PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.3

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.3 Textbook Exercise Questions and Answers

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.3

प्रश्न 1.
उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष हैं :
(i) (2, 3); (- 1, 0); (2, – 4)
(i) (- 5, – 1); (3, – 5); (5, 2)
हल :
(i) मान लीजिए ∆ABC के शीर्ष A (2, 3); B (- 1, 0) और C (2, – 4) हैं।
यहाँ x₁ = 2, x₂ = – 1, x₃ = 2
y₂ = 3, y₂ = 0, y₃ = – 4
∴ ∆ABC का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) [x₁ (y₂ – y₃) + x₂ (y₃ – y₁) + x₃ (y₁ – y₂)]
= \(\frac{1}{2}\) [2 × (0 + 4) – 1 × (- 4 – 3) + 2 × (3 – 0)]
= \(\frac{1}{2}\) [8 + 7 + 6]
= \(\frac{21}{2}\) = 10.5 वर्गमात्रक

(ii) मान लीजिए ∆ABC के शीर्ष A (- 5, – 1); B (3, – 5) और C (5, 2) हैं।
यहाँ x₁ = – 5, x₂ = 3, x₃ = 5
y₁ = – 1, y₂ = – 5, y₃ = 2
∴ ∆ABC का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) [x₁ (y₂ – y₃) + x₂ (y₃ – y₁) + x₃ (y₁ – y₂)]
= \(\frac{1}{2}\) [- 5 (- 5 – 2) + 3 (2 + 1) + 5 (- 1 + 5)]
= \(\frac{1}{2}\) [35 + 9 + 20]
= \(\frac{1}{2}\) × 64 = 32 वर्गमात्रक

प्रश्न 2.
निम्नलिखित में से प्रत्येक में ‘K’ का मान ज्ञात कीजिए, ताकि तीनों बिंद सरेखी हों :
(i) (7, – 2); (5, 1); (3, k)
(ii) (8, 1); (k, – 4); (2, – 5)
हल :
(i) मान लीजिए दिए गए बिंदु A (7, – 2); B (5, 1) और C (3, k) हैं।
यहां x₁ = 7, x₂ = 5, x₃ = 3
y₁ = – 2, y₂ = 1, y₃ = k
तीन बिंदु संरेखी होते हैं यदि
\(\frac{1}{2}\) [x₁ (y₂ – y₃) + x₂ (y₃ – y₁) + x₃ (y₁ – y₂)] = 0
या \(\frac{1}{2}\) [7 (1 – k) + 5 (k + 2) + 3 (- 2 – 1)] = 0
या 7 – 7k + 5k + 10 – 9 = 0
या – 2k + 8 = 0
या – 2k = – 8
या k = \(\frac{8}{2}\) = 4
अत: k= 4

(ii) मान लीजिए दिए गए बिंदु A (8, 1)1 B (k, – 4) | और C (2, – 5) हैं।
यहाँ x₁ = 8, x₂ = k, x₃ = 2
y₁ = 1, y₂ = – 4 y₃ = – 5
तीन बिंदु संरेखी होते हैं यदि
\(\frac{1}{2}\) [x₁ (y₂ – y₃) + x₂ (y₃ – y₁) + x₃ (y₁ – y₂)] = 0

या \(\frac{1}{2}\) [8 (- 4 + 5) + k (- 5 – 1) + 2 (1 + 4) = 0
या 8 – 6k + 10 = 0
या – 6k = – 18
या k = \(\frac{-18}{-6}\) = 3
अतः k = 3

प्रश्न 3.
शीर्षों (0, – 1 ), (2, 1) और (0, 3) वाले त्रिभुज की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं से बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। इस क्षेत्रफल का दिए हुए त्रिभुज के क्षेत्रफल के साथ अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए दी गई त्रिभुज ABC के शीर्ष A(0, – 1); B (2, 1) और C (0, 3) हैं।
साथ ही, D, E,F क्रमश: AB, BC, CA के मध्य बिंदु हैं।
मध्यबिंदु सूत्र का प्रयोग करने पर
D के निर्देशांक = \(\left(\frac{0+2}{2}, \frac{-1+1}{2}\right)\)
= (1, 0)

E के निर्देशांक = \(\left(\frac{2+0}{2}, \frac{1+3}{2}\right)\)
= (1, 2)

F के निर्देशांक = \(\left(\frac{0+0}{2}, \frac{3-1}{2}\right)\)
= (0, 1)

∴ ∆DEF के शीर्षों के निर्देशांक D (1, 0); E (1, 2); F (0,1) हैं।
यहाँ x₁ = 1, x₂ = 1, x₃ = 0
y₁ = 0, y₂ = 2, y₃ = 1

∆DEF का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\) [x₁ (y₂ – y₃) + x₂ (y₃ – y₁) + x₃ (y₁ – y₂)]
= \(\frac{1}{2}\) [1 (2 – 1) + 1 (1 – 0) + 0 (0 – 2]
= \(\frac{1}{2}\) [1 + 1 + 0]
= \(\frac{2}{2}\) = 1 वर्ग मात्रक

∆ABC में,
x₁ = 0, x₂ = 2, x₃ = 0
y₁ = – 1, y₂ = 1, y₃ = 3

∆ABC का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\) [x₁ (y₂ – y₃) + x₂ (y₃ – y₁) + x₃ (y₁ – y₂)]
= \(\frac{1}{2}\) [0 (1 – 3) + 2 (3 + 1) + 0 (- 1 – 1)]
= \(\frac{1}{2}\) [0 + 8 + 0]
= \(\frac{8}{4}\) = 4 वर्गमात्रक
ADEF व
अभीष्ट अनुपात = ∆DEF का क्षेत्रफल / ∆ABC का क्षेत्रफल

प्रश्न 4.
उस चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष, इसी क्रम में, (- 4, – 2); (- 3, – 5); (3, – 2) और (2, 3) हैं।
हल :
मान लीजिए दी गई चतुर्भुज ABCD के निर्देशांक A (-4, – 2); B (-3, -5); C (3, – 2) और D (2, 3) हैं।
AC को मिलाइए, तो चतुर्भुज ABCD, दो त्रिभुजों में विभाजित हो जाती है।
अर्थात् ∆ABC और ∆CDA

∆ABC में, यहाँ x₁ = – 4, x₂ = – 3, x₃ = 3
y₁ = – 2, y₂ = – 5, y₃ = – 2
∆ABC का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\) [x₁ (y₂ – y₃) + x₂ (y₃ – y₁) + x₃ (y₁ – y₂)]
= \(\frac{1}{2}\) [- 4 (- 5 + 2) + (- 3) (- 2 + 2) + 3 (- 2 + 5)]
= \(\frac{1}{2}\) [12 + 0 + 9]
= \(\frac{21}{2}\) वर्ग मात्रक
∆CDA में,
x₁ = 3, x₂ = 2, x₃ = – 4
y₁ = – 2, y₂ = 3, y₃ = – 2
∆CDA का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\) [x₁ (y₂ – y₃) + x₂ (y₃ – y₁) + x₃ (y₁ – y₂)]
= \(\frac{1}{2}\) [3 (3 + 2) + 2 (- 2 + 2) + (- 4) (- 2 – 3)]
= \(\frac{1}{2}\) [20 + 15 + 0] = \(\frac{35}{2}\)
वर्ग मात्रक अब, चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = (∆ABC का क्षेत्रफल) + (∆ACD का क्षेत्रफल)
= \(\frac{21}{2}+\frac{35}{2}=\frac{21+35}{2}\)
= \(\frac{56}{2}\) = 28 वर्गमात्रक

प्रश्न 5.
कक्षा IX म आपन पढ़ा है ( अध्याय ५, उदाहरण 3) कि किसी त्रिभुज की एक माध्यिका उसे बराबर क्षेत्रफलों वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है। उस त्रिभुज ABC के लिए इस परिणाम का सत्यापन कीजिए जिसके शीर्ष A(4, – 6), B(3, – 2) और C(5, 2) हैं।
हल :
दिया है कि ∆ABC के शीर्षों के निर्देशांक, A(4, – 6); B (3, – 2) और C (5, 2) हैं।
मान लीजिए CD एक माध्यिका है। अर्थात् D, AB का मध्य बिंदु है जो∆ABC को दो भागों में विभाजित करता है अर्थात्

∆ADC और ∆CDB
D के निर्देशांक = \(\left(\frac{4+3}{2}, \frac{-6-2}{2}\right)\)
= \(\left(\frac{7}{2}, \frac{-8}{2}\right)\)
= (3.5, – 4)

∆ADC में,
x₁ = 4, x₂ = 3.5, x₃ = 5
y₁ = – 6, y₂ = – 4, y₃ = 2

∆ADC का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\) [x₁ (y₂ – y₃) + x₂ (y₃ – y₁) + x₃ (y₁ – y₂)]

= \(\frac{1}{2}\) [4 (- 4 – 2) + 3.5 (2 + 6) + 5 (- 6 + 4)]
= \(\frac{1}{2}\) [- 24 + 28 – 10]
= \(\frac{1}{2}\) × – 6 = – 3
= 3 वर्ग मात्रक(∵ क्षेत्रफल ऋणात्मक नहीं हो सकता)

∆CDB में,
x₁ = 5, x₂ = 3.5, x₃ = 3
y₁ = 2, y₂ = – 4, y₃ = – 2
∆CDB का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) [x₁ (y₂ – y₃) + x₂ (y₃ – y₁) + x₃ (y₁ – y₂)]
= \(\frac{1}{2}\) [5 (- 4 + 2) + 3.5 (- 2 – 2) + 3 (2 + 4)]
= \(\frac{1}{2}\) [- 10 – 14 + 18]
= \(\frac{1}{2}\) x – 6 = – 3
= 3 वर्ग मात्रक (∵ क्षेत्रफल ऋणात्मक नहीं हो सकता)
उपर्युक्त चर्चा से स्पष्ट है कि ∆ADC का क्षेत्रफल = ∆CDB का क्षेत्रफल = 3 वर्ग मात्रक
अतः त्रिभुज की माध्यिका इसे बराबर क्षेत्रफलों वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।