Class 9

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 7 त्रिभुज Ex 7.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 7 त्रिभुज Ex 7.2

प्रश्न 1.
एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC में जिसमें AB = AC है, ∠B और ∠C के समद्विभाजक परस्पर बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। A और O को जोड़िए। दर्शाइए कि :
(i) OB = OC
(ii) AO कोण A को समद्विभाजित करता है।
हल :
ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB = AC
∴ ∠C = ∠B (त्रिभुज में समान भुजाओं के सम्मुख कोण समान होते हैं।)

⇒ ∠OCA + ∠OCB = ∠OBA + ∠OBC
⇒ ∠OCB + ∠OCB = ∠OBC + ∠OBC
∵ OB, ∠B को समद्विभाजित करता है।
∴ ∠OBA = ∠OBC
और OC, ∠C को समद्विभाजित करता है।
∴ ∠OCA = ∠OCB
⇒ 2∠OCB = 2∠OBC
⇒ ∠OCB = ∠OBC
अब, ΔOBC में,
∠OCB = ∠OBC(ऊपर सिद्ध किया है)
∴ OB = OC
(समान कोणों की सम्मुख भुजाएँ)

(ii) अब ΔAOB और ΔAOC में,
AB = AC. (दिया है)
∠OBA = ∠OCA
∵ ∠B = ∠C
BO, ∠B और CO, ∠C को समद्विभाजित करता है
∴ \(\frac {1}{2}\)∠B = \(\frac {1}{2}\)∠C
⇒ ∠OBA = ∠OCA
OB = OC [(i) में सिद्ध किया है]
∴ ΔAOB = ΔAOC
(SAS सर्वांगसमता नियम से)
⇒ ∠OAB = ∠OAC
(सर्वामसम त्रिभुजों के संगत भाग)
अतः, AO; ∠A को समद्विभाजित करता है।

प्रश्न 2.
ΔABC में AD भुजा BC का लंब समद्विभाजक है (देखिए आकृति) दर्शाइए ΔABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें AB = AC है।

हल:
ΔABD और ΔACD में,
BD = CD [∵ AD, BC को समद्विभाजित करते हैं
(दिया है)] ∠ADB = ∠ADC = प्रत्येक 90°
[∵ AD ⊥ BC (दिया है)]
AD = AD (उभयनिष्ठ)
∴ ΔABD ≅ ΔACD
(SAS सर्वांगसम नियम से)
⇒ AB = AC
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
इसलिए, ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

प्रश्न 3.
ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें बराबर भुजाओं AC और AB पर क्रमशः शीर्षलंब BE और CF खींचे गए हैं। (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि ये शीर्षलंब बराबर हैं।

हल :
ΔABE और ΔACF में,
∠A = ∠A (उभयनिष्ठ)
∠AEB = ∠AFC
(प्रत्येक = 90°) [दिया है]
AB = AC (दिया है)
∴ ΔABE ≅ ΔACF
(AAS सर्वांगसमता नियम से)
इसलिए BE = CF
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
दूसरे शब्दों में समान भुजाओं पर खींचे गए शीर्षलंब समान होते हैं।

प्रश्न 4.
ABC एक त्रिभुज है जिसमें AC और AB पर खींचे गए शीर्ष लंब BE और CF बराबर हैं ( देखिए आकृति)। दर्शाइए कि
(i) ΔABE ≅ ΔACF
(ii) AB = AC, अर्थात् ΔABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

हल :
ΔABE और ΔACF में,
∠A = ∠A (उभयनिष्ठ)
∠AEB = ∠AEC (प्रत्येक = 90°) [∵ BE ⊥ AC और CF ⊥ AB (दिया है)]
BE = CF (दिया है)
(i) ∴ ΔABE ≅ ΔACF
[AAS सर्वांगसमता नियम से]

(ii) इसलिए, AB = AC
सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग]
अर्थात्, ΔABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

प्रश्न 5.
ARC और DBC समान आधार BC पर स्थित दो समद्विबाहु त्रिभुज हैं (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि ∠ABD = ∠ACD है।

हल :
समद्विबाहु ΔABC में,
AB = AC (दिया है)
∴ ∠ACB = ∠ABC ………… (i)
(समान भुजाओं के सम्मुख कोण)
साथ ही, समद्विबाहु ΔBCD में,
BD = DC
∴ ∠BCD = ∠CBD ………… (ii)
(समान भुजाओं के सम्मुख कोण)
(i) और (ii) के संगत पक्षों को जोड़ने पर
∠ACB + ∠BCD = ∠ABC + ∠CBD
⇒ ∠ACD = ∠ABD
या ∠ABD = ∠ACD (इति सिद्धम)

प्रश्न 6.
ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें AB = AC है। भुजा BA बिंदु D तक इस प्रकार बढ़ाई गई है कि AD = AB है ( देखिए आकृति)। दर्शाइए कि ∠BCD एक समकोण है।
हल :

समद्विबाहु त्रिभुज ABC में,
AB = AC
∴ ∠ACB = ∠ABC …. (i)
(समान भुजाओं के सम्मुख कोण)
अब
AD = AB (रचना से)
AB = AC (दिया है)
∴ AD = AB = AC
⇒ AD = AC
अब ΔADC में,
AD = AC
⇒ ∠ADC = ∠ACD …………..(ii)
[ΔADC में समान भुजाओं के सम्मुख कोण] आकृति से हमें प्राप्त होता है :
∠BAC + ∠CAD = 180° … (iii)
(रैखिक युग्म)
जैसा कि हम जानते हैं कि त्रिभुज का बहिष्कोण अंतः सम्मुख कोणों के योगफल के बराबर होता है।
∴ ΔABC
∠CAD = ∠ABC + ∠ACB
= ∠ACB + ∠ACB
[(i) के प्रयोग से]
⇒ ∠CAD = 2∠ACB … (iv)
इसी प्रकार, ΔADC के लिए
∠BAC =∠ACD + ∠ADC [जैसा कि हम जानते हैं कि त्रिभुज का बहिष्कोण अंतः सम्मुख कोणों के योगफल के बराबर होता है।]
= ∠ACD + ∠ACD
[(ii) के प्रयोग से]
⇒ ∠BAC = 2 ∠ACD … (v)
(iii), (iv) और (v), से हमें प्राप्त होता है।
2∠ACB + 2∠ACD = 180°
या, 2(∠ACB + ∠ACD) = 180°
या, ∠ACB + ∠ACD = \(\frac {180°}{2}\)
⇒ ∠BCD =90°
अतः ∠BCD एक समकोण है।

प्रश्न 7.
ABC एक समकोण त्रिभुज है, जिसमें ∠A = 90° और AB = AC है। ∠B और ∠C ज्ञात कीजिए।

हल:
ABC एक समकोण त्रिभुज है, जिसमें
∠A = 90°
और AB = AC
ΔABC में,
AB = AC
∠C = ∠B ………..(i)
(समान भुजाओं के सम्मुख कोण)
अब, ΔABC में,
∠A + ∠B + ∠C = 180°
(कोण योगफल गुण)
⇒ 90° + ∠B + ∠B = 180° [∵ ∠A = 90° (दिया है) और ∠B = ∠C (i) से]
⇒ 2∠B = 180° – 90°
⇒ 2∠B = 90°
⇒ ∠B = \(\frac {90°}{2}\)
⇒ ∠B = 45°
साथ ही, ∠C = ∠B
⇒ ∠C= 45°

प्रश्न 8.
दर्शाइए कि किसी समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण 60° होता है।
हल :
माल लीजिए ABC एक समबाहु त्रिभुज है
∴ AB = BC = AC
AB = BC

⇒ ∠C = ∠A …………(i)
(समान भुजाओं के सम्मुख कोण)
इसलिए,
AB = AC
⇒ ∠C = ∠B …… (ii)
(समान भुजाओं के सम्मुख कोण)
(i) और (ii) से हमें प्राप्त होता है
∠A = ∠B = ∠C …… (iii)
अब ΔABC में;
∠A + ∠B + ∠C = 180° ……. (iv)
[कोण योगफल गुण]
⇒ ∠A + ∠A + ∠A = 180°
⇒ 3∠A = 180
⇒ ∠A = \(\frac {180°}{3}\)
⇒ ∠A = 60°
(iii) से ; ∠A = ∠B = ∠C
⇒ ∠A = ∠B = ∠C = 60°
अतः, समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण 60° होता है।

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.2

जब तक अन्यथा न कहा जाए, π = \(\frac{22}{7}\) लीजिए।

प्रश्न 1.
ऊँचाई 14 cm वाले एक लंब वृत्तीय बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 88 cm² है। बेलन के आधार का व्यास ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए लंब वृत्तीय बेलन के आधार की त्रिज्या = r cm
बेलन की ऊँचाई = h = 14 cm
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 88 cm²
⇒ 2πrh = 88
⇒ 2× \(\frac{22}{7}\) × r × 14 = 88

⇒ r = 88 × \(\frac{7}{22}\) × \(\frac{1}{14}\) × \(\frac{1}{2}\)
⇒ r = 1 cm
बेलन के आधार का व्यास = 2r
= 2 × 1
= 2 cm

प्रश्न 2.
धातु की चादर से 1 m ऊँची और 140 cm व्यास के आधार वाली एक बंद बेलनाकार टंकी बनाई जानी है। इस कार्य के लिए कितने वर्ग मीटर चादर की आवश्यकता होगी ?

हल :
मान लीजिए बेलनाकार टंकी के आधार की त्रिज्या = r cm
∴ व्यास = 2r = 140 cm
⇒ r = \(\frac{140}{2}\) cm
⇒ r = 70 cm
⇒ r = \(\frac{70}{100}\)
⇒ r = 0.7 m
बेलन की ऊँचाई = h = 1m
बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr (r + h)
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × 0.7(0.7+1)
= 2 × 22 × 0.1 × 1.7
= 7.48 m²
अतः, बंद बेलनकारार टंकी बनाने के लिए 7.48 m² चादर की आवश्यकता है।

प्रश्न 3.
धातु का एक पाइप 77 cm लंबा है। इसके एक अनुप्रस्थकाट का आंतरिक व्यास 4 cm है और बाहरी व्यास 4.4 cm है ( देखिए आकृति)।
(i) आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
(ii) बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
(iii) कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल

हल :

पाइप की लंबाई = 77 cm
(i) अनुप्रस्थ काट का आंतरिक व्यास = 4 cm
∴ अनुप्रस्थ काट की आंतरिक त्रिज्या r = \(\frac{4}{2}\)
= 2 cm
क्योंकि पाइप बेलनाकार है,
∴ आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh
[∵ पइप की लंबाई = ऊँचाई]
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × 2 × 77
= 2 × 22 × 2 × 11
= 968 cm²

(ii) पाइप की लंबाई = 77 cm
पाइप का बाहरी व्यास = 4.4 cm
पाइप की बाहरी त्रिज्या R = \(\frac{4.4}{2}\) = 2.2 cm
∴ बेलन का बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 2πrh
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × 2.2 × 77
= \(\frac{44}{7}\) × \(\frac{22}{10}\) × 77
= 44 × \(\frac{22}{10}\) × 11
= 1064.8 cm²

(iii) अब पाइप के दोनों अंत सिरों में प्रत्येक सिरे पर 2 cm और 2.2 cm त्रिज्याओं के वृत्त हैं,
∴ पाइप के दोनों सिरों का क्षेत्रफल = 2
(बाहरी वृत्त का क्षेत्रफल – आंतरिक वृत्त का क्षेत्रफल)
= 2 (πR² – πr²)
= 2π(R² – r²)
= 2 × 2 [(2.2)² – (2)²]
= \(\frac{44}{7}\) [4.84 – 4]
= \(\frac{44}{7}\) × 0.84
= 5.28 cm²
∴ पाइप का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = आंतरिक वक्र पृष्टीय क्षेत्रफल + बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + दो वृत्तीय सिरों का क्षेत्रफल
= 968 cm² + 1064.8 cm² + 5.28 cm²
= 2038.08 cm²

प्रश्न 4.
एक रोलर (roller) का व्यास 84 cm है और लंबाई 120 cm है। एक खेल के मैदान को एक बार समतल करने के लिए 500 चक्कर लगाने पड़ते हैं। खेल के मैदान का m² में क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
रोलर का व्यास = 84 cm

रोलर की त्रिज्या r = \(\frac{84}{2}\) = 42 cm
रोलर की लंबाई l = 120 cm
∵ रोलर बेलन के आकार का है
∴ रोलर का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 2π rh (l = h)
= 2 × \(\frac{22}{7}\)42 × 120
= 31680 cm²
\(\frac{31680}{100 \times 100} \mathrm{~m}^2\) = 3.1680 m²
अब रोलर द्वारा एक चक्कर में समतल किया गया क्षेत्रफल = 3.1680 m²
∴ रोलर द्वारा 500 चक्करों में समतल किया गया क्षेत्रफल = 500 × 3.1680
= 1584.0000
= 1584 m²
खेल के मैदान का क्षेत्रफल = रोलर द्वारा 500 चक्करों में समतल किया गया क्षेत्रफल
= 1584 m²

प्रश्न 5.
किसी बेलनाकार स्तंभ का व्यास 50 cm है और ऊँचाई 3.5 cm है। 12.50 रुपए प्रति m² की दर से इस स्तंभ के वक्र पृष्ठ पर पेंट कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।
हल :
स्तंभ का व्यास = 50 cm
∴ स्तंभ की त्रिज्या = \(\frac{50}{2}\) = 25 cm = \(\frac{25}{100}\)
= \(\frac{1}{4}\) m
स्तंभ की ऊँचाई = 3.5 m
स्तंभ का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × \(\frac{1}{4}\) × 3.5
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × \(\frac{1}{4}\) × \(\frac{35}{10}\) = \(\frac{11}{2}\) m²
1 m² पेंट कराने का व्यय = 12.50 रु

प्रश्न 6.
एक लंब वृत्तीय बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 4.4 m² है। यदि बेलन के आधार की त्रिज्या 0.7 m है, तो उसकी ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4.4 m²
बेलन की त्रिज्या r = 0.7 m
मान लीजिए बेलन की ऊँचाई = h
∴ 2πrh = 4.4
या, 2 × \(\frac{22}{7}\) × 0.7 × h = 4.4
या, 44 × 0.1 × h = 4.4
या, 44 × \(\frac{1}{210}\) × h = \(\frac{44}{10}\)
या, h = \(\frac{44}{10} \times \frac{10}{1} \times \frac{1}{44}\) = 1 m

प्रश्न 7.
किसी वृत्ताकार कुएँ का आंतरिक व्यास 3.5 m है और यह 10 m गहरा है। ज्ञात कीजिए:
(i) आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
(ii) 40 रुपए प्रति m² की दर से इसके वक्र पृष्ठ पर प्लास्टर कराने का व्यय।
हल :
वृत्ताकार कुएँ का आंतरिक व्यास = 3.5 m
वृत्ताकार कुएँ की त्रिज्या = \(\frac{3.5}{2}\) = 1.75 m
कुएँ की गहराई = 10 m
कुएँ का आकार बेलनाकार है।
भाग (i) के लिए, ∴ कुएँ की आंतरिक वक्र पृष्ठीय
= 2πrh [यहाँ गहराई = कुएँ की ऊँचाई]

= 2× \(\frac{22}{7}\) × 1.75 × 10 m²
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × \(\frac{175}{100}\) × 10 m²
= 110 m²
भाग (ii), के लिए 1m² पर प्लास्टर कराने का व्यय = 40 रु०
100 m² पर प्लस्टर कराने का व्यय
40 × 110 रु० = 4400 रु०

प्रश्न 8.
गरम पानी द्वारा गरम रखने वाले एक संयंत्र में 28 m लंबाई और 5 cm व्यास वाला एक बेलनाकार पाइप है। इस संयत्र में गर्मी देने वाला कुल कितना पृष्ठ है ?
हल :
मान लीजिए बेलनकार पाइप की लंबाई (अर्थात् ऊँचाई) = h
∴ h = 28 m
और बेलनाकार पाइप की त्रिज्या = r ,
∴ 2r = 5 cm
⇒ r = \(\frac{5}{2}\) cm
गर्मी देने वाला बेलनाकार
∴ पाइप का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × \(\frac{5}{2}\) × 2800
= 44000 cm²
= \(\frac{44000}{10000}\) m²
[∵ 1 cm = \(\frac{1}{100}\) m
∴ 1 cm² = \(\frac{1}{10000}\) m²]
= 4.4 m²

प्रश्न 9.
ज्ञात कीजिए :
(i) एक बेलनाकार पेट्रोल की बंद टंकी का पाव या वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल, जिसका व्यास 4.2 m है और ऊँचाई 4.5 m है।
(ii) इस टंकी को बनाने में कुल कितना इस्पात (steel) लगा होगा, यदि कुल इस्पात का \(\frac{1}{2}\) भाग बनाने में नष्ट हो गया है ?
हल :
(i) मान लीजिए बेलनाकार पेट्रोल की टंकी की त्रिज्या = r
∴ व्यास; 2r = 4.2 m
⇒ r = 2.1 m
टंकी की ऊँचाई, h = 4.5 m
पेट्रोल की टंकी का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × 2.1 × 1.45 m²
= 59.4 m²

(ii) मान लीजिए टंकी बनाने में प्रयुक्त हुआ इस्पात का वास्तविक क्षेत्रफल x m² है।
क्योंकि कुल इस्पात का \(\frac{1}{12}\) भाग बनाने में नष्ट हुआ, टंकी को बनाने में लगे इस्पात का क्षेत्रफल
= x – \(\frac{1}{12}\)x
= \(\frac{11}{12}\)x
\(\frac{11}{12}\)x = 59.4 m²
⇒ x = 59.4 × \(\frac{12}{11}\)
⇒ x = 64.8 m²
अतः, टंकी को बनाने में लगा स्टील 64.8 m² है।

प्रश्न 10.
आकृति में, आप एक लैंपशेड का फ्रेम देख रहे हैं। इसे एक सजावटी कपड़े से ढका जाना है। इस फ्रेम के आधार का व्यास 20 cm है और ऊँचाई 30 cm है। फ्रेम के ऊपर और नीचे मोड़ने के लिए दोनों ओर 2.5 cm अतिरिक्त कपड़ा भी छोड़ा जाना है। ज्ञात कीजिए कि लैंपशेड को ढकने के लिए कुल कितने कपड़े की आवश्यकता होगी।

हल :

फ्रेम की ऊँचाई, H = 30 सेमी
ऊपर और नीचे मोड़ने वाले प्रत्येक कपड़े की ऊँचाई
h = 2.5 सेमी
मान लीजिए प्रत्येक भाग की त्रिज्या = r
व्यास, 2r = 20 cm
⇒ r = \(\frac{20}{2}\) cm
लैंपशेड ढकने के लिए आवश्यक कंपड़ा = बेलन I के वक्र पृष्ठ का क्षे० + बेलन II के वक्र पृष्ठ का क्षे० + बेलन III के वक्र पृष्ठ का क्षे०
= 2πrh + 2πrH + 2πrh
= 2πr (h + H + h)
= 2πr (H + 2h)
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × 10 (30 + 2 × 2.5) सेमी²
= \(\frac{440}{7}\) × 35
= 440 × 5
= 2200 सेमी²

प्रश्न 11.
किसी विदयालय के विदयार्थियों से एक आधार वाले बेलनाकार कलमदानों को गत्ते से बनाने और सजाने की प्रतियोगिता में भाग लेने के लिए कहा गया। प्रत्येक कलमदान को 3 cm त्रिज्या और 10.5 cm ऊँचाई का होना था। विद्यालय को इसके लिए प्रतिभागियों को गत्ता देना था। यदि इसमें 35 प्रतिभागी थे, तो विद्यालय को कितना गत्ता खरीदना पड़ा होगा ?
हल :
मान लीजिए बेलनकार कलमदान की त्रिज्या = r
∴ r = 3 cm
और बेलनाकार कलमदान की ऊँचाई = h एक कलमदान के लिए वांछित गत्ता
∴ h = 10.5 cm
कलमदान का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + वृत्ताकार आधार का क्षेत्रफल
= 2πrh + πr²
= πr (2h + r)
= \(\frac{22}{7}\) × 3 (2 × 10.5 + 3)
= \(\frac{22}{7}\) × 3 (21 + 3)
= \(\frac{22}{7}\) × 3 × 24
= 226.28 cm²
अब, एक कलमदान बनाने के के लिए वांछित गत्ता = 226.28 cm²
∴ 35 कलमदान बनाने के लिए वांछित गत्ता
= (226.28 × 35) cm²
= 7919.8 cm²
= 7620 cm² (लगभग)

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.1

प्रश्न 1.
1.5 m लंबा, 1.25 m चौड़ा और 65 cm गहरा प्लास्टिक का एक डिब्बा बनाया जाना है। इसे ऊपर से खुला रखना है। प्लास्टिक शीट की मोटाई को नगण्य मानते हुए, निर्धारित कीजिए :
(i) डिब्बा बनाने के लिए आवश्यक प्लास्टिक शीट का क्षेत्रफल।
(ii) इस शीट का मूल्य, यदि 1 m² शीट का मूल्य 20 रुपए है।
हल :
(i) मान लीजिए प्लास्टिक शीट की लंबाई (l) = 1.5 m
चौड़ाई (b) = 1.25 m
और गहराई (h) = 65 m

= \(\frac{65}{100}\) m
= 0.65 cm
ऊपर से खुला बॉक्स बनाने के लिए वांछित शीट का क्षेत्रफल
= 2(bh + hl) + lb
= 2 \(\left(1.25 \times \frac{65}{100}+\frac{65}{100} \times 1.5\right)\) + 1.5 × 1.25
= 2 (0.8125 + 0.975) + 1.875
= 2 (1.7875) + 1.875
= 3.575 + 1.875
= 5.45 m²

(ii) 1 m² शीट का मूल्य = 20 रु.
5.45 m² शीट का मूल्य = (20 × 5.45) रु.
= 109 रु.

प्रश्न 2.
एक कमरे की लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः 5m, 4m और 3m हैं। 7.50 रुपए प्रति m² की दर से इस कमरे की दीवारों और छत पर सफेदी कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए कमरे की लंबाई (l) = 5 m
चौड़ाई (b) = 4 m
और ऊँचाई (h) = 3 m
कमरे की चार दीवारों का क्षेत्रफल = पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 2 (bh + hl)
= 2 (b + l) h
= 2 (4 + 5)3
= 2 × 9 × 3
= 54 m²
छत का क्षेत्रफल = l × b
= (5 × 4) m²
= 20 m²
अतः, दीवारों और छत का कुल क्षेत्रफल
= 54 m² + 20 m²
= 74 m²
1 m² सफेदी करवाने का व्यय = 7.50 रु
74 m² सफेदी करवाने का व्यय
= (7.50 × 74) रु
= 555 रु

प्रश्न 3.
किसी आयताकार हॉल के फर्श का परिमाप 250 m है। यदि 10 रुपए प्रति m² की दर से चारों दीवारों पर पेंट कराने की लागत 15000 रुपए है, तो इस हॉल की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए आयताकार हाल की लंबाई = l m
चौड़ाई = b m
∴ आयताकार हाल का परिमाप = 2 (l + b)
= 250 m …… (i)
अब कमरे की चार दीवारों का क्षेत्रफल

मान लीजिए मीटरों में आयताकार हाल की ऊँचाई = h
चार दीवारों का क्षेत्रफल (पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल) = 2 (l + b) h = 1500 m²
[(ii) का प्रयोग करने से]
⇒ 250 × h = 1500 [(ii) का प्रयोग करने से]
⇒ h = \(\frac{1500}{250}\)
⇒ h = 6 m
अतः, हाल की वांछित ऊँचाई 6 m है।

प्रश्न 4.
किसी डिब्बे में भरा हआ पेंट 9.375 m² के क्षेत्रफल पर पेंट करने के लिए पर्याप्त है। इस डिब्बे के पेंट से 22.5 cm × 10 cm × 7.5 cm विमाओं वाली कितनी ईंटें पेंट की जा सकती हैं ?
हल :
मान लीजिए ईंट की लंबाई = l = 22.5 cm
चौड़ाई = b = 10 cm
और ऊँचाई = h = 7.5 cm
ईंट का क्षेत्रफल = 2 (lb + bh + hl)
= 2 (22.5 × 10 + 10 × 7.5 + 7.5 × 22.5)
= 2 (225 + 75 + 468.75)
= 2 × 468.75
= 937.5 सेमी²
= 937.5 × \(\frac{1}{2}\)


अत:, डिब्बे में उपलब्ध पेंट से 100 ईंटें पेंट की जा सकती हैं।

प्रश्न 5.
एक घनाकार डिब्बे का किनारा 10 cm लंबाई का है तथा एक अन्य घनाभाकार डिब्बे की लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः 12.5 cm, 10 cm और 8 cm हैं।
(i) किस डिब्बे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल अधिक है और कितना अधिक है ?
(ii) किस डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल कम है और कितना कम है?
हल :
मान लीजिए घनाकार डिब्बे का किनारा = l
∴ l = 10 cm
(i) घनाकार डिब्बे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = इसकी चार दीवारों का क्षेत्रफल

= दीवार के क्षेत्रफल का 4 गुना
= 4l²
= 4 (10)²
= 4 (10 × 10)
= 4 × 100
= 400 cm² …. (a)
मान लीजिए घनाभाकार की लंबाई = l cm
∴ l = 12.5 cm
चौड़ाई; b = 10 cm
और ऊँचाई; h = 8 cm
घनाभाकार डिब्बे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = चार दीवारों का क्षेत्रफल

= 2(l + b) h
= 2 (12.5 + 10) 8
= 2 (22.5) 8
= 2 × 22.5 × 8
= 360 cm² ……. (b)
(a) और (b) हम देखते हैं कि घनाकार डिब्बे का पृष्ठीय क्षेत्रफल घनाभाकार डिब्बे से (400 – 360) cm² अर्थात् 40 cm² बड़ा है।
(ii) घनाकार डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6 l²
= 6 (10)²
= 6 × 10 × 10 = 600 cm² … (c)
घनाभाकार डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 2 (lb + bh + hl)
= 2 (10 × 12.5 + 12.5 × 8 × 10)
= 2 (125 + 100 + 80)
= 2 (305)
= 2 × 305
= 610 cm² … (d)
(c) और (d) से हम देखते हैं कि घनाकार डिब्बे का पृष्ठीय क्षेत्रफल घनाभकार डिब्बे से (610 – 600) cm² अर्थात् 10 cm² कम है।

प्रश्न 6.
एक छोटा पौधा घर (green house) सम्पूर्ण रूप से शीशे की पट्टियों से (आधार भी सम्मिलित है) घर के अंदर ही बनाया गया है और शीशे की पट्टियों को टेप द्वारा चिपका कर रोका गया है। यह पौधा घर 30 cm लंबा, 25 cm चौड़ा और 25 cm ऊँचा है।
(i) इसमें प्रयुक्त शीशे की पट्टियों का क्षेत्रफल क्या है ?
(ii) सभी 12 किनारों के लिए कितने टेप की आवश्यकता है ?
हल :
(i) मान लीजिए पौधा घर की लंबाई = l
∴ l = 30 cm
चौड़ाई ; b = 25 cm
और ऊँचाई ; h = 25 cm

शीशे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 2 (lb + bh + hl)
= 2 (30 × 25 + 25 × 25 + 25 × 30)
= 2 (750 + 625 + 750)
= 2 × 2125
= 4250 cm²
अत:, 4250 cm² शीशे की आवश्यकता है।

(ii) 12 किनारों पर टेप प्रयुक्त की गई है
अर्थात् 4 लंबाइयाँ, 4 चौड़ाइयाँ 4 ऊँचाइयाँ
टेप की कुल लंबाई = 4 (l + b + h)
= 4 (30 + 25 + 25) cm
= 4 (80) cm
= 320 cm
अतः, सभी 12 किनारों के लिए 320 cm टेप की आवश्यकता है।

प्रश्न 7.
शांति स्वीट स्टाल अपनी मिठाइयों को पैक करने के लिए गत्ते के डिब्बे बनाने का ऑर्डर दे रहा था। दो मापों के डिब्बों की आवश्यकता थी। बड़े डिब्बों की माप 25 cm × 20 cm × 5 cm और छोटे डिब्बे की माप 15 cm × 2 cm × 5 cm थीं। सभी प्रकार की अतिव्यापिकता (over laps) के लिए कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल के 5% के बराबर अतिरिक्त गत्ता लगेगा। यदि गत्ते की लागत 4 रुपए प्रति 1000 cm² है, तो प्रत्येक प्रकार के 250 डिब्बे बनवाने की कितनी लागत आएगी ?
हल :
मान लीजिए बड़े डिब्बे की लंबाई = L cm
∴ L = 25 cm
चौड़ाई B = 20 cm
और ऊँचाई H = 5 cm

बड़े डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 2(LB + BH + HL)
= 2 (25 × 20 + 20 × 5 + 5 × 25) cm²
= 2 (500 + 100 + 125) cm²
= 2 (725) cm²
= 1450 cm²
सभी प्रकार की अतिव्यापिकता के लिए कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल के 5% के बराबर वांछित गत्ते का क्षेत्रफल
∴ 1450 cm² का 5%
= \(\frac{5}{100}\) × 1450
= 72.5 cm²
अब अतिरिक्त अतिव्यापिकता के साथ एक बड़े डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल
= (1450 + 72.5) cm²
= 1522.5 cm²
ऐसे 250 डिब्बों का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (अतिरिक्त अतिव्यापिकता के साथ)
= (1522.5 × 250) cm²
= 380625 cm²
1000 cm² गत्ते की लागत = 4 रु
1 cm² गत्ते की लागत = \(\frac{4}{1000}\) रु
380625 cm² गत्ते की लागत = (\(\frac{4}{1000}\) × 380625) र
= 1522.50 रु
अब, मान लीजिए छोटे डिब्बे की लम्बाई = l cm
∴ l = 15 cm
चौड़ाई ; b = 12 cm
और ऊँचाई ; h = 5 cm

छोटे डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 2 (lb + bh + hl)
= 2 (15 × 12 + 12 × 5 + 5 × 15) cm²
= 2 (180 + 60 + 75) cm²
= 2 (315) cm²
= 630 cm²
सभी प्रकार की अतिव्यापिकता के लिए कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल के लिए अतिरिक्त 5% गत्ता
∴ 630 cm² का 5%
= \(\frac{5}{100}\) × 630
= 31.5 cm²
अब अतिरिक्त अतिव्यापिकता के साथ छोटे डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल
= (630 + 31.5) cm
= 661.5 cm²
ऐसे 250 छोटे डिब्बों का (अतिरिक्त कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल)
= (661.5 × 250) cm²
= 165375 cm
1000 cm² के लिए गत्ते की लागत = 4 रु
1 cm² के लिए गत्ते की लागत = (\(\frac{4}{1000}\)) रु
165375 cm² के लिए गत्ते की लागत
= (\(\frac{4}{1000}\) × 165375) र
= 661.5 रु
प्रत्येक प्रकार के 250 गत्ते के डिब्बों की कुल लागत
= बड़े डिब्बों की लागत + छोटे डिब्बों की लागत
= 1522.5 रु + 661.5 रु
= 2184 रु

प्रश्न 8.
परवीन अपनी कार खड़ी करने के लिए, एक संदूक के प्रकार के ढाँचे जैसा एक अस्थाई स्थान तिरपाल की सहायता से बनाना चाहती है, जो कार को चारों ओर से और ऊपर से ढक ले (सामने वाला फलक लटका हुआ होगा जिसे घुमाकर ऊपर किया जा सकता है)। यह मानते हुए कि सिलाई के समय लगा तिरपाल का अतिरिक्त कपड़ा नगण्य होगा, आधार विमाओं 4 मीटर × 3 मीटर और ऊँचाई 2.5 मीटर वाले इस ढांचे को बनाने के लिए कितने तिरपाल की आवश्यकता होगी ?
हल :
मान लीजिए आधार की लंबाई = l
∴ l = 4 m
और आधार की चौड़ाई = b
∴ b = 3 m
ढांचे की ऊँचाई = h
∴ h = 2.5 m
आवश्य तिरपाल = चार दीवारों का क्षेत्रफल + छत का क्षेत्रफल
= 2 (l + b) h + lb
= 2 (4 + 3) 2.5 + 4 × 3
= 2 × 3 × 2.5 + 12
= 35 + 12
= 47 m²
अतः, ढाँचे के लिए 47 m² तिरपाल की आवश्यकता है।

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 14 सांख्यिकी MCQ Questions with Answers.

PSEB 9th Class Maths Chapter 14 सांख्यिकी MCQ Questions

बहुविकल्पीय प्रश्न:

दिये गए चार विकल्पों में से सही उत्तर का चयन करें।

प्रश्न 1.
वर्ग 150 – 160 का वर्ग चिन्ह है :
(A) 145
(B) 310
(C) 10
(D) 155
उत्तर:
(D) 155

प्रश्न 2.
अंकों 10, 8, 9, 7, 8 का माध्य है :
(A) 8.4
(B) 7.4
(C) 4.8
(D) 8.2
उत्तर:
(A) 8.4

प्रश्न 3.
पहली 10 प्राकृत संख्याओं की औसत है :
(A) 6.5
(B) 5.5
(C) 7.5
(D) 8.5
उत्तर:
(B) 5.5

प्रश्न 4.
किसी कक्षा में 9 विद्यार्थियों की ऊँचाई (सेमी० में) दी गई है :
155, 160, 145, 149, 150, 147, 152, 144, 148.
इन आंकड़ों का माध्य है :
(A) 150
(B) 147
(C) 149
(D) 148
उत्तर:
(C) 149

प्रश्न 5.
किसी कक्षा के 20 विद्यार्थियों के अंक (10 में से) निम्नलिखित है :
9, 6, 5, 9, 3, 2, 7, 7, 6, 5, 4, 9, 10, 10, 3, 4, 7, 6, 9, 9.
बहुलक अंक क्या है :
(A) 7
(B) 9
(C) 3
(D) 10.
उत्तर:
(B) 9

प्रश्न 6.
किसी बारंबारता बंटन में पाँच सतत वर्गों में से प्रत्येक की चौड़ाई 5 है तथा सबसे छोटे वर्ग की निम्न सीमा 10 है। सबसे बड़े वर्ग की उपरि सीमा है-
(A) 15
(B) 25
(C) 35
(D) 40
उत्तर:
(C) 35

प्रश्न 7.
मान लीजिए कि एक सतत बारंबारता बंटन में एक वर्ग का मध्य-बिंदु m है और उपरि वर्ग सीमा 1 है। इस वर्ग की निम्न वर्ग सीमा है-
(A) 2m + l
(B) 2m – l
(C) m – l
(D) m – 2l.
उत्तर:
(B) 2m – l

प्रश्न 8.
एक बारंबारता बंटन के वर्ग चिन्ह 15, 20, 25, ………….. हैं। वर्ग चिन्ह 20 के संगत वर्ग हैं-
(A) 12.5 – 17.5
(B) 17.5 – 22.5
(C) 18.5 – 21.5
(D) 19.5 – 20.5.
उत्तर:
(B) 17.5 – 22.5

प्रश्न 9.
वर्ग अंतराल 10-20, 20-30, में संख्या 20 निम्नलिखित में सम्मिलित है-
(A) 10-20
(B) 20-30
(C) दोनों अंतरालों में
(D) इनमें से किसी में भी नहीं।
उत्तर:
(B) 20-30

प्रश्न 10.
निम्नलिखित आँकड़ों के लिए, एक अंतराल 250-270 (270 सम्मिलित नहीं) लेते हुए बराबर मापों के वर्ग अंतरालों वाली एक वर्गीकृत बारंबारता सारणी की रचना की जाती है-
268, 220, 368, 258, 242, 310, 272, 342, 310, 290, 300, 320, 319, 304, 402, 318, 406, 292, 354, 278, 210, 240, 330, 316, 406, 215, 258, 236.
वर्ग अंतराल 310-330 की बारंबारता है :
(A) 4
(B) 5
(C) 6
(D) 7
उत्तर:
(C) 6

प्रश्न 11.
निम्नलिखित आँकड़ों के लिए एक वर्ग 63-72 (72 सम्मिलित है) लेते हुए बराबर मापों के वर्ग वाली एक वर्गीकृत बारंबारता सारणी की रचना की जाती है-
30, 32, 45, 54, 74, 78, 108, 112, 66, 76, 88, 40, 14, 20, 15, 35, 44, 66, 75, 84, 95, 96, 102, 110, 88, 74, 112, 14, 34, 44.
(A) 9
(B) 10
(C) 11
(D) 12.
उत्तर:
(B) 10

प्रश्न 12.
बारंबारता बंटन

का एक आयतचित्र खींचने के लिए, वर्ग 25-45 की समायोजित बारंबारता है :
(A) 6
(B) 5
(C) 3
(D) 2
उत्तर:
(D) 2

प्रश्न 13.
पाँच संख्याओं का माध्य 30 है। यदि इनमें से एक संख्या को हटा दिया जाए, तो उनका माध्य 28 हो जाता है। हटाई गई संख्या है-
(A) 28
(B) 30
(C) 35
(D) 38.
उत्तर:
(D) 38.

प्रश्न 14.
यदि x, x + 3, x + 5, x + 7 प्रेक्षणों और x + 10 के माध्य 9 है, तो अंतिम तीन प्रेक्षणों का माध्य है-
(A) 10\(\frac{1}{3}\)
(B) 10\(\frac{2}{3}\)
(C) 11\(\frac{1}{3}\)
(D) 11\(\frac{2}{3}\)
उत्तर:
(C) 11\(\frac{1}{3}\)

प्रश्न 15.
यदि n प्रेक्षण x₁, x₂, ……. x_n के माध्य को \(\bar{x}\) से निरूपित किया जाता है, तो \({ }_{i=1}^n\left(x_1-\bar{x}\right)\) का मान है-
(A) -1
(B) 0
(C) 1
(D) n – 1.
उत्तर:
(B) 0

प्रश्न 16.
यदि आँकड़ों के प्रत्येक प्रेक्षण में 5 की वृद्धि की जाती है तो उनका माध्य
(A) वही रहता है
(B) प्रारंभिक माध्य का पांच गुना हो जाता है
(C) 5 कम हो जाता है
(D) 5 बढ़ जाता है।
उत्तर:
(D) 5 बढ़ जाता है।

प्रश्न 17.
यदि x₁, x₂, ….., x_n का माध्य \(\bar{x}\) है, y₁, y₂, ……. y_n का माध्य \(\bar{y}\) है तथा x₁, x₂, ….., x_n, y₁, y₂, ….. y_n का माध्य \(\bar{z}\) बराबर है-
(A) \(\bar{x}\) + \(\bar{x}\)
(B) \(\frac{\bar{x}+\bar{y}}{2}\)
(C) \(\frac{\bar{x}+\bar{y}}{n}\)
(D) \(\frac{\bar{x}+\bar{y}}{2 n}\)
उत्तर:
(B) \(\frac{\bar{x}+\bar{y}}{2}\)

प्रश्न 18.
यदि x₁, x₂, …… x_n का माध्य \(\bar{x}\) है, a ≠ 0, के लिए ax₁, ax₂, …… ax_n, \(\frac{x_1}{a}, \frac{x_2}{a}, \ldots \ldots, \frac{x_n}{a}\) का माध्य ज्ञात कीजिए।
(A) \(\left(a+\frac{1}{a}\right) \bar{x}\)
(B) \(\left(a+\frac{1}{a}\right) \frac{\bar{x}}{2}\)
(C) \(\left(a+\frac{1}{a}\right) \frac{\bar{x}}{n}\)
(D) \(\frac{\left(a+\frac{1}{a}\right) \bar{x}}{2 n}\)
उत्तर:
(B) \(\left(a+\frac{1}{a}\right) \frac{\bar{x}}{2}\)

प्रश्न 19.
यदि \(\bar{x}_1, \bar{x}_2, \bar{x}_3, \ldots, \bar{x}_n\) क्रमशः प्रेक्षणों की संख्या n₁, n₂, ….., n_n, वाले n समूहों के माध्य हैं, तो सभी समूहों को मिलाकर लेने पर उनका माध्य \(\bar{x}\) निम्नलिखित से प्राप्त होता है-
(A) \(\sum_{i=1}^n n_i \bar{x}_i\)
(B) \(\frac{\sum_{i=1}^n n_i \bar{x}_i}{n^2}\)
(C) \(\frac{\sum_{i=1}^n n_i \bar{x}_i}{\sum_{i=1}^n n_1}\)
(D) \(\frac{\sum_{i=1}^n n_i x_i}{2 n}\)
उत्तर:
(C) \(\frac{\sum_{i=1}^n n_i \bar{x}_i}{\sum_{i=1}^n n_1}\)

प्रश्न 20.
100 प्रेक्षणों का माध्य 50 है। यदि इनमें से एक प्रेक्षण 50 को 150 से प्रतिस्थापित कर दिया जाए तो परिणामी माध्य हो जाएगा-
(A) 50.5
(B) 51
(C) 51.5
(D) 52
उत्तर:
(B) 51

प्रश्न 21.
50 संख्याएँ दी हुई हैं। इनमें से प्रत्येक संख्या को 53 में से घटाया जाता है तथा इस प्रकार प्राप्त संख्याओं का माध्य -3.5 ज्ञात किया जाता है। दी हुई संख्याओं का माध्य है-
(A) 46.5
(B) 49.5
(C) 53.5
(D) 56.5.
उत्तर:
(D) 56.5.

प्रश्न 22.
25 प्रेक्षणों का माध्य 36 है। इन प्रेक्षणों में से यदि प्रथम 13 प्रेक्षणों का माध्य 32 है तथा अंतिम 13 का माध्य 40 है तो 13वाँ प्रेक्षण है-
(A) 23
(B) 36
(C) 38
(D) 40
उत्तर:
(B) 36

प्रश्न 23.
78, 56, 22, 34, 45, 54, 39, 68, 54, 84 आँकड़ों का माध्यक है-
(A) 45
(B) 49.5
(C) 54
(D) 56.
उत्तर:
(C) 54

प्रश्न 24.
एक सतत् बारंबारता बंटन का बारंबारता बहुभुज खींचने के लिए, हम उन बिंदुओं को आलेखित करते हैं जिनकी कोटियाँ क्रमश: वर्गों की बारंबारताएँ होती हैं तथा भुज क्रमशः होते हैं-
(A) वर्गों की उपरि सीमाएँ
(B) वर्गों की निम्न सीमाएँ
(C) वर्गों के वर्ग चिन्ह
(D) पिछले वर्गों की उपरि सीमाएँ।
उत्तर:
(C) वर्गों के वर्ग चिन्ह

प्रश्न 25.
4, 4, 5, 7, 6, 7, 7, 12, 3 संख्याओं का माध्यक है-
(A) 4
(B) 5
(C) 6
(D) 7
उत्तर:
(C) 6

प्रश्न 26.
15, 14, 19, 20, 14, 15, 16, 14, 15, 18, 14, 19, 15, 17, 15 आँकड़ों का बहुलक है-
(A) 14
(B) 15
(C) 16
(D) 17.
उत्तर:
(B) 15

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.4

प्रश्न 1.
एक टीम ने फुटबाल के 10 मैचों में निम्नलिखित गोल किए:
2, 3, 4, 5, 0, 1, 3,3,4,3
इन गोलों के माध्य, माध्यक और बहुलक ज्ञात कीजिए।
हल :
जैसा कि हमें ज्ञात है कि

माध्यक के लिए :
दिए गए आंकड़ों को आरोही क्रम में लिखने पर हमें प्राप्त होता है।
0, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5
यहां n = 10, एक सम संख्या है।
∴ माध्यक = \(\frac{n}{2}\) वे और \(\left(\frac{n}{2}+1\right)\) वें प्रेक्षणों का माध्य या 5वें और 6वें प्रेक्षण का माध्य
∴ माध्यक = \(\frac{3+3}{2}=\frac{6}{2}\) = 3

बहुलक के लिए :
दिए गए प्रेक्षणों के लिए बारंबारता सारणी बनाने पर हमें प्राप्त होता है :

गोल	0	1	2	3	4	5
बारंबारता	1	1	1	4	2	1

यहां पर प्रेक्षण अर्थात् गोलों की अधिकतम बारंबारता 4 है। इसलिए बहुलक = 3.

प्रश्न 2.
णित की परीक्षा में 15 विद्यार्थियों ने (100 में से) निम्नलिखित अंक प्राप्त किए :-
41, 39, 48, 52, 46, 62, 54, 40, 96, 52, 98, 40, 42, 52, 60
इन आँकड़ों के माध्य, माध्यक और बहुलक ज्ञात कीजिए।
हल :
जैसा कि हमें ज्ञात है कि

माध्यक के लिए:
दिए गए आँकड़ों को आरोही क्रम में लिखने पर हमें प्राप्त होता है :
39, 40, 40, 41, 42, 46, 48, 52, 52, 52, 54, 60, 62, 96, 98
यहां n = 15, एक विषय संख्या है।
∴ माध्यक = \(\left(\frac{n+1}{2}\right)\) वाँ प्रेक्षण
= \(\left(\frac{15+1}{2}\right)\) वाँ प्रेक्षण = 8वाँ प्रेक्षण।
= 52
अतः, माध्यक = 52

बहुलक के लिए
दिए गए प्रेक्षणों के लिए बारंबारता सारणी बनाने पर हमें प्राप्त होता है :

यहाँ अंक 52 की अधिकतम बारंबारता 3 है।
इसलिए, बहुलक = 52.

प्रश्न 3.
निम्नलिखित प्रेक्षणों को आरोही क्रम में व्यवस्थित किया गया है। यदि आँकड़ों का माध्यक 63 हो,तो x का मान ज्ञात कीजिए:
29, 32, 48, 50, x, x + 2, 72, 78, 84, 95
हल:
दिए गए आँकड़े आरोही क्रम में हैं और यहाँ n = 10 एक सम संख्या है।
∴ माध्यक = \(\left(\frac{n}{2}\right)\) वें और \(\left(\frac{n}{2}+1\right)\) वें प्रेक्षणों का माध्य अर्थात् 5वें और 6 प्रेक्षणों का माध्य
∴ माध्यक = \(\frac{x+(x+2)}{2}\)
⇒ 63 = x + 1
[∵ माध्यक = 63 दिया है]
⇒ x + 1 = 63
⇒ x = 62

प्रश्न 4.
आँकड़ों 14, 25, 14, 28, 18, 17, 18, 14, 23, 22, 14, 18 का बहुलक ज्ञात कीजिए।
हल :
हमें प्राप्त है :
(i) 14, 25, 14, 28, 18, 17, 18, 14, 23, 22, 14, 18
बारंबारता सारणी बनाने पर हम प्राप्त करते हैं :

यहां प्रेक्षण 14 की अधिकतम बारंबारता 4 है।
इसलिए बहुलक = 14

प्रश्न 5.
निम्न सारणी से एक फैक्टरी में काम कर रहे 60 कर्मचारियों का माध्य वेतन मान ज्ञात कीजिए।

वेतन (रुपयों में)	कर्मचारियों की संख्या
3000	16
4000	12
5000	10
6000	8
7000	6
8000	4
9000	3
10000	1
कुल योग	60

हल :

वेतमान (रु. में) xi	व्यक्तियों की संख्या fi	fixi
3000	16	48000
4000	12	48000
5000	10	50000
6000	8	48000
7000	6	42000
8000	4	32000
9000	3	27000
10000	1	10000
कुल योग	Σfi = N = 60	Σfixi = 305000

अतः, मध्य वेतन 5083.33 रु. है।

प्रश्न 6.
निम्न स्थिति पर आधारित एक उदाहरण दीजिए
(i) माध्य की केंद्रीय प्रवृत्ति का उपयुक्त माप है।
(ii) माध्य केंद्रीय प्रवृत्ति का उपयुक्त माप नहीं है, जबकि माध्यक एक उपयुक्त माप है।
हल :
(i) माध्य केंद्रीय प्रवृत्ति का उपयुक्त माप है क्योंकि इसके परिकलन में प्रत्येक पद लिया जाता है, यह हरेक मद द्वारा प्रभावित होता है। इसका उपयोग अधिकतर विभिन्न आँकड़ों के समूहों की तुलना करने के लिए किया जाता है।
उदाहरण के लिए 7 विद्यार्थियों द्वारा प्राप्त अंक है, 10, 15, 14, 18, 26, 24, 20, 14 और 27

परंतु 10, 14, 14, 15, 18, 20, 24, 26 और 27 का माध्य 18 है। और बहुलक 14 है।
उपरोक्त उदाहरण से हम इस निष्कर्ष पर पहुंचते हैं कि 18.67 9 विद्यार्थियों के प्रदर्शन को निरूपित करता है। पंरतु माध्यक और बहुलक नहीं।

(ii) (a) माध्य चरम मानों से प्रभावित होता है परंतु माध्यक चरम मानों से प्रभावित नहीं होते।
उदाहरण के लिए यदि 5 मान है :
4, 7, 12, 18, 19.
इस स्थिति में माध्य (\(\overline{\mathbf{X}}\)) 12 है और माध्यक भी 12 है।
यदि हम इसमें दो मान 450 और 1000 जोड़ दें तो नया माध्यम है :
= \(\frac{4+7+12+18+19+450+1000}{7}\)
= \(\frac{1510}{7}\)
= 215.7
यह पहले पाँच मानों के माध्य की तुलना एक महान् परिवर्तन है परंतु
4, 7, 12, 18, 19, 450, 1000
का नया माध्यक 18 है जिसमें पहले 5 की तुलना में अधिक परिवर्तन नहीं है।
अतः हम इस निष्कर्ष पर पहुंचते है कि माध्य चरम मानों से प्रभावित होता है।

(b) कई बार माध्य असंभव निष्कर्ष निकालता है उदाहरण के लिए यदि 3 कक्षाओं में यदि 60, 50 और 42 विद्यार्थी हो, तो विद्यार्थियों का माध्य \(\frac{60+50+42}{3}\) = 50.67, जोकि असंभव है क्योकि 3 विद्यार्थी भिन्नों में नहीं हो सकते।
परंतु 42, 50 और 60 का माध्यक 50 है।

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.3

प्रश्न 1.
एक संगठन ने पूरे विश्व में 15-44 (वर्षों में) की आयु वाली महिलाओं में बीमारी और मृत्यु के कारणों का पता लगाने के लिए किए गए सर्वेक्षण से निम्नलिखित आँकड़े (% में) प्राप्त किए :

क्र. सं.	कारण	महिला मृत्यु दर (%)
1.	जनन स्वास्थ्य अवस्था	31.8
2.	तंत्रिका मनोविकारी अवस्था	25.4
3.	क्षति	12.4
4.	हृदय वाहिका अवस्था	4.3
5.	श्वसन अवस्था	4.1
6.	अन्य कारण	22.0

(i) ऊपरी दी गई सूचनाओं को आलेखीय रूप में निरूपित कीजिए।
(ii) कौन-सी अवस्था पूरे विश्व की महिलाओं के खराब स्वास्थ्य और मृत्यु का बड़ा कारण है ?
(iii) अपने अध्यापिका की सहायता से ऐसे दो कारणों का पता लगाने का प्रयास कीजिए जिनकी ऊपर (i) में मुख्य भूमिका रही हो।
हल :
(i) हम दी गई सूचना को दंड आलेख में निरूपित करते हैं। दंड आरेख हम निम्नलिखित चरणों में बनाते हैं।
चरण 1. एक कागज पर हम दो लंबवत रेखाएँ OX और OY खींचते हैं।
चरण 2. OX पर हम ‘कारण’ और OY पर महिला मृत्यु दर (%) दिखाते हैं।
चरण 3. OX पर ‘कारण’ दर्शाने के लिए हम एक उपयुक्त चौड़ाई चुनते हैं।
चरण 4. OY पर ‘महिला मृत्यु दर (%)’ को निरूपित करने के लिए हम उपयुक्त पैमाना चुनते हैं।
यहाँ 1 बड़ा खंड 5% को निरूपित करता है। इसका दंड आलेख निम्न अनुसार है :
(ii) पूरे विश्व में 15-44 (वर्षों में) की आयु वाली महिलाओं की बीमारी और मृत्यु का मुख्य कारण जनन स्वास्थ्य अवस्था है।
(iii) ऊपर (ii) में ऐसे कारण अन्य कारण’ व ‘क्षति’ है।

प्रश्न 2.
भारतीय समाज के विभिन्न क्षेत्रों में प्रति हज़ार लड़कों पर लड़कियों की (निकटतम दस तक की) संख्या के आँकड़े नीचे दिए गए हैं :

क्षेत्र	प्रति हज़ार लड़कों पर लड़कियों की संख्या
अनुसूचित जाति	940
अनुसूचित जनजाति	970
गैर अनुसूचित जाति/जनजाति	920
पिछड़े जिले	950
गैर पिछड़े जिले	920
ग्रामीण	930
शहरी	910

(i) ऊपरी दी गई सूचनाओं को एक दंड आलेख द्वारा निरूपित कीजिए।
(ii) कक्षा में चर्चा करके, बताइए कि आप इस आलेख से कौन-कौन से निष्कर्ष निकाल सकते हैं।
हल :
(i) हम दी गई सूचना को दंड आलेख में निरूपित करते हैं। हम दंड आलेख निम्नलिखित चरणों में बनाते हैं :
चरण 1. एक कागज़ पर हम दो लंबवत रेखाएँ OX और OY खींचते हैं।
चरण 2. हम OX पर ‘क्षेत्र’ और OY पर ‘प्रति हज़ार लड़कियों की संख्या दिखाते हैं।
चरण 3. OX पर हम प्रत्येक दंड के लिए उपयुक्त चौड़ाई चुनते हैं।
चरण 4. हम OY पर उपयुक्त पैमाना चुनते हैं। यहाँ 1 बड़ा खंड = 100 लड़कियाँ लेते हैं।
चरण 5. हम विभिन्न ऊँचाईयों का परिकलन नीचे दिए अनुसार करते हैं :
(i) अनुसूचित जाति के लिए दंड की ऊँचाई = \(\frac{1}{100}\) × 940 = 9.4 बड़े खंड
(ii) अनुसूचित जनजाति के लिए दंड की ऊँचाई = \(\frac{1}{100}\) × 970 = 9.7 बड़े खंड
(iii) गैर अनुसूचित जाति/जनजाति के लिए दंड ऊँचाई = \(\frac{1}{100}\) × 920 = 9.2 बडे खंड
(iv) ‘पिछड़े जिले’ के लिए के लिए दंड की ऊँचाई = \(\frac{1}{100}\) × 950 = 9.5 बड़े खंड
(v) और पिछड़े जिले के लिए दंड की ऊँचाई = \(\frac{1}{100}\) × 920 = 9.2 बड़े खंड
(vi) ग्रामीण के लिए दंड की ऊँचाई = \(\frac{1}{100}\) × 930 = 9.3 बड़े खंड
(vii) शहरी के लिए दंड की ऊँचाई = \(\frac{1}{100}\) × 910 = 9.1 बड़े खंड

प्रश्न 3.
एक राज्य के विधान सभा के चुनाव में विभिन्न राजनैतिक पार्टियों द्वारा जीती गई सीटों के परिणाम नीचे दिए गए हैं :

राजनैतिक पार्टी	A	B	C	D	E	F
जीती गई सीटें	75	55	37	29	10	37

(i) मतदान के परिणामों को निरूपित करने वाला एक दंड आलेख खींचिए।
(ii) किस राजनैतिक पार्टी ने अधिकतम सीटें जीती हैं।
हल :
(i) हम दी गई सूचना को दंड आलेख में निरूपित करते हैं जो कि निम्न अनुसार खींचा जाता है।
विधानसभा के चुनावों में विभिन्न राजनीतिक पार्टियों द्वारा जीती गई सीटों के परिणाम।
चुना गया पैमाना : y-अक्ष : 1 बड़ा खंड
अर्थात् 1 cm = 10 सीटें

(ii) राजनैतिक पाटी A ने अधिकतम सीटें जीती।

प्रश्न 4.
एक पौधे की 40 पत्तियों की लंबाइयाँ एक मिलीमीटर तक शुद्ध मापी गई हैं और प्राप्त आँकड़ों को निम्नलिखित सारणी में निरूपित किया गया है :

लंबाई (मिलीमीटर में)	पत्तियों की संख्या
118-126	3
127-135	5
136-144	9
145-153	12
154-162	5
163-171	4
172-180	2

(i) दिए हुए आंकड़ों को निरूपित करने वाला एक आयतचित्र खींचिए।
(i) क्या इन्हीं आँकड़ों को निरूपित करने वाला कोई अन्य उपयुक्त आलेख है ?
(ii) क्या यह सही निष्कर्ष है कि 153 मिलीमीटर लंबाई वाली पत्तियों की संख्या सबसे अधिक है ? क्यों ?
हल:
(i) हम सबसे पहले बारंबारता बंटन को सतत (लगातार) बारंबारता बंटन में बदलेंगे।
आइए हम एक वर्ग की निम्न सीमा और उससे पहले वर्ग की उच्च सीमा का आधा ज्ञात करें अर्थात्
\(\frac{1}{2}\) (127 – 126) = \(\frac{1}{2}\) × 1 = 0.5
अब हम प्रत्येक वर्ग में बंटन को सतत बनाएंगे।
हम प्रत्येक निम्न सीमा में से 0.5 घटाएंगे और प्रत्येक उच्च सीमा में 0.5 जोड़ेंगे।
अतः, हम नीचे दिए अनुसार बंटन प्राप्त करते हैं :

लंबाई मिलीमीटर में	पत्तियों की संख्या
117.5-126.5	3
126.5-135.5	5
135.5-144.5	9
144.5-153.5	12
153.5-162.5	5
162.5-171.5	4
171.5-180.5	2

हम दिए हुए आँकड़ों को आयतचित्र के रूप में निम्न अनुसार निरूपित करते हैं :

40 पत्तों की लंबाईयों का एक मिलीमीटर तक शुद्ध माप

चुना गया पैमाना : Y-अक्ष पर एक बड़ा खंड अर्थात् 1 cm = 1 पत्ता।
X-अक्ष पर एक खंड = 9
(ii) हाँ, इन्हीं आँकड़ों को निरूपित करने की एक अन्य उपयुक्त विधि बारंबारता बहुभुज है।
बारबारता बहुभुज : नीचे दिए अनुसार हैं
सबसे पहले हम वर्ग चिह्नों और संगत पत्तों की संख्या के संगत एक सारणी बनाते हैं।

लंबाई मिलीमीटर में	वर्ग चिह्न	पत्तियों की संख्या
117.5-126.5	122	3
126.5-135.5	131	5
135.5-144.5	140	9
144.5-153.5	149	12
153.5-162.5	158	5
162.5-171.5	167	4
171.5-180.5	176	2

हम x-अक्ष पर वर्ग चिह्नों और y-अक्ष पर पत्तियों की संख्या लेते हैं।
हम क्रमित युग्मों (122, 3), (131, 5) ………. (176, 2)
को बिंदुओं द्वारा आलेखित करते हैं।
इन बिंदुओं को मिलाने पर बारंबारता बहुभुज प्राप्त होता है।

(iii) हाँ, यह सही निष्कर्ष है। क्योंकि वर्ग अंतराल 145 – 153 (144.5 – 153.5) में पत्तियों की संख्या 12 है। जो सबसे अधिक है।

प्रश्न 5.
नीचे की सारणी में 400 नियॉन लैंपों के जीवन काल दिए गए हैं :

जीवन काल (घंटों में)	लैंपों की संख्या
300-400	14
400-500	56
500-600	60
600-700	86
700-800	74
800-900	62
900-1000	48

(i) एक आयतचित्र की सहायता से दी हुई सूचनाओं को निरूपित कीजिए।
(ii) कितने लैंपों के जीवन काल 700 घंटों से अधिक हैं ?
हल :
(i) हम दी गई सूचना को निम्न अनुसार आयतचित्र में निरूपित करते हैं।

(ii) 700 घंटों से अधिक जीवन काल वाले लैंपों की संख्या = 74 + 62 + 48
= 184

प्रश्न 6.
नीचे की दो सारणियों में प्राप्त किए गए अंकों के अनुसार दो सेक्शनों के विद्यार्थियों का बंटन दिया गया है :

सेक्शन A		सेक्शन B
अंक	बारंबारता	अंक	बारंबारता
0-10	3	0-10	5
10-20	9	10-20	19
20-30	17	20-30	15
30-40	12	30-40	10
40-50	9	40-50	1

दो बारंबारता बहुभुजों की सहायता से एक ही आलेख पर दोनों सेक्शनों के विद्यार्थियों के प्राप्तांक निरूपित कीजिए। दोनों बहुभुजों का अध्ययन करके दोनों सेक्शनों के निष्पादनों की तुलना कीजिए।
हल :
हम दी गई सूचना को बारंबारता बहुभुज के रूप में निरूपित करते हैं।
इसलिए हम वर्ग-चिह्न और संगत सेक्शन A और B की बारंबारताओं की सारणी बनाते हैं।

अंक	वर्ग-चिह्न	सेक्शन बारंबारता A	सेक्शन बारंबारता B
0-10	5	3	5
10-20	15	9	19
20-30	25	17	15
30-40	35	12	10
40-50	45	9	1

हम x-अक्ष पर वर्ग-चिह्न और y-अक्ष पर विद्यार्थियों की संख्या दर्शाते हैं।
सेक्शन A को बारंबारता बहुभुज के लिए हम क्रमित युग्मों (5, 3), (15, 9), (25, 17), (35, 12) और (45, 9) को बिंदुओं द्वारा आलेखित करते हैं।
बिंदुओं को रेखाखंडों द्वारा मिलाने पर हमें सेक्शन A का बारबारता बहुभुज प्राप्त होता हैं। हम क्रमित युग्म (5, 5), (15, 19), (25, 15), (35, 10) और (45, 1) को आलेखित करते हैं।
इनको रेखाखंडों से जोड़ने पर हमें सेक्शन B का बारंबारता बहुभुज प्राप्त होता है।

प्रश्न 7.
एक क्रिकेट मैच में दो टीमों A और B . द्वारा प्रथम 60 गेंदों में बनाए गए रन आगे दिए गए हैं:

गेंदों की संख्या	टीम A	टीम B
1-6	2	5
7-12	1	6
13-18	8	2
19-24	9	10
25-30	4	5
31-36	5	6
37-42	6	3
43-48	10	4
49-54	6	8
55-60	2	10

बारंबारता बहुभुजों की सहायता से एक ही आलेख पर दोनों टीमों के आंकड़े निरूपित कीजिए।
हल :
हम दी गई सूचना को बारंबारता बहुभुज के रूप में निरूपित करते हैं। इसलिए हम वर्ग-चिह्न और संगत टीमें A और B के रनों की सारणी बनाते हैं।

गेंदों की की संख्या	वर्ग-चिह्न	टीम A द्वारा बनाए रन	टीम B द्वारा बनाए रन
0-6	3	2	5
6-12	9	1	6
12-18	15	8	2
18-24	21	9	10
24-30	27	4	5
30-36	33	5	6
36-42	39	6	3
42-48	45	10	4
48-54	51	6	8
54-60	57	2	10

हम x-अक्ष पर वर्ग-चिह्न और y-अक्ष पर रनों की संख्या आलेखित करते हैं।
हम क्रमित युग्मों (3, 2), (9, 1)………(57, 2) को आलेखित करते हैं।
इनको रेखाखंडों में मिलाने पर हम टीम A के लिए बारंबारता बहुभुज प्राप्त करते हैं।

हम क्रमित युग्मों (3, 5), (9, 6) …….. (57, 10) को आलेखित करते हैं, उनको रेखाखंडों द्वारा मिलाने पर टीम B के लिए बारंबारता बहुभुज प्राप्त होता है।

प्रश्न 8.
एक पार्क में खेल रहे विभिन्न आयु वर्गों के बच्चे की संख्या का एक यादृच्छिक सर्वेक्षण (random survey) करने पर निम्नलिखित आँकड़े प्राप्त हुए :

आयु (वर्षों में)	बच्चों की संख्या
1-2	5
2-3	3
3-5	6
5-7	12
7-10	9
10-15	10
15-17	4

ऊपर दिए गए आंकड़ों को निरूपित करने वाला एक आयतचित्र खींचिए।
हल :
यहाँ वर्ग आकार बराबर आकार की नहीं है। हम न्यूनतम वर्ग आकार का वर्ग चुनते हैं। यहाँ न्यूनतम वर्ग आकार 1 है।
इस वर्ग आकार के अनुसार समायोजित बारंबारता (आयतों की ऊँचाइयों) की निम्न सारणी प्राप्त होती है।

आयु (वर्षों में)	बारंबारता	चौड़ाई	आयत की लंबाई
1-2	5	1	\(\frac{5}{1}\) × 1 = 5
2-3	3	1	\(\frac{3}{1}\) × 1 = 3
3-5	6	2	\(\frac{6}{2}\) × 1 = 3
5-7	12	2	\(\frac{12}{2}\) × 1 = 6
7-10	9	3	\(\frac{9}{3}\) × 1 = 3
10-15	10	5	\(\frac{10}{5}\) × 1 = 2
15-17	4	2	\(\frac{4}{2}\) × 1 = 2

अब हम इन लंबाइयों का प्रयोग करके आयतचित्र बनाते हैं।

प्रश्न 9.
एक स्थानीय टेलीफोन निर्देशिका से 100 कुलनाम (surname) यदृच्छया लिए गए और उनसे अंग्रेजी वर्णमाला के अक्षरों की संख्या का निम्न बारंबारता बंटन प्राप्त किया गया :

वर्णमाला के अक्षरों की संख्या	कुलनामों की संख्या
1-4	6
4-6	30
6-8	44
8-12	16
12-20	4

(i) दी हुई सूचनाओं को निरूपित करने वाला एक आयतचित्र खींचिए।
(ii) वह वर्ग अंतराल बताइए जिसमें अधिकतम संख्या में कुलनाम हैं।
हल :
यहाँ वर्ग आकार बराबर नहीं है। हम न्यूनतम वर्ग आकार का वर्ग चुनते हैं। यहाँ न्यूनतम वर्ग आकार 2 है।
इस वर्ग आकार के अनुसार समायोजित बारंबारता (आयतों की ऊँचाईयाँ) की निम्न सारणी प्राप्त होती है।

वर्णमाला के अक्षरों की संख्या	बारंबारता	अंतराल की चौड़ाई	आयत की लंबाई
1-4	6	3	\(\frac{6}{3}\) × 2 = 4
4-6	30	2	\(\frac{30}{2}\) × 2 = 30
6-8	44	2	\(\frac{44}{2}\) × 2 = 44
8-12	16	4	\(\frac{16}{2}\) × 2 = 8
12-20	4	8	\(\frac{4}{2}\) × 2 = 1

अब हम इन लंबाइयों का प्रयोग करके आयतचित्र बनाते हैं।

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.2

प्रश्न 1.
आठवीं कक्षा के 30 विद्यार्थियों के रक्त समूह ये हैं :
A, B, O, AB, O, A, O, B, A, O, B, A, O, O,
A, AB, O, A, A, O, O, AB, B, A, O, B, A, B, O.
इन आँकड़ों को एक बारबारता बंटन सारणी के रूप में प्रस्तुत कीजिए। विद्यार्थियों में कौन-सा रक्त समूह अधिक सामान्य है और कौन-सा रक्त समूह विरलतम रक्त समूह है।
हल :
दिए गए आँकड़ों के लिए वर्गीकृत बारबारता बँटन सारणी इस प्रकार है :

सारंणी से हम देखते हैं कि अधिक सामान्य रक्त समूह O है तथा सबसे विरल रक्त समूह AB है।

प्रश्न 2.
40 इंजीनियरों की उनके आवास से कार्यस्थल की (किलोमीटर में) दूरियाँ ये हैं :

0-5 को (जिसमें 5 सम्मिलित नहीं है)। पहला अंतराल लेकर ऊपर दिए हुए आँकड़ों से वर्गमाप 5 वाली एक वर्गीकृत बांरबारता बंटन सारणी बनाइए। इस सारणीबद्ध निरूपण में आपको कौन-से मुख्य लक्षण देखने को मिलते हैं ?
हल :
दिए गए आँकड़ों के लिए वर्गीकृत बांरबारता बंटन निम्न अनुसार है :

सारणी से हम देखते हैं कि 40 इंजीनियरों में से 36 (5 + 11 + 11 + 9) इंजीनियर अर्थात् कुल इंजीनियरों का 90% अपने कार्यस्थल से 20 किलीमीटर से कम दूरी पर रहते हैं।

प्रश्न 3.
30 दिन वाले महीने में एक बार की सापेक्ष आर्द्रता (%में) यह रही है :

(i) वर्ग 84-86, 86-88 आदि लेकर एक वर्गीकृत बारबारता बंटन सारणी बनाइए।
(ii) क्या आप बता सकते हैं कि ये आँकड़े किस महीने या ऋतु से संबंधित हैं ?
(ii) इन आँकड़ों का परिसर क्या है ?
हल :
(i) दिए गए आँकड़ों के लिए वर्गीकृत बारबारता बंटन सारणी निम्न दिए अनुसार है :

(ii) आँकड़ों से हम देखते हैं कि सापेक्ष आर्द्रता अधिक है, अत: ऐसा प्रतीत होता है कि आँकड़े वर्षा के मौसम में लिए गए हैं।
(iii) आँकड़ों से हम देखते हैं कि उच्चतम सापेक्ष आद्रता = 99.2% निम्नतम सापेक्ष आर्द्रता = 84.9%
परिसर = (99.2 – 84.9) %
= 14.3%

प्रश्न 4.
निकटतम सैंटीमीटरों में मापी गई 50 विद्यार्थियों की लंबाइयाँ ये हैं :

(i) 160 – 165, 165 – 170 आदि वर्ग अंतराल लेकर ऊपर दिए गए आँकड़ों को एक वर्गीकृत बारंबारता बंटन सारणी के रूप में निरूपित कीजिए।
(ii) इस सारणी की सहायता से आप विद्यार्थियों की लंबाइयों के संबंध में क्या निष्कर्ष निकाल सकते हैं ?
हल :
(i) दिए गए आँकड़ों के लिए वर्गीकृत बारंबारता बंटन सारणी निम्न अनुपात है :

(ii) ऊपर की सारणी से एक निष्कर्ष हम यह निकाल सकते हैं कि 50% से अधिक विद्यार्थियों की लंबाई 165 cm से कम है।

प्रश्न 5.
एक नगर में वायु में सल्फर डाई-ऑक्साइड का सांद्रण भाग प्रति मिलियन [Parts per million (ppm)] में ज्ञात करने के लिए एक अध्ययन किया गया। 30 दिनों के प्राप्त किए गए ऑकड़े आगे दिए है :

(i) 0.00 – 0.04, 0.04 – 0.08 आदि का वर्ग अंतरालं लेकर इन आँकड़ों की एक वर्गीकृत बारंबारता सारणी बनाइए।
(ii) सल्फर डाई-आक्साइड की सांद्रता कितने दिन 0.11 भाग प्रति मिलियन से अधिक रही ?
हल :
(i) दिए गए आँकड़ों के लिए बारंबारता सारणी निम्न अनुसार है :

(ii) बारंबारता बंटन सारणी से हम देखते हैं कि 8 दिनों तक सल्फर डाइ-ऑक्साइड का सांद्रण 0.11 ppm से अधिक था।

प्रश्न 6.
तीन सिक्कों को एक साथ 30 बार उछाला गया। प्रत्येक बार चित (Head) आने की संख्या निम्न है :

ऊपर दिए गए आँकड़ों के लिए बारंबारता बंटन सारणी बनाइए।
हल :
दिए गए आंकड़ों के लिए बारंबारता बंटन सारणी निम्न अनुसार है :

प्रश्न 7.
50 दशमलव स्थान तक शुद्ध ग का मान नीचे दिया गया है :
3.14159265358979323846264338327950288419716939937510
(i) दशमलव बिंदु के बाद आने वाले 0 से 9 तक के अंकों का एक बारंबारता बंटन बनाइए।
(ii) सबसे अधिक बार और सबसे कम बार आने वाले अंक कौन-कौन से हैं ?
हल :
(i) 50 दशमलव स्थानों तक का मान निम्न है :
π = 3.1415926535 8979323846
2643383279 5028841971 6939937510
π के मान के दशमलव बिंदु के बाद आने वाले अंकों की बारंबारता बंटन सारणी निम्न अनुसार है :

(ii) अधिक बारंबारता 8 है।
अतः, 3 सबसे अधिक बार आने वाला अंक है। सबसे कम बारंबारता 2 है।
अतः, 0 सबसे कम बार आने वाला अंक है।

प्रश्न 8.
तीस बच्चों से यह पूछा गया कि पिछले सप्ताह उन्होंने कितने घंटों तक टी० वी० के प्रोग्राम देखे। प्राप्त परिणाम ये रहे हैं :

(i) वर्ग चौड़ाई 5 लेकर और एक वर्ग अंतराल को 5-10 लेकर इन आँकड़ों की एक वर्गीकृत बारंबारता बंटन सारणी बनाइए।
(ii) कितने बच्चों ने सप्ताह में 15 या अधिक घंटों तक टेलीविजन देखा ?
हल :
(i) दिए गए आँकड़ों के लिए बारंबारता सारी निम्न अनुसार है :

(ii) बारंबारता सारणी में हम देखते हैं कि वर्ग अंतराल 15-20 में बच्चों की संख्या 2 है।
अतः, 2 बच्चों ने सप्ताह में 15 या अधिक घंटों तक टेलीविज़न देखा।

प्रश्न 9.
एक कंपनी एक विशेष प्रकार की कार बैटरी बनाती है। इस प्रकार की 40 बैटरियों के जीवन-काल (वर्षों में) ये रहे हैं :

0.5 माप के वर्ग अंतराल लेकर तथा 2-2.5 से प्रारंभ करके इन आँकड़ों की एक वर्गीकृत बारंबारता बंटन सारणी बनाइए।
हल :
दिए गए आंकड़ों के लिए वर्गीकृत बारंबारता बंटन सारणी निम्न अनुसार है :

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.1

प्रश्न 1.
उन आँकड़ों के पाँच उदाहरण दो जिन्हें आप अपने दैनिक जीवन से एकत्रित कर सकते हो ?
उत्तर :
अपने दैनिक जीवन से एकत्रित किए जाने वाले आँकड़ों में से पाँच आँकड़े निम्नलिखित हैं :

• हमारी कक्षा में छात्रों की संख्या।
• हमारे विद्यालय में पंखों की संख्या।
• हमारे घर का पिछले दो वर्षों से बिजली का बिल।
• टेलीविज़न या समाचार-पत्रों से प्राप्त मतदान परिणाम।
• शैक्षिक सर्वे से प्राप्त साक्षरता दर के आँकड़े।
• आपकी कक्षा के 20 बच्चों की लंबाई।
• टेलीविजन से प्राप्त किसी विशेष सप्ताह में दिनों का अधिकतम तापमान।

इनके और भी विभिन्न उत्तर हो सकते हैं।

प्रश्न 2.
ऊपर दिए गिए प्रश्न 1 के आँकड़ों को प्राथमिक आँकड़ों या गौण आँकड़ों में वर्गीकृत करो।
हल :
प्राथमिक आँकड़े : (i), (ii), (iii), (vi)
गौण आँकड़े : (iv), (v), (vii)
प्राथमिक आँकड़े : यदि कोई अनुसंधानकर्ता किसी उद्देश्य या योजना को ध्यान में रखकर स्वयं आँकड़ों का संग्रह करता है, तो इन आँकड़ों को प्राथमिक आँकड़े (Primary data) कहते हैं।

गौण आँकड़े : यदि कोई अनुसंधानकर्ता किसी अन्य उद्देश्य के लिए संग्रह किए गए आँकड़ों को अपने अनुसंधान में प्रयोग कर ले तो उन आँकड़ों को गौण आँकड़े (Secondary Data) कहा जाता है। प्राथमिक आँकड़े बहुत अधिक विश्व सनीय और प्रासंगिक होते हैं क्योंकि इन आँकड़ों का संग्रह एक निश्चित योजना या विधि को मन में रखकर प्रेक्षक करता है।

आँकड़ों का प्रस्तुतिकरण (Presentation of Data) : जैसे ही आँकड़ों को एकत्रित करने का कार्य पूरा हो जाता है तो अन्वेषक उसे किसी अर्थपूर्ण और सुगम रूप प्रस्तुत करने की योजना बनाता है।
अपरिष्कृत /अवर्गीकृत आँकड़े : यदि इकट्ठे किए गए आँकड़ों को विधिपूर्वक किसी क्रम में न रखा गया हो तो इन आँकड़ों को अपरिष्कृत/अवर्गीकृत आँकड़े कहा जाता है।
सारणीबद्ध आँकड़े : यदि आँकड़ों को आरोही या अवरोही क्रम में रखा जाए तो उन्हें सारणीबद्ध आँकड़े कहा जाता है।

बारंबारता बंटन सारणी बनाना : बारंबारता बंटन सारणी दिए गए आँकड़ों में भिन्न-भिन्न मानों की बारंबारता दर्शाती है। बारंबारता बंटन सारणी (i) आँकड़ों का विश्लेषण तथा (ii) भिन्न-भिन्न सांख्यिकीय मापों का परिकलन करने के लिए बनाई जाती है।

अवर्गीकृत आँकड़े (खंडित श्रृंखला) :
इस प्रकार के आँकड़ों में विचर का मान भिन्नात्मक नहीं हो सकता। यह मान एक या दो हो सकता है परंतु 1\(\frac{1}{2}\) नहीं हो सकता जितनी बार कोई संख्या आँकड़ों में होती है उसकी गिनती संख्या के सामने लिख दी जाती है। इस गिनती को उसको बारंबारता कहते हैं।

वर्गीकृत आँकड़े (सतत श्रृंखला) [Grouped data (Continuous Series)] :
इन आँकड़ों में विचर आय, भार, लाभ, लंबाई आदि के मान हो सकते हैं, क्योंकि इनके मान भिन्नात्मक हो सकते हैं।

उदाहरण :

दैनिक आय (रु. में)	0 – 100	100 – 200	200 – 300	300 – 400	400 – 500
व्यक्तियों की संख्या	15	7	25	10	6

वर्ग :
प्रत्येक अंतराल जैसे 0-100, 100-200 आदि को वर्ग कहा जाता है।

वर्ग सीमाएँ :
प्रत्येक वर्ग की दो सीमाएँ होती हैं। किसी वर्ग के निम्न मान को निम्न सीमा तथा ऊपरी मान को ऊपरी सीमा कहा जाता है। अर्थात् वर्ग (0-100) में निम्न सीमा 0 तथा ऊपरी सीमा 100 है।
वर्ग-अंतराल या वर्ग आमाप किसी वर्ग की ऊपरी सीमा (U) और निम्न सीमा (L) के अंतर को वर्ग अंतराल कहा जाता है। अर्थात्
i = U – L
उदाहरण : वर्ग (0 – 100) में
i = 100 – 0 = 100

केंद्रीय मान या वर्ग चिहन किसी वर्ग की निम्न सीमा और ऊपरी सीमा के मध्यमानं को उस वर्ग का केंद्रीय मान या वर्ग चिह्न कहा जाता है।
वर्ग चिहन = \(\frac{\mathrm{U}+\mathrm{L}}{2}\)

उदाहरण :
वर्ग (100 – 200) में
वर्ग चिह्न = \(\frac{200+100}{2}\)
= \(\frac{300}{2}\)
= 150

वर्ग बारंबारता :
किसी विशेष वर्ग के आँकड़ों की संख्या, उस वर्ग की बारंबारता कहलाती है। बारंबारता को f से प्रकट किया जाता है। सभी वर्गों की बारंबारता के योग को Zf या N द्वारा दर्शाया जाता है।

वर्गीकृत आँकड़ों के प्रकार :
वर्गीकृत आँकड़े मुख्यतः निम्नलिखित प्रकार के होते

1. अनतिव्यापी वर्ग (Inclusive series)
2. सतत वर्ग (Exclusive series)
3. संचयी बारंबारता सारणी (Cumulative frequency distribution)
4. समान वर्ग अंतराल सारणी (Equal class interval series).

अनतिव्यापी वर्गों में पहले वर्ग की ऊपरी सीमा उससे अगले वर्ग की निम्न सीमा से कम होती है। इस सारणी में निम्न सीमा और ऊपरी सीमा वाले आँकड़ों की गिनती वर्ग अंतराल में की जाती है।

मजदूरी (रु. में)	10-19	20-29	30-39	40-49
मजदूरों की संख्या (बारंबारता)	5	10	12	13

उदाहरणतया दी गई सारणी में 19, 29, 39 और 49 जिस वर्ग में आते हैं ये उसी वर्ग में आँकड़ों के रूप में ही लिए जाएंगे। इस प्रकार की सारणी में 19 और 20, 29 और 30, 39 और 40 के बीच भिन्नात्मक मानों को नहीं गिना जा सकता।

सतत वर्ग अंतरालों में एक वर्ग की ऊपरी सीमा अगले वर्ग की निम्न सीमा होती है। इसलिए वर्ग की ऊपरी सीमा को उस वर्ग में नहीं गिना जाता और उसे अगले वर्ग में गिना जाता है जिसकी वह निम्न सीमा होती है।

मजदूरी (रु. में)	10-20	20-30	30-40	40-50
मजदूरी की संख्या (बारंबारता)	5	10	12	13

अब पहले वर्ग में ऊपरी सीमा 20 से कम मानी जाती है अर्थात् (19.999 …..00) और 20 को इस वर्ग मे नहीं लिया जाता किंतु इसे अगले वर्ग में लिया जाता है। इसी प्रकार हम दूसरे वर्गों के लिए करते हैं।

अनतिव्यापी वर्ग को सतत वर्ग में बदलना (Conversion of Inclusive Series into Exclusive Series) :
अनतिव्यापी वर्गों को सतत वर्गों में बदलने के लिए “वास्तविक सीमाएँ तय करने के कारक” का प्रयोग किया जाता है।
वास्तविक सीमा तय करने का कारक (d)

इस प्रकार प्राप्त कारक (d) को क्रमशः प्रत्येक वर्ग की निम्न सीमा में से घटा कर और ऊपरी सीमा में जोड़कर सतत वर्ग बनाए जा सकते हैं।
अनतिव्यापी सारणी

X	10-19	20-29	30-39	40-49
f	5	3	2	1

ऊपर दी गई सारणी में कारक d इस प्रकार है :
d = \(\frac{20-19}{2}\) = \(\frac{30-29}{2}\)
= \(\frac{40-39}{2}\)
= \(\frac{1}{2}\)
= 0.5

नई सतत सारणी निम्नलिखित है :

निम्न सीमा – d	ऊपरी सीमा + d	वर्ग सीमाएँ	f
10 – 0.5 = 9.5	19 + 0.5 = 19.5	9.5 – 19.5	5
20 – 0.5 = 19.5	29 + 0.5 = 29.5	19.5 – 29.5	3
30 – 0.5 = 29.5	39 + 0.5 = 39.5	29.5 – 39.5	2
40 – 0.5 = 39.5	49 + 0.5 = 49.5	39.5 – 49.5	1

समान और असमान वर्ग अंतराल श्रृंखला :
(i) समान वर्ग अंतराल श्रृंखला (Equal Class Interval Series) : जब किसी श्रृंखला में वर्गों के एक समान-अंतराल (चौड़ाई) हों, तो यह श्रृंखला समान अंतराल श्रृंखला कहलाती है।
(ii) असमान वर्ग अंतराल श्रृंखला (Unequal Class Interval Series)-जब किसी श्रृंखला में वर्गों की चौड़ाई एक जैसी न हो तो यह असमान वर्ग अंतराल श्रृंखला कहलाती है।

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 7 त्रिभुज Ex 7.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 7 त्रिभुज Ex 7.1

प्रश्न 1.
चतुर्भुज ABCD में AC = AD है और AB, कोण A को समद्विभाजित करता है ( देखिए आकृति) दर्शाइए कि ΔABC ≅ ΔABD है। BC और BD के बारे में आप क्या कह सकते है ?
हल:

दिया है : चतुर्भुज ABCD में, AC = AD और AB, ∠A को समद्विभाजित करता है
सिद्ध करना है : ΔABC ≅ ΔABD.
उपपत्ति : ΔABC और ΔABD में,
AC = AD (दिया है)
∠BAC = ∠BAD [∵ AB, CA को समद्विभाजित करता है । (दिया है)]
AB = AB (उभयनिष्ठ)
∴ ΔABC ≅ ΔABD
[SAS सर्वांगसमता नियम द्वारा]
अत: BC = BD
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)

प्रश्न 2.
ABCD एक चतुर्भुज है, जिसमें AD = BC और ∠DAB = ∠CBA है (देखिए आकृति)। सिद्ध कीजिए कि
(i) ΔABD ≅ ABAC
(ii) BD = AC
(iii) ∠ABD = ∠BAC
हल:

ΔABD और ΔABC में,
AD = BC (दिया है)
∠DAB = ∠CBA (दिया है)
AB = AB (उभयनिष्ठ)
∴ ΔABD = ΔBAC
(SAS सर्वांगसमता नियम द्वारा)
⇒ BD = AC
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
और ∠ABD = ∠BAC
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)

प्रश्न 3.
एक रेखाखंड AB पर AD और BC दो बराबर लम्ब रेखाखंड हैं ( देखिए आकृति)। दशाईए कि CD, रेखाखंड AB को समद्विभाजित करता है।
हल:

ABOC और AAOD में,
∠OBC = ∠OAD
[प्रत्येक 90° (दिया है)]
∠BOC = ∠AOD
(शीर्षाभिमुख कोण)
BC = AD (दिया है)
∴ ΔBOC ≅ ΔAOD
(AAS सर्वांगसमता नियम द्वारा)
OB = QA
और OC = OD
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
अतः O रेखाखंड AB और CD का मध्य-बिंदु है।

प्रश्न 4.
l और m दो समांतर रेखाएँ हैं जिन्हें समांतर रेखाओं p और q का एक अन्य युग्म प्रतिच्छेदित करता है (देखिए आकृति) दर्शाइए कि
ΔABC ≅ ΔCDA है।
हल:

l || m(दिया है)
AC एक तिर्यक रेखा है।
इसलिए, ∠DAC = ∠ACB (एकांतर कोण)
P || q (दिया है)
AC एक तिर्यक रेखा है
इसलिए, ∠BAC = ∠ACD (एकांतर कोण)
अब, ΔABC और ΔCDA,
∠ACB = ∠DAC (ऊपर सिद्ध किया है)
∠BAC = ∠ACD (ऊपर सिद्ध किया है।)
AC = AC (उभयनिष्ठ)
∴ ΔABC ≅ ΔCDA
(AAS सर्वांगसमता नियम द्वारा)

प्रश्न 5.
रेखा l कोण A को समद्विभाजित करती है और B रेखा l पर स्थित कोई बिंदु है। BP और BQ कोण A की भुजाओं पर B से डाले गए लंब हैं। (देखिए आकृति) दर्शाइए कि
(i) ΔAPB ≅ ΔAQB
(ii) BP = BQ है, अर्थात् बिंदु B कोण की भुजाओं से समदूरस्थ है।

हल:
दिया है कि रेखा l, ∠A को समद्विभाजित करती है।
∴ ∠BAP = ∠BAQ
अब, ΔAPB और ΔAQB में,
∠BAP = ∠BAQ (दिया है)
∠BPA = ∠BQA
[प्रत्येक 90° (दिया है)]
AB = AB (उभयनिष्ठ)
∴ ΔAPB ≅ ΔAQB
(AAS सर्वांगसमता नियम से)
⇒ BP = BQ (सर्वांगसम त्रिभुज के संगत भाग अर्थात् B, ∠A की भुजाओं से समदूरस्थ है।)

प्रश्न 6.
आकृति में, AC = AE, AB = AD और ∠BAD = ∠EAC है। दर्शाइए कि BC = DE है।
हल :

दिया है कि
∠BAD = ∠EAC
दोनों पक्षों में, ∠DAC जोड़ने पर हमें प्राप्त होता है
∠BAD + ∠DAC = ∠EAC + ∠DAC
⇒ ∠BAC = ∠EAD
अब, ΔABC और ΔAED में,
AB = AD (दिया है)
AC = AE (दिया है)
∠BAC = ∠EAD [(i) से]
∴ ΔABC = ΔADE
(AAS सर्वांगसम नियम से)
⇒ BC = DE
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)

प्रश्न 7.
AB एक रेखाखंड है और P इसका मध्य-बिंदु है।D और E रेखाखंड AB के एक ही ओर स्थित दो बिंदु इस प्रकार हैं कि ∠BAD = ∠ABE और ∠EPA = ∠DPB है। (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि
(i) ΔDAP ≅ ΔEBP
(ii) AD = BE
हल:

दिया है कि
∠EPA = ∠DPB
दोनों पक्षों में ∠EPD जोड़ने पर हमें प्राप्त होता है :
∠EPA + ∠EPD = ∠DPB + ∠EPD
⇒ ∠APD = ∠BPE … (i)
अब, ΔDAP और ΔEBP में,
∠PAD = ∠PBE [∵ ∠BAD = ∠ABE (दिया है)
∴ ∠PAD = ∠PBE]
∠APD = ∠BPE [(i) से]
AP = PB
[∵ P, AB का मध्य-बिंदु है (दिया है)]
∴ ΔDAP ≅ ΔEBP
[AAS सर्वांसमता नियम द्वारा]
⇒ AD = BE (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)

प्रश्न 8.
एक समकोण त्रिभुज ABC में, जिसमें कोण C समकोण है, M कर्ण AB का मध्य-बिंदु है। को M से मिलाकर D तक इस प्रकार बढ़ाया गया है कि
DM = CM है। बिंदु D को बिंदु B से मिला दिया जाता है (देखिए आकृति) दर्शाइए कि

(i) ΔAMC ≅ ΔBMD
(ii) ∠DBC एक समकोण है
(iii) ΔDBC ≅ ΔACB
(iv) CM = \(\frac {1}{2}\)AB
हल:
(i) ΔAMC और ΔBMD में,
AM = BM [∵ M कर्ण AB का मध्य-बिंदु है (दिया है)]
∠AMC = ∠BMD
(शीर्षाभिमुख कोण)
CM = DM (दिया है)
∴ ΔAMC ≅ ΔBMD
(SAS सर्वांगसमता नियम से)
∴ ∠ACM = ∠BDM
∠CAM = ∠DBM
और AC = BD
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)

(ii) दो रेखाओं AC और DB के लिए DC एक तिर्यक रेखा है।
हमें प्राप्त है।
∠ACD = ∠BDC (एकांतर कोण) [∵ ∠ACM = ∠BDM, (a) का प्रयोग करने से
∴ ∠ACD = ∠BDC]
∴ AC || DB [∵ यदि एकांतर कोण बराबर हों तो रेखाएँ समांतर होती हैं।]
अब समांतर रेखाओं AC और DB के लिए BC एक तिर्यक रेखा है।
∠DEC = ∠ACB (एकांतर कोण) …….(b)
परंतु ΔABC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें C पर समकोण है।
∴ ∠ACB = 90° ……. (c)
इसलिए ∠DBC = 90° [(b) और (c) का प्रयोग करने से]
अतः ∠DBC एक सकोण है।

(iii) अब ΔDBC और ΔABC में,
DB = AC
[भाग (i) में सिद्ध किया है]
∠DBC = ∠ACB [प्रत्येक 90° भाग (ii) में सिद्ध किया है]
BC = BC (उभयनिष्ठ)
∴ ΔDBC ≅ ΔACB
(SAS सर्वांगसमता नियम से)

(iv) भाग (iii) में हमने सिद्ध किया है कि
ΔDBC ≅ ΔACB
∴ DC = AB
⇒ DM + CM = AB
⇒ CM + CM = AB
[∵ DM = CM (दिया है)]
⇒ 2 CM = AB
⇒ CM = \(\frac {1}{2}\)AB
अत: सिद्ध किया है।

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 6 रेखाएँ और कोण MCQ Questions with Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 6 रेखाएँ और कोण MCQ Questions

बहुविकल्पीय प्रश्न:

नोट-नीचे प्रत्येक प्रश्न के चार-चार उत्तर दिए गए हैं। सही उत्तर का चयन कीजिए।

प्रश्न 1.
आकृति में रेखाएं AB और CD बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करती है। यदि ∠AOC + ∠BOE = 70° और ∠BOD = 40° हो तो ∠BOE और प्रतिवर्ती कोण ∠COE का मान होगा

(A) ∠COE = 250°, ∠BOE = 30°
(B) ∠COE = 70°, ∠BOE = 110°
(C) ∠COE = 30°, ∠BOE = 110°
(D) ∠COE = 50°, ∠BOE = 120°.
उत्तर-
(A) ∠COE = 250°, ∠BOE = 30°

प्रश्न 2.
दी गई आकृति में POQ रेखा है, ∠POR = 4x और ∠QOR = 2x हो तो x का मान होगा

(A) 20
(B) 50°
(C) 30°
(D) 90°.
उत्तर –
(C) 30°

प्रश्न 3.
दी गई आकृति में, यदि ∠AOC + ∠BOD = 75° हो तो ∠COD का मान होगा

(A) 120°
(B) 105°
(C) 1300
(D) 750.
उत्तर-
(B) 105°

प्रश्न 4.
दी गई आकृति में y का मान होगा

(A) 90°
(B) 18°
(C) 30°
(D) 60°
उत्तर –
(B) 18°

प्रश्न 5.
दी गई आकृति में x का मान होगा

(A) 150°
(B) 30°
(C) 45°
(D) 60°.
उत्तर-
(A) 150°

प्रश्न 6.
आकृति में, ∠POR और ∠QOR एक रैखिक युग्म बनाते हैं ? यदि a – b= 80° हो तो और b के मान होंगे-

(A) a = 130°, b = 50°
(B) a= 50°, b = 130°
(C) a= 60°, b = 120°
(D) a = 40°, b = 140°.
उत्तर-
(A) a = 130°, b = 50°

प्रश्न 7.
आकृति में रेखाएं XY और MN बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करती है। यदि ∠POY = 90° और a : b = 2 : 3 तो ∠C का मान होगा-

(A) 140°
(B) 126°
(C) 80°
(D) 95°.
उत्तर-
(B) 126°

प्रश्न 8.
आकृति में दिया है कि ∠XYZ = 64° तथा XY को बिन्दु P तक बढ़ाया गया है। यदि किरण YQ, ∠ZYP को समद्विभाजित करती है तो ∠XYQ का मान होगा-

(A) 122°
(B) 126°
(C) 302°
(D) 258°.
उत्तर-
(A) 122°

प्रश्न 9.
आकृति में a, b से एक समकोण के एक तिहाई भाग से बड़ा हो तो a, b का मान होगा-

(A) a = 95°, b = 85°
(B) a = 105°, b = 75°
(C) a = 65°, b = 115°
(D) a = 60°, b = 120°.
उत्तर-
(B) a = 105°, b = 75°

प्रश्न 10.
दी गई आकृति में n – x = 3° हो तो x और n का मान होगा

(A) x = 126°, n = 129°
(B) x = 125°, n = 28°
(C) x = 150°, n = 95°
(D) x = 135°, n = 65°.
उत्तर-
(A) x = 126°, n = 129°

प्रश्न 11.
यदि एक तिर्यक रेखा दो रेखाओं को इस प्रकार प्रतिच्छेद करे तो तिर्यक रेखा के एक ओर के अंतः कोणों का प्रत्येक युग्म –
(A) पूरक होता है
(B) सम्पूरक होता है।
(C) (a) और (b) दोनों
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर-
(B) सम्पूरक होता है।

प्रश्न 12.
आकृति में q || r तथा p इन दोनों की तिर्यक रेखा है। यदि ∠1 और ∠2, 3 : 2 के अनुपात में हो तो ∠3 और ∠4 का मान होगा –

(A) ∠3 = 108°, ∠4 = 72°
(B) ∠3 = 72°, ∠4 = 108°
(C) ∠3 = 75°, ∠4 = 105°
(D) ∠3 = 85°, ∠4 = 95°.
उत्तर-
(A) ∠3 = 108°, ∠4 = 72°

प्रश्न 13.
दी गई आकृति में x और y के मान होंगे-

(A) x = y = 130°
(B) x = y = 150°
(C) x = y = 160°
(D) x = y = 135°
उत्तर-
(A) x = y = 130°

प्रश्न 14.
आकृति में, यदि AB || CD, CD || EF और y : z = 3 : 7 है, तो x का मान होगा

(A) x = 126°
(B) x = 120°
(C) x = 58°
(D) x = 62°.
उत्तर-
(A) x = 126°

प्रश्न 15.
आकृति में, यदि AB || CD, EF ⊥ CD और ∠GED = 126° तो ∠AGE का मान होगा-

(A) 126°
(B) 120°
(C) 128°
(D) 54°.
उत्तर-
(A) 126°

प्रश्न 16.
आकृति में, यदि PQ || ST, ∠PQR = 110° और ∠RST = 130° है, तो ∠QRS का मान होगा –

(A) 60°
(B) 120°
(C) 80°
(D) 90°.
उत्तर-
(A) 60°

संकेत : बिन्दु R से होकर ST के समान्तर एक रेखा RN खींचिए।
अब ST || l
∠RST + ∠SRN = 180°

[∴ दो समान्तर रेखाओं के बीच एक तिर्यक रेखा के एक ओर के अन्तः कोणों का योग 180° होता है।]
⇒ 130° + ∠SRN = 180°
⇒ ∠SRN = 180° – 130°
⇒ ∠SRN = 50°
अब PQ || ST (दिया है)
और PN || ST (रचना)
∴ PQ || RN [∴ दो रेखाएं जो एक ही रेखा के समान्तर हों परस्पर समान्तर हैं।]
अब PQ || RN और QR एक तिर्यक रेखा है।
∴ ∠QRN = ∠PQR (एकान्तर कोण)
⇒ ∠QRN = 110°
[∴ ∠PQR = 110° (दिया है)]
∠QRN = 110°
∠QRS + ∠SRN = 110°
QRS + 50° = 110°
[(i) का प्रयोग करने पर]
∠QRS = 110° – 50°
∠QRS = 60°.

प्रश्न 17.
आकृति में, यदि AB || CD, ∠APQ = 50° और ∠PRD = 127° है, तो x और y ज्ञात कीजिए।

(A) x = 50°, y = 77°
(B) x = 40°, y = 85°
(C) x = 60°, y = 90°
(D) x = 85°, y = 75°,
उत्तर-
(A) x = 50°, y = 77°

प्रश्न 18.
दी गई आकृति में, AB || CD, x का मान होगा –

(A) 185°
(B) 280°
(C) 285°
(D) 195°.
उत्तर-
(C) 285°

प्रश्न 19.
यदि एक तिर्यक रेखा दो रेखाएं इन प्रकार परिच्छेद करें कि, तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अन्तः कोणों का योगफल ……….. हो तो वे रेखाएं समान्तर होती हैं।
(A) 90°
(B) 120°
(C) 80°
(D) 180°.
उत्तर-
(D) 180°

प्रश्न 20.
निम्न आकृति में यदि ∠AOB, ∠COD के बराबर हो तथा ∠BOC समकोण हो तो ∠AOB और ∠COD का मान है-

(A) 30°
(B) 90°
(C) 45°
(D) 60.
उत्तर-
(C) 45°

प्रश्न 21.
दी गई आकृति में Za और Lb का योगफल बराबर है –

(A) ∠c + ∠d
(B) ∠d + ∠e
(C) ∠b + ∠c
(D) ∠a + ∠c.
उत्तर-
(B) ∠d + ∠e

प्रश्न 22.
एक त्रिभुज में अन्तः सम्मुख कोण सदैव छोटा होता है-
(A) त्रिभुज के किसी भी एक कोण से
(B) सम्मुख कोण से
(C) समकोण से
(D) बाह्य कोण से।
उत्तर-
(D) बाह्य कोण से।

प्रश्न 23.
त्रिभुज के दो अन्तः कोणों का योगफल सदैव बराबर होता है
(A) बाह्य कोण के
(B) समकोण के
(C) तीसरे कोण के
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर-
(A) बाह्य कोण के

प्रश्न 24.
निम्न आकृति में ∠1 = 70° तो ∠4 का मान है-

(A) 70°
(B) 110°
(C) 140°
(D) इनमें में कोई नहीं।
उत्तर-
(B) 110°

प्रश्न 25.
त्रिभुज का बहिष्कोण सदैव बड़ा होता है
(A) आन्तरिक सम्मुख कोणों से
(B) तीसरे कोण से
(C) 90° से
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर-
(A) आन्तरिक सम्मुख कोणों से

प्रश्न 26.
त्रिभुज का एक बहिष्कोण 115° का है और अन्तः अभिमुख कोण 35° का है। अन्य दो कोणों का मान है-

(A) 65°, 80°
(B) 75°, 45°
(C) 95°, 350
(D) 105°, 30°.
उत्तर-
(A) 65°, 80°

प्रश्न 27.
आकृति में ΔPQR की भुजाओं QP और RQ को क्रमशः बिन्दुओं और T तक बढ़ाया गया है। यदि ∠SPR = 135° और ∠PQT = 110° हो तो ∠PRQ का मान होगा-

(A) 75°
(B) 65°
(C) 85°
(D) 95°.
उत्तर-
(B) 65°

प्रश्न 28.
आकृति में ∠x = 62°, ∠XYZ = 54° है। यदि YO और ZO क्रमश: ∠XYZ और ∠XZY, ΔXYZ के समद्विभाजक हों तो ∠OZY और ∠YOZ के मान होंगे-

(A) 32°, 121°
(B) 45°, 1150
(C) 38°, 122°
(D) 46°, 124°.
उत्तर-
(A) 32°, 121°

प्रश्न 29.
आकृति में, यदि AB || DE, ∠BAC = 35° और ∠CDE = 53° है तो ∠DCE का मान होगा –

(A) 82°
(B) 72°
(C) 92°
(D) 108°.
उत्तर-
(C) 92°

प्रश्न 30.
आकृति में यदि रेखाएं PQ और RS बिन्दु T पर इस प्रकार प्रतिच्छेदित हैं कि ∠PRT = 40°, ∠RPT = 95° और ∠TSQ = 75° हो तो ∠SQT का मान होगा –

(A) 60°
(B) 750
(C) 85°
(D) 65°.
उत्तर-
(A) 60°

संकेत –

ΔPRT में,
∠RPT + ∠PRT + ∠PTR = 180°
⇒ 95° + 40° + ∠PTR = 180°
⇒ ∠PTR = 180°- 95° – 40°
= 45° ….(i)
PQ और RS परस्पर बिन्दु T पर प्रतिच्छेद करते हैं।
∠STQ = ∠PTR (शीर्षाभिमुख कोण)
STQ में, ∠SQT + 45° + 75° = 180°
∠SQT = 45° [(i) का प्रयोग करने पर]
ΔSTQ में,
∠SQT + 45° + 75° = 180°
∠SQT = 180° – 45° – 75° = 60°

प्रश्न 31.
आकृति में, यदि PQ ⊥ RS, PQ || SR,
∠SQR = 28° और ∠QRT = 65° है, x और y के मान होंगे-

(A) x = 37°, y = 53°
(B) x = 63°, y = 37°
(C) x = 35°, y = 63°
(D) x = 73°, y = 27°.
उत्तर-
(A) x = 37°, y = 53°

संकेत : ΔQSR में,
बहिष्कोण ∠QRT = ∠QSR + ∠SQR
65° = ∠QSR + 28°
∠QSR = 65° – 28° = 37°
PQ || SR और SQ एक तिर्यक रेखा है।
∴ x = ∠QSR = 37°
PQ ⊥ PS
∠QPS = 90°
समकोण ΔPQS में,
∠QPS + x + y = 180°
90° + 37° + y = 180°
127° + y = 180°
y = 180° – 127° = 53°

प्रश्न 32.
यदि एक त्रिभुज के कोण 2:3:4 के अनुपात में हों तो त्रिभुज के तीनों कोणों का माप होगा
(A) 40°, 60°, 80°
(B) 50°, 30°, 100°
(C) 60°, 70°, 50°
(D) 40°, 40°, 100°.
उत्तर-
(A) 40°, 60°, 80°

प्रश्न 33.
एक त्रिभुज में यदि दो कोणों का योग तीसरे कोण के बराबर हो, केवल अन्तः कोणों को मानें तो त्रिभुज होगी
(A) समकोणी
(B) न्यून कोणी
(C) समबाहु
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर-
(A) समकोणी

प्रश्न 34.
यदि दो समान्तर रेखाओं को एक तिर्यक रेखा प्रतिच्छेद करे तो अन्तः कोणों के समद्विभाजकों से आकृति बनती है
(A) आयत
(B) वर्ग
(C) समलम्ब
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर-
(A) आयत

प्रश्न 35.
निम्न, आकृति में यदि m∠AOC + m∠BOD = 286°, तो ∠BOC का मान है –

(A) 143°
(B) 37°
(C) 74°
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर-
(B) 37°

प्रश्न 36.
आकृति में, यदि AB || CD || EF, PQ || RS, ∠RQD = 25° और ∠CQP = 60° है, तो ∠QRS बराबर है।

(A) 85°
(B) 135°
(C) 145°
(D) 110°
उत्तर :
(C) 145°

प्रश्न 37.
यदि किसी त्रिभुज का एक कोण अन्य कणों के योग के बराबर हो, तो वह त्रिभुज है एक
(A) समद्विबाहु त्रिभुज
(B) अधिककोण त्रिभुज
(C) समबाहु त्रिभुज
(D) समकोण त्रिभुज।
उत्तर :
(D) समकोण त्रिभुज।

प्रश्न 38.
एक त्रिभुज का एक बहिष्कोण 105° है तथा उसके दोनों अंतः विपरीत कोण बराबर हैं। इनमें से प्रत्येक बराबर कोण है :
(A) 37\(\frac {1}{2}\)°
(B) 52\(\frac {1}{2}\)°
(C) 72\(\frac {1}{2}\)°
(D) 75°.
उत्तर :
(A) 37\(\frac {1}{2}\)°

प्रश्न 39.
किसी त्रिभुज के कोणों का अनुपात 5 : 3 : 7 है। वह त्रिभुज है एक
(A) न्यूनकोण त्रिभुज
(B) अधिक कोण त्रिभुज
(C) समकोण त्रिभुज
(D) समद्विबाहु त्रिभुज।
उत्तर :
(A) न्यूनकोण त्रिभुज

प्रश्न 40.
यदि किसी त्रिभुज का एक कोण 130° है, तो अन्य दोनों कोणों के समद्विभाजकों के बीच का कोण हो सकता है।
(A) 50°
(B) 65°
(C) 145°
(D) 155°.
उत्तर :
(D) 155°.

प्रश्न 41.
आकृति में POQ एक रेखा है। x का मान है।

(A) 20°
(B) 25°
(C) 30°
(D) 35°.
उत्तर :
(A) 20°