PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.2

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.2 Textbook Exercise Questions and Answers

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 2 बहुपद Ex 2.2

प्रश्न 1.
निम्न द्विघात बहुपदों के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के संबंध की अत: सत्यता की जाँच कीजिए :
(i) x² – 2x – 8
(ii) 4s² – 4s + 1
(iii) 6x² – 3 – 7x
(iv) 4u² + 8u
(v) t² – 15
(vi) 3x² – x – 4
हल :
(i) दी गई द्विघात बहुपद है x² – 2x – 8
S = – 2, P = – 8
= x² – 4x – 2x – 8
= x (x – 4) + 2 (x – 4)
= (x – 4) (x + 2)
x² – 2x – 8 का मान शून्य है
यदि (x – 4) = 0 या (x + 2) = 0
यदि x = 4 या x = – 2 इससे प्राप्त होता है
x² – 2x – 8 के शून्यक – 2 और 4 हैं। उत्तर
अब, शून्यकों का योग = (- 2) + (4) = 2

अतः शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के संबंध का सत्यापन किया जाता है।

(ii) दी गई द्विघात बहुपद हैं
4s² – 4s + 1
= 4s² – 2s – 2s + 1
S = – 4, P = 4 × 1 = 4
= 2s (2s – 1) – 1(2s – 1)
= (2s – 1) (2s – 1)
4s² – 4s + 1 का मान शून्य है।
यदि (2s – 1) = 0 या (2s – 1) = 0
यदि s = \(\frac{1}{2}\) या s = \(\frac{1}{2}\)
अतः 4s² – 4s + 1 के शून्यक \(\frac{1}{2}\) और \(\frac{1}{2}\) हैं। उत्तर
अब शून्यकों का योग = \(\frac{1}{2}\) + \(\frac{1}{2}\) = 1
= \(\frac{-(-4)}{4}\)

अतः शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के संबंध का सत्यापन किया जाता है।

(iii) दी गई द्विघात बहुपद हैं :
6x² – 3 – 7x
= 6x² – 7x – 3
S = – 7, P = 6 × – 3 = – 18
= 6x² – 9x + 2x – 3
= 3x (2x – 3) + 1 (2x – 3)
= (2x – 3) (3x + 1)
6x² – 3 – 7x का मान शून्य है
यदि (2x – 3) = 0 या 3x + 1 = 0
यदि x = \(\frac{3}{2}\) या \(-\frac{1}{3}\)
अतः 6x² – 7x – 3 के शून्यक \(\frac{3}{2}\) और \(-\frac{1}{3}\) हैं। उत्तर

अतः, शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के संबंध को सत्यापित किया जाता है।

(iv) दी गई द्विघात बहुपद हैं :
4u² + 8u = 4u (u + 2)
4u² + 8u का मान शून्य है
यदि 4u = 0 या u + 2 = 0
यदि u = 0 या u = – 2
अतः, 4u² + 8u के शून्यक 0 और – 2 हैं। उत्तर
अब, शून्यकों का योग = 0 + (- 2)

अतः, शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के संबंध का सत्यापन किया जाता है।

(v) दी गई द्विघात बहुपद हैं,
t² – 15
= t² – (√15)²
= (t – √15) (t + √15)
t² – 15 का मान शून्य है।
यदि t – √15 = 0 या t + √15 = 0
यदि t = √15 या t = – √15
अत: t² – 15 के शून्यक – √15 और √15 है। उत्तर
अब, शून्यकों का योग = – √15 + (√15)
= 0
= \(\frac{0}{1}\)

=

शून्यकों का गुणनफल = – (√15) (√15)
= – 15
= \(\frac{- 15}{1}\)

=

अतः, शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के संबंध को सत्यापित किया जाता है।

(vi) दी गई द्विघात बहुपद हैं,
3x² – x – 4
= 3x² + 3x – 4x – 4
S = – 1, P = 3 × – 4 = – 12
= 3x (x + 1) – 4 (x + 1)
= (x + 1) (3x – 4) का मान शून्य है।
यदि (x + 1) = 0 या 3x – 4 = 0
यदि x = – 1 या x = \(\frac{4}{3}\)
अत 3x² – x – 4 के शून्यक – 1 और \(\frac{4}{3}\) है। उत्तर

अतः, शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के संबंध को सत्यापित किया जाता है।

प्रश्न 2.
एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यकों के योग तथा गुणनफल क्रमशः दी गई संख्याएँ हैं :
(i) \(\frac{1}{4}\), – 1
(ii) √2, \(\frac{1}{3}\)
(iii) 0, √5
(iv) 1, 1
(v) – \(\frac{1}{4}\), \(\frac{1}{4}\)
(vi) 4, 1
(iii) 0,15
हल :
(i) दिया गया है कि शून्यकों का योग तथा का गुणांक शून्यकों का गुणनफल क्रमशः \(\frac{1}{4}\) और – 1 है।
मान लीजिए कि ax² + bx + c एक द्विघात समीकरण है तथा α और β इसके शून्यक हैं।
∴ α + β = शून्यकों का योग = \(\frac{1}{4}\)
और αβ = शून्यकों का गुणनफल = – 1
अब, ax² + bx + c = k (x – α) (x – β)
जहाँ k कोई अचर है।
= k [x² – (α + β)x + αβ]
= k [x² – \(\frac{1}{4}\) x – 1]
k के भिन्न-भिन्न मानों के लिए, हम भिन्न-भिन्न द्विघात बहुपद प्राप्त करते हैं।

(ii) दिया गया है कि शून्यकों का योग तथा शून्यकों का का गुणनफल क्रमशः √2 और \(\frac{1}{3}\) है।
मान लीजिए कि ax² + bx + c एक द्विघात समीकरण तथा α और β इसके शून्यक हैं।
शून्यकों का गुणनफल = (-1) (4) है
∴ α + β = शून्यकों का योग = √2
और αβ = शून्यकों का गुणनफल = \(\frac{1}{3}\)
अब ax² + bx + c = k (x – α) (x – β)
जहाँ k कोई अचर है।
= k [x² – (α + β)x + αβ]
= k [x² – √2 x + \(\frac{1}{3}\)]
k के भिन्न-भिन्न मानों के लिए, हम भिन्न-भिन्न द्विघात बहुपद प्राप्त करते हैं।

(iii) दिया गया है कि शून्यकों का योग तथा शून्यकों का गुणनफल क्रमश: 0 और √5 है।
मान लीजिए कि ar- + bx + c एक द्विघात समीकरण है तथा α और β इसके शून्यक हैं।
∴ α + β = शून्यकों का योग = 0
और αβ = शून्यकों का गुणनफल = √5
अब, ax² + bx + c = k (x – α) (x – β)
जहाँ k कोई अचर है।
= k [x² – (α + β) x + αβ]
= k [x² – 0x + √5]
= k [x² + √5]
k के भिन्न-भिन्न मानों के लिए, हम भिन्न-भिन्न द्विघात बहुपद प्राप्त करते हैं।

(iv) दिया गया है कि शून्यकों का योग तथा शून्यकों का गुणनफल क्रमश: 1 और 1 है।
मान लीजिए कि ax² + bx + c एक द्विघात समीकरण है तथा α और β इसके शून्यक हैं।
∴ α + β = शून्यकों का योग = 1
और αβ = शून्यकों का गुणनफल = 1
अब, ax² + bx + c = k (x – α) (x – β)
जहाँ k कोई अचर है।
= k [x² – (α + β) x + αβ]
= k [x² – 1x + 1]
= k [x² – x + 1]
k के भिन्न-भिन्न मानों के लिए, हम भिन्न-भिन्न द्विघात बहुपद प्राप्त करते हैं।

(v) दिया गया है कि दी हुई बहुपद शून्यकों का योग तथा शून्यकों का गुणनफल क्रमश: \(-\frac{1}{4}\) और \(\frac{1}{4}\) है।
मान लीजिए कि ax² + bx + c एक द्विघात समीकरण है तथा α और β इसके शून्यक हैं।
∴ α + β = शून्यकों का योग = – \(\frac{1}{4}\)
और αβ = शून्यकों का गुणनफल = \(\frac{1}{4}\)
अब, ax² + bx + c = k (x – α) (x – β)
जहाँ k कोई अचर है।
= k [x² – (α + β) x + αβ]
= k [x² – \(\left(\frac{-1}{4}\right) x+\frac{1}{4}\)]
= k [x² + \(\frac{1}{4} x+\frac{1}{4}\)]
k के भिन्न-भिन्न मानों के लिए, हम भिन्न-भिन्न द्विघात बहुपद प्राप्त करते हैं।

(vi) दिया गया है कि दी गई बहुपद के शून्यकों का योग और शून्यकों का गुणनफल क्रमशः 4, 1 है।
मान लीजिए कि ax² + bx + c एक द्विघात बहुपद है k तथा α और β इसके शून्यक हैं।
∴ α + β = शून्यकों का योग = 4
और αβ = शून्यकों का गुणनफल = 1
अब, ax² + bx + c = k (x – α) (x – β)
जहाँ k कोई अचर है।
= k [x² – (α + β) x + αβ]
= k [x² – 4x + 1]
k के भिन्न-भिन्न मानों के लिए, हम भिन्न-भिन्न द्विघात बहुपद प्राप्त करते हैं।