Class 9

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 8 चतुर्भुज Ex 8.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 8 चतुर्भुज Ex 8.1

प्रश्न 1.
एक चतुर्भुज के कोण 3 : 5 : 9 : 13 के अनुपात में हैं। इस चतुर्भुज के सभी कोण ज्ञात कीजिए ।
हल :
मान लीजिए ABCD एक चतुर्भुज है। इसलिए,
∠A = 3x
∠B = 5x
∠C = 9x
∠D = 13x
जहाँ x एक घनात्मक अचर है।
अब, ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°
[चतुर्भुज का कोण योग गुण]
⇒ 3x + 5x + 9x + 13x = 360°
⇒ 30x = 360°
⇒ x = \(\frac {360°}{30°}\)
⇒ x = 12°
अब
∠A = 3x ⇒ ∠A = 3 × 12° ⇒ ∠A = 36°
∠B = 5x ⇒ ∠B = 5 × 12° ⇒ ∠B = 60°
∠C = 9x ⇒ ∠C = 9 × 12° ⇒ ∠C = 108°
और ∠D = 13x ⇒ ∠D = 13 × 12° = 156°
अतः, दी गई चतुर्भुज के कोण क्रमशः 36°, 60°, 108° और 156° हैं।

प्रश्न 2.
यदि एक समांतर चतुर्भुज के विकर्ण बराबर हों, तो दर्शाइए कि वह एक आयत है।
हल :
दिया है : ABCD एक || gm है जिसमें
विकर्ण AC = विकर्ण BD
सिद्ध करना है : ABCD एक आयत है।

उपपत्ति : ΔABC और ΔABD में,
AB = AB … (उभयनिष्ठ)
AC = BD (दिया है)
और AD = BC (||gm की सम्मुख भुजाएँ)
∴ ΔABC ≅ ΔBAD
[SSS सर्वांगसमता नियम से]
⇒ ∠DAB = ∠CBA …………….(i)
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
परंतु ∠DAB + ∠CBA = 180° …..(ii) [∵ AD || BC और AB इनको काटती है। तिर्यक रेखा के एक ओर के अंतः कोणों का योगफल 180° होता है।]
(i) और (ii) से हमें प्राप्त होता है;
∠DAB = ∠CBA = एक समकोण
अतः, ABCD एक आयत है। [∵ यदि || gm का एक कोण 90°का हो, तो वह आयत होता है।]
इति सिद्धम

प्रश्न 3.
दर्शाइए कि यदि एक चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करें, तो वह एक समचतुर्भुज होता है।
हल :
मान लीजिए ABCD एक चतुर्भुज है।।
मान लीजिए इसके विकर्ण AC और BD परस्पर समकोण पर, बिंदु O पर समद्विभाजित करते हैं।

∴ OA = OC, OB = OD
और ∠AOB = ∠BOC = ∠COD
= ∠AOD = 90°
हमने सिद्ध करना है कि ABCD एक समचतुर्भुज हैं।
ΔAOD और ΔBOC में,
OA = OC (दिया है)
∠AOD = ∠BOC
(प्रत्येक = 90°) [दिया है।
OD = OB (दिया है)
∴ ΔAOD ≅ ΔCOB
(SAS सर्वांगसमता नियम से)
इसलिए, AD = CB
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग) …..(i)
ΔAOB और ΔCOD में,
OA = OC (दिया है)
∠AOB = ∠COD
(प्रत्येक = 90°) [दिया है।]
OB = OD (दिया है)
∴ ΔAOB ≅ ΔCOD
[SAS सर्वांगसमता नियम से] इसलिए, AB = CD
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग) … (ii)
अब, ΔAOB और ΔBOC में,
AO = OC (दिया है)
∠AOB = ∠BOC
(प्रत्येक = 90°) (दिया है)
OB = OB (उभयनिष्ठ)
∴ ΔAOB ≅ ΔBOC
(SAS सर्वांगसमता नियम से)
इसलिए, AB = BC
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग) … (iii)
(i), (ii) और (iii) से हमें प्राप्त होता है
AD = BC = CD = AB
इस प्रकार दिए गए प्रतिबंध कि चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं, के साथ-साथ हमने यह भी प्राप्त किया है कि इसकी सभी भुजाएँ बराबर हैं।
अतः, चतुर्भुज उन सभी प्रतिबंधों को, जो एक समचतुर्भुज के लिए आवश्यक हैं, संतुष्ट करती है। अतः, दी गई चतुर्भुज समचतुर्भुज है।

प्रश्न 4.
दर्शाइए कि एक वर्ग के विकर्ण बराबर होते हैं और परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।
हल :
दिया है : ABCD एक वर्ग है जिसमें AC और BD इसके विकर्ण हैं।
सिद्ध करना है : (i) AC = BD, (ii) AC ⊥ BD

उपपत्ति : ΔABC और ΔBAD में,
AB = AB (उभयनिष्ठ)
∠ABC = ∠BAD (प्रत्येक 90°)
BC = AD (वर्ग की भुजाएँ)
∴ ΔABC ≅ ΔBAD
[SAS सर्वांगसमता नियम]
⇒ AC = BD
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
अतः, भाग (i) सिद्ध हुआ।
ΔAOB और AOD में,
AO = AO (उभयनिष्ठ)
AB = AD (वर्ग की भुजाएँ)
OB = OD (वर्ग के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं।)
∴ ΔAOB ≅ ΔAOD
(SSS सर्वांगसमता नियम)
∴ ∠AOB = ∠AOD
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
परंतु ∠AOB + ∠AOD = 180° [रैखिक युग्म]
∴ ∠AOB = ∠AOD = 90°
अर्थात्, OA ⊥ BD या AC ⊥ BD.
(अतः, भाग (ii) सिद्ध हुआ)

प्रश्न 5.
दर्शाइए कि यदि एक चतुर्भुज के विकर्ण बराबर हों और परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करें, तो वह एक वर्ग होता है।
हल :
मान लीजिए ABCD एक चतुर्भुज है जिसके बराबर विकर्ण AC और BD परस्पर बिंदु O पर समद्विभाजित करते हैं।
हमें प्राप्त हैं :
AC = BD
OA = OC ………….(i)
और OB = OD …………..(ii)
AC = BD

⇒ OA + OC = OB + OD
⇒ OC + OC = OB + OB
[(i) और (ii) के प्रयोग करने पर]
⇒ 2OC = 2OB
⇒ OC = OB …… (iii)
(i), (ii) और (i) से हमें प्राप्त होता है :
OA = OB = OC = OD ……… (iv)
अब, ΔAOB और ΔCOD में,
OA = OD
[भाग (iv) में दर्शाया गया है।
∠AOB = ∠COD
[शीर्षाभिमुख कोण]
OB = OC
[भाग (iv) में दर्शाया गया है।]
∴ ΔAOB ≅ ΔDOC
[SAS सर्वांगसमता नियम]
इसलिए, AB = DC ……..(v) (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
इसी प्रकार, ΔBOC ≅ ΔAOD
[SAS सर्वांगसमता नियम]
इसलिए, BC = AD
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)….(vi)

(v) और (vi) से परिणाम निकलता है कि चतुर्भुज ABCD की सम्मुख भुजाएँ बराबर हैं।
अतः, ABCD एक समांतर चतुर्भुज है
अब, ΔABC और ΔBAD में
AB = BA [उभयनिष्ठ]
BC = AD
[भाग (vi) में सिद्ध किया है।
AC = BD (दिया है)
∴ ΔABC ≅ ΔBAD
[SSS सर्वांगसमता नियम]
इसलिए, ∠ABC = ∠BAD …..(vii)
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
परंतु ∠ABC + ∠BAD = 180° …..(vii)] [∵ ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।
(ऊपर प्रमाणित)
∴ AD || BC और AD एक तिर्यक रेखा है।
⇒ ∠ABC + ∠ABC = 180°
[(vii) को (viii) में प्रयोग करने पर]
⇒ 2∠ABC = 180°
⇒ ∠ABC = 90°
∴ ∠ABC = ∠BAD = 90° …. (ix)
समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर हैं। परंतु ∠ABC = 90° और ∠BAD = 90°
∴ ∠ABC = ∠ADC = 90° …(x)
और ∠BAD = ∠BCD = 90° …..(xi)
हम देखते हैं कि ∠ABC = ∠ADC = ∠BAD
= ∠BCD = 90° …..(xii)
अब ΔAOB और ΔBOC में
OA = OC (दिया है)
∠AOB = ∠BOC प्रत्येक 90° (दिया है)
OB = OB (उभयनिष्ठ)
∴ ΔABC ≅ ΔCOB
(SAS सर्वांगसमता नियम)
इसलिए AB = BC …..(xiii)

(v), (vi) और (xiii) से प्राप्त है।
AB = BC = CD = AD (xiv)
(xii) और (xiv) से
अब हमें एक चतुर्भुज प्राप्त है जिसके बराबर विकर्ण परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करते हैं। साथ ही बराबर भुजाएँ परस्पर 90° का कोण बनाती है।
अतः, दी गई चतुर्भुज वर्ग के सभी प्रतिबंधों को संतुष्ट करती है।

प्रश्न 6.
समांतर चतुर्भुज ABCD का विकर्ण AC कोण A को समद्विभाजित करता है ( देखिए आकृति) दर्शाइए कि

(i) यह ∠C को भी समद्विभाजित करता है।
(ii) ABCD एक समचतुर्भुज है।
हल :
यह दिया है कि समांतर चतुर्भुज ABCD में विकर्ण AC कोण A को समद्विभाजित करता है।
सिद्ध करना है : AC, ∠C को समद्विभाजित करती है।
उपपत्ति ; क्योंकि AB || DC और AC उनको प्रतिच्छेदित करती है।
∴ ∠1 = ∠3 (एकांतर कोण) (a)
इसी प्रकार ∠2 = ∠4 …………(b)
परंतु ∠1 = ∠2
[∵ AC, ∠A को समद्विभाजित करती है।] …………(c)
∠3 = ∠4
[(a), (b) और (c) का प्रयोग करने पर] अतः, AC, ∠C को समद्विभाजित करता है।

प्रश्न 7.
ABCD एक समचतुर्भुज है। दर्शाइए कि विकर्ण AC कोणों A और C दोनों को समद्विभाजित करता है तथा विकर्ण BD कोणों B और D दोनों को समद्विभाजित करता है।
हल :
ABCD एक समचतुर्भुज है।
∴ AB = BC = CD = AD
मान लीजिए O, विकर्ण BD का समद्विभाजक बिंदु है और OB = OD है।
ΔAOB और ΔAOD में,
OA = OA (उभयनिष्ठ)
AB = AD
[समचतुर्भुज की बराबर भुजाएँ]
OB = OD
[समचतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते है।]

∴ ΔAOB ≅ ΔAOD
[SSS सर्वांगसमता नियम ]
इसलिए, ∠OAD = ∠OAB
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
⇒ OA, ∠A को समद्विभाजित करता है …..(i)
इसी तरह, ΔBOC ≅ ΔDOC
(SSS सर्वांगसमता नियम)
इसलिए; ∠OCB = ∠OCD
[सवांगसम त्रिभुजों के संगत भाग]
⇒ OC, ∠C को समद्विभाजित करता है …..(ii)
(i) और (ii) से हम कह सकते हैं कि विकर्ण AC, ∠A और ∠C को समद्विभाजित करता है।
अब, ΔAOB और ΔBOC में,
OB = OB (उभयनिष्ठ)
AB = BC
[समचतुर्भुज की बराबर भुजाएँ]
OA = OC [∵ समचतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं।]
ΔAOB ≅ ΔCOB
(SSS सर्वांगसमता नियम)
इसलिए, ∠OBA = ∠OBC
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
⇒ OB, ∠B को समद्विभाजित करता है ….(iii)
इसी तरह, ΔAOD ≅ ΔCOD
(SSS सर्वांगसमता नियम)
⇒ ∠ODA = ∠ODC
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
⇒ OD, ∠D को समद्विभाजित करता है….(iv)
(iii) और (iv) से हम कह सकते हैं कि विकर्ण BD दोनों ∠B और ∠D को समद्विभाजित करता है।

प्रश्न 8.
ABCD एक आयत है जिसमें विकर्ण AC दोनों कोणों A और C को समद्विभाजित करता है। दर्शाइए कि
(i) ABCD एक वर्ग है।
(ii) विकर्ण BD दोनों कोणों B और D को समद्विभाजित करता है।
हल :
ABCD एक आयत है ।
∴ AB = DC ……………(a)
और BC = AD

साथ ही, प्रत्येक कोण; ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°
(i) ΔABC और ΔADC में,
∠1 = ∠2.
और ∠3 = ∠4 [∵ AC दोनों कोणों ∠A और ∠C को समदविभाजित करता है (दिया है)]
AC = AC (उभयनिष्ठ)
∴ ΔABC ≅ ΔADC
(ASA सर्वांगसमता नियम)
इसलिए, AB = AD ……..(b)
(a) और (b) से हमें प्राप्त होता है
AB = BC = AD = DC
इसका अर्थ है कि आयत की सभी भुजाएँ बराबर हैं।
अतः, यह एक वर्ग है।

(ii) ΔABD और ΔBDC में,

AB = BC [∵ आयत ABCD एक वर्ग है भाग (i) में सिद्ध किया है]
AD = DC
(भाग (i) में सिद्ध किया है कि ABCD एक वर्ग है।)
BD = BD (उभयनिष्ठ)
∴ ΔABD ≅ ΔCBD
(SSS सर्वांगसमता नियम)
इसलिए, ∠ABD = ∠CBD ……(c)
(सर्वागसम त्रिभुजों के संगत भाग)
और ∠ADB = ∠CDB …….(d)
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
(c) और (d) का भाव है कि विकर्ण BD दोनों कोणों ∠B और ∠D को समद्विभाजित करता है।

प्रश्न 9.
समांतर चतुर्भुज ABCD के विकर्ण BD पर दो बिंदु P और Q इस प्रकार स्थित हैं कि DP = BQ है (देखिए आकृति )। दर्शाइए कि

(i) ΔAPD ≅ ΔCQB
(ii) AP = CQ
(iii) ΔAQB ≅ ΔCPD
(iv) AQ = CP
(v) APCQ एक समांतर चतुर्भुज है।
हल :
(i) ΔAPD और ΔCQB में,
DP = BQ (दिया है)
∠ADP = ∠QBC [∵ समांतर चतुर्भुज ABCD में AD || BC, BD एक तिर्यक रेखा है।
∴ ∠ADB = ∠DBC (एकांतर कोण) इसलिए;
∠ADP = ∠QBC]
AD = CB [∵ समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।]
∴ ΔAPD ≅ ΔCQB
(SAS सर्वांगसमता नियम)

(ii) इसलिए ; AP = CQ
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)

(iii) ΔAQB और ΔCPD में
BQ = DP (दिया है)
∠ABQ = ∠PDC [∵ समांतर चतुर्भुज ABCD में, AB || CD; BD एक तिर्यक रेखा है।]
∴ ∠ABD = ∠BDC (एकांतर कोण)
इसलिए ; ∠ABQ = ∠PDC]
AB = CD [∵ समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।]
∴ ΔAQB ≅ ΔCPD
[SAS सर्वांगसमता नियम]

(iv) इसलिए, AQ = CP
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)

(v) चतुर्भुज APCQ में, हमें प्राप्त है
AP = CQ
[भाग (ii) में सिद्ध किया है]
AQ = CP
[भाग (iv) में सिद्ध किया है]
चतुर्भुज ARCQ की सम्मुख भुजाएँ बराबर हैं
जैसा कि हम जानते हैं कि एक समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती है।
अतः, APCQ एक समांतर चतुर्भुज है।

प्रश्न 10.
ABCD एक समांतर चतुर्भुज है तथा AP, CQ शीर्षों, A और C से विकर्ण BD पर क्रमशः लम्ब हैं। ( देखिए आकृति)। दर्शाइए कि
(i) ΔAPB ≅ ΔCQD
(ii) AP = CQ

हल :
ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।
∴ AB || DC
BD एक तिर्यक रेखा है।
इसलिए, ∠1 = ∠2 (एकांतर कोण)
(i) अब, ΔAPB और ΔCQD में,
∠APB = ∠CQD
(प्रत्येक = 90°) [दिया है]
∠1 = ∠2 (ऊपर सिद्ध किया है)
AB = CD [∵ समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।]
∴ ΔAPB ≅ ΔCQD
[AAS सर्वांगसमता नियम]

(ii) इसलिए, AP = CQ
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)

प्रश्न 11.
ΔABC और ΔDEF में, AB = DE, AB || DE, BC = EF और BC || EF है। शीर्षों A, B और C को क्रमश: शीर्षों D, E और F से जोड़ा जाता है ( देखिए आकृति)।
दर्शाइए कि
(i) चतुर्भुज ABED एक समांतर चतुर्भुज है।
(ii) चतुर्भुज BEFC एक समांतर चतुर्भुज है।
(iii) AD || CF और AD = CF है।
(iv) चतुर्भुज ACFD एक समांतर चतुर्भुज है।
(v) AC = DF है।
(vi) ΔARC ≅ ΔDEF है।

हल :
दिया है : ΔABC और ΔDEF में,
AB = DE और AB || DE.
साथ ही, त्रिभुजों में BC = EF और BC || EF है।
(i) चतुर्भुज ABED में सम्मुख भुजाओं AB और DE का एक युग्म इस प्रकार है कि AB = DE और AB || DE है।
∴ ABED एक समांतर चतुर्भुज है।
∴ AD = BE और AD || BE.
[समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती है] ……………(1)

(ii) पुनः, चतुर्भुज BEFC में,
BE = CF और BE || CF
∴ BEFC एक समांतर चतुर्भुज है।
∴ CF = BE और CF || BE ….(2)

(iii) (1) और (2) से प्राप्त होता है :
AD = CF और AD || CF

(iv) ∴ ACFD एक समांतर चतुर्भुज है। [∵ यदि चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समांतर हो, तो यह समांतर चतुर्भुज होती है।]

(v) अतः, AC = DF
[||gm को सम्मुख भुजाएँ].

(vi) ΔABC और ΔDEF में,
AB = DE (दिया है)
BC = EF (दिया है)
AC = DF [भाग (v) में सिद्ध किया है]
∴ ΔABC ≅ ΔDFE
(SSS सर्वांगसमता नियम)

प्रश्न 12.
ABCD एक समलंब है, जिसमें AB || DC और AD = BC है ( देखिए आकृति)। दर्शाइए कि
(i) ∠A = ∠B
(ii) ∠C = ∠D
(iii) ΔABC ≅ ΔBAD
(iv) विकर्ण AC = विकर्ण BD है।
हल :
AB को बढ़ाइए और रेखा CE || AD खींचिए जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है।

क्योंकि AD || CE और तिर्यक रेखा AE उनको क्रमश: A और E पर काटती है :
∴ ∠A + ∠E = 180°
∠A = 180° – ∠E ….(1)
⇒ क्योंकि AB || CD और AD || CE है।
∴ AECD एक समांतर चतुर्भुज है।
⇒ AD = CE
⇒ BC = CE
[∵ AD = BC (दिया है)]
इस प्रकार, ΔBCE में
BC = CE
⇒ ∠CBE = ∠CEB [बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।]
⇒ 180° – ∠B = ∠E [∵ ∠CBE + ∠ABC = 180° (रैखिक युग्म)
∴ ∠CBE = 180° – ∠ABC]
⇒ 180° – ∠E = ∠B …..(2)
(1) और (2) से हमें प्राप्त होता है : ∠A = ∠B

(ii) ABCD एक समलंब है जिसमें AB || DC
∴ ∠A + ∠D = 180° ….(a)
और ∠B + ∠C = 180° ….(b)
[∵ दो समांतर रेखाओं के लिए तिर्यक रेखा के एक ही ओर के दो अंत: कोणों का योगफल 180° होता है।]
(a) और (b) को बराबर करने पर हमें प्राप्त होता है
∠A + ∠D = ∠B + ∠C
परंतु ∠A = ∠B भाग (i) में सिद्ध किया है।
∴ ∠A + ∠D = ∠A + ∠C
⇒ ∠D = ∠C
या, ∠C = ∠D इति सिद्धम ।

(iii) ΔABC और ΔBAD में,
AB = AB (उभयनिष्ठ)

∠A = ∠B
[भाग (i) में सिद्ध किया है।]
BC = AD (दिया है)
∴ ΔABC ≅ ΔBAD
(SAS सर्वांगसमता नियम)

(iv) इसलिए, AC = BD
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
अर्थात्, समलंब ABCD में;
विकर्ण AC = विकर्ण BD.

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.7 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.7

जब तक अन्यथा न कहा जाए, π = \(\frac{22}{7}\) लीजिए

प्रश्न 1.
उस लंब वृत्तीय शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए, जिसकी
(i) त्रिज्या 6 cm, और ऊँचाई 7 है।
(ii) त्रिज्या 3.5 cm और ऊँचाई 12 cm है।
हल :
(i) r = 6 cm, h = 7 cm
शंकु का आयतन = \(\frac{1}{3}\) πr²h

= \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7}\) × 6 × 6 × 7
= 264 cm³
(ii) r = 3.5 cm, h = 12 cm
शंकु का आयतन = \(\frac{1}{3}\)πr²h

= \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7}\) × 3.5 × 3.5 × 12
= \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{35}{10} \times \frac{35}{10} \times 12\)
= 154 cm

प्रश्न 2.
शंकु के आकार के उस बर्तन की लीटरों में धारिता ज्ञात कीजिए जिसकी
(i) त्रिज्या 7 cm और तिर्यक ऊँचाई 25 cm
(ii) ऊँचाई 12 cm और तिर्यक ऊँचाई 13 cm
हल :
(i) यहाँ, r = 7 cm, l = 25 cm
l² = r² + h²
या (25)² = (7)² + h²
या 625 = 49 + h²
या 625 – 49 = h²
या 576 = h²
या h = 576
या h = \(\sqrt{576}\) = 24 cm

∴ शंकु के आकार के बर्तन की धारिता = \(\frac{1}{3}\) πr²h
= \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7}\) × 7 × 7 × 24
= 1232 cm³
= 1.232 l [∵ 1000 cm3 = 1 l]

(ii) यहाँ, h = 12 cm, l = 13 cm
अब r² + h² = l²
या r² + (12) = (13)²
या r² + 144 = 169
या r² = 169 – 144
या r² = 25
या r = \(\sqrt{25}\) = 5 cm

∴ शंकु के आकार के बर्तन की धारिता = \(\frac{1}{3}\) πr²h

प्रश्न 3.
एक शंकु की ऊँचाई 15 cm है। यदि इसका आयतन 1570 cm³ है, तो इसके आधार की त्रिज्या ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 प्रयोग कीजिए)
हल :
शंकु की ऊँचाई ; h = 15 cm
शंकु का आयतन = 1570 cm³
मान लीजिए शंकु की त्रिज्या = r
\(\frac{1}{3}\) πr²h = 1570

या \(\frac{1}{3}\) × 3.14 × r² × 15 = 1570
या 15.70r = 1570
या \(\frac{1570}{100}\) r² = 1570
या r² = 1570 × \(\frac{100}{1570}\) = 100
या r = \(\sqrt{100}\) = 10 cm
अतः आधार की वांछित त्रिज्या 10 है।

प्रश्न 4.
यदि 9 cm ऊँचाई वाले एक लंब वृत्तीय शंकु का आयतन 48 π cm³ है, तो इसके आधार का व्यास ज्ञात कीजिए।
हल :
शंकु का आयतन = 48π cm³ …….(I)
शंकु की ऊँचाई ; h = 9 cm
मान लीजिए शंकु की त्रिज्या = r

∴ शंकु का आयतन = \(\frac{1}{3}\) πr²h
= \(\frac{1}{3}\) πr² × 9 ……(II)
I और II से,
\(\frac{1}{3}\) πr² × 9 = 48 π
या 3r² = 48
या r = \(\frac{48}{3}\) = 16
या r = \(\sqrt{16}\) = 4 cm
∴ आधार का व्यास = 2r = 2 × 4 = 8 cm

प्रश्न 5.
ऊपरी व्यास 3.5 cm वाले शंकु के आकार का एक गढ्ढा 12 cm गहरा है। इसकी धारिता किलोलीटरों में कितनी होगी ?
हल :
गढ्ढे का व्यास = 3.5 m
गढ्ढे की त्रिज्या ; r = \(\frac{3.5}{2}\) = 1.75 m
गढ्ढे की गहराई ; h = 12m
गढ्ढे की धारिता = \(\frac{1}{3}\) πr²h


= 38.5 m³ = 38.5 kl
[∵ 1 m³ = 1000 l = 1 kl]

प्रश्न 6.
एक लंब वृत्तीय शंकु का आयतन 9856 cm³ है। यदि इसके आधार का व्यास 28 cm है, तो ज्ञात कीजिए :
(i) शंकु की ऊँचाई
(ii) शंकु की तिर्यक ऊँचाई
(iii) शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
हल :
(i) शंकु का आयतन = 9856 cm³
शंकु का व्यास = 28 cm
शंकु की त्रिज्या ; r = \(\frac{28}{2}\) = 14 cm
मान लीजिए शंकु की ऊँचाई = h

∴ \(\frac{1}{3}\) πr²h = 9856
[∵ शंकु की आयतन = \(\frac{1}{3}\) πr²h]
या \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7}\) × 14 × 14 × h = 9856
या \(\frac{1}{3}\) × 22 × 2 × 14 × h = 9856
या h = \(\frac{9856 \times 3}{22 \times 2 \times 14}\) = 48 cm
∴ शंकु की ऊँचाई = 48 cm

(ii) मान लीजिए शंकु की तिर्यक ऊँचाई = l
अब l² = r² + h²
l² = (14)² + (48)²
l² = 196 + 2304 = 2500
l = \(\sqrt{2500}\) = 50 cm
∴ शंकु की तिर्यक ऊँचाई = 50 cm

(iii) अब शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl
= \(\frac{22}{7}\) × 14 × 50 = 2200 cm²

प्रश्न 7.
भुजाओं 5 cm, 12 cm और 13 cm वाले एक समकोण त्रिभुज ABC को भुजा 12 cm के परित घुमाया जाता है। इस प्रकार प्राप्त ठोस का आयतन ज्ञात कीजिए।
हल :
जब समकोण त्रिभुज ABC को इसकी 12 cm वाली भुजा के परित घुमाया जाता है, तो ठोस आकृति, शंकु प्राप्त होती है।
12 cm वाली भुजा शंकु की ऊँचाई और 5 cm भुजा वाली शंकु के आधार की त्रिज्या होती है।
अब शंकु की त्रिज्या ; r = 5 cm
शंकु की ऊँचाई ; h = 12 cm

∴ शंकु की आयतन = \(\frac{1}{3}\) πr²h
= \(\frac{1}{3}\) × 5 × 5 × 12
= 100 πcm³

प्रश्न 8.
यदि प्रश्न 7 के त्रिभुज ABC को यदि भुजा 5 cm के परित घुमाया जाए, तो इस प्रकार प्राप्त ठोस आयतन ज्ञात कीजिए। प्रश्नों 7 और 8 में प्राप्त किए गए दोनों ठोसों के आयतनों का अनुपात भी ज्ञात कीजिए।
हल :
जब समकोण त्रिभुज को 5 cm भुजा के पारित घुमाया जाता है, तो ठोस आकृति, शंकु प्राप्त होती है।
12 cm वाली भुजा शंकु के आधार की त्रिज्या 5 cm वाली भुजा शंकु की ऊँचाई होती है।

अब, शंकु की त्रिज्या ; R = 12 cm
शंकु की ऊँचाई ; H = 5 cm
शंकु का आयतन = \(\frac{1}{3}\) πR²h
= \(\frac{1}{3}\) × π × 12 × 12 × 5
= 240π cm³.

∴ वांछित अनुपात = 5 : 12.

प्रश्न 9.
उस सब से बड़े लंब वृत्तीय शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए जो 14 cm भुजा वाले घन में पूरा-पूरा समा सकता है।
हल :
सबसे बड़े लंब वृत्तीय शंकु के वृत्तीय आधार की त्रिज्या = घन का किनारा
⇒ 2r = 14
[जहाँ, r शंकु के वृत्तीय आधार की त्रिज्या है]
⇒ r = \(\frac{14}{2}\)
⇒ r = 7 cm
और शंकु की ऊँचाई h = घन का किनारा = 14 cm

अब, सबसे बड़े शंकु का आयतन

प्रश्न 10.
गेहूँ की एक ढेरी 10.5 m व्यास और ऊँचाई 3 m वाले एक शंकु के आकार की है। इसका आयतन ज्ञात कीजिए। इस ढेरी को वर्षा से बचाने के लिए केनवास से ढका जाना है। वांछित केनवास का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए, शंकु के आकार की ढेरी के आधार की त्रिज्या = r
∴ व्यास ; 2r = 10.5 m
⇒ r = \(\frac{10.5}{2}\) m
⇒ r = \(\frac{105}{20}\) m
⇒ r = \(\frac{21}{4}\) m

शंकु आकार ढेरी की ऊँचाई = h = 3 m
शंकु आकार ढेरी का आयतन = \(\frac{1}{3}\) πr²h

मान लीजिए शंकु आकार ढेरी की तिर्यक ऊँचाई l m है।
∴ l² = r² + h² (पाइथागोरस परिणाम से)

⇒ l = 6.046 m
वांछित केनवास का क्षेत्रफाल = शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
= πrl
= \(\frac{22}{7} \times \frac{21}{4} \times 6.046\)
= 99.75 m² (लगभग)
अतः, केनवास का वांछित क्षेत्रफल 99.75m² (लगभग)

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 7 त्रिभुज MCQ Questions with Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 7 त्रिभुज MCQ Questions

बहुविकल्पीय प्रश्न :

नोट-नीचे प्रत्येक प्रश्न के चार-चार विकल्प दिए गए हैं। सही उत्तर का चयन कीजिए।

प्रश्न 1.
चतुर्भुज ABCD में AB = AD और AB, ∠A को समद्विभाजित करता है।
ΔABC ≅ ΔABD.BC और BD के बीच सम्बन्ध होगा –

(A) BC > BD
(B) BC = BD
(C) BC < BD
(D) BC = \(\frac {1}{2}\)BD.
उत्तर –
(B) BC = BD

प्रश्न 2.
ABCD एक चतुर्भुज है, जिसमें AD = BC और ∠DAB = ∠CBA है, यदि ΔABD ≅ ΔBAC हो तो ∠ABD और ∠BAC में क्या सम्बन्ध है ?

(A) ∠ABD = \(\frac {1}{2}\)∠BAC
(B) ∠ABD = ∠BAC
(C) ∠ABD > ∠BAC
(D) ∠ABD < ∠BAC.
उत्तर –
(A) ∠ABD = \(\frac {1}{2}\)∠BAC

प्रश्न 3.
एक रेखाखण्ड AB पर AD और BC दो बराबर लम्ब रेखाखण्ड हैं। यदि ΔBOC ≅ ΔAOD हो तो OC और OD में क्या सम्बन्ध है ?

(A) OD = OC
(B) OD > OC
(C) OD < OC
(D) OD = \(\frac {1}{2}\)OC
उत्तर –
(A) OD = OC

प्रश्न 4.
यदि M, समकोण ΔARC के कर्ण AC का मध्य बिन्दु हो तो BM = \(\frac {1}{2}\)……………
(A) AC
(B) AB
(C) BC
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर –
(A) AC

प्रश्न 5.
दी गई आकृति में AB = AC और BF = CD तथा ΔACD ≅ ΔABE तो AD = ……..

(A) AC
(B) AB
(C) AE
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर –
(A) AC

प्रश्न 6.
ΔARC एक समकोण त्रिभुज है, जिसमें ∠A = 90° और AB = AC है। ∠B और ∠C का मान होगा
(A) ∠B = ∠C = 60°
(B) ∠B = ∠C = 30°
(C) ∠B = ∠C = 50°
(D) ∠B = ∠C = 45°.
उत्तर –
(D) ∠B = ∠C = 45°.

प्रश्न 7.
समबाहु त्रिभुज के प्रत्येक कोण का माप होता
(A) 50°
(B) 40°
(C) 60°
(D) 65°.
उत्तर –
(C) 60°

प्रश्न 8.
यदि किसी समद्विबाहु त्रिभुज का शीर्ष कोण 40° हो तो अन्य दोनों कोणों का माप होगा
(A) 60°, 60°
(B) 70°, 70°
(C) 50°, 50°
(D) 75°, 75°.
उत्तर –
(B) 70°, 70°

प्रश्न 9.
ΔARC के कोण A, B और C परस्पर बराबर हों तो ये होगी
(A) समबाहु
(B) समद्विबाहु
(C) विषमबाहु
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर –
(A) समबाहु

प्रश्न 10.
यदि किसी त्रिभुज की दो भुजाएं असमान हों, तो लम्बी भुजा के सामने का सम्मुख कोण
(A) बड़ा होता है।
(B) 90° का होता है।
(C) छोटा होता है।
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर –
(A) बड़ा होता है।

प्रश्न 11.
किसी त्रिभुज में बड़े कोण के सम्मुख भुजा
(A) बड़ी होती है।
(B) छोटी होती है।
(C) बराबर होती है।
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर –
(A) बड़ी होती है।

प्रश्न 12.
किसी त्रिभुज की दो भुजाओं का योग उसकी तीसरी भुजा
(A) के बराबर होता है।
(B) से छोटा होता है।
(C) से बड़ा होता है।
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर –
(C) से बड़ा होता है।

प्रश्न 13.
किसी त्रिभुज की सबसे बड़ी भुजा का सम्मुख कोण –
(A) 60° से बड़ा होता है।
(B) 50° से बड़ा होता है।
(C) 90° से बड़ा होता है।
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर –
(A) 60° से बड़ा होता है।

प्रश्न 14.
आकृति में, ΔPQR की भुजा, QR पर T कोई बिन्दु है और s ऐसा बिन्दु है कि RT = ST तो PQ + PR …………… QS.

(A) PQ + PR > QS
(B) PQ + PR = QS
(C) PQ + PR < QS
(D) PQ + PR = \(\frac {1}{2}\)OS.
उत्तर –
(A) PQ + PR > QS

प्रश्न 15.
त्रिभुज के तीनों शीर्षलम्बों का योगफल त्रिभुज की तीनों भुजाओं के योगफल से ……….. होता है –
(A) कम
(B) अधिक
(C) बराबर
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर –
(A) कम

प्रश्न 16.
समकोण त्रिभुज में …………. सबसे लम्बी भुजा होती है
(A) लम्ब
(B) आधार
(C) कर्ण
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर –
(C) कर्ण

प्रश्न 17.
आकृति में ∠B < ∠A और ∠C < ∠D है तो AD और BC में सम्बन्ध है –

(A) AD > BC
(B) AD = BC
(C) AD < BC
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर –
(C) AD < BC

प्रश्न 18.
ΔABC में यदि ∠A = ∠B = 62\(\frac {1}{2}\)° हो तो सबसे बड़ी भुजा का नाम होगा –
(A) AB
(B) BC
(C) CA
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर –
(A) AB

प्रश्न 19.
ΔABC में AC > AB है। ∠A का समद्विभाजक BC को D पर मिलता है तो ∠ADB एक –
(A) न्यून कोण है
(B) अधिक कोण है
(C) सरल कोण है
(D) समकोण है।
उत्तर –
(A) न्यून कोण है

प्रश्न 20.
त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं का अन्तर तीसरी भुजा से –
(A) बड़ा होता है
(B) छोटा होता है
(C) बराबर होता है
(D) आधा होता है।
उत्तर –
(B) छोटा होता है

प्रश्न 21.
यदि किसी त्रिभुज के दो कोण असमान हों, तो छोटे कोण के सामने की भुजा
(A) बड़ी होती है
(B) छोटी होती है
(C) 5 सेमी० होती है
(D) 10 सेमी० होती है।
उत्तर –
(B) छोटी होती है

प्रश्न 22.
ΔARC के अभ्यन्तर में …………….. बिन्दु इसके तीनों शीर्षों से समदूरस्थ होती है
(A) दो कोण समद्विभाजकों का प्रतिच्छेद
(B) दो भुजाओं के लम्ब समद्विभाजकों का प्रतिच्छेद
(C) a और b दोनों
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर –
(B) दो भुजाओं के लम्ब समद्विभाजकों का प्रतिच्छेद

प्रश्न 23.
ΔABC के अभ्यन्तर में ……………. बिन्दु इसकी तीनों भुजाओं से समदूरस्थ होता है
(A) दो भुजाओं के लम्ब समद्विभाजकों का प्रतिच्छेद
(B) दो कोण समद्विभाजकों का प्रतिच्छेद
(C) a और b दोनों
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर –
(B) दो कोण समद्विभाजकों का प्रतिच्छेद

प्रश्न 24.
नीचे षड्भुजीय आकार की रंगोली को 1 सेमी० भुजा वाले कितने समबाहु त्रिभुजों से भरा जा सकता है ?

(A) 200
(B) 150
(C) 300
(D) 250.
उत्तर –
(B) 150

संकेत –

5 सेमी० भुजा वाली समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल
= \(\frac{\sqrt{3}}{4}(5)^2=\frac{\sqrt{3}}{4} \times 25\)
षड्भुजीय रंगोली का क्षेत्रप = 6 × \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) × 25
= 150 × \(\frac{\sqrt{3}}{4}\)सेमी०²
1 सेमी० भुजा वाली समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल
= \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) (1)²
= \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) सेमी०²
षड्भुजीय रंगोली में 1 सेमी० भुजा वाले समबाहु त्रिभुजों की संख्या
= 150\(\frac{\sqrt{3}}{4}\) ÷ \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) = 150

प्रश्न 25.
आकृति में तारे के आकार की रंगोली को 1 सेमी० भुजा वाले समबाहु त्रिभुज से पूरा कीजिए। त्रिभुजों की संख्या होगी

(A) 300
(B) 150
(C) 200
(D) 350.
उत्तर –
(A) 300

प्रश्न 26.
यदि किसी त्रिभुज के दो कोण सर्वांगसम हों तो इन कोणों की सम्मुख भुजाएँ
(A) समान होती हैं
(B) सर्वांगसम होती हैं
(C) सर्वांगसम हो सकती हैं
(D) सर्वांगसम नहीं होती।
उत्तर –
(B) सर्वांगसम होती हैं

प्रश्न 27.
सर्वांगसमता के लिए कौन-सा अभिगृहीत ठीक
(A) भु० क० भु०
(B) क० भु० भु०
(C) भु० भु० क०
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर –
(A) भु० क० भु०

प्रश्न 28.
ΔABC में यदि AB सबसे छोटी तथा BC सबसे लम्बी भुजा हो तो
(A) ∠A < ∠C
(B) ∠A > ∠B
(C) ∠A > ∠C
(D) ∠A < ∠C.
उत्तर –
(C) ∠A > ∠C

प्रश्न 29.
यदि शीर्ष कोण का समद्विभाजक आधार को समद्विभाजित करे तो त्रिभुज –
(A) समबाहु है
(B) समद्विबाहु है
(C) विषमबाहु है
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर –
(B) समद्विबाहु है

प्रश्न 30.
एक समकोण त्रिभुज में यदि एक न्यूनकोण दूसरे न्यूनकोण का दुगुना हो तो कर्ण –
(A) छोटी भुजा के समान होता है
(B) छोटी भुजा का तीन गुणा होता है
(C) छोटी भुजा का दुगुना होता है
(D) छोटी भुजा से छोटा होता है।
उत्तर –
(C) छोटी भुजा का दुगुना होता है

प्रश्न 31.
ΔABC में, यदि माध्यिका BE, माध्यिका CF के बराबर हो तो त्रिभुज
(A) समबाहु हैं
(B) समद्विबाहु हैं
(C) समकोणी हैं
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर –
(C) समकोणी हैं

प्रश्न 32.
एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC में, D, E और F आधार BC और समान भुजाओं AB और AC के मध्य बिन्दु हैं तो
(A) DC = BC
(B) DF = BE
(C) DF = DE
(D) DC = DE
उत्तर –
(C) DF = DE

प्रश्न 33.
ΔABC में AB = AC और भुजा BA को D तक बढ़ाया गया है ताकि AB = AD तो ∠BCD बराबर है
(A) 80°
(B) 45°
(C) 60°
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर-
(D) इनमें से कोई नहीं।

प्रश्न 34.
एक त्रिभुज में अधिकतम एक……….. कोण हो सकता है
(A) न्यून
(B) अधिक
(C) सरल
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर-
(B) अधिक

प्रश्न 35.
नीचे दी गई त्रिभुजें सर्वांगसम हैं। बताइए ये किस अभिगृहीत से सर्वांगसम हैं ?

(A) भु०-भु०-भु०
(B) भु०-को०-भु०
(C) को०-को०-भु०
(D) को०-भु०-भु०।
उत्तर –
(B) भु०-को०-भु०

प्रश्न 36.
नीचे दी गई त्रिभुजें सर्वांगसम हैं। किस अभिगृहीत के कारण ये त्रिभुजें सर्वांगसम हैं ?

(A) भु०-को०-भु०
(B) को०-भु०-को०
(C) भु०-भु०-भु०
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर –
(B) को०-भु०-को०

प्रश्न 37.
l और m दो समान्तर रेखाएँ हैं जिन्हें समान्तर रेखाओं का एक अन्य युग्म प्रतिच्छेद करता है। ΔABC ≅ ΔCDA. ये सर्वांगसमता के किस अभिगृहीत के कारण सर्वांगसम हैं ?

(A) भु०-भु०-भु०
(B) भु०-को०-भु०
(C) को०-को०-भु०
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर –
(C) को०-को०-भु०

संकेत –

l || m, AC एक तिर्यक रेखा है
∴ ∠DAC = ∠ACB
…..(एकांतर कोण)
p || q, AC एक तिर्यक रेखा है
∴ ∠BAC = ∠ACD
…..(एकांतर कोण)
ΔABC और ΔADC में
∠ACB = ∠DAC
∠BAC = ∠ACD ऊपर सिद्ध किया है (उभयनिष्ठ)
AC = AC
∠ABC ≅ ΔCDA (को-को-भुजा सर्वांगसमता)]

प्रश्न 38.
यदि एक त्रिभुज की ………. क्रमशः दूसरे त्रिभुज की तीन भुजाओं के बराबर हों तो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं
(A) एक भुजा
(B) दो भुजाएँ
(C) तीन भुजाएँ
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर –
(C) तीन भुजाएँ

प्रश्न 39.
यदि एक त्रिभुज की……………. और अन्तर्गत कोण क्रमश: दूसरे त्रिभुज की दो भुजाओं और अन्तर्गत कोण के बराबर हों, तो त्रिभुज सर्वांगमस होते हैं
(A) एक भुजा
(B) दो भुजाएँ
(C) तीन भुजाएँ
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर –
(B) दो भुजाएँ

प्रश्न 40.
ABC एक त्रिभुज है जिसमें AC और BC पर खींचे गए शीर्षलम्ब BF और CF बराबर हैं तथा ΔABF ≅ ΔACF. तब ΔABC.

(A) समबाहु है
(B) विषमबाहु है
(C) समद्विबाहु है
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर-
(C) समद्विबाहु है

प्रश्न 41.
ABC और DBC समान आधार BC पर स्थित दो समद्विबाहु त्रिभुज हैं।

(A) ∠ABD = ∠ACD
(B) ∠ABD > ∠ACD
(C) ∠ACD > ∠ABD
(D) ∠ABD = \(\frac {1}{2}\)∠ACD
उत्तर –
(A) ∠ABD = ∠ACD

प्रश्न 42.
त्रिभुज का परिमाप उसके माध्यिकाओं के योग –
(A) के बराबर होता है
(B) से कम होता है
(C) से बड़ा होता है
(D) से आधा होता है।
उत्तर –
(C) से बड़ा होता है

प्रश्न 43.
निम्नलिखित में से कौन त्रिभुजों की सर्वांगसमता की एक कसौटी नहीं है?
(A) SAS
(B) ASA
(C) SSA
(D) SSS.
उत्तर :
(C) SSA

प्रश्न 44.
यदि AB = QR, BC = PR और CA = PQ है, तो
(A) ΔABC ≅ ΔPQR
(B) ΔCBA ≅ ΔPRQ
(C) ΔBAC ≅ ΔRPQ
(D) ΔPQR ≅ ΔBCA.
उत्तर :
(B) ΔCBA ≅ ΔPRQ

प्रश्न 45.
ΔABC में, AB = AC और ∠B = 50° है, तब ∠C बराबर है।
(A) 40°
(B) 50°
(C) 80°
(D) 130°
उत्तर :
(B) 50°

प्रश्न 46.
ΔABC में, BC = AB और ∠B = 80° है, तब ∠A बराबर है।
(A) 80°
(B) 40°
(C) 50°
(D) 100°
उत्तर :
(C) 50°

प्रश्न 47.
ΔPQR में, ∠R = ∠P तथा QR = 4 cm और PR = 5 cm है, तब PQ की लम्बाई है।
(A) 4 cm
(B) 5 cm
(C) 2 cm
(D) 2.5 cm.
उत्तर :
(A) 4 cm

प्रश्न 48.
D एक त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिंदु इस प्रकार स्थित है कि AD कोण BAC को समद्विभाजित करता है। तब,
(A) BD = CD
(B) BA > BD
(C) BD > BA
(D) CD >CA
उत्तर :
(B) BA > BD

प्रश्न 49.
यह दिया है कि ΔABC ≅ ΔFDE है तथा AB = 5cm, ∠B = 40° और ∠A = 80° है। तब निम्नलिखित में से कौन सत्य है ? (A) DF = 5 cm, ∠F = 60°
(B) DF = 5 cm, ∠E = 60°
(C) DE = 5 cm, ∠E = 60°
(D) DE = 5 cm, ∠D = 40°
उत्तर :
(B) DF = 5 cm, ∠E = 60°

प्रश्न 50.
एक त्रिभुज की दो भुजाओं की लम्बाइयां 5 cm और 1.5 cm हैं। इस त्रिभुज की तीसरी भुजा की लंबाई निम्नलिखित नहीं हो सकती।
(A) 3.6 cm
(B) 4.1 cm
(C) 3.8 cm
(D) 3.4 cm
उत्तर :
(D) 3.4 cm

प्रश्न 51.
ΔPQR में, यदि ∠R > ∠Q है, तो
(A) QR > PR
(B) PQ > PR
(C) PQ < PR
(D) QR < PR.
उत्तर :
(B) PQ > PR

प्रश्न 52.
त्रिभुजों ABC और PQR में, AB = AC, ∠C = ∠P और ∠B = ∠Q है। ये दोनों त्रिभुज हैं।
(A) समद्विबाहु परंतु सर्वांगसम नहीं
(B) समद्विबाहु और सर्वांगसम
(C) सर्वांगसम परंतु समद्विभाहु नहीं
(D) न तो सवांगसम और न ही समद्विबाहु ।
उत्तर :
(A) समद्विबाहु परंतु सर्वांगसम नहीं

प्रश्न 53.
त्रिभुजों ABC और DEF में, AB = FD तथा ∠A = ∠D है। दोनों त्रिभुज SAS अभिगृहीत से सर्वांगसम होंगे, यदि
(A) BC = EF
(B) AC = DE
(C) AC = EF
(D) BC = DE.
उत्तर :
(B) AC = DE

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.6 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.6

जब तक अन्यथा न कहा जाए, π = \(\frac{22}{7}\) लीजिए।

प्रश्न 1.
एक बेलनाकार बर्तन के आधार की परिधि 132 cm और उसकी ऊँचाई 25 cm है। इस बर्तन में कितने लीटर पानी आ सकता है ?(1000 cm³ = 1लीटर)
हल :
बर्तन के आधार की परिधि = 132 cm

मान लीजिए आधार की त्रिज्या = r
∵ बेलन का आधार वृत्तीय है।
∴ πrh = 132
या 2 × \(\frac{22}{7}\) × r = 132
या r = 132 × \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{7}{22}\) = 21 cm
बर्तन की ऊँचाई h = 25 cm
बर्तन का आयतन = बेलन का आयतन
= πr²h
= \(\frac{22}{7}\) × 21 × 21 × 35 = 34650 cm³
= \(\frac{34650}{1000}\) लीटर
[∵ 1000 cm³ = 1 लीटर]
= 34.65 लीटर

प्रश्न 2.
लकड़ी के एक बेलनाकार पाइप का आंतरिक व्यास 24 cm है और बाहरी व्यास 28 cm है। इस पाइप की लंबाई 35 cm है। इस पाइप का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए, यदि 1 cm³ लकड़ी का द्रव्यमान 0.6 ग्राम है।
हल :
बेलनाकार पाइप का आंतरिक व्यास = 24 cm
∴ पाइप की आंतरिक त्रिज्या r = \(\frac{24}{2}\) = 12 cm

पाइप का बाह्य व्यास = 28 cm
∴ पाइप की बाह्य त्रिज्या R = \(\frac{28}{2}\) = 14 cm
पाइप की लंबाई = 35 cm
लकड़ी का आयतन = बेलन का बाह्य आयतन – बेलन का आंतरिक आयतन
= πR²h – πr²h
[पाइप की लंबाई को बेलन की ऊंचाई के रूप में प्रयोग करने पर]
= πh (R² – r²)
= \(\frac{22}{7}\) × 35[(14)² – (12)²]
= 110 [196 – 144] = 110 × 52
= 5720 cm³
1 cm³ लकड़ी का द्रव्यमान = 0.6 g
5720 cm³ लकड़ी का द्रव्यमान = 0.6 × 5720 = 3432 g
= \(\frac{3432}{1000}\) kg [∵ 1000 g = 1 kg.]
= 3.432 kg.

प्रश्न 3.
एक सोफ्ट ड्रिंक (soft drink) दो प्रकार के पैकों में उपलब्ध है : (i) लंबाई 5 cm और चौड़ाई 4 cm वाले एक आयताकार आधार का टिन का डिब्बा जिसकी ऊँचाई 15 cm है और (ii) व्यास 7 cm वाले वृत्तीय आधार और 10 cm ऊँचाई वाला एक प्लास्टिक का बेलनाकार डिब्बा। किस डिब्बे की धारिता अधिक है और कितनी अधिक है ?
हल :

पहली स्थिति में :
आयताकार आधार की लंबाई = 5 cm
आयताकार आधार की चौड़ाई = 4 cm
टिन के डिब्बे की ऊँचाई = 15 cm
टिन के डिब्बे का आयतन = लंबाई × चौड़ाई × ऊँचाई
= 5 cm × 4 cm × 15 cm
= 300 cm³ …. (I)
दूसरी स्थिति में :

बेलन के आधार का व्यास = 7 cm
∴ बेलन के आधार की त्रिज्या ; r = \(\frac{7}{2}\) cm
बेलन की ऊँचाई ; h = 10 cm
बेलन की धारिता = बेलन का आयतन
= πr²h
= \(\frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \times 10\)
= 11 × 7 × 5 = 385 cm³ … (II)
I और II से,
बेलनाकार डिब्बे की धारिता (385 – 300) = 85 cm³ अधिक है।

प्रश्न 4.
यदि एक बेलन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल 94.2 cm² है और उसकी ऊँचाई 5 cm है, तो ज्ञात कीजिए : (i) आधार की त्रिज्या (ii) बेलन का आयतन (π = 3.14 लीजिए)
हल :
बेलन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 94.2 cm² … (1)
बेलन की ऊँचाई ; h = 5 cm
मान लीजिए कि आधार की त्रिज्या = r
∴ बेलन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh
= 2 × 3.14 × r × 5
= 31.4r …. (II)
समीकरण I और II से,
31.4r = 94.2
या, r = \(\frac{94.2}{31.4}\) = 3 cm
बेलन की आयतन = πr²h
= 3.14 × 3 × 3 × 5 = 141.3 cm³.

प्रश्न 5.
10 m गहरे एक बेलनाकार बर्तन की आंतरिक वक्र पृष्ठ को पेंट कराने का व्यय 2200 रुपए है। यदि पेंट कराने की दर 20 रुपए प्रति m है, तो ज्ञात कीजिए :
(i) बर्तन की आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
(ii) आधार की त्रिज्या
(iii) बर्तन की धारिता
हल :
बर्तन के आतंरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल को पेंट करने पर कुल व्यय = 2200 रु०
दर = 20 रु० प्रति m²
(i) बर्तन का आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

(ii) बर्तन की गहराई ; h = 10 m
मान लीजिए आधार की त्रिज्या = r
∴ बर्तन का आंतरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × r × 10 …(II)
∴ I और II, से

2 × \(\frac{22}{7}\) × r × 10 = 110
या, r = 110 × \(\frac{1}{2} \times \frac{7}{22} \times \frac{1}{10}\) = 1.75 m

(iii) अब, r = 1.75 m
h = 10 m
∴ बर्तन की धारिता = बेलन का आयतन
= πr²h
= \(\frac{22}{7}\) × 1.75 × 1.75 × 10
= 96.25 m³
= 96.25 किलोलीटर
[∵ 1m³ = 1 किलो लीटर]

प्रश्न 6.
ऊँचाई 1 m वाले एक बेलनाकार बर्तन की धारिता 15.4 लीटर है। इसको बनाने के लिए कितने वर्ग मीटर धातु की शीट की आवश्यकता होगी ? (1000 l = 1m³)
हल :
बर्तन की ऊँचाई ; h = 1 m,
बर्तन की धारिता= 15.4 l
= \(\frac{15.4}{1000}\) = 0.0154 m³ …(i)
[∵ 1000 l = 1 m³]
मान लीजिए बर्तन के आधार की त्रिज्या = r
∴ πr²h = 0.0154
या, \(\frac{22}{7}\) × r² × 1 = 0.0154
या, r² = 0.0154 × \(\frac{7}{22}\)
= 0.0007 × 7 = 0.0049
या, r = \(\sqrt{0.0049}\) = 0.07 m

∴ बर्तन बंद बेलनाकार है।
∴ बर्तन बनाने में लगी धातु का क्षेत्रफल = बर्तन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + दो वृत्ताकार ढक्कनों का क्षेत्रफल
= 2πrh + 2πr²
= 2πr (h + r)
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × 0.07(1 + 0.07)

= \(\frac{44}{7}\) × 0.07 × 1.07
= 44 × 0.01 × 1.07
= 0.4708 m²

प्रश्न 7.
सीसे की एक पेंसिल (lead pencil) लकड़ी के एक बेलन के अभ्यंतर में ग्रेफाइट (graphite) से बने ठोस बेलन को डाल कर बनाई गई है। पेंसिल का व्यास 7 mm है और ग्रेफाइट का व्यास 1 mm है। यदि पेंसिल की लंबाई 14 cm है, तो लकड़ी का आयतन और ग्रेफाइट का आयतन ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए ग्रेफाइट की त्रिज्या = r
∴ व्यास 2r = 1 मिमी.

⇒ r = \(\frac{1}{2}\) mm = \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{10}\) cm = \(\frac{1}{20}\) cm
ग्रेफाइट की ऊँचाई = h = 14 cm
ग्रेफाइट का आयतन = πr²h

मान लीजिए पेंसिल की त्रिज्या = R
∴ व्यास 2R = 7 मिमी
⇒ R = \(\frac{7}{2}\) मिमी.
= \(\frac{7}{2}\) x \(\frac{1}{10}\) cm
[∵ 10 मिमी. = 1 m; ∴ 1 मिमी. = \(\frac{1}{10}\) cm]
= \(\frac{7}{20}\) cm
लकड़ी का आयतन = πR²h

= 5.39 cm³
लकड़ी का आयतन = पेंसिल का आयतन – ग्रेफाइट का आयतन
= (5.39 – 0.11) cm³
= 5.28 cm³.

प्रश्न 8.
एक अस्पताल (hospital) के एक रोगी को प्रतिदिन 7 cm व्यास वाले एक बेलनाकार कटोरे में सूप (soup) दिया जाता है। यदि यह कटोरा सूप से 4 cm ऊँचाई तक भरा जाता है, तो इस अस्पताल में 250 रोगियों के लिए प्रतिदिन कितना सूप तैयार किया जाता है ?
हल :
मान लीजिए बेलनाकार कटोरे के वृत्तीय आधार की त्रिज्या = r
∴ व्यास ; 2r = 7 cm

⇒ r = \(\frac{7}{2}\) cm
कटोरे की ऊँचाई = h = 4 cm
बेलनाकार कटोरे का आयतन = πr2h

कटोरा पूरी तरह सूप से भरा हुआ है
∴ एक कटोरे में भरे गये सूप की मात्रा = 154 cm³
ऐसे 250 कटोरे रोगियों को दिए जाते हैं
अतः, अस्पताल द्वारा तैयार किए गए सूप की कुल मात्रा
= (250 × 154) cm³
= 38500 cm³
= \(\frac{38500}{1000}\) लीटर
[∵ लीटर = 1000 cm³]
= 38.5 लीटर

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 7 त्रिभुज Ex 7.5 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 7 त्रिभुज Ex 7.5

प्रश्न 1.
ABC एक त्रिभुज है। इसके अभ्यंतर में एक ऐसा बिंदु ज्ञात कीजिए जो ΔABC के तीनों शीर्षों से समदूरस्थ है।
हल :
मान लीजिए ABC एक त्रिभुज है।
इसकी भुजाओं AB और BC के लंब समद्विभाजित क्रमश: PQ और RS खींचिए। मान लीजिए PQ. AB को M पर समद्विभाजित करता है और RS, BC को बिंदु N पर समद्विभाजित करता है।
मान लीजिए PQ और RS बिंदु O पर पर प्रतिच्छेद करते हैं।
OA, OB और OC को मिलाइए।
अब, ΔAOM और BOM में
AM = MB (रचना से)
∠AMO = ∠BMO (प्रत्येक = 90°) [रचना से] (उभयनिष्ठ)
OM = OM
∴ ΔAOM ≅ ΔBOM
(SAS सर्वांगसमता नियम)

इसलिए. OA = OB (सर्वांगसम. त्रिभुजों के संगत भाग)….(i)
इसी तरह, ΔBON ≅ ΔCON
⇒ OB =OC
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)……..(ii)
(i) और (ii) से हम देखते हैं कि
OA = OB = OC
अतः, ΔABC की किन्हीं दो भुजाओं के लंब समद्विभाजकों का प्रतिच्छेद बिंदु O, इसके तीनों शीर्षों से समदूरस्थ है।

प्रश्न 2.
किसी त्रिभुज के अभ्यांतर में एक ऐसा बिंदु ज्ञात कीजिए जो त्रिभुज की सभी भुजाओं से समदूरस्थ हों।
हल :
मान लीजिए ABC एक त्रिभुज है।
∠B और ∠C के समद्विभाजक खींचिए।
मान लीजिए ये कोण समद्विभाजक परस्पर बिंदु I पर प्रतिच्छेद करते हैं।
IK ⊥ BC खींचिए।
साथ ही, IJ ⊥ AB
और IL ⊥ AC खींचिए।

AI को मिलाइए।
ΔBIK और ΔBIJ में,
∠IKB = ∠IJB (प्रत्येक = 90°)
(रचना से)
∠IBK = ∠IBJ [∵ BI ∠B का समद्विभाजक है]
(रचना से)
BI = BI (उभयनिष्ठ)
∴ ΔBIK ≅ ΔBIJ
(AAS सर्वांगसमता नियम)
∴ IK = IJ
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग) ….(i)
इसी प्रकार, ΔCIK ≅ ΔCIL
इसलिए, IK = IL
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)….(ii)
(i) और (ii), से हमें प्राप्त होता है
IJ = IK = IL;
अतः, ΔABC के किन्हीं दो कोणों को समद्विभाजकों का प्रतिच्छे बिंदु I इसकी भुजाओं से समदूरस्थ है।

प्रश्न 3.
एक बड़े पार्क में लोग तीन बिंदुओं (स्थानों) पर केंद्रित हैं (देखिए आकृति)।
A : जहाँ बच्चों के लिए फिसल पट्टी और झूले
B: जिसके पास मानव-निर्मित एक झील है।
C: जो एक बड़े पार्किंग स्थल और बाहर निकलने के रास्ते के निकट है। एक आइसक्रीम का स्टाल कहाँ लगाना चाहिए ताकि वहाँ लोगों की अधिकतम संख्या पहुंच सके ?

हल :
स्टाल A, B और C से समदूरस्थ होना चाहिए। इसके लिए हम बिंदुओं B और C को मिलाने वाली रेखा का लंब समद्विभाजक l और बिंदुओं A और C को मिलाने वाली रेखा का लंब समद्विभाजक m खींचते हैं।

मान लीजिए l और m परस्पर बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं।
अब बिंदु O बिंदुओं A, B और C से समदूरस्थ हैं। OA, OB और OC को मिलाइए।
उपपत्ति : ΔBOP और ΔCOP में,
OP = OP (उभयनिष्ठ)
∠OPB = ∠OPC (प्रत्येक = 90°) (रचना से)
BP = PC
[∵ P, BC का मध्य-बिंदु है]
∴ ΔBOP ≅ ΔCOP
[SAS सर्वांगसमता नियम]
इसलिए, OB = OC
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)…(i)
इसी तरह, ΔAOQ ≅ ΔCOQ
⇒ OA = OC
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग) ..(ii)
(i) और (ii) से हमें प्राप्त होता है
OA = OB = OC
हम देखते हैं कि इन बिंदुओं को मिलाने से प्राप्त तीन भुजाओं में से किन्हीं दो भुजाओं के लंब समद्विभाजकों का प्रतिच्छेद बिंदु O ही वह बिंदु है जहाँ पर आइसक्रीम स्टाल लगाना चाहिए।

प्रश्न 4.
षड्भुजीय और तारे के आकार की रंगोलियों (देखिए आकृति (i) और (ii)] को 1 cm भुजा वाले समबाहु त्रिभुजों से भर कर पूरा कीजिए। प्रत्येक स्थिति में, त्रिभुजों की संख्या गिनिए। किसमें अधिक त्रिभुज हैं?
हल :
षड्भुजीय रंगोली में : प्रत्येक 5 cm भुजा वाली समबाहु त्रिभुजों की संख्या

षड्भुजीय रंगोली का क्षेत्रफल = 6 × एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल
= 6 × \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) × 25
= 150 × \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) cm² …(i)
1 cm भुजा वाली समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल
= \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) (1)²
= \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) cm² ………. (ii)
षड्भुजीय रंगोली में 1 cm भुजा वाले समबाहु त्रिभुजों की संख्या = 150\(\frac{\sqrt{3}}{4}\) ÷ \(\frac{\sqrt{3}}{4}\)
= 150 \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) × \(\frac{4}{\sqrt{3}}\)
= 150 ….(iii)
अब तारे के आकार की रंगोली में
प्रत्येक 5 cm भुजा वाली समबाहु त्रिभुजों की संख्या = 12
इसलिए तारे के आकार वाली रंगोली का कुल क्षेत्रफल = 12 × 5 cm भुजा वाली एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल

तारे के आकार वाली रंगोली में 1 cm भुजा वाली त्रिभुजों की संख्या
= 300 \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) ÷ \(\frac{\sqrt{3}}{4}\)
[ (iv) को (ii) से भाग देने पर]
= 300 \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) × \(\frac{4}{\sqrt{3}}\)
= 300 …….(v)
(iii) और (v) से हम देखते हैं कि तारे के आकार वाली रंगोली में 1 cm भुजा वाली समबाहु त्रिभुजों की संख्या अधिक है।

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.5 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.5

प्रश्न 1.
माचिस की डिब्बी के माप 4 cm × 2.5 cm × 1.5 cm हैं। ऐसी 12 डिब्बियों के एक पैकेट का आयतन क्या होगा ?
हल :
मान लीजिए माचिस की डिब्बी के माप लंबाई l = 4 cm, चौड़ाई ; b = 2.5 cm और ऊँचाई ; h = 1.5 cm

माचिस की डिब्बी का आयतन = l × b × h
= (4 × 2.5 × 1.5) cm³
= 15cm³
अब, हमें प्राप्त है, माचिस की डिब्बी का आयतन
= 15 cm³
∴ ऐसे माचिस की ऐसी 12 डिब्बियों का आयतन
= (12 × 15) cm
= 180 cm³

प्रश्न 2.
एक घनाभाकार पानी की टंकी 6 m लंबी, 5 m चौड़ी और 4.5 m गहरी है। इसमें कितने लीटर पानी आ सकता है ? (1 m³ = 1000 l)
हल :
घनाभाकार टंकी में पानी का आयतन = 6 m × 5 m × 4.5 m
[∵ घनाभ का आयतन = लंबाई × चौड़ाई × ऊँचाई]

= 135 m³
= 135 × 1000 लीटर
[∵ 1 m³ = 1000 लीटर]
= 1,35,000 लीटर
अतः, टंकी में 1,35000 लीटर पानी आ सकता है।

प्रश्न 3.
एक घनाभाकार बर्तन 10 m लंबा और 8 m चौड़ा है। इसको कितना ऊँचा बनाया जाए कि इसमें 380 घन मीटर द्रव आ सके ?
हल :
मान लीजिए घनाभाकार बर्तन की ऊँचाई = h
घनाभाकार बर्तन में द्रव का आयतन = 380 घन मीटर
अतः, लंबाई × चौड़ाई × ऊँचाई = 380 घन मीटर
⇒ 10 m × 8 m × h = 380
⇒ h = \(\frac{380}{10 \times 8}\) m
⇒ h = 4.75 m
अतः, घनाभाकार बर्तन की ऊँचाई 4.75 m है।

प्रश्न 4.
8 m लंबा, 6 m चौड़ा और 3 m गहरा एक घनाभाकार गढ्ढा खुदवाने में 30 रुपए प्रति m³ की दर से होने वाला व्यय ज्ञात कीजिए।
हल :

घनाभाकार गढ्ढे का आयतन = 8 m × 6 m × 3 m
= 144 m³
1 m³ गढ्डा खुदवाने का व्यय = 30 रु
144 m³ गढ्डा खुदवाने का व्यय = (30 × 144) रु
= 4320 रु.

प्रश्न 5.
एक घनाभाकार टंकी की धारिता 50000 लीटर पानी की है। यदि इस टंकी की लंबाई और गहराई क्रमश: 2.5 m और 10 m हैं, तो इसकी चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए घनाभाकार टंकी की चौड़ाई b m है।
घनाभाकार टंकी की धारिता = 50000 लीटर
⇒ लंबाई × चौड़ाई × ऊँचाई = 50000 लीटर
⇒ 2.5 m × b × 10 m = \(\frac{50000}{1000}\) m³
[∵ 1000 l = 1 m³]
⇒ 25b = 50
⇒ b = 25
⇒ b = 2 m
अतः, घनाभाकार टंकी की चौड़ाई 2 m है।

प्रश्न 6.
एक गाँव जिसकी जनसंख्या 4000 है, को प्रतिदिन प्रति व्यक्ति 150 लीटर पानी की आवश्यकता है। इस गाँव में 20 m × 15 m × 6 m मापों वाली एक टंकी बनी हुई है। इस टंकी का पानी वहाँ कितने दिन के लिए पर्याप्त होगा ?
हल :
घनाभाकार टंकी की धारिता = लंबाई × चौड़ाई × ऊंचाई
= 20 m × 15 m × 6 m
= 1800 m³
= 1800 × 1000 लीटर
[∵ 1 m³ = 1000 लीटर]
= 1800000 लीटर
प्रति व्यक्ति प्रतिदिन पानी की आवश्यकता = 150 लीटर
प्रतिदिन 4000 व्यक्तियों के लिए पानी की आवश्यकता = (150 × 4000) लीटर
= 600000 लीटर
जितने दिनों के लिए पानी पर्याप्त होगा

= \(\frac{1800000}{600000}\)
= 3
अतः, टंकी का पानी 3 दिन के लिए पर्याप्त होगा।

प्रश्न 7.
किसी गोदाम का माप 40 m × 25 m × 10 m हैं। इस गोदाम में 1.5 m × 1.25 m × 0.5 m की माप वाले लकड़ी के कितने अधिकतम क्रेट (crate) रखे जा सकते हैं ?
हल :
घनाभाकार गोदाम की धारिता (आयतन) = 40 m × 25 m × 15 m
[∵ गोदाम की धारिता = l × b × h]
= 15000 m³
लकड़ी के क्रेट की धारिता (आयतन) = 1.5 m × 1.25 m × 0.5 m
= 0.9375 m³
गोदाम में रखे जा सकने वाले लकड़ी के अधिकतम क्रेटों की संख्या

अतः, गोदाम में रखे जा सकने वाले क्रेटों की अधिकतम संख्या 16000 है।

प्रश्न 8.
12 cm भुजा वाले एक ठोस घन को बराबर आयतन वाले 8 घनों में काटा जाता है। नए घन की क्या भुजा होगी ? साथ ही, इन दोनों घनों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात भी ज्ञात कीजिए।
हल :
ठोस घन का आयतन = (भुजा)³
= (12 cm)³
= 1728 cm³
दिया है कि ठोस घन को बराबर आयतन वाले 8 घनों में काटा गया है।
∴ प्रत्येक नए घन का आयतन = \(\frac{1}{8}\) = (मूल घन का आयतन)

अब, मूल ठोस घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 6(भुजा)²
= 6(12)²
= 6 × 12 × 12 cm²
= 864 cm²
नये घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6 (भुजा)²
= 6 (6 cm)
= 6 × 6 × 6 cm²
= 216 cm²
अब प्रश्नानुसार,

अतः मूलधन और नये घन के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात 4 : 1 है।

प्रश्न 9.
3 m गहरी और 40 m चौड़ी एक नदी 2 किमी. प्रति घंटा की चाल से बहकर समुद्र में गिरती है। एक मिनट में समुद्र में कितना पानी गिरेगा ?
हल :

क्योंकि पानी 2 किमी. प्रति घंटा की चाल से बहता है। 2 किमी. नदी से पानी 1 घंटे में समुद्र में गिरता है। इसलिए, एक घंटे में समुद्र में गिर रहे पानी का आयतन = घनाभ का आयतन
= l × b × h
= 2000 m × 40 m × 3 m
[∵ 1 किमी. = 1000 किमी.]
= 240000 m³
अब,
∴ 1 घंटे अर्थात् 60 मिनट में समुद्र में गिर रहे पानी का आयतन = 240000 किमी.³
1 मिनट में समुद्र में गिर रहे पानी का आयतन = \(\frac{240000}{60}\)
= 4000 m³

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 7 त्रिभुज Ex 7.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 7 त्रिभुज Ex 7.4

प्रश्न 1.
दर्शाइए कि समकोण त्रिभुज में कर्ण सबसे लंबी भुजा होती है।
हल :
मान लीजिए ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें B पर समकोण है।
हमने सिद्ध करना है कि कर्णAC, सबसे लंबी भुजा होती है।

समकोण ΔABC में,
⇒ ∠A + ∠B + ∠C = 180°
∠A + 90°+ ∠C = 180° [∵ ∠B = 90°]
⇒ ∠A + ∠C = 180° – 90° = 90°
अब ∠A + ∠C = 90°
और ∠B = 90°
⇒ ∠B > ∠C और ∠B > ∠A
जैसा कि हम जानते हैं कि बड़े कोण के सम्मुख भुजा बड़ी होती है।
AC > AB और AC > BC
दूसरे शब्दों में, ∠B सबसे बड़ा होने के कारण इसकी सम्मुख भुजा AC अर्थात् कर्ण बड़ा होता है।

प्रश्न 2.
आकृति में, ΔABC की भुजाओं AB और AC को क्रमशः बिंदुओं P और Q तक बढ़ाया गया है। साथ ही, ∠PBC < ∠QCB है। दर्शाइए कि AC > AB है।
हल:
∠ABC + ∠PBC = 180° …..(i) (रैखिक युग्म)

∠ACB + ∠QCB = 180° ………(ii)
(रैखिक युग्म अभिगृहीत)
(i) और (ii), से हमें प्राप्त होता है ।
∠ABC + ∠PBC = ∠ACB + ∠QCB ….(iii)
परंतु ∠PBC ∠ ∠QCB (दिया है) …(iv)
∴ (iv) को (iii) में, प्रयोग करने पर
∠ABC > ∠ACB
अब ΔABC में,
∠ABC > ∠ACB
[ऊपर (iv) में सिद्ध किया है।
∴ AC > AB [∵ बड़े कोण के सम्मुख भुजा बड़ी होती है]

प्रश्न 3.
आकृति में, ∠B < ∠A और ∠C < ∠D है। दर्शाइए कि AD < BC है।

हल :
ΔAOB में,
∠B < ∠A (दिया है) या, ∠A > ∠B
इसलिए, OB > OA ……..(i) [∵ बड़े कोण के सम्मुख भुजा बड़ी होती है]
ΔCOD में,
∠C < ∠D (दिया है) या, ∠D > ∠C
∴ OC > OD ………..(ii)
[∵ बड़े कोण के सम्मुख भुजा बड़ी होती है]
(i) और (ii), को जोड़ने पर हमें प्राप्त होता है :
OB + OC > OA + OD
⇒ BC > AD
या, AD < BC (सिद्ध किया है)

प्रश्न 4.
AB और CD क्रमशः एक चतुर्भुज ABCD की सबसे छोटी और सबसे बड़ी भुजाएँ हैं ( देखिए आकृति)। दर्शाइए कि ∠A > ∠C और ∠B > ∠D
हल :
दिया है : ABCD एक चतुर्भुज है। AB सबसे छोटी भुजा और CD सबसे बड़ी भुजा है।
सिद्ध करना है : ∠A > ∠C और ∠B > ∠D.
रचना : A और C तथा B और D को मिलाइए।
उपपत्ति : ΔABC में AB सबसे छोटी भुजा है
∴ BC > AB
⇒ ∠1 > ∠2 …………(i)
[ बड़ी भुजा के सम्मुख कोण बड़ा होता है।]

ΔADC में, CD सबसे बड़ी भुजा है।
∴ CD > AD
⇒ ∠3 > ∠4 …………(ii)
(i) और (ii), को जोड़ने पर
∠1 + ∠3 > ∠2 + ∠4
⇒ ∠A > ∠C
[इति सिद्धम् भाग (1)]
अब ΔADB में, AB सब से छोटी भुजा है।
∴ AD > AB
⇒ ∠5 > ∠6 ……..(iii)
और ΔBCD में, CD सबसे बड़ी भुजा है।
∴ CD > BC
⇒ ∠7 > ∠8 ……..(iv)
(iii) और (iv), को जोड़ने पर
∠5 + ∠7 > ∠6 + ∠8
∠B > ∠D [इति सिद्धम् (2)]
अतः, ∠A > ∠C और ∠B > ∠D(इति सिद्धम्)

प्रश्न 5.
आकृति में PR > PQ है और PS कोण QPR को समद्विभाजित करता है। सिद्ध कीजिए कि ∠PSR > ∠PSQ है।
हल:

ΔPQR में,
PR > PQ (दिया है)
∴ ∠PQR > ∠PRQ (बड़ी भुजा के सम्मुख कोण बड़ा होता है) …….(1)
पुनः ∠1 = ∠2
[∵ PS, ∠P का समद्विभाजक है] …(2)
∴ ∠PQR + ∠1 > ∠PRQ + ∠2 …(3)
परंतु ∠PQS + ∠1 + ∠PSQ = ∠PRS + ∠2 + ∠PSR = 180°
[त्रिभुज के कोणों का योगफल 180° होता है।]
⇒ ∠PQR + ∠1 + ∠PSQ = ∠PRQ + ∠2 + ∠PSR …(4) [∵ ∠PRS = ∠PRQ और ∠PQS = ∠PQR]
(3) और (4), से हमें प्राप्त होता है
∠PSQ < ∠PSR या, ∠PSR > ∠PSQ

प्रश्न 6.
दर्शाइए कि एक रेखा पर एक दिए हुए बिंदु से, जो उस रेखा पर स्थित नहीं है, जितने रेखाखंड खींचे जा सकते हैं उनमें लंब रेखाखंड सबसे छोटा होता है।
हल :
दिया है : l एक रेखा है और P एक बिंदु है जो l पर स्थित नहीं है। PM ⊥ l है।
M से भिन्न कोई बिंदु N; रेखा l पर है।
(आकृति देखिए)

सिद्ध करना है : PM < PN उपपत्ति : ΔPMN में, ∠M एक समकोण है। N एक न्यूनकोण है। (त्रिभुज का कोण गुणधर्म) ∴ ∠M > N
∴ PN > PM
(बड़े कोण की सम्मुख भुजा)
या, PM < PN.
अतः, एक रेखाखंड पर एक दिए बिंदु से जो उस रेखा पर नहीं है, खींचे गए सभी रेखा खंडों में लंब रेखा खंड सबसे छोटा होता है।

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.4

जब तक अन्यथा न कहा जाए, π = \(\frac{22}{7}\) लीजिए।

प्रश्न 1.
निम्न त्रिज्या वाले गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए :
(i) 10.5 cm
(ii) 5.6 cm
(iii) 14 cm
हल :
गोले की त्रिज्या = 105 cm
∴ गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πR²
= 4 × \(\frac{22}{7}\) × 10.5 × 10.5 cm²
= 4 × \(\frac{22}{7} \times \frac{56}{10} \times \frac{56}{10}\) cm²
= 1386 cm²

(ii) गोले की त्रिज्या = 5.6 cm
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 4πR² = 4 × \(\frac{22}{7}\) × 5.6 × 5.6
= 4 × \(\frac{22}{7} \times \frac{56}{10} \times \frac{56}{10}\)
= 394.24 cm²

(iii) गोले की त्रिज्या = 14 cm
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 4πR² = 4 × \(\frac{22}{7}\) × 14 × 14 cm²
= 2464 cm²

प्रश्न 2.
निम्न व्यास वाले गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए :
(i) 14 cm
(ii) 21 cm
(iii) 3.5 m
हल :
(i) गोले का व्यास = 14 cm
गोले की त्रिज्या, R = \(\frac{14}{2}\) = 7 cm
गोले का पृष्ठीय = 4πR²
= 4 × \(\frac{22}{7}\) × 7 × 7 = 616 cm²

(ii) गोले का व्यास = 21 cm
गोले की त्रिज्या, R = \(\frac{21}{2}\) cm
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 4πR² = 4 × \(\frac{22}{7} \times \frac{21}{2} \times \frac{21}{2}\)
= 1386 cm²

(iii) गोले का व्यास = 3.5 cm
गोले की त्रिज्या, R = \(\frac{3.5}{2}\) = 1.75 cm
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πR²
= 4 × \(\frac{22}{7}\) × 1.75 × 1.75 cm²
= 4 × \(\frac{22}{7} \times \frac{175}{100} \times \frac{175}{100}\) cm²
= 4 × \(\frac{22}{7} \times \frac{7}{4} \times \frac{7}{4}\) m²
= 38.5 m²

प्रश्न 3.
10 cm त्रिज्या वाले एक अर्ध गोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 लीजिए)
हल:
मान लीजिए अर्ध गोले की त्रिज्या = r cm
∴ r = 10 cm

अर्ध गोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + ऊपरी वृत्ताकार भाग का क्षेत्रफल
= 2πr + πr²
= 3πr²
= 3 × 3.14 × (10)² cm
= 3 × \(\frac{314}{100}\) × 100 cm²
= 3 × 314 cm²
= 942 cm²
अतः, अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 942 cm² है।

प्रश्न 4.
एक गोलाकार गुब्बारे में हवा भरने पर, उसकी त्रिज्या 7 cm से 14 cm हो जाती है। इन दोनों स्थितियों में, गुब्बारे के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल :
पहली स्थिति में
गुब्बारे की त्रिज्या ; r = 7 cm
∴ गुब्बारे का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr²
= 4π × 7 × 7 cm² (I)

दूसरी स्थिति में
गुब्बारे की त्रिज्या ; R = 14 cm
∴ गुब्बारे का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr²
= 4π × 14 × 14 cm² (II)
अब, पृष्ठीय क्षेत्रफलों में अनुपात

अतः, वांछित अनुपात = 1 : 4

प्रश्न 5.
पीतल से बने एक अर्धगोलाकार कटोरे का आंतरिक व्यास 10.5 cm है। 16 रुपए प्रति 100 cm² की दर से इसके आंतरिक पृष्ठ पर कलई कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।
हल :
कटोरे का आंतरिक व्यास = 10.5 cm
कटोरे की आंतरिक त्रिज्या
r = \(\frac{10.5}{2}\) = 5.25 cm

∵ कटोरा अर्धगोलाकार है
∴ कटोरे का आंतरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr²

100 cm² पृष्ठ पर कलई कराने का व्यय = 16 रु
1 cm² पृष्ठ पर कलई कराने का व्यय = \(\frac{16}{100}\) रु
\(\frac{693}{4}\) cm² पृष्ठ पर कलाई कराने का व्यय
= \(\frac{16}{100} \times \frac{693}{4}\) = 27.72 रु०

प्रश्न 6.
उसे गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल 154 cm² है।
हल :
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 154 m²
मान लीजिए गोले की त्रिज्या = R
∴ 4πR² = 15
या 4 × \(\frac{22}{7}\) × R² = 154
या R² = 154 × \(\frac{7}{22} \times \frac{1}{4}=\frac{7 \times 7}{4}=\frac{49}{4}\)
या, R = \(\sqrt{\frac{49}{4}}\) = \(\frac{7}{2}\) = 3.5 cm

प्रश्न 7.
चन्द्रमा का व्यास पृथ्वी के व्यास का लगभग एक चौथाई है। इन दोनों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए पृथ्वी का व्यास = x

∴ पृथ्वी की त्रिज्या ; R = \(\frac{x}{2}\)
∵ क्योंकि पृथ्वी को गोलाकार माना गया है
∴ पृथ्वी का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πR²
= 4π × \(\frac{x}{2} \times \frac{x}{2}\)
= π × x ……(i)
अब चंद्रमा का व्यास
= पृथ्वी के व्यास का \(\frac{1}{4}\) भाग
∴ चंद्रमा की त्रिज्या कह लीजिए,
= \(\frac{1}{4}\) × x = \(\frac{x}{4}\)
चंदरमा की त्रिज्या ; r = \(\frac{x}{4 \times 2}=\frac{x}{8}\)
∵ चंद्रमा भी गोलाकार है
∴ चंद्रमा का पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 4πr² = 4 × π × \(\frac{x}{8} \times \frac{x}{8}\)
= \(\frac{\pi \times x^2}{16}\) ….(ii)

वांछित अनुपात = 1 : 16

प्रश्न 8.
एक अर्धगोलाकार कटोरा 0.25 cm मोटी स्टील से बना है। इस कटोरे की आंतरिक त्रिज्या 5 cm है। कटोरे का बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
कटोरे की आंतरिक त्रिज्या ; r = 5 cm
स्टील की मोटाई ; t = 0.25 cm
कटोरे की बाहरी त्रिज्या ; R = r + t
= 5 + 0.25 = 5.25 cm
कटोरे का बाहरी पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πR²

प्रश्न 9.
एक लंब वृत्तीय बेलन त्रिज्या वाले एक गोले को पूर्णतया घेरे हुए है (देखिए आकृति) ज्ञात कीजिए :
(i) गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल
(ii) बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
(iii) ऊपर (i) और (ii) में प्राप्त क्षेत्रफल का अनुपात

हल :
(i) गोले की त्रिज्या = r
∴ गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4π²
(ii) ∵ गोला बेलन के अंतर्गत है।
∴ बेलन की ऊँचाई गोले के व्यास तथा बेलन की त्रिज्या गोले की त्रिज्या के बराबर होगी।
अब बेलन की त्रिज्या = r
बेलन की ऊँचाई h = 2r
∴ बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh
= 2πr × 2r [∵ h = 2r]
= 4πr²

∴ वांछित अनुपात = 1 : 1

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 7 त्रिभुज Ex 7.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 7 त्रिभुज Ex 7.3

प्रश्न 1.
ΔABC और ΔDBC एक ही आधार BC पर बने दो समद्विबाहु त्रिभुज इस प्रकार हैं कि A और D भुजा BC के एक ही ओर स्थित हैं (देखिए आकृति)। यदि AD बढ़ाने पर BC को P पर प्रतिच्छेद करे, तो दर्शाइए कि,
(i) ΔABD ≅ ΔACD
(ii) ΔABP ≅ ΔACP
(iii) AP कोण A और कोण D दोनों को समद्विभाजित करता है।
(iv) AP रेखाखंड BC का लंब समद्विभाजक है।
हल:

ΔABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
∴ AB = AC
ΔDBC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
∴ BD = CD
अब, ΔABD और ΔACD में,
AB = AC (दिया है)
BD = CD (दिया है)
AD = AD (उभयनिष्ठ)
∴ ΔABD ≅ ΔACD
(SSS सर्वांगसमता नियम से)
भाग (i) सिद्ध हुआ
⇒ ∠BAD = ∠CAD …………. (a)
[सर्वांगसम त्रिभुज के संगत भाग]

(ii) अब, ΔABP और ΔACP में,
AB = AC (दिया है)
∠BAD = ∠CAD
[(a) का प्रयोग करने पर]
AP = AP (उभयनिष्ठ)
∴ ΔABP ≅ ΔACP
(SAS सर्वांगसमता नियम से)

(iii) दूसरे भाग में हमने सिद्ध किया है कि
ΔABP ≅ ΔACP
इसलिए, ∠BAP= ∠CAP
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भांग)
⇒ AP, ∠A को समद्विभाजित करता है।
भाग (i) में हमने सिद्ध किया है कि
ΔABD ≅ ΔACD
इसलिए, ∠ADB = ∠ADC ………….(b)
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
∠ADB + ∠BDP = 180°
(रैखिक युग्म) …… (c)
∠ADC + ∠CDP = 180° …………..(d) (रैखिक युग्म)
(c) और (d), से हमें प्राप्त होता है।
∠ADB + ∠BDP = ∠ADC + ∠CDP
या ∠ADB + ∠BDP = ∠ADB + ∠CDP
[(b) के प्रयोग करने पर]
⇒ ∠BDP = ∠CDP
⇒ DP, ∠D को समद्विभाजित करता है।
अर्थात् हम कह सकते हैं कि AP, ∠D को समद्विभाजित करता है।

(iv) भाग (ii) में हमने सिद्ध किया है कि
ΔABP ≅ ΔACP
∴ BP = PC ….(e)
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
और ∠APB = ∠APC …………(f)
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
अब, ∠APB + ∠APC = 180° (रैखिक युग्म)
⇒∠APB + ∠APB = 180°
[(f) का प्रयोग करने पर]
⇒ 2∠APB = 180°
⇒ ∠APB = \(\frac {180°}{2}\)
⇒ ∠APB = 90°
⇒ AP ⊥ BC … (g)
(e) से हम प्राप्त करते हैं BP = PC और (g),से हमने सिद्ध किया है कि AP ⊥ BC । दोनों को इकट्ठा लेने पर हम कह सकते हैं कि AP, BC का लंब समद्विभाजक है।

प्रश्न 2.
AD एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC का एक शीर्षलंब है, जिसमें AB = AC है। दर्शाइए कि
(i) AD रेखा खंड BC को समद्विभाजित करता है।
(ii) AD कोण A को समद्विभाजित करता है।

हल :
ΔABD और ΔACD में,
AB = AC (दिया है)
∠ADB = ∠ADC (प्रत्येक = 90°)
[∵ AD ⊥ BC (दिया है)]
AD = AD (उभयनिष्ठ)
∴ ΔABD ≅ ΔACD
(RHS सर्वांगसमता नियम से)
इसलिए, BD = DC
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
⇒ AD; BC, को समद्विभाजित करती है।
(भाग (i) सिद्ध हुआ है)
साथ ही, ∠BAD = ∠CAD (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
⇒ AD, ∠A को समद्विभाजित करती है।

प्रश्न 3.
एक त्रिभुज ABC की दो भुजाएँ AB और BC तथा माध्यिका AM क्रमशः एक-दूसरे त्रिभुज की भुजाओं PQ और QR तथा माध्यिका PN के बराबर है (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि
(i) ΔABM ≅ ΔPQN
(ii) ΔABC ≅ ΔPQR

हल :
AM, ΔABC की माध्यिका है।
∴ BM = MC = \(\frac {1}{2}\) BC ……….(a)
PN, ΔPQR की माध्यिका है।
∴ QN = NR = \(\frac {1}{2}\) OR ……. (b)
अब, BC = QR (दिया है)
⇒ \(\frac {1}{2}\)BC = \(\frac {1}{2}\)QR
इसलिए, BM = QN ……. (c)
[(a) और (b) का प्रयोग करने पर]
(i) अब, ΔABM और ΔPQN में,
AB = PQ (दिया है)
AM = PN (दिया है)
BM = QN
[भाग (c) में सिद्ध किया है]
∴ ΔΑΒΜ ≅ ΔΡQN
(sss सर्वांगसमता नियम से)
इसलिए, ∠B = ∠Q ……….(d)
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)

(ii) ΔABC और ΔPQR में,
AB = PQ (दिया है)
∠B = ∠Q
[भाग (d) प्रयोग करने पर]
BC = QR (दिया है)
∴ ΔABC ≅ ΔPQR ,
(SAS सर्वांगसमता नियम से)

प्रश्न 4.
BE और CF एक त्रिभुज ABC के दो बराबर शीर्षलंब हैं| RHS सर्वांगसमता नियम का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि ΔABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

हल :
ΔBEC और ΔCFB में,
∠BEC = ∠CFB (प्रत्येक = 90°)
[∵ BE ⊥ AC और CF ⊥ AB]
BC = BC (उभयनिष्ठ)
BE = CF (दिया है)
∴ ΔBEC ≅ ΔCFB
(RHS सर्वांगसमता नियम से)
इसलिए, EC = FB …………(i)
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
अब ΔAEB और ΔAFC में,
∠A = ∠A (उभयनिष्ठ)
∠AEB = ∠AFC
(प्रत्येक = 90°) [दिया है।
EB = FC (दिया है)
∴ ΔAEB ≅ ΔAFC
(AAS सर्वांगसमता नियम से)
इसलिए, AE = AF …………..(ii)
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
(i) और (ii), को जोड़ने पर हमें प्राप्त होता है।
EC + AE = FB + AF
⇒ AC = AB
अब ΔABC में, हमें प्राप्त है
AB = AC
⇒ ΔABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

प्रश्न 5.
ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB = AC है। AP ⊥ BC खींच कर दर्शाइए कि ∠B = ∠C है।

हल :
दिया है : ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें
AB = AC
सिद्ध करना है : ∠B = ∠C
रचना : AP ⊥ BC खींचिए।
उपपत्ति : ΔABP और ΔACP में
∠APB = ∠APC
(प्रत्येक = 90°) [रचना से]
AB = AC (दिया है)
AP = AP (उभयनिष्ठ)
∴ ΔABP ≅ ΔACP
(RHS सर्वांगसमता नियम से)
इसलिए, ∠B = ∠C
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.3

जब तक अन्यथा न कहा जाए π = \(\frac{22}{7}\) लीजिए।

प्रश्न 1.
एक शंकु के आधार पर व्यास 10.5 cm है और इसकी तिर्यक ऊँचाई 10 cm है। इसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए कि वृत्ताकार आधार की त्रिज्या = r cm
∴ व्यास ; 2r = 10.5 cm
⇒ r = \(\frac{10.5}{2}\)
⇒ r = \(\frac{105}{20}\)
⇒ r = \(\frac{21}{4}\)

शंकु की तिर्यक ऊँचाई = l = 10 cm
इसलिए, शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl
= \(\frac{22}{7}\) × \(\frac{21}{4}\) × 10
= 165 cm²

प्रश्न 2.
एक शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसकी तिर्यक ऊँचाई 21 m है और आधार का व्यास 24 m है।
हल :
शंकु की तिर्यक ऊँचाई l = 21 m
शंकु का व्यास = 24 m
शंकु की त्रिज्या, r = \(\frac{24}{2}\) = 12 m
शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl + πr²
= πr (l + r)
= \(\frac{22}{7}\) × 12 (21 + 12) m²

= \(\frac{264}{7}\) × 33 = 1244.57 m²

प्रश्न 3.
एक शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 380 cm² है और इसकी तिर्यक ऊँचाई 14 cm है। ज्ञात कीजिए :
(i) आधार की त्रिज्या
(ii) शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल
हल :
(i) मान लीजिए शंकु के वृत्तीकार आधार की त्रिज्या = r
तिर्यक ऊँचाई ; l = 14 cm
शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 308 cm² (दिया है)
⇒ πrl = 308
⇒ \(\frac{22}{7}\) × r × 14 = 308
⇒ r = 308 × \(\frac{7}{22}\) × \(\frac{1}{14}\)
⇒ r = 7 cm

(ii) शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + शंकु के वृत्तीय आधार का क्षेत्रफल
= 308 + πr²
= 308 + \(\frac{22}{7}\) × 72
= 308 + 22 × 7
= 308 + 154
= 462 cm²

प्रश्न 4.
शंकु के आकार का एक तंबू 10 m ऊँचा है उसके आधार की त्रिज्या 24 m है। ज्ञात कीजिए:
(i) तंबू की तिर्यक ऊँचाई
(ii) तंबू में लगे केनवास (canvas) की लागत, यदि 1 m² केनवास की लागत 70 रुपए है।
हल :
शंक्वाकार तंबू की ऊँचाई h = 10 m
शंक्वाकार तंबू की त्रिज्या ; r = 24 m
(i) तंबू की तिर्यक ऊँचाई ; l = \(\sqrt{r^2+h^2}\)
= \(\sqrt{(24)^2+(10)^2}\)
= \(\sqrt{576+100}\)
= \(\sqrt{676}\)
= 26 m
भाग (ii) के लिए, तंबू को बनाने में लगा केनवास = तंबू का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
= πrl
= \(\frac{22}{7}\) × 24 × 26 = \(\frac{13728}{7}\) m²
\(\frac{13728}{7}\) m² केनवास का मूल्य
= 70 × \(\frac{13728}{7}\) रु
= 137280 रु

प्रश्न 5.
8 m ऊँचाई और आधार की त्रिज्या 6 m वाले एक शंकु के आकार का तंबू बनाने में 3 m चौड़े तिरपाल की कितनी लंबाई लगेगी? यह मान कर चलिए कि इसकी सिलाई और कटाई में 20 cm तिरपाल अतिरिक्त लगेगा। (π = 3.14 का प्रयोग कीजिए)
हल :
तंबू की ऊँचाई ; h = 8 m
तंबू की त्रिज्या ; r = 6 m
तंबू की तिर्यक ऊँचाई ; l = \(\sqrt{r^2+h^2}\)
= \(\sqrt{(6)^2+(8)^2}\)
= \(\sqrt{36+64}\)
= \(\sqrt{100}\)
= 10 m
तिरपाल का क्षेत्रफल = तंबू का वृक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
= πrl = 3.14 × 6 × 10 = 188.4 m²
तिरपाल की चौड़ाई = 3 m
मान लीजिए तिरपाल की लंबाई = L
तिरपाल का क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई
= L × 3 = 3L
3L = 188.4 [∵ क्षेत्रफल = 188.4 m²]
L = \(\frac{188.4}{3}\) = 62.8 m
सिलाई और कटाई में लगी तिरपाल की अतिरिक्त लंबाई 20 cm है।
अर्थात् 0.2 m [∵ 1 cm = \(\frac{1}{100}\) m]
इसलिए तंबू बनाने में लगी तिरपाल की कुल लंबाई (62.8 + 0.2) m = 63 m

प्रश्न 6.
शंकु के आधार की एक गुंबज की तिर्यक ऊँचाई और आधार व्यास क्रमशः 25 m और 14 m हैं। इसकी वक्र पृष्ठ पर 210 रुपए प्रति 100 m² की दर से सफेदी कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।
हल :
शंक्वाकार गुंबज की तिर्यक ऊँचाई l = 25 m
शंक्वाकार गुंबज के आधार का व्यास = 14 m
शंक्वाकार गुंबज की त्रिज्या r = \(\frac{14}{2}\) = 7m
गुंबज का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl
= \(\frac{22}{7}\) × 7 × 25 = 550 m²
100 m² पर सफेदी कराने का व्यय = 210 रु
1 m² पर सफेदी कराने का व्यय = \(\frac{210}{100}\) रु
550 m² पर सफेदी कराने का व्यय = \(\frac{210}{100}\) × 550 रु
= 1155 रु

प्रश्न 7.
एक जोकर की टोपी एक शंकु के आकार की है, जिसके आधार की त्रिज्या 7 cm और ऊँचाई 24 cm है। इसी प्रकार की 10 टोपियाँ बनाने के लिए आवश्यक गत्ते का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
टोपी के आधार की त्रिज्या r = 7 cm
टोपी की ऊँचाई ; h = 24 cm
टोपी शंकु के आकार की है।

तिर्यक ऊँचाई ; l = \(\sqrt{r^2+h^2}\)
= \(\sqrt{(7)^2+(24)^2}\)
= \(\sqrt{49+576}\) = \(\sqrt{625}\) = 25 cm
एक टोपी बनाने में लगे गत्ते का क्षेत्रफल = शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
= πrl
= \(\frac{22}{7}\) × 7 × 25 = 550 cm²
∴ 10 टोपियाँ बनाने में लगे गत्ते का क्षेत्रफल = 10 × 550 = 5500 cm²

प्रश्न 8.
किसी बस स्टाप को पुराने गत्ते से बने 50 खोखले शंकुओं द्वारा सड़क से अलग किया हुआ है। प्रत्येक शंकु के आधार का व्यास 40 cm है और ऊँचाई 1 m है। यदि इन शंकुओं की बाहरी पृष्ठों को पेंट करवाना है और पेट की दर 12 रुपए प्रति m² है, तो इनको पेंट कराने में कितनी लागत आएगी ?
(π = 3.14, और \(\sqrt{1.04}\) = 1.02 का प्रयोग कीजिए)
हल :
मान लीजिए वृत्तीकार आधार की त्रिज्या = r
∴ व्यास ; 2r = 40
⇒ r = \(\frac{40}{2}\)
⇒ r = 20 m
⇒ r = \(\frac{20}{100}\) m

शंकु की ऊँचाई, h = 1 m
तिर्यक ऊँचाई, l = \(\sqrt{r^2+h^2}\)
= \(\sqrt{(0.2)^2+(1)^2}\)
l = \(\sqrt{0.04+1}\)
l = \(\sqrt{1.04}\)
शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl
= 3.14 × 0.2 × \(\sqrt{1.04}\)
= 3.14 × 0.2 × 1.02
= 0.64056 m²
1m2 शंकु को पेंट कराने की लागत = 12 रु
0.64056 m² शंकु को पेंट कराने की लागत = (12 × 0.64056) रु
= 7.68672 रु
एक शंकू को पेंट कराने की लागत = 7.68672 रु
ऐसे 50 शंकु को पेंट कराने की लागत = 50 × 7.68672 रु
= 384.34 रु (लगभग)