Class 9

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 12 हीरोन का सूत्र Ex 12.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 12 हीरोन का सूत्र Ex 12.2

प्रश्न 1.
एक पार्क चतुर्भुज ABCD के आकार का है, जिसमें ∠C = 90° है, AB = 9 m, BC = 12 m, CD = 5 m और AD = 8 m है। इस पार्क का कितना क्षेत्रफल है ?
हल:

आकृति में यदि हम BD को मिलाते हैं तो हम देखते हैं कि विकर्ण BD चतुर्भुज ABCD को त्रिभुजों
(i) समकोण त्रिभुज BCD (ii) ABD में विभाजित कर देती है।
समकोण ΔBCD, में C पर समकोण है।
इसलिए आधार CD = 5 m
और शीर्षलंब, BC = 12 m
ΔBCD का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) × CD × BC
= \(\frac{1}{2}\) × 5 × 12 m²
= 30 m²
ΔABD; का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए हमें भुजा BD की आवश्यकता है, इसलिए इसे इस प्रकार निकालते है।
समकोण ABCD, में C पर समकोण है।
BD² = CD² + BC²
[पाइथागोरस परिणाम का प्रयोग करने पर]
⇒ BD² = 5² + 12²
= 25 + 144
⇒ BD² = 169
⇒ BD = \(\sqrt{169}\) = \(\sqrt{13 \times 13}\)
= 13 m
ΔABD का परिमाप = (9 + 8 + 13) m
ΔABD का अर्ध-परिमाप = \(\frac{30}{2}\) m
⇒ s = 15 m
हीरोन के सूत्र का प्रयोग करने पर,
ΔABD का क्षेत्रफल

= 6\(\sqrt{35}\) m²
= 6 × 5.92 m²
= 35.5 m² (लगभग)
चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल
= ar (ΔBCD) + ar (ΔABD)
= 30 m² + 35.5 m²
= (30 + 35.5) m²
= 65.5 m²
अतः, चतुर्भुज का क्षेत्रफल 65.5 m² लगभग है।

प्रश्न 2.
एक चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसमें AB = 3 cm, BC = 4 cm, CD = 4 cm, DA = 5 cm और AC = 5 cm हैं।
हल :
चतुर्भुज ABCD; में विकर्ण AC इसे दो त्रिभुजों ΔABC और ΔADC में विभाजित करता है।

ΔABC का परिमाप = (3 + 4 + 5) cm
⇒ 2s = 12 cm
⇒ s = \(\frac{12}{2}\) = 6 cm
हीरोन के सूत्र का प्रयोग करने पर;
ΔABC का क्षेत्रफल

= 2 × 3 cm² = 6 cm²
ΔADC का परिमाप = (4 + 5 + 5) cm
⇒ 2s’ = 14 cm
⇒ s’ = \(\frac{14}{2}\) cm
⇒ s’ = 7 cm
हीरोन के सूत्र को प्रयोग करने पर;
ΔADC का क्षेत्रफल = \(\sqrt{7(7-4)(7-5)(7-5)}\) cm²
= \(\sqrt{7 \times 3 \times 2 \times 2}\) cm²
= 2\(\sqrt{21}\) cm2
= 2 × 4.6 cm² लगभग
= 9.2 cm² लगभग
अब चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = ΔABC का क्षेत्रफल + ΔADC का क्षेत्रफल
= 6 cm² + 9.2 cm²
= (6 + 9.2) cm²
= 15.2 cm² लगभग
अतः, चतुर्भुज ABCD का अभीष्ट क्षेत्रफल 15.2 cm² लगभग है।

प्रश्न 3.
राधा ने एक रंगीन कागज़ से एक हवाईजहाज़ का चित्र बनाया, जैसा कि आकृति में दिखाया गया है। प्रयोग किए गए कागज़ का कुल क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
भाग I का क्षेत्रफल
भाग I एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसकी भुजा 5 cm और 1 cm है।


भाग II का क्षेत्रफल
भाग II एक आयत के रूप में है जिसकी भुजाएँ 6.5 cm और 1 cm है।
भाग II का क्षेत्रफल = 6.5 × 1 = 6.5 cm …. (2)
भाग II का क्षेत्रफल
भाग | एक समलंब के रूप में है जिसकी असमान भुजाएं 1 से० मी० और 2 cm, समान भुजाएं 1 cm की है।

समबाहु त्रिभुज TQS का क्षेत्रफल = \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) × (भुजा)²
= \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) × (1)²
= \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) cm²
समबाहु त्रिभुज TQS का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) × आधार × शीर्षलव
= \(\frac{1}{2}\) × 1 × शीर्षलव
अब, \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) = \(\frac{1}{2}\) × शीर्षलन
या शीर्षलम्ब = \(\frac{2 \times \sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}\) cm
समलम्ब PQRS का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) × (समांतर भुजाओं का योग) × शीर्षलम्ब
= \(\frac{1}{2} \times(1+2) \times \frac{\sqrt{3}}{2}\)
= \(\frac{3}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3 \sqrt{3}}{4}\)
= \(\frac{3 \times 1.732}{4}\)
= 1.3 cm² …. (3)
भाग IV और भाग v का क्षेत्रफल
भाग IV और भाग V एक त्रिभुज के रूप में है जिनकी भुजाएँ 1.5 cm और 6 cm है।
∴ भाग IV का क्षेत्रफल = भाग II का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\) × आधार × शीर्षलव
= \(\frac{1}{2}\) × 1.5 × 6
= 4.5 cm² …. (4)
प्रयोग किए गए कागज़ का क्षेत्रफल = भाग I का क्षेत्रफल + भाग II का क्षेत्रफल + भाग III का क्षेत्रफल + भाग IV का क्षेत्रफल + भाग V का क्षेत्रफल
= (2.5 + 6.5 + 1.3 + 4.5 + 4.5) cm²
[(1), (2), (3), (4) के प्रयोग से]
= 19.3 cm² (लगभग)

प्रश्न 4.
एक त्रिभुज और एक समांतर चतुर्भुज का एक ही आधार है और क्षेत्रफल भी एक ही है। यदि त्रिभुज की भुजाएँ 26 cm, 28 cm और 30 cm हैं तथा समांतर चतुर्भुज 28 cm के आधार पर स्थित है, तो उसकी संगत ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल :
त्रिभुज की भुजाएं 26 cm, 28 cm और 30 cm हैं।
∴ त्रिभुज का परिमाप (2s) = (26 + 28 + 30) cm
⇒ 2s = 84 cm
⇒ अर्ध-परिमाप s = \(\frac{84}{2}\) cm
⇒ s = 42 cm
हीरोन के सूत्र का प्रयोग करने पर;
त्रिभुज का क्षेत्रफल

= 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 7 cm
= 336 cm²
दिया है कि समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = त्रिभुज का क्षेत्रफल
⇒ आधार × संगत ऊँचाई = 336 cm²
⇒ 28 cm × ऊँचाई = 336 cm²
⇒ ऊँचाई = \(\frac{336}{28}\) cm
⇒ ऊँचाई = 12 cm
अतः, समांतर चतुर्भुज की संगत ऊँचाई 12 cm हैं।

प्रश्न 5.
एक समचतुर्भुजाकार घास के खेत में 18 गायों के चरने के लिए घास है। यदि इस समचतुर्भुज की प्रत्येक भुजा 30 m है और बड़ा विकर्ण 48 m है, तो प्रत्येक गाय को चरने के लिए इस घास के खेत का कितना क्षेत्रफल प्राप्त होगा ?
हल :
मान लीजिए समचतुर्भुजाकार खेत ABCD है।

इसलिए इसकी प्रत्येक बराबर भुजा; AB = BC = CD = DA = 30 m
और मान लीजिए इसका बड़ा विकर्ण AC = 48 m विकर्ण AC समचतुर्भुज को दो सर्वांगसम त्रिभुजों
(i) ΔABC और (ii) ΔACD में विभाजित करता है। जैसा कि हम जानते हैं कि दो सर्वांगसम त्रिभुजों का क्षेत्रफल बराबर होता है।
इसलिए ar (AABC) = ar (ΔACD)
अब ΔABC का क्षेत्रफल निकालना ही पर्याप्त है।
जिसकी भुजाएँ AB = BC = 30 m
और AC = 48 m हैं ;
(2s) of ΔABC का परिमाप = (30 + 30 + 48) m
⇒ 2s = 108 m
⇒ अर्ध-परिमाप ; s = \(\frac{108}{2}\)m
⇒ s = 54 m
हीरोन के सूत्र का प्रयोग करने पर; ΔABC त्रिभुज का क्षेत्रफल

= 3 × 6 × 24 m²
= 432 m²
समचतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = AABC का क्षेत्रफल + AACD का क्षेत्रफल
= ar. (ΔABC) + ar. (ΔABC)
[∵ ar. (ΔABC) = ar. (ΔACD]
= 2 ar. (ΔABC)
= 2 × 432 m²
= 864 m²
18 गायों के चरने के लिए प्राप्त क्षेत्रफल = 864 m²
1 गाय के लिए प्राप्त घास का क्षेत्रफल = \(\frac{864}{18}\)m²
= 48 m²
अतः, प्रत्येक गाय को चरने के लिए घास के खेत का 48 cm² क्षेत्रफल प्राप्त होगा।

प्रश्न 6.
दो विभिन्न रंगों के कपड़ों के 10 त्रिभुजाकार टुकड़ों को सीकर एक छाता बनाया गया है ( देखिए आकृति) प्रत्येक टुकड़े के माप 20 cm, 50 cm और 50 cm हैं। छाते में प्रत्येक रंग का कितना कपड़ा लगा है ?

हल :
दो विभिन्न रंगों के कपड़ों के 10 त्रिभुजाकार टुकड़ों में से प्रत्येक टुकड़े का माप 20 cm, 50 cm और 50 cm है।

∴ एक त्रिभुजाकार टुकड़े का परिमाप (2s)
= (20 + 50 + 50) cm
⇒ 2s = 120 cm
अर्ध-परिमाप ; s = \(\frac{120}{2}\)
⇒ s = 60 cm
हीरोन के सूत्र का प्रयोग करने पर,
प्रत्येक त्रिभुजाकार टुकड़े का क्षेत्रफल

प्रश्नानुसार दो विभिन्न रंगों के कपड़ों के 10 त्रिभुजाकार टुकड़े हैं।
इसलिए 5 टुकड़े लाल रंग के और 5 टुकड़े हरे रंग के हैं।
प्रत्येक टुकड़े के लिए अभीष्ट कपडा = 200\(\sqrt{6}\) cm²
∴ लाल टुकड़ों के लिए अभीष्ट कपड़ा
= 5 × 200\(\sqrt{6}\) cm²
= 1000\(\sqrt{6}\) cm²
इसी प्रकार 5 हरे टुकड़ों के लिए अभीष्ट कपड़ा
= 5 × 200\(\sqrt{6}\) cm²
= 1000\(\sqrt{6}\) cm²

प्रश्न 7.
एक पतंग तीन भिन्न-भिन्न शेडों (shades) के कागज़ों से बनी है। इन्हें आकृति में 1, II और III से दर्शाया गया है। पतंग का ऊपरी भाग 32 cm विकर्ण का एक वर्ग है और निचला भाग 6 cm, 6 cm और 8 cm भुजाओं का एक समद्विबाहु त्रिभुज है। ज्ञात कीजिए कि प्रत्येक शेड का कितना कागज़ प्रयुक्त किया गया है।

हल:

शेड I का क्षेत्रफल = शेड II का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\) × 32 × 16 cm
= 256 cm²
शेड III के क्षेत्रफल के लिए
अर्धपरिमाप s = \(\frac{6+6+8}{2}=\frac{20}{2}\) = 10 cm
शेड III का क्षेत्रफल

प्रश्न 8.
फर्श पर एक फूलों का डिज़ाइन 16 त्रिभुजाकार टाइलों से बनाया गया है, जिनमें से प्रत्येक की भुजाएँ 9 cm, 28 cm और 35 cm हैं ( देखिए आकृति)। इन टाइलों को 50 पैसे प्रति cm² की दर से पालिश कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।

हल :
त्रिभुजाकार टाइल की भुजाएँ 9 cm, 28 cm और 35 cm हैं।
टाइल का परिमाप (2s) = (9 + 28 + 35) cm
⇒ 2s = 72 cm
⇒ अर्ध परिमाप ; s = \(\frac{72}{2}\) cm
⇒ s = 36 cm
हीरोन के सूत्र का प्रयोग करने पर,
त्रिभुजाकार टाइल का क्षेत्रफल

= 36\(\sqrt{6}\) cm²
= 36 × 2.45 cm² लगभग
= 88.2 cm² लगभग
हमें प्राप्त है, एक टाइल का क्षेत्रफल = 88.2 cm लगभग
∴ 16 टाइलों का क्षेत्रफल = 16 × 88.2 cm²
= 1411.2 cm² लगभग
दिया है कि 1 cm² का पॉलिश करवाने का व्यय = 50 पैसे
∴ 1411.2 cm² का पॉलिश करवाने का व्यय = (50 × 1411.2) पैसे
= \(\frac{50}{100}\) × 1411.2 रु.
[∵ 100 पैसे = 1 रु.
∴ 50 पैसे = \(\frac{50}{100}\) रु.]
= 705.60 रु. लगभग
अतः, टाइलों को पॉलिश कराने का कुल व्यय 705.60 रु० है।

प्रश्न 9.
एक खेत समलंब के आकार का है जिसकी समांतर भुजाएँ 25 m और 10 m हैं। इसकी असमांतर भुजाएँ 14 m और 13 m हैं। इस खेत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल :
मान लीजिए ABCD एक समलंब है जिसमें
AB || DC और AB = 10 m, DC = 25 m, AD = 13 m, CB = 14 m
BE || AD खींचिए।
BE || AD और AB || DC
∴ BE = AD = 13 m [समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।]
और EC = 25 m – 10 m = 15 cm
अब BM ⊥ EC खींचिए।
ΔBEC की भुजाएँ 15 m, 14 m और 13 m हैं।
अर्ध-परिमाप, s = \(\frac{15+14+13}{2}=\frac{42}{2}\) = 21.
हीरोन के सूत्र का प्रयोग करने पर,
ΔBEC का क्षेत्रफल =

समलंब ABCD का क्षेत्रफल = समांतर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल + BEC का क्षेत्रफल
= (10 × \(\frac{56}{5}\) + 84)m²
[समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = आधार × संगत शीर्षलंब]
= (112 + 84) m²
= 196 m²

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 9 समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Ex 9.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 9 समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Ex 9.2

प्रश्न 1.
आकृति में, ABCD एक समांतर चतुर्भुज है, AE ⊥ DC और CF ⊥ AD है। यदि AB = 16 cm, AE = 8 cm और CF = 10 cm है, तो AD ज्ञात कीजिए।

हल :
ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।
∴ DC = AB
⇒ DC = 16 सेमी
AE ⊥ DC (दिया है)
समांतर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल
= DC × AE [∵ ar (|| gm) = आधार × संगत ऊँचाई]
= 16cm × 8 cm
= 128 cm²
आधार AD और ऊँचाई CF का प्रयोग करने पर; समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = AD × CF
⇒ 128 cm² = AD × 10 cm
या AD × 10 cm = 128 cm²
⇒ AD = \(\frac {128}{10}\) cm
⇒ AD = 12.8 cm

प्रश्न 2.
यदि E, F, G और H क्रमशः समांतर चतुर्भुज ABCD की भुजाओं के मध्य-बिंदु हैं, तो दर्शाइए कि ar (EFGH) = \(\frac {1}{2}\)ar (ABCD) है।
हल :
दिया है : ABCD एक समांतर चतुर्भुज है और E, F, G और H क्रमश: भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिंदु है।
सिद्ध करना है : ar (EFGH) = \(\frac {1}{2}\)ar (ABCD)
रचना . AC और HF को मिलाइए।
उपपत्ति : ΔABC में, E भुजा AB का मध्य-बिंदु है और F भुजा BC का मध्य-बिंदु हैं।

∴ EF = \(\frac {1}{2}\)AC और EF || AC …….(1)
इसी प्रकार ΔADC में,
GH = \(\frac {1}{2}\)AC और GH || AC ….(2)
∴ GH = EF और GH || EF
[(1) और (2) से]
∴ चतुर्भुज EFGH एक ||gm है। [यदि चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समांतर हो, तो यह समांतर चतुर्भुज होती हैं।]
|| gm ABCD में,
AD = BC और AD || BC
[|| gm की सम्मुख भुजाएँ]
∴ \(\frac {1}{2}\)AD = \(\frac {1}{2}\)BC और AD || FC
⇒ HD = FC और HD || FC
∴ HDCF एक || gm है
क्योंकि ΔHGF और ||gm HDCF एक ही आधार HF और एक ही समांतर रेखाओं के बीच है।
∴ ar (ΔHGF) = \(\frac {1}{2}\)ar (|| gm HDCF) …(3)
इसी प्रकार,
ar (ΔHEF) = \(\frac {1}{2}\)ar (|| gm HABF) ….(4)
(3) और (4) को जोड़ने से हमें प्राप्त होता है।
ar (ΔHGF) + ar (ΔHEF)
= \(\frac {1}{2}\)[ar (||gm HDCF) + ar (||gm HABF)]
अतः, ar (|| gm EFGH) = \(\frac {1}{2}\)ar (||gm ABCD).

प्रश्न 3.
P और Q क्रमश: समांतर चतुर्भुज ABCD की भुजाओं DC और AD पर स्थित बिंदु हैं। दर्शाइए कि ar (APB) = ar (BQC) है।
हल :
दिया है : ABCD एक समांतर चतुर्भुज है। P, DC पर स्थित हैऔर Q, AD पर स्थित बिंदु है।
सिद्ध करना है : ar (ΔAPB) = ar (ΔBQC)
रचना : PM | BC और QN |DC खींचिए।
उपपत्ति : क्योंकि QC, || gm QNCD का विकर्ण है।
∴ ar (ΔQNC) = \(\frac {1}{2}\)ar (|| gm QNCD) ……(1)

पुनः, BQ || gm ABNQ का विकर्ण है।
∴ ar (ΔBQN) = \(\frac {1}{2}\)ar (|| gm ABNQ) ….(2)
(1) और (2) को जोड़ने पर हमें प्राप्त होता है ) ar (ΔQNC) + ar (ΔBQN)
= \(\frac {1}{2}\)ar (|| gm QNCD) + \(\frac {1}{2}\)ar (|| gm ABNQ)
⇒ ar (ΔBQC) = \(\frac {1}{2}\)ar (|| gm ABCD) ….(3)
पुनः, AP, ||gm AMPD का विकर्ण है।
∴ ar (ΔAPM) = \(\frac {1}{2}\)ar (|| gm AMPD) ….(4 )
और PB, ||gm PCBM का विकर्ण है।
∴ ar (ΔPBM) = \(\frac {1}{2}\)ar (||gm PCBM) ….(5 )
(4) और (5) को जोड़ने पर हमें प्राप्त होता है:
ar (ΔAPM) + ar (ΔPBM)
= \(\frac {1}{2}\)ar (||gm AMPD) + \(\frac {1}{2}\)ar (||gm PCBM)
⇒ ar (ΔAPB) = \(\frac {1}{2}\)ar (||gm ABCD) ……(6)
(3) और (6) से हमें प्राप्त होता है
ar (ΔBQC) = ar (ΔAPB)
या ar (ΔAPB) = ar (ΔBQC)
इति सिद्धम

प्रश्न 4.
आकृति में, P समांतर चतुर्भुज ABCD के अभ्यंतर में स्थित कोई बिंदु है। दर्शाइए कि
(i) ar (APB) + ar (PCD) = \(\frac {1}{2}\)ar (ABCD)
(ii) ar (APD) + ar (PBC) = ar (APB) + ar (PCD)
हल:

(i) P से होकर AB के समांतर एक रेखा l खींचिए जो AD को Q पर तथा BC को R पर प्रतिच्छेदित करे।
अब ΔAPB और ||gm ABRQ एक ही आधार AB तथा एक ही समांतर रेखाओं AB और QR के बीच स्थित हैं।
∴ ar (ΔAPB) = \(\frac {1}{2}\)ar (||gm ABRQ) …….(1)
साथ ही APCD और ||gm DCRQ एक ही आधार DC तथा एक ही समांतर रेखाओं DC और QR के बीच स्थित हैं।
∴ ar (ΔPCD) = \(\frac {1}{2}\)ar (||gm DCRQ) …..(2)
(1) और (2) को जोड़ने पर हमें प्राप्त होता है। ar (ΔAPB) + ar (ΔPCD)
= \(\frac {1}{2}\)ar (||gm ABRQ) + \(\frac {1}{2}\)ar (||gm DCRQ)
⇒ ar (ΔAPB) + ar (ΔPCD)
= \(\frac {1}{2}\)ar (||gm ABCD) ……….. (3)

(ii) P से होकर AD के समांतर एक रेखा m खींचिए जो AB को M पर तथा DC को N पर प्रतिच्छेद करे।
अब ΔAPD और ||gm AMND एक ही आधार AD तथा एक ही समांतर रेखाओं AD और MN के बीच स्थित हैं।
∴ ar (ΔAPD) = \(\frac {1}{2}\)ar (||gm AMND) ………….(4)
साथ ही, Δ(PBC) और ||gm MNCB एक ही आधार BC तथा एक ही समांतर रेखाओं BC और MN के बीच स्थित हैं।
∴ ar (ΔPBC) = \(\frac {1}{2}\)ar (||gm MNCB) …..(5)
(4) और (5) को जोड़ने पर हमें प्राप्त होता है :
ar (ΔAPD) + ar (ΔPBC)
= \(\frac {1}{2}\) ar (||gm AMND) + \(\frac {1}{2}\)ar (||gm MNCB)
⇒ ar (ΔAPD) + ar (ΔPBC)
= \(\frac {1}{2}\) ar (ABCD) ……..(6)
(5) और (6) से हमें प्राप्त होता है :
ar (ΔAPB) + ar (ΔPCD) = ar (ΔAPD) + ar (ΔPBC)
या, ar (ΔAPD) + ar (ΔPBC) = ar (ΔAPB) + ar (ΔPCD)
इति सिद्धम

प्रश्न 5.
आकृति में, PORS और ABRS समांतर चतुर्भज हैं तथा X भुजा BR पर स्थत कोई बिंदु है। दर्शाइए कि
(i) ar (PQRS) = ar (ABRS)
(ii) ar (AXS) = \(\frac {1}{2}\)ar (PQRS)

हल:
(i) समांतर चतुर्भुज PQRS और ABRS एक ही आधार SR तथा एक ही समांतर रेखाओं SR और PB के बीच स्थित हैं।
∴ ar (||gm PQRS) = ar (||gm ABRS) ……(1)
[∵ एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित समांतर चतुर्भुज क्षेत्रफल में बराबर होते हैं।]

(ii) ΔAXS और ||gm ABRS एक ही आधार AS तथा एक ही समांतर रेखाओं AS और BR के बीच स्थित
∴ ar (AAXS) = \(\frac {1}{2}\)(||gm ABRS) ….(2)
(1) का (2) में प्रयोग करने पर हमें प्राप्त होता हैं,
ar (ΔAXS) = \(\frac {1}{2}\)ar (||gm PQRS)

प्रश्न 6.
एक किसान के पास समांतर चतुर्भुज PQRS के रूप का एक खेत था। उसने RS पर स्थित कोई बिंदु A लिया और उसे P और Q से मिला दिया। खेत कितने भागों में विभाजित हो गया है? इन भागों के आकार क्या हैं? वह किसान खेत में गेहूँ और दालें बराबर-बराबर भागों में अलग-अलग बोना चाहती है। वह ऐसा कैसे करे ?
हल:

जब A को P और Q से मिलाया जाता है, तो खेत तीन भागों, जैसे : ΔPAS, ΔAPQ और ΔAQR में विभाजित हो जाता है।
ΔAPQ और समांतर चतुर्भुज PQRS एक ही आधार PQ तथा एक ही समांतर रेखाओं PQ और SR के बीच स्थित है।
∴ ar (ΔAPQ) = \(\frac {1}{2}\)ar (||gm PQRS)
अतः, त्रिभुजाकार भाग APQ, समांतर चतुर्भुज PQRS के रूप के खेत का आधा भाग है।
इसलिए किसान यदि त्रिभुजाकार खेत APQ में गेहूँ
बोती है, तो दूसरे दो त्रिभुजाकार भागों PAS और AQR में उसे दालें बोनी पड़ेंगी।

अथवा

जब वह त्रिभुजाकार खेत APQ में दालें बोती हैं तो दूसरे दो त्रिभुजाकार भागों PAS और AQR में उसे अवश्य ही गेहूँ बोना पड़ेगा।

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 12 हीरोन का सूत्र Ex 12.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 12 हीरोन का सूत्र Ex 12.1

प्रश्न 1.
एक यातायात संकेत बोर्ड पर ‘आगे स्कूल है’ लिखा है और यह भुजा ‘a’ वाले एक समबाहु त्रिभुज के आकार का है। हीरोन के सूत्र का प्रयोग करके इस बोर्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। यदि संकेत बोर्ड का परिमाप 180 cm है, तो इसका क्षेत्रफल क्या होगा ?
हल :

यातायात संकेत बोर्ड समबाहु त्रिभुज के आकार का है। आइए इसे ΔABC का नाम दें।
∴ समबाहु त्रिभुज ABC की प्रत्येक भुजा = a मात्रक (दिया है। )
समबाहु त्रिभुज का परिमाप अर्थात्
2s = a + a + a = 3a
अर्ध-परिमाप; s = \(\frac{3 a}{2}\)
इसलिए हीरोन के क्षेत्रफल के प्रयोग करने से त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\sqrt{s(s-a)(s-a)(s-a)}\)

(ii) समबाहु त्रिभुज का परिमाप = 180 cm
⇒ a + a + a = 180 cm
⇒ 3a = 180 cm
⇒ a = \(\frac{180}{3}\) cm
⇒ a = 60 cm
⇒ 2S = 180 cm
⇒ S = \(\frac{180}{2}\)
⇒ S = 90 cm
∴ हीरोन के सूत्र का प्रयोग करने पर;
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल

= 90 (90 – 60) (90 – 60) (90 – 60)
वैकल्पिक विधि
a भुजा वाली समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल
= \(\frac{\sqrt{3} a^2}{4}\) (ऊपर प्राप्त किया)
अतः, समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल
= \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) (60)²
[a = 60 cm का प्रयोग करने पर]
= \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) × 3600 cm²
= \(\sqrt{3}\) × 900 cm²
= 900 \(\sqrt{3}\) cm²

प्रश्न 2.
किसी फलाईओवर (Flyover) की त्रिभुजाकार दीवार को विज्ञापनों के लिए प्रयोग किया जाता है। दीवार की भुजाओं की लंबाइयाँ 122 m, 22 m और 120 m हैं। ( देखिए आकृति)। इस विज्ञापन से प्रति वर्ष 5000 रु० प्रति m² की प्राप्ति होती है। एक कंपनी ने एक दीवार को विज्ञापन देने के लिए 3 महीने के लिए किराए पर लिया। उसने कुल कितना किराया दिया ?

हल :
मान लीजिए कि फलाईओवर की त्रिभुजाकार दीवार की भुजाएँ a, b और c हैं :
:: a = 122 m, b = 22 m और c = 120 m
त्रिभुज का परिमाप,
2s = (122 + 22 + 120) m
अर्ध-परिमाप = \(\frac{264}{2}\) m
= 132 m
अब, s – a = (132 – 122) m = 10 m
s – b = (132 – 22) m = 110 m
s – c = (132 – 120) m = 12 m
इसलिए हीरोन के सूत्र से त्रिभुजाकार दीवार का क्षेत्रफल

दीवार पर विज्ञापन का 1 वर्ष (अर्थात् 12 महीने) का किराया = 5000 रु० प्रति m²
1 महीने का किराया = \(\frac{5000}{12}\) रु० प्रति m²
3 महीने का किराया = (\(\frac{5000}{12}\) × 3) रु० प्रति m²
= \(\frac{5000}{4}\) रु० प्रति m²
अब प्रति m² विज्ञापन के लिए दिया गया किराया = \(\frac{5000}{4}\) रु०
1320 m² विज्ञापन के लिए दिया गया किराया = (\(\frac{5000}{4}\) × 1320) रु०
= (5000 × 330) रु०
= 1650000 रु०
अतः, कंपनी द्वारा दिया गया किराया = 16,50,000 रु०

प्रश्न 3.
किसी पार्क में एक फिसल पट्टी (slide) बनी हुई है। इसकी पार्वीय दीवारों (side walls) में से एक दीवार पर किसी रंग से पेंट किया गया है और उस पर “पार्क को हरा-भरा और साफ़ रखिए” लिखा हुआ है ( देखिए आकृति)। यदि इस दीवार की विमाएँ 15 m, 11 m और 6 m हैं, तो रंग से पेंट हुए भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल :
रंग से पेंट की हुई त्रिभुजाकार दीवार की भुजाएँ 15 m, 11 m और 6 m हैं।
∴ इस त्रिभुजाकार दीवारा का परिमाप
2s = (15 + 11 + 6) m
⇒ s = \(\frac{32}{2}\) m
⇒ s = 16 m
हीरोन सूत्र के प्रयोग से त्रिभुजाकार दीवार का क्षेत्रफल

= 4 × 5\(\sqrt{2}\) m²
= 20\(\sqrt{2}\) m²
अतः रंग से पेंट हुए भाग का क्षेत्रफल = 20\(\sqrt{2}\) m²

प्रश्न 4.
उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी दो भुजाएँ 18 cm और 10 cm हैं तथा उसका परिमाप 42 cm है।
हल :
त्रिभुज का परिमाप = 42 cm
⇒ 18 cm + 10 cm + तीसरी भुजा = 42 cm

⇒ तीसरी भुजा = (42 – 18 – 10) cm
⇒ तीसरी भुजा = 14 cm
अब त्रिभुज का अर्ध-परिमाप;
s = 2 cm
⇒ s = \(\frac{42}{2}\) cm
अब त्रिभुज की तीन भुजाएँ 18 cm, 10 cm और 14 cm हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल

अतः, त्रिभुज का क्षेत्रफल 21\(\sqrt{11}\) cm².

प्रश्न 5.
एक त्रिभुज की भुजाओं का अनुपात 12 : 17 : 25 है और उसका परिमाप 540 cm है। इस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया है कि त्रिभुज की भुजाओं में अनुपात 12 : 17 : 25
∴ मान लीजिए cm में त्रिभुज की भुजाएँ 12x, 17x और 25x हैं।
त्रिभुज का परिमाप = 540 cm (दिया है)
⇒ 12x + 17x + 25x = 540 cm
⇒ 54x = 540 cm
⇒ x = \(\frac{540}{54}\) cm
⇒ x = 10 cm
अब त्रिभुज की भुजाएं हैं-
12x = 12 × 10 = 120 cm
17x = 17 × 10 = 170 cm
और 25x = 25 × 10 = 250 cm
परिमाप त्रिभुज का अर्ध-परिमाप;

= \(\frac{540}{2}\) cm
= 270 cm
हीरोन के सूत्र के प्रयोग से;
त्रिभुज का क्षेत्रफल

अतः, त्रिभुज का अभीष्ट क्षेत्रफल 9000 cm² है।

प्रश्न 6.
एक समदविबाहु त्रिभुज का परिमाप 30 cm है और उसकी बराबर भुजाएँ 12 cm लंबाई की हैं। इस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप = 30 cm
⇒ 12 cm + 12 cm + तीसरी भुजा = 30 cm

[∵ समद्विबाहु त्रिभुज में दो भुजाएँ बराबर होती हैं और यहां प्रत्येक बराबर भुजा 12 cm है।]
⇒ तीसरी भुजा = (30 – 12 – 12) cm
⇒ तीसरी भुजा = 6 cm
अब समद्विबाहु त्रिभुज s का अर्धपरिमाप

परिमाप
s = \(\frac{30}{2}\) cm
⇒ s = 15 cm
हीरोन के सूत्र के प्रयोग से; त्रिभुज का क्षेत्रफल

अतः, समद्विबाहु त्रिभुज का अभीष्ट क्षेत्रफल = 9\(\sqrt{15}\) cm²

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन MCQ Questions with Answers.

PSEB 9th Class Maths Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन MCQ Questions

बहुविकल्पीय प्रश्न:

दिये गए चार विकल्पों में से सही उत्तर का चयन करें।

प्रश्न 1.
घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल होता है :
(A) 2 (lb + bh + hl)
(B) 3 (lb + bh + hl)
(C) 2 (lb + bh – hl)
(D) 3 (lb – bh – hl).
हल :
(A) 2 (lb + bh + hl)

प्रश्न 2.
गरम पानी द्वारा गरम रखने वाले एक संयंत्र में 28 m लंबाई और 5 cm व्यास वाला एक बेलनाकार पाइप है। इस संयंत्र में गरमी देने वाला कुल ष्ठ है :
(A) 6.6 m²
(B) 5.5 m²
(C) 4.4 m²
(D) 3.4 m²
हल :
(C) 4.4 m²

प्रश्न 3.
एक लंब वृत्तीय शंकु की तिर्यक ऊँचाई 10 cm और आधार की त्रिज्या 7 cm हो तो : इसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा :
(A) 120 cm²
(B) 220 cm²
(C) 240 cm²
(D) 140 cm².
हल :
(B) 220 cm²

प्रश्न 4.
एक शंकु की ऊँचाई 16 cm है और आधार की त्रिज्या 12 cm है। इसकी तिर्यक ऊँचाई होगी :
(A) 10 cm
(B) 15 cm
(C) 20 cm
(D) 8 cm.
हल :
(C) 20 cm

प्रश्न 5.
एक शंकु की ऊँचाई 16 cm और आधार की त्रिज्या 12 cm है। इसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा :
(A) 753.6 cm²
(B) 1205.76 cm²
(C) 863.8 cm²
(D) 907.8 cm²
हल :
(C) 863.8 cm²

प्रश्न 6.
एक शंकु के आधार का व्यास 10.5 cm है और इसकी तिर्यक ऊँचाई 10 cm है। इसका ऊँचाई वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा :
(A) 185 cm
(B) 160 cm²
(C) 165 cm
(D) 195 cm².
हल :
(C) 165 cm

प्रश्न 7.
एक शंकु की तिर्यक ऊंचाई 26 m है और इसके आधार का व्यास 20 m है। इसकी ऊँचाई होगी :
(A) 24 m
(B) 25 m
(C) 23 m
(D) 35 m.
हल :
(A) 24 m

प्रश्न 8.
एक शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 308 cm² है और इसकी तिर्यक ऊँचाई 14 cm है। इसके आधार की त्रिज्या होगी :
(A) 8 m
(B) 7 cm
(C) 9 m
(D) 12 m.
हल :
(B) 7 cm

प्रश्न 9.
शंकु के आकार का एक तंबू 10 m ऊँचा है और उसके आधार की त्रिज्या 24 m है। तंबू की तिर्यक ऊँचाई होगी :
(A) 26 m
(B) 28 m
(C) 25 m
(D) 27 m.
हल :
(A) 26 m

प्रश्न 10.
शंकु के आधार की एक गुंबज की तिर्यक ऊँचाई और आधार के व्यास क्रमश: 25 m और 14 m हैं। इसकी वक्र पृष्ठ 210 रुपए प्रति 100 m² की दर से सफेदी कराने का व्यय होगा :
(A) 1233 रु०
(B) 1155 रु०
(C) 1388 रु०
(D) 1432 रु०।
हल :
(B) 1155 रु०

प्रश्न 11.
एक जोकर की टोपी एक शंकु के आकार की है, जिसके आधार की त्रिज्या 7 cm और ऊँचाई 24 cm है। इस प्रकार की 10 टोपियां बनाने के लिए आवश्यक गत्ते का क्षेत्रफल होगा :
(A) 5500 cm²
(B) 6500 cm²
(C) 8500 cm²
(D) 3500 cm².
हल :
(A) 5500 cm²

प्रश्न 12.
एव अर्धगोला जिसकी त्रिज्या r है, का पृष्ठीय क्षेत्र फल होगा :
(A) 2πr²
(B) 4πr²
(C) 3πr²
(D) 5πr².
हल :
(A) 2πr²

प्रश्न 13.
अर्धगोला जिसकी त्रिज्या r है, का पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा :
(A) 4πr²
(B) 3πr²
(C) 2πr²
(D) 51πr².
हल :
(B) 3πr²

प्रश्न 14.
7 cm त्रिज्या वाले गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा :
(A) 516 cm²
(B) 616 cm²
(C) 716 cm²
(D) 880 cm².
हल :
(B) 616 cm²

प्रश्न 15.
त्रिज्या 21 cm वाले अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा :
(A) 2772 cm²
(B) 2564 cm
(C) 3772 cm²
(D) 4772 cm.
हल :
(A) 2772 cm²

प्रश्न 16.
14 cm त्रिज्या वाले गोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा :
(A) 2464 cm²
(B) 2428 cm²
(C) 2464 cm³
(D) 2428 cm³.
हल :
(A) 2464 cm²

प्रश्न 17.
14 cm व्यास वाले गोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा :
(A) 616 cm²
(B) 676 cm²
(C) 616 cm³
(D) 676 cm³.
हल :
(A) 616 cm²

प्रश्न 18.
10 cm त्रिज्या वाले एक अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा :
(A) 942 cm²
(B) 942 cm³
(C) 842 cm²
(D) 842 cm³.
हल :
(A) 942 cm²

प्रश्न 19.
एक गोलाकार गुब्बारे में हवा भरने पर, उसकी त्रिज्या 7 cm से 14 cm हो जाती है। दोनों स्थितियों में गुब्बारे के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात होगा :
(A) 4 : 1
(B) 1 : 4
(C) 3 : 1
(D) 1 : 3.
हल :
(B) 1 : 4

प्रश्न 20.
माचिस की एक डिब्बी के माप 4 cm × 2.5 cm × 1.5 cm हैं। ऐसी 12 डिब्बियों के एक पैकेट का आयतन होगा :
(A) 160 cm³
(B) 180 cm³
(C) 160 cm²
(D) 180 cm².
हल :
(B) 180 cm3

प्रश्न 21.
एक घनाभाकार पानी की टंकी 6 m लंबी, 5 m चौड़ी और 4.5 m गहरी है। इसमें पानी आ सकता है :
(A) 1350 लिटर
(B) 13500 लिटर
(C) 135000 लिटर
(D) 135 लिटर।
हल :
(C) 135000 लिटर

प्रश्न 22.
एक घनाभाकार बर्तन 10 m लंबा और 8 m चौड़ा है। इसको कितना ऊँचा बनाया जाए कि इसमें 380 घन मीटर द्रव आ सके।
(A) 4.75 m
(B) 4.85 m
(C) 4.75 m
(D) 4.85 cm.
हल :
(A) 4.75 m

प्रश्न 23.
एक घनाभाकार टंकी की धारिता 50000 लीटर पानी की है। यदि इस टंकी की लंबाई और गहराई क्रमश: 2.5 m और 10 m है, तो इसकी चौड़ाई होगी :
(A) 4 m
(B) 3 m
(C) 2 m
(D) 5 m
हल :
(C) 2 m

प्रश्न 24.
किसी गोदाम की माप 40 m × 25 m × 10 m है। इस गोदाम में 1.5 m × 1.25 m × 0.5 m की माप वाले लकड़ी के कितने अधिकतम क्रेट रखे जा सकते हैं ?
(A) 18000
(B) 16000
(C) 15000
(D) 14000
हल :
(B) 16000

प्रश्न 25.
3 m मी० गहरी और 40 m चौड़ी एक नदी 2 km प्रति घंटा की चाल से बहकर समुद्र में गिरती है। एक मिनट में समुद्र में कितना पानी गिरेगा?
(A) 4000 m³
(B) 40 m³
(C) 400 m³
(D) 40000 m³
हल :
(A) 4000 m³

प्रश्न 26.
एक बेलनाकार बर्तन के आधार की परिधि 132 cm और उसकी ऊँचाई 25 cm है। इस बर्तन में कितने लीटर पानी आ सकता है ?
(A) 33.75 लीटर
(B) 34.65 लीटर
(C) 35.75 लीटर
(D) 38.75 लीटर।
हल :
(B) 34.65 लीटर

प्रश्न 27.
एक बेलन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल 94.2 cm² है और उसकी ऊँचाई 5 cm है, इसकी आधार की त्रिज्या होगी :
(A) 3 cm
(B) 4 cm
(C) 5 cm
(D) 6 cm
हल :
(A) 3 cm

प्रश्न 28.
10 cm गहरे एक बेलनाकार बर्तन के आंतरिक वक्र पृष्ठ को पेंट कराने का व्यय 2200 रुपए हैं। यदि पेंट कराने की दर 20 रु० प्रति m² हो तो इसके आधार की त्रिज्या होगी :
(A) 1.75 m
(B) 1.85 m
(C) 1.95 m
(D) 1.65 m
हल :
(A) 1.75 m

प्रश्न 29.
किसी शंकु की ऊँचाई और तिर्यक ऊँचाई क्रमशः 21 cm और 28 cm है। इसका आयतन होगा :
(A) 5546 cm²
(B) 7546 cm³
(C) 5564 cm³
(D) 8546 cm²
हल :
(B) 7546 cm3

प्रश्न 30.
लंब वृत्तीय शंकु जिसकी त्रिज्या 6 cm और ऊँचाई 7 cm है। इसका आयतन होगा :
(A) 254 cm³
(B) 264 cm³
(C) 274 cm²
(D) 284 cm²
हल :
(B) 264 cm³

प्रश्न 31.
शंकु के आकार के उस बर्तन की लीटरों में धारिता होगी जिसकी त्रिज्या 7 cm और ऊँचाई 25 cm है :
(A) 1.232 l
(B) 1.5 l
(C) 1.35 l
(D) 1.6 l
हल :
(A) 1.232 l

प्रश्न 32.
एक शंकु की ऊँचाई 15 cm है। यदि इसका आयतन 1570 cm³ हो तो इसके आधार की त्रिज्या होगी :
(A) 12 cm
(B) 10 cm
(C) 15 cm
(D) 18 cm
हल :
(A) 1.232 l

प्रश्न 33.
यदि 9 cm ऊंचाई वाले एक लंब वृत्तीय शंकु का आयतन 487 cm³ है तो इसके आधार का व्यास होगा :
(A) 10 cm
(B) 12 cm
(C) 8 cm
(D) 6 cm.
हल :
(C) 8 cm

प्रश्न 34.
ऊपरी व्यास 3.5 m वाले शंकु के आकार का एक गड्ढा 12 m गहरा है। इसकी धारिता किलोलीटरों में होगी :
(A) 38.5k
(B) 48.5 kl
(C) 39.5 kl
(D) 47.5 kl
हल :
(A) 38.5k

प्रश्न 35.
एक शंकु की ऊँचाई 15 cm है। इसकी आयतन 1570 cm³ है, इसकी आधार की त्रिज्या होगी :
(A) 5 cm
(B) 8 cm
(C) 10 cm
(D) 12 cm
हल :
(C) 10 cm

प्रश्न 36.
चंद्रमा का व्यास पृथ्वी के व्यास का लगभग एक चौथाई है। चंद्रमा का आयतन पृथ्वी के आयतन की कौन-सी भिन्न है ?
(A) \(\frac{1}{64}\)
(B) \(\frac{1}{32}\)
(C) \(\frac{1}{16}\)
(D) \(\frac{1}{48}\)
हल :
(A) \(\frac{1}{64}\)

प्रश्न 37.
जिस घन की विमाएं 50 cm × 40 cr × 10 cm हैं इसका आयतन लीटरों में होगा :
(A) 10 लीटर
(B) 12 लीटर
(C) 20 लीटर
(D) 25 लीटर.
हल :
(C) 20 लीटर

प्रश्न 38.
एक टंकी का आयतन 250 m³ है और इसके आधार का क्षेत्रफल 50 m² है। इसके अंदर पानी की गहराई होगी :
(A) 5 m
(B) 200 m
(C) 300 m
(D) 12500 m
हल :
(A) 5 m

प्रश्न 39.
एय आयताकार ठोस की लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमश: 4 cm, 3 cm और 2 cm है। इसका आयतन होगा :
(A) (4 + 3 + 2) cm³
(B) 2 (4 + 3 + 2) cm³
(C) 4 × 3 × 2 cm³
(D) 2 (4 + 3) × 2 cm³
हल :
(C) 4 × 3 × 2 cm³

प्रश्न 40.
एक आयताकार ठोस का आयतन 200 m³ है। यह 8 m लंबा और 5 m चौड़ा है। इसकी ऊँचाई होगी :
(A) 5 m
(B) 15 m
(C) 6 m
(D) 18 m
हल :
(A) 5 m

प्रश्न 41.
एक गोलाकार गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल 616 cm² है। इस गोले की त्रिज्या होगी :
(A) 6 cm
(B) 8 cm
(C) 7 cm
(D) 5 cm
हल :
(C) 7 cm

प्रश्न 42.
यदि एक गोले की त्रिज्या \(\frac{2 d}{3}\) हो तो इसका आयतन होगा :
(A) \(\frac{32}{81}\) πd³
(B) \(\frac{23}{4}\) πd³
(C) \(\frac{32}{3}\) πd³
(D) \(\frac{34}{3}\) πd³
हल :
(A) \(\frac{32}{81}\) πd³

प्रश्न 43.
एक बेलनाकार टंकी की धारिता 6160 cm³ है। यदि इसके आधार का व्यास 28 m हो तो टंकी की गहराई होगी :
(A) 5 m
(B) 8 m
(C) 10 m
(D) 15 m
हल :
(C) 10 m

प्रश्न 44.
बेलन का आयतन है :
(A) 2πrh
(B) πr²h
(C) \(\frac{4}{3}\) = πr²h
(D) 2πr²h
हल :
(B) πr²h

प्रश्न 45.
दोबेलनों की त्रिज्यों में 2 : 3 के अनुपात है और उनकी ऊँचाइयों में 5 : 3 का अनुपात है। उनके आर तनों में अनुपात होगा :
(A ) 27 : 20
(B) 25 : 24
(C) 20 : 27
(D) 15 : 20
हल :
(C) 20 : 27

प्रश्न 46.
एकलंब वृत्ताकार बेलन का आधार 7 सेमी और ऊचाई 1 सेमी है। बेलन का आयतन क्या है ?
(A) 216 सेमी³
(B) 136 सेमी³
(C) 172 सेमी³
(D) 154 सेमी³।
हल :
(D) 154 सेमी³।

प्रश्न 47.
एक गोले का व्यास 14 m है। इस गोले का आयतन होगा :
(A) 1437 \(\frac{1}{3}\)m³
(B) 1357 \(\frac{1}{3}\)m³
(C) 1437\(\frac{2}{3}\)m³
(D) 1337\(\frac{2}{3}\)m³
हल :
(A) 1437 \(\frac{1}{3}\)m³

प्रश्न 48.
एक गोले का आयतन 524 cm³ है। इस गोले का व्यास होगा :
(A) 4 cm
(B) 5 cm
(C) 3 cm
(D) 6 cm
हल :
(B) 5 cm

प्रश्न 49.
एक बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 40 cm² है। यदि बेलन की ऊँचाई 5.5 cm हो तो इसके आधार की त्रिज्या होगी :
(A) 5 cm
(B) 2.5 cm
(C) 1.5 cm
(D) 10 cm
हल :
(B) 2.5 cm

प्रश्न 50.
एक लम्ब वृत्तीय शंकु के आधार का क्षेत्रफल 78.5 cm² है। यदि इसकी ऊँचाई 12 cm हो तो इसकी आयतन होगा :
(A) 31.4 cm³
(B) 3.14 cm³
(C) 314 cm³
(D) इनमें से कोई नहीं।
हल :
(C) 314 cm³

प्रश्न 51.
एक लंबवृत्तीय शंकु के आधार की त्रिज्या 11.3 cm है और इसकी वक्र पृष्ठ 355 cm² है। इस शंकु की ऊँचाई होगी :
(π = \(\frac{355}{113}\) लीजिए)
(A) 11 cm
(C) 5 cm
(B) 9 cm
(D) 10 cm
हल :
(D) 10 cm

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.9 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.9

प्रश्न 1.
एक लकड़ी के बुकशैल्फ (book-shelf) की बाहरी विमाएँ निम्न हैं :
ऊँचाई = 110 cm, गहराई = 25 cm, चौड़ाई = 85 cm (देखिए आकृति)। प्रत्येक स्थान पर तख्तों की मोटाई 5 cm है। इसके बाहरी फलकों पर पालिश कराई जानी है और आंतरिक फलकों पर पेंट किया जाना है। यदि पालिश कराने की दर 20 पैसे प्रति cm है और पेंट कराने की दर 10 पैसे प्रति cm है, तो इस बुक-शैल्फ पर पालिश और पेंट कराने का कुल व्यय ज्ञात कीजिए।

हल :
बाहरी फलक जो पालिश होने हैं = घनाभाकार बुकशैल्फ के छ: फलकों का क्षेत्रफल – 3 (खुले भाग ABCD का क्षेत्रफल)
= 2 (110 × 25 + 25 × 85 + 85 × 110) -3 [75 × 30]
∵ प्रत्येक स्थान पर तख्तों की मोटाई 5 cm है।
∴ AB = 85 – 5 – 5 = 75 cm
और AD = \(\frac{1}{3}\)[110 – 5 – 5 – 5 – 5]
= \(\frac{1}{3}\)[110 – 20]
= \(\frac{1}{3}\) × 90 = 30 cm
= 2[2750 + 2125 + 9350 – 3 [2250]
= 2(14225) – 6750
= 28450 – 6750
= 21700 cm²
लकड़ी के बुकशैल्फ के बाहरी फलकों पर पालिश करने का व्यय 20 पैसे अर्थात् (\(\frac{1}{5}\)) रु प्रति cm² (\(\frac{1}{5}\) × 21700) रु
= 4340 रु
अब, यहाँ तीन बराबर भुजाओं वाले पाँच फलक हैं।
अतः, कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 3[2(30 + 75) 20 + 30 × 75]
(यहां आंतरिक गहराई = 25 – 5 = 20 cm)
= 3[2 × 105 × 20 + 2250]
= 3[4200 + 2250]
= 3 × 6450
= 19350 cm²
आंतरिक फलकों पर पेंट करने का व्यय
10 पैसे अर्थात् \(\frac{1}{10}\) रु प्रति cm²
= (\(\frac{1}{10}\) × 19350) र
= 1935 रु
पेंट करने पर कुल वांछित व्यय
= 4340 रु + 1935 रु
= 6275 रु

प्रश्न 2.
किसी घर के कंपाउंड की सामने की दीवार को 21 cm व्यास वाले लकड़ी के गोलों को छोटे आधारों पर टिका कर सजाया जाता है, जैसा कि आकृति में दिखाया गया है। इस प्रकार के आठ गोलों का प्रयोग इस कार्य के लिए किया जाना है और इन गोलों को चाँदी वाले रंग में पेंट करवाना है। प्रत्येक आधार 1.5 cm त्रिज्या और ऊँचाई 7 cm का एक बेलन है तथा इन्हें काले रंग से पेंट करवाना है। यदि चाँदी के रंग का पेंट करवाने की दर 25 पैसे प्रति cm² है तथा काले रंग का पेंट करवाने की दर 5 पैसे प्रति cm² हो, तो पेंट करवाने का कुल व्यय ज्ञात कीजिए।

हल :
मान लीजिए लकड़ी के गोले की त्रिज्या = R
∴ व्यास; 2R = 21 cm
⇒ R = \(\frac{21}{2}\) cm
मान लीजिए बेलन की त्रिज्या = r
∴ r = 1.5 cm

गोले के उस भाग का पृष्ठीय क्षेत्रफल जिस पर चाँदी वाले रंग का पेंट करवाना है।
= गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल – बेलन के ऊपरी वृत्तीय भाग का क्षेत्रफल जिन पर गोले टिकाए गए हैं।
= 4πR² – πr²
= π (4R² – r²)

ऐसे आठ गोलाकार भागों का पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 8 × 1378.928 cm²
= 11031.424 cm²
1 cm² पर चाँदी वाले रंग का पेंट करने पर व्यय = \(\frac{1}{4}\) रु
11031.424 cm² पर चाँदी वाले रंग का पेंट करने पर व्यय
= (\(\frac{1}{4}\) × 11031.424) रु
[∵ 25 पैसे = \(\frac{25}{100}\) रु
= \(\frac{1}{4}\) रु]
= 2757.85 रु
अब बेलनाकार आधार का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 πrh
[जहां h = 7 cm बेलनाकार भाग की ऊँचाई है।]
= 2 × \(\frac{22}{7} \times \frac{15}{10}\) × 7
= 66 cm²
ऐसे 8 बेलनाकार आधारों का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 66 × 8
= 528 cm²
1 cm² बेलनाकार आधार पर काला पेंट करने का व्यय = \(\frac{1}{20}\) रु
528 cm² बेलनाकार आधार पर काला पेंट करने पर व्यय
= (\(\frac{1}{20}\) × 528) रु
[∵ 5 पैसे = \(\frac{5}{100}\)
= \(\frac{1}{20}\) रु
= 26.4 रु
पेंट कराने पर कुल व्यय = 2757.85 रु० + 26.4 रु०
= 2784.25

प्रश्न 3.
एक गोले के व्यास में 25% की कमी हो जाती है। उसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल कितने प्रतिशत कम हो गया है ?
हल :
मान लीजिए कि गोले की मूल त्रिज्या = R
इसका व्यास; D = 2R
⇒ R = \(\frac{\mathrm{D}}{2}\)
मूल गोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4 πR²
= 4π(\(\frac{\mathrm{D}}{2}\))2
= 4π\(\frac{D^2}{4}\)
= πD²
प्रश्नानु सार
व्यास की कमी = 25% of D
= \(\frac{25}{100}\) D
= \(\frac{\mathrm{D}}{4}\)
अब् नए गोले का व्यास = D – \(\frac{1}{4}\)D
= \(\frac{3}{4}\)D
मान लीजिए नए गोले की त्रिज्या = r
∴ इसका व्यास; 2r = \(\frac{3}{4}\)D
⇒ R = \(\frac{3}{8}\) D
अब नये गोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr²
= 4π \(\left(\frac{3}{8} \mathrm{D}\right)^2\)
= 4π \(\left(\frac{9}{64} \mathrm{D}^2\right)\)
= \(\frac{9 \pi}{16}\)D²
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल में परिवर्तन = मूल गोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल – नए गोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
= πD – \(\frac{9}{16}\)πD²
= \(\frac{7}{16}\)πD²
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल में प्रतिशत परिवर्तन

प्रश्न 4.
समीरा अपनी बेटी का पाँचवाँ जन्मदिन एक पार्टी द्वारा मनाना चाहती है। उसके शंकु आकार की टोपियाँ बनाने के लिए मोटा कागज़ खरादा। प्रत्येक टोपी के आधार का व्यास 10 cm और ऊँचाई 12 cm. है। कागज़ की शीट (sheet) की विमाएँ 25 cm × 40 से० मी० हैं और लगभग 82% शीट कटाई के बाद प्रयोग में लाई जा सकती है। यदि पार्टी में 15 बच्चे आने हों, तो समीरा को कम से कम कितनी संख्या में कागज़ की शीटें खरीदने की आवश्यकता है ? (π = 3.14 का प्रयोग कीजिए)
हल :
मान लीजिए शंकु आकार टोपी के आधार की त्रिज्या = r
∴ व्यास; 2r = 10 cm

⇒ r = \(\frac{10}{2}\) cm
⇒ r = 5 cm
शंकु आकार टोपी की ऊँचाई = h = 12 cm
मान लीजिए शंकु की तिर्यक ऊँचाई l है
∴ l² = r² + h²
[पाइथगोरस के परिणाम का प्रयोग करने पर]
⇒ l² = 5² + 12²
= 25 + 144
⇒ l² = 169
⇒ l = \(\sqrt{169}\)
⇒ l = 13 cm
टोपी का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl
= 3.14 × 5 × 13
= 204.1 cm²
ऐसी 15 टोपियों का कुल वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
= (15 × 204.1) cm
= 3061.5 cm²
टोपी बनाने के लिए प्रयोग की जाने वाली कागज़ की शीट का क्षेत्रफल = 25 cm × 40 cm
= 1000 cm²
कटाई के बाद कागज़ का 82% टोपियां बनाने में प्रयुक्त हुआ
इसलिए 1000 cm² का 82%
= \(\frac{82}{100}\) x 1000 cm²
= 820 cm²
शीटों की संख्या
जो समीरा को खरीदने की आवश्यकता है।

वास्तव में 3.73 शीटों की आवश्यकता है।
परंतु क्योंकि पूरी शीटें खरीदी जानी हैं इसलिए समीरा को 4 शीटों की आवश्यकता है।

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 9 समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Ex 9.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 9 समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Ex 9.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित आकृतियों में कौन-सी आकृतियाँ एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित हैं ? ऐसी स्थिति में, उभयनिष्ठ आधार और दोनों समांतर रेखाएँ लिखिए।

हल:
आकृति (i) में, ΔDPC और समलंब ABCD एक ही आधार DC तथा एक ही समांतर रेखाओं DC और AB के बीच स्थित है।
आकृति (iii) में ; ΔRTQ और समांतर चतुर्भुज PORS एक ही आधार OR तथा एक ही समांतर रेखाओं QR और PS के बीच स्थित है।
आकृति (v) में ; समांतर चतुर्भुज ABCD और समांतर चतुर्भुज APQD एक ही आधार AD तथा एक ही समांतर रेखाओं AD और BQ पर स्थित हैं।

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 8 चतुर्भुज MCQ Questions with Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 8 चतुर्भुज MCQ Questions

बहुविकल्पीय प्रश्न

दिए गए चार विकल्पों में से सही उत्तर का चयन करें।

प्रश्न 1.
एक समांतर चतुर्भुज के कोणों के समद्विभाजक क्या बनाते हैं ?
(A) समलंब चतुर्भुज
(B) आयत
(C) समचतुर्भुज
(D) पतंग।
उत्तर –
(B) आयत

प्रश्न 2.
एक समचतुर्भुज के कोण यदि 3 : 4 : 5 : 6 के अनुपात में हो तो चतुर्भुज के कोण क्रमश: क्या होंगे ?
(A) 60°, 80°, 100°, 120°
(B) 120°, 100°, 80°, 60°
(C) 120°, 60°, 80°, 100°
(D) 80°, 100° 120°,60°.
उत्तर –
(A) 60°, 80°, 100°, 120°

प्रश्न 3.
यदि किसी चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समकोण पर प्रतिच्छेद करें तो यह आकृति क्या होगी ?
(A) समांतर चतुर्भुज
(B) वर्ग
(C) सम चतुर्भुज
(D) समलंब चतुर्भुज
उत्तर –
(C) सम चतुर्भुज

प्रश्न 4.
आयत ABCD का विकर्ण AC यदि कोण ∠A तथा ∠C को समद्विभाजित करे तो यह आयत क्या होगा ?

(A) समलंब चतुर्भुज
(B) समचतुर्भुज
(C) समांतर चतुर्भुज
(D) वर्ग।
उत्तर –
(D) वर्ग।

प्रश्न 5.
त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य बिंदों को मिलाने वाली रेखा तीसरी भुजा के समांतर होती है तथा उसका …….. होती है।
(A) आधा
(B) एक तिहाई
उत्तर –
(A) आधा

प्रश्न 6.
एक चतुर्भुज के तीन कोण 75°,90° और 75° है। इसका चौथा कोण है।
(A) 90°
(B) 95°
(C) 105°
(D) 120°
उत्तर –
(D) 120°

प्रश्न 7.
एक आयत का एक विकर्ण उसकी भुजा से 25° पर नत है। इसके विकर्णों के बीच का न्यून कोण है।
(A) 55°
(B) 50°
(C) 40°
(D) 25°.
उत्तर –
(B) 50°

प्रश्न 8.
ABCD एक समचतुर्भुज है, जिसमें ∠ACB = 40° है। तब ∠ADB है
(A) 40°
(B) 45°
(C) 50°
(D) 60°.
उत्तर –
(C) 50°

प्रश्न 9.
चतुर्भुज PQRS, की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को, एक ही क्रम में, मिलाने पर बना चतुर्भुज एक आयत होता है, यदि
(A) PQRS एक आयत है
(B) PQRS एक समांतर चतुर्भुज है
(C) PQRS के विकर्ण परस्पर लंब हों
(D) PQRS के विकर्ण बराबर हों।
उत्तर –
(C) PQRS के विकर्ण परस्पर लंब हों

प्रश्न 10.
चतुर्भुज PQRS की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को, एक ही क्रम में मिलाने पर बना चतुर्भुज एक समचतुर्भुज होता है, यदि
(A) PQRS एक समचतुर्भुज है
(B) PQRS एक समातंर चतुर्भुज है
(C) PQRS के विकर्ण परस्पर लंब हों
(D) PQRS के विकर्ण बराबर हों।
उत्तर –
(D) PQRS के विकर्ण बराबर हों।

प्रश्न 11.
यदि चतुर्भुज ABCD के कोणों A, B,C और D का, इसी क्रम में लेने पर, अनुपात 3 : 7 : 6 : 4 है, तो ABCD है एक
(A) समचतुर्भुज
(B) समांतर चतुर्भुज
(C) समलंब
(D) पतंग।
उत्तर –
(C) समलंब

प्रश्न 12.
यदि चतुर्भुज ABCD के ∠A और ∠B के समद्विभाजक परस्पर P पर प्रतिच्छेद करते हैं, ∠B और ∠C के समद्विभाजक Q पर, ∠C और ∠D के R पर तथा ∠D और ∠A के S पर प्रतिच्छेद करते हैं, तो PQRS है एक
(A) आयत
(B) समचतुर्भुज
(C) समांतर चतुर्भुज
(D) चतुर्भुज जिसके सम्मुख कोण संपूरक हैं।
उत्तर –
(D) चतुर्भुज जिसके सम्मुख कोण संपूरक हैं।

प्रश्न 13.
यदि APB और CQD दो समांतर रेखाएँ हैं, तो कोणों APQ, BPQ, CQP और PQD के समद्विभाजक बनाते हैं
(A) एक वर्ग
(B) एक समचतुर्भुज
(C) एक आयत
(D) कोई अन्य समांतर चतुर्भुज।
उत्तर –
(C) एक आयत

प्रश्न 14.
एक समचतुर्भुज की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को, एक ही क्रम में, मिलाने पर बनने वाली आकृति होती है
(A) एक समचतुर्भुज
(B) एक आयत
(C) एक वर्ग
(D) कोई भी समांतर चतुर्भुज।
उत्तर –
(B) एक आयत

प्रश्न 15.
D और E क्रमश: ΔABC की भुजा AB और AC के मध्य-बिंदु है तथा O भुजा BC पर कोई बिंदु है। O को A से मिलाया जाता है। यदि P
और Q क्रमश: OB और C के मध्य-बिंदु हैं, तो DEQP है एक
(A) वर्ग
(B) आयत
(C) समचतुर्भुज
(D) समांतर चतुर्भुज।
उत्तर –
(D) समांतर चतुर्भुज।

प्रश्न 16.
एक चतुर्भुज ABCD की भुजाओं के मध्य बिंदुओं को, एक ही क्रम में, मिलाने पर प्राप्त आकृति केवल एक वर्ग है, यदि
(A) ABCD एक समचतुर्भुज है
(B) ABCD के विकर्ण बराबर हैं
(C) ABCD के विकर्ण बराबर हैं और परस्पर लंब हैं ।
(D) ABCD के विकर्ण परस्पर लंब हैं।
उत्तर –
(C) ABCD के विकर्ण बराबर हैं और परस्पर लंब हैं ।

प्रश्न 17.
समांतर चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD परस्पर बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि ∠DAC = 32° और ∠AOB = 70° हैं तो ∠DBC बराबर है
(A) 24°
(B) 86°
(C) 38°
(D) 32°.
उत्तर –
(C) 38°

प्रश्न 18.
एक समांतर चतुर्भुज के लिए, निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य नहीं है ?
(A) सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं
(B) सम्मुख कोण बराबर होते हैं
(C) सम्मुख कोण विकर्णों से समद्विभाजित होते
(D) विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं।
उत्तर –
(C) सम्मुख कोण विकर्णों से समद्विभाजित होते

प्रश्न 19.
D और E क्रमश: ΔABC की भुजा AB और AC के मध्य-बिंदु हैं। DE को F तक बढ़ाया जाता है। यह सिद्ध करने के लिए कि CF रेखाखंड DA के बराबर और समांतर है, हमें एक अतिरिक्त सूचना की आवश्यकता है, जो है
(A) ∠DAE = ∠EFC
(B) AE = EF
(C) DE = EF
(D) ∠ADE = ∠ECF.
उत्तर –
(C) DE = EF

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 8 चतुर्भुज Ex 8.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 8 चतुर्भुज Ex 8.2

प्रश्न 1.
ABCD एक चतुर्भुज है जिसमें P, Q, R और क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिंदु हैं (आकृति देखिए)।

AC उसका एक विकर्ण है।
दर्शाइए कि
(i) SR || AC और SR = \(\frac {1}{2}\)AC है।
(ii) PQ = SR है।
(iii) PQRS एक समांतर चतुर्भुज है।
हल:
ΔABC में,
P, AB का मध्य-बिंदु है और Q, BC का मध्यबिंदु है।
तो PQ || AC और PQ = \(\frac {1}{2}\)AC
[मध्य-बिंदु प्रमेय]

(i) ΔACD में
R, CD का मध्य-बिंदु है और S, AD का मध्यबिंदु है।
तो SR || AC और SR = \(\frac {1}{2}\)AC
(मध्य-बिंदु प्रमेय)

(ii) हमने सिद्ध किया है कि
PQ = \(\frac {1}{2}\)AC
और SR = \(\frac {1}{2}\)AC
∴ PQ = \(\frac {1}{2}\)AC = SR
या PQ = SR

(iii) हमने सिद्ध किया है कि
PQ || AC
और SR || AC
⇒ PQ || SR [∵ दो रेखाएँ जो दी गई रेखा के समांतर होती है परस्पर समांतर होती हैं।]
अब,
PQ = SR
और PQ || SR
जैसा कि हम जानते हैं कि यदि चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समांतर होता है तो यह एक समांतर चतुर्भुज होता है।
∴PQRS एक समांतरचतुर्भुज है।

प्रश्न 2.
ABCD एक समचतुर्भुज हैं और P, Q, R, S क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्यबिंदु है। दर्शाइए कि PQRS एक आयत है।
दिया है : P, Q, R और S समचतुर्भुज ABCD की भुजाओं क्रमश: AB, BC, CD और DA के मध्य-बिंदु हैं। PQ, QR, RS और SP को मिलाया गया है।

सिद्ध करना है : PQRS एक आयत है।
रचना : A और C को मिलाइए।
उपपति : ΔABC में, P, AB का और Q, BC का मध्य बिंदु है।
∴ मध्य-बिंदु प्रमेय से,
PQ || AC और PQ = \(\frac {1}{2}\)AC ……(i)
ΔADC में, R, CD का और S, AD का मध्यबिंदु है।
∴ SR || AC और SR = \(\frac {1}{2}\)AC ……(ii)
(i) और (ii) से हमें प्राप्त होता है।
PQ || SR और PQ = SR
∴ PQRS एक समांतर चतुर्भुज है।
[∵ चतुर्भुज PQRS में सम्मुख भुजाओं PQ और SR एक युग्म बराबर और समांतर है।]
अब, ABCD एक समचतुर्भुज है। (दिया है)
∴ AB = BC
⇒ \(\frac {1}{2}\)AB = \(\frac {1}{2}\)BC
⇒ PB = BQ
∴ ∠1 = ∠2 [∵ त्रिभुज की बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।]
अब, ΔAPS और ΔCQR में,
AP = CQ
[∵ AB = BC ⇒ \(\frac {1}{2}\)AB = \(\frac {1}{2}\)BC
⇒ AP = CQ जहाँ P और Q, AB और BC के मध्य-बिंदु हैं।]
इसी प्रकार, AS = CR
PS = QR
[|| gm PQRS की सम्मुख भुजाएँ।
∴ ΔAPS ≅ ΔCQR
[SSS सर्वांगसमता से]
∴ ∠3 = ∠4
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
अब, ∠1 + ∠SPQ + ∠3 = 180°
और ∠2 + ∠PQR + ∠4 = 180°
(रैखिक युग्म]
∴ ∠1 + ∠SPQ + ∠3 = ∠2 + ∠PQR + ∠4
क्योंकि ∠1 = ∠2 और ∠3 = ∠4
(उपरोक्त में प्रमाणित)
∴ ∠SPQ = ∠PQR …………..(iii)
अब, PQRS एक समांतर चतुर्भुज है।
(उपरोक्त में प्रमाणित)
∴ ∠SPQ + ∠PQR = 180° … (iv)
[∵ SP || RQ और PQ इनको काटती है और तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंत: कोणों का योगफल 180° होता है।]

(iii) को (iv) में प्रयोग करने पर हमें प्राप्त होता है।
∠SPQ + ∠SPQ = 180°
⇒ 2∠SPQ = 180°
⇒ ∠SPQ = 90°
इस प्रकार PQRS एक समांतर चतुर्भुज है जिसमें ∠SPQ = 90°
अतः, PQRS एक आयत है।

प्रश्न 3.
ABCD एक आयत है, जिसमें P, Q, R और S क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य| बिंदु हैं। दर्शाइए कि PQRS एक समचतुर्भुज है
हल :
दिया है : आयत ABCD में P, Q, R और S क्रमश: भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिंदु हैं। PQ, QR, RS और SP को मिलाया गया है।

सिद्ध करना है : PQRS एक समचतुर्भुज है।
रचना: AC को मिलाइए
उपपत्ति : ΔABC में P ओर Q क्रमशः भुजाओं AB, BC के मध्य-बिंदु हैं।
∴ PQ || AC और PQ = \(\frac {1}{2}\)AC …(i)
ΔADC में R और S, क्रमशः CD और AD के मध्य-बिंदु हैं।
∴ SR || AC और SR = \(\frac {1}{2}\)AC ……(ii)
(i) और (ii) से हमें प्राप्त होता है।
PQ || SR और PQ = SR ……(iii)
⇒ PQRS एक समांतर चतुर्भुज है।
ABCD एक आयत है। (दिया है)
⇒ AD = BC
⇒ \(\frac {1}{2}\)AD = \(\frac {1}{2}\)BC
⇒ AS = BQ …. (iv)
ΔAPS और ΔBPQ में,
AP = BP
[∵ P, AB का मध्य-बिंदु है।]
∠PAS = ∠PBQ [प्रत्येक 90°]
और AS = BQ [(iv)से]
∴ ΔAPS ≅ ΔBPQ
[SAS सर्वांगसमता नियम)
⇒ PS = PQ ………(v)
[सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग]
(iii) और (v) से PQRS एक ऐसा समांतर चतुर्भुज है जिसमें
PS = PQ
अर्थात्, दो आसन्न भुजाएँ बराबर हैं।
अतः, PQRS एक समचतुर्भुज है।

प्रश्न 4.
ABCD एक समलंब है, जिसमें AB || DC है । साथ ही BD एक विकर्ण है और E भुजा AD का मध्य-बिंदु है। E से होकर एक रेखा AB के समांतर खींची गई है, जो BC को F पर प्रतिच्छेद करती है। (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि F भुजा BC का मध्य-बिंदु है।

हल :
मान लीजिए विकर्ण BD रेखा EF को बिंदु P पर प्रतिच्छेद करता है।
ΔDAB में,
E, AB का मध्य-बिंदु है और EP || AB है। [∵ EF || AB (दिया है) और P, EF का एक भाग है।]
∴ P, ΔDAB की दूसरी भुजा BD का मध्य-बिंदु है।
[∵ त्रिभुज की एक भुजा के मध्य-बिंदु से दूसरी भुजा के समांतर खींची गई रेखा तीसरी भुजा को मध्य बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है।]
अब, ΔBCD में,
P, BD का मध्य बिंदु है और PF || DC
[∵ EF || AB और AB || DC (दिया है)
∴ EF || DC और PF, EF का ही एक भाग है।]
∴ F, ΔBCD की भुजा BC का भाग है [मध्य-प्रमेय के विलोम से]

प्रश्न 5.
एक समांतर चतुर्भुज ABCD मे, E और F क्रमशः भुजाओं AB और ACD के मध्य-बिंदु हैं (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि रेखाखंड AF और EC विकर्ण BD को समत्रिभाजित करते हैं।
हल :
क्योंकि E और F क्रमश: AB और CD के मध्य-बिंदु हैं।

AE = \(\frac {1}{2}\)AB और CF = \(\frac {1}{2}\)CD ………..(i)
परंतु ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।
⇒ AB = CD और AB || DC
⇒ \(\frac {1}{2}\)AB = \(\frac {1}{2}\)CD और AB || DC
⇒ AE = FC और AE || FC [(i) से]
⇒ AECF एक समांतर चतुर्भुज है
⇒ FA || CE
⇒ FP || CQ [∵ FP, FA का एक भाग है और CQ, CE का एक का भाग है।] … (ii)
हम जानते हैं कि त्रिभुज की एक भुजा के मध्य-बिंदु से खींची रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है।
ΔDCQ में, F, CD का मध्य-बिंदु है और FP || CQ [(ii) से]
∴ P, DQ का मध्य-बिंदु है।
⇒ DP = PQ …… (iii)
इसी प्रकार, ΔABQ में, E, AB का मध्य-बिंदु है और EQ || AP
∴ Q, BP का मध्य-बिंदु है।
⇒ BQ = PQ … (iv)
(iii) और (iv) से
DP = PQ = BQ … (v)
अब, BD = BQ + PQ + DP
= BQ + BQ + BQ
⇒ BD = 3BQ
3BQ = BD
⇒ BQ = \(\frac {1}{3}\) BD … (vi)
(v) और (vi) से हमें प्राप्त होता है।
DP = PQ = BQ = \(\frac {1}{3}\)BD
⇒ बिंदु P और Q, BD को तीन भागों में विभाजित करते हैं।
⇒ AF और CE, BD को तीन भागों में विभाजित करते हैं।

प्रश्न 6.
दर्शाइए कि किसी चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड परस्पर समद्विभाजित करते हैं।
हल :
दिया है: चतुर्भुज ABCD में, EG और FH, सम्मुख भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने से प्राप्त रेखाखंड है।

सिद्ध करना है : EG और FH परस्पर समद्विभाजित करते हैं।
रचना : AC, EF, FG, GH और HE को मिलाइए
उपपति : ΔABC में E और F क्रमशः भुजाओं AB और BC के मध्य-बिंदु हैं।
∴ EF || AC और EF = \(\frac {1}{2}\)AC ……. (i)
इसीतरह ΔADC में,
G और H क्रमशः भुजाओं CD और AD के मध्य बिंदु हैं।
∴ HG || AC और HG = \(\frac {1}{2}\)AC …… (ii)
(i) और (ii) से हमें प्राप्त होता है।
EF || HG और EF = HG
∴ EFGH एक समांतर चतुर्भुज है।
[∵ यदि किसी चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं का एक युग्म समान और समांतर हो तो वह समांतर चतुर्भुज होता है।]
जैसा कि हम जानते हैं कि समांतर चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समद्विभाजक होते हैं। इसलिए समांतर चतुर्भुज EFGH के विकर्ण अर्थात् रेखाखंड EG और FH परस्पर समद्विभाजित होते हैं।

प्रश्न 7.
ABC एक त्रिभुज है जिसका कोण C समकोण है। कर्ण AB के मध्य-बिंदु M से होकर BC के समांतर खींची गई रेखा AC को D पर प्रतिच्छेद करती है।
दर्शाइए कि
(i) D भुजा AC का मध्य-बिंदु है।
(ii) MD ⊥ AC है।
(ii) CM = MA = \(\frac {1}{2}\)AB है।
हल:

(i) ΔABC में, M, AB का मध्य-बिंदु है। (दिया है)
MD || BC
∴ AD = DC
[मध्य-बिंदु प्रमेय का विलोम]
इस प्रकार, D, AC का मध्य-बिंदु है।

(ii) l || BC (दिया है)
मान लीजिए AC एक तिर्यक रेखा है।
∴ ∠1 = ∠C (संगत कोण)
⇒ ∠1 = 90°
[∵ ∠C = 90° (दिया है)]
इस प्रकार, MD ⊥ AC.

(ii) ΔAMD और ΔCMD में,
AD = DC (ऊपर सिद्ध किया है।)
∠1 = ∠2 (प्रत्येक = 90°) [ऊपर सिद्ध किया है।]
MD = MD (उभयनिष्ठ)
ΔAMD ≅ ΔCMD
(SAS सर्वांगसमता नियम)
इसलिए, AM = CM
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग) ……. (a)
दिया है कि M, AB का मध्य-बिंदु है।
∴ AM = \(\frac {1}{2}\)AB … (b)
(a) और (b), का प्रयोग करने पर हमें प्राप्त होता है:
CM = AM = \(\frac {1}{2}\)AB.

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.8 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.8

जब तक अन्यथा न कहा जाए, π = \(\frac{22}{7}\) लीजिए।

प्रश्न 1.
उस गोले का आयतन ज्ञात कीजिए जिसकी त्रिज्या निम्न है ?
(i) 7 cm
(ii) 0.63 cm
हल :
(i) गोले की त्रि ज्या ; R = 7 cm
गोले का आयतन = \(\frac{4}{3}\)πR³
= \(\frac{4}{3} \times \frac{22}{7}\) × 7 × 7 × 7
= \(\frac{4312}{3}\) cm³
= 1437 \(\frac{1}{3}\) cm³

(ii) गोले की त्रिज्या ; R = 0.63 m
गोले का आयतन = \(\frac{4}{3}\) πr³
= \(\frac{4}{3} \times \frac{22}{7}\) × 0.63 × 0.63 × 0.63 m³

= 1.047816 m³
= 1.05m³ (लगभग)

प्रश्न 2.
एक ठोस गोलाकार गेंद द्वारा हटाए गए (विस्थापित ) पानी का आयतन ज्ञात कीजिए, जिसका व्यास निम्न है :
(i) 28 cm
(ii) 0.21 m
हल :
(i) गोलाकार गेंद का व्यास = 28 cm
गोलाकार गेंद की त्रिज्या = \(\frac{28}{2}\) = 14 cm
[∵ व्यास = 2 त्रिज्या]
विस्थापित पानी गेंद के आयतन के बराबर होगा।
∴ विस्थापित पानी का आयतन = गोलाकार गेंद का आयतन
= \(\frac{4}{3}\) πr³
= \(\frac{4}{3} \times \frac{22}{7}\) × 14 × 14 × 14 cm³
= \(\frac{88}{3}\) × 2 × 14 × 14
= \(\frac{34496}{3}\) cm³ = 11498 \(\frac{2}{3}\) cm³

(ii) गेंद का व्यास = 0.21 m
गेंद की त्रिज्या ; R = \(\frac{0.21}{2}\) m
[∵ व्यास = 2 त्रिज्या]
विस्थापित पानी का आयतन = गोलाकार गेंद का आयतन

प्रश्न 3.
धातु की एक गेंद का व्यास 4.2 cm है। यदि इस धातु का घनत्व 8.9 ग्राम प्रति cm है, तो इस गेंद का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए।
हल :
धातु की गेंद का व्यास = 4.2 cm
धातु की गेंद की त्रिज्या ; R = \(\frac{4.2}{2}\) = 2.1 cm
[∵ व्यास = 2 त्रिज्या]
धातु का आयतन = गेंद का आयतन
= \(\frac{4}{3}\) × πr³
= \(\frac{4}{3} \times \frac{22}{7}\) × 2.1 × 2.1 × 2.1 cm³
= \(\frac{88}{21} \times \frac{21}{10} \times \frac{21}{10} \times \frac{21}{10}\) cm³
= 38.808 cm³
धातु का घनत्व = 8.9 ग्राम प्रति cm³
∴ 1 cm = 8.9g
38.808 cm³ का द्रव्यमान = 8.9 × 38.808 ग्राम
=345.3912 g
=345.39 g (लगभग)

प्रश्न 4.
चंद्रमा का व्यास पृथ्वी के व्यास का लगभग एक चौथाई है। चंद्रमा का आयतन पृथ्वी के आयतन की कौन-सी भिन्न है ?
हल :
मान लीजिए पृथ्वी का व्यास = x
∴ पृथ्वी की त्रिज्या R = \(\frac{x}{2}\)
∵ पृथ्वी गोलाकार है।
∴ पृथ्वी का आयतन = \(\frac{4}{3}\) πr³

∴ चंद्रमा का आयतन पृथ्वी के आयतन का \(\frac{1}{64}\) वाँ भाग है।

प्रश्न 5.
व्यास 10.5 cm वाले एक अर्धगोलाकार कटोरे में कितने लीटर दूध आ सकता है ?
हल :
अर्धगोलाकार कटोरे का व्यास = 10.5 cm³
अर्धगोलाकार कटोरे की त्रिज्या R = \(\frac{10.5}{2}\) = 5.25
[∵ व्यास = 2 त्रिज्या]
अर्धगोलाकार कटोरे में दूध का आयतन = अर्धगोले का आयतन
= \(\frac{2}{3}\) × πR³

[∵ 1000 cm³ = 1 लीटर]
= 0.303187 लीटर
= 0.303 लीटर

प्रश्न 6.
एक अर्धगोलाकार टंकी 1 cm³ मोटी एक लोहे की चादर (sheet) से बनी है। यदि इसकी आंतरिक त्रिज्या 1 m है तो टंकी के बनाने में लगे लोहे का आयतन ज्ञात कीजिए।
हल :
अर्धगोलाकार टंकी की आंतरिक त्रिज्या = 1m
r = 100 cm³
चादर की मोटाई = 1 cm
∴ अर्धगोलाकार टंकी की बाह्य त्रिज्या
R = 100 + 1 = 101 cm
टंकी को बनाने में प्रयुक्त लोहे का आयतन = बाह्य अर्धगोले का आयतन – आंतरिक अर्धगोले का आयतन

= \(\frac{2}{3}\) × πR³ – \(\frac{2}{3}\) πr³

प्रश्न 7.
उस गोले का आयतन ज्ञात कीजिए जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल 154 cm² है।
हल :
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 154 cm²
मान लीजिए गोले की त्रिज्या = R
∴ 4πR² = 154

प्रश्न 8.
किसी भवन का गुंबद एक अर्धगोले के आकार का है। अंदर से, इसमें सफेदी कराने में ₹ 498.96 रुपए व्यय हुए। यदि सफेदी कराने की दर ₹ 2 रुपये प्रति वर्ग मीटर है, तो ज्ञात कीजिए :
(i) गुंबद का आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
(ii) गुंबद के अंदर की हवा का आयतन
हल :
सफेदी कराने में कुल व्यय = 498.96 रु
सफेदी कराने की दर = 2.00 रु० प्रति m²
∴ सफेदी किए गए कुल भाग का क्षेत्रफल

∴ गुंबद के आंतरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल = 249.48m²
मान लीजिए गुंबद की आंतरिक त्रिज्या = R

गुंबद के अंदर की हवा का आयतन = गोलार्ध गुंबद का आयतन
= \(\frac{2}{3}\) × πR³
= \(\frac{2}{3} \times \frac{22}{7}\) × 6.3 × 6.3 × 6.3
= 44 × 2.1 × 0.9 × 6.3 m³
= 523.9 m³

प्रश्न 9.
लोहे के सत्ताइस ठोस गोलों को पिघलाकर, जिनमें से प्रत्येक की त्रिज्या है और पृष्ठीय क्षेत्रफल S है, एक बड़ा गोला बनाया जाता है जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल S’ है। ज्ञात कीजिए :
(i) नए गोले की त्रिज्या r’
(ii) S और S’ का अनुपात
हल :
गोलों की संख्या = 27
प्रत्येक गोले की त्रिज्या = r
∴ 1 गोले का आयतन = \(\frac{4}{3}\)πr³
गोलों का आयतन = 27 × \(\frac{4}{3}\)πr3 = 36πr³ …(I)
अब इन ठोस गोलों को पिघलाकर r’ त्रिज्या का एक नया गोला बनाया गया है।
∴ नये गोले का आयतन = \(\frac{4}{3}\)πr’³ … (II)
∵ नये गोले का आयतन = 27 गोलों का आयतन
∴ I और II से

∴ नये गोले की त्रिज्या = 3r
अब दिए गए गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल S और त्रिज्या r है
∴ S = 4πr² …(III)
नये गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल S’ और त्रिज्या r’ है।
∴ S’ = 4 πr’² = 4π (3r)²
[∵ r’ = 3r]
S’ = 4 π × 3r × 3r = 3πr² … (IV)
अब
\(\frac{4}{3}\)
अब
\(\frac{S}{S^{\prime}}=\frac{4 \pi r^2}{36 \pi r^2}=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}\)
S : S’ = 1 : 9

प्रश्न 10.
दवाई का एक कैपसूल (capsule) 3.5 mm व्यास का एक गोला (गोली) है। इस कैपसूल को भरने के लिए कितनी दवाई (mm³में) की आवश्यकता होगी ?
हल :
मान लीजिए कैपसूल की त्रिज्या = r
∴ व्यास ; 2 r = 3.5 mm
⇒ r = \(\frac{3.5}{2}\) mm
⇒ r = \(\frac{35}{20}\)
⇒ r = \(\frac{7}{4}\) mm
कैपसूल को भरने के लिए आवश्यक दवाई (mm³ में) = गोले का आयतन

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 8 चतुर्भुज Ex 8.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 8 चतुर्भुज Ex 8.1

प्रश्न 1.
एक चतुर्भुज के कोण 3 : 5 : 9 : 13 के अनुपात में हैं। इस चतुर्भुज के सभी कोण ज्ञात कीजिए ।
हल :
मान लीजिए ABCD एक चतुर्भुज है। इसलिए,
∠A = 3x
∠B = 5x
∠C = 9x
∠D = 13x
जहाँ x एक घनात्मक अचर है।
अब, ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°
[चतुर्भुज का कोण योग गुण]
⇒ 3x + 5x + 9x + 13x = 360°
⇒ 30x = 360°
⇒ x = \(\frac {360°}{30°}\)
⇒ x = 12°
अब
∠A = 3x ⇒ ∠A = 3 × 12° ⇒ ∠A = 36°
∠B = 5x ⇒ ∠B = 5 × 12° ⇒ ∠B = 60°
∠C = 9x ⇒ ∠C = 9 × 12° ⇒ ∠C = 108°
और ∠D = 13x ⇒ ∠D = 13 × 12° = 156°
अतः, दी गई चतुर्भुज के कोण क्रमशः 36°, 60°, 108° और 156° हैं।

प्रश्न 2.
यदि एक समांतर चतुर्भुज के विकर्ण बराबर हों, तो दर्शाइए कि वह एक आयत है।
हल :
दिया है : ABCD एक || gm है जिसमें
विकर्ण AC = विकर्ण BD
सिद्ध करना है : ABCD एक आयत है।

उपपत्ति : ΔABC और ΔABD में,
AB = AB … (उभयनिष्ठ)
AC = BD (दिया है)
और AD = BC (||gm की सम्मुख भुजाएँ)
∴ ΔABC ≅ ΔBAD
[SSS सर्वांगसमता नियम से]
⇒ ∠DAB = ∠CBA …………….(i)
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
परंतु ∠DAB + ∠CBA = 180° …..(ii) [∵ AD || BC और AB इनको काटती है। तिर्यक रेखा के एक ओर के अंतः कोणों का योगफल 180° होता है।]
(i) और (ii) से हमें प्राप्त होता है;
∠DAB = ∠CBA = एक समकोण
अतः, ABCD एक आयत है। [∵ यदि || gm का एक कोण 90°का हो, तो वह आयत होता है।]
इति सिद्धम

प्रश्न 3.
दर्शाइए कि यदि एक चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करें, तो वह एक समचतुर्भुज होता है।
हल :
मान लीजिए ABCD एक चतुर्भुज है।।
मान लीजिए इसके विकर्ण AC और BD परस्पर समकोण पर, बिंदु O पर समद्विभाजित करते हैं।

∴ OA = OC, OB = OD
और ∠AOB = ∠BOC = ∠COD
= ∠AOD = 90°
हमने सिद्ध करना है कि ABCD एक समचतुर्भुज हैं।
ΔAOD और ΔBOC में,
OA = OC (दिया है)
∠AOD = ∠BOC
(प्रत्येक = 90°) [दिया है।
OD = OB (दिया है)
∴ ΔAOD ≅ ΔCOB
(SAS सर्वांगसमता नियम से)
इसलिए, AD = CB
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग) …..(i)
ΔAOB और ΔCOD में,
OA = OC (दिया है)
∠AOB = ∠COD
(प्रत्येक = 90°) [दिया है।]
OB = OD (दिया है)
∴ ΔAOB ≅ ΔCOD
[SAS सर्वांगसमता नियम से] इसलिए, AB = CD
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग) … (ii)
अब, ΔAOB और ΔBOC में,
AO = OC (दिया है)
∠AOB = ∠BOC
(प्रत्येक = 90°) (दिया है)
OB = OB (उभयनिष्ठ)
∴ ΔAOB ≅ ΔBOC
(SAS सर्वांगसमता नियम से)
इसलिए, AB = BC
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग) … (iii)
(i), (ii) और (iii) से हमें प्राप्त होता है
AD = BC = CD = AB
इस प्रकार दिए गए प्रतिबंध कि चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं, के साथ-साथ हमने यह भी प्राप्त किया है कि इसकी सभी भुजाएँ बराबर हैं।
अतः, चतुर्भुज उन सभी प्रतिबंधों को, जो एक समचतुर्भुज के लिए आवश्यक हैं, संतुष्ट करती है। अतः, दी गई चतुर्भुज समचतुर्भुज है।

प्रश्न 4.
दर्शाइए कि एक वर्ग के विकर्ण बराबर होते हैं और परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।
हल :
दिया है : ABCD एक वर्ग है जिसमें AC और BD इसके विकर्ण हैं।
सिद्ध करना है : (i) AC = BD, (ii) AC ⊥ BD

उपपत्ति : ΔABC और ΔBAD में,
AB = AB (उभयनिष्ठ)
∠ABC = ∠BAD (प्रत्येक 90°)
BC = AD (वर्ग की भुजाएँ)
∴ ΔABC ≅ ΔBAD
[SAS सर्वांगसमता नियम]
⇒ AC = BD
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
अतः, भाग (i) सिद्ध हुआ।
ΔAOB और AOD में,
AO = AO (उभयनिष्ठ)
AB = AD (वर्ग की भुजाएँ)
OB = OD (वर्ग के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं।)
∴ ΔAOB ≅ ΔAOD
(SSS सर्वांगसमता नियम)
∴ ∠AOB = ∠AOD
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
परंतु ∠AOB + ∠AOD = 180° [रैखिक युग्म]
∴ ∠AOB = ∠AOD = 90°
अर्थात्, OA ⊥ BD या AC ⊥ BD.
(अतः, भाग (ii) सिद्ध हुआ)

प्रश्न 5.
दर्शाइए कि यदि एक चतुर्भुज के विकर्ण बराबर हों और परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करें, तो वह एक वर्ग होता है।
हल :
मान लीजिए ABCD एक चतुर्भुज है जिसके बराबर विकर्ण AC और BD परस्पर बिंदु O पर समद्विभाजित करते हैं।
हमें प्राप्त हैं :
AC = BD
OA = OC ………….(i)
और OB = OD …………..(ii)
AC = BD

⇒ OA + OC = OB + OD
⇒ OC + OC = OB + OB
[(i) और (ii) के प्रयोग करने पर]
⇒ 2OC = 2OB
⇒ OC = OB …… (iii)
(i), (ii) और (i) से हमें प्राप्त होता है :
OA = OB = OC = OD ……… (iv)
अब, ΔAOB और ΔCOD में,
OA = OD
[भाग (iv) में दर्शाया गया है।
∠AOB = ∠COD
[शीर्षाभिमुख कोण]
OB = OC
[भाग (iv) में दर्शाया गया है।]
∴ ΔAOB ≅ ΔDOC
[SAS सर्वांगसमता नियम]
इसलिए, AB = DC ……..(v) (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
इसी प्रकार, ΔBOC ≅ ΔAOD
[SAS सर्वांगसमता नियम]
इसलिए, BC = AD
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)….(vi)

(v) और (vi) से परिणाम निकलता है कि चतुर्भुज ABCD की सम्मुख भुजाएँ बराबर हैं।
अतः, ABCD एक समांतर चतुर्भुज है
अब, ΔABC और ΔBAD में
AB = BA [उभयनिष्ठ]
BC = AD
[भाग (vi) में सिद्ध किया है।
AC = BD (दिया है)
∴ ΔABC ≅ ΔBAD
[SSS सर्वांगसमता नियम]
इसलिए, ∠ABC = ∠BAD …..(vii)
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
परंतु ∠ABC + ∠BAD = 180° …..(vii)] [∵ ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।
(ऊपर प्रमाणित)
∴ AD || BC और AD एक तिर्यक रेखा है।
⇒ ∠ABC + ∠ABC = 180°
[(vii) को (viii) में प्रयोग करने पर]
⇒ 2∠ABC = 180°
⇒ ∠ABC = 90°
∴ ∠ABC = ∠BAD = 90° …. (ix)
समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर हैं। परंतु ∠ABC = 90° और ∠BAD = 90°
∴ ∠ABC = ∠ADC = 90° …(x)
और ∠BAD = ∠BCD = 90° …..(xi)
हम देखते हैं कि ∠ABC = ∠ADC = ∠BAD
= ∠BCD = 90° …..(xii)
अब ΔAOB और ΔBOC में
OA = OC (दिया है)
∠AOB = ∠BOC प्रत्येक 90° (दिया है)
OB = OB (उभयनिष्ठ)
∴ ΔABC ≅ ΔCOB
(SAS सर्वांगसमता नियम)
इसलिए AB = BC …..(xiii)

(v), (vi) और (xiii) से प्राप्त है।
AB = BC = CD = AD (xiv)
(xii) और (xiv) से
अब हमें एक चतुर्भुज प्राप्त है जिसके बराबर विकर्ण परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करते हैं। साथ ही बराबर भुजाएँ परस्पर 90° का कोण बनाती है।
अतः, दी गई चतुर्भुज वर्ग के सभी प्रतिबंधों को संतुष्ट करती है।

प्रश्न 6.
समांतर चतुर्भुज ABCD का विकर्ण AC कोण A को समद्विभाजित करता है ( देखिए आकृति) दर्शाइए कि

(i) यह ∠C को भी समद्विभाजित करता है।
(ii) ABCD एक समचतुर्भुज है।
हल :
यह दिया है कि समांतर चतुर्भुज ABCD में विकर्ण AC कोण A को समद्विभाजित करता है।
सिद्ध करना है : AC, ∠C को समद्विभाजित करती है।
उपपत्ति ; क्योंकि AB || DC और AC उनको प्रतिच्छेदित करती है।
∴ ∠1 = ∠3 (एकांतर कोण) (a)
इसी प्रकार ∠2 = ∠4 …………(b)
परंतु ∠1 = ∠2
[∵ AC, ∠A को समद्विभाजित करती है।] …………(c)
∠3 = ∠4
[(a), (b) और (c) का प्रयोग करने पर] अतः, AC, ∠C को समद्विभाजित करता है।

प्रश्न 7.
ABCD एक समचतुर्भुज है। दर्शाइए कि विकर्ण AC कोणों A और C दोनों को समद्विभाजित करता है तथा विकर्ण BD कोणों B और D दोनों को समद्विभाजित करता है।
हल :
ABCD एक समचतुर्भुज है।
∴ AB = BC = CD = AD
मान लीजिए O, विकर्ण BD का समद्विभाजक बिंदु है और OB = OD है।
ΔAOB और ΔAOD में,
OA = OA (उभयनिष्ठ)
AB = AD
[समचतुर्भुज की बराबर भुजाएँ]
OB = OD
[समचतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते है।]

∴ ΔAOB ≅ ΔAOD
[SSS सर्वांगसमता नियम ]
इसलिए, ∠OAD = ∠OAB
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
⇒ OA, ∠A को समद्विभाजित करता है …..(i)
इसी तरह, ΔBOC ≅ ΔDOC
(SSS सर्वांगसमता नियम)
इसलिए; ∠OCB = ∠OCD
[सवांगसम त्रिभुजों के संगत भाग]
⇒ OC, ∠C को समद्विभाजित करता है …..(ii)
(i) और (ii) से हम कह सकते हैं कि विकर्ण AC, ∠A और ∠C को समद्विभाजित करता है।
अब, ΔAOB और ΔBOC में,
OB = OB (उभयनिष्ठ)
AB = BC
[समचतुर्भुज की बराबर भुजाएँ]
OA = OC [∵ समचतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं।]
ΔAOB ≅ ΔCOB
(SSS सर्वांगसमता नियम)
इसलिए, ∠OBA = ∠OBC
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
⇒ OB, ∠B को समद्विभाजित करता है ….(iii)
इसी तरह, ΔAOD ≅ ΔCOD
(SSS सर्वांगसमता नियम)
⇒ ∠ODA = ∠ODC
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
⇒ OD, ∠D को समद्विभाजित करता है….(iv)
(iii) और (iv) से हम कह सकते हैं कि विकर्ण BD दोनों ∠B और ∠D को समद्विभाजित करता है।

प्रश्न 8.
ABCD एक आयत है जिसमें विकर्ण AC दोनों कोणों A और C को समद्विभाजित करता है। दर्शाइए कि
(i) ABCD एक वर्ग है।
(ii) विकर्ण BD दोनों कोणों B और D को समद्विभाजित करता है।
हल :
ABCD एक आयत है ।
∴ AB = DC ……………(a)
और BC = AD

साथ ही, प्रत्येक कोण; ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°
(i) ΔABC और ΔADC में,
∠1 = ∠2.
और ∠3 = ∠4 [∵ AC दोनों कोणों ∠A और ∠C को समदविभाजित करता है (दिया है)]
AC = AC (उभयनिष्ठ)
∴ ΔABC ≅ ΔADC
(ASA सर्वांगसमता नियम)
इसलिए, AB = AD ……..(b)
(a) और (b) से हमें प्राप्त होता है
AB = BC = AD = DC
इसका अर्थ है कि आयत की सभी भुजाएँ बराबर हैं।
अतः, यह एक वर्ग है।

(ii) ΔABD और ΔBDC में,

AB = BC [∵ आयत ABCD एक वर्ग है भाग (i) में सिद्ध किया है]
AD = DC
(भाग (i) में सिद्ध किया है कि ABCD एक वर्ग है।)
BD = BD (उभयनिष्ठ)
∴ ΔABD ≅ ΔCBD
(SSS सर्वांगसमता नियम)
इसलिए, ∠ABD = ∠CBD ……(c)
(सर्वागसम त्रिभुजों के संगत भाग)
और ∠ADB = ∠CDB …….(d)
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
(c) और (d) का भाव है कि विकर्ण BD दोनों कोणों ∠B और ∠D को समद्विभाजित करता है।

प्रश्न 9.
समांतर चतुर्भुज ABCD के विकर्ण BD पर दो बिंदु P और Q इस प्रकार स्थित हैं कि DP = BQ है (देखिए आकृति )। दर्शाइए कि

(i) ΔAPD ≅ ΔCQB
(ii) AP = CQ
(iii) ΔAQB ≅ ΔCPD
(iv) AQ = CP
(v) APCQ एक समांतर चतुर्भुज है।
हल :
(i) ΔAPD और ΔCQB में,
DP = BQ (दिया है)
∠ADP = ∠QBC [∵ समांतर चतुर्भुज ABCD में AD || BC, BD एक तिर्यक रेखा है।
∴ ∠ADB = ∠DBC (एकांतर कोण) इसलिए;
∠ADP = ∠QBC]
AD = CB [∵ समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।]
∴ ΔAPD ≅ ΔCQB
(SAS सर्वांगसमता नियम)

(ii) इसलिए ; AP = CQ
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)

(iii) ΔAQB और ΔCPD में
BQ = DP (दिया है)
∠ABQ = ∠PDC [∵ समांतर चतुर्भुज ABCD में, AB || CD; BD एक तिर्यक रेखा है।]
∴ ∠ABD = ∠BDC (एकांतर कोण)
इसलिए ; ∠ABQ = ∠PDC]
AB = CD [∵ समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।]
∴ ΔAQB ≅ ΔCPD
[SAS सर्वांगसमता नियम]

(iv) इसलिए, AQ = CP
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)

(v) चतुर्भुज APCQ में, हमें प्राप्त है
AP = CQ
[भाग (ii) में सिद्ध किया है]
AQ = CP
[भाग (iv) में सिद्ध किया है]
चतुर्भुज ARCQ की सम्मुख भुजाएँ बराबर हैं
जैसा कि हम जानते हैं कि एक समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती है।
अतः, APCQ एक समांतर चतुर्भुज है।

प्रश्न 10.
ABCD एक समांतर चतुर्भुज है तथा AP, CQ शीर्षों, A और C से विकर्ण BD पर क्रमशः लम्ब हैं। ( देखिए आकृति)। दर्शाइए कि
(i) ΔAPB ≅ ΔCQD
(ii) AP = CQ

हल :
ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।
∴ AB || DC
BD एक तिर्यक रेखा है।
इसलिए, ∠1 = ∠2 (एकांतर कोण)
(i) अब, ΔAPB और ΔCQD में,
∠APB = ∠CQD
(प्रत्येक = 90°) [दिया है]
∠1 = ∠2 (ऊपर सिद्ध किया है)
AB = CD [∵ समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।]
∴ ΔAPB ≅ ΔCQD
[AAS सर्वांगसमता नियम]

(ii) इसलिए, AP = CQ
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)

प्रश्न 11.
ΔABC और ΔDEF में, AB = DE, AB || DE, BC = EF और BC || EF है। शीर्षों A, B और C को क्रमश: शीर्षों D, E और F से जोड़ा जाता है ( देखिए आकृति)।
दर्शाइए कि
(i) चतुर्भुज ABED एक समांतर चतुर्भुज है।
(ii) चतुर्भुज BEFC एक समांतर चतुर्भुज है।
(iii) AD || CF और AD = CF है।
(iv) चतुर्भुज ACFD एक समांतर चतुर्भुज है।
(v) AC = DF है।
(vi) ΔARC ≅ ΔDEF है।

हल :
दिया है : ΔABC और ΔDEF में,
AB = DE और AB || DE.
साथ ही, त्रिभुजों में BC = EF और BC || EF है।
(i) चतुर्भुज ABED में सम्मुख भुजाओं AB और DE का एक युग्म इस प्रकार है कि AB = DE और AB || DE है।
∴ ABED एक समांतर चतुर्भुज है।
∴ AD = BE और AD || BE.
[समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती है] ……………(1)

(ii) पुनः, चतुर्भुज BEFC में,
BE = CF और BE || CF
∴ BEFC एक समांतर चतुर्भुज है।
∴ CF = BE और CF || BE ….(2)

(iii) (1) और (2) से प्राप्त होता है :
AD = CF और AD || CF

(iv) ∴ ACFD एक समांतर चतुर्भुज है। [∵ यदि चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समांतर हो, तो यह समांतर चतुर्भुज होती है।]

(v) अतः, AC = DF
[||gm को सम्मुख भुजाएँ].

(vi) ΔABC और ΔDEF में,
AB = DE (दिया है)
BC = EF (दिया है)
AC = DF [भाग (v) में सिद्ध किया है]
∴ ΔABC ≅ ΔDFE
(SSS सर्वांगसमता नियम)

प्रश्न 12.
ABCD एक समलंब है, जिसमें AB || DC और AD = BC है ( देखिए आकृति)। दर्शाइए कि
(i) ∠A = ∠B
(ii) ∠C = ∠D
(iii) ΔABC ≅ ΔBAD
(iv) विकर्ण AC = विकर्ण BD है।
हल :
AB को बढ़ाइए और रेखा CE || AD खींचिए जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है।

क्योंकि AD || CE और तिर्यक रेखा AE उनको क्रमश: A और E पर काटती है :
∴ ∠A + ∠E = 180°
∠A = 180° – ∠E ….(1)
⇒ क्योंकि AB || CD और AD || CE है।
∴ AECD एक समांतर चतुर्भुज है।
⇒ AD = CE
⇒ BC = CE
[∵ AD = BC (दिया है)]
इस प्रकार, ΔBCE में
BC = CE
⇒ ∠CBE = ∠CEB [बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।]
⇒ 180° – ∠B = ∠E [∵ ∠CBE + ∠ABC = 180° (रैखिक युग्म)
∴ ∠CBE = 180° – ∠ABC]
⇒ 180° – ∠E = ∠B …..(2)
(1) और (2) से हमें प्राप्त होता है : ∠A = ∠B

(ii) ABCD एक समलंब है जिसमें AB || DC
∴ ∠A + ∠D = 180° ….(a)
और ∠B + ∠C = 180° ….(b)
[∵ दो समांतर रेखाओं के लिए तिर्यक रेखा के एक ही ओर के दो अंत: कोणों का योगफल 180° होता है।]
(a) और (b) को बराबर करने पर हमें प्राप्त होता है
∠A + ∠D = ∠B + ∠C
परंतु ∠A = ∠B भाग (i) में सिद्ध किया है।
∴ ∠A + ∠D = ∠A + ∠C
⇒ ∠D = ∠C
या, ∠C = ∠D इति सिद्धम ।

(iii) ΔABC और ΔBAD में,
AB = AB (उभयनिष्ठ)

∠A = ∠B
[भाग (i) में सिद्ध किया है।]
BC = AD (दिया है)
∴ ΔABC ≅ ΔBAD
(SAS सर्वांगसमता नियम)

(iv) इसलिए, AC = BD
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
अर्थात्, समलंब ABCD में;
विकर्ण AC = विकर्ण BD.