PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 4 ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ Ex 4.2

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 4 ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ Ex 4.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 4 ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ Exercise 4.2

1. ਗੁਣਨਖੰਡ ਵਿਧੀ ਰਾਹੀਂ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਦੇ ਮੁਲ ਪਤਾ ਕਰੋ :

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (i).
x² – 3x – 10 = 0
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਹੈ
x² – 3x – 10 = 0 | S = – 3
x² – 5x + 2x – 10 = 0 | P = – 10
x(x – 5) + 2 (x – 5) = 0
(x – 5) (x + 2) = 0
ਭਾਵ x – 5 = 0 ਜਾਂ x + 2 = 0
x = 5 ਜਾਂ x = – 2
∴ 5 ਅਤੇ – 2 ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਦੇ ਮੂਲ ਹਨ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ii).
2x² + x – 6 = 0
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਹੈ :
2x² + x – 6 = 0 |S = 1
ਜਾਂ 2x² + 4x – 3x – 6 = 0 |P = – 6 × 2 = -12
2x (x + 2) – 3 (x + 2) = 0
(x + 2) (2x – 3) = 0
ਭਾਵ x + 2 = 0 ਜਾਂ 2x – 3 = 0
x = – 2 ਜਾਂ x = \(\frac{3}{2}\)
ਭਾਵ – 2 ਅਤੇ \(\frac{3}{2}\) ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਦੇ ਮੂਲ ਹਨ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iii).
\(\sqrt {2}\) x² + 7x + 5\(\sqrt {2}\) = 0
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਹੈ :
\(\sqrt {2}\)x² + 7x + 5\(\sqrt {2}\) = 0 |S = 7
|P = \(\sqrt {2}\) × \(\sqrt {5}\)
= 10
ਜਾਂ \(\sqrt {2}\)x² + 2x + 5x + 5\(\sqrt {2}\) = 0
ਜਾਂ \(\sqrt {2}\)x(x + \(\sqrt {2}\)) + 5(x +\(\sqrt {2}\)) = 0
ਜਾਂ (x + \(\sqrt {2}\)) (\(\sqrt {2}\)x + 5) = 0
ਭਾਵ x + \(\sqrt {2}\) = 0 ਜਾਂ \(\sqrt {2}\)x + 5 = 0
x = \(-\sqrt {2}\) x = \(\frac{-5}{\sqrt{2}}\)
ਇਸ ਲਈ, \(\sqrt {2}\) ਅਤੇ \(\frac{-5}{\sqrt{2}}\) ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਸਮੀਕਰਣ ਦੇ ਹੱਲ ਹਨ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iv).
2x² – x + \(\frac{1}{8}\) = 0
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਦੇ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਹੈ
2x² – x + \(\frac{1}{8}\) = 0
ਜਾਂ \(\frac{16 x^{2}-8 x+1}{8}\) = 0
S = – 8
|P = 16 × 1 = 16
16x² – 8x + 1= 0,
16x² – 4x – 4x + 1 = 0
4x(4x – 1) – 1 (4x – 1) = 0
ਜਾਂ (4x – 1) (4x – 1) = 0
ਭਾਵ 4x – 1 = 0
ਜਾਂ 4x – 1 = 0
4x = 1 4x = 1
x =\(\frac{1}{4}\) ਜਾਂ x = \(\frac{1}{4}\)
ਇਸ ਲਈ \(\frac{1}{4}\) ਅਤੇ \(\frac{1}{4}\) ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਸਮੀਕਰਣ ਦੇ ਮੂਲ ਹਨ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (v).
100x² – 20x + 1 = 0
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਦੇ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਹੈ
100x² – 20x + 1 = 0
100x² – 10x – 10x + 1 = 0 | S = – 20
| P = 100 × 1
= 100
ਜਾਂ 10x (10x – 1) – (10x – 1) = 0
ਜਾਂ (10x – 1) (10x – 1) = 0
ਭਾਵ 10x – 1 = 0 ਜਾਂ 10x – 1 = 0
x = \(\frac{1}{10}\) ਜਾਂ x = \(\frac{1}{10}\)
ਇਸ ਲਈ \(\frac{1}{10}\) ਅਤੇ \(\frac{1}{10}\) ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਸਮੀਕਰਣ ਦੇ ਮੂਲ ਹਨ ।

2. ਉਦਾਹਰਣ 1 ਵਿਚ ਦਿੱਤੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ । ਇਨ੍ਹਾਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਦੇ ਕਥਨ ਹੇਠ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (i).
ਜਾਂਨ ਅਤੇ ਰੇਖਾ ਦੋਹਾਂ ਕੋਲ ਕੁੱਲ 45 ਬੰਦੇ ਹਨ । ਦੋਵੇਂ ਪੰਜ-ਪੰਜ ਬੰਟੇ ਗੁਆ ਦਿੰਦੇ ਹਨ, ਹੁਣ ਉਹਨਾਂ ਕੋਲ ਬੰਟਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ 124 ਹੈ । ਅਸੀਂ ਜਾਨਣਾਂ ਚਾਹਾਂਗੇ ਕਿ | ਸ਼ੁਰੂ ਵਿੱਚ ਉਨ੍ਹਾਂ ਕੋਲ ਕਿੰਨੇ-ਕਿੰਨੇ ਬੰਟੇ ਸਨ ।
ਉੱਤਰ:
ਮੰਨ ਲਉ ਜਾਂਨ ਕੋਲ ਬੰਟਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ = x
ਰੇਖਾ ਕੋਲ ਬੰਟਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ = 45 – x
ਜਾਂਨ ਦੇ 5 ਬੰਟੇ ਗੁਆਉਣ ਪਿਛੋਂ ਗਿਣਤੀ = x – 5
ਰੇਖਾ ਦੇ 5 ਬੰਟੇ ਗੁਵਾਉਣ ਪਿਛੋਂ ਗਿਣਤੀ
= 45 – x – 5
= 40 – x
ਇਸ ਲਈ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ = (x – 5) (40 – x)
= 40x – x² – 200 + 5x
= – x² + 45x – 200
ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਅਨੁਸਾਰ,
-x² + 45x – 200 = 124
-x² + 45x – 324 = 0 |S = – 45,
ਜਾਂ x² – 45x + 324 = 0 | P = 324
x² – 36x – 9x + 324 = 0
ਜਾਂ x(x – 36) – 9 (x – 36) = 0
ਜਾਂ (x – 36) (x – 9) = 0
ਭਾਵ x – 36 = 10 ਜਾਂ x – 9 = 0
x = 36 ਜਾਂ x = 9
∴ x = 36, 9
ਇਸ ਲਈ, ਬੰਟਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਜੋ ਉਨ੍ਹਾਂ ਕੋਲ ਸੀ 36 ਅਤੇ 9 ਜਾਂ 9 ਅਤੇ 36 ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ii).
ਇਕ ਘਰੇਲੂ ਉਦਯੋਗ ਇੱਕ ਦਿਨ ਵਿਚ ਕੁਝ ਖਿਡੌਣੇ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ । ਹਰੇਕ ਖਿਡੌਣੇ ਦਾ ਮੁੱਲ (₹ ਵਿਚ) 55 ਵਿਚੋਂ | ਇੱਕ ਦਿਨ ਬਣਾਏ ਗਏ ਖਿਡੌਣਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਘਟਾਉਣ ਉਪਰੰਤ ਪ੍ਰਾਪਤ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ । ਕਿਸੇ ਇੱਕ ਦਿਨ ਖਿਡੌਣੇ ਬਣਾਉਣ ‘ਤੇ ਕੁੱਲ ਖਰਚ ਤੇ 750 ਸੀ । ਅਸੀਂ ਉਸ ਦਿਨ ਬਣਾਏ ਗਏ ਖਿਡੌਣਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਪਤਾ ਕਰਨਾ ਚਾਹਾਂਗੇ ।
ਉੱਤਰ:
ਮੰਨ ਲਓ ਉਸ ਦਿਨ ਨਿਰਮਾਣ ਕੀਤੇ ਖਿਡੌਣੇ = x
ਉਸ ਦਿਨ ਹਰੇਕ ਖਿਡੌਣੇ ਦੀ ਨਿਰਮਾਣ ਲਾਗਤ (₹ ਵਿੱਚ) = 55 – x
ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਅਨੁਸਾਰ
x (55 – x) = 750
ਜਾਂ 55x – x² = 750
ਜਾਂ -x² + 55x – 750 = 0 | S = – 33,
ਜਾਂ x² – 55x + 750 = 0 | P = 750
ਜਾਂ x² – 30x – 25x + 750 = 0
ਜਾਂ x (x – 30) – 25 (x – 30) = 0
ਜਾਂ (x – 30) (x – 25) = 0
ਭਾਵ x – 30 = 0 ਜਾਂ x – 25 = 0
x = 30 ਜਾਂ x = 25
∴ x = 30, 25
ਇਸ ਲਈ, ਉਸ ਦਿਨ ਬਣਾਏ ਗਏ ਖਿਡੌਣਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ 30 ਅਤੇ 25 ਜਾਂ 25 ਅਤੇ 30 ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 3.
ਦੋ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਪਤਾ ਕਰ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਜੋੜ 27 ਅਤੇ ਗੁਣਨਫਲ 182 ਹੋਵੇ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਓ ਪਹਿਲੀ ਸੰਖਿਆ = 1
ਦੂਸਰੀ ਸੰਖਿਆ = 27 – x
ਇਸ ਲਈ, ਉਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ = x (27 – x)
= 27x -x²
ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਅਨੁਸਾਰ,
27x – x² = 182
ਜਾਂ x² + 27x – 182 = 0 | S = – 27
ਜਾਂ x² – 27x + 182 = 0 | P = 182
ਜਾਂ x² – 13x – 14x + 182 = 0
ਜਾਂ x (x – 13) – 14 (x – 13) = 0
ਜਾਂ (x – 13) (x – 14) = 0
ਭਾਵ x – 13 = 0 ਜਾਂ x – 14 = 0
x = 13 ਜਾਂ x = 14
∴ x = 13, 14
ਇਸ ਲਈ, ਦੋ ਸੰਖਿਆਵਾਂ 13 ਅਤੇ 14 ਜਾਂ 14 ਅਤੇ 13 ਹਨ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 4.
ਦੋ ਲਗਾਤਾਰ ਧਨ ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਵਰਗਾਂ ਦਾ ਜੋੜ 365 ਹੋਵੇ
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਓ ਪਹਿਲੀ ਧਨ ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ = x
ਦੂਸਰੀ ਧਨ ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ = x + 1
ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਅਨੁਸਾਰ,
(x)² + (x + 1)² = 365
ਜਾਂ , x² + x² + 1 + 2x = 365
ਜਾਂ 2x² + 2x + 1 – 365 = 0
ਜਾਂ 2x² + 2x – 364 = 0
ਜਾਂ x² + x – 182 = 0
ਜਾਂ x² + 14x – 13x – 182 = 0
ਜਾਂ x(x + 14) – 13 (x + 14) = 0
ਜਾਂ (x + 14) (x – 13) = 0
ਭਾਵ x + 14 = 0 , ਜਾਂ x – 13 = 0
x = – 14 ਜਾਂ x = 13
∵ ਸਾਨੂੰ ਧਨ ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਚਾਹੀਦੀਆਂ ਹਨ ਇਸ ਲਈ x =- 14 ਨਹੀਂ ਹੈ ।
∴ x = 13
∴ ਪਹਿਲੀ ਧਨ ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ = 13
ਦੂਸਰੀ ਧਨ ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ = 13 + 1 = 14
ਇਸ ਲਈ ਦੋ ਧਨ ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ 13 ਅਤੇ 14

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 5.
ਇੱਕ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੀ ਉੱਚਾਈ ਇਸ ਦੇ ਆਧਾਰ ਤੋਂ 7 cm ਘੱਟ ਹੈ । ਜੇਕਰ ਕਰਣ 13 cm ਹੈ ਤਾਂ ਬਾਕੀ ਦੋ । ਭੁਜਾਵਾਂ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਓ ਸਮਕੋਣ ਤਿਭੁਜ ਦਾ ਆਧਾਰ = x cm
ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੀ ਉੱਚਾਈ (ਲੰਬ) = x – 7 cm
ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦਾ ਕਰਣ = 13 cm ……(ਦਿੱਤਾ ਹੈ।)
ਪਾਇਥਾਗੋਰਸ ਪਮੇਯ ਅਨੁਸਾਰ,
(ਅਧਾਰ)² + (ਲੰਬ)² = (ਕਰਣ)²
(x)² + (x – 7)² = (13)²
ਜਾਂ x² + x² + 49 – 14x = 169
ਜਾਂ 2x² – 14x + 49 – 169 = 0
2x² – 14x – 120 = 0
ਜਾਂ 2 [x² – 7x – 60] = 0
ਜਾਂ x² – 7x – 60 = 0 | S = 7
ਜਾਂ x² – 12x + 5x – 60 = 0 | P = – 60
ਜਾਂ x (x – 12) + 5 (x – 12) = 0
ਜਾਂ (x – 12) (x + 5) = 0
ਭਾਵ x – 12 = 0 ਜਾਂ x + 5 = 0
x = 12 ਜਾਂ x = – 5
ਇਸ ਲਈ, ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਰਿਣਾਤਮਕ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦੀ
∴ x = -5 ਨੂੰ ਛੱਡ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ
∴ x = 12
∴ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦਾ ਆਧਾਰ = 12 cm
ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੀ ਉੱਚਾਈ (ਲੰਬ) = (12 – 7) cm
= 5 cm

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 6.
ਇਕ ਘਰੇਲੂ ਉਦਯੋਗ ਇੱਕ ਦਿਨ ਵਿਚ ਕੁਝ ਬਰਤਨ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ । ਇੱਕ ਦਿਨ ਇਹ ਵੇਖਿਆ ਗਿਆ ਕਿ ਹਰੇਕ | ਨਗ ਦੀ ਨਿਰਮਾਣ ਲਾਗਤ (ਰੁਪਇਆਂ ਵਿਚ) ਉਸ ਦਿਨ | ਬਣਾਏ ਗਏ ਬਰਤਨਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਦੁੱਗਣੇ ਤੋਂ 3 ਵੱਧ ਸੀ । ਜੇਕਰ ਉਸ ਦਿਨ ਦੀ ਕੁੱਲ ਨਿਰਮਾਣ ਲਾਗਤ ₹ 90 ਸੀ | ਤਾਂ ਉਸ ਦਿਨ ਬਣਾਏ ਗਏ ਬਰਤਨਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਨਗ ਨੂੰ ਬਣਾਉਣ ਦੀ ਲਾਗਤ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਓ ਇਕ ਦਿਨ ਵਿਚ ਬਣਾਏ ਗਏ ਬਰਤਨਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ = x
ਹਰੇਕ ਨਗ ਬਣਾਉਣ ਦੀ ਲਾਗਤ = ₹ (2x + 3)
∴ ਇਕ ਦਿਨ ਤੇ ਕੁਲ ਨਿਰਮਾਣ ਲਾਗਤ
= ₹ [x (2x + 3)]
= ₹ (2x² + 3x)
ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਅਨੁਸਾਰ,
2x² + 3x = 90
| S = 3,
P = 2 × -90
= – 180
2x² + 3x – 90 = 0
ਜਾਂ 2x² – 12x + 15x – 90 = 0
ਜਾਂ 2x (x – 6) + 15 (x – 6) = 0
ਜਾਂ (x – 6) (2x + 15) = 0
ਭਾਵ x – 6 = 0 ਜਾਂ 2x + 15 = 0
x = 6 ਜਾਂ x = \(\frac{-15}{2}\)
∵ ਨਗਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਰਿਣਾਤਮਕ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦੀ ।.
∴ ਅਸੀਂ x = \(\frac{-15}{2}\) ਨੂੰ ਛੱਡ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ ।
∴ x = 6
∴ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਦਿਨ ਨਗਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ = 6
ਹਰੇਕ ਨਗ ਦੀ ਲਾਗਤ = ₹(2 × 6 + 3)
= ₹15