PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन Ex 13.3

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन Ex 13.3 Textbook Exercise Questions and Answers

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन Ex 13.3

(जब तक अन्यथा न कहा जाए, π = \(\frac{22}{7}\) लीजिए।)

प्रश्न 1.
त्रिज्या 4.2 cm वाले धातु के एक गोले को पिघलाकर त्रिज्या 6 cm वाले एक बेलन के रूप में ढाला जाता है। बेलन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:

गोले की त्रिज्या (r) = 4.2 cm
बेलन की त्रिज्या (R) = 6 cm
मान लो, बेलन की ऊँचाई = H cm
ढालने पर आयतन पहले जितना ही रहता है।
गोले का आयतन = बेलन का आयतन
\(\frac{4}{3}\) πr³ = πR²H
\(\frac{4}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) × 4.2 × 4.2 × 4.2 = \(\frac{22}{7}\) × 6 × 6 × H
∴ H = \(\frac{\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 4.2 \times 4.2 \times 4.2}{\frac{22}{7} \times 6 \times 6}\)

= \(\frac{4}{3} \times \frac{42}{10} \times \frac{42}{10} \times \frac{42}{10} \times \frac{1}{6 \times 6}\)

= \(\frac{2744}{1000}\)

= 2.744 cm
बेलन की ऊँचाई (H) = 2.744 cm.

प्रश्न 2.
क्रमशः 6 cm, 8 cm और 10 cm त्रिज्याओं वाले धातु के तीन ठोस गोलों को पिघलाकर एक बड़ा ठोस गोला बनाया जाता है। इस गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हल:

पहले गोले की त्रिज्या (r₁) = 6 cm
दसरे गोले की त्रिज्या (r₂) = 8 cm
तीसरे गोले की त्रिज्या (r₃) = 10 cm
मान लीजिए नए बने गोले की त्रिज्या = R cm
तीनों गोलों का आयतन = बड़े गोले का आयतन

R= 12 cm
गोले की त्रिज्या = 12 cm.

प्रश्न 3.
व्यास 7 m वाला 20 m गहरा एक कुँआ खोदा जाता है और खोदने से निकली हुई मिट्टी को समान रूप से फैलाकर 22 m × 14 m वाला एक चबूतरा बनाया गया है। इस चबूतरे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :
कुएँ का व्यास = 7
कुएँ (बेलन की त्रिज्या)R = \(\frac{7}{2}\) m
कुएँ की ऊँचाई (H) = 20 m
चबूतरे की लंबाई (L) = 22 m
चबूतरे की चौड़ाई (B) = 14 m
मान लीजिए चबूतरे की त्रिज्या, Hm

कुएँ में से निकाली गई मिट्टी का आयतन = बनाए गए चबूतरे का आयतन

πR²H = L × B × H
\(\frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \times 20\) = 22 × 14 × H
∴ H = \(\frac{\frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \times 20}{22 \times 14}\)
H = 2.5 m
∴ चबूतरे की ऊँचाई, H = 2.5 m.

प्रश्न 4.
व्यास 3 m का एक कुँआ 14 m की गहराई तक खोदा जाता है। इससे निकाली हुई मिट्टी को कुँए के चारों ओर 4 m चौड़ी एक वृत्ताकार वलय (ring) बनाते हुए, समान रूप से फैलाकर एक प्रकार का बाँध बनाया जाता है। इस बाँध की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :
कुँए की गहराई (h) = 14 m
कुएँ की त्रिज्या (r) = \(\frac{3}{2}\) m

बाँध खोखले बेलन के आकार का है जिसकी आंतरिक त्रिज्या कुएँ की त्रिज्या के समान है और बाँध की चौड़ाई 4 m है।
बाँध की आंतरिक त्रिज्या = कुएँ की त्रिज्या (r) = \(\frac{3}{2}\) m
बाँध की बाहरी त्रिज्या (R) = (\(\frac{3}{2}\) + 4) m
R = \(\frac{11}{2}\) m = 5.5 m
निकाली हुई मिट्टी का आयतन = इस प्रकार बने बाँध का आयतन
πr²h = बाह्य बेलन का आयतन – आंतरिक बेलन का आयतन
πr²h = πR²H – πr²H
= πH [R² – r²]

\(\frac{22}{7} \times \frac{3}{2} \times \frac{3}{2}\) × 14 = \(\frac{22}{7}\) × H [(5.5)² – (1.5)²]

H = \(\frac{\frac{22}{7} \times \frac{3}{2} \times \frac{3}{2} \times 14}{\frac{22}{7} \times(5.5-1.5)(5.5+1.5)}\)

= \(\frac{1.5 \times 1.5 \times 14}{4 \times 7}\) = 1.125 m
बाँध की ऊँचाई H = 1.125 m.

प्रश्न 5.
व्यास 12 cm और ऊँचाई 15 cm वाले एक लंब वृत्तीय बेलन के आकार का बर्तन आइसक्रीम से पूरा भरा हुआ है। इस आइसक्रीम को ऊँचाई 12 cm और व्यास 6 cm वाले शंकुओं में भरा जाना है, जिनका ऊपरी सिरा अर्धगोलाकार होगा। उन शंकुओं की संख्या ज्ञात कीजिए जो इस आइसक्रीम से भरे जा सकते हैं।
हल :

बेलन का व्यास (D) = 12 cm
∴ बेलन की त्रिज्या (R) = 6 cm
बेलन की ऊँचाई (H) = 15 cm
शंकु का व्यास = 6 cm
शंकु की त्रिज्या (r) = 3 cm
अर्धगोले की त्रिज्या (r) = 3 cm
शंकु की ऊँचाई (h) = 12 cm
मान लीजिए कि आइसक्रीम भरने के लिए प्रयोग किए गए शंकुओं की संख्या = n
बर्तन में आइसक्रीम का आयतन = n [एक शंकु में आइसक्रीम का आयतन]
πR²H = n
[शंकु का आयतन + अर्धगोले का आयतन]

n = 10
बने शंकुओं की संख्या = 10.

प्रश्न 6.
विमाओं 5.5 cm × 10 cm × 3.5 cm वाला एक घनाभ बनाने के लिए 1.75 cm व्यास और 2 mm मोटाई वाले कितने चाँदी के सिक्कों को पिघलाना पड़ेगा ?
हल :
चाँदी का सिक्का बेलन के आकार का है।
चाँदी के सिक्के का व्यास = 1.75 cm
∴ चाँदी के सिक्के की त्रिज्या (r) = \(\frac{1.75}{2}\) cm
चाँदी के सिक्के की मोटाई = बेलन की ऊँचाई (H) = 2 mm

अर्थात् h = \(\frac{2}{10}\) cm.
घनाभ की लंबाई (L) = 5.5 cm
घनाभ की चौड़ाई (B) = 10 cm

घनाभ की ऊँचाई (H) = 3.5 cm
मान लीजिए चाँदी के n सिक्कों को पिघला कर नया घनाभ बनाया गया है।
घनाभ का आयतन = n [चाँदी के एक सिक्के का आयतन] = n[πr²h]
5.5 × 10 × 3.5 = n × \(\frac{22}{7} \times \frac{1.75}{2} \times \frac{1.75}{2} \times \frac{2}{10}\)

\(\frac{\frac{55}{10} \times 10 \times \frac{35}{10}}{\frac{22}{7} \times \frac{175}{200} \times \frac{175}{200} \times \frac{2}{10}}\) = n

n = 400
इस प्रकार बने सिक्कों की संख्या = 400.

प्रश्न 7.
32 cm ऊँची और आधार त्रिज्या 18 cm वाली एक बेलनाकार बाल्टी रेत से भरी हुई है। इस बाल्टी को भूमि पर खाली किया जाता है और इस रेत की एक शंक्वाकार ढेरी बनाई जाती है। यदि शंक्वाकार ढेरी की ऊँचाई 24 cm है, तो इस ढेरी की त्रिज्या और तिर्यक ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:

बेलनाकार बाल्टी की त्रिज्या (R) = 18 cm
बेलनाकार बाल्टी की ऊँचाई (H) = 32 cm
शंकु की ऊँचाई (h) = 24 cm
मान लीजिए, शंकु की त्रिज्या और तिर्यक ऊँचाई ‘r’ cm और ‘l’ cm है।
बाल्टी में रेत का आयतन = शंकु में रेत का आयतन
πR²H = \(\frac{1}{3}\) πr²h

\(\frac{22}{7}\) × 18 × 18 × 32 = \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7}\) × r² × 24

\(\frac{\frac{22}{7} \times 18 \times 18 \times 32}{\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 24}\) = r²

r² = \(\frac{18 \times 18 \times 32}{8}\)
r² = 1296
r = √1296
r = 36
∴ शंकु की त्रिज्या (r) = 36
जैसा कि हम जानते हैं,
(तिर्यक ऊँचाई)² = (त्रिज्या)² + (ऊँचाई)²
l = \(\sqrt{(36)^{2}+(24)^{2}}\)
= \(\sqrt{1296+576}\)
= \(\sqrt{1872}\)
= \(\sqrt{12 \times 12 \times 13}\)
l = 12√13 cm
∴ शंकु की तिर्यक ऊँचाई (l) = 12√13 cm.

प्रश्न 8.
6 m चौड़ी और 1.5 m गहरी एक नहर में पानी 10 km/h की चाल से बह रहा है। 30 मिनट में, यह नहर कितने क्षेत्रफल की सिंचाई कर पाएगी, जबकि सिंचाई के लिए 8 cm गहरे पानी की आवश्यकता होती
है।
हल : नहर की चौड़ाई = 6 m
नहर में पानी की गहराई = 1.5 m
जिस गति से पानी बह रहा है = 10 km/hr
एक घण्टे में निकले पानी का आयतन = एक घण्टे में निकले पानी की चाल
= (6 × 1.5 m) × 10 km
= 6 × 1.5 × 10 × 10 × 1000 m³
∴ \(\frac{1}{2}\) घण्टे में निकले पानी का आयतन = \(\frac{1}{2} \times \frac{6 \times 15}{10}\) × 100000
= 450000 m³
आओ हम मान लें सिंचाई का क्षेत्रफल = (x) m²
प्रश्नानुसार खेत में 8 cm गहरे पानी की आवश्यकता है।
∴ \(\frac{1}{2}\) घण्टे में निकले पानी का आयतन = खेत में पानी का आयतन 450000 m³
= (खेत का क्षेत्रफल) x पानी की ऊँचाई
450000 m³ = x × (\(\frac{8}{100}\) m)
\(\frac{8}{100}\) × 100 = x
x = 562500 m²
x = \(\frac{562500}{10000}\)
(1 m² = 10000 hectares]
x= 56.25 हेक्टेयर
∴ खेत का क्षेत्रफल = 56.25 हेक्टेयर

प्रश्न 9.
एक किसान अपने खेत में बनी 10 m व्यास वाली और 2 m गहरी एक बेलनाकार टंकी को आंतरिक व्यास 20 cm वाले एक पाइप द्वारा एक नहर से जोड़ता है। यदि पाइप में पानी 3 km/h की चाल से बह रहा है, तो कितने समय बाद टंकी पूरी भर जाएगी ?
हल :
पानी की चाल = 3 km/hr
पाइप का व्यास = 20 cm
∴ पाइप की त्रिज्या (r) = 10 cm = \(\frac{10}{100}\) m
= \(\frac{1}{10}\) m
टंकी का व्यास = 10 m
टंकी की त्रिज्या (R) = 5 m
टंकी की गहराई (H) = 2 m
मान लीजिए पाइप n मिनटों में टंकी को भरती है।
टंकी में पानी का आयतन = पाइप द्वारा n मिनटों में बहा पानी
πR²H = n [अंत: काट का क्षेत्रफल × पानी की चाल]
πR²H = n[(πr²) × 3 km/h]
\(\frac{22}{7}\) × (5)² × 2 = n [latex]\frac{22}{7} \times \frac{1}{10} \times \frac{1}{10} \times \frac{3 \times 1000}{60}[/latex]
= 25 × 2
= n \(\frac{1}{100}\) × 50
⇒ n = 100 मिनट
∴ टंकी को भरने में लगा समय = 100 मिनट