Class 10

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 13 ਸਤੁਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਅਤੇ ਆਇਤਨ Ex 13.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 13 ਸਤੁਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਅਤੇ ਆਇਤਨ Exercise 13.3

ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਕਿਹਾ ਨਾ ਜਾਵੇ, π = \(\frac{22}{7}\) ਲਓ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 1.
ਅਰਧ ਵਿਆਸ 4.2 cm ਵਾਲੇ ਧਾਤੂ ਦੇ ਇੱਕ ਗੋਲੇ ਨੂੰ ਪਿਘਲਾ ਕੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ 6 cm ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਬੇਲਣ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਢਾਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ । ਬੇਲਣ ਦੀ ਉੱਚਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:

ਗੋਲੇ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (r) = 4.2 cm
ਬੋਲਣ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (R) = 6 cm
ਮੰਨ ਲਉ ਬੇਲਣ ਦੀ ਉੱਚਾਈ = H cm
ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਅਨੁਸਾਰ,
ਗੋਲੇ ਦਾ ਆਇਤਨ = ਬੇਲਣ ਦਾ ਆਇਤਨ
\(\frac{4}{3}\)πr³ = πR²H
\(\frac{4}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) × 4.2 × 4.2 × 4.2
= \(\frac{22}{7}\) × 6 × 6 × H

= \(\frac{2744}{1000}\) = 2.744 cm
ਬੇਲਣ ਦੀ ਉੱਚਾਈ (H) = 2744 cm

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 2.
ਕ੍ਰਮਵਾਰ : 6 cm, 8 cm ਅਤੇ 10 cm ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਵਾਲੇ ਧਾਤੂ ਦੇ ਤਿੰਨ ਠੋਸ ਗੋਲਿਆਂ ਨੂੰ ਪਿਘਲਾ ਕੇ ਇੱਕ ਵੱਡਾ ਠੋਸ ਗੋਲਾ ਬਣਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਇਸ ਗੋਲੇ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:

ਪਹਿਲੇ ਗੋਲੇ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (r₁) = 6 cm
ਦੂਸਰੇ ਗੋਲੇ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (r₂) = 8 cm
ਤੀਸਰੇ ਗੋਲੇ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (r₃) = 10 cm
ਮੰਨ ਲਉ ਨਵੇਂ ਗੋਲੇ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ = R cm
ਤਿੰਨਾਂ ਗੋਲਿਆਂ ਦਾ ਆਇਤਨ = ਵੱਡੇ ਗੋਲੇ ਦਾ ਆਇਤਨ

= 2 × 2 × 3 cm
R = 12 cm
∴ ਗੋਲੇ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ = 12 cm

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 3.
ਵਿਆਸ 7 m ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਖੁਹ 20 m ਡੂੰਘਾ ਪੁੱਟਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਪੁੱਟਣ ਨਾਲ ਨਿਕਲੀ ਹੋਈ ਮਿੱਟੀ ਨੂੰ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ | ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਫੈਲਾ ਕੇ 22 m × 14 m ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਚਬੂਤਰਾ | ਬਣਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ | ਚਬੂਤਰੇ ਦੀ ਉੱਚਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਖੂਹ ਦਾ ਵਿਆਸ = 7 m
ਖੂਹ (ਬੇਲਣ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ) R = 6 m
ਖੂਹ ਦੀ ਉੱਚਾਈ (H) = 20 m
ਚਬੂਤਰੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ (L) = 22 m
ਦੇ ਚਬੂਤਰੇ ਦੀ ਚੌੜਾਈ (B) = 14 m
ਮੰਨ ਲਓ ਚਬੂਤਰੇ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ = H m

ਖੂਹ ਵਿਚੋਂ ਨਿਕਲੀ ਮਿੱਟੀ ਦਾ ਆਇਤਨ = ਬਣਾਏ ਗਏ ਚਬੂਤਰੇ ਦਾ ਆਇਤਨ

πR²H = L × B × H
\(\frac{22}{7}\) × \(\frac{7}{2}\) × \(\frac{7}{2}\) × 20 = 22 × 14 × h
∴ H = \(\frac{\frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \times 20}{22 \times 14}\)
H = 2.5 cm
∴ ਚਬੂਤਰੇ ਦੀ ਉੱਚਾਈ H = 2.5 cm.

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 4.
3 m ਵਿਆਸ ਦਾ ਇੱਕ ਖੁਹ 14 m ਦੀ ਗਹਿਰਾਈ ਡੂੰਘਾਈ) ਤੱਕ ਪੁੱਟਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ । ਇਸ ਵਿੱਚੋਂ ਨਿਕਲੀ ਹੋਈ ਮਿੱਟੀ ਨੂੰ ਖੂਹ ਦੇ ਚਾਰੇ ਪਾਸੇ 4m ਚੌੜੀ ਇੱਕ ਚੱਕਰਾਕਾਰ ਚਬੂਤਰਾ (ring) ਬਣਾਉਂਦੇ ਹੋਏ, ਸਮਾਨ ਰੂਪ ਨਾਲ ਫੈਲਾ ਕੇ ਇੱਕ ਪ੍ਰਕਾਰ ਦਾ ਬੰਨ ਬਣਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਬੰਨ ਦੀ ਉੱਚਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਖੂਹ ਦੀ ਗਹਿਰਾਈ (h) = 14
ਖੂਹ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (P) = \(\frac{3}{2}\) m

ਬੰਨ ਖੋਖਲੇ ਬੇਲਣ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਅੰਦਰੂਨੀ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਖੂਹ ਦੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ ਅਤੇ ਬੰਨ ਦੀ ਚੌੜਾਈ 4 m ਹੈ ।
ਬੰਨ ਦੇ ਅੰਦਰਲਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (r)
= ਖੂਹ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (r) = \(\frac{3}{2}\) m
ਬੰਨ ਦਾ ਬਾਹਰੀ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (R)
= (\(\frac{3}{2}\) + 4) m
R = \(\frac{11}{2}\) m
= 5.5 m
ਨਿਕਲੀ ਹੋਈ ਮਿੱਟੀ ਦਾ ਆਇਤਨ
= ਬਣੇ ਹੋਏ ਬੰਨਦਾ ਆਇਤਨ
πr²h = ਬਾਹਰੀ ਬੇਲਣ ਦਾ ਆਇਤਨ – ਅੰਦਰੂਨੀ ਬੇਲਣ ਦਾ ਆਇਤਨ
= πR²H – πr²H
= πH[R² – r²]
\(\frac{22}{7}\) × \(\frac{3}{2}\) × \(\frac{3}{2}\) × 14
= \(\frac{22}{7}\) × H[(5.5)² – (1.5)²]
H = \(=\frac{\frac{22}{7} \times \frac{3}{2} \times \frac{3}{2} \times 14}{\frac{22}{7} \times(5.5-1.5)(5.5+1.5)}\) m
= \(\frac{1.5 \times 1.5 \times 14}{4 \times 7}\) m
= 1.125 m
∴ ਬੰਨ ਦੀ ਉੱਚਾਈ H = 1.125 m

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 5.
12 cm ਵਿਆਸ ਅਤੇ 15 cm ਉੱਚਾਈ ਵਾਲੇ ਇੱਕ । ਲੰਬ ਚੱਕਰੀ ਬੇਲਣ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦਾ ਬਰਤਨ ਆਇਸਕੀਮ ਨਾਲ ਪੂਰਾ ਭਰਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ । ਇਸ਼ ਆਇਸਕ੍ਰੀਮ ਦੀ ਉੱਚਾਈ 12 cm ਅਤੇ ਵਿਆਸ 6 cm ਵਾਲੇ ਸ਼ੰਕੂਆਂ ਵਿੱਚ ਭਰਿਆ ਜਾਣਾ ਹੈ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਉੱਪਰੀ ਸਿਰਾ ਅਰਧ ਗੋਲਾਕਾਰ ਹੋਵੇਗਾ । ਉਨ੍ਹਾਂ ਸ਼ੰਕੂਆਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜੋ ਇਸ ਆਇਸਕੀਮ ਨਾਲ ਭਰੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ।
ਹੱਲ:

ਬੇਲਣ ਦਾ ਵਿਆਸ (D) = 12 cm
∴ ਬੇਲਣ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (R) = 6 cm
ਬੇਲਣ ਦੀ ਉੱਚਾਈ (H) = 15 cm
ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ ਵਿਆਸ = 6 cm
ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (r) = 3 cm
ਅਰਧਗੋਲੇ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (r) = 3 cm
ਸ਼ੰਕੂ ਦੀ ਉੱਚਾਈ (h) = 12 cm
ਮੰਨ ਲਉ ਸ਼ੰਕੂਆਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ = n
ਬਰਤਨ ਵਿਚ ਆਇਸਕ੍ਰਿਮ ਦਾ ਆਇਤਨ
= n [ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ ਆਇਤਨ
πR²H = n
[ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ ਆਇਤਨ + ਅਰਧਗੋਲੇ ਦਾ ਆਇਤਨ]

n = 10
ਸ਼ੰਕੂਆਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ = 10

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 6.
5.5 cm × 10 cm × 3.5 cm ਪਸਾਰਾਂ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਘਣਾਵ ਬਣਾਉਣ ਦੇ ਲਈ 1.75 cm ਵਿਆਸ ਅਤੇ 2 mm ਮੋਟਾਈ ਵਾਲੇ ਕਿੰਨੇ ਚਾਂਦੀ ਦੇ ਸਿੱਕਿਆਂ (coins) ਨੂੰ ਪਿਘਲਾਉਣਾ ਪਏਗਾ ?
ਹੱਲ:
ਚਾਂਦੀ ਦਾ ਸਿੱਕਾ ਬੇਲਣ ਆਕਾਰ ਦਾ ਹੈ
ਚਾਂਦੀ ਦੇ ਸਿੱਕੇ ਦਾ ਵਿਆਸ = 1.75 cm
∴ ਚਾਂਦੀ ਦੇ ਸਿੱਕੇ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (r) = \(\frac{1.75}{2}\) cm
ਚਾਂਦੀ ਦੇ ਸਿੱਕੇ ਦੀ ਮੋਟਾਈ
= ਬੇਲਣ ਦੀ ਉੱਚਾਈ (h) = 2 mm
ਅਰਥਾਤ h = \(\frac{2}{10}\) cm

ਘਣਾਵ ਦੀ ਲੰਬਾਈ (L) = 5.5 cm
ਘਣਾਵ ਦੀ ਚੌੜਾਈ (B) = 10 cm
ਘਣਾਵ ਦੀ ਉਚਾਈ (H) = 3.5 cm

ਮੰਨ ਲਉ ਚਾਂਦੀ ਦੇ ਸਿੱਕਿਆਂ ਨੂੰ ਪਿਘਲਾ ਕੇ ਨਵਾਂ ਘਣਾਵ ਬਣਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ
ਘਣਾਵ ਦਾ ਆਇਤਨ = n[ਚਾਂਦੀ ਦੇ ਸਿੱਕੇ ਦਾ ਆਇਤਨ]
= n[πr²h]

= 400
ਬਣੇ ਚਾਂਦੀ ਦੇ ਸਿੱਕਿਆਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ = 400

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 7.
32 cm ਉੱਚੀ ਅਤੇ 18 cm ਆਧਾਰ ਦੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਬੇਲਣਾਕਾਰ ਬਾਲਟੀ ਰੇਤ ਨਾਲ ਭਰੀ ਹੋਈ ਹੈ । ਇਸ ਬਾਲਟੀ ਨੂੰ ਭੂਮੀ ‘ਤੇ ਖਾਲੀ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਰੇਤ ਦੀ ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ ਆਕਾਰ ਢੇਰੀ ਬਣਾਈ ਜਾਂਦੀ ਹੈ । ਜੇਕਰ ਸ਼ੰਕੁ ਆਕਾਰ ਢੇਰੀ ਦੀ ਉੱਚਾਈ 24 cm ਹੈ, ਤਾਂ ਇਸ ਢੇਰੀ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਅਤੇ ਤਿਰਛੀ ਉੱਚਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:

ਬੇਲਣਾਕਾਰ ਬਾਲਟੀ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (R) = 18 cm
ਬੇਲਣਾਕਾਰ ਬਾਲਟੀ ਦੀ ਉੱਚਾਈ (H) = 32 cm
ਸ਼ੰਕੂ ਦੀ ਉੱਚਾਈ (h) = 24 cm
ਮੰਨ ਲਉ ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਅਤੇ ਢੇਰੀ ਦੀ ਤਿਰਛੀ ਉੱਚਾਈ ‘r’ cm ਅਤੇ ‘l’ cm ਹੈ ।
ਬਾਲਟੀ ਵਿਚ ਰੇਤ ਦਾ ਆਇਤਨ = ਸ਼ੰਕੂ ਵਿੱਚ ਰੇਤ ਦਾ ਆਇਤਨ

r² = 1296
r = \(\sqrt {1296}\) cm
r = 36 cm
∴ ਕੂ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (r) = 36 cm
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ
(ਤਿਰਛੀ ਉੱਚਾਈ)² = (ਅਰਧਵਿਆਸ)² + (ਉੱਚਾਈ)²
l² = r² + h²
l = \(\sqrt{(36)^{2}+(24)^{2}}\)
= \(\sqrt {1296+576}\)
= \(\sqrt {1872}\)
= \(\sqrt {12×12×13}\)
l = 12\(\sqrt {13}\) cm
∴ ਸ਼ੰਕੂ ਦੀ ਤਿਰਛੀ ਉੱਚਾਈ (l) = 12\(\sqrt {13}\) cm

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 8.
6 m ਚੌੜੀ ਅਤੇ 1.5 m ਗਹਿਰੀ (ਡੂੰਘੀ) ਇੱਕ ਨਹਿਰ ਵਿੱਚ ਪਾਣੀ 10 km/h ਦੀ ਚਾਲ ਨਾਲ ਵਹਿ (ਚੱਲ) ਰਿਹਾ ਹੈ ।30 ਮਿੰਟ ਵਿੱਚ, ਇਹ ਨਹਿਰ ਕਿੰਨੇ ਖੇਤਰਫਲ ਦੀ ਸਿੰਚਾਈ ਕਰ ਸਕੇਗੀ, ਜਦਕਿ ਸਿੰਚਾਈ ਦੇ ਲਈ 8 cm ਡੂੰਘੇ ਪਾਣੀ ਦੀ ਜ਼ਰੂਰਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ।
ਹੱਲ:
ਨਹਿਰ ਦੀ ਚੌੜਾਈ = 6 m
ਨਹਿਰ ਵਿੱਚ ਪਾਣੀ ਦੀ ਡੂੰਘਾਈ = 1.5 m
ਜਿਸ ਚਾਲ ਨਾਲ ਪਾਣੀ ਚਲ ਰਿਹਾ ਹੈ = 10 km/hr
ਇੱਕ ਘੰਟੇ ਵਿੱਚ ਨਿਕਲੇ ਪਾਣੀ ਦਾ ਆਇਤਨ = ਇਕ ਘੰਟੇ ਵਿੱਚ ਨਿਕਲੇ ਪਾਣੀ ਦੀ ਚਾਲ
= (6 × 1.5 m²) × 10 km
= 6 × 1.5 × 10 × 10 × 1000 m³.
∴ \(\frac{1}{2}\) ਘੰਟੇ ਵਿੱਚ ਨਿਕਲੇ ਪਾਣੀ ਦਾ ਆਇਤਨ
\(\frac{1}{2}\) × \(\frac{6×15}{10}\) × 100000
= 450000 m³
ਮੰਨ ਲਉ ਸਿੰਚਾਈ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = (x) m²
ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਅਨੁਸਾਰ ਖੇਤ ਵਿੱਚ 8 cm ਗਹਿਰੇ ਪਾਣੀ ਦੀ ਲੋੜ
∴ \(\frac{1}{2}\) ਘੰਟੇ ਵਿਚ ਨਿਕਲੇ ਪਾਣੀ ਦਾ ਆਇਤਨ ਹੈ
= ਖੇਤ ਵਿੱਚ ਪਾਣੀ ਦਾ ਆਇਤਨ
450000 m³ = (ਖੇਤ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ) × ਪਾਣੀ ਦੀ ਉੱਚਾਈ
450000 m³ = x × (m)
\(\frac{450000}{8}\) × 100 = x
x = 562500 m²
x = \(\frac{562500}{10000}\) ਹੈਕਟੇਅਰ
[1 m² = \(\frac{1}{10000}\) ਹੈਕਟੇਅਰ]
x = 56.25 ਹੈਕਟੇਅਰ
∴ ਖੇਤ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = 56.25 ਹੈਕਟੇਅਰ

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 9.
ਇੱਕ ਕਿਸਾਨ ਆਪਣੇ ਖੇਤ ਵਿਚ ਬਣੀ 10 m ਵਿਆਸ ਵਾਲੀ ਅਤੇ 2 m ਡੂੰਘੀ ਇੱਕ ਬੇਲਣਾਕਾਰ ਟੈਂਕੀ ਨੂੰ ਅੰਦਰੂਨੀ ਵਿਆਸ 20 cm ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਪਾਇਪ ਦੁਆਰਾ ਇੱਕ ਨਹਿਰ ਨਾਲ ਜੋੜਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਪਾਇਪ ਵਿੱਚ ਪਾਣੀ 3 km/h ਦੀ । ਚਾਲ ਨਾਲ ਚੱਲ (ਵਹਿ ਰਿਹਾ ਹੈ ਤਾਂ ਕਿੰਨੇ ਸਮੇਂ ਬਾਅਦ ਟੈਂਕੀ ਭਰ ਜਾਵੇਗੀ ?
ਹੱਲ:
ਪਾਣੀ ਦੀ ਚਾਲ = 3 km/hr
ਪਾਇਪ ਦਾ ਅੰਦਰੂਨੀ ਵਿਆਸ = 20 cm
∴ ਪਾਇਪ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (r) = 10 cm = \(\frac{10}{100}\) m
= \(\frac{1}{10}\) m
ਟੈਂਕੀ ਦਾ ਵਿਆਸ = 10 m
ਟੈਂਕੀ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (R) = 5 m
ਟੈਂਕੀ ਦੀ ਡੂੰਘਾਈ (H) = 2 m
ਮੰਨ ਲਉ ਪਾਇਪ n ਮਿੰਟਾਂ ਵਿਚ ਟੰਕੀ ਭਰਦੀ ਹੈ ਟੈਂਕੀ ਵਿਚ ਪਾਣੀ ਦਾ ਆਇਤਨ
= ਪਾਇਪ ਦੁਆਰਾ n ਮਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ ਚੱਕਿਆ ਪਾਣੀ
πR²H = n [ਅੰਦਰੂਨੀ ਕਾਟ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ × ਪਾਣੀ ਦੀ ਚਾਲੀ]
πR²H = n[(πr²) × 3 km/h]
\(\frac{22}{7}\) × (5)² × 2
= n[\(\frac{22}{7}\) × \(\frac{1}{10}\) × \(\frac{1}{10}\) × \(\frac{31000}{60}\)]
= 25 × 2
= n\(\frac{1}{10}\) × 50
⇒ n = 100 ਮਿੰਟ
∴ ਟੈਂਕੀ ਨੂੰ ਭਰਨ ਵਿਚ ਲੱਗਾ ਸਮਾਂ
= 100 ਮਿੰਟ

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 13 ਸਤੁਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਅਤੇ ਆਇਤਨ Ex 13.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 13 ਸਤੁਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਅਤੇ ਆਇਤਨ Exercise 13.2

(ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਨਾ ਕਿਹਾ ਜਾਵੇ, π = \(\frac{22}{7}\) ਲਓ )

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 1.
ਇੱਕ ਠੋਸ ਇੱਕ ਅਰਧ ਗੋਲੇ ‘ਤੇ ਖੜ੍ਹੇ ਸ਼ੰਕੂ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦਾ ਹੈ । ਦੋਹਾਂ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ 1 cm ਹੈ ਅਤੇ ਸ਼ੰਕੂ ਦੀ ਉੱਚਾਈ ਉਸਦੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ । ਇਸ ਠੋਸ ਦਾ ਆਇਤਨ π ਦੇ ਪਦਾਂ ਵਿੱਚ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਸ਼ੰਕੁ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ = ਅਰਧਗੋਲੇ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ = 1 cm
R = 1 cm
∴ ਸ਼ੰਕੂ ਦੀ ਉੱਚਾਈ (H) = 1 cm

ਠੋਸ ਦਾ ਆਇਤਨ = ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ ਆਇਤਨ + ਅਰਧਗੋਲੇ ਦਾ ਆਇਤਨ
= \(\frac{1}{3}\)πR²H + \(\frac{2}{3}\)πR³
= \(\frac{1}{3}\)πR²[H + 2R]
= \(\frac{1}{3}\)π × 1 × 1[1 + 2 × 1] cm²
= \(\frac{1}{3}\)π × 3 = \(\frac{3 \pi}{3}\) cm²
= π cm³
∴ ਠੋਸ ਦਾ ਆਇਤਨ = π cm³

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 2.
ਇੱਕ ਇੰਜੀਨਿਅਰਿੰਗ ਦੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਮਨੋਹਰ ਨੂੰ ਇੱਕ ਪਤਲੀ ਐਲੂਮੀਨੀਅਮ ਦੀ ਸ਼ੀਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਇੱਕ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਕਿਹਾ ਗਿਆ ਜੋ ਇੱਕ ਅਜਿਹੇ ਬੇਲਣ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦਾ ਹੋਵੇ ਜਿਸਦੇ ਦੋਨੋਂ ਸਿਰਿਆਂ ‘ਤੇ ਦੋ ਸ਼ੰਕੂ ਜੁੜੇ ਹੋਏ ਹੋਣ ।ਇਸ ਮਾਡਲ ਦਾ ਵਿਆਸ 3 cm ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 12 cm ਹੈ । ਜੇਕਰ ਹਰੇਕ ਸ਼ੰਕੂ ਦੀ ਉੱਚਾਈ 2 cm ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਮਨੋਹਰ ਦੁਆਰਾ ਬਣਾਏ ਗਏ ਮਾਡਲ ਵਿੱਚ ਮੌਜੂਦ ਹਵਾ ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰੋ। (ਇਹ ਮੰਨ ਲਓ ਮਾਡਲ ਦੀਆਂ ਅੰਦਰੂਨੀ ਅਤੇ ਬਾਹਰੀ ਪਸਾਰਾਂ ਲਗਭਗ ਬਰਾਬਰ ਹਨ ।
ਹੱਲ:

ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ = ਬੇਲਣ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (R) = \(\frac{3}{2}\) cm
R = 5 cm
∴ R = 1.5 cm
ਹਰੇਕ ਸ਼ੰਕੂ ਦੀ ਉੱਚਾਈ (h) = 2 cm
∴ ਬੇਲਣ ਦੀ ਉਚਾਈ = (12 -2 – 2) cm
= 8 cm
ਬੇਲਣ ਵਿਚ ਮੌਜੂਦ ਹਵਾ ਦਾ ਆਇਤਨ = ਬੇਲਣ ਦਾ ਆਇਤਨ + 2 (ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ ਆਇਤਨ)

ਬੇਲਣ ਵਿਚ ਹਵਾ ਦਾ ਆਇਤਨ
= \(\frac{22}{7}\) × \(\frac{3}{2}\) × \(\frac{3}{2}\) × \(\frac{28}{3}\) cm³
= 22 × 3 cm³
= 66 cm³
= 66 cm³

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 3.
ਇੱਕ ਗੁਲਾਬਜਾਮਣ ਵਿੱਚ ਉਸਦੇ ਆਇਤਨ ਦੀ ਲਗਭਗ 30% ਖੰਡ ਦੀ ਚਾਸ਼ਣੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ | 45 ਗੁਲਾਬ ਜਾਮਣਾਂ ਵਿਚ ਲਗਭਗ ਕਿੰਨੀ ਚਾਸ਼ਣੀ ਹੋਵੇਗੀ, ਜੇਕਰ ਹਰੇਕ ਗੁਲਾਬਜਾਮਣ ਇੱਕ ਬੇਲਣ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਦੇ ਦੋਨੋਂ ਸਿਰੇ ਅਰਧਗੋਲਾਕਾਰ ਹਨ ਅਤੇ ਉਸ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 5 cm ਅਤੇ ਵਿਆਸ 2.8 cm ਹੈ (ਦੇਖੋ ਚਿੱਤਰ) ।

ਹੱਲ:
ਗੁਲਾਬ ਜਾਮਣ ਬੇਲਣ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਦੇ ਦੋਵੇਂ ਸਿਰੇ ਅਰਧਗੋਲਾਕਾਰ ਹਨ ।
ਵੇਲਣ ਦਾ ਵਿਆਸ = ਅਰਧ ਗੋਲੇ ਦਾ ਵਿਆਸ = 2.8 cm
ਬੇਲਣ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ = ਅਰਧ ਗੋਲੇ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (R)
= \(\frac{2.8}{2}\) = 1.4 cm
R = 1.4 cm

ਬੇਲਣਾਕਾਰ ਭਾਗ ਦੀ ਉੱਚਾਈ
= (5 – 14 – 1.4) cm
= (5 – 2.8) cm
= 2.2 cm
ਇੱਕ ਗੁਲਾਬ ਜਾਮਣ ਦਾ ਆਇਤਨ
= ਬੇਲਣ ਦਾ ਆਇਤਨ + 2 [ਅਰਧ ਗੋਲੇ ਦਾ ਆਇਤਨ]

= 22∙05 cm³
ਇਕ ਗੁਲਾਬ ਜਾਮਣ ਦਾ ਆਇਤਨ
= 25.05 cm³
ਹੁਣ, 45 ਗੁਲਾਬ ਜਾਮਣਾਂ ਦਾ ਆਇਤਨ
= 45 × 25.05 cm³
= 1127.25 cm³
∴ ਖੰਡ ਦੀ ਚਾਸ਼ਣੀ ਦਾ ਆਇਤਨ
= 45 ਗੁਲਾਬ ਜਾਮਣਾਂ ਦੇ ਆਇਤਨ ਦਾ 30%
= \(\frac{30 \times 1127.25}{100}\) cm³
= 338.175 cm³
∴ ਖੰਡ ਦੀ ਚਾਸ਼ਣੀ ਦੀ ਮਾਤਰਾ = 338 cm³

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 4.
ਇੱਕ ਕਲਮਦਾਨ ਘਣਾਵ ਆਕਾਰ ਦੀ ਇੱਕ ਲੱਕੜੀ ਨਾਲ ਦਾ ਬਣਿਆ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਕਲਮ ਰੱਖਣ ਦੇ ਲਈ ਚਾਰ ਸ਼ੰਕੁ ਆਕਾਰ ਖੱਡੇ ਬਣੇ ਹੋਏ ਹਨ | ਘਣਾਵ ਦੀਆਂ ਪਸਾਰਾਂ (dimensions) 15 cm × 10 cm × 3.5 cm ਹਨ । ਹਰੇਕ ਖੰਡੇ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ 0.5 cm ਹੈ ਅਤੇ ਗਹਿਰਾਈ 1.4 cm ਹੈ । ਪੁਰੇ ਕਲਮਦਾਨ ਵਿੱਚ ਲੱਕੜੀ ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰੋ । (ਦੇਖੋ ਚਿੱਤਰ)

ਹੱਲ:
ਘਣਾਵ ਦੀ ਲੰਬਾਈ (L) = 15 cm
ਘਣਾਵ ਦੀ ਚੌੜਾਈ (B) = 10 cm
ਘਣਾਵ ਦੀ ਉੱਚਾਈ (H) = 3.5 cm
ਸ਼ੰਕੁ ਆਕਾਰ ਖੰਡੇ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ = 0.5 cm
ਸ਼ੰਕੂ ਆਕਾਰ ਖੱਡੇ ਦੀ ਉੱਚਾਈ h = 1.4 cm
ਕਲਮਦਾਨ ਵਿੱਚ ਲੱਕੜੀ ਦਾ ਆਇਤਨ
= ਘਣਾਵ ਦਾ ਆਇਤਨ – 4 [ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ ਆਇਤਨ]

= (15 × 35 – \(\frac{22}{3×5}\) ) cm³
= (525 – 1.466) cm³
= 523.534 cm³.
ਕਲਮਦਾਨ ਵਿੱਚ ਲੱਕੜੀ ਦਾ ਆਇਤਨ
= 523.53 cm³

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 5.
ਇੱਕ ਬਰਤਨ ਇੱਕ ਉਲਟੇ ਸ਼ੰਕੂ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦਾ ਹੈ । ਇਸਦੀ ਉੱਚਾਈ 8 cm ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਉੱਪਰੀ ਸਿਰੇ (ਜੋ ਖੁਲਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ) ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ 5 cm ਹੈ । ਇਹ ਉੱਪਰ ਤੱਕ ਪਾਣੀ ਨਾਲ ਭਰਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਇਸ ਬਰਤਨ ਵਿੱਚ ਸਿੱਕੇ ਦੀਆਂ ਕੁੱਝ ਗੋਲੀਆਂ ਜਿੰਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ 0:5 cm ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਗੋਲਾ ਹੈ, ਪਾਈਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ ਤਾਂ ਇਸ ਵਿੱਚੋਂ ਭਰੇ ਹੋਏ ਪਾਣੀ ਦਾ ਇੱਕ ਚੌਥਾਈ ਭਾਗ ਬਾਹਰ ਨਿਕਲ ਜਾਂਦਾ ਹੈ | ਬਰਤਨ ਵਿਚ ਪਾਈਆਂ ਗਈਆਂ ਸਿੱਕੇ ਦੀਆਂ ਗੋਲੀਆਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:

ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (R) = 5 cm
ਸ਼ੰਕੂ ਦੀ ਉੱਚਾਈ (H) = 8 cm
ਸਿੱਕੇ ਦੀ ਹਰੇਕ ਗੋਲੀ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (r) = 0.5 cm
ਮੰਨ ਲਉ ਗੋਲੀਆਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ = N
ਤਾਂ ਪਾਣੀ ਦਾ ਇੱਕ ਚੌਥਾਈ ਭਾਗ ਬਾਹਰ ਨਿਕਲ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ।
N [ਗੋਲੀਆਂ ਦਾ ਆਇਤਨ = \(\frac{1}{4}\) ਸ਼ੰਕੂ ਵਿੱਚ ਪਾਣੀ ਦਾ ਆਇਤਨ


= 10 × 10 = 100
ਗੋਲੀਆਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ = 100

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 6.
ਉੱਚਾਈ 220 cm ਅਤੇ ਆਧਾਰ ਵਿਆਸ 24 cm ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਬੇਲਣ ਜਿਸ ਤੇ ਉੱਚਾਈ 60 cm ਅਤੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ 8 cm ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਬੇਲਣ ਰੱਖਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ, ਨਾਲ ਲੋਹੇ ਦਾ ਇੱਕ ਖੰਬਾ ਬਣਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ । ਇਸ ਖੰਬੇ ਦਾ ਮਾਨ (ਭਾਰ) ਪਤਾ ਕਰੋ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਦਿੱਤਾ ਹੈ 1 cm³ ਲੋਹੇ ਦਾ ਮਾਣ (ਭਾਰ) 8g ਹੁੰਦਾ ਹੈ (π = 3∙14 ਲਓ) ।
ਹੱਲ:
ਹੇਠਾਂ ਵਾਲੇ ਬੇਲਣ ਦਾ ਵਿਆਸ = 24 cm
ਹੇਠਾਂ ਵਾਲੇ ਬੇਲਣ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (R) = 12 cm
ਹੇਠਾਂ ਵਾਲੇ ਬੇਲਣ ਦੀ ਉੱਚਾਈ (H) = 220 cm
ਉੱਪਰ ਵਾਲੇ ਬੇਲਣ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (r) = 8 cm
ਉੱਪਰ ਵਾਲੇ ਬੇਲਣ ਦੀ ਉੱਚਾਈ (h) = 60 cm

ਖੰਬੇ ਦਾ ਆਇਤਨ = ਹੇਠਾਂ ਵਾਲੇ ਬੇਲਣ ਦਾ ਆਇਤਨ + | ਉੱਪਰ ਵਾਲੇ ਬੇਲਣ ਦਾ ਆਇਤਨ
= πR²H + πr²h
= [3.14 × 12 × 12 × 220 + 3.14 × 8 × 8 × 60] cm³
= [99475.2 + 12057.6] cm³
ਖੰਬੇ ਦਾ ਆਇਤਨ = 111532.8 cm³
1 cm³ ਦਾ ਦ੍ਰਵਸਾਨ = 8 gm
111532.8 cm³ ਦਾ ਦ੍ਰਵਸਾਨ = 8 × 111532. 8 gm
= 892262.4 gm
= \(\frac{892262.4}{1000}\) gm
= 892.2624 kg
= 892.2624 kg

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 7.
ਇੱਕ ਠੋਸ ਵਿੱਚ, ਉੱਚਾਈ 120 cm ਅਤੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ 60 cm ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ ਸ਼ਾਮਿਲ ਹੈ ਜੋ 60 cm ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਅਰਧਗੋਲੇ ‘ਤੇ ਬਣਿਆ ਹੈ ਇਸ ਠੋਸ ਨੂੰ ਪਾਣੀ ਨਾਲ ਭਰੇ ਹੋਏ ਇੱਕ ਲੰਬ ਚੱਕਰੀ ਬੋਲਣ ਵਿੱਚ ਇਸ ਪ੍ਰਕਾਰ ਸਿੱਧਾ ਪਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇਹ ਬੋਲਣ ਦੇ ਤਲ ਨੂੰ ਸਪਰਸ਼ ਕਰੇ । ਜੇਕਰ ਬੇਲਣ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ 60 cm ਹੈ ਅਤੇ ਉੱਚਾਈ 180 cm ਹੈ ਤਾਂ ਬੇਲਣ ਵਿੱਚ ਬਾਕੀ ਬੱਚੇ ਪਾਣੀ ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ = ਅਰਧ ਗੋਲੇ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ
= ਬੇਲਣ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ
= 60 cm

ਸ਼ੰਕੂ ਦੀ ਉੱਚਾਈ (h) = 120 cm
ਬੇਲਣ ਦੀ ਉੱਚਾਈ (H) = 180 cm
ਬੇਲਣਾਕਾਰ ਬਰਤਨ ਦਾ ਆਇਤਨ = πR²H
= \(\frac{22}{7}\) × 60 × 60 × 180 cm³
= 2036571.4 cm³
ਬੇਲਣ ਵਿਚ ਪਾਏ ਗਏ ਠੋਸ ਦਾ ਆਇਤਨ = ਅਰਧ ਗੋਲੇ ਦਾ ਆਇਤਨ + ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ ਆਇਤਨ
= \(\frac{2}{3}\)πR³ + \(\frac{1}{3}\)πR²h
= \(\frac{1}{3}\)πR²[2R + h]
= \(\frac{1}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) × 60 × 60 [2 × 60 +120] cm³
= \(\frac{1}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) × 3600 [120 + 120] cm³
= \(\frac{1}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) × 3600 × 40 cm³
= 905142.86 cm³
ਬਾਹਰ ਨਿਕਲੇ ਪਾਣੀ ਦਾ ਆਇਤਨ
= 905142.86 cm³
∴ ਬੇਲਣ ਵਿਚ ਬਚੇ ਬਾਕੀ ਪਾਣੀ ਦਾ ਆਇਤਨ = ਬੇਲਣ ਦਾ ਆਇਤਨ – ਬਰਤਨ ਵਿਚ ਪਾਏ ਗਏ ਠੋਸ ਦਾ ਆਇਤਨ
= (2036571.4 – 905142.86) cm³
= 1131428.5 cm³
= \(\frac{1131428.5}{100 \times 100 \times 100}\) m³
= 1.131 m³
∴ ਬੇਲਣ ਵਿੱਚ ਬਾਕੀ ਬਚੇ ਪਾਣੀ ਦਾ ਆਇਤਨ
= 1.131 m³

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 8.
ਇੱਕ ਗੋਲਾਕਾਰ ਕੱਚ ਦੇ ਬਰਤਨ ਦੀ ਇੱਕ ਬੇਲਣ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦੀ ਗਰਦਨ ਹੈ ਜਿਸ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 8 cm ਹੈ ਅਤੇ ਵਿਆਸ 2 cm ਹੈ ਜਦੋਂ ਕਿ ਗੋਲਾਕਾਰ ਭਾਗ ਦਾ ਵਿਆਸ 8.5 cm ਹੈ । ਇਸ ਵਿੱਚ ਭਰੇ ਜਾ ਸਕਣ ਵਾਲੇ ਪਾਣੀ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਮਾਪ ਕੇ, ਇੱਕ ਬੱਚੇ ਨੇ ਇਹ ਪਤਾ ਕੀਤਾ ਕਿ ਇਸ ਬਰਤਨ ਦਾ ਆਇਤਨ 345 cm³ ਹੈ । ਜਾਂਚ ਕਰੋ ਕਿ ਉਸ | ਬੱਚੇ ਦਾ ਉੱਤਰ ਸਹੀ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ, ਇਹ ਮੰਨਦੇ ਹੋਏ ਕਿ ਉਪਰੋਕਤ ਮਾਪਣ ਅੰਦਰੂਨੀ ਮਾਪਣ ਹੈ ਅਤੇ π = 3.14।
ਹੱਲ:
ਗਰਦਨ ਦਾ ਵਿਆਸ ਬਿਲਣਾਕਾਰ ਭਾਗ) = 2 cm

∴ ਗਰਦਨ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (r) = 1 cm
ਬੇਲਣਾਕਾਰ ਭਾਗ ਦੀ ਉੱਚਾਈ (H) = 8 cm
ਗੋਲਾਕਾਰ ਭਾਗ ਦਾ ਵਿਆਸ = 8.5 cm
ਗੋਲਾਕਾਰ ਭਾਗ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (R) = \(\frac{8.5}{2}\) cm
= 4.25 cm
ਬਰਤਨ ਵਿਚ ਪਾਣੀ ਦਾ ਆਇਤਨ = ਗੋਲੇ ਦਾ ਆਇਤਨ + ਬੇਲਣ ਦਾ ਆਇਤਨ
= \(\frac{4}{3}\)πR³ + πr²h
= (\(\frac{4}{3}\) × 3.14 × 4.25 × 4.25 + 2.25 + 3.14 × 1 × 1 × 8) cm³
= (321.39 + 25.12) cm³
= 346.51 cm³
ਬਰਤਨ ਵਿਚ ਪਾਣੀ ਦਾ ਆਇਤਨ = 346.51 cm³ ਉਹ ਗਲਤ ਹੈ।

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 13 ਸਤੁਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਅਤੇ ਆਇਤਨ Ex 13.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 13 ਸਤੁਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਅਤੇ ਆਇਤਨ Exercise 13.1

ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਨਾ ਕਿਹਾ ਜਾਵੇ, π = \(\frac{22}{7}\) ਲਓ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 1.
ਦੋ ਘਣ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚੋ ਹਰੇਕ ਦਾ ਆਇਤਨ 64 cm³ ਹੈ, ਦੇ ਸਮਾਨ ਫਲਕਾਂ ਨੂੰ ਮਿਲਾ ਕੇ ਇੱਕ ਠੋਸ ਬਣਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ । ਇਸ ਨਾਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਘਣਾਵ ਦੀ ਸਤ੍ਹਾ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ ਹਰੇਕ ਘਣ ਦੀ ਭੁਜਾ = 1 cm
ਘਣ ਦਾ ਆਇਤਨ = 64 cm³
[ ਘਣ ਦਾ ਆਇਤਨ = (ਭੁਜਾ)³]

x³ = 64
x = \(\sqrt[3]{64}\)
= \(\sqrt[3]{4 \times 4 \times 4}\) cm
x = 4 cm
∴ ਘਣ ਦੀ ਭੁਜਾ = 4 cm
ਜਦੋਂ ਦੋ ਘਣਾਂ ਨੂੰ ਨਾਲ-ਨਾਲ ਜੋੜਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਘਣਾਵ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ।
ਜਿਸਦੀ ਲੰਬਾਈ (L) = 2x cm = 2(4) = 8 cm
ਚੌੜਾਈ (B) = x cm = 4 cm
ਉੱਚਾਈ (H) = x cm = 4 cm

ਘਣਾਵ ਦੀ ਸੰਪੂਰਨ ਸੜਾ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= 2[LB + BH + HL]
= 2 [8 × 4 + 4 × 4 + 4 × 8] cm²
= 2 [ 32 + 16 + 32] cm²
= 2 [30] cm²
= 160 cm²

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 2.
ਕੋਈ ਬਰਤਨ ਇੱਕ ਖੋਖਲੇ ਅਰਧ ਗੋਲੇ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਉਪਰ ਇੱਕ ਖੋਖਲਾ ਬੋਲਣ ਲੱਗਿਆ ਹੈ । ਅਰਧ ਗੋਲੇ ਦਾ ਵਿਆਸ 14 cm ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਬਰਤਨ ਦੀ ਕੁੱਲ ਉੱਚਾਈ 13 cm ਹੈ । ਇਸ ਬਰਤਨ ਦੀ ਅੰਦਰੂਨੀ ਸਤ੍ਹਾ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਅਰਧ ਗੋਲੇ ਦਾ ਵਿਆਸ = ਬੇਲਣ ਦਾ ਵਿਆਸ
= 14 cm
2R = 14 cm
ਅਰਧ ਗੋਲੇ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (R) = 7 cm

ਬਰਤਨ ਦੀ ਕੁੱਲ ਉੱਚਾਈ = 13 cm
∴ ਬੇਲਣ ਦੀ ਉਚਾਈ = (13 – 7) = 6 cm
ਬਰਤਨ ਦੀ ਅੰਦਰੂਨੀ ਸਤ੍ਹਾ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = ਬੇਲਣ ਦਾ ਅੰਦਰੂਨੀ ਸੜਾ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ + ਅਰਧ ਗੋਲੇ ਅੰਦਰੂਨੀ ਸਤਾ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= 2πRH + 2πR²
= 2πR [H + R]
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × 7 (6 + 7) cm²
= 44 × 13 cm²
= 572 cm²
∴ ਬਰਤਨ ਦੀ ਅੰਦਰੂਨੀ ਸੜਾ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= 572 cm²

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 3.
ਇੱਕ ਖਿਡੌਣਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ 3.5 cm ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੁ ਆਕਾਰ ਦਾ ਹੈ ਜੋ ਉਸੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਅਰਧ ਗੋਲੇ ‘ਤੇ ਟਿਕਿਆ ਹੈ । ਇਸ ਖਿਡੌਣੇ ਦੀ ਕੁੱਲ ਉੱਚਾਈ 15.5 cm ਹੈ । ਇਸ ਖਿਡੌਣੇ ਦੀ ਕੁੱਲ ਸਤ੍ਹਾ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਸ਼ੰਕੁ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ = ਅਰਧ ਗੋਲੇ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (R) = 3.5 cm
ਖਿਡੌਣੇ ਦੀ ਕੁੱਲ ਉੱਚਾਈ = 15.5 cm
∴ ਸ਼ੰਕੂ ਦੀ ਉੱਚਾਈ (H) = (15.5 – 3.5) cm = 12 cm

ਸ਼ੰਕੂ. ਦੀ ਤਿਰਛੀ ਉੱਚਾਈ = \(\sqrt{\mathrm{R}^{2}+\mathrm{H}^{2}}\)
= \(\sqrt{(3.5)^{2}+(12)^{2}}\) cm
= \(\sqrt {1225+144}\) cm
= \(\sqrt {156.25}\) cm
ਸ਼ੰਕੂ ਦੀ ਤਿਰਛੀ ਉੱਚਾਈ (l) = 12.5 cm
ਖਿਡੌਣੇ ਦੀ ਕੁੱਲ ਸਤਾ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= ਸ਼ੰਕੁ ਦੀ ਕੁੱਲ ਸੜਾ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ + ਅਰਧ ਗੋਲੇ ਦੀ ਕੁੱਲ ਸਤ੍ਹਾ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= πRL + 2πR²
= πR [L + 2R]
= \(\frac{22}{7}\) × 35 [12.5 + 2 (3.5)] cm
= \(\frac{22}{7}\) × 35 [19.5] cm²
= \(\frac{1501.5}{7}\) cm²
= 214.5 cm²
∴ ਖਿਡੌਣੇ ਦੀ ਕੁੱਲ ਸੜਾ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= 214.5 cm²

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 4.
ਭੁਜਾ 7 cm ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਘਣਾਕਾਰ ਬਲਾਕ ਦੇ ਉੱਪਰ ਇੱਕ ਅਰਧ ਗੋਲਾ ਰੱਖਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ । ਅਰਧ ਗੋਲੇ ਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਵਿਆਸ ਕੀ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ ? ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਬਣੇ ਠੋਸ ਦੀ ਸਤ੍ਹਾ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਘਣਾਕਾਰ ਬਲਾਕ ਦੀ ਭੁਜਾ = 7 cm

ਅਰਧ ਗੋਲੇ ਦਾ ਵਿਆਸ = ਘਣਾਕਾਰ ਬਲਾਕ ਦੀ ਭੁਜਾ = 7 cm
2R = 7
R = \(\frac{7}{2}\) cm = 3.5 cm
ਬਣੇ ਠੋਸ ਦੀ ਕੁੱਲ ਸਤ੍ਹਾ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = ਘਣ ਦੀ ਕੁੱਲ ਸਤ੍ਹਾ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ + ਅਰਧ ਗੋਲੇ ਦੀ ਕੁੱਲ ਸੜਾ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= 6(ਭੁਜਾ)² + 2R²
= 6l² + R²
= 6(7)² + 2 × \(\frac{22}{7}\) × \(\frac{7}{2}\) × \(\frac{7}{2}\) cm²
= 294 + 77 = 371 cm²
ਠੋਸ ਦੀ ਕੁੱਲ ਸੜਾ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = (ਘਣ ਦੀ ਕੁੱਲ ਸਤਾ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ) – (ਅਰਧ ਗੋਲੇ ਦੇ ਆਧਾਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ) + (ਅਰਧ ਗੋਲੇ ਦੀ ਵਕਰ ਸਤਾ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ )
= 6l² – πR² + 2πR²
= 6l² + πR²
= [6(7)² + \(\frac{22}{7}\) × \(\left(\frac{7}{2}\right)^{2}\) ] cm²
= [6(49) + 11 × \(\frac{7}{2}\)] cm²
= 332.5 cm²

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 5.
ਇੱਕ ਘਣਾਕਾਰ ਲੱਕੜ ਦੇ ਬਲਾਕ ਦੇ ਇੱਕ ਫਲਕ ਨੂੰ ਅੰਦਰ ਵੱਲ ਕੱਟ ਕੇ ਇੱਕ ਅਰਧ ਗੋਲਾਕਾਰ ਖੱਡਾ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਬਣਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ ਅਰਧ ਗੋਲੇ ਦਾ ਵਿਆਸ ਘਣ ਦੇ ਇੱਕ ਕਿਨਾਰੇ l ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ । ਬਾਕੀ ਬਚੇ ਠੋਸ ਦੀ ਸਤਾ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਮੰਨ ਲਉ ਘਣ ਦੀ ਭੁਜਾ = a
∴ ਅਰਧ ਗੋਲੇ ਦਾ ਵਿਆਸ = ਘਣ ਦੀ ਭੁਜਾ = a
2R = a
R = \(\frac{a}{2}\)

ਬਾਕੀ ਬਚੇ ਠੋਸ ਦੀ ਸਤ੍ਹਾ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = ਘਣ ਦੀ ਕੁੱਲ ਸੜਾ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ – ਘਣ ਦੇ ਆਧਾਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ + ਅਰਧ ਗੋਲੇ ਦਾ ਅੰਦਰੂਨੀ ਵਕਰ ਸੜਾ ਦਾ
ਖੇਤਰਫਲ
= 6 (ਭੁਜਾ)² – πR² + 2πR²
= 6(a)² + πR²
= 6(a)² + π\(\left(\frac{a}{2}\right)^{2}\)
= 6a² + π\(\frac{a^{2}}{4}\)
= a²[6 + \(\frac{\pi}{4}\)]

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 6.
ਦਵਾਈ ਦਾ ਇੱਕ ਕੈਪਸੂਲ (capsule) ਇੱਕ ਬੇਲਣ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਦੇ ਦੋਨਾਂ ਸਿਰਿਆਂ ‘ਤੇ ਇੱਕ-ਇੱਕ | ਅਰਧ ਗੋਲਾ ਲੱਗਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ । ਦੇਖੋ ਚਿੱਤਰ) ਪੁਰੇ ਕੈਪਸੂਲ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 14 mm ਹੈ ਅਤੇ ਉਸ ਦਾ ਵਿਆਸ 5 mm ਹੈ । ਇਸ਼ਦੀ ਸਤ੍ਹਾ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ।

ਹੱਲ:
ਕੈਪਸੁਲ ਦਾ ਵਿਆਸ = ਅਰਧ ਗੋਲੇ ਦਾ ਵਿਆਸ = ਬੇਲਣ ਦਾ ਵਿਆਸ = 5 mm
∴ 2R = 5 mm
R = \(\frac{5}{2}\) mm

ਕੈਪਸੂਲ ਦੀ ਅੰਦਰੂਨੀ ਲੰਬਾਈ = 14 mm
ਬੇਲਣਾਕਾਰ ਭਾਗ ਦੀ ਉੱਚਾਈ = (14 – \(\frac{5}{2}\) – \(\frac{5}{2}\)) mm
= (14 – 5) mm
H = 9 mm
ਕੈਪਸੂਲ ਦੀ ਕੁੱਲ ਸਤਾ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= ਬੇਲਣ ਦੀ ਕੁੱਲ ਸਤਾ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ + 2 ਅਰਧ ਗੋਲੇ ਦਾ ਕੁੱਲ ਸਤ੍ਹਾ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= 2πRH + 2(2πR²)
= 2πRH + 4πR²
= 2πR [H + 2R]
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × \(\frac{5}{2}\)[9 + 5 ] mm²
= \(\frac{22}{7}\) × 5 × 14 mm²
= 22 × 5 × 2 mm²
= 220 mm²

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 7.
ਕੋਈ ਤੰਬੂ ਇੱਕ ਬੇਲਣ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ‘ਤੇ ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ ਬਣਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ । ਜੇਕਰ ਬੇਲਣਾਕਾਰ ਭਾਗ ਦੀ ਉੱਚਾਈ ਅਤੇ ਵਿਆਸ ਕੁਮਵਾਰ 2.1 m ਅਤੇ 4m ਹਨ ਅਤੇ ਸ਼ੰਭ ਦੀ ਤਿਰਛੀ ਉੱਚਾਈ 2.8 m ਹੈ, ਤਾਂ ਇਸ ਤੰਬੂ ਨੂੰ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਵਰਤੇ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਕੈਨਵਸ (canvas) ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ । ਨਾਲ ਹੀ ਤੋਂ 500 ਪ੍ਰਤੀ m² ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਇਸ ਵਿੱਚ ਵਰਤੋਂ ਹੋਣ ਵਾਲੇ ਕੈਨਵਸ ਦੀ ਲਾਗਤ ਪਤਾ ਕਰੋ । (ਧਿਆਨ ਦਿਉ ਕਿ ਤੰਬੂ ਦੇ ਆਧਾਰ ਨੂੰ ਕੈਨਵਸ ਨਾਲ ਨਹੀਂ ਢੱਕਿਆ ਜਾਂਦਾ ॥
ਹੱਲ:
ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ ਵਿਆਸ = ਬੇਲਣ ਦਾ ਵਿਆਸ
2R = 4 m
R = 2 m

ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ = ਬੇਲਣ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ
ਬੇਲਣ ਦੀ ਉੱਚਾਈ (H) = 2.1 m
ਸ਼ੰਕੂ ਦੀ ਤਿਰਛੀ ਉੱਚਾਈ(L) = 2.8m
ਤੰਬੂ ਦੀ ਵਕਰ ਸਤਾ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= ਬੇਲਣ ਦੀ ਵਕਰ ਸਤਾ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ + ਸ਼ੰਕੂ ਦੀ ਵਕਰ ਸੜਾ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= 2πRH + πRL
= πR [2H + L]
= \(\frac{22}{7}\) × 2[2(21) + 28]m²
= \(\frac{22}{7}\) × 2[42 + 2.8]m²
= \(\frac{22}{7}\) × 2 × 7 m²
= 44 m²
∴ ਤੰਬੂ ਦੀ ਵਕਰ ਸਤਾ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = 44 m²
1m² ਕੈਨਵਸ ਦੀ ਲਾਗਤ = ₹ 500
44 m² ਕੈਨਵਸ ਦੀ ਲਾਗਤ = ₹ 44 × 500
= ₹ 22000
ਕੈਨਵਸ ਦੀ ਕੁਲ ਲਾਗਤ = ₹ 22000

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 8.
ਉੱਚਾਈ 2.4 cm ਅਤੇ ਵਿਆਸ 1.4 cm ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਠੋਸ ਬੇਲਣ ਵਿੱਚੋਂ ਇਸੇ ਉੱਚਾਈ ਅਤੇ ਇਸੇ ਵਿਆਸ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ ਆਕਾਰ ਦਾ ਖੋਲ (cavity) ਕੱਟ ਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ । ਬਾਕੀ ਬਚੇ ਠੋਸ ਦਾ ਨੇੜੇ ਤੋਂ ਨੇੜੇ ਵਰਗ ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ (cm²) ਤੱਕ ਕੁੱਲ ਸੜਾ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਬੇਲਣ ਦਾ ਵਿਆਸ (D) = 1.4 cm
= ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ ਵਿਆਸ
∴ ਬੇਲਣ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ =ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ
(R) = 0.7 cm
ਬੇਲਣ ਦੀ ਉੱਚਾਈ (H) = 2.4 cm

ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ L² = R² + H²
L = \(\sqrt{(0.7)^{2}+(2.4)^{2}}\)
= \(\sqrt {0.49+5.76}\)
= \(\sqrt {6.25}\) = 2∙5
L = 2.5 cm
ਬਾਕੀ ਬਚੇ ਠੋਸ ਦੀ ਕੁੱਲ ਸੜਾ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= ਬੇਲਣ ਦੀ ਵਕਰ ਸਤਾ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ + ਬੇਲਣ ਦੇ ਆਧਾਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ + ਸ਼ੰਕੂ ਦੀ ਸਤ੍ਹਾ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= 2πRH + πR² + πRL
= πR [2R + R + L]
= \(\frac{22}{7}\) × 0.7 [2(24) + 0.7 + 25]
= \(\frac{22}{7}\) × \(\frac{7}{10}\) [48 + 3.2] cm²
= \(\frac{22}{10}\) × [8] cm²
= \(\frac{176}{10}\) = 17.6 cm²
ਬਾਕੀ ਬਚੇ ਠੋਸ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = 17.6 cm²

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 9.
ਲੱਕੜੀ ਦੇ ਇੱਕ ਠੋਸ ਬੇਲਣ ਦੇ ਹਰੇਕ ਸਿਰੇ ‘ਤੇ ਇਕ ਅਰਧ ਗੋਲਾ ਖੋਦ ਕੇ ਕੱਢਦੇ ਹੋਏ, ਇੱਕ ਵਸਤੂ ਬਣਾਈ ਗਈ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਬੇਲਣ ਦੀ ਉੱਚਾਈ 10 cm ਹੈ ਅਤੇ ਆਧਾਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ 3.5 cm ਹੈ ਤਾਂ ਇਸ ਵਸਤੂ ਦੀ ਕੁੱਲ ਸਤ੍ਹਾ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ।

ਹੱਲ:
ਬੇਲਣ ਦੀ ਉੱਚਾਈ (H) = 10 cm
ਬੇਲਣ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ = ਅਰਧਗੋਲੇ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (R) = 3.5 cm

ਵਸਤੂ ਦੀ ਕੁੱਲ ਸਤ੍ਹਾ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = ਬੇਲਣ ਦੀ ਵਕਰ ਸਤ੍ਹਾ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ + 2 (ਅਰਧ ਗੋਲੇ ਦੀ ਵਕਰ ਸੜਾ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ)
= 2πRH + 2(2πR²)
= 2πR[H + 2R]
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × 35 [10 + (35)] cm²
= \(\frac{44}{7}\) × \(\frac{35}{10}\)[10 + 7]cm²
= 44 × \(\frac{5}{10}\) × 17 cm²
= 44 × \(\frac{1}{2}\) × 17 cm²
= 22 × 17 cm²
= 374 cm²
∴ ਵਸਤੂ ਦੀ ਕੁੱਲ ਸੜਾ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= 374 cm²

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 12 ਚੱਕਰ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਖੇਤਰਫਲ Ex 12.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 12 ਚੱਕਰ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਖੇਤਰਫਲ Exercise 12.3

(ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਨਾ ਕਿਹਾ ਜਾਵੇ, π = \(\frac{22}{7}\) ਦਾ ਹੀ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ)

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 1.
ਚਿੱਤਰ ਵਿਚ, ਰੰਗੀਨ ਭਾਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਜੇਕਰ PO = 24 cm, PR = 7 cm ਅਤੇ O ਚੱਕਰ ਦਾ ਕੇਂਦਰ ਹੈ ।

ਹੱਲ:
PQ = 24 cm
PR = 7 cm
RQ ਚੱਕਰ ਦਾ ਵਿਆਸ ਹੈ ।
∠RPQ = 90° [ ਅਰਧਚੱਕਰ ਵਿਚ ਬਣਿਆ ਕੋਣੀ △PQR]
QR² = RP² + PQ²
QR = \(\sqrt{(7)^{2}+(24)^{2}}\) = \(\sqrt {49+576}\)
= \(\sqrt {625}\)
QR = 25 cm
∴ ਚੱਕਰ ਦਾ ਵਿਆਸ (QR) = 25 cm
ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (R) = \(\frac{25}{2}\) cm
ਛਾਇਆ ਅੰਕਿਤ ਭਾਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = ਅਰਧ ਚੱਕਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ – △RPQ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= \(\frac{1}{2}\)πR² – \(\frac{1}{2}\)RP × PQ
= [\(\frac{1}{2}\) × \(\frac{22}{7}\) × \(\frac{25}{2}\) × \(\frac{25}{2}\) – \(\frac{1}{2}\) × 7 × 24] cm²
= [\(\frac{6875}{28}\) – 84] cm = \(\frac{4523}{28}\) cm²
= 161.53 cm²

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 2.
ਚਿੱਤਰ ਵਿਚ, ਰੰਗੀਨ ਭਾਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਜੇਕਰ ਕੇਂਦਰ O ਵਾਲੇ ਦੋਵਾਂ ਸਮਕੇਂਦਰੀ ਚੱਕਰਾਂ (concentric) ਦੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਕ੍ਰਮਵਾਰ 7 cm ਅਤੇ 14 cm ਹਨ ਅਤੇ ∠AOC = 40° ਹੈ ।
ਹੱਲ:
ਛੋਟੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (r) = 7 cm
ਵੱਡੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (R) = 14 cm
ਕੇਂਦਰੀ ਕੋਣ ∠AOC (θ) = 40°

ਛਾਇਆ ਅੰਕਿਤ ਭਾਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = ਦੀਰਘ ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ OAC ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ – ਲਘੂ ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ OBD ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ

= 51.33 cm²
∴ ਛਾਇਆ ਅੰਕਿਤ ਭਾਰੀ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= 51.33 cm²

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 3.
ਚਿੱਤਰ ਵਿਚ, ਰੰਗੀਨ ਭਾਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਜੇਕਰ ABCD ਭੂਜਾ 14 cm ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਵਰਗ ਹੈ ਅਤੇ APD ਅਤੇ BPC ਦੋ ਅਰਧ ਚੱਕਰ ਹਨ ।

ਹੱਲ:
ਵਰਗ ਦੀ ਭੁਜਾ = 14 cm
ਅਰਧ ਚੱਕਰ ਦਾ ਵਿਆਸ (AB = BC) = 14 cm
ਅਰਧ ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (R) = 7 cm
ਵਰਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = (ਭੂਜਾ)²
= 14 × 14 cm²
= 196 cm²
ਅਰਧ ਚੱਕਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = \(\frac{1}{2}\)πR²
= \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{22}{7}\) × 7 × 7 cm²
= 77 cm²
ਦੋ ਅਰਧ ਚੱਕਰਾਂ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = 2(77) cm²
= 154 cm²
ਰੰਗੀਨ ਭਾਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = ਵਰਗ ABCD ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ – ਦੋ ਅਰਧ ਚੱਕਰਾਂ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= (196 – 154) cm²
= 42 cm²
∴ ਛਾਇਆ ਵਾਲੇ ਭਾਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = 42 cm²

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 4.
ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ, ਰੰਗੀਨ ਭਾਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ ਭੁਜਾ 12 cm ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਸਮਭੁਜੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜ OAB ਦੇ ਸਿਖਰ O ਨੂੰ ਕੇਂਦਰ ਮੰਨ ਕੇ 6 cm ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਚੱਕਰੀ ਚਾਪ ਖਿੱਚਿਆ ਗਿਆ ਹੈ।

ਹੱਲ:
ਚਾਪ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (R) = 6 cm
ਸਮਭੁਜੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜ OAB ਦੀ ਭੁਜਾ = 12 cm
OA = OB = AB = 12 cm
∴ ਕੇਂਦਰੀ ਕੋਣ (θ) = 60°
[ਸਿਮਭੁਜੀ ਤਿਭੁਜ ਦਾ ਹਰੇਕ ਕੋਣ 60°]
ਚੱਕਰ ਦੀ ਦੀਰਘ ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = ਚੱਕਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ – ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ

= 94.28 cm²
∴ ਦੀਰਘ ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= 94.28 cm²
ਸਮਭੁਜੀ △OAB ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= \(\frac{\sqrt{3}}{4}\)(ਭੁਜਾ²
= \(\frac{1.73}{4}\) × 12 × 12 cm²
= 1.73 × 36 cm²
= 62.28 cm²
ਰੰਗੀਨ ਭਾਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = ਸਮਭੁਜੀ ਤਿਭੁਜ OAB ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ + ਦੀਰਘ ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= (62.28 +94.28) cm²
= 156.56 cm²
∴ ਰੰਗੀਨ ਭਾਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = 156.56 cm²

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 5.
ਭੁਜਾ 4 cm ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਵਰਗ ਦੇ ਹਰੇਕ ਕੋਨੇ ਤੋਂ 1 cm ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਇੱਕ ਚੌਥਾਈ ਕੱਟਿਆ ਗਿਆ ਹੈ ਅਤੇ ਵਿਚਾਲੇ 2 cm ਵਿਆਸ ਦਾ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਵੀ ਕੱਟਿਆ ਗਿਆ ਹੈ , ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਰਸ਼ਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ | ਵਰਗ ਦੇ ਬਾਕੀ ਭਾਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ।

ਹੱਲ:
ਵਰਗ ਦੀ ਭੁਜਾ = 4 cm
ਕੱਟੇ ਗਏ ਹਰੇਕ ਚੌਥਾਈ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (r) = 1 cm
ਚੱਕਰ ਦਾ ਵਿਆਸ (R) = 2 cm
∴ ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (R) = 1 cm
ਵਰਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = (ਭੁਜਾ)²
= (4)² = 16 cm²
4 ਚੋਥਾਈਆਂ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= 4\(\left[\frac{\pi r^{2} \theta}{360^{\circ}}\right]\)] = \(\frac{4 \times 90^{\circ}}{360^{\circ}}\) × \(\frac{22}{7}\) × 1 × 1
= 1 × \(\frac{22}{7}\) × 1 × 1 cm²
= 3.14 cm²
ਚੱਕਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = πR²
= \(\frac{22}{7}\) × 1 × 1 = \(\frac{22}{7}\) cm²
= 3.14 cm²
ਲੋੜੀਂਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = (ਵਰਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ) – (4 ਚੌਥਾਈਆਂ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ) – (ਚੱਕਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ)
= (16 – 3.14 – 3.14) cm²
= 9.72 cm²
ਲੋੜੀਂਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = 9.72 cm²

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 6.
ਇੱਕ ਚੱਕਰਾਕਾਰ ਮੇਜਪੋਸ਼, ਜਿਸਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ 32 cm ਹੈ, ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਮਭੁਜੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ABC ਛੱਡਦੇ ਹੋਏ ਇੱਕ ਡਿਜ਼ਾਇਨ ਬਣਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ ।ਇਸ ਡਿਜ਼ਾਇਨ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ।

ਹੱਲ:
ਮੇਜਪੋਸ਼ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (R) = 32 cm
OA = OB = OC = 32 cm

△ABC ਇਕ ਸਮਭੁਜੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿਚ
AB = AC = BC = 32 cm
∠A = ∠B = ∠C = 60°
∠AOB = 120° = ∠BOC
OM ⊥ BC
BM = MC = \(\frac{1}{2}\)BC
△OBM ≅ △OMC [RHS ਸਰਬੰਗਸਮਤਾ]
ਹੁਣ △BOC ਵਿੱਚ,
ਬਿੰਦੂ O ਤੋਂ OM, ∠BOC ਅਤੇ BC ਦਾ ਲੰਬ ਸਮਦੁਭਾਜਕ ਖਿੱਚੋਂ ।
BM = MC = \(\frac{1}{2}\)BC
∴ ਪਰ OB = OC [ਚੱਕਰ ਦੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ]
∴ ∠B = ∠C
∴ ∠O + ∠B + ∠C = 180°
120° + 2∠B = 180°
∠B = 30°
ਅਤੇ ∠B = ∠C = 30°
ਪਰ ∠BOM ≅ ∠COM = 60°
△OMB ≅ △OMC [ਸਮਕੋਣ-ਕਣ-ਭੁਜਾ]
∴ △OMB ਵਿੱਚ
∠OBM = 30° [∠O = 60° ਅਤੇ ∠M = 90°]
∴ \(\frac{BM}{OB}\) = cos 30°
\(\frac{BM}{32}\) = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
BM = 16\(\sqrt {3}\) cm
∴ BC = 2MB = 32\(\sqrt {3}\) cm
ਚੱਕਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = πR² = \(\frac{22}{7}\) × (32)²
= \(\frac{22}{7}\) × 32 × 32
= 3218.28 cm²
△ ABC ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = \(\frac{\sqrt{3}}{4}\)(ਭੁਜਾ)²
= \(\frac{1.73}{4}\) × 32\(\sqrt {3}\) × 32\(\sqrt {3}\)
= 1328.64 cm²
∴ ਲੋੜੀਂਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = ਚੱਕਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ – △ABC ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= (3218.28 – 1328.64) cm²
= 1889.64 cm²

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 7.
ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ, ABCD ਭੁਜਾ 14 cm ਵਾਲਾ ਇੱਕ | ਵਰਗ ਹੈ । A,B,C ਅਤੇ D ਨੂੰ ਕੇਂਦਰ ਮੰਨ ਕੇ, ਚਾਰ ਚੱਕਰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਖਿੱਚੇ ਗਏ ਹਨ ਕਿ ਹਰੇਕ ਚੱਕਰ ਤਿੰਨ ਬਾਕੀ ਚੱਕਰਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਦੋ ਚੱਕਰਾਂ ਨੂੰ ਬਾਹਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਪਰਸ਼ ਕਰਦਾ ਹੈ । ਰੰਗੀਨ ਭਾਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ।

ਹੱਲ:
ਵਰਗ ABCD ਦੀ ਭੁਜਾ = 14 cm
ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (R) = 7 cm
ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਕੋਣ (θ) = 90°
[ਵਰਗ ਦਾ ਹਰੇਕ ਕੋਣ = 90°]
ਵਰਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = (ਭੁਜਾ)²
= 14 × 14 = 196 cm²
ਚਾਰ ਚੌਥਾਈਆ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = 4\(\left[\frac{\pi \mathrm{R}^{2} \theta}{360^{\circ}}\right]\)
= 4 × \(\frac{22}{7}\) × \(\frac{7×7×90}{360}\) cm²
= 22 × 7 = 154 cm²
∴ ਲੋੜੀਂਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = ਵਰਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ- ਚਾਰ ਚੌਥਾਈਂਆ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ।
= (196 – 154) cm²
= 42 cm²

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 8.
ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਦੌੜਨ ਦਾ ਰਸਤਾ (racing track) ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ, ਜਿਸਦੇ ਸੱਜੇ ਅਤੇ ਖੱਬੇ ਸਿਰੇ ਅਰਧ ਚੱਕਰਾਕਾਰ ਹਨ। ਦੋਨਾਂ ਅੰਦਰੁਨੀ ਸਮਾਂਤਰ ਰੇਖਾਖੰਡਾਂ ਦੇ ਵਿਚਾਲੇ ਦੀ ਦੂਰੀ 60 m ਹੈ । ਉਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਰੇਖਾਖੰਡ 106 m ਲੰਬਾ ਹੈ । ਜੇਕਰ ਇਹ ਰਸਤਾ 10 m ਚੌੜਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
(i) ਰਸਤੇ ਦੇ ਅੰਦਰੂਨੀ ਕਿਨਾਰਿਆਂ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਇੱਕ ਪੂਰਾ ਚੱਕਰ ਲਗਾਉਣ ਵਿੱਚ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਗਈ ਦੂਰੀ
(ii) ਰਸਤੇ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ

ਹੱਲ:

(i) ਇੱਥੇ AB = DC = 106 m
AF = BE = CG = HD = 10 m
ਅੰਦਰਲੇ ਅਰਧ ਚੱਕਰ (APD ਅਤੇ BRC) ਦਾ ਵਿਆਸ = 60 m
∴ ਅਰਧ ਚੱਕਰ (APD) ਦਾ ਅੰਦਰੂਨੀ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (r) = 30 m
ਅਰਧ ਚੱਕਰ ਦਾ ਬਾਹਰੀ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (R) = r + 10
= 30 + 10 = 40 m
ਰਸਤੇ ਦੇ ਅੰਦਰੂਨੀ ਕਿਨਾਰਿਆਂ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਇੱਕ ਪੂਰਾ ਚੱਕਰ ਲਗਾਉਣ ਵਿਚ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਗਈ ਦੂਰੀ
= AB + ਅਰਧ ਚੱਕਰ BRCਦਾ ਪਰਿਮਾਪ +CD + ਅਰਧ ਚੱਕਰ DPA ਦਾ ਪਰਿਮਾਪ
=2AB + 2 [ਅਰਧ ਚੱਕਰ BRC ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ]
= 2 (106) + 2\(\left(\frac{2 \pi r}{2}\right)\)
= 212 + 2πr
= 212 + 2 × \(\frac{22}{7}\) × 30
= 212 + \(\frac{60×22}{7}\)
= 212 + 188.57
= 400.57 m
∴ ਰਸਤੇ ਦੇ ਅੰਦਰਲੇ ਕਿਨਾਰਿਆਂ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਪੂਰੇ ਚੱਕਰ ਵਿਚ ਤੈਅ ਦੂਰੀ
= 400.57 m

(ii) ਰਸਤੇ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = ਆਇਤ ABEF ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ + ਖੇਤਰ BEMGCRB ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ+ਆਇਤ CGHD ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ + ਖੇਤਰ CGRBMEB ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= 2 ਆਇਤ ABCD ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ +2 ਖੇਤਰਾਂ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= 2 (AB × AF) + 2 [ਅਰਧ ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ 60 cm – ਅਰਧ ਚੱਕਰ ਜਿਸਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ 30 cm ਹੈ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ]
= 2[106 ×10] + 2[\(\frac{\pi R^{2}}{2}\) – \(\frac{\pi r^{2}}{2}\)]
=2 × 1060 + \(\frac{2 \pi}{2}\)[R² – r²]
= 2120 + \(\frac{22}{7}\) × (40² – 30²)
= 2120 + \(\frac{22}{7}\)[1600 – 900]
= 2120 + \(\frac{22}{7}\)[700]
= 2120 + 2200
= 4320 m²
∴ ਰਸਤੇ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = 4320 m²

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 9.
ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ AB ਅਤੇ CD ਕੇਂਦਰ O ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦੇ ਦੋ ਪਰਸਪਰ ਆਪਸ ਵਿੱਚ) ਲੰਬ ਵਿਆਸ ਹਨ ਅਤੇ OD ਛੋਟੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਵਿਆਸ ਹੈ । ਜੇਕਰ OA = 7 cm ਹੈ, ਤਾਂ ਰੰਗੀਨ ਭਾਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ।

ਹੱਲ:
ਚੱਕਰ ਦਾ ਵਿਆਸ = 14 cm
ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ =7 cm
ਛੋਟੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਵਿਆਸ = 7 cm
∴ ਛੋਟੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ = \(\frac{7}{2}\) cm
AB ਅਤੇ CD ਇਕ ਚੱਕਰ ਦੇ ਦੋ ਪਰਸਪਰ ਲੰਬ ਵਿਆਸ ਹਨ ।
AD ⊥ CD
ਵੱਡੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = πR²
= \(\frac{22}{7}\) × 7 × 7 cm²
= 154 cm²
ਛੋਟੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = πr²
= \(\frac{22}{7}\) × \(\frac{7}{2}\) × \(\frac{7}{2}\) cm²
= 38.50 cm²
△ABC ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = \(\frac{1}{2}\) ਦਾ ਆਧਾਰ × ਉੱਚਾਈ
= \(\frac{1}{2}\) × 14 × 7 cm²
= 49 cm²
∴ ਰੰਗੀਨ ਭਾਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = ਵੱਡੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ-ਛੋਟੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ-ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= (154 – 38.5 – 49) cm²
= 66.5 cm²

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 10.
ਇੱਕ ਸਮਭੁਜੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ABC ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ 17320.5 cm² ਹੈ । ਇਸ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੇ ਹਰੇਕ ਸਿਖ਼ਰ ਨੂੰ ਕੇਂਦਰ ਮੰਨ ਕੇ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੀ ਭੁਜਾ ਦੇ ਅੱਧ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਲੈ ਕੇ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ(ਦੇਖੋ ਚਿੱਤਰ) । ਰੰਗੀਨ ਭਾਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
(π = 3.14 ਅਤੇ \(\sqrt {3}\) = 1.73205 ਲਓ)

ਹੱਲ:
ਸਮਭੁਜੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ABC ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= 17320.5 cm²

ਭੁਜਾ = 2 × 100 = 200 cm
∴ AB = BC = AC
ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (R) = \(\frac{AB}{2}\) = \(\frac{200}{2}\) cm
= 100 cm
ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਕੋਣ, θ = 60°
ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ APN ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = \(\frac{\pi R^{2} \theta}{360^{\circ}}\)
= \(\frac{3.14 \times 100 \times 100 \times 60^{\circ}}{360^{\circ}}\) cm²
= 5233.33 cm²
ਤਿੰਨਾਂ ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡਾਂ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= 3 × 5233.33 cm²
= 15699.99 cm²
= 15700 cm²
∴ ਲੋੜੀਂਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ – ਤਿੰਨ ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡਾਂ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= 17320.5 – 15700 = 1620.5 cm²
∴ ਲੋੜੀਂਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = 1620.5 cm²

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 11.
ਇੱਕ ਵਰਗਾਕਾਰ ਰੁਮਾਲ ‘ ਤੇ ਨੌ ਚੱਕਰਾਕਾਰ | ਡਿਜਾਇਨ ਬਣੇ ਹਨ, ਜਿਸ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ 7 cm ਹੈ । (ਦੇਖੋ ਚਿਤਰ), ਰੁਮਾਲ ਦੇ ਬਾਕੀ ਭਾਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ।

ਹੱਲ:
ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (R) = 7 cm
ਚੱਕਰ ਦਾ ਵਿਆਸ = 2 × R
= 2 × 7
= 14 cm
ਕਿਉਂਕਿ ਵਰਗ ਦੀ ਭੁਜਾ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਤਿੰਨ ਚੱਕਰ ਹਨ।
∴ ਵਰਗ ਦੀ ਭੁਜਾ = 3 [14] cm = 42 cm
ਰੁਮਾਲ ਦਾ ਕੁੱਲ ਖੇਤਰਫਲ = ਵਰਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= (ਭੁਜਾ)²
= (42)² = 1764 cm²
ਨੌ ਚੱਕਰਾਕਾਰ ਡਿਜਾਈਨਾਂ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = 9πR²
= 9 × \(\frac{22}{7}\) × (7)² cm²
= 9 × \(\frac{22}{7}\) × 7 × 7 cm²
=9 × 154 cm²
= 1386 cm²
∴ ਬਾਕੀ ਭਾਗ ਦਾ ਲੋੜੀਂਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= ਵਰਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ – 9 ਚੱਕਰਾਂ ਡਿਜਾਈਨਾਂ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= (1764 – 1386) cm²
= 378 cm²

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 12.
ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ, OACB, ਕੇਂਦਰ O ਅਤੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ 3.5 cm ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦਾ ਚੌਥਾ ਭਾਗ ਹੈ । ਜੇਕਰ OD = 2 cm ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਹੇਠਾਂ ਲਿਖਿਆਂ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ :
(i) ਚੌਥਾਈ OACB
(ii) ਰੰਗੀਨ ਭਾਗ ।

ਹੱਲ:
ਚੌਥਾਈ ਭਾਗ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (R) = 3.5 cm
ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਕੋਣ (θ) = 90°
OD = 2 cm.
(i) ਚੌਥਾਈ OACB ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = \(\frac{\pi R^{2} \theta}{360^{\circ}}\)
= \(\frac{22}{7}\) × \(\frac{3.5 \times 3.5 \times 90^{\circ}}{360^{\circ}}\) cm²
=9.625 cm²

(ii) △ODB ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = \(\frac{1}{2}\) ਆਧਾਰ × ਉਚਾਈ
= \(\frac{1}{2}\) × 3.5 × 2 cm² = 3.5 cm²
∴ ਰੰਗੀਨ ਭਾਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = ਚੌਥਾਈ ਭਾਗ OACB ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ – △ODB ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= (9.625 – 3.5) cm²
= 6.125 cm²

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 13.
ਚਿੱਤਰ ਵਿਚ, ਇੱਕ ਚੌਥਾਈ OPBQ ਦੇ ਅੰਦਰ ਇੱਕ ਵਰਗ OABC ਬਣਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ । ਜੇਕਰ OA = 20 cm ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਰੰਗੀਨ ਭਾਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
(π = 3.14 ਲਓ)

ਹੱਲ:
ਵਰਗ ABCO ਦੀ ਭੁਜਾ = 20 cm
∠AOC= 90°
AB = OA

∴ △OAB ਵਿੱਚ
OB² = OA² + AB²
OB = \(\sqrt{(20)^{2}+(20)^{2}}\)
= \(\sqrt {400+400}\)
= \(\sqrt {800}\)
OB = 20\(\sqrt {2}\) cm
ਵਰਗ OABC ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = (ਭੁਜਾ)² = (20)²
∴ ਵਰਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = 400 cm²
ਚੌਥਾਈ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (R) = 20\(\sqrt {2}\) cm
ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਕੋਣ (θ) = 90°
ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = \(\frac{\pi \mathrm{R}^{2} \theta}{360^{\circ}}\)
= \(\frac{3.14 \times 20 \sqrt{2} \times 20 \sqrt{2} \times 90^{\circ}}{360^{\circ}}\)
= 2 × 314 cm²
= 628 cm²
∴ ਲੋੜੀਂਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ – ਵਰਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= (628 – 400) cm²
= 228 cm²

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 14.
AB ਅਤੇ CD ਕੇਂਦਰ O ਅਤੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸਾਂ 21 cm ਅਤੇ 7 cm ਵਾਲੇ ਦੋ ਸਮਕੇਂਦਰੀ ਚੱਕਰਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਦੋ ਚਾਪ ਹਨ (ਦੇਖੋ ਚਿੱਤਰ) । ਜੇਕਰ ∠OB = 30° ਹੈ, ਤਾਂ ਰੰਗੀਨ ਭਾਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ।

ਹੱਲ:
ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ OBA ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (R) = 21 cm
ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ODCਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (r) = 7 cm
ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਕੋਣ (θ) = 30°
ਦੀਰਘ ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ (OAB) ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = \(\frac{\pi \mathrm{R}^{2} \theta}{360^{\circ}}\)
= \(\frac{22}{7}\) x \(\frac{21 \times 21 \times 30^{\circ}}{360^{\circ}}\) cm²
= 115.5 cm²
ਲਘੂ ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ (ODC) ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = \(\frac{\pi r^{2} \theta}{360^{\circ}}\)
= \(\frac{22}{7}\) × \(\frac{7 \times 7 \times 30^{\circ}}{360^{\circ}}\) cm²
= 12.83 cm²
ਰੰਗੀਨ ਭਾਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = ਦੀਰਘ ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ (OAB) – ਲਘੂ ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ (OCD)
= (115.5 – 12.83) cm²
= 102.66 cm²

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 15.
ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ, ABC ਅਰਧ ਵਿਆਸ 14 cm ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦਾ ਚੌਥਾਈ ਹਿੱਸਾ ਹੈ ਅਤੇ BC ਨੂੰ ਬਿਆਸ ਮੰਨ ਕੇ ਇੱਕ ਅਰਧ ਚੱਕਰ ਖਿੱਚਿਆ ਗਿਆ ਹੈ । ਰੰਗੀਨ ਭਾਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ।

ਹੱਲ:
ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ACPB ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (r) = 14 cm
ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਕੋਣ (θ) = 90°
AB = AC = 7 cm

ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = \(\frac{1}{2}\) AB × AC
= \(\frac{1}{2}\) × 14 × 14 cm² = 98 cm²
ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ACPB ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = \(\frac{\pi r^{2} \theta}{360^{\circ}}\)
= \(\frac{22}{7}\) × \(\frac{14 \times 14 \times 90^{\circ}}{360^{\circ}}\)
= 154cm²
∴ BOCPB ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ABPC ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ – △ABC ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= 154 cm² – 98 cm²
= 56 cm²
△BAC ਵਿੱਚ, AB² + AC² = BC²
(14)² + (14)² = BC²
BC = \(\sqrt {196+196}\) = \(\sqrt{2(196)}\)
= 14\(\sqrt {2}\) cm
∴ ਅਰਧ ਚੱਕਰ BOCR ਦਾ ਅਰਵਿਆਸ = \(\frac{14 \sqrt{2}}{2}\)
= 7\(\sqrt {2}\) cm
ਅਰਧ ਚੱਕਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = \(\frac{\pi \mathrm{R}^{2}}{2}\)
= \(\frac{22}{7}\) × \(\frac{7 \sqrt{2} \times 7 \sqrt{2}}{2}\) cm²
= \(\frac{22}{7}\) × \(\frac{7 \times 7 \times 2}{2}\) cm²
= 154 cm²
ਲੋੜੀਂਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = ਅਰਧ ਚੱਕਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ [ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ – △BAC ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= 154 – [154 – 98]
= 154 – 56 = 98 cm²
ਰੰਗੀਨ ਭਾਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = 98 cm²

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 16.
ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ, ਰੰਗੀਨ ਡਿਜਾਇਨ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਜੋ 8 cm ਅਰਧ ਵਿਆਸਾਂ ਵਾਲੇ ਦੋ ਚੱਕਰਾਂ ਦੀਆਂ ਚੌਥਾਈਆਂ ਵਿੱਚ ਸਾਂਝਾ ਹੈ।

ਹੱਲ:
ਵਰਗ ਦੀ ਭੁਜਾ = 8 cm
ਵਰਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = (8)² = 64 cm²
ਰੇਖਾ BD ਵਰਗ ABCD ਨੂੰ ਸਮਾਨ ਭਾਗਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਦੀ ਹੈ ।
△ABD ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = △BDC ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਕੋਣ, θ = 90°
ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = \(\)
= \(\frac{22}{7}\) × \(\frac{8 \times 8 \times 90^{\circ}}{360^{\circ}}\) cm²
= 50:28 cm²
ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = 50.28 cm²
△ABD ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = \(\frac{1}{2}\) × AB × AD
= \(\frac{1}{2}\) × 8 × 8cm²
= 32 cm²
∴ ਚੱਕਰ ਖੰਡ DMBPD ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= ABPD ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ – △ABD ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= 50.28 – 32
= 18.28 cm²
ਰੰਗੀਨ ਡਿਜ਼ਾਈਨਾਂ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = 2 DMBPD ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= 2(18.28) = 36.56 cm²

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 12 ਚੱਕਰ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਖੇਤਰਫਲ Ex 12.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 12 ਚੱਕਰ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਖੇਤਰਫਲ Exercise 12.2

(ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਨਾ ਕਿਹਾ ਜਾਵੇ, π = \(\frac{22}{7}\) ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ ।)

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 1.
6 cm ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਜਿਸਦਾ ਕੋਣ 60° ਹੈ ।
ਹੱਲ:
ਚੱਕਰ ਦੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (R) = 6 cm

ਕੇਂਦਰ ਦਾ ਕੋਣ (θ) = 60°
∴ ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = \(\frac{\pi R^{2} \theta}{360}\)
= \(\frac{22}{7}\) × \(\frac{6×6×60}{360}\) cm²
= \(\frac{132}{7}\) cm²
∴ ਚੱਕਰ ਦੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = 18.86 cm²

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 2.
ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦੇ ਚੌਥੇ ਭਾਗ (quadrant) ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਜਿਸਦਾ ਘੇਰਾ 22 cm ਹੈ ।
ਹੱਲ:
ਚੱਕਰ ਦਾ ਘੇਰਾ = 22 cm
2πR = 22
R = \(\frac{22×7}{2×22}\) = \(\frac{7}{2}\) cm
R = \(\frac{7}{2}\)
ਕੇਂਦਰ ਦਾ ਕੋਣ (θ) = 90°
∴ ਚੱਕਰ ਦੇ ਚੌਥੇ ਭਾਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= \(\frac{\pi R^{2} \theta}{360}\) = \(\frac{\frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \times 90}{360}\) cm²
= \(\frac{77}{8}\) cm²
= 9.625 cm²

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 3.
ਇੱਕ ਘੜੀ ਦੀ ਮਿੰਟਾਂ ਵਾਲੀ ਸੂਈ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 14 cm ਹੈ । ਇਸ ਸੂਈ ਦੁਆਰਾ 5 ਮਿੰਟ ਵਿੱਚ ਤੈਅ ਕੀਤੇ ਖੇਤਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਮਿੰਟਾਂ ਵਾਲੀ ਸੂਈ ਦੀ ਲੰਬਾਈ
= ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (R) = 14 cm

ਸਾਨੂੰ ਪਤਾ ਹੈ
60′ = 360°
1′ = \(\frac{360}{60}\) = 6°
5′ = 6° × 5 = 30°
ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਕੋਣ (θ) = 30°
∴ ਸੂਈ ਦੁਆਰਾ 5 ਮਿੰਟਾਂ ਵਿਚ ਬਣਾਏ ਗਏ ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ

∴ ਸੂਈ ਦੁਆਰਾ 5 ਮਿੰਟਾਂ ਵਿਚ ਤੈਅ ਕੀਤੇ ਖੇਤਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= 51∙33 cm²

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 4.
10 cm ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦੀ ਕੋਈ ਜੀਵਾ ਕੇਂਦਰ ‘ਤੇ ਇੱਕ ਸਮਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ । ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਿਆਂ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ :
(i) ਸੰਗਤ ਲਘੂ ਚੱਕਰ ਖੰਡ
(ii) ਸੰਗਤ ਦੀਰਘ ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ (π = 3.14 ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ)
ਹੱਲ:
ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (R) = 10 cm
ਕੇਂਦਰ ਤੇ ਬਣਿਆ ਕੋਣ (θ) = 90°
∴ ਲਘੂ ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = \(\frac{\pi \mathrm{R}^{2} \theta}{360}\)
= 3∙14 × 10 × 10 × \(\frac{90}{360}\) = \(\frac{314}{4}\)
ਲਘੂ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = \(\frac{314}{4}\) = 78.5 cm²
ਲਘੁ ਚੱਕਰ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= ਲਘੁ ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ – △AOB ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= 78.5 – \(\frac{1}{2}\) × ਆਧਾਰ × ਉਚਾਈ
= (78.5 – \(\frac{1}{2}\) × 10 × 10) cm²
= (78.5 – 50) cm²
= 28.5 cm²
∴ ਲਘੂ ਚੱਕਰ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= 28.5 cm²
ਵੱਡੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ

∴ ਵੱਡੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= 235.5 cm²

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 5.
ਅਰਧ ਵਿਆਸ 21 cm ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਇੱਕ ਚਾਪ ਕੇਂਦਰ ’ਤੇ 60° ਦਾ ਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ । ਪਤਾ ਕਰੋ :
(i) ਚਾਪ ਦੀ ਲੰਬਾਈ
(ii) ਚਾਪ ਦੁਆਰਾ ਬਣਾਏ ਗਏ ਅਰਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
(iii) ਸੰਗਤ ਜੀਵਾ ਦੁਆਰਾ ਬਣਾਏ ਗਏ ਚੱਕਰ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ।
ਹੱਲ:
(i) ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (R) = 21 cm

ਕੇਂਦਰ ਤੇ ਬਣਿਆ ਕੋਣ (θ) = 60°
ਚਾਪ ਦੀ ਲੰਬਾਈ = \(\frac{θ}{360}\) × 2πR
= \(\frac{60}{360}\) × 2 × \(\frac{22}{7}\) × 21
∴ ਚਾਪ ਦੀ ਲੰਬਾਈ = 22 cm

(ii) ਚਾਪ ਦੁਆਰਾ ਬਣਾਏ ਗਏ ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= \(\frac{\pi R^{2} \theta}{360}\)
= \(\frac{22}{7}\) × \(\frac{21×21×60}{360}\)
= 231 cm²
ਕਿਉਂਕਿ △OAB ਸਮਭੁਜੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿਚ θ = 60°.

(iii) ਚੱਕਰ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ – vAOB ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= \(\frac{\pi R^{2} \theta}{360}\) – \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) (ਭੁਜਾ)²
= 231 – \(\frac{1∙73}{4}\) × 21 × 21 cm²
= 231 – 0.4325 × 441 cm²
= 231 – 190.7325 cm²
=4026 cm²
∴ ਚੱਕਰ ਖੰਡ ਦਾ = 40.26 cm²

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 6.
15 cm ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਵਾਲੇ ਇਕ ਚੱਕਰ ਦੀ ਕੋਈ ਜੀਵਾ ਕੇਂਦਰ ‘ਤੇ 60° ਦਾ ਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਸੰਗਤ ਲਘੂ ਅਤੇ ਦੀਰਘ ਚੱਕਰ ਖੰਡਾਂ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
(π = 3.14 ਅਤੇ \(\sqrt {3}\) = 1.73 ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ ॥)
ਹੱਲ:
ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ = (R) = 15 cm
ਕੇਂਦਰ ਦਾ ਕੋਣ (θ) = 60°

△OAB ਵਿੱਚ ਕੇਂਦਰੀ ਕੋਣ θ = 60°
OA = OB = 15 cm
∴ ∠AZB = 60°
∴ △OAB ਸਮਭੁਜੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਹੈ ।
ਲਘੂ ਚੱਕਰ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = (ਲਘੂ ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ) – ਸਮਭੁਜੀ ਤਿਭੁਜ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ

∴ ਲਘੂ ਚੱਕਰ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ =20.43 cm²
ਦੀਰਘ ਚੱਕਰ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = ਚੱਕਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ – ਲਘੂ ਚੱਕਰ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= πR² – 20.43
= 3.14 × 15 × 15 – 20.43
= (706.5 – 20.43) cm²
= 686.07 cm²
∴ ਦੀਰਘ ਚੱਕਰ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = 686.07 cm²

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 7.
12 cm ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦੀ ਕੋਈ ਜੀਵਾ ਕੇਂਦਰ ‘ ਤੇ 120° ਦਾ ਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ । ਸੰਗਤ ਚੱਕਰ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
(π = 3.14 ਅਤੇ \(\sqrt {3}\) = 1.73 ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ)
ਹੱਲ:
ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (R) = 12 cm
ਕੇਂਦਰ ਦਾ ਕੋਣ (θ) = 120°
△OAM ਵਿੱਚ, OM ⊥ AB
∴ AM = MB = \(\frac{1}{2}\) AB

∴ ∠OAM = 30° = ∠OBM

AB = 2AM
= 2\(\left(\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{OA}}\right)\)OA
= 2 (sin 60°) 12
AB = 2 × \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) × 12 = 12\(\sqrt {3}\) cm
OM = OA\(\left(\frac{\mathrm{OM}}{\mathrm{OA}}\right)\) = 12 (cos 60°)
= 12 × \(\frac{1}{2}\) = 6 cm
∴ ਚੱਕਰ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ – △OAB ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
ਚੱਕਰ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ

= (150.72 – 36 × 1.73) cm²
= (150.72 – 62.28) cm²
= 8844 cm²
∴ ਚੱਕਰ, ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = 88.44 cm²

8. 15 m ਪੂਜਾ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਵਰਗਾਕਾਰ ਘਾਹ ਦੇ ਮੈਦਾਨ ਦੇ ਇੱਕ ਕੋਨੇ ‘ਤੇ ਲੱਗੇ ਕਿੱਲੇ ਨਾਲ ਘੋੜੇ ਨੂੰ 5 m ਲੰਬੀ ਰੱਸੀ ਨਾਲ ਬੰਨ੍ਹਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ । (ਦੇਖੋ ਚਿੱਤਰ ਪਤਾ ਕਰੋ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (i).
ਮੈਦਾਨ ਦੇ ਉਸ ਭਾਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਜਿੱਥੇ ਘੋੜਾ ਘਾਹ ਚਰ ਸਕਦਾ ਹੈ ।
ਹੱਲ:
ਵਰਗ ਦੀ ਭੁਜਾ = 15 m
ਕਿੱਲੇ ਨਾਲ ਬੰਨੀ ਰੱਸੀ ਦੀ ਲੰਬਾਈ = ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ OAB ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (R) = 5 m
ਕੇਂਦਰੀ ਕੋਣ (θ) = 90°
[ਵਰਗ ਦਾ ਹਰੇਕ ਕੋਣ 90°]

ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ OAB ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = \(\frac{\pi \mathrm{R}^{2} \theta}{360^{\circ}}\)
= \(\frac{3.14 \times 5 \times 5 \times 90^{\circ}}{360^{\circ}}\)
= \(\frac{3.14 \times 25}{4}\) = \(\frac{78.5}{4}\) m²
= 19.625 m²

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ii).
ਚਰੇ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਖੇਤਰਫਲ ਵਿੱਚ ਵਾਧਾ ਜੇਕਰ ਘੋੜੇ ਨੂੰ 5 m ਲੰਬੀ ਰੱਸੀ ਦੇ ਸਥਾਨ ‘ਤੇ 10 m ਲੰਬੀ ਰੱਸੀ ਨਾਲ ਬੰਨ ਦਿੱਤਾ ਜਾਵੇ। (π = 3.14 ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ) !

ਹੱਲ:
ਜਦੋਂ ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਅਰਧਵਿਆਸ ਵੱਧ ਕੇ 10 m ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ।
∴ ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ OCD ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ | (R₁) = 10 m
ਕੇਂਦਰੀ ਕੋਣ (θ) = 90°
∴ ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ OCDP ਖੇਤਰਫਲ = \(\frac{\pi \mathrm{R}_{1}^{2} \theta}{360^{\circ}}\)

∴ ਚਰੇ ਜਾ ਸਕਣ ਵਾਲੇ ਖੇਤਰ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਵਿੱਚ ਵਾਧਾ
= ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ OCD ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ – ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ OAB ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= (78.5 – 19.625) cm²
= 58.875 m²
∴ ਚਰੇ ਜਾ ਸਕਣ ਵਾਲੇ ਖੇਤਰ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਵਿੱਚ ਵਾਧਾ
= 58.875 m²

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 9.
ਇੱਕ ਚੱਕਰਾਕਾਰ ਬਰੂਚ (brooch) ਨੂੰ ਚਾਂਦੀ ਦੇ ਤਾਰ । ਨਾਲ ਬਣਾਇਆ ਜਾਣਾ ਹੈ ਜਿਸ ਦਾ ਵਿਆਸ 35 mm ਹੈ । ਤਾਰ ਨੂੰ ਚੱਕਰ ਦੇ 5 ਵਿਆਸਾਂ ਨੂੰ ਬਣਾਉਣ ਵਿੱਚ ਵਰਤਿਆ ਗਿਆ ਹੈ ਜੋ ਉਸ ਨੂੰ 10 ਬਰਾਬਰ ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਦੀ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਰਸ਼ਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ । ਤਾਂ ਪਤਾ ਕਰੋ :
(i) ਕੁੱਲ ਲੋੜੀਂਦੀ ਚਾਂਦੀ ਦੇ ਤਾਰ ਦੀ ਲੰਬਾਈ
(ii) ਬਰੂਚ ਦੇ ਹਰੇਕ ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ

ਹੱਲ:
ਚੱਕਰ ਦਾ ਵਿਆਸ (D) = 35 mm
ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (R) = \(\frac{35}{2}\) mm
ਵਿਆਸਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ = 5
ਬਰਾਬਰ ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ = 10
(i) ਪ੍ਰਯੋਗ ਕੀਤੀ ਗਈ ਤਾਰ ਦੀ ਲੰਬਾਈ = 5 ਵਿਆਸਾਂ ਦੀ ਲੰਬਾਈ + ਚੱਕਰ (ਬਚ) ਦਾ ਪਰਿਮਾਪ
= 5(35) + 2πR
= [175 + 2 × \(\frac{22}{7}\) × \(\frac{35}{2}\)] mm
= [175 + 110] mm
= 285 mm

(ii) ਬਰੂਚ ਦੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਕੋਣ

ਹਰੇਕ ਬਰੂਚ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ (ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ)
= \(\frac{\pi R^{2} \theta}{360}\)
= \(\frac{36}{360}\) × \(\frac{22}{7}\) × \(\frac{35}{2}\) × \(\frac{35}{2}\)
= \(\frac{1135}{4}\) = \(\frac{385}{4}\) mm²
= 96.25 mm²
∴ ਬਰੂਚ ਦੇ ਹਰੇਕ ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= 96.25 mm²

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 10.
ਇੱਕ ਛੱਤਰੀ ਵਿੱਚ ਅੱਠ ਤਾਰਾਂ ਹਨ, ਜੋ ਬਰਾਬਰ ਦੂਰੀ ‘ਤੇ ਲੱਗੀਆਂ ਹੋਈਆਂ ਹਨ (ਦੇਖੋ ਚਿੱਤਰ । ਛੱਤਰੀ ਨੂੰ 45 cm ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਸਪਾਟ ਚੱਕਰ ਮੰਨਦੇ ਹੋਏ ਇਸ ਦੀਆਂ ਦੋ ਲਗਾਤਾਰ ਤਾਰਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ।

ਹੱਲ:
ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ = 45 cm
ਤਾਰਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ = 8
ਕੇਂਦਰੀ ਕੋਣ (ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਕੋਣ) = \(\frac{360^{\circ}}{8}\)
= 45°
ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = \(\frac{\pi R^{2} \theta}{360^{\circ}}\)
= \(\frac{45}{360^{\circ}}\) × \(\frac{22}{7}\) × 45 × 45 cm²
= \(\frac{1}{8}\) × \(\frac{22}{7}\) × 45 × 45 cm²
= \(\frac{22275}{28}\) cm²
= 795:53 cm²
∴ ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ =795.53 cm²
∴ ਛੱਤਰੀ ਦੇ ਦੋ ਲਗਾਤਾਰ ਤਾਰਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= 795.53 cm²

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 11.
ਕਿਸੇ ਕਾਰ ਦੇ ਦੋ ਵਾਇਪਰ (wipers) ਹਨ, ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਕਦੇ ਵੀ ਇੱਕ ਦੂਸਰੇ ਨੂੰ ਛੂਹਦੇ ਨਹੀਂ । ਹਰੇਕ ਵਾਇਪਰ, ਜਿਸਦੀ ਪੱਤੀ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 25 cm ਹੈ ਅਤੇ 115° ਦੇ ਕੋਣ ਤੱਕ ਘੁੰਮ ਕੇ ਸਫਾਈ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ । ਵਾਇਪਰਾਂ ਦੇ ਹਰੇਕ ਗੇੜੇ ਨਾਲ ਜਿੰਨਾ ਖੇਤਰਫਲ ਸਾਫ਼ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਉਹ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਪੱਤੀ ਦੀ ਲੰਬਾਈ (R) = 25 cm
ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਕੋਣ (θ) = 115°
ਵਾਇਪਰ ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿਚ ਘੁੰਮਦਾ ਹੈ ।

ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = ਇਕ ਪੱਤੀ ਦੁਆਰਾ ਘੁੰਮਿਆ ਗਿਆ ਖੇਤਰਫਲ
= \(\frac{\pi \mathrm{R}^{2} \theta}{360^{\circ}}\)
= \(\frac{22}{7}\) × \(\frac{115}{360}\) × 25 × 25 cm²
= 27.48 cm²
ਵਾਇਪਰ ਦੀਆਂ ਦੋ ਪੱਤੀਆਂ ਦੁਆਰਾ ਘੁੰਮਿਆ ਗਿਆ ਖੇਤਰਫਲ = 2 ਖੰਡਾਂ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= 2 × 627.48 cm²
= 1254.96 cm²

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 12.
ਜਹਾਜ਼ਾਂ ਨੂੰ ਸਮੁੰਦਰ ਜਲ ਸੜਾ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਸਥਿਤ ਚੱਟਾਨਾਂ ਦੀ ਚੇਤਾਵਨੀ ਦੇਣ ਦੇ ਲਈ, ਇੱਕ ਲਾਈਟ ਹਾਉਸ (light house) 80° ਕੋਣ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਵਿੱਚ 6.5 km ਦੀ ਦੂਰੀ ਤੱਕ ਲਾਲ ਰੰਗ ਦਾ ਪ੍ਰਕਾਸ਼ ਫੈਲਾਉਂਦਾ ਹੈ । ਸਮੁੰਦਰ ਦੇ ਉਸ ਭਾਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਿਸ ਨਾਲ ਜਹਾਜ਼ਾਂ ਨੂੰ ਚੇਤਾਵਨੀ ਦਿੱਤੀ ਜਾ ਸਕੇ । (π = 3.14 ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ ।)
ਹੱਲ:
ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਕੋਣ (θ) = 80°
ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਅਰਥਵਿਆਸ (R) = 16.5 km

ਸਮੁੰਦਰ ਦੇ ਉਸ ਭਾਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਜਿਥੋਂ ਤੱਕ ਜਹਾਜਾਂ ਨੂੰ ਚੇਤਾਵਨੀ ਦਿੱਤੀ ਜਾ ਸਕੇ
ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = \(\frac{\pi \mathrm{R}^{2} \theta}{360^{\circ}}\)
= \(\frac{3.14 \times 16.5 \times 16.5 \times 80}{360}\) km²
= 189.97 km²
ਉਹ ਖੇਤਰ ਜਿੱਥੋਂ ਤੱਕ ਚੇਤਾਵਨੀ ਦਿੱਤੀ ਜਾ ਸਕੇ
= 189.97 km²

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 13.
ਇੱਕ ਗੋਲ ਮੇਜਪੋਸ਼ ‘ਤੇ ਛੇ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਸਮਾਨ ਡਿਜਾਈਨ ਬਣੇ ਹੋਏ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ । ਜੇਕਰ ਮੇਜਪੋਸ਼ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ 28 cm ਹੈ ਤਾਂ ਤੋਂ 0.35 ਪ੍ਰਤੀ ਵਰਗ ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਇਨ੍ਹਾਂ | ਡਿਜਾਈਨਾਂ ਨੂੰ ਬਣਾਉਣ ਦੀ ਲਾਗਤ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
(\(\sqrt {3}\) = 1.7 ਲਓ)

ਹੱਲ:
ਸਮਾਨ ਡਿਜਾਈਨਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ = 6
ਡਿਜਾਈਨਾਂ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (R) = 28 cm
ਹਰੇਕ ਡਿਜਾਇਨ ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦਾ ਹੈ, ਕੇਂਦਰੀ ਕੋਣ (θ) = \(\frac{360^{\circ}}{6}\) = 60°
ਕਿਉਂਕਿ ਕੇਂਦਰੀ ਕੋਣ 60° ਹੈ ਅਤੇ OA = OB ਹੈ ।
∴ △OAB ਇਕ ਸਮਭੁਜੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਭੂਜਾ 28 cm ਹੈ ।

ਇੱਕ ਛਾਇਆ ਅੰਕਿਤ ਡਿਜਾਇਨ ਵਾਲੇ ਭਾਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = ਚੱਕਰ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ‘ ਖੰਡ OAB ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ – △OAB ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= \(\frac{\pi \mathrm{R}^{2} \theta}{360^{\circ}}\) – \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) (ਭੂਜਾ)²
= (\(\frac{22}{7}\) × \(\frac{2828}{360}\) × 60 – \(\frac{1.7}{4}\) × 28 × 28) cm²
= (410.66 – 333.2) cm²
= 77.46 cm²
∴ ਇਕ ਛਾਇਆ ਅੰਕਿਤ ਡਿਜਾਇਨ ਵਾਲੇ ਭਾਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= 77.46 cm²
ਛੇ ਡਿਜਾਈਨ ਭਾਗਾਂ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = 6 [ਇਕ ਡਿਜਾਈਨ ਭਾਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ]
= 6 [77.46]
= 464.76 cm²
1 cm² ਡਿਜਾਈਨ ਬਣਾਉਣ ਦਾ ਖ਼ਰਚ = ₹ 0.35
464.76 cm² ਡਿਜਾਈਨ ਬਣਾਉਣ ਦਾ ਖ਼ਰਚ
= ₹0.35 × 464.76
= ₹ 162.67

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 14.
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਸਹੀ ਉੱਤਰ ਚੁਣੋ :
ਅਰਧ ਵਿਆਸ Rਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਦੇ ਉਸ ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਜਿਸਦਾ ਕੋਣ p° ਹੈ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਨੁਸਾਰ ਹੈ :
(A) \(\frac{p}{180}\) × 2πR
(B) \(\frac{p}{180}\) × πR²
(C) \(\frac{p}{360}\) × 2πR
(D) \(\frac{p}{720}\) × 2πR²
ਹੱਲ:
ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਕੋਣ (θ) = p°
ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ = R
ਅਰਧ ਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = \(\frac{\pi R^{2} \theta}{360}\)
= \(\frac{\pi \mathrm{R}^{2} \times p}{360}\)
∴ ਸਹੀ ਵਿਕਲਪ (D) ਹੈ ।

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 12 ਚੱਕਰ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਖੇਤਰਫਲ Ex 12.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 12 ਚੱਕਰ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਖੇਤਰਫਲ Exercise 12.1

ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਹੋਰ ਕੁੱਝ ਨਾ ਕਿਹਾ ਜਾਵੇ, ਗ π = \(\frac{22}{7}\) ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ !

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 1.
ਦੋ ਚੱਕਰਾਂ ਦੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਕੁਮਵਾਰ 19cm ਅਤੇ 9cm ਹਨ । ਉਸ ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਿਸ ਦਾ ਘੋਰਾ ਇਨ੍ਹਾਂ ਦੋਨਾਂ ਚੱਕਰਾਂ ਦੇ ਘੇਰਿਆਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
ਹੱਲ:

ਪਹਿਲੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (r₁) = 19 cm
ਦੂਸਰੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (r₂) = 9 cm
ਮੰਨ ਲਉ ਤੀਸਰੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ = R cm
ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਅਨੁਸਾਰ,
ਪਹਿਲੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਘੇਰਾ + ਦੂਸਰੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਘੇਰਾ = ਤੀਸਰੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਘੇਰਾ
2πr₁ + 2πr₂ = 2πR
2π [r₁ + r₂] = 2π R
19 + 9 = R
∴ R = 28
∴ ਤੀਸਰੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ = 28 cm

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 2.
ਦੋ ਚੱਕਰਾਂ ਦੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਕੁਮਵਾਰ 8 cm ਅਤੇ 6 cm ਹਨ । ਉਸ ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਿਸ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਇਨ੍ਹਾਂ ਦੋਨਾਂ ਚੱਕਰਾਂ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ ।
ਹੱਲ:
ਪਹਿਲੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (r₁) = 8 cm
ਦੂਸਰੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (r₂) = 6 cm
ਤੀਸਰੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧਵਿਆਸ = R cm
ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਅਨੁਸਾਰ
ਤੀਸਰੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = ਪਹਿਲੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ + ਦੂਸਰੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
πR² = π\(r_{1}^{2}\) + π\(r_{2}^{2}\)
πR² = π[\(r_{1}^{2}\) + π\(r_{2}^{2}\)]
R² = (8)² + (6)²
R = \(\sqrt {64+36}\) = \(\sqrt {100}\)
R= 10 cm
∴ ਲੋੜੀਂਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (R) = 10 cm

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 3.
ਦਿੱਤਾ ਹੋਇਆ ਚਿੱਤਰ ਇੱਕ ਤੀਰ ਅੰਦਾਜ਼ੀ ਨਿਸ਼ਾਨੇ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਕੇਂਦਰ ਦੇ ਬਾਹਰ ਵੱਲ ਪੰਜ ਖੇਤਰ GOLD,RED, BLUE, BLACK ਅਤੇ WHITE ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ‘ਤੇ ਅੰਕ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ । GOLਅੰਕ ਵਾਲੇ ਖੇਤਰ ਦਾ ਵਿਆਸ 21 cm ਹੈ ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਹੋਰ ਪੱਟੀ 10.5 cm ਚੌੜੀ ਹੈ । ਅੰਕ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਾਉਣ ਵਾਲੇ ਇਨ੍ਹਾਂ ਪੰਜਾਂ ਖੇਤਰਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ।

ਹੱਲ:
Gold ਖੇਤਰ ਦਾ ਵਿਆਸ = 21 cm
Gold ਖੇਤਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (R₁).
= \(\frac{21}{2}\) cm = 10.5 cm
∴ Gold ਖੇਤਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= π\(R_{1}^{2}\) = \(\frac{22}{7}\) × \(\frac{21}{2}\) × \(\frac{21}{2}\) = \(\frac{693}{2}\) cm²
= 346∙5 cm²
ਹਰੇਕ ਪੱਟੀ ਦੀ ਚੌੜਾਈ = 10.5 cm
∴ Red ਅਤੇ Gold ਖੇਤਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (R₂)
= (10.5 + 10.5) cm
= 21 cm
Blue, Red ਅਤੇ Gold ਖੇਤਰ ਦਾ ਸੰਯੁਕਤ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (R₃) = R₂ + 10.5 cm
= 21 + 10.5 = 31.5 cm
Black, Blue, Red ਅਤੇ Gold ਖੇਤਰ ਦਾ ਸਾਂਝਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (R₄) = R₃ + 10.5
= (31.5 + 10.5) cm
= 42 cm
Black ਖੇਤਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = Gold, Red, Blue ਅਤੇ Black ਖੇਤਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ – Gold, Red ਅਤੇ Blue ਖੇਤਰ ਦਾ ਸਾਂਝਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ
= π\(r_{4}^{2}\) – π\(r_{3}^{2}\)
= π[(42)² – (31.5)²] cm²
= \(\frac{22}{7}\) [1764 – 99225] cm²
= \(\frac{22}{7}\) [771.75] cm² = 2425.5 cm²
White, black, blue, red, gold ਖੇਤਰ ਦਾ ਸਾਂਝਾ | ਅਰਧ ਵਿਆਸ (R₅)
= R₄ + 15
R₅ = 42 + 10.5 = 52.5 cm
Black, blue, red ਅਤੇ gold ਖੇਤਰ ਦਾ ਅਰਧ | ਵਿਆਸ (R₄) = 42 cm
White ਅੰਕ ਲੈਣ ਵਾਲੇ ਖੇਤਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = White, black, blue, red, gold ਖੇਤਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ – Black blue, red, gold ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= π\(R_{5}^{2}\) – π\(R_{4}^{2}\)
= π[\(R_{5}^{2}\) – \(R_{4}^{2}\)]
= \(\frac{22}{7}\)[(525)² – (42)²] cm²
= \(\frac{22}{7}\)[2756.25 -1764] cm²
= \(\frac{22 \times 992.25}{7}\) = \(\frac{21829.5}{7}\) cm²
= 3118.5 cm²
∴ White ਅੰਕ ਵਾਲੇ ਖੇਤਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= 3118.5 cm²
∴ Red ਅੰਕ ਵਾਲੇ ਖੇਤਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = Red or Gold ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ – Gold ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ

= 1039.5 cm²
∴ Red ਖੇਤਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = 1039.5 cm²
Gold, Red ਅਤੇ Blue ਦਾ ਸਾਂਝਾ ਅਰਧਵਿਆਸ R,
= (10.5 + 10.5 + 10.5) = 31.5 cm
Blue ਅੰਕ ਵਾਲੇ ਖੇਤਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= Red, blue ਅਤੇ Gold ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ – Gold ਅਤੇ Red ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= π\(R_{3}^{2}\) – π\(R_{2}^{2}\)
= π[\(R_{3}^{2}\) – \(R_{2}^{2}\)]
= \(\frac{22}{7}\)[(31.52)² – (21)²] cm²
= \(\frac{22}{7}\)[99225 – 441] cm ²
= \(\frac{22}{7}\) × 551.25 cm² = \(\frac{12127.5}{7}\) cm²
= 1732.5 cm² .

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 4.
ਕਿਸੇ ਕਾਰ ਦੇ ਹਰੇਕ ਪਹੀਏ ਦਾ ਵਿਆਸ 80 cm ਹੈ । ਜੇਕਰ ਇਹ ਕਾਰ 66 km/h ਦੀ ਚਾਲ ਨਾਲ ਚਲ ਰਹੀ ਹੈ । ਤਾਂ 10 ਮਿੰਟ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਪਹੀਆ ਕਿੰਨੇ ਚੱਕਰ ਲਗਾਉਂਦਾ ਹੈ ।
ਹੱਲ:
ਪਹੀਏ ਦਾ ਵਿਆਸ = 80 cm
ਪਹੀਏ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ (R) = 40 cm
= \(\frac{4}{100}\) m = 0.04 m
ਪਹੀਏ ਦਾ ਘੇਰਾ = 2πr
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × 0.04 m
ਮੰਨ ਲਉ ਕਾਰ ਦਾ ਪਹੀਆ ॥ ਪੂਰੇ ਚੱਕਰ ਲਗਾਉਣ ਵਿਚ 10 ਮਿੰਟ ਦਾ ਸਮਾਂ ਲੈਂਦਾ ਹੈ ।
= n[0.08 × \(\frac{22}{7}\)] m
ਕਾਰ ਦੀ ਚਾਲ = 66 km/h
60 ਮਿੰਟਾਂ ਵਿਚ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਗਈ ਦੂਰੀ
= 66 km = 66 × 1000 m
10 ਮਿੰਟ ਵਿਚ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਗਈ ਦੂਰੀ
= \(\) 10 m
= 11000 m
∴ n[\(\frac{22}{7}\) × 0.08] = 1100
n = \(\frac{11000}{0.08}\) × \(\frac{7}{22}\)
n = 4375
∴ ਕਾਰ ਦੇ ਪਹੀਏ ਦੁਆਰਾ 10 ਮਿੰਟਾਂ ਵਿਚ ਲਗਾਏ ਗਏ ਚੱਕਰਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ 4375 ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 5.
ਹੇਠਾਂ ਲਿਖਿਆਂ ਵਿਚੋਂ ਸਹੀ ਉੱਤਰ ਚੁਣੋ ਅਤੇ ਆਪਣੇ ਉੱਤਰ ਦਾ ਸਪਸ਼ਟੀਕਰਨ ਦਿਓ :
ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦਾ ਪਰਿਮਾਪ ਅਤੇ ਖੇਤਰਫਲ ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਰਾਬਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਸ ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਹੈ ।
(A) 2 ਇਕਾਈਆਂ
(B) π ਇਕਾਈਆਂ
(C) 4 ਇਕਾਈਆਂ
(D) 7 ਇਕਾਈਆਂ
ਹੱਲ:
ਚੱਕਰ ਦਾ ਪਰਿਮਾਪ = ਚੱਕਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
2πR = πR²
2R = R²
⇒ R = 2
∴ ਸਹੀ ਉੱਤਰ A ਹੈ (R) = 2 ਇਕਾਈਆਂ

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 11 ਰਚਨਾਵਾਂ Ex 11.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 11 ਰਚਨਾਵਾਂ Exercise 11.2

1. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਹਰੇਕ ਰਚਨਾ ਦੇ ਲਈ ਸਪੱਸ਼ਟੀਕਰਣ ਵੀ ਦਿਓ :

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 1.
6 cm ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਦਾ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਖਿੱਚੋ । ਕੇਂਦਰ ਤੋਂ 10 cm ਦੂਰ ਸਥਿਤ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਚੱਕਰ ’ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇ ਜੋੜੇ ਦੀ ਰਚਨਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਲੰਬਾਈਆਂ ਮਾਪੋ ।
ਹੱਲ:

ਰਚਨਾ ਦੇ ਪਰਾ :
1. ਇਕ ਚੱਕਰ (1) ਜਿਸਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ 6 cm ਹੈ, ਖਿੱਚੋ ।
2. ਕੇਂਦਰ ਤੋਂ 10 cm ਦੀ ਦੂਰੀ ਤੇ ਇਕ ਬਿੰਦੂ P ਲਉ OP ਨੂੰ ਮਿਲਾਉ ।
3. OP ਦਾ ਲੰਬ ਸਮਦੁਭਾਜਕ ਖਿੱਚੋ । ਮੰਨ ਲਉ ‘M’, OP ਦਾ ਮੱਧ ਬਿੰਦੁ ਹੈ !
4. “M’ ਨੂੰ ਕੇਂਦਰ ਮੰਨ ਕੇ ਅਤੇ MO ਨੂੰ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਲੈ ਕੇ ਇੱਕ ਚੱਕਰ (II) ਖਿੱਚੋ ਜੋ ਪਹਿਲੇ ਚੱਕਰ ਨੂੰ ਬਿੰਦੁ T ਅਤੇ T’ ਉੱਤੇ ਕੱਟਦਾ ਹੈ ।
5. ਹੁਣ PT ਅਤੇ PT’ ਨੂੰ ਮਿਲਾਉ ॥
ਰਚਨਾ ਦਾ ਸਪੱਸ਼ਟੀਕਰਣ :
ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੁ ਉੱਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਉਸ ਬਿੰਦੁ ਦੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਉੱਤੇ ਲੰਬ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਅਸੀਂ ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ ਹੈ ਕਿ :
∠PTO = ∠PTO = 90°
OT ਨੂੰ ਮਿਲਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ ।
ਹੁਣ, PMO ਚੱਕਰ (II) ਦਾ ਵਿਆਸ ਹੈ ।
ਅਤੇ ∠PTO ਅਰਧ ਚੱਕਰ ਵਿੱਚ ਹੈ
∴ ∠PTO = 90°
[ਅਰਧ ਚੱਕਰ ਵਿਚ ਬਣਿਆ ਕੋਣ ਸਮਕੋਣ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।]
ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ∠PTO’ = 90°
∴ PT ਅਤੇ PT’ ਚੱਕਰ ਦੀ ਅਤੇ T’ ਉੱਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਹਨ ।
ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਮਾਪਣ ਤੇ
ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ PT = 8.1 cm
PT’ = 8.1 cm.

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 2.
4 cm ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ’ਤੇ 6 cm ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਦੇ ਇੱਕ ਸਮਕੇਂਦਰੀ ਚੱਕਰ ਦੇ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੁ ਤੋਂ ਇੱਕ ਸਪੱਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੀ ਰਚਨਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਉਸਦੀ ਲੰਬਾਈ ਮਾਪੇ ॥ ਗਣਨਾ ਕਰਕੇ ਇਸ ਮਾਪ ਦੀ ਜਾਂਚ ਵੀ ਕਰੋ।
ਹੱਲ:
ਸਮਕੇਂਦਰੀ ਚੱਕਰ : ਦੋ ਜਾਂ ਵੱਧ ਚੱਕਰ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਇਕ ਹੀ ਕੇਂਦਰ ਹੋਵੇ ਪਰ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਅਲੱਗ-ਅਲੱਗ ਹੋਣ ਸਮਕੇਂਦਰੀ ਚੱਕਰ ਕਹਾਉਂਦੇ ਹਨ ।
ਰਚਨਾ ਦੇ ਪਗ :
1. ਇਕ ਚੱਕਰ ਜਿਸ ਦਾ ਕੇਂਦਰ “O’ ਅਤੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ 4 ਸਮ ਹੋਵੇ, ਖਿੱਚੋ । ਇਸਨੂੰ I ਅੰਕਿਤ ਕਰੋ ।

2. ਉਸੇ ਕੇਂਦਰ “O’ ਅਤੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ 6 cm ਦਾ ਇਕ ਹੋਰ ਚੱਕਰ ਖਿੱਚੋ ਜਿਸਨੂੰ II ਅੰਕਿਤ ਕਰੋ ।
3. ਚੱਕਰ II ਉੱਤੇ ਕੋਈ ਬਿੰਦੁ ‘P’ ਲਉ । OP ਨੂੰ ਮਿਲਾਓ ।
4. OP ਦਾ ਲੰਬ ਸਮਦੁਭਾਜਕ ਖਿੱਚੋ । ਮੰਨ ਲਉ ਇਹ ‘OP’ ਨੂੰ M ਉੱਤੇ ਕੱਟਦਾ ਹੈ ।
5. M ਨੂੰ ਕੇਂਦਰ ਮੰਨ ਕੇ ‘OM’ ਜਾਂ ‘MP’, ਨੂੰ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਲੈ ਕੇ ਚੱਕਰ III ਦੀ ਰਚਨਾ ਕਰੋ ਜੋ ਚੱਕਰ I ਨੂੰ T ਅਤੇ ‘ ਤੇ ਕੱਟਦਾ ਹੈ ।
6. PT ਨੂੰ ਮਿਲਾਓ । PT ਲੋੜੀਂਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਹੈ ।
ਸਪੱਸ਼ਟੀਕਰਣ :
OT ਨੂੰ ਮਿਲਾਉ
ਹੁਣ OP ਚੱਕਰ III ਦਾ ਵਿਆਸ ਹੈ ।
∠OTP ਅਰਧ ਚੱਕਰ ਵਿਚ ਕੋਣ ਹੈ।
∴ ∠OTP = 90° …(1) ਹੁਣ
OT ⊥ PT [(1) ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਕੇ]
∵ ਇਕ ਰੇਖਾ ਜੋ ਚੱਕਰ ਵਿਚ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ ਉੱਤੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਦੇ ਨਾਲ 90° ਦਾ ਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ ਉਹ ਚੱਕਰ ਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ।
∴ PT ਚੱਕਰ ‘I’ ਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਹੈ
ਭਾਵ PT, 4 ਸਮ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਹੈ ।
ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ :
△OTP ਲਉ ।
∠OTP = 90° ° [(i) ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਕੇ]
∴ △OTP ਇਕ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਹੈ।
OT = 4 cm
OP = 6 cm [ਚੱਕਰ I ਅਤੇ II ਦੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ]
PT = ?
ਸਮਕੋਣ △OTP ਵਿਚ
ਪਾਈਥਾਗੋਰਸ ਪਮੇਯ ਅਨੁਸਾਰ
OP² = OT² + PT²
[(ਕਰਣ)² = (ਅਧਾਰ)² + (ਲੰਬ)²]
PT² = OP² – OT² = 6² – 4²
= 36 – 16 = 20
PT = \(\sqrt {20}\) cm = 2\(\sqrt {5}\)
= 2 × 2.24 = 4.48 cm
∴ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ
= 4.48 ਸਮ = 4.5 cm
ਮਾਪਣ ਤੇ ਸਪਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ
= 4.5 cm
∴ ‘PT’ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 3.
3 cm ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਦਾ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਖਿੱਚੋ |ਇਸਦੇ ਕਿਸੇ ਵਧਾਏ ਗਏ ਵਿਆਸ ‘ਤੇ ਕੇਂਦਰ ਤੋਂ 7 cm ਦੀ ਦੂਰੀ ‘ਤੇ ਸਥਿਤ ਦੋ ਬਿੰਦੂ P ਅਤੇ Q ਲਓ । ਇਨ੍ਹਾਂ ਦੋਨਾਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ਤੋਂ ਚੱਕਰ `ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਖਿੱਚੋ ।
ਹੱਲ:
ਰਚਨਾ ਦੇ ਪਰੀ :
1. ਕੇਂਦਰ ‘O’ ਅਤੇ 3 cm ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਖਿਚੋ ।
2. ਇਸਦਾ ਵਿਆਸ ‘AB’ ਖਿਚੋ ਅਤੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਵਧਾਓ ਜਿਵੇਂ OX ਅਤੇ OX’ ।
3. “OX” ਦਿਸ਼ਾ ਵਿਚ ਬਿੰਦੁ P’ ਅਤੇ ‘OX’ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ “Q’ ਬਿੰਦੂ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਉ |
ਤਾਂ ਕਿ OP = OQ = 7 cm.

4. OP ਅਤੇ OQ ਦਾ ਲੰਬ ਸਮਭਾਜਕ ਖਿੱਚੋ ਜੋ OP ਅਤੇ OQ ਨੂੰ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ‘M’ ਅਤੇ ‘M’ ਉੱਤੇ ਕੱਟੇ ।
5. “M’ ਨੂੰ ਕੇਂਦਰ ਮੰਨ ਕੇ ਅਧਵਿਆਸ MO’ ਜਾਂ । M’O ਜਾਂ MQ ਲੈ ਕੇ ਚੱਕਰ ‘I’ ਖਿਚੋ ਜੋ ਚੱਕਰ ‘I’ ਨੂੰ T ਅਤੇ T’ ਉੱਤੇ ਕੱਟੇ ।
6. ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ‘M’ ਨੂੰ ਕੇਂਦਰ ਮੰਨ ਕੇ ਚੱਕਰ M’O ਜਾਂ MQ, ਲੈ ਕੇ ਚੱਕਰ (III) ਖਿਚੋ ਜੋ ਚੱਕਰ ‘I’ ਨੂੰ ‘S ਅਤੇ ‘S’ ਤੇ ਕੱਟੇ ।
7. PT, PT’ ਅਤੇ QS, QS’ ਨੂੰ ਮਿਲਾਓ।
ਰਚਨਾ ਦਾ ਸਪੱਸ਼ਟੀਕਰਣ :
‘OT’ ਅਤੇ ‘OT” ਅਤੇ ‘OS’ ਅਤੇ ‘OS’ ‘ ਨੂੰ ਮਿਲਾਓ ।
PT ਅਤੇ PT’ ਚੱਕਰ ਦੀਆਂ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਹਨ ਨੂੰ ਸਿੱਧ ਕਰਨ ਲਈ ਅਸੀਂ ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ ਹੈ ਕਿ
∠PTO = ∠PTO = 90°
ਹੁਣ “OP ਚੱਕਰ ‘I’ ਦਾ ਵਿਆਸ ਹੈ ਅਤੇ ∠OTP | ਅਰਧ ਚੱਕਰ ਵਿਚ ਬਣਿਆ ਕੋਣ ਹੈ।
∴ ∠OTP = 90° …(1)
[∵ ਅਰਧ ਚੱਕਰ ਵਿਚ ਬਣਿਆ ਕੋਣ 90° ਹੁੰਦਾ ਹੈ]
ਪਰ “OT’ ਚੱਕਰ ‘I’ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਹੈ ਅਤੇ ਰੇਖਾ ‘PT’ ਚੱਕਰ ਨੂੰ “T’ ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਕਰਦੀ ਹੈ ।
∵ ਇਕ ਰੇਖਾ ਜੋ ਚੱਕਰ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੁ ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਕਰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਉਸ ਬਿੰਦੁ ਉਤੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਦੇ ਨਾਲ 90 ਦਾ ਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ । ਚੱਕਰ ਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ।
∴ PT ਚੱਕਰ (1) ਬਿੰਦੂ (T) ਉੱਤੇ ਬਿੰਦੂ ‘P’ ਤੋਂ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਹੈ । | ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ PT’,QS ਅਤੇ QS’ ਚੱਕਰ I ਉੱਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਹਨ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 4.
5 cm ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਦੇ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ‘ਤੇ ਅਜਿਹੀਆਂ ਦੋ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਖਿੱਚੋ, ਜੋ ਆਪਸ ਵਿੱਚ 60° ਦੇ ਕੋਣ ‘ਤੇ ਝੁਕੀਆਂ ਹੋਣ ।
ਹੱਲ:
ਰਚਨਾ ਦੇ ਪਗ :
1. ਲੋੜੀਂਦੇ ਚਿੱਤਰ ਦਾ ਕੱਚਾ ਖਾਕਾ ਖਿੱਚੋ ।

∵ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ 60° ਦਾ ਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ
∠OTP = ∠OQT = 60°
[ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਉੱਤੇ ਲੰਬ ਹਨ ]
ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦਾ ਝੁਕਾਅ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ∠TOQ + ∠OTP + ∠OQT + ∠TPQ = 360°
[ਚਤੁਰਭੁਜ ਦੇ ਕੋਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਗੁਣੀ]
∠TOQ + 90° + 90° + 60° = 360°
∠TOQ = 360° – 90° – 90° – 60° = 120°
2. 5 cm ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਦਾ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਖਿੱਚੋ
3. ਇਸ ਚੱਕਰ ਦੇ ਦੋ ਅਰਵਿਆਸ ਖਿਚੋ ਜੋ ਆਪਸ ਵਿੱਚ 120° ਦਾ ਕੋਣ ਬਣਾਉਣ ।
4. ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਚੱਕਰ ਨੂੰ ‘A’ ਅਤੇ ‘B’ ਤੇ ਕੱਟਦੇ ਹਨ |
5. A ਅਤੇ B ਉੱਤੇ 90° ਦਾ ਕੋਣ ਬਣਾਉ ਜੋ ਇਕ-ਦੂਜੇ 1 ਨੂੰ ‘P’ ਉੱਤੇ ਕੱਟਣ ।

6. PA ਅਤੇ PB ਲੋੜੀਂਦੀਆਂ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਹਨ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 5.
8 cm ਲੰਬਾ ਇਕ ਰੇਖਾਖੰਡ AB ਖਿੱਚੋ | A’ ਨੂੰ ਕੇਂਦਰ ਮੰਨ ਕੇ 4 cm ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਦਾ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਅਤੇ ‘B’ ਨੂੰ ਕੇਂਦਰ ਲੈ ਕੇ 3 cm ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਦਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਚੱਕਰ ਖਿੱਚੋ | ਹਰੇਕ ਚੱਕਰ ’ਤੇ ਦੂਸਰੇ ਚੱਕਰ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਤੋਂ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੀ ਰਚਨਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:

ਰਚਨਾ ਦੇ ਪਗ :
1. ਇੱਕ ਰੇਖਾਖੰਡ AB = 8 cm ਖਿੱਚੋ।
2. ‘A’ ਨੂੰ ਕੇਂਦਰ ਮੰਨ ਕੇ 4 cm ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਦਾ ਚੱਕਰ (I) ਖਿੱਚੋ ।
3. ‘B’ ਨੂੰ ਕੇਂਦਰ ਮੰਨ ਕੇ 3 cm ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਦਾ ਚੱਕਰ ‘II’ ਖਿੱਚੋ ।
4. ਰੇਖਾਖੰਡ AB ਦਾ ਲੰਬ ਸਮਦੁਭਾਜਕ ਖਿੱਚੇ ਜੋ ‘AB’ ਨੂੰ ‘M’ ਉੱਤੇ ਕੱਟੇ ।
5. ‘M’ ਨੂੰ ਕੇਂਦਰ ਮੰਨ ਕੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ MA ਜਾਂ MB ਲੈ ਕੇ ਚੱਕਰ (III) ਖਿੱਚੋ ਜੋ ਚੱਕਰ (I) ਨੂੰ ‘S’ ਅਤੇ ‘T’ ਉੱਤੇ ਅਤੇ ਚੱਕਰ (II) ਨੂੰ ‘P’ ਅਤੇ ‘Q’ ਉੱਤੇ ਕੱਟੇ ।
6. ‘AP’ ਅਤੇ ‘AQ’ ਨੂੰ ਮਿਲਾਓ । ਇਹ ਬਿੰਦੁ “A” ਤੋਂ 3 cm ਅਰਵਿਆਸ ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਹਨ |
7. ‘BS’ ਅਤੇ ‘BT’ ਨੂੰ ਮਿਲਾਓ । ਇਹ ਬਿੰਦੁ ‘B’ ਤੋਂ 4.cm ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਹਨ ।
ਰਚਨਾ ਦਾ ਸਪੱਸ਼ਟੀਕਰਣ :
ਚੱਕਰ (III) ਵਿਚ AB ਵਿਆਸ ਹੈ ਤਾਂ ∠ASE ਅਤੇ ∠BPA ਅਰਧ ਚੱਕਰ ਦੇ ਕੋਣ ਹਨ
∴ ∠ASB = 90° …(1)
∠BPA = 90° …(2)
ਪਰ ∠ASB ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਅਤੇ ਰੇਖਾਖੰਡ ‘BS ਦੇ ਵਿਚ ਦਾ ਕੋਣ ਹੈ ਅਤੇ ∠BPA ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਅਤੇ ਰੇਖਾਖੰਡ ਚੱਕਰ (II) AP’ ਦੇ ਵਿਚ ਦਾ ਕੋਣ ਹੈ ।
∵ ਰੇਖਾਖੰਡ ਜੋ ਚੱਕਰ ਦੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਉੱਤੇ ਲੰਬ ਹੈ। ਉਸ ਬਿੰਦੂ ਤੇ ਚੱਕਰ ਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਹੈ ।
∴ BS ਦਾ ਚੱਕਰ (I) ਦੀ ਬਿੰਦੁ ‘S’ ਉੱਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਹੈ ਅਤੇ AP ਚੱਕਰ (II) ਦੀ ਬਿੰਦੂ ‘P’ ਉੱਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਹੈ ।
ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ AQ ਅਤੇ BT ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਚੱਕਰ (II) ਚੱਕਰ (I) ਦੀਆਂ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਹਨ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 6.
ਮੰਨ ਲਓ ABC ਇੱਕ ਸਮਕੋਣ ਤਿਭੁਜ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ AB = 6 cm, BC = 8 cm ਅਤੇ ∠B = 90° ਹੈ । B ਤੋਂ AC ‘ ਤੇ BD ਲੰਬ ਹੈ । ਬਿੰਦੁ B, C, D ਤੋਂ ਹੋ ਕੇ ਜਾਣ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਖਿੱਚਿਆ ਗਿਆ ਹੈ । ‘A’ ਤੋਂ ਇਸ ਚੱਕਰ `ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੀ ਰਚਨਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:

ਰਚਨਾ ਦੇ ਪਗ :
1. ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਸ਼ਰਤਾਂ ਅਤੇ ਮਾਪ ਅਨੁਸਾਰ ਕੋਣ △ABC ਦੀ ਰਚਨਾ ਕਰੋ ।
2. BD ⊥ AC ਖਿੱਚੋ ।
3. ਭੁਜਾ BC ਦਾ ਮੱਧ ਬਿੰਦੁ ‘M’ ਲਉ ।
4. ‘M’ ਨੂੰ ਕੇਂਦਰ ਮੰਨ ਕੇ ਅਤੇ BC ਨੂੰ ਵਿਆਸ ਮੰਨ ਕੇ B, C, D ਵਿਚ ਅਰਧ ਚੱਕਰ ਵਿਚ ਬਣਿਆ ਕੋਣ 90° (∠BDC = 90°) ਹੁੰਦਾ ਹੈ | ਪਰਕਾਰ ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਕੇ ਚੱਕਰ ਖਿੱਚੋ ਇਸਨੂੰ I ਮੰਨੋ ।
5. ‘A’ ਅਤੇ ‘M’ ਨੂੰ ਮਿਲਾਉ ।
6. AM ਦਾ ਲੰਬ ਸਮਦੁਭਾਜਕ ਖਿੱਚੋ ਜੋ AM ਨੂੰ ‘N’ ਉੱਤੇ ਕੱਟੇ । ‘N’ ਨੂੰ ਕੇਂਦਰ ਮੰਨ ਕੇ , ‘NA” ਜਾਂ ‘NM’ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਲੈ ਕੇ ਚੱਕਰ (II) ਖਿੱਚੋ ਜੋ ਚੱਕਰ (I) ਨੂੰ ‘B’ ਅਤੇ ‘P ਤੇ ਕੱਟੇ ।
7. AP ਨੂੰ ਮਿਲਾਉ ॥
8. AP ਅਤੇ AB ਲੋੜੀਂਦੀਆਂ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਹਨ ।
ਰਚਨਾ ਦਾ ਸਪੱਸ਼ਟੀਕਰਣ :
ਰੇਖਾਖੰਡ ‘AM’ ਨੂੰ ਵਿਆਸ ਲੈ ਕੇ ਚੱਕਰ (II) ਖਿੱਚੋ ।
∠APM ਅਰਧ ਚੱਕਰ ਹੈ।
∴ ∠APM = 90° [ਅਰਧ ਚੱਕਰ ਦਾ ਕੋਣ]
ਭਾਵ MP ⊥ AP ਪਰ ‘MP’ ਚੱਕਰ (I) ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਹੈ
∴ AP ਚੱਕਰ (II) ਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਹੈ ।
[∵ ਚੱਕਰ ਦੇ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੁ ਉੱਤੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਦਾ ਲੰਬ ਕੋਈ ਰੇਖਾ ਉਸ ਚੱਕਰ ਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ |]
ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ‘AB’ ਚੱਕਰ (I) ਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 7.
ਕਿਸੇ ਵੰਗ ਦੀ ਸਹਾਇਤਾ ਨਾਲ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਖਿੱਚੋ । ਚੱਕਰ ਦੇ ਬਾਹਰ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਲਓ । ਇਸ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਚੱਕਰ ‘ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੀ ਰਚਨਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਕਿਸੇ ਵੰਗ ਦੀ ਸਹਾਇਤਾ ਨਾਲ ਚੱਕਰ ਖਿੱਚਣ ਦਾ ਭਾਵ ਹੈ ਚੱਕਰ ਦਾ ਕੇਂਦਰ ਨਹੀਂ ਪਤਾ ਹੈ। ਸਭ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਅਸੀਂ ਕੇਂਦਰ ਪਤਾ ਕਰਾਂਗੇ ।

ਰਚਨਾ ਦੇ ਪਗ :
1. ਚੂੜੀ ਦੀ ਸਹਾਇਤਾ ਨਾਲ ਚੱਕਰ ਖਿੱਚੋ ।
2. ਚੱਕਰ ਦੀਆਂ ਕੋਈ ਦੋ ਜੀਵਾਵਾਂ AB ਅਤੇ CD ਖਿੱਚੋ ।
3. ਜੀਵਾ AB ਅਤੇ CD ਦਾ ਲੰਬ ਸੰਮਦੁਭਾਜਕ ਖਿੱਚੋ ਜੋ , ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਕੱਟਣ ।
[∵ ਰੇਖਾਖੰਡ ਦਾ ਲੰਬ ਸਮਦੁਭਾਜਕ ਉੱਤੇ ਸਥਿਤ ਕੋਈ ਬਿੰਦੂ ਇਸਦੇ ਸਿਰਿਆਂ ਦੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਤੋਂ ਸਮਾਨ ਦੂਰੀ ਤੇ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ॥]
[∵ ‘O’, AB ਅਤੇ CD ਦੇ ਲੰਬ ਸਮਦੁਭਾਜਕ ਉੱਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ |
∴ OA = OB ਅਤੇ OC = OD
∴ OA = OB = OC = OD
(ਚੱਕਰ ਦੇ ਅਰਵਿਆਸ)
∴ ‘O’ ਚੱਕਰ ਦਾ ਕੇਂਦਰ ਹੈ ।
4. ਚੱਕਰ ਦੇ ਬਾਹਰ ਕੋਈ ਬਿੰਦੂ ‘P’ ਲਉ ॥
5. OP ਨੂੰ ਮਿਲਾਓ।
6. OP ਦਾ ਲੰਬ ਸਮਦੁਭਾਜਕ ਖਿੱਚੋ । ਮੰਨ ਲਓ ‘M’, OP ਦਾ ਮੱਧ ਬਿੰਦੁ ਹੈ ।
7. ‘M’ ਨੂੰ ਕੇਂਦਰ ਮੰਨ ਕੇ “MP” ਜਾਂ ‘MO’ ਅਰਵਿਆਸ ਲੈ ਕੇ ਚੱਕਰ II ਖਿੱਚੋ ਜੋ ਚੱਕਰ (I) ਨੂੰ T ਅਤੇ T’ ਤੇ ਕੱਟੇ ।
8. PT ਅਤੇ PT’ ਨੂੰ ਮਿਲਾਉ ਜੋ ਲੋੜੀਂਦੀਆਂ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਹਨ ।
ਰਚਨਾ ਦਾ ਸਪੱਸ਼ਟੀਕਰਣ :
ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਵਾਲੇ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਹਮੇਸ਼ਾ ਸਮਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ ।
∠PTO = PT’O = 90°.
OT ਨੂੰ ਮਿਲਾਉ ॥
ਹੁਣ ∠PTO ਅਰਧ ਚੱਕਰ 1 ਵਿੱਚ ਹੈ ।
∴ ∠PTO = 90°
[ਅਰਧ ਚੱਕਰ ਵਿੱਚ ਬਣਿਆ ਕੋਣ]
ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ∠PT’O = 90°
∴ PT ਅਤੇ PT’ ਚੱਕਰ ਉੱਤੇ ਬਿੰਦੂ ਅਤੇ T’ ਦੀਆਂ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਹਨ ।

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 11 ਰਚਨਾਵਾਂ Ex 11.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 11 ਰਚਨਾਵਾਂ Exercise 11.1

ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਦੇ ਲਈ ਰਚਨਾ ਦਾ ਸਪੱਸ਼ਟੀਕਰਣ ਵੀ ਦਿਓ :

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 1.
7.6 cm ਲੰਬਾ ਇਕ ਰੇਖਾਖੰਡ ਖਿੱਚੋ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ 5 : 8 ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ ਵਿਚ ਵੰਡੋ । ਦੋਨਾਂ ਭਾਗਾਂ ਨੂੰ ਮਾਪੋ ।
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : ਇਕ 7.6 cm ਲੰਬਾ ਰੇਖਾਖੰਡ ਰਚਨਾ ਦੇ ਪਗ :
1. ਇਕ ਰੇਖਾਖੰਡ AB = 7.6 cm ਲਓ।
2. ਨਿਊਨ ਕੋਣ ∠BAX ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੋਈ ਕੋਈ ਕਿਰਨ AX ਖਿੱਚੋ ।
3. ਕਿਰਨ AX ਉੱਤੇ 5 + 8 = 13 (ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ | ਅਨੁਪਾਤ ਬਿੰਦੂ A₁, A₂, A₃, A₄, A₅……… A₁₁, A₁₂, A₁₃ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅੰਕਿਤ ਕਰੋ ਕਿ A₁A₂ = A₂A₃ = A₃A₄ = ….. = A₁₂A₁₃ ਹੋਵੇ ।
4. BA₁₃ ਨੂੰ ਮਿਲਾਓ।
5. ਬਿੰਦੂ A₅, ਤੋਂ ਹੋ ਕੇ ਜਾਣ ਵਾਲੀ A₅C || A₁₃B (A₅ ਉੱਤੇ ∠AA₁₃B ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਕੋਣ ਬਣਾਓ) AB ਨੂੰ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ “c’ ਤੇ ਕੱਟਦੀ ਹੋਈ ਰੇਖਾ ਖਿਚੋ ਤਾਂ AC : CB = 5 : 8

ਸਪੱਸ਼ਟੀਕਰਣ
ਆਓ ਅਸੀਂ ਦੇਖੀਏ ਕਿ ਇਹ ਵਿਧੀ ਕਿਵੇਂ ਸਾਨੂੰ ਲੋੜੀਂਦਾ ਵਿਭਾਜਨ ਦਿੰਦੀ ਹੈ।
△AA₁₃B ਵਿੱਚ
∴ A₅C || A₁₃B ਹੈ ।
∴ ਮੂਲ ਸਮਾਨ ਅਨੁਪਾਤਿਕਤਾ ਥਿਊਰਮ ਰਾਹੀਂ
\(\frac{\mathrm{AA}_{5}}{\mathrm{~A}_{5} \mathrm{~A}_{13}}\) = \(\frac{AC}{CB}\)
\(\frac{\mathrm{AA}_{5}}{\mathrm{~A}_{5} \mathrm{~A}_{13}}\) = \(\frac{5}{8}\)
∴ \(\frac{AC}{CB}\) = \(\frac{5}{8}\)
ਇਹ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ‘C’, AB ਨੂੰ 5 : 8 ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ ਵਿਚ ਵੰਡਦਾ ਹੈ ।
ਦੋਵੇਂ ਭਾਗ ਮਾਪਣ ਤੇ,
AC = 2.9 cm, CB = 47 cm
ਵੈਕਲਪਿਕ ਜਾਂ ਦੂਜੀ ਵਿਧੀ :
1. ਇਕ ਰੇਖਾਖੰਡ AB = 7.6 cm ਲਓ ।
2. ਇਕ ਨਿਊਨ ਕੋਣ ∠BAX ਖਿੱਚੋ ।
3. ∠ABY ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਬਣਾਓ ਕਿ
∠ABY = ∠BAX.
4. ਬਿੰਦੂ A₁, A₂, A₃, A₄, A₅ ਕਿਰਨ AX ਉੱਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅੰਕਿਤ ਕਰੋ ਤਾਂਕਿ A₁A₂ = A₂A₃ = A₃A₄
5. ਬਿੰਦੂ B₁, B₂, B₃, ………, B₈ ਰੇਖਾ BY ਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅੰਕਿਤ ਕਰੋ ਕਿ B₁B₂ = B₂B₃ = …..B₇B₈
6. A₅B₈ ਨੂੰ ਮਿਲਾਓ ਮੰਨ ਲਓ ਇਹ AB ਨੂੰ ‘C’ ਤੇ ਕੱਟਦਾ ਹੈ ।
AC : CB = 5 : 8

ਸਪੱਸ਼ਟੀਕਰਣ :
△ACA₅ ਅਤੇ △ BCB₈ ਵਿੱਚ
∠ACA₅ = ∠BCB₈ [ਸਿਖਰ ਸਨਮੁੱਖ ਕੋਣੀ ]
∠BAA₅ = ∠ABB₈ ([ਰਚਨਾ]
∴ △ACA₅ ~ △BCB₈ [AA ਸਮਰੂਪਤਾ]
∴ ਇਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਸਮਾਨ ਵਿੱਚ ਅਨੁਪਾਤ ਹੋਣਗੀਆਂ।

∴ AC : CB = 5 : 8.
∴ C, ਰੇਖਾਖੰਡ AB ਨੂੰ 5 : 8 ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ ਵਿੱਚ | ਵੰਡਦਾ ਹੈ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 2.
4 cm, 5 cm ਅਤੇ 6 cm ਭੁਜਾਵਾਂ ਵਾਲੇ ਇੱਕ | ਤਿਭੁਜ ਦੀ ਰਚਨਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਇਸ ਦੇ ਸਮਰੂਪ ਇੱਕ ਹੋਰ | ਤਿਭੁਜ ਦੀ ਰਚਨਾ ਕਰੋ ਜਿਸ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦਾ \(\frac{2}{3}\) ਗੁਣਾ ਹੋਣ ।
ਹੱਲ:
ਰਚਨਾ ਦੇ ਪਗ :
1. ਦਿੱਤੀਆਂ ਹੋਈਆਂ ਸ਼ਰਤਾਂ ਅਤੇ ਮਾਪ ਅਨੁਸਾਰ ਤਿਭੁਜ ਦੀ ਰਚਨਾ ਕਰੋ । ਮੰਨ ਲਓ △ABC ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ AB = 5 cm, AC = 4 cm ਅਤੇ BC = 6 cm ਹੈ ।
2. ਭੁਜਾ BC ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਕੋਈ ਨਿਉਨ ਕੋਣ ∠CBX ਬਣਾਓ ।

3. ਤਿੰਨ ਬਿੰਦੂ (\(\frac{2}{3}\) ਵਿੱਚ 2 ਅਤੇ 3 ਵਿੱਚੋਂ ਵੱਡੀ ਸੰਖਿਆ) B₁, B₂, B₃, BX ਉੱਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅੰਕਿਤ ਕਰੋ ਕਿ BB₁ = B₁B₂ = B₂B₃ ਹੋਣ ।
4. B₃C ਨੂੰ ਮਿਲਾਓ।
5. B₂(\(\frac{2}{3}\) ਵਿੱਚ 2 ਅਤੇ 3 ਵਿੱਚੋਂ ਛੋਟੀ ਸੰਖਿਆ) ਵਿੱਚੋਂ ਇਕ ਰੇਖਾ B₃C ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਖਿੱਚੋ ਜੋ BC ਨੂੰ C’ ਉੱਤੇ ਕੱਟੇ ।
6. C, ਤੋਂ ਹੋ ਕੇ ਜਾਣ ਵਾਲੀ CA ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਖਿੱਚੋ ਜੋ BA ਨੂੰ A’ਤੇ ਮਿਲੇ ।
∴ △A’BC’ ਲੋੜੀਂਦੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਹੈ ਜਿਸ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ △ABC ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੀ \(\frac{2}{3}\) ਗੁਣਾ ਹਨ !
ਰਚਨਾ ਦਾ ਸਪੱਸ਼ਟੀਕਰਣ :
ਪਹਿਲਾਂ ਅਸੀਂ ਇਹ ਦਿਖਾਵਾਂਗੇ ਕਿ ਪਹਿਲੀ ਤਿਭੁਜ ਅਤੇ ਰਚਨਾ ਕੀਤੀ ਗਈ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਸਮਰੂਪ ਹਨ }
ਭਾਵ △A’BC’ – △ABC
△ A’BC’ ਅਤੇ △ABC ਵਿਚ
∠B = ∠B [ਸਾਂਝਾ]
∠A’C’B= ∠ACB [ਚਨਾ]
△A’C’B ~ △ACB [AA ਸਮਰੂਪਤਾ]
∴ ਇਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਵੀ ਸਮਾਨ ਅਨੁਪਾਤ ਵਿਚ ਹੋਣਗੀਆਂ।

∴ △A’BC’ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ △ ABC ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦਾ \(\frac{2}{3}\) ਗੁਣਾ ਹੈ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 3.
5 cm, 6 cm ਅਤੇ 7 cm ਭੁਜਾਵਾਂ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੀ ਰਚਨਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਫਿਰ ਇੱਕ ਹੋਰ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੀ ਰਚਨਾ ਕਰੋ, ਜਿਸ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦਾ \(\frac{7}{5}\) ਗੁਣਾ ਹੋਣ ।
ਹੱਲ:

ਰਚਨਾ ਦੇ ਪਗ
1. △ABC ਦੀ ਰਚਨਾ ਕਰੋ ਜਿਸ ਵਿਚ AB = 7 cm, BC = 6 cm ਅਤੇ AC = 5 cm ਹੋਣ
2. ਆਧਾਰ AB ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਨੂੰ ਕੋਈ ਨਿਊਨ ਕੋਣ ∠BAX ਬਣਾਉ ।
3. ਸੱਤ ਬਿੰਦੂ A₁, A₂, A₃, ……. A₇ ਰੇਖਾ AX ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅੰਕਿਤ ਕਰੋ ਕਿ
AA₁ = A₁A₂ = A₂A₃ = ………A₆A₇
4. BA₅ ਨੂੰ ਮਿਲਾਓ ।
5. A₇, ਤੋਂ A₅B ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਖਿੱਚੋ । ਮੰਨ ਲਉ ਇਹ AB ਨੂੰ ਵਧਾਉਣ ਤੇ B’ ਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਮਿਲਦੀ ਹੈ ਕਿ AB’ = \(\frac{7}{5}\)AB.
6. B’ ਤੋਂ ਇੱਕ ਰੇਖਾ BC ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਖਿੱਚੋ ਜੋ AC ਨੂੰ ਵਧਾਉਣ ਤੇ C’ ਤੇ ਮਿਲਦੀ ਹੈ । △AB’C ਲੋੜੀਂਦੀ ਹੈ ।
ਸਪੱਸ਼ਟੀਕਰਣ ,
△ABC ਅਤੇ △ AB’C’ ਵਿੱਚ,
∠A = ∠A [ਸਾਂਝਾ]
∠ABC = ∠AB’C’ [ਚਨਾ]
∴ ∠ABC ~ ∠ AB’C’ [AA ਸਮਰੂਪਤਾ]
∴ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਇੱਕ ਹੀ ਅਨੁਪਾਤ ਵਿਚ ਹੋਣਗੀਆਂ ।
\(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AB}^{\prime}}\) = \(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}}\) = \(\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{C}^{\prime} \mathrm{A}}\) …(1)
ਪਰ △ AA₅B ਅਤੇ △AA₇ B’ ਵਿਚ
∠A = ∠A [ਸਾਂਝਾ]
∠AA₅B = ∠AA₇B’ [ਸੰਗਤ ਕੋਣ]
∴ △AA₅B – △AA₇B’ [AA ਸਮਰੂਪਤਾ]
∴ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਇੱਕ ਸਮਾਨ ਅਨੁਪਾਤ ਵਿਚ ਹੋਣਗੀਆਂ ।

∴ △AB’C’ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ △ABC ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦਾ \(\frac{7}{5}\) ਗੁਣਾ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 4.
ਆਧਾਰ 8 cm ਅਤੇ ਉੱਚਾਈ 4 cm ਦੇ ਇੱਕ ਸਮਦੋਭੁਜੀ ਤਿਭੁਜ ਦੀ ਰਚਨਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਫਿਰ ਇੱਕ ਹੋਰ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੀ ਰਚਨਾ ਕਰੋ, ਜਿਸ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਇਸ ਸਮਦੋਭੁਜੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦਾ 1\(\frac{1}{2}\) ਗੁਣਾ ਹੋਣ ।
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : ਸਮਦੋਭੁਜੀ ਤਿਭੁਜ ਦਾ ਆਧਾਰ = 8 cm ਅਤੇ ਉੱਚਾਈ = 4 cm
ਰਚਨਾ ਕਰਨਾ : ਇਕ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਜਿਸ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਸਮਦੋਭੁਜੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦਾ 1\(\frac{1}{2}\) ਗੁਣਾ ਹੈ ।
ਰਚਨਾ ਦੇ ਪਗ :
1. ਆਧਾਰ AB = 8 cm ਲਉ |
2. AB ਦਾ ਲੰਬ ਸਮਦੁਭਾਜਕ ਖਿੱਚੋ ਜੋ AB ਨੂੰ ‘M’ | ਉੱਤੇ ਕੱਟੇ ।
3. M ਨੂੰ ਕੇਂਦਰ ਮੰਨ ਕੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ 4 cm ਲੈ ਕੇ ਇੱਕ ਚਾਪ ਲਗਾਓ ਜੋ ਲੰਬ ਸਮਦੁਭਾਜਕ ਨੂੰ C’ ਤੇ ਕੱਟਦੀ ਹੈ ।
4. CA ਅਤੇ CB ਨੂੰ ਮਿਲਾਓ ।
5. △ABC ਸਮਦੋਭੁਜੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿਚ CA = CB.
6. ਭੁਜਾ BC ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਇਕ ਨਿਊਨ ਕੋਣ ∠BAX | ਬਣਾਓ ।
7. ਤਿੰਨ ਬਿੰਦੂ (1\(\frac{1}{2}\) ਜਾਂ \(\frac{3}{2}\) ਵਿੱਚ 2 ਜਾਂ 3 ਵਿੱਚੋਂ ਵੱਡੀ ਸੰਖਿਆ) A₁, A₂, A₃, …….. ‘AX’ ਉੱਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ | ਅੰਕਿਤ ਕਰੋ ਕਿ AA₁ = A₁A₂ = A₂A₃ ਹੋਵੇ ।

8. A₂ (\(\frac{1}{2}\) ਵਿੱਚ ‘2’ ਅਤੇ ‘3’ ਵਿੱਚੋਂ ਛੋਟੀ ਸੰਖਿਆ) | ਅਤੇ B ਨੂੰ ਮਿਲਾਓ ।
9. A₃ ਵਿਚੋਂ ਇਕ ਰੇਖਾ A₂B ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਖਿੱਚੋ ਜੋ | AB ਨੂੰ ਵਧਾਉਣ ਤੇ B’ ਤੇ ਮਿਲੇ ।
10. B’ ਵਿੱਚੋਂ ਇਕ ਰੇਖਾ BC ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਖਿੱਚੋ ਜੋ AC ਨੂੰ ਵਧਾਉਣ ਤੇ C’ ਤੇ ਮਿਲੇ । △AB’C’ ਲੋੜੀਂਦੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਹੈ ਜਿਸ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ △ABC ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੀ 1\(\frac{1}{2}\) ਗੁਣੀ ਹੈ ।
ਸਪੱਸ਼ਟੀਕਰਣ :
ਸਭ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਅਸੀਂ ਇਹ ਸਿੱਧ ਕਰਾਂਗੇ ਕਿ △AB’C’ ਅਤੇ △ABC ਸਮਰੂਪ ਹੈ ।
△ ABC ਅਤੇ △ ABC ਵਿੱਚ,
∠A = ∠A [ਸਾਂਝਾ]
∠AB’C’ = ∠ABC [ਚਨਾ]
△AB’C’ ~ △ABC [AA ਸਮਰੂਪਤਾ]
∴ ਉਹਨਾਂ ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਇੱਕ ਹੀ ਅਨੁਪਾਤ ਵਿਚ ਹੋਣ
\(\frac{\mathrm{AB}^{\prime}}{\mathrm{AB}}\) = \(\frac{\mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}}{\mathrm{BC}}\) = \(\frac{\mathrm{C}^{\prime} \mathrm{A}}{\mathrm{CA}}\) ………(1)
ਹੁਣ △ A3AB’ ਅਤੇ △AAB ਲਉ
∠A = ∠A [ਸਾਂਝਾ]
∠B’A₃A = ∠BA₂A [ਚਨਾ]
∴ △A₃AB’ ~ △A₂AB [AA ਸਮਰੂਪਤਾ]
∴ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਇਕ ਹੀ ਅਨੁਪਾਤ ਵਿਚ ਹੋਣ

ਅਤੇ C’A = 1\(\frac{1}{2}\) (CA)
∴ △ AB’C’ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ △ABC ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦਾ 1\(\frac{1}{2}\) ਗੁਣਾ ਹੈ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 5.
ਇੱਕ ਤਿਭੁਜ ABC ਬਣਾਓ ਜਿਸ ਵਿੱਚ BC = 6 cm, AB = 5 cm ਅਤੇ ∠ABC= 60° ਹੋਵੇ।ਫਿਰ ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੀ ਰਚਨਾ ਕਰੋ ਜਿਸ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ △ABC ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦਾ \(\frac{3}{4}\) ਗੁਣਾ ਹੋਣ ।
ਹੱਲ:
ਰਚਨਾ ਦੇ ਪਰਾ :
1. ਰੇਖਾਖੰਡ BC = 6 cm ਲਉ !
2. B ਉਤੇ 60° ਦਾ ਕੋਣ ਬਣਾਓ ਭਾਵ ∠BAX = 60° ਬਣਾਓ ।
3. B ਨੂੰ ਕੇਂਦਰ ਮੰਨ ਕੇ ਅਤੇ 5 cm ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਲੈ ਕੇ ਇਕ ਚਾਪ ਖਿਚੋ ਜੋ BX ਨੂੰ ‘A’ ਤੇ ਕੱਟੇ ।

4. A ਅਤੇ C ਨੂੰ ਮਿਲਾਓ ।
5. BC ਦੇ ਥੱਲੇ B ਉੱਤੇ ਇਕ ਨਿਊਨ ਕੋਣ ਬਣਾਉ ॥
6. ਚਾਰ ਬਿੰਦੂ (\(\frac{3}{4}\) ਵਿਚ 3 ਅਤੇ 4 ਵਿੱਚੋਂ ਵੱਡੀ ਸੰਖਿਆ) B₁, B₂, B₃, B₄ ਰੇਖਾ BY ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅੰਕਿਤ ਕਰੇ ਕਿ BB₁ = B₁B₂ = ……..B₂B₃ = B₃B₄
7. B₄ ਅਤੇ C ਨੂੰ ਮਿਲਾਓ ।
8. B₃ ਤੋਂ (\(\frac{3}{4}\) ਵਿਚ 3 ਅਤੇ 4 ਵਿੱਚੋਂ ਛੋਟੀ ਸੰਖਿਆ) ਇੱਕ ਰੇਖਾ B₄C ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਸੰਗਤ ਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੋਈ ਖਿੱਚੋ । ਮੰਨ ਲਓ B₃ ਵਿਚੋਂ ਖਿੱਚੀ ਰੇਖਾ BC ਨੂੰ C’ ਉੱਤੇ ਮਿਲਦੀ ਹੈ ।
9. C’ ਤੋਂ ਇਕ ਰੇਖਾ CA ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਖਿਚੋ ਜੋ BA ਨੂੰ A’ ਉੱਤੇ ਕੱਟਦੀ ਹੈ ।
△A’BC ਲੋੜੀਂਦੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਹੈ ਜਿਸ ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ △ABC ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੇ \(\frac{3}{4}\) ਗੁਣਾ ਹਨ।
ਸਪੱਸ਼ਟੀਕਰਣ :
△A’BC ਅਤੇ △ABC ਲਉ ॥
∠B = ∠B [ਸਾਂਝਾ]
∠A’C’B = ∠ACB [ਸੰਗਤ ਕੋਣ]
∴ △A’BC’ ~ △ABC [AA ਸਮਰੂਪਤਾ]
∴ ਉਹਨਾਂ ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਇਕ ਹੀ ਅਨੁਪਾਤ ਵਿਚ ਹੋਣਗੀਆਂ ।
∴ \(\frac{A^{\prime} B}{A B}\) = \(\frac{\mathrm{BC}^{\prime}}{\mathrm{BC}}\) = \(\frac{\mathrm{C}^{\prime} \mathrm{A}^{\prime}}{\mathrm{CA}}\) …(1)
ਹੁਣ △BBC ਅਤੇ △BBC ਲਉ !
∠B = ∠B [ਸਾਂਝਾ]
∠C’ B₃B = ∠CB₄B [ਸੰਗਤ ਕੋਣ]
△B₃BC ~ △B₄BC [AA ਸਮਰੂਪਤਾ]
∴ ਉਹਨਾਂ ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਇਕ ਹੀ ਅਨੁਪਾਤ ਵਿਚ ਹੋਣਗੀਆਂ

ਅਤੇ C’A’ = \(\frac{3}{4}\)CA.
ਭਾਵ △A’BC’ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ △ABC ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦਾ \(\frac{3}{4}\) ਗੁਣਾ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 6.
ਇੱਕ ਤਿਭੁਜ ABC ਬਣਾਉ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ BC = 7 ਤੋਂ cm, ∠B = 45°, ∠A = 105° ਹੋਵੇ । ਫਿਰ ਇੱਕ ਹੋਰ | ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੀ ਰਚਨਾ ਕਰੋ ਜਿਸ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ △ABC ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦਾ \(\frac{3}{4}\) ਗੁਣਾ ਹੋਣ ।
ਹੱਲ:
ਰਚਨਾ ਦੇ ਪਗ :
1. ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਮਾਪਾਂ ਨਾਲ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ABC ਦੀ ਰਚਨਾ ਕਰੋ ।
2. ਭੁਜਾ BC ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਬਿੰਦੂ B ‘ਤੇ ਕੋਈ ਨਿਊਨ ਕੋਣ ∠CBX ਖਿੱਚੋ ।

7 cm
ਤਿਭੁਜ ਦੇ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਗੁਣਧਰਮ ਦੁਆਰਾ
∠A + ∠B + ∠C = 180°
105° + 45° + ∠C = 180°
∠C = 180° – 150° = 30°
3. ਚਾਰ ਬਿੰਦੂ (\(\frac{4}{3}\) ਵਿੱਚ 3 ਅਤੇ 4 ਵਿਚੋਂ ਵੱਡੀ ਸੰਖਿਆ) B₁, B₂, B₃ …..B₄, ‘BX’ ਉੱਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅੰਕਿਤ ਕਰੋ ਕਿ BB₁ = B₁B₂ = B₂B₃ = B₃B₄ ਹੋਵੇ ।
4. B₃C ਤੋਂ 3 ਅਤੇ 4 ਵਿੱਚੋਂ ਛੋਟੀ) ਨੂੰ ਮਿਲਾਓ ।
5. B₄ ਵਿਚੋਂ ਇਕ ਰੇਖਾ B₃C ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਖਿੱਚੋ ਜੋ | BC ਨੂੰ ਵਧਾਉਣ ਤੇ C ‘ਤੇ ਕੱਟੇ ।
6. C’ ਤੋਂ ਇਕ ਹੋਰ ਰੇਖਾ CA ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਖਿੱਚੋ | ਜੋ BA ਨੂੰ ਵਧਾਉਣ ਤੇ A’ ਉੱਤੇ ਕੱਟੇ ।
7. △A’BC’ ਲੋੜੀਂਦੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਹੈ ਜਿਸ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ABC ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੇ \(\frac{4}{3}\) ਗੁਣਾ ਹੈ।
ਸਪੱਸ਼ਟੀਕਰਣ :
△A’BC ਅਤੇ △ ABC ਲਓ ।
∠B = ∠B [ਸਾਂਝਾ]
∠A’C’B = ∠ACB [ਚਨਾ]
∴ △ A’BC ~ △ABC [AA ਸਮਰੂਪਤਾ]
∴ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਇਕ ਹੀ ਅਨੁਪਾਤ ਵਿਚ ਹੋਣਗੀਆਂ]
\(\frac{A^{\prime} B}{A B}\) = \(\frac{\mathrm{BC}^{\prime}}{\mathrm{BC}}\) = \(\frac{\mathrm{C}^{\prime} \mathrm{A}^{\prime}}{\mathrm{CA}}\) ….(1)
ਫਿਰ △B₄BC ਅਤੇ △B₃BC ਲਓ
∠B = ∠B [ਸਾਂਝਾ]
∠C’B₄B = ∠CB₃B [ਰਚਨਾ]
∴ △B₄BC’ ~ △B₃BC [AA-ਸਮਰੂਪਤਾ}
∴ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਇਕ ਹੀ ਅਨੁਪਾਤ ਵਿਚ ਹੋਣਗੀਆਂ ।

△A’BC’ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ △ABC ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦਾ \(\frac{4}{3}\) ਗੁਣਾ ਹੈ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 7.
ਇੱਕ ਸਮਕੋਣ ਤਿਭੁਜ ਦੀ ਰਚਨਾ ਕਰੋ, ਜਿਸ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ (ਕਰਣ ਦੇ ਇਲਾਵਾ 4 cm ਅਤੇ 3 cm ਲੰਬਾਈ ਵਾਲੀਆਂ ਹੋਣ । ਫਿਰ ਇੱਕ ਹੋਰ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੀ ਰਚਨਾ ਕਰੋ, ਜਿਸ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦਾ \(\frac{5}{3}\) ਗੁਣਾ ਹੋਣ ।
ਹੱਲ:
ਰਚਨਾ ਦੇ ਪਗ :
1. ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਸ਼ਰਤਾਂ ਨਾਲ ਸਮਕੋਣ ਤਿਭੁਜ ਦੀ ਰਚਨਾ ਕਰੋ ਮੰਨ ਲਉ ਇਹ △ABC ਹੈ ।
BC = 4 cm; AB = 3 cm ਅਤੇ ∠B = 90°.
2. ਭੁਜਾ BC ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਕੋਈ ਨਿਊਨ ਕੋਣ ∠CBX ਬਣਾਉ ।
3. ਪੰਜ ਬਿੰਦੂ (\(\frac{5}{3}\) ਵਿੱਚ 5 ਅਤੇ 3 ਵਿੱਚੋਂ ਵੱਡੀ ਸੰਖਿਆ) B₁, B₂, B₃, ……B₄, B₅, BX ਉੱਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅੰਕਿਤ ਕਰੋ ਕਿ BB₁ = B₁B₂ = ….. = B₄B₅ ਹੋਵੇ ।
4. B₃ (\(\frac{5}{3}\) ਵਿੱਚ ‘5’ ਅਤੇ ‘3) ਵਿੱਚੋਂ ਛੋਟੀ ਸੰਖਿਆ) ਅਤੇ ‘C ਨੂੰ ਮਿਲਾਓ ।

5. B₅ ਵਿਚੋਂ ਇਕ ਰੇਖਾ BC ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਖਿੱਚੋ ਜੋ BC ਨੂੰ ਵਧਾਉਣ ਤੇ C’ ਤੇ ਕੱਟੇ ।
6. ਦੁਬਾਰਾ C ਵਿਚੋਂ ਇਕ ਰੇਖਾ CA ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਤੇ ਖਿੱਚੋ ! ਜੋ BA ਨੂੰ ਵਧਾਉਣ ਤੇ A’ ਤੇ ਮਿਲੇ । △A’BC ਲੋੜੀਂਦੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਹੈ ਜਿਸ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ △ABC ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦਾ \(\frac{5}{3}\) ਗੁਣਾ ਹਨ।
ਸਪੱਸ਼ਟੀਕਰਣ
△A’BC ਅਤੇ △ABC ਲਉ
∠B = ∠B [ਸਾਂਝਾ]
∠A’C’B = ∠ACB [ਚਨਾ]
∴ △A’BC’ ~ △ABC [AA-ਸਮਰੂਪਤਾ]
∴ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਇਕ ਹੀ ਅਨੁਪਾਤ ਵਿਚ ਹੋਣਗੀਆਂ ।
ਭਾਵ \(\frac{A^{\prime} B}{A B}\) = \(\frac{\mathrm{BC}^{\prime}}{\mathrm{BC}}\) = \(\frac{\mathrm{C}^{\prime} \mathrm{A}^{\prime}}{\mathrm{CA}}\) …(1)
ਦੁਬਾਰਾ △B₅C’B ਅਤੇ △B₃CB ਵਿਚੋਂ
CB = CB [ਸਾਂਝਾ]
∠C’B₅B = ∠CB₃B [ਚਨਾ]
∴ △B₅C’B ~ △B₃CB [AA-ਸਮਰੂਪਤਾ]
∴ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਇਕ ਸਮਾਨ ਅਨੁਪਾਤ ਵਿਚ ਹੋਣਗੀਆਂ ।

△A’BC’ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ △ABC ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦਾ \(\frac{5}{3}\) ਗੁਣਾ ਹੈ।

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 10 ਚੱਕਰ Ex 10.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 10 ਚੱਕਰ Exercise 10.2

ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਨੰ : 1, 2, 3 ਵਿੱਚੋਂ ਸਹੀ ਵਿਕਲਪ ਚੁਣੋ ਅਤੇ ਉੱਚਿਤ ਕਾਰਣ ਦਿਓ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 1.
ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ Q ਤੋਂ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ‘ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 24 cm ਅਤੇ 9 ਦੀ ਕੇਂਦਰ ਤੋਂ ਦੂਰੀ 25 cm ਹੈ । ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਹੈ :
(A) 7 cm
(B) 12 cm
(C) 15 cm
(D) 24.5 cm
ਹੱਲ:
ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਜਿਸਦਾ ਕੇਂਦਰ ਹੈ । ਬਾਹਰੀ ਬਿੰਦੂ Q ਤੋਂ ਸਪਸ਼ ਰੇਖਾ PQ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 24 cm ਅਤੇ Q ਦੀ ਕੇਂਦਰ O ਤੋਂ ਦੂਰੀ 25 cm ਹੈ ।

∵ ∠QPO = 90°
ਹੁਣ, ਸਮਕੋਣ △OPQ ਵਿਚ
OQ² = PQ² + Op²
(25)² = (24)² + OP²
625 = 576 + OP²
OP² = 625 – 576
OP² = 49 = (7)²
OP = 7 cm
∴ ਵਿਕਲਪ (A) ਸਹੀ ਹੈ। ਉੱਤਰ

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 2.
ਚਿੱਤਰ ਵਿਚ, ਜੇਕਰ TP, TQ ਕੇਂਦਰ O ਵਾਲੇ ਕਿਸੇ ਚੱਕਰ `ਤੇ ਦੋ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹਨ ਕਿ ∠POQ = 110°, ਤਾਂ ∠PTQ ਬਰਾਬਰ ਹੈ : (A) 6o°
(B) 70°
(C) 80°
(D) 90°

ਹੱਲ:
ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ OP ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਹੈ ਅਤੇ PT ਚੱਕਰ ‘ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਹੈ
∴ ∠OPT = 90°
ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ∠OQT = 90°
ਅਤੇ ∠POQ = 110° ਦਿੱਤਾ ਹੈ
ਹੁਣ, POQT ਇੱਕ ਚਤੁਰਭੁਜ ਹੈ
∴ ∠POQ + ∠OQT + ∠QTP + ∠TPO = 360°
110° + 90° + ∠QTP + 90° = 360°
∠QTP + 290° = 360°
∠QTP = 360° – 290°
ਜਾਂ ∠QTP = 70°
∴ ਵਿਕਲਪ (B) ਸਹੀ ਹੈ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 3.
ਜੇਕਰ ਇਕ ਬਿੰਦੂ P ਤੋਂ O ਕੇਂਦਰ ਵਾਲੇ ਕਿਸੇ ਚੱਕਰ ‘ਤੇ PA, PB ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਆਪਸ ਵਿੱਚ 80° ਦੇ ਕੋਣ ‘ਤੇ ਝੁਕੀਆਂ ਹੋਣ ਤਾਂ ∠POA ਬਰਾਬਰ ਹੈ :
(A) 50°
(B) 60°
(C) 70°
(D) 80°
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਚਿੱਤਰ ਵਿਚ OA ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਹੈ ਅਤੇ AP ਚੱਕਰ ਦੀ ਸਪੱਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਹੈ :
∴ ∠OAP = 90°

ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ∠OBP = 90°
ਹੁਣ, ਸਮਕੋਣ △PAO ਅਤੇ △PBO ਵਿੱਚ
∠PAO = ∠PBO = 90°
OP = OP (ਸਾਂਝੀ ਭੂਜਾ)
OA = OB (ਇੱਕ ਹੀ ਚੱਕਰ ਦੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ)
∴ ∠PAO ≅ △PBO
[RHS ਸਰਬੰਗਸਮਤਾ ਦੁਆਰਾ]
∴ ∠AOP = ∠BOP (CPCT)
ਜਾਂ ∠AOP = ∠BOP = \(\frac{1}{2}\)∠AOB …(1)
ਚਤੁਰਭੁਜ OAPB ਵਿਚ
∠OBP + ∠BPA + ∠PAO + ∠AOB = 360°
90° + 80° + 90° + ∠AOB = 360°
∠AOB = 360° – 260°
∠AOB = 100° …(2)
(1) ਅਤੇ (2) ਤੋਂ
∠AOP = ∠BOP = \(\frac{1}{2}\) × 100° = 50°
∴ ਵਿਕਲਪ (A) ਸਹੀ ਹੈ। ਉੱਤਰ

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 4.
ਸਿੱਧ ਕਰੋ ਕਿ ਕਿਸੇ ਚੱਕਰ ਦੇ ਕਿਸੇ ਵਿਆਸ ਦੇ ਸਿਰਿਆਂ ‘ਤੇ ਖਿੱਚੀਆਂ ਗਈਆਂ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਸਮਾਂਤਰ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ।
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : ਇਕ ਚੱਕਰ ਜਿਸਦਾ ਕੇਂਦਰ ਹੈ O ਅਤੇ ਵਿਆਸ AB ਹੈ ਅਤੇ m ਬਿੰਦੂਆਂ A ਅਤੇ B ‘ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਹਨ ।

ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ : l || m
ਸਬੂਤ : ∴ OA ਇੱਕ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਹੈ ਅਤੇ l ਇੱਕ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਹੈ ।
∴ ∠1 = 90°
∠2 = 90°
ਹੁਣ, ∠1 = ∠2 = 90°
ਪਰ ਇਹ ਦੋ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇ ਇਕਾਂਤਰ ਕੋਣ ਹਨ । ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਕਾਟਵੀਂ ਰੇਖਾ ਇਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਕੱਟਦੀ ਹੈ ।
∴ l || m
ਕਿਸੇ ਵਿਆਸ ਦੇ ਸਿਰਿਆਂ ਤੇ ਖਿੱਚੀਆਂ ਗਈ ਸਪੱਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਪਰਸਪਰ ਸਮਾਂਤਰ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 5.
ਸਿੱਧ ਕਰੋ ਕਿ ਸਪਰਸ਼ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਸਪੱਰਸ਼ ਰੇਖਾ ‘ਤੇ ਖਿੱਚਿਆ ਗਿਆ ਲੰਬ ਚੱਕਰ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਤੋਂ ਹੋ ਕੇ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ।
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਜਿਸਦਾ ਕੇਂਦਰ O ਹੈ । AB ਇਸਦੀ ਇੱਕ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਹੈਂ ਜੋ ਚੱਕਰ ਨੂੰ P ਉੱਤੇ ਮਿਲਦੀ ਹੈ ।
ਭਾਵ ਬਿੰਦੁ P ਚੱਕਰ ਦਾ ਸਪਰਸ਼ ਬਿੰਦੁ ਹੈ ।

ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ : ਸਪਰਸ਼ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ‘ਤੇ ਖਿੱਚਿਆ ਗਿਆ ਲੰਬ ਚੱਕਰ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਤੋਂ ਹੋ ਕੇ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ।
ਰਚਨਾ : OP ਨੂੰ ਮਿਲਾਓ ।
ਸਬੂਤ : ਕਿਉਂਕਿ OP ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਹੈ ਅਤੇ AB ਚੱਕਰ ਉੱਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੁ P ਸਪਰਸ਼ ਬਿੰਦੂ ਹੈ।
∴ ∠OPA = ∠OPB = 90°
[∵ ਚੱਕਰ ਦੇ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ ‘ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਸਪਰਸ਼ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਉੱਤੇ ਲੰਬ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ॥]
ਜਾਂ OP ⊥ AB
ਕਿਉਂਕਿ ਕਿਸੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਹਮੇਸ਼ਾਂ ਚੱਕਰ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਵਿਚੋਂ ਲੰਘਦਾ ਹੈ ।
ਇਸ ਲਈ ਸਪਰਸ਼ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਸਪਸ਼ ਰੇਖਾ ਤੇ ਖਿੱਚਿਆ ਗਿਆ ਲੰਬ ਚੱਕਰ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਵਿਚੋਂ ਹੋ ਕੇ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 6.
ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ A ਤੋਂ, ਜੋ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਤੋਂ 5 cm | ਦੀ ਦੂਰੀ ‘ਤੇ ਹੈ, ਚੱਕਰ ‘ ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 4cm ਹੈ । ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਚੱਕਰ ਦਾ ਕੇਂਦਰ ‘O’ ਹੈ । ਚੱਕਰ ਦੇ ਬਾਹਰ 5 cm ਦੀ ਦੂਰੀ ‘ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ A ਹੈ ।

ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ = PA = 4 cm
ਕਿਉਂਕਿ OP ਇੱਕ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਹੈ ਅਤੇ PA ਚੱਕਰ | ਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਹੈ
∴ ∠OPA = 90°
ਸਮਕੋਣ △OPA ਵਿੱਚ ਪਾਈਥਾਗੋਰਸ ਥਿਊਰਮ ਤੋਂ
OA² = OP² + PA²
(5)² = OP² + (4)²
OP² = 25 – 16
OP² = 9 = (3)²
OP = 3 cm.
∴ ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ 3 cm ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 7.
ਦੋ ਸਮਕੇਂਦਰੀ ਚੱਕਰਾਂ ਦੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ 5 cm ਤੇ 3 cm ਹਨ। ਵੱਡੇ ਚੱਕਰ ਦੀ ਉਸ ਜੀਵਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜੋ ਛੋਟੇ ਚੱਕਰ ਨੂੰ ਸਪਰਸ਼ ਕਰਦੀ ਹੈ ।
ਹੱਲ:
ਦੋ ਸਮਕੇਂਦਰੀ ਚੱਕਰ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਕੇਂਦਰ O ਹੈ ਅਤੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਕ੍ਰਮਵਾਰ 5 cm ਅਤੇ 3 cm ਹਨ ।
ਮੰਨ ਲਉ PQ ਵੱਡੇ ਚੱਕਰ ਦੀ ਜੀਵਾ ਹੈ ਪਰ ਛੋਟੇ ਚੱਕਰ ਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਹੈ ।

ਕਿਉਂਕਿ OM ਛੋਟੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਹੈ ਅਤੇ PMQ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਹੈ ।
∴ ∠OMP = ∠OMQ = 90°
ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ OMP ਅਤੇ OMQ ਵਿੱਚ,
∠OMP = ∠OMQ = 90°
OP = OQ [ਇੱਕ ਹੀ ਚੱਕਰ ਦੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਸਾਂਝੀ ਭੁਜਾ]
OM = OM
∴ △OMP ≅ OMO [RHS ਸਰਬੰਸਮਤਾ ਦੁਆਰਾ]
∴ PM = MQ
PQ = 2 PM = 2 MQ
ਹੁਣ, ਸਮਕੋਣ △ OMQ ਵਿਚ ਪਾਈਥਾਗੋਰਸ ਪ੍ਰਮੇਯ ਤੋਂ
OQ² = OM² + MQsup>2
(5)² = (3)² + (MQ)²
MQ² = 25 – 9
MQ² = 16 = (4)²
MQ = 4 cm
∴ ਜੀਵਾਂ ਦੀ ਲੰਬਾਈ PQ = 2 MQ
= 2 (4) cm
= 8 cm
ਲੋੜੀਂਦੀ ਜੀਵਾਂ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 8 cm ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 8.
ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਨੂੰ ਬਾਹਰਲੇ ਪਾਸੇ ਤੋਂ ਛੂੰਹਦਾ ਚਤੁਰਭੁਜ ABCD ਖਿੱਚਿਆ ਗਿਆ ਹੈ (ਦੇਖੋ ਚਿੱਤਰ) । ਸਿੱਧ ਕਰੋ ਕਿ :
AB + CD = AD + BC.

ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : ਚੱਕਰ ਨੂੰ ਬਾਹਰਲੇ ਪਾਸੇ ਤੋਂ ਛੁੰਹਦਾ ਚਤੁਰਭੁਜ ABCD ਖਿੱਚਿਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ : AB + CD = AD + BC
ਸਬੂਤ : ਕਿਉਂਕਿ ਕਿਸੇ ਬਾਹਰੀ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਚੱਕਰ ਤੇ ਖਿੱਚੀਆਂ ਗਈਆਂ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ।
ਹੁਣ, B ਚੱਕਰ ਦੇ ਬਾਹਰ ਸਥਿਤ ਕੋਈ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ਅਤੇ | BP ; BQ ਚੱਕਰ ‘ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਹਨ ।
∴ BP = BQ ….(1)
ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ AP = AS …(2)
CR = CQ …(3)
DR = DS ….(4)
(1), (2), (3), (4) ਨੂੰ ਜੋੜਣ ‘ਤੇ
(BP + AP) +(CR + DR) = (BQ + CQ) + (AS + DS)
AB + CD = BC+ AD ਲੋੜੀਂਦਾ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 9.
ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ, XY ਅਤੇ X’Y’, O ਕੇਂਦਰ ਵਾਲੇ ਕਿਸੇ ਚੱਕਰ ‘ਤੇ ਦੋ ਸਮਾਂਤਰ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਹਨ ਅਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਬਿੰਦੂ C ’ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ AB, XY ਨੂੰ A ਅਤੇ X’Y’, ਨੂੰ B ’ਤੇ ਕੱਟਦੀ ਹੈ । ਸਿੱਧ ਕਰੋ ∠AOB = 90° ਹੈ ।

ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : XY ਅਤੇ X’Y’ ਕੇਂਦਰ O ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਉੱਤੇ ਦੋ ਸਮਾਂਤਰ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਹਨ ਅਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਬਿੰਦੁ cਉੱਤੇ ਇੱਕ ਹੋਰ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ AB, XY ਨੂੰ A ਅਤੇ X’Y’ ਨੂੰ B ਉੱਤੇ ਕੱਟਦੀ ਹੈ ।
ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ : ∠AOB = 90°
ਰਚਨਾ : OC, OA ਅਤੇ OB ਨੂੰ ਮਿਲਾਉ ।
ਸਬੂਤ : ਕਿਉਂਕਿ ਬਾਹਰੀ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਕਿਸੇ ਚੱਕਰ ਉੱਤੇ ਖਿੱਚੀਆਂ ਗਈਆਂ ਸਪੱਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੀਆਂ ਲੰਬਾਈਆਂ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ।
ਹੁਣ, A ਚੱਕਰ ਦੇ ਬਾਹਰ ਕੋਈ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ਜਿਸ ਦੀਆਂ ਦੋ ਸਪੱਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ PA ਅਤੇ PC ਹਨ ।
∴ PA = PC
ਨਾਲ ਹੀ, △POA ਅਤੇ △ AOC ਵਿਚ
PA = PC (ਸਿੱਧ ਕੀਤਾ)
OA = OA (ਸਾਂਝੀ ਭੁਜਾ)
OP = OC (ਇੱਕ ਹੀ ਚੱਕਰ ਦੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ)
∴ △POA ≅ △AOC [SSS]
∠PAO = ∠CAO [CPCT]
∠PAC = 2∠PAO = 2∠CAO …(1)
ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ∠QBC = 2∠OBC = 2∠OBQ …(2)
ਹੁਣ, ∠PAC + ∠QBC = 180° [∵ ਕਾਟਵੀਂ ਰੇਖਾ ਦੇ ਇੱਕੋ ਪਾਸੇ ਬਣੇ ਕੋਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜ 180° ਹੁੰਦਾ ਹੈ |]
2∠CAO + 2∠OBC = 180° [(1) ਅਤੇ (2) ਤੋਂ।]
∠CAO + ∠OBC = \(\frac{180^{\circ}}{2}\) = 90° …(3)
ਹੁਣ, △OAB ਵਿਚ
∠CAO + ∠OBC + ∠AOB = 180°
90° + ∠AOB = 180° [(3) ਤੋਂ]
∠AOB = 180° – 90° = 90°
∴ ∠AOB = 90°

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 10.
ਸਿੱਧ ਕਰੋ ਕਿ ਕਿਸੇ ਬਾਹਰੀ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਕਿਸੇ ਚੱਕਰ ਤੇ ਖਿੱਚੀਆਂ ਗਈਆਂ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦਾ ਵਿਚਕਾਰਲਾ ਕੋਣ ਸਪਰਸ਼ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਮਿਲਾਉਣ ਵਾਲੇ ਰੇਖਾਖੰਡ ਦੁਆਰਾ ਕੇਂਦਰ ਤੇ ਬਣੇ ਕੋਣ ਦਾ ਸੰਪੂਰਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਜਿਸਦਾ ਕੇਂਦਰ ) ਹੈ । ਦੇ ਚੱਕਰ ਦੇ ਬਾਹਰ ਸਥਿਤ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ P ਤੋਂ PQ ਅਤੇ PR ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਚੱਕਰ ਦੀਆਂ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਹਨ ।

ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ : ∠ROQ + ∠QPR = 180°
ਸਬੂਤ : OQ ਇਕ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਹੈ ਅਤੇ PQ ਬਿੰਦੂ P ਤੋਂ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਚੱਕਰ ਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਹੈ ।
∴ ∠OQP = 90° …(1)
[∵ ਚੱਕਰ ਦੇ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ ‘ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ, ਸਪਰਸ਼ ਚੌਦੂ ਵਿਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ‘ਤੇ ਲੰਬ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ॥]
ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ∠ORP = 90° ….(2)
ਚਤੁਰਭੁਜ ROQP ਵਿੱਚ
∠ROQ + ∠PRO + ∠OQP + ∠QPR = 360°
∠ROQ + 90° + 90° + ∠QPR = 360° [(1) ਅਤੇ (2) ਤੋਂ।]
ROQ + ∠QPR + 180° = 360°
∠ROQ + ∠QPR = 360° -180°
∠ROQ + ∠QPR = 180°
ਕਿਸੇ ਬਾਹਰੀ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਕਿਸੇ ਚੱਕਰ ‘ਤੇ ਖਿੱਚੀਆਂ ਗਈਆਂ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦਾ ਵਿਚਕਾਰਲਾ ਕੋਣ ਸਪਰਸ਼ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਮਿਲਾਉਣ ਵਾਲੇ ਰੇਖਾਖੰਡ ਦੁਆਰਾ ਕੇਂਦਰ ‘ਤੇ ਬਣੇ ਅੰਦਰਲੇ ਕੋਣ ਦਾ ਸੰਪੂਰਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 11.
ਸਿੱਧ ਕਰੋ ਕਿ ਕਿਸੇ ਚੱਕਰ ਦੇ ਬਾਹਰਲੇ ਪਾਸੇ ਛੂਹਦਾ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ, ਸਮਚਤੁਰਭੁਜ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : ਇੱਕ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ABCD ਕੇਂਦਰ O ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਦੇ ਬਾਹਰ ਹੈ ।

ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ : ABCD ਇਕ ਸਮਚਤੁਰਭੁਜ ਹੈ
ਸਬੂਤ : ਕਿਉਂਕਿ ਬਾਹਰੀ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਕਿਸੇ ਚੱਕਰ ਉੱਤੇ ਖਿੱਚੀਆਂ ਗਈਆਂ ਦੋਵੇਂ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੀਆਂ ਲੰਬਾਈਆਂ ਸਮਾਨ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।
ਹੁਣ, ਚੱਕਰ ਦੇ ਬਾਹਰ ਸਥਿਤ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ B ਤੋਂ BE ਅਤੇ BF ਚੱਕਰ ਉੱਤੇ ਦੋ ਸਪੱਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਹਨ ।
∴ BE = BF ….(1)
ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ AE = AH …(2)
CG = CF ….(3)
DG = DH ….(4)
(1), (2), (3), (4) ਨੂੰ ਜੋੜਣ ‘ਤੇ
(BE + AE) + (CG + DG) = (BF + CF) + (AH + DH)
AB + CD = BC + AD …(5)
ਹੁਣ, ABCD ਇਕ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਹੈ ।
∴ AB = CD ਅਤੇ BC= AD …(6)
(5) ਅਤੇ (6) ਤੋਂ ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ
AB + AB = BC + BC
2AB = 2BC
AB = BC
ਹੁਣ, AB = BC = CD = AD
∴ ABCD ਇੱਕ ਸਮਚਤੁਰਭੁਜ ਹੈ ।
∴ ਕਿਸੇ ਚੱਕਰ ਦੇ ਬਾਹਰਲੇ ਪਾਸੇ ਛੂੰਹਦਾ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਸਮਚਤੁਰਭੁਜ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 12.
4 cm ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦੇ ਬਾਹਰਲੇ ਪਾਸੇ ਛੂਹਦਾ ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ABCਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਖਿੱਚਿਆ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ ਰੇਖਾਖੰਡ BD ਅਤੇDC (ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਸਪਰਸ਼ ਬਿੰਦੂD ਦੁਆਰਾ BC ਵਿਭਾਜਿਤ ਹੈ ਦੀਆਂ ਲੰਬਾਈਆਂ ਕ੍ਰਮਵਾਰ 8 cm ਅਤੇ 6 cm ਹੈ (ਦੇਖੋ ਚਿੱਤਰ । ਭੁਜਾਵਾਂ AB ਅਤੇ AC ਪਤਾ ਕਰੋ ।

ਹੱਲ:
4 cm ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਦੇ ਬਾਹਰਲੇ ਪਾਸੇ ਛੂੰਹਦਾ ਇੱਕ ਤਿਭੁਜ ABC ਖਿੱਚਿਆ ਗਿਆ ਹੈ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ BC, CA, AB ਚੱਕਰ ਨੂੰ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਬਿੰਦੂ D, E ਅਤੇ Fਉੱਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ।
ਕਿਉਂਕਿ ਕਿਸੇ ਬਾਹਰੀ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਚੱਕਰ ‘ਤੇ ਖਿੱਚੀਆਂ ਗਈਆਂ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੀਆਂ ਲੰਬਾਈਆਂ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।
∴ AE = AF = 1 cm (ਮੰਨ ਲਉ।)
CE = CD= 6 cm
BF = BD = 8 cm
ਕਿਉਂਕਿ ਚੱਕਰ ਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਸਪੱਰਸ਼ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ’ਤੇ ਲੰਬ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ।

∴ OD ⊥ BC; OE ⊥ AC ਅਤੇ OF ⊥ AB.
ਨਾਲ ਹੀ, OE = OD = OF =4 cm.
△ ABC ਵਿਚ
a = AC = (x + 6) cm ;
b = CB = (6 + 8) cm = 14 cm
c = BA = (8 + x) cm

(△OBC) ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = \(\frac{1}{2}\) × ਅਧਾਰ × ਸਿਖਰਲੰਬ
= \(\frac{1}{2}\) × 14 × 4 = 28 cm2 …(2)
(△BOA) ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = \(\frac{1}{2}\) × ਅਧਾਰ × ਸਿਖਰਲੰਬ
= \(\frac{1}{2}\) × (8 + x) × 4
= (16 + 2x) cm2 …(3)
(△AOC) ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = \(\frac{1}{2}\) × ਅਧਾਰ × ਸਿਖਰਲੰਬ
= \(\frac{1}{2}\) × (6 + x) × 4
= (12 + 21) cm2 …(4)
ਚਿੱਤਰ ਤੋਂ ਖੇਤਰਫਲ ਜੋੜਣ ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ
ar (△ABC) = ar (△OBC) + ar (△BOA) + ar (△AOC)
\(\sqrt{48 x^{2}+672 x}\) = 28 + 16 + 2x + 12 + 2x
\(\sqrt{48 x^{2}+672 x}\) = 4x + 56
\(\sqrt{48 x^{2}+672 x}\) = 4[x + 14]
ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਵਰਗ ਕਰਨ ਤੇ
48x² + 672x = 16 (x + 14)²
48x(x + 14) = 16(x + 14)²
48x = 16(x + 14)
3x = x + 14
2x = 14
x = 7
x = \( \frac{14}{2}\) = 7
∴ AC = (x + 6) cm
= (7 + 6) cm = 13 cm
AB = (x + 8) cm
= (7 + 8) cm = 15 cm
AB = 15 cm ਅਤੇ AC = 13 cm

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 13.
ਸਿੱਧ ਕਰੋ ਕਿ ਚੱਕਰ ਦੇ ਬਾਹਰਲੇ ਪਾਸੇ ਛੂੰਹਦੀ ਹੋਈ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦੀਆਂ ਆਹਮਣੇ-ਸਾਹਮਣੇ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਕੇਂਦਰ ‘ਤੇ ਸੰਪੁਰਕ ਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ ।
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ : ਕੇਂਦਰ O ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਦੇ ਬਾਹਰ ਬਣੀ ਚਤੁਰਭੁਜ PORS ਜਿਸ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ PQ, QR, RS ਅਤੇ SP ਚੱਕਰ ਨੂੰ ਕ੍ਰਮਵਾਰ L, M, N ਅਤੇ 1 ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ।

ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ ਹੈ :
∠POQ + ∠SOR = 180°
ਅਤੇ ∠SOP + ∠ROQ = 180°
ਰਚਨਾ :
OP, OL, OQ, OM, OR, ON, OS ਅਤੇ OT ਨੂੰ ਮਿਲਾਉ ।
ਸਬੂਤ : ਕਿਉਂਕਿ ਬਾਹਰੀ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਕਿਸੇ ਚੱਕਰ ‘ਤੇ
ਖਿੱਚੀਆਂ ਗਈਆਂ ਦੋ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਕੇਂਦਰ ‘ਤੇ ਸਮਾਨ ਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ ।
∴ ∠2 = ∠3; ∠4 = ∠5 ; ∠6 = ∠7; ∠8 = ∠1 ….(1)
ਕਿਉਂਕਿ ਇਕ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਸਾਰੇ ਕੋਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜ 360° ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
∴ ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 + ∠6 + ∠7 + ∠8 = 360°
∠1 + ∠2 + ∠2 + ∠5 + ∠5 + ∠6 + ∠6 + ∠1 = 360°
ਜਾਂ 2(∠1 + ∠2 + ∠5 + ∠6) = 360°
ਜਾਂ (∠1 + ∠2) + (∠5 + ∠6) = \(\frac{360^{\circ}}{2}\) = 180°
ਜਾਂ ∠POQ + ∠SOR = 180°
ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ∠SOP + ∠ROQ = 180°
∴ ਚੱਕਰ ਦੇ ਬਾਹਰਲੇ ਪਾਸੇ ਛੂੰਹਦੀ ਹੋਈ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦੀਆਂ ਆਹਮਣੇ-ਸਾਹਮਣੇ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਕੇਂਦਰ ’ਤੇ ਸੰਪੂਰਕ ਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ ।

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 10 ਚੱਕਰ Ex 10.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 10 ਚੱਕਰ Exercise 10.1

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 1.
ਚੱਕਰ ਦੀਆਂ ਕਿੰਨੀਆਂ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਹੋ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ ।
ਹੱਲ:
ਕਿਉਂਕਿ ਚੱਕਰ ਦੇ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ ‘ਤੇ ਇੱਕ ਅਤੇ ਕੇਵਲ ਇੱਕ ਹੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ । ਪਰ ਚੱਕਰ ਇਕ ਅਨੰਤ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਚੱਕਰ ਦੀਆਂ ਅਨੰਤ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਖਿੱਚ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 2.
ਖਾਲੀ ਸਥਾਨਾਂ ਨੂੰ ਭਰੋ :
(i) ਕਿਸੇ ਚੱਕਰ ਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਉਸਨੂੰ ________________ ਬਿੰਦੂਆਂ ‘ਤੇ ਕੱਟਦੀ ਹੈ ।
(ii) ਚੱਕਰ ਨੂੰ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ‘ਤੇ ਕੱਟਣ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਨੂੰ _________ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ ।
(iii) ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦੀਆਂ _________ ਸਮਾਂਤਰ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਹੋ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ।
(iv) ਚੱਕਰ ਅਤੇ ਉਸਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੇ ਸਾਂਝੇ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ _________ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ ।
ਹੱਲ:
(i) ਕਿਸੇ ਚੱਕਰ ਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਉਸਨੂੰ ਇਕ ਬਿੰਦੂ ‘ਤੇ ਕੱਟਦੀ ਹੈ ।
(ii) ਚੱਕਰ ਨੂੰ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ‘ਤੇ ਕੱਟਣ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਨੂੰ ਛੇਦਕ ਰੇਖਾ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ ।
(iii) ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦੀਆਂ ਦੋ ਸਮਾਂਤਰ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਹੋ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ ।
(iv) ਚੱਕਰ ਅਤੇ ਉਸਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੇ ਸਾਂਝੇ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਸਪਰਸ਼ ਬਿੰਦੂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ !

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 3.
5cm ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦੇ ਬਿੰਦੂ ? ‘ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ PQ ਕੇਂਦਰ O ਤੋਂ ਜਾਣ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਨੂੰ ਬਿੰਦੂ Q’ ਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਮਿਲਦੀ ਹੈ ਕਿ OQ = 12 cm, PQ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਹੈ :
(A) 12 cm
(B) 13 cm
(C) 8.5 cm
(D) \(\sqrt {119}\) cm
ਹੱਲ:
ਦਿਤੀ ਗਈ ਸੂਚਨਾ ਅਨੁਸਾਰ ਅਸੀਂ ਚਿੱਤਰ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ :

OP = 5 cm ਅਤੇ OQ = 12 cm
∵ PQ ਇੱਕ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਹੈ ਅਤੇ OP ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਹੈ ,
∴ ∠OPQ = 90°
ਹੁਣ, ਸਮਕੋਣ △OPQ ਵਿਚ ਪਾਈਥਾਗੋਰਸ ਮੇਯ ਅਨੁਸਾਰ,
OQ² = OP² + QP²
(12)² = (5)² + OP²
QP² = (12)² – (5)²
= 144 – 25 = 119
QP = \(\sqrt {119}\) cm
∴ ਵਿਕਲਪ (D) ਸਹੀ ਹੈ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 4.
ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਖਿੱਚੋ ਅਤੇ ਇੱਕ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਰੇਖਾ ਦੇ । ਸਮਾਂਤਰ ਦੋ ਅਜਿਹੀਆਂ ਰੇਖਾਵਾਂ ਖਿੱਚੋ ਕਿ ਉਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਹੋਵੇ ਅਤੇ ਦੂਸਰੀ ਚੱਕਰ ਦੀ ਛੇਦਕ ਰੇਖਾ ਹੋਵੇ ।
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸੂਚਨਾ ਅਨੁਸਾਰ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਚਿੱਤਰ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸਦਾ ਕੇਂਦਰ O ਅਤੇ l ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਰੇਖਾ ਹੋਵੇ।

ਹੁਣ, ਅ ਅਤੇ n ਦੋ ਅਜਿਹੀਆਂ ਰੇਖਾਵਾਂ ਹਨ ਜੋ ਰੇਖਾ l ਦੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸਮਾਂਤਰ ਹਨ ਕਿ m ਸਪੱਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਵੀ ਹੈ ਅਤੇ l ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਵੀ ਹੈ ਅਤੇ n ਚੱਕਰ ਦੀ ਛੇਦਰ ਰੇਖਾ ਵੀ ਹੈ ਅਤੇ l ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਵੀ ਹੈ ।