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Punjab State Board PSEB 8th Class Social Science Book Solutions Civics Chapter 26 मौलिक अधिकार तथा मानवीय अधिकारों के कारण मौलिक कर्त्तव्य Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 8 Social Science Civics Chapter 26 मौलिक अधिकार तथा मानवीय अधिकारों के कारण मौलिक कर्त्तव्य

SST Guide for Class 8 PSEB मौलिक अधिकार तथा मानवीय अधिकारों के कारण मौलिक कर्त्तव्य Textbook Questions and Answers

I. निम्नलिखित खाली स्थान भरो :

1. भारतीय संविधान में ………… मौलिक अधिकार शामिल किए गए हैं।
2. भारतीय संविधान में मौलिक अधिकार अनुच्छेद ……….. में दर्ज या शामिल हैं।
3. संविधान की धारा 25 ………… की मनाही करती है।
4. पहला मौलिक अधिकार …………. है।
5. प्रैस की स्वतंत्रता ………. के अधीन दी गई है।
उत्तर-

1. सात प्रकार के
2. 14-32
3. धर्म के आधार पर भेदभाव
4. समानता का अधिकतर
5. स्वतन्त्रता के अधिकार।

II. निम्नलिखित वाक्यों में ठीक (✓) या ग़लत (✗) के चिन्ह लगाओ :

1. संविधान के समक्ष हम सब समान हैं। – (✓)
2. अधिकार और कर्त्तव्य में कोई सम्बन्ध नहीं है। – (✗)
3. न्यायपालिका मौलिक अधिकारों की रक्षक है। – (✓)
4. शिक्षा का अधिकार मौलिक अधिकार है। – (✓)
5. सरकारी शिक्षा संस्थाओं में धर्म, जाति या रंग के आधार पर दाखिला देने से इन्कार किया जा सकता है। – (✗)

III. विकल्प वाले प्रश्न :

प्रश्न 1.
मुफ्त तथा आवश्यक शिक्षा क अधिकार कौन-सी कक्षा से तक लागू है ?
(क) पांचवीं
(ख) आठवीं
(ग) दसवीं
(घ) बारहवीं।
उत्तर-
(ख) आठवीं

प्रश्न 2.
मनुष्यों का व्यापार करने की मनाही किस अधिकार अधीन शामिल है ?
(क) संवैधानिक उपचारों का अधिकार
(ख) समानता का अधिकार
(ग) शोषण के विरुद्ध अधिकार
(घ) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर-
(ग) शोषण के विरुद्ध अधिकार

प्रश्न 3.
भारत में शिक्षा के अधिकार का एक्ट कब से लागू हुआ ?
(क) 4 अगस्त 2009
(ख) दिसम्बर 2002
(ग) 1 अप्रैल 2010
(घ) 1 अप्रैल 2009
उत्तर-
(घ) 1 अप्रैल 2009

प्रश्न 4.
शिक्षा का अधिकार संविधान की कौन-सी धारा के अन्तर्गत आता है ?
(क) धारा 21
(ख) धारा 21-A
(ग) धारा 20
(घ) उपरोक्त में से कोई नहीं।
उत्तर-
(ख) धारा 21-A

IV. नीचे लिखे प्रश्नों के उत्तर 1-15 शब्दों में लिखें:

प्रश्न 1.
अधिकारों से क्या अभिप्राय है ?
उत्तर-
अधिकार हमें समाज से प्राप्त सुविधाएं हैं। साधारण अर्थों में अधिकार मनुष्य की वे उचित मांगें हैं जो उसके विकास तथा कल्याण के लिए आवश्यक हैं। अधिकारों को राज्य तथा समाज की मान्यता प्राप्त होती है।

प्रश्न 2.
प्रारम्भिक अधिकार के अर्थ लिखें।
उत्तर-
मौलिक (प्रारम्भिक) अधिकार वे अधिकार हैं जिन्हें देश के संविधान में अंकित किया है। इन्हें संवैधानिक उपचारों द्वारा सुरक्षा प्रदान की गई है। ये अधिकार मनुष्य के सर्वांगीण विकास के लिए आवश्यक हैं।

प्रश्न 3.
किन्हीं दो अधिकारों से जुड़े दो कर्त्तव्य लिखो।
उत्तर-

1. कानून सभी को समान समझता है। इसलिए हमारा कर्तव्य है कि हम किसी से कोई भेदभाव न करें।
2. हमें अनेक प्रकार की स्वतन्त्रता का अधिकार प्राप्त है। इस अधिकार के साथ यह कर्त्तव्य जुड़ा हुआ है कि हम दूसरों की स्वतन्त्रताओं का ध्यान रखें।

प्राश्न 4.
संवैधानिक उपचारों के अधिकार से क्या तात्पर्य है ?
उत्तर-
संवैधानिक उपचारों के अधिकार के अनुसार राज्य किसी व्यक्ति के मौलिक अधिकार नहीं छीन सकता। यदि किसी व्यक्ति के मौलिक अधिकारों का उल्लंघन होता है तो वह व्यक्ति न्यायपालिका की शरण ले सकता है।

प्रश्न 5.
छुआछूत को किस अधिनियम द्वारा समाप्त किया गया है ?
उत्तर-
छुआछूत की समाप्ति संविधान के अनुच्छेद 17 द्वारा की गई है।

V. नीचे लिखे प्रश्नों के उत्तर 50-60 शब्दों में लिखें:

प्रश्न 1.
शिक्षा के अधिकार पर संक्षिप्त नोट लिखो।
उत्तर-
संविधान में शिक्षा का अधिकार संविधान 86वें संशोधन के अनुसार शामिल किया गया। अनुच्छेद 21-A में शामिल इस अधिकार के अनुसार 6 से 14 साल के प्रत्येक बच्चे नि:शुल्क तथा अनिवार्य शिक्षा का अधिकार दिया गया। इस बारे में 2009 में एक एक्ट (कानून) पास किया गया। यह कानून अप्रैल 2010 से जम्मू एवं कश्मीर को छोड़ कर सारे देश में यह कानून लागू हो गया। आज 6-14 वर्ष की आयु वर्ग के सभी बच्चे मुफ्त तथा अनिवार्य प्रारंभिक शिक्षा का लाभ प्राप्त कर रहे हैं।

प्रश्न 2.
संविधान में कौन-कौन से मौलिक अधिकार दर्ज हैं ?
उत्तर-
संविधान में निम्नलिखित मौलिक अधिकार दर्ज हैं(1) समानता का अधिकार (2) स्वतन्त्रता का अधिकार (3) शोषण के विरुद्ध अधिकार । (4) धार्मिक स्वतन्त्रता का अधिकार (5) सांस्कृतिक तथा शैक्षिक अधिकार (6) संवैधानिक उपचारों का अधिकार (7) शिक्षा का अधिकार।

प्रश्न 3.
अधिकार तथा कर्तव्य ‘एक सिक्के के दो पहलू’ हैं। कैसे ?
उत्तर-
अधिकार और कर्त्तव्य एक ही सिक्के के दो पहलू हैं। ये एक-दूसरे के पूरक हैं। अधिकारों के बिना कर्त्तव्यों और कर्त्तव्यों के बिना अधिकारों का कोई अर्थ नहीं रह जाता है। इसलिए प्रायः यह कहा जाता है कि एक नागरिक के अधिकार दूसरे के कर्त्तव्य हैं। यदि हम केवल अपने अधिकारों का ही प्रयोग करते हैं और अपने कर्त्तव्य नहीं निभाते हैं तो इसका अर्थ यह होगा कि हम दूसरे नागरिक के अधिकारों का हनन कर रहे हैं। उदाहरण के लिए, नागरिक को अपने जीवन की रक्षा का अधिकार प्राप्त है। अतः हमारा भी यह कर्त्तव्य है कि हम दूसरे नागरिकों के जीवन की रक्षा के विरुद्ध कार्य न करें। अतः स्पष्ट है कि अधिकारों और कर्तव्यों में गहरा सम्बन्ध है।

प्रश्न 4.
शोषण के विरुद्ध अधिकार की व्याख्या कीजिए।
उत्तर-
हमारे समाज में चिरकाल से निर्धन व्यक्तियों, स्त्रियों तथा बच्चों का शोषण होता चला आ रहा है। इसे समाप्त करने के लिए संविधान में शोषण के विरुद्ध अधिकार की व्यवस्था की गई है। इसके अनुसार –

• मनुष्यों के व्यापार और बिना वेतन दिए ज़बरदस्ती काम करवाने पर प्रतिबन्ध लगा दिया गया है। इसका उल्लंघन करने वाले को कानून के अनुसार दण्ड दिया जा सकता है।
• 14 वर्ष से कम आयु के बच्चों को कारखानों, खानों या जोखिम भरी नौकरी पर नहीं लगाया जा सकता। वास्तव में उनसे कोई ऐसा कार्य नहीं लिया जा सकता जो उनके विकास में बाधा डाले।

प्रश्न 5.
हम मौलिक अधिकारों की रक्षा कैसे कर सकते हैं?
उत्तर-
हम अपने मौलिक अधिकारों की रक्षा संवैधानिक उपचारों के अधिकारों के अधीन कर सकते हैं। इसके अनुसार यदि कोई हमारे मौलिक अधिकारों का हनन करता है तो हम उसके विरुद्ध न्यायालय में जा सकते हैं। यहां तक कि सरकार भी हमारे मौलिक अधिकारों का हनन नहीं कर सकती। न्याय संगत होने पर न्यायालय हमें हमारे अधिकार वापिस दिलाता है।

PSEB 8th Class Social Science Guide मौलिक अधिकार तथा मानवीय अधिकारों के कारण मौलिक कर्त्तव्य Important Questions and Answers

वस्तुनिष्ठ प्रश्न (Multiple Choice Questions)

सही जोड़े बनाइए:

1. अधिकार – संविधान में अंकित
2. मौलिक अधिकार – मनुष्य की उचित मांगें
3. स्वतंत्रता का अधिकार – न्यायपालिका की शरण
4. संवैधानिक उपचारों का अधिकार – विचार अभिव्यक्त करना
उत्तर-

1. मनुष्य की उचित मांगें,
2. सविधान में अंकित
3. विचार अभिव्यक्त करना
4. न्यायपालिका की शरण।

अति छोटे उत्तर वाले प्रश्न

प्रश्न 1.
भारतीय संविधान में मौलिक अधिकार किन अनुच्छेदों में अंकित हैं ? इन्हें किस आधार पर सम्मिलित किया गया है ?
उत्तर-
भारतीय संविधान में मौलिक अधिकार अनुच्छेद 14 से 32 तक अंकित हैं। संविधान में ये अधिकार संयुक्त राज्य अमेरिका के संविधान के आधार पर सम्मिलित किए गए हैं।

प्रश्न 2.
मानवीय अधिकारों से क्या तात्पर्य है ?
उत्तर-
वे अधिकार जो मनुष्य को मानवीय जीवन जीने के योग्य बनाते हैं, उन्हें मानवीय अधिकार कहा जाता है। ये अधिकार मानव को मान-सम्मान का जीवन जीने में सहायता करते हैं।

प्रश्न 3.
समानता का अधिकार क्या है ?
उत्तर-
समानता का अधिकार एक महत्त्वपूर्ण मौलिक अधिकार है। इसके अनुसार सभी व्यक्ति कानून के सामने समान हैं। किसी भी नागरिक के साथ ऊँच-नीच, धनी-निर्धन, रंग, नस्ल, जाति तथा जन्म के आधार पर भेदभाव नहीं किया जा सकता।

प्रश्न 4.
धर्म के अधिकार के साथ कौन-सा कर्त्तव्य जुड़ा हुआ है ?
उत्तर-
धर्म के अधिकार को बनाये रखने के लिए हमें किसी धर्म तथा धार्मिक स्थल की निन्दा नहीं करनी चाहिए। हमारा कर्तव्य है कि हम सभी धर्मों का सम्मान करें।

प्रश्न 5.
समानता के अधिकार को बनाये रखने के लिए संविधान की धारा 15 तथा 25 में क्या-क्या कहा गया है ?
उत्तर-

• संविधान की धारा 15 के अनुसार किसी भी नागरिक के साथ धर्म, जाति, लिंग तथा नस्ल के आधार पर भेदभाव नहीं किया जा सकता।
• संविधान की धारा 25 के अनुसार किसी भी व्यक्ति के लिए धर्म के आधार पर भेदभाव करना निषेध है।

छोटे उत्तर वाले प्रश्न

प्रश्न 1.
सांस्कृतिक तथा शिक्षा के मूल अधिकार तथा इससे जुड़े कर्त्तव्य की व्याख्या कीजिए।
उत्तर-
नागरिकों को अपनी भाषा, लिपि और संस्कृति को सुरक्षित रखने का अधिकार है। भाषा या नस्ल के आधार पर किसी भी नागरिक को ऐसी शिक्षा-संस्थाओं में प्रवेश पाने से नहीं रोका जाएगा जो सरकार अथवा सरकारी सहायता द्वारा चलाई जा रही हैं।

अत: हमारा कर्त्तव्य है कि हम इस अधिकार का सम्मान करें। हमें रंग, नस्ल, जाति के आधार पर किसी को भी सरकारी शिक्षा संस्थानों में प्रवेश लेने से नहीं रोकना चाहिए। हमें चाहिए कि हम सभी की लिपि, संस्कृति, बोली तथा धर्म का सम्मान करें। राजकीय संस्थानों को सहायता देते समय भी किसी प्रकार का कोई भेदभाव न हो।

प्रश्न 2.
भारतीय नागरिक को प्राप्त किन्हीं चार मौलिक अधिकारों का वर्णन करो।
उत्तर-

1. स्वतन्त्रता का अधिकार भारतीय नागरिकों को भ्रमण करने, विचार प्रकट करने तथा व्यवसाय सम्बन्धी स्वतन्त्रता दी गई है।
2. धार्मिक स्वतन्त्रता–भारत के लोगों को किसी भी धर्म को मानने अथवा छोड़ने की स्वतन्त्रता दी गई है। वे धार्मिक संस्थाओं का निर्माण कर सकते हैं या उन्हें चला सकते हैं।
3. शिक्षा का अधिकार-भारतवासियों को किसी भी भाषा को पढ़ने तथा अपनी संस्कृति और लिपि की रक्षा का अधिकार भी प्रदान किया गया है।

समता का अधिकार-प्रत्येक नागरिक को समता का अधिकार प्रदान किया गया है और हर प्रकार के भेदभाव को मिटा दिया गया है। कोई भी व्यक्ति अपनी योग्यता के बल पर उच्च से उच्च पद प्राप्त कर सकता है।

प्रश्न 3.
अधिकारों तथा कर्तव्यों में क्या सम्बन्ध है?
उत्तर-
अधिकारों तथा कर्त्तव्य एक ही सिक्के के दो पहलू हैं। ये एक-दूसरे के साथ जुड़े हुए हैं। इन्हें एक-दूसरे से अलग नहीं किया जा सकता। एक के बिना दूसरे का कोई अर्थ नहीं है।

प्रश्न 4.
भारतीय संविधान में मौलिक अधिकार सम्मिलित क्यों किए गए हैं ?
उत्तर-
कुछ अधिकार मनुष्य के शारीरिक, मानसिक, नैतिक तथा सांस्कृतिक विकास के लिए आवश्यक हैं। इनके बिना व्यक्ति का सर्वांगीण विकास नहीं हो सकता है। इन्हें मौलिक अधिकार कहा जाता है। नागरिकों को इन अधिकारों की गारंटी देने के लिए इन्हें संविधान में सम्मिलित किया गया है। इतना ही नहीं संवैधानिक उपचारों द्वारा इन अधिकारों को सुरक्षा भी प्रदान की गई है। यदि राज्य या कोई अन्य व्यक्ति इन अधिकारों का हनन करता है, तो पीड़ित व्यक्ति न्यायालय की शरण ले सकता है।

प्रश्न 5.
धर्म की स्वतन्त्रता हमारे संविधान के अनुसार कैसे लागू की गई है ? ।
उत्तर-
हमारे संविधान में धर्म की स्वतन्त्रता को निम्नलिखित ढंग से लागू किया गया है.

• प्रत्येक व्यक्ति को अपनी इच्छा से किसी भी धर्म को मानने, उस पर आचरण करने, और उसका प्रचार करने का समान अधिकार है।
• लोग अपनी इच्छा से धार्मिक तथा परोपकारी संस्थाओं की स्थापना कर सकते हैं तथा उनका प्रबन्ध चला सकते हैं।
• किसी भी व्यक्ति को ऐसे कर देने के लिए बाध्य नहीं किया जाएगा जिनका प्रयोजन किसी धर्म विशेष का प्रचार करना है।
• शिक्षा-संस्थाओं में किसी विद्यार्थी को किसी धर्म विशेष की शिक्षा प्राप्त करने के लिए बाध्य नहीं किया जा सकता।

प्रश्न 6.
क्या अभी भी हमारे देश में रंग, नसल, धर्म तथा जाति के आधार पर भेदभाव है ?
उत्तर-
भारतीय संविधान द्वारा रंग, नसल, धर्म तथा जाति के आधार पर होने वाले भेदभाव को समाप्त कर दिया गया है, परन्तु खेद की बात यह है कि अभी इस भेदभाव को पूरी तरह समाप्त नहीं किया जा सका। आज भी अपने आप को उच्च कहने वाले लोग दूसरों से घृणा करते हैं और उनके साथ अपमानजनक व्यवहार करते हैं। अतः इसके लिए विशेष कदम उठाने की आवश्यकता है। इस प्रकार के भेदभाव के विरुद्ध जो कानून बने हैं, उन्हें सभी लोगों तक पहुँचाना आवश्यक है। इन्हें कठोरता से लागू करने की भी ज़रूरत है।

प्रश्न 7.
भारतीय नागरिक को प्राप्त किन्हीं तीन मौलिक अधिकारों का वर्णन करो।
उत्तर-

• स्वतन्त्रता का अधिकार भारतीय नागरिकों को भ्रमण करने, विचार प्रकट करने तथा व्यवसाय सम्बन्धी स्वतन्त्रता दी गई है।
• धार्मिक स्वतन्त्रता का अधिकार–भारत के लोगों को किसी भी धर्म को मानने अथवा छोड़ने की स्वतन्त्रता दी गई है। वे धार्मिक संस्थाओं का निर्माण कर सकते हैं या उन्हें चला सकते हैं।
• समानता का अधिकार प्रत्येक नागरिक को समानता का अधिकार प्रदान किया गया है और हर प्रकार के भेदभाव को मिटा दिया गया है। कोई भी व्यक्ति अपनी योग्यता के बल पर उच्च से उच्च पद प्राप्त कर सकता है।

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 10 वृत्त Ex 10.5 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 10 वृत्त Ex 10.5

प्रश्न 1.
आकृति में, केंद्र O वाले एक वृत्त पर तीन बिंदु A, B, और C इस प्रकार है कि ∠BOC = 30° तथा ∠AOB = 60° हैं। यदि चाप ABC के अतिरिक्त वृत्त पर D एक बिंदु है, तो ∠ADC ज्ञात कीजिए।

हल :
∠AOC = ∠AOB + ∠BOC
⇒ ∠AOC = 60° + 30°
⇒ ∠AOC = 90°
अब,
∠AOC = 2∠ADC
[∵ किसी चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण उसी चाप द्वारा वृत्त के शेष भाग पर अंतरित कोण का दुगुना होता है।
या ∠ADC = \(\frac{1}{2}\)∠AOC
⇒ ∠ADC = \(\frac{1}{2}\) × 90°
⇒ ∠ADC = 45°.

प्रश्न 2.
किसी वृत्त की एक जीवा वृत्त की त्रिज्या के बराबर है। जीवा दवारा लघु चाप के किसी बिंद पर अंतरित कोण ज्ञात कीजिए तथा दीर्घ चाप के किसी बिंदु पर भी अंतरित कोण ज्ञात कीजिए।
हल :

मान लीजिए AB एक लघु चाप है।
जीवा AB = त्रिज्या OA = त्रिज्या OB
∴ ΔAOB एक समबाहु त्रिभुज है।
∴ ∠AOB = 60°
[∵ समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण 60° है।]
अब m \(\widehat{\mathrm{AB}}\) + m\(\widehat{\mathrm{BA}}\) = 360°
⇒ ∠AOB + ∠BOA = 360°
⇒ 60° + ∠BOA = 360°
⇒ ∠BOA = 360° – 60°
⇒ ∠BOA = 300°
D लघु चाप पर एक बिंदु है।
∴ m\(\widehat{\mathrm{BA}}\) = 2∠BDA

⇒ ∠BOA = 2∠BDA
[∵ किसी चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण उसी चाप द्वारा वृत्त के शेष भाग पर अंतरित कोण का दुगुना होता है।]
या ∠BDA = \(\frac{1}{2}\)∠BOA
∠BDA = \(\frac{1}{2}\) × 300°
⇒ ∠BDA = 150°
अतः, लघु चाप \(\widehat{\mathrm{BA}}\) द्वारा लघु चाप के किसी बिंदु D पर अंतरित कोण 150° है।
मान लीजिए दीर्घ चाप \(\widehat{\mathrm{BA}}\) पर एक बिंदु E है।

∴ m\(\widehat{\mathrm{AB}}\) = 2∠AEB
⇒ ∠AOB = 2∠AEB
[∵ किसी चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण उसी चाप द्वारा वृत्त के शेष भाग पर अंतरित कोण का दुगुना होता है।]
या ∠AEB = \(\frac{1}{2}\)∠AOB
⇒ ∠AEB = \(\frac{1}{2}\) × 60°
⇒ ∠AEB = 30°
अतः लघु चाप \(\widehat{\mathrm{AB}}\) द्वारा दीर्घ चाप के किसी बिंदु E पर अंतरित कोण 30° है।

प्रश्न 3.
आकृति में, ∠PQR = 100°है, जहाँ P, Q तथा R केंद्र O वाले एक वृत्त पर स्थित हैं। ∠OPR ज्ञात कीजिए।

हल :
आकृति ; Q लघु चाप \(\widehat{\mathrm{PQR}}\) पर स्थित कोई बिंदु है।
∴ m\(\widehat{\mathrm{RP}}\) = 2∠PQR
⇒ ∠ROP = 2∠PQR
[∵ किसी चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण उसी चाप द्वारा वृत्त के शेष भाग पर अंतरित कोण का दुगुना होता है।]
∴ ∠ROP = 2 × 100°
⇒ ∠ROP = 200°
अब
m\(\widehat{\mathrm{PR}}\) + m\(\widehat{\mathrm{RP}}\) = 360°
⇒ ∠POR + ∠ROP = 360°
⇒ ∠POR + 200° = 360°
⇒ ∠POR = 360° – 200°
⇒ ∠POR = 160° ………(i)
अब, ΔOPR एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
∴ OP = OR (वृत्त की त्रिज्याएँ)
∴ ∠OPR = ∠ORP
(बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण) …….(ii)
अब समद्विबाहु त्रिभुज OPR में,
∠OPR + ∠ORP + ∠POR = 180°
⇒ ∠OPR + ∠OPR + 160° = 180°
[(i) और (ii) का प्रयोग करने पर]
⇒ 2∠OPR = 180° – 160°
⇒ 2∠OPR = 20°
⇒ ∠OPR = \(\frac{20^{\circ}}{2}\)
⇒ 2∠OPR = 10°

प्रश्न 4.
आकृति में, ∠ABC = 69° और ∠ACB = 31° हो, तो ∠BDC ज्ञात कीजिए।

हल :
ΔABC में,
∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°
⇒ ∠BAC + 69° + 31° = 180°
⇒ ∠BAC = 180° – 69° – 31°
⇒ ∠BAC = 80° ……..(i)
बिंदु A और D वृत्त के एक ही वृत्तखंड में है।
इसलिए, ∠BDC = ∠BAC [∵ किसी चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण उसी चाप द्वारा वृत्त के शेष भाग पर अंतरित कोण का दुगुना होता है।]
⇒ ∠BDC = 80° [(i) का प्रयोग करने पर]

प्रश्न 5.
आकृति में, एक वृत्त पर A, B, C और D चार बिंदु हैं। AC और BD एक बिंदु E पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि ∠BEC = 130° और ∠ECD = 20° हैं। ∠BAC ज्ञात कीजिए।

हल :
आकृति के अनुसार ∠CED + ∠BEC = 180° (रैखिक युग्म)
⇒ ∠CED + 130° = 180°
⇒ ∠CED = 180° – 130°
⇒ ∠CED = 50°… (i)
∠AEB = ∠CED (शीर्षाभिमुख कोण)
∠AEB = 50° [(i) का प्रयोग करने पर]
अब,
∠ABD = ∠ACD
[चाप AD द्वारा एक ही वृत्तखंड में अंतरित कोण बराबर होते हैं।]
⇒ ∠ABD = 20°
[∵ ∠ACD = 20° (दिया है)]
अब, ΔAEB में,
∠BAE + ∠ABE + ∠AEB = 180°
[त्रिभुज का कोण योग गुण]
⇒ ∠BAE + 20° + 50° = 180°
⇒ ∠BAE = 180° – 20° – 50°
⇒ ∠BAE = 110°
या ∠BAE = 110°

प्रश्न 6.
ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है जिसके विकर्ण एक बिंदु E पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि ∠DBC = 70° और ∠BAC = 30° हो, तो ∠BCD ज्ञात कीजिए। पुनः, यदि AB = BC हो, तो ∠ECD ज्ञात कीजिए।
हल :

∠BDC = ∠BAC
[एक ही वृत्तखंड के कोण]
∠BDC = 30° (∵ ∠BAC = 30°)
ΔBCD में,
⇒ ∠BCD + ∠DBC + ∠BDC = 180°
⇒ ∠BCD + 70° + 30° = 180°
[∵ ∠DBC = 70°]
⇒ ∠BCD = 180° – 70° – 30°
⇒ ∠BCD = 80° ……(i)
यदि AB = BC
तो ΔABC में;
∠ACB = ∠BAC
(त्रिभुज की बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।).
⇒ ∠ACB = 30° …….(ii)
अब
∠BCD = ∠ACB + ∠ACD
⇒ 80° = 30° + ∠ACD
[(i) और (ii) का प्रयोग करने पर]
⇒ 80° – 30° = ∠ACD
⇒ 50° = ∠ACD
या, ∠ACD = 50°
या, ∠ECD = 50°

प्रश्न 7.
यदि एक चक्रीय चतुर्भुज के विकर्ण उसके शीर्षों से जाने वाले वृत्त के व्यास हों, तो सिद्ध कीजिए कि वह एक आयत है।
हल :

AC एक व्यास है।
∴ ∠B = ∠D = 90° ……(1)
(अर्धवृत्त में कोण समकोण होता है।)
इसी प्रकार BD व्यास है।
∴ ∠A = ∠C = 90° …(2)
अब, व्यास
AC = BD
⇒ \(\overparen{\mathrm{AC}}\) ≅ \(\overparen{\mathrm{BD}}\)
(बराबर जीवाओं की सम्मुख चापें)
\(\overparen{\mathrm{AC}}\) – \(\overparen{\mathrm{DC}}\) ≅ \(\overparen{\mathrm{BD}}\) – \(\overparen{\mathrm{DC}}\)
⇒ \(\overparen{\mathrm{AD}}\) ≅ \(\overparen{\mathrm{BC}}\)
⇒ AD = BC
(बराबर चापों को सम्मुख जीवाएँ ) ….. (3)
इसी प्रकार AB = DC ….. (4)
(1), (2), (3) और (4) में हम देखते हैं कि चतुर्भुज का प्रत्येक कोण 90° का है और सम्मुख भुजाएँ बराबर है।
अतः, ABCD एक आयत है।

प्रश्न 8.
यदि एक समलंब की असमांतर भुजाएँ बराबर हैं, तो सिद्ध कीजिए कि वह चक्रीय है।
हल :
दिया है : एक समलंब ABCD जिसमें AB || CD और AD = BC है।

सिद्ध करना है : बिंदु A, B, C, D चक्रीय है। (अर्थात् ABCD चक्रीय समलंब है)
रचना : DE || CB खींचिए।
उपपत्ति : DE || CB और EB || DC.
∴ EBCD एक समांतर चतुर्भुज है।
∴ DE = CB और CDEB = LDCB.
∵ समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
अब, ∵ AD = BC और BC = DE
∴ DA = DE ⇒ ∠DAE = ∠DEA.
[∵ त्रिभुज की बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं]
परंतु ∠DEA + ∠DEB = 180° … ( रैखिक युग्म)
⇒ ∠DAE + ∠DCB = 180°
[∵ ∠DEA = ∠DAE और ∠DEB = ∠DCB] (ऊपर प्रमाणित)
⇒ ∠DAB + ∠DCB = 180° …….(1)
⇒ ∠A + ∠C = 180°
अतः, ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है।
[∵ चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण संपूरक होते हैं जैसा कि परिणाम (1) है।]

प्रश्न 9.
दो वृत्त बिंदुओं B और C पर प्रतिच्छेद करते हैं। B से जाने वाले दो रेखाखंड ABD और PBQ वृत्तों को A, D और P, Q पर क्रमशः प्रतिच्छेद करते हुए खींचे गए हैं (देखिए आकृति)। सिद्ध कीजिए कि ∠ACP = ∠QCD है।

हल :

वृत्त I की चाप एक ही वृत्त खण्ड में ∠1 और ∠2 अंतरित करती है।
∴ ∠1 = ∠2
[एक ही वृत्त खण्ड के कोण बराबर होते हैं।]
चाप BC वृत्त II के एक ही वृत्तखण्ड में ∠3 और ∠4 अंतरित करती है।
∴ ∠3 = ∠4 [उपरोक्त कारण ही]
अब, ΔACD में,
∠A + ∠C + ∠D = 180° [त्रिभुज का कोण योग गुण]
∠1 + ∠5 + ∠6 + ∠3 = 180° … (i)
ΔPCQ में,
∠P + ∠C + ∠Q = 180°
[त्रिभुज का कोण योग गुण]
⇒ ∠2 + ∠5 + ∠7 + ∠4 = 180° ….. (ii)
(i) और (ii) से,
∠1 + ∠5 + ∠6 + ∠3 = ∠2 + ∠5 + ∠7 + ∠4 ……. (iii)
परंतु ∠1 = ∠2 और ∠3 = ∠4 (ऊपर प्रमाणित)
∴ (iii) से हमें प्राप्त होता है :
∠1 + ∠5 + ∠6 + ∠3 = ∠1 + ∠5 + ∠7 + ∠3
⇒ ∠6 = ∠7
या ∠ACP = ∠QCD इति सिद्धम

प्रश्न 10.
यदि किसी त्रिभुज की दो भुजाओं को व्यास मानकर वृत्त खींचे जाएं, तो सिद्ध कीजिए कि इन | वृत्तों का प्रतिच्छेद बिंदु तीसरी भुजा पर स्थित है।
हल :
दिया है : दो वृत्त एक दूसरे को बिंदुओं A और B प्रतिच्छेद करते हैं। AP और AQ उनके व्यास हैं।

सिद्ध करना है : बिंदु B, तीसरी भुजा PQ पर स्थित है।
रचना : A और B को मिलाइए।
उपपत्ति : AP व्यास है।
∴ ∠1 = 90° (अर्धवृत्त का कोण)
साथ ही, AQ व्यास है।
∴ ∠2 = 90° (अर्धवृत्त का कोण)
∠1 + ∠2 = 90° + 90°
⇒ ∠PBQ = 180°
⇒ PBQ एक सरल रेखा है
अतः, B अर्थात् इन वृत्तों का प्रतिच्छेद बिंदु तीसरी भुजा अर्थात् PQ पर स्थित है।

प्रश्न 11.
उभयनिष्ठ कर्ण AC वाले दो समकोण त्रिभुज ABC और ADC है। सिद्ध कीजिए कि ∠CAD = ∠CBD है।
हल:

दिया है कि दो समकोण त्रिभुज ABC और ADC जिनमें B और D पर क्रमशः समकोण हैं।
∴ ∠ABC = ∠ADC (प्रत्येक 90°)
यदि हम AC (उभयनिष्ठ कर्ण) व्यास लेकर एक वृत्त खींचे तो यह निश्चित रूप से बिंदुओं B और D में से होकर जाएगा।
[क्योंकि B और D वे बिंदु है जो चाप AC के एकांतर खंडों में हैं।]
अब, \(\overparen{\mathrm{CD}}\) एक ही वृत्तखंड में ∠CBD और ∠CAD अंतरित करती है।
∴ ∠CAD = ∠CBD (इति सिद्धम)

प्रश्न 12.
सिद्ध कीजिए कि एक चक्रीय समांतर चतुर्भुज आयत होता है।
हल :
मान लीजिए ABCD एक चक्रीय समांतर चतुर्भुज है। यह सिद्ध करने के लिए कि यह एक आयत है इतना ही सिद्ध करना पर्याप्त है कि समांतर चतुर्भुज का एक कोण समकोण है।

अब, ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।
⇒ ∠B = ∠D …….(i)
[∵ समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।]
साथ ही, ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है।
⇒ ∠B + ∠D = 180° …….(ii)
(i) और (ii) से हमें प्राप्त होता है :
∠B + ∠B = 180°
⇒ ∠2B = 180°
⇒ ∠B = 90°
इसलिए, ∠B = ∠D = 90°
अतः, ABCD एक आयत है।

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 10 वृत्त Ex 10.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 10 वृत्त Ex 10.4

प्रश्न 1.
5 cm तथा 3 cm त्रिज्या वाले दो वृत्त दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं तथा उनके केंद्रों के बीच की दूरी 4 cm है। उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए दो वृत्त जिनके केंद्र O और O’ हैं, परस्पर बिंदुओं A और B पर प्रतिच्छेद करते हैं। A और B को मिलाने पर, AB उभयनिष्ठ जीवा है।

त्रिज्या OA = 5 cm, त्रिज्या O’A = 3 cm,
उनके केंद्रों के बीच की दूरी OO’ = 4 cm
हम देखते हैं कि त्रिभुज AOO’ में ;
5² = 4² + 3²
⇒ 25 = 16 + 9
⇒ 25 = 25
ΔAO’O में पाइथागोरस का परिणाम संतुष्ट होता है।
अतः, ΔAO’O एक समकोण त्रिभुज है जिसमें O’ पर समकोण है।
जैसा कि हम जानते हैं कि वृत्त के केंद्र से जीवा पर गिराया गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।
अतः O जीवा AB का मध्य-बिंदु है। साथ ही O’ वृत्त II का केंद्र है।
इसलिए जीवा AB की लंबाई = वृत्त II का व्यास
∴ जीवा AB की लंबाई = 2 × 3 cm
= 6 cm.

वैकल्पिक

मान लीजिए दो वृत्त, जिनके केंद्र O और O’ हैं, परस्पर बिंदुओं A और B पर प्रतिच्छेद करते हैं।
मान लीजिए उभयनिष्ठ जीवा AB, OO’ को C पर प्रतिच्छेद करती है।
मान लीजिए OC = x cm
∴ O’C = 4 – x cm
जैसा कि हम जानते हैं कि दो वृत्तों के केंद्रों को मिलाने वाली रेखा वृत्तों को उभयनिष्ठ जीवा का लंब समद्विभाजक होते हैं।
∴ समकोण ΔOCA में,
AC² + OC² = OA²
[पाइथागोरस के परिणाम का प्रयोग करके
⇒ AC² + x² = 5²
⇒ AC² = 25 – x² ……(i)
इसी प्रकार ΔACO’ में,
AC² + O’C² = AO²
⇒ AC² + (4 – x)² = 3²
⇒ AC² = 9 – (4 – x) …..(ii)
(i) और (ii) से हमें प्राप्त होता है :
25 – x² = 9 – (4 – x)²
⇒ 25 – x² = 9 – (16 + x² – 8x)
⇒ 25 – x² = 9 – 16 – x² + 8x
⇒ – 8x = 9 – 16 – 25 – x² + x²
⇒ – 8x = – 32
⇒ x = 4
∴ CO’ = 4 – x
⇒ CO’ = 4 – 4
⇒ CO’ = 0
इसका अर्थ है कि O’, C के साथ संपाती है।
∴ AC = त्रिज्या AO’ = 3 cm
जीवा AB की लंबाई = केंद्र O’ वाले वृत्त का व्यास
जीवा AB की लंबाई = 2 × AO’
= 2 × AC
= 2 × 3
= 6 cm.

प्रश्न 2.
यदि एक वृत्त की दो समान जीवाएँ वृत्त के अंदर प्रतिच्छेद करें, तो सिद्ध कीजिए कि एक जीवा के खंड दूसरी जीवा के संगत खंडों के बराबर हैं।
हल :
मान लीजिए एक वृत्त जिसका केंद्र O है, की दो समान जीवाएँ AB तथा CD वृत्त के अंदर E पर प्रतिच्छेद करती हैं।
हमने सिद्ध करना है कि
(a) AE = CE
(b) BE = DE.
रचना : OM⊥AB, ON⊥CD खींचिए OE को मिलाइए।

उपपत्ति : समकोण ΔOME और समकोण ΔONE
∠OME = ∠ONE (प्रत्येक 90°)
OM = ON [∵ समान जीवाएँ वृत्त के केंद्र से समदूरस्थ होगी।
कर्ण OE = कर्ण OE (उभयनिष्ठ)
∴ ΔΟΜΕ ≅ ΔΟΝΕ
[R.H.S. सर्वांगसमता नियम]
∴ ME = NE
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग) ….(i)
अब ; O वृत्त का केंद्र है और
OM ⊥ AB
∴ AM = \(\frac{1}{2}\)AB
[∵ वृत्त के केंद्र से जीवा पर लंब जीव को समद्विभाजित करता है।] …(ii)
इसी प्रकार, NC = \(\frac{1}{2}\)CD ….(iii)
परंतु AB = CD (दिया है)
(ii) और (iii) से हमें प्राप्त होता है
AM = NC ….(iv) साथ ही,
MB = DN ….(v)
(i) और (iv) को जोड़ने पर हमें प्राप्त होता है :
AM + ME = NC + NE
⇒ AE = CE भाग (a) सिद्ध हुआ
अब AB = CD (दिया है)
AE = CE (ऊपर सिद्ध किया है)
AB – AE = CD – CE
⇒ BE = DE भाग (b) सिद्ध हुआ

प्रश्न 3.
यदि एक वृत्त की दो समान जीवाएँ वृत्त के अंदर प्रतिच्छेद करें, तो सिद्ध कीजिए कि प्रतिच्छेद बिंदु को केंद्र से मिलाने वाली रेखा जीवाओं से बराबर कोण बनाती है।
हल :
मान लीजिए एक वृत्त जिसका केंद्र O है, की दो समान जीवाएँ AB तथा CD वृत्त के अंदर E पर प्रतिच्छेद करती हैं। हमने सिद्ध करना है कि
∠OEM = ∠OEN.
रचना : OM ⊥ AB, ON ⊥ CD खींचिए। OE को मिलाइए।

उपपत्ति : समकोण त्रिभुजों OME और ONE में,
∠OME = ∠ONE (प्रत्येक 90°)
OM = ON
[∵ वृत्त की समान जीवाएँ केंद्र से समदूरस्थ होती हैं।]
कर्ण OE = कर्ण OE (उभयनिष्ठ)
∴ ΔOME ≅ ΔONE
[R.H.S. सर्वांगसमता नियम]
∴ ∠OEM = ∠OEN
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)

प्रश्न 4.
यदि एक रेखा दो संकेंद्री वृत्तों (एक ही केंद्र वाले वृत्त) को जिनका केंद्र O है, A, B, C और D पर प्रतिच्छेद करे, तो सिद्ध कीजिए AB = CD है (देखिए आकृति)।
हल :
एक रेखा l दो संकेंद्रीय वृत्तों को, जिनका केंद्र O है, A, B, C और D पर प्रतिच्छेद करती है।
हमने सिद्ध करना है कि
AB = CD

रचना : OL ⊥ l खींचिए
उपपत्ति : AD बाह्य वृत्त की जीवा है
और OL ⊥ AD
∴ AL = LD
[∵ केंद्र से खींचा गया लंब, जीवा को समद्विभाजित करता है।] …..(i)
अब ; BC अंत: वृत्त की जीवा है और OL ⊥ BC.
∴ BL = LC
[∵ केंद्र से खींचा गया लंब, जीवा को समद्विभाजित करता है। …(ii)
(ii) को (i), में से घटाने पर हमें प्राप्त होता है।
AL – BL = LD – LC
⇒ AB = CD (इति सिद्धम्)

प्रश्न 5.
एक पार्क में बने 5 मी त्रिज्या वाले वृत्त पर खड़ी तीन लड़कियाँ रेशमा, सलमा एवं मनदीप खेल रही हैं। रेशमा एक गेंद को सलमा के पास, सलमा मनदीप के पास तथा मनदीप रेशमा के पास फेंकती हैं। यदि रेशमा तथा सलमा के बीच और सलमा तथा मनदीप के बीच की प्रत्येक दूरी 6 m हो, तो रेशमा और मनदीप के बीच की दूरी क्या है ?
हल :
मान लीजिए रेशमा, सलमा और मनदीप की स्थिति को बिंदुओं A, B और C से दर्शाया गया है।
दिया गया है कि रेशमा और सलमा के बीच की दूरी 6 मी है तथा सलमा और मनदीप के बीच की दूरी भी 6 मी है। इसका अर्थ है कि :
AB = BC = 6 मी
∴ वृत्त का केंद्र ∠BAC के समद्विभाजक पर स्थित है।
मान लीजिए कि M, BC और OA का प्रतिच्छेद बिंदु है।
पुनः क्योंकि AB= BC
और AM, ∠CAB को समद्विभाजित करता है
∴ AM⊥CB और M, CB का मध्य बिंदु है।
मान लीजिए OM = x
तब MA = 5 – x
अब, समकोण ΔOMB से
⇒ OB² = OM² + MB²
5² = x² + MB²

पुन: समकोण ΔAMB से,
AB² = AM² + MB²
⇒ 6² = (5 – x)² + MB ….(2)
(1) और (2) से MB² के मूल्य को बराबर करने से हमें प्राप्त होता है :
5² – x² = 6² – (5 – x)²
⇒ (5 – x)² – x² = 6² – 5²
⇒ (25 – 10x + x²) – x² = 36 – 253
⇒ 25 – 10x + x² – x² = 11
⇒ -10x = 11 – 25
⇒ -10x = -14
⇒ x = \(\frac{14}{10}\)
अतः, (i) से,
MB² = 5² – x²

∴ BC = 2MB = 2 × 4.8 = 9.6 मी
अतः, रेशमा और मनदीप के बीच की दूरी 9.6 मी है।

प्रश्न 6.
20 m त्रिज्या का एक गोल पार्क (वृत्ताकार) एक कालोनी में स्थित है। तीन लड़के अंकुर, सैय्यद तथा डेविड उसकी परिसीमा पर बराबर दूरी पर बैठे हैं और प्रत्येक के हाथ में एक खिलौना टेलीफोन आपस में बात करने के लिए हैं। प्रत्येक फोन की डोरी की लंबाई ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए तीनों लड़कों अंकुर, सैय्यद तथा डेविड की स्थिति को बिंदुओं A, B और C से दर्शाया गया है।
तीनों बिंदु स मान दूरी पर हैं।
∴ AB = BC = AC = a m (माना)

समबाहु त्रिभुज की समान भुजाएँ वृत्त की समान जीवाएँ । हैं और वृत्त की समान जीवाएँ केंद्र से समदूरस्थ होती हैं।
∴ OD = OE = OF = x m (माना)
OA, OB और OC को मिलाइए।
अब, हमारे पास तीन सर्वांगसम त्रिभुजें हैं।
ΔOAB, ΔOBC और ΔAOC
∴ ar (ΔAOB) = ar (ΔBOC)
= ar (ΔAOC) …(i)
अब, a भुजा वाली समबाहु ΔABC का क्षेत्रफल
= ar (ΔAOB) + ar (ΔBOC) + ar (ΔAOC) …(ii)
⇒ ar (ΔABC) = 3ar (ΔBOC)
[(i) को (ii) में प्रयोग करने पर]

OE ⊥ BC
∴ BE = EC = \(\frac{1}{2}\)BC
[∵ केंद्र से खींचा गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।]
BE = EC = \(\frac{1}{2}\)a
BE = EC = \(\frac{1}{2}\)(2\(\sqrt{3}\)x)
[(iii) को प्रयोग करने पर]
⇒ BE = EC = \(\sqrt{3}\)x
अब, समकोण ΔBEO में,
OE² + BE² = OB² (पाइथागोरस प्रमेय)
⇒ x² + (\(\sqrt{3}\)x²) = 20²
⇒ x² + 3x² = 400
4x² = 400
⇒ x² = \(\frac{400}{4}\)
⇒ x² = 100
⇒ x = \(\sqrt{100}\)
⇒ x = 10 m …(iv)
अब (iii) से हमें प्राप्त होता हैं।
a = 2\(\sqrt{3}\)x
⇒ a = 2\(\sqrt{3}\) × 10 मी
[(iv) का प्रयोग करने पर]
⇒ a = 20\(\sqrt{3}\) मी
अतः, किन्हीं दो लड़कों के बीच की दूरी 20\(\sqrt{3}\) मी है।

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 10 वृत्त Ex 10.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 10 वृत्त Ex 10.3

प्रश्न 1.
वृत्तों के कई जोड़े (युग्म ) खींचिए। प्रत्येक जोड़े में कितने बिंदु उभयनिष्ठ हैं ? उभयनिष्ठ बिंदुओं की अधिकतम संख्या क्या है ?
हल :

आकृति से हम देखते हैं कि जब वृत्तों के विभिन्न युग्म हम खींचते हैं; हरेक युग्म में दो बिंदु (मान लीजिए A और B) उभयनिष्ठ हैं।
उभयनिष्ठ बिंदुओं की अधिकतम संख्या दो है।
मान लीजिए कि दो वृत्त C (O, r) और C (O’ s) परस्पर बिंदु तीन बिंदुओं A, B और C पर प्रतिच्छेद करते हैं।
तब A, B और C असरेख बिंदु हैं।

हम जानते हैं कि तीन असरेख बिंदुओं से होकर एक और केवल एक वृत्त जाता है। इसलिए A, B और C से एक अद्वितीय वृत्त गुजरता है।
⇒ O’O के साथ संपाती है और
जो कि तथ्य का अंतर्विरोध है।
C(O’, s) ≠ C(O, r)
∴ हमारी कल्पना गलत है।
इसलिए दो भिन्न वृत्त एक दूसरे को दो से अधिक बिंदुओं पर प्रतिच्छेदित नहीं कर सकते हैं।

प्रश्न 2.
मान लीजिए आपको एक वृत्त दिया है। एक रचना इसके केंद्र को ज्ञात करने के लिए दीजिए।
हल :
रचना के चरण :
1. वृत्त पर कोई तीन बिंदु A, B और C लीजिए।
2. AB और BC को मिलाइए।
3. AB का लंब समद्विभाजक LM खींचिए।

4. BC का लंब समद्विभाजक PQ खींचिए।
5. मान लीजिए LM और PQ बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं।
तब O वृत्त का केंद्र है।

सत्यापन :
O, AB के लंब समद्विभाजक पर स्थित है।
∴ OA = OB ……. (i)
O, BC के लंब समद्विभाजक पर स्थित है।
∴ OB = OC …… (ii)
(i) और (ii) से हम देखते हैं कि
OA = OB = OC = r (माना)
तीन सरेख बिंदु A, B और C वृत्त के अंदर स्थिति बिंदु O से बराबर दूरी (r) पर हैं
अतः, O वृत्त का केंद्र है।

प्रश्न 3.
यदि दो वृत्त, परस्पर दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करें, तो सिद्ध कीजिए कि उनके केंद्र उभयनिष्ठ जीवा के लंब समद्विभाजक पर स्थित हैं।
हल :
उपपत्ति- मान लीजिए दो वृत्त C (O, r) और C (O’, s) A और B पर प्रतिच्छेद करते हैं। हमने सिद्ध करना है कि OO’ जीवा AB का लंब समद्विभाजक है। इसके लिए हम OA, OB, O’A और O’B को मिलाते हैं (देखिए आकृति)

त्रिभुजों OAO’ और OBO’ में,
OA = OB = r
O’A = O’B = s
और OO’ = OO’
∴ ΔOAO’ ≅ ΔOBO’ (SSS अभिगृहीत)
∴ ∠AOO’ = ∠BOO’
मान लीजिए AB और OO’ का प्रतिच्छेदित बिंदु M है। तब त्रिभुजों AOM और BOM में,
OA = OB
∠AOM = ∠BOM
(∵ ∠AOO’ = ∠AOM और ∠BOO’ = ∠BOM)
और OM = OM
∴ ΔAOM ≅ ΔBOM (SAS अभिगृहीत)
∴ AM = MB …… (i)
और ∠AMO = ∠BMO …… (ii)
अब, ∠AMO + ∠BMO = 180°
(रैखिक युग्म अभिगृहीत)
⇒ ∠AMO + ∠AMO = 180°
⇒ 2∠AMO = 180°
⇒ ∠AMO = \(\frac{180^{\circ}}{2}\)
⇒ ∠AMO = 90°
साथ ही, ∠BMO = 90°
(∵ ∠AMO = ∠BMO)
अब हमें प्राप्त है
AM = MB
∠AMO = ∠BMO = 90°
इससे सिद्ध होता है कि केंद्रों O और O’ को मिलाने वाली रेखा उभयनिष्ठ जीवा के लंब समद्विभाजक पर स्थित है।

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 10 वृत्त Ex 10.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 10 वृत्त Ex 10.2

प्रश्न 1.
याद कीजिए कि दो वृत्त सर्वांगसम होते हैं, यदि उनकी त्रिज्याएँ बराबर हों। सिद्ध कीजिए कि सर्वांगसम वृत्तों की बराबर जीवाएँ उनके केंद्रों पर बराबर कोण अंतरित करती हैं।
हल :
दो वृत्त सर्वांगसम कहे जाते हैं यदि उनमें से एक को दूसरे के ऊपर रखने पर वे एक-दूसरे को पूर्णतया ढक लें।
मान लीजिए C(O, r) और C(O’, s) दो वृत्त हैं। मान लीजिए वृत्त C(O’, s) को C(O, r) के ऊपर इस प्रकार रखते हैं कि O’, O को ढक ले। तब हम सुमगता से देख सकते हैं कि वृत्त C(O’, s) वृत्त C(O, r) को पूर्णतया ढक लेता है। यदि r = s.
अतः, हम कह सकते हैं कि दो वृत्त सर्वांगसम होते हैं यदि उनकी त्रिज्याएँ बराबर हों।
अब, इस धारणा का प्रयोग करते हुए हमने सिद्ध करना है कि दो सर्वांगसम वृत्तों की जीवाएं केंद्र पर बराबर कोण अंतरित करती हैं। इसे इस प्रकार सिद्ध कर सकते हैं :

दिया है : PQ और RS सर्वांगसम वृत्तों C(O, r) और C'(O’ r) की बराबर जीवाएँ हैं।

सिद्ध करना है : ∠POQ = ∠RO’S
उपपत्ति : त्रिभुजों POQ और RO’S में,
(देखिए आकृति)
OP = OQ = O’R = O’S
= r (त्रिज्या) PQ = RS (दिया है)
∴ ΔPOQ ≅ ΔRO’S
(SSS सर्वांगसमता नियम)
∴ ∠POQ = ∠RO’S
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)

प्रश्न 2.
सिद्ध कीजिए कि यदि सर्वांगसम वृत्तों की जीवाएँ उनके केंद्रों पर बराबर कोण अंतरित करें, तो जीवाएँ बराबर होती हैं।
हल :
दिया है : दो जीवाएँ PQ और RS इस प्रकार हैं कि | दो सर्वांगसम वृत्तों C(O, r) और C'(O’, r)
∠POQ = ∠RO’S
सिद्ध करना है : PQ = RS
उपपत्ति: ΔPOQ और ΔRO’S में, (आकृति देखिए)

OP = OQ = O’R = O’S = r (त्रिज्या)
∠POQ = ∠RO’S (दिया है)
∴ ΔPOQ ≅ ΔRO’S
(SAS सर्वांगसमता नियम)
∴ PQ = RS
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 10 वृत्त Ex 10.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 10 वृत्त Ex 10.1

प्रश्न 1.
खाली स्थान भरिए :
(i) वृत्त का केंद्र वृत्त के ……………… में स्थित है। (बर्हि भाग/अभ्यंतर)
(ii) एक बिंद, जिसकी वृत्त के केंद्र से दूरी त्रिज्या से अधिक हो, वृत्त के ……………. में स्थिर होता है। (बर्हिभाग/अभ्यंतर)
(iii) वृत्त की सबसे बड़ी जीवा वृत्त का …………… होता है।
(iv) एक चाप ………………. होता है, जब इसके सिरे एक व्यास के सिरे हों।
(v) वृत्ताखंड एक चाप तथा ……………….. के बीच का भाग होता है।
(vi) एक वृत्त, जिस तल पर स्थित है, उसे ………………… भागों में विभाजित करता है।
हल :
(i) अभ्यंतर
(ii) बर्हिभाग
(iii) व्यास
(iv) अर्धवृत्त
(v) जीवा
(vi) तीन।

प्रश्न 2.
लिखिए, सत्य या असत्य। अपने उत्तर के कारण दीजिए :
(i) केंद्र को वृत्त पर किसी बिंदु से मिलाने वाला रेखाखंड वृत्त की त्रिज्या होती है।
(ii) एक वृत्त में समान लंबाई की परिमित जीवाएँ होती हैं।
(iii) यदि एक वृत्त को तीन बराबर चापों में बांट दिया जाए, तो प्रत्येक भाग दीर्घ चाप होता है।
(iv) वृत्त की एक जीवा, जिसकी लंबाई त्रिज्या से दो गुनी हो, वृत्त का व्यास है।
(v) त्रिज्यखंड, जीवा एवं संगत चाप के बीच का क्षेत्र होता है।
(vi) वृत्त एक समतल आकृति है।
हल :
(i) सत्य
(ii) असत्य
सही कथन : एक वृत्त में समान लंबाई की अपरिमित जीवाएँ होती हैं।
(iii) असत्य
(iv) सत्य
(v) असत्य
सही कथन : वृत्त का वृत्तखंड जीवा एवं संगत चाप के बीच का क्षेत्र होता है।
(vi) सत्य

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 11 रचनाएँ MCQ Questions with Answers.

PSEB 9th Class Maths Chapter 11 रचनाएँ MCQ Questions

बहुविकल्पीय प्रश्न :

दिये गए चार विकल्पों में से सही उत्तर का चयन करें।

प्रश्न 1.
सेट-स्कवायर के युग्म में एक के कोण होते हैं :
(A) 30°, 60°, 90°
(B) 30°, 30°, 45°
(C) 75°, 25°, 80°
(D) 65°, 15°, 100°.
उत्तर:
(A) 30°, 60°, 90°

प्रश्न 2.
सेट-स्कवायर के युग्म में दूसरे के कोण होते हैं :
(A) 45°, 45°, 90°
(B) 30°, 50°, 100°
(C) 60°, 60°, 60°
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर:
(A) 45°, 45°, 90°

प्रश्न 3.
किसी रेखाखंड AB का लंब समद्विभाजक खींचने के लिए हम चाप लगाने के लिए परकार-
(A) \(\frac{1}{2}\)AB से अधिक खोलते हैं
(B) \(\frac{1}{2}\)AB से कम खोलते हैं
(C) AB के बराबर खोलते हैं
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर:
(A) \(\frac{1}{2}\)AB से अधिक खोलते हैं

प्रश्न 4.
22\(\frac{1}{2}\)° के कोण की रचना करने के लिए हम-
(A) 60° के कोण का समद्विभाजन करते हैं।
(B) 30° के कोण का समद्विभाजन करते हैं।
(C) 45° के कोण का समदविभाजन करते हैं।
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर:
(C) 45° के कोण का समदविभाजन करते हैं।

प्रश्न 5.
किसी त्रिभुज की रचना के लिए उसके कम-से कम ……….. भाग दिए होने चाहिएं।
(A) दो
(B) एक
(C) तीन
(D) पाँच।
उत्तर:
(C) तीन

प्रश्न 6.
निम्न में किस स्थिति में त्रिभुज की रचना सम्भव नहीं है ?
(A) यदि दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण न दिया हो ?
(B) यदि दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण दिया हो
(C) तीनों भुजाएँ दी गई हों।
(D) दो कोण और बीच की भुजाएँ दी गई हों।
उत्तर:
(A) यदि दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण न दिया हो ?

प्रश्न 7.
त्रिभुज ABC की रचना सम्भव नहीं होगी यदि-
(A) AB + AC < BC
(B) AB + AC = BC
(C) A और B दोनों
(D) AB + AC > BC.
उत्तर:
(C) A और B दोनों

प्रश्न 8.
पटरी और परकर की सहायता से निम्नलिखित कोण की रचना करना संभव नहीं है-
(A) 37.5°
(B) 40°
(C) 22.5°
(D) 67.5°.
उत्तर:
(B) 40°

प्रश्न 9.
एक त्रिभुज ABC, जिसमें BC = 6 cm और ∠B = 45° दिया है,की रचना संभव नहीं है, यदि AB और AC का अंतर है-
(A) 6.9 cm
(B) 5.2 cm
(C) 5.0 cm
(D) 4.0 cm.
उत्तर:
(A) 6.9 cm

प्रश्न 10.
एक त्रिभुज ABC, जिसमें BC = 3 cm और ∠C = 60° है, की रचना संभव है जब AB और AC अंतर बराबर है-
(A) 3.2 cm
(B) 3.1 cm
(C) 3 cm
(D) 2.8 cm.
उत्तर:
(D) 2.8 cm.

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 11 रचनाएँ Ex 11.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 11 रचनाएँ Ex 11.2

प्रश्न 1.
एक त्रिभुज ABC की रचना कीजिए, जिसमें BC = 7 cm, ∠B = 75° और AB + AC = 13 cm हो।
हल :
दिया है : आधार BC = 7 cm, ∠B = 75° और दो भुजाओं का योग AB + AC = 13 cm है।
अभीष्ट है : ΔABC की रचना करनी।
रचना के चरण :
1. किरण BX खींचिए और इसमें से BC = 7 cm काटिए।

2. B पर ∠YBX = 75° की रचना कीजिए।
3. B को केंद्र मानकर और त्रिज्या = 13 cm
(∵ AB + AC = 13 cm) लेकर एक चाप खींचिए जो BY को D पर मिलता है।
4. CD को मिलाइए।
5. CD का लंब समद्विभाजक PQ खींचिए जो BD को A पर प्रतिच्छेद करते हैं।
6. AC को मिलाइए।
तब ABC अभीष्ट त्रिभुज है।
A, CD के लंब समद्विभाजक पर स्थित है :
∴ AC = AD और तब
AB = BD – AD
⇒ AB = BD – AC
⇒ AB + AC = BD = 13 cm.
(जो कि सत्य है जैसा कि दिया है।)

प्रश्न 2.
एक त्रिभुज ABC की रचना कीजिए, जिसमें BC = 8 cm., ∠B = 45° और AB – AC = 3.5 cm हो।
हल :
दिया है : आधार BC = 8 cm
एक आधार कोण LB = 45°
और दो भुजाओं में अंतर
AB – AC = 3.5 cm
अभीष्ट है : AABC की रचना करनी।
रचना के चरण :
1. किरण BX खींचिए और इसमें से रेखाखंड BC = 8 cm काटिए।

2. ∠YBC = 45° बनाइए।
3. BY में से रेखाखंड BD = 3.5 cm काटिए।
(∵ AB – AC = 3.5 cm)
4. CD को मिलाइए।
5. CD का लंब समद्विभाजक PQ खींचिए जो BY को बिंदु A पर प्रतिच्छेद करे।
6. AC को मिलाइए।
तब, ABC अभीष्ट त्रिभुज है
A, CD के लंब समर्विभाजक पर स्थित है।
∴ AD = AC
अब BD = AB – AD
⇒ BD = AB – AC
⇒ BD = AB – AC = 3.5 cm
(जो कि सत्य है जैसा कि दिया है)

प्रश्न 3.
एक त्रिभुज PQR की रचना कीजिए, जिसमें QR = 6 cm., ∠Q = 60° और PR – PQ = 2 cm हो।
हल :
दिया है : आधार QR = 6 cm; एक आधार कोण ∠Q = 60° और दो भुजाओं में अंतर की रचना करनी।
PR – PQ = 2 cm
अभीष्ट है : ΔPQR की रचना करनी।
रचना के चरण :
1. किरण QX खींचिए और इसमें से रेखांखड QR = 6 cm काटिए।

2. QR के साथ 60° का कोण बनाती हुई किरण QY खींचिए और YQ को बढ़ाइए ताकि YQY’ बन जाए।
3. QY’ में से रेखाखंड QO = 2 cm काटिए।
(∵ PR – PQ = 2 cm)
4. OR को मिलाइए।
5. OR का लंब समद्विभाजक MN खींचिए।
6. PR को मिलाइए।
तब, PQR अभीष्ट त्रिभुज है।
P, OR के लंब समद्विभाजक पर स्थित है।
∴ PO = PR
⇒ PQ + QO = PR
⇒ QO = PR – PQ
⇒ PR – PQ = 2 cm
(जो कि सत्य है जैसा कि दिया है)

प्रश्न 4.
एक त्रिभुज XYZ की रचना कीजिए, जिसमें ∠Y = 30°, ∠Z = 90° और XY + YZ + ZX = 11 cm. हो।
हल :
दिया है : आधार कोण ∠Y = 30° और ∠Z = 90°
तीनों भुजाओं का योग XY + YZ + ZX = 11 cm
अभीष्ट है : AXYZ की रचना करना। रचना के चरण :
1. एक रेखाखंड PQ = 11 cm खींचिए।
(∵ XY + YZ + ZX = 11 cm):

2. ∠KPQ = 30° (∵ ∠Y = 30°)
आर ∠LQP = 90° (∵ ∠Z = 90°)
3. ∠KPQ और ∠LQP को समद्विभाजित कीजिए।
मान लीजिए ये बिंदु X पर प्रतिच्छेद करते हैं।
4. PX का लंब समद्विभाजक और MN और QX का लंब समद्विभाजक RS खींचिए।
5. मान लीजिए MN, PQ को Y पर RS, PQ को Z पर प्रतिच्छेद करता है।
XY और XZ को मिलाइए।
तब XYZ अभीष्ट त्रिभुज है।

रचना की पुष्टि :
हम देखते हैं कि Y, PX के लंब समद्विभाजक MN पर स्थित है।
∴ PY = XY
इस प्रकार QZ = XZ
इससे प्राप्त होता है XY + YZ + ZX = PY + YZ + QZ = PQ = 11 cm (जो की सत्य है जैसा कि दिया
पुनः ∠YXP = ∠XPY
(जैसा कि ΔXPY में XY = PY)
∠XYZ = ∠YXP + ∠XPY
= 2∠XPY = ∠KPQ
⇒ ∠XYZ = 30°
(जो की सत्य है जैसा कि दिया है)
इसी प्रकार∠XZY = ∠LQP
⇒ ∠XZY = 90°
(जो की सत्य है जैसा कि दिया है)

प्रश्न 5.
एक समकोण त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसका आधार 12 cm. और कर्ण तथा अन्य भुजाओं का योग 18 cm. है।
हल:
मान लीजिए ΔABC की रचना करनी है जिसमें आधार BC = 12 cm., कर्ण तथा अन्य भुजा का योग
अर्थात् AB + AC = 18 cm .
और ∠ABC = 90°

रचना के पग :
1. किरण BX खींचिए और इस में से रेखाखंड BC = 12 cm काटिए।

2. ∠XBY = 90° बनाइए।
3. BY में से रेखाखंड BD = 18 cm काटिए।
4. CD को मिलाइए।
5. CD का लंब समद्विभाजक खींचिए जो BD को A पर प्रतिच्छेद करता है।
6. AC को मिलाइए।
तब, ABC अभीष्ट त्रिभुज है।
A, CD के लंब समद्विभाजक पर स्थित है।
∵ AC = AD और तब
AB = BD – AD
⇒ AB = BD – AC
⇒ AB + AC = BD = 18 cm
दूसरी भुजा और कर्ण का योग 18 cm (जो कि सत्य है जैसा कि दिया है).

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 11 रचनाएँ Ex 11.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 11 रचनाएँ Ex 11.1

प्रश्न 1.
एक दी हुई किरण के प्रारंभिक बिंदु पर 90° के कोण की रचना कीजिए और कारण सहित रचना की पुष्टि कीजिए।
हल :
रचना के चरण :
1. एक किरण OA खींचिए।

2. O को केंद्र मानकर और उपयुक्त त्रिज्या लेकर एक चाप LM खींचिए। OA को L पर काटे।

3. अब L को केंद्र मानकर और त्रिज्या OL, लेकर एक चाप खींचिए जो चाप LM को P पर काटे।

4. तब P को केंद्र मानकर और त्रिज्या OL, लेकर एक चाप खींचिए जो चाप PM को बिंदु Q पर काटे।

5. किरण OB खींचने के लिए OP को मिलाइए। साथ ही, किरण OC प्राप्त करने के लिए O और Q को मिलाइए। हम देखते हैं कि :
∠AOB = ∠BOC = 60°

6. अब हमने ∠BOC को समद्विभाजित करना है। इसके लिए P को केंद्र मानकर और त्रिज्या \(\frac{1}{2}\)PQ से अधिक लेकर एक चाप खींचिए।

7. अब Q को केंद्र मानकर और चरण 6 वाली त्रिज्या लेकर एक अन्य चाप लगाइए जो चरण 6 वाली चाप को R पर काटे।
8. किरण OD खींचने के लिए और R को मिलाइए। तब ∠AOD ही अभीष्ट कोण 90° है।

सत्यापन : ∠AOD, को मापिए। आप देखेंगे कि ∠AOD = 90° है।
रचना की प्रमाणिकता :
PL, को मिलाइए, तब
OL = OP = PL (रचना से)
अतः, ΔOPL एक समबाहु त्रिभुज है और ∠POL जोकि ∠BOA के समान है जो 60° के बराबर है।

अब, QP को मिलाइए
OP = OQ = PQ (रचना से)
अतः, ΔOQP एक समबाहु त्रिभुज है।
∴ ∠POQ जोकि ∠BOC के बराबर है, 60° का है।
रचना से OD, ∠BOC का समद्विभाजक है।
∴ ∠DOC = ∠DOB = \(\frac{1}{2}\)∠BOC
= \(\frac{1}{2}\) × 60° = 30°
अब ∠DOA = ∠BOA + ∠DOB
⇒ ∠DOA = 60° + 30°
⇒ ∠DOA = 90°.

प्रश्न 2.
एक दी हुई किरण के प्रारंभिक बिंदु पर 45° के कोण की रचना कीजिए और कारण सहित रचना की पुष्टि कीजिए।
हल :
हम देखते हैं कि 45° = \(\frac{1}{2}\) × 90°
इसलिए हम अभीष्ट कोण प्राप्त करने के लिए दिए गए कोण को समद्विभाजित करने की प्रक्रिया का अनुसरण करते है।
अतः, 45° का कोण बनाने के लिए हम नीचे दिए अनुसार प्रक्रिया करते है :

रचना के चरण :
1. ∠AOD = 90° खींचिए। (टिप्पणी : उन्हीं चरणों का अनुसरण कीजिए जो कि 90° के कोण की रचना में किए हैं।)
2. L के केंद्र को केंद्र मानकर और त्रिज्या \(\frac{1}{2}\)LS, से बड़ी लेकर एक चाप खींचिए।

3. अब S को केंद्र मानकर और चरण 2 वाली ही त्रिज्या लेकर एक अन्य चाप खींचिए जो चरण 2 वाली चाप को T पर काटती है।

4. O और T को मिलाइए और किरण OE खींचिए।
अतः, OE, ∠AOD को समद्विभाजित करती है। इसलिए, ∠AOE = ∠DOE = 45° है।
सत्यापन : ∠AOE, को मापिए, आप देखोगे कि ∠AOE = 45° है।

रचना की प्रमाणिकता :
LS को मिलाइए तब ΔOLS समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें O पर समकोण है। .
∴ OL = OS

इसलिए O, SL के लंब समद्विभाजक पर स्थित है।
∴ SF = FL
और ∠OFS = ∠OFL (प्रत्येक 90°)
अब ΔOFS और ΔOFL में,
OF = OF (उभयनिष्ठा)
OS = OL (रचना से)
SF = FL (ऊपर प्रमाणित)
∴ ΔOFS ≅ ΔOFL (SSS नियम से)
⇒ ∠SOF = ∠LOF
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग।)
अब
∠SOF + ∠LOF = ∠SOL
⇒ ∠LOF + ∠LOF = 90°
⇒ 2∠LOF = 90°
⇒ ∠LOF = \(\frac{1}{2}\) × 90°
⇒ ∠LOF = 45°
या, ∠AOE = 45° (जोकि रचना के अनुसार सत्य है।)

प्रश्न 3.
निम्न मापों के कोणों की रचना कीजिए :
(i) 30°
(ii) \(22 \frac{1}{2}^{\circ}\)
(iii) 15°.
हल :
(i) 30° की रचना :
हम देखते हैं कि 30° = \(\frac{1}{2}\) × 60°
इसलिए हम अभीष्ट कोण प्राप्त करने के लिए दिए गए कोण को समदविभाजित करने की प्रक्रिया का अनुसरण करते हैं।
अतः 30° के कोण की रचना के लिए हम नीचे दिए अनुसार प्रक्रिया करते हैं :

रचना के चरण :
1. एक किरण OA खींचिए।

2. O को केंद्र मानकर और उपयुक्त त्रिज्या लेकर
चाप LM खींचिए जो OA को L पर काटती है।

3. L को केंद्र मानकर और त्रिज्या OL लेकर एक चाप खींचिए जो LM को N पर काटती है।

4. O और N को मिलाइए और रेखा OB खींचिए। तब ∠AOB = 60° है।

5. L को केंद्र मानकर और त्रिज्या \(\frac{1}{2}\)LN, से बड़ी लेकर एक चाप खींचिए।

6. अब N को केंद्र मानकर और चरण 5 वाली त्रिज्या लेकर एक अन्य चाप खींचिए जो कि चरण 5 वाली चाप को P पर काटे।
7. O और P को मिलाइए और किरण OC खींचिए।

अतः, OC, ∠AOB को समद्विभाजित करती है और इसलिए
∠AOC = ∠BOC = 30°
सत्यापन : ∠AOC को मापिए, आप देखेंगे कि ∠AOC = 30° है।

(ii) \(22 \frac{1}{2}^{\circ}\) की रचना :
हम देखते हैं कि \(22 \frac{1}{2}^{\circ}\) = \(\frac{1}{2}\) × 45°
इसलिए हम अभीष्ट कोण प्राप्त करने के लिए दिए गए कोण को समद्विभाजित करने की प्रक्रिया का अनुसरण करते हैं।
\(22 \frac{1}{2}^{\circ}\) का कोण बनाने के लिए हम नीचे दिए अनुसार प्रक्रिया करते हैं :

रचना के चरण :
1. ∠AOD = 90° खींचिए।
(टिप्पणी : प्रश्न न० 1 में दिए गए चरणों का अनुसरण कीजिए जो कि 90° के कोण की रचना में लिए हैं।)
2. अब ∠AOD को किरण OE से इस प्रकार
समद्विभाजित ∠DOE = ∠AOE = 45° (टिप्पणी : उन्हीं चरणों का अनुसरण कीजिए जो प्रश्न न० 2 में 45° के कोण की रचना में लिए हैं।)

3. मान लीजिए किरण OE वृत्त की चाप को N पर प्रतिच्छेद करे।
4. अब L को केंद्र मानकर और त्रिज्या \(\frac{1}{2}\)LN से अधिक लेकर एक चाप खींचिए।
5. N को केंद्र मानकर और वही त्रिज्या जो चरण 4 में ली गई है। लेकर एक अन्य चाप खींचिए जो चरण 4 वाली चाप को I पर काटे।
6. O और I को मिलाइए और किरण OF खींचिए।
अतः, OF, ∠AOE को समद्विभाजित कीजिए।
∠AOF = ∠EOF = \(22 \frac{1}{2}^{\circ}\)
सत्यापन : ∠AOF को चाँदे की सहायता से मापिए। हम देखते हैं कि ∠AOF = \(22 \frac{1}{2}^{\circ}\)

(iii) 15° की रचना :
हम देखते हैं कि 15° = \(\frac{1}{2}\) × 30°
इसलिए अभीष्ट कोण प्राप्त करने के लिए हम दिए गए कोण को समद्विभाजित करने वाली विधि का अनुसरण करते हैं।
अतः, 15° के कोण की रचना के लिए हम निम्नलिखित चरणों का अनुसरण करते हैं।
रचना के चरण :
1. ∠AOB = 60° खींचिए।
2. अब ∠AOB को किरण OC से इस तरह समद्विभाजित कीजिए कि ∠BOC = ∠AOC = 30° [टिप्पणी : प्रश्न 3 (i) में 30° की रचना में लिए गए चरणों का अनुसरण कीजिए।]

3. मान लीजिए किरण OC वृत्त की चाप को बिंदु Q पर प्रतिच्छेद करती है।
4. अब L को केंद्र मान कर और त्रिज्या \(\frac{1}{2}\)LQ से अधिक लेकर एक चाप खींचिए।
5. Q को केंद्र मानकर और चरण 4 वाली त्रिज्या लेकर एक अन्य चाप खींचिए जोकि चरण 4 वाली चाप को R पर प्रतिच्छेद करे।
6. O और R को मिलाइए और किरण OS खींचिए।
अत: OS, ∠AOC को समविभाजित करता है।
इसलिए, ∠COS = ∠AOS = 15° है।
सत्यापन : ∠AOS को चाँदे से मापिए हम देखते हैं कि ∠AOS = 15° है।

प्रश्न 4.
निम्न कोणों की रचना कीजिए और चाँदे द्वारा मापकर पुष्टि कीजिए :
(i) 75°
(ii) 105°
(ii) 135°
हल :
(i) 75° की रचना
रचना के चरण :
1. ∠ABE = 60° और ∠ABF = 90° खींचिए। (टिप्पणी : उदाहरण 1 और प्रश्न न० 1 में लिए गए चरणों का अनुसरण कीजिए।)
2. मान लीजिए किरण BF वृत्त की चाप को G पर काटती है।
3. अब M को केंद्र मानकर और त्रिज्या \(\frac{1}{2}\)MG से अधिक लेकर एक चाप खींचिए।

4. G को केंद्र मान कर और चरण 3 वाली त्रिज्या लेकर एक चाप खींचिए जो पहली चाप को H पर प्रतिच्छेद करे।
5. H में से एक किरण BC खींचिए जो ∠EBF को समद्विभाजित करती है।
अतः, ∠ABC = 75° अभीष्ट कोण है।

सत्यापन : ∠ABC को चाँदे द्वारा मापिए। हम देखते हैं कि ∠ABC = 75°
रचना की प्रमाणिकता :
∠EBF = ∠ABF – ∠ABE = 90° – 60° = 30°
∠EBC = ∠CBF
= \(\frac{1}{2}\)∠EBF = \(\frac{1}{2}\)(30°)
= 15°
[∵ BC ∠EBF को समद्विभाजित करता है]
∴ ∠ABC = ∠ABE + ∠EBC
= 60° + 150
⇒ ∠ABC = 750
(जोकि चाँद द्वारा मापे जाने पर सत्य है।)

(ii) 105° की रचना
रचना के चरण :
1. ∠ABE = 90° और ∠ABF = 120° खींचिए।
2. मान लीजिए किरण BE वृत्त की चाप को M पर तथा किरण BF वृत्त की चाप को N पर प्रतिच्छेद करती है।
3. M को केंद्र मानकर और त्रिज्या \(\frac{1}{2}\)MN से अधिक लेकर एक चाप खींचिए।
4. N को केंद्र मानकर और चरण 3 वाली त्रिज्या लेकर एक अन्य चाप खींचिए जो चरण 3 वाली चाप को P पर प्रतिच्छेद करे।
5. P में से किरण BC खींचिए जो ∠EBF को समद्विभाजित करती है।
अतः, ∠ABC = 105° अभीष्ट कोण है।

सत्यापन : ∠ABC को चाँद द्वारा मापिए। हम देखते हैं कि ∠ABC = 105° है।
रचना की प्रमाणिकता :
∠EBF = ∠ABF – ∠ABE
⇒ ∠EBF = 120° – 90° = 30°
∠EBC = ∠CBF = \(\frac{1}{2}\)∠EBF
= \(\frac{1}{2}\)(30°) = 15°
[∵ BC, ∠EBF का समद्विभाजक है।]
∴ ∠ABC = ∠ABE + ∠EBC
= 90° + 15°
⇒ ∠ABC = 105°
[जोकि चाँदे द्वारा मापे जाने पर सत्य है।]

(iii) 135° की रचना
रचना के चरण :
1. एक किरण OA खींचिए।

2. O को केंद्र मानकर और कोई सुविधाजनक त्रिज्या लेकर एक चाप LM (जिसकी लंबाई अर्धवृत्त से अधिक हो) खींचिए जो OA को L पर प्रतिच्छेद करे।

3. अब L को केंद्र मानकर और त्रिज्या = OL लेकर एक चाप खींचिए जो चाप LM को P पर प्रतिच्छेद करे।

4. तब P को केंद्र और त्रिज्या OL लेकर एक चाप खींचिए जो चाप PM को Q पर प्रतिच्छेद करे।

5. अब ∠POQ को किरण OB द्वारा समद्विभाजित करने पर हमें प्राप्त होता है ; ∠AOB = 90°

6. अब Q को केंद्र मानकर और त्रिज्या OL लेकर एक चाप खींचिए जो QM को N पर प्रतिच्छेद करे।

7. O और N को मिलाकर किरण OC खींचिए।

अतः, हम प्राप्त करते हैं ∠AOC = 180°
या ∠BOC = ∠AOB = 90°
8. अब ∠BOC को किरण OD द्वारा समद्विभाजित कीजिए।
तब ∠AOD ही अभीष्ट कोण 135° है।
[क्योंकि ∠AOD = ∠AOB+ ∠BOD
= 90° + 45°
= 135°]
सत्यापन : ∠AOD को चाँदे से मापिए। आप देखेंगे कि ∠AOD = 135°

प्रश्न 5.
एक समबाहु त्रिभुज की रचना कीजिए, जबकि इसकी भुजा दी हो, तथा कारण सहित रचना कीजिए।
हल :
दी गई भुजा (मान लीजिए यह ΔABC है जिसकी एक भुजा 6 cm. है।) की समबाहु त्रिभुज की रचना।
रचना के चरण :
1. 6 cm. की लंबाई का एक रेखाखंड BC खींचिए।
2. B पर ∠XBC = 60° खींचिए।
3. रेखाखंड BC का लंब समद्विभाजक PQ खींचिए।
4. मान लीजिए PQ किरण BX और BC को क्रमशः बिंदुओं A और D पर प्रतिच्छेद करती है।
5. AC को मिलाइए।
अतः, ABC ही अभीष्ट समबाहु त्रिभुज है।

रचना की पुष्टि :
समकोण ΔADB और समकोण ΔADC में,
AD = AD (उभयनिष्ठ)
∠ADB = ∠ADC (प्रत्येक 90°)
(रचना से)
BD = CD. (रचना से)
∴ ΔADB ≅ ΔADC
(SAS सर्वांगसमता नियम से)
∴ ∠B = ∠C = 60°
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
इसलिए, ΔABC में तीसरा कोण,
∠A = 180° – (∠B + ∠C)
= 180° – (60° + 60°)
= 180° – 120°
= 60°
त्रिभुज का प्रत्येक कोण 60° का है। अतः, बनाई गई त्रिभुज समबाहु त्रिभुज है।

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 12 हीरोन का सूत्र MCQ Questions with Answers.

PSEB 9th Class Maths Chapter 12 हीरोन का सूत्र MCQ Questions

बहुविकल्पीय प्रश्न :

नीचे प्रत्येक प्रश्न के चार उत्तर दिए गए हैं।
सही उत्तर पर गोल दायरा लगाओ-

प्रश्न 1.
एक त्रिभुज जिसकी दो भुजाएँ 8 सेमी० और 11 सेमी० हैं और जिसका परिमाप 32 सेमी० है उसका अर्धपरिमाप होगा-
(A) 4 सेमी०
(B) 13 सेमी०
(C) 14 सेमी०
(D) 16 सेमी०
उत्तर:
(D) 16 सेमी०

प्रश्न 2.
एक त्रिभुजाकार भूखण्ड की भुजाओं का अनुपात 3 : 5 : 7 है और उसका परिमाप 300 मी० है। इसकी तीनों भुजाएँ होंगी-
(A) 60 मी०, 100 मी०, 40 मी०
(B) 50 मी०, 80 मी०, 60 मी०
(C) 45 मी०, 75 मी०, 95 मी०
(D) 65 मी०, 35 मी०, 80 मी०
उत्तर:
(A) 60 मी०, 100 मी०, 40 मी०

प्रश्न 3.
एक समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप 30 सेमी० है और उसकी बराबर भुजाएँ 12 सेमी० लम्बाई की हैं। इस त्रिभुज का क्षेत्रफल होगा-
(A) 8\(\sqrt{15}\) सेमी०²
(B) 7\(\sqrt{12}\) सेमी०²
(C) 9\(\sqrt{15}\) सेमी०²
(D) 15\(\sqrt{15}\) सेमी०²।
उत्तर:
(C) 9\(\sqrt{15}\) सेमी०²

प्रश्न 4.
एक त्रिभुज जिसकी दो भुजाएँ 18 सेमी० और 10 सेमी० हैं और उसका परिमाप 42 सेमी० है। इस त्रिभुज का क्षेत्रफल होगा-
(A) 21\(\sqrt{11}\) सेमी०²
(B) 31\(\sqrt{15}\) सेमी०²
(C) 48\(\sqrt{15}\) सेमी०²
(D) 56\(\sqrt{15}\) सेमी०²।
[उत्तर:
(A) 21\(\sqrt{11}\) सेमी०²
[ संकेत: S = \(\frac{42}{2}\) = 21.
a = 18, b = 10, c = 42 – 18 – 10 = 4
अब क्षेत्रफल
= \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)

प्रश्न 5.
एक त्रिभुजाकार भूखण्ड की भुजाओं का अनुपात 3 : 5 : 7 है और उसका परिमाप 300 मी० है। इस भूखण्ड का क्षेत्रफल होगा-
(A) 1500\(\sqrt{3}\) मी०²
(B) 1200\(\sqrt{3}\) मी०²
(C) 1800\(\sqrt{3}\) मी०²
(D) 1600\(\sqrt{3}\) मी०²।
उत्तर:
(A) 1500\(\sqrt{3}\) मी०²
[संकेतः माना भुजाएँ 3x, 5x और 7x हैं
अब 3x + 5x + 7x = 300
या x = 20
इसलिए भुजाएं : 60 मी०, 100 मी०, 140 मी०
S = \(\frac{50+100+140}{2}\)
∴ क्षेत्रफल = \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)]

प्रश्न 6.
एक त्रिभुज का आधार 12 सेमी० तथा ऊँचाई 8 सेमी० है। इसका क्षेत्रफल होगा-
(A) 24 सेमी०²
(B) 96 सेमी०²
(C) 48 सेमी०²
(D) 56 सेमी०²
उत्तर:
(C) 48 सेमी०²

प्रश्न 7.
एक त्रिभुजाकार पार्क ABC की भुजाएँ 120 मी०, 80 मी० और 50 मी० हैं (आकृति देखिए) एक मालिन घनिया को इसके चारों ओर एक बाड़ लगानी है और इसके अन्दर घास उगानी है। उसे कितने क्षेत्रफल में घास उगानी है ?

(A) 375\(\sqrt{15}\) मी०²
(B) 275\(\sqrt{15}\) मी०²
(C) 125\(\sqrt{15}\) मी०²
(D) 135\(\sqrt{15}\) मी०²।
उत्तर:
(A) 375\(\sqrt{15}\) मी०²

प्रश्न 8.
एक यातायात संकेत बोर्ड पर ‘आगे स्कूल है’ लिखा है और यह भुजा ‘a’ वाले एक समबाहु त्रिभुज के आकार का है। हीरो के सूत्र का उपयोग करके बताइए कि इसका क्षेत्रफल है-
(A) \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) a²
(B) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) a²
(C) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) a³
(D) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) a²
उत्तर:
(A) \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) a²

प्रश्न 9.
एक पार्क चतुर्भुज ABCD के आकार का है, जिसमें ∠C = 90°, AB = 9 मी०, BC = 12 मी०, CD = 5 सेमी० और AD = 8 मी. है। इस पार्क का क्षेत्रफल होगा-
(A) 65.5 मी०² लगभग
(B) 75.5 मी०² लगभग
(C) 88.8 मी०² लगभग
(D) 78.5 मी०² लगभग।
उत्तर:
(A) 65.5 मी०² लगभग

प्रश्न 10.
एक चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल होगा यदि AB = 3 सेमी०, BC = 4 सेमी०, CD = 4 सेमी०, DA = 5 सेमी० और AC = 5 सेमी०।
(A) 12.5 सेमी०²
(B) 15.2 सेमी०²
(C) 18.2 सेमी०²
(D) 19.4 सेमी०²।
उत्तर:
(B) 15.2 सेमी०²

प्रश्न 11.
एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल 8 cm² है। इसके कर्ण की लंबाई है।
(A) \(\sqrt{32}\) cm
(B) \(\sqrt{16}\) cm
(C) \(\sqrt{48}\) cm
(D) \(\sqrt{24}\) cm.
उत्तर:
(A) \(\sqrt{32}\) cm

प्रश्न 12.
एक समबाहु त्रिभुज का परिमाप 60 m है। इसका क्षेत्रफल है :
(A) 10\(\sqrt{3}\) m²
(B) 15\(\sqrt{3}\) m²
(C) 20\(\sqrt{3}\) m²
(D) 100\(\sqrt{3}\) m².
उत्तर:
(D) 100\(\sqrt{3}\) m².

प्रश्न 13.
एक त्रिभुज की भुजाएं 56 cm, 60 cm और 52 cm लंबाइयों की हैं। तब, त्रिभुज का क्षेत्रफल है
(A) 1322 cm²
(B) 1311 cm²
(C) 1344 cm²
(D) 1392 cm²
उत्तर:
(C) 1344 cm²

प्रश्न 14.
2\(\sqrt{3}\) cm भुजा वाले समबाहु त्रिभुजा का क्षेत्रफल है:
(A) 5.196 cm²
(B) 0.866 cm²
(C) 3.496 cm²
(D) 1.732 cm².
उत्तर:
(A) 5.196 cm²

प्रश्न 15.
क्षेत्रफल 9\(\sqrt{2}\) cm² वाले एक समबाहु त्रिभुज की प्रत्येक भुटा की लंबाई है।
(A) 8 cm
(B) 36 cm
(C) 4 cm
(D) 6 cm.
उत्तर:
(D) 6 cm.

प्रश्न 16.
यदि एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल 16\(\sqrt{3}\) cm² है, तो इस त्रिभुज का परिमाप है
(A) 48 cm
(B) 24 cm
(C) 12 cm
(D) 36 cm.
उत्तर:
(B) 24 cm

प्रश्न 17.
एक त्रिभुज की भुजाएं 35 cm, 54 cm और 61 cm की हैं। इसके सबसे लंबे शीर्षलंब की लंबाई है
(A) 16\(\sqrt{5}\) cm
(B) 10\(\sqrt{5}\) cm
(C) 24\(\sqrt{5}\) cm
(D) 28 cm.
उत्तर:
(C) 24\(\sqrt{5}\) cm

प्रश्न 18.
आधार 2 cm और बराबर भुजाओं में से एक भुजा 4 cm वाले समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल है।
(A) \(\sqrt{15}\) cm²
(B) \(\sqrt{\frac{15}{2}}\) cm²
(C) 2\(\sqrt{15}\) cm²
(D) 4\(\sqrt{15}\) cm².
उत्तर:
(A) \(\sqrt{15}\) cm²

प्रश्न 19.
एक त्रिभुजाकार बोर्ड के किनारे 6 cm, 8 cm और 10 cm लंबाइयों के हैं। इस पर 9 पैसे प्रति cm² की दर से पेंट कराने का व्यय है।
(A) 2.00 रु०
(B) 2.16 रु०
(C) 2.48 रु०
(D) 3.00 रु०।
उत्तर :
(B) 2.16 रु०