Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.3 Textbook Exercise Questions and Answers.
PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Exercise 6.3
ਪ੍ਰਸ਼ਨ 1.
ਦੱਸੋ ਕਿ ਚਿੱਤਰ ਵਿਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੇ ਜੋੜਿਆਂ ਵਿਚੋਂ ਕਿਹੜੇ-ਕਿਹੜੇ ਜੋੜੇ ਸਮਰੂਪ ਹਨ । ਉਸ ਸਮਰੂਪਤਾ ਕਸੌਟੀ ਨੂੰ ਲਿਖੋ ਜਿਸ ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਤੁਸੀਂ ਉੱਤਰ ਦੇਣ ਲਈ ਕੀਤਾ ਹੈ ਅਤੇ ਸਮਰੂਪ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਨੂੰ ਸੰਕੇਤਨ ਰੂਪ ਵਿਚ ਵੀ ਦਰਸਾਓ ।
ਹੱਲ:
(i) △ABC ਅਤੇ △PQR ਵਿੱਚ
∠A = ∠P (ਹਰੇਕ 60°)
∠B = ∠Q (ਹਰੇਕ 800)
∠C = ∠R (ਹਰੇਕ 40°)
∴ △ABC ~ △PQR [AAA ਸਮਰੂਪਤਾ)
(ii) △ABC ਅਤੇ △PQR ਵਿੱਚ
\(\frac{AB}{RQ}\) = \(\frac{2}{4}\) = \(\frac{1}{2}\) …..(1)
\(\frac{AC}{PQ}\) = \(\frac{3}{6}\) = \(\frac{1}{2}\) …(2)
\(\frac{AB}{RQ}\) = \(\frac{2.5}{5}\) = \(\frac{1}{2}\) …(3)
(1), (2) ਅਤੇ (3) ਤੋਂ,
\(\frac{BC}{PR}\) = \(\frac{AC}{PQ}\) = \(\frac{BC}{PR}\) = \(\frac{1}{2}\)
∴ △ABC ~ △QRP
[SSS ਸਮਰੂਪਤਾ ਕਸੌਟੀ ਨਾਲ
(iii) △LMP ਅਤੇ △DEF ਵਿੱਚ,
∴ ਦੋ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਸਮਰੂਪ ਨਹੀਂ ਹਨ ।
(iv) △MNL ਅਤੇ △PQR ਵਿੱਚ,
\(\frac{ML}{QR}\) = \(\frac{5}{10}\) = \(\frac{1}{2}\)
∠M = ∠Q (ਹਰੇਕ 70°)
\(\frac{MN}{PQ}\) = \(\frac{2.5}{5}\) = \(\frac{1}{2}\)
∴ △MNL ~ △QPR
[SAS ਸਮਰੂਪਤਾ ਕਸੌਟੀ ਤੋਂ ]
(v) △ABC ਅਤੇ △DEF ਵਿੱਚ,
∴ △ABC ਅਤੇ △DEF ਸਮਰੂਪ ਨਹੀਂ ਹਨ ।
(vi) △DEE ਵਿੱਚ,
∠D = 70°, ∠E = 80°
∠D + ∠E + ∠F = 180°
(ਤਿਭੁਜ ਦੇ ਕੋਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਫਲ)
70° + 80° + ∠F = 180°
∠F = 180° – 70° – 80°
∠F = 30°
△PQR ਵਿੱਚ,
∠Q = 80°, ∠R = 30°
∠P + ∠Q + ∠R = 180°
(ਤਿਭੁਜ ਦੇ ਕੋਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜਫਲ)
∠P + 80° + 30° = 180°
∠P = 180° – 80° – 30°
∠P = 70°
△DEF ਅਤੇ △PQR ਵਿੱਚ,
∠D = ∠P (70° ਹਰੇਕ)
∠E = ∠Q (80° ਹਰੇਕ)
∠F = ∠R (30° ਹੇਰਕ)
∴ △DEF ~ △PQR (AAA ਸਮਰੂਪਤਾ ਕਸੌਟੀ)
ਪ੍ਰਸ਼ਨ 2.
ਚਿੱਤਰ ਵਿਚ △ODC ~ △OBA, ∠BOC= 125° ਅਤੇ ∠CDO = 70° ਹੈ | ∠DOC, ∠DCO ਅਤੇ ∠OAB ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
∠BOC = 125°
∠CDO = 70°
DOC ਇਕ ਸਰਲ ਰੇਖਾ ਹੈ ।
∴ ∠DOC + /COB = 180°
∠DOC + 125° = 180°
∠DOC = 180° – 125
∠DOC = 55°
∠DOC = ∠AOB = 55°
[ਸਿਖ਼ਰ ਸਨਮੁੱਖ ਕੋਣੀ]
∴ △ODC ~ △OBA
∠D = ∠B = 70°
△DOC ਨੇਂ, ∠D + ∠O + ∠C = 180°
70° + 55° + ∠C = 180°
∠C = 180° – 70° – 55°
∠C = 55°
∠C = ∠A = 55°
∠DOC = 55°
∴ ∠DCO = 55°
∠OAB = 55°
ਪ੍ਰਸ਼ਨ 3.
ਸਮਲੰਬ ਚਤੁਰਭੁਜ ABCD, ਜਿਸ ਵਿਚ AB || DC ਹੈ, ਦੇ ਵਿਕਰਣ AC ਅਤੇ BD ਆਪਸ ਵਿੱਚ Q’ ਤੇ ਕੱਟਦੇ ਹਨ । ਦੋ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਦੀ ਸਮਰੂਪਤਾ ਕਸੌਟੀ ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਦਿਖਾਉ ਕਿ \(\frac{OA}{OC}\) =\(\frac{OB}{OD}\) ਹੈ ।
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : ਸਮਲੰਬ ਚਤੁਰਭੁਜ ABCD ਜਿਸ ਵਿਚ AB DC ਹੈ ਅਤੇ ਵਿਕਰਣ AC ਅਤੇ BD ਆਪਸ ਵਿਚ O ‘ਤੇ ਕੱਟਦੇ ਹਨ ।
ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ ਹੈ :
ਸਿੱਧ ਕਰਨਾਂ ਹੈ : \(\frac{OA}{OC}\) = \(\frac{OB}{OD}\)
ਸਬੂਤ : AB || DC
△DOC ਅਤੇ △BOA ਵਿੱਚ
∠1 = ∠2 (ਇਕਾਂਤਰ ਕੋਣ )
∠5 = ∠6 (ਸਿਖ਼ਰ ਸਨਮੁੱਖ ਕੋਣ)
∠3 = ∠4 (ਇਕਾਂਤਰ ਕੋਣ)
∴ △DOC ~ △BOA
[AAA ਸਮਰੂਪਤਾ ਕਸੋ]
∴ \(\frac{DO}{BO}\) = \(\frac{OC}{OA}\)
[ਜੇਕਰ ਦੋ ਭੁਜਾਂ ਸਮਰੂਪ ਹੋਣ ਤਾਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਸਮਾਨੁਪਾਤੀ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ]
⇒ \(\frac{OA}{OC}\) = \(\frac{BO}{DO}\)
ਪ੍ਰਸ਼ਨ 4.
ਚਿੱਤਰ ਵਿਚ, \(\frac{QR}{QS}\) = \(\frac{QT}{PR}\) ਅਤੇ ∠1 = ∠2 ਹੈ । ਦਿਖਾਉ ਕਿ △PQS ~ △TQR ਹੈ ।
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : △TQR ਵਿੱਚ
\(\frac{QR}{QS}\) = \(\frac{QT}{PR}\) ਅਤੇ
∠1 = ∠2
ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ ਹੈ : △PQS – △TOR
ਸਬੂਤ : △PQR ਵਿਚ,
∠1 = ∠2 (ਦਿੱਤਾ ਹੈ।)
∴ PR = PQ [ਬਰਾਬਰ ਕੋਣਾਂ ਦੀਆਂ ਸਨਮੁੱਖ ਭੁਜਾਵਾਂ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ]
∠1 = ∠1 (ਸਾਂਝਾ)
∴ △PQS ~ △TQR [SAS ਸਮਰੂਪਤਾ ਕਸੋਟੀ]
ਪ੍ਰਸ਼ਨ 5.
△PQR ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ PR ਅਤੇ QR ਉੱਤੇ ਕ੍ਰਮਵਾਰ | ਬਿੰਦ S ਅਤੇ T ਇਸ ਤਰਾਂ ਸਥਿਤ ਹਨ ਕਿ ∠P = ∠RTS ਹੈ । ਦਿਖਾਉ ਕਿ △RPQ ~ △RTS ਹੈ ।
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : △POR ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ PR ਅਤੇ QR ਉੱਤੇ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਬਿੰਦੂ S ਅਤੇ T ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸਥਿਤ ਹਨ ∠P = ∠RTS ਹੈ ।
ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ ਹੈ : △RPQ ~ △RTS
ਸਬੂਤ : △RPQ ਅਤੇ △RTS ਵਿਚ,
∠RPQ = ∠RTS (ਦਿੱਤਾ ਹੈ।)
∠R = ∠R
∴ △RPQ ~ △RTS [AA ਸਮਰੂਪਤਾ ਕਸੌਟੀ]
ਪ੍ਰਸ਼ਨ 6.
ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ, ਜੇਕਰ △ABE ≅ △ACD ਹੈ, ਤਾਂ ਦਿਖਾਉ ਕਿ △ADE ~ △ABC ਹੈ ।
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : △ABC ਅਤੇ △ABE ≅ △ACD ਹੈ ।
ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ ਹੈ : △ADE ~ △ABC
ਸਬੂਤ : △ABE ≅ △ACD (ਦਿੱਤਾ ਹੈ)
AB = AC (ਸਰਬੰਗਸਮ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ) ਅਤੇ AE = AD (ਸਰਬੰਗਮ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ)
\(\frac{AB}{AC}\) = 1 …(1)
\(\frac{AD}{AE}\) = 1 …(2)
(1) ਅਤੇ (2) ਤੋਂ, \(\frac{AB}{AC}\) = \(\frac{AD}{AE}\)
△ADE ਅਤੇ △ABC ਵਿਚ, \(\frac{AD}{AE}\) = \(\frac{AB}{AC}\)
∠A = ∠A (ਸਾਂਝਾ)
∴ △ADE ~ △ABC [SAS ਸਮਰੂਪਤਾ ਕਸੌਟੀ ਤੋਂ]
ਪ੍ਰਸ਼ਨ 7.
ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ, △ABC ਦੇ ਸਿਖ਼ਰ ਲੰਬ AD ਅਤੇ CE ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂ Pਉੱਤੇ ਕੱਟਦੇ ਹਨ |ਦਿਖਾਉ ਕਿ :
(i) △AEP ~ △CDP
(ii) △ABD ~ △CBE
(iii) △AEP ~ △ADB
(iv) △PDC – △BEC.
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : △ABC ਵਿੱਚ AD ⊥ BC
ਅਤੇ CE ⊥ AB,
ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ ਹੈ : (i) △AEP ~ △CDP
(ii) △ABD ~ △CBE
(iii) △AEP ~ △ADB
(iv) △PDC ~ △BEC
ਸਬੂਤ : (i) △AEP ਅਤੇ △CDP ਵਿੱਚ,
∠E = ∠D (ਹਰੇਕ 90°)
∠APE = ∠CPD (ਸਿਖ਼ਰ ਸਨਮੁੱਖ ਕੋਣ)
∴ △AEP ~ △CDP [AA ਸਮਰੂਪਤਾ ਕਸੌਟੀ]
(ii) △ABD ਅਤੇ △CBE ਵਿੱਚ,
∠D = ∠E (ਹਰੇਕ 90°)
∠B = ∠B (ਸਾਂਝਾ ਕੋਣ)
∴ △ABD ~ △CBE [AA ਸਮਰੂਪਤਾ ਕਸੌਟੀ]
(iii) △AEP ਅਤੇ △ADB ਵਿੱਚ,
∠E = ∠D (ਹਰੇਕ 90°)
∠A = ∠A (ਸਾਂਝਾ ਕੋਣ)
∴ △AEP ~ △ADB [AA ਸਮਰੂਪਤਾ ਕਸੌਟੀ]
(vi) △PDC ਅਤੇ △BEC ਵਿੱਚ,
∠C = ∠C (ਸਾਂਝਾ ਕੋਣ)
∠D = ∠E (ਹਰੇਕ 90°)
∴ △PDC ~ △BEC [AA ਸਮਰੂਪਤਾ ਕਸੌਟੀ]
ਪ੍ਰਸ਼ਨ 8.
ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ABCD ਦੀ ਵਧਾਈ ਗਈ ਭੁਜਾ AD ਉੱਤੇ ਸਥਿਤ E ਕੋਈ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ਅਤੇ BE ਭੁਜਾ CD ਨੂੰ F’ ਤੇ ਕੱਟਦੀ ਹੈ । ਦਿਖਾਉ ਕਿ ਮੈ △ABE ~ △CFB ਹੈ ।
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ABCD ਦੀ ਵਧਾਈ ਗਈ ਭੁਜਾ AD ਉੱਤੇ ਸਥਿਤ E ਇਕ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ਅਤੇ BE ਅਤੇ CD ਨੂੰ F ਬਿੰਦੂ ਉੱਤੇ ਕੱਟਦੀ ਹੈ ।
ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ ਹੈ : △ABE ~ △CFB
ਸਬੂਤ : △ABE ਅਤੇ △CFB ਵਿੱਚ
∠A = ∠C (|| gm ਦੇ ਸਨਮੁੱਖ ਕੋਣ)
∠ABE = ∠CFB (ਇਕਾਂਤਰ ਕੋਣ)
∴ △ABE ~ △CFB (AA ਸਮਰੂਪਤਾ ਕਸੌਟੀ)
ਪ੍ਰਸ਼ਨ 9.
ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ, ABC ਅਤੇ AMP ਦੋ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਹਨ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਕੋਣ B ਅਤੇ Mਸਮਕੋਣ ਹਨ । ਸਿੱਧ ਕਰੋ ਕਿ
(i) △ABC ~ △AMP
(ii) \(\frac{CA}{PA}\) = \(\frac{BC}{MP}\).
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : △ABC ਅਤੇ △AMP ਦੋ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਹਨ । ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਕੋਣ B ਅਤੇ M ਸਮਕੋਣ ਹਨ ।
ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ ਹੈ : (i) △ABC ~ △AMP ਵਿਚ,
(ii) \(\frac{CA}{PA}\) = \(\frac{BC}{MP}\)
ਸਬੂਤ : △ABC ਅਤੇ △AMP ਵਿੱਚ,
∠A = ∠A (ਸਾਂਝਾ ਕੋਣ)
∠B = ∠M (ਹਰੇਕ 90°)
∴ △ABC ~ △AMP (AA ਸਮਰੂਪਤਾ ਕਸੌਟੀ)
∴ \(\frac{AC}{AP}\) = \(\frac{BC}{MP}\)
[ਜੇਕਰ ਦੋ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਸਮਰੂਪ ਹੋਣ, ਤਾਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਸਮਾਨੁਪਾਤੀ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ |]
⇒ \(\frac{CA}{PA}\) = \(\frac{BC}{MP}\)
ਪ੍ਰਸ਼ਨ 10.
CD ਅਤੇ GH ਕ੍ਰਮਵਾਰ ∠ACB ਅਤੇ ∠EGF ਦੇ | ਅਜਿਹੇ ਸਮਦੁਭਾਜਕ ਹਨ ਕਿ ਬਿੰਦੂ D ਅਤੇ ਸ਼ ਕੁਮਵਾਰ △ABC ਅਤੇ △FEG ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ AB ਅਤੇ FE ਉੱਤੇ ਸਥਿਤ ਹਨ । ਜੇਕਰ △ABC ~ △FEG ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਦਿਖਾਉ ਕਿ
(i) \(\frac{CD}{GH}\) = \(\frac{AC}{FG}\)
(ii) △DCB ~ △HGE
(iii) △DCA ~ △HGF
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : △ABC ਅਤੇ △EFG ਵਿੱਚ, CD ਅਤੇ GH ਮਵਾਰ ∠ACB ਅਤੇ ∠EGF ਦੇ ਸਮਦੁਭਾਜਕ ਹਨ ਅਰਥਾਤ ∠1 = ∠2 ਅਤੇ ∠3 = ∠4 ਹੈ ।
△ABC ~ △FEG
ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ ਹੈ : (i) \(\frac{CD}{GH}\) = \(\frac{AC}{FG}\)
(ii) △DCB ~ △HGE
(iii) △DCA ~ △HGE
ਸਬੂਤ : (i) △ABC ~ △FEG (ਦਿੱਤਾ ਹੈ।)
∠C = ∠G
[ਜੇਕਰ ਦੋ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਸਮਰੂਪ ਹੋਣ, ਤਾਂ ਸੰਗਤ ਕੋਣ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ]
\(\frac{1}{2}\)C = \(\frac{1}{2}\)G
∠1 = ∠3 ਜਾਂ ∠2 = ∠4
ਹੁਣ, △ACD ਅਤੇ △FGH ਵਿੱਚ
∠A = ∠F
∠2 = ∠4 (ਸਿੱਧ ਕੀਤਾ ਹੈ।)
∴ △ACD ~ △FGH
[∵ AA ਪ੍ਰਮਾਣਿਤ ਸਮਰੂਪਤਾ ਕਸੌਟੀ ਤੇ]
∴ \(\frac{CD}{GH}\) = \(\frac{AG}{FG}\)
[∵ ਸਮਰੂਪ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਸਮਾਨੁਪਾਤੀ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ।]
(ii) ਹੁਣ, △DCB ਅਤੇ △HGE ਵਿੱਚ,
∠B = ∠E (ਸਿੱਧ ਕੀਤਾ)
∠1 = ∠3 [ਸਿੱਧ ਕੀਤਾ]
∴ △DCB ~ △HGE
[∵ AA ਸਮਰੂਪਤਾ ਕਸੌਟੀ ਨਾਲ]
(iii) ਹੁਣ, △DCA ਅਤੇ △HGF ਵਿੱਚ,
∠A = ∠F [ਸਿੱਧ ਕੀਤਾ]
∠2 = ∠4 ਸਿੱਧ ਕੀਤਾ]
∴ △DCA ~ △HGF
[∵ AA ਸਮਰੂਪਤਾ ਕਸੌਟੀ ਨਾਲ]
ਪ੍ਰਸ਼ਨ 11.
ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ AB = AC ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਸਮਦੋਭੁਜੀ ਤਿਭੁਜ ABC ਦੀ ਵਧਾਈ ਗਈ ਭੁਜਾ CB ਉੱਤੇ ਸਥਿਤ E, ਇੱਕ ਬਿੰਦੁ ਹੈ । ਜੇਕਰ AD ⊥ BC ਅਤੇ EF ⊥ AC ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਸਿੱਧ ਕਰੋ ਕਿ △ABD ~ △ECF ਹੈ ।
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : AB = AC ਵਾਲੇ ਇਕ ਸਮਦੋਭੁਜੀ △ABC ਦੀ ਵਧਾਈ ਗਈ ਭੁਜਾ CB ਉੱਤੇ ਸਥਿਤ E ਇੱਕ ਬਿੰਦੁ ਹੈ । AD ⊥ BC ਅਤੇ EF ⊥ AC ਹੈ ।
ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ : △ABD ~ △ECF
ਸਬੂਤ : △ABC ਸਮਦੋਭੁਜੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਹੈ । (ਦਿੱਤਾ ਹੈ) |
AB = AC
ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਵਿੱਚ ਸਮਾਨ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੇ ਸਨਮੁੱਖ ਕੋਣ
∴ ∠B = ∠C (ਬਰਾਬਰ ਕੋਣ)
△ABD ਅਤੇ △ECF ਵਿੱਚ
∠ABD = ∠ECF (ਸਿੱਧ ਕੀਤਾ।)
∠ADB = ∠EFC (ਹਰੇਕ 90°)
∴ △ABD ~ △ECF [AA ਸਮਰੂਪਤਾ ਕਸੌਟੀ]
ਪ੍ਰਸ਼ਨ 12.
ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ABC ਦੀਆਂ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਭੁਜਾਵਾਂ AB, BC ਅਤੇ ਮੱਧਿਕਾADਕਿਸੇ ਹੋਰ ਤ੍ਰਿਭੁਜ PQR ਦੀਆਂ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਭੁਜਾਵਾਂ, PO, OR ਅਤੇ ਮੱਧਿਕਾ PM ਦੇ ਸਮਾਨ-ਅਨੁਪਾਤੀ ਹਨ (ਦੇਖੋ ਚਿੱਤਰ) ।ਦਿਖਾਉ ਕਿ △ABC ~ △PQR ਹੈ ।
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : △ABC ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ AB, BC ਅਤੇ ਮਧਿਕਾ AD ਇਕ ਹੋਰ ਤ੍ਰਿਭੁਜ PQR ਦੀਆਂ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਭੁਜਾਵਾਂ PQ ਅਤੇ QR ਅਤੇ ਮੱਧਿਕਾ PM ਦੇ ਸਮਾਨ ਅਨੁਪਾਤੀ ਹਨ !
\(\frac{AB}{PQ}\) = \(\frac{AC}{PR}\) = \(\frac{AD}{PM}\)
ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ ਹੈ : △ABC ~ △PQR
ਰਚਨਾ : AD ਨੂੰ E ਤੱਕ ਵਧਾਉ ਤਾਂ ਕਿ AD = DE ਅਤੇ PM ਨੂੰ N ਤੱਕ ਵਧਾਉ ਤਾਂ ਕਿ PM = MN ਹੋ ਜਾਵੇ । BE, CE, QN ਅਤੇ RN ਨੂੰ ਮਿਲਾਉ ।
ਸਬੂਤ : \(\frac{AB}{PQ}\) = \(\frac{AC}{PR}\) = \(\frac{AD}{PM}\) (ਦਿੱਤਾ ਹੈ।) ……(1)
BD = DC (ਦਿੱਤਾ ਹੈ )
AD = DE (ਰਚਨਾ)
ਚਤੁਰਭੁਜ ABEC ਦੇ ਵਿਕਰਣ ਇਕ-ਦੂਸਰੇ ਨੂੰ ਸਮਦੁਭਾਜਿਤ ਕਰਦੇ ਹਨ ।
∴ ਚਤੁਰਭੁਜ ABEC ਇਕ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜੇ ਹੈ ।
ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ PQNR ਇਕ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਹੈ ।
∴ BE = AC
[ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦੀਆਂ ਸਨਮੁੱਖ ਭੁਜਾਵਾਂ।]
ਅਤੇ QN = PR
\(\frac{BE}{AC}\) …(i)
\(\frac{QN}{PR}\) ….(ii)
(i) ਅਤੇ (ii) ਤੋਂ,
∴ △ABE ~ △PQN [ਭੁਜਾਵਾਂ ਸਮਾਨੁਪਾਤੀ ਹਨ]
∴ ∠1 = ∠2 …(4)
[ਸਮਰੂਪ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਦੇ ਸੰਗਤ ਕੋਣ]
ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, △ACE ~ △PRN
∠3 = ∠4 …(5)
[ਸਮਰੂਪ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਦੇ ਸੰਗਤ ਕੋਣ]
(4) ਅਤੇ (5) ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਤੇ
∠1 + ∠3 = ∠2 + ∠4
∠A = ∠P
ਹੁਣ △ABC ਅਤੇ △PQR ਨੇਂ,
∠A = ∠P (ਸਿੱਧ ਕੀਤਾ।)
\(\frac{AB}{PQ}\) = \(\frac{AC}{PR}\) (ਦਿੱਤਾ ਹੈ।)
∴ ABC ~ △PQR
[SAS ਸਮਰੂਪਤਾ ਕਸੌਟੀ ਦੇ ਪ੍ਰਯੋਗ ਨਾਲ]
ਪ੍ਰਸ਼ਨ 13.
ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ABC ਦੀ ਭੁਜਾ BC ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ) ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸਥਿਤ ਹੈ ਕਿ ∠ADC = ∠BAC ਹੈ । ਦਿਖਾਉ ਕਿ CA2 = CB.CD ਹੈ ।
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : △ABC ਦੀ ਭੁਜਾ BC ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੁ ) ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸਥਿਤ ਹੈ ਕਿ ∠ADC = ∠BAC ਹੈ ।
ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ ਹੈ : CA2 = CB.CD
ਸਬੂਤ : △ABC ਅਤੇ △ADC ਵਿੱਚ,
∠C = ∠C (ਸਾਂਝਾ)
∠BAC = ∠ADC (ਦਿੱਤਾ ਹੈ।)
∴ △ABC ~ △DAC [AA ਸਮਰੂਪਤਾ ਕਸੌਟੀ ਤੋਂ।]
∴ \(\frac{AC}{DC}\) = \(\frac{BC}{AC}\) [ਜੇਕਰ ਦੋ ਭੁਜਾਂ ਸਮਰੂਪ ਹੋਣ ਤਾਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਸਮਾਨੁਪਾਤੀ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ]
AC2 = BC. DC
ਪ੍ਰਸ਼ਨ 14.
ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ABC ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ AB, AC ਅਤੇ ਮੱਧਿਕਾ AD, ਇੱਕ ਹੋਰ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ PQ, PR, ਮੱਧਿਆ PM ਦੇ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਸਮਾਨ-ਅਨੁਪਾਤੀ ਹਨ ।ਦਰਸਾਉ ਕਿ △ABC ~ △PQR ਹੈ ।
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : ਦੋ ਤਿਭੁਜ ABC ਅਤੇ PQR ਵਿੱਚ D, BC ਦਾ ਮੱਧ ਬਿੰਦੂ ਹੈ M, QR ਦਾ ਮੱਧ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ।
ਅਤੇ \(\frac{AB}{PQ}\) = \(\frac{AC}{PR}\) = \(\frac{AD}{PM}\) …(1)
ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ ਹੈ : △ABC ~ △PQR
ਰਚਨਾ : AD ਨੂੰ E ਤੱਕ ਵਧਾਉ ਤਾਂਕਿ AD = DE ਹੋਵੇ
BE ਅਤੇ CE ਨੂੰ ਮਿਲਾਉ ।
PM ਨੂੰ N ਤੱਕ ਵਧਾਉ ਤਾਂ ਕਿ PM = MN ਹੋਵੇ ।
QN ਅਤੇ NR ਨੂੰ ਮਿਲਾਉ ॥
ਸਬੂਤ : ਚਤੁਰਭੁਜ ABEC ਦੇ ਵਿਕਰਣ AE ਅਤੇ BC ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂ ) ਉੱਤੇ ਸਮਭਾਜਿਤ ਕਰਦੇ ਹਨ ।
∴ ਚਤੁਰਭੁਜ ABEC ਇਕ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਹੈ ।
ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਇਹ ਦਿਖਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਚਤੁਰਭੁਜ PQNR ਇਕ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਹੈ ।
ਕਿਉਂਕਿ ABEC ਇੱਕ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਹੈ ।
∴ BE = AC …..(2)
ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ PQNR ਇੱਕ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਹੈ ।
∴ QN = PR …(3)
(2) ਨੂੰ (3) ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਨ ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ,
∴ △ABC ~ △PON
∴ ∠BAE = ∠QPN …(6)
ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਇਹ ਸਿੱਧ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ
△AEC ~ △PNR
∴ ∠EAC = ∠NPR …(7)
(6) ਅਤੇ (7) ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
∠BAE + ∠EAC = ∠QPN + ∠NPR
ਹੁਣ △ABC ਅਤੇ △PQR ਸੇਂ
\(\frac{AB}{PQ}\) = \(\frac{AC}{PR}\)
∴ △ABC ~ △QPR (SAS ਸਮਰੂਪਤਾ ਕਸੌਟੀ ਨਾਲ)
ਪ੍ਰਸ਼ਨ 15.
6 m ਲੰਬਾਈ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਲੰਬ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਖੜੇ ਖੰਭੇ ਦੀ ਜ਼ਮੀਨ ‘ਤੇ ਪਰਛਾਵੇਂ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 4m ਹੈ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਉਸੇ ਸਮੇਂ ਇੱਕ ਮੀਨਾਰ ਦੀ ਪਰਛਾਵੇਂ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 28 m ਹੈ । ਮੀਨਾਰ ਦੀ ਉਚਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ । .
ਹੱਲ:
ਖੰਭੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ = 6 m
ਖੰਭੇ ਦੇ ਪਰਛਾਵੇਂ ਦੀ ਲੰਬਾਈ = 4 m
ਮੰਨ ਲਉ ਮੀਨਾਰ ਦੀ ਉਚਾਈ = Hm
ਮੀਨਾਰ ਦੇ ਪਰਛਾਵੇਂ ਦੀ ਲੰਬਾਈ = 28 m
△ABC ਅਤੇ △PMN ਵਿੱਚ,
∠C = ∠N (ਮੀਨਾਰ ਦੇ ਪਰਛਾਵੇਂ ਦੀ ਲੰਬਾਈ)
∠B = ∠M (ਹਰੇਕ 90°)
∴ △ABC ~ △PMN [AA ਸਮਰੂਪਤਾ ਕਸੌਟੀ]
∴ \(\frac{AB}{PM}\) = \(\frac{BC}{MN}\)
[ਜੇਕਰ ਦੋ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਸਮਰੂਪ ਹੋਣ, ਤਾਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਸਮਾਨ ਅਨੁਪਾਤੀ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ]
∴ \(\frac{6}{H}\) = \(\frac{4}{28}\) ⇒ H = \(\frac{6× 28}{4}\)
H = 6 × 7
H = 42 m
∴ ਮੀਨਾਰ ਦੀ ਉਚਾਈ = 42 m.
ਪ੍ਰਸ਼ਨ 16.
AD ਅਤੇ PM ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ABC ਅਤੇ POR ਦੀਆਂ ਕੁਮਵਾਰ ਮੱਧਿਕਾਵਾਂ ਹਨ, ਜਦੋਂ ਕਿ △ABC ~ △PQR ਹੈ । ਸਿੱਧ ਕਰੋ ਕਿ \(\frac{AB}{PQ}\) = \(\frac{AD}{PM}\) ਹੈ ।
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : △ABC ਅਤੇ △PQR ਦੀ AD ਅਤੇ PM ਮੱਧਿਕਾਵਾਂ ਹਨ ਅਤੇ △ABC ~ △PQR ਹੈ ।
ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ ਹੈ : \(\frac{AB}{PQ}\) = \(\frac{AD}{PM}\)
ਸਬੂਤ : △ABC ~ △PQR (ਦਿੱਤਾ ਹੈ )
∴ \(\frac{AB}{PQ}\) = \(\frac{BC}{QR}\) = \(\frac{AC}{PR}\)
{ਜੇਕਰ ਦੋ ਤਿਭੁਜਾਂ ਸਮਰੂਪ ਹਨ, ਤਾਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਸਮਾਨ-ਅਨੁਪਾਤੀ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ }
∠A = ∠P
[ਜੇਕਰ ਦੋ ਤਿਭੁਜਾਂ ਸਮਰੂਪ ਹਨ, ਤਾਂ ਸੰਗਤ ਕੋਣ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ]
∠B = ∠Q
∠C = ∠R
D, BC ਦਾ ਮੱਧ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ।
∴ BD = DC = \(\frac{1}{2}\)BC ..(2)
M, OR ਦਾ ਮੱਧ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ।
∴ QM = MR = \(\frac{1}{2}\)QR …(3)
[ਜੇਕਰ ਦੋ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਸਮਰੂਪ ਹਨ ਤਾਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਸਮਾਨ ਅਨੁਪਾਤੀ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ]