Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.1 Textbook Exercise Questions and Answers
PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.1
प्रश्न 1.
बिंदुओं के निम्नलिखित युग्मों के बीच की दूरियाँ ज्ञात कीजिए:
(i) (2, 3); (4, 1)
(ii) (- 5, 7); (- 1, 3)
(ii) (a, b); (- a, – b).
हल :
(i) दिए गए बिंदु हैं : (2, 3) ; (4, 1)
अभीष्ट दूरी = \(\sqrt{(4-2)^{2}+(1-3)^{2}}\)
= \(\sqrt{(4-2)^{2}+(1-3)^{2}}\)
= 2√2.
(ii) दिए गए बिंदु हैं : (- 5, 7) ; (- 1, 3)
अभीष्ट दूरी = \(\sqrt{(-1+5)^{2}+(3-7)^{2}}\)
= \(\sqrt{4+4}=\sqrt{8}\)
= 4√2
(iii) दिए गए बिंदु हैं : (a, b); (- a, – b)
अभीष्ट दूरी = \(\sqrt{(-a-a)^{2}+(-b-b)^{2}}\)
= \(\sqrt{(-2 a)^{2}+(-2 b)^{2}}\)
= \(\sqrt{4 a^{2}+4 b^{2}}\)
= 2 \(\sqrt{a^{2}+b^{2}}\)
प्रश्न 2.
बिंदुओं (0, 0) और (36, 15) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। क्या अब आप अनुच्छेद 7.2 में दिए दोनों शहरों A और B के बीच की दूरी ज्ञात कर सकते हैं ?
हल :
दिए गए बिंदु हैं :
A (0, 0) और B (36, 15)
दूरी AB = \(\sqrt{(0-36)^{2}+(0-15)^{2}}\)
= \(\sqrt{1296+225}=\sqrt{1521}\)
= 39.
अनुच्छेद 7.2 के अनुसार
विभिन्न बिंदु A (0, 0) और B (36, 15) आकृति में दिखाए अनुसार खींचिए,
BC ⊥ X-अक्ष पर खींचिए।
अब, समकोण AACB में,
AB = \(\sqrt{A C^{2}+B C^{2}}\)
= \(\sqrt{(36)^{2}+(15)^{2}}\)
= \(\sqrt{1296+225}=\sqrt{1521}\)
= 39.
अतः बिंदुओं के बीच की अभीष्ट दूरी 39 है।
प्रश्न 3.
निर्धारित कीजिए कि क्या बिंदु (1, 5), (2, 3) और (- 2, – 11) सरेखी हैं।
हल :
दिए गए बिंदु हैं : A (1, 5) ; B (2, 3) और C(- 2, – 11).
AB = \(\sqrt{(2-1)^{2}+(3-5)^{2}}\)
= \(\sqrt{1+4}=\sqrt{5}\)
BC = \(\sqrt{(-2-2)^{2}+(-11-3)^{2}}\)
= \(\sqrt{16+196}=\sqrt{212}\)
CA = \(\sqrt{(1+2)^{2}+(5-11)^{2}}\)
= \(\sqrt{9+256}=\sqrt{265}\).
उपर्युक्त दूरियों से, यह स्पष्ट है कि किन्हीं दो का योगफल तीसरे के बराबर नहीं है।
अतः, दिए गए बिंदु सरेखी नहीं हैं।
प्रश्न 4.
जाँच कीजिए कि क्या बिंदु (5, – 2) ; (6, 4) और (7, -2) एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।
हल :
दिए गए बिंदु हैं A (5, – 2) ; B (6, 4) और C (7, – 2).
AB = \(\sqrt{(5-6)^{2}+(-2-4)^{2}}\)
= \(\sqrt{1+36}=\sqrt{37}\)
BC = \(\sqrt{(6-7)^{2}+(4+2)^{2}}\)
= \(\sqrt{1+36}=\sqrt{37}\)
CA = \(\sqrt{(7-5)^{2}+(-2+2)^{2}}\)
= \(\sqrt{4+0}\) = 2.
उपर्युक्त दूरियों से स्पष्ट है कि AB = BC = √37.
∴ दिए गए बिंदु समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।
प्रश्न 5.
किसी कक्षा में, चार मित्र बिंदुओं A, B, C और D पर बैठे हुए हैं, जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। चंपा और चमेली कक्षा के अंदर आती हैं
और कुछ मिनट तक देखने के बाद, चंपा, चमेली से पूछती है, ‘क्या तुम नहीं सोचती हो कि ABCD एक वर्ग है ?’ चमेली इससे सहमत नहीं है। दूरी सूत्र का प्रयोग करके बताइए कि इनमें कौन सही हैं।
हल :
दी गई आकृति में दिए गए बिंदुओं के शीर्ष हैं :
A (3, 4); B (6, 7); C (9, 4) और D (6, 1).
अब, AB = \(\sqrt{(6-3)^{2}+(7-4)^{2}}\)
= \(\sqrt{9+9}=\sqrt{18}\)
BC = \(\sqrt{(9-6)^{2}+(4-7)^{2}}\)
= \(\sqrt{9+9}=\sqrt{18}\)
CD = \(\sqrt{(6-9)^{2}+(1+4)^{2}}\)
= \(\sqrt{9+9}=\sqrt{18}\)
DA = \(\sqrt{(3-6)^{2}+(4-1)^{2}}\)
= \(\sqrt{9+9}=\sqrt{18}\)
AC = \(\sqrt{(9-3)^{2}+(4-4)^{2}}\)
= \(\sqrt{36+0}\) = 6
BD = \(\sqrt{(6-6)^{2}+(1-7)^{2}}\)
= \(\sqrt{0+36}\) = 6
उपर्युक्त दूरियों से यह स्पष्ट है कि AB = BC = CD = DA = √18 और AC = BD = 6.
∴ ABCD एक वर्ग बनाता है तथा चंपा की सोच सही है।
प्रश्न 6.
निम्नलिखित बिंदुओं द्वारा बनने वाले चतुर्भुज का प्रकार (यदि कोई है तो) बताइए तथा अपने उत्तर के लिए कारण भी दीजिए :
(i) (- 1, – 2), (1, 0), (- 1, 2), (- 3, 0)
(ii) (- 3, 5), (3, 1), (0, 3), (- 1, – 4)
(iii) (4, 5), (7, 6), (4, 3), (1, 2).
हल :
(i) दिए गए बिंदु हैं : A (- 1, – 2); B (1, 0); C (- 1, 2) और D (- 3, 0).
AB = \(\sqrt{(1+1)^{2}+(0+2)^{2}}\)
= \(\sqrt{4+4}=\sqrt{8}\)
BC = \(\sqrt{(-1-1)^{2}+(2-0)^{2}}\)
= \(\sqrt{4+4}=\sqrt{8}\)
CD = \(\sqrt{(-3+1)^{2}+(0-2)^{2}}\)
= \(\sqrt{4+4}=\sqrt{8}\)
DA = \(\sqrt{(-1+3)^{2}+(-2-0)^{2}}\)
= \(\sqrt{4+4}=\sqrt{8}\)
AC = \(\sqrt{(-1+1)^{2}+(2+2)^{2}}\)
= \(\sqrt{0+16}\) = 4
BD = \(\sqrt{(-3-1)^{2}+(0-0)^{2}}\)
= \(\sqrt{16+0}\) = 4
उपर्युक्त चर्चा से यह स्पष्ट है कि AB = BC = CD = DA = √8 और AC = BD = 4.
अतः, दी गई चतुर्भुज ABCD एक वर्ग है।
(ii) दिए गए बिंदुओं : A (- 3, 5) ; B (3, 1); C (0, 3) और D (- 1, – 4)
AB = \(\sqrt{(-3-3)^{2}+(5-1)^{2}}\)
= \(\sqrt{36+16}=\sqrt{52}\)
= 2√13
BC = \(\sqrt{(3-0)^{2}+(1-3)^{2}}\)
= \(\sqrt{9+4}=\sqrt{13}\)
CA = \(\sqrt{(0+3)^{2}+(3-5)^{2}}\)
= \(\sqrt{9+4}=\sqrt{13}\)
अब, BC+ CA = √13 + √13 = 2√13 = AB.
A, B और C संरेखी हैं तो A, B, C और D चतुर्भुज नहीं बनाते हैं।
(iii) दिए गए बिंदुओं : A (4, 5) ; B (7, 6); C (4, 3) और D (1, 2)
AB = \(\sqrt{(7-4)^{2}+(6-5)^{2}}\)
= \(\sqrt{9+1}=\sqrt{10}\)
BC = \(\sqrt{(4-7)^{2}+(3-6)^{2}}\)
= \(\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3 \sqrt{2}\)
CD = \(\sqrt{(1-4)^{2}+(2-3)^{2}}\)
= \(\sqrt{9+1}=\sqrt{10}\)
DA = \(\sqrt{(4-1)^{2}+(5-2)^{2}}\)
= \(\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3 \sqrt{2}\)
AC = \(\sqrt{(4-4)^{2}+(3-5)^{2}}\)
= \(\sqrt{0+4}\) = 2
BD = \(\sqrt{(1-7)^{2}+(2-6)^{2}}\)
= \(\sqrt{36+16}=\sqrt{52}=2 \sqrt{3}\)
उपर्युक्त चर्चा से यह स्पष्ट है कि AB = CD और BC = DA और AC ≠ BD.
अर्थात् सम्मुख भुजाएँ बराबर हैं, परंतु उनके विकर्ण बराबर नहीं हैं।
अतः दी गई चतुर्भुज ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।
प्रश्न 7.
x-अक्ष पर वह बिंदु ज्ञात कीजिए जो (2, – 5) और (-2, 9) से समदूरस्थ है।
हल :
मान लीजिए अभीष्ट बिंदु P (x, 0) और दिए गए बिंदु हैं A (2, – 5) और B (- 2, 9).
प्रश्नानुसार,
PA = PB या
(PA)2 = (PB)2
या (2 – x)2 + (- 5 – 0)2 = (- 2 – x)2 + (9 – 0)2
या 4 + x – 4x + 25 = 4 + x2 + 4x + 81
या – 8x = 56
या x = \(-\frac{56}{8}\) = – 7
अतः अभीष्ट बिंदु (-7, 0) है।
प्रश्न 8.
y का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए बिंदु P(2, – 3) और Q (10, y) के बीच की दूरी 10 मात्रक है।
हल :
दिए गए बिंदु हैं P (2, – 3) और Q (10, y)
PQ = \(\sqrt{(10-2)^{2}+(y+3)^{2}}\)
= \(\sqrt{64+y^{2}+9+6 y}\)
= \(\sqrt{y^{2}+6 y+73}\)
प्रश्न के अनुसार,
PQ = 10
या \(\sqrt{y^{2}+6 y+73}\) = 10
या y2 + 6y + 73 = 100
या y2 + 6y – 27 = 0
S = 6, P = – 27
या y + 9y – 3y – 27 = 0
या y (y + 9) – 3 (y + 9) = 0
या (y + 9) (y – 3) = 0
या y + 9 = 0
या y – 3 = 0
y = – 9 या y = 3
अतः y = – 9 और 3
प्रश्न 9.
यदिए (0, 1) बिंदुओं P(5,-3) और R (x, 6) से समदूरस्थ है, तो x का मान ज्ञात कीजिए। दूरियाँ QR और PR भी ज्ञात कीजिए।
हल :
दिए गए बिंदु हैं Q (0, 1) ; P (5, – 3) और R (x, 6)
QP = \(\sqrt{(5-0)^{2}+(-3-1)^{2}}\)
= \(\sqrt{25+16}=\sqrt{41}\)
और QR = \(\sqrt{(x-0)^{2}+(6-1)^{2}}\)
= \(\sqrt{x^{2}+25}\)
प्रश्न के अनुसार,
QP = QR
या √41 = \(\sqrt{x^{2}+25}\)
या 41 = x2 + 25
या x2 = 16
या x = ± √16 = ± 4.
जब x = 4 तो R (4, 6).
QR = \(\sqrt{(4-0)^{2}+(6-1)^{2}}\)
= \(\sqrt{16+25}=\sqrt{41}\)
PR = \(\sqrt{(4-5)^{2}+(6+3)^{2}}\)
= \(\sqrt{1+81}=\sqrt{82}\)
जब x = – 4 तो R(- 4, 6).
QR = \(\sqrt{(-4-0)^{2}+(6-1)^{2}}\)
= \(\sqrt{16+25}=\sqrt{41}\)
PR = \(\sqrt{(-4-5)^{2}+(6+3)^{2}}\)
= \(\sqrt{81+81}=\sqrt{162}\)
प्रश्न 10.
x और y का वह संबंध ज्ञात कीजिए कि बिंदु (x, y) बिंदुओं (3, 6) और (- 3, 4) से समदूरस्थ हो।
हल :
मान लीजिए अभीष्ट बिंदु P (x, y) है। दिए गए बिंदु हैं A (3, 6) और B (-3, 4)
PA = \(\sqrt{(3-x)^{2}+(6-y)^{2}}\)
= \(\sqrt{9+x^{2}-6 x+36+y^{2}-12 y}\)
= \(\sqrt{x^{2}+y^{2}-6 x-12 y+45}\)
और PB = \(\sqrt{(-3-x)^{2}+(4-y)^{2}}\)
= \(\sqrt{(-3-x)^{2}+(4-y)^{2}}\)
= \(\sqrt{x^{2}+y^{2}+6 x-8 y+25}\)
प्रश्न के अनुसार,
PA = PB
\(\begin{aligned}
\sqrt{x^{2}+y^{2}-6 x-12 y+45} \\
&=\sqrt{x^{2}+y^{2}+6 x-8 y+25}
\end{aligned}\)
दोनों ओर वर्ग करने पर हमें प्राप्त होता है,
या x2 + y2 – 6x – 12y + 45 = x2 + y2 + 6x – 8y + 25
या – 12x -4y + 20 = 0
या 3x + y – 5 = 0 अभीष्ट संबंध है।