Class 9

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.3

प्रश्न 1.
एक संगठन ने पूरे विश्व में 15-44 (वर्षों में) की आयु वाली महिलाओं में बीमारी और मृत्यु के कारणों का पता लगाने के लिए किए गए सर्वेक्षण से निम्नलिखित आँकड़े (% में) प्राप्त किए :

क्र. सं.	कारण	महिला मृत्यु दर (%)
1.	जनन स्वास्थ्य अवस्था	31.8
2.	तंत्रिका मनोविकारी अवस्था	25.4
3.	क्षति	12.4
4.	हृदय वाहिका अवस्था	4.3
5.	श्वसन अवस्था	4.1
6.	अन्य कारण	22.0

(i) ऊपरी दी गई सूचनाओं को आलेखीय रूप में निरूपित कीजिए।
(ii) कौन-सी अवस्था पूरे विश्व की महिलाओं के खराब स्वास्थ्य और मृत्यु का बड़ा कारण है ?
(iii) अपने अध्यापिका की सहायता से ऐसे दो कारणों का पता लगाने का प्रयास कीजिए जिनकी ऊपर (i) में मुख्य भूमिका रही हो।
हल :
(i) हम दी गई सूचना को दंड आलेख में निरूपित करते हैं। दंड आरेख हम निम्नलिखित चरणों में बनाते हैं।
चरण 1. एक कागज पर हम दो लंबवत रेखाएँ OX और OY खींचते हैं।
चरण 2. OX पर हम ‘कारण’ और OY पर महिला मृत्यु दर (%) दिखाते हैं।
चरण 3. OX पर ‘कारण’ दर्शाने के लिए हम एक उपयुक्त चौड़ाई चुनते हैं।
चरण 4. OY पर ‘महिला मृत्यु दर (%)’ को निरूपित करने के लिए हम उपयुक्त पैमाना चुनते हैं।
यहाँ 1 बड़ा खंड 5% को निरूपित करता है। इसका दंड आलेख निम्न अनुसार है :
(ii) पूरे विश्व में 15-44 (वर्षों में) की आयु वाली महिलाओं की बीमारी और मृत्यु का मुख्य कारण जनन स्वास्थ्य अवस्था है।
(iii) ऊपर (ii) में ऐसे कारण अन्य कारण’ व ‘क्षति’ है।

प्रश्न 2.
भारतीय समाज के विभिन्न क्षेत्रों में प्रति हज़ार लड़कों पर लड़कियों की (निकटतम दस तक की) संख्या के आँकड़े नीचे दिए गए हैं :

क्षेत्र	प्रति हज़ार लड़कों पर लड़कियों की संख्या
अनुसूचित जाति	940
अनुसूचित जनजाति	970
गैर अनुसूचित जाति/जनजाति	920
पिछड़े जिले	950
गैर पिछड़े जिले	920
ग्रामीण	930
शहरी	910

(i) ऊपरी दी गई सूचनाओं को एक दंड आलेख द्वारा निरूपित कीजिए।
(ii) कक्षा में चर्चा करके, बताइए कि आप इस आलेख से कौन-कौन से निष्कर्ष निकाल सकते हैं।
हल :
(i) हम दी गई सूचना को दंड आलेख में निरूपित करते हैं। हम दंड आलेख निम्नलिखित चरणों में बनाते हैं :
चरण 1. एक कागज़ पर हम दो लंबवत रेखाएँ OX और OY खींचते हैं।
चरण 2. हम OX पर ‘क्षेत्र’ और OY पर ‘प्रति हज़ार लड़कियों की संख्या दिखाते हैं।
चरण 3. OX पर हम प्रत्येक दंड के लिए उपयुक्त चौड़ाई चुनते हैं।
चरण 4. हम OY पर उपयुक्त पैमाना चुनते हैं। यहाँ 1 बड़ा खंड = 100 लड़कियाँ लेते हैं।
चरण 5. हम विभिन्न ऊँचाईयों का परिकलन नीचे दिए अनुसार करते हैं :
(i) अनुसूचित जाति के लिए दंड की ऊँचाई = \(\frac{1}{100}\) × 940 = 9.4 बड़े खंड
(ii) अनुसूचित जनजाति के लिए दंड की ऊँचाई = \(\frac{1}{100}\) × 970 = 9.7 बड़े खंड
(iii) गैर अनुसूचित जाति/जनजाति के लिए दंड ऊँचाई = \(\frac{1}{100}\) × 920 = 9.2 बडे खंड
(iv) ‘पिछड़े जिले’ के लिए के लिए दंड की ऊँचाई = \(\frac{1}{100}\) × 950 = 9.5 बड़े खंड
(v) और पिछड़े जिले के लिए दंड की ऊँचाई = \(\frac{1}{100}\) × 920 = 9.2 बड़े खंड
(vi) ग्रामीण के लिए दंड की ऊँचाई = \(\frac{1}{100}\) × 930 = 9.3 बड़े खंड
(vii) शहरी के लिए दंड की ऊँचाई = \(\frac{1}{100}\) × 910 = 9.1 बड़े खंड

प्रश्न 3.
एक राज्य के विधान सभा के चुनाव में विभिन्न राजनैतिक पार्टियों द्वारा जीती गई सीटों के परिणाम नीचे दिए गए हैं :

राजनैतिक पार्टी	A	B	C	D	E	F
जीती गई सीटें	75	55	37	29	10	37

(i) मतदान के परिणामों को निरूपित करने वाला एक दंड आलेख खींचिए।
(ii) किस राजनैतिक पार्टी ने अधिकतम सीटें जीती हैं।
हल :
(i) हम दी गई सूचना को दंड आलेख में निरूपित करते हैं जो कि निम्न अनुसार खींचा जाता है।
विधानसभा के चुनावों में विभिन्न राजनीतिक पार्टियों द्वारा जीती गई सीटों के परिणाम।
चुना गया पैमाना : y-अक्ष : 1 बड़ा खंड
अर्थात् 1 cm = 10 सीटें

(ii) राजनैतिक पाटी A ने अधिकतम सीटें जीती।

प्रश्न 4.
एक पौधे की 40 पत्तियों की लंबाइयाँ एक मिलीमीटर तक शुद्ध मापी गई हैं और प्राप्त आँकड़ों को निम्नलिखित सारणी में निरूपित किया गया है :

लंबाई (मिलीमीटर में)	पत्तियों की संख्या
118-126	3
127-135	5
136-144	9
145-153	12
154-162	5
163-171	4
172-180	2

(i) दिए हुए आंकड़ों को निरूपित करने वाला एक आयतचित्र खींचिए।
(i) क्या इन्हीं आँकड़ों को निरूपित करने वाला कोई अन्य उपयुक्त आलेख है ?
(ii) क्या यह सही निष्कर्ष है कि 153 मिलीमीटर लंबाई वाली पत्तियों की संख्या सबसे अधिक है ? क्यों ?
हल:
(i) हम सबसे पहले बारंबारता बंटन को सतत (लगातार) बारंबारता बंटन में बदलेंगे।
आइए हम एक वर्ग की निम्न सीमा और उससे पहले वर्ग की उच्च सीमा का आधा ज्ञात करें अर्थात्
\(\frac{1}{2}\) (127 – 126) = \(\frac{1}{2}\) × 1 = 0.5
अब हम प्रत्येक वर्ग में बंटन को सतत बनाएंगे।
हम प्रत्येक निम्न सीमा में से 0.5 घटाएंगे और प्रत्येक उच्च सीमा में 0.5 जोड़ेंगे।
अतः, हम नीचे दिए अनुसार बंटन प्राप्त करते हैं :

लंबाई मिलीमीटर में	पत्तियों की संख्या
117.5-126.5	3
126.5-135.5	5
135.5-144.5	9
144.5-153.5	12
153.5-162.5	5
162.5-171.5	4
171.5-180.5	2

हम दिए हुए आँकड़ों को आयतचित्र के रूप में निम्न अनुसार निरूपित करते हैं :

40 पत्तों की लंबाईयों का एक मिलीमीटर तक शुद्ध माप

चुना गया पैमाना : Y-अक्ष पर एक बड़ा खंड अर्थात् 1 cm = 1 पत्ता।
X-अक्ष पर एक खंड = 9
(ii) हाँ, इन्हीं आँकड़ों को निरूपित करने की एक अन्य उपयुक्त विधि बारंबारता बहुभुज है।
बारबारता बहुभुज : नीचे दिए अनुसार हैं
सबसे पहले हम वर्ग चिह्नों और संगत पत्तों की संख्या के संगत एक सारणी बनाते हैं।

लंबाई मिलीमीटर में	वर्ग चिह्न	पत्तियों की संख्या
117.5-126.5	122	3
126.5-135.5	131	5
135.5-144.5	140	9
144.5-153.5	149	12
153.5-162.5	158	5
162.5-171.5	167	4
171.5-180.5	176	2

हम x-अक्ष पर वर्ग चिह्नों और y-अक्ष पर पत्तियों की संख्या लेते हैं।
हम क्रमित युग्मों (122, 3), (131, 5) ………. (176, 2)
को बिंदुओं द्वारा आलेखित करते हैं।
इन बिंदुओं को मिलाने पर बारंबारता बहुभुज प्राप्त होता है।

(iii) हाँ, यह सही निष्कर्ष है। क्योंकि वर्ग अंतराल 145 – 153 (144.5 – 153.5) में पत्तियों की संख्या 12 है। जो सबसे अधिक है।

प्रश्न 5.
नीचे की सारणी में 400 नियॉन लैंपों के जीवन काल दिए गए हैं :

जीवन काल (घंटों में)	लैंपों की संख्या
300-400	14
400-500	56
500-600	60
600-700	86
700-800	74
800-900	62
900-1000	48

(i) एक आयतचित्र की सहायता से दी हुई सूचनाओं को निरूपित कीजिए।
(ii) कितने लैंपों के जीवन काल 700 घंटों से अधिक हैं ?
हल :
(i) हम दी गई सूचना को निम्न अनुसार आयतचित्र में निरूपित करते हैं।

(ii) 700 घंटों से अधिक जीवन काल वाले लैंपों की संख्या = 74 + 62 + 48
= 184

प्रश्न 6.
नीचे की दो सारणियों में प्राप्त किए गए अंकों के अनुसार दो सेक्शनों के विद्यार्थियों का बंटन दिया गया है :

सेक्शन A		सेक्शन B
अंक	बारंबारता	अंक	बारंबारता
0-10	3	0-10	5
10-20	9	10-20	19
20-30	17	20-30	15
30-40	12	30-40	10
40-50	9	40-50	1

दो बारंबारता बहुभुजों की सहायता से एक ही आलेख पर दोनों सेक्शनों के विद्यार्थियों के प्राप्तांक निरूपित कीजिए। दोनों बहुभुजों का अध्ययन करके दोनों सेक्शनों के निष्पादनों की तुलना कीजिए।
हल :
हम दी गई सूचना को बारंबारता बहुभुज के रूप में निरूपित करते हैं।
इसलिए हम वर्ग-चिह्न और संगत सेक्शन A और B की बारंबारताओं की सारणी बनाते हैं।

अंक	वर्ग-चिह्न	सेक्शन बारंबारता A	सेक्शन बारंबारता B
0-10	5	3	5
10-20	15	9	19
20-30	25	17	15
30-40	35	12	10
40-50	45	9	1

हम x-अक्ष पर वर्ग-चिह्न और y-अक्ष पर विद्यार्थियों की संख्या दर्शाते हैं।
सेक्शन A को बारंबारता बहुभुज के लिए हम क्रमित युग्मों (5, 3), (15, 9), (25, 17), (35, 12) और (45, 9) को बिंदुओं द्वारा आलेखित करते हैं।
बिंदुओं को रेखाखंडों द्वारा मिलाने पर हमें सेक्शन A का बारबारता बहुभुज प्राप्त होता हैं। हम क्रमित युग्म (5, 5), (15, 19), (25, 15), (35, 10) और (45, 1) को आलेखित करते हैं।
इनको रेखाखंडों से जोड़ने पर हमें सेक्शन B का बारंबारता बहुभुज प्राप्त होता है।

प्रश्न 7.
एक क्रिकेट मैच में दो टीमों A और B . द्वारा प्रथम 60 गेंदों में बनाए गए रन आगे दिए गए हैं:

गेंदों की संख्या	टीम A	टीम B
1-6	2	5
7-12	1	6
13-18	8	2
19-24	9	10
25-30	4	5
31-36	5	6
37-42	6	3
43-48	10	4
49-54	6	8
55-60	2	10

बारंबारता बहुभुजों की सहायता से एक ही आलेख पर दोनों टीमों के आंकड़े निरूपित कीजिए।
हल :
हम दी गई सूचना को बारंबारता बहुभुज के रूप में निरूपित करते हैं। इसलिए हम वर्ग-चिह्न और संगत टीमें A और B के रनों की सारणी बनाते हैं।

गेंदों की की संख्या	वर्ग-चिह्न	टीम A द्वारा बनाए रन	टीम B द्वारा बनाए रन
0-6	3	2	5
6-12	9	1	6
12-18	15	8	2
18-24	21	9	10
24-30	27	4	5
30-36	33	5	6
36-42	39	6	3
42-48	45	10	4
48-54	51	6	8
54-60	57	2	10

हम x-अक्ष पर वर्ग-चिह्न और y-अक्ष पर रनों की संख्या आलेखित करते हैं।
हम क्रमित युग्मों (3, 2), (9, 1)………(57, 2) को आलेखित करते हैं।
इनको रेखाखंडों में मिलाने पर हम टीम A के लिए बारंबारता बहुभुज प्राप्त करते हैं।

हम क्रमित युग्मों (3, 5), (9, 6) …….. (57, 10) को आलेखित करते हैं, उनको रेखाखंडों द्वारा मिलाने पर टीम B के लिए बारंबारता बहुभुज प्राप्त होता है।

प्रश्न 8.
एक पार्क में खेल रहे विभिन्न आयु वर्गों के बच्चे की संख्या का एक यादृच्छिक सर्वेक्षण (random survey) करने पर निम्नलिखित आँकड़े प्राप्त हुए :

आयु (वर्षों में)	बच्चों की संख्या
1-2	5
2-3	3
3-5	6
5-7	12
7-10	9
10-15	10
15-17	4

ऊपर दिए गए आंकड़ों को निरूपित करने वाला एक आयतचित्र खींचिए।
हल :
यहाँ वर्ग आकार बराबर आकार की नहीं है। हम न्यूनतम वर्ग आकार का वर्ग चुनते हैं। यहाँ न्यूनतम वर्ग आकार 1 है।
इस वर्ग आकार के अनुसार समायोजित बारंबारता (आयतों की ऊँचाइयों) की निम्न सारणी प्राप्त होती है।

आयु (वर्षों में)	बारंबारता	चौड़ाई	आयत की लंबाई
1-2	5	1	\(\frac{5}{1}\) × 1 = 5
2-3	3	1	\(\frac{3}{1}\) × 1 = 3
3-5	6	2	\(\frac{6}{2}\) × 1 = 3
5-7	12	2	\(\frac{12}{2}\) × 1 = 6
7-10	9	3	\(\frac{9}{3}\) × 1 = 3
10-15	10	5	\(\frac{10}{5}\) × 1 = 2
15-17	4	2	\(\frac{4}{2}\) × 1 = 2

अब हम इन लंबाइयों का प्रयोग करके आयतचित्र बनाते हैं।

प्रश्न 9.
एक स्थानीय टेलीफोन निर्देशिका से 100 कुलनाम (surname) यदृच्छया लिए गए और उनसे अंग्रेजी वर्णमाला के अक्षरों की संख्या का निम्न बारंबारता बंटन प्राप्त किया गया :

वर्णमाला के अक्षरों की संख्या	कुलनामों की संख्या
1-4	6
4-6	30
6-8	44
8-12	16
12-20	4

(i) दी हुई सूचनाओं को निरूपित करने वाला एक आयतचित्र खींचिए।
(ii) वह वर्ग अंतराल बताइए जिसमें अधिकतम संख्या में कुलनाम हैं।
हल :
यहाँ वर्ग आकार बराबर नहीं है। हम न्यूनतम वर्ग आकार का वर्ग चुनते हैं। यहाँ न्यूनतम वर्ग आकार 2 है।
इस वर्ग आकार के अनुसार समायोजित बारंबारता (आयतों की ऊँचाईयाँ) की निम्न सारणी प्राप्त होती है।

वर्णमाला के अक्षरों की संख्या	बारंबारता	अंतराल की चौड़ाई	आयत की लंबाई
1-4	6	3	\(\frac{6}{3}\) × 2 = 4
4-6	30	2	\(\frac{30}{2}\) × 2 = 30
6-8	44	2	\(\frac{44}{2}\) × 2 = 44
8-12	16	4	\(\frac{16}{2}\) × 2 = 8
12-20	4	8	\(\frac{4}{2}\) × 2 = 1

अब हम इन लंबाइयों का प्रयोग करके आयतचित्र बनाते हैं।

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.2

प्रश्न 1.
आठवीं कक्षा के 30 विद्यार्थियों के रक्त समूह ये हैं :
A, B, O, AB, O, A, O, B, A, O, B, A, O, O,
A, AB, O, A, A, O, O, AB, B, A, O, B, A, B, O.
इन आँकड़ों को एक बारबारता बंटन सारणी के रूप में प्रस्तुत कीजिए। विद्यार्थियों में कौन-सा रक्त समूह अधिक सामान्य है और कौन-सा रक्त समूह विरलतम रक्त समूह है।
हल :
दिए गए आँकड़ों के लिए वर्गीकृत बारबारता बँटन सारणी इस प्रकार है :

सारंणी से हम देखते हैं कि अधिक सामान्य रक्त समूह O है तथा सबसे विरल रक्त समूह AB है।

प्रश्न 2.
40 इंजीनियरों की उनके आवास से कार्यस्थल की (किलोमीटर में) दूरियाँ ये हैं :

0-5 को (जिसमें 5 सम्मिलित नहीं है)। पहला अंतराल लेकर ऊपर दिए हुए आँकड़ों से वर्गमाप 5 वाली एक वर्गीकृत बांरबारता बंटन सारणी बनाइए। इस सारणीबद्ध निरूपण में आपको कौन-से मुख्य लक्षण देखने को मिलते हैं ?
हल :
दिए गए आँकड़ों के लिए वर्गीकृत बांरबारता बंटन निम्न अनुसार है :

सारणी से हम देखते हैं कि 40 इंजीनियरों में से 36 (5 + 11 + 11 + 9) इंजीनियर अर्थात् कुल इंजीनियरों का 90% अपने कार्यस्थल से 20 किलीमीटर से कम दूरी पर रहते हैं।

प्रश्न 3.
30 दिन वाले महीने में एक बार की सापेक्ष आर्द्रता (%में) यह रही है :

(i) वर्ग 84-86, 86-88 आदि लेकर एक वर्गीकृत बारबारता बंटन सारणी बनाइए।
(ii) क्या आप बता सकते हैं कि ये आँकड़े किस महीने या ऋतु से संबंधित हैं ?
(ii) इन आँकड़ों का परिसर क्या है ?
हल :
(i) दिए गए आँकड़ों के लिए वर्गीकृत बारबारता बंटन सारणी निम्न दिए अनुसार है :

(ii) आँकड़ों से हम देखते हैं कि सापेक्ष आर्द्रता अधिक है, अत: ऐसा प्रतीत होता है कि आँकड़े वर्षा के मौसम में लिए गए हैं।
(iii) आँकड़ों से हम देखते हैं कि उच्चतम सापेक्ष आद्रता = 99.2% निम्नतम सापेक्ष आर्द्रता = 84.9%
परिसर = (99.2 – 84.9) %
= 14.3%

प्रश्न 4.
निकटतम सैंटीमीटरों में मापी गई 50 विद्यार्थियों की लंबाइयाँ ये हैं :

(i) 160 – 165, 165 – 170 आदि वर्ग अंतराल लेकर ऊपर दिए गए आँकड़ों को एक वर्गीकृत बारंबारता बंटन सारणी के रूप में निरूपित कीजिए।
(ii) इस सारणी की सहायता से आप विद्यार्थियों की लंबाइयों के संबंध में क्या निष्कर्ष निकाल सकते हैं ?
हल :
(i) दिए गए आँकड़ों के लिए वर्गीकृत बारंबारता बंटन सारणी निम्न अनुपात है :

(ii) ऊपर की सारणी से एक निष्कर्ष हम यह निकाल सकते हैं कि 50% से अधिक विद्यार्थियों की लंबाई 165 cm से कम है।

प्रश्न 5.
एक नगर में वायु में सल्फर डाई-ऑक्साइड का सांद्रण भाग प्रति मिलियन [Parts per million (ppm)] में ज्ञात करने के लिए एक अध्ययन किया गया। 30 दिनों के प्राप्त किए गए ऑकड़े आगे दिए है :

(i) 0.00 – 0.04, 0.04 – 0.08 आदि का वर्ग अंतरालं लेकर इन आँकड़ों की एक वर्गीकृत बारंबारता सारणी बनाइए।
(ii) सल्फर डाई-आक्साइड की सांद्रता कितने दिन 0.11 भाग प्रति मिलियन से अधिक रही ?
हल :
(i) दिए गए आँकड़ों के लिए बारंबारता सारणी निम्न अनुसार है :

(ii) बारंबारता बंटन सारणी से हम देखते हैं कि 8 दिनों तक सल्फर डाइ-ऑक्साइड का सांद्रण 0.11 ppm से अधिक था।

प्रश्न 6.
तीन सिक्कों को एक साथ 30 बार उछाला गया। प्रत्येक बार चित (Head) आने की संख्या निम्न है :

ऊपर दिए गए आँकड़ों के लिए बारंबारता बंटन सारणी बनाइए।
हल :
दिए गए आंकड़ों के लिए बारंबारता बंटन सारणी निम्न अनुसार है :

प्रश्न 7.
50 दशमलव स्थान तक शुद्ध ग का मान नीचे दिया गया है :
3.14159265358979323846264338327950288419716939937510
(i) दशमलव बिंदु के बाद आने वाले 0 से 9 तक के अंकों का एक बारंबारता बंटन बनाइए।
(ii) सबसे अधिक बार और सबसे कम बार आने वाले अंक कौन-कौन से हैं ?
हल :
(i) 50 दशमलव स्थानों तक का मान निम्न है :
π = 3.1415926535 8979323846
2643383279 5028841971 6939937510
π के मान के दशमलव बिंदु के बाद आने वाले अंकों की बारंबारता बंटन सारणी निम्न अनुसार है :

(ii) अधिक बारंबारता 8 है।
अतः, 3 सबसे अधिक बार आने वाला अंक है। सबसे कम बारंबारता 2 है।
अतः, 0 सबसे कम बार आने वाला अंक है।

प्रश्न 8.
तीस बच्चों से यह पूछा गया कि पिछले सप्ताह उन्होंने कितने घंटों तक टी० वी० के प्रोग्राम देखे। प्राप्त परिणाम ये रहे हैं :

(i) वर्ग चौड़ाई 5 लेकर और एक वर्ग अंतराल को 5-10 लेकर इन आँकड़ों की एक वर्गीकृत बारंबारता बंटन सारणी बनाइए।
(ii) कितने बच्चों ने सप्ताह में 15 या अधिक घंटों तक टेलीविजन देखा ?
हल :
(i) दिए गए आँकड़ों के लिए बारंबारता सारी निम्न अनुसार है :

(ii) बारंबारता सारणी में हम देखते हैं कि वर्ग अंतराल 15-20 में बच्चों की संख्या 2 है।
अतः, 2 बच्चों ने सप्ताह में 15 या अधिक घंटों तक टेलीविज़न देखा।

प्रश्न 9.
एक कंपनी एक विशेष प्रकार की कार बैटरी बनाती है। इस प्रकार की 40 बैटरियों के जीवन-काल (वर्षों में) ये रहे हैं :

0.5 माप के वर्ग अंतराल लेकर तथा 2-2.5 से प्रारंभ करके इन आँकड़ों की एक वर्गीकृत बारंबारता बंटन सारणी बनाइए।
हल :
दिए गए आंकड़ों के लिए वर्गीकृत बारंबारता बंटन सारणी निम्न अनुसार है :

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.1

प्रश्न 1.
उन आँकड़ों के पाँच उदाहरण दो जिन्हें आप अपने दैनिक जीवन से एकत्रित कर सकते हो ?
उत्तर :
अपने दैनिक जीवन से एकत्रित किए जाने वाले आँकड़ों में से पाँच आँकड़े निम्नलिखित हैं :

• हमारी कक्षा में छात्रों की संख्या।
• हमारे विद्यालय में पंखों की संख्या।
• हमारे घर का पिछले दो वर्षों से बिजली का बिल।
• टेलीविज़न या समाचार-पत्रों से प्राप्त मतदान परिणाम।
• शैक्षिक सर्वे से प्राप्त साक्षरता दर के आँकड़े।
• आपकी कक्षा के 20 बच्चों की लंबाई।
• टेलीविजन से प्राप्त किसी विशेष सप्ताह में दिनों का अधिकतम तापमान।

इनके और भी विभिन्न उत्तर हो सकते हैं।

प्रश्न 2.
ऊपर दिए गिए प्रश्न 1 के आँकड़ों को प्राथमिक आँकड़ों या गौण आँकड़ों में वर्गीकृत करो।
हल :
प्राथमिक आँकड़े : (i), (ii), (iii), (vi)
गौण आँकड़े : (iv), (v), (vii)
प्राथमिक आँकड़े : यदि कोई अनुसंधानकर्ता किसी उद्देश्य या योजना को ध्यान में रखकर स्वयं आँकड़ों का संग्रह करता है, तो इन आँकड़ों को प्राथमिक आँकड़े (Primary data) कहते हैं।

गौण आँकड़े : यदि कोई अनुसंधानकर्ता किसी अन्य उद्देश्य के लिए संग्रह किए गए आँकड़ों को अपने अनुसंधान में प्रयोग कर ले तो उन आँकड़ों को गौण आँकड़े (Secondary Data) कहा जाता है। प्राथमिक आँकड़े बहुत अधिक विश्व सनीय और प्रासंगिक होते हैं क्योंकि इन आँकड़ों का संग्रह एक निश्चित योजना या विधि को मन में रखकर प्रेक्षक करता है।

आँकड़ों का प्रस्तुतिकरण (Presentation of Data) : जैसे ही आँकड़ों को एकत्रित करने का कार्य पूरा हो जाता है तो अन्वेषक उसे किसी अर्थपूर्ण और सुगम रूप प्रस्तुत करने की योजना बनाता है।
अपरिष्कृत /अवर्गीकृत आँकड़े : यदि इकट्ठे किए गए आँकड़ों को विधिपूर्वक किसी क्रम में न रखा गया हो तो इन आँकड़ों को अपरिष्कृत/अवर्गीकृत आँकड़े कहा जाता है।
सारणीबद्ध आँकड़े : यदि आँकड़ों को आरोही या अवरोही क्रम में रखा जाए तो उन्हें सारणीबद्ध आँकड़े कहा जाता है।

बारंबारता बंटन सारणी बनाना : बारंबारता बंटन सारणी दिए गए आँकड़ों में भिन्न-भिन्न मानों की बारंबारता दर्शाती है। बारंबारता बंटन सारणी (i) आँकड़ों का विश्लेषण तथा (ii) भिन्न-भिन्न सांख्यिकीय मापों का परिकलन करने के लिए बनाई जाती है।

अवर्गीकृत आँकड़े (खंडित श्रृंखला) :
इस प्रकार के आँकड़ों में विचर का मान भिन्नात्मक नहीं हो सकता। यह मान एक या दो हो सकता है परंतु 1\(\frac{1}{2}\) नहीं हो सकता जितनी बार कोई संख्या आँकड़ों में होती है उसकी गिनती संख्या के सामने लिख दी जाती है। इस गिनती को उसको बारंबारता कहते हैं।

वर्गीकृत आँकड़े (सतत श्रृंखला) [Grouped data (Continuous Series)] :
इन आँकड़ों में विचर आय, भार, लाभ, लंबाई आदि के मान हो सकते हैं, क्योंकि इनके मान भिन्नात्मक हो सकते हैं।

उदाहरण :

दैनिक आय (रु. में)	0 – 100	100 – 200	200 – 300	300 – 400	400 – 500
व्यक्तियों की संख्या	15	7	25	10	6

वर्ग :
प्रत्येक अंतराल जैसे 0-100, 100-200 आदि को वर्ग कहा जाता है।

वर्ग सीमाएँ :
प्रत्येक वर्ग की दो सीमाएँ होती हैं। किसी वर्ग के निम्न मान को निम्न सीमा तथा ऊपरी मान को ऊपरी सीमा कहा जाता है। अर्थात् वर्ग (0-100) में निम्न सीमा 0 तथा ऊपरी सीमा 100 है।
वर्ग-अंतराल या वर्ग आमाप किसी वर्ग की ऊपरी सीमा (U) और निम्न सीमा (L) के अंतर को वर्ग अंतराल कहा जाता है। अर्थात्
i = U – L
उदाहरण : वर्ग (0 – 100) में
i = 100 – 0 = 100

केंद्रीय मान या वर्ग चिहन किसी वर्ग की निम्न सीमा और ऊपरी सीमा के मध्यमानं को उस वर्ग का केंद्रीय मान या वर्ग चिह्न कहा जाता है।
वर्ग चिहन = \(\frac{\mathrm{U}+\mathrm{L}}{2}\)

उदाहरण :
वर्ग (100 – 200) में
वर्ग चिह्न = \(\frac{200+100}{2}\)
= \(\frac{300}{2}\)
= 150

वर्ग बारंबारता :
किसी विशेष वर्ग के आँकड़ों की संख्या, उस वर्ग की बारंबारता कहलाती है। बारंबारता को f से प्रकट किया जाता है। सभी वर्गों की बारंबारता के योग को Zf या N द्वारा दर्शाया जाता है।

वर्गीकृत आँकड़ों के प्रकार :
वर्गीकृत आँकड़े मुख्यतः निम्नलिखित प्रकार के होते

1. अनतिव्यापी वर्ग (Inclusive series)
2. सतत वर्ग (Exclusive series)
3. संचयी बारंबारता सारणी (Cumulative frequency distribution)
4. समान वर्ग अंतराल सारणी (Equal class interval series).

अनतिव्यापी वर्गों में पहले वर्ग की ऊपरी सीमा उससे अगले वर्ग की निम्न सीमा से कम होती है। इस सारणी में निम्न सीमा और ऊपरी सीमा वाले आँकड़ों की गिनती वर्ग अंतराल में की जाती है।

मजदूरी (रु. में)	10-19	20-29	30-39	40-49
मजदूरों की संख्या (बारंबारता)	5	10	12	13

उदाहरणतया दी गई सारणी में 19, 29, 39 और 49 जिस वर्ग में आते हैं ये उसी वर्ग में आँकड़ों के रूप में ही लिए जाएंगे। इस प्रकार की सारणी में 19 और 20, 29 और 30, 39 और 40 के बीच भिन्नात्मक मानों को नहीं गिना जा सकता।

सतत वर्ग अंतरालों में एक वर्ग की ऊपरी सीमा अगले वर्ग की निम्न सीमा होती है। इसलिए वर्ग की ऊपरी सीमा को उस वर्ग में नहीं गिना जाता और उसे अगले वर्ग में गिना जाता है जिसकी वह निम्न सीमा होती है।

मजदूरी (रु. में)	10-20	20-30	30-40	40-50
मजदूरी की संख्या (बारंबारता)	5	10	12	13

अब पहले वर्ग में ऊपरी सीमा 20 से कम मानी जाती है अर्थात् (19.999 …..00) और 20 को इस वर्ग मे नहीं लिया जाता किंतु इसे अगले वर्ग में लिया जाता है। इसी प्रकार हम दूसरे वर्गों के लिए करते हैं।

अनतिव्यापी वर्ग को सतत वर्ग में बदलना (Conversion of Inclusive Series into Exclusive Series) :
अनतिव्यापी वर्गों को सतत वर्गों में बदलने के लिए “वास्तविक सीमाएँ तय करने के कारक” का प्रयोग किया जाता है।
वास्तविक सीमा तय करने का कारक (d)

इस प्रकार प्राप्त कारक (d) को क्रमशः प्रत्येक वर्ग की निम्न सीमा में से घटा कर और ऊपरी सीमा में जोड़कर सतत वर्ग बनाए जा सकते हैं।
अनतिव्यापी सारणी

X	10-19	20-29	30-39	40-49
f	5	3	2	1

ऊपर दी गई सारणी में कारक d इस प्रकार है :
d = \(\frac{20-19}{2}\) = \(\frac{30-29}{2}\)
= \(\frac{40-39}{2}\)
= \(\frac{1}{2}\)
= 0.5

नई सतत सारणी निम्नलिखित है :

निम्न सीमा – d	ऊपरी सीमा + d	वर्ग सीमाएँ	f
10 – 0.5 = 9.5	19 + 0.5 = 19.5	9.5 – 19.5	5
20 – 0.5 = 19.5	29 + 0.5 = 29.5	19.5 – 29.5	3
30 – 0.5 = 29.5	39 + 0.5 = 39.5	29.5 – 39.5	2
40 – 0.5 = 39.5	49 + 0.5 = 49.5	39.5 – 49.5	1

समान और असमान वर्ग अंतराल श्रृंखला :
(i) समान वर्ग अंतराल श्रृंखला (Equal Class Interval Series) : जब किसी श्रृंखला में वर्गों के एक समान-अंतराल (चौड़ाई) हों, तो यह श्रृंखला समान अंतराल श्रृंखला कहलाती है।
(ii) असमान वर्ग अंतराल श्रृंखला (Unequal Class Interval Series)-जब किसी श्रृंखला में वर्गों की चौड़ाई एक जैसी न हो तो यह असमान वर्ग अंतराल श्रृंखला कहलाती है।

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 7 त्रिभुज Ex 7.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 7 त्रिभुज Ex 7.1

प्रश्न 1.
चतुर्भुज ABCD में AC = AD है और AB, कोण A को समद्विभाजित करता है ( देखिए आकृति) दर्शाइए कि ΔABC ≅ ΔABD है। BC और BD के बारे में आप क्या कह सकते है ?
हल:

दिया है : चतुर्भुज ABCD में, AC = AD और AB, ∠A को समद्विभाजित करता है
सिद्ध करना है : ΔABC ≅ ΔABD.
उपपत्ति : ΔABC और ΔABD में,
AC = AD (दिया है)
∠BAC = ∠BAD [∵ AB, CA को समद्विभाजित करता है । (दिया है)]
AB = AB (उभयनिष्ठ)
∴ ΔABC ≅ ΔABD
[SAS सर्वांगसमता नियम द्वारा]
अत: BC = BD
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)

प्रश्न 2.
ABCD एक चतुर्भुज है, जिसमें AD = BC और ∠DAB = ∠CBA है (देखिए आकृति)। सिद्ध कीजिए कि
(i) ΔABD ≅ ABAC
(ii) BD = AC
(iii) ∠ABD = ∠BAC
हल:

ΔABD और ΔABC में,
AD = BC (दिया है)
∠DAB = ∠CBA (दिया है)
AB = AB (उभयनिष्ठ)
∴ ΔABD = ΔBAC
(SAS सर्वांगसमता नियम द्वारा)
⇒ BD = AC
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
और ∠ABD = ∠BAC
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)

प्रश्न 3.
एक रेखाखंड AB पर AD और BC दो बराबर लम्ब रेखाखंड हैं ( देखिए आकृति)। दशाईए कि CD, रेखाखंड AB को समद्विभाजित करता है।
हल:

ABOC और AAOD में,
∠OBC = ∠OAD
[प्रत्येक 90° (दिया है)]
∠BOC = ∠AOD
(शीर्षाभिमुख कोण)
BC = AD (दिया है)
∴ ΔBOC ≅ ΔAOD
(AAS सर्वांगसमता नियम द्वारा)
OB = QA
और OC = OD
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
अतः O रेखाखंड AB और CD का मध्य-बिंदु है।

प्रश्न 4.
l और m दो समांतर रेखाएँ हैं जिन्हें समांतर रेखाओं p और q का एक अन्य युग्म प्रतिच्छेदित करता है (देखिए आकृति) दर्शाइए कि
ΔABC ≅ ΔCDA है।
हल:

l || m(दिया है)
AC एक तिर्यक रेखा है।
इसलिए, ∠DAC = ∠ACB (एकांतर कोण)
P || q (दिया है)
AC एक तिर्यक रेखा है
इसलिए, ∠BAC = ∠ACD (एकांतर कोण)
अब, ΔABC और ΔCDA,
∠ACB = ∠DAC (ऊपर सिद्ध किया है)
∠BAC = ∠ACD (ऊपर सिद्ध किया है।)
AC = AC (उभयनिष्ठ)
∴ ΔABC ≅ ΔCDA
(AAS सर्वांगसमता नियम द्वारा)

प्रश्न 5.
रेखा l कोण A को समद्विभाजित करती है और B रेखा l पर स्थित कोई बिंदु है। BP और BQ कोण A की भुजाओं पर B से डाले गए लंब हैं। (देखिए आकृति) दर्शाइए कि
(i) ΔAPB ≅ ΔAQB
(ii) BP = BQ है, अर्थात् बिंदु B कोण की भुजाओं से समदूरस्थ है।

हल:
दिया है कि रेखा l, ∠A को समद्विभाजित करती है।
∴ ∠BAP = ∠BAQ
अब, ΔAPB और ΔAQB में,
∠BAP = ∠BAQ (दिया है)
∠BPA = ∠BQA
[प्रत्येक 90° (दिया है)]
AB = AB (उभयनिष्ठ)
∴ ΔAPB ≅ ΔAQB
(AAS सर्वांगसमता नियम से)
⇒ BP = BQ (सर्वांगसम त्रिभुज के संगत भाग अर्थात् B, ∠A की भुजाओं से समदूरस्थ है।)

प्रश्न 6.
आकृति में, AC = AE, AB = AD और ∠BAD = ∠EAC है। दर्शाइए कि BC = DE है।
हल :

दिया है कि
∠BAD = ∠EAC
दोनों पक्षों में, ∠DAC जोड़ने पर हमें प्राप्त होता है
∠BAD + ∠DAC = ∠EAC + ∠DAC
⇒ ∠BAC = ∠EAD
अब, ΔABC और ΔAED में,
AB = AD (दिया है)
AC = AE (दिया है)
∠BAC = ∠EAD [(i) से]
∴ ΔABC = ΔADE
(AAS सर्वांगसम नियम से)
⇒ BC = DE
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)

प्रश्न 7.
AB एक रेखाखंड है और P इसका मध्य-बिंदु है।D और E रेखाखंड AB के एक ही ओर स्थित दो बिंदु इस प्रकार हैं कि ∠BAD = ∠ABE और ∠EPA = ∠DPB है। (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि
(i) ΔDAP ≅ ΔEBP
(ii) AD = BE
हल:

दिया है कि
∠EPA = ∠DPB
दोनों पक्षों में ∠EPD जोड़ने पर हमें प्राप्त होता है :
∠EPA + ∠EPD = ∠DPB + ∠EPD
⇒ ∠APD = ∠BPE … (i)
अब, ΔDAP और ΔEBP में,
∠PAD = ∠PBE [∵ ∠BAD = ∠ABE (दिया है)
∴ ∠PAD = ∠PBE]
∠APD = ∠BPE [(i) से]
AP = PB
[∵ P, AB का मध्य-बिंदु है (दिया है)]
∴ ΔDAP ≅ ΔEBP
[AAS सर्वांसमता नियम द्वारा]
⇒ AD = BE (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)

प्रश्न 8.
एक समकोण त्रिभुज ABC में, जिसमें कोण C समकोण है, M कर्ण AB का मध्य-बिंदु है। को M से मिलाकर D तक इस प्रकार बढ़ाया गया है कि
DM = CM है। बिंदु D को बिंदु B से मिला दिया जाता है (देखिए आकृति) दर्शाइए कि

(i) ΔAMC ≅ ΔBMD
(ii) ∠DBC एक समकोण है
(iii) ΔDBC ≅ ΔACB
(iv) CM = \(\frac {1}{2}\)AB
हल:
(i) ΔAMC और ΔBMD में,
AM = BM [∵ M कर्ण AB का मध्य-बिंदु है (दिया है)]
∠AMC = ∠BMD
(शीर्षाभिमुख कोण)
CM = DM (दिया है)
∴ ΔAMC ≅ ΔBMD
(SAS सर्वांगसमता नियम से)
∴ ∠ACM = ∠BDM
∠CAM = ∠DBM
और AC = BD
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)

(ii) दो रेखाओं AC और DB के लिए DC एक तिर्यक रेखा है।
हमें प्राप्त है।
∠ACD = ∠BDC (एकांतर कोण) [∵ ∠ACM = ∠BDM, (a) का प्रयोग करने से
∴ ∠ACD = ∠BDC]
∴ AC || DB [∵ यदि एकांतर कोण बराबर हों तो रेखाएँ समांतर होती हैं।]
अब समांतर रेखाओं AC और DB के लिए BC एक तिर्यक रेखा है।
∠DEC = ∠ACB (एकांतर कोण) …….(b)
परंतु ΔABC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें C पर समकोण है।
∴ ∠ACB = 90° ……. (c)
इसलिए ∠DBC = 90° [(b) और (c) का प्रयोग करने से]
अतः ∠DBC एक सकोण है।

(iii) अब ΔDBC और ΔABC में,
DB = AC
[भाग (i) में सिद्ध किया है]
∠DBC = ∠ACB [प्रत्येक 90° भाग (ii) में सिद्ध किया है]
BC = BC (उभयनिष्ठ)
∴ ΔDBC ≅ ΔACB
(SAS सर्वांगसमता नियम से)

(iv) भाग (iii) में हमने सिद्ध किया है कि
ΔDBC ≅ ΔACB
∴ DC = AB
⇒ DM + CM = AB
⇒ CM + CM = AB
[∵ DM = CM (दिया है)]
⇒ 2 CM = AB
⇒ CM = \(\frac {1}{2}\)AB
अत: सिद्ध किया है।

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 6 रेखाएँ और कोण MCQ Questions with Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 6 रेखाएँ और कोण MCQ Questions

बहुविकल्पीय प्रश्न:

नोट-नीचे प्रत्येक प्रश्न के चार-चार उत्तर दिए गए हैं। सही उत्तर का चयन कीजिए।

प्रश्न 1.
आकृति में रेखाएं AB और CD बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करती है। यदि ∠AOC + ∠BOE = 70° और ∠BOD = 40° हो तो ∠BOE और प्रतिवर्ती कोण ∠COE का मान होगा

(A) ∠COE = 250°, ∠BOE = 30°
(B) ∠COE = 70°, ∠BOE = 110°
(C) ∠COE = 30°, ∠BOE = 110°
(D) ∠COE = 50°, ∠BOE = 120°.
उत्तर-
(A) ∠COE = 250°, ∠BOE = 30°

प्रश्न 2.
दी गई आकृति में POQ रेखा है, ∠POR = 4x और ∠QOR = 2x हो तो x का मान होगा

(A) 20
(B) 50°
(C) 30°
(D) 90°.
उत्तर –
(C) 30°

प्रश्न 3.
दी गई आकृति में, यदि ∠AOC + ∠BOD = 75° हो तो ∠COD का मान होगा

(A) 120°
(B) 105°
(C) 1300
(D) 750.
उत्तर-
(B) 105°

प्रश्न 4.
दी गई आकृति में y का मान होगा

(A) 90°
(B) 18°
(C) 30°
(D) 60°
उत्तर –
(B) 18°

प्रश्न 5.
दी गई आकृति में x का मान होगा

(A) 150°
(B) 30°
(C) 45°
(D) 60°.
उत्तर-
(A) 150°

प्रश्न 6.
आकृति में, ∠POR और ∠QOR एक रैखिक युग्म बनाते हैं ? यदि a – b= 80° हो तो और b के मान होंगे-

(A) a = 130°, b = 50°
(B) a= 50°, b = 130°
(C) a= 60°, b = 120°
(D) a = 40°, b = 140°.
उत्तर-
(A) a = 130°, b = 50°

प्रश्न 7.
आकृति में रेखाएं XY और MN बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करती है। यदि ∠POY = 90° और a : b = 2 : 3 तो ∠C का मान होगा-

(A) 140°
(B) 126°
(C) 80°
(D) 95°.
उत्तर-
(B) 126°

प्रश्न 8.
आकृति में दिया है कि ∠XYZ = 64° तथा XY को बिन्दु P तक बढ़ाया गया है। यदि किरण YQ, ∠ZYP को समद्विभाजित करती है तो ∠XYQ का मान होगा-

(A) 122°
(B) 126°
(C) 302°
(D) 258°.
उत्तर-
(A) 122°

प्रश्न 9.
आकृति में a, b से एक समकोण के एक तिहाई भाग से बड़ा हो तो a, b का मान होगा-

(A) a = 95°, b = 85°
(B) a = 105°, b = 75°
(C) a = 65°, b = 115°
(D) a = 60°, b = 120°.
उत्तर-
(B) a = 105°, b = 75°

प्रश्न 10.
दी गई आकृति में n – x = 3° हो तो x और n का मान होगा

(A) x = 126°, n = 129°
(B) x = 125°, n = 28°
(C) x = 150°, n = 95°
(D) x = 135°, n = 65°.
उत्तर-
(A) x = 126°, n = 129°

प्रश्न 11.
यदि एक तिर्यक रेखा दो रेखाओं को इस प्रकार प्रतिच्छेद करे तो तिर्यक रेखा के एक ओर के अंतः कोणों का प्रत्येक युग्म –
(A) पूरक होता है
(B) सम्पूरक होता है।
(C) (a) और (b) दोनों
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर-
(B) सम्पूरक होता है।

प्रश्न 12.
आकृति में q || r तथा p इन दोनों की तिर्यक रेखा है। यदि ∠1 और ∠2, 3 : 2 के अनुपात में हो तो ∠3 और ∠4 का मान होगा –

(A) ∠3 = 108°, ∠4 = 72°
(B) ∠3 = 72°, ∠4 = 108°
(C) ∠3 = 75°, ∠4 = 105°
(D) ∠3 = 85°, ∠4 = 95°.
उत्तर-
(A) ∠3 = 108°, ∠4 = 72°

प्रश्न 13.
दी गई आकृति में x और y के मान होंगे-

(A) x = y = 130°
(B) x = y = 150°
(C) x = y = 160°
(D) x = y = 135°
उत्तर-
(A) x = y = 130°

प्रश्न 14.
आकृति में, यदि AB || CD, CD || EF और y : z = 3 : 7 है, तो x का मान होगा

(A) x = 126°
(B) x = 120°
(C) x = 58°
(D) x = 62°.
उत्तर-
(A) x = 126°

प्रश्न 15.
आकृति में, यदि AB || CD, EF ⊥ CD और ∠GED = 126° तो ∠AGE का मान होगा-

(A) 126°
(B) 120°
(C) 128°
(D) 54°.
उत्तर-
(A) 126°

प्रश्न 16.
आकृति में, यदि PQ || ST, ∠PQR = 110° और ∠RST = 130° है, तो ∠QRS का मान होगा –

(A) 60°
(B) 120°
(C) 80°
(D) 90°.
उत्तर-
(A) 60°

संकेत : बिन्दु R से होकर ST के समान्तर एक रेखा RN खींचिए।
अब ST || l
∠RST + ∠SRN = 180°

[∴ दो समान्तर रेखाओं के बीच एक तिर्यक रेखा के एक ओर के अन्तः कोणों का योग 180° होता है।]
⇒ 130° + ∠SRN = 180°
⇒ ∠SRN = 180° – 130°
⇒ ∠SRN = 50°
अब PQ || ST (दिया है)
और PN || ST (रचना)
∴ PQ || RN [∴ दो रेखाएं जो एक ही रेखा के समान्तर हों परस्पर समान्तर हैं।]
अब PQ || RN और QR एक तिर्यक रेखा है।
∴ ∠QRN = ∠PQR (एकान्तर कोण)
⇒ ∠QRN = 110°
[∴ ∠PQR = 110° (दिया है)]
∠QRN = 110°
∠QRS + ∠SRN = 110°
QRS + 50° = 110°
[(i) का प्रयोग करने पर]
∠QRS = 110° – 50°
∠QRS = 60°.

प्रश्न 17.
आकृति में, यदि AB || CD, ∠APQ = 50° और ∠PRD = 127° है, तो x और y ज्ञात कीजिए।

(A) x = 50°, y = 77°
(B) x = 40°, y = 85°
(C) x = 60°, y = 90°
(D) x = 85°, y = 75°,
उत्तर-
(A) x = 50°, y = 77°

प्रश्न 18.
दी गई आकृति में, AB || CD, x का मान होगा –

(A) 185°
(B) 280°
(C) 285°
(D) 195°.
उत्तर-
(C) 285°

प्रश्न 19.
यदि एक तिर्यक रेखा दो रेखाएं इन प्रकार परिच्छेद करें कि, तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अन्तः कोणों का योगफल ……….. हो तो वे रेखाएं समान्तर होती हैं।
(A) 90°
(B) 120°
(C) 80°
(D) 180°.
उत्तर-
(D) 180°

प्रश्न 20.
निम्न आकृति में यदि ∠AOB, ∠COD के बराबर हो तथा ∠BOC समकोण हो तो ∠AOB और ∠COD का मान है-

(A) 30°
(B) 90°
(C) 45°
(D) 60.
उत्तर-
(C) 45°

प्रश्न 21.
दी गई आकृति में Za और Lb का योगफल बराबर है –

(A) ∠c + ∠d
(B) ∠d + ∠e
(C) ∠b + ∠c
(D) ∠a + ∠c.
उत्तर-
(B) ∠d + ∠e

प्रश्न 22.
एक त्रिभुज में अन्तः सम्मुख कोण सदैव छोटा होता है-
(A) त्रिभुज के किसी भी एक कोण से
(B) सम्मुख कोण से
(C) समकोण से
(D) बाह्य कोण से।
उत्तर-
(D) बाह्य कोण से।

प्रश्न 23.
त्रिभुज के दो अन्तः कोणों का योगफल सदैव बराबर होता है
(A) बाह्य कोण के
(B) समकोण के
(C) तीसरे कोण के
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर-
(A) बाह्य कोण के

प्रश्न 24.
निम्न आकृति में ∠1 = 70° तो ∠4 का मान है-

(A) 70°
(B) 110°
(C) 140°
(D) इनमें में कोई नहीं।
उत्तर-
(B) 110°

प्रश्न 25.
त्रिभुज का बहिष्कोण सदैव बड़ा होता है
(A) आन्तरिक सम्मुख कोणों से
(B) तीसरे कोण से
(C) 90° से
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर-
(A) आन्तरिक सम्मुख कोणों से

प्रश्न 26.
त्रिभुज का एक बहिष्कोण 115° का है और अन्तः अभिमुख कोण 35° का है। अन्य दो कोणों का मान है-

(A) 65°, 80°
(B) 75°, 45°
(C) 95°, 350
(D) 105°, 30°.
उत्तर-
(A) 65°, 80°

प्रश्न 27.
आकृति में ΔPQR की भुजाओं QP और RQ को क्रमशः बिन्दुओं और T तक बढ़ाया गया है। यदि ∠SPR = 135° और ∠PQT = 110° हो तो ∠PRQ का मान होगा-

(A) 75°
(B) 65°
(C) 85°
(D) 95°.
उत्तर-
(B) 65°

प्रश्न 28.
आकृति में ∠x = 62°, ∠XYZ = 54° है। यदि YO और ZO क्रमश: ∠XYZ और ∠XZY, ΔXYZ के समद्विभाजक हों तो ∠OZY और ∠YOZ के मान होंगे-

(A) 32°, 121°
(B) 45°, 1150
(C) 38°, 122°
(D) 46°, 124°.
उत्तर-
(A) 32°, 121°

प्रश्न 29.
आकृति में, यदि AB || DE, ∠BAC = 35° और ∠CDE = 53° है तो ∠DCE का मान होगा –

(A) 82°
(B) 72°
(C) 92°
(D) 108°.
उत्तर-
(C) 92°

प्रश्न 30.
आकृति में यदि रेखाएं PQ और RS बिन्दु T पर इस प्रकार प्रतिच्छेदित हैं कि ∠PRT = 40°, ∠RPT = 95° और ∠TSQ = 75° हो तो ∠SQT का मान होगा –

(A) 60°
(B) 750
(C) 85°
(D) 65°.
उत्तर-
(A) 60°

संकेत –

ΔPRT में,
∠RPT + ∠PRT + ∠PTR = 180°
⇒ 95° + 40° + ∠PTR = 180°
⇒ ∠PTR = 180°- 95° – 40°
= 45° ….(i)
PQ और RS परस्पर बिन्दु T पर प्रतिच्छेद करते हैं।
∠STQ = ∠PTR (शीर्षाभिमुख कोण)
STQ में, ∠SQT + 45° + 75° = 180°
∠SQT = 45° [(i) का प्रयोग करने पर]
ΔSTQ में,
∠SQT + 45° + 75° = 180°
∠SQT = 180° – 45° – 75° = 60°

प्रश्न 31.
आकृति में, यदि PQ ⊥ RS, PQ || SR,
∠SQR = 28° और ∠QRT = 65° है, x और y के मान होंगे-

(A) x = 37°, y = 53°
(B) x = 63°, y = 37°
(C) x = 35°, y = 63°
(D) x = 73°, y = 27°.
उत्तर-
(A) x = 37°, y = 53°

संकेत : ΔQSR में,
बहिष्कोण ∠QRT = ∠QSR + ∠SQR
65° = ∠QSR + 28°
∠QSR = 65° – 28° = 37°
PQ || SR और SQ एक तिर्यक रेखा है।
∴ x = ∠QSR = 37°
PQ ⊥ PS
∠QPS = 90°
समकोण ΔPQS में,
∠QPS + x + y = 180°
90° + 37° + y = 180°
127° + y = 180°
y = 180° – 127° = 53°

प्रश्न 32.
यदि एक त्रिभुज के कोण 2:3:4 के अनुपात में हों तो त्रिभुज के तीनों कोणों का माप होगा
(A) 40°, 60°, 80°
(B) 50°, 30°, 100°
(C) 60°, 70°, 50°
(D) 40°, 40°, 100°.
उत्तर-
(A) 40°, 60°, 80°

प्रश्न 33.
एक त्रिभुज में यदि दो कोणों का योग तीसरे कोण के बराबर हो, केवल अन्तः कोणों को मानें तो त्रिभुज होगी
(A) समकोणी
(B) न्यून कोणी
(C) समबाहु
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर-
(A) समकोणी

प्रश्न 34.
यदि दो समान्तर रेखाओं को एक तिर्यक रेखा प्रतिच्छेद करे तो अन्तः कोणों के समद्विभाजकों से आकृति बनती है
(A) आयत
(B) वर्ग
(C) समलम्ब
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर-
(A) आयत

प्रश्न 35.
निम्न, आकृति में यदि m∠AOC + m∠BOD = 286°, तो ∠BOC का मान है –

(A) 143°
(B) 37°
(C) 74°
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर-
(B) 37°

प्रश्न 36.
आकृति में, यदि AB || CD || EF, PQ || RS, ∠RQD = 25° और ∠CQP = 60° है, तो ∠QRS बराबर है।

(A) 85°
(B) 135°
(C) 145°
(D) 110°
उत्तर :
(C) 145°

प्रश्न 37.
यदि किसी त्रिभुज का एक कोण अन्य कणों के योग के बराबर हो, तो वह त्रिभुज है एक
(A) समद्विबाहु त्रिभुज
(B) अधिककोण त्रिभुज
(C) समबाहु त्रिभुज
(D) समकोण त्रिभुज।
उत्तर :
(D) समकोण त्रिभुज।

प्रश्न 38.
एक त्रिभुज का एक बहिष्कोण 105° है तथा उसके दोनों अंतः विपरीत कोण बराबर हैं। इनमें से प्रत्येक बराबर कोण है :
(A) 37\(\frac {1}{2}\)°
(B) 52\(\frac {1}{2}\)°
(C) 72\(\frac {1}{2}\)°
(D) 75°.
उत्तर :
(A) 37\(\frac {1}{2}\)°

प्रश्न 39.
किसी त्रिभुज के कोणों का अनुपात 5 : 3 : 7 है। वह त्रिभुज है एक
(A) न्यूनकोण त्रिभुज
(B) अधिक कोण त्रिभुज
(C) समकोण त्रिभुज
(D) समद्विबाहु त्रिभुज।
उत्तर :
(A) न्यूनकोण त्रिभुज

प्रश्न 40.
यदि किसी त्रिभुज का एक कोण 130° है, तो अन्य दोनों कोणों के समद्विभाजकों के बीच का कोण हो सकता है।
(A) 50°
(B) 65°
(C) 145°
(D) 155°.
उत्तर :
(D) 155°.

प्रश्न 41.
आकृति में POQ एक रेखा है। x का मान है।

(A) 20°
(B) 25°
(C) 30°
(D) 35°.
उत्तर :
(A) 20°

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 15 प्रायिकता MCQ Questions with Answers.

PSEB 9th Class Maths Chapter 15 प्रायिकता MCQ Questions

बहुविकल्पीय प्रश्न:

दिये गए चार विकल्पों में से सही उत्तर का चयन करें।

प्रश्न 1.
एक पासे को 500 बार फेंकने पर परिणाम 2 आने की बारंबारता 200 है। 2 की प्रायिकता क्या है ?
(A) \(\frac{3}{5}\)
(B) \(\frac{2}{5}\)
(C) 1
(D) \(\frac{4}{5}\)
उत्तर:
(B) \(\frac{2}{5}\)

प्रश्न 2.
एक क्रिकेट मैच में एक बल्लेबाज 50 गेंदों में 15 बार चौका मारता है। चौका न मारने की प्रायिकता क्या है ?
(A) \(\frac{7}{10}\)
(B) \(\frac{3}{10}\)
(C) \(\frac{1}{10}\)
(D) \(\frac{9}{10}\)
उत्तर:
(A) \(\frac{7}{10}\)

प्रश्न 3.
तीन सिक्कों को एक साथ 300 बार उछाला गया। 3 चित आने की बारंबारता 40 है। तीन चितों की प्रायिकता क्या है ?
(A) \(\frac{1}{15}\)
(B) \(\frac{4}{15}\)
(C) \(\frac{7}{15}\)
(D) \(\frac{2}{15}\)
उत्तर:
(D) \(\frac{2}{15}\)

प्रश्न 4.
आटे की उन 11 थैलियों में जिन पर 5 किलोग्राम अंकित है। वास्तव में आटे के भार (कि० ग्रा०) है :
4.98, 5.06, 5.09, 5.02, 5.00, 5.08. 4.96, 5.05, 5.03, 5.00
यादृच्छाया चुनी गई एक थैली में 5 किलोग्राम से अधिक आटा होने की प्रायिकता क्या होगी ?
(A) \(\frac{9}{11}\)
(B) \(\frac{5}{11}\)
(C) \(\frac{7}{11}\)
(D) \(\frac{8}{11}\)
उत्तर:
(C) \(\frac{7}{11}\)

प्रश्न 5.
642 व्यक्तियों पर किए गए एक प्रतिदर्श अध्ययन में यह पाया गया कि 514 व्यक्तियों के पास हाई स्कूल सर्टिफिकेट हैं। यदि इनमें एक व्यक्ति को यादृच्छिक रूप से चुना जाए तो इसकी प्रायिकता कि उस व्यक्ति के पास हाई स्कूल सर्टिफिकेट है-
(A) 0.5
(B) 0.6
(C) 0.7
(D) 0.8.
उत्तर:
(D) 0.8.

प्रश्न 6.
19-36 महीने की आयु वाले 364 बच्चों पर किए गए एक सर्वे में यह पाया गया कि 91 बच्चे आलू के चिप्स खाना पसंद करते हैं। इनमें से एक बच्चा यदि यादृच्छिक (यदृच्छ) रूप से चुना जाता है तो इसकी प्रायिकता कि वह बच्चा आलू के चिप्स पसंद नहीं करेगा है-
(A) 0.25
(B) 0.50
(C) 0.75
(D) 0.80.
उत्तर:
(C) 0.75

प्रश्न 7.
किसी कक्षा के विद्यार्थियों की एक मेडिकल परीक्षा में निम्नलिखित रक्त समूह रिकार्ड किए गए-

रक्त समूह	A	AB	B	O
विद्यार्थियों का समूह	10	13	12	5

इस कक्षा में से एक विद्यार्थी यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। इस विद्यार्थी का रक्त समूह B होने की प्रायिकता है-
(A) \(\frac{1}{4}\)
(B) \(\frac{13}{40}\)
(C) \(\frac{3}{10}\)
(D) \(\frac{1}{8}\)
उत्तर:
(C) \(\frac{3}{10}\)

प्रश्न 8.
दो सिक्कों को 1000 बार उछाला जाता है और इनके परिणाम निम्नलिखित प्रकार से रिकार्ड किए जाते हैं :

चितों की संख्या	2	1	0
बारंबारता	200	550	250

इस सूचना के आधार पर, अधिकतम एक चित की प्रायिकता है-
(A) \(\frac{1}{5}\)
(B) \(\frac{1}{4}\)
(C) \(\frac{4}{5}\)
(D) \(\frac{3}{4}\)
उत्तर:
(C) \(\frac{4}{5}\)

प्रश्न 9.
एक संग्रह में से 80 बल्ब यादृच्छिक रूप से चुने जाते हैं और उनके जीवन कालों (घंटों में) को निम्नलिखित बारंबारता सारणी के रूप में रिकार्ड किया गया-

जीवन काल (घंटों में)	300	500	700	900	1100
बारंबारता	10	12	23	25	10

इस संग्रह में से एक बल्ब यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। इस बल्ब का जीवन काल 1150 घंटा होने की प्रायिकता है :
(A) \(\frac{1}{80}\)
(B) \(\frac{7}{16}\)
(C) 0
(D) 1
उत्तर:
(C) 0

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 15 प्रायिकता Ex 15.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 15 प्रायिकता Ex 15.1

प्रश्न 1.
एक क्रिकेट मैच में, एक महिला बल्लेबाज खेली गई 30 गेंदों में 6 बार चौका मारती है। चौका न मारे जाने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल :
बल्लेबाज द्वारा खेली गई गेंदों की संख्या = 30
गेंदों की संख्या जिन पर चौका मारा = 6
गेंदों की संख्या जिन पर चौका नहीं लगा = 30 – 6 = 24
P (अगली गेंद जिस पर चौका नहीं लगेगा)

= \(\frac{24}{30}\)
= \(\frac{4}{5}\)

प्रश्न 2.
2 बच्चों वाले 1500 परिवारों की यदृच्छया चयन किया गया है और निम्नलिखित आंकड़े लिख लिए गए हैं :

परिवार में लड़कियों की संख्या	परिवारों की संख्या
2	475
1	814
0	211

यदृच्छया चुने गए उस परिवार की प्रायिकता ज्ञात कीजिए, जिसमें
(i) दो लड़कियाँ हों
(i) एक लड़की हो
(iii) कोई लड़की न हो।
साथ ही, यह भी जाँच कीजिए कि इन प्रायिकताओं का योगफल 1 है या नहीं।
हल :
(i) परिवारों की कुल संख्या = 1500
2 लड़कियों वाले परिवारों की संख्या = 475
2 लड़कियों वाले परिवारों की प्रायिकता P (2 लड़कियों वाले परिवार)

(ii) 1 लड़की वाले परिवारों की संख्या = 814
∴ P (1 लड़की वाले परिवार)

(iii) परिवारों की संख्या जिनकी कोई लड़की नहीं है = 211
∴ P (परिवार जिनकी कोई लड़की नहीं)

जाँच :
प्रायिकताओं का योग
= \(\frac{19}{60}+\frac{407}{750}+\frac{211}{1500}\)
= \(\frac{475+814+211}{1500}\)
= \(\frac{1500}{1500}\) = 1
अतः, सभी तीन प्रायिकताओं का योगफल 1 है।

प्रश्न 3.
अध्याय 14, के अनुच्छेद 14.4 का उदाहरण लीजिए। कक्षा के किसी एक विद्यार्थी का जन्म अगस्त महीने में होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल :
अध्याय 14 के अनुच्छेद 14.4 की उदाहरण 5
अनुसार नवीं कक्षा के विद्यार्थी की कुल संख्या = 40
अगस्त मास में जन्मे विद्यार्थियों की कुल संख्या = 6
P (अगस्त में जन्मा विद्यार्थी)

प्रश्न 4.
तीन सिक्कों को एक साथ 200 बार उछाला गया है तथा इनमें विभिन्न परिणामों की बारंबारताएँ ये हैं :

परिणाम	बारंबारता
3 चित	23
2 चित	72
1 चित	77
कोई भी चित नहीं	28

यदि तीनों सिक्कों को पुनः एक साथ उछाला जाए, तो दो चित आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल :
तीन सिक्कों को एक साथ जितनी बार उछाला गया = 200
2 चित आने की बारंबारता = 72
2 चित आने की प्रायिकता अर्थात् P (2 चित आएँ)

प्रश्न 5.
एक कंपनी ने यदृच्छया 2400 परिवार चुनकर एक घर की आय स्तर और वाहनों की संख्या के बीच संबंध स्थापित करने के लिए उनका सर्वेक्षण किया। एकत्रित किए गए आंकड़े आगे सारणी में दिए गए हैं :

मान लीजिए एक परिवार चुना गया है। प्रायिकता रह कीजिए कि चुने गए परिवार :
(i) की आय ₹ 10000-13000 रु. प्रति माह है और उसके पास ठीक-ठीक दो वाहन हैं।
(ii) की आय प्रति माह ₹ 16000 रु. या इससे अधिक है और उसके पास ठीक 1 वाहन है।
(iii) की आय ₹ 7000 रु. प्रति माह से कम है और उसके पास कोई वाहन नहीं है।
(iv) की आय ₹ 13000-16000 रु. प्रति माह है और उसके पास 2 से अधिक वाहन है।
(v) जिसके पास 1 से अधिक वाहन नहीं है।
हल :
कंपनी द्वारा सर्वेक्षण किए गए परिवारों की कुल संख्या = 2400
(i) 10,000 – 13000 रु. प्रति माह आय वाले और ठीक-ठाक दो वाहन रखने वाले परिवारों की संख्या = 29
∴ 10,000 – 13000 रु. प्रति माह आय वाले और ठीक-ठीक दो वाहन रखने वाले परिवारों की प्रायिकता = \(\frac{29}{2400}\)

(ii) 16000 रु. या अधिक प्रति माह आये वाले और ठीक 1 वाहन रखने वाले परिवारों की संख्या = 579
∴ 16000 रु. या इससे अधिक प्रतिमाह आय और ठीक 1 वाहन वाले चुने गए परिवारों की प्रायिकता = \(\frac{576}{2400}\)

(iii) 7000 रु. प्रतिमाह से कम और कोई वाहन न रखने वाले परिवारों की संख्या = 10
∴ P (7000 रु. से कम और कोई वाहन न रखने वाला परिवार)
= \(\frac{10}{2400}\)
= \(\frac{1}{240}\)

(iv) 13000 – 16000 रु. प्रति माह आय वाले और 2 से अधिक वाहन रखने वाले परिवारों की संख्या = 25
∴ P (13000 – 16000 रु. आय और 2 से अधिक वाहन रखने वाले) = \(\frac{25}{2400}\)
= \(\frac{1}{96}\)

(v) परिवारों की संख्या जिसके पास 1 से अधिक वाहन नहीं है।
= कोई वाहन न रखने वाले परिवारों की संख्या + केवल 1 वाहन रखने वाले परिवारों की संख्या
= (10 + 0+ 1 + 2 + 1) + (160 + 305 + 535 + 469 + 579)
= 14 + 2048
= 2062
∴ P (एक परिवार जिसके पास 1 से अधिक वाहन नहीं है।
= \(\frac{2062}{2400}\)
= \(\frac{1031}{1200}\)

प्रश्न 6.
अध्याय 14 की सारणी 14.7 लीजिए।
(i) गणित की परीक्षा में एक विद्यार्थी द्वारा 20% कम अंक प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
(ii) एक विद्यार्थी द्वारा 60 या इससे अधिक अंक प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल :
अध्याय 14 की सारणी 14.7 के अनुसार विद्यार्थियों की कुल संख्या = 90
(i) 20% से कम अंक लेने वाले विद्यार्थियों की संख्या = 7
∴ P (20% से कम अंक प्राप्त करने वाला विद्यार्थी)

(ii) 60 या इससे अधिक अंक प्राप्त करने वाले विद्यार्थियों की संख्या = 60 – 70 अंक प्राप्त करने वाले विद्यार्थी + 70 और उससे अधिक अंक प्राप्त करने वाले विद्यार्थी
= 15 +8
= 23

प्रश्न 7.
सांख्यिकी के बारे में विद्यार्थियों का मत जानने के लिए 200 विद्यार्थियों का सर्वेक्षण किया गया। प्राप्त आँकड़ों को नीचे दी गई सारणी में लिख लिया गया है:

मत	विद्यार्थियों की संख्या
पसंद करते हैं	135
पसंद नहीं करते हैं	65

प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यदृच्छया चुना गया विद्यार्थी
(i) सांख्यिकी पसंद करता है।
(ii) सांख्यिकी पसंद नहीं करता है।
हल :
सांख्यिकी के विद्यार्थियों की कुल संख्या जिन पर सर्वेक्षण किया गया = 200
(i) विदयार्थियों की संख्या जो सांख्यिकी को पसंद करते हैं = 135
∴ P (सांख्यिकी पसंद करता विदयार्थी) विद्यार्थी जो सांख्यिकी पसंद करते हैं

(ii) सांख्यिकी को पसंद करने वाले विद्यार्थियों की संख्या = 65
∴ P (सांख्यिकी को पसंद न करने वाले विद्यार्थी)

प्रश्न 8.
प्रश्नावली 14.2 का प्रश्न 2 देखिए। इसकी आनुभविक प्रायिकता क्या होगी कि इंजीनियर
(i) अपने कार्यस्थल से 7 km से कम दूरी पर रहती है ?
(ii) अपने कार्यस्थल से 7 km या इससे अधिक दूरी पर रहती है ?
(iii) अपने कार्यस्थल से \(\frac{1}{2}\) km या इससे कम दूरी पर रहती है ?
हल :
प्रश्नावली 14.2 के प्रश्न 2 के अनुसार इंजीनियरों की कुल संख्या = 40
(i) अपने कार्यस्थल से 7 km से कम दूरी पर रहने वाले इंजीनियरों की संख्या = 9
∴ P (इंजीनियर जो कार्यस्थल से 7 km से कम दूरी पर रहते हैं)

(ii) अपने कार्यस्थल से 7 km या इससे अधिक दूरी पर रहने वाले इंजीनियरों की संख्या = 31
∴ P (इंजीनियर जो कार्यस्थल से 7 km या इससे अधिक दूरी पर रहता है)

(iii) अपने कार्यस्थल से \(\frac{1}{2}\) km या इससे कम दूरी पर रहने वाले इंजीनियरों की संख्या = 0
∴ P (इंजीनियर जो कार्यस्थल से \(\frac{1}{2}\) km या इससे कम दूरी पर रहता है)

प्रश्न 9.
क्रियाकलाप : अपने विद्यालय के गेट के सामने से एक समय-अंतराल में गुज़रने वाले दो पहिया, तीन पहिया और चार पहिया वाहनों की बारंबारता लिख लीजिए। आप द्वारा देखे गए वाहनों में से किसी एक वाहन का दो पहिया वाहन होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए आपने विद्यालय के समय के बाद (3 p.m. से 3.30 p.m.) आधा घंटा विद्यालय के गेट के बाहर से गुजरने वाले वाहनों के प्रकार को देखा है।

मान लीजिए वाहनों की बारंबारता नीचे दी गई सारणी में दर्शाई गई है :

वाहन का प्रकार	वाहनों की बारंबारता
दो पाहिया	125
तीन पहिया	45
चार पहिया	30

इस अंतराल के बाद गुज़रने वाले वाहन का दो पहिया वाहन होने की प्रायिकता

प्रश्न 10.
क्रियाकलाप : आप अपनी कक्षा के विद्यार्थियों से एक 3 अंक वाली संख्या लिखने को कहिए। आप कक्षा से एक विद्यार्थी को यदृच्छया चुन लीजिए। इस बात की प्रायिकता क्या होगी कि उसके द्वारा लिखी गई संख्या 3 से भाज्य है? याद रखिए कि कोई संख्या 3 से भाज्य होती है, यदि उसके अंकों का योग 4 से भाज्य हो।
हल :
मान लीजिए आप की कक्षा में विद्यार्थियों की संख्या 24.
मान लीजिए प्रत्येक विद्यार्थी द्वारा लिखे गए 3 अंक वाली संख्याएँ हैं :
837, 172, 643, 371, 124, 512, 432, 948, 311, 252, 999, 557, 784, 928, 867, 798, 665, 245, 107, 463, 267, 523, 944, 314.
3 से विभाजित होने वाली संख्याएँ हैं : 837, 432, 948, 252, 999, 867,798 और 267
3 से विभाजित 3 अंकों वाली संख्याओं की संख्या 8 है :
∴ P (3 अंकों वाली 3 से विभाजित संख्याएँ)

प्रश्न 11.
आटे की उन ग्यारह थैलियों में, जिन पर 5 kg अंकित है, वास्तव में आटे के निम्नलिखित भार (kg में) हैं :
4.97, 5.05, 5.08, 5.03, 5.00, 5.06, 5.08, 4.98, 5.04, 5.07, 5.00.
यदृच्छाया चुनी गई एक थैली में 5 Kg से अधिक आटा होने की प्रायिकता क्या होगी ?
हल :
आटे की थैलियों की कुल संख्या = 11
5 kg से अधिक आटे वाली थैलियों की संख्या = 7
P (5 kg से अधिक आटा)

प्रश्न 12.
प्रश्नावली 14.2 के प्रश्न 5 में आपसे 30 दिनों तक एक नगर की प्रति वायु में सल्फर डाइ-ऑक्साइड की भाग प्रति मिलियन में सांद्रता से संबंधित एक बारंबारता बंटन सारणी बनाने के लिए कहा गया था। इस सारणी की सहायता से इनमें से किसी एक दिन अंतराल (0.12-0.16) में सल्फर डाइ-ऑक्साइड के सांद्रण होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल :
प्रश्नवाली 14.2 के प्रश्न 5 के अनुसार अंतराल (0.12 – 0.16) की बारंबारता = 2
दिनों की कुल संख्या= 30
अंतराल (0.12 – 0.16) में सल्फर डाइ-ऑक्साइड के सांद्रण होने की प्रायिकता

अंतराल (0.12 – 0.16) की बारंबारता
= \(\frac{2}{30}\)
= \(\frac{1}{15}\)

प्रश्न 13.
प्रश्नावली 14.2 के प्रश्न 1 में आपसे एक कक्षा के 30 विद्यार्थियों के रक्त-समूह से संबंधित बारंबारता बंटन सारणी बनाने के लिए कहा गया था। इस सारणी की सहायता से इस कक्षा से यदृच्छया चुने गए एक विद्यार्थी का रक्त समूह AB होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल :
प्रश्नावली 14.2 के प्रश्न 1 अनुसार,
रक्त समूह AB के विद्यार्थियों की संख्या = 3
विद्यार्थियों की कुल संख्या = 30
चुने गए एक विद्यार्थी का रक्त समूह AB होने की प्रायिकता

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 6 रेखाएँ और कोण Ex 6.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 6 रेखाएँ और कोण Ex 6.3

प्रश्न 1.
आकृति में, ΔPQR की भुजाओं QP और RQ को क्रमश: : बिंदुओं S और T तक बढ़ाया गया है। यदि ∠SPR = 135° है और ∠PQT = 110° हैं, तो ∠PRQ ज्ञात कीजिए।

हल:
∠SPR + ∠QPR = 180° (रैखिक युग्म)
⇒ 135°+ ∠QPR = 180°
⇒ ∠QPR = 180° – 135°
⇒ ∠QPR = 45°
जैसा कि हम जानते हैं कि एक त्रिभुज का बहिष्कोण में अंतः अभिमुख कोणों के योग के बराबर होता है।
ΔPQR में ;
कोण ∠PQT = ∠QPR + ∠PRQ
⇒ 110° = 45° + ∠PRQ
⇒ 110° – 45° = ∠PRQ
⇒ 65° = ∠PRQ
य ∠PRQ = 65°

प्रश्न 2.
आकृति में ∠x = 62° और ∠XYZ = 54° है। यदि YO और ZO क्रमश: ΔXYZ के ∠XYZ और ∠XZY के समद्विभाजक हैं, तो ∠OZY और ∠YOZ ज्ञात कीजिए।

हल :
ΔXYZ में,
∠x + ∠XYZ + ∠XZY = 180°
(त्रिभुज का कोण योग गुण)
⇒ 62° + 54° + ∠XZY = 180°
⇒ ∠XZY = 180° – 62° – 54°
⇒ ∠XZY = 64°
अब ZO, ∠XZY का समद्विभाजक है।
∴ ∠OZY = ∠OZX = \(\frac {1}{2}\)∠XZY
∠OZY = ∠OZX = \(\frac {1}{2}\) × 64°
⇒ ∠OZY = ∠OZX = 32°
∠OZY = 32°
YO, ∠XYZ का समद्विभाजक है।
∴ ∠OYZ = ∠OYX = \(\frac {1}{2}\)∠XYZ
⇒ ∠OYZ = \(\frac {1}{2}\) × 54°
⇒ ∠OYZ = 27°
अब ΔOYZ में
⇒ ∠YOZ + ∠OYZ + ∠OZY = 180°
(त्रिभुज का कोण योग गुण)
⇒ ∠YOZ + 27° + 32° = 180°
⇒ ∠YOZ = 180° – 27° – 32°
⇒ ∠YOZ = 121°

प्रश्न 3.
आकृति में, यदि AB || DE, ∠BAC = 35° और ∠CDE = 53° है, तो ∠DCE ज्ञात कीजिए।
हल :
AB || DE और AE एक तिर्यक रेखा है।

∴ ∠BAE = ∠AED (एकांतर कोण)
या ∠BAC = ∠AED
⇒ 35° = ∠AED
या ∠AED = 35°
या ∠CED = 35°
अब ΔCDE में;
∠DCE + ∠CDE + ∠CED = 180° (त्रिभुज का कोण योग गुण)
⇒ ∠DCE + 53° + 35° = 180°
⇒ ∠DCE + 88° = 180°
⇒ ∠DCE = 180° – 88°
⇒ ∠DCE = 92°

प्रश्न 4.
आकृति में, यदि रेखाएँ PQ और RS बिंदु T | पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करती हैं कि ∠PRT = 40°, ∠RPT = 95° और ∠TSQ = 75° है, तो ∠SQT ज्ञात कीजिए।

हल :
ΔPRT में; ∠RPT + ∠PRT + ∠PTR = 180°
(त्रिभुज का कोण योग गुण)
⇒ 95° + 40° + ∠PTR = 180°
⇒ ∠PTR = 180° – 95° – 40°
⇒ ∠PTR = 180° – 1350
⇒ ∠PTR = 45° …(i)
PQ और RS परस्पर बिंदु T पर प्रतिच्छेदित करते हैं।
∴ ∠STQ = ∠PTR
(शीर्षाभिमुख कोण)
⇒ ∠STQ = 45°
[(i) का प्रयोग करने पर।]
अब ΔSTQ में,
⇒ ∠SQT + ∠STQ + ∠QST = 180°
(त्रिभुज का कोण योग गुण)
⇒ ∠SQT + 45° + 75° = 180°
⇒ ∠SQT = 180° – 45° – 75°
⇒ ∠SQT = 180° – 120°
⇒ ∠SQT = 60°

प्रश्न 5.
आकृति में, यदि PQ ⊥ PS, PQ || SR, ∠SQR = 28° और ∠QRT = 65° है, तो x और y के मान ज्ञात कीजिए।
हल :
जैसा कि हम जानते हैं कि त्रिभुज का एक बहिष्कोण दोनों अंत: अभिमुख कोणों के योग के बराबर होता है।
ΔQSR में,
बहिष्कोण ∠QRT = ∠QSR + ∠SQR
⇒ 65° = ∠QSR + 28°
⇒ 65° – 28° = ∠QSR
⇒ 37° = ∠QSR या
∠QSR = ∠37° ………….(i)

PQ || SR और SQ एक तिर्यक रेखा है
∴ x = ∠QSR
⇒ x = 37°
[(i) का प्रयोग करने पर] … (ii)
PQ ⊥ PS
⇒ ∠QPS = 90° … (iii)
समकोण ΔPQS में;
ΔQPS + x + y = 180°
(त्रिभुज का कोण योग गुण)
⇒ 90° + 37° + y = 180°
[(ii) और (iii) का प्रयोग करने पर।]
⇒ 127° + y = 180°
⇒ y = 180° – 127°
⇒ y= 53°

प्रश्न 6.
आकृति में, ΔPQR की भुजा QR को बिंदु S तक बढ़ाया गया है। यदि ∠PQR और ∠PRS के समद्विभाजक बिंदु T पर मिलते हैं, तो सिद्ध कीजिए कि ∠QTR = \(\frac {1}{2}\) ∠QPR है।

हल :
QT ∠PQR का समद्विभाजक है।
∴ ∠PQT = ∠RQT … (i)
RT, ∠PRS का समद्विभाजक
∴ ∠PRT = ∠TRS … (ii)
जैसा कि हम जानते हैं कि एक त्रिभुज एक बहिष्कोण दोनों अंत: अभिमुख कोणों के योग के बराबर होता है।
∴ Δ PQR में,
बहिष्कोण ∠PRS = ∠QPR + ∠PQR
⇒ (∠PRT + ∠TRS) = ∠QPR + (∠PQT + ∠RQT)
⇒ ∠TRS + ∠TRS = ∠QPR + (∠RQT + ∠RQT) [(i) और (ii) के प्रयोग करने से]
⇒ 2∠TRS = ∠QPR + 2∠RQT
⇒ 2(∠TRS – ∠RQT) = ∠QPR
⇒ ∠TRS – ∠RQT= \(\frac {1}{2}\) ∠QPR … (iii)
अब ΔQTR में ;
बहिष्कोण ∠TRS = (∠QTR) + (∠RQT) …… (iv)
[∵ त्रिभुज का बहिष्कोण दोनों अंतः अभिमुख कोणों के योग के बराबर होता है।]
(iv) से ∠TRS को ∠QTR और ∠RQT के रूप में (iii) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है।
∠QTR + ∠RQT – ∠RQT = \(\frac {1}{2}\)∠QPR
⇒ ∠QTR = \(\frac {1}{2}\) ∠QPR

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 6 रेखाएँ और कोण Ex 6.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 6 रेखाएँ और कोण Ex 6.2

प्रश्न 1.
आकृति में, x और y के मान ज्ञात कीजिए और फिर दर्शाइए कि AB || CD है।
हल :
मान लीजिए तिर्यक रेखा l, AB और CD को क्रमश: P और Q पर प्रतिच्छेदित करती है।

दी गई आकृति में,
50° + x = 180° (रैखिक युग्म)
⇒ x = 180° -50°
⇒ x = 130° …………. (i)
y= 130°
(शीर्षाभिमुख कोण)…….(ii)
(i) और (ii), से हम देखते हैं कि
x = y
यह दर्शाता है कि अंत: एकांतर कोण बराबर हैं।
जैसा कि हम जानते हैं कि यदि एक तिर्यक रेखा (मान लीजिए l) दो रेखाओं को इस प्रकार प्रतिच्छेदित करती है कि अंत: एकांतर कोणों के युग्म बराबर हों, तो दो रेखाएँ समांतर होती हैं।
अत: AB || CD.

प्रश्न 2.
आकृति में, यदि AB || CD, CD || EF और y : z = 3 : 7 है, तोx का मान ज्ञात कीजिए।

हल:
AB || CD
∴ x + y = 180° ……….(i)
[∵ दो समांतर रेखाओं के बीच एक तिर्यक रेखा के एक ओर के अंत: कोणों का योग 180° होता है।]
दिया है कि
AB || CD, CD||EF
∴ AB || EF [∵ एक ही रेखा के समांतर खींची गई दो रेखाएँ परस्पर समांतर होती हैं।]
अत: x = z (समांतर रेखाओं के लिए एकांतर अंतः कोण बराबर होते हैं।) …(ii)
(ii) से x का मान (i) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :
z + y = 180° ….(iii)
दिया है कि y : z = 3 : 7
मान लीजिए कि y = 3k ∴ z = 7k
जहाँ अचर k > 0
y और z के मान (iii) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :
7k + 3k = 180°
⇒ 10k = 180°
⇒ k = \(\frac {180°}{10}\)
⇒ k=18°
अत: y = 3k
⇒ y = 3 × 18°
⇒ y= 54°
⇒ z = 7k
⇒ z = 7 × 18°
⇒ z = 126°
(ii) से हमें प्राप्त होता है : x = z
∴ x = 126°

प्रश्न 3.
आकृति में, यदि AB ||CD, EF ⊥ CD और ∠GED = 126° है, तो ∠AGE, ∠GEF और ∠FGE ज्ञात कीजिए।

हल :
AB || CD और GE एक तिर्यक रेखा है.
∵ ∠AGE = ∠GED [एकांतर कोण]
⇒ ∠AGE = 126°
[∵ ∠GED = 126° (दिया है)]
∠GED = 126° (दिया है)
या ∠GEF + ∠FED = 126°
⇒ ∠GEF + 90° = 126°
[∵ EF ⊥ CD (दिया है)]
[∵ ∠FED = 90°]
⇒ ∠GEF = 126° – 90°
⇒ ∠GEF = 36°
अब ∠AGE + ∠FGE = 180° (रैखिक युग्म)
⇒ 126° + ∠FGE = 180°
[∵ ∠AGE = 126° (ऊपर प्राप्त किया है)]
⇒ ∠FGE = 180° – 126°
⇒ ∠FGE = 54°.

प्रश्न 4.
आकृति में, यदि PQ || ST, ∠PQR = 110° और ∠RST = 130° है, तो ∠QRS ज्ञात कीजिए।

हल :
बिंदु R से होकर ST के समांतर एक रेखा RN खींचिए।
अब ST || RN
⇒ ∠RST + ∠SRN = 180°

[∵ दो समांतर रेखाओं के बीच एक तिर्यक रेखा के एक ओर के अंत:कोणों का योग 180° होता है।]
⇒ 130° + ∠SRN = 180°
⇒ ∠SRN = 180° – 130°
⇒ ∠SRN = 50° …(i)
अब PQ || ST (दिया है)
ओर RN || ST (रचना)
∴ PQ || RN [∵ दो रेखाएँ जो एक ही रेखा के समांतर हों परस्पर समांतर हैं]
अब PQ || RN और QR एक तिर्यक रेखा है।
∴ ∠QRN = ∠PQR (एकांतर कोण)
⇒ ∠QRN = 110°
[∵ ∠PQR = 110° (दिया है)]
∠QRN = 110°
⇒ ∠QRS + ∠SRN= 110°
⇒ ∠QRS + 50° = 110°
[(i) का प्रयोग करने पर]
⇒ ∠QRS = 110° – 50°
⇒ ∠QRS = 60°.

प्रश्न 5.
आकृति में, यदि AB || CD, ∠APQ = 50° और ∠PRD = 127° है, तो x और y ज्ञात कीजिए।

हल :
AB || CD; PQ एक तिर्यक रेखा है
∴ x = ∠APQ (एकांतर कोण)
⇒ x = 50°
[∵ ∠APQ = 50° (दिया है)]
AB || CD; PR एक तिर्यक रेखा है।
∴ ∠APR = ∠PRD (एकांतर कोण)
⇒ ∠APQ + ∠QPR = ∠PRD
⇒ 50° + y = 127°
⇒ y = 127° – 50°
⇒ y = 77°

प्रश्न 6.
आकृति में, PQ और RS दो दर्पण हैं जो एक दूसरे के समांतर रखे गए हैं। एक आपतन किरण (incident ray) AB, दर्पण PQ से B पर टकराती है और परवर्तित किरण (Reflected ray) पथ BC पर चल कर दर्पण RS से C पर टकराती हैं तथा पुन: CD के अनुदिश परावर्तित हो जाती है। सिद्ध कीजिए कि AB || CD है।

हल :
दी गई आकृति के अनुसार PQ और RS दो दर्पण हैं जो एक दूसरे के समांतर हैं। एक आपतन किरण AB, दर्पण PQ से B पर टकराती है। CD एक परावर्तित किरण है जो दर्पण RS से परावर्तित होती है।
हमने सिद्ध करना है
AB || CD
उपपति : जैसा कि हम जानते हैं कि
आपतन कोण = परावर्तित कोण
∴ ∠1 = ∠2 और ∠3 = ∠4 ………….(i)
[∴ ∠1 आपाती किरण AB और अभिलंब BL]
∴ ∠1 एक आपतन कोण है, ∠2 परावर्तित किरण BC और अभिलंब BL के बीच स्थित है। इसलिए ∠2 परावर्तित कोण है। इसी तरह ∠3 और ∠4 क्रमश: आपतन कोण और परावर्तित कोण हैं।
∴ PQ || RS और BL ⊥ PQ
और CM ⊥ RS
BL || CM
अब समांतर रेखाएँ BL और CM हैं। एक तिर्यक रेखा BC इन्हें प्रतिच्छेद करती है।
∴ ∠2 = ∠3 (एकांतर कोण) …(ii)
अब ∠ABC = ∠1 + ∠2
⇒ ∠ABC = ∠2 + ∠2 [∵ ∠1 = ∠2]
⇒ ∠ABC = 2∠2
और ∠BCD = ∠3 + ∠4
⇒ ∠BCD = ∠3 + ∠3
⇒ [∵ ∠3 = ∠4]
⇒ ∠BCD = 2∠3
परंतु (ii), से हमें प्राप्त होता है
⇒ ∠2 = ∠3
⇒ 2∠2 = 2∠3
⇒ ∠ABC = ∠BCD
ये एकांतर कोण हैं। BC एक तिर्यक रेखा है।
अत: AB || CD.

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 6 रेखाएँ और कोण Ex 6.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 6 रेखाएँ और कोण Ex 6.1

प्रश्न 1.
आकृति में, रेखाएँ AB और CD बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि ∠AOC + ∠BOE = 70° है और ∠BOD = 40° है, तो ∠BOE और प्रतिवर्ती ∠COE ज्ञात कीजिए।

हल:
∠AOC + ∠COE + ∠BOE = 180° (रैखिक युग्म)
या (∠AOC + ∠BOE) + ∠COE = 180°
⇒ 70° + ∠COE = 180°
⇒ ∠COE = 180° – 70°
⇒ ∠COE = 110° … (i)
प्रतिवर्ती ∠COE
= 360° – ∠COE
= 360° – 110°
= 250°
इसलिए प्रतिवर्ती ∠COE = 250°
साथ ही, ∠COE + ∠BOE + ∠BOD = 180° (रैखिक युग्म)
110° + ∠BOE + 40° = 180°
⇒ ∠BOE = 180° – 110° – 40°
⇒ ∠BOE = 30°

वैकल्पिक विधि
∠AOC = ∠BOD (शीर्षाभिमुख कोण)
⇒ ∠AOC = 40°
[∵ ∠BOD = 40° (दिया है)]
अब ∠AOC + ∠BOE = 70° (दिया है)
⇒ 40° + ∠BOE = 70°
⇒ ∠BOE = 70° – 40°
⇒ ∠BOE = 30° उत्तर
प्रतिवर्ती ∠COE
= 360° – ∠COE
= 360° – 110°
= 250°
अतः प्रतिवर्ती ∠COE = 250°

प्रश्न 2.
आकृति में, रेखाएँ XY और MN बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि ∠POY = 90° और a : b = 2 : 3 है, तो c ज्ञात कीजिए।

हल :
∠POX + ∠POY = 180° (रैखिक युग्म)
⇒ ∠POX + 90° = 180°
⇒ ∠POX = 180° – 90°
⇒ ∠POX = 90°
अब मान लीजिए a = 2k और b = 3k
जहाँ k अचर है और k > 0
∠POX = 90°
⇒ a + b = 90°
⇒ 2k + 3k = 90°
⇒ 5k = 90°
⇒ k = \(\frac {90°}{5}\)
⇒ k = 18°
इसलिए a = 2k
⇒ a = 2 × 18
⇒ a = 36°
और b = 3k
⇒ b = 3 × 18
⇒ b = 54°
अब ∠MOX + ∠NOX = 180° (रैखिक युग्म)
⇒ b + c = 180°
⇒ 54° + c = 180°
⇒ c = 180° – 54°
⇒ c = 126°
अतः, अभीष्ट c का माप 126° हैं।

प्रश्न 3.
आकृति में, यदि ∠PQR = ∠PRQ है, तो सिद्ध कीजिए कि ∠PQS = ∠PRT है।

हल :
दी गई आकृति के अनुसार ∠PQS + ∠PQR = 180° (रैखिय युग्म) ……… (i)
साथ ही, ∠PRT + ∠PRQ = 180° (रैखिक युग्म) … (ii)
(i) और (ii) से हमें प्राप्त होता है।
∠PQS + ∠PQR = ∠PRT + ∠PRQ … (iii)
परंतु ∠PQR = ∠PRQ (दिया है)
इसलिए हम (iii) को इस प्रकार लिख सकते हैं।
∠PQS + ∠PQR = ∠PRT + ∠PQR
⇒ ∠PQS = ∠PRT + ∠PQR – ∠PQR
⇒ ∠PQS = ∠PRT

प्रश्न 4.
आकृति में, यदि x + y = w + z है, तो सिद्ध कीजिए कि AOB एक रेखा है।

हल :
दी गई आकृति के अनुसार ∠AOC + ∠BOC + ∠DOB + ∠AOD = 360°
⇒ x + y + w + z = 360°
⇒ x + y + x + y = 360°
[∵ x + y = w + z (दिया है)]
⇒ 2x + 2y = 360°
⇒ 2 (x + y) = 360
⇒ x + y = \(\frac {360°}{2}\)
⇒ x + y = 180° (रैखिक युग्म)
या ∠BOC + ∠AOC = 180°
यह दर्शाता है कि OC, ∠AOC और ∠BOC की उभयनिष्ठ भुजा है जो रैखिक युग्म बनाते हैं।
अत: AOB एक रेखा है।

प्रश्न 5.
आकृति में POQ एक रेखा है। किरण OR रेखा PQ पर लंब है। किरणों OP और OR के बीच में OS एक अन्य किरण है। सिद्ध कीजिए :
∠ROS = \(\frac {1}{2}\) (∠QOS – ∠POS)

हल:
दी गई आकृति के अनुसार
∠QOR + ∠POR = 180° (रैखिक युग्म)
⇒ 90° + ∠POR = 180°
⇒ ∠POR = 180° – 90°
⇒ ∠POR = 90°
या ∠ROS + ∠POS = 90°
⇒ ∠ROS = 90° – ∠POS … (i)
पुन: ∠QOS + ∠POS = 180° (रैखिक युग्म) …. (ii)
2∠POS को (ii) के दोनों ओर से घटाने पर
∠QOS + ∠POS – 2∠POS
= 180°- 2∠POS
⇒ ∠QOS – ∠POS = 2 (90° – ∠POS)
या \(\frac {1}{2}\) (∠QOS – ∠POS) = 90° – ∠POS …….. (iii)
(i) और (iii) से हमें प्राप्त होता है:
∠ROS = \(\frac {1}{2}\) (∠QOS – ∠POS)

प्रश्न 6.
यह दिया है कि ∠XYZ = 64° है और XY को बिंदु P तक बढ़ाया गया है। दी हुई सूचना से एक आकृति खींचिए। यदि किरण YQ, ∠ZYP को समद्विभाजित करती है, तो ∠XYQ और प्रतिवर्ती ∠QYP के मान ज्ञात कीजिए।
हल :
XY की बिंदु P तक बढ़ाया गया है।
∴ XP एक सरल रेखा है।
अत: ∠XYZ + ∠ZYP = 180° (रैखिक युग्म)
⇒ 64° + ∠ZYP = 180°
⇒ ∠ZYP = 180° – 64°
⇒ ∠ZYP = 116° … (i)

दिया है कि YQ, ∠ZYP का समद्विभाजक है।
∴ ∠ZYQ = ∠QYP = \(\frac {1}{2}\) ∠ZYP
⇒ ∠ZYQ = ∠QYP = \(\frac {1}{2}\) × 116° [(i) का प्रयोग करने पर]
⇒ ∠ZYQ = ∠QYP = 58° … (ii)
⇒ ∠QYP = 58°
अब ∠XYQ = ∠XYZ + ∠ZYQ
⇒ ∠XYQ = 64° + 58°
⇒ ∠XYQ = 122°

(ii) से हमें प्राप्त हैं : ∠ZYQ = ∠QYP
∵ ∠XYZ = 64° (दिया है)
और ∠ZYQ = 58°
∴ प्रतिवर्ती ∠QYP = 360° – ∠QYP
⇒ प्रतिवर्ती ∠QYP = 360° – 58°
⇒ प्रतिवर्ती ∠QYP = 302°