Class 10

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 13 ਸਤੁਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਅਤੇ ਆਇਤਨ Ex 13.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 13 ਸਤੁਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਅਤੇ ਆਇਤਨ Exercise 13.1

ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਨਾ ਕਿਹਾ ਜਾਵੇ, π = \(\frac{22}{7}\) ਲਓ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 1.
ਦੋ ਘਣ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚੋ ਹਰੇਕ ਦਾ ਆਇਤਨ 64 cm³ ਹੈ, ਦੇ ਸਮਾਨ ਫਲਕਾਂ ਨੂੰ ਮਿਲਾ ਕੇ ਇੱਕ ਠੋਸ ਬਣਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ । ਇਸ ਨਾਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਘਣਾਵ ਦੀ ਸਤ੍ਹਾ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ ਹਰੇਕ ਘਣ ਦੀ ਭੁਜਾ = 1 cm
ਘਣ ਦਾ ਆਇਤਨ = 64 cm³
[ ਘਣ ਦਾ ਆਇਤਨ = (ਭੁਜਾ)³]

x³ = 64
x = \(\sqrt[3]{64}\)
= \(\sqrt[3]{4 \times 4 \times 4}\) cm
x = 4 cm
∴ ਘਣ ਦੀ ਭੁਜਾ = 4 cm
ਜਦੋਂ ਦੋ ਘਣਾਂ ਨੂੰ ਨਾਲ-ਨਾਲ ਜੋੜਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਘਣਾਵ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ।
ਜਿਸਦੀ ਲੰਬਾਈ (L) = 2x cm = 2(4) = 8 cm
ਚੌੜਾਈ (B) = x cm = 4 cm
ਉੱਚਾਈ (H) = x cm = 4 cm

ਘਣਾਵ ਦੀ ਸੰਪੂਰਨ ਸੜਾ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= 2[LB + BH + HL]
= 2 [8 × 4 + 4 × 4 + 4 × 8] cm²
= 2 [ 32 + 16 + 32] cm²
= 2 [30] cm²
= 160 cm²

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 2.
ਕੋਈ ਬਰਤਨ ਇੱਕ ਖੋਖਲੇ ਅਰਧ ਗੋਲੇ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਉਪਰ ਇੱਕ ਖੋਖਲਾ ਬੋਲਣ ਲੱਗਿਆ ਹੈ । ਅਰਧ ਗੋਲੇ ਦਾ ਵਿਆਸ 14 cm ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਬਰਤਨ ਦੀ ਕੁੱਲ ਉੱਚਾਈ 13 cm ਹੈ । ਇਸ ਬਰਤਨ ਦੀ ਅੰਦਰੂਨੀ ਸਤ੍ਹਾ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਅਰਧ ਗੋਲੇ ਦਾ ਵਿਆਸ = ਬੇਲਣ ਦਾ ਵਿਆਸ
= 14 cm
2R = 14 cm
ਅਰਧ ਗੋਲੇ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (R) = 7 cm

ਬਰਤਨ ਦੀ ਕੁੱਲ ਉੱਚਾਈ = 13 cm
∴ ਬੇਲਣ ਦੀ ਉਚਾਈ = (13 – 7) = 6 cm
ਬਰਤਨ ਦੀ ਅੰਦਰੂਨੀ ਸਤ੍ਹਾ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = ਬੇਲਣ ਦਾ ਅੰਦਰੂਨੀ ਸੜਾ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ + ਅਰਧ ਗੋਲੇ ਅੰਦਰੂਨੀ ਸਤਾ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= 2πRH + 2πR²
= 2πR [H + R]
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × 7 (6 + 7) cm²
= 44 × 13 cm²
= 572 cm²
∴ ਬਰਤਨ ਦੀ ਅੰਦਰੂਨੀ ਸੜਾ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= 572 cm²

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 3.
ਇੱਕ ਖਿਡੌਣਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ 3.5 cm ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੁ ਆਕਾਰ ਦਾ ਹੈ ਜੋ ਉਸੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਅਰਧ ਗੋਲੇ ‘ਤੇ ਟਿਕਿਆ ਹੈ । ਇਸ ਖਿਡੌਣੇ ਦੀ ਕੁੱਲ ਉੱਚਾਈ 15.5 cm ਹੈ । ਇਸ ਖਿਡੌਣੇ ਦੀ ਕੁੱਲ ਸਤ੍ਹਾ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਸ਼ੰਕੁ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ = ਅਰਧ ਗੋਲੇ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (R) = 3.5 cm
ਖਿਡੌਣੇ ਦੀ ਕੁੱਲ ਉੱਚਾਈ = 15.5 cm
∴ ਸ਼ੰਕੂ ਦੀ ਉੱਚਾਈ (H) = (15.5 – 3.5) cm = 12 cm

ਸ਼ੰਕੂ. ਦੀ ਤਿਰਛੀ ਉੱਚਾਈ = \(\sqrt{\mathrm{R}^{2}+\mathrm{H}^{2}}\)
= \(\sqrt{(3.5)^{2}+(12)^{2}}\) cm
= \(\sqrt {1225+144}\) cm
= \(\sqrt {156.25}\) cm
ਸ਼ੰਕੂ ਦੀ ਤਿਰਛੀ ਉੱਚਾਈ (l) = 12.5 cm
ਖਿਡੌਣੇ ਦੀ ਕੁੱਲ ਸਤਾ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= ਸ਼ੰਕੁ ਦੀ ਕੁੱਲ ਸੜਾ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ + ਅਰਧ ਗੋਲੇ ਦੀ ਕੁੱਲ ਸਤ੍ਹਾ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= πRL + 2πR²
= πR [L + 2R]
= \(\frac{22}{7}\) × 35 [12.5 + 2 (3.5)] cm
= \(\frac{22}{7}\) × 35 [19.5] cm²
= \(\frac{1501.5}{7}\) cm²
= 214.5 cm²
∴ ਖਿਡੌਣੇ ਦੀ ਕੁੱਲ ਸੜਾ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= 214.5 cm²

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 4.
ਭੁਜਾ 7 cm ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਘਣਾਕਾਰ ਬਲਾਕ ਦੇ ਉੱਪਰ ਇੱਕ ਅਰਧ ਗੋਲਾ ਰੱਖਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ । ਅਰਧ ਗੋਲੇ ਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਵਿਆਸ ਕੀ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ ? ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਬਣੇ ਠੋਸ ਦੀ ਸਤ੍ਹਾ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਘਣਾਕਾਰ ਬਲਾਕ ਦੀ ਭੁਜਾ = 7 cm

ਅਰਧ ਗੋਲੇ ਦਾ ਵਿਆਸ = ਘਣਾਕਾਰ ਬਲਾਕ ਦੀ ਭੁਜਾ = 7 cm
2R = 7
R = \(\frac{7}{2}\) cm = 3.5 cm
ਬਣੇ ਠੋਸ ਦੀ ਕੁੱਲ ਸਤ੍ਹਾ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = ਘਣ ਦੀ ਕੁੱਲ ਸਤ੍ਹਾ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ + ਅਰਧ ਗੋਲੇ ਦੀ ਕੁੱਲ ਸੜਾ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= 6(ਭੁਜਾ)² + 2R²
= 6l² + R²
= 6(7)² + 2 × \(\frac{22}{7}\) × \(\frac{7}{2}\) × \(\frac{7}{2}\) cm²
= 294 + 77 = 371 cm²
ਠੋਸ ਦੀ ਕੁੱਲ ਸੜਾ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = (ਘਣ ਦੀ ਕੁੱਲ ਸਤਾ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ) – (ਅਰਧ ਗੋਲੇ ਦੇ ਆਧਾਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ) + (ਅਰਧ ਗੋਲੇ ਦੀ ਵਕਰ ਸਤਾ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ )
= 6l² – πR² + 2πR²
= 6l² + πR²
= [6(7)² + \(\frac{22}{7}\) × \(\left(\frac{7}{2}\right)^{2}\) ] cm²
= [6(49) + 11 × \(\frac{7}{2}\)] cm²
= 332.5 cm²

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 5.
ਇੱਕ ਘਣਾਕਾਰ ਲੱਕੜ ਦੇ ਬਲਾਕ ਦੇ ਇੱਕ ਫਲਕ ਨੂੰ ਅੰਦਰ ਵੱਲ ਕੱਟ ਕੇ ਇੱਕ ਅਰਧ ਗੋਲਾਕਾਰ ਖੱਡਾ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਬਣਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ ਅਰਧ ਗੋਲੇ ਦਾ ਵਿਆਸ ਘਣ ਦੇ ਇੱਕ ਕਿਨਾਰੇ l ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ । ਬਾਕੀ ਬਚੇ ਠੋਸ ਦੀ ਸਤਾ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ ਘਣ ਦੀ ਭੁਜਾ = a
∴ ਅਰਧ ਗੋਲੇ ਦਾ ਵਿਆਸ = ਘਣ ਦੀ ਭੁਜਾ = a
2R = a
R = \(\frac{a}{2}\)

ਬਾਕੀ ਬਚੇ ਠੋਸ ਦੀ ਸਤ੍ਹਾ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = ਘਣ ਦੀ ਕੁੱਲ ਸੜਾ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ – ਘਣ ਦੇ ਆਧਾਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ + ਅਰਧ ਗੋਲੇ ਦਾ ਅੰਦਰੂਨੀ ਵਕਰ ਸੜਾ ਦਾ
ਖੇਤਰਫਲ
= 6 (ਭੁਜਾ)² – πR² + 2πR²
= 6(a)² + πR²
= 6(a)² + π\(\left(\frac{a}{2}\right)^{2}\)
= 6a² + π\(\frac{a^{2}}{4}\)
= a²[6 + \(\frac{\pi}{4}\)]

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 6.
ਦਵਾਈ ਦਾ ਇੱਕ ਕੈਪਸੂਲ (capsule) ਇੱਕ ਬੇਲਣ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਦੇ ਦੋਨਾਂ ਸਿਰਿਆਂ ‘ਤੇ ਇੱਕ-ਇੱਕ | ਅਰਧ ਗੋਲਾ ਲੱਗਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ । ਦੇਖੋ ਚਿੱਤਰ) ਪੁਰੇ ਕੈਪਸੂਲ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 14 mm ਹੈ ਅਤੇ ਉਸ ਦਾ ਵਿਆਸ 5 mm ਹੈ । ਇਸ਼ਦੀ ਸਤ੍ਹਾ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ।

ਹੱਲ:
ਕੈਪਸੁਲ ਦਾ ਵਿਆਸ = ਅਰਧ ਗੋਲੇ ਦਾ ਵਿਆਸ = ਬੇਲਣ ਦਾ ਵਿਆਸ = 5 mm
∴ 2R = 5 mm
R = \(\frac{5}{2}\) mm

ਕੈਪਸੂਲ ਦੀ ਅੰਦਰੂਨੀ ਲੰਬਾਈ = 14 mm
ਬੇਲਣਾਕਾਰ ਭਾਗ ਦੀ ਉੱਚਾਈ = (14 – \(\frac{5}{2}\) – \(\frac{5}{2}\)) mm
= (14 – 5) mm
H = 9 mm
ਕੈਪਸੂਲ ਦੀ ਕੁੱਲ ਸਤਾ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= ਬੇਲਣ ਦੀ ਕੁੱਲ ਸਤਾ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ + 2 ਅਰਧ ਗੋਲੇ ਦਾ ਕੁੱਲ ਸਤ੍ਹਾ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= 2πRH + 2(2πR²)
= 2πRH + 4πR²
= 2πR [H + 2R]
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × \(\frac{5}{2}\)[9 + 5 ] mm²
= \(\frac{22}{7}\) × 5 × 14 mm²
= 22 × 5 × 2 mm²
= 220 mm²

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 7.
ਕੋਈ ਤੰਬੂ ਇੱਕ ਬੇਲਣ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ‘ਤੇ ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ ਬਣਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ । ਜੇਕਰ ਬੇਲਣਾਕਾਰ ਭਾਗ ਦੀ ਉੱਚਾਈ ਅਤੇ ਵਿਆਸ ਕੁਮਵਾਰ 2.1 m ਅਤੇ 4m ਹਨ ਅਤੇ ਸ਼ੰਭ ਦੀ ਤਿਰਛੀ ਉੱਚਾਈ 2.8 m ਹੈ, ਤਾਂ ਇਸ ਤੰਬੂ ਨੂੰ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਵਰਤੇ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਕੈਨਵਸ (canvas) ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ । ਨਾਲ ਹੀ ਤੋਂ 500 ਪ੍ਰਤੀ m² ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਇਸ ਵਿੱਚ ਵਰਤੋਂ ਹੋਣ ਵਾਲੇ ਕੈਨਵਸ ਦੀ ਲਾਗਤ ਪਤਾ ਕਰੋ । (ਧਿਆਨ ਦਿਉ ਕਿ ਤੰਬੂ ਦੇ ਆਧਾਰ ਨੂੰ ਕੈਨਵਸ ਨਾਲ ਨਹੀਂ ਢੱਕਿਆ ਜਾਂਦਾ ॥
ਹੱਲ:
ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ ਵਿਆਸ = ਬੇਲਣ ਦਾ ਵਿਆਸ
2R = 4 m
R = 2 m

ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ = ਬੇਲਣ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ
ਬੇਲਣ ਦੀ ਉੱਚਾਈ (H) = 2.1 m
ਸ਼ੰਕੂ ਦੀ ਤਿਰਛੀ ਉੱਚਾਈ(L) = 2.8m
ਤੰਬੂ ਦੀ ਵਕਰ ਸਤਾ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= ਬੇਲਣ ਦੀ ਵਕਰ ਸਤਾ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ + ਸ਼ੰਕੂ ਦੀ ਵਕਰ ਸੜਾ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= 2πRH + πRL
= πR [2H + L]
= \(\frac{22}{7}\) × 2[2(21) + 28]m²
= \(\frac{22}{7}\) × 2[42 + 2.8]m²
= \(\frac{22}{7}\) × 2 × 7 m²
= 44 m²
∴ ਤੰਬੂ ਦੀ ਵਕਰ ਸਤਾ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = 44 m²
1m² ਕੈਨਵਸ ਦੀ ਲਾਗਤ = ₹ 500
44 m² ਕੈਨਵਸ ਦੀ ਲਾਗਤ = ₹ 44 × 500
= ₹ 22000
ਕੈਨਵਸ ਦੀ ਕੁਲ ਲਾਗਤ = ₹ 22000

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 8.
ਉੱਚਾਈ 2.4 cm ਅਤੇ ਵਿਆਸ 1.4 cm ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਠੋਸ ਬੇਲਣ ਵਿੱਚੋਂ ਇਸੇ ਉੱਚਾਈ ਅਤੇ ਇਸੇ ਵਿਆਸ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ ਆਕਾਰ ਦਾ ਖੋਲ (cavity) ਕੱਟ ਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ । ਬਾਕੀ ਬਚੇ ਠੋਸ ਦਾ ਨੇੜੇ ਤੋਂ ਨੇੜੇ ਵਰਗ ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ (cm²) ਤੱਕ ਕੁੱਲ ਸੜਾ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਬੇਲਣ ਦਾ ਵਿਆਸ (D) = 1.4 cm
= ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ ਵਿਆਸ
∴ ਬੇਲਣ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ =ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ
(R) = 0.7 cm
ਬੇਲਣ ਦੀ ਉੱਚਾਈ (H) = 2.4 cm

ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ L² = R² + H²
L = \(\sqrt{(0.7)^{2}+(2.4)^{2}}\)
= \(\sqrt {0.49+5.76}\)
= \(\sqrt {6.25}\) = 2∙5
L = 2.5 cm
ਬਾਕੀ ਬਚੇ ਠੋਸ ਦੀ ਕੁੱਲ ਸੜਾ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= ਬੇਲਣ ਦੀ ਵਕਰ ਸਤਾ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ + ਬੇਲਣ ਦੇ ਆਧਾਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ + ਸ਼ੰਕੂ ਦੀ ਸਤ੍ਹਾ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= 2πRH + πR² + πRL
= πR [2R + R + L]
= \(\frac{22}{7}\) × 0.7 [2(24) + 0.7 + 25]
= \(\frac{22}{7}\) × \(\frac{7}{10}\) [48 + 3.2] cm²
= \(\frac{22}{10}\) × [8] cm²
= \(\frac{176}{10}\) = 17.6 cm²
ਬਾਕੀ ਬਚੇ ਠੋਸ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = 17.6 cm²

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 9.
ਲੱਕੜੀ ਦੇ ਇੱਕ ਠੋਸ ਬੇਲਣ ਦੇ ਹਰੇਕ ਸਿਰੇ ‘ਤੇ ਇਕ ਅਰਧ ਗੋਲਾ ਖੋਦ ਕੇ ਕੱਢਦੇ ਹੋਏ, ਇੱਕ ਵਸਤੂ ਬਣਾਈ ਗਈ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਬੇਲਣ ਦੀ ਉੱਚਾਈ 10 cm ਹੈ ਅਤੇ ਆਧਾਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ 3.5 cm ਹੈ ਤਾਂ ਇਸ ਵਸਤੂ ਦੀ ਕੁੱਲ ਸਤ੍ਹਾ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ।

ਹੱਲ:
ਬੇਲਣ ਦੀ ਉੱਚਾਈ (H) = 10 cm
ਬੇਲਣ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ = ਅਰਧਗੋਲੇ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (R) = 3.5 cm

ਵਸਤੂ ਦੀ ਕੁੱਲ ਸਤ੍ਹਾ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = ਬੇਲਣ ਦੀ ਵਕਰ ਸਤ੍ਹਾ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ + 2 (ਅਰਧ ਗੋਲੇ ਦੀ ਵਕਰ ਸੜਾ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ)
= 2πRH + 2(2πR²)
= 2πR[H + 2R]
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × 35 [10 + (35)] cm²
= \(\frac{44}{7}\) × \(\frac{35}{10}\)[10 + 7]cm²
= 44 × \(\frac{5}{10}\) × 17 cm²
= 44 × \(\frac{1}{2}\) × 17 cm²
= 22 × 17 cm²
= 374 cm²
∴ ਵਸਤੂ ਦੀ ਕੁੱਲ ਸੜਾ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= 374 cm²

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 12 ਚੱਕਰ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਖੇਤਰਫਲ Ex 12.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 12 ਚੱਕਰ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਖੇਤਰਫਲ Exercise 12.3

(ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਨਾ ਕਿਹਾ ਜਾਵੇ, π = \(\frac{22}{7}\) ਦਾ ਹੀ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ)

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 1.
ਚਿੱਤਰ ਵਿਚ, ਰੰਗੀਨ ਭਾਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਜੇਕਰ PO = 24 cm, PR = 7 cm ਅਤੇ O ਚੱਕਰ ਦਾ ਕੇਂਦਰ ਹੈ ।

ਹੱਲ:
PQ = 24 cm
PR = 7 cm
RQ ਚੱਕਰ ਦਾ ਵਿਆਸ ਹੈ ।
∠RPQ = 90° [ ਅਰਧਚੱਕਰ ਵਿਚ ਬਣਿਆ ਕੋਣੀ △PQR]
QR² = RP² + PQ²
QR = \(\sqrt{(7)^{2}+(24)^{2}}\) = \(\sqrt {49+576}\)
= \(\sqrt {625}\)
QR = 25 cm
∴ ਚੱਕਰ ਦਾ ਵਿਆਸ (QR) = 25 cm
ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (R) = \(\frac{25}{2}\) cm
ਛਾਇਆ ਅੰਕਿਤ ਭਾਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = ਅਰਧ ਚੱਕਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ – △RPQ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= \(\frac{1}{2}\)πR² – \(\frac{1}{2}\)RP × PQ
= [\(\frac{1}{2}\) × \(\frac{22}{7}\) × \(\frac{25}{2}\) × \(\frac{25}{2}\) – \(\frac{1}{2}\) × 7 × 24] cm²
= [\(\frac{6875}{28}\) – 84] cm = \(\frac{4523}{28}\) cm²
= 161.53 cm²

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 2.
ਚਿੱਤਰ ਵਿਚ, ਰੰਗੀਨ ਭਾਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਜੇਕਰ ਕੇਂਦਰ O ਵਾਲੇ ਦੋਵਾਂ ਸਮਕੇਂਦਰੀ ਚੱਕਰਾਂ (concentric) ਦੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਕ੍ਰਮਵਾਰ 7 cm ਅਤੇ 14 cm ਹਨ ਅਤੇ ∠AOC = 40° ਹੈ ।
ਹੱਲ:
ਛੋਟੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (r) = 7 cm
ਵੱਡੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (R) = 14 cm
ਕੇਂਦਰੀ ਕੋਣ ∠AOC (θ) = 40°

ਛਾਇਆ ਅੰਕਿਤ ਭਾਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = ਦੀਰਘ ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ OAC ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ – ਲਘੂ ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ OBD ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ

= 51.33 cm²
∴ ਛਾਇਆ ਅੰਕਿਤ ਭਾਰੀ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= 51.33 cm²

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 3.
ਚਿੱਤਰ ਵਿਚ, ਰੰਗੀਨ ਭਾਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਜੇਕਰ ABCD ਭੂਜਾ 14 cm ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਵਰਗ ਹੈ ਅਤੇ APD ਅਤੇ BPC ਦੋ ਅਰਧ ਚੱਕਰ ਹਨ ।

ਹੱਲ:
ਵਰਗ ਦੀ ਭੁਜਾ = 14 cm
ਅਰਧ ਚੱਕਰ ਦਾ ਵਿਆਸ (AB = BC) = 14 cm
ਅਰਧ ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (R) = 7 cm
ਵਰਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = (ਭੂਜਾ)²
= 14 × 14 cm²
= 196 cm²
ਅਰਧ ਚੱਕਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = \(\frac{1}{2}\)πR²
= \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{22}{7}\) × 7 × 7 cm²
= 77 cm²
ਦੋ ਅਰਧ ਚੱਕਰਾਂ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = 2(77) cm²
= 154 cm²
ਰੰਗੀਨ ਭਾਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = ਵਰਗ ABCD ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ – ਦੋ ਅਰਧ ਚੱਕਰਾਂ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= (196 – 154) cm²
= 42 cm²
∴ ਛਾਇਆ ਵਾਲੇ ਭਾਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = 42 cm²

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 4.
ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ, ਰੰਗੀਨ ਭਾਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ ਭੁਜਾ 12 cm ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਸਮਭੁਜੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜ OAB ਦੇ ਸਿਖਰ O ਨੂੰ ਕੇਂਦਰ ਮੰਨ ਕੇ 6 cm ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਚੱਕਰੀ ਚਾਪ ਖਿੱਚਿਆ ਗਿਆ ਹੈ।

ਹੱਲ:
ਚਾਪ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (R) = 6 cm
ਸਮਭੁਜੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜ OAB ਦੀ ਭੁਜਾ = 12 cm
OA = OB = AB = 12 cm
∴ ਕੇਂਦਰੀ ਕੋਣ (θ) = 60°
[ਸਿਮਭੁਜੀ ਤਿਭੁਜ ਦਾ ਹਰੇਕ ਕੋਣ 60°]
ਚੱਕਰ ਦੀ ਦੀਰਘ ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = ਚੱਕਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ – ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ

= 94.28 cm²
∴ ਦੀਰਘ ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= 94.28 cm²
ਸਮਭੁਜੀ △OAB ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= \(\frac{\sqrt{3}}{4}\)(ਭੁਜਾ²
= \(\frac{1.73}{4}\) × 12 × 12 cm²
= 1.73 × 36 cm²
= 62.28 cm²
ਰੰਗੀਨ ਭਾਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = ਸਮਭੁਜੀ ਤਿਭੁਜ OAB ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ + ਦੀਰਘ ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= (62.28 +94.28) cm²
= 156.56 cm²
∴ ਰੰਗੀਨ ਭਾਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = 156.56 cm²

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 5.
ਭੁਜਾ 4 cm ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਵਰਗ ਦੇ ਹਰੇਕ ਕੋਨੇ ਤੋਂ 1 cm ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਇੱਕ ਚੌਥਾਈ ਕੱਟਿਆ ਗਿਆ ਹੈ ਅਤੇ ਵਿਚਾਲੇ 2 cm ਵਿਆਸ ਦਾ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਵੀ ਕੱਟਿਆ ਗਿਆ ਹੈ , ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਰਸ਼ਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ | ਵਰਗ ਦੇ ਬਾਕੀ ਭਾਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ।

ਹੱਲ:
ਵਰਗ ਦੀ ਭੁਜਾ = 4 cm
ਕੱਟੇ ਗਏ ਹਰੇਕ ਚੌਥਾਈ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (r) = 1 cm
ਚੱਕਰ ਦਾ ਵਿਆਸ (R) = 2 cm
∴ ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (R) = 1 cm
ਵਰਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = (ਭੁਜਾ)²
= (4)² = 16 cm²
4 ਚੋਥਾਈਆਂ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= 4\(\left[\frac{\pi r^{2} \theta}{360^{\circ}}\right]\)] = \(\frac{4 \times 90^{\circ}}{360^{\circ}}\) × \(\frac{22}{7}\) × 1 × 1
= 1 × \(\frac{22}{7}\) × 1 × 1 cm²
= 3.14 cm²
ਚੱਕਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = πR²
= \(\frac{22}{7}\) × 1 × 1 = \(\frac{22}{7}\) cm²
= 3.14 cm²
ਲੋੜੀਂਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = (ਵਰਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ) – (4 ਚੌਥਾਈਆਂ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ) – (ਚੱਕਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ)
= (16 – 3.14 – 3.14) cm²
= 9.72 cm²
ਲੋੜੀਂਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = 9.72 cm²

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 6.
ਇੱਕ ਚੱਕਰਾਕਾਰ ਮੇਜਪੋਸ਼, ਜਿਸਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ 32 cm ਹੈ, ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਮਭੁਜੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ABC ਛੱਡਦੇ ਹੋਏ ਇੱਕ ਡਿਜ਼ਾਇਨ ਬਣਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ ।ਇਸ ਡਿਜ਼ਾਇਨ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ।

ਹੱਲ:
ਮੇਜਪੋਸ਼ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (R) = 32 cm
OA = OB = OC = 32 cm

△ABC ਇਕ ਸਮਭੁਜੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿਚ
AB = AC = BC = 32 cm
∠A = ∠B = ∠C = 60°
∠AOB = 120° = ∠BOC
OM ⊥ BC
BM = MC = \(\frac{1}{2}\)BC
△OBM ≅ △OMC [RHS ਸਰਬੰਗਸਮਤਾ]
ਹੁਣ △BOC ਵਿੱਚ,
ਬਿੰਦੂ O ਤੋਂ OM, ∠BOC ਅਤੇ BC ਦਾ ਲੰਬ ਸਮਦੁਭਾਜਕ ਖਿੱਚੋਂ ।
BM = MC = \(\frac{1}{2}\)BC
∴ ਪਰ OB = OC [ਚੱਕਰ ਦੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ]
∴ ∠B = ∠C
∴ ∠O + ∠B + ∠C = 180°
120° + 2∠B = 180°
∠B = 30°
ਅਤੇ ∠B = ∠C = 30°
ਪਰ ∠BOM ≅ ∠COM = 60°
△OMB ≅ △OMC [ਸਮਕੋਣ-ਕਣ-ਭੁਜਾ]
∴ △OMB ਵਿੱਚ
∠OBM = 30° [∠O = 60° ਅਤੇ ∠M = 90°]
∴ \(\frac{BM}{OB}\) = cos 30°
\(\frac{BM}{32}\) = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
BM = 16\(\sqrt {3}\) cm
∴ BC = 2MB = 32\(\sqrt {3}\) cm
ਚੱਕਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = πR² = \(\frac{22}{7}\) × (32)²
= \(\frac{22}{7}\) × 32 × 32
= 3218.28 cm²
△ ABC ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = \(\frac{\sqrt{3}}{4}\)(ਭੁਜਾ)²
= \(\frac{1.73}{4}\) × 32\(\sqrt {3}\) × 32\(\sqrt {3}\)
= 1328.64 cm²
∴ ਲੋੜੀਂਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = ਚੱਕਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ – △ABC ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= (3218.28 – 1328.64) cm²
= 1889.64 cm²

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 7.
ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ, ABCD ਭੁਜਾ 14 cm ਵਾਲਾ ਇੱਕ | ਵਰਗ ਹੈ । A,B,C ਅਤੇ D ਨੂੰ ਕੇਂਦਰ ਮੰਨ ਕੇ, ਚਾਰ ਚੱਕਰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਖਿੱਚੇ ਗਏ ਹਨ ਕਿ ਹਰੇਕ ਚੱਕਰ ਤਿੰਨ ਬਾਕੀ ਚੱਕਰਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਦੋ ਚੱਕਰਾਂ ਨੂੰ ਬਾਹਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਪਰਸ਼ ਕਰਦਾ ਹੈ । ਰੰਗੀਨ ਭਾਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ।

ਹੱਲ:
ਵਰਗ ABCD ਦੀ ਭੁਜਾ = 14 cm
ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (R) = 7 cm
ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਕੋਣ (θ) = 90°
[ਵਰਗ ਦਾ ਹਰੇਕ ਕੋਣ = 90°]
ਵਰਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = (ਭੁਜਾ)²
= 14 × 14 = 196 cm²
ਚਾਰ ਚੌਥਾਈਆ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = 4\(\left[\frac{\pi \mathrm{R}^{2} \theta}{360^{\circ}}\right]\)
= 4 × \(\frac{22}{7}\) × \(\frac{7×7×90}{360}\) cm²
= 22 × 7 = 154 cm²
∴ ਲੋੜੀਂਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = ਵਰਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ- ਚਾਰ ਚੌਥਾਈਂਆ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ।
= (196 – 154) cm²
= 42 cm²

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 8.
ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਦੌੜਨ ਦਾ ਰਸਤਾ (racing track) ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ, ਜਿਸਦੇ ਸੱਜੇ ਅਤੇ ਖੱਬੇ ਸਿਰੇ ਅਰਧ ਚੱਕਰਾਕਾਰ ਹਨ। ਦੋਨਾਂ ਅੰਦਰੁਨੀ ਸਮਾਂਤਰ ਰੇਖਾਖੰਡਾਂ ਦੇ ਵਿਚਾਲੇ ਦੀ ਦੂਰੀ 60 m ਹੈ । ਉਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਰੇਖਾਖੰਡ 106 m ਲੰਬਾ ਹੈ । ਜੇਕਰ ਇਹ ਰਸਤਾ 10 m ਚੌੜਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
(i) ਰਸਤੇ ਦੇ ਅੰਦਰੂਨੀ ਕਿਨਾਰਿਆਂ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਇੱਕ ਪੂਰਾ ਚੱਕਰ ਲਗਾਉਣ ਵਿੱਚ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਗਈ ਦੂਰੀ
(ii) ਰਸਤੇ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ

ਹੱਲ:

(i) ਇੱਥੇ AB = DC = 106 m
AF = BE = CG = HD = 10 m
ਅੰਦਰਲੇ ਅਰਧ ਚੱਕਰ (APD ਅਤੇ BRC) ਦਾ ਵਿਆਸ = 60 m
∴ ਅਰਧ ਚੱਕਰ (APD) ਦਾ ਅੰਦਰੂਨੀ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (r) = 30 m
ਅਰਧ ਚੱਕਰ ਦਾ ਬਾਹਰੀ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (R) = r + 10
= 30 + 10 = 40 m
ਰਸਤੇ ਦੇ ਅੰਦਰੂਨੀ ਕਿਨਾਰਿਆਂ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਇੱਕ ਪੂਰਾ ਚੱਕਰ ਲਗਾਉਣ ਵਿਚ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਗਈ ਦੂਰੀ
= AB + ਅਰਧ ਚੱਕਰ BRCਦਾ ਪਰਿਮਾਪ +CD + ਅਰਧ ਚੱਕਰ DPA ਦਾ ਪਰਿਮਾਪ
=2AB + 2 [ਅਰਧ ਚੱਕਰ BRC ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ]
= 2 (106) + 2\(\left(\frac{2 \pi r}{2}\right)\)
= 212 + 2πr
= 212 + 2 × \(\frac{22}{7}\) × 30
= 212 + \(\frac{60×22}{7}\)
= 212 + 188.57
= 400.57 m
∴ ਰਸਤੇ ਦੇ ਅੰਦਰਲੇ ਕਿਨਾਰਿਆਂ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਪੂਰੇ ਚੱਕਰ ਵਿਚ ਤੈਅ ਦੂਰੀ
= 400.57 m

(ii) ਰਸਤੇ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = ਆਇਤ ABEF ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ + ਖੇਤਰ BEMGCRB ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ+ਆਇਤ CGHD ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ + ਖੇਤਰ CGRBMEB ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= 2 ਆਇਤ ABCD ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ +2 ਖੇਤਰਾਂ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= 2 (AB × AF) + 2 [ਅਰਧ ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ 60 cm – ਅਰਧ ਚੱਕਰ ਜਿਸਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ 30 cm ਹੈ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ]
= 2[106 ×10] + 2[\(\frac{\pi R^{2}}{2}\) – \(\frac{\pi r^{2}}{2}\)]
=2 × 1060 + \(\frac{2 \pi}{2}\)[R² – r²]
= 2120 + \(\frac{22}{7}\) × (40² – 30²)
= 2120 + \(\frac{22}{7}\)[1600 – 900]
= 2120 + \(\frac{22}{7}\)[700]
= 2120 + 2200
= 4320 m²
∴ ਰਸਤੇ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = 4320 m²

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 9.
ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ AB ਅਤੇ CD ਕੇਂਦਰ O ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦੇ ਦੋ ਪਰਸਪਰ ਆਪਸ ਵਿੱਚ) ਲੰਬ ਵਿਆਸ ਹਨ ਅਤੇ OD ਛੋਟੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਵਿਆਸ ਹੈ । ਜੇਕਰ OA = 7 cm ਹੈ, ਤਾਂ ਰੰਗੀਨ ਭਾਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ।

ਹੱਲ:
ਚੱਕਰ ਦਾ ਵਿਆਸ = 14 cm
ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ =7 cm
ਛੋਟੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਵਿਆਸ = 7 cm
∴ ਛੋਟੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ = \(\frac{7}{2}\) cm
AB ਅਤੇ CD ਇਕ ਚੱਕਰ ਦੇ ਦੋ ਪਰਸਪਰ ਲੰਬ ਵਿਆਸ ਹਨ ।
AD ⊥ CD
ਵੱਡੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = πR²
= \(\frac{22}{7}\) × 7 × 7 cm²
= 154 cm²
ਛੋਟੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = πr²
= \(\frac{22}{7}\) × \(\frac{7}{2}\) × \(\frac{7}{2}\) cm²
= 38.50 cm²
△ABC ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = \(\frac{1}{2}\) ਦਾ ਆਧਾਰ × ਉੱਚਾਈ
= \(\frac{1}{2}\) × 14 × 7 cm²
= 49 cm²
∴ ਰੰਗੀਨ ਭਾਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = ਵੱਡੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ-ਛੋਟੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ-ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= (154 – 38.5 – 49) cm²
= 66.5 cm²

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 10.
ਇੱਕ ਸਮਭੁਜੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ABC ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ 17320.5 cm² ਹੈ । ਇਸ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੇ ਹਰੇਕ ਸਿਖ਼ਰ ਨੂੰ ਕੇਂਦਰ ਮੰਨ ਕੇ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੀ ਭੁਜਾ ਦੇ ਅੱਧ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਲੈ ਕੇ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ(ਦੇਖੋ ਚਿੱਤਰ) । ਰੰਗੀਨ ਭਾਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
(π = 3.14 ਅਤੇ \(\sqrt {3}\) = 1.73205 ਲਓ)

ਹੱਲ:
ਸਮਭੁਜੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ABC ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= 17320.5 cm²

ਭੁਜਾ = 2 × 100 = 200 cm
∴ AB = BC = AC
ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (R) = \(\frac{AB}{2}\) = \(\frac{200}{2}\) cm
= 100 cm
ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਕੋਣ, θ = 60°
ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ APN ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = \(\frac{\pi R^{2} \theta}{360^{\circ}}\)
= \(\frac{3.14 \times 100 \times 100 \times 60^{\circ}}{360^{\circ}}\) cm²
= 5233.33 cm²
ਤਿੰਨਾਂ ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡਾਂ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= 3 × 5233.33 cm²
= 15699.99 cm²
= 15700 cm²
∴ ਲੋੜੀਂਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ – ਤਿੰਨ ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡਾਂ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= 17320.5 – 15700 = 1620.5 cm²
∴ ਲੋੜੀਂਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = 1620.5 cm²

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 11.
ਇੱਕ ਵਰਗਾਕਾਰ ਰੁਮਾਲ ‘ ਤੇ ਨੌ ਚੱਕਰਾਕਾਰ | ਡਿਜਾਇਨ ਬਣੇ ਹਨ, ਜਿਸ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ 7 cm ਹੈ । (ਦੇਖੋ ਚਿਤਰ), ਰੁਮਾਲ ਦੇ ਬਾਕੀ ਭਾਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ।

ਹੱਲ:
ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (R) = 7 cm
ਚੱਕਰ ਦਾ ਵਿਆਸ = 2 × R
= 2 × 7
= 14 cm
ਕਿਉਂਕਿ ਵਰਗ ਦੀ ਭੁਜਾ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਤਿੰਨ ਚੱਕਰ ਹਨ।
∴ ਵਰਗ ਦੀ ਭੁਜਾ = 3 [14] cm = 42 cm
ਰੁਮਾਲ ਦਾ ਕੁੱਲ ਖੇਤਰਫਲ = ਵਰਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= (ਭੁਜਾ)²
= (42)² = 1764 cm²
ਨੌ ਚੱਕਰਾਕਾਰ ਡਿਜਾਈਨਾਂ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = 9πR²
= 9 × \(\frac{22}{7}\) × (7)² cm²
= 9 × \(\frac{22}{7}\) × 7 × 7 cm²
=9 × 154 cm²
= 1386 cm²
∴ ਬਾਕੀ ਭਾਗ ਦਾ ਲੋੜੀਂਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= ਵਰਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ – 9 ਚੱਕਰਾਂ ਡਿਜਾਈਨਾਂ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= (1764 – 1386) cm²
= 378 cm²

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 12.
ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ, OACB, ਕੇਂਦਰ O ਅਤੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ 3.5 cm ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦਾ ਚੌਥਾ ਭਾਗ ਹੈ । ਜੇਕਰ OD = 2 cm ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਹੇਠਾਂ ਲਿਖਿਆਂ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ :
(i) ਚੌਥਾਈ OACB
(ii) ਰੰਗੀਨ ਭਾਗ ।

ਹੱਲ:
ਚੌਥਾਈ ਭਾਗ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (R) = 3.5 cm
ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਕੋਣ (θ) = 90°
OD = 2 cm.
(i) ਚੌਥਾਈ OACB ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = \(\frac{\pi R^{2} \theta}{360^{\circ}}\)
= \(\frac{22}{7}\) × \(\frac{3.5 \times 3.5 \times 90^{\circ}}{360^{\circ}}\) cm²
=9.625 cm²

(ii) △ODB ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = \(\frac{1}{2}\) ਆਧਾਰ × ਉਚਾਈ
= \(\frac{1}{2}\) × 3.5 × 2 cm² = 3.5 cm²
∴ ਰੰਗੀਨ ਭਾਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = ਚੌਥਾਈ ਭਾਗ OACB ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ – △ODB ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= (9.625 – 3.5) cm²
= 6.125 cm²

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 13.
ਚਿੱਤਰ ਵਿਚ, ਇੱਕ ਚੌਥਾਈ OPBQ ਦੇ ਅੰਦਰ ਇੱਕ ਵਰਗ OABC ਬਣਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ । ਜੇਕਰ OA = 20 cm ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਰੰਗੀਨ ਭਾਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
(π = 3.14 ਲਓ)

ਹੱਲ:
ਵਰਗ ABCO ਦੀ ਭੁਜਾ = 20 cm
∠AOC= 90°
AB = OA

∴ △OAB ਵਿੱਚ
OB² = OA² + AB²
OB = \(\sqrt{(20)^{2}+(20)^{2}}\)
= \(\sqrt {400+400}\)
= \(\sqrt {800}\)
OB = 20\(\sqrt {2}\) cm
ਵਰਗ OABC ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = (ਭੁਜਾ)² = (20)²
∴ ਵਰਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = 400 cm²
ਚੌਥਾਈ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (R) = 20\(\sqrt {2}\) cm
ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਕੋਣ (θ) = 90°
ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = \(\frac{\pi \mathrm{R}^{2} \theta}{360^{\circ}}\)
= \(\frac{3.14 \times 20 \sqrt{2} \times 20 \sqrt{2} \times 90^{\circ}}{360^{\circ}}\)
= 2 × 314 cm²
= 628 cm²
∴ ਲੋੜੀਂਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ – ਵਰਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= (628 – 400) cm²
= 228 cm²

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 14.
AB ਅਤੇ CD ਕੇਂਦਰ O ਅਤੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸਾਂ 21 cm ਅਤੇ 7 cm ਵਾਲੇ ਦੋ ਸਮਕੇਂਦਰੀ ਚੱਕਰਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਦੋ ਚਾਪ ਹਨ (ਦੇਖੋ ਚਿੱਤਰ) । ਜੇਕਰ ∠OB = 30° ਹੈ, ਤਾਂ ਰੰਗੀਨ ਭਾਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ।

ਹੱਲ:
ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ OBA ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (R) = 21 cm
ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ODCਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (r) = 7 cm
ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਕੋਣ (θ) = 30°
ਦੀਰਘ ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ (OAB) ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = \(\frac{\pi \mathrm{R}^{2} \theta}{360^{\circ}}\)
= \(\frac{22}{7}\) x \(\frac{21 \times 21 \times 30^{\circ}}{360^{\circ}}\) cm²
= 115.5 cm²
ਲਘੂ ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ (ODC) ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = \(\frac{\pi r^{2} \theta}{360^{\circ}}\)
= \(\frac{22}{7}\) × \(\frac{7 \times 7 \times 30^{\circ}}{360^{\circ}}\) cm²
= 12.83 cm²
ਰੰਗੀਨ ਭਾਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = ਦੀਰਘ ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ (OAB) – ਲਘੂ ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ (OCD)
= (115.5 – 12.83) cm²
= 102.66 cm²

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 15.
ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ, ABC ਅਰਧ ਵਿਆਸ 14 cm ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦਾ ਚੌਥਾਈ ਹਿੱਸਾ ਹੈ ਅਤੇ BC ਨੂੰ ਬਿਆਸ ਮੰਨ ਕੇ ਇੱਕ ਅਰਧ ਚੱਕਰ ਖਿੱਚਿਆ ਗਿਆ ਹੈ । ਰੰਗੀਨ ਭਾਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ।

ਹੱਲ:
ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ACPB ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (r) = 14 cm
ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਕੋਣ (θ) = 90°
AB = AC = 7 cm

ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = \(\frac{1}{2}\) AB × AC
= \(\frac{1}{2}\) × 14 × 14 cm² = 98 cm²
ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ACPB ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = \(\frac{\pi r^{2} \theta}{360^{\circ}}\)
= \(\frac{22}{7}\) × \(\frac{14 \times 14 \times 90^{\circ}}{360^{\circ}}\)
= 154cm²
∴ BOCPB ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ABPC ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ – △ABC ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= 154 cm² – 98 cm²
= 56 cm²
△BAC ਵਿੱਚ, AB² + AC² = BC²
(14)² + (14)² = BC²
BC = \(\sqrt {196+196}\) = \(\sqrt{2(196)}\)
= 14\(\sqrt {2}\) cm
∴ ਅਰਧ ਚੱਕਰ BOCR ਦਾ ਅਰਵਿਆਸ = \(\frac{14 \sqrt{2}}{2}\)
= 7\(\sqrt {2}\) cm
ਅਰਧ ਚੱਕਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = \(\frac{\pi \mathrm{R}^{2}}{2}\)
= \(\frac{22}{7}\) × \(\frac{7 \sqrt{2} \times 7 \sqrt{2}}{2}\) cm²
= \(\frac{22}{7}\) × \(\frac{7 \times 7 \times 2}{2}\) cm²
= 154 cm²
ਲੋੜੀਂਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = ਅਰਧ ਚੱਕਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ [ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ – △BAC ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= 154 – [154 – 98]
= 154 – 56 = 98 cm²
ਰੰਗੀਨ ਭਾਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = 98 cm²

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 16.
ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ, ਰੰਗੀਨ ਡਿਜਾਇਨ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਜੋ 8 cm ਅਰਧ ਵਿਆਸਾਂ ਵਾਲੇ ਦੋ ਚੱਕਰਾਂ ਦੀਆਂ ਚੌਥਾਈਆਂ ਵਿੱਚ ਸਾਂਝਾ ਹੈ।

ਹੱਲ:
ਵਰਗ ਦੀ ਭੁਜਾ = 8 cm
ਵਰਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = (8)² = 64 cm²
ਰੇਖਾ BD ਵਰਗ ABCD ਨੂੰ ਸਮਾਨ ਭਾਗਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਦੀ ਹੈ ।
△ABD ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = △BDC ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਕੋਣ, θ = 90°
ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = \(\)
= \(\frac{22}{7}\) × \(\frac{8 \times 8 \times 90^{\circ}}{360^{\circ}}\) cm²
= 50:28 cm²
ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = 50.28 cm²
△ABD ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = \(\frac{1}{2}\) × AB × AD
= \(\frac{1}{2}\) × 8 × 8cm²
= 32 cm²
∴ ਚੱਕਰ ਖੰਡ DMBPD ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= ABPD ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ – △ABD ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= 50.28 – 32
= 18.28 cm²
ਰੰਗੀਨ ਡਿਜ਼ਾਈਨਾਂ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = 2 DMBPD ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= 2(18.28) = 36.56 cm²

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 12 ਚੱਕਰ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਖੇਤਰਫਲ Ex 12.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 12 ਚੱਕਰ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਖੇਤਰਫਲ Exercise 12.2

(ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਨਾ ਕਿਹਾ ਜਾਵੇ, π = \(\frac{22}{7}\) ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ ।)

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 1.
6 cm ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਜਿਸਦਾ ਕੋਣ 60° ਹੈ ।
ਹੱਲ:
ਚੱਕਰ ਦੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (R) = 6 cm

ਕੇਂਦਰ ਦਾ ਕੋਣ (θ) = 60°
∴ ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = \(\frac{\pi R^{2} \theta}{360}\)
= \(\frac{22}{7}\) × \(\frac{6×6×60}{360}\) cm²
= \(\frac{132}{7}\) cm²
∴ ਚੱਕਰ ਦੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = 18.86 cm²

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 2.
ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦੇ ਚੌਥੇ ਭਾਗ (quadrant) ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਜਿਸਦਾ ਘੇਰਾ 22 cm ਹੈ ।
ਹੱਲ:
ਚੱਕਰ ਦਾ ਘੇਰਾ = 22 cm
2πR = 22
R = \(\frac{22×7}{2×22}\) = \(\frac{7}{2}\) cm
R = \(\frac{7}{2}\)
ਕੇਂਦਰ ਦਾ ਕੋਣ (θ) = 90°
∴ ਚੱਕਰ ਦੇ ਚੌਥੇ ਭਾਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= \(\frac{\pi R^{2} \theta}{360}\) = \(\frac{\frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \times 90}{360}\) cm²
= \(\frac{77}{8}\) cm²
= 9.625 cm²

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 3.
ਇੱਕ ਘੜੀ ਦੀ ਮਿੰਟਾਂ ਵਾਲੀ ਸੂਈ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 14 cm ਹੈ । ਇਸ ਸੂਈ ਦੁਆਰਾ 5 ਮਿੰਟ ਵਿੱਚ ਤੈਅ ਕੀਤੇ ਖੇਤਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਮਿੰਟਾਂ ਵਾਲੀ ਸੂਈ ਦੀ ਲੰਬਾਈ
= ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (R) = 14 cm

ਸਾਨੂੰ ਪਤਾ ਹੈ
60′ = 360°
1′ = \(\frac{360}{60}\) = 6°
5′ = 6° × 5 = 30°
ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਕੋਣ (θ) = 30°
∴ ਸੂਈ ਦੁਆਰਾ 5 ਮਿੰਟਾਂ ਵਿਚ ਬਣਾਏ ਗਏ ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ

∴ ਸੂਈ ਦੁਆਰਾ 5 ਮਿੰਟਾਂ ਵਿਚ ਤੈਅ ਕੀਤੇ ਖੇਤਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= 51∙33 cm²

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 4.
10 cm ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦੀ ਕੋਈ ਜੀਵਾ ਕੇਂਦਰ ‘ਤੇ ਇੱਕ ਸਮਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ । ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਿਆਂ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ :
(i) ਸੰਗਤ ਲਘੂ ਚੱਕਰ ਖੰਡ
(ii) ਸੰਗਤ ਦੀਰਘ ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ (π = 3.14 ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ)
ਹੱਲ:
ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (R) = 10 cm
ਕੇਂਦਰ ਤੇ ਬਣਿਆ ਕੋਣ (θ) = 90°
∴ ਲਘੂ ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = \(\frac{\pi \mathrm{R}^{2} \theta}{360}\)
= 3∙14 × 10 × 10 × \(\frac{90}{360}\) = \(\frac{314}{4}\)
ਲਘੂ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = \(\frac{314}{4}\) = 78.5 cm²
ਲਘੁ ਚੱਕਰ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= ਲਘੁ ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ – △AOB ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= 78.5 – \(\frac{1}{2}\) × ਆਧਾਰ × ਉਚਾਈ
= (78.5 – \(\frac{1}{2}\) × 10 × 10) cm²
= (78.5 – 50) cm²
= 28.5 cm²
∴ ਲਘੂ ਚੱਕਰ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= 28.5 cm²
ਵੱਡੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ

∴ ਵੱਡੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= 235.5 cm²

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 5.
ਅਰਧ ਵਿਆਸ 21 cm ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਇੱਕ ਚਾਪ ਕੇਂਦਰ ’ਤੇ 60° ਦਾ ਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ । ਪਤਾ ਕਰੋ :
(i) ਚਾਪ ਦੀ ਲੰਬਾਈ
(ii) ਚਾਪ ਦੁਆਰਾ ਬਣਾਏ ਗਏ ਅਰਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
(iii) ਸੰਗਤ ਜੀਵਾ ਦੁਆਰਾ ਬਣਾਏ ਗਏ ਚੱਕਰ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ।
ਹੱਲ:
(i) ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (R) = 21 cm

ਕੇਂਦਰ ਤੇ ਬਣਿਆ ਕੋਣ (θ) = 60°
ਚਾਪ ਦੀ ਲੰਬਾਈ = \(\frac{θ}{360}\) × 2πR
= \(\frac{60}{360}\) × 2 × \(\frac{22}{7}\) × 21
∴ ਚਾਪ ਦੀ ਲੰਬਾਈ = 22 cm

(ii) ਚਾਪ ਦੁਆਰਾ ਬਣਾਏ ਗਏ ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= \(\frac{\pi R^{2} \theta}{360}\)
= \(\frac{22}{7}\) × \(\frac{21×21×60}{360}\)
= 231 cm²
ਕਿਉਂਕਿ △OAB ਸਮਭੁਜੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿਚ θ = 60°.

(iii) ਚੱਕਰ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ – vAOB ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= \(\frac{\pi R^{2} \theta}{360}\) – \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) (ਭੁਜਾ)²
= 231 – \(\frac{1∙73}{4}\) × 21 × 21 cm²
= 231 – 0.4325 × 441 cm²
= 231 – 190.7325 cm²
=4026 cm²
∴ ਚੱਕਰ ਖੰਡ ਦਾ = 40.26 cm²

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 6.
15 cm ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਵਾਲੇ ਇਕ ਚੱਕਰ ਦੀ ਕੋਈ ਜੀਵਾ ਕੇਂਦਰ ‘ਤੇ 60° ਦਾ ਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਸੰਗਤ ਲਘੂ ਅਤੇ ਦੀਰਘ ਚੱਕਰ ਖੰਡਾਂ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
(π = 3.14 ਅਤੇ \(\sqrt {3}\) = 1.73 ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ ॥)
ਹੱਲ:
ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ = (R) = 15 cm
ਕੇਂਦਰ ਦਾ ਕੋਣ (θ) = 60°

△OAB ਵਿੱਚ ਕੇਂਦਰੀ ਕੋਣ θ = 60°
OA = OB = 15 cm
∴ ∠AZB = 60°
∴ △OAB ਸਮਭੁਜੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਹੈ ।
ਲਘੂ ਚੱਕਰ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = (ਲਘੂ ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ) – ਸਮਭੁਜੀ ਤਿਭੁਜ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ

∴ ਲਘੂ ਚੱਕਰ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ =20.43 cm²
ਦੀਰਘ ਚੱਕਰ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = ਚੱਕਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ – ਲਘੂ ਚੱਕਰ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= πR² – 20.43
= 3.14 × 15 × 15 – 20.43
= (706.5 – 20.43) cm²
= 686.07 cm²
∴ ਦੀਰਘ ਚੱਕਰ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = 686.07 cm²

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 7.
12 cm ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦੀ ਕੋਈ ਜੀਵਾ ਕੇਂਦਰ ‘ ਤੇ 120° ਦਾ ਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ । ਸੰਗਤ ਚੱਕਰ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
(π = 3.14 ਅਤੇ \(\sqrt {3}\) = 1.73 ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ)
ਹੱਲ:
ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (R) = 12 cm
ਕੇਂਦਰ ਦਾ ਕੋਣ (θ) = 120°
△OAM ਵਿੱਚ, OM ⊥ AB
∴ AM = MB = \(\frac{1}{2}\) AB

∴ ∠OAM = 30° = ∠OBM

AB = 2AM
= 2\(\left(\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{OA}}\right)\)OA
= 2 (sin 60°) 12
AB = 2 × \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) × 12 = 12\(\sqrt {3}\) cm
OM = OA\(\left(\frac{\mathrm{OM}}{\mathrm{OA}}\right)\) = 12 (cos 60°)
= 12 × \(\frac{1}{2}\) = 6 cm
∴ ਚੱਕਰ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ – △OAB ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
ਚੱਕਰ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ

= (150.72 – 36 × 1.73) cm²
= (150.72 – 62.28) cm²
= 8844 cm²
∴ ਚੱਕਰ, ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = 88.44 cm²

8. 15 m ਪੂਜਾ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਵਰਗਾਕਾਰ ਘਾਹ ਦੇ ਮੈਦਾਨ ਦੇ ਇੱਕ ਕੋਨੇ ‘ਤੇ ਲੱਗੇ ਕਿੱਲੇ ਨਾਲ ਘੋੜੇ ਨੂੰ 5 m ਲੰਬੀ ਰੱਸੀ ਨਾਲ ਬੰਨ੍ਹਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ । (ਦੇਖੋ ਚਿੱਤਰ ਪਤਾ ਕਰੋ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (i).
ਮੈਦਾਨ ਦੇ ਉਸ ਭਾਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਜਿੱਥੇ ਘੋੜਾ ਘਾਹ ਚਰ ਸਕਦਾ ਹੈ ।
ਹੱਲ:
ਵਰਗ ਦੀ ਭੁਜਾ = 15 m
ਕਿੱਲੇ ਨਾਲ ਬੰਨੀ ਰੱਸੀ ਦੀ ਲੰਬਾਈ = ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ OAB ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (R) = 5 m
ਕੇਂਦਰੀ ਕੋਣ (θ) = 90°
[ਵਰਗ ਦਾ ਹਰੇਕ ਕੋਣ 90°]

ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ OAB ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = \(\frac{\pi \mathrm{R}^{2} \theta}{360^{\circ}}\)
= \(\frac{3.14 \times 5 \times 5 \times 90^{\circ}}{360^{\circ}}\)
= \(\frac{3.14 \times 25}{4}\) = \(\frac{78.5}{4}\) m²
= 19.625 m²

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ii).
ਚਰੇ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਖੇਤਰਫਲ ਵਿੱਚ ਵਾਧਾ ਜੇਕਰ ਘੋੜੇ ਨੂੰ 5 m ਲੰਬੀ ਰੱਸੀ ਦੇ ਸਥਾਨ ‘ਤੇ 10 m ਲੰਬੀ ਰੱਸੀ ਨਾਲ ਬੰਨ ਦਿੱਤਾ ਜਾਵੇ। (π = 3.14 ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ) !

ਹੱਲ:
ਜਦੋਂ ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਅਰਧਵਿਆਸ ਵੱਧ ਕੇ 10 m ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ।
∴ ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ OCD ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ | (R₁) = 10 m
ਕੇਂਦਰੀ ਕੋਣ (θ) = 90°
∴ ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ OCDP ਖੇਤਰਫਲ = \(\frac{\pi \mathrm{R}_{1}^{2} \theta}{360^{\circ}}\)

∴ ਚਰੇ ਜਾ ਸਕਣ ਵਾਲੇ ਖੇਤਰ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਵਿੱਚ ਵਾਧਾ
= ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ OCD ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ – ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ OAB ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= (78.5 – 19.625) cm²
= 58.875 m²
∴ ਚਰੇ ਜਾ ਸਕਣ ਵਾਲੇ ਖੇਤਰ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਵਿੱਚ ਵਾਧਾ
= 58.875 m²

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 9.
ਇੱਕ ਚੱਕਰਾਕਾਰ ਬਰੂਚ (brooch) ਨੂੰ ਚਾਂਦੀ ਦੇ ਤਾਰ । ਨਾਲ ਬਣਾਇਆ ਜਾਣਾ ਹੈ ਜਿਸ ਦਾ ਵਿਆਸ 35 mm ਹੈ । ਤਾਰ ਨੂੰ ਚੱਕਰ ਦੇ 5 ਵਿਆਸਾਂ ਨੂੰ ਬਣਾਉਣ ਵਿੱਚ ਵਰਤਿਆ ਗਿਆ ਹੈ ਜੋ ਉਸ ਨੂੰ 10 ਬਰਾਬਰ ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਦੀ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਰਸ਼ਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ । ਤਾਂ ਪਤਾ ਕਰੋ :
(i) ਕੁੱਲ ਲੋੜੀਂਦੀ ਚਾਂਦੀ ਦੇ ਤਾਰ ਦੀ ਲੰਬਾਈ
(ii) ਬਰੂਚ ਦੇ ਹਰੇਕ ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ

ਹੱਲ:
ਚੱਕਰ ਦਾ ਵਿਆਸ (D) = 35 mm
ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (R) = \(\frac{35}{2}\) mm
ਵਿਆਸਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ = 5
ਬਰਾਬਰ ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ = 10
(i) ਪ੍ਰਯੋਗ ਕੀਤੀ ਗਈ ਤਾਰ ਦੀ ਲੰਬਾਈ = 5 ਵਿਆਸਾਂ ਦੀ ਲੰਬਾਈ + ਚੱਕਰ (ਬਚ) ਦਾ ਪਰਿਮਾਪ
= 5(35) + 2πR
= [175 + 2 × \(\frac{22}{7}\) × \(\frac{35}{2}\)] mm
= [175 + 110] mm
= 285 mm

(ii) ਬਰੂਚ ਦੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਕੋਣ

ਹਰੇਕ ਬਰੂਚ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ (ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ)
= \(\frac{\pi R^{2} \theta}{360}\)
= \(\frac{36}{360}\) × \(\frac{22}{7}\) × \(\frac{35}{2}\) × \(\frac{35}{2}\)
= \(\frac{1135}{4}\) = \(\frac{385}{4}\) mm²
= 96.25 mm²
∴ ਬਰੂਚ ਦੇ ਹਰੇਕ ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= 96.25 mm²

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 10.
ਇੱਕ ਛੱਤਰੀ ਵਿੱਚ ਅੱਠ ਤਾਰਾਂ ਹਨ, ਜੋ ਬਰਾਬਰ ਦੂਰੀ ‘ਤੇ ਲੱਗੀਆਂ ਹੋਈਆਂ ਹਨ (ਦੇਖੋ ਚਿੱਤਰ । ਛੱਤਰੀ ਨੂੰ 45 cm ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਸਪਾਟ ਚੱਕਰ ਮੰਨਦੇ ਹੋਏ ਇਸ ਦੀਆਂ ਦੋ ਲਗਾਤਾਰ ਤਾਰਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ।

ਹੱਲ:
ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ = 45 cm
ਤਾਰਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ = 8
ਕੇਂਦਰੀ ਕੋਣ (ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਕੋਣ) = \(\frac{360^{\circ}}{8}\)
= 45°
ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = \(\frac{\pi R^{2} \theta}{360^{\circ}}\)
= \(\frac{45}{360^{\circ}}\) × \(\frac{22}{7}\) × 45 × 45 cm²
= \(\frac{1}{8}\) × \(\frac{22}{7}\) × 45 × 45 cm²
= \(\frac{22275}{28}\) cm²
= 795:53 cm²
∴ ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ =795.53 cm²
∴ ਛੱਤਰੀ ਦੇ ਦੋ ਲਗਾਤਾਰ ਤਾਰਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= 795.53 cm²

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 11.
ਕਿਸੇ ਕਾਰ ਦੇ ਦੋ ਵਾਇਪਰ (wipers) ਹਨ, ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਕਦੇ ਵੀ ਇੱਕ ਦੂਸਰੇ ਨੂੰ ਛੂਹਦੇ ਨਹੀਂ । ਹਰੇਕ ਵਾਇਪਰ, ਜਿਸਦੀ ਪੱਤੀ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 25 cm ਹੈ ਅਤੇ 115° ਦੇ ਕੋਣ ਤੱਕ ਘੁੰਮ ਕੇ ਸਫਾਈ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ । ਵਾਇਪਰਾਂ ਦੇ ਹਰੇਕ ਗੇੜੇ ਨਾਲ ਜਿੰਨਾ ਖੇਤਰਫਲ ਸਾਫ਼ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਉਹ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਪੱਤੀ ਦੀ ਲੰਬਾਈ (R) = 25 cm
ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਕੋਣ (θ) = 115°
ਵਾਇਪਰ ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿਚ ਘੁੰਮਦਾ ਹੈ ।

ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = ਇਕ ਪੱਤੀ ਦੁਆਰਾ ਘੁੰਮਿਆ ਗਿਆ ਖੇਤਰਫਲ
= \(\frac{\pi \mathrm{R}^{2} \theta}{360^{\circ}}\)
= \(\frac{22}{7}\) × \(\frac{115}{360}\) × 25 × 25 cm²
= 27.48 cm²
ਵਾਇਪਰ ਦੀਆਂ ਦੋ ਪੱਤੀਆਂ ਦੁਆਰਾ ਘੁੰਮਿਆ ਗਿਆ ਖੇਤਰਫਲ = 2 ਖੰਡਾਂ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= 2 × 627.48 cm²
= 1254.96 cm²

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 12.
ਜਹਾਜ਼ਾਂ ਨੂੰ ਸਮੁੰਦਰ ਜਲ ਸੜਾ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਸਥਿਤ ਚੱਟਾਨਾਂ ਦੀ ਚੇਤਾਵਨੀ ਦੇਣ ਦੇ ਲਈ, ਇੱਕ ਲਾਈਟ ਹਾਉਸ (light house) 80° ਕੋਣ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਵਿੱਚ 6.5 km ਦੀ ਦੂਰੀ ਤੱਕ ਲਾਲ ਰੰਗ ਦਾ ਪ੍ਰਕਾਸ਼ ਫੈਲਾਉਂਦਾ ਹੈ । ਸਮੁੰਦਰ ਦੇ ਉਸ ਭਾਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਿਸ ਨਾਲ ਜਹਾਜ਼ਾਂ ਨੂੰ ਚੇਤਾਵਨੀ ਦਿੱਤੀ ਜਾ ਸਕੇ । (π = 3.14 ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ ।)
ਹੱਲ:
ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਕੋਣ (θ) = 80°
ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਅਰਥਵਿਆਸ (R) = 16.5 km

ਸਮੁੰਦਰ ਦੇ ਉਸ ਭਾਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਜਿਥੋਂ ਤੱਕ ਜਹਾਜਾਂ ਨੂੰ ਚੇਤਾਵਨੀ ਦਿੱਤੀ ਜਾ ਸਕੇ
ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = \(\frac{\pi \mathrm{R}^{2} \theta}{360^{\circ}}\)
= \(\frac{3.14 \times 16.5 \times 16.5 \times 80}{360}\) km²
= 189.97 km²
ਉਹ ਖੇਤਰ ਜਿੱਥੋਂ ਤੱਕ ਚੇਤਾਵਨੀ ਦਿੱਤੀ ਜਾ ਸਕੇ
= 189.97 km²

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 13.
ਇੱਕ ਗੋਲ ਮੇਜਪੋਸ਼ ‘ਤੇ ਛੇ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਸਮਾਨ ਡਿਜਾਈਨ ਬਣੇ ਹੋਏ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ । ਜੇਕਰ ਮੇਜਪੋਸ਼ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ 28 cm ਹੈ ਤਾਂ ਤੋਂ 0.35 ਪ੍ਰਤੀ ਵਰਗ ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਇਨ੍ਹਾਂ | ਡਿਜਾਈਨਾਂ ਨੂੰ ਬਣਾਉਣ ਦੀ ਲਾਗਤ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
(\(\sqrt {3}\) = 1.7 ਲਓ)

ਹੱਲ:
ਸਮਾਨ ਡਿਜਾਈਨਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ = 6
ਡਿਜਾਈਨਾਂ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (R) = 28 cm
ਹਰੇਕ ਡਿਜਾਇਨ ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦਾ ਹੈ, ਕੇਂਦਰੀ ਕੋਣ (θ) = \(\frac{360^{\circ}}{6}\) = 60°
ਕਿਉਂਕਿ ਕੇਂਦਰੀ ਕੋਣ 60° ਹੈ ਅਤੇ OA = OB ਹੈ ।
∴ △OAB ਇਕ ਸਮਭੁਜੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਭੂਜਾ 28 cm ਹੈ ।

ਇੱਕ ਛਾਇਆ ਅੰਕਿਤ ਡਿਜਾਇਨ ਵਾਲੇ ਭਾਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = ਚੱਕਰ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ‘ ਖੰਡ OAB ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ – △OAB ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= \(\frac{\pi \mathrm{R}^{2} \theta}{360^{\circ}}\) – \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) (ਭੂਜਾ)²
= (\(\frac{22}{7}\) × \(\frac{2828}{360}\) × 60 – \(\frac{1.7}{4}\) × 28 × 28) cm²
= (410.66 – 333.2) cm²
= 77.46 cm²
∴ ਇਕ ਛਾਇਆ ਅੰਕਿਤ ਡਿਜਾਇਨ ਵਾਲੇ ਭਾਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= 77.46 cm²
ਛੇ ਡਿਜਾਈਨ ਭਾਗਾਂ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = 6 [ਇਕ ਡਿਜਾਈਨ ਭਾਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ]
= 6 [77.46]
= 464.76 cm²
1 cm² ਡਿਜਾਈਨ ਬਣਾਉਣ ਦਾ ਖ਼ਰਚ = ₹ 0.35
464.76 cm² ਡਿਜਾਈਨ ਬਣਾਉਣ ਦਾ ਖ਼ਰਚ
= ₹0.35 × 464.76
= ₹ 162.67

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 14.
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਸਹੀ ਉੱਤਰ ਚੁਣੋ :
ਅਰਧ ਵਿਆਸ Rਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਦੇ ਉਸ ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਜਿਸਦਾ ਕੋਣ p° ਹੈ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਨੁਸਾਰ ਹੈ :
(A) \(\frac{p}{180}\) × 2πR
(B) \(\frac{p}{180}\) × πR²
(C) \(\frac{p}{360}\) × 2πR
(D) \(\frac{p}{720}\) × 2πR²
ਹੱਲ:
ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਕੋਣ (θ) = p°
ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ = R
ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = \(\frac{\pi R^{2} \theta}{360}\)
= \(\frac{\pi \mathrm{R}^{2} \times p}{360}\)
∴ ਸਹੀ ਵਿਕਲਪ (D) ਹੈ ।

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 12 ਚੱਕਰ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਖੇਤਰਫਲ Ex 12.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 12 ਚੱਕਰ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਖੇਤਰਫਲ Exercise 12.1

ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਹੋਰ ਕੁੱਝ ਨਾ ਕਿਹਾ ਜਾਵੇ, ਗ π = \(\frac{22}{7}\) ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ !

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 1.
ਦੋ ਚੱਕਰਾਂ ਦੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਕੁਮਵਾਰ 19cm ਅਤੇ 9cm ਹਨ । ਉਸ ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਿਸ ਦਾ ਘੋਰਾ ਇਨ੍ਹਾਂ ਦੋਨਾਂ ਚੱਕਰਾਂ ਦੇ ਘੇਰਿਆਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
ਹੱਲ:

ਪਹਿਲੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (r₁) = 19 cm
ਦੂਸਰੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (r₂) = 9 cm
ਮੰਨ ਲਉ ਤੀਸਰੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ = R cm
ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਅਨੁਸਾਰ,
ਪਹਿਲੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਘੇਰਾ + ਦੂਸਰੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਘੇਰਾ = ਤੀਸਰੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਘੇਰਾ
2πr₁ + 2πr₂ = 2πR
2π [r₁ + r₂] = 2π R
19 + 9 = R
∴ R = 28
∴ ਤੀਸਰੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ = 28 cm

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 2.
ਦੋ ਚੱਕਰਾਂ ਦੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਕੁਮਵਾਰ 8 cm ਅਤੇ 6 cm ਹਨ । ਉਸ ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਿਸ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਇਨ੍ਹਾਂ ਦੋਨਾਂ ਚੱਕਰਾਂ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ ।
ਹੱਲ:
ਪਹਿਲੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (r₁) = 8 cm
ਦੂਸਰੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (r₂) = 6 cm
ਤੀਸਰੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧਵਿਆਸ = R cm
ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਅਨੁਸਾਰ
ਤੀਸਰੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = ਪਹਿਲੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ + ਦੂਸਰੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
πR² = π\(r_{1}^{2}\) + π\(r_{2}^{2}\)
πR² = π[\(r_{1}^{2}\) + π\(r_{2}^{2}\)]
R² = (8)² + (6)²
R = \(\sqrt {64+36}\) = \(\sqrt {100}\)
R= 10 cm
∴ ਲੋੜੀਂਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (R) = 10 cm

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 3.
ਦਿੱਤਾ ਹੋਇਆ ਚਿੱਤਰ ਇੱਕ ਤੀਰ ਅੰਦਾਜ਼ੀ ਨਿਸ਼ਾਨੇ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਕੇਂਦਰ ਦੇ ਬਾਹਰ ਵੱਲ ਪੰਜ ਖੇਤਰ GOLD,RED, BLUE, BLACK ਅਤੇ WHITE ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ‘ਤੇ ਅੰਕ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ । GOLਅੰਕ ਵਾਲੇ ਖੇਤਰ ਦਾ ਵਿਆਸ 21 cm ਹੈ ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਹੋਰ ਪੱਟੀ 10.5 cm ਚੌੜੀ ਹੈ । ਅੰਕ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਾਉਣ ਵਾਲੇ ਇਨ੍ਹਾਂ ਪੰਜਾਂ ਖੇਤਰਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ।

ਹੱਲ:
Gold ਖੇਤਰ ਦਾ ਵਿਆਸ = 21 cm
Gold ਖੇਤਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (R₁).
= \(\frac{21}{2}\) cm = 10.5 cm
∴ Gold ਖੇਤਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= π\(R_{1}^{2}\) = \(\frac{22}{7}\) × \(\frac{21}{2}\) × \(\frac{21}{2}\) = \(\frac{693}{2}\) cm²
= 346∙5 cm²
ਹਰੇਕ ਪੱਟੀ ਦੀ ਚੌੜਾਈ = 10.5 cm
∴ Red ਅਤੇ Gold ਖੇਤਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (R₂)
= (10.5 + 10.5) cm
= 21 cm
Blue, Red ਅਤੇ Gold ਖੇਤਰ ਦਾ ਸੰਯੁਕਤ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (R₃) = R₂ + 10.5 cm
= 21 + 10.5 = 31.5 cm
Black, Blue, Red ਅਤੇ Gold ਖੇਤਰ ਦਾ ਸਾਂਝਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (R₄) = R₃ + 10.5
= (31.5 + 10.5) cm
= 42 cm
Black ਖੇਤਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = Gold, Red, Blue ਅਤੇ Black ਖੇਤਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ – Gold, Red ਅਤੇ Blue ਖੇਤਰ ਦਾ ਸਾਂਝਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ
= π\(r_{4}^{2}\) – π\(r_{3}^{2}\)
= π[(42)² – (31.5)²] cm²
= \(\frac{22}{7}\) [1764 – 99225] cm²
= \(\frac{22}{7}\) [771.75] cm² = 2425.5 cm²
White, black, blue, red, gold ਖੇਤਰ ਦਾ ਸਾਂਝਾ | ਅਰਧ ਵਿਆਸ (R₅)
= R₄ + 15
R₅ = 42 + 10.5 = 52.5 cm
Black, blue, red ਅਤੇ gold ਖੇਤਰ ਦਾ ਅਰਧ | ਵਿਆਸ (R₄) = 42 cm
White ਅੰਕ ਲੈਣ ਵਾਲੇ ਖੇਤਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = White, black, blue, red, gold ਖੇਤਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ – Black blue, red, gold ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= π\(R_{5}^{2}\) – π\(R_{4}^{2}\)
= π[\(R_{5}^{2}\) – \(R_{4}^{2}\)]
= \(\frac{22}{7}\)[(525)² – (42)²] cm²
= \(\frac{22}{7}\)[2756.25 -1764] cm²
= \(\frac{22 \times 992.25}{7}\) = \(\frac{21829.5}{7}\) cm²
= 3118.5 cm²
∴ White ਅੰਕ ਵਾਲੇ ਖੇਤਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= 3118.5 cm²
∴ Red ਅੰਕ ਵਾਲੇ ਖੇਤਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = Red or Gold ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ – Gold ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ

= 1039.5 cm²
∴ Red ਖੇਤਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = 1039.5 cm²
Gold, Red ਅਤੇ Blue ਦਾ ਸਾਂਝਾ ਅਰਧਵਿਆਸ R,
= (10.5 + 10.5 + 10.5) = 31.5 cm
Blue ਅੰਕ ਵਾਲੇ ਖੇਤਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= Red, blue ਅਤੇ Gold ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ – Gold ਅਤੇ Red ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= π\(R_{3}^{2}\) – π\(R_{2}^{2}\)
= π[\(R_{3}^{2}\) – \(R_{2}^{2}\)]
= \(\frac{22}{7}\)[(31.52)² – (21)²] cm²
= \(\frac{22}{7}\)[99225 – 441] cm ²
= \(\frac{22}{7}\) × 551.25 cm² = \(\frac{12127.5}{7}\) cm²
= 1732.5 cm² .

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 4.
ਕਿਸੇ ਕਾਰ ਦੇ ਹਰੇਕ ਪਹੀਏ ਦਾ ਵਿਆਸ 80 cm ਹੈ । ਜੇਕਰ ਇਹ ਕਾਰ 66 km/h ਦੀ ਚਾਲ ਨਾਲ ਚਲ ਰਹੀ ਹੈ । ਤਾਂ 10 ਮਿੰਟ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਪਹੀਆ ਕਿੰਨੇ ਚੱਕਰ ਲਗਾਉਂਦਾ ਹੈ ।
ਹੱਲ:
ਪਹੀਏ ਦਾ ਵਿਆਸ = 80 cm
ਪਹੀਏ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (R) = 40 cm
= \(\frac{4}{100}\) m = 0.04 m
ਪਹੀਏ ਦਾ ਘੇਰਾ = 2πr
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × 0.04 m
ਮੰਨ ਲਉ ਕਾਰ ਦਾ ਪਹੀਆ ॥ ਪੂਰੇ ਚੱਕਰ ਲਗਾਉਣ ਵਿਚ 10 ਮਿੰਟ ਦਾ ਸਮਾਂ ਲੈਂਦਾ ਹੈ ।
= n[0.08 × \(\frac{22}{7}\)] m
ਕਾਰ ਦੀ ਚਾਲ = 66 km/h
60 ਮਿੰਟਾਂ ਵਿਚ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਗਈ ਦੂਰੀ
= 66 km = 66 × 1000 m
10 ਮਿੰਟ ਵਿਚ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਗਈ ਦੂਰੀ
= \(\) 10 m
= 11000 m
∴ n[\(\frac{22}{7}\) × 0.08] = 1100
n = \(\frac{11000}{0.08}\) × \(\frac{7}{22}\)
n = 4375
∴ ਕਾਰ ਦੇ ਪਹੀਏ ਦੁਆਰਾ 10 ਮਿੰਟਾਂ ਵਿਚ ਲਗਾਏ ਗਏ ਚੱਕਰਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ 4375 ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 5.
ਹੇਠਾਂ ਲਿਖਿਆਂ ਵਿਚੋਂ ਸਹੀ ਉੱਤਰ ਚੁਣੋ ਅਤੇ ਆਪਣੇ ਉੱਤਰ ਦਾ ਸਪਸ਼ਟੀਕਰਨ ਦਿਓ :
ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦਾ ਪਰਿਮਾਪ ਅਤੇ ਖੇਤਰਫਲ ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਰਾਬਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਸ ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਹੈ ।
(A) 2 ਇਕਾਈਆਂ
(B) π ਇਕਾਈਆਂ
(C) 4 ਇਕਾਈਆਂ
(D) 7 ਇਕਾਈਆਂ
ਹੱਲ:
ਚੱਕਰ ਦਾ ਪਰਿਮਾਪ = ਚੱਕਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
2πR = πR²
2R = R²
⇒ R = 2
∴ ਸਹੀ ਉੱਤਰ A ਹੈ (R) = 2 ਇਕਾਈਆਂ

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 11 ਰਚਨਾਵਾਂ Ex 11.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 11 ਰਚਨਾਵਾਂ Exercise 11.2

1. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਹਰੇਕ ਰਚਨਾ ਦੇ ਲਈ ਸਪੱਸ਼ਟੀਕਰਣ ਵੀ ਦਿਓ :

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 1.
6 cm ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਦਾ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਖਿੱਚੋ । ਕੇਂਦਰ ਤੋਂ 10 cm ਦੂਰ ਸਥਿਤ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਚੱਕਰ ’ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇ ਜੋੜੇ ਦੀ ਰਚਨਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਲੰਬਾਈਆਂ ਮਾਪੋ ।
ਹੱਲ:

ਰਚਨਾ ਦੇ ਪਰਾ :
1. ਇਕ ਚੱਕਰ (1) ਜਿਸਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ 6 cm ਹੈ, ਖਿੱਚੋ ।
2. ਕੇਂਦਰ ਤੋਂ 10 cm ਦੀ ਦੂਰੀ ਤੇ ਇਕ ਬਿੰਦੂ P ਲਉ OP ਨੂੰ ਮਿਲਾਉ ।
3. OP ਦਾ ਲੰਬ ਸਮਦੁਭਾਜਕ ਖਿੱਚੋ । ਮੰਨ ਲਉ ‘M’, OP ਦਾ ਮੱਧ ਬਿੰਦੁ ਹੈ !
4. “M’ ਨੂੰ ਕੇਂਦਰ ਮੰਨ ਕੇ ਅਤੇ MO ਨੂੰ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਲੈ ਕੇ ਇੱਕ ਚੱਕਰ (II) ਖਿੱਚੋ ਜੋ ਪਹਿਲੇ ਚੱਕਰ ਨੂੰ ਬਿੰਦੁ T ਅਤੇ T’ ਉੱਤੇ ਕੱਟਦਾ ਹੈ ।
5. ਹੁਣ PT ਅਤੇ PT’ ਨੂੰ ਮਿਲਾਉ ॥
ਰਚਨਾ ਦਾ ਸਪੱਸ਼ਟੀਕਰਣ :
ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੁ ਉੱਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਉਸ ਬਿੰਦੁ ਦੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਉੱਤੇ ਲੰਬ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਅਸੀਂ ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ ਹੈ ਕਿ :
∠PTO = ∠PTO = 90°
OT ਨੂੰ ਮਿਲਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ ।
ਹੁਣ, PMO ਚੱਕਰ (II) ਦਾ ਵਿਆਸ ਹੈ ।
ਅਤੇ ∠PTO ਅਰਧ ਚੱਕਰ ਵਿੱਚ ਹੈ
∴ ∠PTO = 90°
[ਅਰਧ ਚੱਕਰ ਵਿਚ ਬਣਿਆ ਕੋਣ ਸਮਕੋਣ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।]
ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ∠PTO’ = 90°
∴ PT ਅਤੇ PT’ ਚੱਕਰ ਦੀ ਅਤੇ T’ ਉੱਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਹਨ ।
ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਮਾਪਣ ਤੇ
ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ PT = 8.1 cm
PT’ = 8.1 cm.

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 2.
4 cm ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ’ਤੇ 6 cm ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਦੇ ਇੱਕ ਸਮਕੇਂਦਰੀ ਚੱਕਰ ਦੇ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੁ ਤੋਂ ਇੱਕ ਸਪੱਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੀ ਰਚਨਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਉਸਦੀ ਲੰਬਾਈ ਮਾਪੇ ॥ ਗਣਨਾ ਕਰਕੇ ਇਸ ਮਾਪ ਦੀ ਜਾਂਚ ਵੀ ਕਰੋ।
ਹੱਲ:
ਸਮਕੇਂਦਰੀ ਚੱਕਰ : ਦੋ ਜਾਂ ਵੱਧ ਚੱਕਰ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਇਕ ਹੀ ਕੇਂਦਰ ਹੋਵੇ ਪਰ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਅਲੱਗ-ਅਲੱਗ ਹੋਣ ਸਮਕੇਂਦਰੀ ਚੱਕਰ ਕਹਾਉਂਦੇ ਹਨ ।
ਰਚਨਾ ਦੇ ਪਗ :
1. ਇਕ ਚੱਕਰ ਜਿਸ ਦਾ ਕੇਂਦਰ “O’ ਅਤੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ 4 ਸਮ ਹੋਵੇ, ਖਿੱਚੋ । ਇਸਨੂੰ I ਅੰਕਿਤ ਕਰੋ ।

2. ਉਸੇ ਕੇਂਦਰ “O’ ਅਤੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ 6 cm ਦਾ ਇਕ ਹੋਰ ਚੱਕਰ ਖਿੱਚੋ ਜਿਸਨੂੰ II ਅੰਕਿਤ ਕਰੋ ।
3. ਚੱਕਰ II ਉੱਤੇ ਕੋਈ ਬਿੰਦੁ ‘P’ ਲਉ । OP ਨੂੰ ਮਿਲਾਓ ।
4. OP ਦਾ ਲੰਬ ਸਮਦੁਭਾਜਕ ਖਿੱਚੋ । ਮੰਨ ਲਉ ਇਹ ‘OP’ ਨੂੰ M ਉੱਤੇ ਕੱਟਦਾ ਹੈ ।
5. M ਨੂੰ ਕੇਂਦਰ ਮੰਨ ਕੇ ‘OM’ ਜਾਂ ‘MP’, ਨੂੰ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਲੈ ਕੇ ਚੱਕਰ III ਦੀ ਰਚਨਾ ਕਰੋ ਜੋ ਚੱਕਰ I ਨੂੰ T ਅਤੇ ‘ ਤੇ ਕੱਟਦਾ ਹੈ ।
6. PT ਨੂੰ ਮਿਲਾਓ । PT ਲੋੜੀਂਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਹੈ ।
ਸਪੱਸ਼ਟੀਕਰਣ :
OT ਨੂੰ ਮਿਲਾਉ
ਹੁਣ OP ਚੱਕਰ III ਦਾ ਵਿਆਸ ਹੈ ।
∠OTP ਅਰਧ ਚੱਕਰ ਵਿਚ ਕੋਣ ਹੈ।
∴ ∠OTP = 90° …(1) ਹੁਣ
OT ⊥ PT [(1) ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਕੇ]
∵ ਇਕ ਰੇਖਾ ਜੋ ਚੱਕਰ ਵਿਚ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ ਉੱਤੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਦੇ ਨਾਲ 90° ਦਾ ਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ ਉਹ ਚੱਕਰ ਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ।
∴ PT ਚੱਕਰ ‘I’ ਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਹੈ
ਭਾਵ PT, 4 ਸਮ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਹੈ ।
ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ :
△OTP ਲਉ ।
∠OTP = 90° ° [(i) ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਕੇ]
∴ △OTP ਇਕ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਹੈ।
OT = 4 cm
OP = 6 cm [ਚੱਕਰ I ਅਤੇ II ਦੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ]
PT = ?
ਸਮਕੋਣ △OTP ਵਿਚ
ਪਾਈਥਾਗੋਰਸ ਪਮੇਯ ਅਨੁਸਾਰ
OP² = OT² + PT²
[(ਕਰਣ)² = (ਅਧਾਰ)² + (ਲੰਬ)²]
PT² = OP² – OT² = 6² – 4²
= 36 – 16 = 20
PT = \(\sqrt {20}\) cm = 2\(\sqrt {5}\)
= 2 × 2.24 = 4.48 cm
∴ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ
= 4.48 ਸਮ = 4.5 cm
ਮਾਪਣ ਤੇ ਸਪਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ
= 4.5 cm
∴ ‘PT’ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 3.
3 cm ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਦਾ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਖਿੱਚੋ |ਇਸਦੇ ਕਿਸੇ ਵਧਾਏ ਗਏ ਵਿਆਸ ‘ਤੇ ਕੇਂਦਰ ਤੋਂ 7 cm ਦੀ ਦੂਰੀ ‘ਤੇ ਸਥਿਤ ਦੋ ਬਿੰਦੂ P ਅਤੇ Q ਲਓ । ਇਨ੍ਹਾਂ ਦੋਨਾਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ਤੋਂ ਚੱਕਰ `ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਖਿੱਚੋ ।
ਹੱਲ:
ਰਚਨਾ ਦੇ ਪਰੀ :
1. ਕੇਂਦਰ ‘O’ ਅਤੇ 3 cm ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਖਿਚੋ ।
2. ਇਸਦਾ ਵਿਆਸ ‘AB’ ਖਿਚੋ ਅਤੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਵਧਾਓ ਜਿਵੇਂ OX ਅਤੇ OX’ ।
3. “OX” ਦਿਸ਼ਾ ਵਿਚ ਬਿੰਦੁ P’ ਅਤੇ ‘OX’ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ “Q’ ਬਿੰਦੂ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਉ |
ਤਾਂ ਕਿ OP = OQ = 7 cm.

4. OP ਅਤੇ OQ ਦਾ ਲੰਬ ਸਮਭਾਜਕ ਖਿੱਚੋ ਜੋ OP ਅਤੇ OQ ਨੂੰ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ‘M’ ਅਤੇ ‘M’ ਉੱਤੇ ਕੱਟੇ ।
5. “M’ ਨੂੰ ਕੇਂਦਰ ਮੰਨ ਕੇ ਅਧਵਿਆਸ MO’ ਜਾਂ । M’O ਜਾਂ MQ ਲੈ ਕੇ ਚੱਕਰ ‘I’ ਖਿਚੋ ਜੋ ਚੱਕਰ ‘I’ ਨੂੰ T ਅਤੇ T’ ਉੱਤੇ ਕੱਟੇ ।
6. ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ‘M’ ਨੂੰ ਕੇਂਦਰ ਮੰਨ ਕੇ ਚੱਕਰ M’O ਜਾਂ MQ, ਲੈ ਕੇ ਚੱਕਰ (III) ਖਿਚੋ ਜੋ ਚੱਕਰ ‘I’ ਨੂੰ ‘S ਅਤੇ ‘S’ ਤੇ ਕੱਟੇ ।
7. PT, PT’ ਅਤੇ QS, QS’ ਨੂੰ ਮਿਲਾਓ।
ਰਚਨਾ ਦਾ ਸਪੱਸ਼ਟੀਕਰਣ :
‘OT’ ਅਤੇ ‘OT” ਅਤੇ ‘OS’ ਅਤੇ ‘OS’ ‘ ਨੂੰ ਮਿਲਾਓ ।
PT ਅਤੇ PT’ ਚੱਕਰ ਦੀਆਂ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਹਨ ਨੂੰ ਸਿੱਧ ਕਰਨ ਲਈ ਅਸੀਂ ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ ਹੈ ਕਿ
∠PTO = ∠PTO = 90°
ਹੁਣ “OP ਚੱਕਰ ‘I’ ਦਾ ਵਿਆਸ ਹੈ ਅਤੇ ∠OTP | ਅਰਧ ਚੱਕਰ ਵਿਚ ਬਣਿਆ ਕੋਣ ਹੈ।
∴ ∠OTP = 90° …(1)
[∵ ਅਰਧ ਚੱਕਰ ਵਿਚ ਬਣਿਆ ਕੋਣ 90° ਹੁੰਦਾ ਹੈ]
ਪਰ “OT’ ਚੱਕਰ ‘I’ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਹੈ ਅਤੇ ਰੇਖਾ ‘PT’ ਚੱਕਰ ਨੂੰ “T’ ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਕਰਦੀ ਹੈ ।
∵ ਇਕ ਰੇਖਾ ਜੋ ਚੱਕਰ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੁ ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਕਰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਉਸ ਬਿੰਦੁ ਉਤੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਦੇ ਨਾਲ 90 ਦਾ ਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ । ਚੱਕਰ ਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ।
∴ PT ਚੱਕਰ (1) ਬਿੰਦੂ (T) ਉੱਤੇ ਬਿੰਦੂ ‘P’ ਤੋਂ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਹੈ । | ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ PT’,QS ਅਤੇ QS’ ਚੱਕਰ I ਉੱਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਹਨ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 4.
5 cm ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਦੇ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ‘ਤੇ ਅਜਿਹੀਆਂ ਦੋ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਖਿੱਚੋ, ਜੋ ਆਪਸ ਵਿੱਚ 60° ਦੇ ਕੋਣ ‘ਤੇ ਝੁਕੀਆਂ ਹੋਣ ।
ਹੱਲ:
ਰਚਨਾ ਦੇ ਪਗ :
1. ਲੋੜੀਂਦੇ ਚਿੱਤਰ ਦਾ ਕੱਚਾ ਖਾਕਾ ਖਿੱਚੋ ।

∵ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ 60° ਦਾ ਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ
∠OTP = ∠OQT = 60°
[ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਉੱਤੇ ਲੰਬ ਹਨ ]
ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦਾ ਝੁਕਾਅ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ∠TOQ + ∠OTP + ∠OQT + ∠TPQ = 360°
[ਚਤੁਰਭੁਜ ਦੇ ਕੋਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਗੁਣੀ]
∠TOQ + 90° + 90° + 60° = 360°
∠TOQ = 360° – 90° – 90° – 60° = 120°
2. 5 cm ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਦਾ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਖਿੱਚੋ
3. ਇਸ ਚੱਕਰ ਦੇ ਦੋ ਅਰਵਿਆਸ ਖਿਚੋ ਜੋ ਆਪਸ ਵਿੱਚ 120° ਦਾ ਕੋਣ ਬਣਾਉਣ ।
4. ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਚੱਕਰ ਨੂੰ ‘A’ ਅਤੇ ‘B’ ਤੇ ਕੱਟਦੇ ਹਨ |
5. A ਅਤੇ B ਉੱਤੇ 90° ਦਾ ਕੋਣ ਬਣਾਉ ਜੋ ਇਕ-ਦੂਜੇ 1 ਨੂੰ ‘P’ ਉੱਤੇ ਕੱਟਣ ।

6. PA ਅਤੇ PB ਲੋੜੀਂਦੀਆਂ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਹਨ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 5.
8 cm ਲੰਬਾ ਇਕ ਰੇਖਾਖੰਡ AB ਖਿੱਚੋ | A’ ਨੂੰ ਕੇਂਦਰ ਮੰਨ ਕੇ 4 cm ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਦਾ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਅਤੇ ‘B’ ਨੂੰ ਕੇਂਦਰ ਲੈ ਕੇ 3 cm ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਦਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਚੱਕਰ ਖਿੱਚੋ | ਹਰੇਕ ਚੱਕਰ ’ਤੇ ਦੂਸਰੇ ਚੱਕਰ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਤੋਂ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੀ ਰਚਨਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:

ਰਚਨਾ ਦੇ ਪਗ :
1. ਇੱਕ ਰੇਖਾਖੰਡ AB = 8 cm ਖਿੱਚੋ।
2. ‘A’ ਨੂੰ ਕੇਂਦਰ ਮੰਨ ਕੇ 4 cm ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਦਾ ਚੱਕਰ (I) ਖਿੱਚੋ ।
3. ‘B’ ਨੂੰ ਕੇਂਦਰ ਮੰਨ ਕੇ 3 cm ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਦਾ ਚੱਕਰ ‘II’ ਖਿੱਚੋ ।
4. ਰੇਖਾਖੰਡ AB ਦਾ ਲੰਬ ਸਮਦੁਭਾਜਕ ਖਿੱਚੇ ਜੋ ‘AB’ ਨੂੰ ‘M’ ਉੱਤੇ ਕੱਟੇ ।
5. ‘M’ ਨੂੰ ਕੇਂਦਰ ਮੰਨ ਕੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ MA ਜਾਂ MB ਲੈ ਕੇ ਚੱਕਰ (III) ਖਿੱਚੋ ਜੋ ਚੱਕਰ (I) ਨੂੰ ‘S’ ਅਤੇ ‘T’ ਉੱਤੇ ਅਤੇ ਚੱਕਰ (II) ਨੂੰ ‘P’ ਅਤੇ ‘Q’ ਉੱਤੇ ਕੱਟੇ ।
6. ‘AP’ ਅਤੇ ‘AQ’ ਨੂੰ ਮਿਲਾਓ । ਇਹ ਬਿੰਦੁ “A” ਤੋਂ 3 cm ਅਰਵਿਆਸ ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਹਨ |
7. ‘BS’ ਅਤੇ ‘BT’ ਨੂੰ ਮਿਲਾਓ । ਇਹ ਬਿੰਦੁ ‘B’ ਤੋਂ 4.cm ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਹਨ ।
ਰਚਨਾ ਦਾ ਸਪੱਸ਼ਟੀਕਰਣ :
ਚੱਕਰ (III) ਵਿਚ AB ਵਿਆਸ ਹੈ ਤਾਂ ∠ASE ਅਤੇ ∠BPA ਅਰਧ ਚੱਕਰ ਦੇ ਕੋਣ ਹਨ
∴ ∠ASB = 90° …(1)
∠BPA = 90° …(2)
ਪਰ ∠ASB ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਅਤੇ ਰੇਖਾਖੰਡ ‘BS ਦੇ ਵਿਚ ਦਾ ਕੋਣ ਹੈ ਅਤੇ ∠BPA ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਅਤੇ ਰੇਖਾਖੰਡ ਚੱਕਰ (II) AP’ ਦੇ ਵਿਚ ਦਾ ਕੋਣ ਹੈ ।
∵ ਰੇਖਾਖੰਡ ਜੋ ਚੱਕਰ ਦੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਉੱਤੇ ਲੰਬ ਹੈ। ਉਸ ਬਿੰਦੂ ਤੇ ਚੱਕਰ ਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਹੈ ।
∴ BS ਦਾ ਚੱਕਰ (I) ਦੀ ਬਿੰਦੁ ‘S’ ਉੱਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਹੈ ਅਤੇ AP ਚੱਕਰ (II) ਦੀ ਬਿੰਦੂ ‘P’ ਉੱਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਹੈ ।
ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ AQ ਅਤੇ BT ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਚੱਕਰ (II) ਚੱਕਰ (I) ਦੀਆਂ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਹਨ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 6.
ਮੰਨ ਲਓ ABC ਇੱਕ ਸਮਕੋਣ ਤਿਭੁਜ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ AB = 6 cm, BC = 8 cm ਅਤੇ ∠B = 90° ਹੈ । B ਤੋਂ AC ‘ ਤੇ BD ਲੰਬ ਹੈ । ਬਿੰਦੁ B, C, D ਤੋਂ ਹੋ ਕੇ ਜਾਣ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਖਿੱਚਿਆ ਗਿਆ ਹੈ । ‘A’ ਤੋਂ ਇਸ ਚੱਕਰ `ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੀ ਰਚਨਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:

ਰਚਨਾ ਦੇ ਪਗ :
1. ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਸ਼ਰਤਾਂ ਅਤੇ ਮਾਪ ਅਨੁਸਾਰ ਕੋਣ △ABC ਦੀ ਰਚਨਾ ਕਰੋ ।
2. BD ⊥ AC ਖਿੱਚੋ ।
3. ਭੁਜਾ BC ਦਾ ਮੱਧ ਬਿੰਦੁ ‘M’ ਲਉ ।
4. ‘M’ ਨੂੰ ਕੇਂਦਰ ਮੰਨ ਕੇ ਅਤੇ BC ਨੂੰ ਵਿਆਸ ਮੰਨ ਕੇ B, C, D ਵਿਚ ਅਰਧ ਚੱਕਰ ਵਿਚ ਬਣਿਆ ਕੋਣ 90° (∠BDC = 90°) ਹੁੰਦਾ ਹੈ | ਪਰਕਾਰ ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਕੇ ਚੱਕਰ ਖਿੱਚੋ ਇਸਨੂੰ I ਮੰਨੋ ।
5. ‘A’ ਅਤੇ ‘M’ ਨੂੰ ਮਿਲਾਉ ।
6. AM ਦਾ ਲੰਬ ਸਮਦੁਭਾਜਕ ਖਿੱਚੋ ਜੋ AM ਨੂੰ ‘N’ ਉੱਤੇ ਕੱਟੇ । ‘N’ ਨੂੰ ਕੇਂਦਰ ਮੰਨ ਕੇ , ‘NA” ਜਾਂ ‘NM’ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਲੈ ਕੇ ਚੱਕਰ (II) ਖਿੱਚੋ ਜੋ ਚੱਕਰ (I) ਨੂੰ ‘B’ ਅਤੇ ‘P ਤੇ ਕੱਟੇ ।
7. AP ਨੂੰ ਮਿਲਾਉ ॥
8. AP ਅਤੇ AB ਲੋੜੀਂਦੀਆਂ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਹਨ ।
ਰਚਨਾ ਦਾ ਸਪੱਸ਼ਟੀਕਰਣ :
ਰੇਖਾਖੰਡ ‘AM’ ਨੂੰ ਵਿਆਸ ਲੈ ਕੇ ਚੱਕਰ (II) ਖਿੱਚੋ ।
∠APM ਅਰਧ ਚੱਕਰ ਹੈ।
∴ ∠APM = 90° [ਅਰਧ ਚੱਕਰ ਦਾ ਕੋਣ]
ਭਾਵ MP ⊥ AP ਪਰ ‘MP’ ਚੱਕਰ (I) ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਹੈ
∴ AP ਚੱਕਰ (II) ਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਹੈ ।
[∵ ਚੱਕਰ ਦੇ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੁ ਉੱਤੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਦਾ ਲੰਬ ਕੋਈ ਰੇਖਾ ਉਸ ਚੱਕਰ ਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ |]
ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ‘AB’ ਚੱਕਰ (I) ਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 7.
ਕਿਸੇ ਵੰਗ ਦੀ ਸਹਾਇਤਾ ਨਾਲ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਖਿੱਚੋ । ਚੱਕਰ ਦੇ ਬਾਹਰ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਲਓ । ਇਸ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਚੱਕਰ ‘ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੀ ਰਚਨਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਕਿਸੇ ਵੰਗ ਦੀ ਸਹਾਇਤਾ ਨਾਲ ਚੱਕਰ ਖਿੱਚਣ ਦਾ ਭਾਵ ਹੈ ਚੱਕਰ ਦਾ ਕੇਂਦਰ ਨਹੀਂ ਪਤਾ ਹੈ। ਸਭ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਅਸੀਂ ਕੇਂਦਰ ਪਤਾ ਕਰਾਂਗੇ ।

ਰਚਨਾ ਦੇ ਪਗ :
1. ਚੂੜੀ ਦੀ ਸਹਾਇਤਾ ਨਾਲ ਚੱਕਰ ਖਿੱਚੋ ।
2. ਚੱਕਰ ਦੀਆਂ ਕੋਈ ਦੋ ਜੀਵਾਵਾਂ AB ਅਤੇ CD ਖਿੱਚੋ ।
3. ਜੀਵਾ AB ਅਤੇ CD ਦਾ ਲੰਬ ਸੰਮਦੁਭਾਜਕ ਖਿੱਚੋ ਜੋ , ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਕੱਟਣ ।
[∵ ਰੇਖਾਖੰਡ ਦਾ ਲੰਬ ਸਮਦੁਭਾਜਕ ਉੱਤੇ ਸਥਿਤ ਕੋਈ ਬਿੰਦੂ ਇਸਦੇ ਸਿਰਿਆਂ ਦੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਤੋਂ ਸਮਾਨ ਦੂਰੀ ਤੇ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ॥]
[∵ ‘O’, AB ਅਤੇ CD ਦੇ ਲੰਬ ਸਮਦੁਭਾਜਕ ਉੱਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ |
∴ OA = OB ਅਤੇ OC = OD
∴ OA = OB = OC = OD
(ਚੱਕਰ ਦੇ ਅਰਵਿਆਸ)
∴ ‘O’ ਚੱਕਰ ਦਾ ਕੇਂਦਰ ਹੈ ।
4. ਚੱਕਰ ਦੇ ਬਾਹਰ ਕੋਈ ਬਿੰਦੂ ‘P’ ਲਉ ॥
5. OP ਨੂੰ ਮਿਲਾਓ।
6. OP ਦਾ ਲੰਬ ਸਮਦੁਭਾਜਕ ਖਿੱਚੋ । ਮੰਨ ਲਓ ‘M’, OP ਦਾ ਮੱਧ ਬਿੰਦੁ ਹੈ ।
7. ‘M’ ਨੂੰ ਕੇਂਦਰ ਮੰਨ ਕੇ “MP” ਜਾਂ ‘MO’ ਅਰਵਿਆਸ ਲੈ ਕੇ ਚੱਕਰ II ਖਿੱਚੋ ਜੋ ਚੱਕਰ (I) ਨੂੰ T ਅਤੇ T’ ਤੇ ਕੱਟੇ ।
8. PT ਅਤੇ PT’ ਨੂੰ ਮਿਲਾਉ ਜੋ ਲੋੜੀਂਦੀਆਂ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਹਨ ।
ਰਚਨਾ ਦਾ ਸਪੱਸ਼ਟੀਕਰਣ :
ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਵਾਲੇ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਹਮੇਸ਼ਾ ਸਮਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ ।
∠PTO = PT’O = 90°.
OT ਨੂੰ ਮਿਲਾਉ ॥
ਹੁਣ ∠PTO ਅਰਧ ਚੱਕਰ 1 ਵਿੱਚ ਹੈ ।
∴ ∠PTO = 90°
[ਅਰਧ ਚੱਕਰ ਵਿੱਚ ਬਣਿਆ ਕੋਣ]
ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ∠PT’O = 90°
∴ PT ਅਤੇ PT’ ਚੱਕਰ ਉੱਤੇ ਬਿੰਦੂ ਅਤੇ T’ ਦੀਆਂ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਹਨ ।

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 11 ਰਚਨਾਵਾਂ Ex 11.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 11 ਰਚਨਾਵਾਂ Exercise 11.1

ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਦੇ ਲਈ ਰਚਨਾ ਦਾ ਸਪੱਸ਼ਟੀਕਰਣ ਵੀ ਦਿਓ :

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 1.
7.6 cm ਲੰਬਾ ਇਕ ਰੇਖਾਖੰਡ ਖਿੱਚੋ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ 5 : 8 ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ ਵਿਚ ਵੰਡੋ । ਦੋਨਾਂ ਭਾਗਾਂ ਨੂੰ ਮਾਪੋ ।
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : ਇਕ 7.6 cm ਲੰਬਾ ਰੇਖਾਖੰਡ ਰਚਨਾ ਦੇ ਪਗ :
1. ਇਕ ਰੇਖਾਖੰਡ AB = 7.6 cm ਲਓ।
2. ਨਿਊਨ ਕੋਣ ∠BAX ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੋਈ ਕੋਈ ਕਿਰਨ AX ਖਿੱਚੋ ।
3. ਕਿਰਨ AX ਉੱਤੇ 5 + 8 = 13 (ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ | ਅਨੁਪਾਤ ਬਿੰਦੂ A₁, A₂, A₃, A₄, A₅……… A₁₁, A₁₂, A₁₃ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅੰਕਿਤ ਕਰੋ ਕਿ A₁A₂ = A₂A₃ = A₃A₄ = ….. = A₁₂A₁₃ ਹੋਵੇ ।
4. BA₁₃ ਨੂੰ ਮਿਲਾਓ।
5. ਬਿੰਦੂ A₅, ਤੋਂ ਹੋ ਕੇ ਜਾਣ ਵਾਲੀ A₅C || A₁₃B (A₅ ਉੱਤੇ ∠AA₁₃B ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਕੋਣ ਬਣਾਓ) AB ਨੂੰ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ “c’ ਤੇ ਕੱਟਦੀ ਹੋਈ ਰੇਖਾ ਖਿਚੋ ਤਾਂ AC : CB = 5 : 8

ਸਪੱਸ਼ਟੀਕਰਣ
ਆਓ ਅਸੀਂ ਦੇਖੀਏ ਕਿ ਇਹ ਵਿਧੀ ਕਿਵੇਂ ਸਾਨੂੰ ਲੋੜੀਂਦਾ ਵਿਭਾਜਨ ਦਿੰਦੀ ਹੈ।
△AA₁₃B ਵਿੱਚ
∴ A₅C || A₁₃B ਹੈ ।
∴ ਮੂਲ ਸਮਾਨ ਅਨੁਪਾਤਿਕਤਾ ਥਿਊਰਮ ਰਾਹੀਂ
\(\frac{\mathrm{AA}_{5}}{\mathrm{~A}_{5} \mathrm{~A}_{13}}\) = \(\frac{AC}{CB}\)
\(\frac{\mathrm{AA}_{5}}{\mathrm{~A}_{5} \mathrm{~A}_{13}}\) = \(\frac{5}{8}\)
∴ \(\frac{AC}{CB}\) = \(\frac{5}{8}\)
ਇਹ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ‘C’, AB ਨੂੰ 5 : 8 ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ ਵਿਚ ਵੰਡਦਾ ਹੈ ।
ਦੋਵੇਂ ਭਾਗ ਮਾਪਣ ਤੇ,
AC = 2.9 cm, CB = 47 cm
ਵੈਕਲਪਿਕ ਜਾਂ ਦੂਜੀ ਵਿਧੀ :
1. ਇਕ ਰੇਖਾਖੰਡ AB = 7.6 cm ਲਓ ।
2. ਇਕ ਨਿਊਨ ਕੋਣ ∠BAX ਖਿੱਚੋ ।
3. ∠ABY ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਬਣਾਓ ਕਿ
∠ABY = ∠BAX.
4. ਬਿੰਦੂ A₁, A₂, A₃, A₄, A₅ ਕਿਰਨ AX ਉੱਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅੰਕਿਤ ਕਰੋ ਤਾਂਕਿ A₁A₂ = A₂A₃ = A₃A₄
5. ਬਿੰਦੂ B₁, B₂, B₃, ………, B₈ ਰੇਖਾ BY ਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅੰਕਿਤ ਕਰੋ ਕਿ B₁B₂ = B₂B₃ = …..B₇B₈
6. A₅B₈ ਨੂੰ ਮਿਲਾਓ ਮੰਨ ਲਓ ਇਹ AB ਨੂੰ ‘C’ ਤੇ ਕੱਟਦਾ ਹੈ ।
AC : CB = 5 : 8

ਸਪੱਸ਼ਟੀਕਰਣ :
△ACA₅ ਅਤੇ △ BCB₈ ਵਿੱਚ
∠ACA₅ = ∠BCB₈ [ਸਿਖਰ ਸਨਮੁੱਖ ਕੋਣੀ ]
∠BAA₅ = ∠ABB₈ ([ਰਚਨਾ]
∴ △ACA₅ ~ △BCB₈ [AA ਸਮਰੂਪਤਾ]
∴ ਇਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਸਮਾਨ ਵਿੱਚ ਅਨੁਪਾਤ ਹੋਣਗੀਆਂ।

∴ AC : CB = 5 : 8.
∴ C, ਰੇਖਾਖੰਡ AB ਨੂੰ 5 : 8 ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ ਵਿੱਚ | ਵੰਡਦਾ ਹੈ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 2.
4 cm, 5 cm ਅਤੇ 6 cm ਭੁਜਾਵਾਂ ਵਾਲੇ ਇੱਕ | ਤਿਭੁਜ ਦੀ ਰਚਨਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਇਸ ਦੇ ਸਮਰੂਪ ਇੱਕ ਹੋਰ | ਤਿਭੁਜ ਦੀ ਰਚਨਾ ਕਰੋ ਜਿਸ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦਾ \(\frac{2}{3}\) ਗੁਣਾ ਹੋਣ ।
ਹੱਲ:
ਰਚਨਾ ਦੇ ਪਗ :
1. ਦਿੱਤੀਆਂ ਹੋਈਆਂ ਸ਼ਰਤਾਂ ਅਤੇ ਮਾਪ ਅਨੁਸਾਰ ਤਿਭੁਜ ਦੀ ਰਚਨਾ ਕਰੋ । ਮੰਨ ਲਓ △ABC ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ AB = 5 cm, AC = 4 cm ਅਤੇ BC = 6 cm ਹੈ ।
2. ਭੁਜਾ BC ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਕੋਈ ਨਿਉਨ ਕੋਣ ∠CBX ਬਣਾਓ ।

3. ਤਿੰਨ ਬਿੰਦੂ (\(\frac{2}{3}\) ਵਿੱਚ 2 ਅਤੇ 3 ਵਿੱਚੋਂ ਵੱਡੀ ਸੰਖਿਆ) B₁, B₂, B₃, BX ਉੱਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅੰਕਿਤ ਕਰੋ ਕਿ BB₁ = B₁B₂ = B₂B₃ ਹੋਣ ।
4. B₃C ਨੂੰ ਮਿਲਾਓ।
5. B₂(\(\frac{2}{3}\) ਵਿੱਚ 2 ਅਤੇ 3 ਵਿੱਚੋਂ ਛੋਟੀ ਸੰਖਿਆ) ਵਿੱਚੋਂ ਇਕ ਰੇਖਾ B₃C ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਖਿੱਚੋ ਜੋ BC ਨੂੰ C’ ਉੱਤੇ ਕੱਟੇ ।
6. C, ਤੋਂ ਹੋ ਕੇ ਜਾਣ ਵਾਲੀ CA ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਖਿੱਚੋ ਜੋ BA ਨੂੰ A’ਤੇ ਮਿਲੇ ।
∴ △A’BC’ ਲੋੜੀਂਦੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਹੈ ਜਿਸ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ △ABC ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੀ \(\frac{2}{3}\) ਗੁਣਾ ਹਨ !
ਰਚਨਾ ਦਾ ਸਪੱਸ਼ਟੀਕਰਣ :
ਪਹਿਲਾਂ ਅਸੀਂ ਇਹ ਦਿਖਾਵਾਂਗੇ ਕਿ ਪਹਿਲੀ ਤਿਭੁਜ ਅਤੇ ਰਚਨਾ ਕੀਤੀ ਗਈ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਸਮਰੂਪ ਹਨ }
ਭਾਵ △A’BC’ – △ABC
△ A’BC’ ਅਤੇ △ABC ਵਿਚ
∠B = ∠B [ਸਾਂਝਾ]
∠A’C’B= ∠ACB [ਚਨਾ]
△A’C’B ~ △ACB [AA ਸਮਰੂਪਤਾ]
∴ ਇਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਵੀ ਸਮਾਨ ਅਨੁਪਾਤ ਵਿਚ ਹੋਣਗੀਆਂ।

∴ △A’BC’ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ △ ABC ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦਾ \(\frac{2}{3}\) ਗੁਣਾ ਹੈ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 3.
5 cm, 6 cm ਅਤੇ 7 cm ਭੁਜਾਵਾਂ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੀ ਰਚਨਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਫਿਰ ਇੱਕ ਹੋਰ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੀ ਰਚਨਾ ਕਰੋ, ਜਿਸ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦਾ \(\frac{7}{5}\) ਗੁਣਾ ਹੋਣ ।
ਹੱਲ:

ਰਚਨਾ ਦੇ ਪਗ
1. △ABC ਦੀ ਰਚਨਾ ਕਰੋ ਜਿਸ ਵਿਚ AB = 7 cm, BC = 6 cm ਅਤੇ AC = 5 cm ਹੋਣ
2. ਆਧਾਰ AB ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਨੂੰ ਕੋਈ ਨਿਊਨ ਕੋਣ ∠BAX ਬਣਾਉ ।
3. ਸੱਤ ਬਿੰਦੂ A₁, A₂, A₃, ……. A₇ ਰੇਖਾ AX ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅੰਕਿਤ ਕਰੋ ਕਿ
AA₁ = A₁A₂ = A₂A₃ = ………A₆A₇
4. BA₅ ਨੂੰ ਮਿਲਾਓ ।
5. A₇, ਤੋਂ A₅B ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਖਿੱਚੋ । ਮੰਨ ਲਉ ਇਹ AB ਨੂੰ ਵਧਾਉਣ ਤੇ B’ ਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਮਿਲਦੀ ਹੈ ਕਿ AB’ = \(\frac{7}{5}\)AB.
6. B’ ਤੋਂ ਇੱਕ ਰੇਖਾ BC ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਖਿੱਚੋ ਜੋ AC ਨੂੰ ਵਧਾਉਣ ਤੇ C’ ਤੇ ਮਿਲਦੀ ਹੈ । △AB’C ਲੋੜੀਂਦੀ ਹੈ ।
ਸਪੱਸ਼ਟੀਕਰਣ ,
△ABC ਅਤੇ △ AB’C’ ਵਿੱਚ,
∠A = ∠A [ਸਾਂਝਾ]
∠ABC = ∠AB’C’ [ਚਨਾ]
∴ ∠ABC ~ ∠ AB’C’ [AA ਸਮਰੂਪਤਾ]
∴ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਇੱਕ ਹੀ ਅਨੁਪਾਤ ਵਿਚ ਹੋਣਗੀਆਂ ।
\(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AB}^{\prime}}\) = \(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}}\) = \(\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{C}^{\prime} \mathrm{A}}\) …(1)
ਪਰ △ AA₅B ਅਤੇ △AA₇ B’ ਵਿਚ
∠A = ∠A [ਸਾਂਝਾ]
∠AA₅B = ∠AA₇B’ [ਸੰਗਤ ਕੋਣ]
∴ △AA₅B – △AA₇B’ [AA ਸਮਰੂਪਤਾ]
∴ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਇੱਕ ਸਮਾਨ ਅਨੁਪਾਤ ਵਿਚ ਹੋਣਗੀਆਂ ।

∴ △AB’C’ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ △ABC ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦਾ \(\frac{7}{5}\) ਗੁਣਾ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 4.
ਆਧਾਰ 8 cm ਅਤੇ ਉੱਚਾਈ 4 cm ਦੇ ਇੱਕ ਸਮਦੋਭੁਜੀ ਤਿਭੁਜ ਦੀ ਰਚਨਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਫਿਰ ਇੱਕ ਹੋਰ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੀ ਰਚਨਾ ਕਰੋ, ਜਿਸ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਇਸ ਸਮਦੋਭੁਜੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦਾ 1\(\frac{1}{2}\) ਗੁਣਾ ਹੋਣ ।
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : ਸਮਦੋਭੁਜੀ ਤਿਭੁਜ ਦਾ ਆਧਾਰ = 8 cm ਅਤੇ ਉੱਚਾਈ = 4 cm
ਰਚਨਾ ਕਰਨਾ : ਇਕ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਜਿਸ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਸਮਦੋਭੁਜੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦਾ 1\(\frac{1}{2}\) ਗੁਣਾ ਹੈ ।
ਰਚਨਾ ਦੇ ਪਗ :
1. ਆਧਾਰ AB = 8 cm ਲਉ |
2. AB ਦਾ ਲੰਬ ਸਮਦੁਭਾਜਕ ਖਿੱਚੋ ਜੋ AB ਨੂੰ ‘M’ | ਉੱਤੇ ਕੱਟੇ ।
3. M ਨੂੰ ਕੇਂਦਰ ਮੰਨ ਕੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ 4 cm ਲੈ ਕੇ ਇੱਕ ਚਾਪ ਲਗਾਓ ਜੋ ਲੰਬ ਸਮਦੁਭਾਜਕ ਨੂੰ C’ ਤੇ ਕੱਟਦੀ ਹੈ ।
4. CA ਅਤੇ CB ਨੂੰ ਮਿਲਾਓ ।
5. △ABC ਸਮਦੋਭੁਜੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿਚ CA = CB.
6. ਭੁਜਾ BC ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਇਕ ਨਿਊਨ ਕੋਣ ∠BAX | ਬਣਾਓ ।
7. ਤਿੰਨ ਬਿੰਦੂ (1\(\frac{1}{2}\) ਜਾਂ \(\frac{3}{2}\) ਵਿੱਚ 2 ਜਾਂ 3 ਵਿੱਚੋਂ ਵੱਡੀ ਸੰਖਿਆ) A₁, A₂, A₃, …….. ‘AX’ ਉੱਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ | ਅੰਕਿਤ ਕਰੋ ਕਿ AA₁ = A₁A₂ = A₂A₃ ਹੋਵੇ ।

8. A₂ (\(\frac{1}{2}\) ਵਿੱਚ ‘2’ ਅਤੇ ‘3’ ਵਿੱਚੋਂ ਛੋਟੀ ਸੰਖਿਆ) | ਅਤੇ B ਨੂੰ ਮਿਲਾਓ ।
9. A₃ ਵਿਚੋਂ ਇਕ ਰੇਖਾ A₂B ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਖਿੱਚੋ ਜੋ | AB ਨੂੰ ਵਧਾਉਣ ਤੇ B’ ਤੇ ਮਿਲੇ ।
10. B’ ਵਿੱਚੋਂ ਇਕ ਰੇਖਾ BC ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਖਿੱਚੋ ਜੋ AC ਨੂੰ ਵਧਾਉਣ ਤੇ C’ ਤੇ ਮਿਲੇ । △AB’C’ ਲੋੜੀਂਦੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਹੈ ਜਿਸ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ △ABC ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੀ 1\(\frac{1}{2}\) ਗੁਣੀ ਹੈ ।
ਸਪੱਸ਼ਟੀਕਰਣ :
ਸਭ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਅਸੀਂ ਇਹ ਸਿੱਧ ਕਰਾਂਗੇ ਕਿ △AB’C’ ਅਤੇ △ABC ਸਮਰੂਪ ਹੈ ।
△ ABC ਅਤੇ △ ABC ਵਿੱਚ,
∠A = ∠A [ਸਾਂਝਾ]
∠AB’C’ = ∠ABC [ਚਨਾ]
△AB’C’ ~ △ABC [AA ਸਮਰੂਪਤਾ]
∴ ਉਹਨਾਂ ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਇੱਕ ਹੀ ਅਨੁਪਾਤ ਵਿਚ ਹੋਣ
\(\frac{\mathrm{AB}^{\prime}}{\mathrm{AB}}\) = \(\frac{\mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}}{\mathrm{BC}}\) = \(\frac{\mathrm{C}^{\prime} \mathrm{A}}{\mathrm{CA}}\) ………(1)
ਹੁਣ △ A3AB’ ਅਤੇ △AAB ਲਉ
∠A = ∠A [ਸਾਂਝਾ]
∠B’A₃A = ∠BA₂A [ਚਨਾ]
∴ △A₃AB’ ~ △A₂AB [AA ਸਮਰੂਪਤਾ]
∴ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਇਕ ਹੀ ਅਨੁਪਾਤ ਵਿਚ ਹੋਣ

ਅਤੇ C’A = 1\(\frac{1}{2}\) (CA)
∴ △ AB’C’ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ △ABC ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦਾ 1\(\frac{1}{2}\) ਗੁਣਾ ਹੈ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 5.
ਇੱਕ ਤਿਭੁਜ ABC ਬਣਾਓ ਜਿਸ ਵਿੱਚ BC = 6 cm, AB = 5 cm ਅਤੇ ∠ABC= 60° ਹੋਵੇ।ਫਿਰ ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੀ ਰਚਨਾ ਕਰੋ ਜਿਸ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ △ABC ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦਾ \(\frac{3}{4}\) ਗੁਣਾ ਹੋਣ ।
ਹੱਲ:
ਰਚਨਾ ਦੇ ਪਰਾ :
1. ਰੇਖਾਖੰਡ BC = 6 cm ਲਉ !
2. B ਉਤੇ 60° ਦਾ ਕੋਣ ਬਣਾਓ ਭਾਵ ∠BAX = 60° ਬਣਾਓ ।
3. B ਨੂੰ ਕੇਂਦਰ ਮੰਨ ਕੇ ਅਤੇ 5 cm ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਲੈ ਕੇ ਇਕ ਚਾਪ ਖਿਚੋ ਜੋ BX ਨੂੰ ‘A’ ਤੇ ਕੱਟੇ ।

4. A ਅਤੇ C ਨੂੰ ਮਿਲਾਓ ।
5. BC ਦੇ ਥੱਲੇ B ਉੱਤੇ ਇਕ ਨਿਊਨ ਕੋਣ ਬਣਾਉ ॥
6. ਚਾਰ ਬਿੰਦੂ (\(\frac{3}{4}\) ਵਿਚ 3 ਅਤੇ 4 ਵਿੱਚੋਂ ਵੱਡੀ ਸੰਖਿਆ) B₁, B₂, B₃, B₄ ਰੇਖਾ BY ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅੰਕਿਤ ਕਰੇ ਕਿ BB₁ = B₁B₂ = ……..B₂B₃ = B₃B₄
7. B₄ ਅਤੇ C ਨੂੰ ਮਿਲਾਓ ।
8. B₃ ਤੋਂ (\(\frac{3}{4}\) ਵਿਚ 3 ਅਤੇ 4 ਵਿੱਚੋਂ ਛੋਟੀ ਸੰਖਿਆ) ਇੱਕ ਰੇਖਾ B₄C ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਸੰਗਤ ਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੋਈ ਖਿੱਚੋ । ਮੰਨ ਲਓ B₃ ਵਿਚੋਂ ਖਿੱਚੀ ਰੇਖਾ BC ਨੂੰ C’ ਉੱਤੇ ਮਿਲਦੀ ਹੈ ।
9. C’ ਤੋਂ ਇਕ ਰੇਖਾ CA ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਖਿਚੋ ਜੋ BA ਨੂੰ A’ ਉੱਤੇ ਕੱਟਦੀ ਹੈ ।
△A’BC ਲੋੜੀਂਦੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਹੈ ਜਿਸ ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ △ABC ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੇ \(\frac{3}{4}\) ਗੁਣਾ ਹਨ।
ਸਪੱਸ਼ਟੀਕਰਣ :
△A’BC ਅਤੇ △ABC ਲਉ ॥
∠B = ∠B [ਸਾਂਝਾ]
∠A’C’B = ∠ACB [ਸੰਗਤ ਕੋਣ]
∴ △A’BC’ ~ △ABC [AA ਸਮਰੂਪਤਾ]
∴ ਉਹਨਾਂ ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਇਕ ਹੀ ਅਨੁਪਾਤ ਵਿਚ ਹੋਣਗੀਆਂ ।
∴ \(\frac{A^{\prime} B}{A B}\) = \(\frac{\mathrm{BC}^{\prime}}{\mathrm{BC}}\) = \(\frac{\mathrm{C}^{\prime} \mathrm{A}^{\prime}}{\mathrm{CA}}\) …(1)
ਹੁਣ △BBC ਅਤੇ △BBC ਲਉ !
∠B = ∠B [ਸਾਂਝਾ]
∠C’ B₃B = ∠CB₄B [ਸੰਗਤ ਕੋਣ]
△B₃BC ~ △B₄BC [AA ਸਮਰੂਪਤਾ]
∴ ਉਹਨਾਂ ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਇਕ ਹੀ ਅਨੁਪਾਤ ਵਿਚ ਹੋਣਗੀਆਂ

ਅਤੇ C’A’ = \(\frac{3}{4}\)CA.
ਭਾਵ △A’BC’ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ △ABC ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦਾ \(\frac{3}{4}\) ਗੁਣਾ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 6.
ਇੱਕ ਤਿਭੁਜ ABC ਬਣਾਉ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ BC = 7 ਤੋਂ cm, ∠B = 45°, ∠A = 105° ਹੋਵੇ । ਫਿਰ ਇੱਕ ਹੋਰ | ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੀ ਰਚਨਾ ਕਰੋ ਜਿਸ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ △ABC ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦਾ \(\frac{3}{4}\) ਗੁਣਾ ਹੋਣ ।
ਹੱਲ:
ਰਚਨਾ ਦੇ ਪਗ :
1. ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਮਾਪਾਂ ਨਾਲ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ABC ਦੀ ਰਚਨਾ ਕਰੋ ।
2. ਭੁਜਾ BC ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਬਿੰਦੂ B ‘ਤੇ ਕੋਈ ਨਿਊਨ ਕੋਣ ∠CBX ਖਿੱਚੋ ।

7 cm
ਤਿਭੁਜ ਦੇ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਗੁਣਧਰਮ ਦੁਆਰਾ
∠A + ∠B + ∠C = 180°
105° + 45° + ∠C = 180°
∠C = 180° – 150° = 30°
3. ਚਾਰ ਬਿੰਦੂ (\(\frac{4}{3}\) ਵਿੱਚ 3 ਅਤੇ 4 ਵਿਚੋਂ ਵੱਡੀ ਸੰਖਿਆ) B₁, B₂, B₃ …..B₄, ‘BX’ ਉੱਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅੰਕਿਤ ਕਰੋ ਕਿ BB₁ = B₁B₂ = B₂B₃ = B₃B₄ ਹੋਵੇ ।
4. B₃C ਤੋਂ 3 ਅਤੇ 4 ਵਿੱਚੋਂ ਛੋਟੀ) ਨੂੰ ਮਿਲਾਓ ।
5. B₄ ਵਿਚੋਂ ਇਕ ਰੇਖਾ B₃C ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਖਿੱਚੋ ਜੋ | BC ਨੂੰ ਵਧਾਉਣ ਤੇ C ‘ਤੇ ਕੱਟੇ ।
6. C’ ਤੋਂ ਇਕ ਹੋਰ ਰੇਖਾ CA ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਖਿੱਚੋ | ਜੋ BA ਨੂੰ ਵਧਾਉਣ ਤੇ A’ ਉੱਤੇ ਕੱਟੇ ।
7. △A’BC’ ਲੋੜੀਂਦੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਹੈ ਜਿਸ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ABC ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੇ \(\frac{4}{3}\) ਗੁਣਾ ਹੈ।
ਸਪੱਸ਼ਟੀਕਰਣ :
△A’BC ਅਤੇ △ ABC ਲਓ ।
∠B = ∠B [ਸਾਂਝਾ]
∠A’C’B = ∠ACB [ਚਨਾ]
∴ △ A’BC ~ △ABC [AA ਸਮਰੂਪਤਾ]
∴ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਇਕ ਹੀ ਅਨੁਪਾਤ ਵਿਚ ਹੋਣਗੀਆਂ]
\(\frac{A^{\prime} B}{A B}\) = \(\frac{\mathrm{BC}^{\prime}}{\mathrm{BC}}\) = \(\frac{\mathrm{C}^{\prime} \mathrm{A}^{\prime}}{\mathrm{CA}}\) ….(1)
ਫਿਰ △B₄BC ਅਤੇ △B₃BC ਲਓ
∠B = ∠B [ਸਾਂਝਾ]
∠C’B₄B = ∠CB₃B [ਰਚਨਾ]
∴ △B₄BC’ ~ △B₃BC [AA-ਸਮਰੂਪਤਾ}
∴ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਇਕ ਹੀ ਅਨੁਪਾਤ ਵਿਚ ਹੋਣਗੀਆਂ ।

△A’BC’ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ △ABC ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦਾ \(\frac{4}{3}\) ਗੁਣਾ ਹੈ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 7.
ਇੱਕ ਸਮਕੋਣ ਤਿਭੁਜ ਦੀ ਰਚਨਾ ਕਰੋ, ਜਿਸ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ (ਕਰਣ ਦੇ ਇਲਾਵਾ 4 cm ਅਤੇ 3 cm ਲੰਬਾਈ ਵਾਲੀਆਂ ਹੋਣ । ਫਿਰ ਇੱਕ ਹੋਰ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੀ ਰਚਨਾ ਕਰੋ, ਜਿਸ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦਾ \(\frac{5}{3}\) ਗੁਣਾ ਹੋਣ ।
ਹੱਲ:
ਰਚਨਾ ਦੇ ਪਗ :
1. ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਸ਼ਰਤਾਂ ਨਾਲ ਸਮਕੋਣ ਤਿਭੁਜ ਦੀ ਰਚਨਾ ਕਰੋ ਮੰਨ ਲਉ ਇਹ △ABC ਹੈ ।
BC = 4 cm; AB = 3 cm ਅਤੇ ∠B = 90°.
2. ਭੁਜਾ BC ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਕੋਈ ਨਿਊਨ ਕੋਣ ∠CBX ਬਣਾਉ ।
3. ਪੰਜ ਬਿੰਦੂ (\(\frac{5}{3}\) ਵਿੱਚ 5 ਅਤੇ 3 ਵਿੱਚੋਂ ਵੱਡੀ ਸੰਖਿਆ) B₁, B₂, B₃, ……B₄, B₅, BX ਉੱਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅੰਕਿਤ ਕਰੋ ਕਿ BB₁ = B₁B₂ = ….. = B₄B₅ ਹੋਵੇ ।
4. B₃ (\(\frac{5}{3}\) ਵਿੱਚ ‘5’ ਅਤੇ ‘3) ਵਿੱਚੋਂ ਛੋਟੀ ਸੰਖਿਆ) ਅਤੇ ‘C ਨੂੰ ਮਿਲਾਓ ।

5. B₅ ਵਿਚੋਂ ਇਕ ਰੇਖਾ BC ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਖਿੱਚੋ ਜੋ BC ਨੂੰ ਵਧਾਉਣ ਤੇ C’ ਤੇ ਕੱਟੇ ।
6. ਦੁਬਾਰਾ C ਵਿਚੋਂ ਇਕ ਰੇਖਾ CA ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਤੇ ਖਿੱਚੋ ! ਜੋ BA ਨੂੰ ਵਧਾਉਣ ਤੇ A’ ਤੇ ਮਿਲੇ । △A’BC ਲੋੜੀਂਦੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਹੈ ਜਿਸ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ △ABC ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦਾ \(\frac{5}{3}\) ਗੁਣਾ ਹਨ।
ਸਪੱਸ਼ਟੀਕਰਣ
△A’BC ਅਤੇ △ABC ਲਉ
∠B = ∠B [ਸਾਂਝਾ]
∠A’C’B = ∠ACB [ਚਨਾ]
∴ △A’BC’ ~ △ABC [AA-ਸਮਰੂਪਤਾ]
∴ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਇਕ ਹੀ ਅਨੁਪਾਤ ਵਿਚ ਹੋਣਗੀਆਂ ।
ਭਾਵ \(\frac{A^{\prime} B}{A B}\) = \(\frac{\mathrm{BC}^{\prime}}{\mathrm{BC}}\) = \(\frac{\mathrm{C}^{\prime} \mathrm{A}^{\prime}}{\mathrm{CA}}\) …(1)
ਦੁਬਾਰਾ △B₅C’B ਅਤੇ △B₃CB ਵਿਚੋਂ
CB = CB [ਸਾਂਝਾ]
∠C’B₅B = ∠CB₃B [ਚਨਾ]
∴ △B₅C’B ~ △B₃CB [AA-ਸਮਰੂਪਤਾ]
∴ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਇਕ ਸਮਾਨ ਅਨੁਪਾਤ ਵਿਚ ਹੋਣਗੀਆਂ ।

△A’BC’ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ △ABC ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦਾ \(\frac{5}{3}\) ਗੁਣਾ ਹੈ।

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 10 ਚੱਕਰ Ex 10.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 10 ਚੱਕਰ Exercise 10.2

ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਨੰ : 1, 2, 3 ਵਿੱਚੋਂ ਸਹੀ ਵਿਕਲਪ ਚੁਣੋ ਅਤੇ ਉੱਚਿਤ ਕਾਰਣ ਦਿਓ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 1.
ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ Q ਤੋਂ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ‘ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 24 cm ਅਤੇ 9 ਦੀ ਕੇਂਦਰ ਤੋਂ ਦੂਰੀ 25 cm ਹੈ । ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਹੈ :
(A) 7 cm
(B) 12 cm
(C) 15 cm
(D) 24.5 cm
ਹੱਲ:
ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਜਿਸਦਾ ਕੇਂਦਰ ਹੈ । ਬਾਹਰੀ ਬਿੰਦੂ Q ਤੋਂ ਸਪਸ਼ ਰੇਖਾ PQ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 24 cm ਅਤੇ Q ਦੀ ਕੇਂਦਰ O ਤੋਂ ਦੂਰੀ 25 cm ਹੈ ।

∵ ∠QPO = 90°
ਹੁਣ, ਸਮਕੋਣ △OPQ ਵਿਚ
OQ² = PQ² + Op²
(25)² = (24)² + OP²
625 = 576 + OP²
OP² = 625 – 576
OP² = 49 = (7)²
OP = 7 cm
∴ ਵਿਕਲਪ (A) ਸਹੀ ਹੈ। ਉੱਤਰ

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 2.
ਚਿੱਤਰ ਵਿਚ, ਜੇਕਰ TP, TQ ਕੇਂਦਰ O ਵਾਲੇ ਕਿਸੇ ਚੱਕਰ `ਤੇ ਦੋ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹਨ ਕਿ ∠POQ = 110°, ਤਾਂ ∠PTQ ਬਰਾਬਰ ਹੈ : (A) 6o°
(B) 70°
(C) 80°
(D) 90°

ਹੱਲ:
ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ OP ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਹੈ ਅਤੇ PT ਚੱਕਰ ‘ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਹੈ
∴ ∠OPT = 90°
ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ∠OQT = 90°
ਅਤੇ ∠POQ = 110° ਦਿੱਤਾ ਹੈ
ਹੁਣ, POQT ਇੱਕ ਚਤੁਰਭੁਜ ਹੈ
∴ ∠POQ + ∠OQT + ∠QTP + ∠TPO = 360°
110° + 90° + ∠QTP + 90° = 360°
∠QTP + 290° = 360°
∠QTP = 360° – 290°
ਜਾਂ ∠QTP = 70°
∴ ਵਿਕਲਪ (B) ਸਹੀ ਹੈ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 3.
ਜੇਕਰ ਇਕ ਬਿੰਦੂ P ਤੋਂ O ਕੇਂਦਰ ਵਾਲੇ ਕਿਸੇ ਚੱਕਰ ‘ਤੇ PA, PB ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਆਪਸ ਵਿੱਚ 80° ਦੇ ਕੋਣ ‘ਤੇ ਝੁਕੀਆਂ ਹੋਣ ਤਾਂ ∠POA ਬਰਾਬਰ ਹੈ :
(A) 50°
(B) 60°
(C) 70°
(D) 80°
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਚਿੱਤਰ ਵਿਚ OA ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਹੈ ਅਤੇ AP ਚੱਕਰ ਦੀ ਸਪੱਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਹੈ :
∴ ∠OAP = 90°

ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ∠OBP = 90°
ਹੁਣ, ਸਮਕੋਣ △PAO ਅਤੇ △PBO ਵਿੱਚ
∠PAO = ∠PBO = 90°
OP = OP (ਸਾਂਝੀ ਭੂਜਾ)
OA = OB (ਇੱਕ ਹੀ ਚੱਕਰ ਦੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ)
∴ ∠PAO ≅ △PBO
[RHS ਸਰਬੰਗਸਮਤਾ ਦੁਆਰਾ]
∴ ∠AOP = ∠BOP (CPCT)
ਜਾਂ ∠AOP = ∠BOP = \(\frac{1}{2}\)∠AOB …(1)
ਚਤੁਰਭੁਜ OAPB ਵਿਚ
∠OBP + ∠BPA + ∠PAO + ∠AOB = 360°
90° + 80° + 90° + ∠AOB = 360°
∠AOB = 360° – 260°
∠AOB = 100° …(2)
(1) ਅਤੇ (2) ਤੋਂ
∠AOP = ∠BOP = \(\frac{1}{2}\) × 100° = 50°
∴ ਵਿਕਲਪ (A) ਸਹੀ ਹੈ। ਉੱਤਰ

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 4.
ਸਿੱਧ ਕਰੋ ਕਿ ਕਿਸੇ ਚੱਕਰ ਦੇ ਕਿਸੇ ਵਿਆਸ ਦੇ ਸਿਰਿਆਂ ‘ਤੇ ਖਿੱਚੀਆਂ ਗਈਆਂ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਸਮਾਂਤਰ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ।
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : ਇਕ ਚੱਕਰ ਜਿਸਦਾ ਕੇਂਦਰ ਹੈ O ਅਤੇ ਵਿਆਸ AB ਹੈ ਅਤੇ m ਬਿੰਦੂਆਂ A ਅਤੇ B ‘ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਹਨ ।

ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ : l || m
ਸਬੂਤ : ∴ OA ਇੱਕ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਹੈ ਅਤੇ l ਇੱਕ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਹੈ ।
∴ ∠1 = 90°
∠2 = 90°
ਹੁਣ, ∠1 = ∠2 = 90°
ਪਰ ਇਹ ਦੋ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇ ਇਕਾਂਤਰ ਕੋਣ ਹਨ । ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਕਾਟਵੀਂ ਰੇਖਾ ਇਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਕੱਟਦੀ ਹੈ ।
∴ l || m
ਕਿਸੇ ਵਿਆਸ ਦੇ ਸਿਰਿਆਂ ਤੇ ਖਿੱਚੀਆਂ ਗਈ ਸਪੱਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਪਰਸਪਰ ਸਮਾਂਤਰ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 5.
ਸਿੱਧ ਕਰੋ ਕਿ ਸਪਰਸ਼ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਸਪੱਰਸ਼ ਰੇਖਾ ‘ਤੇ ਖਿੱਚਿਆ ਗਿਆ ਲੰਬ ਚੱਕਰ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਤੋਂ ਹੋ ਕੇ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ।
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਜਿਸਦਾ ਕੇਂਦਰ O ਹੈ । AB ਇਸਦੀ ਇੱਕ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਹੈਂ ਜੋ ਚੱਕਰ ਨੂੰ P ਉੱਤੇ ਮਿਲਦੀ ਹੈ ।
ਭਾਵ ਬਿੰਦੁ P ਚੱਕਰ ਦਾ ਸਪਰਸ਼ ਬਿੰਦੁ ਹੈ ।

ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ : ਸਪਰਸ਼ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ‘ਤੇ ਖਿੱਚਿਆ ਗਿਆ ਲੰਬ ਚੱਕਰ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਤੋਂ ਹੋ ਕੇ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ।
ਰਚਨਾ : OP ਨੂੰ ਮਿਲਾਓ ।
ਸਬੂਤ : ਕਿਉਂਕਿ OP ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਹੈ ਅਤੇ AB ਚੱਕਰ ਉੱਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੁ P ਸਪਰਸ਼ ਬਿੰਦੂ ਹੈ।
∴ ∠OPA = ∠OPB = 90°
[∵ ਚੱਕਰ ਦੇ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ ‘ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਸਪਰਸ਼ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਉੱਤੇ ਲੰਬ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ॥]
ਜਾਂ OP ⊥ AB
ਕਿਉਂਕਿ ਕਿਸੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਹਮੇਸ਼ਾਂ ਚੱਕਰ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਵਿਚੋਂ ਲੰਘਦਾ ਹੈ ।
ਇਸ ਲਈ ਸਪਰਸ਼ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਸਪਸ਼ ਰੇਖਾ ਤੇ ਖਿੱਚਿਆ ਗਿਆ ਲੰਬ ਚੱਕਰ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਵਿਚੋਂ ਹੋ ਕੇ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 6.
ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ A ਤੋਂ, ਜੋ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਤੋਂ 5 cm | ਦੀ ਦੂਰੀ ‘ਤੇ ਹੈ, ਚੱਕਰ ‘ ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 4cm ਹੈ । ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਚੱਕਰ ਦਾ ਕੇਂਦਰ ‘O’ ਹੈ । ਚੱਕਰ ਦੇ ਬਾਹਰ 5 cm ਦੀ ਦੂਰੀ ‘ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ A ਹੈ ।

ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ = PA = 4 cm
ਕਿਉਂਕਿ OP ਇੱਕ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਹੈ ਅਤੇ PA ਚੱਕਰ | ਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਹੈ
∴ ∠OPA = 90°
ਸਮਕੋਣ △OPA ਵਿੱਚ ਪਾਈਥਾਗੋਰਸ ਥਿਊਰਮ ਤੋਂ
OA² = OP² + PA²
(5)² = OP² + (4)²
OP² = 25 – 16
OP² = 9 = (3)²
OP = 3 cm.
∴ ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ 3 cm ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 7.
ਦੋ ਸਮਕੇਂਦਰੀ ਚੱਕਰਾਂ ਦੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ 5 cm ਤੇ 3 cm ਹਨ। ਵੱਡੇ ਚੱਕਰ ਦੀ ਉਸ ਜੀਵਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜੋ ਛੋਟੇ ਚੱਕਰ ਨੂੰ ਸਪਰਸ਼ ਕਰਦੀ ਹੈ ।
ਹੱਲ:
ਦੋ ਸਮਕੇਂਦਰੀ ਚੱਕਰ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਕੇਂਦਰ O ਹੈ ਅਤੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਕ੍ਰਮਵਾਰ 5 cm ਅਤੇ 3 cm ਹਨ ।
ਮੰਨ ਲਉ PQ ਵੱਡੇ ਚੱਕਰ ਦੀ ਜੀਵਾ ਹੈ ਪਰ ਛੋਟੇ ਚੱਕਰ ਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਹੈ ।

ਕਿਉਂਕਿ OM ਛੋਟੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਹੈ ਅਤੇ PMQ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਹੈ ।
∴ ∠OMP = ∠OMQ = 90°
ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ OMP ਅਤੇ OMQ ਵਿੱਚ,
∠OMP = ∠OMQ = 90°
OP = OQ [ਇੱਕ ਹੀ ਚੱਕਰ ਦੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਸਾਂਝੀ ਭੁਜਾ]
OM = OM
∴ △OMP ≅ OMO [RHS ਸਰਬੰਸਮਤਾ ਦੁਆਰਾ]
∴ PM = MQ
PQ = 2 PM = 2 MQ
ਹੁਣ, ਸਮਕੋਣ △ OMQ ਵਿਚ ਪਾਈਥਾਗੋਰਸ ਪ੍ਰਮੇਯ ਤੋਂ
OQ² = OM² + MQsup>2
(5)² = (3)² + (MQ)²
MQ² = 25 – 9
MQ² = 16 = (4)²
MQ = 4 cm
∴ ਜੀਵਾਂ ਦੀ ਲੰਬਾਈ PQ = 2 MQ
= 2 (4) cm
= 8 cm
ਲੋੜੀਂਦੀ ਜੀਵਾਂ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 8 cm ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 8.
ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਨੂੰ ਬਾਹਰਲੇ ਪਾਸੇ ਤੋਂ ਛੂੰਹਦਾ ਚਤੁਰਭੁਜ ABCD ਖਿੱਚਿਆ ਗਿਆ ਹੈ (ਦੇਖੋ ਚਿੱਤਰ) । ਸਿੱਧ ਕਰੋ ਕਿ :
AB + CD = AD + BC.

ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : ਚੱਕਰ ਨੂੰ ਬਾਹਰਲੇ ਪਾਸੇ ਤੋਂ ਛੁੰਹਦਾ ਚਤੁਰਭੁਜ ABCD ਖਿੱਚਿਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ : AB + CD = AD + BC
ਸਬੂਤ : ਕਿਉਂਕਿ ਕਿਸੇ ਬਾਹਰੀ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਚੱਕਰ ਤੇ ਖਿੱਚੀਆਂ ਗਈਆਂ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ।
ਹੁਣ, B ਚੱਕਰ ਦੇ ਬਾਹਰ ਸਥਿਤ ਕੋਈ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ਅਤੇ | BP ; BQ ਚੱਕਰ ‘ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਹਨ ।
∴ BP = BQ ….(1)
ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ AP = AS …(2)
CR = CQ …(3)
DR = DS ….(4)
(1), (2), (3), (4) ਨੂੰ ਜੋੜਣ ‘ਤੇ
(BP + AP) +(CR + DR) = (BQ + CQ) + (AS + DS)
AB + CD = BC+ AD ਲੋੜੀਂਦਾ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 9.
ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ, XY ਅਤੇ X’Y’, O ਕੇਂਦਰ ਵਾਲੇ ਕਿਸੇ ਚੱਕਰ ‘ਤੇ ਦੋ ਸਮਾਂਤਰ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਹਨ ਅਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਬਿੰਦੂ C ’ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ AB, XY ਨੂੰ A ਅਤੇ X’Y’, ਨੂੰ B ’ਤੇ ਕੱਟਦੀ ਹੈ । ਸਿੱਧ ਕਰੋ ∠AOB = 90° ਹੈ ।

ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : XY ਅਤੇ X’Y’ ਕੇਂਦਰ O ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਉੱਤੇ ਦੋ ਸਮਾਂਤਰ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਹਨ ਅਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਬਿੰਦੁ cਉੱਤੇ ਇੱਕ ਹੋਰ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ AB, XY ਨੂੰ A ਅਤੇ X’Y’ ਨੂੰ B ਉੱਤੇ ਕੱਟਦੀ ਹੈ ।
ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ : ∠AOB = 90°
ਰਚਨਾ : OC, OA ਅਤੇ OB ਨੂੰ ਮਿਲਾਉ ।
ਸਬੂਤ : ਕਿਉਂਕਿ ਬਾਹਰੀ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਕਿਸੇ ਚੱਕਰ ਉੱਤੇ ਖਿੱਚੀਆਂ ਗਈਆਂ ਸਪੱਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੀਆਂ ਲੰਬਾਈਆਂ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ।
ਹੁਣ, A ਚੱਕਰ ਦੇ ਬਾਹਰ ਕੋਈ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ਜਿਸ ਦੀਆਂ ਦੋ ਸਪੱਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ PA ਅਤੇ PC ਹਨ ।
∴ PA = PC
ਨਾਲ ਹੀ, △POA ਅਤੇ △ AOC ਵਿਚ
PA = PC (ਸਿੱਧ ਕੀਤਾ)
OA = OA (ਸਾਂਝੀ ਭੁਜਾ)
OP = OC (ਇੱਕ ਹੀ ਚੱਕਰ ਦੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ)
∴ △POA ≅ △AOC [SSS]
∠PAO = ∠CAO [CPCT]
∠PAC = 2∠PAO = 2∠CAO …(1)
ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ∠QBC = 2∠OBC = 2∠OBQ …(2)
ਹੁਣ, ∠PAC + ∠QBC = 180° [∵ ਕਾਟਵੀਂ ਰੇਖਾ ਦੇ ਇੱਕੋ ਪਾਸੇ ਬਣੇ ਕੋਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜ 180° ਹੁੰਦਾ ਹੈ |]
2∠CAO + 2∠OBC = 180° [(1) ਅਤੇ (2) ਤੋਂ।]
∠CAO + ∠OBC = \(\frac{180^{\circ}}{2}\) = 90° …(3)
ਹੁਣ, △OAB ਵਿਚ
∠CAO + ∠OBC + ∠AOB = 180°
90° + ∠AOB = 180° [(3) ਤੋਂ]
∠AOB = 180° – 90° = 90°
∴ ∠AOB = 90°

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 10.
ਸਿੱਧ ਕਰੋ ਕਿ ਕਿਸੇ ਬਾਹਰੀ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਕਿਸੇ ਚੱਕਰ ਤੇ ਖਿੱਚੀਆਂ ਗਈਆਂ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦਾ ਵਿਚਕਾਰਲਾ ਕੋਣ ਸਪਰਸ਼ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਮਿਲਾਉਣ ਵਾਲੇ ਰੇਖਾਖੰਡ ਦੁਆਰਾ ਕੇਂਦਰ ਤੇ ਬਣੇ ਕੋਣ ਦਾ ਸੰਪੂਰਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਜਿਸਦਾ ਕੇਂਦਰ ) ਹੈ । ਦੇ ਚੱਕਰ ਦੇ ਬਾਹਰ ਸਥਿਤ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ P ਤੋਂ PQ ਅਤੇ PR ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਚੱਕਰ ਦੀਆਂ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਹਨ ।

ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ : ∠ROQ + ∠QPR = 180°
ਸਬੂਤ : OQ ਇਕ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਹੈ ਅਤੇ PQ ਬਿੰਦੂ P ਤੋਂ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਚੱਕਰ ਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਹੈ ।
∴ ∠OQP = 90° …(1)
[∵ ਚੱਕਰ ਦੇ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ ‘ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ, ਸਪਰਸ਼ ਚੌਦੂ ਵਿਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ‘ਤੇ ਲੰਬ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ॥]
ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ∠ORP = 90° ….(2)
ਚਤੁਰਭੁਜ ROQP ਵਿੱਚ
∠ROQ + ∠PRO + ∠OQP + ∠QPR = 360°
∠ROQ + 90° + 90° + ∠QPR = 360° [(1) ਅਤੇ (2) ਤੋਂ।]
ROQ + ∠QPR + 180° = 360°
∠ROQ + ∠QPR = 360° -180°
∠ROQ + ∠QPR = 180°
ਕਿਸੇ ਬਾਹਰੀ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਕਿਸੇ ਚੱਕਰ ‘ਤੇ ਖਿੱਚੀਆਂ ਗਈਆਂ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦਾ ਵਿਚਕਾਰਲਾ ਕੋਣ ਸਪਰਸ਼ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਮਿਲਾਉਣ ਵਾਲੇ ਰੇਖਾਖੰਡ ਦੁਆਰਾ ਕੇਂਦਰ ‘ਤੇ ਬਣੇ ਅੰਦਰਲੇ ਕੋਣ ਦਾ ਸੰਪੂਰਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 11.
ਸਿੱਧ ਕਰੋ ਕਿ ਕਿਸੇ ਚੱਕਰ ਦੇ ਬਾਹਰਲੇ ਪਾਸੇ ਛੂਹਦਾ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ, ਸਮਚਤੁਰਭੁਜ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : ਇੱਕ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ABCD ਕੇਂਦਰ O ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਦੇ ਬਾਹਰ ਹੈ ।

ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ : ABCD ਇਕ ਸਮਚਤੁਰਭੁਜ ਹੈ
ਸਬੂਤ : ਕਿਉਂਕਿ ਬਾਹਰੀ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਕਿਸੇ ਚੱਕਰ ਉੱਤੇ ਖਿੱਚੀਆਂ ਗਈਆਂ ਦੋਵੇਂ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੀਆਂ ਲੰਬਾਈਆਂ ਸਮਾਨ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।
ਹੁਣ, ਚੱਕਰ ਦੇ ਬਾਹਰ ਸਥਿਤ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ B ਤੋਂ BE ਅਤੇ BF ਚੱਕਰ ਉੱਤੇ ਦੋ ਸਪੱਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਹਨ ।
∴ BE = BF ….(1)
ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ AE = AH …(2)
CG = CF ….(3)
DG = DH ….(4)
(1), (2), (3), (4) ਨੂੰ ਜੋੜਣ ‘ਤੇ
(BE + AE) + (CG + DG) = (BF + CF) + (AH + DH)
AB + CD = BC + AD …(5)
ਹੁਣ, ABCD ਇਕ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਹੈ ।
∴ AB = CD ਅਤੇ BC= AD …(6)
(5) ਅਤੇ (6) ਤੋਂ ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ
AB + AB = BC + BC
2AB = 2BC
AB = BC
ਹੁਣ, AB = BC = CD = AD
∴ ABCD ਇੱਕ ਸਮਚਤੁਰਭੁਜ ਹੈ ।
∴ ਕਿਸੇ ਚੱਕਰ ਦੇ ਬਾਹਰਲੇ ਪਾਸੇ ਛੂੰਹਦਾ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਸਮਚਤੁਰਭੁਜ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 12.
4 cm ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦੇ ਬਾਹਰਲੇ ਪਾਸੇ ਛੂਹਦਾ ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ABCਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਖਿੱਚਿਆ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ ਰੇਖਾਖੰਡ BD ਅਤੇDC (ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਸਪਰਸ਼ ਬਿੰਦੂD ਦੁਆਰਾ BC ਵਿਭਾਜਿਤ ਹੈ ਦੀਆਂ ਲੰਬਾਈਆਂ ਕ੍ਰਮਵਾਰ 8 cm ਅਤੇ 6 cm ਹੈ (ਦੇਖੋ ਚਿੱਤਰ । ਭੁਜਾਵਾਂ AB ਅਤੇ AC ਪਤਾ ਕਰੋ ।

ਹੱਲ:
4 cm ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਦੇ ਬਾਹਰਲੇ ਪਾਸੇ ਛੂੰਹਦਾ ਇੱਕ ਤਿਭੁਜ ABC ਖਿੱਚਿਆ ਗਿਆ ਹੈ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ BC, CA, AB ਚੱਕਰ ਨੂੰ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਬਿੰਦੂ D, E ਅਤੇ Fਉੱਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ।
ਕਿਉਂਕਿ ਕਿਸੇ ਬਾਹਰੀ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਚੱਕਰ ‘ਤੇ ਖਿੱਚੀਆਂ ਗਈਆਂ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੀਆਂ ਲੰਬਾਈਆਂ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।
∴ AE = AF = 1 cm (ਮੰਨ ਲਉ।)
CE = CD= 6 cm
BF = BD = 8 cm
ਕਿਉਂਕਿ ਚੱਕਰ ਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਸਪੱਰਸ਼ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ’ਤੇ ਲੰਬ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ।

∴ OD ⊥ BC; OE ⊥ AC ਅਤੇ OF ⊥ AB.
ਨਾਲ ਹੀ, OE = OD = OF =4 cm.
△ ABC ਵਿਚ
a = AC = (x + 6) cm ;
b = CB = (6 + 8) cm = 14 cm
c = BA = (8 + x) cm

(△OBC) ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = \(\frac{1}{2}\) × ਅਧਾਰ × ਸਿਖਰਲੰਬ
= \(\frac{1}{2}\) × 14 × 4 = 28 cm2 …(2)
(△BOA) ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = \(\frac{1}{2}\) × ਅਧਾਰ × ਸਿਖਰਲੰਬ
= \(\frac{1}{2}\) × (8 + x) × 4
= (16 + 2x) cm2 …(3)
(△AOC) ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = \(\frac{1}{2}\) × ਅਧਾਰ × ਸਿਖਰਲੰਬ
= \(\frac{1}{2}\) × (6 + x) × 4
= (12 + 21) cm2 …(4)
ਚਿੱਤਰ ਤੋਂ ਖੇਤਰਫਲ ਜੋੜਣ ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ
ar (△ABC) = ar (△OBC) + ar (△BOA) + ar (△AOC)
\(\sqrt{48 x^{2}+672 x}\) = 28 + 16 + 2x + 12 + 2x
\(\sqrt{48 x^{2}+672 x}\) = 4x + 56
\(\sqrt{48 x^{2}+672 x}\) = 4[x + 14]
ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਵਰਗ ਕਰਨ ਤੇ
48x² + 672x = 16 (x + 14)²
48x(x + 14) = 16(x + 14)²
48x = 16(x + 14)
3x = x + 14
2x = 14
x = 7
x = \( \frac{14}{2}\) = 7
∴ AC = (x + 6) cm
= (7 + 6) cm = 13 cm
AB = (x + 8) cm
= (7 + 8) cm = 15 cm
AB = 15 cm ਅਤੇ AC = 13 cm

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 13.
ਸਿੱਧ ਕਰੋ ਕਿ ਚੱਕਰ ਦੇ ਬਾਹਰਲੇ ਪਾਸੇ ਛੂੰਹਦੀ ਹੋਈ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦੀਆਂ ਆਹਮਣੇ-ਸਾਹਮਣੇ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਕੇਂਦਰ ‘ਤੇ ਸੰਪੁਰਕ ਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ ।
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : ਕੇਂਦਰ O ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਦੇ ਬਾਹਰ ਬਣੀ ਚਤੁਰਭੁਜ PORS ਜਿਸ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ PQ, QR, RS ਅਤੇ SP ਚੱਕਰ ਨੂੰ ਕ੍ਰਮਵਾਰ L, M, N ਅਤੇ 1 ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ।

ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ ਹੈ :
∠POQ + ∠SOR = 180°
ਅਤੇ ∠SOP + ∠ROQ = 180°
ਰਚਨਾ :
OP, OL, OQ, OM, OR, ON, OS ਅਤੇ OT ਨੂੰ ਮਿਲਾਉ ।
ਸਬੂਤ : ਕਿਉਂਕਿ ਬਾਹਰੀ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਕਿਸੇ ਚੱਕਰ ‘ਤੇ
ਖਿੱਚੀਆਂ ਗਈਆਂ ਦੋ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਕੇਂਦਰ ‘ਤੇ ਸਮਾਨ ਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ ।
∴ ∠2 = ∠3; ∠4 = ∠5 ; ∠6 = ∠7; ∠8 = ∠1 ….(1)
ਕਿਉਂਕਿ ਇਕ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਸਾਰੇ ਕੋਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜ 360° ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
∴ ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 + ∠6 + ∠7 + ∠8 = 360°
∠1 + ∠2 + ∠2 + ∠5 + ∠5 + ∠6 + ∠6 + ∠1 = 360°
ਜਾਂ 2(∠1 + ∠2 + ∠5 + ∠6) = 360°
ਜਾਂ (∠1 + ∠2) + (∠5 + ∠6) = \(\frac{360^{\circ}}{2}\) = 180°
ਜਾਂ ∠POQ + ∠SOR = 180°
ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ∠SOP + ∠ROQ = 180°
∴ ਚੱਕਰ ਦੇ ਬਾਹਰਲੇ ਪਾਸੇ ਛੂੰਹਦੀ ਹੋਈ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦੀਆਂ ਆਹਮਣੇ-ਸਾਹਮਣੇ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਕੇਂਦਰ ’ਤੇ ਸੰਪੂਰਕ ਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ ।

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 10 ਚੱਕਰ Ex 10.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 10 ਚੱਕਰ Exercise 10.1

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 1.
ਚੱਕਰ ਦੀਆਂ ਕਿੰਨੀਆਂ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਹੋ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ ।
ਹੱਲ:
ਕਿਉਂਕਿ ਚੱਕਰ ਦੇ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ ‘ਤੇ ਇੱਕ ਅਤੇ ਕੇਵਲ ਇੱਕ ਹੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ । ਪਰ ਚੱਕਰ ਇਕ ਅਨੰਤ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਚੱਕਰ ਦੀਆਂ ਅਨੰਤ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਖਿੱਚ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 2.
ਖਾਲੀ ਸਥਾਨਾਂ ਨੂੰ ਭਰੋ :
(i) ਕਿਸੇ ਚੱਕਰ ਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਉਸਨੂੰ ________________ ਬਿੰਦੂਆਂ ‘ਤੇ ਕੱਟਦੀ ਹੈ ।
(ii) ਚੱਕਰ ਨੂੰ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ‘ਤੇ ਕੱਟਣ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਨੂੰ _________ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ ।
(iii) ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦੀਆਂ _________ ਸਮਾਂਤਰ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਹੋ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ।
(iv) ਚੱਕਰ ਅਤੇ ਉਸਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੇ ਸਾਂਝੇ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ _________ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ ।
ਹੱਲ:
(i) ਕਿਸੇ ਚੱਕਰ ਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਉਸਨੂੰ ਇਕ ਬਿੰਦੂ ‘ਤੇ ਕੱਟਦੀ ਹੈ ।
(ii) ਚੱਕਰ ਨੂੰ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ‘ਤੇ ਕੱਟਣ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਨੂੰ ਛੇਦਕ ਰੇਖਾ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ ।
(iii) ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦੀਆਂ ਦੋ ਸਮਾਂਤਰ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਹੋ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ ।
(iv) ਚੱਕਰ ਅਤੇ ਉਸਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੇ ਸਾਂਝੇ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਸਪਰਸ਼ ਬਿੰਦੂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ !

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 3.
5cm ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦੇ ਬਿੰਦੂ ? ‘ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ PQ ਕੇਂਦਰ O ਤੋਂ ਜਾਣ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਨੂੰ ਬਿੰਦੂ Q’ ਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਮਿਲਦੀ ਹੈ ਕਿ OQ = 12 cm, PQ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਹੈ :
(A) 12 cm
(B) 13 cm
(C) 8.5 cm
(D) \(\sqrt {119}\) cm
ਹੱਲ:
ਦਿਤੀ ਗਈ ਸੂਚਨਾ ਅਨੁਸਾਰ ਅਸੀਂ ਚਿੱਤਰ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ :

OP = 5 cm ਅਤੇ OQ = 12 cm
∵ PQ ਇੱਕ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਹੈ ਅਤੇ OP ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਹੈ ,
∴ ∠OPQ = 90°
ਹੁਣ, ਸਮਕੋਣ △OPQ ਵਿਚ ਪਾਈਥਾਗੋਰਸ ਮੇਯ ਅਨੁਸਾਰ,
OQ² = OP² + QP²
(12)² = (5)² + OP²
QP² = (12)² – (5)²
= 144 – 25 = 119
QP = \(\sqrt {119}\) cm
∴ ਵਿਕਲਪ (D) ਸਹੀ ਹੈ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 4.
ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਖਿੱਚੋ ਅਤੇ ਇੱਕ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਰੇਖਾ ਦੇ । ਸਮਾਂਤਰ ਦੋ ਅਜਿਹੀਆਂ ਰੇਖਾਵਾਂ ਖਿੱਚੋ ਕਿ ਉਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਹੋਵੇ ਅਤੇ ਦੂਸਰੀ ਚੱਕਰ ਦੀ ਛੇਦਕ ਰੇਖਾ ਹੋਵੇ ।
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸੂਚਨਾ ਅਨੁਸਾਰ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਚਿੱਤਰ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸਦਾ ਕੇਂਦਰ O ਅਤੇ l ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਰੇਖਾ ਹੋਵੇ।

ਹੁਣ, ਅ ਅਤੇ n ਦੋ ਅਜਿਹੀਆਂ ਰੇਖਾਵਾਂ ਹਨ ਜੋ ਰੇਖਾ l ਦੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸਮਾਂਤਰ ਹਨ ਕਿ m ਸਪੱਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਵੀ ਹੈ ਅਤੇ l ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਵੀ ਹੈ ਅਤੇ n ਚੱਕਰ ਦੀ ਛੇਦਰ ਰੇਖਾ ਵੀ ਹੈ ਅਤੇ l ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਵੀ ਹੈ ।

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 8 ਤਿਕੋਣਮਿਤੀ ਬਾਰੇ ਜਾਣ ਪਛਾਣ Ex 8.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 8 ਤਿਕੋਣਮਿਤੀ ਬਾਰੇ ਜਾਣ ਪਛਾਣ Exercise 8.4

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 1.
ਤਿਕੋਣਮਿਤਈ ਅਨੁਪਾਤਾਂ sin A, sec A ਅਤੇ tan A ਨੂੰ cot A ਦੇ ਪਦਾਂ ਵਿਚ ਦਰਸਾਉ।
ਹੱਲ:
ਤਤਸਮਕ ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਨ ‘ਤੇ,
cosec² A – cot² A = 1
⇒ cosec² A = 1 + cot² A
⇒ (cosec A)² = cot² A + 1
⇒ \(\left(\frac{1}{\sin A}\right)^{2}\) = cot² A + 1
⇒ (sin A)² = \(\frac{1}{\cot ^{2} \mathrm{~A}+1}\)
⇒ sin A = ±\(\frac{1}{\sqrt{\cot ^{2} A+1}}\)
ਅਸੀਂ ਨਿਉਨ ਕੋਣ A ਦੇ ਲਈ sin A ਦੇ ਰਿਣਾਤਮਕ ਮੁੱਲ ਛਡ ਦਿੰਦੇ ਹਨ ।
∴ sin A = \(\frac{1}{\sqrt{\cot ^{2} A+1}}\)
ਤਤਸਮਕ ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਨ ਤੇ,
sec² A – tan² A = 1
⇒ sec² A = 1 + tan² A

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 2.
∠A ਦੇ ਬਾਕੀ ਸਾਰੇ ਤਿਕੋਣਮਿਤਈ ਅਨੁਪਾਤਾਂ ਨੂੰ sec A ਦੇ ਪਦਾਂ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਉ ।
ਹੱਲ:
sin² A + cos² A = 1
⇒ sin² A = 1 – cos² A

[ਨਿਊਨ ਕੋਣ A ਦੇ ਲਈ – ve ਚਿੰਨ੍ਹ ਨੂੰ ਛੱਡ ਦਿਓ]
⇒ sin A = \(\frac{\sqrt{\sec ^{2} A-1}}{\sec A}\)
cos A = \(\frac{1}{\sec A}\)
1 + tan² A = sec² A
tan² A = sec² A – 1
(tan A)² = sec² A – 1
⇒ tan A = ±\(\sqrt{\sec ^{2} A-1}\)
[ਨਿਊਨ ਕੋਣ A ਦੇ ਲਈ – ve ਚਿੰਨ੍ਹ ਨੂੰ ਛੱਡ ਦਿਓ]

3. ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੇ :

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (i).
\(\frac{\sin ^{2} 63^{\circ}+\sin ^{2} 27^{\circ}}{\cos ^{2} 17^{\circ}+\cos ^{2} 73^{\circ}}\)
ਉੱਤਰ:

∵ sin (90° – θ)= cos θ
ਅਤੇ cos (90° – θ) = sin θ.
= \(\frac{\cos ^{2} 27^{\circ}+\sin ^{2} 27^{\circ}}{\cos ^{2} 17^{\circ}+\sin ^{2} 17^{\circ}}\)
= \(\frac{1}{1}\) = 1

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ii).
sin 25° cos 65° + cos 25° sin 65°.
ਉੱਤਰ:
sin 25° cos 65° + cos 25° sin 65°
= sin 25° × cos (90° – 25°) + cos 25° × sin (90° – 25°)
∵ cos (90° – θ) = sin θ
sin (90° – θ) = cos θ
= sin 25° × sin 25° + cos 25° × cos 25°
= sin² 25° + cos² 25°
= 1.

4. ਸਹੀ ਉੱਤਰ ਚੁਣੋ ਅਤੇ ਆਪਣੇ ਵਿਕਲਪ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰੇ:

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (i).
9 sec² A – 9 tan²
(A) 1
(B) 9
(C) 8
(D) 0
ਉੱਤਰ:
9 sec² A – 9 tan² A
= 9 (sec² A – tan² A)
= 9 × 1 = 9.
∴ ਸਹੀ ਵਿਕਲਪ (B) ਹੈ

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ii).
(1 + tan θ + sec θ) (1 + cotθ – cosec θ) ਬਰਾਬਰ ਹੈ :
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) -1.
ਉੱਤਰ:
(1 + tan θ + sec θ) (1 + cotθ – cosec θ)


∴ ਸਹੀ ਵਿਕਲਪ (C) ਹੈ

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iii).
(sec A + tan A) (1 – sin A) ਬਰਾਬਰ ਹੈ :
(A) sec A
(B) sin A
(C) cosec A
(D) cos A.
ਉੱਤਰ:
(sec A + tan A) (1 – sin A)

[∵ cos² A = 1 – sin² A]
= cos A.
∴ ਸਹੀ ਵਿਕਲਪ (D) ਹੈ

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iv).
\(\frac{1+\tan ^{2} A}{1+\cot ^{2} A}\)
(A) sec² A
(B) -1
(C) cot² A
(D) tan² A.
ਉੱਤਰ:
\(\frac{1+\tan ^{2} A}{1+\cot ^{2} A}\)

∴ ਸਹੀ ਵਿਕਲਪ (D) ਹੈ

5. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਸਰਬਸਮਤਾਵਾਂ (ਤਤਸਮਕਾਂ) ਸਿੱਧ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ ਉਹ ਕੋਣ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਲਈ ਵਿਅੰਜਕਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹਨ, ਨਿਊਨ ਕੋਣ ਹਨ :

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (i).
(cosec θ – cot θ)² = \(\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}\)
ਉੱਤਰ:
L.H.S. = (cosec θ – cot θ)²
= \(\left\{\frac{1}{\sin \theta}-\frac{\cos \theta}{\sin \theta}\right\}^{2}\)

∴ L.H.S. = R.H.S.

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ii).
\(\frac{\cos A}{1+\sin A}\) + \(\frac{1+\sin A}{\cos A}\) = 2 sec A
ਉੱਤਰ:
L.H.S. = \(\frac{\cos A}{1+\sin A}\) + \(\frac{1+\sin A}{\cos A}\)

∴ L.H.S. = R.H.S.

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iii).
\(\frac{\tan \theta}{1-\cot \theta}\) + \(\frac{\cot \theta}{1-\tan \theta}\) = 1 + secθcosecθ
[ਸੰਕੇਤ : ਵਿਅੰਜਕ ਨੂੰ sin θ, ਅਤੇ cos θ ਦੇ ਪਦਾਂ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ1]
ਉੱਤਰ:
L.H.S. = \(\frac{\tan \theta}{1-\cot \theta}\) + \(\frac{\cot \theta}{1-\tan \theta}\)



= 1 + sec θ cosec θ
∴ L.H.S. = R.H.S.

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iv).
\(\frac{1+\sec A}{\sec A}\) = \(\frac{\sin ^{2} A}{1-\cos A}\)
[ਸੰਕੇਤ : ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਨੂੰ ਅਲੱਗ-ਅਲੱਗ ਸਰਲ ਕਰੋ ]
ਉੱਤਰ:


= 1 + cos A.
∴ L.H.S. = R.H.S.

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (v).
ਤਤਮਸਕ cosec² A = 1 + cot² A ਨੂੰ ਵਰਤਦੇ ਹੋਏ, ਸਿੱਧ ਕਰੋ :
\(\frac{\cos A-\sin A+1}{\cos A+\sin A-1}\) = cosec A + cot A,
ਉੱਤਰ:
\(\frac{\cos A-\sin A+1}{\cos A+\sin A-1}\)
(ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ sin A ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਨ ਤੇ)

= cosec A + cot A
= R.H.S.

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (vi).
\(\sqrt{\frac{1+\sin A}{1-\sin A}}\) = sec A + tan A
ਉੱਤਰ:
L.H.S. = \(\sqrt{\frac{1+\sin A}{1-\sin A}}\)

= sec A + tan A
∴ L.H.S. = R.H.S.

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (vii).
\(\frac{\sin \theta-2 \sin ^{3} \theta}{2 \cos ^{3} \theta-\cos \theta}\) = tan θ
ਉੱਤਰ:
L.H.S. = \(\frac{\sin \theta-2 \sin ^{3} \theta}{2 \cos ^{3} \theta-\cos \theta}\)

∴ L.H.S. = R.H.S.

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (viii).
(sin A + cosec A)² + (cos A + sec A)² = 7 + tan² A + cot² A
ਉੱਤਰ:
L.H.S. = (sin A + cosec A)² + (cos A + sec A)²
= {sin² A + cosec² A + 2 sin A × cosec A} + {cos² A + sec² A + 2 cos A × sec A}
[∵ cosec A = \(\frac{1}{\sin A}\)]

= 2 + 2 + (sin² A + cos² A) + sec² A + cosec² A
= 2 + 2 + 1 + 1 + tan² A + 1 + cot² A
(∵ sec² A = tan² A + 1,
(cosec² A = cot² A + 1)
= 7 + tan² A + cot² A
∴ L.H.S. = R.H.S.

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ix).
(cosec A – sin A) (sec A – cos A) = \(\frac{1}{\tan A+\cot A}\)
[ਸੰਕੇਤ : ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਨੂੰ ਅਲੱਗ-ਅਲੱਗ ਸਰਲ ਕਰੋ]
ਉੱਤਰ:
L.H.S. = (cosec A – sin A) (sec A – cos A)

∴ L.H.S. = R.H.S.

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (x).
\(\left(\frac{1+\tan ^{2} A}{1+\cot ^{2} A}\right)\) = \(\left(\frac{1-\tan A}{1-\cot A}\right)^{2}\) = tan² A
ਉੱਤਰ:

∴ L.H.S. = R.H.S.

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 9 ਤਿਕੋਣਮਿਤੀਦੇ ਕੁਝ ਉਪਯੋਗ Ex 9.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 9 ਤਿਕੋਣਮਿਤੀਦੇ ਕੁਝ ਉਪਯੋਗ Exercise 9.1

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 1.
ਸਰਕਸ ਦਾ ਇੱਕ ਕਲਾਕਾਰ ਇੱਕ 20 m ਲੰਬੀ ਰੱਸੀ ‘ਤੇ ਚੜ੍ਹ ਰਿਹਾ ਹੈ ਜੋ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਨਾਲ ਤਣੀ (ਕਸੀ) ਹੋਈ ਹੈ ਅਤੇ ਧਰਤੀ ‘ਤੇ ਸਿੱਧੇ ਖੜੇ ਖੰਬੇ ਦੇ ਸਿਖਰ ਨਾਲ ਬੰਨੀ ਹੋਈ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਰੱਸੀ ਧਰਤੀ ਦੇ ਤਲ ਨਾਲ 30° ਦਾ ਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਖੰਬੇ ਦੀ ਉੱਚਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ ।(ਦੇਖੋ ਚਿੱਤਰ)।

ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ AB ਖੰਬੇ ਦੀ ਉੱਚਾਈ ਹੈ।
AC = 20 m ਰੱਸੀ ਦੀ ਲੰਬਾਈ

ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿਚ ਉਚਾਣ ਕੋਣ 30° ਹੈ ।
ਸਮਕੋਣ △ABC ਵਿੱਚ,
ਜਾਂ \(\frac{AB}{AC}\) = sin 30°
ਜਾਂ AB = \(\frac{1}{2}\) × 20 = 10
∴ ਖੰਬੇ ਦੀ ਉਚਾਈ 10 m ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 2.
ਹਨੇਰੀ ਆਉਣ ਨਾਲ ਇੱਕ ਦਰੱਖਤ ਟੁੱਟ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਟੁੱਟਿਆ ਹੋਇਆ ਭਾਗ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਨਾਲ ਮੁੜ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਦਰੱਖਤ ਦਾ ਸਿਖ਼ਰ ਜਮੀਨ ਨੂੰ ਛੂਹਣ (touch) ਲੱਗਦਾ ਹੈ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਦੇ ਨਾਲ 30° ਦਾ ਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ । ਦਰੱਖ਼ਤ ਦੇ ਆਧਾਰ ਬਿੰਦੂ ਦੀ ਦੂਰੀ, ਜਿੱਥੇ ਦਰੱਖ਼ਤ ਦਾ ਸਿਖਰ ਜਮੀਨ ਨੂੰ ਛੂਹਦਾ ਹੈ, 8 m ਹੈ । ਦਰਖ਼ਤ ਦੀ ਉੱਚਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ ਹਨੇਰੀ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਦਰੱਖ਼ਤ ਦੀ ਉੱਚਾਈ BD ਹੈ । ਹਨੇਰੀ ਤੋਂ ਬਾਅਦ AD = AC = ਟੁੱਟੇ ਹੋਏ ਦਰੱਖ਼ਤ ਦੇ ਦੋ ਭਾਗਾਂ ਦੀ ਲੰਬਾਈ (ਚਿੱਤਰ ਵਿਚ ਦਿਖਾਏ ਤੋਂ ਅਨੁਸਾਰ

ਸਮਕੋਣ △ABC ਵਿੱਚ,
\(\frac{AB}{BC}\) = tan 30°

ਦਰੱਖਤ ਦੀ ਕੁੱਲ ਉੱਚਾਈ = h₁ + h₂
= \(\frac{8}{3}\)\(\sqrt {3}\) + \(\frac{16}{3}\)\(\sqrt {3}\) [(1) ਅਤੇ (2) ਤੋਂ।]
= [latex]\frac{8+16}{3}[/latex]\(\sqrt {3}\) = \(\frac{24}{3}\)\(\sqrt {3}\)
= 8\(\sqrt {3}\) m
∴ ਦਰੱਖ਼ਤ ਦੀ ਉੱਚਾਈ 83 m ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 3.
ਇਕ ਠੇਕੇਦਾਰ ਬੱਚਿਆਂ ਦੇ ਖੇਡਣ ਵਾਲੇ ਇਕ ਪਾਰਕ ਵਿਚ ਦੋ ਤਿਲਕਣ ਪੱਟੀਆਂ (Slides) ਨੂੰ ਲਗਾਉਣਾ ਚਾਹੁੰਦਾ ਹੈ । 5 ਸਾਲ ਤੋਂ ਘੱਟ ਉਮਰ ਦੇ ਬੱਚਿਆਂ ਲਈ ਉਹ ਇਸ ਤਰਾਂ ਦੀ ਤਿਲਕਣ ਪੱਟੀ ਲਗਾਉਣਾ ਚਾਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਦਾ ਸਿਖਰ 1.5 m ਉੱਚਾਈ ‘ਤੇ ਹੋਵੇ ਅਤੇ ਉਹ ਜਮੀਨ ਨਾਲ 30° ਕੋਣ ‘ ਤੇ ਝੁਕੀ ਹੋਵੇ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਇਸ ਤੋਂ ਵੱਧ ਉਮਰ ਦੇ ਬੱਚਿਆਂ ਲਈ ਉਹ 3m ਦੀ ਉੱਚਾਈ ‘ਤੇ ਇੱਕ ਵੱਧ ਢਾਲ ਦੀ ਤਿਲਕਣਪੱਟੀ ਲਗਾਉਣਾ ਚਾਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਜਮੀਨ ਨਾਲ 60° ਦਾ ਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੋਵੇ । ਹਰ ਇੱਕ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਤਿਲਕਣ ਪੱਟੀ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਕਿੰਨੀ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ।
ਹੱਲ:
ਸਥਿਤੀ 1. 5 ਸਾਲ ਤੋਂ ਛੋਟੇ ਬੱਚਿਆਂ ਲਈ
ਮੰਨ ਲਉ AC = l₁m ਤਿਲਕਣ ਪੱਟੀ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਹੈ ਅਤੇ BC = 1.5 m ਤਿਲਕਣ ਪੱਟੀ ਦੀ ਉੱਚਾਈ ਹੈ । ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿਚ ਜ਼ਮੀਨ ਨਾਲ ਬਣਿਆ ਕੋਣ 30° ਦਾ ਹੈ (ਦੇਖੋ ਚਿੱਤਰ)

ਸਮਕੋਣ △ABC ਵਿੱਚ,
\(\frac{BC}{AC}\) = sin 30°
ਜਾਂ \(\frac{1 \cdot 5}{l_{1}}\) = \(\frac{1}{2}\)
ਜਾਂ l₁ = 1.5 × 2 = 3m
ਸਥਿਤੀ II. 5 ਸਾਲ ਤੋਂ ਵੱਧ ਉਮਰ ਦੇ ਬੱਚਿਆਂ ਲਈ
ਮੰਨ ਲਉ AC = l₂m ਤਿਲਕਣ ਪੱਟੀ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਹੈ ਅਤੇ BC = 3 m ਤਿਲਕਣ ਪੱਟੀ ਦੀ ਉੱਚਾਈ ਹੈ ਅਤੇ ਜਮੀਨ ਨਾਲ ਬਣਿਆ ਕੋਣ 60° ਦਾ ਹੈ । (ਦੇਖੋ ਚਿੱਤਰ) ।

ਸਮਕੋਣ △ABC ਵਿੱਚ
\(\frac{BC}{AC}\) = sin 60°
ਜਾਂ \(\frac{3}{l_{2}}\) = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
ਜਾਂ l₂ = \(\frac{3 \times 2}{\sqrt{3}}\) = \(\frac{6}{\sqrt{3}}\)
= \(\frac{6}{\sqrt{3}}\) × \(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\) = \(\frac{6 \sqrt{3}}{3}\) = 2\(\sqrt {3}\) m
∴ 5 ਸਾਲ ਤੋਂ ਛੋਟੇ ਬੱਚਿਆਂ ਲਈ ਅਤੇ ਉਸ ਤੋਂ ਵੱਧ ਉਮਰ ਦੇ ਬੱਚਿਆਂ ਲਈ ਤਿਲਕਣ ਪੱਟੀ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਕੁਮਵਾਰ
3 m ਅਤੇ 2\(\sqrt {3}\)m ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 4.
ਜਮੀਨ ਦੇ ਇਕ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਜੋ ਮੀਨਾਰ ਦੇ ਆਧਾਰ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ 30 m ਦੀ ਦੂਰੀ ‘ਤੇ ਹੈ, ਮੀਨਾਰ ਦੇ ਸਿਖ਼ਰ ਦਾ ਉੱਚਾਣ ਕੋਣ 30° ਹੈ । ਮੀਨਾਰ ਦੀ ਉੱਚਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ BC = h m ਮੀਨਾਰ ਦੀ ਉੱਚਾਈ ਹੈ ਅਤੇ AB = 30 m ਆਧਾਰ ਤੋਂ ਬਿੰਦੂ ਦੀ ਦੂਰੀ (ਦੇਖੋ ਚਿੱਤਰ) ਹੈ।

ਸਮਕੋਣ △ABC ਵਿੱਚ,
\(\frac{BC}{AB}\) = tan 30°
ਜਾਂ \(\frac{h}{30}\) = \(\frac{1}{1}\)
ਜਾਂ h = \(\frac{30}{\sqrt{3}}\) × \(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\) = \(\frac{30 \sqrt{3}}{3}\)
= 10\(\sqrt {3}\) = 10 × 1.732
h = 17:32 m
ਮੀਨਾਰ ਦੀ ਉੱਚਾਈ ਲਗਭਗ 17.32 m. ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 5.
ਜਮੀਨ ਤੋਂ 60 m ਉੱਚਾਈ ‘ਤੇ ਇੱਕ ਪਤੰਗ ਉੱਡ ਰਹੀ ਹੈ। ਪਤੰਗ ਨਾਲ ਲੱਗੇ ਧਾਗੇ ਨੂੰ ਅਸਥਾਈ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਜਮੀਨ ‘ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਨਾਲ ਬੰਨ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਜ਼ਮੀਨ ਨਾਲ ਧਾਗੇ ਦਾ ਝੁਕਾਵ 60° ਹੈ। ਇਹ ਮੰਨਕੇ ਕਿ ਧਾਗੇ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਢਿੱਲ ਨਹੀਂ ਹੈ , ਧਾਗੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ ਬਿੰਦੂ ਤੇ ਪਤੰਗ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਹੈ AC = l m ਪਤੰਗ ਦੇ ਨਾਲ ਲੱਗੇ ਧਾਗੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਸਿਖਰ ਕੋਣ 60° ਦਾ ਹੈ । (ਦੇਖੋ ਚਿੱਤਰ)

ਸਮਕੋਣ △ABC ਵਿੱਚ,
\(\frac{CB}{CA}\) = sin 60°
ਜਾਂ \(\frac{60}{l}\) = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
ਜਾਂ l = \(\frac{60 \times 2}{\sqrt{3}}\) = \(\frac{120}{\sqrt{3}}\) × \(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\)
= \(\frac{120 \sqrt{3}}{3}\) = 40\(\sqrt {3}\) m
∴ ਧਾਗੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 403 m ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 6.
1.5 m ਲੰਬਾ ਲੜਕਾ 30 ਮੀਟਰ ਉੱਚੀ ਇੱਕ ਇਮਾਰਤ | ਤੋਂ ਕੁੱਝ ਦੂਰੀ ‘ਤੇ ਖੜ੍ਹਾ ਹੈ । ਜਦੋਂ ਉਹ ਇਮਾਰਤ ਵੱਲ ਜਾਂਦਾ ਹੈ (ਚਲਦਾ ਹੈ। ਤਾਂ ਉਸਦੀ ਅੱਖ ਨਾਲ ਇਮਾਰਤ ਦੇ ਸਿਖ਼ਰ ਦਾ | ਉੱਚਾਣ ਕੋਣ 30° ਤੋਂ 60° ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ । ਦੱਸੋ ਕਿ ਉਹ | ਇਮਾਰਤ ਵੱਲ ਕਿੰਨੀ ਦੂਰੀ ਤੱਕ ਚਲ ਕੇ ਗਿਆ ?
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ ED = 30 m ਇਮਾਰਤ ਦੀ ਉੱਚਾਈ | ਹੈ ਅਤੇ EC = 1.5 m ਲੜਕੇ ਦੀ ਉੱਚਾਈ ਹੈ । ਭਿੰਨ-ਭਿੰਨ | ਸਥਿਤੀਆਂ ਵਿਚ ਸਿਖ਼ਰ ਦਾ ਉੱਚਾਣ ਕੋਣ 30° ਅਤੇ 60° ਹੈ । (ਦੇਖੋ ਚਿੱਤਰ)

ਸਮਕੋਣ △ACD ਵਿੱਚ,
\(\frac{DC}{AC}\) = tan 30°
ਜਾਂ \(\frac{28.5}{x+y}\) = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
ਜਾਂ x + y = 28.5 × \(\sqrt {3}\) m …(1)
ਹੁਣ, ਸਮਕੋਣ △BCD ਵਿੱਚ,

∴ ਲੜਕੇ ਦੁਆਰਾ ਇਮਾਰਤ ਵੱਲ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਦੂਰੀ 19\(\sqrt {3}\) m ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 7.
ਜਮੀਨ ਦੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਇੱਕ 20 m ਉੱਚੀ ਇਮਾਰਤ ਦੇ ਸਿਖ਼ਰ ‘ਤੇ ਲੱਗੇ ਸੰਚਾਰ ਮੀਨਾਰ (transmission tower) ਦੇ ਤਲ ਅਤੇ ਸਿਖ਼ਰ ਦਾ ਉੱਚਾਣ ਕੋਣ ਕੁਮਵਾਰ 45° ਅਤੇ 60° ਹੈ। ਸੰਚਾਰ ਮੀਨਾਰ ਦੀ ਉੱਚਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ BC = 20 m ਇਮਾਰਤ ਦੀ ਉੱਚਾਈ ਹੈ DC=h m ਸੰਚਾਰ ਮੀਨਾਰ ਦੀ ਉੱਚਾਈ ਹੈ । ਇਮਾਰਤ ਦੇ ਸਿਖਰ ਤੇ ਲੱਗੀ ਇਕ ਸੰਚਾਰ ਮੀਨਾਰ ਦੇ ਤਲ ਅਤੇ ਸਿਖਰ ਦੇ ਉੱਚਾਣ ਕੋਣ ਕੁਮਵਾਰ 45° ਅਤੇ 60° ਹੈ । (ਦੇਖੋ ਚਿੱਤਰ)

ਸਮਕੋਣ △ABC ਵਿੱਚ,
\(\frac{AB}{BC}\) = cot 45°
ਜਾਂ \(\frac{AB}{20}\) = 1
ਜਾਂ AB = 20 m ….(1)
ਨਾਲ ਹੀ, ਸਮਕੋਣ △ABD ਵਿੱਚ,
\(\frac{AB}{BD}\) = cot 60°
ਜਾਂ \(\frac{AB}{20+h}\) = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
ਜਾਂ AB = \(\frac{20+h}{\sqrt{3}}\)
ਜਾਂ AB = \(\frac{(20+h)}{\sqrt{3}}\) ….(2)
(1) ਅਤੇ (2) ਤੋਂ ,
20 = \(\frac{(20+h)}{\sqrt{3}}\)
ਜਾਂ 20\(\sqrt {3}\) = 20 + h
ਜਾਂ h = 20\(\sqrt {3}\) – 20
ਜਾਂ h = 20(\(\sqrt {3}\) – 1)m
= 20 (1732 – 1) m
= 20 × 0.732 = 14∙64 m
∴ ਸੰਚਾਰ ਮੀਨਾਰ ਦੀ ਉੱਚਾਈ 1464 m ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 8.
ਇੱਕ ਪੈਡਸਟਲ (Pedestal) ਦੇ ਸਿਖਰ ‘ਤੇ ਇੱਕ 1.6 m ਉੱਚੀ ਮੂਰਤੀ ਲੱਗੀ ਹੋਈ ਹੈ । ਜਮੀਨ ਦੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਮੂਰਤੀ ਦੇ ਸਿਖ਼ਰ ਦਾ ਉੱਚਾਣ ਕੋਣ 60° ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਹੀ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਪੈਡਸਟਲ ਦੇ ਸਿਖ਼ਰ ਦਾ ਉੱਚਾਣ ਕੋਣ 45° ਹੈ । ਪੈਡਸਟਲ ਦੀ ਉੱਚਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ BC = hm ਪੈਡਸਟਲ ਦੀ ਉੱਚਾਈ ਹੈ CD = 1.6 m ਮੂਰਤੀ ਦੀ ਉੱਚਾਈ ਹੈ । ਜਮੀਨ ‘ਤੇ ਦਿੱਤੇ ਬਿੰਦੁ A ਤੋਂ ਮੁਰਤੀ ਦੇ ਸਿਖ਼ਰ ਅਤੇ ਪੈਡਸਟਲ ਦੇ ਸਿਖਰ ਦਾ ਉੱਚਾਂਣ ਕੋਣ 60° ਅਤੇ 45° ਹੈ । (ਦੇਖੋ ਚਿੱਤਰ)

ਸਮਕੋਣ △ABC ਵਿੱਚ,
\(\frac{AB}{BC}\) = cot 45°
ਜਾਂ \(\frac{AB}{h}\) = 1
ਜਾਂ AB = h m …(1)
ਸਮਕੋਣ △ABD ਵਿੱਚ,
\(\frac{AB}{BD}\) = cot 60°
ਜਾਂ \(\frac{AB}{h+1.6}\) = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
ਜਾਂ AB = \(\frac{h+1.6}{\sqrt{3}}\) ….(2)
(1) ਅਤੇ (2), ਤੋਂ
h = \(\frac{h+1.6}{\sqrt{3}}\)
ਜਾਂ \(\sqrt {3}\)h = h + 1∙6
ਜਾਂ (\(\sqrt {3}\) – 1) h = 1∙6
ਜਾਂ (1∙732 – 1) h = 1∙6
ਜਾਂ (0∙732)h = 1∙6
ਜਾਂ h = \(\frac{1∙6}{0∙732}\) = 2·1857923
= 2·20 m (ਲਗਭਗ)
∴ ਪੈਡਸਟਲ ਦੀ ਉੱਚਾਈ 2:20 m ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 9.
ਇੱਕ ਮੀਨਾਰ ਦੇ ਆਧਾਰ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਇੱਕ ਇਮਾਰਤ ਦੇ ਸਿਖ਼ਰ ਦਾ ਉੱਚਾਣ ਕੋਣ 30° ਹੈ ਅਤੇ ਇਮਾਰਤ ਦੇ ਆਧਾਰ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਮੀਨਾਰ ਦੇ ਸਿਖਰ ਦਾ ਉੱਚਾਣ ਕੋਣ 60° ਹੈ । ਜੇਕਰ ਮੀਨਾਰ 50 ਮੀਟਰ ਉੱਚੀ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਇਮਾਰਤ ਦੀ ਉੱਚਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ BC = 50 m ਮੀਨਾਰ ਦੀ ਉੱਚਾਈ ਹੈ AD = hm ਇਮਾਰਤ ਦੀ ਉੱਚਾਈ ਹੈ । ਮੀਨਾਰ ਦੇ ਆਧਾਰ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਇਮਾਰਤ ਦੇ ਸਿਖ਼ਰ ਤੱਕ ਅਤੇ ਇਮਾਰਤ ਦੇ ਆਧਾਰ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਮੀਨਾਰ ਦੇ ਸਿਖ਼ਰ ਦੇ ਉੱਚਾਣ ਕੋਣ ਕ੍ਰਮਵਾਰ 30° ਅਤੇ 60° ਹਨ । (ਦੇਖੋ ਚਿੱਤਰ)

ਸਮਕੋਣ △ABC ਵਿੱਚ,
\(\frac{AB}{BC}\) = cot 60°
ਜਾਂ \(\frac{AB}{50}\) = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
ਜਾਂ AB = \(\frac{50}{\sqrt{3}}\) …(1)
ਸਮਕੋਣ △DAB ਵਿੱਚ,
\(\frac{AB}{DA}\) = cot 30°
ਜਾਂ \(\frac{AB}{h}\) = \(\sqrt {3}\)
ਜਾਂ AB = h\(\sqrt {3}\) …(2)
(1) ਅਤੇ (2), ਤੋਂ ,
\(\frac{50}{\sqrt{3}}\) = h \(\sqrt {3}\)
ਜਾਂ \(\frac{50}{\sqrt{3}}\) \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) = h
ਜਾਂ h = \(\frac{50}{3}\) = 16∙6666
ਜਾਂ h = 16∙70 m (ਲਗਭਗ
∴ ਇਮਾਰਤ ਦੀ ਉੱਚਾਈ 16-70 m ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 10.
ਇੱਕ 80 ਮੀਟਰ ਚੌੜੀ ਸੜਕ ਦੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ‘ਤੇ ਆਹਮਣੇ-ਸਾਹਮਣੇ ਬਰਾਬਰ ਲੰਬਾਈ ਵਾਲੇ ਦੋ ਖੰਬੇ ਲੱਗੇ ਹੋਏ ਹਨ । ਇਹਨਾਂ ਦੋਹਾਂ ਖੰਬਿਆਂ ਦੇ ਵਿੱਚ ਸੜਕ ‘ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਖੰਬਿਆਂ ਦੇ ਸਿਖ਼ਰਾਂ ਦੇ ਉੱਚਾਣ ਕੋਣ ਕੁਮਵਾਰ 60° ਅਤੇ 30° ਹੈ । ਖੰਬਿਆਂ ਦੀ ਉੱਚਾਈ ਅਤੇ ਖੰਬਿਆਂ ਤੋਂ ਬਿੰਦੁ ਦੀ ਦੂਰੀ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ BC = DE = hm ਦੋ ਬਰਾਬਰ ਲੰਬਾਈ ਵਾਲੇ ਖੰਬਿਆਂ ਦੀ ਉੱਚਾਈ ਹੈ ਅਤੇ ਬਿੰਦੂ A ਲੋੜੀਂਦਾ ਬਿੰਦੂ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ ਦੋਹਾਂ ਖੰਬਿਆ ਦੇ ਉੱਚਾਣ ਕੋਣ ਕੁਮਵਾਰ 30° ਅਤੇ 60° ਹੈ । (ਦੇਖੋ ਚਿੱਤਰ)

ਸਮਕੋਣ △ADE ਵਿੱਚ,
\(\frac{ED}{DA}\) = tan 30°
ਜਾਂ \(\frac{h}{x}\) = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
ਜਾਂ h = \(\frac{h}{\sqrt{3}}\) ….(1)
ਸਮਕੋਣ △ABC ਵਿੱਚ,
\(\frac{BC}{AB}\) = tan 60°
ਜਾਂ \(\frac{h}{80-x}\) = \(\sqrt {3}\)
ਜਾਂ h = (80 – x)\(\sqrt {3}\)
(1) ਅਤੇ (2) ਤੋਂ
\(\frac{x}{\sqrt{3}}\) = (80 – x)\(\sqrt {3}\)
ਜਾਂ x = (80 – x)\(\sqrt {3}\) × \(\sqrt {3}\)
ਜਾਂ x = (80 – x) 3
ਜਾਂ x = 240 – 3x
ਜਾਂ 4x = 240
ਜਾਂ x = \(\frac{240}{4}\) = 60
x ਦਾ ਮੁੱਲ (1) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ
h = \(\frac{60}{\sqrt{3}}\) = \(\frac{60}{\sqrt{3}}\) × \(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\)
= \(\frac{60 \sqrt{3}}{3}\) = 20\(\sqrt {3}\)
= (20 × 1.732) m = 34.64 m
∴ DA = x = 60 m
ਅਤੇ AB = 80 – x = (80 – 60) m = 20m.
∴ ਹਰੇਕ ਖੰਬੇ ਦੀ ਉੱਚਾਈ 34:64 m ਅਤੇ ਖੰਬਿਆਂ ਤੋਂ ਬਿੰਦੁ ਦੀ ਦੂਰੀ 20 m ਅਤੇ 60 m ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 11.
ਇੱਕ ਨਹਿਰ ਦੇ ਇੱਕ ਤੱਟ ‘ਤੇ ਇੱਕ ਟੀ. ਵੀ. ਟਾਵਰ ਸਿੱਧਾ ਖੜਾ ਹੈ । ਟਾਵਰ ਦੇ ਠੀਕ ਸਾਹਮਣੇ ਦੂਸਰੇ ਤੱਟ ‘ਤੇ ਇੱਕ ਹੋਰ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਟਾਵਰ ਦੇ ਸਿਖ਼ਰ ਦਾ ਉੱਚਾਣ ਕੋਣ 60° ਹੈ । ਇਸੇ ਤੱਟ ‘ਤੋਂ ਇਸ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ 20 m ਦੂਰ ਅਤੇ ਇਸ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਮੀਨਾਰ ਦੇ ਆਧਾਰ ਬਿੰਦੂ ਨਾਲ ਮਿਲਾਉਣ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ‘ ਤੇ ਸਥਿਤ ਇੱਕ ਹੋਰ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਟਾਵਰ ਦੇ ਸਿੱਖ਼ਰ ਦਾ ਉੱਚਾਣ ਕੋਣ 30° ਹੈ (ਦੇਖੋ ਚਿੱਤਰ ਟਾਵਰ ਦੀ ਉੱਚਾਈ ਅਤੇ ਨਹਿਰ ਦੀ ਚੌੜਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ ।

ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ BC = x m ਨਹਿਰ ਦੀ ਚੌੜਾਈ ਹੈ ਅਤੇ AB= hm ਟੀ.ਵੀ. ਟਾਵਰ ਦੀ ਉੱਚਾਈ ਹੈ | ਅਲੱਗਅਲੱਗ ਸਥਿਤੀਆਂ ਵਿਚ ਟਾਵਰ ਦੇ ਉੱਚਾਣ ਕੋਣ ਕ੍ਰਮਵਾਰ 30° ਅਤੇ 60° ਹਨ ।
(ਦੇਖੋ ਚਿੱਤਰ)

ਸਮਕੋਣ △ABC ਵਿੱਚ,
\(\frac{AB}{BC}\) = tan 60°
ਜਾਂ \(\frac{h}{x}\) = \(\sqrt {3}\)
ਜਾਂ h = \(\sqrt {3}\)x …(1)
ਨਾਲ ਹੀ, ਸਮਕੋਣ △ABD ਵਿੱਚ,
\(\frac{AB}{AD}\) = tan 30°
ਜਾਂ \(\frac{h}{20+x}\) = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
ਜਾਂ h = \(\frac{20+x}{\sqrt{3}}\) …..(2)
(1) ਅਤੇ (2) ਤੋਂ
\(\sqrt {3}\)x = \(\frac{20+x}{\sqrt{3}}\)
ਜਾਂ \(\sqrt {3}\)(\(\sqrt {3}\)x) = 20 + x
ਜਾਂ 3x = 20 + x
ਜਾਂ 2x = 20
ਜਾਂ x = \(\frac{20}{2}\) = 10
x ਦਾ ਮੁੱਲ (1) ਵਿਚ ਭਰਨ ਤੇ
h= 10(\(\sqrt {3}\)).
= 10 × 1∙732
h= 17∙32 m
∴ ਟੀ.ਵੀ. ਟਾਵਰ ਦੀ ਉੱਚਾਈ 17:32 m ਹੈ ਅਤੇ ਨਹਿਰ ਦੀ ਚੌੜਾਈ 10 m. ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 12.
7m ਉੱਚੀ ਇਮਾਰਤ ਦੇ ਸਿਖ਼ਰ ਤੋਂ ਇੱਕ ਕੇਬਲ ਟਾਵਰ ਦੇ ਸਿਖ਼ਰ ਦਾ ਉੱਚਾਣ ਕੋਣ 60° ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਪੈਰ ਦਾ ਨੀਵਾਨ ਕੋਣ 45° ਹੈ। ਟਾਵਰ ਦੀ ਉੱਚਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ BD = hm ਕੇਵਲ ਟਾਵਰ ਦੀ ਉੱਚਾਈ ਹੈ ਅਤੇ AE = 7 m ਇਮਾਰਤ ਦੀ ਉੱਚਾਈ ਹੈ । ਕੇਵਲ ਟਾਵਰ ਦੇ ਸਿਖਰ ਦਾ ਉੱਚਾਣ ਕੋਣ ਅਤੇ ਪੈਰ ਦਾ ਨੀਵਾਨ ਕੋਣ ਕੁਮਵਾਰ 60° ਅਤੇ 45° ਹੈ ।
(ਦੇਖੋ ਚਿੱਤਰ)

ਸਮਕੋਣ △BAE ਵਿੱਚ
\(\frac{AB}{AE}\) = cot 45°
ਜਾਂ \(\frac{AB}{7}\) = 1
ਜਾਂ AB = 7 m …..(1)
ਸਮਕੋਣ △DCE ਵਿੱਚ
\(\frac{EC}{DC}\) = cot 60°
ਜਾਂ \(\frac{EC}{h-7}\) = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
ਜਾਂ EC = \(\frac{h-7}{\sqrt{3}}\) …(2)
ਪਰ AB = EC …(ਦਿੱਤਾ ਹੈ।)
7 = \(\frac{h-7}{\sqrt{3}}\)
[(1) ਅਤੇ (2) ਤੋਂ।]
ਜਾਂ 7\(\sqrt {3}\) = h – 7
ਜਾਂ h = 7\(\sqrt {3}\) + 7 = 7 (\(\sqrt {x}\) + 1)
ਜਾਂ h = 7(1∙732 + 1) = 7(2∙732)
ਜਾਂ h = 19∙124
ਜਾਂ h = 19∙20 m (ਲਗਭਗ)
∴ ਕੇਬਲ ਟਾਵਰ ਦੀ ਉੱਚਾਈ 19.20 m ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 13.
ਸਮੁੰਦਰ ਤਲ ਤੋਂ 75 m ਉੱਚੇ ਲਾਈਟ ਹਾਊਸ ਦੇ ਸਿਖ਼ਰ ਤੋਂ ਦੇਖਣ ਨਾਲ ਦੋ ਸਮੁੰਦਰੀ ਜਹਾਜ਼ਾਂ ਦੇ ਨੀਵਾਨ ਕੋਣ ਕੁਮਵਾਰ 30° ਅਤੇ 45° ਹਨ । ਜੇਕਰ ਲਾਈਟ ਹਾਊਸ ਦੇ ਇੱਕ ਹੀ ਪਾਸੇ ਤੋਂ ਇੱਕ ਜਹਾਜ਼ ਦੂਸਰੇ ਜਹਾਜ਼ ਦੇ ਬਿਲਕੁਲ ਪਿੱਛੇ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਦੋਵੇਂ ਜਹਾਜ਼ਾਂ ਦੀ ਵਿਚਕਾਰਲੀ ਦੂਰੀ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:

ਮੰਨ ਲਉ CD = 75 m ਲਾਈਟ ਹਾਊਸ ਦੀ ਉੱਚਾਈ | ਅਤੇ ਲਾਈਟ ਹਾਊਸ ਦੇ ਸਿਖ਼ਰ ਦੇ ਬਿੰਦੁ ਤੋਂ ਜਹਾਜਾਂ ਦੇ | ਨੀਵਾਨ ਕੋਣ ਕ੍ਰਮਵਾਰ 30° ਅਤੇ 45° ਹੈ ।
(ਦੇਖੋ ਚਿੱਤਰ)
ਸਮਕੋਣ △BCD ਵਿੱਚ,
\(\frac{BC}{CD}\) = cot 45°
ਜਾਂ \(\frac{y}{75}\) = 1
ਜਾਂ y = 75 m ….(1)
ਸਮਕੋਣ △ACD ਵਿੱਚ,
\(\frac{AC}{CD}\) = cot 30°
ਜਾਂ \(\frac{x+y}{75}\) = \(\sqrt {3}\)
ਜਾਂ x + y = 75\(\sqrt {3}\)
ਜਾਂ x + 75 = 75\(\sqrt {x}\)
[1) ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਨ ਤੋਂ]
ਜਾਂ x = 75\(\sqrt {x}\) – 75
= 75 (\(\sqrt {x}\) – 1)
= 75 (1∙732 – 1)
= 75 (0∙732)
x = 54∙90
∴ ਦੋਵੇਂ ਜਹਾਜਾਂ ਵਿਚਕਾਰਲੀ ਦੂਰੀ 54∙90 m ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 14.
1.2 m ਲੰਬੀ ਇੱਕ ਲੜਕੀ ਜਮੀਨ ਤੋਂ 88.2 m ਦੀ ਉੱਚਾਈ ‘ਤੇ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੇ ਰੇਖਾ ਵਿੱਚ ਉੱਡ ਰਹੇ ਗੁਬਾਰੇ ਨੂੰ ਦੇਖਦੀ ਹੈ । ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਮੇਂ ਲੜਕੀ ਦੀ ਅੱਖ ਨਾਲ ਗੁਬਾਰੇ ਦਾ ਉੱਚਾਣ ਕੋਣ 60° ਹੈ । ਕੁੱਝ ਸਮੇਂ ਬਾਅਦ ਉੱਚਾਣ ਕੋਣ ਘੱਟ ਕੇ 30° ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਦੇਖੋ ਚਿੱਤਰ) । ਇਸ ਅੰਤਰਾਲ ਦੌਰਾਨ ਗੁਬਾਰੇ ਦੁਆਰਾ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਦੂਰੀ ਪਤਾ ਕਰੋ ।

ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ 1.2 m ਲੰਬੀ ਲੜਕੀ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ‘A’ ਹੈ । ਇਸ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਗੁਬਾਰੇ ਦੇ ਉੱਚਾਣ ਕੋਣ ਕ੍ਰਮਵਾਰ 30° ਅਤੇ 60° ਹਨ । ਨਾਲ ਹੀ
BE = CD = 88.2 m ਗੁਬਾਰੇ ਦੀ ਉੱਚਾਈ ਹੈ।
(ਦੇਖੋ ਚਿੱਤਰ)

ਸਮਕੋਣ △ABE ਵਿੱਚ,
\(\frac{AB}{BE}\) = cot 60°
ਜਾਂ \(\frac{x}{88.2}\) = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
ਜਾਂ x = \(\frac{88.2}{\sqrt{3}}\) m …(1)
ਸਮਕੋਣ △ACD ਵਿੱਚ
\(\frac{AC}{CD}\) = cot 30°
ਜਾਂ \(\frac{x+y}{88.2}\) = \(\sqrt {3}\)
ਜਾਂ x + y = 88.2\(\sqrt {3}\)
ਜਾਂ \(\frac{88.2}{\sqrt{3}}\) + y = 88.2\(\sqrt {3}\)
ਜਾਂ y = 88.2\(\sqrt {3}\) = \(\frac{88.2}{\sqrt{3}}\)
ਜਾਂ y = 88.2[\(\sqrt {3}\) – \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)]
ਜਾਂ y = 88.2[latex]\frac{3-1}{\sqrt{3}}[/latex] × \(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\)
ਜਾਂ y = \(\frac{88.2 \times 2 \times \sqrt{3}}{3}\)
ਜਾਂ y = 58.8\(\sqrt {3}\) m
ਜਾਂ y = 58.8 (1.732) = 101.8416 m
ਜਾਂ y = 101.90 m
∴ ਗੁਬਾਰੇ ਦੁਆਰਾ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਗਈ ਦੂਰੀ 101.90 m. ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 15.
ਇੱਕ ਸਿੱਧਾ ਰਾਜ ਮਾਰਗ ਇੱਕ ਮੀਨਾਰ ਦੇ ਆਧਾਰ ਤੱਕ ਜਾਂਦਾ ਹੈ । ਮੀਨਾਰ ਦੇ ਸਿਖ਼ਰ ‘ ਤੇ ਖੜਾ ਇੱਕ ਆਦਮੀ ਇੱਕ ਕਾਰ ਨੂੰ 30° ਨੀਵਾਨ ਕੋਣ ‘ਤੇ ਦੇਖਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਮੀਨਾਰ ਦੇ ਆਧਾਰ ਵੱਲ ਇੱਕ ਸਮਾਨ ਚਾਲ ਨਾਲ ਆ ਰਹੀ ਹੈ । ਛੇ ਸੈਕਿੰਡ ਬਾਅਦ ਕਾਰ ਦਾ ਨੀਵਾਨ ਕੋਣ 60° ਹੋ ਗਿਆ । ਇਸ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਮੀਨਾਰ ਦੇ ਆਧਾਰ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਲਈ ਕਾਰ ਦੁਆਰਾ ਲਿਆ ਗਿਆ ਸਮਾਂ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ CD = hm ਮੀਨਾਰ ਦੀ ਉੱਚਾਈ ਹੈ । ਮੰਨ ਲਉ A’ ਕਾਰ ਦੀ ਪਹਿਲੀ ਸਥਿਤੀ ਹੈ ਅਤੇ ਛੇ ਸੈਕਿੰਡ ਦੇ ਬਾਅਦ ਕਾਰ B ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਜਾਂਦੀ ਹੈ । A ਅਤੇ B ਉੱਤੇ ਕਾਰ ਦੇ ਨੀਵਾਨ ਕੋਣ 30° ਅਤੇ 60° ਹਨ ।
(ਦੇਖੇ ਚਿੱਤਰ)

ਮੰਨ ਲਉ ਕਾਰ ਦੀ ਚਾਲ v ਮੀਟਰ ਪ੍ਰਤੀ ਸੈਕਿੰਡ ਹੈ ਸੂਤਰ ਦੂਰੀ = ਚਾਲ × ਸਮਾਂ ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਕੇ
AB = ਕਾਰਾਂ ਦੁਆਰਾ 6 ਸੈਕਿੰਡ ਵਿੱਚ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਗਈ ਦੂਰੀ
AB = 6v ਮੀਟਰ
ਕਾਰ ਦੁਆਰਾ ਮੀਨਾਰ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਵਿਚ ਲਿਆ ਗਿਆ ਸਮਾਂ ‘n’ ਸੈਕਿੰਡ ਹੈ ।
∴ BC = nv ਮੀਟਰ
ਸਮਕੋਣ △ACD ਵਿੱਚ
\(\frac{CD}{AC}\) = tan 30°
ਜਾਂ \(\frac{h}{6v+nv}\) = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
ਜਾਂ h = \(\frac{6v+nv}{\sqrt{3}}\) …(1)
ਸਮਕੋਣ △BCD ਵਿੱਚ,
\(\frac{CD}{BC}\) = tan 60°
ਜਾਂ \(\frac{h}{nv}\) = \(\sqrt {3}\)
ਜਾਂ h = nv(\(\sqrt {3}\) ) ….(2)
(1) ਅਤੇ (2) ਤੋਂ ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ।
ਜਾਂ \(\frac{6v+nv}{\sqrt{3}}\) = nv(\(\sqrt {3}\))
ਜਾਂ 6v + nv = nv(\(\sqrt {3}\) × \(\sqrt {3}\))
ਜਾਂ 6v + nv = 3nv ਜਾਂ 6v = 2nv
ਜਾਂ n = \(\frac{6v}{2v}\) = 3
ਮੀਨਾਰ ਦੇ ਆਧਾਰ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਲਈ ਕਾਰ ਦੁਆਰਾ ਲਿਆ ਗਿਆ ਸਮਾਂ 3 ਸੈਕਿੰਡ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 16.
ਮੀਨਾਰ ਦੇ ਆਧਾਰ ‘ਤੇ ਇੱਕ ਸਰਲ ਰੇਖਾ 4m ਅਤੇ 9 m ਦੀ ਦੂਰੀ ‘ਤੇ ਸਥਿਤ ਦੋ ਬਿੰਦੁਆਂ ਤੋਂ ਮੀਨਾਰ ਦੇ ਸਿਖ਼ਰ ਦੇ ਉੱਚਾਣ ਕੋਣ ਪੂਰਕ ਕੋਣ ਹਨ। ਸਿੱਧ ਕਰੋ ਕਿ ਮੀਨਾਰ ਦੀ ਉੱਚਾਈ 6 m ਹੈ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ CD = h m ਮੀਨਾਰ ਦੀ ਉਚਾਈ ਹੈ। ਅਤੇ B; Aਲੋਂੜੀਂਦੇ ਬਿੰਦੂ ਹਨ ਜੋ ਮੀਨਾਰ ਤੋਂ ਕ੍ਰਮਵਾਰ 4 m ਅਤੇ 9 m ਦੀ ਦੂਰੀ ‘ਤੇ ਹਨ ।
(ਦੇਖੋ ਚਿੱਤਰ)

ਸਮਕੋਣ △BCD ਵਿੱਚ,
\(\frac{CD}{BC}\) = tan θ
ਜਾਂ \(\frac{h}{4}\) = tan θ …(1)
ਨਾਲ ਹੀ, ਸਮਕੋਣ △ACD ਵਿੱਚ,
\(\frac{CD}{AC}\) = tan (90 – θ)
\(\frac{h}{9}\) = cot θ …(2)
(1) ਅਤੇ (2) ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ‘ਤੇ
\(\frac{h}{4}\) × \(\frac{h}{9}\) = tan θ × cot θ
ਜਾਂ \(\frac{h^{2}}{36}\) = tan θ × \(\frac{1}{\tan \theta}\)
ਜਾਂ h² = 36 = (6)²
ਜਾਂ h= 6
∴ ਮੀਨਾਰ ਦੀ ਉੱਚਾਈ 6 m ਹੈ