PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 10 वृत्त Ex 10.1

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 10 वृत्त Ex 10.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 10 वृत्त Ex 10.1

प्रश्न 1.
खाली स्थान भरिए :
(i) वृत्त का केंद्र वृत्त के ……………… में स्थित है। (बर्हि भाग/अभ्यंतर)
(ii) एक बिंद, जिसकी वृत्त के केंद्र से दूरी त्रिज्या से अधिक हो, वृत्त के ……………. में स्थिर होता है। (बर्हिभाग/अभ्यंतर)
(iii) वृत्त की सबसे बड़ी जीवा वृत्त का …………… होता है।
(iv) एक चाप ………………. होता है, जब इसके सिरे एक व्यास के सिरे हों।
(v) वृत्ताखंड एक चाप तथा ……………….. के बीच का भाग होता है।
(vi) एक वृत्त, जिस तल पर स्थित है, उसे ………………… भागों में विभाजित करता है।
हल :
(i) अभ्यंतर
(ii) बर्हिभाग
(iii) व्यास
(iv) अर्धवृत्त
(v) जीवा
(vi) तीन।

PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 10 वृत्त Ex 10.1

प्रश्न 2.
लिखिए, सत्य या असत्य। अपने उत्तर के कारण दीजिए :
(i) केंद्र को वृत्त पर किसी बिंदु से मिलाने वाला रेखाखंड वृत्त की त्रिज्या होती है।
(ii) एक वृत्त में समान लंबाई की परिमित जीवाएँ होती हैं।
(iii) यदि एक वृत्त को तीन बराबर चापों में बांट दिया जाए, तो प्रत्येक भाग दीर्घ चाप होता है।
(iv) वृत्त की एक जीवा, जिसकी लंबाई त्रिज्या से दो गुनी हो, वृत्त का व्यास है।
(v) त्रिज्यखंड, जीवा एवं संगत चाप के बीच का क्षेत्र होता है।
(vi) वृत्त एक समतल आकृति है।
हल :
(i) सत्य
(ii) असत्य
सही कथन : एक वृत्त में समान लंबाई की अपरिमित जीवाएँ होती हैं।
(iii) असत्य
(iv) सत्य
(v) असत्य
सही कथन : वृत्त का वृत्तखंड जीवा एवं संगत चाप के बीच का क्षेत्र होता है।
(vi) सत्य

PSEB 9th Class Maths MCQ Chapter 11 रचनाएँ

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 11 रचनाएँ MCQ Questions with Answers.

PSEB 9th Class Maths Chapter 11 रचनाएँ MCQ Questions

बहुविकल्पीय प्रश्न :

दिये गए चार विकल्पों में से सही उत्तर का चयन करें।

प्रश्न 1.
सेट-स्कवायर के युग्म में एक के कोण होते हैं :
(A) 30°, 60°, 90°
(B) 30°, 30°, 45°
(C) 75°, 25°, 80°
(D) 65°, 15°, 100°.
उत्तर:
(A) 30°, 60°, 90°

प्रश्न 2.
सेट-स्कवायर के युग्म में दूसरे के कोण होते हैं :
(A) 45°, 45°, 90°
(B) 30°, 50°, 100°
(C) 60°, 60°, 60°
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर:
(A) 45°, 45°, 90°

प्रश्न 3.
किसी रेखाखंड AB का लंब समद्विभाजक खींचने के लिए हम चाप लगाने के लिए परकार-
(A) \(\frac{1}{2}\)AB से अधिक खोलते हैं
(B) \(\frac{1}{2}\)AB से कम खोलते हैं
(C) AB के बराबर खोलते हैं
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर:
(A) \(\frac{1}{2}\)AB से अधिक खोलते हैं

प्रश्न 4.
22\(\frac{1}{2}\)° के कोण की रचना करने के लिए हम-
(A) 60° के कोण का समद्विभाजन करते हैं।
(B) 30° के कोण का समद्विभाजन करते हैं।
(C) 45° के कोण का समदविभाजन करते हैं।
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर:
(C) 45° के कोण का समदविभाजन करते हैं।

PSEB 9th Class Maths MCQ Chapter 11 रचनाएँ

प्रश्न 5.
किसी त्रिभुज की रचना के लिए उसके कम-से कम ……….. भाग दिए होने चाहिएं।
(A) दो
(B) एक
(C) तीन
(D) पाँच।
उत्तर:
(C) तीन

प्रश्न 6.
निम्न में किस स्थिति में त्रिभुज की रचना सम्भव नहीं है ?
(A) यदि दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण न दिया हो ?
(B) यदि दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण दिया हो
(C) तीनों भुजाएँ दी गई हों।
(D) दो कोण और बीच की भुजाएँ दी गई हों।
उत्तर:
(A) यदि दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण न दिया हो ?

प्रश्न 7.
त्रिभुज ABC की रचना सम्भव नहीं होगी यदि-
(A) AB + AC < BC
(B) AB + AC = BC
(C) A और B दोनों
(D) AB + AC > BC.
उत्तर:
(C) A और B दोनों

प्रश्न 8.
पटरी और परकर की सहायता से निम्नलिखित कोण की रचना करना संभव नहीं है-
(A) 37.5°
(B) 40°
(C) 22.5°
(D) 67.5°.
उत्तर:
(B) 40°

PSEB 9th Class Maths MCQ Chapter 11 रचनाएँ

प्रश्न 9.
एक त्रिभुज ABC, जिसमें BC = 6 cm और ∠B = 45° दिया है,की रचना संभव नहीं है, यदि AB और AC का अंतर है-
(A) 6.9 cm
(B) 5.2 cm
(C) 5.0 cm
(D) 4.0 cm.
उत्तर:
(A) 6.9 cm

प्रश्न 10.
एक त्रिभुज ABC, जिसमें BC = 3 cm और ∠C = 60° है, की रचना संभव है जब AB और AC अंतर बराबर है-
(A) 3.2 cm
(B) 3.1 cm
(C) 3 cm
(D) 2.8 cm.
उत्तर:
(D) 2.8 cm.

PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 11 रचनाएँ Ex 11.2

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 11 रचनाएँ Ex 11.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 11 रचनाएँ Ex 11.2

प्रश्न 1.
एक त्रिभुज ABC की रचना कीजिए, जिसमें BC = 7 cm, ∠B = 75° और AB + AC = 13 cm हो।
हल :
दिया है : आधार BC = 7 cm, ∠B = 75° और दो भुजाओं का योग AB + AC = 13 cm है।
अभीष्ट है : ΔABC की रचना करनी।
रचना के चरण :
1. किरण BX खींचिए और इसमें से BC = 7 cm काटिए।
PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 11 रचनाएँ Ex 11.2 1
2. B पर ∠YBX = 75° की रचना कीजिए।
3. B को केंद्र मानकर और त्रिज्या = 13 cm
(∵ AB + AC = 13 cm) लेकर एक चाप खींचिए जो BY को D पर मिलता है।
4. CD को मिलाइए।
5. CD का लंब समद्विभाजक PQ खींचिए जो BD को A पर प्रतिच्छेद करते हैं।
6. AC को मिलाइए।
तब ABC अभीष्ट त्रिभुज है।
A, CD के लंब समद्विभाजक पर स्थित है :
∴ AC = AD और तब
AB = BD – AD
⇒ AB = BD – AC
⇒ AB + AC = BD = 13 cm.
(जो कि सत्य है जैसा कि दिया है।)

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प्रश्न 2.
एक त्रिभुज ABC की रचना कीजिए, जिसमें BC = 8 cm., ∠B = 45° और AB – AC = 3.5 cm हो।
हल :
दिया है : आधार BC = 8 cm
एक आधार कोण LB = 45°
और दो भुजाओं में अंतर
AB – AC = 3.5 cm
अभीष्ट है : AABC की रचना करनी।
रचना के चरण :
1. किरण BX खींचिए और इसमें से रेखाखंड BC = 8 cm काटिए।
PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 11 रचनाएँ Ex 11.2 2
2. ∠YBC = 45° बनाइए।
3. BY में से रेखाखंड BD = 3.5 cm काटिए।
(∵ AB – AC = 3.5 cm)
4. CD को मिलाइए।
5. CD का लंब समद्विभाजक PQ खींचिए जो BY को बिंदु A पर प्रतिच्छेद करे।
6. AC को मिलाइए।
तब, ABC अभीष्ट त्रिभुज है
A, CD के लंब समर्विभाजक पर स्थित है।
∴ AD = AC
अब BD = AB – AD
⇒ BD = AB – AC
⇒ BD = AB – AC = 3.5 cm
(जो कि सत्य है जैसा कि दिया है)

प्रश्न 3.
एक त्रिभुज PQR की रचना कीजिए, जिसमें QR = 6 cm., ∠Q = 60° और PR – PQ = 2 cm हो।
हल :
दिया है : आधार QR = 6 cm; एक आधार कोण ∠Q = 60° और दो भुजाओं में अंतर की रचना करनी।
PR – PQ = 2 cm
अभीष्ट है : ΔPQR की रचना करनी।
रचना के चरण :
1. किरण QX खींचिए और इसमें से रेखांखड QR = 6 cm काटिए।
PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 11 रचनाएँ Ex 11.2 3
2. QR के साथ 60° का कोण बनाती हुई किरण QY खींचिए और YQ को बढ़ाइए ताकि YQY’ बन जाए।
3. QY’ में से रेखाखंड QO = 2 cm काटिए।
(∵ PR – PQ = 2 cm)
4. OR को मिलाइए।
5. OR का लंब समद्विभाजक MN खींचिए।
6. PR को मिलाइए।
तब, PQR अभीष्ट त्रिभुज है।
P, OR के लंब समद्विभाजक पर स्थित है।
∴ PO = PR
⇒ PQ + QO = PR
⇒ QO = PR – PQ
⇒ PR – PQ = 2 cm
(जो कि सत्य है जैसा कि दिया है)

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प्रश्न 4.
एक त्रिभुज XYZ की रचना कीजिए, जिसमें ∠Y = 30°, ∠Z = 90° और XY + YZ + ZX = 11 cm. हो।
हल :
दिया है : आधार कोण ∠Y = 30° और ∠Z = 90°
तीनों भुजाओं का योग XY + YZ + ZX = 11 cm
अभीष्ट है : AXYZ की रचना करना। रचना के चरण :
1. एक रेखाखंड PQ = 11 cm खींचिए।
(∵ XY + YZ + ZX = 11 cm):
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2. ∠KPQ = 30° (∵ ∠Y = 30°)
आर ∠LQP = 90° (∵ ∠Z = 90°)
3. ∠KPQ और ∠LQP को समद्विभाजित कीजिए।
मान लीजिए ये बिंदु X पर प्रतिच्छेद करते हैं।
4. PX का लंब समद्विभाजक और MN और QX का लंब समद्विभाजक RS खींचिए।
5. मान लीजिए MN, PQ को Y पर RS, PQ को Z पर प्रतिच्छेद करता है।
XY और XZ को मिलाइए।
तब XYZ अभीष्ट त्रिभुज है।

रचना की पुष्टि :
हम देखते हैं कि Y, PX के लंब समद्विभाजक MN पर स्थित है।
∴ PY = XY
इस प्रकार QZ = XZ
इससे प्राप्त होता है XY + YZ + ZX = PY + YZ + QZ = PQ = 11 cm (जो की सत्य है जैसा कि दिया
पुनः ∠YXP = ∠XPY
(जैसा कि ΔXPY में XY = PY)
∠XYZ = ∠YXP + ∠XPY
= 2∠XPY = ∠KPQ
⇒ ∠XYZ = 30°
(जो की सत्य है जैसा कि दिया है)
इसी प्रकार∠XZY = ∠LQP
⇒ ∠XZY = 90°
(जो की सत्य है जैसा कि दिया है)

प्रश्न 5.
एक समकोण त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसका आधार 12 cm. और कर्ण तथा अन्य भुजाओं का योग 18 cm. है।
हल:
मान लीजिए ΔABC की रचना करनी है जिसमें आधार BC = 12 cm., कर्ण तथा अन्य भुजा का योग
अर्थात् AB + AC = 18 cm .
और ∠ABC = 90°

रचना के पग :
1. किरण BX खींचिए और इस में से रेखाखंड BC = 12 cm काटिए।
PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 11 रचनाएँ Ex 11.2 5
2. ∠XBY = 90° बनाइए।
3. BY में से रेखाखंड BD = 18 cm काटिए।
4. CD को मिलाइए।
5. CD का लंब समद्विभाजक खींचिए जो BD को A पर प्रतिच्छेद करता है।
6. AC को मिलाइए।
तब, ABC अभीष्ट त्रिभुज है।
A, CD के लंब समद्विभाजक पर स्थित है।
∵ AC = AD और तब
AB = BD – AD
⇒ AB = BD – AC
⇒ AB + AC = BD = 18 cm
दूसरी भुजा और कर्ण का योग 18 cm (जो कि सत्य है जैसा कि दिया है).

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PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 11 रचनाएँ Ex 11.1

प्रश्न 1.
एक दी हुई किरण के प्रारंभिक बिंदु पर 90° के कोण की रचना कीजिए और कारण सहित रचना की पुष्टि कीजिए।
हल :
रचना के चरण :
1. एक किरण OA खींचिए।
PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 11 रचनाएँ Ex 11.1 1
2. O को केंद्र मानकर और उपयुक्त त्रिज्या लेकर एक चाप LM खींचिए। OA को L पर काटे।
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3. अब L को केंद्र मानकर और त्रिज्या OL, लेकर एक चाप खींचिए जो चाप LM को P पर काटे।
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4. तब P को केंद्र मानकर और त्रिज्या OL, लेकर एक चाप खींचिए जो चाप PM को बिंदु Q पर काटे।
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5. किरण OB खींचने के लिए OP को मिलाइए। साथ ही, किरण OC प्राप्त करने के लिए O और Q को मिलाइए। हम देखते हैं कि :
∠AOB = ∠BOC = 60°
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6. अब हमने ∠BOC को समद्विभाजित करना है। इसके लिए P को केंद्र मानकर और त्रिज्या \(\frac{1}{2}\)PQ से अधिक लेकर एक चाप खींचिए।
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7. अब Q को केंद्र मानकर और चरण 6 वाली त्रिज्या लेकर एक अन्य चाप लगाइए जो चरण 6 वाली चाप को R पर काटे।
8. किरण OD खींचने के लिए और R को मिलाइए। तब ∠AOD ही अभीष्ट कोण 90° है।

सत्यापन : ∠AOD, को मापिए। आप देखेंगे कि ∠AOD = 90° है।
रचना की प्रमाणिकता :
PL, को मिलाइए, तब
OL = OP = PL (रचना से)
अतः, ΔOPL एक समबाहु त्रिभुज है और ∠POL जोकि ∠BOA के समान है जो 60° के बराबर है।
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अब, QP को मिलाइए
OP = OQ = PQ (रचना से)
अतः, ΔOQP एक समबाहु त्रिभुज है।
∴ ∠POQ जोकि ∠BOC के बराबर है, 60° का है।
रचना से OD, ∠BOC का समद्विभाजक है।
∴ ∠DOC = ∠DOB = \(\frac{1}{2}\)∠BOC
= \(\frac{1}{2}\) × 60° = 30°
अब ∠DOA = ∠BOA + ∠DOB
⇒ ∠DOA = 60° + 30°
⇒ ∠DOA = 90°.

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प्रश्न 2.
एक दी हुई किरण के प्रारंभिक बिंदु पर 45° के कोण की रचना कीजिए और कारण सहित रचना की पुष्टि कीजिए।
हल :
हम देखते हैं कि 45° = \(\frac{1}{2}\) × 90°
इसलिए हम अभीष्ट कोण प्राप्त करने के लिए दिए गए कोण को समद्विभाजित करने की प्रक्रिया का अनुसरण करते है।
अतः, 45° का कोण बनाने के लिए हम नीचे दिए अनुसार प्रक्रिया करते है :

रचना के चरण :
1. ∠AOD = 90° खींचिए। (टिप्पणी : उन्हीं चरणों का अनुसरण कीजिए जो कि 90° के कोण की रचना में किए हैं।)
2. L के केंद्र को केंद्र मानकर और त्रिज्या \(\frac{1}{2}\)LS, से बड़ी लेकर एक चाप खींचिए।
PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 11 रचनाएँ Ex 11.1 8
3. अब S को केंद्र मानकर और चरण 2 वाली ही त्रिज्या लेकर एक अन्य चाप खींचिए जो चरण 2 वाली चाप को T पर काटती है।
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4. O और T को मिलाइए और किरण OE खींचिए।
अतः, OE, ∠AOD को समद्विभाजित करती है। इसलिए, ∠AOE = ∠DOE = 45° है।
सत्यापन : ∠AOE, को मापिए, आप देखोगे कि ∠AOE = 45° है।

रचना की प्रमाणिकता :
LS को मिलाइए तब ΔOLS समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें O पर समकोण है। .
∴ OL = OS
PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 11 रचनाएँ Ex 11.1 10
इसलिए O, SL के लंब समद्विभाजक पर स्थित है।
∴ SF = FL
और ∠OFS = ∠OFL (प्रत्येक 90°)
अब ΔOFS और ΔOFL में,
OF = OF (उभयनिष्ठा)
OS = OL (रचना से)
SF = FL (ऊपर प्रमाणित)
∴ ΔOFS ≅ ΔOFL (SSS नियम से)
⇒ ∠SOF = ∠LOF
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग।)
अब
∠SOF + ∠LOF = ∠SOL
⇒ ∠LOF + ∠LOF = 90°
⇒ 2∠LOF = 90°
⇒ ∠LOF = \(\frac{1}{2}\) × 90°
⇒ ∠LOF = 45°
या, ∠AOE = 45° (जोकि रचना के अनुसार सत्य है।)

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प्रश्न 3.
निम्न मापों के कोणों की रचना कीजिए :
(i) 30°
(ii) \(22 \frac{1}{2}^{\circ}\)
(iii) 15°.
हल :
(i) 30° की रचना :
हम देखते हैं कि 30° = \(\frac{1}{2}\) × 60°
इसलिए हम अभीष्ट कोण प्राप्त करने के लिए दिए गए कोण को समदविभाजित करने की प्रक्रिया का अनुसरण करते हैं।
अतः 30° के कोण की रचना के लिए हम नीचे दिए अनुसार प्रक्रिया करते हैं :

रचना के चरण :
1. एक किरण OA खींचिए।
PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 11 रचनाएँ Ex 11.1 11
2. O को केंद्र मानकर और उपयुक्त त्रिज्या लेकर
चाप LM खींचिए जो OA को L पर काटती है।
PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 11 रचनाएँ Ex 11.1 12
3. L को केंद्र मानकर और त्रिज्या OL लेकर एक चाप खींचिए जो LM को N पर काटती है।
PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 11 रचनाएँ Ex 11.1 13
4. O और N को मिलाइए और रेखा OB खींचिए। तब ∠AOB = 60° है।
PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 11 रचनाएँ Ex 11.1 14
5. L को केंद्र मानकर और त्रिज्या \(\frac{1}{2}\)LN, से बड़ी लेकर एक चाप खींचिए।
PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 11 रचनाएँ Ex 11.1 15
6. अब N को केंद्र मानकर और चरण 5 वाली त्रिज्या लेकर एक अन्य चाप खींचिए जो कि चरण 5 वाली चाप को P पर काटे।
7. O और P को मिलाइए और किरण OC खींचिए।
PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 11 रचनाएँ Ex 11.1 16
अतः, OC, ∠AOB को समद्विभाजित करती है और इसलिए
∠AOC = ∠BOC = 30°
सत्यापन : ∠AOC को मापिए, आप देखेंगे कि ∠AOC = 30° है।

(ii) \(22 \frac{1}{2}^{\circ}\) की रचना :
हम देखते हैं कि \(22 \frac{1}{2}^{\circ}\) = \(\frac{1}{2}\) × 45°
इसलिए हम अभीष्ट कोण प्राप्त करने के लिए दिए गए कोण को समद्विभाजित करने की प्रक्रिया का अनुसरण करते हैं।
\(22 \frac{1}{2}^{\circ}\) का कोण बनाने के लिए हम नीचे दिए अनुसार प्रक्रिया करते हैं :

रचना के चरण :
1. ∠AOD = 90° खींचिए।
(टिप्पणी : प्रश्न न० 1 में दिए गए चरणों का अनुसरण कीजिए जो कि 90° के कोण की रचना में लिए हैं।)
2. अब ∠AOD को किरण OE से इस प्रकार
समद्विभाजित ∠DOE = ∠AOE = 45° (टिप्पणी : उन्हीं चरणों का अनुसरण कीजिए जो प्रश्न न० 2 में 45° के कोण की रचना में लिए हैं।)
PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 11 रचनाएँ Ex 11.1 17
3. मान लीजिए किरण OE वृत्त की चाप को N पर प्रतिच्छेद करे।
4. अब L को केंद्र मानकर और त्रिज्या \(\frac{1}{2}\)LN से अधिक लेकर एक चाप खींचिए।
5. N को केंद्र मानकर और वही त्रिज्या जो चरण 4 में ली गई है। लेकर एक अन्य चाप खींचिए जो चरण 4 वाली चाप को I पर काटे।
6. O और I को मिलाइए और किरण OF खींचिए।
अतः, OF, ∠AOE को समद्विभाजित कीजिए।
∠AOF = ∠EOF = \(22 \frac{1}{2}^{\circ}\)
सत्यापन : ∠AOF को चाँदे की सहायता से मापिए। हम देखते हैं कि ∠AOF = \(22 \frac{1}{2}^{\circ}\)

(iii) 15° की रचना :
हम देखते हैं कि 15° = \(\frac{1}{2}\) × 30°
इसलिए अभीष्ट कोण प्राप्त करने के लिए हम दिए गए कोण को समद्विभाजित करने वाली विधि का अनुसरण करते हैं।
अतः, 15° के कोण की रचना के लिए हम निम्नलिखित चरणों का अनुसरण करते हैं।
रचना के चरण :
1. ∠AOB = 60° खींचिए।
2. अब ∠AOB को किरण OC से इस तरह समद्विभाजित कीजिए कि ∠BOC = ∠AOC = 30° [टिप्पणी : प्रश्न 3 (i) में 30° की रचना में लिए गए चरणों का अनुसरण कीजिए।]
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3. मान लीजिए किरण OC वृत्त की चाप को बिंदु Q पर प्रतिच्छेद करती है।
4. अब L को केंद्र मान कर और त्रिज्या \(\frac{1}{2}\)LQ से अधिक लेकर एक चाप खींचिए।
5. Q को केंद्र मानकर और चरण 4 वाली त्रिज्या लेकर एक अन्य चाप खींचिए जोकि चरण 4 वाली चाप को R पर प्रतिच्छेद करे।
6. O और R को मिलाइए और किरण OS खींचिए।
अत: OS, ∠AOC को समविभाजित करता है।
इसलिए, ∠COS = ∠AOS = 15° है।
सत्यापन : ∠AOS को चाँदे से मापिए हम देखते हैं कि ∠AOS = 15° है।

PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 11 रचनाएँ Ex 11.1

प्रश्न 4.
निम्न कोणों की रचना कीजिए और चाँदे द्वारा मापकर पुष्टि कीजिए :
(i) 75°
(ii) 105°
(ii) 135°
हल :
(i) 75° की रचना
रचना के चरण :
1. ∠ABE = 60° और ∠ABF = 90° खींचिए। (टिप्पणी : उदाहरण 1 और प्रश्न न० 1 में लिए गए चरणों का अनुसरण कीजिए।)
2. मान लीजिए किरण BF वृत्त की चाप को G पर काटती है।
3. अब M को केंद्र मानकर और त्रिज्या \(\frac{1}{2}\)MG से अधिक लेकर एक चाप खींचिए।
PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 11 रचनाएँ Ex 11.1 19
4. G को केंद्र मान कर और चरण 3 वाली त्रिज्या लेकर एक चाप खींचिए जो पहली चाप को H पर प्रतिच्छेद करे।
5. H में से एक किरण BC खींचिए जो ∠EBF को समद्विभाजित करती है।
अतः, ∠ABC = 75° अभीष्ट कोण है।

सत्यापन : ∠ABC को चाँदे द्वारा मापिए। हम देखते हैं कि ∠ABC = 75°
रचना की प्रमाणिकता :
∠EBF = ∠ABF – ∠ABE = 90° – 60° = 30°
∠EBC = ∠CBF
= \(\frac{1}{2}\)∠EBF = \(\frac{1}{2}\)(30°)
= 15°
[∵ BC ∠EBF को समद्विभाजित करता है]
∴ ∠ABC = ∠ABE + ∠EBC
= 60° + 150
⇒ ∠ABC = 750
(जोकि चाँद द्वारा मापे जाने पर सत्य है।)

(ii) 105° की रचना
रचना के चरण :
1. ∠ABE = 90° और ∠ABF = 120° खींचिए।
2. मान लीजिए किरण BE वृत्त की चाप को M पर तथा किरण BF वृत्त की चाप को N पर प्रतिच्छेद करती है।
3. M को केंद्र मानकर और त्रिज्या \(\frac{1}{2}\)MN से अधिक लेकर एक चाप खींचिए।
4. N को केंद्र मानकर और चरण 3 वाली त्रिज्या लेकर एक अन्य चाप खींचिए जो चरण 3 वाली चाप को P पर प्रतिच्छेद करे।
5. P में से किरण BC खींचिए जो ∠EBF को समद्विभाजित करती है।
अतः, ∠ABC = 105° अभीष्ट कोण है।
PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 11 रचनाएँ Ex 11.1 20
सत्यापन : ∠ABC को चाँद द्वारा मापिए। हम देखते हैं कि ∠ABC = 105° है।
रचना की प्रमाणिकता :
∠EBF = ∠ABF – ∠ABE
⇒ ∠EBF = 120° – 90° = 30°
∠EBC = ∠CBF = \(\frac{1}{2}\)∠EBF
= \(\frac{1}{2}\)(30°) = 15°
[∵ BC, ∠EBF का समद्विभाजक है।]
∴ ∠ABC = ∠ABE + ∠EBC
= 90° + 15°
⇒ ∠ABC = 105°
[जोकि चाँदे द्वारा मापे जाने पर सत्य है।]

(iii) 135° की रचना
रचना के चरण :
1. एक किरण OA खींचिए।
PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 11 रचनाएँ Ex 11.1 21
2. O को केंद्र मानकर और कोई सुविधाजनक त्रिज्या लेकर एक चाप LM (जिसकी लंबाई अर्धवृत्त से अधिक हो) खींचिए जो OA को L पर प्रतिच्छेद करे।
PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 11 रचनाएँ Ex 11.1 22
3. अब L को केंद्र मानकर और त्रिज्या = OL लेकर एक चाप खींचिए जो चाप LM को P पर प्रतिच्छेद करे।
PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 11 रचनाएँ Ex 11.1 23
4. तब P को केंद्र और त्रिज्या OL लेकर एक चाप खींचिए जो चाप PM को Q पर प्रतिच्छेद करे।
PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 11 रचनाएँ Ex 11.1 24
5. अब ∠POQ को किरण OB द्वारा समद्विभाजित करने पर हमें प्राप्त होता है ; ∠AOB = 90°
PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 11 रचनाएँ Ex 11.1 25
6. अब Q को केंद्र मानकर और त्रिज्या OL लेकर एक चाप खींचिए जो QM को N पर प्रतिच्छेद करे।
PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 11 रचनाएँ Ex 11.1 26
7. O और N को मिलाकर किरण OC खींचिए।
PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 11 रचनाएँ Ex 11.1 27
अतः, हम प्राप्त करते हैं ∠AOC = 180°
या ∠BOC = ∠AOB = 90°
8. अब ∠BOC को किरण OD द्वारा समद्विभाजित कीजिए।
तब ∠AOD ही अभीष्ट कोण 135° है।
[क्योंकि ∠AOD = ∠AOB+ ∠BOD
= 90° + 45°
= 135°]
सत्यापन : ∠AOD को चाँदे से मापिए। आप देखेंगे कि ∠AOD = 135°

PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 11 रचनाएँ Ex 11.1

प्रश्न 5.
एक समबाहु त्रिभुज की रचना कीजिए, जबकि इसकी भुजा दी हो, तथा कारण सहित रचना कीजिए।
हल :
दी गई भुजा (मान लीजिए यह ΔABC है जिसकी एक भुजा 6 cm. है।) की समबाहु त्रिभुज की रचना।
रचना के चरण :
1. 6 cm. की लंबाई का एक रेखाखंड BC खींचिए।
2. B पर ∠XBC = 60° खींचिए।
3. रेखाखंड BC का लंब समद्विभाजक PQ खींचिए।
4. मान लीजिए PQ किरण BX और BC को क्रमशः बिंदुओं A और D पर प्रतिच्छेद करती है।
5. AC को मिलाइए।
अतः, ABC ही अभीष्ट समबाहु त्रिभुज है।
PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 11 रचनाएँ Ex 11.1 28
रचना की पुष्टि :
समकोण ΔADB और समकोण ΔADC में,
AD = AD (उभयनिष्ठ)
∠ADB = ∠ADC (प्रत्येक 90°)
(रचना से)
BD = CD. (रचना से)
∴ ΔADB ≅ ΔADC
(SAS सर्वांगसमता नियम से)
∴ ∠B = ∠C = 60°
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
इसलिए, ΔABC में तीसरा कोण,
∠A = 180° – (∠B + ∠C)
= 180° – (60° + 60°)
= 180° – 120°
= 60°
त्रिभुज का प्रत्येक कोण 60° का है। अतः, बनाई गई त्रिभुज समबाहु त्रिभुज है।

PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 9 समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Ex 9.3

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 9 समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Ex 9.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 9 समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Ex 9.3

प्रश्न 1.
आकृति में, ΔABC की एक माध्यिका AD पर स्थित E कोई बिंदु है। दर्शाइए कि
ar (ΔABE) = ar (ACE) है।
हल :
ΔABC में, AD माध्यिका है।
ar (ΔABD) = ar (ΔACD) ……..(i)
PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 9 समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Ex 9.3 - 1
[∵ माध्यिका त्रिभुज को बराबर क्षेत्रफलों वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।]
पुनः, ΔEBC में, ED एक माध्यिका है। ,
ar (ΔEBD) = ar (ΔECD) …(ii)
(ii) को (i), में से घटाने पर हमें प्राप्त होता है
ar (ΔABD) = ar (ΔEBD)
= ar (ΔACD) – ar (ΔECD)
⇒ ar (ΔABE) = ar (ΔACE).

PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 9 समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Ex 9.3

प्रश्न 2.
ΔABC में E, माध्यिका AD का मध्य-बिंदु है। दर्शाइए कि ar (BED) = \(\frac {1}{4}\)ar (ABC) है।
हल :
दिया है : ΔABC में, AD एक माध्यिका है और E माध्यिका AD का मध्य-बिंदु है।
PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 9 समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Ex 9.3 - 2
सिद्ध करना है : ar (ΔBED) = \(\frac {1}{4}\)r (ΔABC).
उपपत्ति : ΔABC में AD माध्यिका है।
∴ ar (ΔABD) = ar (ΔADC) [∵ माध्यिका त्रिभुज को बराबर क्षेत्रफलों वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।]
∴ ar (ΔABD) = \(\frac {1}{2}\)ar (ΔABC) …(i)
ΔABD में, BC एक माध्यिका है।
∴ ar (ΔBED) = ar (ΔBAE)
∴ ar (ΔBED) = \(\frac {1}{2}\)ar (ΔABD) …(ii)
⇒ ar (ΔBED) = \(\frac {1}{2}\) × \(\frac {1}{2}\)ar (ΔABC)
[(i) और (ii) से]
= \(\frac {1}{4}\)ar (ΔABC)
इति सिद्धम्

प्रश्न 3.
दर्शाइए कि समांतर चतुर्भुजों के दोनों विकर्ण उसे बराबर क्षेत्रफलों वाले चार त्रिभुजों में बाँटते हैं।
हल :
मान लीजिए समांतर चतुर्भुज ABCD है और इसके विकर्ण AC और BD परस्पर बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं।
PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 9 समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Ex 9.3 - 3
ΔABC और ΔADC में,
AB = DC (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ)
BC = AD
(समांतर चतुर्भुज सम्मुख भुजाएँ)
AC = AC (उभयनिष्ठ)
∴ ΔABC ≡ ΔCDA
(SSS सर्वांगसमता नियम)
जैसा कि हम जानते हैं कि समांतर चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित होते हैं।
∴ आकृति में ; O समद्विभाजक बिंदु है।
अब ΔADC में;
DO एक माध्यिका है।
∴ ar (ΔAOD) = ar (ΔCOD) …………..(i)
(∵ माध्यिका त्रिभुज को बराबर क्षेत्र फलों वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।]
इसी प्रकार, ΔABC में, OB माध्यिका है
∴ ar (ΔAOB) = ar (ΔBOC) …(ii)
[उपरोक्त कारण ही]
ΔAOB और ΔAOD में; AO माध्यिका है।
∴ ar (ΔAOB) = ar (ΔAOD)
(उपरोक्त कारण ही) …(iii)
(i), (ii) और (iii) से हमें प्राप्त होता है :
ar (ΔAOB) = ar (ΔAOD) = ar (ΔBOC)
= ar (ΔCOD)
अतः समांतर चतुर्भुज के विकर्ण इसे बराबर क्षेत्रफलों वाले चार त्रिभुजों में बाँटते हैं।

PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 9 समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Ex 9.3

प्रश्न 4.
आकृति में, ABC और ABD एक ही आधार AB पर बने दो त्रिभुज हैं। यदि रेखाखंड CD रेखाखंड AB से बिंदु पर समद्विभाजित होता है, तो दर्शाइए कि ar (ABC) = ar (ABD) है।
हल :
CM ⊥ AB और DN ⊥ AB खींचिए।
PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 9 समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Ex 9.3 - 4
ΔCMO और ΔCNO में,
∠CMO = ∠DNO
[(प्रत्येक = 90°) रचना]
∠COM = ∠DON
(शीर्षाभिमुख कोण)
OC = OD
(O, CD का मध्य-बिंदु है)
∴ ΔCOM ≡ ΔDON
[AAS सर्वांगसमता का नियम]
इसलिए, CM = DN
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग) …….(i)
अब ar (ΔABC) = \(\frac {1}{2}\) × AB × CM …(ii)
ar (ΔADB) = \(\frac {1}{2}\) × AB × DN …(iii)
(i) को (iii) में प्रयोग करने पर हमें प्राप्त होता है
ar (ΔADB) = \(\frac {1}{2}\) × AB × CM ….(iv)
(ii) और (iv) से हमें प्राप्त होता है
ar (ΔABC) = ar (ΔADB)

प्रश्न 5.
D, E और F क्रमशः त्रिभुज ABC की भुजाओं BC, CA और AB के मध्य-बिंदु हैं। दर्शाइए कि :
(i) BDEF एक समांतर चतुर्भुज है
(ii) ar (DEF) = \(\frac {1}{4}\) ar (ABC)
(iii) ar (BDEF) = \(\frac {1}{2}\)ar (ABC)
हल :
(i) F, AB का मध्य-बिंदु और E, AC का मध्य-बिंदु है।
PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 9 समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Ex 9.3 - 5
∴ FE || BC और FE = \(\frac {1}{2}\)BC
[∵ त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा तीसरी भुजा के समांतर और इसका आधा होती है।]
या FE || BD
∵ BD, BC का ही भाग है] और FE = BD [∵ दिया है कि D, EC का मध्य-बिंदु है।
∴ BD = \(\frac {1}{2}\)BC
इसलिए, FE = \(\frac {1}{2}\) BC (ऊपर सिद्ध किया है) |
⇒ FE = BD
अब E, AC का मध्य-बिंदु और D, EC का मध्यबिंदु है।
∴ DE || AB और DE = \(\frac {1}{2}\) AB
[ऊपर वाले कारण का उपयोग करने पर
या DE || BF [∵ BE, AB का ही भाग है।]
और DE = BF
[∵ F, AB का मध्य-बिंदु है ∴ BF = \(\frac {1}{2}\) AB
परंतु DE = \(\frac {1}{2}\) AB (ऊपर सिद्ध किया है)
इसलिए, DE = BF]
अब,
FE || BD और DE || BF
या FE = BD और DE = BF
अतः, BDEF एक समांतर चतुर्भुज है।

(ii) BDEF एक समांतर चतुर्भुज है
∴ ar (ΔBDF) = ar (ΔDEF) ….(1) [∵ समांतर चतुर्भुज का विकर्ण इसे बराबर क्षेत्रफलों वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करता है।]
DCEF भी समांतर चतुर्भुज है[भाग (i) के चरणों का प्रयोग करने पर]
∴ ar (ΔDEF) = ar (ΔDEC) …(2)
साथ ही, AEDF एक समांतर चतुर्भुज है। [भाग (i) के चरणों का प्रयोग करने पर]
∴ ar (ΔAFE) = ar (ΔDEF) …(3)
(1), (2) और (3)से
ar (ΔDEF) = ar (ΔBDF) = ar(ΔDEC)
= ar (ΔAFE) …(4)
अब, ar (ΔABC) = ar (ΔAFE) + ar (ΔBDF) + ar (ΔDEC) + ar (ΔDEF)…(5)
⇒ ar (ΔABC) = ar (ΔDEF) + ar (ΔDEF) + ar (ΔDEF)) + ar (ΔDEF)
[(4) को (5) में प्रयोग करने पर]
⇒ ar (ΔABC) = 4 ar (DEF)
या, 4 ar (ΔDEF) = ar (ΔABC)
⇒ ar (ΔDEF) = \(\frac {1}{4}\)ar (ΔABC) …….(6)

(iii) ar (||gm BDEF) = ar (ΔBDF) + ar (ΔDEF)
= ar (ΔDEF) + ar (ΔDEF)
[(4) प्रयोग करने पर]
= 2 ar (ΔDEF)
= 2 × \(\frac {1}{4}\) ar (ΔABC)
[(6) का प्रयोग करने पर]
⇒ ar (||gm BDEF) = \(\frac {1}{2}\)ar (ΔABC)

PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 9 समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Ex 9.3

प्रश्न 6.
आकृति में, चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD परस्पर बिंदु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि OB = OD है।
यदि AB = CD है, तो दर्शाइए कि
(i) ar (DOC) = ar (AOB)
(ii) ar (DCB) = ar (ACB)
(iii) DA || CB या ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।
हल :
(i) BM ⊥ AC और DN ⊥ AC खींचिए।
PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 9 समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Ex 9.3 - 6
ΔDON और ΔBOM में,
OD = OB (दिया है)
∠DNO = ∠BMO
[प्रत्येक = 90° (रचना से)]
∠DON = ∠BOM
(शीर्षाभिमुख कोण)
∴ ΔDON ≡ ΔBOM
[AAS सर्वांगसमता नियम]
इसलिए, DN = BM
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
साथ ही, ar (ΔDON) = ar (ΔBOM) …(1)
अब, ΔDCN और ΔABM में,
∠DNC = ∠BMA
[प्रत्येक = 90° (रचना से)]
CD = AB (दिया है)
DN = BM (ऊपर सिद्ध किया)
∴ ΔDCN ≡ ΔBAM
[RHS सर्वांगसमता नियम]
∴ ar (ΔDCN) = ar (ΔBAM) …(2)
(1) और (2) को जोड़ने पर हमें प्राप्त होता है।
ar (ΔDON) + ar (ΔDCN) = ar (ΔBOM) + ar (ΔBAM)
⇒ ar (ΔDOC) = ar (ΔAOB)

(ii) भाग (ii) में हमने सिद्ध किया है कि
ar (ΔDOC) = ar (ΔAOB)
दोनों ओर ar (ΔBOC) को जोड़ने पर हमें प्राप्त होता है
ar (ΔDOC) + ar (ΔBOC) = ar (ΔAOB) + ar (ΔBOC)
⇒ ar (ΔDCB) = ar (ΔACB)

(iii) भाग (ii) में हमने सिद्ध किया है कि ar (ΔDCB) = ar (ΔACB)
इसलिए इन दोनों त्रिभुजों का एक ही आधार CB है
और दोनों एक ही समांतर रेखाओं CB और DA के बीस्थित है।
इसलिए, DA || CB
अब AB = CD
और, DA || CB
अत: ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।

प्रश्न 7.
बिंदु D और E क्रमश: ΔABC की भुजाओं AB और AC पर इस प्रकार स्थित हैं कि ar (DBC) = ar (EBC) है। दर्शाइए कि DE || BC है।
हल :
दिया है कि
ar (ΔDBC) = ar (ΔEBC)
दो बराबर क्षेत्रफल वाली त्रिभुजों का एक ही आधार BC है।
इसलिए DE || BC
PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 9 समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Ex 9.3 - 7
[∵ दो त्रिभुज जिनका एक ही आधार (या बराबर आधार) है और बराबर क्षेत्रफल है, एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित होते हैं।]

PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 9 समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Ex 9.3

प्रश्न 8.
XY त्रिभुज ABC की भुजा BC के समांतर एक रेखा है। यदि BE || AC और CF || AB रेखा XY से क्रमश: E और F पर मिलती है, तो दर्शाइए कि
ar (ABE) = ar (ACF)
हल :
ΔABE और ||gm BCYE एक ही आधार BE तथा एक ही समांतर रेखाओं BE और AC के बीच स्थित है।
PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 9 समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Ex 9.3 - 8
∴ ar (ΔABE) = \(\frac {1}{2}\) ar (||gm BCYE) …….(1)
साथ ही, ΔACF और || gm BCFX एक ही आधार CF तथा एक ही समांतर रेखाओं BX और CF के बीच स्थित है।
∴ ar (ΔACF) = \(\frac {1}{2}\)ar (||gm BCFX)…(2)
परंतु ||gm BCYE और ||gm BCFX एक ही आधार BC और एक ही समांतर रेखाओं BC और EF के बीच स्थित है।
ar (||gm BCYE) = ar (||gm BCEX) …(3)
(1), (2) और (3) से हमें प्राप्त होता है-
ar (ΔABE) = ar (ΔACF)

प्रश्न 9.
समांतर चतुर्भुज ABCD की एक भुजा AB को एक बिंदु P तक बढ़ाया गया है। A से होकर CP के समांतर खींची गई रेखा बढ़ाई गई CB को Q पर मिलती है और फिर समांतर चतुर्भुज PBQR को पूरा किया गया है (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि ar (ABCD) = ar (PBQR) है।
हल :
PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 9 समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Ex 9.3 - 9
दिया है कि ABCD और PBQR समांतर चतुर्भुज है। साथ ही, CP || AQ.
हम देखते हैं कि
ΔACQ और ΔAPQ एक ही आधार AQ तथा एक ही समांतर रेखाओं AQ और CP के बीच स्थित हैं।
∴ ar (ΔACQ) = ar (ΔAPQ)
दोनों पक्षों में से ar (ΔABQ) घटाने पर हमें प्राप्त होता है:
ar (ΔACQ) – ar (ΔABQ)
= ar (ΔAPQ) – ar (ΔABQ)
⇒ ar (ΔACB) = ar (ΔPBQ)
या, \(\frac {1}{2}\) ar (|| gm ABCD) = \(\frac {1}{2}\)ar || gm PBQR) [∵ विकर्ण चतुर्भुज को बराबर क्षेत्रफल वाले त्रिभुजों में विभाजित करता है।
∴ त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\frac {1}{2}\)समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल]
⇒ ar (|| gm ABCD) = ar (|| gm PBQR)

PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 9 समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Ex 9.3

प्रश्न 10.
एक समलंब ABCD, जिसमें AB || DC है, के विर्कण AC और BD परस्पर O पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि ar (AOD) = ar (BOC) है।
हल :
PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 9 समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Ex 9.3 - 10
ΔABD और ΔABC एक ही आधार AB और एक समांतर रेखाओं AB और DC के बीच स्थित है।
∴ ar (ΔABD) = ar (ΔABC)
ar (ΔAOB) को दोनों पक्षों में से घटाने पर हमें प्राप्त होता है
ar (ΔABD) – ar (ΔAOB) = ar (ΔABC) – ar (ΔAOB)
⇒ ar Δ(AOD) = ar (ΔBOC) इति सिद्धम्

प्रश्न 11.
आकृति में, ABCDE एक पंचभुज है। B से होकर AC के समांतर खींची गई रेखा बढ़ाई गई DC को F पर मिलती है। दर्शाइए कि:
(i) ar (ACB) = ar (ACF)
(ii) ar (AEDF) = ar (ABCDE)
हल :
PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 9 समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Ex 9.3 - 11
(i) दिया है BF || AC.
ΔACB और ΔACF एक ही आधार AC तथा एक ही समांतर रेखाओं AC और BF के बीच स्थित है।
∴ ar (ΔACB) = ar (ΔACF) …(1)
(ii) अब, ar (ΔABCDE) = ar (समलंब AEDC) + ar (ΔABC) …..(2)
= ar (समलंब AEDC) + ar (ΔACF)
[(1) को (2) में प्रयोग करने पर]
ar (समलंब AEDC) + ar (ΔACF)
=ar (चतुर्भुज AEDF)
या, ar (AEDF) = ar (ABCDE)
इति सिद्धम्

प्रश्न 12.
गाँव के एक निवासी इतवारी के पास एक चर्तुभुजाकार भूखंड था। उस गाँव की ग्राम पंचायत ने उसके भूखंड के एक कोने से उसका कुछ भाग लेने का निर्णय लिया ताकि वहाँ एक स्वास्थ्य केंद्र का निर्माण कराया जा सके। इतवारी उस प्रस्ताव को इस प्रतिबंध के साथ स्वीकार कर लेता है कि उसे इस भाग के बदले उसी भूखंड के संलग्न एक भाग ऐसा दे दिया जाए कि उसका भूखंड त्रिभुजाकार हो जाए। स्पष्ट कीजिए कि इस प्रस्ताव को किस प्रकार कार्यान्वित किया जा सकता है।
हल :
PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 9 समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Ex 9.3 - 12
मान लीजिए इतवारी के पास एक चतुर्भुजाकार भूखंड ABCD है।
रचना : AB को E तक बढ़ाइए। BD को मिलाइए और CE || BD खींचिए।
उत्पत्ति : क्योंकि ΔBDC और ΔBDE एक ही आधार BD और एक ही समांतर रेखाओं BD और CE के बीच स्थित है।
∴ ar (ΔBDC) = ar (ΔBDE)
दोनों ओर ar (ΔABD) जोड़ने पर, ar (ΔABD) + ar (ΔBDC) = ar (ΔABD) + ar (ΔBDE)
ar (ABCD) = ar (AED)
अतः, स्वास्थ्य केंद्र के लिए दिया गया भूखंड = ar (CDF)
उक्त भूखंड के बदले इतवारी को मिला भूखंड = ar (BEF)

प्रश्न 13.
ABCD एक समलंब है, जिसमें AB || DC है। AC के समांतर एक रेखा AB को x पर और BC को Y पर प्रतिच्छेद करती है। सिद्ध कीजिए कि ar (ADX) = ar (ACY) है।
हल :
PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 9 समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Ex 9.3 - 13
CX को मिलाइए। ΔADX और ΔACX एक ही आधार XA पर तथा एक ही समांतर रेखाओं XA और DC के बीच स्थित हैं।
∴ ar (ΔADX) = ar (ΔACX) ………(i)
साथ ही, ΔACX और ΔACY एक ही आधार CY तथा एक ही समांतर रेखाओं CY और XA के बीच स्थित हैं।
∴ ar (ΔACX) = ar (ΔACY) …(ii)
(i) और (ii) से हमें प्राप्त होता है
ar (ΔADX) = ar (ΔACY).
इति सिद्धम्

PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 9 समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Ex 9.3

प्रश्न 14.
आकृति में, AP || BQ || CR है। सिद्ध कीजिए कि ar (AQC) = ar (PBR) है।
हल :
PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 9 समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Ex 9.3 - 14
ΔABQ और ΔBPQ एक ही आधार BQ तथा एक ही समांतर रेखाओं AP और BQ के बीच स्थित है।
∴ ar (ΔABQ) = ar (ΔBPQ) …(1)
ΔBQC और ΔBQR एक ही आधार BQ तथा एक ही समांतर रेखाओं BQ और CR के बीच स्थित है।
∴ ar (ΔBQC) = ar (ΔBQR) …(2)
(1) और (2) को जोड़ने पर हमें प्राप्त होता है।
ar (ΔABQ) + ar (ΔBQC) = ar (ΔBPQ) + ar (ΔBQR)
⇒ ar (ΔAQC) = ar (ΔPBR) इति सिद्धम्

प्रश्न 15.
चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD परस्पर बिंदु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि ar (AOD) = ar (BOC) है। सिद्ध कीजिए कि ABCD एक समलंब है।
हल:
PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 9 समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Ex 9.3 - 15
दिया है कि
ar (ΔAOD) = ar (ΔBOC)
दोनों ओर ar (ΔAOB) जोड़ने पर हमें प्राप्त होता है
ar (ΔAOD) + ar (ΔAOB) = ar (ΔBOC) + ar (ΔAOB)
⇒ ar (ΔABD) = ar (ΔABC)
जैसा कि हम जानते हैं कि यदि दो त्रिभुज बराबर क्षेत्रफल एक ही आधार पर स्थित हों, तो वे एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित होती है। ΔABD और ΔABC एक ही आधार AB पर स्थित हैं और क्षेत्रफल के बराबर हैं।
∴ वे एक ही समांतर रेखाओं AB और DC के बीच स्थित हैं।
या, AB || DC.
अब, चतुर्भुज ABCD में AB || DC
इसलिए, ABCD एक समलंब है। [∵ समलंब में सम्मुख भुजाओं का एक युग्म समांतर होता है।]

PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 9 समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Ex 9.3

प्रश्न 16.
आकृति में, ar (DRC) = ar (DPC) है और ar (BDP) = ar (ARC) है। दर्शाइए कि दोनों चतुर्भुज ABCD और DCPR समलंब हैं।
हल :
दिया है कि ΔDRC और ΔDPC एक ही आधार DC पर स्थित हैं।
साथ ही, ar (ΔDRC) = ar (ΔDPC) ….(1)
PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 9 समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Ex 9.3 - 16
∴ DC || RP [∵ यदि बराबर क्षेत्रफल वाली दो त्रिभुज एक ही आधार पर स्थित हों तो वे सदैव एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित होती है।]
चतुर्भुज DCPR में,
DC || RP
इसलिए, DCPR एक समलंब है।
साथ ही, दिया है कि
ar (ΔBDP) = ar (ΔARC) ………..(2)
(1) को इस प्रकार भी लिखा जा सकता है।
ar (ΔDPC) = ar (ΔDRC) ……… (3)
(3) को (2) में से घटाने पर हमें प्राप्त होता है।
ar (ΔBDP) – ar (ΔDPC)
= ar (ΔARC) – ar (ΔDRC)
⇒ ar (ΔBDC) = ar (ΔADC)
ΔBDC और ΔADC का बराबर क्षेत्रफल है और एक ही आधार पर स्थित है DC
AB || DC
[∵ यदि बराबर क्षेत्रफल वाली दो त्रिभुज एक ही आधार पर स्थित हों तो वे सदैव एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित होती है।]
अब चतुर्भुज ABCD में
AB || DC
इसलिए ABCD, एक समलंब है।

PSEB 9th Class Maths MCQ Chapter 12 हीरोन का सूत्र

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 12 हीरोन का सूत्र MCQ Questions with Answers.

PSEB 9th Class Maths Chapter 12 हीरोन का सूत्र MCQ Questions

बहुविकल्पीय प्रश्न :

नीचे प्रत्येक प्रश्न के चार उत्तर दिए गए हैं।
सही उत्तर पर गोल दायरा लगाओ-

प्रश्न 1.
एक त्रिभुज जिसकी दो भुजाएँ 8 सेमी० और 11 सेमी० हैं और जिसका परिमाप 32 सेमी० है उसका अर्धपरिमाप होगा-
(A) 4 सेमी०
(B) 13 सेमी०
(C) 14 सेमी०
(D) 16 सेमी०
उत्तर:
(D) 16 सेमी०

प्रश्न 2.
एक त्रिभुजाकार भूखण्ड की भुजाओं का अनुपात 3 : 5 : 7 है और उसका परिमाप 300 मी० है। इसकी तीनों भुजाएँ होंगी-
(A) 60 मी०, 100 मी०, 40 मी०
(B) 50 मी०, 80 मी०, 60 मी०
(C) 45 मी०, 75 मी०, 95 मी०
(D) 65 मी०, 35 मी०, 80 मी०
उत्तर:
(A) 60 मी०, 100 मी०, 40 मी०

प्रश्न 3.
एक समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप 30 सेमी० है और उसकी बराबर भुजाएँ 12 सेमी० लम्बाई की हैं। इस त्रिभुज का क्षेत्रफल होगा-
(A) 8\(\sqrt{15}\) सेमी०2
(B) 7\(\sqrt{12}\) सेमी०2
(C) 9\(\sqrt{15}\) सेमी०2
(D) 15\(\sqrt{15}\) सेमी०2
उत्तर:
(C) 9\(\sqrt{15}\) सेमी०2

प्रश्न 4.
एक त्रिभुज जिसकी दो भुजाएँ 18 सेमी० और 10 सेमी० हैं और उसका परिमाप 42 सेमी० है। इस त्रिभुज का क्षेत्रफल होगा-
(A) 21\(\sqrt{11}\) सेमी०2
(B) 31\(\sqrt{15}\) सेमी०2
(C) 48\(\sqrt{15}\) सेमी०2
(D) 56\(\sqrt{15}\) सेमी०2
[उत्तर:
(A) 21\(\sqrt{11}\) सेमी०2
[ संकेत: S = \(\frac{42}{2}\) = 21.
a = 18, b = 10, c = 42 – 18 – 10 = 4
अब क्षेत्रफल
= \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)

PSEB 9th Class Maths MCQ Chapter 12 हीरोन का सूत्र

प्रश्न 5.
एक त्रिभुजाकार भूखण्ड की भुजाओं का अनुपात 3 : 5 : 7 है और उसका परिमाप 300 मी० है। इस भूखण्ड का क्षेत्रफल होगा-
(A) 1500\(\sqrt{3}\) मी०2
(B) 1200\(\sqrt{3}\) मी०2
(C) 1800\(\sqrt{3}\) मी०2
(D) 1600\(\sqrt{3}\) मी०2
उत्तर:
(A) 1500\(\sqrt{3}\) मी०2
[संकेतः माना भुजाएँ 3x, 5x और 7x हैं
अब 3x + 5x + 7x = 300
या x = 20
इसलिए भुजाएं : 60 मी०, 100 मी०, 140 मी०
S = \(\frac{50+100+140}{2}\)
∴ क्षेत्रफल = \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)]

प्रश्न 6.
एक त्रिभुज का आधार 12 सेमी० तथा ऊँचाई 8 सेमी० है। इसका क्षेत्रफल होगा-
(A) 24 सेमी०2
(B) 96 सेमी०2
(C) 48 सेमी०2
(D) 56 सेमी०2
उत्तर:
(C) 48 सेमी०2

प्रश्न 7.
एक त्रिभुजाकार पार्क ABC की भुजाएँ 120 मी०, 80 मी० और 50 मी० हैं (आकृति देखिए) एक मालिन घनिया को इसके चारों ओर एक बाड़ लगानी है और इसके अन्दर घास उगानी है। उसे कितने क्षेत्रफल में घास उगानी है ?
PSEB 9th Class Maths MCQ Chapter 12 हीरोन का सूत्र 1
(A) 375\(\sqrt{15}\) मी०2
(B) 275\(\sqrt{15}\) मी०2
(C) 125\(\sqrt{15}\) मी०2
(D) 135\(\sqrt{15}\) मी०2
उत्तर:
(A) 375\(\sqrt{15}\) मी०2

प्रश्न 8.
एक यातायात संकेत बोर्ड पर ‘आगे स्कूल है’ लिखा है और यह भुजा ‘a’ वाले एक समबाहु त्रिभुज के आकार का है। हीरो के सूत्र का उपयोग करके बताइए कि इसका क्षेत्रफल है-
(A) \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) a2
(B) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) a2
(C) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) a3
(D) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) a2
उत्तर:
(A) \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) a2

PSEB 9th Class Maths MCQ Chapter 12 हीरोन का सूत्र

प्रश्न 9.
एक पार्क चतुर्भुज ABCD के आकार का है, जिसमें ∠C = 90°, AB = 9 मी०, BC = 12 मी०, CD = 5 सेमी० और AD = 8 मी. है। इस पार्क का क्षेत्रफल होगा-
(A) 65.5 मी०2 लगभग
(B) 75.5 मी०2 लगभग
(C) 88.8 मी०2 लगभग
(D) 78.5 मी०2 लगभग।
उत्तर:
(A) 65.5 मी०2 लगभग

प्रश्न 10.
एक चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल होगा यदि AB = 3 सेमी०, BC = 4 सेमी०, CD = 4 सेमी०, DA = 5 सेमी० और AC = 5 सेमी०।
(A) 12.5 सेमी०2
(B) 15.2 सेमी०2
(C) 18.2 सेमी०2
(D) 19.4 सेमी०2
उत्तर:
(B) 15.2 सेमी०2

प्रश्न 11.
एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल 8 cm2 है। इसके कर्ण की लंबाई है।
(A) \(\sqrt{32}\) cm
(B) \(\sqrt{16}\) cm
(C) \(\sqrt{48}\) cm
(D) \(\sqrt{24}\) cm.
उत्तर:
(A) \(\sqrt{32}\) cm

प्रश्न 12.
एक समबाहु त्रिभुज का परिमाप 60 m है। इसका क्षेत्रफल है :
(A) 10\(\sqrt{3}\) m2
(B) 15\(\sqrt{3}\) m2
(C) 20\(\sqrt{3}\) m2
(D) 100\(\sqrt{3}\) m2.
उत्तर:
(D) 100\(\sqrt{3}\) m2.

PSEB 9th Class Maths MCQ Chapter 12 हीरोन का सूत्र

प्रश्न 13.
एक त्रिभुज की भुजाएं 56 cm, 60 cm और 52 cm लंबाइयों की हैं। तब, त्रिभुज का क्षेत्रफल है
(A) 1322 cm2
(B) 1311 cm2
(C) 1344 cm2
(D) 1392 cm2
उत्तर:
(C) 1344 cm2

प्रश्न 14.
2\(\sqrt{3}\) cm भुजा वाले समबाहु त्रिभुजा का क्षेत्रफल है:
(A) 5.196 cm2
(B) 0.866 cm2
(C) 3.496 cm2
(D) 1.732 cm2.
उत्तर:
(A) 5.196 cm2

प्रश्न 15.
क्षेत्रफल 9\(\sqrt{2}\) cm2 वाले एक समबाहु त्रिभुज की प्रत्येक भुटा की लंबाई है।
(A) 8 cm
(B) 36 cm
(C) 4 cm
(D) 6 cm.
उत्तर:
(D) 6 cm.

प्रश्न 16.
यदि एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल 16\(\sqrt{3}\) cm2 है, तो इस त्रिभुज का परिमाप है
(A) 48 cm
(B) 24 cm
(C) 12 cm
(D) 36 cm.
उत्तर:
(B) 24 cm

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प्रश्न 17.
एक त्रिभुज की भुजाएं 35 cm, 54 cm और 61 cm की हैं। इसके सबसे लंबे शीर्षलंब की लंबाई है
(A) 16\(\sqrt{5}\) cm
(B) 10\(\sqrt{5}\) cm
(C) 24\(\sqrt{5}\) cm
(D) 28 cm.
उत्तर:
(C) 24\(\sqrt{5}\) cm

प्रश्न 18.
आधार 2 cm और बराबर भुजाओं में से एक भुजा 4 cm वाले समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल है।
(A) \(\sqrt{15}\) cm2
(B) \(\sqrt{\frac{15}{2}}\) cm2
(C) 2\(\sqrt{15}\) cm2
(D) 4\(\sqrt{15}\) cm2.
उत्तर:
(A) \(\sqrt{15}\) cm2

प्रश्न 19.
एक त्रिभुजाकार बोर्ड के किनारे 6 cm, 8 cm और 10 cm लंबाइयों के हैं। इस पर 9 पैसे प्रति cm2 की दर से पेंट कराने का व्यय है।
(A) 2.00 रु०
(B) 2.16 रु०
(C) 2.48 रु०
(D) 3.00 रु०।
उत्तर :
(B) 2.16 रु०

PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 12 हीरोन का सूत्र Ex 12.2

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 12 हीरोन का सूत्र Ex 12.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 12 हीरोन का सूत्र Ex 12.2

प्रश्न 1.
एक पार्क चतुर्भुज ABCD के आकार का है, जिसमें ∠C = 90° है, AB = 9 m, BC = 12 m, CD = 5 m और AD = 8 m है। इस पार्क का कितना क्षेत्रफल है ?
हल:
PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 12 हीरोन का सूत्र Ex 12.2 1
आकृति में यदि हम BD को मिलाते हैं तो हम देखते हैं कि विकर्ण BD चतुर्भुज ABCD को त्रिभुजों
(i) समकोण त्रिभुज BCD (ii) ABD में विभाजित कर देती है।
समकोण ΔBCD, में C पर समकोण है।
इसलिए आधार CD = 5 m
और शीर्षलंब, BC = 12 m
ΔBCD का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) × CD × BC
= \(\frac{1}{2}\) × 5 × 12 m2
= 30 m2
ΔABD; का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए हमें भुजा BD की आवश्यकता है, इसलिए इसे इस प्रकार निकालते है।
समकोण ABCD, में C पर समकोण है।
BD2 = CD2 + BC2
[पाइथागोरस परिणाम का प्रयोग करने पर]
⇒ BD2 = 52 + 122
= 25 + 144
⇒ BD2 = 169
⇒ BD = \(\sqrt{169}\) = \(\sqrt{13 \times 13}\)
= 13 m
ΔABD का परिमाप = (9 + 8 + 13) m
ΔABD का अर्ध-परिमाप = \(\frac{30}{2}\) m
⇒ s = 15 m
हीरोन के सूत्र का प्रयोग करने पर,
ΔABD का क्षेत्रफल
PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 12 हीरोन का सूत्र Ex 12.2 2
= 6\(\sqrt{35}\) m2
= 6 × 5.92 m2
= 35.5 m2 (लगभग)
चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल
= ar (ΔBCD) + ar (ΔABD)
= 30 m2 + 35.5 m2
= (30 + 35.5) m2
= 65.5 m2
अतः, चतुर्भुज का क्षेत्रफल 65.5 m2 लगभग है।

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प्रश्न 2.
एक चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसमें AB = 3 cm, BC = 4 cm, CD = 4 cm, DA = 5 cm और AC = 5 cm हैं।
हल :
चतुर्भुज ABCD; में विकर्ण AC इसे दो त्रिभुजों ΔABC और ΔADC में विभाजित करता है।
PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 12 हीरोन का सूत्र Ex 12.2 3
ΔABC का परिमाप = (3 + 4 + 5) cm
⇒ 2s = 12 cm
⇒ s = \(\frac{12}{2}\) = 6 cm
हीरोन के सूत्र का प्रयोग करने पर;
ΔABC का क्षेत्रफल
PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 12 हीरोन का सूत्र Ex 12.2 4
= 2 × 3 cm2 = 6 cm2
ΔADC का परिमाप = (4 + 5 + 5) cm
⇒ 2s’ = 14 cm
⇒ s’ = \(\frac{14}{2}\) cm
⇒ s’ = 7 cm
हीरोन के सूत्र को प्रयोग करने पर;
ΔADC का क्षेत्रफल = \(\sqrt{7(7-4)(7-5)(7-5)}\) cm2
= \(\sqrt{7 \times 3 \times 2 \times 2}\) cm2
= 2\(\sqrt{21}\) cm2
= 2 × 4.6 cm2 लगभग
= 9.2 cm2 लगभग
अब चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = ΔABC का क्षेत्रफल + ΔADC का क्षेत्रफल
= 6 cm2 + 9.2 cm2
= (6 + 9.2) cm2
= 15.2 cm2 लगभग
अतः, चतुर्भुज ABCD का अभीष्ट क्षेत्रफल 15.2 cm2 लगभग है।

प्रश्न 3.
राधा ने एक रंगीन कागज़ से एक हवाईजहाज़ का चित्र बनाया, जैसा कि आकृति में दिखाया गया है। प्रयोग किए गए कागज़ का कुल क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
भाग I का क्षेत्रफल
भाग I एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसकी भुजा 5 cm और 1 cm है।
PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 12 हीरोन का सूत्र Ex 12.2 5
PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 12 हीरोन का सूत्र Ex 12.2 6
भाग II का क्षेत्रफल
भाग II एक आयत के रूप में है जिसकी भुजाएँ 6.5 cm और 1 cm है।
भाग II का क्षेत्रफल = 6.5 × 1 = 6.5 cm …. (2)
भाग II का क्षेत्रफल
भाग | एक समलंब के रूप में है जिसकी असमान भुजाएं 1 से० मी० और 2 cm, समान भुजाएं 1 cm की है।
PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 12 हीरोन का सूत्र Ex 12.2 7
समबाहु त्रिभुज TQS का क्षेत्रफल = \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) × (भुजा)2
= \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) × (1)2
= \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) cm2
समबाहु त्रिभुज TQS का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) × आधार × शीर्षलव
= \(\frac{1}{2}\) × 1 × शीर्षलव
अब, \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) = \(\frac{1}{2}\) × शीर्षलन
या शीर्षलम्ब = \(\frac{2 \times \sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}\) cm
समलम्ब PQRS का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) × (समांतर भुजाओं का योग) × शीर्षलम्ब
= \(\frac{1}{2} \times(1+2) \times \frac{\sqrt{3}}{2}\)
= \(\frac{3}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3 \sqrt{3}}{4}\)
= \(\frac{3 \times 1.732}{4}\)
= 1.3 cm2 …. (3)
भाग IV और भाग v का क्षेत्रफल
भाग IV और भाग V एक त्रिभुज के रूप में है जिनकी भुजाएँ 1.5 cm और 6 cm है।
∴ भाग IV का क्षेत्रफल = भाग II का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\) × आधार × शीर्षलव
= \(\frac{1}{2}\) × 1.5 × 6
= 4.5 cm2 …. (4)
प्रयोग किए गए कागज़ का क्षेत्रफल = भाग I का क्षेत्रफल + भाग II का क्षेत्रफल + भाग III का क्षेत्रफल + भाग IV का क्षेत्रफल + भाग V का क्षेत्रफल
= (2.5 + 6.5 + 1.3 + 4.5 + 4.5) cm2
[(1), (2), (3), (4) के प्रयोग से]
= 19.3 cm2 (लगभग)

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प्रश्न 4.
एक त्रिभुज और एक समांतर चतुर्भुज का एक ही आधार है और क्षेत्रफल भी एक ही है। यदि त्रिभुज की भुजाएँ 26 cm, 28 cm और 30 cm हैं तथा समांतर चतुर्भुज 28 cm के आधार पर स्थित है, तो उसकी संगत ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 12 हीरोन का सूत्र Ex 12.2 8
हल :
त्रिभुज की भुजाएं 26 cm, 28 cm और 30 cm हैं।
∴ त्रिभुज का परिमाप (2s) = (26 + 28 + 30) cm
⇒ 2s = 84 cm
⇒ अर्ध-परिमाप s = \(\frac{84}{2}\) cm
⇒ s = 42 cm
हीरोन के सूत्र का प्रयोग करने पर;
त्रिभुज का क्षेत्रफल
PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 12 हीरोन का सूत्र Ex 12.2 9
= 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 7 cm
= 336 cm2
दिया है कि समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = त्रिभुज का क्षेत्रफल
⇒ आधार × संगत ऊँचाई = 336 cm2
⇒ 28 cm × ऊँचाई = 336 cm2
⇒ ऊँचाई = \(\frac{336}{28}\) cm
⇒ ऊँचाई = 12 cm
अतः, समांतर चतुर्भुज की संगत ऊँचाई 12 cm हैं।

प्रश्न 5.
एक समचतुर्भुजाकार घास के खेत में 18 गायों के चरने के लिए घास है। यदि इस समचतुर्भुज की प्रत्येक भुजा 30 m है और बड़ा विकर्ण 48 m है, तो प्रत्येक गाय को चरने के लिए इस घास के खेत का कितना क्षेत्रफल प्राप्त होगा ?
हल :
मान लीजिए समचतुर्भुजाकार खेत ABCD है।
PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 12 हीरोन का सूत्र Ex 12.2 10
इसलिए इसकी प्रत्येक बराबर भुजा; AB = BC = CD = DA = 30 m
और मान लीजिए इसका बड़ा विकर्ण AC = 48 m विकर्ण AC समचतुर्भुज को दो सर्वांगसम त्रिभुजों
(i) ΔABC और (ii) ΔACD में विभाजित करता है। जैसा कि हम जानते हैं कि दो सर्वांगसम त्रिभुजों का क्षेत्रफल बराबर होता है।
इसलिए ar (AABC) = ar (ΔACD)
अब ΔABC का क्षेत्रफल निकालना ही पर्याप्त है।
जिसकी भुजाएँ AB = BC = 30 m
और AC = 48 m हैं ;
(2s) of ΔABC का परिमाप = (30 + 30 + 48) m
⇒ 2s = 108 m
⇒ अर्ध-परिमाप ; s = \(\frac{108}{2}\)m
⇒ s = 54 m
हीरोन के सूत्र का प्रयोग करने पर; ΔABC त्रिभुज का क्षेत्रफल
PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 12 हीरोन का सूत्र Ex 12.2 11
= 3 × 6 × 24 m2
= 432 m2
समचतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = AABC का क्षेत्रफल + AACD का क्षेत्रफल
= ar. (ΔABC) + ar. (ΔABC)
[∵ ar. (ΔABC) = ar. (ΔACD]
= 2 ar. (ΔABC)
= 2 × 432 m2
= 864 m2
18 गायों के चरने के लिए प्राप्त क्षेत्रफल = 864 m2
1 गाय के लिए प्राप्त घास का क्षेत्रफल = \(\frac{864}{18}\)m2
= 48 m2
अतः, प्रत्येक गाय को चरने के लिए घास के खेत का 48 cm2 क्षेत्रफल प्राप्त होगा।

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प्रश्न 6.
दो विभिन्न रंगों के कपड़ों के 10 त्रिभुजाकार टुकड़ों को सीकर एक छाता बनाया गया है ( देखिए आकृति) प्रत्येक टुकड़े के माप 20 cm, 50 cm और 50 cm हैं। छाते में प्रत्येक रंग का कितना कपड़ा लगा है ?
PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 12 हीरोन का सूत्र Ex 12.2 12
हल :
दो विभिन्न रंगों के कपड़ों के 10 त्रिभुजाकार टुकड़ों में से प्रत्येक टुकड़े का माप 20 cm, 50 cm और 50 cm है।
PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 12 हीरोन का सूत्र Ex 12.2 13
∴ एक त्रिभुजाकार टुकड़े का परिमाप (2s)
= (20 + 50 + 50) cm
⇒ 2s = 120 cm
अर्ध-परिमाप ; s = \(\frac{120}{2}\)
⇒ s = 60 cm
हीरोन के सूत्र का प्रयोग करने पर,
प्रत्येक त्रिभुजाकार टुकड़े का क्षेत्रफल
PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 12 हीरोन का सूत्र Ex 12.2 14
प्रश्नानुसार दो विभिन्न रंगों के कपड़ों के 10 त्रिभुजाकार टुकड़े हैं।
इसलिए 5 टुकड़े लाल रंग के और 5 टुकड़े हरे रंग के हैं।
प्रत्येक टुकड़े के लिए अभीष्ट कपडा = 200\(\sqrt{6}\) cm2
∴ लाल टुकड़ों के लिए अभीष्ट कपड़ा
= 5 × 200\(\sqrt{6}\) cm2
= 1000\(\sqrt{6}\) cm2
इसी प्रकार 5 हरे टुकड़ों के लिए अभीष्ट कपड़ा
= 5 × 200\(\sqrt{6}\) cm2
= 1000\(\sqrt{6}\) cm2

प्रश्न 7.
एक पतंग तीन भिन्न-भिन्न शेडों (shades) के कागज़ों से बनी है। इन्हें आकृति में 1, II और III से दर्शाया गया है। पतंग का ऊपरी भाग 32 cm विकर्ण का एक वर्ग है और निचला भाग 6 cm, 6 cm और 8 cm भुजाओं का एक समद्विबाहु त्रिभुज है। ज्ञात कीजिए कि प्रत्येक शेड का कितना कागज़ प्रयुक्त किया गया है।
PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 12 हीरोन का सूत्र Ex 12.2 15
हल:
PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 12 हीरोन का सूत्र Ex 12.2 16
शेड I का क्षेत्रफल = शेड II का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\) × 32 × 16 cm
= 256 cm2
शेड III के क्षेत्रफल के लिए
अर्धपरिमाप s = \(\frac{6+6+8}{2}=\frac{20}{2}\) = 10 cm
शेड III का क्षेत्रफल
PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 12 हीरोन का सूत्र Ex 12.2 17

PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 12 हीरोन का सूत्र Ex 12.2

प्रश्न 8.
फर्श पर एक फूलों का डिज़ाइन 16 त्रिभुजाकार टाइलों से बनाया गया है, जिनमें से प्रत्येक की भुजाएँ 9 cm, 28 cm और 35 cm हैं ( देखिए आकृति)। इन टाइलों को 50 पैसे प्रति cm2 की दर से पालिश कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।
PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 12 हीरोन का सूत्र Ex 12.2 18
हल :
त्रिभुजाकार टाइल की भुजाएँ 9 cm, 28 cm और 35 cm हैं।
टाइल का परिमाप (2s) = (9 + 28 + 35) cm
⇒ 2s = 72 cm
⇒ अर्ध परिमाप ; s = \(\frac{72}{2}\) cm
⇒ s = 36 cm
हीरोन के सूत्र का प्रयोग करने पर,
त्रिभुजाकार टाइल का क्षेत्रफल
PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 12 हीरोन का सूत्र Ex 12.2 19
= 36\(\sqrt{6}\) cm2
= 36 × 2.45 cm2 लगभग
= 88.2 cm2 लगभग
हमें प्राप्त है, एक टाइल का क्षेत्रफल = 88.2 cm लगभग
∴ 16 टाइलों का क्षेत्रफल = 16 × 88.2 cm2
= 1411.2 cm2 लगभग
दिया है कि 1 cm2 का पॉलिश करवाने का व्यय = 50 पैसे
∴ 1411.2 cm2 का पॉलिश करवाने का व्यय = (50 × 1411.2) पैसे
= \(\frac{50}{100}\) × 1411.2 रु.
[∵ 100 पैसे = 1 रु.
∴ 50 पैसे = \(\frac{50}{100}\) रु.]
= 705.60 रु. लगभग
अतः, टाइलों को पॉलिश कराने का कुल व्यय 705.60 रु० है।

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प्रश्न 9.
एक खेत समलंब के आकार का है जिसकी समांतर भुजाएँ 25 m और 10 m हैं। इसकी असमांतर भुजाएँ 14 m और 13 m हैं। इस खेत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 12 हीरोन का सूत्र Ex 12.2 20
हल :
मान लीजिए ABCD एक समलंब है जिसमें
AB || DC और AB = 10 m, DC = 25 m, AD = 13 m, CB = 14 m
BE || AD खींचिए।
BE || AD और AB || DC
∴ BE = AD = 13 m [समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।]
और EC = 25 m – 10 m = 15 cm
अब BM ⊥ EC खींचिए।
ΔBEC की भुजाएँ 15 m, 14 m और 13 m हैं।
अर्ध-परिमाप, s = \(\frac{15+14+13}{2}=\frac{42}{2}\) = 21.
हीरोन के सूत्र का प्रयोग करने पर,
ΔBEC का क्षेत्रफल =
PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 12 हीरोन का सूत्र Ex 12.2 21
समलंब ABCD का क्षेत्रफल = समांतर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल + BEC का क्षेत्रफल
= (10 × \(\frac{56}{5}\) + 84)m2
[समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = आधार × संगत शीर्षलंब]
= (112 + 84) m2
= 196 m2

PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 9 समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Ex 9.2

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 9 समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Ex 9.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 9 समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Ex 9.2

प्रश्न 1.
आकृति में, ABCD एक समांतर चतुर्भुज है, AE ⊥ DC और CF ⊥ AD है। यदि AB = 16 cm, AE = 8 cm और CF = 10 cm है, तो AD ज्ञात कीजिए।
PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 9 समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Ex 9.2 - 1
हल :
ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।
∴ DC = AB
⇒ DC = 16 सेमी
AE ⊥ DC (दिया है)
समांतर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल
= DC × AE [∵ ar (|| gm) = आधार × संगत ऊँचाई]
= 16cm × 8 cm
= 128 cm2
आधार AD और ऊँचाई CF का प्रयोग करने पर; समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = AD × CF
⇒ 128 cm2 = AD × 10 cm
या AD × 10 cm = 128 cm2
⇒ AD = \(\frac {128}{10}\) cm
⇒ AD = 12.8 cm

PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 9 समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Ex 9.2

प्रश्न 2.
यदि E, F, G और H क्रमशः समांतर चतुर्भुज ABCD की भुजाओं के मध्य-बिंदु हैं, तो दर्शाइए कि ar (EFGH) = \(\frac {1}{2}\)ar (ABCD) है।
हल :
दिया है : ABCD एक समांतर चतुर्भुज है और E, F, G और H क्रमश: भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिंदु है।
सिद्ध करना है : ar (EFGH) = \(\frac {1}{2}\)ar (ABCD)
रचना . AC और HF को मिलाइए।
उपपत्ति : ΔABC में, E भुजा AB का मध्य-बिंदु है और F भुजा BC का मध्य-बिंदु हैं।
PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 9 समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Ex 9.2 - 2
∴ EF = \(\frac {1}{2}\)AC और EF || AC …….(1)
इसी प्रकार ΔADC में,
GH = \(\frac {1}{2}\)AC और GH || AC ….(2)
∴ GH = EF और GH || EF
[(1) और (2) से]
∴ चतुर्भुज EFGH एक ||gm है। [यदि चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समांतर हो, तो यह समांतर चतुर्भुज होती हैं।]
|| gm ABCD में,
AD = BC और AD || BC
[|| gm की सम्मुख भुजाएँ]
∴ \(\frac {1}{2}\)AD = \(\frac {1}{2}\)BC और AD || FC
⇒ HD = FC और HD || FC
∴ HDCF एक || gm है
क्योंकि ΔHGF और ||gm HDCF एक ही आधार HF और एक ही समांतर रेखाओं के बीच है।
∴ ar (ΔHGF) = \(\frac {1}{2}\)ar (|| gm HDCF) …(3)
इसी प्रकार,
ar (ΔHEF) = \(\frac {1}{2}\)ar (|| gm HABF) ….(4)
(3) और (4) को जोड़ने से हमें प्राप्त होता है।
ar (ΔHGF) + ar (ΔHEF)
= \(\frac {1}{2}\)[ar (||gm HDCF) + ar (||gm HABF)]
अतः, ar (|| gm EFGH) = \(\frac {1}{2}\)ar (||gm ABCD).

प्रश्न 3.
P और Q क्रमश: समांतर चतुर्भुज ABCD की भुजाओं DC और AD पर स्थित बिंदु हैं। दर्शाइए कि ar (APB) = ar (BQC) है।
हल :
दिया है : ABCD एक समांतर चतुर्भुज है। P, DC पर स्थित हैऔर Q, AD पर स्थित बिंदु है।
सिद्ध करना है : ar (ΔAPB) = ar (ΔBQC)
रचना : PM | BC और QN |DC खींचिए।
उपपत्ति : क्योंकि QC, || gm QNCD का विकर्ण है।
∴ ar (ΔQNC) = \(\frac {1}{2}\)ar (|| gm QNCD) ……(1)
PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 9 समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Ex 9.2 - 3
पुनः, BQ || gm ABNQ का विकर्ण है।
∴ ar (ΔBQN) = \(\frac {1}{2}\)ar (|| gm ABNQ) ….(2)
(1) और (2) को जोड़ने पर हमें प्राप्त होता है ) ar (ΔQNC) + ar (ΔBQN)
= \(\frac {1}{2}\)ar (|| gm QNCD) + \(\frac {1}{2}\)ar (|| gm ABNQ)
⇒ ar (ΔBQC) = \(\frac {1}{2}\)ar (|| gm ABCD) ….(3)
पुनः, AP, ||gm AMPD का विकर्ण है।
∴ ar (ΔAPM) = \(\frac {1}{2}\)ar (|| gm AMPD) ….(4 )
और PB, ||gm PCBM का विकर्ण है।
∴ ar (ΔPBM) = \(\frac {1}{2}\)ar (||gm PCBM) ….(5 )
(4) और (5) को जोड़ने पर हमें प्राप्त होता है:
ar (ΔAPM) + ar (ΔPBM)
= \(\frac {1}{2}\)ar (||gm AMPD) + \(\frac {1}{2}\)ar (||gm PCBM)
⇒ ar (ΔAPB) = \(\frac {1}{2}\)ar (||gm ABCD) ……(6)
(3) और (6) से हमें प्राप्त होता है
ar (ΔBQC) = ar (ΔAPB)
या ar (ΔAPB) = ar (ΔBQC)
इति सिद्धम

PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 9 समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Ex 9.2

प्रश्न 4.
आकृति में, P समांतर चतुर्भुज ABCD के अभ्यंतर में स्थित कोई बिंदु है। दर्शाइए कि
(i) ar (APB) + ar (PCD) = \(\frac {1}{2}\)ar (ABCD)
(ii) ar (APD) + ar (PBC) = ar (APB) + ar (PCD)
हल:
PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 9 समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Ex 9.2 - 4
(i) P से होकर AB के समांतर एक रेखा l खींचिए जो AD को Q पर तथा BC को R पर प्रतिच्छेदित करे।
अब ΔAPB और ||gm ABRQ एक ही आधार AB तथा एक ही समांतर रेखाओं AB और QR के बीच स्थित हैं।
∴ ar (ΔAPB) = \(\frac {1}{2}\)ar (||gm ABRQ) …….(1)
साथ ही APCD और ||gm DCRQ एक ही आधार DC तथा एक ही समांतर रेखाओं DC और QR के बीच स्थित हैं।
∴ ar (ΔPCD) = \(\frac {1}{2}\)ar (||gm DCRQ) …..(2)
(1) और (2) को जोड़ने पर हमें प्राप्त होता है। ar (ΔAPB) + ar (ΔPCD)
= \(\frac {1}{2}\)ar (||gm ABRQ) + \(\frac {1}{2}\)ar (||gm DCRQ)
⇒ ar (ΔAPB) + ar (ΔPCD)
= \(\frac {1}{2}\)ar (||gm ABCD) ……….. (3)

(ii) P से होकर AD के समांतर एक रेखा m खींचिए जो AB को M पर तथा DC को N पर प्रतिच्छेद करे।
अब ΔAPD और ||gm AMND एक ही आधार AD तथा एक ही समांतर रेखाओं AD और MN के बीच स्थित हैं।
∴ ar (ΔAPD) = \(\frac {1}{2}\)ar (||gm AMND) ………….(4)
साथ ही, Δ(PBC) और ||gm MNCB एक ही आधार BC तथा एक ही समांतर रेखाओं BC और MN के बीच स्थित हैं।
∴ ar (ΔPBC) = \(\frac {1}{2}\)ar (||gm MNCB) …..(5)
(4) और (5) को जोड़ने पर हमें प्राप्त होता है :
ar (ΔAPD) + ar (ΔPBC)
= \(\frac {1}{2}\) ar (||gm AMND) + \(\frac {1}{2}\)ar (||gm MNCB)
⇒ ar (ΔAPD) + ar (ΔPBC)
= \(\frac {1}{2}\) ar (ABCD) ……..(6)
(5) और (6) से हमें प्राप्त होता है :
ar (ΔAPB) + ar (ΔPCD) = ar (ΔAPD) + ar (ΔPBC)
या, ar (ΔAPD) + ar (ΔPBC) = ar (ΔAPB) + ar (ΔPCD)
इति सिद्धम

प्रश्न 5.
आकृति में, PORS और ABRS समांतर चतुर्भज हैं तथा X भुजा BR पर स्थत कोई बिंदु है। दर्शाइए कि
(i) ar (PQRS) = ar (ABRS)
(ii) ar (AXS) = \(\frac {1}{2}\)ar (PQRS)
PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 9 समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Ex 9.2 - 5
हल:
(i) समांतर चतुर्भुज PQRS और ABRS एक ही आधार SR तथा एक ही समांतर रेखाओं SR और PB के बीच स्थित हैं।
∴ ar (||gm PQRS) = ar (||gm ABRS) ……(1)
[∵ एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित समांतर चतुर्भुज क्षेत्रफल में बराबर होते हैं।]

(ii) ΔAXS और ||gm ABRS एक ही आधार AS तथा एक ही समांतर रेखाओं AS और BR के बीच स्थित
∴ ar (AAXS) = \(\frac {1}{2}\)(||gm ABRS) ….(2)
(1) का (2) में प्रयोग करने पर हमें प्राप्त होता हैं,
ar (ΔAXS) = \(\frac {1}{2}\)ar (||gm PQRS)

PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 9 समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Ex 9.2

प्रश्न 6.
एक किसान के पास समांतर चतुर्भुज PQRS के रूप का एक खेत था। उसने RS पर स्थित कोई बिंदु A लिया और उसे P और Q से मिला दिया। खेत कितने भागों में विभाजित हो गया है? इन भागों के आकार क्या हैं? वह किसान खेत में गेहूँ और दालें बराबर-बराबर भागों में अलग-अलग बोना चाहती है। वह ऐसा कैसे करे ?
हल:
PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 9 समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Ex 9.2 - 6
जब A को P और Q से मिलाया जाता है, तो खेत तीन भागों, जैसे : ΔPAS, ΔAPQ और ΔAQR में विभाजित हो जाता है।
ΔAPQ और समांतर चतुर्भुज PQRS एक ही आधार PQ तथा एक ही समांतर रेखाओं PQ और SR के बीच स्थित है।
∴ ar (ΔAPQ) = \(\frac {1}{2}\)ar (||gm PQRS)
अतः, त्रिभुजाकार भाग APQ, समांतर चतुर्भुज PQRS के रूप के खेत का आधा भाग है।
इसलिए किसान यदि त्रिभुजाकार खेत APQ में गेहूँ
बोती है, तो दूसरे दो त्रिभुजाकार भागों PAS और AQR में उसे दालें बोनी पड़ेंगी।

अथवा

जब वह त्रिभुजाकार खेत APQ में दालें बोती हैं तो दूसरे दो त्रिभुजाकार भागों PAS और AQR में उसे अवश्य ही गेहूँ बोना पड़ेगा।
PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 9 समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Ex 9.2 - 7

PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 12 हीरोन का सूत्र Ex 12.1

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 12 हीरोन का सूत्र Ex 12.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 12 हीरोन का सूत्र Ex 12.1

प्रश्न 1.
एक यातायात संकेत बोर्ड पर ‘आगे स्कूल है’ लिखा है और यह भुजा ‘a’ वाले एक समबाहु त्रिभुज के आकार का है। हीरोन के सूत्र का प्रयोग करके इस बोर्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। यदि संकेत बोर्ड का परिमाप 180 cm है, तो इसका क्षेत्रफल क्या होगा ?
हल :
PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 12 हीरोन का सूत्र Ex 12.1 1
यातायात संकेत बोर्ड समबाहु त्रिभुज के आकार का है। आइए इसे ΔABC का नाम दें।
∴ समबाहु त्रिभुज ABC की प्रत्येक भुजा = a मात्रक (दिया है। )
समबाहु त्रिभुज का परिमाप अर्थात्
2s = a + a + a = 3a
अर्ध-परिमाप; s = \(\frac{3 a}{2}\)
इसलिए हीरोन के क्षेत्रफल के प्रयोग करने से त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\sqrt{s(s-a)(s-a)(s-a)}\)
PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 12 हीरोन का सूत्र Ex 12.1 2

(ii) समबाहु त्रिभुज का परिमाप = 180 cm
⇒ a + a + a = 180 cm
⇒ 3a = 180 cm
⇒ a = \(\frac{180}{3}\) cm
⇒ a = 60 cm
⇒ 2S = 180 cm
⇒ S = \(\frac{180}{2}\)
⇒ S = 90 cm
∴ हीरोन के सूत्र का प्रयोग करने पर;
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल
PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 12 हीरोन का सूत्र Ex 12.1 3
= 90 (90 – 60) (90 – 60) (90 – 60)
वैकल्पिक विधि
a भुजा वाली समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल
= \(\frac{\sqrt{3} a^2}{4}\) (ऊपर प्राप्त किया)
अतः, समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल
= \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) (60)2
[a = 60 cm का प्रयोग करने पर]
= \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) × 3600 cm2
= \(\sqrt{3}\) × 900 cm2
= 900 \(\sqrt{3}\) cm2

PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 12 हीरोन का सूत्र Ex 12.1

प्रश्न 2.
किसी फलाईओवर (Flyover) की त्रिभुजाकार दीवार को विज्ञापनों के लिए प्रयोग किया जाता है। दीवार की भुजाओं की लंबाइयाँ 122 m, 22 m और 120 m हैं। ( देखिए आकृति)। इस विज्ञापन से प्रति वर्ष 5000 रु० प्रति m2 की प्राप्ति होती है। एक कंपनी ने एक दीवार को विज्ञापन देने के लिए 3 महीने के लिए किराए पर लिया। उसने कुल कितना किराया दिया ?
PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 12 हीरोन का सूत्र Ex 12.1 4
हल :
मान लीजिए कि फलाईओवर की त्रिभुजाकार दीवार की भुजाएँ a, b और c हैं :
:: a = 122 m, b = 22 m और c = 120 m
त्रिभुज का परिमाप,
2s = (122 + 22 + 120) m
अर्ध-परिमाप = \(\frac{264}{2}\) m
= 132 m
अब, s – a = (132 – 122) m = 10 m
s – b = (132 – 22) m = 110 m
s – c = (132 – 120) m = 12 m
इसलिए हीरोन के सूत्र से त्रिभुजाकार दीवार का क्षेत्रफल
PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 12 हीरोन का सूत्र Ex 12.1 5
दीवार पर विज्ञापन का 1 वर्ष (अर्थात् 12 महीने) का किराया = 5000 रु० प्रति m2
1 महीने का किराया = \(\frac{5000}{12}\) रु० प्रति m2
3 महीने का किराया = (\(\frac{5000}{12}\) × 3) रु० प्रति m2
= \(\frac{5000}{4}\) रु० प्रति m2
अब प्रति m2 विज्ञापन के लिए दिया गया किराया = \(\frac{5000}{4}\) रु०
1320 m2 विज्ञापन के लिए दिया गया किराया = (\(\frac{5000}{4}\) × 1320) रु०
= (5000 × 330) रु०
= 1650000 रु०
अतः, कंपनी द्वारा दिया गया किराया = 16,50,000 रु०

प्रश्न 3.
किसी पार्क में एक फिसल पट्टी (slide) बनी हुई है। इसकी पार्वीय दीवारों (side walls) में से एक दीवार पर किसी रंग से पेंट किया गया है और उस पर “पार्क को हरा-भरा और साफ़ रखिए” लिखा हुआ है ( देखिए आकृति)। यदि इस दीवार की विमाएँ 15 m, 11 m और 6 m हैं, तो रंग से पेंट हुए भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 12 हीरोन का सूत्र Ex 12.1 6
हल :
रंग से पेंट की हुई त्रिभुजाकार दीवार की भुजाएँ 15 m, 11 m और 6 m हैं।
∴ इस त्रिभुजाकार दीवारा का परिमाप
2s = (15 + 11 + 6) m
⇒ s = \(\frac{32}{2}\) m
⇒ s = 16 m
हीरोन सूत्र के प्रयोग से त्रिभुजाकार दीवार का क्षेत्रफल
PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 12 हीरोन का सूत्र Ex 12.1 7
= 4 × 5\(\sqrt{2}\) m2
= 20\(\sqrt{2}\) m2
अतः रंग से पेंट हुए भाग का क्षेत्रफल = 20\(\sqrt{2}\) m2

PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 12 हीरोन का सूत्र Ex 12.1

प्रश्न 4.
उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी दो भुजाएँ 18 cm और 10 cm हैं तथा उसका परिमाप 42 cm है।
हल :
त्रिभुज का परिमाप = 42 cm
⇒ 18 cm + 10 cm + तीसरी भुजा = 42 cm
PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 12 हीरोन का सूत्र Ex 12.1 8
⇒ तीसरी भुजा = (42 – 18 – 10) cm
⇒ तीसरी भुजा = 14 cm
अब त्रिभुज का अर्ध-परिमाप;
s = 2 cm
⇒ s = \(\frac{42}{2}\) cm
अब त्रिभुज की तीन भुजाएँ 18 cm, 10 cm और 14 cm हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल
PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 12 हीरोन का सूत्र Ex 12.1 9
अतः, त्रिभुज का क्षेत्रफल 21\(\sqrt{11}\) cm2.

प्रश्न 5.
एक त्रिभुज की भुजाओं का अनुपात 12 : 17 : 25 है और उसका परिमाप 540 cm है। इस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया है कि त्रिभुज की भुजाओं में अनुपात 12 : 17 : 25
∴ मान लीजिए cm में त्रिभुज की भुजाएँ 12x, 17x और 25x हैं।
त्रिभुज का परिमाप = 540 cm (दिया है)
⇒ 12x + 17x + 25x = 540 cm
⇒ 54x = 540 cm
⇒ x = \(\frac{540}{54}\) cm
⇒ x = 10 cm
अब त्रिभुज की भुजाएं हैं-
12x = 12 × 10 = 120 cm
17x = 17 × 10 = 170 cm
और 25x = 25 × 10 = 250 cm
परिमाप त्रिभुज का अर्ध-परिमाप;
PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 12 हीरोन का सूत्र Ex 12.1 10
= \(\frac{540}{2}\) cm
= 270 cm
हीरोन के सूत्र के प्रयोग से;
त्रिभुज का क्षेत्रफल
PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 12 हीरोन का सूत्र Ex 12.1 11
अतः, त्रिभुज का अभीष्ट क्षेत्रफल 9000 cm2 है।

PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 12 हीरोन का सूत्र Ex 12.1

प्रश्न 6.
एक समदविबाहु त्रिभुज का परिमाप 30 cm है और उसकी बराबर भुजाएँ 12 cm लंबाई की हैं। इस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप = 30 cm
⇒ 12 cm + 12 cm + तीसरी भुजा = 30 cm
PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 12 हीरोन का सूत्र Ex 12.1 12
[∵ समद्विबाहु त्रिभुज में दो भुजाएँ बराबर होती हैं और यहां प्रत्येक बराबर भुजा 12 cm है।]
⇒ तीसरी भुजा = (30 – 12 – 12) cm
⇒ तीसरी भुजा = 6 cm
अब समद्विबाहु त्रिभुज s का अर्धपरिमाप
PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 12 हीरोन का सूत्र Ex 12.1 13
परिमाप
s = \(\frac{30}{2}\) cm
⇒ s = 15 cm
हीरोन के सूत्र के प्रयोग से; त्रिभुज का क्षेत्रफल
PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 12 हीरोन का सूत्र Ex 12.1 14
अतः, समद्विबाहु त्रिभुज का अभीष्ट क्षेत्रफल = 9\(\sqrt{15}\) cm2

PSEB 9th Class Maths MCQ Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन MCQ Questions with Answers.

PSEB 9th Class Maths Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन MCQ Questions

बहुविकल्पीय प्रश्न:

दिये गए चार विकल्पों में से सही उत्तर का चयन करें।

प्रश्न 1.
घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल होता है :
(A) 2 (lb + bh + hl)
(B) 3 (lb + bh + hl)
(C) 2 (lb + bh – hl)
(D) 3 (lb – bh – hl).
हल :
(A) 2 (lb + bh + hl)

प्रश्न 2.
गरम पानी द्वारा गरम रखने वाले एक संयंत्र में 28 m लंबाई और 5 cm व्यास वाला एक बेलनाकार पाइप है। इस संयंत्र में गरमी देने वाला कुल ष्ठ है :
(A) 6.6 m2
(B) 5.5 m2
(C) 4.4 m2
(D) 3.4 m2
हल :
(C) 4.4 m2

प्रश्न 3.
एक लंब वृत्तीय शंकु की तिर्यक ऊँचाई 10 cm और आधार की त्रिज्या 7 cm हो तो : इसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा :
(A) 120 cm2
(B) 220 cm2
(C) 240 cm2
(D) 140 cm2.
हल :
(B) 220 cm2

प्रश्न 4.
एक शंकु की ऊँचाई 16 cm है और आधार की त्रिज्या 12 cm है। इसकी तिर्यक ऊँचाई होगी :
(A) 10 cm
(B) 15 cm
(C) 20 cm
(D) 8 cm.
हल :
(C) 20 cm

प्रश्न 5.
एक शंकु की ऊँचाई 16 cm और आधार की त्रिज्या 12 cm है। इसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा :
(A) 753.6 cm2
(B) 1205.76 cm2
(C) 863.8 cm2
(D) 907.8 cm2
हल :
(C) 863.8 cm2

PSEB 9th Class Maths MCQ Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन

प्रश्न 6.
एक शंकु के आधार का व्यास 10.5 cm है और इसकी तिर्यक ऊँचाई 10 cm है। इसका ऊँचाई वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा :
(A) 185 cm
(B) 160 cm2
(C) 165 cm
(D) 195 cm2.
हल :
(C) 165 cm

प्रश्न 7.
एक शंकु की तिर्यक ऊंचाई 26 m है और इसके आधार का व्यास 20 m है। इसकी ऊँचाई होगी :
(A) 24 m
(B) 25 m
(C) 23 m
(D) 35 m.
हल :
(A) 24 m

प्रश्न 8.
एक शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 308 cm2 है और इसकी तिर्यक ऊँचाई 14 cm है। इसके आधार की त्रिज्या होगी :
(A) 8 m
(B) 7 cm
(C) 9 m
(D) 12 m.
हल :
(B) 7 cm

प्रश्न 9.
शंकु के आकार का एक तंबू 10 m ऊँचा है और उसके आधार की त्रिज्या 24 m है। तंबू की तिर्यक ऊँचाई होगी :
(A) 26 m
(B) 28 m
(C) 25 m
(D) 27 m.
हल :
(A) 26 m

प्रश्न 10.
शंकु के आधार की एक गुंबज की तिर्यक ऊँचाई और आधार के व्यास क्रमश: 25 m और 14 m हैं। इसकी वक्र पृष्ठ 210 रुपए प्रति 100 m2 की दर से सफेदी कराने का व्यय होगा :
(A) 1233 रु०
(B) 1155 रु०
(C) 1388 रु०
(D) 1432 रु०।
हल :
(B) 1155 रु०

PSEB 9th Class Maths MCQ Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन

प्रश्न 11.
एक जोकर की टोपी एक शंकु के आकार की है, जिसके आधार की त्रिज्या 7 cm और ऊँचाई 24 cm है। इस प्रकार की 10 टोपियां बनाने के लिए आवश्यक गत्ते का क्षेत्रफल होगा :
(A) 5500 cm2
(B) 6500 cm2
(C) 8500 cm2
(D) 3500 cm2.
हल :
(A) 5500 cm2

प्रश्न 12.
एव अर्धगोला जिसकी त्रिज्या r है, का पृष्ठीय क्षेत्र फल होगा :
(A) 2πr2
(B) 4πr2
(C) 3πr2
(D) 5πr2.
हल :
(A) 2πr2

प्रश्न 13.
अर्धगोला जिसकी त्रिज्या r है, का पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा :
(A) 4πr2
(B) 3πr2
(C) 2πr2
(D) 51πr2.
हल :
(B) 3πr2

प्रश्न 14.
7 cm त्रिज्या वाले गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा :
(A) 516 cm2
(B) 616 cm2
(C) 716 cm2
(D) 880 cm2.
हल :
(B) 616 cm2

प्रश्न 15.
त्रिज्या 21 cm वाले अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा :
(A) 2772 cm2
(B) 2564 cm
(C) 3772 cm2
(D) 4772 cm.
हल :
(A) 2772 cm2

PSEB 9th Class Maths MCQ Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन

प्रश्न 16.
14 cm त्रिज्या वाले गोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा :
(A) 2464 cm2
(B) 2428 cm2
(C) 2464 cm3
(D) 2428 cm3.
हल :
(A) 2464 cm2

प्रश्न 17.
14 cm व्यास वाले गोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा :
(A) 616 cm2
(B) 676 cm2
(C) 616 cm3
(D) 676 cm3.
हल :
(A) 616 cm2

प्रश्न 18.
10 cm त्रिज्या वाले एक अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा :
(A) 942 cm2
(B) 942 cm3
(C) 842 cm2
(D) 842 cm3.
हल :
(A) 942 cm2

प्रश्न 19.
एक गोलाकार गुब्बारे में हवा भरने पर, उसकी त्रिज्या 7 cm से 14 cm हो जाती है। दोनों स्थितियों में गुब्बारे के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात होगा :
(A) 4 : 1
(B) 1 : 4
(C) 3 : 1
(D) 1 : 3.
हल :
(B) 1 : 4

प्रश्न 20.
माचिस की एक डिब्बी के माप 4 cm × 2.5 cm × 1.5 cm हैं। ऐसी 12 डिब्बियों के एक पैकेट का आयतन होगा :
(A) 160 cm3
(B) 180 cm3
(C) 160 cm2
(D) 180 cm2.
हल :
(B) 180 cm3

PSEB 9th Class Maths MCQ Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन

प्रश्न 21.
एक घनाभाकार पानी की टंकी 6 m लंबी, 5 m चौड़ी और 4.5 m गहरी है। इसमें पानी आ सकता है :
(A) 1350 लिटर
(B) 13500 लिटर
(C) 135000 लिटर
(D) 135 लिटर।
हल :
(C) 135000 लिटर

प्रश्न 22.
एक घनाभाकार बर्तन 10 m लंबा और 8 m चौड़ा है। इसको कितना ऊँचा बनाया जाए कि इसमें 380 घन मीटर द्रव आ सके।
(A) 4.75 m
(B) 4.85 m
(C) 4.75 m
(D) 4.85 cm.
हल :
(A) 4.75 m

प्रश्न 23.
एक घनाभाकार टंकी की धारिता 50000 लीटर पानी की है। यदि इस टंकी की लंबाई और गहराई क्रमश: 2.5 m और 10 m है, तो इसकी चौड़ाई होगी :
(A) 4 m
(B) 3 m
(C) 2 m
(D) 5 m
हल :
(C) 2 m

प्रश्न 24.
किसी गोदाम की माप 40 m × 25 m × 10 m है। इस गोदाम में 1.5 m × 1.25 m × 0.5 m की माप वाले लकड़ी के कितने अधिकतम क्रेट रखे जा सकते हैं ?
(A) 18000
(B) 16000
(C) 15000
(D) 14000
हल :
(B) 16000

प्रश्न 25.
3 m मी० गहरी और 40 m चौड़ी एक नदी 2 km प्रति घंटा की चाल से बहकर समुद्र में गिरती है। एक मिनट में समुद्र में कितना पानी गिरेगा?
(A) 4000 m3
(B) 40 m3
(C) 400 m3
(D) 40000 m3
हल :
(A) 4000 m3

PSEB 9th Class Maths MCQ Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन

प्रश्न 26.
एक बेलनाकार बर्तन के आधार की परिधि 132 cm और उसकी ऊँचाई 25 cm है। इस बर्तन में कितने लीटर पानी आ सकता है ?
(A) 33.75 लीटर
(B) 34.65 लीटर
(C) 35.75 लीटर
(D) 38.75 लीटर।
हल :
(B) 34.65 लीटर

प्रश्न 27.
एक बेलन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल 94.2 cm2 है और उसकी ऊँचाई 5 cm है, इसकी आधार की त्रिज्या होगी :
(A) 3 cm
(B) 4 cm
(C) 5 cm
(D) 6 cm
हल :
(A) 3 cm

प्रश्न 28.
10 cm गहरे एक बेलनाकार बर्तन के आंतरिक वक्र पृष्ठ को पेंट कराने का व्यय 2200 रुपए हैं। यदि पेंट कराने की दर 20 रु० प्रति m2 हो तो इसके आधार की त्रिज्या होगी :
(A) 1.75 m
(B) 1.85 m
(C) 1.95 m
(D) 1.65 m
हल :
(A) 1.75 m

प्रश्न 29.
किसी शंकु की ऊँचाई और तिर्यक ऊँचाई क्रमशः 21 cm और 28 cm है। इसका आयतन होगा :
(A) 5546 cm2
(B) 7546 cm3
(C) 5564 cm3
(D) 8546 cm2
हल :
(B) 7546 cm3

प्रश्न 30.
लंब वृत्तीय शंकु जिसकी त्रिज्या 6 cm और ऊँचाई 7 cm है। इसका आयतन होगा :
(A) 254 cm3
(B) 264 cm3
(C) 274 cm2
(D) 284 cm2
हल :
(B) 264 cm3

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प्रश्न 31.
शंकु के आकार के उस बर्तन की लीटरों में धारिता होगी जिसकी त्रिज्या 7 cm और ऊँचाई 25 cm है :
(A) 1.232 l
(B) 1.5 l
(C) 1.35 l
(D) 1.6 l
हल :
(A) 1.232 l

प्रश्न 32.
एक शंकु की ऊँचाई 15 cm है। यदि इसका आयतन 1570 cm3 हो तो इसके आधार की त्रिज्या होगी :
(A) 12 cm
(B) 10 cm
(C) 15 cm
(D) 18 cm
हल :
(A) 1.232 l

प्रश्न 33.
यदि 9 cm ऊंचाई वाले एक लंब वृत्तीय शंकु का आयतन 487 cm3 है तो इसके आधार का व्यास होगा :
(A) 10 cm
(B) 12 cm
(C) 8 cm
(D) 6 cm.
हल :
(C) 8 cm

प्रश्न 34.
ऊपरी व्यास 3.5 m वाले शंकु के आकार का एक गड्ढा 12 m गहरा है। इसकी धारिता किलोलीटरों में होगी :
(A) 38.5k
(B) 48.5 kl
(C) 39.5 kl
(D) 47.5 kl
हल :
(A) 38.5k

प्रश्न 35.
एक शंकु की ऊँचाई 15 cm है। इसकी आयतन 1570 cm3 है, इसकी आधार की त्रिज्या होगी :
(A) 5 cm
(B) 8 cm
(C) 10 cm
(D) 12 cm
हल :
(C) 10 cm

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प्रश्न 36.
चंद्रमा का व्यास पृथ्वी के व्यास का लगभग एक चौथाई है। चंद्रमा का आयतन पृथ्वी के आयतन की कौन-सी भिन्न है ?
(A) \(\frac{1}{64}\)
(B) \(\frac{1}{32}\)
(C) \(\frac{1}{16}\)
(D) \(\frac{1}{48}\)
हल :
(A) \(\frac{1}{64}\)

प्रश्न 37.
जिस घन की विमाएं 50 cm × 40 cr × 10 cm हैं इसका आयतन लीटरों में होगा :
(A) 10 लीटर
(B) 12 लीटर
(C) 20 लीटर
(D) 25 लीटर.
हल :
(C) 20 लीटर

प्रश्न 38.
एक टंकी का आयतन 250 m3 है और इसके आधार का क्षेत्रफल 50 m2 है। इसके अंदर पानी की गहराई होगी :
(A) 5 m
(B) 200 m
(C) 300 m
(D) 12500 m
हल :
(A) 5 m

प्रश्न 39.
एय आयताकार ठोस की लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमश: 4 cm, 3 cm और 2 cm है। इसका आयतन होगा :
(A) (4 + 3 + 2) cm3
(B) 2 (4 + 3 + 2) cm3
(C) 4 × 3 × 2 cm3
(D) 2 (4 + 3) × 2 cm3
हल :
(C) 4 × 3 × 2 cm3

प्रश्न 40.
एक आयताकार ठोस का आयतन 200 m3 है। यह 8 m लंबा और 5 m चौड़ा है। इसकी ऊँचाई होगी :
(A) 5 m
(B) 15 m
(C) 6 m
(D) 18 m
हल :
(A) 5 m

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प्रश्न 41.
एक गोलाकार गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल 616 cm2 है। इस गोले की त्रिज्या होगी :
(A) 6 cm
(B) 8 cm
(C) 7 cm
(D) 5 cm
हल :
(C) 7 cm

प्रश्न 42.
यदि एक गोले की त्रिज्या \(\frac{2 d}{3}\) हो तो इसका आयतन होगा :
(A) \(\frac{32}{81}\) πd3
(B) \(\frac{23}{4}\) πd3
(C) \(\frac{32}{3}\) πd3
(D) \(\frac{34}{3}\) πd3
हल :
(A) \(\frac{32}{81}\) πd3

प्रश्न 43.
एक बेलनाकार टंकी की धारिता 6160 cm3 है। यदि इसके आधार का व्यास 28 m हो तो टंकी की गहराई होगी :
(A) 5 m
(B) 8 m
(C) 10 m
(D) 15 m
हल :
(C) 10 m

प्रश्न 44.
बेलन का आयतन है :
(A) 2πrh
(B) πr2h
(C) \(\frac{4}{3}\) = πr2h
(D) 2πr2h
हल :
(B) πr2h

प्रश्न 45.
दोबेलनों की त्रिज्यों में 2 : 3 के अनुपात है और उनकी ऊँचाइयों में 5 : 3 का अनुपात है। उनके आर तनों में अनुपात होगा :
(A ) 27 : 20
(B) 25 : 24
(C) 20 : 27
(D) 15 : 20
हल :
(C) 20 : 27

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प्रश्न 46.
एकलंब वृत्ताकार बेलन का आधार 7 सेमी और ऊचाई 1 सेमी है। बेलन का आयतन क्या है ?
(A) 216 सेमी3
(B) 136 सेमी3
(C) 172 सेमी3
(D) 154 सेमी3
हल :
(D) 154 सेमी3

प्रश्न 47.
एक गोले का व्यास 14 m है। इस गोले का आयतन होगा :
(A) 1437 \(\frac{1}{3}\)m3
(B) 1357 \(\frac{1}{3}\)m3
(C) 1437\(\frac{2}{3}\)m3
(D) 1337\(\frac{2}{3}\)m3
हल :
(A) 1437 \(\frac{1}{3}\)m3

प्रश्न 48.
एक गोले का आयतन 524 cm3 है। इस गोले का व्यास होगा :
(A) 4 cm
(B) 5 cm
(C) 3 cm
(D) 6 cm
हल :
(B) 5 cm

प्रश्न 49.
एक बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 40 cm2 है। यदि बेलन की ऊँचाई 5.5 cm हो तो इसके आधार की त्रिज्या होगी :
(A) 5 cm
(B) 2.5 cm
(C) 1.5 cm
(D) 10 cm
हल :
(B) 2.5 cm

प्रश्न 50.
एक लम्ब वृत्तीय शंकु के आधार का क्षेत्रफल 78.5 cm2 है। यदि इसकी ऊँचाई 12 cm हो तो इसकी आयतन होगा :
(A) 31.4 cm3
(B) 3.14 cm3
(C) 314 cm3
(D) इनमें से कोई नहीं।
हल :
(C) 314 cm3

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प्रश्न 51.
एक लंबवृत्तीय शंकु के आधार की त्रिज्या 11.3 cm है और इसकी वक्र पृष्ठ 355 cm2 है। इस शंकु की ऊँचाई होगी :
(π = \(\frac{355}{113}\) लीजिए)
(A) 11 cm
(C) 5 cm
(B) 9 cm
(D) 10 cm
हल :
(D) 10 cm