PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.2

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.2 Textbook Exercise Questions and Answers

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.2

प्रश्न 1.
उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जो बिंदुओं (- 1, 7) और (4, – 3) को मिलाने वाले रेखाखंड को 2 : 3 के अनुपात में विभाजित करता है।
हल :
मान लीजिए P (x, y) वांछित बिंदु है जो दिए गए बिंदुओंA (- 1, 7) और B (4, -3) को मिलाने वाले रेखाखंड को 2 : 3 के अनुपात में विभाजित करता है।
हल :

∴ x = \(\frac{2 \times 4+3 \times-1}{2+3}=\frac{8-3}{5}=\frac{5}{5}\) = 1

और y = \(\frac{2 \times-3+3 \times 7}{2+3}=\frac{-6+21}{5}=\frac{15}{5}\) = 3

अतः अभीष्ट बिंदु हैं (1, 3)

प्रश्न 2.
बिंदुओं (4, – 1) और (- 2, – 3) को जोड़ने वाले रेखाखंड को सम-त्रिभाजित करने वाले बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए P (x₁, y₁) और Q (x₂, y₂) अभीष्ट बिंदु हैं जो बिंदुओं A (4, – 1) और (- 2, – 3) को जोड़ने वाले रेखाखंड को समत्रिभाजित करते हैं
अर्थात् P (x₁, y₁) AB को 1 : 2 के अनुपात में और Q (x₂, y₂) AB को 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करते हैं

∴ x₁ = \(\frac{1 \times-2+2 \times 4}{1+2}=\frac{-2+8}{3}=\frac{6}{3}\) = 3

y₁ = \(\frac{1 \times-3+2 \times-1}{1+2}=\frac{-3-2}{3}=-\frac{5}{3}\)

∴ P(x₁, y₁) हैं: = (2, – \(\frac{5}{3}\))

अब, x₂ = \(\frac{2 \times-2+1 \times 4}{2+1}\)
= \(\frac{-4+4}{3}\) = 0

और y₂ = \(\frac{2 \times-3+1 \times-1}{2+1}\)
= \(\frac{-6-1}{3}=-\frac{7}{3}\)
∴ Q (x₂, y₂) है: (0, – \(\frac{7}{3}\))

अतः अभीष्ट बिंदु हैं : (2, – \(\frac{5}{3}\)) और (0, – \(\frac{7}{3}\))

प्रश्न 3.
आपके स्कूल में खेल-कूद क्रियाकलाप आयोजित करने के लिए, एक आयताकार मैदान ABCD में, चूने से परस्पर Im की दूरी पर पंक्तियाँ बनाई गई हैं। AD के अनुदिश परस्पर 1m की दूरी पर 100 गमले रखे गए हैं, जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। निहारिका दूसरी पंक्ति में AD के \(\frac{1}{4}\) भाग के बराबर की दूरी दौड़ती है और वहाँ एक हरा झंडा गाड़ देती है।

प्रीत आठवीं पंक्ति में AD के \(\frac{1}{5}\) भाग के बराबर की दूरी दौड़ती है और वहाँ एक लाल झंडा गाड़ देती है। दोनों झंडों के बीच की दूरी क्या है ? यदि रश्मि को एक नीला झंडा इन दोनों झंडों को मिलाने वाले रेखाखंड पर ठीक आधी दूरी (बीच में) पर गाड़ना हो तो उसे अपना झंडा कहाँ गाड़ना चाहिए ?

हल :
दी गई आकृति में हम A को मूल बिंदु लेते हैं AB को x-अक्ष और AD को -अक्ष लेने पर हरे झंडे की स्थिति = निहारिका द्वारा तय की गई दूरी
= निहारिका दूसरी पंक्ति में AD के \(\frac{1}{4}\) भाग के बराबर की दूरी दौड़ती है
= \(\frac{1}{4}\) × 100 = 25m
∴ हरे झंडे के निर्देशांक (2, 25) हैं।
अब, लाल झंडे की स्थिति = प्रीत द्वारा तय की गई दूरी
= प्रीत आठवीं पंक्ति में AD के \(\frac{1}{5}\) भाग के बराबर दूरी दौड़ती है

= \(\frac{1}{5}\) × 100 = 20m.
∴ हरे और लाल झंडे के बीच की दूरी = \(\sqrt{(8-2)^{2}+(20-25)^{2}}\)
= \(\sqrt{36+25}=\sqrt{61}\) m.

नीले झंडे की स्थिति = हरे झंडे और लाल झंडे को मिलाने वाले रेखाखंड का आधा = \(\left(\frac{2+8}{2}, \frac{25+20}{2}\right)\)
= (5, 22.5).
अतः नीला झंडा 5वीं पंक्ति में है और AD की ओर 22.5 मी० की दूरी पर है।

प्रश्न 4.
बिंदुओं (- 3, 10) और (6, – 8) को जोड़ने वाले रेखाखंड को बिंदु (- 1, 6) किस अनुपात में विभाजित करता है।
हल :
मान लीजिए बिंदु P (- 1, 6) बिंदुओं | A (- 3, 10) और B (6, – 8) को जोड़ने वाले रेखाखंड को K : 1 के अनुपात में विभाजित करता है।

∴ – 1 = \(\frac{6 \times \mathrm{K}-3 \times 1}{\mathrm{~K}+1}\)
या – K – 1 = 6K – 3
या – K – 6K = – 3 + 1
या – 7K = – 2
या k = \(\frac{2}{7}\)
∴ K : 1 = \(\frac{2}{7}\) : 1 = 2 : 7
अतः, अभीष्ट अनुपात 2 : 7. है।

प्रश्न 5.
वह अनुपात ज्ञात कीजिए जिसमें बिंदुओं A (1, – 5) और B (- 4, 5) को मिलाने वाला रेखाखंड x-अक्ष से विभाजित होता है। इस विभाजन बिंदु के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए x-अक्ष पर अभीष्ट बिंदु P (x, 0) है जो A (1, – 5) और B (- 4, 5) को मिलाने वाले रेखाखंड को K : 1 के अनुपात में विभाजित करता है।

P का y निर्देशांक है
0 = \(\frac{5 \times K+(-5) \times 1}{K+1}\)

या 0 = \(\frac{5 \mathrm{~K}-5}{\mathrm{~K}+1}\)
या 5K – 5 = 0
या 5K – 5 = 0
या 5K = 5
या K = \(\frac{5}{5}\) = 1
∴ अभीष्ट अनुपात K : 1 = 1 : 1
अब, P का x निर्देशांक है : x = \(\frac{-4 \times \mathrm{K}+1 \times 1}{\mathrm{~K}+1}\)
K = 1, मान प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है
x = \(\frac{-4 \times 1+1 \times 1}{1+1}=\frac{-4+1}{2}\)
x = – \(\frac{3}{2}\)
अत: अभीष्ट बिंदु है : (- \(\frac{3}{2}\), 0)

प्रश्न 6.
यदि बिंदु (1, 2); (4, y); (x, 6) और (3, 5) इसी क्रम में लेने पर, एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष हों तो x और y ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए समांतर चतुर्भुज ABCD के शीर्ष हैं: A (1, 2) ; B (4, y); C (x, 6) और D (3, 5)
परंतु समांतर चतुर्भुज के विर्कण परस्पर समद्विभाजित होते हैं।

स्थिति I: जब E, A (1, 2) और C (x, 6) का मध्य बिंदु हो।
∴ E के निर्देशांक हैं
E = \(\left(\frac{x+1}{2}, \frac{6+2}{2}\right)\)

E = \(\left(\frac{x+1}{2}, 4\right)\) ……………….(1)

स्थिति II : जब E, B (4, y) और D (3, 5) का मध्य बिंदु है।
∴ E के निर्देशांक हैं :
E = \(\left(\frac{3+4}{2}, \frac{5+y}{2}\right)\)

E = \(\left(\frac{7}{2}, \frac{5+y}{2}\right)\) …………………..(2)
परंतु (1) और (2) में E के मान समान हैं, इसलिए निर्देशांकों की तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है
\(\frac{x+1}{2}=\frac{7}{2}\)

या x + 1 = 7

या x = 6

और 4 = \(\frac{5+y}{2}\)

या 8 = 5 + y
या y = 3 .
अतः x और y के मान 6 और 3 हैं।

प्रश्न 7.
बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जहाँAB एक वृत्त का व्यास है जिसका केंद्र (2, – 3) है तथा B के निर्देशांक (1, 4) हैं।
हल :
मान लीजिए A के निर्देशांक (x, y) हैं।
परंतु, व्यास के शीर्षों का मध्यबिंदु केंद्र होता है।

∴ 0, A (x, y) और B (1, 4) का मध्य-बिंदु है।
∴ \(\left(\frac{x+1}{2}, \frac{y+4}{2}\right)\) = (2, – 3)
तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है :
\(\frac{x+1}{2}\) = 2
या x + 1 = 4
या x = 3

और \(\frac{y+4}{2}\) आर -=-3
या y + 4 = – 6
या y = – 10
अत: अभीष्ट बिंदु A (3, 10) हैं।

प्रश्न 8.
यदि Aऔर B क्रमशः (- 2, – 2) और (2, – 4) हो तो P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए ताकि AP = \(\frac{3}{7}\) AB है और P रेखाखंड AB पर स्थित है।
हल :
मान लीजिए अभीष्ट बिंदु P है (x, y) साथ ही,
AP = \(\frac{3}{7}\) AB _..(दिया है)
परंतु, PB = AB – AP
= AB – \(\frac{3}{7}\) AB
= \(\frac{7-3}{7}\) AB
= \(\frac{4}{7}\) AB

∴ \(\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PB}}=\frac{\frac{3}{7} \mathrm{AB}}{\frac{4}{7} \mathrm{AB}}=\frac{3}{4}\)

∴ P दिए गए बिंदुओंA और B को 3:4 के अनुपात में विभाजित करता है :
अब x = \(\frac{3 \times 2+4 \times-2}{3+4}\)

अत: P के निर्देशांक हैं : \(\left(-\frac{2}{7},-\frac{20}{7}\right)\)

प्रश्न 9.
बिंदुओं A (- 2, 2) और B (2, 8) को जोड़ने | वाले रेखाखंड AB को चार बराबर भागों में विभाजित करने वाले बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। .
हल :
मान लीजिए C, D और E अभीष्ट बिंदु हैं जो बिंदुओं A (- 2, 2) और B (2, 8) को मिलाने वाले रेखाखंड को चार बराबर भागों में विभाजित करते हैं।
तब D, A और B का मध्य बिंदु है ; C, A और D का मध्य बिंदु है;E, D और B का मध्य-बिंदु है, ताकि

AC = CD = DE = EB अब, A और B का मध्य बिंदु (अर्थात् D के निर्देशांक) = \(\left(\frac{-2+2}{2}, \frac{2+8}{2}\right)\) = (0, 5)
A और D का मध्य-बिंदु (अर्थात् C के निर्देशांक) = \(\left(\frac{-2+0}{2}, \frac{2+5}{2}\right)=\left(-1, \frac{7}{2}\right)\)

D और B का मध्य बिंदु (अर्थात् E के निर्देशांक) = \(\left(\frac{2+0}{2}, \frac{8+5}{2}\right)=\left(-1, \frac{13}{2}\right)\)

अतः अभीष्ट बिंदु हैं,
(0, 5), (- 1, \(\frac{7}{2}\)) और (1, \(\frac{13}{2}\))

प्रश्न 10.
एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष, इसी क्रम में, (3, 0), (4, 5), (- 1, 4) और (- 2, – 1) हैं।
[संकेत : सभचतुर्भुज का क्षेत्रफल = = (उसके विकर्णों का गुणनफल)]
हल :
मान लीजिए समचतुर्भुज ABCD के शीर्ष बिंदु हैं : A (3, 0) ; B (4, 5) ; C (- 1, 4) और D (- 2, – 1).
विकर्ण AC = \(\sqrt{(-1-3)^{2}+(4-0)^{2}}\)
= \(\sqrt{16+16}=\sqrt{32}+\)
= 4√2

और विकर्ण BD
BD = \(\)
= \(\) = √72
= 6√2

∴ समचतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) × AC × BD
ABCD = \(\left[\frac{1}{2} \times 4 \sqrt{2} \times 6 \sqrt{2}\right]\) वर्गमात्रक
= (\(\frac{1}{2}\) × 24 × 2) वर्गमात्रक
= 24 वर्गमात्रक
अतः, समचतुर्भुज का क्षेत्रफल 24 वर्गमात्रक है।