्यार्थियों को उनके समग्र शैक्षिक प्रदर्शन के लिए 7 नकद पुरस्कार देने के लिए ₹ 700 की राशि रखी गई है। यदि प्रत्येक पुरस्कार अपने से ठीक पहले पुरस्कार से ₹ 20 कम है, तो प्रत्येक पुरस्कार का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए पहले विद्यार्थी को दी गई पुरस्कार की राशि = ₹ x
दूसरे विद्यार्थी को दी गई पुरस्कार की राशि = ₹ (x – 20)
तीसरे विद्यार्थी को दी गई पुरस्कार की राशि = ₹ [x – 20 – 20] = ₹ (x – 40)
∴ अभीष्ट अनुक्रम है : ₹ x, ₹ (x – 20), ₹ (x – 40), ………….
जो कि एक A.P. बनाती है, जिसमें
a = x, d = – 20 और n = 7
सूत्र S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1) d] का प्रयोग करने पर,
S₇ = [2 (x) + (7 – 1) (- 20)]
S₇ = [2x – 120] = 7 (x – 60)
प्रश्न के अनुसार,
7 (x – 60) = 700
x – 60 = \(\frac{700}{7}\) = 100
x = 100 + 60
x = 160
अतः, 7 पुरस्कार हैं. : ₹ 160, ₹ 140, ₹ 120, ₹ 100, ₹ 80, ₹ 60 , ₹ 40।

प्रश्न 17.
एक स्कूल के विद्यार्थियों ने वायु प्रदूषण कम करने के लिए स्कूल के अंदर और बाहर पेड़ लगाने के बारे में सोचा। यह निर्णय लिया गया कि प्रत्येक कक्षा का प्रत्येक अनुभाग अपनी कक्षा की संख्या के बराबर पेड़ लगाएगा। उदाहरणार्थ, कक्षा I का एक अनुभाग 1 पेड़ लगाएगा, कक्षा II का एक अनुभाग 2 पेड़ लगाएगा, कक्षा III का एक अनुभाग 3 पेड़ लगाएगा, इत्यादि और ऐसा कक्षा XII तक के लिए चलता रहेगा। प्रत्येक कक्षा के तीन अनुभाग हैं। इस स्कूल के विद्यार्थियों द्वारा लगाए गए कुल पेड़ों की संख्या कितनी होगी ?
हल :
कक्षा के तीन अनुभागों द्वारा लगाए गए पेड़ों की संख्या = 3 × 1 = 3
कक्षा II के तीन अनुभागों द्वारा लगाए गए पेड़ों की संख्या = 3 × 2 = 6
कक्षा III के तीन भागों द्वारा लगाए गए पेड़ों की संख्या = 3 × 3 = 9
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
कक्षा XII के तीन अनुभागों द्वारा लगाए गए पेड़ों की संख्या = 3 × 12 = 36
∴ अभीष्ट A.P. है : 3, 6, 9, …………, 36
यहाँ, a = T₁ = 3 ; T₂ = 6; T₃ = 9 और l = T_n = 36 ; n = 12
d = T₂ – T₁ = 6 – 3 = 3
विद्यार्थियों द्वारा लगाए गए पेड़ों की कुल संख्या = S₁₂
विद्यार्थियों द्वारा लगाए गए = \(\frac{12}{2}\) [3 + 36]
= 6 × 39 = 234
अतः, वायु प्रदूषण को रोकने के लिए विद्यार्थियों द्वारा 234 पेड़ लगाए जाएंगे।

प्रश्न 18.
केंद्र A से प्रारंभ करते हुए, बारी-बारी से केंद्रों A और B को लेते हुए, त्रिज्याओं 0.5 cm, 1.0 cm, 1.5 cm, 2.0 cm,….वाले उतरोत्तर अर्धवृत्तों को खींचकर एक सर्पिल (Spiral) बनाया गया है, जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। तेरह क्रमागत अर्धवृत्तों से बने इस सर्पिल की कुल लंबाई क्या है ?
(लीजिए π = \(\frac{22}{7}\))
[संकेत : क्रमश: केंद्रों A, B, A, B… वाले अर्धवृत्तों की लंबाइयाँ l₁, l₂, l₃, l₄, हैं।]

हल :
मान लीजिए l₁ = प्रथम अर्धवृत्त की लंबाई
= πr₁ = π(0.5) = \(\frac{\pi}{2}\)
l₂ = दूसरे अर्धवृत्त की लंबाई
= πr₂ = π(1) = π
l₃ = तीसरे अर्धवृत्त की लंबाई
= πr₃ = π (1.5) = \(3 \frac{\pi}{2}\)
और l₄ = चौथे अर्धवृत्त की लंबाई
= πr₄ = (2) = 20
इसी तरह आगे भी :: प्रत्येक उत्तरोत्तर अर्धवृत्तों की लंबाई एक A.P. बनाती है।
यहाँ a = T₁ = \(\frac{\pi}{2}\);
T₂ = π;
T₃ = \(3 \frac{\pi}{2}\)
T₄ = 2π …………. और n = 13
d = T₂ – T₁ = π – \(\frac{\pi}{2}\)
= \(\frac{2 \pi-\pi}{2}=\frac{\pi}{2}\)
सर्पिल की कुल लंबाई = S₁₃

अतः, तेरह क्रमागत अर्धवृत्तों से बने सर्पिल की कुल लंबाई 143 cm है।

प्रश्न 19.
200 लट्ठों (logs) को ढेरी के रूप में इस प्रकार रखा जाता है : सबसे नीचे वाली पंक्ति में 20 लढे, उससे अगली पंक्ति में 19 लढे, उससे अगली पंक्ति में 18 लढे, इत्यादि (देखिए आकृति)। ये 200 लट्ठे कितनी पंक्तियों में रखे गए हैं तथा सबसे ऊपरी पंक्ति में कितने लट्ठे हैं ?

हल :
सबसे नीचे वाली पहली पंक्ति में (लट्ठों की संख्या) = 20
दूसरी पंक्ति में लट्ठों की संख्या = 19
तीसरी पंक्ति में लट्ठों की संख्या = 18
इसी प्रकार आगे भी
∴ प्रत्येक पंक्ति में रखे गए लट्ठों की संख्या एक A.P. बनाती है।
यहाँ a = T₁ = 20;
T₂ = 19; T₃ = 18
d = T₂ – T₁
= 19 – 20 = – 1
मान लीजिए S_n लट्ठों की कुल संख्या को व्यक्त करता है। सूत्र का प्रयोग करने पर,
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1) d]
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2(20) + (n – 1) (- 1)]
= \(\frac{n}{2}\) [40 – n + 1]
प्रश्न के अनुसार,
\(\frac{n}{2}\) [41 – n] = 200
41n – n² = 400
या – n² + 41n – 400 = 0
n² – 41n + 400 = 0
S = – 41, P = 400
या n² – 16n – 25n + 400 = 0
या n (n – 16) – 25 (n – 16) = 0:,
या (n – 16) (n – 25) = 0
अर्थात् n – 16 = 0 या n – 25 = 0
अथवा n = 16 या n = 25
n = 16, 25.

स्थिति I.
जब n = 25
T₂₅ = a + (n – 1) d
= 20 + (25 – 1) (- 1)
= 20 -2 4 = – 4; जोकि असंभव है
∴ n = 25 छोड़ देते हैं

स्थिति II.
जब n = 16
T₁₆ = a + (n – 1) d
= 20 + (16 – 1) (- 1)
= 20 – 15 =5
अतः, कुल 16 पंक्तियाँ हैं और सबसे ऊपरी पंक्ति में 5 लढे हैं।

प्रश्न 20.
एक आलू दौड़ (potato race) में, प्रारंभिक स्थान पर एक बाल्टी रखी हुई है, जो पहले आलू से 5 m की दूरी पर है, तथा अन्य आलुओं को एक सीधी रेखा में परस्पर 3 m की दूरियों पर रखा गया है। इस रेखा पर 10 आलू रखे गए हैं ( देखिए आकृति)।

प्रत्येक प्रतियोगी बाल्टी से चलना प्रारंभ करती है, निकटतम आलू को उठाती है, उसे लेकर वापस आकर दौड़कर बाल्टी में डालती है, दूसरा आलू उठाने के लिए वापस दौड़ती है, उसे उठाकर वापस बाल्टी में डालती है, और वह ऐसा तब तक करती रहती है, जब तक सभी आलू बाल्टी में न आ जाएँ। इसमें प्रतियोगी को कुल कितनी दूरी दौड़नी पड़ेगी ?
[संकेत : पहले और दूसरे आलुओं को उठाकर बाल्टी में डालने तक दौड़ी गई दूरी = 2 × 5 + 2 × (5 + 3) है।]
हल :
पहला आलू उठाने के लिए तय की गई दूरी = 2(5) m = 10 m
उतरोत्तर आलुओं के बीच की दूरी = 3 m
∴ दूसरा आलू उठाने के लिए तय की गई दूरी = 2 (5 + 3) m = 16 m
तीसरा आलू उठाने के लिए तय की गई दूरी = 2 (5 + 3 + 3) m = 22 m
और यह प्रक्रिया चलती रहती है। इससे स्पष्ट है कि यह स्थिति एक A.P. बन जाती है।
10 m, 16 m, 22 m, 22, 28 m, ……………..
यहाँ a = T₁ = 10; T₂ = 16; T₃ = 22, …
d = T₂ – T₁ = 16 – 10 = 6 और n = 10
∴ प्रतियोगी को कुल जितनी दूरी दौड़नी पड़ेगी
S₁₀ = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1) d]
= \(\frac{10}{2}\) [2 (10) + (10 – 1) 6]
= 5 [20 + 54]
= 5 × 74 = 370
अतः, प्रतियोगी को कुल 370 मी० की दूरी दौड़नी पड़ेगी।