PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 10 वृत्त Ex 10.4

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 10 वृत्त Ex 10.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 10 वृत्त Ex 10.4

प्रश्न 1.
5 cm तथा 3 cm त्रिज्या वाले दो वृत्त दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं तथा उनके केंद्रों के बीच की दूरी 4 cm है। उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए दो वृत्त जिनके केंद्र O और O’ हैं, परस्पर बिंदुओं A और B पर प्रतिच्छेद करते हैं। A और B को मिलाने पर, AB उभयनिष्ठ जीवा है।

त्रिज्या OA = 5 cm, त्रिज्या O’A = 3 cm,
उनके केंद्रों के बीच की दूरी OO’ = 4 cm
हम देखते हैं कि त्रिभुज AOO’ में ;
5² = 4² + 3²
⇒ 25 = 16 + 9
⇒ 25 = 25
ΔAO’O में पाइथागोरस का परिणाम संतुष्ट होता है।
अतः, ΔAO’O एक समकोण त्रिभुज है जिसमें O’ पर समकोण है।
जैसा कि हम जानते हैं कि वृत्त के केंद्र से जीवा पर गिराया गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।
अतः O जीवा AB का मध्य-बिंदु है। साथ ही O’ वृत्त II का केंद्र है।
इसलिए जीवा AB की लंबाई = वृत्त II का व्यास
∴ जीवा AB की लंबाई = 2 × 3 cm
= 6 cm.

वैकल्पिक

मान लीजिए दो वृत्त, जिनके केंद्र O और O’ हैं, परस्पर बिंदुओं A और B पर प्रतिच्छेद करते हैं।
मान लीजिए उभयनिष्ठ जीवा AB, OO’ को C पर प्रतिच्छेद करती है।
मान लीजिए OC = x cm
∴ O’C = 4 – x cm
जैसा कि हम जानते हैं कि दो वृत्तों के केंद्रों को मिलाने वाली रेखा वृत्तों को उभयनिष्ठ जीवा का लंब समद्विभाजक होते हैं।
∴ समकोण ΔOCA में,
AC² + OC² = OA²
[पाइथागोरस के परिणाम का प्रयोग करके
⇒ AC² + x² = 5²
⇒ AC² = 25 – x² ……(i)
इसी प्रकार ΔACO’ में,
AC² + O’C² = AO²
⇒ AC² + (4 – x)² = 3²
⇒ AC² = 9 – (4 – x) …..(ii)
(i) और (ii) से हमें प्राप्त होता है :
25 – x² = 9 – (4 – x)²
⇒ 25 – x² = 9 – (16 + x² – 8x)
⇒ 25 – x² = 9 – 16 – x² + 8x
⇒ – 8x = 9 – 16 – 25 – x² + x²
⇒ – 8x = – 32
⇒ x = 4
∴ CO’ = 4 – x
⇒ CO’ = 4 – 4
⇒ CO’ = 0
इसका अर्थ है कि O’, C के साथ संपाती है।
∴ AC = त्रिज्या AO’ = 3 cm
जीवा AB की लंबाई = केंद्र O’ वाले वृत्त का व्यास
जीवा AB की लंबाई = 2 × AO’
= 2 × AC
= 2 × 3
= 6 cm.

प्रश्न 2.
यदि एक वृत्त की दो समान जीवाएँ वृत्त के अंदर प्रतिच्छेद करें, तो सिद्ध कीजिए कि एक जीवा के खंड दूसरी जीवा के संगत खंडों के बराबर हैं।
हल :
मान लीजिए एक वृत्त जिसका केंद्र O है, की दो समान जीवाएँ AB तथा CD वृत्त के अंदर E पर प्रतिच्छेद करती हैं।
हमने सिद्ध करना है कि
(a) AE = CE
(b) BE = DE.
रचना : OM⊥AB, ON⊥CD खींचिए OE को मिलाइए।

उपपत्ति : समकोण ΔOME और समकोण ΔONE
∠OME = ∠ONE (प्रत्येक 90°)
OM = ON [∵ समान जीवाएँ वृत्त के केंद्र से समदूरस्थ होगी।
कर्ण OE = कर्ण OE (उभयनिष्ठ)
∴ ΔΟΜΕ ≅ ΔΟΝΕ
[R.H.S. सर्वांगसमता नियम]
∴ ME = NE
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग) ….(i)
अब ; O वृत्त का केंद्र है और
OM ⊥ AB
∴ AM = \(\frac{1}{2}\)AB
[∵ वृत्त के केंद्र से जीवा पर लंब जीव को समद्विभाजित करता है।] …(ii)
इसी प्रकार, NC = \(\frac{1}{2}\)CD ….(iii)
परंतु AB = CD (दिया है)
(ii) और (iii) से हमें प्राप्त होता है
AM = NC ….(iv) साथ ही,
MB = DN ….(v)
(i) और (iv) को जोड़ने पर हमें प्राप्त होता है :
AM + ME = NC + NE
⇒ AE = CE भाग (a) सिद्ध हुआ
अब AB = CD (दिया है)
AE = CE (ऊपर सिद्ध किया है)
AB – AE = CD – CE
⇒ BE = DE भाग (b) सिद्ध हुआ

प्रश्न 3.
यदि एक वृत्त की दो समान जीवाएँ वृत्त के अंदर प्रतिच्छेद करें, तो सिद्ध कीजिए कि प्रतिच्छेद बिंदु को केंद्र से मिलाने वाली रेखा जीवाओं से बराबर कोण बनाती है।
हल :
मान लीजिए एक वृत्त जिसका केंद्र O है, की दो समान जीवाएँ AB तथा CD वृत्त के अंदर E पर प्रतिच्छेद करती हैं। हमने सिद्ध करना है कि
∠OEM = ∠OEN.
रचना : OM ⊥ AB, ON ⊥ CD खींचिए। OE को मिलाइए।

उपपत्ति : समकोण त्रिभुजों OME और ONE में,
∠OME = ∠ONE (प्रत्येक 90°)
OM = ON
[∵ वृत्त की समान जीवाएँ केंद्र से समदूरस्थ होती हैं।]
कर्ण OE = कर्ण OE (उभयनिष्ठ)
∴ ΔOME ≅ ΔONE
[R.H.S. सर्वांगसमता नियम]
∴ ∠OEM = ∠OEN
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)

प्रश्न 4.
यदि एक रेखा दो संकेंद्री वृत्तों (एक ही केंद्र वाले वृत्त) को जिनका केंद्र O है, A, B, C और D पर प्रतिच्छेद करे, तो सिद्ध कीजिए AB = CD है (देखिए आकृति)।
हल :
एक रेखा l दो संकेंद्रीय वृत्तों को, जिनका केंद्र O है, A, B, C और D पर प्रतिच्छेद करती है।
हमने सिद्ध करना है कि
AB = CD

रचना : OL ⊥ l खींचिए
उपपत्ति : AD बाह्य वृत्त की जीवा है
और OL ⊥ AD
∴ AL = LD
[∵ केंद्र से खींचा गया लंब, जीवा को समद्विभाजित करता है।] …..(i)
अब ; BC अंत: वृत्त की जीवा है और OL ⊥ BC.
∴ BL = LC
[∵ केंद्र से खींचा गया लंब, जीवा को समद्विभाजित करता है। …(ii)
(ii) को (i), में से घटाने पर हमें प्राप्त होता है।
AL – BL = LD – LC
⇒ AB = CD (इति सिद्धम्)

प्रश्न 5.
एक पार्क में बने 5 मी त्रिज्या वाले वृत्त पर खड़ी तीन लड़कियाँ रेशमा, सलमा एवं मनदीप खेल रही हैं। रेशमा एक गेंद को सलमा के पास, सलमा मनदीप के पास तथा मनदीप रेशमा के पास फेंकती हैं। यदि रेशमा तथा सलमा के बीच और सलमा तथा मनदीप के बीच की प्रत्येक दूरी 6 m हो, तो रेशमा और मनदीप के बीच की दूरी क्या है ?
हल :
मान लीजिए रेशमा, सलमा और मनदीप की स्थिति को बिंदुओं A, B और C से दर्शाया गया है।
दिया गया है कि रेशमा और सलमा के बीच की दूरी 6 मी है तथा सलमा और मनदीप के बीच की दूरी भी 6 मी है। इसका अर्थ है कि :
AB = BC = 6 मी
∴ वृत्त का केंद्र ∠BAC के समद्विभाजक पर स्थित है।
मान लीजिए कि M, BC और OA का प्रतिच्छेद बिंदु है।
पुनः क्योंकि AB= BC
और AM, ∠CAB को समद्विभाजित करता है
∴ AM⊥CB और M, CB का मध्य बिंदु है।
मान लीजिए OM = x
तब MA = 5 – x
अब, समकोण ΔOMB से
⇒ OB² = OM² + MB²
5² = x² + MB²

पुन: समकोण ΔAMB से,
AB² = AM² + MB²
⇒ 6² = (5 – x)² + MB ….(2)
(1) और (2) से MB² के मूल्य को बराबर करने से हमें प्राप्त होता है :
5² – x² = 6² – (5 – x)²
⇒ (5 – x)² – x² = 6² – 5²
⇒ (25 – 10x + x²) – x² = 36 – 253
⇒ 25 – 10x + x² – x² = 11
⇒ -10x = 11 – 25
⇒ -10x = -14
⇒ x = \(\frac{14}{10}\)
अतः, (i) से,
MB² = 5² – x²

∴ BC = 2MB = 2 × 4.8 = 9.6 मी
अतः, रेशमा और मनदीप के बीच की दूरी 9.6 मी है।

प्रश्न 6.
20 m त्रिज्या का एक गोल पार्क (वृत्ताकार) एक कालोनी में स्थित है। तीन लड़के अंकुर, सैय्यद तथा डेविड उसकी परिसीमा पर बराबर दूरी पर बैठे हैं और प्रत्येक के हाथ में एक खिलौना टेलीफोन आपस में बात करने के लिए हैं। प्रत्येक फोन की डोरी की लंबाई ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए तीनों लड़कों अंकुर, सैय्यद तथा डेविड की स्थिति को बिंदुओं A, B और C से दर्शाया गया है।
तीनों बिंदु स मान दूरी पर हैं।
∴ AB = BC = AC = a m (माना)

समबाहु त्रिभुज की समान भुजाएँ वृत्त की समान जीवाएँ । हैं और वृत्त की समान जीवाएँ केंद्र से समदूरस्थ होती हैं।
∴ OD = OE = OF = x m (माना)
OA, OB और OC को मिलाइए।
अब, हमारे पास तीन सर्वांगसम त्रिभुजें हैं।
ΔOAB, ΔOBC और ΔAOC
∴ ar (ΔAOB) = ar (ΔBOC)
= ar (ΔAOC) …(i)
अब, a भुजा वाली समबाहु ΔABC का क्षेत्रफल
= ar (ΔAOB) + ar (ΔBOC) + ar (ΔAOC) …(ii)
⇒ ar (ΔABC) = 3ar (ΔBOC)
[(i) को (ii) में प्रयोग करने पर]

OE ⊥ BC
∴ BE = EC = \(\frac{1}{2}\)BC
[∵ केंद्र से खींचा गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।]
BE = EC = \(\frac{1}{2}\)a
BE = EC = \(\frac{1}{2}\)(2\(\sqrt{3}\)x)
[(iii) को प्रयोग करने पर]
⇒ BE = EC = \(\sqrt{3}\)x
अब, समकोण ΔBEO में,
OE² + BE² = OB² (पाइथागोरस प्रमेय)
⇒ x² + (\(\sqrt{3}\)x²) = 20²
⇒ x² + 3x² = 400
4x² = 400
⇒ x² = \(\frac{400}{4}\)
⇒ x² = 100
⇒ x = \(\sqrt{100}\)
⇒ x = 10 m …(iv)
अब (iii) से हमें प्राप्त होता हैं।
a = 2\(\sqrt{3}\)x
⇒ a = 2\(\sqrt{3}\) × 10 मी
[(iv) का प्रयोग करने पर]
⇒ a = 20\(\sqrt{3}\) मी
अतः, किन्हीं दो लड़कों के बीच की दूरी 20\(\sqrt{3}\) मी है।