PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.5

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.5 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Exercise 6.5

1. ਕੁੱਝ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ । ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰੋ ਕਿ ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਹੜੀ-ਕਿਹੜੀ | ਤਿਭੁਜ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਹੈ । ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਕਰਣ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਵੀ ਲਿਖੋ :

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (i).
7 cm, 24 cm, 25 cm
ਉੱਤਰ:
ਮੰਨ ਲਉ △ABC ਵਿੱਚ,
AB = 7 cm
BC = 24 cm, AC = 25 cm
AB2 + BC2 = (7)2 + (24)2
= 49 + 576 = 625
AC2 = (25)2 = 625
ਹੁਣ AB2 + BC2 = AC2
∴ △ABC ਇੱਕ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ii).
3 cm, 8 cm, 6 cm
ਉੱਤਰ:
ਮੰਨ ਲਉ △PQR ਵਿੱਚ,
PQ = 3 cm, QR = 8 cm
PR = 6 cm
PQ2 + PR2 = (3)2 + (6)2
= 9 + 36 = 45
QR2 = (8)2 = 64
ਇੱਥੇ PQ2 + PR2 ≠ QR2
∴ △PQR ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਨਹੀਂ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iii).
50 cm, 80 cm, 100 cm
ਉੱਤਰ:
ਮੰਨ ਲਉ AMNP ਵਿੱਚ, MN = 50 cm,
NP = 80 cm, MP = 100 cm
MN2 + NP2 = (50)2 + (80)2
= 2500 + 6400 = 8900
MP2 = (100)2 = 1000
ਇੱਥੇ, MP2 ≠ MN2 + NP2
∴ △MNP ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਨਹੀਂ ਹੈ ।

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.5

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iv).
13 cm, 12 cm, 5 cm.
ਉੱਤਰ:
ਮੰਨ ਲਉ △ABC ਵਿੱਚ,
AB = 13 cm, BC = 12 cm, AC = 5 cm
BC2 + AC2 = (12)2 + (5)2
= 144 + 25 = 169
AB2 = (13)2 = 169
AB2 = BC2 + AC2
∴ △ABC ਸਮਕੋਣ ਤਿਭੁਜ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 2.
PQR ਇੱਕ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਕੋਣ ? ਸਮਕੋਣ ਹੈ ਅਤੇ OR ‘ਤੇ ਬਿੰਦੁ M ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸਥਿਤ ਹੈ। ਕਿ PM ⊥ QR ਹੈ । ਦਰਸਾਉ ਕਿ PM2 = QM.MR ਹੈ ।
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : ਸਮਕੋਣ △PQR ਵਿੱਚ ਕੋਣ P ਸਮਕੋਣ ਹੈ । QR ‘ਤੇ ਬਿੰਦੂ M ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸਥਿਤ ਹੈ ਕਿ PM ⊥ QR ਹੈ । | ਵੋ
ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ : PM2 = QM × MR
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.5 1
ਸਬੂਤ : ∠P = 90° (ਦਿੱਤਾ ਹੈ।)
∴ ∠1 + ∠2 = 90° …(1)
∠M = 90°
△PMQ ਵਿਚ
∠1 + ∠3 + ∠5 = 180°
∠1 + ∠3 = 90° …(2)
[∠M = 90°]
(1) ਅਤੇ (2) ਤੋਂ
∠1 + ∠2 = ∠1 + ∠3
∠2 = ∠3
△QPM ਅਤੇ △RPM ਵਿੱਚ
∠3 = ∠2 (ਸਿੱਧ ਕੀਤਾ)
∠5 = ∠6 (ਹਰੇਕ 90)
∴ △QMP ~ △PMR [AA ਸਮਰੂਪਤਾ ਕਸੌਟੀ]
\(\frac{ar(△QMP)}{ar(△PMR)}\) = \(\frac{\mathrm{PM}^{2}}{\mathrm{MR}^{2}}\)
[ਜੇਕਰ ਦੋ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਸਮਰੂਪ ਹਨ ਤਾਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲਾਂ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੇ ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ]
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.5 2
PM2 = OM.RM

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.5

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 3.
ਚਿੱਤਰ ਵਿਚ ABD ਇਕ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਹੈ ਇਸਦਾ ਕੋਣ A ਸਮਕੋਣ ਹੈ ਅਤੇ AC ⊥ BD ਹੈ ।ਦਿਖਾਉ ਕਿ
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.5 3
(i) AB2 = BC.BD
(ii) AC2 = BC.DC
(iii) AD2 = BD.CD.
ਹੱਲ:
△DAB ਅਤੇ △DCA ਵਿੱਚ,
∠D = ∠D (ਸਾਂਝਾ)
∠A = ∠C (ਹਰੇਕ 90°)
∴ △DAB ~ △DCA [AA ਸਮਰੂਪਤਾ]
△DAB ਅਤੇ △ACB ਵਿੱਚ, …(1)
∠B = ∠B (ਸਾਂਝਾ)
∠A =∠C (ਹਰੇਕ 90°)
∴ △DAB ~ △ACB …(2)
(1) ਅਤੇ (2) ਤੋਂ
△DAB ~ △ACB ~ △DCA.

(i) △ACB ~ △DAB (ਸਿੱਧ ਕੀਤਾ।)
∴ \(\frac{ar(△ACB)}{ar(△DAB)}\) = \(\frac{\mathrm{AB}^{2}}{\mathrm{DB}^{2}}\)
[ਜੇਕਰ ਦੋ ਭੁਜਾਂ ਸਮਰੂਪ ਹਨ ਤਾਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲਾਂ ਦਾ ਆਨੁਪਾਤ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੇ ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।]
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.5 4
AB2 = BC × BD.

(ii) △ACB ~ △DCA (ਸਿੱਧ ਕੀਤਾ)
\(\frac{ar(△ACB)}{ar(△DCA)}\) = \(\frac{A C^{2}}{D C^{2}}\)
[ਜੇਕਰ ਦੋ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਸਮਰੂਪ ਹਨ ਤਾਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲਾਂ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ ਦੇ | ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।]
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.5 5
AC2 = BC × DC

(iii) △DAB ~ △DCA (ਸਿੱਧ ਕੀਤਾ)
\(\frac{ar(△DAB)}{ar(△DCA)}\) = \(\frac{\mathrm{DA}^{2}}{\mathrm{DB}^{2}}\)
[ਜੇਕਰ ਦੋ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਸਮਰੂਪ ਹਨ ਤਾਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲਾਂ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ ਦੇ ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।]
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.5 6

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 4.
ABC ਇੱਕ ਸਮਦੋਭੁਜੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਹੈ ਜਿਸ ਦਾ ਕੋਣ ? | ਸਮਕੋਣ ਹੈ । ਸਿੱਧ ਕਰੋ ਕਿ AB2 = 2AC2 ਹੈ ।
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : △ABC ਇਕ ਸਮਦੋਭੁਜੀ ਤਿਭੁਜ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਕੋਣ C ਸਮਕੋਣ ਹੈ ।
ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ : AB2 = AC2
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.5 7
ਸਬੂਤ : △ACB ਵਿੱਚ, ∠C = 90°
AC = BC (ਦਿੱਤਾ ਹੈ।)
AB2 = AC2 + BC2
[ਪਾਈਥਾਗੋਰਸ ਪ੍ਰਮੇਯ ਤੋਂ]
= AC2 + AC2 [BC = AC]
ਇਸ ਲਈ AB2 = 2AC2

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.5

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 5.
ABC ਇੱਕ ਸਮਦੋਭੁਜੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿਚ | AC = BC ਹੈ । ਜੇਕਰ AB2 = 2AC2 ਹੈ ਤਾਂ ਸਿੱਧ ਕਰੋ ਕਿ ABC ਇੱਕ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਹੈ ।
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : △ABC ਇਕ ਸਮਦੋਭੁਜੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ AC = BC ਹੈ ।
AB2 = 2AC2
ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ : △ABC ਇਕ ਸਮਕੋਣ ਤਿਭੁਜ ਹੈ ।
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.5 8
ਸਬੂਤ : AB2 = 2AC2 ਦਿੱਤਾ ਹੈ।)
AB2 = AC2 + AC2
AB2 = AC2 + BC2 [AC = BC]
∴ ਪਾਈਥਾਗੋਰਸ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੇ ਉਲਟ ਤੋਂ △ABC ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 6.
ਇੱਕ ਸਮਭੁਜੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ABC ਦੀ ਭੁਜਾ 2a ਹੈ । ਇਸਦੇ ਹਰੇਕ ਸਿਖਰ ਲੰਬ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
△ABC ਸਮਭੁਜੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਭੁਜਾ 2a ਹੈ ।
AD ⊥ BC
AB = AC= BC = 2a
△ADB ≅ △ADC [RHS ਸਰਬੰਰਾਮਮ ਤੋਂ]
∴ BD = DC = a
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.5 9
ਸਮਕੋਣ △ADB ਤੋਂ,
AB2 = AD2 + BD2
(2a)2 = AD2 + (a)2
4a2 – a2 = AD2
AD2 = 3a2
AD = \(\sqrt {3}\) a.

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.5

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 7.
ਸਿੱਧ ਕਰੋ ਕਿ ਇੱਕ ਸਮਚਤੁਰਭੁਜ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੇ ਵਰਗਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਉਸਦੇ ਵਿਕਰਣਾਂ ਦੇ ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ : ਸਮਚਤੁਰਭੁਜ ABCD ਦੇ ਵਿਕਰਣ AC ਅਤੇ BD ਇਕ-ਦੂਜੇ ਨੂੰ O ਉੱਤੇ ਕੱਟਦੇ ਹਨ !
ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ :
AB2 + BC2 + CD2 + AD = AC2 + BD2
ਸਬੂਤ : ∵ ਸਮਚਤੁਰਭੁਜ ਦੇ ਵਿਕਰਣ ਆਪਸ ਵਿਚ ਸਮਕੋਣ ਉੱਤੇ ਸਮਦੁਭਾਜਿਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ।
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.5 10
∴ AO = CO, BO = DO
∴ O ਉੱਤੇ ਕੋਣ ਸਮਕੋਣ ਹੈ।
△AOB ਵਿੱਚ, ∠AOB = 90°
∴ AB2 = AO2 + BO2 …(1)
[ਪਾਈਥਾਗੋਰਸ ਪ੍ਰਯ ਤੋਂ]
ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, BC2 = CO2 + B02 ….(2)
CD2 = CO2 + DO2 …(3)
ਅਤੇ DA2 = DO2 + AO2 …(4)
(1), (2), (3) ਅਤੇ (4) ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਤੇ
AB2 + BC2 + CD2 + DA2
= 2AO2 + 2CO2 + 2BO2 + 2DO2
= 4AO2 + 4BO2
[∵ AO = CO ਅਤੇ BO = DO]
= (2AO)2 + (2BO)2 = AC2 + BD2.

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 8.
ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ, △ABC ਦੇ ਵਿੱਚ ਸਥਿਤ ਕੋਈ ਬਿੰਦੂ 0 ਹੈ ਅਤੇ AD ⊥ BC, OE ⊥ AC ਅਤੇ OF ⊥ AB ਹੈ । ਦਿਖਾਉ ਕਿ
(i) OA2 + OB2 + OC2– OD2 – OE2 – OF2
= AF2 + BD2 + CE2
(ii) AF2 + BD2 + CE2
= AE2 + CD2 + BF2.
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.5 11
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : △ABC ਜਿਸ ਵਿਚ
OD ⊥ BC, OE ⊥ AC ਅਤੇ OF ⊥ AB ਹੈ ।
ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ :
(i) AF2 + BD2 + CE2
= OA2 + OB2 + OC2 – OD2 – OE2 – OF2
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.5 12

(ii) AF2 + BD2 + CE2
= AE2 + CD2 + BF2.
ਰਚਨਾ : OB, OC ਅਤੇ OA ਨੂੰ ਮਿਲਾਉ
ਸਬੂਤ (i) ਸਮਕੋਣ △AFO ਵਿੱਚ,
OA2 = OF2 + AF2 [ਪਾਈਥਾਗੋਰਸ ਪ੍ਰਮੇਯ ਤੋਂ]
ਜਾਂ AF2 = OA2 – OF2 ….(1)
ਸਮਕੋਣ △BDO ਵਿੱਚ,
OB2 = BD2 + OD2
[ਪਾਈਥਾਗੋਰਸ ਮੇਯ ਤੋਂ]
⇒ BD2 = OB2 – OD2 …(2)
ਸਮਕੋਣ △CEO ਵਿੱਚ,
OC2 = CE2 + OE2 [ਪਾਈਥਾਗੋਰਸ ਪ੍ਰਮੇਯ ਤੋਂ।]
⇒ CE2 = OC2 – OE2 …(3)
∴ AF2 + BD2 + CE2 = OA2 – OF2 + OB2 – OD2 + OC2 – OE2
[(1), (2), ਅਤੇ (3) ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਤੇ]
= OA2 + OB2 + OC2 – OD2 – OE2 – OF2
ਜੋਕਿ (1) ਨੂੰ ਸਿੱਧ ਕਰਦਾ ਹੈ ।
ਦੁਬਾਰਾ AF2 + BD2 + CE2
= (OA2 – OE2) + (OC2 – OD2) + (OB2 – OF2)
= AE2 + CD2 + BE2
: AE2 = AO2 – OE2
CD2 = OC2 – OD2
BF2 = OB2 – OF2

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.5

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 9.
10 m ਲੰਬੀ ਇੱਕ ਪੌੜੀ ਇਕ ਕੰਧ ਨਾਲ ਲਗਾਉਣ ‘ਤੇ ਜ਼ਮੀਨ ਨਾਲੋਂ 8 m ਦੀ ਉੱਚਾਈ ‘ਤੇ ਸਥਿਤ ਇੱਕ ਖਿੜਕੀ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦੀ ਹੈ । ਕੰਧ ਦੇ ਅਧਾਰ ਤੋਂ ਪੌੜੀ ਦੇ ਹੇਠਲੇ ਸਿਰੇ ਦੀ ਦੂਰੀ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਖਿੜਕੀ ਦੀ ਧਰਤੀ ਤੋਂ ਉਚਾਈ (AB) = 8 m
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.5 13
ਪੌੜੀ ਦੀ ਲੰਬਾਈ (AC) = 10 m
ਪੌੜੀ ਦੇ ਹੇਠਲੇ ਸਿਰੇ ਅਤੇ ਕੰਧ ਦੇ ਅਧਾਰ ਵਿਚਲੀ ਦੂਰੀ (BC) = ?
△ABC ਵਿੱਚ,
AB2 + BC2 = AC2 [ਪਾਈਥਾਗੋਰਸ ਮੇਯ ਤੋਂ]
(8)2 + (BC)2 = (10)2
64 + BC2 = 100
BC2 = 100 – 64
BC = \(\sqrt {36}\)
BC = 6 m.
∴ ਪੌੜੀ ਦੇ ਹੇਠਲੇ ਸਿਰੇ ਅਤੇ ਕੰਧ ਦੇ ਅਧਾਰ ਵਿਚਲੀ | ਦੂਰੀ = 6 m.

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 10.
18 m ਉੱਚੇ ਇਕ ਸਿੱਧੇ ਖੜੇ ਖੰਭੇ ਦੇ ਉੱਪਰਲੇ ਸਿਰੇ | ਨਾਲ ਤਾਰ ਦਾ ਇੱਕ ਸਿਰਾ ਜੁੜਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ ਅਤੇ ਤਾਰ ਦਾ | ਦੂਸਰਾ ਸਿਰਾ ਇਕ ਕਿੱਲੇ ਨਾਲ ਜੁੜਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ । ਖੰਬੇ ਦੇ | ਅਧਾਰ ਤੋਂ ਕਿੱਲੇ ਨੂੰ ਕਿੰਨੀ ਦੂਰੀ ‘ਤੇ ਗੱਡਿਆ ਜਾਵੇ ਕਿ ਤਾਰ ਤਣੀ ਰਹੇ ਜਦੋਂ ਕਿ ਤਾਰ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 24 m ਹੈ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ ਖੰਬੇ ਦੀ ਉਚਾਈ AB = 18 m
ਤਾਰ ਦੀ ਲੰਬਾਈ Ac = 24 m
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.5 14
C, ਤੇ ਕਿੱਲਾ ਗੱਡਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ । ਖੰਬੇ ਤੋਂ ਦੂਰੀ BC = ਹੈ ।
ਸਮਕੋਣ △ABC,
AB2 + BC2 = AC2
[ਪਾਈਥਾਗੋਰਸ ਪ੍ਰਮੇਯ ਤੋਂ।]
(18)2 + (BC)2 = (24)2
324 + (BC)2 = 576
BC2 = 576 – 324
BC = \(\sqrt {252}\) = 6\(\sqrt {7}\)
BC = 6\(\sqrt {7}\) m

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.5

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 11.
ਇੱਕ ਹਵਾਈ ਜਹਾਜ਼ ਇੱਕ ਹਵਾਈ ਅੱਡੇ ਤੋਂ ਉੱਤਰ ਵੱਲ 1000 km/h ਦੀ ਚਾਲ ਨਾਲ ਉੱਡਦਾ ਹੈ । ਉਸੇ ਸਮੇਂ ਇੱਕ ਹੋਰ ਹਵਾਈ ਜਹਾਜ਼ ਉਸੇ ਹਵਾਈ ਅੱਡੇ ਤੋਂ ਪੱਛਮ ਵੱਲ 1200 km/h ਦੀ ਚਾਲ ਨਾਲ ਉੱਡਦਾ ਹੈ । 1\(\frac{1}{2}\) ਘੰਟੇ ਬਾਦ ਦੋਵਾਂ ਹਵਾਈ ਜਹਾਜ਼ਾਂ ਦੀ ਵਿਚਕਾਰਲੀ ਦੂਰੀ ਕਿੰਨੀ ਹੋਵੇਗੀ ।
ਹੱਲ:
ਪਹਿਲੇ ਹਵਾਈ ਜਹਾਜ਼ ਦੀ ਚਾਲ = 1000 km/h
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.5 15
ਪਹਿਲੇ ਹਵਾਈ ਜਹਾਜ਼ ਦੁਆਰਾ ਉੱਤਰ ਵੱਲ 1\(\frac{1}{2}\) ਘੰਟੇ ਵਿਚ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਦੂਰੀ = 1000 × \(\frac{3}{2}\)
OA = 1500 km
ਦੂਸਰੇ ਹਵਾਈ ਜਹਾਜ ਦੀ ਚਾਲ = 1200 km/h
ਦੂਸਰੇ ਹਵਾਈ ਜਹਾਜ ਦੁਆਰਾ 1\(\frac{1}{2}\) ਘੰਟੇ ਵਿਚ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਦੂਰੀ
=1200 × \(\frac{3}{2}\) km
OB = 1800 km
ਸਮਕੋਣ △AOB ਵਿੱਚ, .
AB2 = AO2 + OB2
AB2 = (1500)2 + (1800)2
AB = \(\sqrt {2250000+3240000}\)
= \(\sqrt {5490000}\)
AB = 300\(\sqrt {61}\) km
∴ ਦੋਹਾਂ ਹਵਾਈ ਜਹਾਜ਼ਾਂ ਵਿਚਲੀ ਦੂਰੀ
= 300\(\sqrt {61}\) km

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 12.
ਦੋ ਖੰਭੇ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਉੱਚਾਈਆਂ ਭੂਮੀ ‘ਤੇ 6 m ਅਤੇ 11 m ਹਨ ਅਤੇ ਸਮਤਲ ਭੂਮੀ ‘ਤੇ ਖੜ੍ਹੇ ਹਨ । ਜੇਕਰ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਹੇਠਲੇ ਸਿਰਿਆਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰਲੀ ਦੂਰੀ 12m ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਉੱਪਰਲੇ ਸਿਰਿਆਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰਲੀ ਦੂਰੀ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਖੰਭੇ ਦੀ ਉੱਚਾਈ (AB) = 11m
ਖੰਭੇ ਦੀ ਉੱਚਾਈ (CD) = 6 m
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.5 16
ਖੰਭੇ ਦੇ ਅਧਾਰਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰਲੀ ਦੂਰੀ = 12 m
C ਤੋਂ CE ⊥ AB ਖਿੱਚੋ
BE = DC = 6m
AE = AB – BE
= (11 – 6) m = 5 m
ਸਮਕੋਣ △AEC ਵਿੱਚ,
AC2 = AE2 + EC2
AC = \(\sqrt{(5)^{2}+(12)^{2}}\)
= \(\sqrt {25+144}\)
= \(\sqrt {169}\) = 13.
∴ ਖੰਭੇ ਦੇ ਉੱਪਰਲੇ ਸਿਰਿਆਂ ਵਿਚਕਾਰਲੀ ਦੂਰੀ = 13m.

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.5

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 13.
ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ABC ਜਿਸਦਾ ਕੋਣ C ਸਮਕੋਣ ਹੈ, ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ CA ਅਤੇ CB ‘ਤੇ ਕੁਮਵਾਰ ਬਿੰਦੂ D ਅਤੇ L ਸਥਿਤ ਹਨ । ਸਿੱਧ ਕਰੋ ਕਿ
AE2 + BD2 = AB2 + DE2
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : △ABC ਇੱਕ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿਚ C ਸਮਕੋਣ ਹੈ ਭੁਜਾ CA ਅਤੇ CB ਤੇ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਬਿੰਦੂ D ਅਤੇ E ਸਥਿਤ ਹਨ ।
∴ CD = AD = \(\frac{1}{2}\)AC
BE = EC = \(\frac{1}{2}\)BC
ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ :
AE2 + BD2 = AB2 + DE2
ਸਬੂਤ : ਸਮਕੋਣ △BCA ਵਿੱਚ,
AB2 = BC2 + CA2 …..(1) [
ਪਾਈਥਾਗੋਰਸ ਪ੍ਰਮੇਯ ਤੋਂ]
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.5 17
ਸਮਕੋਣ △ECD ਵਿੱਚ,
DE2 = EC2 + DC2 …(2)
[ਪਾਈਥਾਗੋਰਸ ਪ੍ਰਮੇਯ]
ਸਮਕੋਣ △ACE ਵਿੱਚ
AE2 = AC2 + CE2 …(3)
ਸਮਕੋਣ △BCD ਵਿੱਚ
BD2 = BC2 + CD2 …(4)
(3) ਅਤੇ (4) ਨੂੰ ਜੋੜਣ ਤੇ,
AE2 + BD2 = AC2 + CE2 + BC2 + CD2
= [AC2 + CB2] + [CE2 + DC2]
= AB2 + DE2
[(3) ਅਤੇ (4) ਤੋਂ]
ਇਸ ਲਈ AE2 + BD2 = AB2 + DE2.

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 14.
ਕਿਸੇ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ABC ਦੇ ਸਿਖ਼ਰ A ਤੋਂ BC ‘ਤੇ ਸੁੱਟਿਆ ਗਿਆ ਲੰਬ BC ਨੂੰ ਬਿੰਦੂ ‘ਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕੱਟਦਾ ਹੈ ਕਿ DB = 3 CD ਹੈ (ਦੇਖੋ ਚਿੱਤਰ) ।
ਸਿੱਧ ਕਰੋ ਕਿ 2AB2 = 2AC2 + BC2 ਹੈ ।
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.5 18
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : △ABC ਵਿੱਚ, AD ⊥ BC
DB = 3CD ਹੈ ।
ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ :
2AB2 = 2AC2 + BC2.
ਸਬੂਤ : ਸਮਕੋਣ ਭੁਜ ADB ਅਤੇ ADC ਵਿੱਚ
AB2 = AD2 + BD2 ;
AC2 = AD2 + DC2
[ਪਾਈਥਾਗੋਰਸ ਮੇਯ ਤੋਂ ]
∴ AB2 – AC2 = BD2 – DC2
= 9CD2 – CD2;
[∵ BD = 3CD]
= 8CD2 = 8\(\left(\frac{\mathrm{BC}}{4}\right)^{2}\)
[∵ BC = DB + CD
=3CD + CD
= 4CD
∴ CD = \(\frac{1}{2}\)BC]
∴ AB2 – AC2 = \(\frac{\mathrm{BC}^{2}}{2}\)
⇒ 2(AB2 – AC2) = BC2
⇒ 2AB2 – 2AC2 = BC2
∴ AB2 = 2AC2 + BC2.

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.5

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 15.
ਕਿਸੇ ਸਮਭੁਜੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ABC ਦੀ ਭੁਜਾ BC ‘ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ) ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸਥਿਤ ਹੈ ਕਿ BD = \(\frac{1}{3}\)BC ਹੈ । ਸਿੱਧ ਕਰੇ ਕਿ 9AD2 = 7AB2 ਹੈ ।
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : ਸਮਭੁਜੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ABC ਦੀ ਭੁਜਾ BC ‘ਤੇ ਇਕ ਬਿੰਦੂ ) ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸਥਿਤ ਹੈ ਕਿ BD = \(\frac{1}{3}\)BC ਹੈ ।
ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ : 9AD2 = 7AB2.
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.5 19
ਰਚਨਾ : AM ⊥ BC ਖਿੱਚੋ
ਸਬੂਤ : △AMB ≅ △AMC [R.H.S. ਨਿਯਮ ਨਾਲ AM = AM ਅਤੇ AB = AC]
∴ BM = MC = \(\frac{1}{2}\)BC
ਦੁਬਾਰਾ BD = \(\frac{1}{3}\)BC
ਅਤੇ DC = \(\frac{2}{3}\)BC
(∵ BC, D ਤੇ ਤਿੰਨ ਭਾਗਾਂ ਵਿਚ ਵਿਭਾਜਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ ॥)
ਹੁਣ △ADC ਵਿੱਚ, ∠C ਨਿਊਣ ਕੋਣ ਹੈ
∴ AD2 = AC2 + DC2 – 2DC × MC
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.5 20
∴ AD2 = AB2
⇒ 9AD2 = 7AB2.

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 16.
ਕਿਸੇ ਸਮਭੁਜੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਵਿੱਚ, ਸਿੱਧ ਕਰੋ ਕਿ ਉਸਦੀ ਇਕ ਭੁਜਾ ਦੇ ਵਰਗ ਦਾ ਤਿਗੁਣਾ ਤਿੰਨ ਗੁਣਾ) ਉਸ ਦੇ ਇਕ ਸਿਖਰ ਲੰਬ ਦੇ ਵਰਗ ਦੇ ਚਾਰ ਗੁਣਾ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : △ABC ਇੱਕ ਸਮਭੁਜੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ AB = BC = AC
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.5 21
AD ⊥ DC
ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ : 3AB2 = 4AD2
ਸਬੂਤ : △ABC ਸੈਂ,
ਮੰਨ ਲਉ : AB = BC = AC = 2a
AD ⊥ BC
∴ BD = DC = \(\frac{1}{2}\)BC = a
ਸਮਕੋਣ ਤਿਭੁਜ ਵਿਚ,
AB2 = AD2 + BD2
(2a)2 = AD2 + (a)2
4a2 = AD2 + a2
4a2 – a2 = AD2
AD2 = 3a2
= 3\(\left[\frac{\mathrm{AB}}{2}\right]^{2}\)
[AB = 2a
a = \(\frac{\mathrm{AB}}{2}\)]
AD2 = 3\(\frac{\mathrm{AB}^{2}}{4}\)
3AB2 = 4AD2.

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 ਤ੍ਰਿਭੁਜ Ex 6.5

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 17.
ਸਹੀ ਉੱਤਰ ਚੁਣ ਕੇ ਉਸਦਾ ਕਾਰਣ ਦੱਸੋ : △ABC ਵਿੱਚ AB = 6\(\sqrt {3}\) cm, AC = 12 cm ਅਤੇ BC = 6 cm ਹੈ । ਕੋਣ B ਹੈ :
(A) 120°
(B) 60°
(C) 90°
(D) 45°
ਹੱਲ:
AC = 12 cm
AB= 6\(\sqrt {3}\) cm
BC = 6 cm
AC2 = (12)2 = 144
AB2 + BC2 = (6\(\sqrt {3}\))2 + (6)2
= 108 + 36
AB2 + BC2 = 144
∴ AB2 + BC2 = AC2
ਪਾਈਥਾਗੋਰਸ ਪ੍ਰਮੇਯ ਤੋਂ,
△ABC ਵਿੱਚ B ਸਮਕੋਣ ਹੈ ।
∴ ∠B = 90°
∴ ਵਿਕਲਪ (C) ਸਹੀ ਹੈ ।

Leave a Comment