PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 12 वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल Ex 12.2

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 12 वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल Ex 12.2 Textbook Exercise Questions and Answers

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 12 वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल Ex 12.2

(जब तक अन्यथा न कहा जाए, π = \(\frac{22}{7}\) का प्रयोग कीजिए)

प्रश्न 1.
6 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त के एक त्रिज्याखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसका कोण 60° है।
हल :
वृत्त के त्रिज्याखंड की त्रिज्या (R) = 6 cm

केंद्रीय कोण (9) = 60°
त्रिज्याखंड का क्षेत्रफल = \(\frac{\pi \mathrm{R}^{2} \theta}{360}\)
= \(\frac{22}{7} \times \frac{6 \times 6 \times 60}{360}\)
= \(\frac{132}{7}\) cm²
∴ त्रिज्याखंड का क्षेत्रफल = 18.86 cm²

प्रश्न 2.
एक वृत्त के चतुर्थांश (quadrant) का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसकी परिधि 22 cm है।
हल :
वृत्त की परिधि = 22 cm
2πR = 22
R = \(\frac{22 \times 7}{2 \times 22}=\frac{7}{2}\) cm
R = \(\frac{7}{2}\)
केंद्रीय कोण [चतुर्थांश] (θ) = 90°
∴ चतुर्थांश का क्षेत्रफल = \(\frac{\pi \mathrm{R}^{2} \theta}{360}\)
= \(\frac{\frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \times 90}{360}\)
= \(\frac{77}{8}\) cm²
चतुर्थांश का क्षेत्रफल = 9.625 cm²

प्रश्न 3.
एक घड़ी की मिनट की सुई जिसकी लंबाई 14 cm है। इस सुई द्वारा 5 मिनट में रचित क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
मिनट की सुई की लंबाई = वृत्त की त्रिज्या (R) = 14 cm

हमें ज्ञात है,
60′ = 360°
1′ = \(\frac{360}{60}\)= 6.
5′ = 6° x 5 = 30°
त्रिज्यखंड कोण (θ) = 30°
∴ सुई द्वारा 5 मिनट में रचित क्षेत्रफल = \(\frac{\pi \mathrm{R}^{2} \theta}{360}\)

= \(\frac{22}{7}\) × 14 × 14 × \(\frac{30^{\circ}}{360^{\circ}}\)

= \(\frac{1}{12}\) × 22 × 8

= \(\frac{154}{3}\) cm²

सुई द्वारा 5 मिनट में रचित क्षेत्रफल = 51.33 cm².

प्रश्न 4.
10 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त की कोई जीवा केंद्र पर एक समकोण अंतरित करती है। निम्नलिखित के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए :
(i) संगत लघु वृत्तखंड
(ii) संगत दीर्घ त्रिज्यखंड
(π = 3.14 का प्रयोग कीजिए)।
हल :
वृत्त की त्रिज्या (R) = 10 cm
केंद्रीय कोण (θ) = 90°
लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = \(\frac{\pi \mathrm{R}^{2} \theta}{360}\)
= 3.14 × 10 × 10 × \(\frac{90}{360}\) = \(\frac{314}{4}\)
लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = \(\frac{314}{4}\) = 78.5 cm²
लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल = लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल – ∆AOB का क्षेत्रफल
= 78.5 – \(\frac{1}{2}\) आधार × ऊँचाई
= (78.5 – \(\frac{1}{2}\) × 10 × 10) cm²
= (78.5 – 50) cm²
= 28.5 cm²
∴ लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल = 28.5 cm
दीर्घ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = \(\frac{(360-90)}{360}\) πR²

= \(\frac{270}{360}\) × 3.14 × 100

= \(\frac{3 \times 314}{4}=\frac{3 \times 157}{2}\)
∴ दीर्घ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = 235.5 cm²

प्रश्न 5.
त्रिज्या 21 cm वाले वृत्त का एक चाप केंद्र पर 60° का कोण अंतरित करता है। ज्ञात कीजिए :
(i) चाप की लंबाई
(ii) चाप द्वारा बनाए गए त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल
(iii) संगत जीवा द्वारा बनाए गए वृत्तखंड का क्षेत्रफल
हल :
(i) वृत्त की त्रिज्या (R) = 21 cm

केंद्रीय कोण (θ) = 60°
चाप की लंबाई = \(\frac{\theta}{360}\) × 2πR
= \(\frac{60}{360}\) × 2 × \(\frac{22}{7}\) × 21
चाप की लंबाई = 22 cm

(ii) चाप द्वारा बनाए गए त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = \(\frac{\pi \mathrm{R}^{2} \theta}{360}\)
= \(\frac{22}{7} \times \frac{21 \times 21 \times 60}{360}\)
= 231 cm²
(क्योंकि ∆OAB समबाहु त्रिभुज है जिसमें θ = 60°).

(iii) वृत्तखंड का क्षेत्रफल = त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल – ∆AOB का क्षेत्रफल
= \(\frac{\pi \mathrm{R}^{2} \theta}{360}-\frac{\sqrt{3}}{4}(\text { भुजा })^{2}\)
= 231 – \(\frac{1.73}{4}\) × 21 × 21
= 231 – 0.4325 × 441
= 231 – 190.7325
वृत्तखंड का क्षेत्रफल = 40.26 cm²

प्रश्न 6.
15 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त की कोई जीवा केंद्र पर 60° का कोण अंतरित करती है। संगत लघु और दीर्घ वृत्तखंडों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
(π = 3.14 और √ 3 = 1.73 का प्रयोग कीजिए।)
हल :
वृत्त की त्रिज्या = (R) = 15 cm
केंद्रीय कोण (θ) = 60°

∆OAB में, केंद्रीय कोण θ = 60°
OA = OB = 15 cm
∴ ∠A = ∠B = 60°
∴ ∆OAB समबाहु त्रिभुज है।
[लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल] = [समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल] – [लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल]

लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल = 20.43 cm²
दीर्घ वृत्तखंड का क्षेत्रफल = वृत्त का क्षेत्रफल – लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल
= πR² – 20.43
= 3.14 × 15 × 15 – 20.43
= 706.5 – 20.43
= 686.07 cm²
दीर्घ वृत्तखंड का क्षेत्रफल = 686.07 cm²

प्रश्न 7.
त्रिज्या 12 cm वाले एक वृत्त की कोई जीवा केंद्र पर 120° का कोण अंतरित करती है। संगत वृत्तखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
(π = 3.14 और √3 = 1.73 का प्रयोग कीजिए।)
हल :
वृत्त की त्रिज्या (R) = 12 cm
केंद्रीय कोण (θ) = 120°
∆OAM में,
OM ⊥ A B
∴ AM = MB = \(\frac{1}{2}\) AB

∴ ∠OAM = 30° = ∠OBM

AB = 2AM
= 2 \(\left(\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{OA}}\right)\) OA
= 2 (sin 60°) 12
AB = 2 × \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) × 12 = 12√3 cm
OM = OA \(\left(\frac{\mathrm{OM}}{\mathrm{OA}}\right)\)
= 12 (cos 60°)
= 12 × \(\frac{1}{2}\) = 6 cm
वृत्तखंड का क्षेत्रफल = त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल – ∆OAB का क्षेत्रफल वृत्तखंड का क्षेत्रफल
= \(\frac{\pi \mathrm{R}^{2} \theta}{360}\) – \(\frac{1}{2}\) AB × OM

= \(\frac{3.14 \times 12 \times 12 \times 120^{\circ}}{360}\) – \(\frac{1}{2}\) × 12√3 × 6

= \(\frac{314}{100} \times \frac{144 \times 120^{\circ}}{360}\) – 36√3

= 150.72 – 36 × 1.73
= (150.72 – 62.28) cm²
= 88.44 cm²
∴ वृत्तखंड का क्षेत्रफल = 88.44 cm²

प्रश्न 8.
15 m भुजा वाले एक वर्गाकार घास के मैदान के एक कोने पर लगे खूटे से एक घोड़े को 5 m लंबी रस्सी से बांध दिया गया है (देखिए आकृति। ज्ञात कीजिए 🙂
(i) मैदान के उस भाग का क्षेत्रफल जहाँ घोड़ा घास चर सकता है।
(ii) चरे जा सकने वाले क्षेत्रफल में वृद्धि, यदि घोड़े को 5 m लंबी रस्सी के स्थान पर 10 m लंबी रस्सी से बांध दिया जाए। (70 = 3.14 का प्रयोग कीजिए।)

हल :
वर्ग की भुजा = 15 m
(i) खूटे की रस्सी की लंबाई = रस्सी की त्रिज्या (R) = 5 m
केंद्रीय कोण (θ) = 90° [वर्ग का प्रत्येक कोण]

त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = \(\frac{\pi \mathrm{R}^{2} \theta}{360}\)
= \(\frac{3.14 \times 5 \times 5 \times 90^{\circ}}{360}\)
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = \(\frac{3.14 \times 25}{4}=\frac{78.5}{4}\) m²
= 19.625 m²

(ii) जब त्रिज्यखंड की त्रिज्या 10 m बढ़ जाती है।
त्रिज्यखंड OCD (R₁) = 10 m
केंद्रीय कोण (θ) = 90°
∴ त्रिज्यखंड OCD का क्षेत्रफल = \(\frac{\pi \mathrm{R}_{1}^{2} \theta}{360}\)
= \(\frac{3.14 \times 10 \times 10 \times 90^{\circ}}{360}\)
= \(\frac{314}{100} \times \frac{100 \times 90^{\circ}}{360}\)
= \(\frac{314}{4}\)
= 78.5 m²
∴ चरे जा सकने वाले क्षेत्रफल में वृद्धि = त्रिज्यखंड OCD का क्षेत्रफल – त्रिज्यखंड OAB का क्षेत्रफल
= 78.5 – 19.625
1 = 58.875 m²
चरे जा सकने वाले क्षेत्रफल में वृद्धि = 58.875 m²

प्रश्न 9.
एक वृत्ताकार ब्रूच (brooch) को चाँदी के तार से बनाया जाना है जिसका व्यास 35 mm है। तार को वृत्त के 5 व्यासों को बनाने में भी प्रयुक्त किया गया है जो उसे 10 बराबर त्रिज्यखंडों में विभाजित करता है जैसा कि आकृिति में दर्शाया गया है। तो ज्ञात कीजिए :
(i) कुल वांछित चाँदी के तार की लंबाई
(ii) ब्रूच के प्रत्येक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल

हल :
वृत्त का व्यास (D) = 35 mm
वृत्त की त्रिज्या (R) = \(\frac{35}{2}\) mm
व्यासों की संख्या = 5
बराबर त्रिज्यखंडों की संख्या = 10

(i) प्रयोग की गई तार की लंबाई = 5 व्यासों की लंबाई + वृत्त (ब्रूच) का परिमाप
= 5(35) + 2πR
= 175 + 2 × \(\frac{22}{7}\) × \(\frac{35}{2}\)
= 175 + 110
= 285 mm

(ii) ब्रूच का त्रिज्यखंड का कोण

प्रत्येक ब्रूच का क्षेत्रफल = 96.25 mm².

प्रश्न 10.
एक छतरी में आठ ताने हैं, जो बराबर दूरी पर लगे हुए हैं ( देखिए आकृति)। छतरी को 45 cm त्रिज्या वाला एक सपाट वृत्त मानते हुए, इसकी दो क्रमागत तानों के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल :
वृत्त की त्रिज्या = 45 cm
तानों की संख्या = 8
केंद्रीय कोण (त्रिज्याखंड कोण) = \(\frac{360}{8}\) = 45°
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = \(\frac{\pi R^{2} \theta}{360}\)

= \(\frac{45}{360} \times \frac{22}{7} \times 45 \times 45\)

= \(\frac{1}{8} \times \frac{22}{7} \times 45 \times 45\)

= \(\frac{22275}{28}\)
त्रिज्याखंड का क्षेत्रफल = 795.53 cm²
∴ छतरी के दो क्रमागत तानों के बीच का क्षेत्रफल = 795.53 cm²

प्रश्न 11.
किसी कार के दो वाइपर (Wipers), परस्पर कभी आच्छादित नहीं होते हैं। प्रत्येक वाइपर की पत्ती की लंबाई 25 cm है और 115° के कोण तक घूम कर सफाई कर सकता है। पत्तियों की प्रत्येक बुहार के साथ जितना क्षेत्रफल साफ हो जाता है, वह ज्ञात कीजिए।
हल :
पत्ती की लंबाई (R) = 25 cm
त्रिज्यखंड का कोण (θ) = 115°
वाइपर त्रिज्यखंड के रूप में घूमता है।

त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = एक पत्ती द्वारा घूमा गया क्षेत्रफल
= \(\frac{\pi R^{2} \theta}{360}\)
= \(\frac{22}{7} \times \frac{115}{360}\) × 25 × 25
= 627.48
वाइपर की दो पत्तियों द्वारा घूमा गया क्षेत्रफल = 2
त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = 2 × 627.48
= 1254.96 cm

प्रश्न 12.
जहाज़ों को समुद्र में जलस्तर के नीचे स्थित चट्टानों की चेतावनी देने के लिए, एक लाइट हाउस (light house) 80° कोण वाले एक त्रिज्याखंड में 16.5 km की दूरी तक लाल रंग का प्रकाश फैलाता है। समुद्र के उस भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसमें जहाज़ों को चेतावनी दी जा सके। (π = 3.14 का प्रयोग कीजिए।)
हल :
त्रिज्यखंड कोण (θ) = 80°
त्रिज्यखंड की त्रिज्या (R) = 16.5 km

समुद्र के उस भाग का क्षेत्रफल जिसमें जहाज़ों को चेतावनी दी जा सके
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = \(\frac{\pi R^{2} \theta}{360}\)
= \(\frac{3.14 \times 16.5 \times 16.5 \times 80}{360}\)
= 189.97 km²
समुद्र के उस भाग का क्षेत्रफल जिसमें जहाज़ों को चेतावनी दी जा सके = 189.97 km²

प्रश्न 13.
एक गोल मेज़पोश पर छः समान डिज़ाइन बने हुए हैं जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। यदि मेज़पोश की त्रिज्या 28 cm है, तो ₹ 3.50 प्रति वर्ग सेंटीमीटर की दर से इन डिज़ाइनों को बनाने की लागत ज्ञात कीजिए। (√3 = 1.7 का प्रयोग कीजिए)

हल :
समान डिज़ाइनों की संख्या = 6
डिज़ाइन की त्रिज्या (R) = 28 cm
प्रत्येक डिज़ाइन त्रिज्यखंड के आकार का है, केंद्रीय कोण (θ) = \(\frac{360^{\circ}}{6}\) = 60°
क्योंकि केंद्रीयकोण 60° है और OA = OB है।
∴ ∆OAB एक समबाहु त्रिभुज है जिसकी भुजा 28 cm है।

एक छायांकित डिज़ाइन भाग का क्षेत्रफल = वृत्तखंड का क्षेत्रफल
= त्रिज्यखण्ड OAB का क्षेत्रफल – ∆OAB का क्षेत्रफल
= \(\frac{\pi \mathrm{R}^{2} \theta}{360}-\frac{\sqrt{3}}{4}\)
= \(\left(\frac{22}{7} \times \frac{28 \times 28}{360} \times 60-\frac{1.7}{4} \times 28 \times 28\right)\) cm²
= (410.66 – 333.2) cm²
= 77.46 cm²

एक छायांकित डिज़ाइन भाग का क्षेत्रफल = 77.46 cm²
छ: डिज़ाइन भागों का क्षेत्रफल = 6 [एक डिज़ाइन भाग का क्षेत्रफल]
= 6 [77.46]
= 464.76 cm²
10 cm² डिज़ाइन बनाने का खर्च = ₹ 3.50
1 cm² डिज़ाइन बनाने का खर्च = 2.50
464.76 cm² डिज़ाइन बनाने का खर्च = ₹ \(\frac{3.50}{10}\) × 464.76
= ₹ 162.68

प्रश्न 14.
निम्नलिखित में सही उत्तर चुनिए :
त्रिज्या R वाले वृत्त के उस त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल जिसका कोण p° है, निम्नलिखित है :
(A) \(\frac{p}{180}\) × 2πR
(B) \(\frac{p}{180}\) × πR²
(C) \(\frac{p}{360}\) × 2πR
(D) \(\frac{p}{720}\) × 2πR²
हल :
त्रिज्यखंड का कोण (θ) = p°
वृत्त की त्रिज्या = R
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = \(\frac{\pi R^{2} \theta}{360}\)
= \(\frac{\pi \mathrm{R}^{2} \times p}{360}\)
∴ सही विकल्प (D) है।