Class 9

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.9 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.9

प्रश्न 1.
एक लकड़ी के बुकशैल्फ (book-shelf) की बाहरी विमाएँ निम्न हैं :
ऊँचाई = 110 cm, गहराई = 25 cm, चौड़ाई = 85 cm (देखिए आकृति)। प्रत्येक स्थान पर तख्तों की मोटाई 5 cm है। इसके बाहरी फलकों पर पालिश कराई जानी है और आंतरिक फलकों पर पेंट किया जाना है। यदि पालिश कराने की दर 20 पैसे प्रति cm है और पेंट कराने की दर 10 पैसे प्रति cm है, तो इस बुक-शैल्फ पर पालिश और पेंट कराने का कुल व्यय ज्ञात कीजिए।

हल :
बाहरी फलक जो पालिश होने हैं = घनाभाकार बुकशैल्फ के छ: फलकों का क्षेत्रफल – 3 (खुले भाग ABCD का क्षेत्रफल)
= 2 (110 × 25 + 25 × 85 + 85 × 110) -3 [75 × 30]
∵ प्रत्येक स्थान पर तख्तों की मोटाई 5 cm है।
∴ AB = 85 – 5 – 5 = 75 cm
और AD = \(\frac{1}{3}\)[110 – 5 – 5 – 5 – 5]
= \(\frac{1}{3}\)[110 – 20]
= \(\frac{1}{3}\) × 90 = 30 cm
= 2[2750 + 2125 + 9350 – 3 [2250]
= 2(14225) – 6750
= 28450 – 6750
= 21700 cm²
लकड़ी के बुकशैल्फ के बाहरी फलकों पर पालिश करने का व्यय 20 पैसे अर्थात् (\(\frac{1}{5}\)) रु प्रति cm² (\(\frac{1}{5}\) × 21700) रु
= 4340 रु
अब, यहाँ तीन बराबर भुजाओं वाले पाँच फलक हैं।
अतः, कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 3[2(30 + 75) 20 + 30 × 75]
(यहां आंतरिक गहराई = 25 – 5 = 20 cm)
= 3[2 × 105 × 20 + 2250]
= 3[4200 + 2250]
= 3 × 6450
= 19350 cm²
आंतरिक फलकों पर पेंट करने का व्यय
10 पैसे अर्थात् \(\frac{1}{10}\) रु प्रति cm²
= (\(\frac{1}{10}\) × 19350) र
= 1935 रु
पेंट करने पर कुल वांछित व्यय
= 4340 रु + 1935 रु
= 6275 रु

प्रश्न 2.
किसी घर के कंपाउंड की सामने की दीवार को 21 cm व्यास वाले लकड़ी के गोलों को छोटे आधारों पर टिका कर सजाया जाता है, जैसा कि आकृति में दिखाया गया है। इस प्रकार के आठ गोलों का प्रयोग इस कार्य के लिए किया जाना है और इन गोलों को चाँदी वाले रंग में पेंट करवाना है। प्रत्येक आधार 1.5 cm त्रिज्या और ऊँचाई 7 cm का एक बेलन है तथा इन्हें काले रंग से पेंट करवाना है। यदि चाँदी के रंग का पेंट करवाने की दर 25 पैसे प्रति cm² है तथा काले रंग का पेंट करवाने की दर 5 पैसे प्रति cm² हो, तो पेंट करवाने का कुल व्यय ज्ञात कीजिए।

हल :
मान लीजिए लकड़ी के गोले की त्रिज्या = R
∴ व्यास; 2R = 21 cm
⇒ R = \(\frac{21}{2}\) cm
मान लीजिए बेलन की त्रिज्या = r
∴ r = 1.5 cm

गोले के उस भाग का पृष्ठीय क्षेत्रफल जिस पर चाँदी वाले रंग का पेंट करवाना है।
= गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल – बेलन के ऊपरी वृत्तीय भाग का क्षेत्रफल जिन पर गोले टिकाए गए हैं।
= 4πR² – πr²
= π (4R² – r²)

ऐसे आठ गोलाकार भागों का पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 8 × 1378.928 cm²
= 11031.424 cm²
1 cm² पर चाँदी वाले रंग का पेंट करने पर व्यय = \(\frac{1}{4}\) रु
11031.424 cm² पर चाँदी वाले रंग का पेंट करने पर व्यय
= (\(\frac{1}{4}\) × 11031.424) रु
[∵ 25 पैसे = \(\frac{25}{100}\) रु
= \(\frac{1}{4}\) रु]
= 2757.85 रु
अब बेलनाकार आधार का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 πrh
[जहां h = 7 cm बेलनाकार भाग की ऊँचाई है।]
= 2 × \(\frac{22}{7} \times \frac{15}{10}\) × 7
= 66 cm²
ऐसे 8 बेलनाकार आधारों का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 66 × 8
= 528 cm²
1 cm² बेलनाकार आधार पर काला पेंट करने का व्यय = \(\frac{1}{20}\) रु
528 cm² बेलनाकार आधार पर काला पेंट करने पर व्यय
= (\(\frac{1}{20}\) × 528) रु
[∵ 5 पैसे = \(\frac{5}{100}\)
= \(\frac{1}{20}\) रु
= 26.4 रु
पेंट कराने पर कुल व्यय = 2757.85 रु० + 26.4 रु०
= 2784.25

प्रश्न 3.
एक गोले के व्यास में 25% की कमी हो जाती है। उसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल कितने प्रतिशत कम हो गया है ?
हल :
मान लीजिए कि गोले की मूल त्रिज्या = R
इसका व्यास; D = 2R
⇒ R = \(\frac{\mathrm{D}}{2}\)
मूल गोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4 πR²
= 4π(\(\frac{\mathrm{D}}{2}\))2
= 4π\(\frac{D^2}{4}\)
= πD²
प्रश्नानु सार
व्यास की कमी = 25% of D
= \(\frac{25}{100}\) D
= \(\frac{\mathrm{D}}{4}\)
अब् नए गोले का व्यास = D – \(\frac{1}{4}\)D
= \(\frac{3}{4}\)D
मान लीजिए नए गोले की त्रिज्या = r
∴ इसका व्यास; 2r = \(\frac{3}{4}\)D
⇒ R = \(\frac{3}{8}\) D
अब नये गोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr²
= 4π \(\left(\frac{3}{8} \mathrm{D}\right)^2\)
= 4π \(\left(\frac{9}{64} \mathrm{D}^2\right)\)
= \(\frac{9 \pi}{16}\)D²
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल में परिवर्तन = मूल गोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल – नए गोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
= πD – \(\frac{9}{16}\)πD²
= \(\frac{7}{16}\)πD²
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल में प्रतिशत परिवर्तन

प्रश्न 4.
समीरा अपनी बेटी का पाँचवाँ जन्मदिन एक पार्टी द्वारा मनाना चाहती है। उसके शंकु आकार की टोपियाँ बनाने के लिए मोटा कागज़ खरादा। प्रत्येक टोपी के आधार का व्यास 10 cm और ऊँचाई 12 cm. है। कागज़ की शीट (sheet) की विमाएँ 25 cm × 40 से० मी० हैं और लगभग 82% शीट कटाई के बाद प्रयोग में लाई जा सकती है। यदि पार्टी में 15 बच्चे आने हों, तो समीरा को कम से कम कितनी संख्या में कागज़ की शीटें खरीदने की आवश्यकता है ? (π = 3.14 का प्रयोग कीजिए)
हल :
मान लीजिए शंकु आकार टोपी के आधार की त्रिज्या = r
∴ व्यास; 2r = 10 cm

⇒ r = \(\frac{10}{2}\) cm
⇒ r = 5 cm
शंकु आकार टोपी की ऊँचाई = h = 12 cm
मान लीजिए शंकु की तिर्यक ऊँचाई l है
∴ l² = r² + h²
[पाइथगोरस के परिणाम का प्रयोग करने पर]
⇒ l² = 5² + 12²
= 25 + 144
⇒ l² = 169
⇒ l = \(\sqrt{169}\)
⇒ l = 13 cm
टोपी का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl
= 3.14 × 5 × 13
= 204.1 cm²
ऐसी 15 टोपियों का कुल वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
= (15 × 204.1) cm
= 3061.5 cm²
टोपी बनाने के लिए प्रयोग की जाने वाली कागज़ की शीट का क्षेत्रफल = 25 cm × 40 cm
= 1000 cm²
कटाई के बाद कागज़ का 82% टोपियां बनाने में प्रयुक्त हुआ
इसलिए 1000 cm² का 82%
= \(\frac{82}{100}\) x 1000 cm²
= 820 cm²
शीटों की संख्या
जो समीरा को खरीदने की आवश्यकता है।

वास्तव में 3.73 शीटों की आवश्यकता है।
परंतु क्योंकि पूरी शीटें खरीदी जानी हैं इसलिए समीरा को 4 शीटों की आवश्यकता है।

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 9 समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Ex 9.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 9 समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Ex 9.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित आकृतियों में कौन-सी आकृतियाँ एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित हैं ? ऐसी स्थिति में, उभयनिष्ठ आधार और दोनों समांतर रेखाएँ लिखिए।

हल:
आकृति (i) में, ΔDPC और समलंब ABCD एक ही आधार DC तथा एक ही समांतर रेखाओं DC और AB के बीच स्थित है।
आकृति (iii) में ; ΔRTQ और समांतर चतुर्भुज PORS एक ही आधार OR तथा एक ही समांतर रेखाओं QR और PS के बीच स्थित है।
आकृति (v) में ; समांतर चतुर्भुज ABCD और समांतर चतुर्भुज APQD एक ही आधार AD तथा एक ही समांतर रेखाओं AD और BQ पर स्थित हैं।

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 8 चतुर्भुज MCQ Questions with Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 8 चतुर्भुज MCQ Questions

बहुविकल्पीय प्रश्न

दिए गए चार विकल्पों में से सही उत्तर का चयन करें।

प्रश्न 1.
एक समांतर चतुर्भुज के कोणों के समद्विभाजक क्या बनाते हैं ?
(A) समलंब चतुर्भुज
(B) आयत
(C) समचतुर्भुज
(D) पतंग।
उत्तर –
(B) आयत

प्रश्न 2.
एक समचतुर्भुज के कोण यदि 3 : 4 : 5 : 6 के अनुपात में हो तो चतुर्भुज के कोण क्रमश: क्या होंगे ?
(A) 60°, 80°, 100°, 120°
(B) 120°, 100°, 80°, 60°
(C) 120°, 60°, 80°, 100°
(D) 80°, 100° 120°,60°.
उत्तर –
(A) 60°, 80°, 100°, 120°

प्रश्न 3.
यदि किसी चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समकोण पर प्रतिच्छेद करें तो यह आकृति क्या होगी ?
(A) समांतर चतुर्भुज
(B) वर्ग
(C) सम चतुर्भुज
(D) समलंब चतुर्भुज
उत्तर –
(C) सम चतुर्भुज

प्रश्न 4.
आयत ABCD का विकर्ण AC यदि कोण ∠A तथा ∠C को समद्विभाजित करे तो यह आयत क्या होगा ?

(A) समलंब चतुर्भुज
(B) समचतुर्भुज
(C) समांतर चतुर्भुज
(D) वर्ग।
उत्तर –
(D) वर्ग।

प्रश्न 5.
त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य बिंदों को मिलाने वाली रेखा तीसरी भुजा के समांतर होती है तथा उसका …….. होती है।
(A) आधा
(B) एक तिहाई
उत्तर –
(A) आधा

प्रश्न 6.
एक चतुर्भुज के तीन कोण 75°,90° और 75° है। इसका चौथा कोण है।
(A) 90°
(B) 95°
(C) 105°
(D) 120°
उत्तर –
(D) 120°

प्रश्न 7.
एक आयत का एक विकर्ण उसकी भुजा से 25° पर नत है। इसके विकर्णों के बीच का न्यून कोण है।
(A) 55°
(B) 50°
(C) 40°
(D) 25°.
उत्तर –
(B) 50°

प्रश्न 8.
ABCD एक समचतुर्भुज है, जिसमें ∠ACB = 40° है। तब ∠ADB है
(A) 40°
(B) 45°
(C) 50°
(D) 60°.
उत्तर –
(C) 50°

प्रश्न 9.
चतुर्भुज PQRS, की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को, एक ही क्रम में, मिलाने पर बना चतुर्भुज एक आयत होता है, यदि
(A) PQRS एक आयत है
(B) PQRS एक समांतर चतुर्भुज है
(C) PQRS के विकर्ण परस्पर लंब हों
(D) PQRS के विकर्ण बराबर हों।
उत्तर –
(C) PQRS के विकर्ण परस्पर लंब हों

प्रश्न 10.
चतुर्भुज PQRS की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को, एक ही क्रम में मिलाने पर बना चतुर्भुज एक समचतुर्भुज होता है, यदि
(A) PQRS एक समचतुर्भुज है
(B) PQRS एक समातंर चतुर्भुज है
(C) PQRS के विकर्ण परस्पर लंब हों
(D) PQRS के विकर्ण बराबर हों।
उत्तर –
(D) PQRS के विकर्ण बराबर हों।

प्रश्न 11.
यदि चतुर्भुज ABCD के कोणों A, B,C और D का, इसी क्रम में लेने पर, अनुपात 3 : 7 : 6 : 4 है, तो ABCD है एक
(A) समचतुर्भुज
(B) समांतर चतुर्भुज
(C) समलंब
(D) पतंग।
उत्तर –
(C) समलंब

प्रश्न 12.
यदि चतुर्भुज ABCD के ∠A और ∠B के समद्विभाजक परस्पर P पर प्रतिच्छेद करते हैं, ∠B और ∠C के समद्विभाजक Q पर, ∠C और ∠D के R पर तथा ∠D और ∠A के S पर प्रतिच्छेद करते हैं, तो PQRS है एक
(A) आयत
(B) समचतुर्भुज
(C) समांतर चतुर्भुज
(D) चतुर्भुज जिसके सम्मुख कोण संपूरक हैं।
उत्तर –
(D) चतुर्भुज जिसके सम्मुख कोण संपूरक हैं।

प्रश्न 13.
यदि APB और CQD दो समांतर रेखाएँ हैं, तो कोणों APQ, BPQ, CQP और PQD के समद्विभाजक बनाते हैं
(A) एक वर्ग
(B) एक समचतुर्भुज
(C) एक आयत
(D) कोई अन्य समांतर चतुर्भुज।
उत्तर –
(C) एक आयत

प्रश्न 14.
एक समचतुर्भुज की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को, एक ही क्रम में, मिलाने पर बनने वाली आकृति होती है
(A) एक समचतुर्भुज
(B) एक आयत
(C) एक वर्ग
(D) कोई भी समांतर चतुर्भुज।
उत्तर –
(B) एक आयत

प्रश्न 15.
D और E क्रमश: ΔABC की भुजा AB और AC के मध्य-बिंदु है तथा O भुजा BC पर कोई बिंदु है। O को A से मिलाया जाता है। यदि P
और Q क्रमश: OB और C के मध्य-बिंदु हैं, तो DEQP है एक
(A) वर्ग
(B) आयत
(C) समचतुर्भुज
(D) समांतर चतुर्भुज।
उत्तर –
(D) समांतर चतुर्भुज।

प्रश्न 16.
एक चतुर्भुज ABCD की भुजाओं के मध्य बिंदुओं को, एक ही क्रम में, मिलाने पर प्राप्त आकृति केवल एक वर्ग है, यदि
(A) ABCD एक समचतुर्भुज है
(B) ABCD के विकर्ण बराबर हैं
(C) ABCD के विकर्ण बराबर हैं और परस्पर लंब हैं ।
(D) ABCD के विकर्ण परस्पर लंब हैं।
उत्तर –
(C) ABCD के विकर्ण बराबर हैं और परस्पर लंब हैं ।

प्रश्न 17.
समांतर चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD परस्पर बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि ∠DAC = 32° और ∠AOB = 70° हैं तो ∠DBC बराबर है
(A) 24°
(B) 86°
(C) 38°
(D) 32°.
उत्तर –
(C) 38°

प्रश्न 18.
एक समांतर चतुर्भुज के लिए, निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य नहीं है ?
(A) सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं
(B) सम्मुख कोण बराबर होते हैं
(C) सम्मुख कोण विकर्णों से समद्विभाजित होते
(D) विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं।
उत्तर –
(C) सम्मुख कोण विकर्णों से समद्विभाजित होते

प्रश्न 19.
D और E क्रमश: ΔABC की भुजा AB और AC के मध्य-बिंदु हैं। DE को F तक बढ़ाया जाता है। यह सिद्ध करने के लिए कि CF रेखाखंड DA के बराबर और समांतर है, हमें एक अतिरिक्त सूचना की आवश्यकता है, जो है
(A) ∠DAE = ∠EFC
(B) AE = EF
(C) DE = EF
(D) ∠ADE = ∠ECF.
उत्तर –
(C) DE = EF

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 8 चतुर्भुज Ex 8.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 8 चतुर्भुज Ex 8.2

प्रश्न 1.
ABCD एक चतुर्भुज है जिसमें P, Q, R और क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिंदु हैं (आकृति देखिए)।

AC उसका एक विकर्ण है।
दर्शाइए कि
(i) SR || AC और SR = \(\frac {1}{2}\)AC है।
(ii) PQ = SR है।
(iii) PQRS एक समांतर चतुर्भुज है।
हल:
ΔABC में,
P, AB का मध्य-बिंदु है और Q, BC का मध्यबिंदु है।
तो PQ || AC और PQ = \(\frac {1}{2}\)AC
[मध्य-बिंदु प्रमेय]

(i) ΔACD में
R, CD का मध्य-बिंदु है और S, AD का मध्यबिंदु है।
तो SR || AC और SR = \(\frac {1}{2}\)AC
(मध्य-बिंदु प्रमेय)

(ii) हमने सिद्ध किया है कि
PQ = \(\frac {1}{2}\)AC
और SR = \(\frac {1}{2}\)AC
∴ PQ = \(\frac {1}{2}\)AC = SR
या PQ = SR

(iii) हमने सिद्ध किया है कि
PQ || AC
और SR || AC
⇒ PQ || SR [∵ दो रेखाएँ जो दी गई रेखा के समांतर होती है परस्पर समांतर होती हैं।]
अब,
PQ = SR
और PQ || SR
जैसा कि हम जानते हैं कि यदि चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समांतर होता है तो यह एक समांतर चतुर्भुज होता है।
∴PQRS एक समांतरचतुर्भुज है।

प्रश्न 2.
ABCD एक समचतुर्भुज हैं और P, Q, R, S क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्यबिंदु है। दर्शाइए कि PQRS एक आयत है।
दिया है : P, Q, R और S समचतुर्भुज ABCD की भुजाओं क्रमश: AB, BC, CD और DA के मध्य-बिंदु हैं। PQ, QR, RS और SP को मिलाया गया है।

सिद्ध करना है : PQRS एक आयत है।
रचना : A और C को मिलाइए।
उपपति : ΔABC में, P, AB का और Q, BC का मध्य बिंदु है।
∴ मध्य-बिंदु प्रमेय से,
PQ || AC और PQ = \(\frac {1}{2}\)AC ……(i)
ΔADC में, R, CD का और S, AD का मध्यबिंदु है।
∴ SR || AC और SR = \(\frac {1}{2}\)AC ……(ii)
(i) और (ii) से हमें प्राप्त होता है।
PQ || SR और PQ = SR
∴ PQRS एक समांतर चतुर्भुज है।
[∵ चतुर्भुज PQRS में सम्मुख भुजाओं PQ और SR एक युग्म बराबर और समांतर है।]
अब, ABCD एक समचतुर्भुज है। (दिया है)
∴ AB = BC
⇒ \(\frac {1}{2}\)AB = \(\frac {1}{2}\)BC
⇒ PB = BQ
∴ ∠1 = ∠2 [∵ त्रिभुज की बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।]
अब, ΔAPS और ΔCQR में,
AP = CQ
[∵ AB = BC ⇒ \(\frac {1}{2}\)AB = \(\frac {1}{2}\)BC
⇒ AP = CQ जहाँ P और Q, AB और BC के मध्य-बिंदु हैं।]
इसी प्रकार, AS = CR
PS = QR
[|| gm PQRS की सम्मुख भुजाएँ।
∴ ΔAPS ≅ ΔCQR
[SSS सर्वांगसमता से]
∴ ∠3 = ∠4
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
अब, ∠1 + ∠SPQ + ∠3 = 180°
और ∠2 + ∠PQR + ∠4 = 180°
(रैखिक युग्म]
∴ ∠1 + ∠SPQ + ∠3 = ∠2 + ∠PQR + ∠4
क्योंकि ∠1 = ∠2 और ∠3 = ∠4
(उपरोक्त में प्रमाणित)
∴ ∠SPQ = ∠PQR …………..(iii)
अब, PQRS एक समांतर चतुर्भुज है।
(उपरोक्त में प्रमाणित)
∴ ∠SPQ + ∠PQR = 180° … (iv)
[∵ SP || RQ और PQ इनको काटती है और तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंत: कोणों का योगफल 180° होता है।]

(iii) को (iv) में प्रयोग करने पर हमें प्राप्त होता है।
∠SPQ + ∠SPQ = 180°
⇒ 2∠SPQ = 180°
⇒ ∠SPQ = 90°
इस प्रकार PQRS एक समांतर चतुर्भुज है जिसमें ∠SPQ = 90°
अतः, PQRS एक आयत है।

प्रश्न 3.
ABCD एक आयत है, जिसमें P, Q, R और S क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य| बिंदु हैं। दर्शाइए कि PQRS एक समचतुर्भुज है
हल :
दिया है : आयत ABCD में P, Q, R और S क्रमश: भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिंदु हैं। PQ, QR, RS और SP को मिलाया गया है।

सिद्ध करना है : PQRS एक समचतुर्भुज है।
रचना: AC को मिलाइए
उपपत्ति : ΔABC में P ओर Q क्रमशः भुजाओं AB, BC के मध्य-बिंदु हैं।
∴ PQ || AC और PQ = \(\frac {1}{2}\)AC …(i)
ΔADC में R और S, क्रमशः CD और AD के मध्य-बिंदु हैं।
∴ SR || AC और SR = \(\frac {1}{2}\)AC ……(ii)
(i) और (ii) से हमें प्राप्त होता है।
PQ || SR और PQ = SR ……(iii)
⇒ PQRS एक समांतर चतुर्भुज है।
ABCD एक आयत है। (दिया है)
⇒ AD = BC
⇒ \(\frac {1}{2}\)AD = \(\frac {1}{2}\)BC
⇒ AS = BQ …. (iv)
ΔAPS और ΔBPQ में,
AP = BP
[∵ P, AB का मध्य-बिंदु है।]
∠PAS = ∠PBQ [प्रत्येक 90°]
और AS = BQ [(iv)से]
∴ ΔAPS ≅ ΔBPQ
[SAS सर्वांगसमता नियम)
⇒ PS = PQ ………(v)
[सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग]
(iii) और (v) से PQRS एक ऐसा समांतर चतुर्भुज है जिसमें
PS = PQ
अर्थात्, दो आसन्न भुजाएँ बराबर हैं।
अतः, PQRS एक समचतुर्भुज है।

प्रश्न 4.
ABCD एक समलंब है, जिसमें AB || DC है । साथ ही BD एक विकर्ण है और E भुजा AD का मध्य-बिंदु है। E से होकर एक रेखा AB के समांतर खींची गई है, जो BC को F पर प्रतिच्छेद करती है। (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि F भुजा BC का मध्य-बिंदु है।

हल :
मान लीजिए विकर्ण BD रेखा EF को बिंदु P पर प्रतिच्छेद करता है।
ΔDAB में,
E, AB का मध्य-बिंदु है और EP || AB है। [∵ EF || AB (दिया है) और P, EF का एक भाग है।]
∴ P, ΔDAB की दूसरी भुजा BD का मध्य-बिंदु है।
[∵ त्रिभुज की एक भुजा के मध्य-बिंदु से दूसरी भुजा के समांतर खींची गई रेखा तीसरी भुजा को मध्य बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है।]
अब, ΔBCD में,
P, BD का मध्य बिंदु है और PF || DC
[∵ EF || AB और AB || DC (दिया है)
∴ EF || DC और PF, EF का ही एक भाग है।]
∴ F, ΔBCD की भुजा BC का भाग है [मध्य-प्रमेय के विलोम से]

प्रश्न 5.
एक समांतर चतुर्भुज ABCD मे, E और F क्रमशः भुजाओं AB और ACD के मध्य-बिंदु हैं (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि रेखाखंड AF और EC विकर्ण BD को समत्रिभाजित करते हैं।
हल :
क्योंकि E और F क्रमश: AB और CD के मध्य-बिंदु हैं।

AE = \(\frac {1}{2}\)AB और CF = \(\frac {1}{2}\)CD ………..(i)
परंतु ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।
⇒ AB = CD और AB || DC
⇒ \(\frac {1}{2}\)AB = \(\frac {1}{2}\)CD और AB || DC
⇒ AE = FC और AE || FC [(i) से]
⇒ AECF एक समांतर चतुर्भुज है
⇒ FA || CE
⇒ FP || CQ [∵ FP, FA का एक भाग है और CQ, CE का एक का भाग है।] … (ii)
हम जानते हैं कि त्रिभुज की एक भुजा के मध्य-बिंदु से खींची रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है।
ΔDCQ में, F, CD का मध्य-बिंदु है और FP || CQ [(ii) से]
∴ P, DQ का मध्य-बिंदु है।
⇒ DP = PQ …… (iii)
इसी प्रकार, ΔABQ में, E, AB का मध्य-बिंदु है और EQ || AP
∴ Q, BP का मध्य-बिंदु है।
⇒ BQ = PQ … (iv)
(iii) और (iv) से
DP = PQ = BQ … (v)
अब, BD = BQ + PQ + DP
= BQ + BQ + BQ
⇒ BD = 3BQ
3BQ = BD
⇒ BQ = \(\frac {1}{3}\) BD … (vi)
(v) और (vi) से हमें प्राप्त होता है।
DP = PQ = BQ = \(\frac {1}{3}\)BD
⇒ बिंदु P और Q, BD को तीन भागों में विभाजित करते हैं।
⇒ AF और CE, BD को तीन भागों में विभाजित करते हैं।

प्रश्न 6.
दर्शाइए कि किसी चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड परस्पर समद्विभाजित करते हैं।
हल :
दिया है: चतुर्भुज ABCD में, EG और FH, सम्मुख भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने से प्राप्त रेखाखंड है।

सिद्ध करना है : EG और FH परस्पर समद्विभाजित करते हैं।
रचना : AC, EF, FG, GH और HE को मिलाइए
उपपति : ΔABC में E और F क्रमशः भुजाओं AB और BC के मध्य-बिंदु हैं।
∴ EF || AC और EF = \(\frac {1}{2}\)AC ……. (i)
इसीतरह ΔADC में,
G और H क्रमशः भुजाओं CD और AD के मध्य बिंदु हैं।
∴ HG || AC और HG = \(\frac {1}{2}\)AC …… (ii)
(i) और (ii) से हमें प्राप्त होता है।
EF || HG और EF = HG
∴ EFGH एक समांतर चतुर्भुज है।
[∵ यदि किसी चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं का एक युग्म समान और समांतर हो तो वह समांतर चतुर्भुज होता है।]
जैसा कि हम जानते हैं कि समांतर चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समद्विभाजक होते हैं। इसलिए समांतर चतुर्भुज EFGH के विकर्ण अर्थात् रेखाखंड EG और FH परस्पर समद्विभाजित होते हैं।

प्रश्न 7.
ABC एक त्रिभुज है जिसका कोण C समकोण है। कर्ण AB के मध्य-बिंदु M से होकर BC के समांतर खींची गई रेखा AC को D पर प्रतिच्छेद करती है।
दर्शाइए कि
(i) D भुजा AC का मध्य-बिंदु है।
(ii) MD ⊥ AC है।
(ii) CM = MA = \(\frac {1}{2}\)AB है।
हल:

(i) ΔABC में, M, AB का मध्य-बिंदु है। (दिया है)
MD || BC
∴ AD = DC
[मध्य-बिंदु प्रमेय का विलोम]
इस प्रकार, D, AC का मध्य-बिंदु है।

(ii) l || BC (दिया है)
मान लीजिए AC एक तिर्यक रेखा है।
∴ ∠1 = ∠C (संगत कोण)
⇒ ∠1 = 90°
[∵ ∠C = 90° (दिया है)]
इस प्रकार, MD ⊥ AC.

(ii) ΔAMD और ΔCMD में,
AD = DC (ऊपर सिद्ध किया है।)
∠1 = ∠2 (प्रत्येक = 90°) [ऊपर सिद्ध किया है।]
MD = MD (उभयनिष्ठ)
ΔAMD ≅ ΔCMD
(SAS सर्वांगसमता नियम)
इसलिए, AM = CM
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग) ……. (a)
दिया है कि M, AB का मध्य-बिंदु है।
∴ AM = \(\frac {1}{2}\)AB … (b)
(a) और (b), का प्रयोग करने पर हमें प्राप्त होता है:
CM = AM = \(\frac {1}{2}\)AB.

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.8 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.8

जब तक अन्यथा न कहा जाए, π = \(\frac{22}{7}\) लीजिए।

प्रश्न 1.
उस गोले का आयतन ज्ञात कीजिए जिसकी त्रिज्या निम्न है ?
(i) 7 cm
(ii) 0.63 cm
हल :
(i) गोले की त्रि ज्या ; R = 7 cm
गोले का आयतन = \(\frac{4}{3}\)πR³
= \(\frac{4}{3} \times \frac{22}{7}\) × 7 × 7 × 7
= \(\frac{4312}{3}\) cm³
= 1437 \(\frac{1}{3}\) cm³

(ii) गोले की त्रिज्या ; R = 0.63 m
गोले का आयतन = \(\frac{4}{3}\) πr³
= \(\frac{4}{3} \times \frac{22}{7}\) × 0.63 × 0.63 × 0.63 m³

= 1.047816 m³
= 1.05m³ (लगभग)

प्रश्न 2.
एक ठोस गोलाकार गेंद द्वारा हटाए गए (विस्थापित ) पानी का आयतन ज्ञात कीजिए, जिसका व्यास निम्न है :
(i) 28 cm
(ii) 0.21 m
हल :
(i) गोलाकार गेंद का व्यास = 28 cm
गोलाकार गेंद की त्रिज्या = \(\frac{28}{2}\) = 14 cm
[∵ व्यास = 2 त्रिज्या]
विस्थापित पानी गेंद के आयतन के बराबर होगा।
∴ विस्थापित पानी का आयतन = गोलाकार गेंद का आयतन
= \(\frac{4}{3}\) πr³
= \(\frac{4}{3} \times \frac{22}{7}\) × 14 × 14 × 14 cm³
= \(\frac{88}{3}\) × 2 × 14 × 14
= \(\frac{34496}{3}\) cm³ = 11498 \(\frac{2}{3}\) cm³

(ii) गेंद का व्यास = 0.21 m
गेंद की त्रिज्या ; R = \(\frac{0.21}{2}\) m
[∵ व्यास = 2 त्रिज्या]
विस्थापित पानी का आयतन = गोलाकार गेंद का आयतन

प्रश्न 3.
धातु की एक गेंद का व्यास 4.2 cm है। यदि इस धातु का घनत्व 8.9 ग्राम प्रति cm है, तो इस गेंद का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए।
हल :
धातु की गेंद का व्यास = 4.2 cm
धातु की गेंद की त्रिज्या ; R = \(\frac{4.2}{2}\) = 2.1 cm
[∵ व्यास = 2 त्रिज्या]
धातु का आयतन = गेंद का आयतन
= \(\frac{4}{3}\) × πr³
= \(\frac{4}{3} \times \frac{22}{7}\) × 2.1 × 2.1 × 2.1 cm³
= \(\frac{88}{21} \times \frac{21}{10} \times \frac{21}{10} \times \frac{21}{10}\) cm³
= 38.808 cm³
धातु का घनत्व = 8.9 ग्राम प्रति cm³
∴ 1 cm = 8.9g
38.808 cm³ का द्रव्यमान = 8.9 × 38.808 ग्राम
=345.3912 g
=345.39 g (लगभग)

प्रश्न 4.
चंद्रमा का व्यास पृथ्वी के व्यास का लगभग एक चौथाई है। चंद्रमा का आयतन पृथ्वी के आयतन की कौन-सी भिन्न है ?
हल :
मान लीजिए पृथ्वी का व्यास = x
∴ पृथ्वी की त्रिज्या R = \(\frac{x}{2}\)
∵ पृथ्वी गोलाकार है।
∴ पृथ्वी का आयतन = \(\frac{4}{3}\) πr³

∴ चंद्रमा का आयतन पृथ्वी के आयतन का \(\frac{1}{64}\) वाँ भाग है।

प्रश्न 5.
व्यास 10.5 cm वाले एक अर्धगोलाकार कटोरे में कितने लीटर दूध आ सकता है ?
हल :
अर्धगोलाकार कटोरे का व्यास = 10.5 cm³
अर्धगोलाकार कटोरे की त्रिज्या R = \(\frac{10.5}{2}\) = 5.25
[∵ व्यास = 2 त्रिज्या]
अर्धगोलाकार कटोरे में दूध का आयतन = अर्धगोले का आयतन
= \(\frac{2}{3}\) × πR³

[∵ 1000 cm³ = 1 लीटर]
= 0.303187 लीटर
= 0.303 लीटर

प्रश्न 6.
एक अर्धगोलाकार टंकी 1 cm³ मोटी एक लोहे की चादर (sheet) से बनी है। यदि इसकी आंतरिक त्रिज्या 1 m है तो टंकी के बनाने में लगे लोहे का आयतन ज्ञात कीजिए।
हल :
अर्धगोलाकार टंकी की आंतरिक त्रिज्या = 1m
r = 100 cm³
चादर की मोटाई = 1 cm
∴ अर्धगोलाकार टंकी की बाह्य त्रिज्या
R = 100 + 1 = 101 cm
टंकी को बनाने में प्रयुक्त लोहे का आयतन = बाह्य अर्धगोले का आयतन – आंतरिक अर्धगोले का आयतन

= \(\frac{2}{3}\) × πR³ – \(\frac{2}{3}\) πr³

प्रश्न 7.
उस गोले का आयतन ज्ञात कीजिए जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल 154 cm² है।
हल :
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 154 cm²
मान लीजिए गोले की त्रिज्या = R
∴ 4πR² = 154

प्रश्न 8.
किसी भवन का गुंबद एक अर्धगोले के आकार का है। अंदर से, इसमें सफेदी कराने में ₹ 498.96 रुपए व्यय हुए। यदि सफेदी कराने की दर ₹ 2 रुपये प्रति वर्ग मीटर है, तो ज्ञात कीजिए :
(i) गुंबद का आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
(ii) गुंबद के अंदर की हवा का आयतन
हल :
सफेदी कराने में कुल व्यय = 498.96 रु
सफेदी कराने की दर = 2.00 रु० प्रति m²
∴ सफेदी किए गए कुल भाग का क्षेत्रफल

∴ गुंबद के आंतरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल = 249.48m²
मान लीजिए गुंबद की आंतरिक त्रिज्या = R

गुंबद के अंदर की हवा का आयतन = गोलार्ध गुंबद का आयतन
= \(\frac{2}{3}\) × πR³
= \(\frac{2}{3} \times \frac{22}{7}\) × 6.3 × 6.3 × 6.3
= 44 × 2.1 × 0.9 × 6.3 m³
= 523.9 m³

प्रश्न 9.
लोहे के सत्ताइस ठोस गोलों को पिघलाकर, जिनमें से प्रत्येक की त्रिज्या है और पृष्ठीय क्षेत्रफल S है, एक बड़ा गोला बनाया जाता है जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल S’ है। ज्ञात कीजिए :
(i) नए गोले की त्रिज्या r’
(ii) S और S’ का अनुपात
हल :
गोलों की संख्या = 27
प्रत्येक गोले की त्रिज्या = r
∴ 1 गोले का आयतन = \(\frac{4}{3}\)πr³
गोलों का आयतन = 27 × \(\frac{4}{3}\)πr3 = 36πr³ …(I)
अब इन ठोस गोलों को पिघलाकर r’ त्रिज्या का एक नया गोला बनाया गया है।
∴ नये गोले का आयतन = \(\frac{4}{3}\)πr’³ … (II)
∵ नये गोले का आयतन = 27 गोलों का आयतन
∴ I और II से

∴ नये गोले की त्रिज्या = 3r
अब दिए गए गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल S और त्रिज्या r है
∴ S = 4πr² …(III)
नये गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल S’ और त्रिज्या r’ है।
∴ S’ = 4 πr’² = 4π (3r)²
[∵ r’ = 3r]
S’ = 4 π × 3r × 3r = 3πr² … (IV)
अब
\(\frac{4}{3}\)
अब
\(\frac{S}{S^{\prime}}=\frac{4 \pi r^2}{36 \pi r^2}=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}\)
S : S’ = 1 : 9

प्रश्न 10.
दवाई का एक कैपसूल (capsule) 3.5 mm व्यास का एक गोला (गोली) है। इस कैपसूल को भरने के लिए कितनी दवाई (mm³में) की आवश्यकता होगी ?
हल :
मान लीजिए कैपसूल की त्रिज्या = r
∴ व्यास ; 2 r = 3.5 mm
⇒ r = \(\frac{3.5}{2}\) mm
⇒ r = \(\frac{35}{20}\)
⇒ r = \(\frac{7}{4}\) mm
कैपसूल को भरने के लिए आवश्यक दवाई (mm³ में) = गोले का आयतन

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 8 चतुर्भुज Ex 8.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 8 चतुर्भुज Ex 8.1

प्रश्न 1.
एक चतुर्भुज के कोण 3 : 5 : 9 : 13 के अनुपात में हैं। इस चतुर्भुज के सभी कोण ज्ञात कीजिए ।
हल :
मान लीजिए ABCD एक चतुर्भुज है। इसलिए,
∠A = 3x
∠B = 5x
∠C = 9x
∠D = 13x
जहाँ x एक घनात्मक अचर है।
अब, ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°
[चतुर्भुज का कोण योग गुण]
⇒ 3x + 5x + 9x + 13x = 360°
⇒ 30x = 360°
⇒ x = \(\frac {360°}{30°}\)
⇒ x = 12°
अब
∠A = 3x ⇒ ∠A = 3 × 12° ⇒ ∠A = 36°
∠B = 5x ⇒ ∠B = 5 × 12° ⇒ ∠B = 60°
∠C = 9x ⇒ ∠C = 9 × 12° ⇒ ∠C = 108°
और ∠D = 13x ⇒ ∠D = 13 × 12° = 156°
अतः, दी गई चतुर्भुज के कोण क्रमशः 36°, 60°, 108° और 156° हैं।

प्रश्न 2.
यदि एक समांतर चतुर्भुज के विकर्ण बराबर हों, तो दर्शाइए कि वह एक आयत है।
हल :
दिया है : ABCD एक || gm है जिसमें
विकर्ण AC = विकर्ण BD
सिद्ध करना है : ABCD एक आयत है।

उपपत्ति : ΔABC और ΔABD में,
AB = AB … (उभयनिष्ठ)
AC = BD (दिया है)
और AD = BC (||gm की सम्मुख भुजाएँ)
∴ ΔABC ≅ ΔBAD
[SSS सर्वांगसमता नियम से]
⇒ ∠DAB = ∠CBA …………….(i)
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
परंतु ∠DAB + ∠CBA = 180° …..(ii) [∵ AD || BC और AB इनको काटती है। तिर्यक रेखा के एक ओर के अंतः कोणों का योगफल 180° होता है।]
(i) और (ii) से हमें प्राप्त होता है;
∠DAB = ∠CBA = एक समकोण
अतः, ABCD एक आयत है। [∵ यदि || gm का एक कोण 90°का हो, तो वह आयत होता है।]
इति सिद्धम

प्रश्न 3.
दर्शाइए कि यदि एक चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करें, तो वह एक समचतुर्भुज होता है।
हल :
मान लीजिए ABCD एक चतुर्भुज है।।
मान लीजिए इसके विकर्ण AC और BD परस्पर समकोण पर, बिंदु O पर समद्विभाजित करते हैं।

∴ OA = OC, OB = OD
और ∠AOB = ∠BOC = ∠COD
= ∠AOD = 90°
हमने सिद्ध करना है कि ABCD एक समचतुर्भुज हैं।
ΔAOD और ΔBOC में,
OA = OC (दिया है)
∠AOD = ∠BOC
(प्रत्येक = 90°) [दिया है।
OD = OB (दिया है)
∴ ΔAOD ≅ ΔCOB
(SAS सर्वांगसमता नियम से)
इसलिए, AD = CB
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग) …..(i)
ΔAOB और ΔCOD में,
OA = OC (दिया है)
∠AOB = ∠COD
(प्रत्येक = 90°) [दिया है।]
OB = OD (दिया है)
∴ ΔAOB ≅ ΔCOD
[SAS सर्वांगसमता नियम से] इसलिए, AB = CD
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग) … (ii)
अब, ΔAOB और ΔBOC में,
AO = OC (दिया है)
∠AOB = ∠BOC
(प्रत्येक = 90°) (दिया है)
OB = OB (उभयनिष्ठ)
∴ ΔAOB ≅ ΔBOC
(SAS सर्वांगसमता नियम से)
इसलिए, AB = BC
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग) … (iii)
(i), (ii) और (iii) से हमें प्राप्त होता है
AD = BC = CD = AB
इस प्रकार दिए गए प्रतिबंध कि चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं, के साथ-साथ हमने यह भी प्राप्त किया है कि इसकी सभी भुजाएँ बराबर हैं।
अतः, चतुर्भुज उन सभी प्रतिबंधों को, जो एक समचतुर्भुज के लिए आवश्यक हैं, संतुष्ट करती है। अतः, दी गई चतुर्भुज समचतुर्भुज है।

प्रश्न 4.
दर्शाइए कि एक वर्ग के विकर्ण बराबर होते हैं और परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।
हल :
दिया है : ABCD एक वर्ग है जिसमें AC और BD इसके विकर्ण हैं।
सिद्ध करना है : (i) AC = BD, (ii) AC ⊥ BD

उपपत्ति : ΔABC और ΔBAD में,
AB = AB (उभयनिष्ठ)
∠ABC = ∠BAD (प्रत्येक 90°)
BC = AD (वर्ग की भुजाएँ)
∴ ΔABC ≅ ΔBAD
[SAS सर्वांगसमता नियम]
⇒ AC = BD
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
अतः, भाग (i) सिद्ध हुआ।
ΔAOB और AOD में,
AO = AO (उभयनिष्ठ)
AB = AD (वर्ग की भुजाएँ)
OB = OD (वर्ग के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं।)
∴ ΔAOB ≅ ΔAOD
(SSS सर्वांगसमता नियम)
∴ ∠AOB = ∠AOD
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
परंतु ∠AOB + ∠AOD = 180° [रैखिक युग्म]
∴ ∠AOB = ∠AOD = 90°
अर्थात्, OA ⊥ BD या AC ⊥ BD.
(अतः, भाग (ii) सिद्ध हुआ)

प्रश्न 5.
दर्शाइए कि यदि एक चतुर्भुज के विकर्ण बराबर हों और परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करें, तो वह एक वर्ग होता है।
हल :
मान लीजिए ABCD एक चतुर्भुज है जिसके बराबर विकर्ण AC और BD परस्पर बिंदु O पर समद्विभाजित करते हैं।
हमें प्राप्त हैं :
AC = BD
OA = OC ………….(i)
और OB = OD …………..(ii)
AC = BD

⇒ OA + OC = OB + OD
⇒ OC + OC = OB + OB
[(i) और (ii) के प्रयोग करने पर]
⇒ 2OC = 2OB
⇒ OC = OB …… (iii)
(i), (ii) और (i) से हमें प्राप्त होता है :
OA = OB = OC = OD ……… (iv)
अब, ΔAOB और ΔCOD में,
OA = OD
[भाग (iv) में दर्शाया गया है।
∠AOB = ∠COD
[शीर्षाभिमुख कोण]
OB = OC
[भाग (iv) में दर्शाया गया है।]
∴ ΔAOB ≅ ΔDOC
[SAS सर्वांगसमता नियम]
इसलिए, AB = DC ……..(v) (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
इसी प्रकार, ΔBOC ≅ ΔAOD
[SAS सर्वांगसमता नियम]
इसलिए, BC = AD
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)….(vi)

(v) और (vi) से परिणाम निकलता है कि चतुर्भुज ABCD की सम्मुख भुजाएँ बराबर हैं।
अतः, ABCD एक समांतर चतुर्भुज है
अब, ΔABC और ΔBAD में
AB = BA [उभयनिष्ठ]
BC = AD
[भाग (vi) में सिद्ध किया है।
AC = BD (दिया है)
∴ ΔABC ≅ ΔBAD
[SSS सर्वांगसमता नियम]
इसलिए, ∠ABC = ∠BAD …..(vii)
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
परंतु ∠ABC + ∠BAD = 180° …..(vii)] [∵ ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।
(ऊपर प्रमाणित)
∴ AD || BC और AD एक तिर्यक रेखा है।
⇒ ∠ABC + ∠ABC = 180°
[(vii) को (viii) में प्रयोग करने पर]
⇒ 2∠ABC = 180°
⇒ ∠ABC = 90°
∴ ∠ABC = ∠BAD = 90° …. (ix)
समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर हैं। परंतु ∠ABC = 90° और ∠BAD = 90°
∴ ∠ABC = ∠ADC = 90° …(x)
और ∠BAD = ∠BCD = 90° …..(xi)
हम देखते हैं कि ∠ABC = ∠ADC = ∠BAD
= ∠BCD = 90° …..(xii)
अब ΔAOB और ΔBOC में
OA = OC (दिया है)
∠AOB = ∠BOC प्रत्येक 90° (दिया है)
OB = OB (उभयनिष्ठ)
∴ ΔABC ≅ ΔCOB
(SAS सर्वांगसमता नियम)
इसलिए AB = BC …..(xiii)

(v), (vi) और (xiii) से प्राप्त है।
AB = BC = CD = AD (xiv)
(xii) और (xiv) से
अब हमें एक चतुर्भुज प्राप्त है जिसके बराबर विकर्ण परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करते हैं। साथ ही बराबर भुजाएँ परस्पर 90° का कोण बनाती है।
अतः, दी गई चतुर्भुज वर्ग के सभी प्रतिबंधों को संतुष्ट करती है।

प्रश्न 6.
समांतर चतुर्भुज ABCD का विकर्ण AC कोण A को समद्विभाजित करता है ( देखिए आकृति) दर्शाइए कि

(i) यह ∠C को भी समद्विभाजित करता है।
(ii) ABCD एक समचतुर्भुज है।
हल :
यह दिया है कि समांतर चतुर्भुज ABCD में विकर्ण AC कोण A को समद्विभाजित करता है।
सिद्ध करना है : AC, ∠C को समद्विभाजित करती है।
उपपत्ति ; क्योंकि AB || DC और AC उनको प्रतिच्छेदित करती है।
∴ ∠1 = ∠3 (एकांतर कोण) (a)
इसी प्रकार ∠2 = ∠4 …………(b)
परंतु ∠1 = ∠2
[∵ AC, ∠A को समद्विभाजित करती है।] …………(c)
∠3 = ∠4
[(a), (b) और (c) का प्रयोग करने पर] अतः, AC, ∠C को समद्विभाजित करता है।

प्रश्न 7.
ABCD एक समचतुर्भुज है। दर्शाइए कि विकर्ण AC कोणों A और C दोनों को समद्विभाजित करता है तथा विकर्ण BD कोणों B और D दोनों को समद्विभाजित करता है।
हल :
ABCD एक समचतुर्भुज है।
∴ AB = BC = CD = AD
मान लीजिए O, विकर्ण BD का समद्विभाजक बिंदु है और OB = OD है।
ΔAOB और ΔAOD में,
OA = OA (उभयनिष्ठ)
AB = AD
[समचतुर्भुज की बराबर भुजाएँ]
OB = OD
[समचतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते है।]

∴ ΔAOB ≅ ΔAOD
[SSS सर्वांगसमता नियम ]
इसलिए, ∠OAD = ∠OAB
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
⇒ OA, ∠A को समद्विभाजित करता है …..(i)
इसी तरह, ΔBOC ≅ ΔDOC
(SSS सर्वांगसमता नियम)
इसलिए; ∠OCB = ∠OCD
[सवांगसम त्रिभुजों के संगत भाग]
⇒ OC, ∠C को समद्विभाजित करता है …..(ii)
(i) और (ii) से हम कह सकते हैं कि विकर्ण AC, ∠A और ∠C को समद्विभाजित करता है।
अब, ΔAOB और ΔBOC में,
OB = OB (उभयनिष्ठ)
AB = BC
[समचतुर्भुज की बराबर भुजाएँ]
OA = OC [∵ समचतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं।]
ΔAOB ≅ ΔCOB
(SSS सर्वांगसमता नियम)
इसलिए, ∠OBA = ∠OBC
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
⇒ OB, ∠B को समद्विभाजित करता है ….(iii)
इसी तरह, ΔAOD ≅ ΔCOD
(SSS सर्वांगसमता नियम)
⇒ ∠ODA = ∠ODC
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
⇒ OD, ∠D को समद्विभाजित करता है….(iv)
(iii) और (iv) से हम कह सकते हैं कि विकर्ण BD दोनों ∠B और ∠D को समद्विभाजित करता है।

प्रश्न 8.
ABCD एक आयत है जिसमें विकर्ण AC दोनों कोणों A और C को समद्विभाजित करता है। दर्शाइए कि
(i) ABCD एक वर्ग है।
(ii) विकर्ण BD दोनों कोणों B और D को समद्विभाजित करता है।
हल :
ABCD एक आयत है ।
∴ AB = DC ……………(a)
और BC = AD

साथ ही, प्रत्येक कोण; ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°
(i) ΔABC और ΔADC में,
∠1 = ∠2.
और ∠3 = ∠4 [∵ AC दोनों कोणों ∠A और ∠C को समदविभाजित करता है (दिया है)]
AC = AC (उभयनिष्ठ)
∴ ΔABC ≅ ΔADC
(ASA सर्वांगसमता नियम)
इसलिए, AB = AD ……..(b)
(a) और (b) से हमें प्राप्त होता है
AB = BC = AD = DC
इसका अर्थ है कि आयत की सभी भुजाएँ बराबर हैं।
अतः, यह एक वर्ग है।

(ii) ΔABD और ΔBDC में,

AB = BC [∵ आयत ABCD एक वर्ग है भाग (i) में सिद्ध किया है]
AD = DC
(भाग (i) में सिद्ध किया है कि ABCD एक वर्ग है।)
BD = BD (उभयनिष्ठ)
∴ ΔABD ≅ ΔCBD
(SSS सर्वांगसमता नियम)
इसलिए, ∠ABD = ∠CBD ……(c)
(सर्वागसम त्रिभुजों के संगत भाग)
और ∠ADB = ∠CDB …….(d)
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
(c) और (d) का भाव है कि विकर्ण BD दोनों कोणों ∠B और ∠D को समद्विभाजित करता है।

प्रश्न 9.
समांतर चतुर्भुज ABCD के विकर्ण BD पर दो बिंदु P और Q इस प्रकार स्थित हैं कि DP = BQ है (देखिए आकृति )। दर्शाइए कि

(i) ΔAPD ≅ ΔCQB
(ii) AP = CQ
(iii) ΔAQB ≅ ΔCPD
(iv) AQ = CP
(v) APCQ एक समांतर चतुर्भुज है।
हल :
(i) ΔAPD और ΔCQB में,
DP = BQ (दिया है)
∠ADP = ∠QBC [∵ समांतर चतुर्भुज ABCD में AD || BC, BD एक तिर्यक रेखा है।
∴ ∠ADB = ∠DBC (एकांतर कोण) इसलिए;
∠ADP = ∠QBC]
AD = CB [∵ समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।]
∴ ΔAPD ≅ ΔCQB
(SAS सर्वांगसमता नियम)

(ii) इसलिए ; AP = CQ
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)

(iii) ΔAQB और ΔCPD में
BQ = DP (दिया है)
∠ABQ = ∠PDC [∵ समांतर चतुर्भुज ABCD में, AB || CD; BD एक तिर्यक रेखा है।]
∴ ∠ABD = ∠BDC (एकांतर कोण)
इसलिए ; ∠ABQ = ∠PDC]
AB = CD [∵ समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।]
∴ ΔAQB ≅ ΔCPD
[SAS सर्वांगसमता नियम]

(iv) इसलिए, AQ = CP
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)

(v) चतुर्भुज APCQ में, हमें प्राप्त है
AP = CQ
[भाग (ii) में सिद्ध किया है]
AQ = CP
[भाग (iv) में सिद्ध किया है]
चतुर्भुज ARCQ की सम्मुख भुजाएँ बराबर हैं
जैसा कि हम जानते हैं कि एक समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती है।
अतः, APCQ एक समांतर चतुर्भुज है।

प्रश्न 10.
ABCD एक समांतर चतुर्भुज है तथा AP, CQ शीर्षों, A और C से विकर्ण BD पर क्रमशः लम्ब हैं। ( देखिए आकृति)। दर्शाइए कि
(i) ΔAPB ≅ ΔCQD
(ii) AP = CQ

हल :
ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।
∴ AB || DC
BD एक तिर्यक रेखा है।
इसलिए, ∠1 = ∠2 (एकांतर कोण)
(i) अब, ΔAPB और ΔCQD में,
∠APB = ∠CQD
(प्रत्येक = 90°) [दिया है]
∠1 = ∠2 (ऊपर सिद्ध किया है)
AB = CD [∵ समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।]
∴ ΔAPB ≅ ΔCQD
[AAS सर्वांगसमता नियम]

(ii) इसलिए, AP = CQ
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)

प्रश्न 11.
ΔABC और ΔDEF में, AB = DE, AB || DE, BC = EF और BC || EF है। शीर्षों A, B और C को क्रमश: शीर्षों D, E और F से जोड़ा जाता है ( देखिए आकृति)।
दर्शाइए कि
(i) चतुर्भुज ABED एक समांतर चतुर्भुज है।
(ii) चतुर्भुज BEFC एक समांतर चतुर्भुज है।
(iii) AD || CF और AD = CF है।
(iv) चतुर्भुज ACFD एक समांतर चतुर्भुज है।
(v) AC = DF है।
(vi) ΔARC ≅ ΔDEF है।

हल :
दिया है : ΔABC और ΔDEF में,
AB = DE और AB || DE.
साथ ही, त्रिभुजों में BC = EF और BC || EF है।
(i) चतुर्भुज ABED में सम्मुख भुजाओं AB और DE का एक युग्म इस प्रकार है कि AB = DE और AB || DE है।
∴ ABED एक समांतर चतुर्भुज है।
∴ AD = BE और AD || BE.
[समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती है] ……………(1)

(ii) पुनः, चतुर्भुज BEFC में,
BE = CF और BE || CF
∴ BEFC एक समांतर चतुर्भुज है।
∴ CF = BE और CF || BE ….(2)

(iii) (1) और (2) से प्राप्त होता है :
AD = CF और AD || CF

(iv) ∴ ACFD एक समांतर चतुर्भुज है। [∵ यदि चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समांतर हो, तो यह समांतर चतुर्भुज होती है।]

(v) अतः, AC = DF
[||gm को सम्मुख भुजाएँ].

(vi) ΔABC और ΔDEF में,
AB = DE (दिया है)
BC = EF (दिया है)
AC = DF [भाग (v) में सिद्ध किया है]
∴ ΔABC ≅ ΔDFE
(SSS सर्वांगसमता नियम)

प्रश्न 12.
ABCD एक समलंब है, जिसमें AB || DC और AD = BC है ( देखिए आकृति)। दर्शाइए कि
(i) ∠A = ∠B
(ii) ∠C = ∠D
(iii) ΔABC ≅ ΔBAD
(iv) विकर्ण AC = विकर्ण BD है।
हल :
AB को बढ़ाइए और रेखा CE || AD खींचिए जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है।

क्योंकि AD || CE और तिर्यक रेखा AE उनको क्रमश: A और E पर काटती है :
∴ ∠A + ∠E = 180°
∠A = 180° – ∠E ….(1)
⇒ क्योंकि AB || CD और AD || CE है।
∴ AECD एक समांतर चतुर्भुज है।
⇒ AD = CE
⇒ BC = CE
[∵ AD = BC (दिया है)]
इस प्रकार, ΔBCE में
BC = CE
⇒ ∠CBE = ∠CEB [बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।]
⇒ 180° – ∠B = ∠E [∵ ∠CBE + ∠ABC = 180° (रैखिक युग्म)
∴ ∠CBE = 180° – ∠ABC]
⇒ 180° – ∠E = ∠B …..(2)
(1) और (2) से हमें प्राप्त होता है : ∠A = ∠B

(ii) ABCD एक समलंब है जिसमें AB || DC
∴ ∠A + ∠D = 180° ….(a)
और ∠B + ∠C = 180° ….(b)
[∵ दो समांतर रेखाओं के लिए तिर्यक रेखा के एक ही ओर के दो अंत: कोणों का योगफल 180° होता है।]
(a) और (b) को बराबर करने पर हमें प्राप्त होता है
∠A + ∠D = ∠B + ∠C
परंतु ∠A = ∠B भाग (i) में सिद्ध किया है।
∴ ∠A + ∠D = ∠A + ∠C
⇒ ∠D = ∠C
या, ∠C = ∠D इति सिद्धम ।

(iii) ΔABC और ΔBAD में,
AB = AB (उभयनिष्ठ)

∠A = ∠B
[भाग (i) में सिद्ध किया है।]
BC = AD (दिया है)
∴ ΔABC ≅ ΔBAD
(SAS सर्वांगसमता नियम)

(iv) इसलिए, AC = BD
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
अर्थात्, समलंब ABCD में;
विकर्ण AC = विकर्ण BD.

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.7 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.7

जब तक अन्यथा न कहा जाए, π = \(\frac{22}{7}\) लीजिए

प्रश्न 1.
उस लंब वृत्तीय शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए, जिसकी
(i) त्रिज्या 6 cm, और ऊँचाई 7 है।
(ii) त्रिज्या 3.5 cm और ऊँचाई 12 cm है।
हल :
(i) r = 6 cm, h = 7 cm
शंकु का आयतन = \(\frac{1}{3}\) πr²h

= \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7}\) × 6 × 6 × 7
= 264 cm³
(ii) r = 3.5 cm, h = 12 cm
शंकु का आयतन = \(\frac{1}{3}\)πr²h

= \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7}\) × 3.5 × 3.5 × 12
= \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{35}{10} \times \frac{35}{10} \times 12\)
= 154 cm

प्रश्न 2.
शंकु के आकार के उस बर्तन की लीटरों में धारिता ज्ञात कीजिए जिसकी
(i) त्रिज्या 7 cm और तिर्यक ऊँचाई 25 cm
(ii) ऊँचाई 12 cm और तिर्यक ऊँचाई 13 cm
हल :
(i) यहाँ, r = 7 cm, l = 25 cm
l² = r² + h²
या (25)² = (7)² + h²
या 625 = 49 + h²
या 625 – 49 = h²
या 576 = h²
या h = 576
या h = \(\sqrt{576}\) = 24 cm

∴ शंकु के आकार के बर्तन की धारिता = \(\frac{1}{3}\) πr²h
= \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7}\) × 7 × 7 × 24
= 1232 cm³
= 1.232 l [∵ 1000 cm3 = 1 l]

(ii) यहाँ, h = 12 cm, l = 13 cm
अब r² + h² = l²
या r² + (12) = (13)²
या r² + 144 = 169
या r² = 169 – 144
या r² = 25
या r = \(\sqrt{25}\) = 5 cm

∴ शंकु के आकार के बर्तन की धारिता = \(\frac{1}{3}\) πr²h

प्रश्न 3.
एक शंकु की ऊँचाई 15 cm है। यदि इसका आयतन 1570 cm³ है, तो इसके आधार की त्रिज्या ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 प्रयोग कीजिए)
हल :
शंकु की ऊँचाई ; h = 15 cm
शंकु का आयतन = 1570 cm³
मान लीजिए शंकु की त्रिज्या = r
\(\frac{1}{3}\) πr²h = 1570

या \(\frac{1}{3}\) × 3.14 × r² × 15 = 1570
या 15.70r = 1570
या \(\frac{1570}{100}\) r² = 1570
या r² = 1570 × \(\frac{100}{1570}\) = 100
या r = \(\sqrt{100}\) = 10 cm
अतः आधार की वांछित त्रिज्या 10 है।

प्रश्न 4.
यदि 9 cm ऊँचाई वाले एक लंब वृत्तीय शंकु का आयतन 48 π cm³ है, तो इसके आधार का व्यास ज्ञात कीजिए।
हल :
शंकु का आयतन = 48π cm³ …….(I)
शंकु की ऊँचाई ; h = 9 cm
मान लीजिए शंकु की त्रिज्या = r

∴ शंकु का आयतन = \(\frac{1}{3}\) πr²h
= \(\frac{1}{3}\) πr² × 9 ……(II)
I और II से,
\(\frac{1}{3}\) πr² × 9 = 48 π
या 3r² = 48
या r = \(\frac{48}{3}\) = 16
या r = \(\sqrt{16}\) = 4 cm
∴ आधार का व्यास = 2r = 2 × 4 = 8 cm

प्रश्न 5.
ऊपरी व्यास 3.5 cm वाले शंकु के आकार का एक गढ्ढा 12 cm गहरा है। इसकी धारिता किलोलीटरों में कितनी होगी ?
हल :
गढ्ढे का व्यास = 3.5 m
गढ्ढे की त्रिज्या ; r = \(\frac{3.5}{2}\) = 1.75 m
गढ्ढे की गहराई ; h = 12m
गढ्ढे की धारिता = \(\frac{1}{3}\) πr²h


= 38.5 m³ = 38.5 kl
[∵ 1 m³ = 1000 l = 1 kl]

प्रश्न 6.
एक लंब वृत्तीय शंकु का आयतन 9856 cm³ है। यदि इसके आधार का व्यास 28 cm है, तो ज्ञात कीजिए :
(i) शंकु की ऊँचाई
(ii) शंकु की तिर्यक ऊँचाई
(iii) शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
हल :
(i) शंकु का आयतन = 9856 cm³
शंकु का व्यास = 28 cm
शंकु की त्रिज्या ; r = \(\frac{28}{2}\) = 14 cm
मान लीजिए शंकु की ऊँचाई = h

∴ \(\frac{1}{3}\) πr²h = 9856
[∵ शंकु की आयतन = \(\frac{1}{3}\) πr²h]
या \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7}\) × 14 × 14 × h = 9856
या \(\frac{1}{3}\) × 22 × 2 × 14 × h = 9856
या h = \(\frac{9856 \times 3}{22 \times 2 \times 14}\) = 48 cm
∴ शंकु की ऊँचाई = 48 cm

(ii) मान लीजिए शंकु की तिर्यक ऊँचाई = l
अब l² = r² + h²
l² = (14)² + (48)²
l² = 196 + 2304 = 2500
l = \(\sqrt{2500}\) = 50 cm
∴ शंकु की तिर्यक ऊँचाई = 50 cm

(iii) अब शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl
= \(\frac{22}{7}\) × 14 × 50 = 2200 cm²

प्रश्न 7.
भुजाओं 5 cm, 12 cm और 13 cm वाले एक समकोण त्रिभुज ABC को भुजा 12 cm के परित घुमाया जाता है। इस प्रकार प्राप्त ठोस का आयतन ज्ञात कीजिए।
हल :
जब समकोण त्रिभुज ABC को इसकी 12 cm वाली भुजा के परित घुमाया जाता है, तो ठोस आकृति, शंकु प्राप्त होती है।
12 cm वाली भुजा शंकु की ऊँचाई और 5 cm भुजा वाली शंकु के आधार की त्रिज्या होती है।
अब शंकु की त्रिज्या ; r = 5 cm
शंकु की ऊँचाई ; h = 12 cm

∴ शंकु की आयतन = \(\frac{1}{3}\) πr²h
= \(\frac{1}{3}\) × 5 × 5 × 12
= 100 πcm³

प्रश्न 8.
यदि प्रश्न 7 के त्रिभुज ABC को यदि भुजा 5 cm के परित घुमाया जाए, तो इस प्रकार प्राप्त ठोस आयतन ज्ञात कीजिए। प्रश्नों 7 और 8 में प्राप्त किए गए दोनों ठोसों के आयतनों का अनुपात भी ज्ञात कीजिए।
हल :
जब समकोण त्रिभुज को 5 cm भुजा के पारित घुमाया जाता है, तो ठोस आकृति, शंकु प्राप्त होती है।
12 cm वाली भुजा शंकु के आधार की त्रिज्या 5 cm वाली भुजा शंकु की ऊँचाई होती है।

अब, शंकु की त्रिज्या ; R = 12 cm
शंकु की ऊँचाई ; H = 5 cm
शंकु का आयतन = \(\frac{1}{3}\) πR²h
= \(\frac{1}{3}\) × π × 12 × 12 × 5
= 240π cm³.

∴ वांछित अनुपात = 5 : 12.

प्रश्न 9.
उस सब से बड़े लंब वृत्तीय शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए जो 14 cm भुजा वाले घन में पूरा-पूरा समा सकता है।
हल :
सबसे बड़े लंब वृत्तीय शंकु के वृत्तीय आधार की त्रिज्या = घन का किनारा
⇒ 2r = 14
[जहाँ, r शंकु के वृत्तीय आधार की त्रिज्या है]
⇒ r = \(\frac{14}{2}\)
⇒ r = 7 cm
और शंकु की ऊँचाई h = घन का किनारा = 14 cm

अब, सबसे बड़े शंकु का आयतन

प्रश्न 10.
गेहूँ की एक ढेरी 10.5 m व्यास और ऊँचाई 3 m वाले एक शंकु के आकार की है। इसका आयतन ज्ञात कीजिए। इस ढेरी को वर्षा से बचाने के लिए केनवास से ढका जाना है। वांछित केनवास का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए, शंकु के आकार की ढेरी के आधार की त्रिज्या = r
∴ व्यास ; 2r = 10.5 m
⇒ r = \(\frac{10.5}{2}\) m
⇒ r = \(\frac{105}{20}\) m
⇒ r = \(\frac{21}{4}\) m

शंकु आकार ढेरी की ऊँचाई = h = 3 m
शंकु आकार ढेरी का आयतन = \(\frac{1}{3}\) πr²h

मान लीजिए शंकु आकार ढेरी की तिर्यक ऊँचाई l m है।
∴ l² = r² + h² (पाइथागोरस परिणाम से)

⇒ l = 6.046 m
वांछित केनवास का क्षेत्रफाल = शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
= πrl
= \(\frac{22}{7} \times \frac{21}{4} \times 6.046\)
= 99.75 m² (लगभग)
अतः, केनवास का वांछित क्षेत्रफल 99.75m² (लगभग)

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 7 त्रिभुज MCQ Questions with Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 7 त्रिभुज MCQ Questions

बहुविकल्पीय प्रश्न :

नोट-नीचे प्रत्येक प्रश्न के चार-चार विकल्प दिए गए हैं। सही उत्तर का चयन कीजिए।

प्रश्न 1.
चतुर्भुज ABCD में AB = AD और AB, ∠A को समद्विभाजित करता है।
ΔABC ≅ ΔABD.BC और BD के बीच सम्बन्ध होगा –

(A) BC > BD
(B) BC = BD
(C) BC < BD
(D) BC = \(\frac {1}{2}\)BD.
उत्तर –
(B) BC = BD

प्रश्न 2.
ABCD एक चतुर्भुज है, जिसमें AD = BC और ∠DAB = ∠CBA है, यदि ΔABD ≅ ΔBAC हो तो ∠ABD और ∠BAC में क्या सम्बन्ध है ?

(A) ∠ABD = \(\frac {1}{2}\)∠BAC
(B) ∠ABD = ∠BAC
(C) ∠ABD > ∠BAC
(D) ∠ABD < ∠BAC.
उत्तर –
(A) ∠ABD = \(\frac {1}{2}\)∠BAC

प्रश्न 3.
एक रेखाखण्ड AB पर AD और BC दो बराबर लम्ब रेखाखण्ड हैं। यदि ΔBOC ≅ ΔAOD हो तो OC और OD में क्या सम्बन्ध है ?

(A) OD = OC
(B) OD > OC
(C) OD < OC
(D) OD = \(\frac {1}{2}\)OC
उत्तर –
(A) OD = OC

प्रश्न 4.
यदि M, समकोण ΔARC के कर्ण AC का मध्य बिन्दु हो तो BM = \(\frac {1}{2}\)……………
(A) AC
(B) AB
(C) BC
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर –
(A) AC

प्रश्न 5.
दी गई आकृति में AB = AC और BF = CD तथा ΔACD ≅ ΔABE तो AD = ……..

(A) AC
(B) AB
(C) AE
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर –
(A) AC

प्रश्न 6.
ΔARC एक समकोण त्रिभुज है, जिसमें ∠A = 90° और AB = AC है। ∠B और ∠C का मान होगा
(A) ∠B = ∠C = 60°
(B) ∠B = ∠C = 30°
(C) ∠B = ∠C = 50°
(D) ∠B = ∠C = 45°.
उत्तर –
(D) ∠B = ∠C = 45°.

प्रश्न 7.
समबाहु त्रिभुज के प्रत्येक कोण का माप होता
(A) 50°
(B) 40°
(C) 60°
(D) 65°.
उत्तर –
(C) 60°

प्रश्न 8.
यदि किसी समद्विबाहु त्रिभुज का शीर्ष कोण 40° हो तो अन्य दोनों कोणों का माप होगा
(A) 60°, 60°
(B) 70°, 70°
(C) 50°, 50°
(D) 75°, 75°.
उत्तर –
(B) 70°, 70°

प्रश्न 9.
ΔARC के कोण A, B और C परस्पर बराबर हों तो ये होगी
(A) समबाहु
(B) समद्विबाहु
(C) विषमबाहु
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर –
(A) समबाहु

प्रश्न 10.
यदि किसी त्रिभुज की दो भुजाएं असमान हों, तो लम्बी भुजा के सामने का सम्मुख कोण
(A) बड़ा होता है।
(B) 90° का होता है।
(C) छोटा होता है।
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर –
(A) बड़ा होता है।

प्रश्न 11.
किसी त्रिभुज में बड़े कोण के सम्मुख भुजा
(A) बड़ी होती है।
(B) छोटी होती है।
(C) बराबर होती है।
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर –
(A) बड़ी होती है।

प्रश्न 12.
किसी त्रिभुज की दो भुजाओं का योग उसकी तीसरी भुजा
(A) के बराबर होता है।
(B) से छोटा होता है।
(C) से बड़ा होता है।
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर –
(C) से बड़ा होता है।

प्रश्न 13.
किसी त्रिभुज की सबसे बड़ी भुजा का सम्मुख कोण –
(A) 60° से बड़ा होता है।
(B) 50° से बड़ा होता है।
(C) 90° से बड़ा होता है।
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर –
(A) 60° से बड़ा होता है।

प्रश्न 14.
आकृति में, ΔPQR की भुजा, QR पर T कोई बिन्दु है और s ऐसा बिन्दु है कि RT = ST तो PQ + PR …………… QS.

(A) PQ + PR > QS
(B) PQ + PR = QS
(C) PQ + PR < QS
(D) PQ + PR = \(\frac {1}{2}\)OS.
उत्तर –
(A) PQ + PR > QS

प्रश्न 15.
त्रिभुज के तीनों शीर्षलम्बों का योगफल त्रिभुज की तीनों भुजाओं के योगफल से ……….. होता है –
(A) कम
(B) अधिक
(C) बराबर
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर –
(A) कम

प्रश्न 16.
समकोण त्रिभुज में …………. सबसे लम्बी भुजा होती है
(A) लम्ब
(B) आधार
(C) कर्ण
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर –
(C) कर्ण

प्रश्न 17.
आकृति में ∠B < ∠A और ∠C < ∠D है तो AD और BC में सम्बन्ध है –

(A) AD > BC
(B) AD = BC
(C) AD < BC
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर –
(C) AD < BC

प्रश्न 18.
ΔABC में यदि ∠A = ∠B = 62\(\frac {1}{2}\)° हो तो सबसे बड़ी भुजा का नाम होगा –
(A) AB
(B) BC
(C) CA
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर –
(A) AB

प्रश्न 19.
ΔABC में AC > AB है। ∠A का समद्विभाजक BC को D पर मिलता है तो ∠ADB एक –
(A) न्यून कोण है
(B) अधिक कोण है
(C) सरल कोण है
(D) समकोण है।
उत्तर –
(A) न्यून कोण है

प्रश्न 20.
त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं का अन्तर तीसरी भुजा से –
(A) बड़ा होता है
(B) छोटा होता है
(C) बराबर होता है
(D) आधा होता है।
उत्तर –
(B) छोटा होता है

प्रश्न 21.
यदि किसी त्रिभुज के दो कोण असमान हों, तो छोटे कोण के सामने की भुजा
(A) बड़ी होती है
(B) छोटी होती है
(C) 5 सेमी० होती है
(D) 10 सेमी० होती है।
उत्तर –
(B) छोटी होती है

प्रश्न 22.
ΔARC के अभ्यन्तर में …………….. बिन्दु इसके तीनों शीर्षों से समदूरस्थ होती है
(A) दो कोण समद्विभाजकों का प्रतिच्छेद
(B) दो भुजाओं के लम्ब समद्विभाजकों का प्रतिच्छेद
(C) a और b दोनों
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर –
(B) दो भुजाओं के लम्ब समद्विभाजकों का प्रतिच्छेद

प्रश्न 23.
ΔABC के अभ्यन्तर में ……………. बिन्दु इसकी तीनों भुजाओं से समदूरस्थ होता है
(A) दो भुजाओं के लम्ब समद्विभाजकों का प्रतिच्छेद
(B) दो कोण समद्विभाजकों का प्रतिच्छेद
(C) a और b दोनों
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर –
(B) दो कोण समद्विभाजकों का प्रतिच्छेद

प्रश्न 24.
नीचे षड्भुजीय आकार की रंगोली को 1 सेमी० भुजा वाले कितने समबाहु त्रिभुजों से भरा जा सकता है ?

(A) 200
(B) 150
(C) 300
(D) 250.
उत्तर –
(B) 150

संकेत –

5 सेमी० भुजा वाली समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल
= \(\frac{\sqrt{3}}{4}(5)^2=\frac{\sqrt{3}}{4} \times 25\)
षड्भुजीय रंगोली का क्षेत्रप = 6 × \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) × 25
= 150 × \(\frac{\sqrt{3}}{4}\)सेमी०²
1 सेमी० भुजा वाली समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल
= \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) (1)²
= \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) सेमी०²
षड्भुजीय रंगोली में 1 सेमी० भुजा वाले समबाहु त्रिभुजों की संख्या
= 150\(\frac{\sqrt{3}}{4}\) ÷ \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) = 150

प्रश्न 25.
आकृति में तारे के आकार की रंगोली को 1 सेमी० भुजा वाले समबाहु त्रिभुज से पूरा कीजिए। त्रिभुजों की संख्या होगी

(A) 300
(B) 150
(C) 200
(D) 350.
उत्तर –
(A) 300

प्रश्न 26.
यदि किसी त्रिभुज के दो कोण सर्वांगसम हों तो इन कोणों की सम्मुख भुजाएँ
(A) समान होती हैं
(B) सर्वांगसम होती हैं
(C) सर्वांगसम हो सकती हैं
(D) सर्वांगसम नहीं होती।
उत्तर –
(B) सर्वांगसम होती हैं

प्रश्न 27.
सर्वांगसमता के लिए कौन-सा अभिगृहीत ठीक
(A) भु० क० भु०
(B) क० भु० भु०
(C) भु० भु० क०
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर –
(A) भु० क० भु०

प्रश्न 28.
ΔABC में यदि AB सबसे छोटी तथा BC सबसे लम्बी भुजा हो तो
(A) ∠A < ∠C
(B) ∠A > ∠B
(C) ∠A > ∠C
(D) ∠A < ∠C.
उत्तर –
(C) ∠A > ∠C

प्रश्न 29.
यदि शीर्ष कोण का समद्विभाजक आधार को समद्विभाजित करे तो त्रिभुज –
(A) समबाहु है
(B) समद्विबाहु है
(C) विषमबाहु है
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर –
(B) समद्विबाहु है

प्रश्न 30.
एक समकोण त्रिभुज में यदि एक न्यूनकोण दूसरे न्यूनकोण का दुगुना हो तो कर्ण –
(A) छोटी भुजा के समान होता है
(B) छोटी भुजा का तीन गुणा होता है
(C) छोटी भुजा का दुगुना होता है
(D) छोटी भुजा से छोटा होता है।
उत्तर –
(C) छोटी भुजा का दुगुना होता है

प्रश्न 31.
ΔABC में, यदि माध्यिका BE, माध्यिका CF के बराबर हो तो त्रिभुज
(A) समबाहु हैं
(B) समद्विबाहु हैं
(C) समकोणी हैं
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर –
(C) समकोणी हैं

प्रश्न 32.
एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC में, D, E और F आधार BC और समान भुजाओं AB और AC के मध्य बिन्दु हैं तो
(A) DC = BC
(B) DF = BE
(C) DF = DE
(D) DC = DE
उत्तर –
(C) DF = DE

प्रश्न 33.
ΔABC में AB = AC और भुजा BA को D तक बढ़ाया गया है ताकि AB = AD तो ∠BCD बराबर है
(A) 80°
(B) 45°
(C) 60°
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर-
(D) इनमें से कोई नहीं।

प्रश्न 34.
एक त्रिभुज में अधिकतम एक……….. कोण हो सकता है
(A) न्यून
(B) अधिक
(C) सरल
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर-
(B) अधिक

प्रश्न 35.
नीचे दी गई त्रिभुजें सर्वांगसम हैं। बताइए ये किस अभिगृहीत से सर्वांगसम हैं ?

(A) भु०-भु०-भु०
(B) भु०-को०-भु०
(C) को०-को०-भु०
(D) को०-भु०-भु०।
उत्तर –
(B) भु०-को०-भु०

प्रश्न 36.
नीचे दी गई त्रिभुजें सर्वांगसम हैं। किस अभिगृहीत के कारण ये त्रिभुजें सर्वांगसम हैं ?

(A) भु०-को०-भु०
(B) को०-भु०-को०
(C) भु०-भु०-भु०
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर –
(B) को०-भु०-को०

प्रश्न 37.
l और m दो समान्तर रेखाएँ हैं जिन्हें समान्तर रेखाओं का एक अन्य युग्म प्रतिच्छेद करता है। ΔABC ≅ ΔCDA. ये सर्वांगसमता के किस अभिगृहीत के कारण सर्वांगसम हैं ?

(A) भु०-भु०-भु०
(B) भु०-को०-भु०
(C) को०-को०-भु०
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर –
(C) को०-को०-भु०

संकेत –

l || m, AC एक तिर्यक रेखा है
∴ ∠DAC = ∠ACB
…..(एकांतर कोण)
p || q, AC एक तिर्यक रेखा है
∴ ∠BAC = ∠ACD
…..(एकांतर कोण)
ΔABC और ΔADC में
∠ACB = ∠DAC
∠BAC = ∠ACD ऊपर सिद्ध किया है (उभयनिष्ठ)
AC = AC
∠ABC ≅ ΔCDA (को-को-भुजा सर्वांगसमता)]

प्रश्न 38.
यदि एक त्रिभुज की ………. क्रमशः दूसरे त्रिभुज की तीन भुजाओं के बराबर हों तो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं
(A) एक भुजा
(B) दो भुजाएँ
(C) तीन भुजाएँ
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर –
(C) तीन भुजाएँ

प्रश्न 39.
यदि एक त्रिभुज की……………. और अन्तर्गत कोण क्रमश: दूसरे त्रिभुज की दो भुजाओं और अन्तर्गत कोण के बराबर हों, तो त्रिभुज सर्वांगमस होते हैं
(A) एक भुजा
(B) दो भुजाएँ
(C) तीन भुजाएँ
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर –
(B) दो भुजाएँ

प्रश्न 40.
ABC एक त्रिभुज है जिसमें AC और BC पर खींचे गए शीर्षलम्ब BF और CF बराबर हैं तथा ΔABF ≅ ΔACF. तब ΔABC.

(A) समबाहु है
(B) विषमबाहु है
(C) समद्विबाहु है
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर-
(C) समद्विबाहु है

प्रश्न 41.
ABC और DBC समान आधार BC पर स्थित दो समद्विबाहु त्रिभुज हैं।

(A) ∠ABD = ∠ACD
(B) ∠ABD > ∠ACD
(C) ∠ACD > ∠ABD
(D) ∠ABD = \(\frac {1}{2}\)∠ACD
उत्तर –
(A) ∠ABD = ∠ACD

प्रश्न 42.
त्रिभुज का परिमाप उसके माध्यिकाओं के योग –
(A) के बराबर होता है
(B) से कम होता है
(C) से बड़ा होता है
(D) से आधा होता है।
उत्तर –
(C) से बड़ा होता है

प्रश्न 43.
निम्नलिखित में से कौन त्रिभुजों की सर्वांगसमता की एक कसौटी नहीं है?
(A) SAS
(B) ASA
(C) SSA
(D) SSS.
उत्तर :
(C) SSA

प्रश्न 44.
यदि AB = QR, BC = PR और CA = PQ है, तो
(A) ΔABC ≅ ΔPQR
(B) ΔCBA ≅ ΔPRQ
(C) ΔBAC ≅ ΔRPQ
(D) ΔPQR ≅ ΔBCA.
उत्तर :
(B) ΔCBA ≅ ΔPRQ

प्रश्न 45.
ΔABC में, AB = AC और ∠B = 50° है, तब ∠C बराबर है।
(A) 40°
(B) 50°
(C) 80°
(D) 130°
उत्तर :
(B) 50°

प्रश्न 46.
ΔABC में, BC = AB और ∠B = 80° है, तब ∠A बराबर है।
(A) 80°
(B) 40°
(C) 50°
(D) 100°
उत्तर :
(C) 50°

प्रश्न 47.
ΔPQR में, ∠R = ∠P तथा QR = 4 cm और PR = 5 cm है, तब PQ की लम्बाई है।
(A) 4 cm
(B) 5 cm
(C) 2 cm
(D) 2.5 cm.
उत्तर :
(A) 4 cm

प्रश्न 48.
D एक त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिंदु इस प्रकार स्थित है कि AD कोण BAC को समद्विभाजित करता है। तब,
(A) BD = CD
(B) BA > BD
(C) BD > BA
(D) CD >CA
उत्तर :
(B) BA > BD

प्रश्न 49.
यह दिया है कि ΔABC ≅ ΔFDE है तथा AB = 5cm, ∠B = 40° और ∠A = 80° है। तब निम्नलिखित में से कौन सत्य है ? (A) DF = 5 cm, ∠F = 60°
(B) DF = 5 cm, ∠E = 60°
(C) DE = 5 cm, ∠E = 60°
(D) DE = 5 cm, ∠D = 40°
उत्तर :
(B) DF = 5 cm, ∠E = 60°

प्रश्न 50.
एक त्रिभुज की दो भुजाओं की लम्बाइयां 5 cm और 1.5 cm हैं। इस त्रिभुज की तीसरी भुजा की लंबाई निम्नलिखित नहीं हो सकती।
(A) 3.6 cm
(B) 4.1 cm
(C) 3.8 cm
(D) 3.4 cm
उत्तर :
(D) 3.4 cm

प्रश्न 51.
ΔPQR में, यदि ∠R > ∠Q है, तो
(A) QR > PR
(B) PQ > PR
(C) PQ < PR
(D) QR < PR.
उत्तर :
(B) PQ > PR

प्रश्न 52.
त्रिभुजों ABC और PQR में, AB = AC, ∠C = ∠P और ∠B = ∠Q है। ये दोनों त्रिभुज हैं।
(A) समद्विबाहु परंतु सर्वांगसम नहीं
(B) समद्विबाहु और सर्वांगसम
(C) सर्वांगसम परंतु समद्विभाहु नहीं
(D) न तो सवांगसम और न ही समद्विबाहु ।
उत्तर :
(A) समद्विबाहु परंतु सर्वांगसम नहीं

प्रश्न 53.
त्रिभुजों ABC और DEF में, AB = FD तथा ∠A = ∠D है। दोनों त्रिभुज SAS अभिगृहीत से सर्वांगसम होंगे, यदि
(A) BC = EF
(B) AC = DE
(C) AC = EF
(D) BC = DE.
उत्तर :
(B) AC = DE

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.6 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.6

जब तक अन्यथा न कहा जाए, π = \(\frac{22}{7}\) लीजिए।

प्रश्न 1.
एक बेलनाकार बर्तन के आधार की परिधि 132 cm और उसकी ऊँचाई 25 cm है। इस बर्तन में कितने लीटर पानी आ सकता है ?(1000 cm³ = 1लीटर)
हल :
बर्तन के आधार की परिधि = 132 cm

मान लीजिए आधार की त्रिज्या = r
∵ बेलन का आधार वृत्तीय है।
∴ πrh = 132
या 2 × \(\frac{22}{7}\) × r = 132
या r = 132 × \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{7}{22}\) = 21 cm
बर्तन की ऊँचाई h = 25 cm
बर्तन का आयतन = बेलन का आयतन
= πr²h
= \(\frac{22}{7}\) × 21 × 21 × 35 = 34650 cm³
= \(\frac{34650}{1000}\) लीटर
[∵ 1000 cm³ = 1 लीटर]
= 34.65 लीटर

प्रश्न 2.
लकड़ी के एक बेलनाकार पाइप का आंतरिक व्यास 24 cm है और बाहरी व्यास 28 cm है। इस पाइप की लंबाई 35 cm है। इस पाइप का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए, यदि 1 cm³ लकड़ी का द्रव्यमान 0.6 ग्राम है।
हल :
बेलनाकार पाइप का आंतरिक व्यास = 24 cm
∴ पाइप की आंतरिक त्रिज्या r = \(\frac{24}{2}\) = 12 cm

पाइप का बाह्य व्यास = 28 cm
∴ पाइप की बाह्य त्रिज्या R = \(\frac{28}{2}\) = 14 cm
पाइप की लंबाई = 35 cm
लकड़ी का आयतन = बेलन का बाह्य आयतन – बेलन का आंतरिक आयतन
= πR²h – πr²h
[पाइप की लंबाई को बेलन की ऊंचाई के रूप में प्रयोग करने पर]
= πh (R² – r²)
= \(\frac{22}{7}\) × 35[(14)² – (12)²]
= 110 [196 – 144] = 110 × 52
= 5720 cm³
1 cm³ लकड़ी का द्रव्यमान = 0.6 g
5720 cm³ लकड़ी का द्रव्यमान = 0.6 × 5720 = 3432 g
= \(\frac{3432}{1000}\) kg [∵ 1000 g = 1 kg.]
= 3.432 kg.

प्रश्न 3.
एक सोफ्ट ड्रिंक (soft drink) दो प्रकार के पैकों में उपलब्ध है : (i) लंबाई 5 cm और चौड़ाई 4 cm वाले एक आयताकार आधार का टिन का डिब्बा जिसकी ऊँचाई 15 cm है और (ii) व्यास 7 cm वाले वृत्तीय आधार और 10 cm ऊँचाई वाला एक प्लास्टिक का बेलनाकार डिब्बा। किस डिब्बे की धारिता अधिक है और कितनी अधिक है ?
हल :

पहली स्थिति में :
आयताकार आधार की लंबाई = 5 cm
आयताकार आधार की चौड़ाई = 4 cm
टिन के डिब्बे की ऊँचाई = 15 cm
टिन के डिब्बे का आयतन = लंबाई × चौड़ाई × ऊँचाई
= 5 cm × 4 cm × 15 cm
= 300 cm³ …. (I)
दूसरी स्थिति में :

बेलन के आधार का व्यास = 7 cm
∴ बेलन के आधार की त्रिज्या ; r = \(\frac{7}{2}\) cm
बेलन की ऊँचाई ; h = 10 cm
बेलन की धारिता = बेलन का आयतन
= πr²h
= \(\frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \times 10\)
= 11 × 7 × 5 = 385 cm³ … (II)
I और II से,
बेलनाकार डिब्बे की धारिता (385 – 300) = 85 cm³ अधिक है।

प्रश्न 4.
यदि एक बेलन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल 94.2 cm² है और उसकी ऊँचाई 5 cm है, तो ज्ञात कीजिए : (i) आधार की त्रिज्या (ii) बेलन का आयतन (π = 3.14 लीजिए)
हल :
बेलन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 94.2 cm² … (1)
बेलन की ऊँचाई ; h = 5 cm
मान लीजिए कि आधार की त्रिज्या = r
∴ बेलन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh
= 2 × 3.14 × r × 5
= 31.4r …. (II)
समीकरण I और II से,
31.4r = 94.2
या, r = \(\frac{94.2}{31.4}\) = 3 cm
बेलन की आयतन = πr²h
= 3.14 × 3 × 3 × 5 = 141.3 cm³.

प्रश्न 5.
10 m गहरे एक बेलनाकार बर्तन की आंतरिक वक्र पृष्ठ को पेंट कराने का व्यय 2200 रुपए है। यदि पेंट कराने की दर 20 रुपए प्रति m है, तो ज्ञात कीजिए :
(i) बर्तन की आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
(ii) आधार की त्रिज्या
(iii) बर्तन की धारिता
हल :
बर्तन के आतंरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल को पेंट करने पर कुल व्यय = 2200 रु०
दर = 20 रु० प्रति m²
(i) बर्तन का आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

(ii) बर्तन की गहराई ; h = 10 m
मान लीजिए आधार की त्रिज्या = r
∴ बर्तन का आंतरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × r × 10 …(II)
∴ I और II, से

2 × \(\frac{22}{7}\) × r × 10 = 110
या, r = 110 × \(\frac{1}{2} \times \frac{7}{22} \times \frac{1}{10}\) = 1.75 m

(iii) अब, r = 1.75 m
h = 10 m
∴ बर्तन की धारिता = बेलन का आयतन
= πr²h
= \(\frac{22}{7}\) × 1.75 × 1.75 × 10
= 96.25 m³
= 96.25 किलोलीटर
[∵ 1m³ = 1 किलो लीटर]

प्रश्न 6.
ऊँचाई 1 m वाले एक बेलनाकार बर्तन की धारिता 15.4 लीटर है। इसको बनाने के लिए कितने वर्ग मीटर धातु की शीट की आवश्यकता होगी ? (1000 l = 1m³)
हल :
बर्तन की ऊँचाई ; h = 1 m,
बर्तन की धारिता= 15.4 l
= \(\frac{15.4}{1000}\) = 0.0154 m³ …(i)
[∵ 1000 l = 1 m³]
मान लीजिए बर्तन के आधार की त्रिज्या = r
∴ πr²h = 0.0154
या, \(\frac{22}{7}\) × r² × 1 = 0.0154
या, r² = 0.0154 × \(\frac{7}{22}\)
= 0.0007 × 7 = 0.0049
या, r = \(\sqrt{0.0049}\) = 0.07 m

∴ बर्तन बंद बेलनाकार है।
∴ बर्तन बनाने में लगी धातु का क्षेत्रफल = बर्तन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + दो वृत्ताकार ढक्कनों का क्षेत्रफल
= 2πrh + 2πr²
= 2πr (h + r)
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × 0.07(1 + 0.07)

= \(\frac{44}{7}\) × 0.07 × 1.07
= 44 × 0.01 × 1.07
= 0.4708 m²

प्रश्न 7.
सीसे की एक पेंसिल (lead pencil) लकड़ी के एक बेलन के अभ्यंतर में ग्रेफाइट (graphite) से बने ठोस बेलन को डाल कर बनाई गई है। पेंसिल का व्यास 7 mm है और ग्रेफाइट का व्यास 1 mm है। यदि पेंसिल की लंबाई 14 cm है, तो लकड़ी का आयतन और ग्रेफाइट का आयतन ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए ग्रेफाइट की त्रिज्या = r
∴ व्यास 2r = 1 मिमी.

⇒ r = \(\frac{1}{2}\) mm = \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{10}\) cm = \(\frac{1}{20}\) cm
ग्रेफाइट की ऊँचाई = h = 14 cm
ग्रेफाइट का आयतन = πr²h

मान लीजिए पेंसिल की त्रिज्या = R
∴ व्यास 2R = 7 मिमी
⇒ R = \(\frac{7}{2}\) मिमी.
= \(\frac{7}{2}\) x \(\frac{1}{10}\) cm
[∵ 10 मिमी. = 1 m; ∴ 1 मिमी. = \(\frac{1}{10}\) cm]
= \(\frac{7}{20}\) cm
लकड़ी का आयतन = πR²h

= 5.39 cm³
लकड़ी का आयतन = पेंसिल का आयतन – ग्रेफाइट का आयतन
= (5.39 – 0.11) cm³
= 5.28 cm³.

प्रश्न 8.
एक अस्पताल (hospital) के एक रोगी को प्रतिदिन 7 cm व्यास वाले एक बेलनाकार कटोरे में सूप (soup) दिया जाता है। यदि यह कटोरा सूप से 4 cm ऊँचाई तक भरा जाता है, तो इस अस्पताल में 250 रोगियों के लिए प्रतिदिन कितना सूप तैयार किया जाता है ?
हल :
मान लीजिए बेलनाकार कटोरे के वृत्तीय आधार की त्रिज्या = r
∴ व्यास ; 2r = 7 cm

⇒ r = \(\frac{7}{2}\) cm
कटोरे की ऊँचाई = h = 4 cm
बेलनाकार कटोरे का आयतन = πr2h

कटोरा पूरी तरह सूप से भरा हुआ है
∴ एक कटोरे में भरे गये सूप की मात्रा = 154 cm³
ऐसे 250 कटोरे रोगियों को दिए जाते हैं
अतः, अस्पताल द्वारा तैयार किए गए सूप की कुल मात्रा
= (250 × 154) cm³
= 38500 cm³
= \(\frac{38500}{1000}\) लीटर
[∵ लीटर = 1000 cm³]
= 38.5 लीटर

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 7 त्रिभुज Ex 7.5 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 7 त्रिभुज Ex 7.5

प्रश्न 1.
ABC एक त्रिभुज है। इसके अभ्यंतर में एक ऐसा बिंदु ज्ञात कीजिए जो ΔABC के तीनों शीर्षों से समदूरस्थ है।
हल :
मान लीजिए ABC एक त्रिभुज है।
इसकी भुजाओं AB और BC के लंब समद्विभाजित क्रमश: PQ और RS खींचिए। मान लीजिए PQ. AB को M पर समद्विभाजित करता है और RS, BC को बिंदु N पर समद्विभाजित करता है।
मान लीजिए PQ और RS बिंदु O पर पर प्रतिच्छेद करते हैं।
OA, OB और OC को मिलाइए।
अब, ΔAOM और BOM में
AM = MB (रचना से)
∠AMO = ∠BMO (प्रत्येक = 90°) [रचना से] (उभयनिष्ठ)
OM = OM
∴ ΔAOM ≅ ΔBOM
(SAS सर्वांगसमता नियम)

इसलिए. OA = OB (सर्वांगसम. त्रिभुजों के संगत भाग)….(i)
इसी तरह, ΔBON ≅ ΔCON
⇒ OB =OC
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)……..(ii)
(i) और (ii) से हम देखते हैं कि
OA = OB = OC
अतः, ΔABC की किन्हीं दो भुजाओं के लंब समद्विभाजकों का प्रतिच्छेद बिंदु O, इसके तीनों शीर्षों से समदूरस्थ है।

प्रश्न 2.
किसी त्रिभुज के अभ्यांतर में एक ऐसा बिंदु ज्ञात कीजिए जो त्रिभुज की सभी भुजाओं से समदूरस्थ हों।
हल :
मान लीजिए ABC एक त्रिभुज है।
∠B और ∠C के समद्विभाजक खींचिए।
मान लीजिए ये कोण समद्विभाजक परस्पर बिंदु I पर प्रतिच्छेद करते हैं।
IK ⊥ BC खींचिए।
साथ ही, IJ ⊥ AB
और IL ⊥ AC खींचिए।

AI को मिलाइए।
ΔBIK और ΔBIJ में,
∠IKB = ∠IJB (प्रत्येक = 90°)
(रचना से)
∠IBK = ∠IBJ [∵ BI ∠B का समद्विभाजक है]
(रचना से)
BI = BI (उभयनिष्ठ)
∴ ΔBIK ≅ ΔBIJ
(AAS सर्वांगसमता नियम)
∴ IK = IJ
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग) ….(i)
इसी प्रकार, ΔCIK ≅ ΔCIL
इसलिए, IK = IL
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)….(ii)
(i) और (ii), से हमें प्राप्त होता है
IJ = IK = IL;
अतः, ΔABC के किन्हीं दो कोणों को समद्विभाजकों का प्रतिच्छे बिंदु I इसकी भुजाओं से समदूरस्थ है।

प्रश्न 3.
एक बड़े पार्क में लोग तीन बिंदुओं (स्थानों) पर केंद्रित हैं (देखिए आकृति)।
A : जहाँ बच्चों के लिए फिसल पट्टी और झूले
B: जिसके पास मानव-निर्मित एक झील है।
C: जो एक बड़े पार्किंग स्थल और बाहर निकलने के रास्ते के निकट है। एक आइसक्रीम का स्टाल कहाँ लगाना चाहिए ताकि वहाँ लोगों की अधिकतम संख्या पहुंच सके ?

हल :
स्टाल A, B और C से समदूरस्थ होना चाहिए। इसके लिए हम बिंदुओं B और C को मिलाने वाली रेखा का लंब समद्विभाजक l और बिंदुओं A और C को मिलाने वाली रेखा का लंब समद्विभाजक m खींचते हैं।

मान लीजिए l और m परस्पर बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं।
अब बिंदु O बिंदुओं A, B और C से समदूरस्थ हैं। OA, OB और OC को मिलाइए।
उपपत्ति : ΔBOP और ΔCOP में,
OP = OP (उभयनिष्ठ)
∠OPB = ∠OPC (प्रत्येक = 90°) (रचना से)
BP = PC
[∵ P, BC का मध्य-बिंदु है]
∴ ΔBOP ≅ ΔCOP
[SAS सर्वांगसमता नियम]
इसलिए, OB = OC
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)…(i)
इसी तरह, ΔAOQ ≅ ΔCOQ
⇒ OA = OC
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग) ..(ii)
(i) और (ii) से हमें प्राप्त होता है
OA = OB = OC
हम देखते हैं कि इन बिंदुओं को मिलाने से प्राप्त तीन भुजाओं में से किन्हीं दो भुजाओं के लंब समद्विभाजकों का प्रतिच्छेद बिंदु O ही वह बिंदु है जहाँ पर आइसक्रीम स्टाल लगाना चाहिए।

प्रश्न 4.
षड्भुजीय और तारे के आकार की रंगोलियों (देखिए आकृति (i) और (ii)] को 1 cm भुजा वाले समबाहु त्रिभुजों से भर कर पूरा कीजिए। प्रत्येक स्थिति में, त्रिभुजों की संख्या गिनिए। किसमें अधिक त्रिभुज हैं?
हल :
षड्भुजीय रंगोली में : प्रत्येक 5 cm भुजा वाली समबाहु त्रिभुजों की संख्या

षड्भुजीय रंगोली का क्षेत्रफल = 6 × एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल
= 6 × \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) × 25
= 150 × \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) cm² …(i)
1 cm भुजा वाली समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल
= \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) (1)²
= \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) cm² ………. (ii)
षड्भुजीय रंगोली में 1 cm भुजा वाले समबाहु त्रिभुजों की संख्या = 150\(\frac{\sqrt{3}}{4}\) ÷ \(\frac{\sqrt{3}}{4}\)
= 150 \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) × \(\frac{4}{\sqrt{3}}\)
= 150 ….(iii)
अब तारे के आकार की रंगोली में
प्रत्येक 5 cm भुजा वाली समबाहु त्रिभुजों की संख्या = 12
इसलिए तारे के आकार वाली रंगोली का कुल क्षेत्रफल = 12 × 5 cm भुजा वाली एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल

तारे के आकार वाली रंगोली में 1 cm भुजा वाली त्रिभुजों की संख्या
= 300 \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) ÷ \(\frac{\sqrt{3}}{4}\)
[ (iv) को (ii) से भाग देने पर]
= 300 \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) × \(\frac{4}{\sqrt{3}}\)
= 300 …….(v)
(iii) और (v) से हम देखते हैं कि तारे के आकार वाली रंगोली में 1 cm भुजा वाली समबाहु त्रिभुजों की संख्या अधिक है।