PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.4

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.4 Textbook Exercise Questions and Answers

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 2 बहुपद Ex 2.4

प्रश्न 1.
सत्यापित कीजिए कि निम्न त्रिघात बहुपदों के साथ दी गई संख्याएँ उसकी शून्यक हैं। प्रत्येक स्थिति में शून्यकों और गुणांकों के बीच के संबंध को भी सत्यापित कीजिए : (i) 2x³ + x² – 5x + 2; \(\frac{1}{2}\), 1, – 2
(ii) x³ – 4x² + 5x – 2; 2, 1, 1
हल :
(i) मान लीजिए p (x) = 2x³ + x² – 5x + 2
इसकी तुलना ax³ + bx² + cx + d से करने पर
उनके दूसरे शून्यक साथ में दिए गए हैं :
∴ a = 2, b = 1, c = – 5, d = 2
अब, \(p\left(\frac{1}{2}\right)=2\left(\frac{1}{2}\right)^{3}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-5\left(\frac{1}{2}\right)+2\)

= \(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{5}{2}+2\)

= \(\frac{1+1-10+8}{4}\)

= \(\frac{0}{4}\) = 0

∴ \(\frac{1}{2}\), p(x)
और p (1) = 2 (1)3 + (1)2 – 5 (1) + 2
= 2 + 1 – 5 + 2
= 5 – 5 = 0
∴ 1, p(x) का एक शून्यक है।
साथ ही, p (- 2) = 2 (- 2)³ + (- 2)² – 5 (- 2) + 2
= – 16 +4 + 10+2
= – 16 + 16 = 0
∴ – 2, p (x) का एक शून्यक हैं।
उपरोक्त चर्चा से, यह स्पष्ट है कि दिए गए बहुपद के शून्यक हैं।

मान लीजिए यह शून्यक हैं :

उपरोक्त चर्चा से, यह स्पष्ट है कि शून्यकों और गुणांकों में संबंध है।

(ii) मान लीजिए p (x) = x³ – 4x² + 5x – 2.
इसकी तुलना ax³ + bx² + cx + d से करने पर
∴ a = 1, b = – 4, c = 5, d = – 2
अब p (2) = (2)³ – 4 (2)² + 5 (2) – 2
= 8 – 16 + 10 – 2
= 18 – 18 = 0
∴ 2, p (2) का एक शून्यक है।
उपरोक्त चर्चा से, यह स्पष्ट है कि शून्यकों 2, 1, 1 दिए गए बहुपद के शून्यक हैं। उत्तर

मान लीजिए यह शून्यक हैं :
α = 2, β = 1, γ = 1
अब α + β + γ = 2 + 1 + 1 = 4
= \(\frac{-(-4)}{1}=\frac{-b}{a}\)

αβ + βγ + γα = (2) (1) + (1) (1) + (1) (2)
= 2 + 1 + 2 = 5
= \(\frac{5}{1}=\frac{c}{a}\)

αβγ = (2) (1) (1) = 2
= \(\frac{-(-2)}{1}=\frac{-d}{a}\)

उपरोक्त चर्चा से, यह स्पष्ट है कि शून्यकों और गुणांकों में संबंध है।

प्रश्न 2.
एक त्रिघात बहुपद प्राप्त कीजिए जिसके शून्यकों का योग, दो शून्यकों को एक साथ लेकर उनके गुणनफलों का योग तथा तीनों शून्यकों के गुणनफल क्रमशः 2, – 7, – 14 हों।
हल :
त्रिघात बहुपद का सर्वव्यापक व्यंजक है :
ax³ + bx² + cx + d.
मान लीजिए α, β, γ इसके शून्यक हैं।
∴ α + β + γ = शून्यकों का योग = 2
αβ + βγ + γα = शून्यकों के गुणनफलों का योग = – 7
αβγ = शून्यकों का गुणनफल = – 14
∴ ax³ + bx² + cx + d = k [(x – α) (x – β) (x – γ)]
जहाँ k कोई राक अचर है।
= k [x³ – (α + β + γ) x² + (αβ + βγ + γα) x – αβγ]
= k [x³ – 2x² – 7x – 14] (1) का प्रयोग करने परा k के भिन्न – भिन्न मानों के लिए, हम भिन्न – भिन्न त्रिघात बहुपद प्राप्त करते हैं।

प्रश्न 3.
यदि बहुपद x³ – 3x² + x + 1 a – b, a, a + b, हो, तो a और b ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए p (x) = x³ – 3x² + x + 1 और इसके शून्यक a – b, a, a + b हैं।
a – b, p (x) का एक शून्यक है। (दिया है)
∴ p (a – b) = 0
या (a – b)³ – 3 (a – b)² + (a – b) + 1 = 0
या [a³ – b³ – 3a²b + 3ab²] – 3 [a² + b² – 2ab] + a – b + 1 = 0 …………..(1)
और a, p (x) का शून्यक है ….(दिया है)
∴ p(a) = 0
या (a + b)³ – 3 (a + b)² + (a + b) + 1 = 0
या (a³ + b³ + 3a²b + 3ab²) – 3 (a² + b² + 2ab) + a + b – 1 = 0
या a³ + b³ – 3a²b + 3ab² – 3a² – 3b² – 6ab + a + b + 1 = 0 ……………(3)
(1) और (3), को जोड़ने पर हम प्राप्त करते हैं।
या 2a³ + 6ab² – 6a² – 6b² + 2a + 2 = 0
या a³ + 3ab² – 2a² – 3b² + a + 1 = 0
या (a³ – 3a³+ a + 1) + (3ab² – 3b²) = 0
या 0 + 3b² (a – 1) = 0 [(2) का प्रयोग करने से]
या a – 1 = 0
या a = 1 ………….(4)
(3) और (4), से हम प्राप्त करते हैं।
(1)³ + b³ + 3 (1)²b + 3 (1) b² – 3 (1)² – 3 (b)² – 6 (1) b + 1 + b + b + 1 = 0
या 1 + b³ + 3b + 3b² – 3 – 3b² – 6b + b + 2 = 0
या b³ – 2b = 0
या b(b² – 2) = 0
या b² – 2 = 0
या b² = 2
या b = ± √2
अत: a = 1 और b = ± √2

वैकल्पिक हल:
दिया है कि बहुपद x³ – 3x² + x + 1 के तीन शून्यक क्रमशः a – b, a, a + b हैं।
अब, शून्यकों का योगफल = (a – b) + a + (a + b)
= a – b + a + a + b
= 3a
परंतु गुणांकों का प्रयोग करके शून्यकों का गुणनफल

∴ 3a = 3 या a = 1
साथ ही, शून्यकों का गुणनफल = (a – b) . a . (a + b)
= (a² – b²) a
a का मान भरने पर हम प्राप्त करते हैं = (1 – b²) . 1
= (1 – b²)
परंतु गुणांकों का प्रयोग करके शून्यकों का योगफल

∴ 1 – b² = – 1
– b² = – 1 – 1
– b² = – 2 या b² = 2
b = ± √2
अत: a = 1 और b = ± √2

प्रश्न 4.
यदि बहुपद x⁴ – 6x³ – 26x² + 138x – 35 के या दो शून्यक 2 + +3, हों, तो अन्य शून्यक ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया है कि दो शून्यक (2 + √3) और (2 – √3) हैं।
∴ [x – (2 + √3)] [x – (2 – √3)] दी गई बहुपद के गुणनखंड हैं।
अब, [x – (2 + √3)] [x – (2 – √3)] = x² -[2 – √3 + 2 + √3] + [(2 + √3) (2 – √3)]
= x² – 4x + [(2)² – (√3)²]
= x² – 4x + 1
∴ (x² – 4x + 1) दी गई बहुपद का गुणनखंड है। अब दी गई बहुपद और (x2 – 4x + 1) पर विभाजन एल्गोरिथ्म का उपयोग करने पर

∴ x⁴ – 6x³ – 26x² + 138x – 35 = (x² – 4x + 1) (x² – 2x – 35)
= (x² – 4x + 1) (x² + 5x – 7x – 35)
S = -2, P = – 35
= (x² – 4x + 1) [ x (x + 5) – 7 (x + 5)]
= (x² – 4x + 1) (x + 5) (x – 7)
अब, बहुपद के अन्य शून्यक हैं।
x + 5 = 0 या x – 7 = 0
x = – 5 या x = 7
∴ दी गई चार घात वाली बहुपद के शून्यक हैं : 2 + √3, 2 – √3, – 5, 7

प्रश्न 5.
यदि बहुपद x⁴ – 6x³ + 16x² – 25x + 10 को एक अन्य बहुपद x² – 2x + k, से भाग दिया जाए तो शेषफल x + a, आता है, तो k और a ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया है कि बहुपद x⁴ – 6x³ + 16x² – 25x + 10 को एक अन्य बहुपद x² – 2x + k से भाग दिया जाता है, तो शेषफल x + a आता है
इसलिए सर्वप्रथम हम x⁴ – 6x³ + 16x² – 25x + 10 को x² – 2x + k, से भाग करते हैं और भागफल और शेषफल ज्ञात् करते हैं

∴ बहुपद x⁴ – 6x³ + 16x² – 25x + 10 के लिए विभाजन एल्गोरिथ्म से
= (x² – 2x + k) (x² – 4x + (8 – k)] + [(- 9 + 2k) x + (10 – 8k + k²]
और शेषफल = (- 9 + 2k) x + (10 – 8k + k²)
परंतु शेषफल = x + a….(दिया है)
∴ (- 9 + 2k) x + (10 – 8k + k²) = x + a
समान गुणांकों की तुलना करने से
– 9 + 2k = 1 या 10 – 8k + k² = a
2k = 1 + 9
2k = 10, हम प्राप्त करते हैं
k = \(\frac{10}{2}\) = 5
अब, 10 – 8k + k² = a
k का मान प्रतिस्थापित करने पर हम प्राप्त करते हैं:
10 – 8 × 5 + (5)² = a
10 – 40 + 25 = a
k = 5
– 5 = a
a = – 5
अत: k = 5 और a = – 5