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Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 9 समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल MCQ Questions with Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 9 समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल MCQ Questions

बहुविकल्पीय प्रश्न

दिये गए चार विकल्पों में से सही उत्तर का चयन करें।

प्रश्न 1.
दी गई आकृति में ABCD एक समांतर चतुर्भुज है। लंब AE की लंबाई क्या है ?

(A) 3 सेमी०
(B) 6 सेमी०
(C) 9 सेमी०
(D) 2 सेमी०।
उत्तर –
(A) 3 सेमी०

प्रश्न 2.
E, F, G और H समांतर चतुर्भुज ABCD की भुजाओं के मध्य बिंदु है।
तब क्षे० (EFGH) = ………. :

(A) \(\frac {1}{3}\) से (ABCD)
(B) क्षे० (ABCD)
(C) \(\frac {1}{2}\)क्षे० (ABCD)
(D) \(\frac {1}{4}\)क्षे० (ABCD).
उत्तर –
(C) \(\frac {1}{2}\)क्षे० (ABCD)

प्रश्न 3.
दी गई आकृति में ABCD एक समांतर चतुर्भुज है। ABE एक त्रिभुज है। यदि AB || CE हो और क्षे० (ABCD) = 60 सेमी०² हो तो ΔABE का क्षेत्रफल क्या है ?

(A) 60 सेमी²
(B) 30 सेमी०²
(C) 120 सेमी०²
(D) 50 सेमी०² ।
उत्तर –
(B) 30 सेमी०²

प्रश्न 4.
ΔABC की माध्यिका AD पर बिंदु E है। यदि क्षे० (ΔABE) = 10 सेमी०² तब क्षे० (ΔACE) है :

(A) 20 सेमी०²
(B) 5 सेमी०²
(C) 30 सेमी०²
(D) 10 सेमी०²
उत्तर –
(D) 10 सेमी०²

प्रश्न 5.
समलंब चतुर्भुज ABCD में AB || DC है। यदि क्षे० (AOD) = 15 सेमी०² तब क्षे० (BOC) है :
(A) 30 सेमी०²
(B) 15 सेमी०²
(C) 10 सेमी०²
(D) 7.5 सेमी.² ।

उत्तर –
(B) 15 सेमी०²

प्रश्न 6.
एक त्रिभुज की माध्यिका उसे विभाजित करती है,
(A) बराबर क्षेत्रफल वाले त्रिभुजों में
(B) सर्वांगसम त्रिभुजों में
(C) समकोण त्रिभुजों में
(D) समद्विबाहु त्रिभुजों में
उत्तर –
(A) बराबर क्षेत्रफल वाले त्रिभुजों में

प्रश्न 7.
निम्नलिखित आकृतियों में से किसमें आप एक ही आधार पर और एक ही समांतर रेखाओं के बीच, बने दो बहुभुज प्राप्त होते हैं :

उत्तर –

प्रश्न 8.
8cm और 6 cm भुजाओं वाले एक आयत की आसन्न भुजाओं के मध्य-बिन्दुओं को मिलाने से बनी आकृति है :
(A) 24 cm² क्षेत्रफल का एक आयात
(B) 25 cm² क्षेत्रफल का एक वर्ग
(C) 24 cm² क्षेत्रफल का एक समलंब
(D) 24 cm² क्षेत्रफल का एक समचतुर्भुज
उत्तर –
(D) 24 cm² क्षेत्रफल का एक समचतुर्भुज

प्रश्न 9.
आकृति में, समांतर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल हैं :
(A) AB × BM
(B) BC × BN
(C) DC × DL
(D) AD × DL

उत्तर –
(C) DC × DL

प्रश्न 10.
आकृति में, यदि समांतर चतुर्भुज ABCD और आयत AREM समान क्षेत्रफल के हैं, तो :
(A) ABCD का परिमाप = ABEM का परिमाप
(B) ABCD का परिमाप < AREM का परिमाप
(C) ABCD का परिमाप > ABEM का परिमाप
(D) ABCD का परिमाप = \(\frac {1}{2}\)(ABEM का परिमाप)

उत्तर –
(C) ABCD का परिमाप > ABEM का परिमाप

प्रश्न 11.
एक त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिंदु किसी भी एक शीर्ष को चौथा बिंदु लेकर एक समांतर चतुर्भुज बनाते हैं, जिसका क्षेत्रफल बराबर है :
(A) \(\frac {1}{2}\)ar (ABC)
(B) \(\frac {1}{3}\)ar (ABC)
(C) \(\frac {1}{4}\)ar (ABC)
(D) ar (ABC)
उत्तर –
(A) \(\frac {1}{2}\)ar (ABC)

प्रश्न 12.
दो समांतर चतुर्भुज बराबर आधारों पर और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित हैं। उनके क्षेत्रफलों का अनुपात है।
(A) 1 : 2
(B) 1 : 1
(C) 2 : 1
(D) 3 : 1.
उत्तर –
(B) 1 : 1

प्रश्न 13.
ABCD एक चतुर्भुज है जिसका विकर्ण AC उसे बराबर क्षेत्रफल वाले दो भागों में विभाजित करता है। तब, ABCD
(A) एक आयत है
(B) सदैव एक समचतुर्भुज है
(C) एक समांतर चतुर्भुज है।
(D) (A), (B) या (C) में से कोई भी होना आवश्यक नहीं।
उत्तर –
(D) (A), (B) या (C) में से कोई भी होना आवश्यक नहीं।

प्रश्न 14.
एक त्रिभुज और एक समांतर चतुर्भुज एक ही आधार पर और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित हैं, तो त्रिभुज के क्षेत्रफल का समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल से अनुपात है।
(A) 1 : 3
(B) 1 : 2
(C) 3 : 1
(D) 1 : 4
उत्तर –
(B) 1 : 2

प्रश्न 15.
ABCD एक समलंब है जिसकी समांतर भुजाएँ AB = a cm और DC = bcm है। E और F असमांतर भुजाओं के मध्य-बिंदु हैं। ar (ABFE) और ar (EFCD) का अनुपात है।
(A) ab
(B) (3a + b) : (a + 3b)
(C) (a + 3b) : (3a + 3b)
(D) (2a + b) : (3a + b)

उत्तर –
(B) (3a + b) : (a + 3b)

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 9 समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Ex 9.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 9 समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Ex 9.4

प्रश्न 1.
समांतर चतुर्भुज ABCD और आयत ABEF एक ही आधार AB पर स्थित हैं और उनके क्षेत्रफल बराबर हैं। दर्शाइए कि समांतर चतुर्भुज का परिमाप आयत के परिमाप से अधिक है।
हल:
दिया है : समांतर चतुर्भुज ABCD और आयत ABEF एक ही आधार AB पर और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित हैं।
ar (|| gm ABCD) = ar (आयत ABEF)
सिद्ध करना है: AB + BC + CD + AD > AB + BE + EF + AE.

उपपत्ति – AB = CD. [∵ चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।]
AB = EF [∵ चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती है।]
CD = EF ………..(1)
(1) के दोनों ओर AB जोड़ने पर
AB + CD = AB + EF ………(2)
∴ किसी बिंदु से जो दी हुई रेखा पर स्थित नहीं है, रेखा तक खींचे गए सभी रेखाखंडों में से लांबिक रेखाखंड सबसे छोटा होता है।
∴ BE < BC |
और AF < ADI या, BC > BE
और AD> AF
∴ BC + AD > BE + AF …….(3)
(2) और (3) से हमें प्राप्त होता है
AB + BC + CD + AF > AB + BE + EF + AF.
इति सिद्धम्

प्रश्न 2.
आकृति में भुजा BC पर दो बिंदु D और E इस प्रकार स्थित हैं कि BD = DE = EC है। दर्शाइए कि ar (ABD) = ar (ADE) = ar (AEC) है।।
क्या आप अब उस प्रश्न का उत्तर दे सकतें हैं, जो आपने इस अध्याय की भूमिका में छोड़ दिया था। कि “क्या बुधिया का खेत वास्तव में बराबर क्षेत्रफलों वाले तीन भागों में विभाजित हो गया है” ?

हल:
ΔABC में, बिंदु D और E, BC को तीन बराबर भागों में इस प्रकार विभाजित करते हैं कि
BD = DE = EC है।
∴ BD = DE = EC = \(\frac {1}{3}\)BC
AF ⊥ BC खींचिए।
ar (ΔABC) = \(\frac {1}{2}\)BC × AF ………..(i)
[∵ त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\frac {1}{2}\)आधार × लम्ब]
ar (ΔABD) = \(\frac {1}{2}\) × BD × AF
= \(\frac {1}{3}\) × \(\frac {BC}{3}\) × AF
[∵ BD = \(\frac {1}{3}\)BC]
= \(\frac {1}{3}\) [\(\frac {1}{2}\) × BC × AF]
= \(\frac {1}{3}\) ar (ΔABC) ………..(ii)
इसी प्रकार, ar (ΔADE) = \(\frac {1}{3}\)ar (ΔABC) ………..(iii)
और ar (ΔAEC) = \(\frac {1}{3}\)ar (ΔABC) ….(iv)
(ii), (iii) और (iv) से हमें प्राप्त होता है :
ar (ΔABD) = ar (ΔADE) = ar (ΔAEC)
इति सिद्धम्

[टिप्पणी : ध्यान दीजिए कि यदि BD = DE = EC, लें तो ΔABC बराबर क्षेत्रफलों वाले तीन त्रिभुजों ABD, ADE और AEC में विभाजित हो जाता है। इसी प्रकार, BC को बराबर भागों में विभाजित करके और इस भुजा को विभाजित करने वाले बिंदुओं को सम्मुख शीर्ष A से मिलाकर हम इस त्रिभुज को बराबर क्षेत्रफलों वाले । त्रिभुजों में विभाजित कर सकते हैं।]

प्रश्न 3.
आकृति में, ABCD, DCFE और ABFE समांतर चतुर्भुज है। दर्शाइए कि
ar (ADE) = ar (BCF) है।
हल:
जैसा कि हम जानते हैं कि समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।

∴ समांतर चतुर्भुज ABFE में,
AE = BF और AB = EF
||gm DCFE में,
DE = CF और DC = EF
||gm ABCD में,
AD = BC और AB = DC
अब, ΔADE और ΔBCF में,
AE = BF [|| gm ABFE की सम्मुख भुजाएँ]
DE = CF [|| gm DCFE की सम्मुख भुजाएँ।
और AD = BC [|| gm of ABCD की सम्मुख भुजाएँ।
∴ ΔADE ≅ ΔBCF
[SSS सांगसमता नियम]
इसलिए, ar (ΔADE) = ar (ΔBCF) [∵ दो सर्वांगसम आकृतियों का क्षेत्रफल सदैव बराबर होता है।]

प्रश्न 4.
आकृति में, ABCD एक समांतर चतुर्भुज है और BC को एक बिंदु Q तक इस प्रकार बढ़ाया गया है कि AD = CQ है। यदि AQ भुजा DC को P पर प्रतिच्छेद करती है, तो दर्शाइए कि ar (BPC) = ar (DPO) है।
हल :
A और C मिलाइए
ΔAPC और ΔBPC एक ही आधार PC पर तथा एक ही समांतर रेखाओं PC और AB के बीच स्थित हैं।
∴ ar (ΔAPC) = ar (ΔBPC) … (1)

ACBD एक समांतर चतुर्भुज है।
∴ AD = BC [∵ समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।]
साथ ही, BC = CQ (दिया है)
∴ AD = CQ
अब, AD || CQ
[∵ CQ, बढ़ी हुई BC है]
और
AD = CQ
∴ ADQC एक समांतर चतुर्भुज है।
[∵ यदि चतुर्भुज को सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समांतर हो, तो वह समांतर चतुर्भुज होती हैं।]
क्योंकि ||gm के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं।
∴ AP = PQ और CP = DP
अब, ΔAPC और ΔDPQ
AP = PQ (ऊपर सिद्ध किया है)
∠APC = ∠DPQ (शीर्षाभिमुख कोण)
PC = PD(ऊपर सिद्ध किया गया है)
∴ ΔAPC ≅ ΔDPQ …(2)
⇒ ar (ΔAPC) = ar (ΔDPQ) [∵ सर्वांगसम आकृतियों का क्षेत्रफल सदैव बराबर होता है]
(1) और (2) से हमें प्राप्त होता है ।
ar (ΔBPC) = ar (ΔDPQ) इति सिद्धम्

प्रश्न 5.
आकृति में, ABC और BDE दो समबाहु त्रिभुज इस प्रकार हैं कि D भुजा BC का मध्य-बिंदु है। यदि AE भुजा BC कोF पर प्रतिच्छेद करती है, तो दर्शाइए कि
(i) ar (BDE) = \(\frac {1}{4}\) ar (ABC)
(ii) ar (BDE) = \(\frac {1}{2}\)ar (BAE)
(iii) ar (ARC) = 2ar (BEC)
(iv) ar (BFE) = ar (AFD)
(v) ar (BFE) = 2ar (FED)
(vi) ar (FED) = \(\frac {1}{8}\) ar (AFC)

हल:
EC और AD को मिलाइए।
ΔABC एक समबाहु त्रिभुज है।
∴ ∠A = ∠B = ∠C = 60°
ΔBDE भी एक समबाहु त्रिभुज है।
∴ ∠B = ∠D = ∠E = 60°
यदि हम दो रेखाएँ AC और BE तथा BC को तिर्यक रेखा लें,
∠B = ∠C
[(प्रत्येक = 60°) एकांतर कोण]
⇒ BE || AC [∵ जब एकांतर कोण बराबर होते हैं तो रेखाएँ समांतर होती हैं।]
इसी प्रकार, रेखाओं AB और DE तथा BF तिर्यक रेखा के लिए ∠B = ∠D
(प्रत्येक = 60°) [एकांतर कोण]
∴ AB || DE
(i) समबाहु त्रिभुज BDE का क्षेत्रफल
= \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) (BD)²
[∵ समबाहु Δ का क्षेत्रफल = \(\frac{\sqrt{3}}{4}\)(भुजा)²] ………..(1)
समबाहु ΔABC का क्षेत्रफल
= \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) (BC)² ………..(2)
(1) को (2) से भाग देने पर हम प्राप्त करते हैं

[∵ दिया है कि D, BC का मध्य-बिंदु है।
∴ BD = DC
अब, BC = BD + DC
⇒ BC = BD + BD
⇒ BC = 2BD]
या, ar (ΔBDE) = \(\frac{\sqrt{1}}{4}\)ar (ΔABC)

(ii) ΔBEC में, ED माध्यिका है।
∴ ar (ΔBDE) = \(\frac{\sqrt{1}}{2}\)ar (ΔBEC) …… (3)
[∵ माध्यिका त्रिभुज को बराबर क्षेत्रफलों वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।]
हमें प्राप्त है : BE || AC.
इसलिए ΔBEC और ΔBAE एक ही आधार BE तथा एक ही समांतर रेखाओं BE और AC के बीच स्थित है।
∴ ar (ABEC) = ar (ABAE) … (4)
(4) को (3) में प्रयोग करने पर हमें प्राप्त होता है
ar (ΔBDE) = \(\frac{\sqrt{1}}{2}\)ar (ΔBAE)
(iii) क्योंकि ED त्रिभुज BEC की एक माध्यिका है।
∴ ar (BDE) = \(\frac{\sqrt{1}}{2}\)ar (BEC)
भाग (i) से, ar (BDE) = \(\frac{\sqrt{1}}{4}\)ar (ABC)
∴ \(\frac{\sqrt{1}}{4}\)ar (ABC) = \(\frac{\sqrt{1}}{2}\)ar (BEC)
⇒ ar (ABC) = 4 × \(\frac{\sqrt{1}}{2}\)ar (BEC)
अत:, ar (ABC) = 2ar (BEC)

(iv) अब, ∠BDE = ∠ABD = 60° (दिया है)
परंतु ये एकांतर कोण का युग्म है।
∴ AB || DE
अब, ΔBDE और ΔADE एक ही आधार DE तथा समांतर रेखाओं AB और DE के बीच स्थित हैं।
∴ ar (BDE) = ar (ADE)
दोनों ओर से ar (FED) घटाने पर,
ar (BDE) – ar (FED) = ar (ADE) – ar (FED)
ar (BFE) = ar (AFD)

(v) ΔBDE और ΔAED एक ही आधार DE एक ही समांतर रेखाओं DE पर स्थित हैं
ar (ΔBDE) = (ΔAED)
ar (ΔFED) को दोनों पक्षों में से घटाने पर हमें प्राप्त होता है :
ar (ΔBDE) – ar (ΔFED)
= ar (ΔAED) – ar (ΔFED)
⇒ ar(ΔBFE) = ar(ΔAFD) ……… (5)
एक समबाहु त्रिभुज में खीची गई माध्यिका भुजा पर लम्ब भी होती है।
∴ AD ⊥ BC
[∵ AD, ΔABC की माध्यिका है।]
अब, ar (ΔAFD) = \(\frac {1}{2}\) FD × AD ………. (6)
EG ⊥ BC खींचिए।
∴ ar (ΔFED) = \(\frac {1}{2}\)FD × EG … (7)

(6) को (7) से भाग देने पर हमें प्राप्त होता है

⇒ \(\frac {ar (ΔAFD)}{ar (Δ FED)}\) = \(\frac {2BD}{BD}\)
या ar (ΔAFD) = 2ar (Δ FED) …… (8)

(8) को (5) में प्रयोग करने पर हमें प्राप्त होता है।
ar (ΔBFE) = 2 ar (ΔFED)
(vi) ar (ΔAFC) = ar (ΔAFD)+ar (ΔADC)
= 2 ar (ΔFED) + \(\frac {1}{2}\) ar (ΔABC)
[संबंध (8) के प्रयोग करने पर और हम यह भी जानते हैं कि माध्यिका त्रिभुज को बराबर क्षेत्रफलों वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती हैं।]
= 2 ar (ΔFED) + \(\frac {1}{2}\) [4 ar (ΔBDE)]
[भाग (i) के परिणाम को प्रयोग करने पर]
= 2 ar (ΔFED) + 2 ar (ΔBDE)
= 2 ar (ΔFED) + 2 ar(ΔAED)
[∵ ΔBDE और ΔAED एक ही आधार ED तथा एक ही समांतर रेखाओं AB और DE के बीच स्थित हैं]
= 2 ar (ΔFED) + 2 [ar (ΔAFD) + ar (ΔFED)]
= 2 ar (ΔFED) + 2ar (ΔAFD) + 2ar (ΔFED)
= 4 ar (ΔFED) + 2(2 ar (ΔFED)]
[परिणाम को (8) में प्रयोग करने पर] |
= 4 ar (ΔFED) + 4 ar (ΔFED)
⇒ ar (ΔAFC) = 8 ar (ΔFED)
या, 8 ar (ΔFED) = ar (ΔAFC)
⇒ ar (ΔFED) = \(\frac {1}{8}\) ar (ΔAFC)
इति सिद्धम्

प्रश्न 6.
चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD परस्पर बिंदु P पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि ar (APB) × ar (CPD) = ar (APD) × ar (BPC) है।
हल:
दिया है : एक चतुर्भुज ABCD जिसमें विकर्ण AC और BD परस्पर P पर प्रतिच्छेद करते हैं।
सिद्ध करना है:
ar (ΔAPD) × ar (ΔBPC)
= ar (ΔABP) × ar (ΔCDP)
रचना :
A से AM ⊥ BD और C, CN ⊥ BD खींचिए।

उपपत्ति
ar (ΔABP) = F × BP × AM ….(i)
ar (ΔAPD) = \(\frac {1}{2}\) × DP × AM .. (ii)
(ii) को (i), से भाग देने पर हमें प्राप्त होता है

इति सिद्धम्

प्रश्न 7.
P और Q क्रमश: त्रिभुज ABC की भुजाओं AB और BC के मध्य-बिंदु हैं तथा R रेखाखंड AP का मध्य-बिंदु है। दर्शाइए कि
(i) ar (PRQ) = \(\frac {1}{2}\)ar (ARC)
(ii) ar (RQC) = \(\frac {3}{8}\)ar (ABC)
(iii) ar (PBQ) = ar (ARC)
हल:

(i) ΔABC में, P और Q क्रमशः भुजाओं AB और BC के मध्य बिंदु हैं।
AQ और PC को मिलाइए।
QR, त्रिभुज ABQ की माध्यिका है।



= \(\frac {1}{4}\) ar (ABC)
समीकरण (9) और (10) से
ar (PBQ) = ar (ARC)

प्रश्न 8.
आकृति में, ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण A समकोण है। BCED, ACFG और ABMN क्रमश: भुजाओं BC, CA और AB पर बने वर्ग हैं। रेखाखंड AX ⊥ DE भुजा BC को बिंदु Y पर मिलता है। दर्शाइए कि :
(i) ΔMBC ≅ ΔABD
(ii) ar (BYXD) = 2 ar (MBC)
(iii) ar (BYXD) = ar (ABMN)
(iv) ΔFCB ≅ ΔACE
(v) ar (CYXE) = 2 ar (FCB)
(vi) ar (CYXE) = ar (ACFG)
(vii) ar (BCED) = ar (ABMN) + ar (ACFG)

हल :
(i) ΔMBC और ΔABD में,
BC = BD[वर्ग BCED की भुजाएँ]
∠MBC = ∠ABD
[∵ प्रत्येक = 90° + ∠ABC]
MB = AB
[वर्ग ABMN की भुजाएँ]
∴ ΔMBC ≅ ΔABD
[SAS सर्वांगसमता नियम से]

(ii) ΔABD और वर्ग BYXD एक ही आधार BD और एक ही समांतर रेखाओं BD और AX के बीच स्थित हैं।
∴ ar (ADB) = \(\frac {1}{2}\)ar (BYXD)
परंतु ΔMBC ≅ ΔABD
[भाग (i) में सिद्ध किया है।]
⇒ ar (MBC) = ar (ABD)
∴ ar (MBC) = \(\frac {1}{2}\)ar (BYXD) … (1)
⇒ ar (BYXD) = 2ar (MBC)

(iii) ΔMBC और वर्ग ABMN एक ही आधार MB और एक ही समांतर रेखाओं MB और NAC के बीच स्थित है।
∴ ar (MBC) = \(\frac {1}{2}\)ar (ABMN) …(2)
(1) और (2) से,
ar (BYXD) = ar (ABMN)

(iv) ΔFCB और ΔACE में,
CB = CE[वर्ग BCED की भुजाएं]
∠FCB = ∠ACE
[∵ प्रत्येक = 90° + ∠BCA]
FC = AC [वर्ग ACFG की भुजाएं]
∴ ΔFCB ≅ ΔACE
(SAS सर्वांगसमता नियम)

(v) ΔACE और वर्ग CYXE एक ही आधार CE और एक ही समांतर रेखाओं CE और AYX के बीच स्थित हैं।
∴ ar (ACE) = \(\frac {1}{2}\) ar (CYXE)
⇒ \(\frac {1}{2}\) ar (CYXE) = ar (FCB)
⇒ ar (CYXE) = 2ar (FCB)
[भाग (iii) से ΔFCB ≅ ΔACE ]

(vi) वर्ग ACFG और ΔBCF एक ही आधार CF और एक ही समांतर रेखाओं CF और BAG के बीच स्थित है।
∴ ar (BCF) = \(\frac {1}{2}\) ar (ACFG)
साथ ही, ar (FCB) = \(\frac {1}{2}\)ar (CYXE)
⇒ \(\frac {1}{2}\) ar (CYXE) = \(\frac {1}{2}\) ar (ACFG)
⇒ \(\frac {1}{2}\) ar (CYXE) = ar (ACFG)
भाग (iii) से, ar (BYXD) = ar (ABMN)
भाग (vi) से, ar (CYXE) = ar (ACFG)
जोड़ने पर, ar (BYXD) + ar (CYXE) = ar (ABMN) + ar (ACFG)
⇒ ar (BCED) = ar (ABMN) + ar (ACFG)
इति सिद्धम्

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 9 समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Ex 9.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 9 समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Ex 9.3

प्रश्न 1.
आकृति में, ΔABC की एक माध्यिका AD पर स्थित E कोई बिंदु है। दर्शाइए कि
ar (ΔABE) = ar (ACE) है।
हल :
ΔABC में, AD माध्यिका है।
ar (ΔABD) = ar (ΔACD) ……..(i)

[∵ माध्यिका त्रिभुज को बराबर क्षेत्रफलों वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।]
पुनः, ΔEBC में, ED एक माध्यिका है। ,
ar (ΔEBD) = ar (ΔECD) …(ii)
(ii) को (i), में से घटाने पर हमें प्राप्त होता है
ar (ΔABD) = ar (ΔEBD)
= ar (ΔACD) – ar (ΔECD)
⇒ ar (ΔABE) = ar (ΔACE).

प्रश्न 2.
ΔABC में E, माध्यिका AD का मध्य-बिंदु है। दर्शाइए कि ar (BED) = \(\frac {1}{4}\)ar (ABC) है।
हल :
दिया है : ΔABC में, AD एक माध्यिका है और E माध्यिका AD का मध्य-बिंदु है।

सिद्ध करना है : ar (ΔBED) = \(\frac {1}{4}\)r (ΔABC).
उपपत्ति : ΔABC में AD माध्यिका है।
∴ ar (ΔABD) = ar (ΔADC) [∵ माध्यिका त्रिभुज को बराबर क्षेत्रफलों वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।]
∴ ar (ΔABD) = \(\frac {1}{2}\)ar (ΔABC) …(i)
ΔABD में, BC एक माध्यिका है।
∴ ar (ΔBED) = ar (ΔBAE)
∴ ar (ΔBED) = \(\frac {1}{2}\)ar (ΔABD) …(ii)
⇒ ar (ΔBED) = \(\frac {1}{2}\) × \(\frac {1}{2}\)ar (ΔABC)
[(i) और (ii) से]
= \(\frac {1}{4}\)ar (ΔABC)
इति सिद्धम्

प्रश्न 3.
दर्शाइए कि समांतर चतुर्भुजों के दोनों विकर्ण उसे बराबर क्षेत्रफलों वाले चार त्रिभुजों में बाँटते हैं।
हल :
मान लीजिए समांतर चतुर्भुज ABCD है और इसके विकर्ण AC और BD परस्पर बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं।

ΔABC और ΔADC में,
AB = DC (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ)
BC = AD
(समांतर चतुर्भुज सम्मुख भुजाएँ)
AC = AC (उभयनिष्ठ)
∴ ΔABC ≡ ΔCDA
(SSS सर्वांगसमता नियम)
जैसा कि हम जानते हैं कि समांतर चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित होते हैं।
∴ आकृति में ; O समद्विभाजक बिंदु है।
अब ΔADC में;
DO एक माध्यिका है।
∴ ar (ΔAOD) = ar (ΔCOD) …………..(i)
(∵ माध्यिका त्रिभुज को बराबर क्षेत्र फलों वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।]
इसी प्रकार, ΔABC में, OB माध्यिका है
∴ ar (ΔAOB) = ar (ΔBOC) …(ii)
[उपरोक्त कारण ही]
ΔAOB और ΔAOD में; AO माध्यिका है।
∴ ar (ΔAOB) = ar (ΔAOD)
(उपरोक्त कारण ही) …(iii)
(i), (ii) और (iii) से हमें प्राप्त होता है :
ar (ΔAOB) = ar (ΔAOD) = ar (ΔBOC)
= ar (ΔCOD)
अतः समांतर चतुर्भुज के विकर्ण इसे बराबर क्षेत्रफलों वाले चार त्रिभुजों में बाँटते हैं।

प्रश्न 4.
आकृति में, ABC और ABD एक ही आधार AB पर बने दो त्रिभुज हैं। यदि रेखाखंड CD रेखाखंड AB से बिंदु पर समद्विभाजित होता है, तो दर्शाइए कि ar (ABC) = ar (ABD) है।
हल :
CM ⊥ AB और DN ⊥ AB खींचिए।

ΔCMO और ΔCNO में,
∠CMO = ∠DNO
[(प्रत्येक = 90°) रचना]
∠COM = ∠DON
(शीर्षाभिमुख कोण)
OC = OD
(O, CD का मध्य-बिंदु है)
∴ ΔCOM ≡ ΔDON
[AAS सर्वांगसमता का नियम]
इसलिए, CM = DN
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग) …….(i)
अब ar (ΔABC) = \(\frac {1}{2}\) × AB × CM …(ii)
ar (ΔADB) = \(\frac {1}{2}\) × AB × DN …(iii)
(i) को (iii) में प्रयोग करने पर हमें प्राप्त होता है
ar (ΔADB) = \(\frac {1}{2}\) × AB × CM ….(iv)
(ii) और (iv) से हमें प्राप्त होता है
ar (ΔABC) = ar (ΔADB)

प्रश्न 5.
D, E और F क्रमशः त्रिभुज ABC की भुजाओं BC, CA और AB के मध्य-बिंदु हैं। दर्शाइए कि :
(i) BDEF एक समांतर चतुर्भुज है
(ii) ar (DEF) = \(\frac {1}{4}\) ar (ABC)
(iii) ar (BDEF) = \(\frac {1}{2}\)ar (ABC)
हल :
(i) F, AB का मध्य-बिंदु और E, AC का मध्य-बिंदु है।

∴ FE || BC और FE = \(\frac {1}{2}\)BC
[∵ त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा तीसरी भुजा के समांतर और इसका आधा होती है।]
या FE || BD
∵ BD, BC का ही भाग है] और FE = BD [∵ दिया है कि D, EC का मध्य-बिंदु है।
∴ BD = \(\frac {1}{2}\)BC
इसलिए, FE = \(\frac {1}{2}\) BC (ऊपर सिद्ध किया है) |
⇒ FE = BD
अब E, AC का मध्य-बिंदु और D, EC का मध्यबिंदु है।
∴ DE || AB और DE = \(\frac {1}{2}\) AB
[ऊपर वाले कारण का उपयोग करने पर
या DE || BF [∵ BE, AB का ही भाग है।]
और DE = BF
[∵ F, AB का मध्य-बिंदु है ∴ BF = \(\frac {1}{2}\) AB
परंतु DE = \(\frac {1}{2}\) AB (ऊपर सिद्ध किया है)
इसलिए, DE = BF]
अब,
FE || BD और DE || BF
या FE = BD और DE = BF
अतः, BDEF एक समांतर चतुर्भुज है।

(ii) BDEF एक समांतर चतुर्भुज है
∴ ar (ΔBDF) = ar (ΔDEF) ….(1) [∵ समांतर चतुर्भुज का विकर्ण इसे बराबर क्षेत्रफलों वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करता है।]
DCEF भी समांतर चतुर्भुज है[भाग (i) के चरणों का प्रयोग करने पर]
∴ ar (ΔDEF) = ar (ΔDEC) …(2)
साथ ही, AEDF एक समांतर चतुर्भुज है। [भाग (i) के चरणों का प्रयोग करने पर]
∴ ar (ΔAFE) = ar (ΔDEF) …(3)
(1), (2) और (3)से
ar (ΔDEF) = ar (ΔBDF) = ar(ΔDEC)
= ar (ΔAFE) …(4)
अब, ar (ΔABC) = ar (ΔAFE) + ar (ΔBDF) + ar (ΔDEC) + ar (ΔDEF)…(5)
⇒ ar (ΔABC) = ar (ΔDEF) + ar (ΔDEF) + ar (ΔDEF)) + ar (ΔDEF)
[(4) को (5) में प्रयोग करने पर]
⇒ ar (ΔABC) = 4 ar (DEF)
या, 4 ar (ΔDEF) = ar (ΔABC)
⇒ ar (ΔDEF) = \(\frac {1}{4}\)ar (ΔABC) …….(6)

(iii) ar (||gm BDEF) = ar (ΔBDF) + ar (ΔDEF)
= ar (ΔDEF) + ar (ΔDEF)
[(4) प्रयोग करने पर]
= 2 ar (ΔDEF)
= 2 × \(\frac {1}{4}\) ar (ΔABC)
[(6) का प्रयोग करने पर]
⇒ ar (||gm BDEF) = \(\frac {1}{2}\)ar (ΔABC)

प्रश्न 6.
आकृति में, चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD परस्पर बिंदु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि OB = OD है।
यदि AB = CD है, तो दर्शाइए कि
(i) ar (DOC) = ar (AOB)
(ii) ar (DCB) = ar (ACB)
(iii) DA || CB या ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।
हल :
(i) BM ⊥ AC और DN ⊥ AC खींचिए।

ΔDON और ΔBOM में,
OD = OB (दिया है)
∠DNO = ∠BMO
[प्रत्येक = 90° (रचना से)]
∠DON = ∠BOM
(शीर्षाभिमुख कोण)
∴ ΔDON ≡ ΔBOM
[AAS सर्वांगसमता नियम]
इसलिए, DN = BM
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
साथ ही, ar (ΔDON) = ar (ΔBOM) …(1)
अब, ΔDCN और ΔABM में,
∠DNC = ∠BMA
[प्रत्येक = 90° (रचना से)]
CD = AB (दिया है)
DN = BM (ऊपर सिद्ध किया)
∴ ΔDCN ≡ ΔBAM
[RHS सर्वांगसमता नियम]
∴ ar (ΔDCN) = ar (ΔBAM) …(2)
(1) और (2) को जोड़ने पर हमें प्राप्त होता है।
ar (ΔDON) + ar (ΔDCN) = ar (ΔBOM) + ar (ΔBAM)
⇒ ar (ΔDOC) = ar (ΔAOB)

(ii) भाग (ii) में हमने सिद्ध किया है कि
ar (ΔDOC) = ar (ΔAOB)
दोनों ओर ar (ΔBOC) को जोड़ने पर हमें प्राप्त होता है
ar (ΔDOC) + ar (ΔBOC) = ar (ΔAOB) + ar (ΔBOC)
⇒ ar (ΔDCB) = ar (ΔACB)

(iii) भाग (ii) में हमने सिद्ध किया है कि ar (ΔDCB) = ar (ΔACB)
इसलिए इन दोनों त्रिभुजों का एक ही आधार CB है
और दोनों एक ही समांतर रेखाओं CB और DA के बीस्थित है।
इसलिए, DA || CB
अब AB = CD
और, DA || CB
अत: ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।

प्रश्न 7.
बिंदु D और E क्रमश: ΔABC की भुजाओं AB और AC पर इस प्रकार स्थित हैं कि ar (DBC) = ar (EBC) है। दर्शाइए कि DE || BC है।
हल :
दिया है कि
ar (ΔDBC) = ar (ΔEBC)
दो बराबर क्षेत्रफल वाली त्रिभुजों का एक ही आधार BC है।
इसलिए DE || BC

[∵ दो त्रिभुज जिनका एक ही आधार (या बराबर आधार) है और बराबर क्षेत्रफल है, एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित होते हैं।]

प्रश्न 8.
XY त्रिभुज ABC की भुजा BC के समांतर एक रेखा है। यदि BE || AC और CF || AB रेखा XY से क्रमश: E और F पर मिलती है, तो दर्शाइए कि
ar (ABE) = ar (ACF)
हल :
ΔABE और ||gm BCYE एक ही आधार BE तथा एक ही समांतर रेखाओं BE और AC के बीच स्थित है।

∴ ar (ΔABE) = \(\frac {1}{2}\) ar (||gm BCYE) …….(1)
साथ ही, ΔACF और || gm BCFX एक ही आधार CF तथा एक ही समांतर रेखाओं BX और CF के बीच स्थित है।
∴ ar (ΔACF) = \(\frac {1}{2}\)ar (||gm BCFX)…(2)
परंतु ||gm BCYE और ||gm BCFX एक ही आधार BC और एक ही समांतर रेखाओं BC और EF के बीच स्थित है।
ar (||gm BCYE) = ar (||gm BCEX) …(3)
(1), (2) और (3) से हमें प्राप्त होता है-
ar (ΔABE) = ar (ΔACF)

प्रश्न 9.
समांतर चतुर्भुज ABCD की एक भुजा AB को एक बिंदु P तक बढ़ाया गया है। A से होकर CP के समांतर खींची गई रेखा बढ़ाई गई CB को Q पर मिलती है और फिर समांतर चतुर्भुज PBQR को पूरा किया गया है (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि ar (ABCD) = ar (PBQR) है।
हल :

दिया है कि ABCD और PBQR समांतर चतुर्भुज है। साथ ही, CP || AQ.
हम देखते हैं कि
ΔACQ और ΔAPQ एक ही आधार AQ तथा एक ही समांतर रेखाओं AQ और CP के बीच स्थित हैं।
∴ ar (ΔACQ) = ar (ΔAPQ)
दोनों पक्षों में से ar (ΔABQ) घटाने पर हमें प्राप्त होता है:
ar (ΔACQ) – ar (ΔABQ)
= ar (ΔAPQ) – ar (ΔABQ)
⇒ ar (ΔACB) = ar (ΔPBQ)
या, \(\frac {1}{2}\) ar (|| gm ABCD) = \(\frac {1}{2}\)ar || gm PBQR) [∵ विकर्ण चतुर्भुज को बराबर क्षेत्रफल वाले त्रिभुजों में विभाजित करता है।
∴ त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\frac {1}{2}\)समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल]
⇒ ar (|| gm ABCD) = ar (|| gm PBQR)

प्रश्न 10.
एक समलंब ABCD, जिसमें AB || DC है, के विर्कण AC और BD परस्पर O पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि ar (AOD) = ar (BOC) है।
हल :

ΔABD और ΔABC एक ही आधार AB और एक समांतर रेखाओं AB और DC के बीच स्थित है।
∴ ar (ΔABD) = ar (ΔABC)
ar (ΔAOB) को दोनों पक्षों में से घटाने पर हमें प्राप्त होता है
ar (ΔABD) – ar (ΔAOB) = ar (ΔABC) – ar (ΔAOB)
⇒ ar Δ(AOD) = ar (ΔBOC) इति सिद्धम्

प्रश्न 11.
आकृति में, ABCDE एक पंचभुज है। B से होकर AC के समांतर खींची गई रेखा बढ़ाई गई DC को F पर मिलती है। दर्शाइए कि:
(i) ar (ACB) = ar (ACF)
(ii) ar (AEDF) = ar (ABCDE)
हल :

(i) दिया है BF || AC.
ΔACB और ΔACF एक ही आधार AC तथा एक ही समांतर रेखाओं AC और BF के बीच स्थित है।
∴ ar (ΔACB) = ar (ΔACF) …(1)
(ii) अब, ar (ΔABCDE) = ar (समलंब AEDC) + ar (ΔABC) …..(2)
= ar (समलंब AEDC) + ar (ΔACF)
[(1) को (2) में प्रयोग करने पर]
ar (समलंब AEDC) + ar (ΔACF)
=ar (चतुर्भुज AEDF)
या, ar (AEDF) = ar (ABCDE)
इति सिद्धम्

प्रश्न 12.
गाँव के एक निवासी इतवारी के पास एक चर्तुभुजाकार भूखंड था। उस गाँव की ग्राम पंचायत ने उसके भूखंड के एक कोने से उसका कुछ भाग लेने का निर्णय लिया ताकि वहाँ एक स्वास्थ्य केंद्र का निर्माण कराया जा सके। इतवारी उस प्रस्ताव को इस प्रतिबंध के साथ स्वीकार कर लेता है कि उसे इस भाग के बदले उसी भूखंड के संलग्न एक भाग ऐसा दे दिया जाए कि उसका भूखंड त्रिभुजाकार हो जाए। स्पष्ट कीजिए कि इस प्रस्ताव को किस प्रकार कार्यान्वित किया जा सकता है।
हल :

मान लीजिए इतवारी के पास एक चतुर्भुजाकार भूखंड ABCD है।
रचना : AB को E तक बढ़ाइए। BD को मिलाइए और CE || BD खींचिए।
उत्पत्ति : क्योंकि ΔBDC और ΔBDE एक ही आधार BD और एक ही समांतर रेखाओं BD और CE के बीच स्थित है।
∴ ar (ΔBDC) = ar (ΔBDE)
दोनों ओर ar (ΔABD) जोड़ने पर, ar (ΔABD) + ar (ΔBDC) = ar (ΔABD) + ar (ΔBDE)
ar (ABCD) = ar (AED)
अतः, स्वास्थ्य केंद्र के लिए दिया गया भूखंड = ar (CDF)
उक्त भूखंड के बदले इतवारी को मिला भूखंड = ar (BEF)

प्रश्न 13.
ABCD एक समलंब है, जिसमें AB || DC है। AC के समांतर एक रेखा AB को x पर और BC को Y पर प्रतिच्छेद करती है। सिद्ध कीजिए कि ar (ADX) = ar (ACY) है।
हल :

CX को मिलाइए। ΔADX और ΔACX एक ही आधार XA पर तथा एक ही समांतर रेखाओं XA और DC के बीच स्थित हैं।
∴ ar (ΔADX) = ar (ΔACX) ………(i)
साथ ही, ΔACX और ΔACY एक ही आधार CY तथा एक ही समांतर रेखाओं CY और XA के बीच स्थित हैं।
∴ ar (ΔACX) = ar (ΔACY) …(ii)
(i) और (ii) से हमें प्राप्त होता है
ar (ΔADX) = ar (ΔACY).
इति सिद्धम्

प्रश्न 14.
आकृति में, AP || BQ || CR है। सिद्ध कीजिए कि ar (AQC) = ar (PBR) है।
हल :

ΔABQ और ΔBPQ एक ही आधार BQ तथा एक ही समांतर रेखाओं AP और BQ के बीच स्थित है।
∴ ar (ΔABQ) = ar (ΔBPQ) …(1)
ΔBQC और ΔBQR एक ही आधार BQ तथा एक ही समांतर रेखाओं BQ और CR के बीच स्थित है।
∴ ar (ΔBQC) = ar (ΔBQR) …(2)
(1) और (2) को जोड़ने पर हमें प्राप्त होता है।
ar (ΔABQ) + ar (ΔBQC) = ar (ΔBPQ) + ar (ΔBQR)
⇒ ar (ΔAQC) = ar (ΔPBR) इति सिद्धम्

प्रश्न 15.
चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD परस्पर बिंदु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि ar (AOD) = ar (BOC) है। सिद्ध कीजिए कि ABCD एक समलंब है।
हल:

दिया है कि
ar (ΔAOD) = ar (ΔBOC)
दोनों ओर ar (ΔAOB) जोड़ने पर हमें प्राप्त होता है
ar (ΔAOD) + ar (ΔAOB) = ar (ΔBOC) + ar (ΔAOB)
⇒ ar (ΔABD) = ar (ΔABC)
जैसा कि हम जानते हैं कि यदि दो त्रिभुज बराबर क्षेत्रफल एक ही आधार पर स्थित हों, तो वे एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित होती है। ΔABD और ΔABC एक ही आधार AB पर स्थित हैं और क्षेत्रफल के बराबर हैं।
∴ वे एक ही समांतर रेखाओं AB और DC के बीच स्थित हैं।
या, AB || DC.
अब, चतुर्भुज ABCD में AB || DC
इसलिए, ABCD एक समलंब है। [∵ समलंब में सम्मुख भुजाओं का एक युग्म समांतर होता है।]

प्रश्न 16.
आकृति में, ar (DRC) = ar (DPC) है और ar (BDP) = ar (ARC) है। दर्शाइए कि दोनों चतुर्भुज ABCD और DCPR समलंब हैं।
हल :
दिया है कि ΔDRC और ΔDPC एक ही आधार DC पर स्थित हैं।
साथ ही, ar (ΔDRC) = ar (ΔDPC) ….(1)

∴ DC || RP [∵ यदि बराबर क्षेत्रफल वाली दो त्रिभुज एक ही आधार पर स्थित हों तो वे सदैव एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित होती है।]
चतुर्भुज DCPR में,
DC || RP
इसलिए, DCPR एक समलंब है।
साथ ही, दिया है कि
ar (ΔBDP) = ar (ΔARC) ………..(2)
(1) को इस प्रकार भी लिखा जा सकता है।
ar (ΔDPC) = ar (ΔDRC) ……… (3)
(3) को (2) में से घटाने पर हमें प्राप्त होता है।
ar (ΔBDP) – ar (ΔDPC)
= ar (ΔARC) – ar (ΔDRC)
⇒ ar (ΔBDC) = ar (ΔADC)
ΔBDC और ΔADC का बराबर क्षेत्रफल है और एक ही आधार पर स्थित है DC
AB || DC
[∵ यदि बराबर क्षेत्रफल वाली दो त्रिभुज एक ही आधार पर स्थित हों तो वे सदैव एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित होती है।]
अब चतुर्भुज ABCD में
AB || DC
इसलिए ABCD, एक समलंब है।

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 9 समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Ex 9.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 9 समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Ex 9.2

प्रश्न 1.
आकृति में, ABCD एक समांतर चतुर्भुज है, AE ⊥ DC और CF ⊥ AD है। यदि AB = 16 cm, AE = 8 cm और CF = 10 cm है, तो AD ज्ञात कीजिए।

हल :
ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।
∴ DC = AB
⇒ DC = 16 सेमी
AE ⊥ DC (दिया है)
समांतर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल
= DC × AE [∵ ar (|| gm) = आधार × संगत ऊँचाई]
= 16cm × 8 cm
= 128 cm²
आधार AD और ऊँचाई CF का प्रयोग करने पर; समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = AD × CF
⇒ 128 cm² = AD × 10 cm
या AD × 10 cm = 128 cm²
⇒ AD = \(\frac {128}{10}\) cm
⇒ AD = 12.8 cm

प्रश्न 2.
यदि E, F, G और H क्रमशः समांतर चतुर्भुज ABCD की भुजाओं के मध्य-बिंदु हैं, तो दर्शाइए कि ar (EFGH) = \(\frac {1}{2}\)ar (ABCD) है।
हल :
दिया है : ABCD एक समांतर चतुर्भुज है और E, F, G और H क्रमश: भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिंदु है।
सिद्ध करना है : ar (EFGH) = \(\frac {1}{2}\)ar (ABCD)
रचना . AC और HF को मिलाइए।
उपपत्ति : ΔABC में, E भुजा AB का मध्य-बिंदु है और F भुजा BC का मध्य-बिंदु हैं।

∴ EF = \(\frac {1}{2}\)AC और EF || AC …….(1)
इसी प्रकार ΔADC में,
GH = \(\frac {1}{2}\)AC और GH || AC ….(2)
∴ GH = EF और GH || EF
[(1) और (2) से]
∴ चतुर्भुज EFGH एक ||gm है। [यदि चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समांतर हो, तो यह समांतर चतुर्भुज होती हैं।]
|| gm ABCD में,
AD = BC और AD || BC
[|| gm की सम्मुख भुजाएँ]
∴ \(\frac {1}{2}\)AD = \(\frac {1}{2}\)BC और AD || FC
⇒ HD = FC और HD || FC
∴ HDCF एक || gm है
क्योंकि ΔHGF और ||gm HDCF एक ही आधार HF और एक ही समांतर रेखाओं के बीच है।
∴ ar (ΔHGF) = \(\frac {1}{2}\)ar (|| gm HDCF) …(3)
इसी प्रकार,
ar (ΔHEF) = \(\frac {1}{2}\)ar (|| gm HABF) ….(4)
(3) और (4) को जोड़ने से हमें प्राप्त होता है।
ar (ΔHGF) + ar (ΔHEF)
= \(\frac {1}{2}\)[ar (||gm HDCF) + ar (||gm HABF)]
अतः, ar (|| gm EFGH) = \(\frac {1}{2}\)ar (||gm ABCD).

प्रश्न 3.
P और Q क्रमश: समांतर चतुर्भुज ABCD की भुजाओं DC और AD पर स्थित बिंदु हैं। दर्शाइए कि ar (APB) = ar (BQC) है।
हल :
दिया है : ABCD एक समांतर चतुर्भुज है। P, DC पर स्थित हैऔर Q, AD पर स्थित बिंदु है।
सिद्ध करना है : ar (ΔAPB) = ar (ΔBQC)
रचना : PM | BC और QN |DC खींचिए।
उपपत्ति : क्योंकि QC, || gm QNCD का विकर्ण है।
∴ ar (ΔQNC) = \(\frac {1}{2}\)ar (|| gm QNCD) ……(1)

पुनः, BQ || gm ABNQ का विकर्ण है।
∴ ar (ΔBQN) = \(\frac {1}{2}\)ar (|| gm ABNQ) ….(2)
(1) और (2) को जोड़ने पर हमें प्राप्त होता है ) ar (ΔQNC) + ar (ΔBQN)
= \(\frac {1}{2}\)ar (|| gm QNCD) + \(\frac {1}{2}\)ar (|| gm ABNQ)
⇒ ar (ΔBQC) = \(\frac {1}{2}\)ar (|| gm ABCD) ….(3)
पुनः, AP, ||gm AMPD का विकर्ण है।
∴ ar (ΔAPM) = \(\frac {1}{2}\)ar (|| gm AMPD) ….(4 )
और PB, ||gm PCBM का विकर्ण है।
∴ ar (ΔPBM) = \(\frac {1}{2}\)ar (||gm PCBM) ….(5 )
(4) और (5) को जोड़ने पर हमें प्राप्त होता है:
ar (ΔAPM) + ar (ΔPBM)
= \(\frac {1}{2}\)ar (||gm AMPD) + \(\frac {1}{2}\)ar (||gm PCBM)
⇒ ar (ΔAPB) = \(\frac {1}{2}\)ar (||gm ABCD) ……(6)
(3) और (6) से हमें प्राप्त होता है
ar (ΔBQC) = ar (ΔAPB)
या ar (ΔAPB) = ar (ΔBQC)
इति सिद्धम

प्रश्न 4.
आकृति में, P समांतर चतुर्भुज ABCD के अभ्यंतर में स्थित कोई बिंदु है। दर्शाइए कि
(i) ar (APB) + ar (PCD) = \(\frac {1}{2}\)ar (ABCD)
(ii) ar (APD) + ar (PBC) = ar (APB) + ar (PCD)
हल:

(i) P से होकर AB के समांतर एक रेखा l खींचिए जो AD को Q पर तथा BC को R पर प्रतिच्छेदित करे।
अब ΔAPB और ||gm ABRQ एक ही आधार AB तथा एक ही समांतर रेखाओं AB और QR के बीच स्थित हैं।
∴ ar (ΔAPB) = \(\frac {1}{2}\)ar (||gm ABRQ) …….(1)
साथ ही APCD और ||gm DCRQ एक ही आधार DC तथा एक ही समांतर रेखाओं DC और QR के बीच स्थित हैं।
∴ ar (ΔPCD) = \(\frac {1}{2}\)ar (||gm DCRQ) …..(2)
(1) और (2) को जोड़ने पर हमें प्राप्त होता है। ar (ΔAPB) + ar (ΔPCD)
= \(\frac {1}{2}\)ar (||gm ABRQ) + \(\frac {1}{2}\)ar (||gm DCRQ)
⇒ ar (ΔAPB) + ar (ΔPCD)
= \(\frac {1}{2}\)ar (||gm ABCD) ……….. (3)

(ii) P से होकर AD के समांतर एक रेखा m खींचिए जो AB को M पर तथा DC को N पर प्रतिच्छेद करे।
अब ΔAPD और ||gm AMND एक ही आधार AD तथा एक ही समांतर रेखाओं AD और MN के बीच स्थित हैं।
∴ ar (ΔAPD) = \(\frac {1}{2}\)ar (||gm AMND) ………….(4)
साथ ही, Δ(PBC) और ||gm MNCB एक ही आधार BC तथा एक ही समांतर रेखाओं BC और MN के बीच स्थित हैं।
∴ ar (ΔPBC) = \(\frac {1}{2}\)ar (||gm MNCB) …..(5)
(4) और (5) को जोड़ने पर हमें प्राप्त होता है :
ar (ΔAPD) + ar (ΔPBC)
= \(\frac {1}{2}\) ar (||gm AMND) + \(\frac {1}{2}\)ar (||gm MNCB)
⇒ ar (ΔAPD) + ar (ΔPBC)
= \(\frac {1}{2}\) ar (ABCD) ……..(6)
(5) और (6) से हमें प्राप्त होता है :
ar (ΔAPB) + ar (ΔPCD) = ar (ΔAPD) + ar (ΔPBC)
या, ar (ΔAPD) + ar (ΔPBC) = ar (ΔAPB) + ar (ΔPCD)
इति सिद्धम

प्रश्न 5.
आकृति में, PORS और ABRS समांतर चतुर्भज हैं तथा X भुजा BR पर स्थत कोई बिंदु है। दर्शाइए कि
(i) ar (PQRS) = ar (ABRS)
(ii) ar (AXS) = \(\frac {1}{2}\)ar (PQRS)

हल:
(i) समांतर चतुर्भुज PQRS और ABRS एक ही आधार SR तथा एक ही समांतर रेखाओं SR और PB के बीच स्थित हैं।
∴ ar (||gm PQRS) = ar (||gm ABRS) ……(1)
[∵ एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित समांतर चतुर्भुज क्षेत्रफल में बराबर होते हैं।]

(ii) ΔAXS और ||gm ABRS एक ही आधार AS तथा एक ही समांतर रेखाओं AS और BR के बीच स्थित
∴ ar (AAXS) = \(\frac {1}{2}\)(||gm ABRS) ….(2)
(1) का (2) में प्रयोग करने पर हमें प्राप्त होता हैं,
ar (ΔAXS) = \(\frac {1}{2}\)ar (||gm PQRS)

प्रश्न 6.
एक किसान के पास समांतर चतुर्भुज PQRS के रूप का एक खेत था। उसने RS पर स्थित कोई बिंदु A लिया और उसे P और Q से मिला दिया। खेत कितने भागों में विभाजित हो गया है? इन भागों के आकार क्या हैं? वह किसान खेत में गेहूँ और दालें बराबर-बराबर भागों में अलग-अलग बोना चाहती है। वह ऐसा कैसे करे ?
हल:

जब A को P और Q से मिलाया जाता है, तो खेत तीन भागों, जैसे : ΔPAS, ΔAPQ और ΔAQR में विभाजित हो जाता है।
ΔAPQ और समांतर चतुर्भुज PQRS एक ही आधार PQ तथा एक ही समांतर रेखाओं PQ और SR के बीच स्थित है।
∴ ar (ΔAPQ) = \(\frac {1}{2}\)ar (||gm PQRS)
अतः, त्रिभुजाकार भाग APQ, समांतर चतुर्भुज PQRS के रूप के खेत का आधा भाग है।
इसलिए किसान यदि त्रिभुजाकार खेत APQ में गेहूँ
बोती है, तो दूसरे दो त्रिभुजाकार भागों PAS और AQR में उसे दालें बोनी पड़ेंगी।

अथवा

जब वह त्रिभुजाकार खेत APQ में दालें बोती हैं तो दूसरे दो त्रिभुजाकार भागों PAS और AQR में उसे अवश्य ही गेहूँ बोना पड़ेगा।

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 9 समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Ex 9.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 9 समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Ex 9.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित आकृतियों में कौन-सी आकृतियाँ एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित हैं ? ऐसी स्थिति में, उभयनिष्ठ आधार और दोनों समांतर रेखाएँ लिखिए।

हल:
आकृति (i) में, ΔDPC और समलंब ABCD एक ही आधार DC तथा एक ही समांतर रेखाओं DC और AB के बीच स्थित है।
आकृति (iii) में ; ΔRTQ और समांतर चतुर्भुज PORS एक ही आधार OR तथा एक ही समांतर रेखाओं QR और PS के बीच स्थित है।
आकृति (v) में ; समांतर चतुर्भुज ABCD और समांतर चतुर्भुज APQD एक ही आधार AD तथा एक ही समांतर रेखाओं AD और BQ पर स्थित हैं।

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 8 चतुर्भुज MCQ Questions with Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 8 चतुर्भुज MCQ Questions

बहुविकल्पीय प्रश्न

दिए गए चार विकल्पों में से सही उत्तर का चयन करें।

प्रश्न 1.
एक समांतर चतुर्भुज के कोणों के समद्विभाजक क्या बनाते हैं ?
(A) समलंब चतुर्भुज
(B) आयत
(C) समचतुर्भुज
(D) पतंग।
उत्तर –
(B) आयत

प्रश्न 2.
एक समचतुर्भुज के कोण यदि 3 : 4 : 5 : 6 के अनुपात में हो तो चतुर्भुज के कोण क्रमश: क्या होंगे ?
(A) 60°, 80°, 100°, 120°
(B) 120°, 100°, 80°, 60°
(C) 120°, 60°, 80°, 100°
(D) 80°, 100° 120°,60°.
उत्तर –
(A) 60°, 80°, 100°, 120°

प्रश्न 3.
यदि किसी चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समकोण पर प्रतिच्छेद करें तो यह आकृति क्या होगी ?
(A) समांतर चतुर्भुज
(B) वर्ग
(C) सम चतुर्भुज
(D) समलंब चतुर्भुज
उत्तर –
(C) सम चतुर्भुज

प्रश्न 4.
आयत ABCD का विकर्ण AC यदि कोण ∠A तथा ∠C को समद्विभाजित करे तो यह आयत क्या होगा ?

(A) समलंब चतुर्भुज
(B) समचतुर्भुज
(C) समांतर चतुर्भुज
(D) वर्ग।
उत्तर –
(D) वर्ग।

प्रश्न 5.
त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य बिंदों को मिलाने वाली रेखा तीसरी भुजा के समांतर होती है तथा उसका …….. होती है।
(A) आधा
(B) एक तिहाई
उत्तर –
(A) आधा

प्रश्न 6.
एक चतुर्भुज के तीन कोण 75°,90° और 75° है। इसका चौथा कोण है।
(A) 90°
(B) 95°
(C) 105°
(D) 120°
उत्तर –
(D) 120°

प्रश्न 7.
एक आयत का एक विकर्ण उसकी भुजा से 25° पर नत है। इसके विकर्णों के बीच का न्यून कोण है।
(A) 55°
(B) 50°
(C) 40°
(D) 25°.
उत्तर –
(B) 50°

प्रश्न 8.
ABCD एक समचतुर्भुज है, जिसमें ∠ACB = 40° है। तब ∠ADB है
(A) 40°
(B) 45°
(C) 50°
(D) 60°.
उत्तर –
(C) 50°

प्रश्न 9.
चतुर्भुज PQRS, की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को, एक ही क्रम में, मिलाने पर बना चतुर्भुज एक आयत होता है, यदि
(A) PQRS एक आयत है
(B) PQRS एक समांतर चतुर्भुज है
(C) PQRS के विकर्ण परस्पर लंब हों
(D) PQRS के विकर्ण बराबर हों।
उत्तर –
(C) PQRS के विकर्ण परस्पर लंब हों

प्रश्न 10.
चतुर्भुज PQRS की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को, एक ही क्रम में मिलाने पर बना चतुर्भुज एक समचतुर्भुज होता है, यदि
(A) PQRS एक समचतुर्भुज है
(B) PQRS एक समातंर चतुर्भुज है
(C) PQRS के विकर्ण परस्पर लंब हों
(D) PQRS के विकर्ण बराबर हों।
उत्तर –
(D) PQRS के विकर्ण बराबर हों।

प्रश्न 11.
यदि चतुर्भुज ABCD के कोणों A, B,C और D का, इसी क्रम में लेने पर, अनुपात 3 : 7 : 6 : 4 है, तो ABCD है एक
(A) समचतुर्भुज
(B) समांतर चतुर्भुज
(C) समलंब
(D) पतंग।
उत्तर –
(C) समलंब

प्रश्न 12.
यदि चतुर्भुज ABCD के ∠A और ∠B के समद्विभाजक परस्पर P पर प्रतिच्छेद करते हैं, ∠B और ∠C के समद्विभाजक Q पर, ∠C और ∠D के R पर तथा ∠D और ∠A के S पर प्रतिच्छेद करते हैं, तो PQRS है एक
(A) आयत
(B) समचतुर्भुज
(C) समांतर चतुर्भुज
(D) चतुर्भुज जिसके सम्मुख कोण संपूरक हैं।
उत्तर –
(D) चतुर्भुज जिसके सम्मुख कोण संपूरक हैं।

प्रश्न 13.
यदि APB और CQD दो समांतर रेखाएँ हैं, तो कोणों APQ, BPQ, CQP और PQD के समद्विभाजक बनाते हैं
(A) एक वर्ग
(B) एक समचतुर्भुज
(C) एक आयत
(D) कोई अन्य समांतर चतुर्भुज।
उत्तर –
(C) एक आयत

प्रश्न 14.
एक समचतुर्भुज की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को, एक ही क्रम में, मिलाने पर बनने वाली आकृति होती है
(A) एक समचतुर्भुज
(B) एक आयत
(C) एक वर्ग
(D) कोई भी समांतर चतुर्भुज।
उत्तर –
(B) एक आयत

प्रश्न 15.
D और E क्रमश: ΔABC की भुजा AB और AC के मध्य-बिंदु है तथा O भुजा BC पर कोई बिंदु है। O को A से मिलाया जाता है। यदि P
और Q क्रमश: OB और C के मध्य-बिंदु हैं, तो DEQP है एक
(A) वर्ग
(B) आयत
(C) समचतुर्भुज
(D) समांतर चतुर्भुज।
उत्तर –
(D) समांतर चतुर्भुज।

प्रश्न 16.
एक चतुर्भुज ABCD की भुजाओं के मध्य बिंदुओं को, एक ही क्रम में, मिलाने पर प्राप्त आकृति केवल एक वर्ग है, यदि
(A) ABCD एक समचतुर्भुज है
(B) ABCD के विकर्ण बराबर हैं
(C) ABCD के विकर्ण बराबर हैं और परस्पर लंब हैं ।
(D) ABCD के विकर्ण परस्पर लंब हैं।
उत्तर –
(C) ABCD के विकर्ण बराबर हैं और परस्पर लंब हैं ।

प्रश्न 17.
समांतर चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD परस्पर बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि ∠DAC = 32° और ∠AOB = 70° हैं तो ∠DBC बराबर है
(A) 24°
(B) 86°
(C) 38°
(D) 32°.
उत्तर –
(C) 38°

प्रश्न 18.
एक समांतर चतुर्भुज के लिए, निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य नहीं है ?
(A) सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं
(B) सम्मुख कोण बराबर होते हैं
(C) सम्मुख कोण विकर्णों से समद्विभाजित होते
(D) विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं।
उत्तर –
(C) सम्मुख कोण विकर्णों से समद्विभाजित होते

प्रश्न 19.
D और E क्रमश: ΔABC की भुजा AB और AC के मध्य-बिंदु हैं। DE को F तक बढ़ाया जाता है। यह सिद्ध करने के लिए कि CF रेखाखंड DA के बराबर और समांतर है, हमें एक अतिरिक्त सूचना की आवश्यकता है, जो है
(A) ∠DAE = ∠EFC
(B) AE = EF
(C) DE = EF
(D) ∠ADE = ∠ECF.
उत्तर –
(C) DE = EF

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 8 चतुर्भुज Ex 8.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 8 चतुर्भुज Ex 8.2

प्रश्न 1.
ABCD एक चतुर्भुज है जिसमें P, Q, R और क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिंदु हैं (आकृति देखिए)।

AC उसका एक विकर्ण है।
दर्शाइए कि
(i) SR || AC और SR = \(\frac {1}{2}\)AC है।
(ii) PQ = SR है।
(iii) PQRS एक समांतर चतुर्भुज है।
हल:
ΔABC में,
P, AB का मध्य-बिंदु है और Q, BC का मध्यबिंदु है।
तो PQ || AC और PQ = \(\frac {1}{2}\)AC
[मध्य-बिंदु प्रमेय]

(i) ΔACD में
R, CD का मध्य-बिंदु है और S, AD का मध्यबिंदु है।
तो SR || AC और SR = \(\frac {1}{2}\)AC
(मध्य-बिंदु प्रमेय)

(ii) हमने सिद्ध किया है कि
PQ = \(\frac {1}{2}\)AC
और SR = \(\frac {1}{2}\)AC
∴ PQ = \(\frac {1}{2}\)AC = SR
या PQ = SR

(iii) हमने सिद्ध किया है कि
PQ || AC
और SR || AC
⇒ PQ || SR [∵ दो रेखाएँ जो दी गई रेखा के समांतर होती है परस्पर समांतर होती हैं।]
अब,
PQ = SR
और PQ || SR
जैसा कि हम जानते हैं कि यदि चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समांतर होता है तो यह एक समांतर चतुर्भुज होता है।
∴PQRS एक समांतरचतुर्भुज है।

प्रश्न 2.
ABCD एक समचतुर्भुज हैं और P, Q, R, S क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्यबिंदु है। दर्शाइए कि PQRS एक आयत है।
दिया है : P, Q, R और S समचतुर्भुज ABCD की भुजाओं क्रमश: AB, BC, CD और DA के मध्य-बिंदु हैं। PQ, QR, RS और SP को मिलाया गया है।

सिद्ध करना है : PQRS एक आयत है।
रचना : A और C को मिलाइए।
उपपति : ΔABC में, P, AB का और Q, BC का मध्य बिंदु है।
∴ मध्य-बिंदु प्रमेय से,
PQ || AC और PQ = \(\frac {1}{2}\)AC ……(i)
ΔADC में, R, CD का और S, AD का मध्यबिंदु है।
∴ SR || AC और SR = \(\frac {1}{2}\)AC ……(ii)
(i) और (ii) से हमें प्राप्त होता है।
PQ || SR और PQ = SR
∴ PQRS एक समांतर चतुर्भुज है।
[∵ चतुर्भुज PQRS में सम्मुख भुजाओं PQ और SR एक युग्म बराबर और समांतर है।]
अब, ABCD एक समचतुर्भुज है। (दिया है)
∴ AB = BC
⇒ \(\frac {1}{2}\)AB = \(\frac {1}{2}\)BC
⇒ PB = BQ
∴ ∠1 = ∠2 [∵ त्रिभुज की बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।]
अब, ΔAPS और ΔCQR में,
AP = CQ
[∵ AB = BC ⇒ \(\frac {1}{2}\)AB = \(\frac {1}{2}\)BC
⇒ AP = CQ जहाँ P और Q, AB और BC के मध्य-बिंदु हैं।]
इसी प्रकार, AS = CR
PS = QR
[|| gm PQRS की सम्मुख भुजाएँ।
∴ ΔAPS ≅ ΔCQR
[SSS सर्वांगसमता से]
∴ ∠3 = ∠4
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
अब, ∠1 + ∠SPQ + ∠3 = 180°
और ∠2 + ∠PQR + ∠4 = 180°
(रैखिक युग्म]
∴ ∠1 + ∠SPQ + ∠3 = ∠2 + ∠PQR + ∠4
क्योंकि ∠1 = ∠2 और ∠3 = ∠4
(उपरोक्त में प्रमाणित)
∴ ∠SPQ = ∠PQR …………..(iii)
अब, PQRS एक समांतर चतुर्भुज है।
(उपरोक्त में प्रमाणित)
∴ ∠SPQ + ∠PQR = 180° … (iv)
[∵ SP || RQ और PQ इनको काटती है और तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंत: कोणों का योगफल 180° होता है।]

(iii) को (iv) में प्रयोग करने पर हमें प्राप्त होता है।
∠SPQ + ∠SPQ = 180°
⇒ 2∠SPQ = 180°
⇒ ∠SPQ = 90°
इस प्रकार PQRS एक समांतर चतुर्भुज है जिसमें ∠SPQ = 90°
अतः, PQRS एक आयत है।

प्रश्न 3.
ABCD एक आयत है, जिसमें P, Q, R और S क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य| बिंदु हैं। दर्शाइए कि PQRS एक समचतुर्भुज है
हल :
दिया है : आयत ABCD में P, Q, R और S क्रमश: भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिंदु हैं। PQ, QR, RS और SP को मिलाया गया है।

सिद्ध करना है : PQRS एक समचतुर्भुज है।
रचना: AC को मिलाइए
उपपत्ति : ΔABC में P ओर Q क्रमशः भुजाओं AB, BC के मध्य-बिंदु हैं।
∴ PQ || AC और PQ = \(\frac {1}{2}\)AC …(i)
ΔADC में R और S, क्रमशः CD और AD के मध्य-बिंदु हैं।
∴ SR || AC और SR = \(\frac {1}{2}\)AC ……(ii)
(i) और (ii) से हमें प्राप्त होता है।
PQ || SR और PQ = SR ……(iii)
⇒ PQRS एक समांतर चतुर्भुज है।
ABCD एक आयत है। (दिया है)
⇒ AD = BC
⇒ \(\frac {1}{2}\)AD = \(\frac {1}{2}\)BC
⇒ AS = BQ …. (iv)
ΔAPS और ΔBPQ में,
AP = BP
[∵ P, AB का मध्य-बिंदु है।]
∠PAS = ∠PBQ [प्रत्येक 90°]
और AS = BQ [(iv)से]
∴ ΔAPS ≅ ΔBPQ
[SAS सर्वांगसमता नियम)
⇒ PS = PQ ………(v)
[सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग]
(iii) और (v) से PQRS एक ऐसा समांतर चतुर्भुज है जिसमें
PS = PQ
अर्थात्, दो आसन्न भुजाएँ बराबर हैं।
अतः, PQRS एक समचतुर्भुज है।

प्रश्न 4.
ABCD एक समलंब है, जिसमें AB || DC है । साथ ही BD एक विकर्ण है और E भुजा AD का मध्य-बिंदु है। E से होकर एक रेखा AB के समांतर खींची गई है, जो BC को F पर प्रतिच्छेद करती है। (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि F भुजा BC का मध्य-बिंदु है।

हल :
मान लीजिए विकर्ण BD रेखा EF को बिंदु P पर प्रतिच्छेद करता है।
ΔDAB में,
E, AB का मध्य-बिंदु है और EP || AB है। [∵ EF || AB (दिया है) और P, EF का एक भाग है।]
∴ P, ΔDAB की दूसरी भुजा BD का मध्य-बिंदु है।
[∵ त्रिभुज की एक भुजा के मध्य-बिंदु से दूसरी भुजा के समांतर खींची गई रेखा तीसरी भुजा को मध्य बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है।]
अब, ΔBCD में,
P, BD का मध्य बिंदु है और PF || DC
[∵ EF || AB और AB || DC (दिया है)
∴ EF || DC और PF, EF का ही एक भाग है।]
∴ F, ΔBCD की भुजा BC का भाग है [मध्य-प्रमेय के विलोम से]

प्रश्न 5.
एक समांतर चतुर्भुज ABCD मे, E और F क्रमशः भुजाओं AB और ACD के मध्य-बिंदु हैं (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि रेखाखंड AF और EC विकर्ण BD को समत्रिभाजित करते हैं।
हल :
क्योंकि E और F क्रमश: AB और CD के मध्य-बिंदु हैं।

AE = \(\frac {1}{2}\)AB और CF = \(\frac {1}{2}\)CD ………..(i)
परंतु ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।
⇒ AB = CD और AB || DC
⇒ \(\frac {1}{2}\)AB = \(\frac {1}{2}\)CD और AB || DC
⇒ AE = FC और AE || FC [(i) से]
⇒ AECF एक समांतर चतुर्भुज है
⇒ FA || CE
⇒ FP || CQ [∵ FP, FA का एक भाग है और CQ, CE का एक का भाग है।] … (ii)
हम जानते हैं कि त्रिभुज की एक भुजा के मध्य-बिंदु से खींची रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है।
ΔDCQ में, F, CD का मध्य-बिंदु है और FP || CQ [(ii) से]
∴ P, DQ का मध्य-बिंदु है।
⇒ DP = PQ …… (iii)
इसी प्रकार, ΔABQ में, E, AB का मध्य-बिंदु है और EQ || AP
∴ Q, BP का मध्य-बिंदु है।
⇒ BQ = PQ … (iv)
(iii) और (iv) से
DP = PQ = BQ … (v)
अब, BD = BQ + PQ + DP
= BQ + BQ + BQ
⇒ BD = 3BQ
3BQ = BD
⇒ BQ = \(\frac {1}{3}\) BD … (vi)
(v) और (vi) से हमें प्राप्त होता है।
DP = PQ = BQ = \(\frac {1}{3}\)BD
⇒ बिंदु P और Q, BD को तीन भागों में विभाजित करते हैं।
⇒ AF और CE, BD को तीन भागों में विभाजित करते हैं।

प्रश्न 6.
दर्शाइए कि किसी चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड परस्पर समद्विभाजित करते हैं।
हल :
दिया है: चतुर्भुज ABCD में, EG और FH, सम्मुख भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने से प्राप्त रेखाखंड है।

सिद्ध करना है : EG और FH परस्पर समद्विभाजित करते हैं।
रचना : AC, EF, FG, GH और HE को मिलाइए
उपपति : ΔABC में E और F क्रमशः भुजाओं AB और BC के मध्य-बिंदु हैं।
∴ EF || AC और EF = \(\frac {1}{2}\)AC ……. (i)
इसीतरह ΔADC में,
G और H क्रमशः भुजाओं CD और AD के मध्य बिंदु हैं।
∴ HG || AC और HG = \(\frac {1}{2}\)AC …… (ii)
(i) और (ii) से हमें प्राप्त होता है।
EF || HG और EF = HG
∴ EFGH एक समांतर चतुर्भुज है।
[∵ यदि किसी चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं का एक युग्म समान और समांतर हो तो वह समांतर चतुर्भुज होता है।]
जैसा कि हम जानते हैं कि समांतर चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समद्विभाजक होते हैं। इसलिए समांतर चतुर्भुज EFGH के विकर्ण अर्थात् रेखाखंड EG और FH परस्पर समद्विभाजित होते हैं।

प्रश्न 7.
ABC एक त्रिभुज है जिसका कोण C समकोण है। कर्ण AB के मध्य-बिंदु M से होकर BC के समांतर खींची गई रेखा AC को D पर प्रतिच्छेद करती है।
दर्शाइए कि
(i) D भुजा AC का मध्य-बिंदु है।
(ii) MD ⊥ AC है।
(ii) CM = MA = \(\frac {1}{2}\)AB है।
हल:

(i) ΔABC में, M, AB का मध्य-बिंदु है। (दिया है)
MD || BC
∴ AD = DC
[मध्य-बिंदु प्रमेय का विलोम]
इस प्रकार, D, AC का मध्य-बिंदु है।

(ii) l || BC (दिया है)
मान लीजिए AC एक तिर्यक रेखा है।
∴ ∠1 = ∠C (संगत कोण)
⇒ ∠1 = 90°
[∵ ∠C = 90° (दिया है)]
इस प्रकार, MD ⊥ AC.

(ii) ΔAMD और ΔCMD में,
AD = DC (ऊपर सिद्ध किया है।)
∠1 = ∠2 (प्रत्येक = 90°) [ऊपर सिद्ध किया है।]
MD = MD (उभयनिष्ठ)
ΔAMD ≅ ΔCMD
(SAS सर्वांगसमता नियम)
इसलिए, AM = CM
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग) ……. (a)
दिया है कि M, AB का मध्य-बिंदु है।
∴ AM = \(\frac {1}{2}\)AB … (b)
(a) और (b), का प्रयोग करने पर हमें प्राप्त होता है:
CM = AM = \(\frac {1}{2}\)AB.

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 8 चतुर्भुज Ex 8.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 8 चतुर्भुज Ex 8.1

प्रश्न 1.
एक चतुर्भुज के कोण 3 : 5 : 9 : 13 के अनुपात में हैं। इस चतुर्भुज के सभी कोण ज्ञात कीजिए ।
हल :
मान लीजिए ABCD एक चतुर्भुज है। इसलिए,
∠A = 3x
∠B = 5x
∠C = 9x
∠D = 13x
जहाँ x एक घनात्मक अचर है।
अब, ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°
[चतुर्भुज का कोण योग गुण]
⇒ 3x + 5x + 9x + 13x = 360°
⇒ 30x = 360°
⇒ x = \(\frac {360°}{30°}\)
⇒ x = 12°
अब
∠A = 3x ⇒ ∠A = 3 × 12° ⇒ ∠A = 36°
∠B = 5x ⇒ ∠B = 5 × 12° ⇒ ∠B = 60°
∠C = 9x ⇒ ∠C = 9 × 12° ⇒ ∠C = 108°
और ∠D = 13x ⇒ ∠D = 13 × 12° = 156°
अतः, दी गई चतुर्भुज के कोण क्रमशः 36°, 60°, 108° और 156° हैं।

प्रश्न 2.
यदि एक समांतर चतुर्भुज के विकर्ण बराबर हों, तो दर्शाइए कि वह एक आयत है।
हल :
दिया है : ABCD एक || gm है जिसमें
विकर्ण AC = विकर्ण BD
सिद्ध करना है : ABCD एक आयत है।

उपपत्ति : ΔABC और ΔABD में,
AB = AB … (उभयनिष्ठ)
AC = BD (दिया है)
और AD = BC (||gm की सम्मुख भुजाएँ)
∴ ΔABC ≅ ΔBAD
[SSS सर्वांगसमता नियम से]
⇒ ∠DAB = ∠CBA …………….(i)
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
परंतु ∠DAB + ∠CBA = 180° …..(ii) [∵ AD || BC और AB इनको काटती है। तिर्यक रेखा के एक ओर के अंतः कोणों का योगफल 180° होता है।]
(i) और (ii) से हमें प्राप्त होता है;
∠DAB = ∠CBA = एक समकोण
अतः, ABCD एक आयत है। [∵ यदि || gm का एक कोण 90°का हो, तो वह आयत होता है।]
इति सिद्धम

प्रश्न 3.
दर्शाइए कि यदि एक चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करें, तो वह एक समचतुर्भुज होता है।
हल :
मान लीजिए ABCD एक चतुर्भुज है।।
मान लीजिए इसके विकर्ण AC और BD परस्पर समकोण पर, बिंदु O पर समद्विभाजित करते हैं।

∴ OA = OC, OB = OD
और ∠AOB = ∠BOC = ∠COD
= ∠AOD = 90°
हमने सिद्ध करना है कि ABCD एक समचतुर्भुज हैं।
ΔAOD और ΔBOC में,
OA = OC (दिया है)
∠AOD = ∠BOC
(प्रत्येक = 90°) [दिया है।
OD = OB (दिया है)
∴ ΔAOD ≅ ΔCOB
(SAS सर्वांगसमता नियम से)
इसलिए, AD = CB
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग) …..(i)
ΔAOB और ΔCOD में,
OA = OC (दिया है)
∠AOB = ∠COD
(प्रत्येक = 90°) [दिया है।]
OB = OD (दिया है)
∴ ΔAOB ≅ ΔCOD
[SAS सर्वांगसमता नियम से] इसलिए, AB = CD
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग) … (ii)
अब, ΔAOB और ΔBOC में,
AO = OC (दिया है)
∠AOB = ∠BOC
(प्रत्येक = 90°) (दिया है)
OB = OB (उभयनिष्ठ)
∴ ΔAOB ≅ ΔBOC
(SAS सर्वांगसमता नियम से)
इसलिए, AB = BC
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग) … (iii)
(i), (ii) और (iii) से हमें प्राप्त होता है
AD = BC = CD = AB
इस प्रकार दिए गए प्रतिबंध कि चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं, के साथ-साथ हमने यह भी प्राप्त किया है कि इसकी सभी भुजाएँ बराबर हैं।
अतः, चतुर्भुज उन सभी प्रतिबंधों को, जो एक समचतुर्भुज के लिए आवश्यक हैं, संतुष्ट करती है। अतः, दी गई चतुर्भुज समचतुर्भुज है।

प्रश्न 4.
दर्शाइए कि एक वर्ग के विकर्ण बराबर होते हैं और परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।
हल :
दिया है : ABCD एक वर्ग है जिसमें AC और BD इसके विकर्ण हैं।
सिद्ध करना है : (i) AC = BD, (ii) AC ⊥ BD

उपपत्ति : ΔABC और ΔBAD में,
AB = AB (उभयनिष्ठ)
∠ABC = ∠BAD (प्रत्येक 90°)
BC = AD (वर्ग की भुजाएँ)
∴ ΔABC ≅ ΔBAD
[SAS सर्वांगसमता नियम]
⇒ AC = BD
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
अतः, भाग (i) सिद्ध हुआ।
ΔAOB और AOD में,
AO = AO (उभयनिष्ठ)
AB = AD (वर्ग की भुजाएँ)
OB = OD (वर्ग के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं।)
∴ ΔAOB ≅ ΔAOD
(SSS सर्वांगसमता नियम)
∴ ∠AOB = ∠AOD
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
परंतु ∠AOB + ∠AOD = 180° [रैखिक युग्म]
∴ ∠AOB = ∠AOD = 90°
अर्थात्, OA ⊥ BD या AC ⊥ BD.
(अतः, भाग (ii) सिद्ध हुआ)

प्रश्न 5.
दर्शाइए कि यदि एक चतुर्भुज के विकर्ण बराबर हों और परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करें, तो वह एक वर्ग होता है।
हल :
मान लीजिए ABCD एक चतुर्भुज है जिसके बराबर विकर्ण AC और BD परस्पर बिंदु O पर समद्विभाजित करते हैं।
हमें प्राप्त हैं :
AC = BD
OA = OC ………….(i)
और OB = OD …………..(ii)
AC = BD

⇒ OA + OC = OB + OD
⇒ OC + OC = OB + OB
[(i) और (ii) के प्रयोग करने पर]
⇒ 2OC = 2OB
⇒ OC = OB …… (iii)
(i), (ii) और (i) से हमें प्राप्त होता है :
OA = OB = OC = OD ……… (iv)
अब, ΔAOB और ΔCOD में,
OA = OD
[भाग (iv) में दर्शाया गया है।
∠AOB = ∠COD
[शीर्षाभिमुख कोण]
OB = OC
[भाग (iv) में दर्शाया गया है।]
∴ ΔAOB ≅ ΔDOC
[SAS सर्वांगसमता नियम]
इसलिए, AB = DC ……..(v) (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
इसी प्रकार, ΔBOC ≅ ΔAOD
[SAS सर्वांगसमता नियम]
इसलिए, BC = AD
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)….(vi)

(v) और (vi) से परिणाम निकलता है कि चतुर्भुज ABCD की सम्मुख भुजाएँ बराबर हैं।
अतः, ABCD एक समांतर चतुर्भुज है
अब, ΔABC और ΔBAD में
AB = BA [उभयनिष्ठ]
BC = AD
[भाग (vi) में सिद्ध किया है।
AC = BD (दिया है)
∴ ΔABC ≅ ΔBAD
[SSS सर्वांगसमता नियम]
इसलिए, ∠ABC = ∠BAD …..(vii)
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
परंतु ∠ABC + ∠BAD = 180° …..(vii)] [∵ ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।
(ऊपर प्रमाणित)
∴ AD || BC और AD एक तिर्यक रेखा है।
⇒ ∠ABC + ∠ABC = 180°
[(vii) को (viii) में प्रयोग करने पर]
⇒ 2∠ABC = 180°
⇒ ∠ABC = 90°
∴ ∠ABC = ∠BAD = 90° …. (ix)
समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर हैं। परंतु ∠ABC = 90° और ∠BAD = 90°
∴ ∠ABC = ∠ADC = 90° …(x)
और ∠BAD = ∠BCD = 90° …..(xi)
हम देखते हैं कि ∠ABC = ∠ADC = ∠BAD
= ∠BCD = 90° …..(xii)
अब ΔAOB और ΔBOC में
OA = OC (दिया है)
∠AOB = ∠BOC प्रत्येक 90° (दिया है)
OB = OB (उभयनिष्ठ)
∴ ΔABC ≅ ΔCOB
(SAS सर्वांगसमता नियम)
इसलिए AB = BC …..(xiii)

(v), (vi) और (xiii) से प्राप्त है।
AB = BC = CD = AD (xiv)
(xii) और (xiv) से
अब हमें एक चतुर्भुज प्राप्त है जिसके बराबर विकर्ण परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करते हैं। साथ ही बराबर भुजाएँ परस्पर 90° का कोण बनाती है।
अतः, दी गई चतुर्भुज वर्ग के सभी प्रतिबंधों को संतुष्ट करती है।

प्रश्न 6.
समांतर चतुर्भुज ABCD का विकर्ण AC कोण A को समद्विभाजित करता है ( देखिए आकृति) दर्शाइए कि

(i) यह ∠C को भी समद्विभाजित करता है।
(ii) ABCD एक समचतुर्भुज है।
हल :
यह दिया है कि समांतर चतुर्भुज ABCD में विकर्ण AC कोण A को समद्विभाजित करता है।
सिद्ध करना है : AC, ∠C को समद्विभाजित करती है।
उपपत्ति ; क्योंकि AB || DC और AC उनको प्रतिच्छेदित करती है।
∴ ∠1 = ∠3 (एकांतर कोण) (a)
इसी प्रकार ∠2 = ∠4 …………(b)
परंतु ∠1 = ∠2
[∵ AC, ∠A को समद्विभाजित करती है।] …………(c)
∠3 = ∠4
[(a), (b) और (c) का प्रयोग करने पर] अतः, AC, ∠C को समद्विभाजित करता है।

प्रश्न 7.
ABCD एक समचतुर्भुज है। दर्शाइए कि विकर्ण AC कोणों A और C दोनों को समद्विभाजित करता है तथा विकर्ण BD कोणों B और D दोनों को समद्विभाजित करता है।
हल :
ABCD एक समचतुर्भुज है।
∴ AB = BC = CD = AD
मान लीजिए O, विकर्ण BD का समद्विभाजक बिंदु है और OB = OD है।
ΔAOB और ΔAOD में,
OA = OA (उभयनिष्ठ)
AB = AD
[समचतुर्भुज की बराबर भुजाएँ]
OB = OD
[समचतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते है।]

∴ ΔAOB ≅ ΔAOD
[SSS सर्वांगसमता नियम ]
इसलिए, ∠OAD = ∠OAB
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
⇒ OA, ∠A को समद्विभाजित करता है …..(i)
इसी तरह, ΔBOC ≅ ΔDOC
(SSS सर्वांगसमता नियम)
इसलिए; ∠OCB = ∠OCD
[सवांगसम त्रिभुजों के संगत भाग]
⇒ OC, ∠C को समद्विभाजित करता है …..(ii)
(i) और (ii) से हम कह सकते हैं कि विकर्ण AC, ∠A और ∠C को समद्विभाजित करता है।
अब, ΔAOB और ΔBOC में,
OB = OB (उभयनिष्ठ)
AB = BC
[समचतुर्भुज की बराबर भुजाएँ]
OA = OC [∵ समचतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं।]
ΔAOB ≅ ΔCOB
(SSS सर्वांगसमता नियम)
इसलिए, ∠OBA = ∠OBC
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
⇒ OB, ∠B को समद्विभाजित करता है ….(iii)
इसी तरह, ΔAOD ≅ ΔCOD
(SSS सर्वांगसमता नियम)
⇒ ∠ODA = ∠ODC
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
⇒ OD, ∠D को समद्विभाजित करता है….(iv)
(iii) और (iv) से हम कह सकते हैं कि विकर्ण BD दोनों ∠B और ∠D को समद्विभाजित करता है।

प्रश्न 8.
ABCD एक आयत है जिसमें विकर्ण AC दोनों कोणों A और C को समद्विभाजित करता है। दर्शाइए कि
(i) ABCD एक वर्ग है।
(ii) विकर्ण BD दोनों कोणों B और D को समद्विभाजित करता है।
हल :
ABCD एक आयत है ।
∴ AB = DC ……………(a)
और BC = AD

साथ ही, प्रत्येक कोण; ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°
(i) ΔABC और ΔADC में,
∠1 = ∠2.
और ∠3 = ∠4 [∵ AC दोनों कोणों ∠A और ∠C को समदविभाजित करता है (दिया है)]
AC = AC (उभयनिष्ठ)
∴ ΔABC ≅ ΔADC
(ASA सर्वांगसमता नियम)
इसलिए, AB = AD ……..(b)
(a) और (b) से हमें प्राप्त होता है
AB = BC = AD = DC
इसका अर्थ है कि आयत की सभी भुजाएँ बराबर हैं।
अतः, यह एक वर्ग है।

(ii) ΔABD और ΔBDC में,

AB = BC [∵ आयत ABCD एक वर्ग है भाग (i) में सिद्ध किया है]
AD = DC
(भाग (i) में सिद्ध किया है कि ABCD एक वर्ग है।)
BD = BD (उभयनिष्ठ)
∴ ΔABD ≅ ΔCBD
(SSS सर्वांगसमता नियम)
इसलिए, ∠ABD = ∠CBD ……(c)
(सर्वागसम त्रिभुजों के संगत भाग)
और ∠ADB = ∠CDB …….(d)
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
(c) और (d) का भाव है कि विकर्ण BD दोनों कोणों ∠B और ∠D को समद्विभाजित करता है।

प्रश्न 9.
समांतर चतुर्भुज ABCD के विकर्ण BD पर दो बिंदु P और Q इस प्रकार स्थित हैं कि DP = BQ है (देखिए आकृति )। दर्शाइए कि

(i) ΔAPD ≅ ΔCQB
(ii) AP = CQ
(iii) ΔAQB ≅ ΔCPD
(iv) AQ = CP
(v) APCQ एक समांतर चतुर्भुज है।
हल :
(i) ΔAPD और ΔCQB में,
DP = BQ (दिया है)
∠ADP = ∠QBC [∵ समांतर चतुर्भुज ABCD में AD || BC, BD एक तिर्यक रेखा है।
∴ ∠ADB = ∠DBC (एकांतर कोण) इसलिए;
∠ADP = ∠QBC]
AD = CB [∵ समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।]
∴ ΔAPD ≅ ΔCQB
(SAS सर्वांगसमता नियम)

(ii) इसलिए ; AP = CQ
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)

(iii) ΔAQB और ΔCPD में
BQ = DP (दिया है)
∠ABQ = ∠PDC [∵ समांतर चतुर्भुज ABCD में, AB || CD; BD एक तिर्यक रेखा है।]
∴ ∠ABD = ∠BDC (एकांतर कोण)
इसलिए ; ∠ABQ = ∠PDC]
AB = CD [∵ समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।]
∴ ΔAQB ≅ ΔCPD
[SAS सर्वांगसमता नियम]

(iv) इसलिए, AQ = CP
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)

(v) चतुर्भुज APCQ में, हमें प्राप्त है
AP = CQ
[भाग (ii) में सिद्ध किया है]
AQ = CP
[भाग (iv) में सिद्ध किया है]
चतुर्भुज ARCQ की सम्मुख भुजाएँ बराबर हैं
जैसा कि हम जानते हैं कि एक समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती है।
अतः, APCQ एक समांतर चतुर्भुज है।

प्रश्न 10.
ABCD एक समांतर चतुर्भुज है तथा AP, CQ शीर्षों, A और C से विकर्ण BD पर क्रमशः लम्ब हैं। ( देखिए आकृति)। दर्शाइए कि
(i) ΔAPB ≅ ΔCQD
(ii) AP = CQ

हल :
ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।
∴ AB || DC
BD एक तिर्यक रेखा है।
इसलिए, ∠1 = ∠2 (एकांतर कोण)
(i) अब, ΔAPB और ΔCQD में,
∠APB = ∠CQD
(प्रत्येक = 90°) [दिया है]
∠1 = ∠2 (ऊपर सिद्ध किया है)
AB = CD [∵ समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।]
∴ ΔAPB ≅ ΔCQD
[AAS सर्वांगसमता नियम]

(ii) इसलिए, AP = CQ
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)

प्रश्न 11.
ΔABC और ΔDEF में, AB = DE, AB || DE, BC = EF और BC || EF है। शीर्षों A, B और C को क्रमश: शीर्षों D, E और F से जोड़ा जाता है ( देखिए आकृति)।
दर्शाइए कि
(i) चतुर्भुज ABED एक समांतर चतुर्भुज है।
(ii) चतुर्भुज BEFC एक समांतर चतुर्भुज है।
(iii) AD || CF और AD = CF है।
(iv) चतुर्भुज ACFD एक समांतर चतुर्भुज है।
(v) AC = DF है।
(vi) ΔARC ≅ ΔDEF है।

हल :
दिया है : ΔABC और ΔDEF में,
AB = DE और AB || DE.
साथ ही, त्रिभुजों में BC = EF और BC || EF है।
(i) चतुर्भुज ABED में सम्मुख भुजाओं AB और DE का एक युग्म इस प्रकार है कि AB = DE और AB || DE है।
∴ ABED एक समांतर चतुर्भुज है।
∴ AD = BE और AD || BE.
[समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती है] ……………(1)

(ii) पुनः, चतुर्भुज BEFC में,
BE = CF और BE || CF
∴ BEFC एक समांतर चतुर्भुज है।
∴ CF = BE और CF || BE ….(2)

(iii) (1) और (2) से प्राप्त होता है :
AD = CF और AD || CF

(iv) ∴ ACFD एक समांतर चतुर्भुज है। [∵ यदि चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समांतर हो, तो यह समांतर चतुर्भुज होती है।]

(v) अतः, AC = DF
[||gm को सम्मुख भुजाएँ].

(vi) ΔABC और ΔDEF में,
AB = DE (दिया है)
BC = EF (दिया है)
AC = DF [भाग (v) में सिद्ध किया है]
∴ ΔABC ≅ ΔDFE
(SSS सर्वांगसमता नियम)

प्रश्न 12.
ABCD एक समलंब है, जिसमें AB || DC और AD = BC है ( देखिए आकृति)। दर्शाइए कि
(i) ∠A = ∠B
(ii) ∠C = ∠D
(iii) ΔABC ≅ ΔBAD
(iv) विकर्ण AC = विकर्ण BD है।
हल :
AB को बढ़ाइए और रेखा CE || AD खींचिए जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है।

क्योंकि AD || CE और तिर्यक रेखा AE उनको क्रमश: A और E पर काटती है :
∴ ∠A + ∠E = 180°
∠A = 180° – ∠E ….(1)
⇒ क्योंकि AB || CD और AD || CE है।
∴ AECD एक समांतर चतुर्भुज है।
⇒ AD = CE
⇒ BC = CE
[∵ AD = BC (दिया है)]
इस प्रकार, ΔBCE में
BC = CE
⇒ ∠CBE = ∠CEB [बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।]
⇒ 180° – ∠B = ∠E [∵ ∠CBE + ∠ABC = 180° (रैखिक युग्म)
∴ ∠CBE = 180° – ∠ABC]
⇒ 180° – ∠E = ∠B …..(2)
(1) और (2) से हमें प्राप्त होता है : ∠A = ∠B

(ii) ABCD एक समलंब है जिसमें AB || DC
∴ ∠A + ∠D = 180° ….(a)
और ∠B + ∠C = 180° ….(b)
[∵ दो समांतर रेखाओं के लिए तिर्यक रेखा के एक ही ओर के दो अंत: कोणों का योगफल 180° होता है।]
(a) और (b) को बराबर करने पर हमें प्राप्त होता है
∠A + ∠D = ∠B + ∠C
परंतु ∠A = ∠B भाग (i) में सिद्ध किया है।
∴ ∠A + ∠D = ∠A + ∠C
⇒ ∠D = ∠C
या, ∠C = ∠D इति सिद्धम ।

(iii) ΔABC और ΔBAD में,
AB = AB (उभयनिष्ठ)

∠A = ∠B
[भाग (i) में सिद्ध किया है।]
BC = AD (दिया है)
∴ ΔABC ≅ ΔBAD
(SAS सर्वांगसमता नियम)

(iv) इसलिए, AC = BD
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
अर्थात्, समलंब ABCD में;
विकर्ण AC = विकर्ण BD.

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 7 त्रिभुज MCQ Questions with Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 7 त्रिभुज MCQ Questions

बहुविकल्पीय प्रश्न :

नोट-नीचे प्रत्येक प्रश्न के चार-चार विकल्प दिए गए हैं। सही उत्तर का चयन कीजिए।

प्रश्न 1.
चतुर्भुज ABCD में AB = AD और AB, ∠A को समद्विभाजित करता है।
ΔABC ≅ ΔABD.BC और BD के बीच सम्बन्ध होगा –

(A) BC > BD
(B) BC = BD
(C) BC < BD
(D) BC = \(\frac {1}{2}\)BD.
उत्तर –
(B) BC = BD

प्रश्न 2.
ABCD एक चतुर्भुज है, जिसमें AD = BC और ∠DAB = ∠CBA है, यदि ΔABD ≅ ΔBAC हो तो ∠ABD और ∠BAC में क्या सम्बन्ध है ?

(A) ∠ABD = \(\frac {1}{2}\)∠BAC
(B) ∠ABD = ∠BAC
(C) ∠ABD > ∠BAC
(D) ∠ABD < ∠BAC.
उत्तर –
(A) ∠ABD = \(\frac {1}{2}\)∠BAC

प्रश्न 3.
एक रेखाखण्ड AB पर AD और BC दो बराबर लम्ब रेखाखण्ड हैं। यदि ΔBOC ≅ ΔAOD हो तो OC और OD में क्या सम्बन्ध है ?

(A) OD = OC
(B) OD > OC
(C) OD < OC
(D) OD = \(\frac {1}{2}\)OC
उत्तर –
(A) OD = OC

प्रश्न 4.
यदि M, समकोण ΔARC के कर्ण AC का मध्य बिन्दु हो तो BM = \(\frac {1}{2}\)……………
(A) AC
(B) AB
(C) BC
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर –
(A) AC

प्रश्न 5.
दी गई आकृति में AB = AC और BF = CD तथा ΔACD ≅ ΔABE तो AD = ……..

(A) AC
(B) AB
(C) AE
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर –
(A) AC

प्रश्न 6.
ΔARC एक समकोण त्रिभुज है, जिसमें ∠A = 90° और AB = AC है। ∠B और ∠C का मान होगा
(A) ∠B = ∠C = 60°
(B) ∠B = ∠C = 30°
(C) ∠B = ∠C = 50°
(D) ∠B = ∠C = 45°.
उत्तर –
(D) ∠B = ∠C = 45°.

प्रश्न 7.
समबाहु त्रिभुज के प्रत्येक कोण का माप होता
(A) 50°
(B) 40°
(C) 60°
(D) 65°.
उत्तर –
(C) 60°

प्रश्न 8.
यदि किसी समद्विबाहु त्रिभुज का शीर्ष कोण 40° हो तो अन्य दोनों कोणों का माप होगा
(A) 60°, 60°
(B) 70°, 70°
(C) 50°, 50°
(D) 75°, 75°.
उत्तर –
(B) 70°, 70°

प्रश्न 9.
ΔARC के कोण A, B और C परस्पर बराबर हों तो ये होगी
(A) समबाहु
(B) समद्विबाहु
(C) विषमबाहु
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर –
(A) समबाहु

प्रश्न 10.
यदि किसी त्रिभुज की दो भुजाएं असमान हों, तो लम्बी भुजा के सामने का सम्मुख कोण
(A) बड़ा होता है।
(B) 90° का होता है।
(C) छोटा होता है।
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर –
(A) बड़ा होता है।

प्रश्न 11.
किसी त्रिभुज में बड़े कोण के सम्मुख भुजा
(A) बड़ी होती है।
(B) छोटी होती है।
(C) बराबर होती है।
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर –
(A) बड़ी होती है।

प्रश्न 12.
किसी त्रिभुज की दो भुजाओं का योग उसकी तीसरी भुजा
(A) के बराबर होता है।
(B) से छोटा होता है।
(C) से बड़ा होता है।
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर –
(C) से बड़ा होता है।

प्रश्न 13.
किसी त्रिभुज की सबसे बड़ी भुजा का सम्मुख कोण –
(A) 60° से बड़ा होता है।
(B) 50° से बड़ा होता है।
(C) 90° से बड़ा होता है।
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर –
(A) 60° से बड़ा होता है।

प्रश्न 14.
आकृति में, ΔPQR की भुजा, QR पर T कोई बिन्दु है और s ऐसा बिन्दु है कि RT = ST तो PQ + PR …………… QS.

(A) PQ + PR > QS
(B) PQ + PR = QS
(C) PQ + PR < QS
(D) PQ + PR = \(\frac {1}{2}\)OS.
उत्तर –
(A) PQ + PR > QS

प्रश्न 15.
त्रिभुज के तीनों शीर्षलम्बों का योगफल त्रिभुज की तीनों भुजाओं के योगफल से ……….. होता है –
(A) कम
(B) अधिक
(C) बराबर
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर –
(A) कम

प्रश्न 16.
समकोण त्रिभुज में …………. सबसे लम्बी भुजा होती है
(A) लम्ब
(B) आधार
(C) कर्ण
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर –
(C) कर्ण

प्रश्न 17.
आकृति में ∠B < ∠A और ∠C < ∠D है तो AD और BC में सम्बन्ध है –

(A) AD > BC
(B) AD = BC
(C) AD < BC
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर –
(C) AD < BC

प्रश्न 18.
ΔABC में यदि ∠A = ∠B = 62\(\frac {1}{2}\)° हो तो सबसे बड़ी भुजा का नाम होगा –
(A) AB
(B) BC
(C) CA
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर –
(A) AB

प्रश्न 19.
ΔABC में AC > AB है। ∠A का समद्विभाजक BC को D पर मिलता है तो ∠ADB एक –
(A) न्यून कोण है
(B) अधिक कोण है
(C) सरल कोण है
(D) समकोण है।
उत्तर –
(A) न्यून कोण है

प्रश्न 20.
त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं का अन्तर तीसरी भुजा से –
(A) बड़ा होता है
(B) छोटा होता है
(C) बराबर होता है
(D) आधा होता है।
उत्तर –
(B) छोटा होता है

प्रश्न 21.
यदि किसी त्रिभुज के दो कोण असमान हों, तो छोटे कोण के सामने की भुजा
(A) बड़ी होती है
(B) छोटी होती है
(C) 5 सेमी० होती है
(D) 10 सेमी० होती है।
उत्तर –
(B) छोटी होती है

प्रश्न 22.
ΔARC के अभ्यन्तर में …………….. बिन्दु इसके तीनों शीर्षों से समदूरस्थ होती है
(A) दो कोण समद्विभाजकों का प्रतिच्छेद
(B) दो भुजाओं के लम्ब समद्विभाजकों का प्रतिच्छेद
(C) a और b दोनों
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर –
(B) दो भुजाओं के लम्ब समद्विभाजकों का प्रतिच्छेद

प्रश्न 23.
ΔABC के अभ्यन्तर में ……………. बिन्दु इसकी तीनों भुजाओं से समदूरस्थ होता है
(A) दो भुजाओं के लम्ब समद्विभाजकों का प्रतिच्छेद
(B) दो कोण समद्विभाजकों का प्रतिच्छेद
(C) a और b दोनों
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर –
(B) दो कोण समद्विभाजकों का प्रतिच्छेद

प्रश्न 24.
नीचे षड्भुजीय आकार की रंगोली को 1 सेमी० भुजा वाले कितने समबाहु त्रिभुजों से भरा जा सकता है ?

(A) 200
(B) 150
(C) 300
(D) 250.
उत्तर –
(B) 150

संकेत –

5 सेमी० भुजा वाली समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल
= \(\frac{\sqrt{3}}{4}(5)^2=\frac{\sqrt{3}}{4} \times 25\)
षड्भुजीय रंगोली का क्षेत्रप = 6 × \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) × 25
= 150 × \(\frac{\sqrt{3}}{4}\)सेमी०²
1 सेमी० भुजा वाली समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल
= \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) (1)²
= \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) सेमी०²
षड्भुजीय रंगोली में 1 सेमी० भुजा वाले समबाहु त्रिभुजों की संख्या
= 150\(\frac{\sqrt{3}}{4}\) ÷ \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) = 150

प्रश्न 25.
आकृति में तारे के आकार की रंगोली को 1 सेमी० भुजा वाले समबाहु त्रिभुज से पूरा कीजिए। त्रिभुजों की संख्या होगी

(A) 300
(B) 150
(C) 200
(D) 350.
उत्तर –
(A) 300

प्रश्न 26.
यदि किसी त्रिभुज के दो कोण सर्वांगसम हों तो इन कोणों की सम्मुख भुजाएँ
(A) समान होती हैं
(B) सर्वांगसम होती हैं
(C) सर्वांगसम हो सकती हैं
(D) सर्वांगसम नहीं होती।
उत्तर –
(B) सर्वांगसम होती हैं

प्रश्न 27.
सर्वांगसमता के लिए कौन-सा अभिगृहीत ठीक
(A) भु० क० भु०
(B) क० भु० भु०
(C) भु० भु० क०
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर –
(A) भु० क० भु०

प्रश्न 28.
ΔABC में यदि AB सबसे छोटी तथा BC सबसे लम्बी भुजा हो तो
(A) ∠A < ∠C
(B) ∠A > ∠B
(C) ∠A > ∠C
(D) ∠A < ∠C.
उत्तर –
(C) ∠A > ∠C

प्रश्न 29.
यदि शीर्ष कोण का समद्विभाजक आधार को समद्विभाजित करे तो त्रिभुज –
(A) समबाहु है
(B) समद्विबाहु है
(C) विषमबाहु है
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर –
(B) समद्विबाहु है

प्रश्न 30.
एक समकोण त्रिभुज में यदि एक न्यूनकोण दूसरे न्यूनकोण का दुगुना हो तो कर्ण –
(A) छोटी भुजा के समान होता है
(B) छोटी भुजा का तीन गुणा होता है
(C) छोटी भुजा का दुगुना होता है
(D) छोटी भुजा से छोटा होता है।
उत्तर –
(C) छोटी भुजा का दुगुना होता है

प्रश्न 31.
ΔABC में, यदि माध्यिका BE, माध्यिका CF के बराबर हो तो त्रिभुज
(A) समबाहु हैं
(B) समद्विबाहु हैं
(C) समकोणी हैं
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर –
(C) समकोणी हैं

प्रश्न 32.
एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC में, D, E और F आधार BC और समान भुजाओं AB और AC के मध्य बिन्दु हैं तो
(A) DC = BC
(B) DF = BE
(C) DF = DE
(D) DC = DE
उत्तर –
(C) DF = DE

प्रश्न 33.
ΔABC में AB = AC और भुजा BA को D तक बढ़ाया गया है ताकि AB = AD तो ∠BCD बराबर है
(A) 80°
(B) 45°
(C) 60°
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर-
(D) इनमें से कोई नहीं।

प्रश्न 34.
एक त्रिभुज में अधिकतम एक……….. कोण हो सकता है
(A) न्यून
(B) अधिक
(C) सरल
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर-
(B) अधिक

प्रश्न 35.
नीचे दी गई त्रिभुजें सर्वांगसम हैं। बताइए ये किस अभिगृहीत से सर्वांगसम हैं ?

(A) भु०-भु०-भु०
(B) भु०-को०-भु०
(C) को०-को०-भु०
(D) को०-भु०-भु०।
उत्तर –
(B) भु०-को०-भु०

प्रश्न 36.
नीचे दी गई त्रिभुजें सर्वांगसम हैं। किस अभिगृहीत के कारण ये त्रिभुजें सर्वांगसम हैं ?

(A) भु०-को०-भु०
(B) को०-भु०-को०
(C) भु०-भु०-भु०
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर –
(B) को०-भु०-को०

प्रश्न 37.
l और m दो समान्तर रेखाएँ हैं जिन्हें समान्तर रेखाओं का एक अन्य युग्म प्रतिच्छेद करता है। ΔABC ≅ ΔCDA. ये सर्वांगसमता के किस अभिगृहीत के कारण सर्वांगसम हैं ?

(A) भु०-भु०-भु०
(B) भु०-को०-भु०
(C) को०-को०-भु०
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर –
(C) को०-को०-भु०

संकेत –

l || m, AC एक तिर्यक रेखा है
∴ ∠DAC = ∠ACB
…..(एकांतर कोण)
p || q, AC एक तिर्यक रेखा है
∴ ∠BAC = ∠ACD
…..(एकांतर कोण)
ΔABC और ΔADC में
∠ACB = ∠DAC
∠BAC = ∠ACD ऊपर सिद्ध किया है (उभयनिष्ठ)
AC = AC
∠ABC ≅ ΔCDA (को-को-भुजा सर्वांगसमता)]

प्रश्न 38.
यदि एक त्रिभुज की ………. क्रमशः दूसरे त्रिभुज की तीन भुजाओं के बराबर हों तो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं
(A) एक भुजा
(B) दो भुजाएँ
(C) तीन भुजाएँ
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर –
(C) तीन भुजाएँ

प्रश्न 39.
यदि एक त्रिभुज की……………. और अन्तर्गत कोण क्रमश: दूसरे त्रिभुज की दो भुजाओं और अन्तर्गत कोण के बराबर हों, तो त्रिभुज सर्वांगमस होते हैं
(A) एक भुजा
(B) दो भुजाएँ
(C) तीन भुजाएँ
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर –
(B) दो भुजाएँ

प्रश्न 40.
ABC एक त्रिभुज है जिसमें AC और BC पर खींचे गए शीर्षलम्ब BF और CF बराबर हैं तथा ΔABF ≅ ΔACF. तब ΔABC.

(A) समबाहु है
(B) विषमबाहु है
(C) समद्विबाहु है
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर-
(C) समद्विबाहु है

प्रश्न 41.
ABC और DBC समान आधार BC पर स्थित दो समद्विबाहु त्रिभुज हैं।

(A) ∠ABD = ∠ACD
(B) ∠ABD > ∠ACD
(C) ∠ACD > ∠ABD
(D) ∠ABD = \(\frac {1}{2}\)∠ACD
उत्तर –
(A) ∠ABD = ∠ACD

प्रश्न 42.
त्रिभुज का परिमाप उसके माध्यिकाओं के योग –
(A) के बराबर होता है
(B) से कम होता है
(C) से बड़ा होता है
(D) से आधा होता है।
उत्तर –
(C) से बड़ा होता है

प्रश्न 43.
निम्नलिखित में से कौन त्रिभुजों की सर्वांगसमता की एक कसौटी नहीं है?
(A) SAS
(B) ASA
(C) SSA
(D) SSS.
उत्तर :
(C) SSA

प्रश्न 44.
यदि AB = QR, BC = PR और CA = PQ है, तो
(A) ΔABC ≅ ΔPQR
(B) ΔCBA ≅ ΔPRQ
(C) ΔBAC ≅ ΔRPQ
(D) ΔPQR ≅ ΔBCA.
उत्तर :
(B) ΔCBA ≅ ΔPRQ

प्रश्न 45.
ΔABC में, AB = AC और ∠B = 50° है, तब ∠C बराबर है।
(A) 40°
(B) 50°
(C) 80°
(D) 130°
उत्तर :
(B) 50°

प्रश्न 46.
ΔABC में, BC = AB और ∠B = 80° है, तब ∠A बराबर है।
(A) 80°
(B) 40°
(C) 50°
(D) 100°
उत्तर :
(C) 50°

प्रश्न 47.
ΔPQR में, ∠R = ∠P तथा QR = 4 cm और PR = 5 cm है, तब PQ की लम्बाई है।
(A) 4 cm
(B) 5 cm
(C) 2 cm
(D) 2.5 cm.
उत्तर :
(A) 4 cm

प्रश्न 48.
D एक त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिंदु इस प्रकार स्थित है कि AD कोण BAC को समद्विभाजित करता है। तब,
(A) BD = CD
(B) BA > BD
(C) BD > BA
(D) CD >CA
उत्तर :
(B) BA > BD

प्रश्न 49.
यह दिया है कि ΔABC ≅ ΔFDE है तथा AB = 5cm, ∠B = 40° और ∠A = 80° है। तब निम्नलिखित में से कौन सत्य है ? (A) DF = 5 cm, ∠F = 60°
(B) DF = 5 cm, ∠E = 60°
(C) DE = 5 cm, ∠E = 60°
(D) DE = 5 cm, ∠D = 40°
उत्तर :
(B) DF = 5 cm, ∠E = 60°

प्रश्न 50.
एक त्रिभुज की दो भुजाओं की लम्बाइयां 5 cm और 1.5 cm हैं। इस त्रिभुज की तीसरी भुजा की लंबाई निम्नलिखित नहीं हो सकती।
(A) 3.6 cm
(B) 4.1 cm
(C) 3.8 cm
(D) 3.4 cm
उत्तर :
(D) 3.4 cm

प्रश्न 51.
ΔPQR में, यदि ∠R > ∠Q है, तो
(A) QR > PR
(B) PQ > PR
(C) PQ < PR
(D) QR < PR.
उत्तर :
(B) PQ > PR

प्रश्न 52.
त्रिभुजों ABC और PQR में, AB = AC, ∠C = ∠P और ∠B = ∠Q है। ये दोनों त्रिभुज हैं।
(A) समद्विबाहु परंतु सर्वांगसम नहीं
(B) समद्विबाहु और सर्वांगसम
(C) सर्वांगसम परंतु समद्विभाहु नहीं
(D) न तो सवांगसम और न ही समद्विबाहु ।
उत्तर :
(A) समद्विबाहु परंतु सर्वांगसम नहीं

प्रश्न 53.
त्रिभुजों ABC और DEF में, AB = FD तथा ∠A = ∠D है। दोनों त्रिभुज SAS अभिगृहीत से सर्वांगसम होंगे, यदि
(A) BC = EF
(B) AC = DE
(C) AC = EF
(D) BC = DE.
उत्तर :
(B) AC = DE

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 7 त्रिभुज Ex 7.5 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 7 त्रिभुज Ex 7.5

प्रश्न 1.
ABC एक त्रिभुज है। इसके अभ्यंतर में एक ऐसा बिंदु ज्ञात कीजिए जो ΔABC के तीनों शीर्षों से समदूरस्थ है।
हल :
मान लीजिए ABC एक त्रिभुज है।
इसकी भुजाओं AB और BC के लंब समद्विभाजित क्रमश: PQ और RS खींचिए। मान लीजिए PQ. AB को M पर समद्विभाजित करता है और RS, BC को बिंदु N पर समद्विभाजित करता है।
मान लीजिए PQ और RS बिंदु O पर पर प्रतिच्छेद करते हैं।
OA, OB और OC को मिलाइए।
अब, ΔAOM और BOM में
AM = MB (रचना से)
∠AMO = ∠BMO (प्रत्येक = 90°) [रचना से] (उभयनिष्ठ)
OM = OM
∴ ΔAOM ≅ ΔBOM
(SAS सर्वांगसमता नियम)

इसलिए. OA = OB (सर्वांगसम. त्रिभुजों के संगत भाग)….(i)
इसी तरह, ΔBON ≅ ΔCON
⇒ OB =OC
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)……..(ii)
(i) और (ii) से हम देखते हैं कि
OA = OB = OC
अतः, ΔABC की किन्हीं दो भुजाओं के लंब समद्विभाजकों का प्रतिच्छेद बिंदु O, इसके तीनों शीर्षों से समदूरस्थ है।

प्रश्न 2.
किसी त्रिभुज के अभ्यांतर में एक ऐसा बिंदु ज्ञात कीजिए जो त्रिभुज की सभी भुजाओं से समदूरस्थ हों।
हल :
मान लीजिए ABC एक त्रिभुज है।
∠B और ∠C के समद्विभाजक खींचिए।
मान लीजिए ये कोण समद्विभाजक परस्पर बिंदु I पर प्रतिच्छेद करते हैं।
IK ⊥ BC खींचिए।
साथ ही, IJ ⊥ AB
और IL ⊥ AC खींचिए।

AI को मिलाइए।
ΔBIK और ΔBIJ में,
∠IKB = ∠IJB (प्रत्येक = 90°)
(रचना से)
∠IBK = ∠IBJ [∵ BI ∠B का समद्विभाजक है]
(रचना से)
BI = BI (उभयनिष्ठ)
∴ ΔBIK ≅ ΔBIJ
(AAS सर्वांगसमता नियम)
∴ IK = IJ
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग) ….(i)
इसी प्रकार, ΔCIK ≅ ΔCIL
इसलिए, IK = IL
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)….(ii)
(i) और (ii), से हमें प्राप्त होता है
IJ = IK = IL;
अतः, ΔABC के किन्हीं दो कोणों को समद्विभाजकों का प्रतिच्छे बिंदु I इसकी भुजाओं से समदूरस्थ है।

प्रश्न 3.
एक बड़े पार्क में लोग तीन बिंदुओं (स्थानों) पर केंद्रित हैं (देखिए आकृति)।
A : जहाँ बच्चों के लिए फिसल पट्टी और झूले
B: जिसके पास मानव-निर्मित एक झील है।
C: जो एक बड़े पार्किंग स्थल और बाहर निकलने के रास्ते के निकट है। एक आइसक्रीम का स्टाल कहाँ लगाना चाहिए ताकि वहाँ लोगों की अधिकतम संख्या पहुंच सके ?

हल :
स्टाल A, B और C से समदूरस्थ होना चाहिए। इसके लिए हम बिंदुओं B और C को मिलाने वाली रेखा का लंब समद्विभाजक l और बिंदुओं A और C को मिलाने वाली रेखा का लंब समद्विभाजक m खींचते हैं।

मान लीजिए l और m परस्पर बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं।
अब बिंदु O बिंदुओं A, B और C से समदूरस्थ हैं। OA, OB और OC को मिलाइए।
उपपत्ति : ΔBOP और ΔCOP में,
OP = OP (उभयनिष्ठ)
∠OPB = ∠OPC (प्रत्येक = 90°) (रचना से)
BP = PC
[∵ P, BC का मध्य-बिंदु है]
∴ ΔBOP ≅ ΔCOP
[SAS सर्वांगसमता नियम]
इसलिए, OB = OC
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)…(i)
इसी तरह, ΔAOQ ≅ ΔCOQ
⇒ OA = OC
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग) ..(ii)
(i) और (ii) से हमें प्राप्त होता है
OA = OB = OC
हम देखते हैं कि इन बिंदुओं को मिलाने से प्राप्त तीन भुजाओं में से किन्हीं दो भुजाओं के लंब समद्विभाजकों का प्रतिच्छेद बिंदु O ही वह बिंदु है जहाँ पर आइसक्रीम स्टाल लगाना चाहिए।

प्रश्न 4.
षड्भुजीय और तारे के आकार की रंगोलियों (देखिए आकृति (i) और (ii)] को 1 cm भुजा वाले समबाहु त्रिभुजों से भर कर पूरा कीजिए। प्रत्येक स्थिति में, त्रिभुजों की संख्या गिनिए। किसमें अधिक त्रिभुज हैं?
हल :
षड्भुजीय रंगोली में : प्रत्येक 5 cm भुजा वाली समबाहु त्रिभुजों की संख्या

षड्भुजीय रंगोली का क्षेत्रफल = 6 × एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल
= 6 × \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) × 25
= 150 × \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) cm² …(i)
1 cm भुजा वाली समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल
= \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) (1)²
= \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) cm² ………. (ii)
षड्भुजीय रंगोली में 1 cm भुजा वाले समबाहु त्रिभुजों की संख्या = 150\(\frac{\sqrt{3}}{4}\) ÷ \(\frac{\sqrt{3}}{4}\)
= 150 \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) × \(\frac{4}{\sqrt{3}}\)
= 150 ….(iii)
अब तारे के आकार की रंगोली में
प्रत्येक 5 cm भुजा वाली समबाहु त्रिभुजों की संख्या = 12
इसलिए तारे के आकार वाली रंगोली का कुल क्षेत्रफल = 12 × 5 cm भुजा वाली एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल

तारे के आकार वाली रंगोली में 1 cm भुजा वाली त्रिभुजों की संख्या
= 300 \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) ÷ \(\frac{\sqrt{3}}{4}\)
[ (iv) को (ii) से भाग देने पर]
= 300 \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) × \(\frac{4}{\sqrt{3}}\)
= 300 …….(v)
(iii) और (v) से हम देखते हैं कि तारे के आकार वाली रंगोली में 1 cm भुजा वाली समबाहु त्रिभुजों की संख्या अधिक है।