Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 1 ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ Ex 1.2 Textbook Exercise Questions and Answers.
PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 1 ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ Exercise 1.2
1. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿਚ ਲਿਖੋ :
ਪ੍ਰਸ਼ਨ (i).
140
ਉੱਤਰ:
140 ਦੇ ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡ
= (2)2 (35)
= (2)2 (5) (7)
ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ii).
156
ਉੱਤਰ:
156 ਦੇ ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹਨ।
= (2)2 (39)
= (2)2 (3) (13)
ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iii).
3825
ਉੱਤਰ:
3825 ਦੇ ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹਨ
= (3)2 (425)
= (3)2 (5) (85)
= (3)2 (5)2 (17)
ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iv).
5005
ਉੱਤਰ:
5005 ਦੇ ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡ
= (5) (1001)
= (5) (7) (143)
= (5) (7) (11) (13)
ਪ੍ਰਸ਼ਨ (v).
7429
ਉੱਤਰ:
7429 ਦੇ ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡ
= (17) (437)
= (17) (19) (23)
2. ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਲਿਖਿਆਂ ਜੋੜਿਆਂ ਦਾ HCF ਅਤੇ LCM ਪਤਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਇਸ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ ਕਿ ਦੋ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ = LCM × HCF ਹੈ ।
ਪ੍ਰਸ਼ਨ (i).
26 ਅਤੇ 91
ਉੱਤਰ:
26 ਅਤੇ 91 ਦੋ ਦਿੱਤੀਆਂ ਹੋਈਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ ।
26 ਅਤੇ 91 ਦੇ ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹਨ
26 = (2) (13)
ਅਤੇ 91 = (7) (13)
HCF (26, 91) = ਦੋਵਾਂ ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦੀ ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ
∴ HCF (26, 91) = 13
ਅਤੇ LCM (26, 91) = ਸਭ ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦੀ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ
= (2) (7) (13)
= 182
ਪੜਤਾਲ
L.C.M. (26, 91) × HCF (26, 91)
= (13) × (182)
= (13) × (2) × (91)
= (26) × (91)
= ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ
ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ii).
510 ਅਤੇ 92
ਉੱਤਰ:
510 ਅਤੇ 92 ਦਿੱਤੀਆਂ ਹੋਈਆਂ ਸਿਖਿਆਵਾਂ ਹਨ । 510 ਅਤੇ 92 ਦੇ ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹਨ
510 = (2) (255)
= (2) (3) (85)
= (2) (3) (5) (17)
ਅਤੇ 92 = (2) (46) = (2)2 (23)
HCF (510, 92) = ਦੋਵਾਂ ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦੀ | ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟੀ ਘਾਤਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ
LCM (510, 92) = ਸਭ ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦੀ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੀ ਘਾਤਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ
= (2)2 (3) (5) (17) (23)
= 23460
ਪੜਤਾਲ :
LCM (510, 92) × HCF (510, 92)
= (2) (23460)
= (2) × (2)2 (3) (5) (17) (23)
= (2) (3) (5) (17) × (2)2 (23)
= 510 × 92
= ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਸਿਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ
ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iii).
336 ਅਤੇ 54
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਸਿਖਿਆਵਾਂ 336 ਅਤੇ 54 ਹਨ । 336 ਅਤੇ 54 ਦੇ ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹਨ :
336 = (2) (168)
= (2) (2) (84)
= (2) (2) (2) (42)
= (2) (2) (2) (2) (21)
= (2)4 (3) (7)
ਅਤੇ , 54 = (2) (27)
= (2) (3) (9)
= (2) (3) (3) (3)
= (2) (3)3
HCF (336, 54) = ਦੋਵਾਂ ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦੀ ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟੀ ਘਾਤਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫ਼ਲ
= (2) (3) = (6)
LCM (336, 54) = ਦੋਵਾਂ ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦੀ ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟੀ ਘਾਤਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ
= (2)4 (3)3 (7)
= 3024
ਪੜਤਾਲ :
LCM (336, 54) × H.C.F. (336, 54)
= 6 × 3024
= (2) (3) × (2)4 (3)3 (7)
= (2)4 (3) (7) × (2) (3)3
= 336 × 54
= ਦਿੱਤੀਆਂ ਸਿਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ
3. ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡਣ ਵਿਧੀ ਨਾਲ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ HCF ਅਤੇ LCM ਪਤਾ ਕਰੋ :
ਪ੍ਰਸ਼ਨ (i).
12, 15 ਅਤੇ 21
ਉੱਤਰ:
12, 15 ਅਤੇ 21 ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ:
12, 15 ਅਤੇ 21 ਦੇ ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹਨ
12 = (2) (6) = (2) (2) (3)
= (2)2 (3) 15
= (3) (5)
21 = (3) (7)
HCF (12, 15 ਅਤੇ 21) = 3
LCM (12, 15 ਅਤੇ 21) = (2)2 (3) (5) (7)
= 420
ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ii).
17, 23 ਅਤੇ 29
ਉੱਤਰ:
17, 23 ਅਤੇ 29 ਦਿੱਤੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ 17, 23 ਅਤੇ 29 ਦੇ ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹਨ ।
17 = (17) (1)
23 = (23) (1)
29 = (29) (1)
HCF (17, 23 ਅਤੇ 29) = 1
LCM (17, 23 ਅਤੇ 29)
= 17 × 23 × 29
= 11339
ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iii).
8, 9 ਅਤੇ 25
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ 8, 9 ਅਤੇ 25 ਹਨ । 8, 9 ਅਤੇ 25 ਦੇ ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹਨ
8 = (2) (4) = (2) (2) (2)
= (2)3 (1)
9 = (3) (3)
= (3)2 (1)
25 = (5) (5)
= (5)2 (1)
HCF (8, 9 ਅਤੇ 25) = 1
LCM (8, 9 ਅਤੇ 25) = (2)3 (3)2 (5)2
= 1800
ਪ੍ਰਸ਼ਨ 4.
HCF (306, 657) = 9 ਦਿੱਤਾ ਹੈ ।
LCM (306, 657) ਪਤਾ ਕਰੋ ।
ਉੱਤਰ:
657 = (3) (219) = (3) (3) (73)
= (3)2 (73)
HCF (306, 657) = (3)2 = 9.
∵ HCF × LCM
= ਦਿੱਤੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ
∴ 9 × LCM (306, 657)
= 306 × 657
ਜਾਂ L.C.M. (306, 657) = \(\frac{306×657}{9}\)
= 34 × 657
= 22338
ਪ੍ਰਸ਼ਨ 5.
ਜਾਂਚ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਕਿਸੇ ਪ੍ਰਾਕ੍ਰਿਤਿਕ ਸੰਖਿਆ n ਦੇ ਲਈ ਸੰਖਿਆ 6n ਅੰਕ ਸਿਫ਼ਰ (0) ਤੇ ਸਮਾਪਤ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ ।
ਹੱਲ :
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਕਿਸੇ ਸੰਖਿਆ n ∈ N ਦੇ ਲਈ 6n ਅੰਕ 0 ਉੱਤੇ ਸਮਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
∴ 6n, 5 ਨਾਲ ਵਿਭਾਜਿਤ ਹੈ ।
ਪਰੰਤੂ 6 ਦੇ ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡ 2 ਅਤੇ 3 ਹਨ ।
∴ (6n ਦੇ ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡ (2 × 3)n ਹਨ ।
⇒ ਇਸ ਤੋਂ ਇਹ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੈ ਕਿ 6″ ਦੇ ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡ ਵਿਚ 5 ਦੀ ਕੋਈ ਜਗ੍ਹਾ ਨਹੀਂ ਹੈ ।
∵ ਅੰਕ-ਗਣਿਤ ਦੀ ਮੁਲਭੂਤ ਪਮੇਯ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਹਰੇਕ ਭਾਜ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫ਼ਲ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਬਿਨ੍ਹਾਂ ਇਹ ਧਿਆਨ ਦਿੱਤੇ ਕਿ ਉਹ ਕਿਸ ਕੂਮ ਵਿਚ ਹਨ ।
∴ ਸਾਡੀ ਸੋਚ ਗ਼ਲਤ ਹੈ ।
ਇਸ ਲਈ ਕੋਈ ਵੀ ਪ੍ਰਾਕ੍ਰਿਤਿਕ ਸੰਖਿਆ n ਇਹੋ ਜਿਹੀ | ਨਹੀਂ ਹੈ, ਜਿਸ ਲਈ 6n ਸੰਖਿਆ 0 ਉੱਤੇ ਸਮਾਪਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ।
ਪ੍ਰਸ਼ਨ 6.
ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ ਕਿ 7 × 11 × 13 + 13 ਅਤੇ 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5 ਭਾਜ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਕਿਉਂ ਹਨ |
ਹੱਲ :
7 × 11 × 13 + 13 = 13 [7 × 11 + 1]
ਜੋ ਕਿ ਇਕ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆ ਨਹੀਂ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ 13 ਇਸ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੈ ਇਸ ਲਈ ਇਹ ਭਾਜ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ।
(ਨਾਲ ਹੀ) 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5
= 5 [7 × 6 × 4 × 3 × 2 × 1 + 1], ਜੋ ਕਿ ਇੱਕ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆ ਨਹੀਂ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ 5 ਇਸ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੈ ਇਸ ਲਈ ਇਹ ਭਾਜ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ।
ਪ੍ਰਸ਼ਨ 7.
ਕਿਸੇ ਖੇਡ ਦੇ ਮੈਦਾਨ ਦੇ ਚਾਰੇ ਪਾਸੇ ਇੱਕ ਚੱਕਰਾਕਾਰ ਰਸਤਾ ਹੈ । ਇਸ ਮੈਦਾਨ ਦਾ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਲਗਾਉਣ ਲਈ | ਪੀ ਨੂੰ 18 ਮਿੰਟ ਲਗਦੇ ਹਨ, ਜਦ ਕਿ ਇਸ ਮੈਦਾਨ ਦਾ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਰਵੀ ਨੂੰ 12 ਮਿੰਟ ਲਗਦੇ ਹਨ । ਮੰਨ ਲਉ ਕਿ ਉਹ ਦੋਨੋਂ ਇੱਕੋ ਹੀ ਸਥਾਨ ਅਤੇ ਇੱਕੋ ਹੀ ਸਮੇਂ ‘ਤੇ ਚੱਲਣਾ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਇੱਕ ਹੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿਚ ਜਾਂਦੇ ਹਨ । ਕਿੰਨੇ ਸਮੇਂ ਬਾਅਦ ਉਹ ਦੋਵੇਂ ਸ਼ਰੂ ਵਾਲੇ ਸਥਾਨ ‘ਤੇ ਦੁਬਾਰਾ ਮਿਲਣਗੇ ।
ਹੱਲ :
ਰਿੰਪੀ ਨੂੰ ਮੈਦਾਨ ਦਾ ਚੱਕਰ ਲਗਾਉਣ ਵਿੱਚ ਲਗਾ ਸਮਾਂ = 18 ਮਿੰਟ
ਰਵੀ ਨੂੰ ਮੈਦਾਨ ਦਾ ਚੱਕਰ ਲਗਾਉਣ ਵਿਚ ਲੱਗਾ ਸਮਾਂ = 12 ਮਿੰਟ
ਉਹ ਦੁਬਾਰਾ ਸ਼ੁਰੂ ਵਾਲੇ ਸਥਾਨ ਉੱਤੇ ਮਿਲਦੇ ਹਨ ।
= LCM (18, 12)
ਹੁਣ 18 ਅਤੇ 12 ਦੇ ਅਭਾਜ ਗਣਨਖੰਡ ਹਨ ।
18 = (2) (9)
= (2) (3) (3)
= (2) (3)2
12 = (2) (6) = (2) (2) (3)
= (2)2 (3)
LCM (18, 12) = (2)2 (3)2
= 4 × 9 = 36
ਇਸ ਲਈ ਉਹ 36 ਮਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਦੁਬਾਰਾ ਆਪਣੀ ਸ਼ੁਰੂ ਵਾਲੀ ਜਗਾ ਉੱਤੇ ਮਿਲਣਗੇ ।