PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 8 त्रिकोणमिति का परिचय Ex 8.2

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 8 त्रिकोणमिति का परिचय Ex 8.2 Textbook Exercise Questions and Answers

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 8 त्रिकोणमिति का परिचय Ex 8.2

प्रश्न 1.
निम्नलिखित के मान निकालिए:
(i) sin 60° cas 30° + sin 30° cos 60°
(ii) 2 tan² 45° + cos² 30° – sin² 60°
(iii) \(\frac{\cos 45^{\circ}}{\sec 30^{\circ}+\ {cosec} 30^{\circ}}\)

(iv) \(\frac{\sin 30^{\circ}+\tan 45^{\circ}-\ {cosec} 60^{\circ}}{\sec 30^{\circ}+\cos 60^{\circ}+\cot 45^{\circ}}\)

(v) \(\frac{5 \cos ^{2} 60^{\circ}+4 \sec ^{2} 30^{\circ}-\tan ^{2} 45^{\circ}}{\sin ^{2} 30^{\circ}+\cos ^{2} 30^{\circ}}\)
हल :
(i) दिया है :
sin 60° cos 30° + sin 30° cos 60° = \(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)\)

= \(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\)

= \(\frac{3}{4}+\frac{1}{4}\) = 1

(ii) दिया है :
2 tan² 45° + cos² 30° – sin² 60° = 2 (tan 45°)² + (cos 30°)² – (sin 60°)²
= 2(1)² + \(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\) = 2

(iii) दिया है :- \(\frac{\cos 45^{\circ}}{\sec 30^{\circ}+\ {cosec} 30^{\circ}}\)

= \(\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)+(2)}=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{2+2 \sqrt{3}}{\sqrt{3}}}\)

= \(\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3}}{2+2 \sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}\)

= \(\frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)}{2 \sqrt{2}(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}\)

= \(\frac{\sqrt{2} \times \sqrt{3} \times(\sqrt{3}-1)}{4(3-1)}=\frac{3 \sqrt{2}-\sqrt{6}}{8}\)

(iv) दिया है :- \(\frac{\sin 30^{\circ}+\tan 45^{\circ}-\ {cosec} 60^{\circ}}{\sec 30^{\circ}+\cos 60^{\circ}+\cot 45^{\circ}}\)

(v) दिया है :- \(\frac{5 \cos ^{2} 60^{\circ}+4 \sec ^{2} 30^{\circ}-\tan ^{2} 45^{\circ}}{\sin ^{2} 30^{\circ}+\cos ^{2} 30^{\circ}}\)

प्रश्न 2.
सही विकल्प चुनिए और अपने विकल्प का औचित्य दीजिए :
(i) \(\frac{2 \tan 30^{\circ}}{1+\tan ^{2} 30^{\circ}}\) =
(A) sin 60°
(B) cos 60°
(C) tan 60°
(D) sin 30°.

(ii) \(\frac{1-\tan ^{2} 45^{\circ}}{1+\tan ^{2} 45^{\circ}}\) =
(A) tan 90°
(B) 1
(C) sin 45°
(D) 0.

(iii) sin 2A = 2 sin A तब सत्य होता है, जबकि A बराबर है:
(A) 0°
(B) 30°
(C) 45°
(D) 60°.

(iv) \(\frac{2 \tan 30^{\circ}}{1-\tan ^{2} 30^{\circ}}\) बराबर है:
(A) cos 60°
(B) sin 60°
(C) tan 60°
(D) sin 30°.
2 tan 30°
हल :
(i) \(\frac{2 \tan 30^{\circ}}{1+\tan ^{2} 30^{\circ}}=\frac{2\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}{1+\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2}}\)

= \(\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{1+\frac{1}{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}} \times \frac{3}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}\) =sin 60°
∴ विकल्प (A) सही है।

(ii) \(\frac{1-\tan ^{2} 45^{\circ}}{1+\tan ^{2} 45^{\circ}}=\frac{1-(1)^{2}}{1+(1)^{2}}\) = 0
∴ विकल्प (D) सही है।

(iii) दिया है, sin 2A = 2 sin A
A = 0° हो तो
sin 2(0) = 2 sin 0 sin 0 = 0
0 = 0 ; जो सत्य है।
∴ विकल्प (A) सही है।

(iv) \(\frac{2 \tan 30^{\circ}}{1-\tan ^{2} 30^{\circ}}=\frac{2\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}{1-\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2}}\)

= \(\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{1-\frac{1}{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}} \times \frac{3}{2}\)

= √3 = tan 60°
∴ विकल्प (C) सही है।

प्रश्न 3.
यदि tan (A + B) = √3 और tan (A – B) = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\); 0° < A + B ≤ 90° ; A > B तो A और B का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
tan (A + B) = √3.
tan (A + B) = tan 60°
⇒ A + B = 60° …………….(1)
tan (A – B) = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
या tan (A – B) = tan 30°
⇒ A – B = 30° ………….(2)
(1) और (2) जोड़ने पर।

A = \(\frac{90^{\circ}}{2}\) = 45°
A = 45°
(1)) में मान भरने पर A = 45°
45° + B = 60°
B = 60° – 45°
B = 150 .
अत : A = 45° और B = 15°

प्रश्न 4.
बताइए कि निम्नलिखित में कौन-कौन सत्य हैं या असत्य हैं। कारण सहित अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
(i) sin (A + B) = sin A + sin B.
(ii) θ में वृद्धि होने के साथ sin θ के मान में भी वृद्धि होती है।
(iii) θ में वृद्धि होने के साथ cos θ के मान में भी वृद्धि होती है।
(iv) θ के सभी मानों पर sin θ = cos θ.
(v) A = 0° पर cot A परिभाषित नहीं है।
हल :
(i) असत्य
जब A = 60°, B = 30°
L.H.S. = sin (A + B)
= sin (60° + 30°)
= sin 90° = 1
R.H.S. = sin A + sin B
= sin 60° + sin 30°
= \(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\) ≠ 1
अर्थात् L.H.S. ≠ R.H.S.

(ii) सत्य
sin 30° = \(\frac{1}{2}\) = 0.5,
क्योंकि sin 0° = 0,
sin 45° = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) = 0.7 (लगभग)
sin 60° = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) = 0.87 (लगभग)
और sin 90° = 1
अर्थात्, जब θ का मान 0° से 90° तक बढ़ता है तो sin e का मान भी बढ़ता है।

(iii) असत्य
क्योंकि cos 0° = 1,
cos 30° = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) = 0.87 (लगभग)
cos 45° = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) = 0.7 (लगभग)
cos 60° = \(\frac{1}{2}\) = 0.5
और cos 90° = 0.
जब θ का मान 0° से 90° तक बढ़ता है तो cos θ का मान घटता है।

(iv) असत्य
चूंकि sin 30° = \(\frac{1}{2}\)
और cos 30° = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
sin 30° ≠ cos 30° हमें केवल प्राप्त है :
sin 45° = cos 45°.
\(\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

(v) सत्य
cot 0° = \(\frac{1}{\tan 0^{\circ}}=\frac{1}{0}\),या परिभाषित नहीं।