PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.7

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.7 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.7

जब तक अन्यथा न कहा जाए, π = \(\frac{22}{7}\) लीजिए

प्रश्न 1.
उस लंब वृत्तीय शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए, जिसकी
(i) त्रिज्या 6 cm, और ऊँचाई 7 है।
(ii) त्रिज्या 3.5 cm और ऊँचाई 12 cm है।
हल :
(i) r = 6 cm, h = 7 cm
शंकु का आयतन = \(\frac{1}{3}\) πr²h

= \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7}\) × 6 × 6 × 7
= 264 cm³
(ii) r = 3.5 cm, h = 12 cm
शंकु का आयतन = \(\frac{1}{3}\)πr²h

= \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7}\) × 3.5 × 3.5 × 12
= \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{35}{10} \times \frac{35}{10} \times 12\)
= 154 cm

प्रश्न 2.
शंकु के आकार के उस बर्तन की लीटरों में धारिता ज्ञात कीजिए जिसकी
(i) त्रिज्या 7 cm और तिर्यक ऊँचाई 25 cm
(ii) ऊँचाई 12 cm और तिर्यक ऊँचाई 13 cm
हल :
(i) यहाँ, r = 7 cm, l = 25 cm
l² = r² + h²
या (25)² = (7)² + h²
या 625 = 49 + h²
या 625 – 49 = h²
या 576 = h²
या h = 576
या h = \(\sqrt{576}\) = 24 cm

∴ शंकु के आकार के बर्तन की धारिता = \(\frac{1}{3}\) πr²h
= \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7}\) × 7 × 7 × 24
= 1232 cm³
= 1.232 l [∵ 1000 cm3 = 1 l]

(ii) यहाँ, h = 12 cm, l = 13 cm
अब r² + h² = l²
या r² + (12) = (13)²
या r² + 144 = 169
या r² = 169 – 144
या r² = 25
या r = \(\sqrt{25}\) = 5 cm

∴ शंकु के आकार के बर्तन की धारिता = \(\frac{1}{3}\) πr²h

प्रश्न 3.
एक शंकु की ऊँचाई 15 cm है। यदि इसका आयतन 1570 cm³ है, तो इसके आधार की त्रिज्या ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 प्रयोग कीजिए)
हल :
शंकु की ऊँचाई ; h = 15 cm
शंकु का आयतन = 1570 cm³
मान लीजिए शंकु की त्रिज्या = r
\(\frac{1}{3}\) πr²h = 1570

या \(\frac{1}{3}\) × 3.14 × r² × 15 = 1570
या 15.70r = 1570
या \(\frac{1570}{100}\) r² = 1570
या r² = 1570 × \(\frac{100}{1570}\) = 100
या r = \(\sqrt{100}\) = 10 cm
अतः आधार की वांछित त्रिज्या 10 है।

प्रश्न 4.
यदि 9 cm ऊँचाई वाले एक लंब वृत्तीय शंकु का आयतन 48 π cm³ है, तो इसके आधार का व्यास ज्ञात कीजिए।
हल :
शंकु का आयतन = 48π cm³ …….(I)
शंकु की ऊँचाई ; h = 9 cm
मान लीजिए शंकु की त्रिज्या = r

∴ शंकु का आयतन = \(\frac{1}{3}\) πr²h
= \(\frac{1}{3}\) πr² × 9 ……(II)
I और II से,
\(\frac{1}{3}\) πr² × 9 = 48 π
या 3r² = 48
या r = \(\frac{48}{3}\) = 16
या r = \(\sqrt{16}\) = 4 cm
∴ आधार का व्यास = 2r = 2 × 4 = 8 cm

प्रश्न 5.
ऊपरी व्यास 3.5 cm वाले शंकु के आकार का एक गढ्ढा 12 cm गहरा है। इसकी धारिता किलोलीटरों में कितनी होगी ?
हल :
गढ्ढे का व्यास = 3.5 m
गढ्ढे की त्रिज्या ; r = \(\frac{3.5}{2}\) = 1.75 m
गढ्ढे की गहराई ; h = 12m
गढ्ढे की धारिता = \(\frac{1}{3}\) πr²h


= 38.5 m³ = 38.5 kl
[∵ 1 m³ = 1000 l = 1 kl]

प्रश्न 6.
एक लंब वृत्तीय शंकु का आयतन 9856 cm³ है। यदि इसके आधार का व्यास 28 cm है, तो ज्ञात कीजिए :
(i) शंकु की ऊँचाई
(ii) शंकु की तिर्यक ऊँचाई
(iii) शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
हल :
(i) शंकु का आयतन = 9856 cm³
शंकु का व्यास = 28 cm
शंकु की त्रिज्या ; r = \(\frac{28}{2}\) = 14 cm
मान लीजिए शंकु की ऊँचाई = h

∴ \(\frac{1}{3}\) πr²h = 9856
[∵ शंकु की आयतन = \(\frac{1}{3}\) πr²h]
या \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7}\) × 14 × 14 × h = 9856
या \(\frac{1}{3}\) × 22 × 2 × 14 × h = 9856
या h = \(\frac{9856 \times 3}{22 \times 2 \times 14}\) = 48 cm
∴ शंकु की ऊँचाई = 48 cm

(ii) मान लीजिए शंकु की तिर्यक ऊँचाई = l
अब l² = r² + h²
l² = (14)² + (48)²
l² = 196 + 2304 = 2500
l = \(\sqrt{2500}\) = 50 cm
∴ शंकु की तिर्यक ऊँचाई = 50 cm

(iii) अब शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl
= \(\frac{22}{7}\) × 14 × 50 = 2200 cm²

प्रश्न 7.
भुजाओं 5 cm, 12 cm और 13 cm वाले एक समकोण त्रिभुज ABC को भुजा 12 cm के परित घुमाया जाता है। इस प्रकार प्राप्त ठोस का आयतन ज्ञात कीजिए।
हल :
जब समकोण त्रिभुज ABC को इसकी 12 cm वाली भुजा के परित घुमाया जाता है, तो ठोस आकृति, शंकु प्राप्त होती है।
12 cm वाली भुजा शंकु की ऊँचाई और 5 cm भुजा वाली शंकु के आधार की त्रिज्या होती है।
अब शंकु की त्रिज्या ; r = 5 cm
शंकु की ऊँचाई ; h = 12 cm

∴ शंकु की आयतन = \(\frac{1}{3}\) πr²h
= \(\frac{1}{3}\) × 5 × 5 × 12
= 100 πcm³

प्रश्न 8.
यदि प्रश्न 7 के त्रिभुज ABC को यदि भुजा 5 cm के परित घुमाया जाए, तो इस प्रकार प्राप्त ठोस आयतन ज्ञात कीजिए। प्रश्नों 7 और 8 में प्राप्त किए गए दोनों ठोसों के आयतनों का अनुपात भी ज्ञात कीजिए।
हल :
जब समकोण त्रिभुज को 5 cm भुजा के पारित घुमाया जाता है, तो ठोस आकृति, शंकु प्राप्त होती है।
12 cm वाली भुजा शंकु के आधार की त्रिज्या 5 cm वाली भुजा शंकु की ऊँचाई होती है।

अब, शंकु की त्रिज्या ; R = 12 cm
शंकु की ऊँचाई ; H = 5 cm
शंकु का आयतन = \(\frac{1}{3}\) πR²h
= \(\frac{1}{3}\) × π × 12 × 12 × 5
= 240π cm³.

∴ वांछित अनुपात = 5 : 12.

प्रश्न 9.
उस सब से बड़े लंब वृत्तीय शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए जो 14 cm भुजा वाले घन में पूरा-पूरा समा सकता है।
हल :
सबसे बड़े लंब वृत्तीय शंकु के वृत्तीय आधार की त्रिज्या = घन का किनारा
⇒ 2r = 14
[जहाँ, r शंकु के वृत्तीय आधार की त्रिज्या है]
⇒ r = \(\frac{14}{2}\)
⇒ r = 7 cm
और शंकु की ऊँचाई h = घन का किनारा = 14 cm

अब, सबसे बड़े शंकु का आयतन

प्रश्न 10.
गेहूँ की एक ढेरी 10.5 m व्यास और ऊँचाई 3 m वाले एक शंकु के आकार की है। इसका आयतन ज्ञात कीजिए। इस ढेरी को वर्षा से बचाने के लिए केनवास से ढका जाना है। वांछित केनवास का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए, शंकु के आकार की ढेरी के आधार की त्रिज्या = r
∴ व्यास ; 2r = 10.5 m
⇒ r = \(\frac{10.5}{2}\) m
⇒ r = \(\frac{105}{20}\) m
⇒ r = \(\frac{21}{4}\) m

शंकु आकार ढेरी की ऊँचाई = h = 3 m
शंकु आकार ढेरी का आयतन = \(\frac{1}{3}\) πr²h

मान लीजिए शंकु आकार ढेरी की तिर्यक ऊँचाई l m है।
∴ l² = r² + h² (पाइथागोरस परिणाम से)

⇒ l = 6.046 m
वांछित केनवास का क्षेत्रफाल = शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
= πrl
= \(\frac{22}{7} \times \frac{21}{4} \times 6.046\)
= 99.75 m² (लगभग)
अतः, केनवास का वांछित क्षेत्रफल 99.75m² (लगभग)