Class 9

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 4 दो चरों वाले रैखिक समीकरण Ex 4.2 Textbook Exercise Questions and Answers

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 4 दो चरों वाले रैखिक समीकरण Ex 4.2

प्रश्न 1.
निम्नलिखित विकल्पों में कौन-सा विकल्प सत्य है, और क्यों ? y = 3x + 5 का
(i) एक अद्वितीय हल है
(ii) केवल दो हल हैं।
(iii) अपरिमित रूप से अनेक हल हैं
हल :
कथन (iii) सत्य है। क्योंकि x, के प्रत्येक मान के लिए, y का एक संगत मान होता है और विलोमतः भी।
(ii) जाँच-पड़ताल :
मान लीजिए कि
(i) x = 0 तो y = 3 × 0 + 5
⇒ y = 0 + 5
⇒ y = 5
इसलिए x = 0, y = 5 एक हल है।

(ii) x = 1; तो y = 3 x 1 + 5
⇒ y = 3 + 5
⇒ y = 8
इसलिए x = 1, y = 8 भी एक हल है।

(iii) x = – 2 तो y = 3 ( – 2) + 5
⇒ y = – 6 + 5
⇒ y = – 1
इसलिए x = – 2, y = – 1 भी एक हल है।
इसी प्रकार x (या y) के मान प्रतिस्थापित करके उसके संगत y (या x) का मान ज्ञात करके हम दी गई समीकरण के अपरिमित रूप से अनेक हल प्राप्त कर सकते हैं जितने हम चाहते हैं।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित समीकरणों में से प्रत्येक समीकरण के चार हल लिखिए:
(i) 2x + y = 7
(ii) πx + y = 9
(iii) x = 4y
हल :
(i) 2x + y = 7
हम समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं :
y = 7 – 2x
जब x = 0; y = 7 – 2 × 0
⇒ y = 7 – 0
⇒ y = 7

जब x = 1;
y = 7 – 2 × 1
⇒ y = 7 – 2
⇒ y = 5

जब x = 2;
⇒ y = 7 – 2
⇒ y = 7 – 2
⇒ y = 3

जब x = – 1;
y = 7 – 2 ( – 1)
⇒ y = 7 + 2
⇒ y = 9
अतः, समीकरण 2x + y = 7 के अपरिमित रूप से अनेक हलों में चार हल ये हैं
(0, 7), (1, 5), (2, 3) और (- 1, 9)

(ii) x + y = 9 हम इस समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं :
y = 9 – πx

जब x = 0;
y = 9 – 0
0 = y = 9

जब x = 2,
y = 9 – 2π

जब x = \(\frac{9}{\pi}\)
y = 9 – 9
⇒ y = 0

जब x = – 1;
y = 9 – ( – 1) 1
⇒ y = 9 + π
अत: समीकरण x + y = 9 को अपरिमित रूप से अनेक हलों में से चार हल ये हैं :
(0, 9), (2, 9 – 2π), (\(\frac{9}{\pi}\), 0) और (- 1, 9 + π).

(iii) x = 4y हम इस समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं
जब y = \(\frac{x}{4}\)
जब x = 0, y = \(\frac{0}{4}\)
⇒ y = 0

जब x = 1
y = 4

जब x = 4, y = \(\frac{4}{4}\) = 1
जब x = – 4, y = – \(\frac{4}{4}\), y = – 1
अतः, समीकरण x = 4y के अपरिमित रूप से अनेक हलों में से चार हल ये हैं :
(0, 0), (1, \(\frac{1}{4}\)), (4, 1) (- 4, – 1)

प्रश्न 3.
बताइए कि निम्नलिखित हलों में कौन-कौन समीकरण x – 2y = 4 के हल हैं और कौन-कौन हल नहीं हैं :
(i) (0, 2)
(ii) (2, 0)
(iii) (4, 0)
(iv) (√2, 4√2)
(v) (1, 1)
हल :
(i) समीकरण x – 2y = 4 में x = 0 और y = 2 प्रतिस्थापित कीजिए।
L.H.S. = x – 2y
= 0 – 2×2
= 0 – 4 = – 4
R.H.S. = 4
स्पष्टतया L.H.S.≠ R.H.S.
∴ x = 0 और y = 2 समीकरण x – 2y = 4 का हल नहीं है।

(ii) समीकरण x – 2y = 4 में x = 2 और y = 0 प्रतिस्थापित कीजिए।
L.H.S. = x – 2y
= 2 – 2 (0)
= 2 + 0
R.H.S. = 4
स्पष्टतया L.H.S. ≠ R.H.S.
∴ x = 2 और y = 0 समीकरण x – 2y = 4 का हल नहीं है।

(iii) x – 2y = 4 में x = 4 और y = 0 प्रतिस्थापित कीजिए।
L.H.S., = x – 2y
= 4 – 2 × 0
= 4 – 0 = 4
R.H.S. = 4
स्पष्टतया L.H.S. = R.H.S.
∴ x = 4 और y = 0 समीकरण x – 2y =4.का हल है।

(iv) समीकरण x – 2y = 4 में x = √2 और y = 4√2 को प्रतिस्थापित कीजिए।
L.H.S,= x – 2y = √2 – 2 × 4√2
= √2 – 8√2
= – 7√2
R.H.S. = 4
∴ L.H.S. ≠ R.H.S.
∴ x = √2, y = 4√2 समीकरण x – 2y = 4 का हल नहीं है।

(v) समीकरण x – 2y = 4 में x = 1, y = 1 प्रतिस्थापित कीजिए
L.H.S. = x – 2y = 1 – 2 ≠ 1
= 1 – 2
= – 1
R.H.S. = 4
स्पष्टतया L.H.S. ≠ R.H.S.
∴ x = 1, y = 1 समीकरण x – 2y = 4 का हल नहीं है।

प्रश्न 4.
k का मान ज्ञात कीजिए जबकि x = 2, y = 1 समीकरण 2x + 3y = k का एक हल हो।
हल :
यदि x = 2, y = 1 समीकरण 2x + 3y = k, का हल हो, तो यह निश्चय ही समीकरण को संतुष्ट करता है।
∴ 2 × 2 + 3 × 1 = k
(x = 2, y = 1 को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर)
⇒ 4 + 3 = k
⇒ 7 = k
k = 7
अतः k का अभीष्ट मान 7 है।

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 4 दो चरों वाले रैखिक समीकरण Ex 4.1 Textbook Exercise Questions and Answers

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 4 दो चरों वाले रैखिक समीकरण Ex 4.1

प्रश्न 1.
एक नोट बुक की कीमत एक कलम की कीमत से दो गुनी है। इस कथन को निरूपित करने के लिए दो चरों वाला एक रैखिक समीकरण लिखिए।
हल :
मान लीजिए, नोट बुक की कीमत x रु० है और कलम की कीमत y रु० है।
अतः दो चरों वाला एक रैखिक समीकरण जो दिए गए कथन को निरूपित करे, हैं x = 2y. या x – 2y = 0.

प्रश्न 2.
निम्नलिखित रैखिक समीकरणों को ax + by + c = 0 के रूप में व्यक्त कीजिए और प्रत्येक स्थिति में a, b और c के मान बताइए :
(i) 2x + 3y = \(9 .3 \overline{5}\)
(ii) x – \(\frac{y}{5}\) – 10 = 0
(iii) – 2x + 3y = 6
(iv) x = 3y
(v) 2x = – 5y
(vi) 3x + 2 = 0
(vii) y – 2 = 0
(viii) 5 = 2x.
हल :
(i) 2x + 3y = 9 को ax + by + c = 0 के रूप में इस प्रकार लिखा जा सकता है :
2x + 3y – \(9 .3 \overline{5}\) = 0
[\(9 .3 \overline{5}\) को L.H.S. में पक्षांतरण करने पर]
⇒ 2x + 3y + ( – \(9 .3 \overline{5}\)) = 0
x और y के गुणों की अचर पदों की तुलना करने पर हम देखते हैं कि a = 2, b = 3 और c = – \(9 .3 \overline{5}\)

(ii) x – \(\frac{y}{5}\) – 10 = 0 को
ax + by + c = 0 के रूप में इस प्रकार लिखा जा सकता है :
⇒ 1. x + (- \(\frac{1}{5}\))y + ( – 10) = 0
x और y के गुणांकों और अचर पदों की तुलना करने पर हम देखते हैं कि a = 1, b = – \(\frac{1}{5}\) और c = – 10

(iii) – 2x + 3y = 6 को
ax + by + c = 0 के रूप में इस प्रकार लिखा जा सकता है .
– 2x + 3y – 6 = 0
[6 को L.H.S. में पक्षांतरित करने पर]
⇒ – 2x + 3y + (- 6) = 0
x और y के गुणांकों और अचर पदों की तुलना करने पर हम देखते हैं कि a = – 2, b = 3 और c = – 6

(iv) x = 3y को ar + by + c = 0 के रूप में इस प्रकार लिखा जा सकता है :
x – 3y = 0
⇒ 1. x + (- 3)y + 0 = 0
x और y के गुणांकों और अचर पदों की तुलना करने पर हम देखते हैं क a = 1, b = – 3 और c = 0.

(v) 2x = – 5y को ax + by + c = 0 के रूप में इस प्रकार लिखा जा सकता है :
2x + 5y = 0
[- 5y को L.H.S. में पक्षांतरित करने पर]
⇒ 2x + 5y + 0 = 0
x और y के गुणांकों और अचर पदों की तुलना करने पर हम देखते हैं कि a = 2, b = 5 और c = 0

(vi) 3x + 2 = 0 को ax + by + c = 0 के रूप में इस प्रकार लिखा जा सकता है :
3x + 0.y + 2 = 0
x और y के गुणांकों और अचर पदों की तुलना करने पर हम देखते हैं कि a = 3, b = 0 and c = 2.

(vii)y-2=0 को ax + by+c = 0 के रूप में इस प्रकार लिखा जा सकता है :
⇒ 0.x + 1. y + ( – 2) = 0
x और y के गुणांकों और अचर पदों की तुलना करने पर हम देखते हैं कि
a = 0, b = 1 और c = – 2.

(viii) 5 = 2x को ax + by + c = 0 के रूप में इस प्रकार लिखा जा सकता है :
5 – 2x = 0
⇒ – 2x + 0.y + 5 = 0
x और y के गुणांकों और अचर पदों की तुलना करने पर हम देखते हैं कि
a = – 2, b = 0 और c = 5

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 2 बहुपद MCQ Questions with Answers

PSEB 9th Class Maths Chapter 2 बहुपद MCQ Questions

बहुविकल्पीय प्रश्न :

नीचे प्रत्येक प्रश्न के चार उत्तर दिए हैं। इनमें से सही उत्तर का चयन कीजिए।

प्रश्न 1.
निम्न में से कौन-सी बहुपद नहीं है ?
(A) 3z³ – √5z +9
(B) 3√z + 4x + 5z²
(C) √ax + x² – x³
(D) y² + 6y – 5.
उत्तर-
(B) 3√z + 4x + 5z²

प्रश्न 2.
बहुपद 2y² – 4y + 3 की प्रकार है
(A) एक पदी
(B) द्विपदी
(C) त्रिपदी
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर-
(C) त्रिपदी

प्रश्न 3.
बहुपद t² – 4 की प्रकार है- .
(A) द्विपदी
(B) एक पदी
(C) त्रिपदी
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर-
(A) द्विपदी

प्रश्न 4.
बहुपद x की प्रकार है
(A) एक पदी
(B) द्विपदी
(C) त्रिपदी
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर-
(A) एक पदी

प्रश्न 5.
2 + x² + x में x का गुणांक है
(A) 2
(B) 1
(C) – 1
(D) – 2.
उत्तर-
(B) 1

प्रश्न 6.
2 – x² + x³ में x² का गुणांक है
(A) 1
(B) – 1
(C) 2
(D) – 2.
उत्तर-
(B) – 1

प्रश्न 7.
\(\frac{\pi \mathbf{r}^{2}}{2}\) + x में ४ का गुणांक है
(A) 1
(B) \(\frac{\pi}{2}\)
(C) – \(\frac{\pi}{2}\)
(D) – 1.
उत्तर-
(B) \(\frac{\pi}{2}\)

प्रश्न 8.
√2x – 1 में x का गुणांक है
(A) √2
(B) – 1
(C) 0
(D) – √2
उत्तर-
(A) 2

प्रश्न 9.
√2x – 1 में x का गुणांक है
(A) 2
(B) – 1
(C) 0
(D) – 12.
उत्तर-
(C) 0

प्रश्न 10.
5x³ + 4x² + 7x की घात है
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
उत्तर-
(C) 3

प्रश्न 11.
4 – y² की घात है
(A) 1
(B) 2
(C) 0
(D) 3
उत्तर-
(B) 2

प्रश्न 12.
5t – √7 की घात है
(A) 1
(B) √7
(C) 5
(D) – 1.
उत्तर-
(A) 1

प्रश्न 13.
3 की घात है
(A) 0
(B) 3
(C) 1
(D) – 1.
उत्तर-
(C) 1

प्रश्न 14.
निम्नलिखित बहुपदों में से कौन-सी रैखिक बहुपद है ?
(A) 1 + x
(B) x² + x
(C) x + x² + 4
(D) 7x³²
उत्तर-
(A) 1 + x

प्रश्न 15.
निम्नलिखित में से कौन-सी द्विघाती बहुपद
(A) x + x³ + 4
(B) 5x²
(C) x – x³
(D) 3x.
उत्तर-
(B) 5x²

प्रश्न 16.
p (x) = 5x – 4x² + 3 का x = 1 के लिए मान
(A) 5
(B) 1
(C) 4
(D) 2.
उत्तर-
(C) 4

प्रश्न 17.
p (x) = 5x – 4x² + 3 का x = 0 के लिए मान
(A) 3
(B) 2
(C) – 3
(D) – 2
उत्तर-
(A) 3

प्रश्न 18.
p (x) = 5x – 4x² + 3 का x = – 1 के लिए मान है
(A) 6
(B) – 6
(C) 3
(D) – 3
उत्तर-
(B) – 6

प्रश्न 19.
P (x) = 5x – 4x² + 3 का x = 2 के लिए मान है
(A) 3
(B) 2
(C) – 2
(D) – 3.
उत्तर-
(D) – 3

प्रश्न 20.
p (t) = 2 + t + 2t² – t³ का p (0) के लिए मान है
(A) 1
(B) 2
(C) – 1
(D) 3.
उत्तर-
(B) 2

प्रश्न 21.
P (x) = (x – 1) (x + 1) का p (1) के लिए मान है
(A) 1
(B) 2
(C) 0
(D) – 2
उत्तर-
(C) 0

प्रश्न 22.
p (t) = 2 + t + 2t² – t³ का p (2) के लिए मान है
(A) 4
(B) – 4
(C) 6
(D) 7.
उत्तर-
(A) 4

प्रश्न 23.
p (y) = y² – y +1 का p (0) के लिए मान
(A) – 1
(B) 3
(C) 1
(D) – 2.
उत्तर-
(C) 1

प्रश्न 24.
P (x) = 3 + x का p (2) के लिए मान है
(A) 0
(B) 5
(C) – 5
(D) 3
उत्तर-
(B) 5

प्रश्न 25.
p (x) = 3x + 1 का निम्न में से कौन-सा शून्यक है ?
(A) \(\frac{1}{3}\)
(B) \(-\frac{1}{3}\)
(C) \(\frac{2}{3}\)
(D) \(-\frac{2}{3}\)
उत्तर-
(B) \(-\frac{1}{3}\)

प्रश्न 26.
p (x) = x² – 1 के निम्न में से कौन-से शून्यक हैं ?
(A) 1, – 1
(B) – 1, 2
(C) – 2, 2
(D) – 3, 3.
उत्तर-
(A) 1, – 1

प्रश्न 27.
P (x) = (x – 1) (x – 2) के निम्न में से कौन से शून्यक हैं.
(A) – 2, 3
(B) 2, – 2
(C) – 1, 2
(D) 3, – 3.
उत्तर-
(A) – 2, 3

प्रश्न 28.
p (x) = lx + m का निम्न में से कौन-सा शून्यक है
(A) \(\frac{m}{l}\)
(B) \(-\frac{l}{m}\)
(C) \(-\frac{m}{l}\)
(D) \(\frac{l}{m}\)
उत्तर-
(C) \(-\frac{m}{l}\)

प्रश्न 29.
P (x) = 5x – 7 का निम्न में से कौन-सा शून्यक है ?
(A) – \(\frac{4}{5}\) π
(B) \(\frac{1}{5}\) π
(C) \(\frac{4}{5}\) π
(D) – \(\frac{5}{4}\) π
उत्तर-
(B) \(\frac{1}{5}\) π

प्रश्न 30.
P (x) = 2x – 7 का शून्यक है
(A) \(\frac{2}{7}\)
(B) \(\frac{7}{2}\)
(C) \(-\frac{2}{7}\)
(D) – \(\frac{7}{2}\)
उत्तर-
(B) \(\frac{7}{2}\)

प्रश्न 31.
P (x) = 9x + 4 का शून्यक है
(A) \(\frac{4}{9}\)
(B) \(\frac{9}{4}\)
(C) \(-\frac{9}{4}\)
(D) \(-\frac{4}{9}\)
उत्तर-
(D) \(-\frac{4}{9}\)

प्रश्न 32.
x³ + 3x² + 3x + 1 को x + 1 से भाग देने पर शेषफल प्राप्त होता है
(A) 1
(B) 3x – 1
(C) 0
(D) – 1.
उत्तर-
(C) 0

प्रश्न 33.
x³ + 3x² + 3x + 1 को x – 1 से भाग देने पर शेषफल प्राप्त होता है
(A) \(\frac{8}{27}\)
(B) \(\frac{27}{8}\)
(C) \(-\frac{8}{27}\)
(D) – \(\frac{27}{8}\)
उत्तर-
(B) \(\frac{27}{8}\)

प्रश्न 34.
x³ + 3x² + 3x + 1 को x से भाग देने पर शेषफल प्राप्त होता है
(A) 1
(B) 0
(C) – 1
(D) 2.
उत्तर-
(B) 0

प्रश्न 35.
x³ + 3x² + 3x + 1 को x + 1 से भाग देने पर शेषफल प्राप्त होता है
(A) – π + 3π² – 3π + 1
(B) π – 3π² + 3π + 1
(C) – π + 3π² – 3π – 1
(D) – π + 3π² – 3π – 1
उत्तर-
(A) – π + 3π² – 3π + 1

प्रश्न 36.
x³ + 3x² + 3x + 1 को 5 + 2x से भाग देने पर शेषफल प्राप्त होता है-
(A) \(\frac{8}{27}\)
(B) \(-\frac{8}{27}\)
(C) \(-\frac{27}{8}\)
(D) \(\frac{27}{8}\)
उत्तर-
(C) \(-\frac{27}{8}\)

प्रश्न 37.
x³ + ax² + 6x – a को x-a से भाग देने पर शेषपल प्राप्त होता है
(A) 2a
(B) 3a
(C) 5a
(D) 6a.
उत्तर-
(C) 5a

प्रश्न 38.
यदि x – 2, x² – 3x + 5a का एक गुणनखण्ड हो तो a का मान होगा
(A) 1
(B) – 1
(C) \(\frac{2}{5}\)
(D) – \(\frac{2}{5}\)
उत्तर-
(C) \(\frac{2}{5}\)

प्रश्न 39.
यदि x – 2, x³ – 2ax² + ax – 1 का एक गुणनखण्ड हो तो a का मान होगा
(A) \(\frac{7}{6}\)
(B) \(-\frac{7}{6}\)
(C) \(\frac{6}{7}\)
(D) \(-\frac{6}{7}\)
उत्तर-
(A) \(\frac{7}{6}\)

प्रश्न 40.
यदि x – 2, x³ – 2ax² + ax – 1 का एक गुणनखण्ड हो तो a का मान होगा
(A) \(\frac{2}{3}\)
(B) \(\frac{3}{5}\)
(C) \(\frac{3}{2}\)
(D) \(\frac{1}{2}\)
उत्तर-
(C) \(\frac{3}{2}\)

प्रश्न 41.
यदि x + a, x³ + ax² – 2x + a + 4 का एक गुणनखण्ड हो तो a का मान होगा
(A) – \(\frac{4}{3}\)
(B) \(\frac{4}{3}\)
(C) \(\frac{3}{4}\)
(D) – \(\frac{3}{4}\)
उत्तर-
(A) \(\frac{4}{3}\)

प्रश्न 42.
यदि x + a, x⁴ + a²x² + 3x – 6a का एक गुणनखण्ड हो तो a का मान होगा
(A) 1
(B) – 1
(C) 2
(D) 0
उत्तर-
(D) 0

प्रश्न 3.
यदि x – a, x⁶ – ax⁵ + x⁴ – ax² + 3x – a + 2 का एक गुणनखण्ड हो तो a का मान होगा
(A) – 1
(B) 2
(C) – 1
(D) – 2
उत्तर-
(C) – 1

प्रश्न 44.
यदि x – a, x⁵ – ax³ + 2x + a + 1 का गुणनखण्ड है तो a का मान होगा
(A) \(\frac{1}{3}\)
(B) \(-\frac{1}{3}\)
(C) \(\frac{2}{3}\)
(D) \(-\frac{2}{3}\)
उत्तर-
(B) \(-\frac{1}{3}\)

प्रश्न 45.
2y³ – 5y² – 19y + 42 का गुणनखण्ड होगा
(A) (y – 2) (y + 3) (2y – 7)
(B) (y + 2) (y + 3) (2y + 7)
(C) (y + 2) (y – 3) (2y + 7)
(D) (y – 2) (y – 3) (2y – 7).
उत्तर-
(A) (y – 2) (y + 3) (2y – 7)

प्रश्न 46.
निम्नलिखित बहुपदों में से किस बहुपद का एक गुणनखण्ड x + 1 है
(A) x³ + x² + x + 1
(B) x⁴ + x³ + x² + 1
(C) x⁴ + 3x³ + 3x² + x + 1
(D) x⁴ – x² – (2 + √2) x + √2
उत्तर-
(A) x³ + x² + x + 1

प्रश्न 47.
यदि x – 1, p (x) = x² + x + k का एक गुणनखण्ड हो तो k का मान होगा
(A) 1
(B) – 1
(C) 2
(D) – 2.
उत्तर-
(D) – 2

प्रश्न 48.
यदि x – 1, P (x) = 2x² + kx + √2 का एक गुणनखण्ड हो तो k का मान होगा
(A) 2 + √2
(B) – (2 + √2)
(C) 1 + √2
(D) – (1 + √2)
उत्तर-
(B) – (2 + √2)

प्रश्न 49.
यदि x – 1, p (x) kx² – 2x +1 का एक गुणनखण्ड हो तो k का मान होगा
(A) √2 + 1
(B) – 1 + √2
(C) √2 – 1
(D) – √2 – 1
उत्तर-
(C) √2 – 1

प्रश्न 50.
यदि x – 1, p (x) = kx² – 3x + k का एक गुणनखण्ड हो तो k का मान होगा
(A) \(\frac{3}{2}\)
(B) – \(\frac{2}{3}\)
(C) \(-\frac{1}{2}\)
(D) \(\frac{1}{2}\)
उत्तर-
(A) \(\frac{3}{2}\)

प्रश्न 51.
12x² – 7x + 1 के गुणनखण्ड हैं
(A) (4x – 1) (3x – 1)
(B) (4x + 1) (3x – 1)
(C) (4x – 1) (3x + 1)
(D) (3x + 2) (4x – 1).
उत्तर-
(A) (4x – 1) (3x – 1)

प्रश्न 52.
2x² – 7x + 3 के गुणनखण्ड हैं
(A) (x – 3) (2x – 1)
(B) (x + 3) (2x + 1)
(C) (x + 3) (2x – 1)
(D) (x – 3) (2x + 1).
[उत्तर-
(B) (x + 3) (2x + 1)

प्रश्न 53.
6x² + 5x – 6 के गुणनखण्ड हैं
(A) (2x – 3) (3x – 2)
(B) (2x + 3) (3x – 2)
(C) (2x – 3) (3x + 2)
(D) (2x – 3) (3x – 1)
उत्तर-
(B) (2x + 3) (3x – 2)

प्रश्न 54.
3x² – x – 4 के गुणनखण्ड हैं
(A) (3x – 4) (x + 1)
(B) (3x + 4) (x – 1)
(C) (3x – 4) (x – 1)
(D) (3x + 2) (x + 1)
उत्तर-
(A) (3x – 4) (x + 1)

प्रश्न 55.
x³ – 2x² – x + 2 के गुणनखण्ड हैं
(A) (x + 1) (x – 1) (x – 2)
(B) (x + 1) (x – 1) (x + 2)
(C) (x – 1) (x – 2) (x + 2)
(D) (x + 2) (x – 1) (x + 1).
उत्तर-
(A) (x + 1) (x – 1) (x – 2)

प्रश्न 56.
x³ – 3x² – 9x – 5 के गुणनखण्ड हैं
(A) (x + 1) (x – 1) (x + 5)
(B) (x + 1) (x + 1) (x – 5)
(C) (x – 1) (x – 1) (x – 5)
(D) (x + 1) (x + 1) (x + 5).
उत्तर-
(B) (x + 1) (x + 1) (x – 5)

प्रश्न 57.
(x + 4) (x + 10) का गुणनफल है
(A) x² + 4x + 10
(B) x² + 10x + 40
(C) x² + 14x + 40
(D) x² – 14x + 40.
उत्तर-
(C) x² + 14x + 40

प्रश्न 58.
(x + 8) (x – 10) का गुणनफल है
(A) x² – 8x – 80
(B) x² – 2x – 80
(C) x² + 2x + 80
(D) x² – 2x + 80.
उत्तर-
(B) x² – 2x – 80

प्रश्न 59.
(3x + 4) (3x – 5) का गुणनफल है
(A) 9x² – 3x – 20
(B) 9x² – x – 20
(C) 9x² – 7x – 20
(D) 9x² – 4x – 40
उत्तर-
(A) 9x² – 3x – 20

प्रश्न 60.
(3 – 2x) (3 + 2x) का गुणनफल है
(A) 9 – 2x²
(B) 9 – 4x²
(C) 6 – 4x²
(D) 3 – 4x²
उत्तर-
(B) 9 – 4x²

प्रश्न 61.
104 × 96 का मान है
(A) 9984
(B) 9624
(C) 9980
(D) 9986.
उत्तर-
(A) 9984

प्रश्न 62.
95 × 96 का मान है
(A) 9020
(B) 9120
(C) 9320
(D) 9340
उत्तर-
(B) 9120

प्रश्न 63.
9x² + 6xy + y का गुणनखण्डन है- .
(A) (3x – y)²
(B) (3x + y)²
(C) (2x – y)²
(D) (2x + y)²
उत्तर-
(B) (3x + y)²

प्रश्न 64.
4y² – 4y + 1 का गुणनखण्डन हैं
(A) (2y + 1)²
(B) (4y – 1)²
(C) (2y – 1)²
(D) (2y – 2)²
उत्तर-
(C) (2y – 1)²

प्रश्न 65.
x² – \(\frac{y^{2}}{100}\) का गुणनखण्डन है
(A) \(\left(x+\frac{y}{10}\right)\left(x+\frac{y}{10}\right)\)
(B) \(\left(x+\frac{y}{10}\right)\left(x-\frac{y}{10}\right)\)
(C) \(\left(x-\frac{y}{5}\right)\left(x-\frac{y}{5}\right)\)
(D) \(\left(x+\frac{y}{5}\right)\left(x-\frac{y}{5}\right)\)
उत्तर-
(B) \(\left(x+\frac{y}{10}\right)\left(x-\frac{y}{10}\right)\)

प्रश्न 66.
(2x – y + z)² का प्रसार है
(A) 4x² + y² + z² + 4xy – 4yz + 2zx
(B) 4x² + y² + z² – 4xy – 2yz + 4zx
(C) 4x² – y² – z² – 4xy + 4yz – 2zx
(D) 4x² + y² – z² + 4xy – 2yz + 2zx.
उत्तर-
(B) 4x² + y² + z² – 4xy – 2yz + 4zx

प्रश्न 67.
(- 2x – 3y + 2z)² का प्रसार है
(A) 4x² + 9y² + 4z² + 12xy – 12yz – 8zx
(B) 4x² – 9y² – 4z² + 12xy – 12yz + 8zx
(C) 4x² – 9y² + 4z² – 12xy + 12yz – 8zx
(D) 4x² – 9y² – 4z² + 12xy – 12yz + 8zx.
उत्तर-
(A) 4x² + 9y² + 4z² + 12xy – 12yz – 8zx

प्रश्न 68.
\(\left[\frac{1}{4} a-\frac{1}{2} b+1\right]^{2}\) का प्रसार है
(A) \(\frac{1}{16} a^{2}-\frac{1}{4} b^{2}+1-\frac{1}{4} a b-b+\frac{1}{2} a\)
(B) \(\frac{1}{16} a^{2}-\frac{1}{4} b^{2}-1+\frac{1}{4} a b+b-\frac{1}{2} a\)
(C) \(\frac{1}{16} a^{2}+\frac{1}{4} b^{2}-1-\frac{1}{4} a b-b+\frac{1}{2} a\)
(D) \(-\frac{1}{16} a^{2}-\frac{1}{4} b^{2}+1+\frac{1}{4} a b+b-\frac{1}{2} a\)
उत्तर-
(A) \(\frac{1}{16} a^{2}-\frac{1}{4} b^{2}+1-\frac{1}{4} a b-b+\frac{1}{2} a\)

प्रश्न 69.
(2a – 3b)³ का प्रसार है
(A) 8a³ – 27b³ – 36a²b + 54ab²
(B) 8a³ + 27b³ + 36a²b + 54ab²
(C) 8a³ + 27b³ – 36a²b + 54ab²
(D) – 8a³ – 27b³ + 36a²b – 54ab²
उत्तर-
(A) 8a³ – 27b³ – 36a²b + 54ab²

प्रश्न 70.
(x – \(\frac{2}{3}\)y) का प्रसार है
(A) x³ – 2x²y + \(\frac{4}{3} x y^{2}-\frac{8}{27} y^{3}\)
(B) x³ + 2x²y – \(\frac{4}{3} x y^{2}+\frac{8}{27} y^{3}\)
(C) x³ – 2x²y + \(\frac{4}{3} x y^{2}+\frac{8}{27} y^{3}\)
(D) x³ + 2x²y – \(\frac{4}{3} x y^{2}-\frac{8}{27} y^{3}\)
उत्तर-
(A) x³ – 2x²y + \(\frac{4}{3} x y^{2}-\frac{8}{27} y^{3}\)

प्रश्न 71.
(99)³ का मान है
(A) 970289
(B) 970299
(C) 970389
(D) 970489.
उत्तर-
(B) 970299

प्रश्न 72.
यदि x – 2, x² – 3kx + 8 को भाग करें तो k
का मान होगा
(A) 3
(B) – 2
(C) 2
(D) – 3.
उत्तर-
(C) 2

प्रश्न 73.
यदि x + 1, x² – 4kx + 9 को भाग करें तो k का मान होगा
(A) 2
(B) – 2
(C) 3
(D) – 3.
उत्तर-
(B) – 2

प्रश्न 74.
यदि x + 3, x³ – 7x² – 7kx + 9x का एक गुणनखण्ड हो तो k का मान होगा
(A) 6
(B) 2
(C) 3
(D) – 3.
उत्तर-
(D) – 3

प्रश्न 75.
x² + xa – xb – ab के गुणनखण्ड हैं
(A) (x – a) (x – b)
(B) (x + a) (x – b)
(C) (x + a) (x + b)
(D) (x – a) (x + b)
उत्तर-
(C) (x + a) (x + b)

प्रश्न 76.
6x² – 25x – 14 के गुणनखंड हैं
(A) (2x – 1) (3x + 14)
(B) (2x + 1) (3x – 14)
(C) (2x – 1) (3x – 14)
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर-
(B) (2x + 1) (3x – 14)

प्रश्न 77.
(x + 1) के गुणनखण्ड है
(A) (x + 1) (x² + 1)
(B) (x + 1) (x² – x + 1)
(C) (x + 1) (x² + x + 1)
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर-
(B) (x + 1) (x² – x + 1)

प्रश्न 78.
(x³ – 1) के गुणनखंड है
(A) (x – 1) (x² – x + 1)
(B) (x – 1) (x² + x + 1)
(C) (x – 1) (x² – 1)
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर-
(B) (x – 1) (x² + x + 1)

प्रश्न 79.
8a³ – b³ + 12a² b + 6ab² का गुणनखंड
(A) (2a – b)³
(B) (2a + b)³
(C) (8a – b)³
(D) (8a + b)³
उत्तर-
(B) (2a + b)³

प्रश्न 80.
8a³ – b³ – 12a² b + 6ab² के गुणनखण्ड हैं
(A) (2a – b)³
(B) (2a + b)³
(C) (8a + b)³
(D) (8a + b)³
उत्तर-
(A) (2a – b)³

प्रश्न 81.
27 – 125a³ – 135a + 225a² के गुणनखण्ड हैं
(A) (3 + 5a)²
(B) (3a + 5)³
(C) (3a – 5)²
(D) (3 – 5a)³
उत्तर-
(D) (3 – 5a)³

प्रश्न 82.
64a³ – 27b³ – 144a² b + 108ab² के
गुणनखण्ड हैं
(A) (4a + 3b)²
(B) (4a – 3b)³
(C) (4a + 3b)³
(D) (4a – 3b)²
उत्तर-
(B) (4a – 3b)³

प्रश्न 83.
27p³ – \(\frac{1}{216}-\frac{9}{2} p^{2}+\frac{1}{4} p\) के गुणनखण्ड
(A) \(\left[3 p-\frac{1}{6}\right]^{3}\)
(B) \(\left[3 p+\frac{1}{6}\right]^{3}\)
(C) \(\left[3-\frac{1}{6} p\right]^{3}\)
(D) \(\left[3+\frac{1}{6} p\right]^{3}\)
उत्तर-
(A) \(\left[3 p-\frac{1}{6}\right]^{3}\)

प्रश्न 84.
27y³ + 125z³ के गुणनखण्ड हैं
(A) (3y – 5) (9y² – 5yz + 25z²)
(B) (3y + 5) (9y² + 25yz + 5z²)
(C) (3y + 5z) (9y² – 15yz + 25z²)
(D) (3y – 5z) (9y² + 15yz + 25z²)
उत्तर-
(C) (3y + 5z) (9y² – 15yz + 25z²)

प्रश्न 85.
64z³ – 343m³ के गुणनखण्ड हैं
(A) (4z – 7m) (16z² + 28zm + 49m²)
(B) (4z + 7m) (16z² – 28zm – 49m²)
(C) (4z – 7m) (16z² – 28zm – 49m²)
(D) (4z – 7m) (16z² + 28zm – 49m²)
उत्तर-
(A) (4z – 7m) (16z² + 28zm + 49m²)

प्रश्न 86.
27x³ + y + z³ – 9xyz के गुणनखण्ड हैं
(A) (3x + y + z) (9x² + y² + z² – 3xy – yz – 3xz)
(B) (3x – y – z) (9x² – y² – z² + 3xy + yz – 3xz)
(C) (- 3x – y + z) (9x² + y² + z² – 3xy – yz + 3xz)
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर-
(A) (3x + y + z) (9x² + y² + z² – 3xy – yz – 3xz)

प्रश्न 87.
8x³ + 16x – 9 का एक गुणनखण्ड है
(A) (x – 1)
(B) (2x – 1)
(C) (x – 3)
(D) (x – 2).
उत्तर-
(B) (2x – 1)

प्रश्न 88.
x³ + 7x² + 14x + 8 का एक गुणनखण्ड है
(A) (x + 1)
(B) (x – 1)
(C) (x + 3)
(D) (x – 5).
उत्तर-
(A) (x + 1)

प्रश्न 89.
जब x² + px + q को x – a से भाग दिया जाता है तो शेषफल होगा
(A) a² + pa + q
(B) a² – pa + q
(C) pa + q + 1
(D) pa – q + 1.
उत्तर-
(B) a² – pa + q

प्रश्न 90.
जब 3x³ + 8x² – 6x + 1 को x + 3 से भाग दिया जाता है तो शेषपल होगा
(A) 8
(B) 10
(C) – 10
(D) – 8.
उत्तर-
(B) 10

प्रश्न 91.
जब x + 3x² – kx + 4 को x – 2 से भाग दिया जाता है तो शेषपल k आता है। तो k का मान होगा
(A) 4
(B) – 12
(C) 8
(D) – 4.
उत्तर-
(C) 8

प्रश्न 92.
यदि x + y + z = 0 तो x – y + 7 बराबर होगा
(A) 3xyz
(B) – 3xyz
(C) xy
(D) – 2xy
उत्तर-
(A) 3xyz

प्रश्न 93.
वास्तवक में घनों का परिकलन किए बिना (- 12)³ + (7)³ + (5)³ का मान होगा
(A) 84
(B) 35
(C) 7260
(D) – 1260
उत्तर-
(D) – 1260

प्रश्न 94.
वास्तव में घनों का परिकलन किए बिना (28)³ + (- 15)³ + (- 13)³ का मान होगा
(A) 16380
(B) – 16380
(C) 15380
(D) – 15380.
उत्तर-
(A) 16380

प्रश्न 95.
यदि किसी आयत का क्षेत्रफल 25a³ – 35a + 12 हो तो इसकी लम्बई और चौड़ाई के सम्भव व्यंजक होंगे
(A) (5a – 3), (5a – 4), (5a – 3), (5a – 4)
(B) (5a + 3), (5a – 4), (5a + 3), (5a – 4)
(C) (5a -3), (5a + 4), (5a – 3), (5a + 4)
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर-
(D) इनमें से कोई नहीं।

प्रश्न 96.
यदि किसी घन का आयतन 3x² – 12x है तो इसकी विभाओं के लिए सम्भव व्यंजक होंगे
(A) 3, x, x +4
(B) 3, x – 4, x
(C) – 3, – x, – x – 4
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर-
(B)3, x – 4, x

प्रश्न 97.
a⁴ – b⁴ के गुणनखण्ड हैं
(A) (a² + b²) (a² + b²)
(B) (a² + b²) (a + b) (a – b)
(C) (a² – b²) (a² – b²)
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर-
(B) (a² + b²) (a + b) (a – b)

प्रश्न 98.
निम्न में से कौन 8x³ – 125y³ को पूर्णतया
विभाजित करता है ?
(A) 8x – 125y
(B) 2x – 5y
(C) 2x + 5y
(D) 8x + 125y.
उत्तर-
(B) 2x – 5y

 

प्रश्न 99.
यदि x – \(\frac{1}{x}\) = m हो तो \(x^{3}-\frac{1}{x^{3}}\) का मान होगा
(A) m²
(B) 3m
(C) m² + 3m
(D) m³ + 3m.
उत्तर-
(C) m² + 3m

प्रश्न 100.
यदि p + \(\frac{1}{p}\) = 2 हो तो \(p^{2}-\frac{1}{p^{2}}\) का मान होगा
(A) 4
(B) 2
(C) – 4
(D) इनमें से को नहीं।
उत्तर-
(B) 2

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 3 निर्देशांक ज्यामिति MCQ Questions with Answers

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 3 निर्देशांक ज्यामिति MCQ Questions

बहुविकल्पीय प्रश्न:

दिये गए चार विकल्पों में से सही उत्तर का चयन कीजिए।

प्रश्न 1.
बिंदु (- 3, – 2) कौन से चतुर्थांश में हैं :
(A) I
(B) II
(C) IV
(D) III
उत्तर:
(D) III

प्रश्न 2.
बिंदुओं (0, 0), (0, 2), (2, 2) तथा (2, 0) को मिलाने पर कौन-सी आकृति प्राप्त होती है ?
(A) वर्ग
(B) आयत
(C) समचतुर्भुज
(D) समांतर चतुर्भुज।
उत्तर:
(A) वर्ग

प्रश्न 3.
बिंदु (5, – 7) कौन से चतुर्थांश में है :
(A) III
(B) II
(C) IV
(D) I.
उत्तर:
(C) IV

प्रश्न 4.
बिंदु (- 4, – 3) का भुज और कोटि क्या है ?
(A) x = – 4, y = – 3
(B) x = – 3, y = – 4
(C) x = 4, y = 3
(D) कुछ नहीं।
उत्तर:
(A) x = – 4, y = – 3

प्रश्न 5.
बिंदु (0, 0) जहाँ x-अक्ष और y-अक्ष परस्पर प्रतिच्छेद करते हैं उसे क्या कहते हैं ?
(A) भुज
(B) कोटि
(C) मूल
(D) कुछ नहीं।
उत्तर:
(C) मूल

प्रश्न 6.
बिंदु (1, 4) कौन से चतुर्थांश में है :
(A) I
(B) IV
(C) II
(D) III.
उत्तर:
(A) I

प्रश्न 7.
बिंदु (0, – 3) स्थित है :
(A) x-अक्ष पर
(B) y-अक्ष पर
(C) पहले चतुर्थांश में
(D) दूसरे चतुर्थांश में।
उत्तर:
(B) y-अक्ष पर

प्रश्न 8.
बिंदु (- 3, 5) स्थित है :
(A) प्रथम चतुर्थांश में
(B) द्वितीय चतुर्थांश में
(C) तीसरे चतुर्थांश में
(D) चौथे चतुर्थांश।
उत्तर:
(B) द्वितीय चतुर्थांश में

प्रश्न 9.
द्वितीय चतुर्थांश में स्थित किसी बिंदु के भुज और कोटि के क्रमश: चिन्ह हैं :
(A) +, +
(B) -, –
(C) -, +
(D) +, -.
उत्तर:
(C) -, +

प्रश्न 10.
बिंदु (0, – 7) स्थित हैं :
(A) x-अक्ष पर
(B) द्वितीय चतुर्थांश में
(C) y-अक्ष पर
(D) चौथे चतुर्थांश में।
उत्तर:
(C) y-अक्ष पर

प्रश्न 11.
बिंदु (- 10, 0) स्थित हैं :
(A) x-अक्ष की ऋणात्मक दिशा में
(B) y-अक्ष की ऋणात्मक दिशा में
(C) तीसरे चतुर्थांश में
(D) चौथे चतुर्थांश में।
उत्तर:
(A) x-अक्ष की ऋणात्मक दिशा में

प्रश्न 12.
x-अक्ष पर स्थित सभी बिंदुओं का भुज है :
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) कोई भी संख्या।
उत्तर:
(D) कोई भी संख्या।

प्रश्न 13.
x-अक्ष पर स्थित सभी बिंदुओं की कोटि है :
(A) 0
(B) 1
(C) – 1
(D) कोई भी संख्या।
उत्तर:
(A) 0

प्रश्न 14.
वह बिंदु, जहां दोनों निर्देशांक अक्ष मिलते हैं, कहलाता है :
(A) भुज
(B) कोटि
(C) मूलबिंदु
(D) चतुर्थांश।
उत्तर:
(C) मूलबिंदु

प्रश्न 15.
वह बिंदु जिसके दोनों निर्देशांक ऋणात्मक है स्थित होगा :
(A) चतुर्थांश I
(B) चतुर्थांश II
(C) चतुर्थांश III
(D) चतुर्थांश IV
उत्तर:
(C) चतुर्थांश III

प्रश्न 16.
बिंदु (1, – 1) (2, – 2) (4, – 5), (- 3, – 4)
(A) चतुर्थांश II में
(B) चतुर्थांश III में
(C) चतुर्थांश IV में
(D) एक ही चतुर्थांश में स्थित नहीं है।
उत्तर:
(D) एक ही चतुर्थांश में स्थित नहीं है।

प्रश्न 17.
यदि किसी बिंदु का y निर्देशांक शून्य है, तो वह बिंदु सदैव स्थित है :
(A) चतुर्थांश I में
(B) चतुर्थांश II में
(C) x-अक्ष
(D) y-अक्ष पर।
उत्तर:
(C) x-अक्ष

प्रश्न 18.
बिंदु (- 5, 2) और (2, – 5) स्थित हैं :
(A) एक ही चतुर्थांश में
(B) क्रमशः चतुर्थांश II और III में
(C) क्रमशः चतुर्थांश II और IV में
(D) क्रमशः चतुर्थांश IV और II में।
उत्तर:
(C) क्रमशः चतुर्थांश II और IV में

प्रश्न 19.
यदि किसी बिंदु P की x-अक्ष से लांबिक दूरी 5 मात्रक हो तथा इस लंब का पाद x-अक्ष की ऋणात्मक दिशा पर स्थित हो, तो बिंदु P का
(A) x-निर्देशांक = – 5 है
(B) y-निर्देशांक = 5 केवल
(C) y-निर्देशांक = – 5 केवल
(D) y-निर्देशांक = 5 या – 5.
उत्तर:
(D) y-निर्देशांक = 5 या – 5.

प्रश्न 20.
बिंदुओं 0 (0, 0), A (3, 0), B (3, 4), C (0, 4) को आलेखित करके तथा OA, AB, BC और CO को मिलाने पर, निम्नलिखित में से कौन-सी आकृति प्राप्त होगी ?
(A) वर्ग
(B) आयत
(C) समलंब
(D) समचतुर्भुज
उत्तर:
(B) आयत

प्रश्न 21.
यदि बिंदुओं P (- 1, 1), Q (3, – 4), R (1, – 1), S (- 2, – 3) और (- 4, 4) को आलेख कागज पर आलेखित किया जाए, तो चौथे चतुर्थांश के बिंदु हैं :
(A) P और T
(B) Q और R
(C) केवल S
(D) P और R.
उत्तर:
(B) Q और R

प्रश्न 22.
यदि दो बिंदुओं P और Q के निर्दशांक क्रमश: (- 2, 3) और (- 3, 5) हैं तो (P का भुज) – (Q का भुज) बराबर है :
(A) – 5
(B) 1
(C) – 1
(D) – 2
उत्तर:
(B) 1

प्रश्न 23.
यदि P (5, 1), Q (8, 0), R (0, 4), S (0, 5) और 0 (0, 0) को एक आलेख कागज पर आलेखित किया जाए तो x-अक्ष पर स्थित बिंदु है :
(A) P और R
(B) R और S
(C) केवल Q
(D) Q और O
उत्तर:
(D) Q और O

प्रश्न 24.
किसी बिंदु का भुज धनात्मक होता है :
(A) चतुर्थांश I और II में
(B) चतुर्थांश I और IV में
(C) केवल चतुर्थांश I में
(D) केवल चतुर्थांश II में।
उत्तर:
(B) चतुर्थांश I और IV में

प्रश्न 25.
वे बिंदु जिनके भुज और कोटि विभिन्न चिन्हों के होते हैं स्थित होंगे :
(A) चतुर्थांश I और II में
(B) चतुर्थांश II और III में
(C) चतुर्थांश I और III में
(D) चतुर्थांश II और IV में।

उत्तर:
(D) चतुर्थांश II और IV में।

प्रश्न 26.
आकृति में, P के निर्देशांक है :
(A) (- 4, 2)
(B) (- 2, 4)
(C) (4, – 2)
(D) (2, – 4)
उत्तर:
(B) (- 2, 4)

प्रश्न 27.
आकृति में, निर्देशांक (- 5, 3) वाला बिंदु है :
(A) T
(B) R
(C) L
(D) S
उत्तर:
(C) L

प्रश्न 28.
वह बिंदु जिसकी कोटि 4 है और जो y-अक्ष पर
(A) (4, 0)
(B) (0, 4)
(C) (1, 4)
(D) (4, 2)
उत्तर:
(B) (0, 4)

प्रश्न 29.
बिंदुओं P (0, 3), Q (1, 0), R (0, – 1), S (- 5, 0) और T (1, 2) में से कौन-कौन से बिंदु x-अक्ष पर स्थित नहीं है ?
(A) केवल P और R
(B) Q और s
(C) P, R और T
(D) Q, S और T.

उत्तर:
(C) P, R और T

प्रश्न 30.
वह बिंदु जो y-अक्ष की ऋणात्मक दिशा में y-अक्ष पर 5 मात्रक की दूरी पर स्थित है, होगा :
(A) (0, 5)
(B) (5, 0)
(C) (0, – 5)
(D) (- 5, 0)
उत्तर:
(C) (0, – 5)

प्रश्न 31.
y-अक्ष से बिंदु P (3, 4) की लांबिक दूरी है :
(A) 3
(B) 4
(C) 5
(D) 7
उत्तर:
(A) 3

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 1 संख्या पद्धति MCQ Questions with Answers

PSEB 9th Class Maths Chapter 1 संख्या पद्धति MCQ Questions

बहुविकल्पीय प्रश्न:

नीचे प्रत्येक प्रश्न के चार उत्तर दिए गए हैं। सही उत्तर का चयन कीजिए।

प्रश्न 1.
परिमेय संख्या के बराबर है।
(A) 0.75
(B) 0.12
(C) 0.012
(D) 0.075.
उत्तर:
(D) 0.075.

प्रश्न 2.
3 और 4 के बीच एक परिमेय संख्या है
(A) \(\frac{3}{2}\)
(B) \(\frac{4}{3}\)
(C) \(\frac{7}{2}\)
(D)\(\frac{7}{4}\)
उत्तर:
(C) \(\frac{7}{2}\)

प्रश्न 3.
\(\frac{3}{5}\) और \(\frac{4}{5}\) के बीच एक परिमेय संख्या है
(A) \(\frac{7}{5}\)
(B) \(\frac{7}{10}\)
(C) \(\frac{3}{10}\)
(D) \(\frac{4}{10}\)
उत्तर-
(B) \(\frac{7}{10}\)

प्रश्न 4.
\(\frac{1}{2}\) और \(\frac{3}{4}\) के बीच एक परिमेय संख्या है
(A) \(\frac{2}{5}\)
(B) \(\frac{5}{8}\)
(C) \(\frac{4}{3}\)
(D) \(\frac{1}{4}\)
उत्तर-
(B) \(\frac{5}{8}\)

प्रश्न 5.
निम्न में से कौन-सी परिमेय संख्या नहीं हैं ?
(A) √2
(B) 0
(C) √4
(D) √- 16.
उत्तर-
(A) √2

प्रश्न 6.
निम्न में कौन-सी अपरिमेय संख्या है ?
(A) √4
(B) 3√18
(C) √100
(D) – √0.64
उत्तर-
(B) 3√18

प्रश्न 7.
\(\frac{1}{5}\) का दशमलव रूप है
(A) .2
(B) .5
(C) .02
(D) .02.
उत्तर-
(A) .2

प्रश्न 8.
3\(\frac{3}{8}\) का दशमलव रूप है
(A) 3.35
(B) 3.375
(C) 33.75
(D) 337.5.
उत्तर-
(B) 3.375

प्रश्न 9.
का दशमलव रूप है-
(A) \(.8 \overline{3}\)
(B) \(.8 \overline{33}\)
(C) \(.6 \overline{3}\)
(D) \(.6 \overline{33}\)
उत्तर-
(A) \(.8 \overline{3}\)

प्रश्न 10.
परिमेय संख्या का दशमलव निरूपण है
(A) \(0 . \overline{296}\)
(B) \(0.29 \overline{6}\)
(C) \(0.2 \overline{96}\)
(D) 0.296
उत्तर-
(A) \(0 . \overline{296}\)

प्रश्न 11.
निम्न में कौन-सी परिमेय संख्या है ?
(A) √3
(B) √2
(C) 0
(D) √5
उत्तर-
(C) 0

प्रश्न 12.
0.6666 का \(\frac{p}{q}\) रूप है
(A) \(\frac{6}{99}\)
(B) \(\frac{2}{3}\)
(C) \(\frac{3}{55}\)
(D) \(\frac{1}{66}\)
उत्तर-
(B) \(\frac{2}{3}\)

प्रश्न 13.
4 \(\frac{1}{8}\) का दशमलव रूप है
(A) 4.15
(B) \(4 . \overline{15}\)
(C) \(4 .1 \overline{5}\)
(D) \(0 . \overline{415}\)
उत्तर-
(A) 4.15

प्रश्न 14.
\(\frac{1}{11}\) का दशमलव रूप है
(A) \(0.0 \overline{99}\)
(B) \(0. \overline{909}\)
(C) \(0. \overline{09}\)
(D) \(0.00 \overline{9}\)
उत्तर-
(C) \(0. \overline{09}\)

प्रश्न 15.
\(\frac{2}{11}\) का दशमलव रूप है
(A) \(0 . \overline{18}\)
(B) \(0 .11 \overline{8}\)
(C) \(0 .1 \overline{18}\)
(D) \(0 . \overline{018}\)
उत्तर-
(A) \(0 . \overline{18}\)

प्रश्न 16.
\(0 . \overline{47}\) का रूप है
(A) \(\frac{47}{90}\)
(B) \(\frac{43}{99}\)
(C) \(\frac{43}{90}\)
(D) \(\frac{43}{99}\)
उत्तर-
(C) \(\frac{43}{90}\)

प्रश्न 17.
\(0 . \overline{001}\) का \(\frac{p}{q}\) रूप है
(A) \(\frac{1}{99}\)
(B) \(\frac{01}{9}\)
(C) \(\frac{1}{999}\)
(D) \(\frac{11}{9}\)
उत्तर-
(C) \(\frac{1}{999}\)

प्रश्न 18.
किसी भी परिमेय संख्या का सांत दशमलव
निरूपण तभी होगा, यदि उसके हर में
(A) 2 या 5 हो
(B) 3 या 5 हो
(C) 9 या 11 हो
(D) 3 या 7 हो
उत्तर-
(A) 2 या 5 हो

प्रश्न 19.
निम्न में कौन-सी एक अपरिमेय संख्या है ?
(A) 2 – √5
(B) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
(C) 2π
(D) \(\frac{2 \sqrt{7}}{7 \sqrt{7}}\)
उत्तर-
(C) 2π

प्रश्न 20.
(3 + √3) (2 + √2) का मान है
(A) 6 + 3√2 + 2√3 + √6
(B) 3 +3√2 + 3√3 + 6
(C) 6 – 3√2 – 2√3 – √6
(D) 6 – 3√2 + 2√3 – √6.
उत्तर-
(A) 6 + 3√2 + 2√3 + √6

प्रश्न 21.
(3 + √3) (3 – √3) का मान है
(A) 0
(B) 6
(C) 9
(D) 3
उत्तर-
(B) 6

प्रश्न 22.
(√5 + √2)₂ का मान है
(A) 7 + 2√5
(B) 1 + 5√2
(C) 7 + 2√10
(D) 7 – 2√10 .
उत्तर-
(C) 7 + 2√10

प्रश्न 23.
(√5 – √2) (√5 + √2) का मान है
(A) 10
(B) 7
(C) 3
(D) √3 .
उत्तर-
(C) 3

प्रश्न 24.
(√11 – √7) (√11 + √7) का मान है
(A) 4
(B) – 4
(C) 18
(D) – 18.
उत्तर-
(A) 4

प्रश्न 25.
(√5 + √5) (√5 – √5) का मान है
(A) 0
(B) 25
(C) 20
(D) – 20.
उत्तर-
(C) 20

प्रश्न 26.
\(\frac{1}{\sqrt{7}}\) के हर का परिमेयकरण करने पर प्राप्त होगा
(A) 7
(B) \(\frac{\sqrt{7}}{7}\)
(C) √7
(D) \(\frac{-\sqrt{7}}{7}\).
उत्तर-
(B) \(\frac{\sqrt{7}}{7}\)4

प्रश्न 27.
\(\) के हर का परिमेयकरण करने पर
प्राप्त होगा
(A) √7 + √6
(B) √7 – √6
(C) \(\frac{\sqrt{7}+\sqrt{6}}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}\)
(D) \(\frac{\sqrt{7}-\sqrt{6}}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}\)
उत्तर-
(A) √7 + √6

प्रश्न 28.
F के हर का परिमेयकरण करने पर प्राप्त होगा
(A) √5 – √2
(B) √2 – √5
(C) \(\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}\)
(D) \(\frac{\sqrt{2}-\sqrt{5}}{3}\)
उत्तर-
(C) \(\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}\)

प्रश्न 29.
नि, के हर का परिमेयकरण करने पर प्राप्त होगा
(A) √7 + 2
(B) √7 – 2
(c) \(\frac{\sqrt{7}-2}{3}\)
(D) \(\frac{\sqrt{7}+2}{3}\)
उत्तर-
(D) \(\frac{\sqrt{7}+2}{3}\)

प्रश्न 30.
(2 – √2) (2 + √2) का मान है
(A) 0
(B) 2
(C) √2
(D) – √2.
उत्तर-
(B) 2

प्रश्न 31.
(√13 + √7) (√13 – √7) का मान है
(A) 20
(B) – 6
(C) 6
(D) – 20.
उत्तर-
(C) 6

प्रश्न 32.
\(\frac{1}{\sqrt{2}}\) के हर का परिमेयकरण करने पर प्राप्त
(A) √2
(B) 2
(C) \(\frac{2}{\sqrt{2}}\)
(D) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
उत्तर-
(D) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

प्रश्न 33.
\(\frac{1}{2+\sqrt{3}}\) के हर का परिमेयकरण करने पर प्राप्त होगा
(A) 2 – √3
(B) √3 – 2
(C) 2 + √3
(D) – √3 – 2.
उत्तर-
(A) 2 – √3

प्रश्न 34.
\(\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\) के हर का परिमेयकरण करने पर प्राप्त होगा
(A) \(\frac{1}{\sqrt{3+\sqrt{2}}\)
(B) √3 + √2
(C) √2 – √3
(D) – √3 – √2
उत्तर-
(B) √3 + √2

प्रश्न 35.
\(\sqrt[3]{7}\) का घातांकी रूप है
(A) 7³
(B) 3⁷
(C) 7^{\(\frac{1}{3}\)}
(D) 3^{\(\frac{1}{7}\)}
उत्तर-
(C) 7^{\(\frac{1}{3}\)}

प्रश्न 36.
\(\sqrt[8]{\frac{61}{1123}}\) का घातांकी रूप है
(A) \(\left(\frac{61}{1123}\right)^{\frac{1}{8}}\)
(B) \(\left(\frac{1123}{61}\right)^{\frac{1}{8}}\)
(C) \(\left(\frac{61}{1123}\right)^{8}\)
(D) \(\left(\frac{1123}{61}\right)^{8}\)
उत्तर-
(A) \(\left(\frac{61}{1123}\right)^{\frac{1}{8}}\)

प्रश्न 37.
\(4^{\frac{1}{2}}\) का मान है
(A) 8
(B) 4
(C) 16
(D) 32.
उत्तर-
(A) 8

प्रश्न 38.
\(32^{\frac{1}{5}}\) का मान है
(A) 16
(B) 160
(C) 2
(D) 18.
उत्तर-
(C) 2

प्रश्न 39.
\((125)^{1 / 3}\) का मान है
(A) 5
(B) 25
(C) 45
(D) 35.
उत्तर-
(A) 5

प्रश्न 40.
\(9^{3 / 2}\) का मान है
(A) 18
(B) 27
(C) – 18
(D) 7.
उत्तर-
(B) 27

प्रश्न 41.
\(32^{2 / 5}\) का मान है
(A) 2
(B) 4
(C) 16
(D) 14.
उत्तर-
(B) 4

प्रश्न 42.
\(16^{3 / 4}\) का मान है
(A) 4
(B) 12
(C) 8
(D) 48
उत्तर-
(C) 8

प्रश्न 43.
\(125^{-\frac{1}{3}}\) का मान है-
(A) \(\frac{1}{5}\)
(B) \(\frac{1}{25}\)
(C) \(\frac{1}{15}\)
(D) \(\frac{1}{125}\)
उत्तर-
(A) \(\frac{1}{5}\)

प्रश्न 44.
\(2^{\frac{2}{3}}, 2^{\frac{1}{5}}\) बराबर है
(A) \(2^{\frac{2}{3}+\frac{1}{5}}\)
(B) \(2^{\frac{2}{3}-\frac{1}{5}}\)
(C) \(2^{\frac{2}{3} \times \frac{1}{5}}\)
(D) \(2^{\frac{2}{3} \div \frac{1}{5}}\)
उत्तर-
(A) \(2^{\frac{2}{3}+\frac{1}{5}}\)

प्रश्न 45.
\(\frac{11^{\frac{1}{2}}}{11^{\frac{1}{4}}}\) बराबर है
(A) \(11^{1 / 4}\)
(B) \(11^{3 / 4}\)
(C) \(11^{1 / 8}\)
(D) 11²
उत्तर-
(A) \(11^{1 / 4}\)

प्रश्न 46.
सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या है
(A) 0
(B) 1
(C) – 1
(D) 2.
उत्तर-
(B) 1

प्रश्न 47.
16¹⁷ ÷ 16¹⁵ बराबर है
(A) 2
(B) 225
(C) 256
(D) 22
उत्तर-
(C) 226

प्रश्न 48.
25^{\(-\frac{1}{2}\)} का मान है
(A) 5
(B) \(\frac{1}{5}\)
(C) 121/2
(D) – 1/5.
उत्तर-
(B) \(\frac{1}{5}\)

प्रश्न 49.
\(64^{-3 / 2}\) का मान है
(A) \(\frac{1}{96}\)
(B) \(\frac{1}{64}\)
(C) 512
(D) \(\frac{1}{512}\)
उत्तर-
(D) \(\frac{1}{512}\)

प्रश्न 50.
\(125^{\frac{2}{3}}\) का मान है
(A) 5
(B) 25
(C) 125\({\frac{2}{3}}\)
(D) \(\frac{15625}{3}\)
उत्तर-
(B) 25

प्रश्न 51.
(25)⁰ का मान है
(A) 0
(B) 25
(C) 1
(D) 5.
उत्तर-
(C) 1

प्रश्न 52.
\(16^{\frac{1}{2}} \times 16^{\frac{1}{2}}\) का मान है
(A) 32^1/2
(B) 16^1/4
(C) 16
(D) 256^1/2
उत्तर-
(C) 16

प्रश्न 53.
\(13^{1 / 5} \cdot 17^{1 / 5}\) को सरल करने पर प्राप्त होता
(A) (14)^1/35
(B) (221)^1/5
(C) 221^1/5
(D) 17^1/5
उत्तर-
(B) (221)^1/5

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 3 निर्देशांक ज्यामिति Ex 3.3 Textbook Exercise Questions and Answers

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 3 निर्देशांक ज्यामिति Ex 3.3

प्रश्न 1.
किस चतुर्थांश में या किस अक्ष पर बिंदु (- 2, 4), (3, – 1), (- 1, 0), (1, 2) और (- 3, – 5) स्थित हैं। कार्तीय तल पर इन का स्थान निर्धारण करके अपने उत्तर को सत्यापित कीजिए।
हल :
हम दिए गए बिंदुओं के संगत चतुर्थांश का निर्धारण निम्न की सहायता से करते हैं।

बिंदु (- 2, 4) में ; x-निर्देशांक ऋणात्मक है और y-निर्देशांक धनात्मक है।
अतः बिंदु (- 2, 4) चतुर्थांश II में स्थित है।
बिंदु (3, – 1) में ; x-निर्देशांक धनात्मक है और y-निर्देशांक ऋणात्मक है।
अतः बिंदु (3, – 1) चतुर्थांश IV में स्थित है।
बिंदु (- 1, 0) में, x-निर्देशांक ऋणात्मक है और y-निर्देशांक शून्य है।
अतः बिंदु (- 1, 0) x-अक्ष पर स्थित है।
बिंदु (1, 2) में ; x-निर्देशांक धनात्मक है और y-निर्देशांक धनात्मक है।
अतः बिंदु (1, 2) चतुर्थांश I में स्थित है।
बिंदु (- 3, – 5) में ; x-अक्ष निर्देशांक ऋणात्मक है और y-निर्देशांक ऋणात्मक है।
अतः बिंदु (- 3, – 5) में चतुर्थांश III में स्थित है।

प्रश्न 2.
अक्षों पर दूरी का उपयुक्त एकक लेकर नीचे सारणी में दिए गए बिंदुओं को तल पर आलेखित कीजिए :

हल :
सारणी में दिए गए बिंदु नीचे दिखाए अनुसार आलेख में आलेखित किए गए हैं।

Scale chosen :
x-अक्ष पर 1 बड़ा भाग = 1 सेमी०
y-अक्ष पर 1 बड़ा भाग = 1 सेमी०

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 3 निर्देशांक ज्यामिति Ex 3.2 Textbook Exercise Questions and Answers

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 3 निर्देशांक ज्यामिति Ex 3.2

प्रश्न 1.
निम्नलिखित प्रश्नों में से प्रत्येक प्रश्न का उत्तर दीजिए :
(i) कार्तीय तल में किसी बिंदु की स्थिति निर्धारित करने वाली क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर रेखाओं के क्या नाम हैं?
(ii) इन दो रेखाओं से बने तल के प्रत्येक भाग के नाम बताइए।
(iii) उस बिंदु का नाम बताइए जहाँ ये दो रेखाएँ प्रतिच्छेदित होती हैं।
हल :
(i) कार्तीय तल में किसी बिंदु की स्थिति निर्धारित करने वाली क्षैतिज और उर्ध्वाकर रेखाओं को अक्ष (axis) कहते हैं।

(ii) इन दो रेखाओं द्वारा बनाए गए प्रत्येक भाग को चतुर्थांश कहा जाता है।

(iii) वह बिंदु जहाँ ये दो रेखाएँ प्रतिच्छेदित होती हैं, मूल बिन्दु कहलाता है।

प्रश्न 2.
आकृति में देखकर निम्नलिखित को लिखिए :
(i) B के निर्देशांक
(ii) C के निर्देशांक
(iii) निर्देशांक (- 3, – 5) द्वारा पहचाना गया बिंदु
(iv) निर्देशांक (2, – 4) द्वारा पहचाना गया बिंदु
(v) बिंदु D का भुज
(vi) बिंदु H के निर्देशांक
(vii) बिंदु L के निर्देशांक
(viii) बिंदु M के निर्देशांक

हल :
(i) बिंदु B तक पहुँचने के लिए हम मूल बिंदु से 5 एकक बायीं ओर तथा 2 एकक ऊपर की ओर चलते हैं।
दूसरे शब्दों में B का x-निर्देशांक – 5 और yनिर्देशांक 2 है। अत: B के निर्देशांक (- 5, 2) हैं।
(i) बिंदु C का निर्धारण करने के लिए हम मूल बिंदु के दायीं ओर 5 एकक और 5 एकक नीचे की ओर चलते हैं। दूसरे शब्दों में बिंदु का x-निर्देशांक 5 और y निर्देशांक – 5 है। अत: C के निर्देशांक (5, -5) हैं।
(iii) निर्देशांक (-3, -5) का पहचाना गया बिंदु E है।
(iv) निर्देशांक (2, -4) का पहचाना गया बिंदु G
(v) बिंदु D का भुज अर्थात् x-निर्देशांक 6 है।
(vi) बिंदु H का y-निर्देशांक – 3 है।
(vii) बिंदु L पर पहुँचने के लिए, हम उर्ध्वाधर अक्ष पर मूल बिंदु से 5 एकक ऊपर की ओर चलते हैं। दूसरे शब्दों में L का x-निर्देशांक 0 और y-निर्देशांक 5 है। अतः L का निर्देशांक (0, 5) है।
(viii) बिंदु M का निर्धारण करने के लिए हम क्षैतिज अक्ष पर मूल बिंदु से 3 एकक बायीं ओर चलते हैं ! दूसरे शब्दों में M का x-निर्देशांक – 3 है और y-निर्देशांक 0 अत: M के निर्देशांक (- 3, 0) हैं।

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 3 निर्देशांक ज्यामिति Ex 3.1 Textbook Exercise Questions and Answers

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 3 निर्देशांक ज्यामिति Ex 3.1

प्रश्न 1.
एक अन्य व्यक्ति को आप अपने अध्ययन मेज़ पर रखे टेबल लैंप की स्थिति किस तरह बताएँगे ?
उत्तर :
लैंप को एक बिंदु मान लीजिए और मेज़ को एक समतल। मेज़ का कोई भी दो लंब कोर लीजिए। बड़े कोर से लैंप की दूरी माप लीजिए। मान लीजिए यह दूरी 25 सेमी हैं। अब, छोटे कोर से लैंप की दूरी मापिए और मान लीजिए यह दूरी 40 सेमी है। जिस क्रम में आपने लैंप रखा है उसके अनुसार उसकी स्थिति को (40, 25) या (25, 40) लिख सकते हैं।

प्रश्न 2.
(सड़क योजना) : एक नगर में दो मुख्य सड़कें हैं, जो नगर के केंद्र पर मिलती हैं। ये दो सड़कें उत्तर-दक्षिण दिशा और पूर्व-पश्चिम की दिशा में हैं। नगर की अन्य सभी सड़कें इन मुख्य सड़कों के समांतर परस्पर 200 मीटर की दूरी पर हैं। प्रत्येक दिशा में लगभग पाँच सड़कें हैं। सेंटीमीटर = 200 मीटर का पैमाना लेकर अपनी नोट बुक में नगर का एक मॉडल बनाइए। सड़कों को एकल रेखाओं से निरूपित कीजिए।

आपके मॉडल में एक-दूसरे को काटती हई अनेक क्रॉस-स्ट्रीट (चौराहे ) हो सकती हैं। एक विशेष क्रॉसस्ट्रीट दो सड़कों से बनी हैं, जिनमें से एक उत्तरदक्षिण दिशा में जाती है और दसरी पर्व-पश्चिम की दिशा में। प्रत्येक क्रॉस-स्ट्रीट का निर्देशन इस प्रकार किया जाता है : यदि दूसरी सड़क उत्तर-दक्षिण दिशा में जाती है और पाँचवों सड़क पूर्व-पश्चिम दिशा में जाती है और ये क्रॉसिंग पर मिलती है, तब इसे हम क्रॉस स्ट्रीट (2, 5) कहेंगे। इसी परंपरा से यह ज्ञात कीजिए कि
(i) कितनी क्रॉस-स्ट्रीटों को (4, 3) माना जा सकता है।
(ii) कितनी क्रॉस-स्ट्रीटों को (3, 4) माना जा सकता है।
उत्तर :
सड़क योजना नीचे दी गई आकृति में दिखाई गई है।

क्रास-स्ट्रीट (4, 3) पर पहुँचने के लिए हम उत्तरदक्षिण दिशा में जाने वाली चौथी और पूर्व-पश्चिम की दिशा में जाने वाली तीसरी सड़क को चुनते हैं।
तब (4, 3) से निर्देशित क्रॉस-स्ट्रीट बिंदु से चिन्हित किया जाता है जैसा कि उपरोक्त आकृति में दिखाया गया है।
इसी प्रकार (3, 4) से निर्देशित बिंदु से चिन्हित किया जाता है।
हम देखते हैं कि दोनों क्रॉस-स्ट्रीट अद्वितीयतः प्राप्त करते हैं। क्योंकि दो संदर्भ रेखाओं में

को हमने स्थान निर्धारण के लिए प्रयोग किया है।

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.5 Textbook Exercise Questions and Answers

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 2 बहुपद Ex 2.5

प्रश्न 1.
उपयुक्त सर्वसमिकाओं को प्रयोग करके निम्नलिखित गुणनफल ज्ञात कीजिए :
(i) (x + 4) (x + 10)
(ii) (x + 8) (x – 10)
(iii) (3x + 4) (3x – 5)
(iv) (y² + \(\frac{3}{2}\)) (y² – \(\frac{3}{2}\)).
हल :
(i) (x + 4) (x + 10) = x² + (4 + 10)x + 4 × 10
[सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x² + (a + b)x + ab का प्रयोग करने पर, जहाँ a = 4, b = 10]
= x² + 14x + 40

(ii) (x + 8) (x – 10) = x² + {8 + ( – 10)} x + 8 × ( – 10)
= x² – 2x – 80
[सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x² + (a + b) x + ab का प्रयोग करने पर, जहाँ a = 8, b = – 10]

(iii) (3x + 4) (3x – 5)
3x = y प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त | होता है :
(y + 4) (y – 5) = y + {4 + (- 5)} y + 4 (- 5)
= y² – y – 20
= (3x)² – 3x – 20 [∵ 3x = y]
[सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x² + (a + b)x + ab का प्रयोग करने पर, जहाँ a = 4, b = – 5]
= 9x² – 3x – 20

(iv) (y² + \(\frac{3}{2}\)) (y² – \(\frac{3}{2}\))
y² = x प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :
(x + \(\frac{3}{2}\)) (x – \(\frac{3}{2}\))
= x² + (\(\frac{3}{2}\) – \(\frac{3}{2}\)) x + \(\frac{3}{2}\) (- \(\frac{3}{2}\))
[सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x² + (a + b) x + ab का प्रयोग करने पर, जहाँ a = \(\frac{3}{2}\), b = – \(\frac{3}{2}\)]
= x² + 0x – \(\frac{9}{4}\).
= y⁴ – \(\frac{9}{4}\)
[∵ y² = x]

(v) (3 – 2x) (3 + 2x)
= – (2x – 3) (2x + 3)
= – (2x + 3) (2x – 3)
2x = y प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :
– (y + 3) (y — 3) = – [y² + (3 – 3)y + 3 ( – 3)]
[सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x² + (a + b)x + ab का प्रयोग करने पर, जहाँ a = 3, b = – 3]
= – (y² + 0y – 9)
= – (y² – 9) .
= – [(2x)² – 9]
[जहाँ 2x = y को प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं]
= – (4x² – 9)
= 9 – 4x²

प्रश्न 2.
सीधे गुणा किए बिना निम्नलिखित गुणनफलों के मान ज्ञात कीजिए :
(i) 103 × 107
(ii) 95 × 96
(iii) 104 × 96.
हल :
(a) 103 × 107
= (100 + 3) (100 + 7)
[103 को 100 + 3 और 107 को 100 + 7 लिखने पर]
= (100)² + (3 +7) 100 + 3 × 7।
= 10000 + 10 x 100 + 21
= 10000 + 1000 + 21 = 11021
[सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x² + (a + b)x + ab का प्रयोग करने पर, जहाँ x = 100, a = 3, b = 7]
= 10000 + 10 × 100 + 21
= 10000 + 1000 + 21 = 11021

(ii) 95 × 96
= (100 – 5) (100 – 4)
[95 को 100 – 5 और 96 को 100 – 4 लिखने पर]
= (100)² + [( – 5) + ( – 4)] 100 + ( – 5) ( – 4)
[सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x² + (a + b) x + ab का प्रयोग करने पर, जहाँ
x = 100, a = – 5, b = – 4]
= 10000 + (- 9) 100 + 20
= 10000 – 900 + 20
= 9120

(iii) 104 × 96
= (100 + 4) (100 – 4)
[104 को 100 + 4 और 96 को 100 – 4]
(100)² – (4)²
[सर्वसमिका a² – b² = (a + b) (a – b) का प्रयोग करने पर, जहाँ a = 100 और b = 4]
= 10000 – 16
= 9984

प्रश्न 3.
उपयुक्त सर्वसमिकाएँ प्रयोग करके निम्नलिखित का गुणनखंडन कीजिए :
(i) 9x² + 6xy + y²
(ii) 4y² – 4y + 1
(iii) x² – \(\frac{y^{2}}{100}\)
हल :
(i) 9x² + 6yx + y²
= (3x)² + 2(3x)y + y²
= (3x + y)²
[सर्वसमिका (a + b)² = a² + 2ab + b²2 का प्रयोग करने पर, जहाँ a = 3x और b = y]

(ii) 4y² – 4y +1
= (2y)² – 2(2y) 1 + 12
= (2y – 1)²
[सर्वसमिका (a – b)² = a² – 2ab + b² का प्रयोग करने पर, जहाँ a = 2y और b = 1]

(iii) x² – \(\frac{y^{2}}{100}\)
= x² – \(\left(\frac{y}{10}\right)^{2}\)
= \(\left(x+\frac{y}{10}\right)\left(x-\frac{y}{10}\right)\)
[सर्वसमिका a² – b² = (a + b) (a – b) का प्रयोग करने पर, जहाँ a = x, b = \(\frac{y}{10}\)]

प्रश्न 4.
उपयुक्त सर्वसमिकाओं का प्रयोग करके निम्नलिखित में से प्रत्येक का प्रसार कीजिए :
(i) (x + 2y + 4z)²
(ii) (2x – y + z)²
(ii) ( – 2x + 3y + 2z)²
(iv) (3a – 7b – c)²
(v) ( – 2x + 5y – 3z)²
हल :
(i) (x + 2y + 4z)²
दिए गए व्यंजक की तुलना (a + b + c)² से करने पर हम पाते हैं कि a = x, b = 2y और c = 4z.
इसलिए सर्वसमिका का प्रयोग करने पर
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca
हम लिखते हैं (x + 2y + 4z)² = x² + (2y)² + (4z)² + 2x(2y) + 2(2y) (47) + 2(4zx
= x² + 4y² + 16z² + 4xy + 16yz + 8xz.

(ii) (2x – y + z)²
= [2x + (-y) + z]²
दिए गए व्यंजक की तुलना
(a + b + c)² से करने पर हम पाते हैं कि a = 2x, b = – y और c = z.
इसलिए सर्वसमिका
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca का प्रयोग करने पर हम प्राप्त करते हैं :
(2x + ( – y) + z)²
= (2x)² + ( – y)² + z² + 2(2x) (- y) + 2(- y) z + 2z (2x)
= 4x² + y² + z² – 4xy – 2yz + 4z²

(iii) ( – 2x + 3y + 22)²
दिए गए व्यंजक की तुलना (a + b + c)² से करने पर हम पाते हैं कि a = – 2x, b = 3y और c = 2z
इसलिए सर्वसमिका
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca का प्रयोग करने पर हम प्राप्त करते हैं :
(- 2x + 3y + 22)² = (- 2x)² + (3y)² + (2z)² + 2(- 2x) (3y) + 2 (3y) (2z) + 2(2z) ( – 2x)
= 4x² + 9y² + 4z² – 12xy + 12yz – 8zx.

(iv) (3a – 7b – c)² = [(3a + (- 7b) + (- c)]²
इसलिए सर्वसमिका
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca का प्रयोग करने पर हम प्राप्त करते हैं :
[3a + (- 7b) + (- c)]² = (3a)² + (- 7b)² + (- c)² + 2 (3a) (- 7b) + 2 (- 7b) (- c) + 2(- c) (3a)
= 9a² + 49b² + c² – 42ab + 14bc – 6ca

(v) (- 2x + 5y – 32)²
= [- 2x + 5y + (- 32)]²
दिए गए व्यंजक की तुलना (a + b + c) से करने पर हम पाते हैं कि a = – 2x, b = 5y और = -3z
इसलिए सर्वसमिका
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca का प्रयोग करने पर हम प्राप्त करते हैं :
[- 2x + 5y + (- 32)]² = (- 2x)² + (5y)² + (- 32)² + 2(- 2x) (5y) + 2(5y) (- 3z) + 2 (- 3z) (- 2x)
= 4x² + 25y² + 9z² – 20xy – 30yz + 12zx

(vi) \(\left[\frac{1}{4} a-\frac{1}{2} b+1\right]^{2}=\left[\frac{1}{4} a+\left(\frac{-1}{2} b\right)+1\right]^{2}\)
दिए गए व्यंजक की तुलना
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca
से करने पर हम पाते हैं :

प्रश्न 5.
गुणनखंडन कीजिए :
(i) 4x² + 9y² + 16x² + 12xy – 24yz – 16xz.
(ii) 2x² + y² + 8z² – 2√2 xy + 4√2yz – 8xz.
हल :
(i) जहाँ 4x² + 9y² + 16x² + 12xy – 24yz – 16xz.
= (2x)² + (3y)² + (- 4z)² + 2 × (2x) × (3y) + 2x (3y) (- 4z) + 2 (2x) (- 4z)
= [2x + 3y + (- 4z)]²
[सर्वसमिका a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca
= (a + b + c)² का प्रयोग करने पर]
= (2x + 3y – 4z)²
= (2x + 3y – 4z) (2x + 3y – 4z)

(ii) जहाँ 2x² + y² + 8z² – 2√2 xy + 4√2 yz – 8xz.
=(- √2x)² + (y)² + (2√2 z)² + 2 (- √2x) (y) + 2 (y) (2 √2 ) + 2 (- √2x) (2√2 z)
= [(- √2 x) + y + (2√2 z)]²
[सर्वसमिका a² + b² + c² + 2ab + 2b c + 2ca + (a + b + c)2 का प्रयोग करने पर]
= (- √2 x + y + 2√2z)²
= (- √2x + y + 2√2 z) (- √2x + y + 2√2z)

प्रश्न 6.
निम्नलिखित घनों को प्रसारित रूप मे लिखिए :
(i) (2x + 1)³
(ii) (2a – 3b)³
(iii) [(\(\frac{3}{2}\)x + 1]³
(iv) [x – \(\frac{2}{3}\) y]³
हल :
(i) (2x + 1)³
दिए गए व्यंजक की तुलना (2x + 1)³ की तुलना (a + b)³, से करने पर हम पाते हैं कि a = 2x, b = 1
इसलिए सर्वसमिया
(a + b)³ = a³ + b³ + 3ab (a + b) का प्रयोग करने पर हम प्राप्त करते हैं
(2x + 1)³ = (2x)³ + (1)³ + 3(2x) 1 (2x + 1)
= 8x³ + 1 + 12x² + 6x
= 8x³ + 12x² + 6x + 1 x की घटती हुई घातांक में व्यवस्थित करते हुए।

(i) (2a – 3b)³ दिए गए व्यंजक (2a – 3b)³ की तुलना
(x – y)³ के साथ रने पर हम प्राप्त करते हैं x = 24, y = 3b
इसलिए सर्वसमिका
(x – y)³ = x³ – y³ – 3xy (x – y) का प्रयोग करने | पर हम प्राप्त करते है :
(2a – 3b)³ = (2a)³ – 3 (3b)³ – 3 (2a) (3b) (2a – 3b)
= 8a³ – 27b³ – 36a²b + 54ab²

(iii) [\(\frac{3}{2}\)x + 1]³
दिए गए व्यंजक [\(\frac{3}{2}\)x + 1] की तुलना (a +b)³ से करने पर हम पाते हैं कि a = \(\frac{3}{2}\)x, b = 1
इसलिए सर्वसमिका
(a + b)³ = a³ + b³ + 3ab (a + b) प्रयोग करने पर हम प्राप्त करते हैं
\(\left(\frac{3}{2} x+1\right)^{3}=\left(\frac{3}{2} x\right)^{3}+1^{3}+3\left(\frac{3}{2} x\right) 1\left(\frac{3}{2} x+1\right)\)

= \(\frac{27}{8} x^{3}+1+\frac{27}{4} x^{2}+\frac{9}{2} x\)

= \(\frac{27}{8} x^{3}+\frac{27}{4} x^{2}+\frac{9}{2} x+1\)
[x की घटती हुई घातांक के रूप में व्यवस्थित करने पर]

(iv) दिए गए व्यंजक [x – \(\frac{2}{3}\) y]³ की तुलना (a – b)³ से करने पर हम पाते हैं कि
a = x, b = \(\frac{2}{3}\) y
इसलिए सर्वसमिका
(a – b)³ = a³ – b³ – 3ab (a – b) का प्रयोग करने पर हमें प्राप्त होता है :
\(\left(x-\frac{2}{3} y\right)^{3}=x^{3}-\left(\frac{2}{3} y\right)^{3}-3 x\left(\frac{2}{3} y\right)\left[x-\frac{2}{3} y\right]\)

= \(x^{3}-\frac{8}{27} y^{3}-2 x^{2} y+\frac{4}{3} x y^{2}\)

= \(x^{3}-2 x^{2} y+\frac{4}{3} x y^{2}-\frac{8}{27} y^{3}\)

[x के घातांकों के घटते क्रम में रखने पर]

प्रश्न 7.
उपयुक्त सर्वसमिकाएँ प्रयोग करके निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए : ..
(i) (99)³
(ii) (102)³
(iii) (998)³
हल :
(i) (99)³ = (100 – 1)³
= (100)³ – 1³ – 3 (100) 1 (100 – 1)
[सर्वसमिका (a – b)³ = a³ – b³ – 3ab (a – b) का प्रयोग करने पर
= 1000000 – 1 – 30000 + 300
= 970299

(ii) (102)³
= (100 + 2)³
= (100)³ + 2³ + 3(100) (2) [100 + 2]
[सर्वसमिका (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab (a + b) का प्रयोग करने पर]
= 1000000 + 8 + 60000 + 1200
= 106208

(iii) (998)³
= (1000 – 2)³
= (1000)³ – 2³ – 3 (1000) (2) (1000 – 2)
[सर्वसमिका (a – b)³ = a³ – b³ – 3ab (a – b) का प्रयोग करने पर]
= 1000000000 – 8 – 6000000 + 12000
= 10000 12000 – 6000008
= 99401992

प्रश्न 8.
निम्नलिखित में से प्रत्येक का गुणनखंडन कीजिए :
(i) 8a³ + b³ + 12a²b + 6ab²
(ii) 8a³ – b³ – 12a²b + 6ab²
(ii) 27 – 125a³ – 135a + 225a²
(iv) 64a³ – 27b³ – 144a²b + 108ab²
(v) 27p³ – \(\frac{1}{216}-\frac{9}{2} p^{2}+\frac{1}{4} p\)
हल :
(i) 8a³ + b³ + 12a²b + 6ab²
= (2a)³ + b³ + 3 (2a) b (2a + b)
= (2a + b)³
[सर्वसमिका (x + y)³ = x + y + 3xy (x + y) का प्रयोग करने पर,]
जहाँ x = 2a और y = b

(ii) 8a³ – b³ – 12a²b + 6ab²
= (2a)³ – b³ – 3 (2a) b (2a + b)
= (2a – b)³
[सर्वसमिका (x – y)³ = x³ – y³ – 3xy (x – y) का प्रयोग करने पर]
जहाँ x = 2a और y = b

(iii) 27 – 125a³ – 135a + 225a³
= (3)³ – (5a)³ – 3 (3) (5a) [3 – 5a]
= (3 – 5a)³
[सर्वसमिका (x – y)³ = x³ – y³ – 3xy (x – y)]
जहाँ x = 3, y = 5a

(iv) 64a² – 27b³ – 144a²b + 108ab²
= (4a)³ – (3b)³ – 3 (4a) (3b) [4a – 3b]
= (4a – 3b)³
[सर्वसमिका (x – y)³ = x³ – y³ – 3xy (x – y) का प्रयोग करने पर, जहाँ x = 4a, y = 3b]

(v) 27p³ \(\frac{1}{216}-\frac{9}{2} p^{2}+\frac{1}{4} p\)
= \((3 p)^{3}-\left(\frac{1}{6}\right)^{3}-3(3 p) \frac{1}{6}\left[3 p-\frac{1}{6}\right]\)
= \(\left[3 p-\frac{1}{6}\right]^{3}\)
[सर्वसमिका (x – y)³ = x³ – y³ – 3xy (x – y) का प्रयोग करने पर, जहाँ x = 3p, y = \(\frac{1}{6}\)]

प्रश्न 9.
सत्यापित कीजिए :
(i) x³ + y³ = (x + y) (x² – xy + y²)
(ii) x³ – y³ = (x – y) (x² + xy + y²).
हल :
(i) x³ + y³ = (x + y) (x² – xy + y²)
R.H.S. लीजिए
(x + y) (x² – xy + y²) = x (x² – xy + y²) + y (x² – xy + y²)
= x³ – x²y + xy² + x²y – xy² + y³
= x³ + x²y – x²y + xy² – xy² + y³
= x³ + y³
= L.H.S.

(ii) x³ – y³ = (x – y) (x² + xy + y²)
R.H.S. लीजिए
(x – y) (x² + xy + y²)
= x (x² + xy + y²) – y (x² + xy + y²)
= x³ + x²y + xy² – yx² – xy² – y³
= x² + x²y – x²y + xy² – xy² – y³²
= x³ – y³
= L.H.S.

प्रश्न 10.
निम्नलिखित में से प्रत्येक का गुणनखंडन कीजिए :
(i) 27y³ + 125x³
(ii) 64m³ – 343n³
हल :
(a) 27y³ + 125z³
= (3y)³ + (5z)³
= (3y + 5z) [(3y)² – (3y) (5z) + (5z)²]
[सर्वसमिका a³ + b³ = (a + b) (a² – ab + b²) का प्रयोग करने पर],
यहाँ. a = 3y, b = 5z]
= (3y + 5z) (9y² – 15yz + 25z²)

(ii) 64m³ – 343n³
= (4m)² + (7n)²
= (4m – 7n) [(4m)²+ (4m) (7n) + (7n)²]
[सर्वसमिका a3 – b3 = (a – b) (a + ab + b2)
यहाँ a = 4m, b = 7n का प्रयोग करने पर]
= (4m – 7n) [16m² + 28mn + 49n²)

प्रश्न 11.
गुणनखंडन कीजिए: 27x³ + y³ + z³ – 9xyz.
हल :
हम लिख सकते हैं :
27x³ + y³ + z³ – 9xyz
= (3x)³ + y³ + z³ – 3 (3x) yz
= (3x + y + z) [(3x)² + y² + z² – (3x) y – yz – (3x) z]
[सर्वसमिका a³ + b³ + c³ – 3abc = – (a + b + c) (a² + b² + c² – ab – bc – ca) का प्रयोग करने पर],
जहाँ a = 3x, b = y, c = z]
= (3x + y + z) (9x² + y² + z² – 3xy – yz – 3xz)

प्रश्न 12.
सत्यापित कीजिए x³ + y³ + z³ – 3xy. = (x + y + 2) [(x – y)² + (y – z)² + (z – x)².]
हल :
R.H.S. लीजिए \(\frac{1}{2}\) (x + y + z) [(x – y)² + (y – z)² + (z – x)²]
= (x + y + 2) [x² + y² – 2xy + y² + z² – 2yz + z² + x² – 2zx]
= \(\frac{1}{2}\) (x + y + z) [2x² + 2y² + 2x² – 2xy – 2yz – 2zx]
= \(\frac{1}{2}\) (x + y + 2) 2 [x² + y² + z² – xy – yz – zx]
= (x + y + z) (x² + y² + z² – xy – yz – zx)
= x (x² + y² + z² – xy – yz – zx) + y (x² + y² + z² – xy – yz – zx) + z (x² + y² + z² – xy – yz – zx)
= x³ + xy² + xz² – x²y – xyz – zx² + yx² + y³ + yz² – xy² – y²z – xyz + x²z + zy² + z³ – xyz – yz² – z²x
= x³ + (xy² – xy²) + (xz² – xz²) + (- x²y + yx²) + (zx² – x²z) + (y²z – (zy² – y²z) + y³ + z³ – 3xyz.
= x³ + y³ + z³ – 3xyz
= L.H.S.

प्रश्न 13.
यदि x + y + 2 = 0 हो, तो दिखाइए कि x3 +ys + z3 = 3xyz
हल :
x + y + z = 0
x + y = – z
दोनों ओर घन करने पर हम प्राप्त करते हैं :
(x + y)³ = (- z)³
⇒ x³ + y³ + 3xy (x + y) = – z³
⇒ x³ + y³ + 3xy (- z) = – z³
[∵ (i) x + y = – z से]
⇒ x³ + y³ – 3xyz = – z³
⇒ x³ + y³ + z³ = 3xyz प्रमाणित हुआ।

प्रश्न 14.
वास्तव में घनों का परिकलन किए बिना निम्नलिखित में से प्रत्येक का मान ज्ञात कीजिए :
(i) (-12) + (7)³ + (5)³
(ii) (28) + (- 15)³ + (- 13)³.
हल :
(i) मान लीजिए a = – 12, b = 7 और c = 5
जब a + b + c = 0
तब a³ + b³ + c³ = 3abc
जहाँ a + b + c = – 12 + 7 +5 = 0
∴(- 12)³ + (7)³ + (5)³
= 3 (- 12) (7) (5)
= – 1260

(ii) मान लीजिए a = 28, b = – 15 और c = – 13
अब a + b + c = 28 + (- 15) + (- 13)
= 28 – 15 – 13
= 28 – 28
⇒ a + b + c = 0
∴ a³ + b³ + c³ = 3abc
⇒(28)³ + (- 15)³ + (- 13)³
= 3(28) (- 15) (- 13)
= 16380

प्रश्न 15.
नीचे दिए गए आयतों, जिनमें उनके क्षेत्रफल दिए गए हैं, में से प्रत्येक की लंबाई और चौड़ाई के लिए संभव व्यंजक दीजिए।
(i) क्षेत्रफल : 25a² – 35a + 12
(ii) क्षेत्रफल : 35y² + 13y – 12
हल :
(i) आयत का क्षेत्रफल = 25a² – 35a + 12 (दिया है)
⇒ लंबाई × चौड़ाई = 25a² – 15a – 20a + 12
= 5a (5a – 3) – 4 (5a – 3)
= (5a – 4) (5a – 3)
यदि लंबाई = (5a – 4)
तब चौड़ाई = 5a – 3
यदि लंबाई = 5a – 3
तब चौड़ाई = 5a – 4

(ii) आयत का क्षेत्रफल = 35y² + 13y – 12
⇒ लंबाई × चौड़ाई = 35y² + 28y – 15y – 12
= 7y (5y + 4) – 3 (5y + 4)
⇒ लंबाई × चौड़ाई = (5y + 4) (7y – 3)
यदि लंबाई = 5y + 4
तब चौड़ाई = 7y – 3
यदि लंबाई = 7y – 3
तब चौड़ाई = 5y + 4

प्रश्न 16.
घनाभों (cuboids), जिनके आयतन नीचे दिए गए हैं, विमाओं के लिए संभव व्यंनक क्या हैं ?
आयतन : 3x² – 12x
(i) आयतन : 12ky² + 8ky – 20k
हल :
(i) घनाभ का आयतन = 3x² – 12x (दिया है)
-लंबाई × चौड़ाई × ऊँचाई = 3x (x – 4)
∴ धनाभ की एक संभव विमाएँ हैं: 3, x और x – 4

(ii) धनाभ का आयतन हैं = 12ky² + 8ky – 20k
लंबाई × चौड़ाई × ऊँचाई = 4k (3y² + 2y – 5)
= 4k [3y² + 5y – 3y – 5]
= 4k [y(3y + 5) – 1 (3y + 5)]
= 4k [(3y + 5) (y – 1)]
लंबाई x चौड़ाई x ऊँचाई = 4k (3y + 5) (y – 1)
घनाभ की एक संभव विमाएँ हैं 4k, (3y + 5) और y – 1.

Punjab State Board PSEB 9th Class Maths Book Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.4 Textbook Exercise Questions and Answers

PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 2 बहुपद Ex 2.4

प्रश्न 1.
बताइए कि निम्नलिखित बहुपदों में से किस बहुपद का एक गुणनखंड x + 1 है।
(i) x³ + x² + x + 1
(ii) x⁴ + x³ + x² + x + 1
(iii) x⁴ + 3x³ + 3x² + x + 1
(iv) x³ – x² – (2 + √2)x + 2
हल :
(i) मान लीजिए : p (x) = x³ + x² + x + 1
x = – 1 को p (x) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :
p (-1) = (- 1)³ + (- 1)² + (- 1) + 1
= – 1 + 1 – 1 + 1 = 0
अतः, गुणनखंड प्रमेय द्वारा x + 1 बहुपद x³ + x² + x + 1 का एक गुणनखंड है।

(ii) मान लीजिए p (x) = x⁴ + x³ + x² + x + 1 1
x = – 1 को p (x) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त
होता है : p (- 1) = (-1)⁴ + (- 1)³ + (- 1)²+ (- 1) + 1
= 1 – 1 + 1 – 1 + 1
= 1 ≠ 0
अतः, गुणनखंड प्रमेय द्वारा x + 1 बहुपद x⁴ + x³ + x² + x + 1 का एक गुणनखंड नहीं है।

(iii) मान लीजिए p (x) = x⁴ + 3x³ + 3x² + x + 1
x = – 1 को p (x) में प्रस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :
p (- 1) = (- 1)⁴ + 3(- 1)³ + 3(- 1)² + (- 1) + 1
= 1 – 3 + 3 – 1 + 1
= 1 ≠ 0
अतः, गुणनखंड प्रमेय द्वारा x + 1 बहुपद x⁴ + 3x³ + 3x² + x + 1 का गुणनखंड नहीं है

(iv) x³ – x² – (2 + √2 ) x + √2
x = – 1 को p (x) में प्रस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :
p (- 1) = (- 1)³ – (- 1)³ – (2 + √2 ) (- 1) + – √2
= – 1 – 1 + 2 + √2 + √2
= 2√2 + 0
अतः, गुणनखंड प्रमेय द्वारा x + 1 बहुपद x³ – x² – (2 + √2) x + √2 का गुणनखंड नहीं है।

प्रश्न 2.
गुणनखंड प्रमेय लागू करके बताइए कि निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में g (x), p (x) का एक गुणनखंड है या नहीं
(i) p (x) = 2x³ + x² – 2x – 1, g (x) = x + 1
(ii) p (x) = x³ + 3x² + 3x + 1,g (x) = x + 2
(iii) p (x) = x³ – 4x² + x + 6, g (x) = x – 3.
हल :
(i) हमें प्राप्त है
p (x) = 2x³ + x² – 2x – 1 और भाजक
g(x) = x + 1
(x + 1) = 0 लीजिए
⇒ x = -1
x = – 1 को p (x), में प्रस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है
p (- 1) = 2 (- 1)³ + (- 1)² – 2(- 1) – 1
= – 2 + 1 + 2 – 1 = 0
अतः, गुणनखंड प्रमेय द्वारा x + 1 अर्थात् g (x) बहुपद 2x³ + x² – 2x – 1 का गुणनखंड है।

(ii) हमें प्राप्त है :
p(x) = x³ + 3x² + 3x + 1 और भाजक
g(x) = x + 2
x + 2 = 0 लीजिए
⇒ x = – 2
x = – 2 को p (x) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :
p (- 2) = (- 2)³ + 3(- 2)² + 3(- 2) + 1
= – 8 + 12 – 6 + 1 = – 1 ≠ 0
अतः, गुणनखंड प्रमेय द्वारा x + 2 अर्थात् g (x) बहुपद x³ + 3x² + 3x + 1 का गुणनखंड नहीं है।

(iii) हमें प्राप्त है :
p (x) = x³ – 4x² + x + 6 और भाजक
g (x) = x – 3
x – 3 = 0 लीजिए
x = 3
x = 3 को p (x), में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त | होता है
p (3) = (3)³ – 4 (3)² + 3 + 6
= 27 – 36 + 3 + 6
= 36 – 36 = 0
अतः, गुणनखंड प्रमेय द्वारा x – 3, अर्थात् g (x) बहुपद x³ – 4x² + x + 6 का गुणनखंड है।

प्रश्न 3.
k का मान ज्ञात कीजिए जबकि निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में (x – 1), p (x) का एक गुणनखंड हो :
(i) P (x) = x² + x + k
(ii) p (x) = 2x² + kx + √2
(iii) p (x) = kx² – √2x +1
(iv) p(x) = kx² – 3x + k.
हल :
(i) क्योंकि x – 1 बहुपद p (x) = x² + x + k का गुणनखंड है।
∴ गुणनखंड प्रमेय द्वारा p (1) = 0
⇒ (1)² + 1 + k = 0
⇒ 1 + 1 + k = 0
⇒ 2 + k = 0
⇒ k = – 2

(ii) क्योंकि x – 1 बहुपद p (x) = 2x² + kx + √2 का गुणनखंड है।
∴ गुणनखंड प्रमेय द्वारा p (1) = 0
⇒ 2(1)∴ + k (1) + – 2
⇒ 2 + k + √2 = 0
k = – 2 – √2
k = – (2 + √2)

(iii) क्योंकि x – 1 बहुपद
p (x) = kx² – √2x + 1 का गुणनखंड है।
∴ गुणनखंड प्रमेय द्वारा, p (1) = 0
⇒ k (1)² – √2 (1) + 1 = 0 +
k – √2 + 1 = 0
k = √2 – 1

(iv) क्योंकि x – 1 बहुपद p (x) = kx² – 3x + k का गुणनखंड है।
∴ गुणनखंड प्रमेय द्वारा,
p (1) = 0
⇒ k (1)² – 3(1) + k = 0
⇒ k – 3 + k = 0
⇒ 2k = 3
k = \(\frac{3}{2}\)

प्रश्न 4.
गुणनखंड ज्ञात कीजिए :
(i) 12x² – 7x + 1
(ii) 2x² + 7x + 3
(iii) 6x² + 5x – 6
(iv) 3x² – x – 4.
हल :
(i) 12x² – 7x + 1 = 12x² – 3x – 4x + 1
[∵ योग = – 3 – 4 = – 7 और गुणनफल (- 3) (- 4) = 12 L सिरों के पदों का गुणनफल]
12 × 1 = 12
3x (4x – 1) – 1 (4x – 1) = (4x – 1) (3x – 1)
⇒ 12x² – 7x + 1 = (4x – 1) (3x – 1)

(ii) 2x² + 7x + 3
= 2x² + 6x + x + 3
= 2x (x + 3) + 1 (x + 3)
= (x + 3)(2x + 1)

(iii) 6x² + 5x – 6
= 6x² + 9x – 4x – 6
= 3x (2x +3) – 2 (2x + 3)
= (2x + 3)(3x – 2)

(iv) 13x² – x – 4 = 3x² – 4x + 3x.- 4
= x (3x – 4) + 1 (3x – 4)
= (3x – 4) (x + 1)

प्रश्न 5.
गुणनखंड ज्ञात कीजिए
(i) x³ – 2x² – x + 2
(ii) x³ – 3x² – 9x – 5
(iii) x³ + 13x² + 32x + 20
(iv) 2y³ + y² – 2y – 1.
हल :
(i) हमें प्राप्त है : x³ – 2x² – x + 2
आइए दी हुई बहुपद को p(x) से निरूपित करें
इसलिए, p(x) = x³ – 2x² – x – 2
– 2 के सभी गुणनखंड हैं ± 1, ± 2
निरीक्षण द्वारा
p(- 1) = (- 1)³ – 2(- 1)² – (- 1) – 2
= – 1 – 2 + 1 + 2
⇒ p(- 1) = 0
इसलिए गुणनखंड प्रमेय से (x + 1) बहुपद p(x) का एक गुणनखंड है।
अब p(x) को (x + 1) से विभक्त कीजिए :

अतः x³ – 2x² – x + 2 = (x – 1) (x² – 3x + 2)
अब x² – 3x + 2 के गुणनखंड मध्य वाले पद को दो भागों में बाँटकर या गुणनखंड प्रमेय का प्रयोग करके प्राप्त कर सकते हैं :
मध्य के पद को दो भागों में बाँटने पर हमें प्राप्त है :
x² – 3x + 2 = x² – x- 2x + 2
= x(x – 1) – 2 (x – 1)
= (x – 1) (x – 2)
इसलिए, x³ – 2x² – x + 2 = (x + 1) (x – 1) (x-2)

(ii) आइए दी हुई बहुपद को p (x) से निरूपित करें :
p(x) = x³ – 3x² – 9x – 5
– 5 के सभी गुणनखंड हैं ± 1, ± 5
निरीक्षण द्वारा p(- 1) = (- 1)³ – 3 (- 1)² – 9 (- 1) – 5
= – 1 – 3 + 9 – 5
= 9 – 9 = 0
इसलिए, गुणनखंड प्रमेय द्वारा x + 1 बहुपद p(x) का गुणनखंड है।
अब p(x) को x + 1 से भाग दीजिए।

अत: x³ – 3x² – 9x – 5 = (x + 1) (x² – 4x – 5)
मध्य के पद को दो भागों में बाँटकर x² – 4x – 5 के गुणनखंड है :
x² – 4x – 5 = x² – 5x + x – 5
= x(x – 5) + 1 (x – 5)
= (x – 5) (x + 1)
इसलिए, x³ – 3x² – 9x – 5 = (x + 1) (x – 5) (x + 1)
= (x + 1) (x + 1) (x – 5)

(iii) आइए हम दी गई बहुपद को p (x) से निरूपित करें :
p(x) = x³ + 13x² + 32x + 20 20 के सभी गुणनखंड हैं ± 1, ± 2, ± 4, ± 5, ± 10, ± 20
निरीक्षण द्वारा
p(- 1) = (- 1)³ + 13 (- 1)² + 32 (- 1) + 20
= – 1 + 13 – 32 + 20
= 33 – 33
⇒ p(- 1) = 0
इसलिए, गुणनखंड प्रमेय द्वारा x + 1 बहुपद p(x) का गुणनखंड है।
अब p(x) को (x + 1) से भाग दीजिए :

अत: x³ + 13x² + 32x + 20 = (x + 1) (x² + 12x + 20)
x² + 12x + 20 के गुणनखंड मध्य के पद को दो भागों में बाँटने पर
x² + 12x + 20 = x² + 2x + 10x + 20
= x(x + 2) + 10 (x + 2)
= (x + 2) (x + 10)
इसलिए, x³ + 13x² + 32 x + 20 = (x + 1) (x + 2) (x + 10)

(iv) आइए हम दी गई बहुपद को p (y) से इस प्रकार निरूपित करें
p(y) = 2y³ + y² – 2y – 1
– 1 का गुणनखंड + 1है। निरीक्षण द्वारा
p(1) = 2(1)³ + (1)² – 2(1) – 1
= 2 + 1 – 2 – 1
= 3 – 3
⇒ p(1) = 0
इसलिए गुणनखंड प्रमेय से ; y – 1 बहुपद p(y) का गुणनखंड है।
अब p(x) को y – 1 से भाग दीजिए :

अतः 2y³ + y² – 2y – 1 = (y – 1) (2y² + 3y + 1)
2y² + 3y + 1 के गुणनखंड मध्य भाग को दो भागों के नीचे दिए अनुसार बाँटने पर;
2y² + 3y + 1 = 2y² + 2y + y + 1
= 2y (y + 1) + 1 (y + 1)
= (y + 1) (2y + 1)
इसलिए, 2y³ + y² – 2y – 1 = (y – 1) (y + 1) (2y + 1)