PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.9

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.9 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.9

प्रश्न 1.
एक लकड़ी के बुकशैल्फ (book-shelf) की बाहरी विमाएँ निम्न हैं :
ऊँचाई = 110 cm, गहराई = 25 cm, चौड़ाई = 85 cm (देखिए आकृति)। प्रत्येक स्थान पर तख्तों की मोटाई 5 cm है। इसके बाहरी फलकों पर पालिश कराई जानी है और आंतरिक फलकों पर पेंट किया जाना है। यदि पालिश कराने की दर 20 पैसे प्रति cm है और पेंट कराने की दर 10 पैसे प्रति cm है, तो इस बुक-शैल्फ पर पालिश और पेंट कराने का कुल व्यय ज्ञात कीजिए।

हल :
बाहरी फलक जो पालिश होने हैं = घनाभाकार बुकशैल्फ के छ: फलकों का क्षेत्रफल – 3 (खुले भाग ABCD का क्षेत्रफल)
= 2 (110 × 25 + 25 × 85 + 85 × 110) -3 [75 × 30]
∵ प्रत्येक स्थान पर तख्तों की मोटाई 5 cm है।
∴ AB = 85 – 5 – 5 = 75 cm
और AD = \(\frac{1}{3}\)[110 – 5 – 5 – 5 – 5]
= \(\frac{1}{3}\)[110 – 20]
= \(\frac{1}{3}\) × 90 = 30 cm
= 2[2750 + 2125 + 9350 – 3 [2250]
= 2(14225) – 6750
= 28450 – 6750
= 21700 cm²
लकड़ी के बुकशैल्फ के बाहरी फलकों पर पालिश करने का व्यय 20 पैसे अर्थात् (\(\frac{1}{5}\)) रु प्रति cm² (\(\frac{1}{5}\) × 21700) रु
= 4340 रु
अब, यहाँ तीन बराबर भुजाओं वाले पाँच फलक हैं।
अतः, कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 3[2(30 + 75) 20 + 30 × 75]
(यहां आंतरिक गहराई = 25 – 5 = 20 cm)
= 3[2 × 105 × 20 + 2250]
= 3[4200 + 2250]
= 3 × 6450
= 19350 cm²
आंतरिक फलकों पर पेंट करने का व्यय
10 पैसे अर्थात् \(\frac{1}{10}\) रु प्रति cm²
= (\(\frac{1}{10}\) × 19350) र
= 1935 रु
पेंट करने पर कुल वांछित व्यय
= 4340 रु + 1935 रु
= 6275 रु

प्रश्न 2.
किसी घर के कंपाउंड की सामने की दीवार को 21 cm व्यास वाले लकड़ी के गोलों को छोटे आधारों पर टिका कर सजाया जाता है, जैसा कि आकृति में दिखाया गया है। इस प्रकार के आठ गोलों का प्रयोग इस कार्य के लिए किया जाना है और इन गोलों को चाँदी वाले रंग में पेंट करवाना है। प्रत्येक आधार 1.5 cm त्रिज्या और ऊँचाई 7 cm का एक बेलन है तथा इन्हें काले रंग से पेंट करवाना है। यदि चाँदी के रंग का पेंट करवाने की दर 25 पैसे प्रति cm² है तथा काले रंग का पेंट करवाने की दर 5 पैसे प्रति cm² हो, तो पेंट करवाने का कुल व्यय ज्ञात कीजिए।

हल :
मान लीजिए लकड़ी के गोले की त्रिज्या = R
∴ व्यास; 2R = 21 cm
⇒ R = \(\frac{21}{2}\) cm
मान लीजिए बेलन की त्रिज्या = r
∴ r = 1.5 cm

गोले के उस भाग का पृष्ठीय क्षेत्रफल जिस पर चाँदी वाले रंग का पेंट करवाना है।
= गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल – बेलन के ऊपरी वृत्तीय भाग का क्षेत्रफल जिन पर गोले टिकाए गए हैं।
= 4πR² – πr²
= π (4R² – r²)

ऐसे आठ गोलाकार भागों का पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 8 × 1378.928 cm²
= 11031.424 cm²
1 cm² पर चाँदी वाले रंग का पेंट करने पर व्यय = \(\frac{1}{4}\) रु
11031.424 cm² पर चाँदी वाले रंग का पेंट करने पर व्यय
= (\(\frac{1}{4}\) × 11031.424) रु
[∵ 25 पैसे = \(\frac{25}{100}\) रु
= \(\frac{1}{4}\) रु]
= 2757.85 रु
अब बेलनाकार आधार का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 πrh
[जहां h = 7 cm बेलनाकार भाग की ऊँचाई है।]
= 2 × \(\frac{22}{7} \times \frac{15}{10}\) × 7
= 66 cm²
ऐसे 8 बेलनाकार आधारों का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 66 × 8
= 528 cm²
1 cm² बेलनाकार आधार पर काला पेंट करने का व्यय = \(\frac{1}{20}\) रु
528 cm² बेलनाकार आधार पर काला पेंट करने पर व्यय
= (\(\frac{1}{20}\) × 528) रु
[∵ 5 पैसे = \(\frac{5}{100}\)
= \(\frac{1}{20}\) रु
= 26.4 रु
पेंट कराने पर कुल व्यय = 2757.85 रु० + 26.4 रु०
= 2784.25

प्रश्न 3.
एक गोले के व्यास में 25% की कमी हो जाती है। उसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल कितने प्रतिशत कम हो गया है ?
हल :
मान लीजिए कि गोले की मूल त्रिज्या = R
इसका व्यास; D = 2R
⇒ R = \(\frac{\mathrm{D}}{2}\)
मूल गोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4 πR²
= 4π(\(\frac{\mathrm{D}}{2}\))2
= 4π\(\frac{D^2}{4}\)
= πD²
प्रश्नानु सार
व्यास की कमी = 25% of D
= \(\frac{25}{100}\) D
= \(\frac{\mathrm{D}}{4}\)
अब् नए गोले का व्यास = D – \(\frac{1}{4}\)D
= \(\frac{3}{4}\)D
मान लीजिए नए गोले की त्रिज्या = r
∴ इसका व्यास; 2r = \(\frac{3}{4}\)D
⇒ R = \(\frac{3}{8}\) D
अब नये गोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr²
= 4π \(\left(\frac{3}{8} \mathrm{D}\right)^2\)
= 4π \(\left(\frac{9}{64} \mathrm{D}^2\right)\)
= \(\frac{9 \pi}{16}\)D²
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल में परिवर्तन = मूल गोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल – नए गोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
= πD – \(\frac{9}{16}\)πD²
= \(\frac{7}{16}\)πD²
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल में प्रतिशत परिवर्तन

प्रश्न 4.
समीरा अपनी बेटी का पाँचवाँ जन्मदिन एक पार्टी द्वारा मनाना चाहती है। उसके शंकु आकार की टोपियाँ बनाने के लिए मोटा कागज़ खरादा। प्रत्येक टोपी के आधार का व्यास 10 cm और ऊँचाई 12 cm. है। कागज़ की शीट (sheet) की विमाएँ 25 cm × 40 से० मी० हैं और लगभग 82% शीट कटाई के बाद प्रयोग में लाई जा सकती है। यदि पार्टी में 15 बच्चे आने हों, तो समीरा को कम से कम कितनी संख्या में कागज़ की शीटें खरीदने की आवश्यकता है ? (π = 3.14 का प्रयोग कीजिए)
हल :
मान लीजिए शंकु आकार टोपी के आधार की त्रिज्या = r
∴ व्यास; 2r = 10 cm

⇒ r = \(\frac{10}{2}\) cm
⇒ r = 5 cm
शंकु आकार टोपी की ऊँचाई = h = 12 cm
मान लीजिए शंकु की तिर्यक ऊँचाई l है
∴ l² = r² + h²
[पाइथगोरस के परिणाम का प्रयोग करने पर]
⇒ l² = 5² + 12²
= 25 + 144
⇒ l² = 169
⇒ l = \(\sqrt{169}\)
⇒ l = 13 cm
टोपी का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl
= 3.14 × 5 × 13
= 204.1 cm²
ऐसी 15 टोपियों का कुल वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
= (15 × 204.1) cm
= 3061.5 cm²
टोपी बनाने के लिए प्रयोग की जाने वाली कागज़ की शीट का क्षेत्रफल = 25 cm × 40 cm
= 1000 cm²
कटाई के बाद कागज़ का 82% टोपियां बनाने में प्रयुक्त हुआ
इसलिए 1000 cm² का 82%
= \(\frac{82}{100}\) x 1000 cm²
= 820 cm²
शीटों की संख्या
जो समीरा को खरीदने की आवश्यकता है।

वास्तव में 3.73 शीटों की आवश्यकता है।
परंतु क्योंकि पूरी शीटें खरीदी जानी हैं इसलिए समीरा को 4 शीटों की आवश्यकता है।