PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 11 ਰਚਨਾਵਾਂ Ex 11.2

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 11 ਰਚਨਾਵਾਂ Ex 11.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 11 ਰਚਨਾਵਾਂ Exercise 11.2

1. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਹਰੇਕ ਰਚਨਾ ਦੇ ਲਈ ਸਪੱਸ਼ਟੀਕਰਣ ਵੀ ਦਿਓ :

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 1.
6 cm ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਦਾ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਖਿੱਚੋ । ਕੇਂਦਰ ਤੋਂ 10 cm ਦੂਰ ਸਥਿਤ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਚੱਕਰ ’ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇ ਜੋੜੇ ਦੀ ਰਚਨਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਲੰਬਾਈਆਂ ਮਾਪੋ ।
ਹੱਲ:

ਰਚਨਾ ਦੇ ਪਰਾ :
1. ਇਕ ਚੱਕਰ (1) ਜਿਸਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ 6 cm ਹੈ, ਖਿੱਚੋ ।
2. ਕੇਂਦਰ ਤੋਂ 10 cm ਦੀ ਦੂਰੀ ਤੇ ਇਕ ਬਿੰਦੂ P ਲਉ OP ਨੂੰ ਮਿਲਾਉ ।
3. OP ਦਾ ਲੰਬ ਸਮਦੁਭਾਜਕ ਖਿੱਚੋ । ਮੰਨ ਲਉ ‘M’, OP ਦਾ ਮੱਧ ਬਿੰਦੁ ਹੈ !
4. “M’ ਨੂੰ ਕੇਂਦਰ ਮੰਨ ਕੇ ਅਤੇ MO ਨੂੰ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਲੈ ਕੇ ਇੱਕ ਚੱਕਰ (II) ਖਿੱਚੋ ਜੋ ਪਹਿਲੇ ਚੱਕਰ ਨੂੰ ਬਿੰਦੁ T ਅਤੇ T’ ਉੱਤੇ ਕੱਟਦਾ ਹੈ ।
5. ਹੁਣ PT ਅਤੇ PT’ ਨੂੰ ਮਿਲਾਉ ॥
ਰਚਨਾ ਦਾ ਸਪੱਸ਼ਟੀਕਰਣ :
ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੁ ਉੱਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਉਸ ਬਿੰਦੁ ਦੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਉੱਤੇ ਲੰਬ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਅਸੀਂ ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ ਹੈ ਕਿ :
∠PTO = ∠PTO = 90°
OT ਨੂੰ ਮਿਲਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ ।
ਹੁਣ, PMO ਚੱਕਰ (II) ਦਾ ਵਿਆਸ ਹੈ ।
ਅਤੇ ∠PTO ਅਰਧ ਚੱਕਰ ਵਿੱਚ ਹੈ
∴ ∠PTO = 90°
[ਅਰਧ ਚੱਕਰ ਵਿਚ ਬਣਿਆ ਕੋਣ ਸਮਕੋਣ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।]
ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ∠PTO’ = 90°
∴ PT ਅਤੇ PT’ ਚੱਕਰ ਦੀ ਅਤੇ T’ ਉੱਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਹਨ ।
ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਮਾਪਣ ਤੇ
ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ PT = 8.1 cm
PT’ = 8.1 cm.

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 2.
4 cm ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ’ਤੇ 6 cm ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਦੇ ਇੱਕ ਸਮਕੇਂਦਰੀ ਚੱਕਰ ਦੇ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੁ ਤੋਂ ਇੱਕ ਸਪੱਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੀ ਰਚਨਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਉਸਦੀ ਲੰਬਾਈ ਮਾਪੇ ॥ ਗਣਨਾ ਕਰਕੇ ਇਸ ਮਾਪ ਦੀ ਜਾਂਚ ਵੀ ਕਰੋ।
ਹੱਲ:
ਸਮਕੇਂਦਰੀ ਚੱਕਰ : ਦੋ ਜਾਂ ਵੱਧ ਚੱਕਰ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਇਕ ਹੀ ਕੇਂਦਰ ਹੋਵੇ ਪਰ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਅਲੱਗ-ਅਲੱਗ ਹੋਣ ਸਮਕੇਂਦਰੀ ਚੱਕਰ ਕਹਾਉਂਦੇ ਹਨ ।
ਰਚਨਾ ਦੇ ਪਗ :
1. ਇਕ ਚੱਕਰ ਜਿਸ ਦਾ ਕੇਂਦਰ “O’ ਅਤੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ 4 ਸਮ ਹੋਵੇ, ਖਿੱਚੋ । ਇਸਨੂੰ I ਅੰਕਿਤ ਕਰੋ ।

2. ਉਸੇ ਕੇਂਦਰ “O’ ਅਤੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ 6 cm ਦਾ ਇਕ ਹੋਰ ਚੱਕਰ ਖਿੱਚੋ ਜਿਸਨੂੰ II ਅੰਕਿਤ ਕਰੋ ।
3. ਚੱਕਰ II ਉੱਤੇ ਕੋਈ ਬਿੰਦੁ ‘P’ ਲਉ । OP ਨੂੰ ਮਿਲਾਓ ।
4. OP ਦਾ ਲੰਬ ਸਮਦੁਭਾਜਕ ਖਿੱਚੋ । ਮੰਨ ਲਉ ਇਹ ‘OP’ ਨੂੰ M ਉੱਤੇ ਕੱਟਦਾ ਹੈ ।
5. M ਨੂੰ ਕੇਂਦਰ ਮੰਨ ਕੇ ‘OM’ ਜਾਂ ‘MP’, ਨੂੰ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਲੈ ਕੇ ਚੱਕਰ III ਦੀ ਰਚਨਾ ਕਰੋ ਜੋ ਚੱਕਰ I ਨੂੰ T ਅਤੇ ‘ ਤੇ ਕੱਟਦਾ ਹੈ ।
6. PT ਨੂੰ ਮਿਲਾਓ । PT ਲੋੜੀਂਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਹੈ ।
ਸਪੱਸ਼ਟੀਕਰਣ :
OT ਨੂੰ ਮਿਲਾਉ
ਹੁਣ OP ਚੱਕਰ III ਦਾ ਵਿਆਸ ਹੈ ।
∠OTP ਅਰਧ ਚੱਕਰ ਵਿਚ ਕੋਣ ਹੈ।
∴ ∠OTP = 90° …(1) ਹੁਣ
OT ⊥ PT [(1) ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਕੇ]
∵ ਇਕ ਰੇਖਾ ਜੋ ਚੱਕਰ ਵਿਚ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ ਉੱਤੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਦੇ ਨਾਲ 90° ਦਾ ਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ ਉਹ ਚੱਕਰ ਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ।
∴ PT ਚੱਕਰ ‘I’ ਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਹੈ
ਭਾਵ PT, 4 ਸਮ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਹੈ ।
ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ :
△OTP ਲਉ ।
∠OTP = 90° ° [(i) ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਕੇ]
∴ △OTP ਇਕ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਹੈ।
OT = 4 cm
OP = 6 cm [ਚੱਕਰ I ਅਤੇ II ਦੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ]
PT = ?
ਸਮਕੋਣ △OTP ਵਿਚ
ਪਾਈਥਾਗੋਰਸ ਪਮੇਯ ਅਨੁਸਾਰ
OP² = OT² + PT²
[(ਕਰਣ)² = (ਅਧਾਰ)² + (ਲੰਬ)²]
PT² = OP² – OT² = 6² – 4²
= 36 – 16 = 20
PT = \(\sqrt {20}\) cm = 2\(\sqrt {5}\)
= 2 × 2.24 = 4.48 cm
∴ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ
= 4.48 ਸਮ = 4.5 cm
ਮਾਪਣ ਤੇ ਸਪਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ
= 4.5 cm
∴ ‘PT’ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 3.
3 cm ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਦਾ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਖਿੱਚੋ |ਇਸਦੇ ਕਿਸੇ ਵਧਾਏ ਗਏ ਵਿਆਸ ‘ਤੇ ਕੇਂਦਰ ਤੋਂ 7 cm ਦੀ ਦੂਰੀ ‘ਤੇ ਸਥਿਤ ਦੋ ਬਿੰਦੂ P ਅਤੇ Q ਲਓ । ਇਨ੍ਹਾਂ ਦੋਨਾਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ਤੋਂ ਚੱਕਰ `ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਖਿੱਚੋ ।
ਹੱਲ:
ਰਚਨਾ ਦੇ ਪਰੀ :
1. ਕੇਂਦਰ ‘O’ ਅਤੇ 3 cm ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਖਿਚੋ ।
2. ਇਸਦਾ ਵਿਆਸ ‘AB’ ਖਿਚੋ ਅਤੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਵਧਾਓ ਜਿਵੇਂ OX ਅਤੇ OX’ ।
3. “OX” ਦਿਸ਼ਾ ਵਿਚ ਬਿੰਦੁ P’ ਅਤੇ ‘OX’ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ “Q’ ਬਿੰਦੂ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਉ |
ਤਾਂ ਕਿ OP = OQ = 7 cm.

4. OP ਅਤੇ OQ ਦਾ ਲੰਬ ਸਮਭਾਜਕ ਖਿੱਚੋ ਜੋ OP ਅਤੇ OQ ਨੂੰ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ‘M’ ਅਤੇ ‘M’ ਉੱਤੇ ਕੱਟੇ ।
5. “M’ ਨੂੰ ਕੇਂਦਰ ਮੰਨ ਕੇ ਅਧਵਿਆਸ MO’ ਜਾਂ । M’O ਜਾਂ MQ ਲੈ ਕੇ ਚੱਕਰ ‘I’ ਖਿਚੋ ਜੋ ਚੱਕਰ ‘I’ ਨੂੰ T ਅਤੇ T’ ਉੱਤੇ ਕੱਟੇ ।
6. ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ‘M’ ਨੂੰ ਕੇਂਦਰ ਮੰਨ ਕੇ ਚੱਕਰ M’O ਜਾਂ MQ, ਲੈ ਕੇ ਚੱਕਰ (III) ਖਿਚੋ ਜੋ ਚੱਕਰ ‘I’ ਨੂੰ ‘S ਅਤੇ ‘S’ ਤੇ ਕੱਟੇ ।
7. PT, PT’ ਅਤੇ QS, QS’ ਨੂੰ ਮਿਲਾਓ।
ਰਚਨਾ ਦਾ ਸਪੱਸ਼ਟੀਕਰਣ :
‘OT’ ਅਤੇ ‘OT” ਅਤੇ ‘OS’ ਅਤੇ ‘OS’ ‘ ਨੂੰ ਮਿਲਾਓ ।
PT ਅਤੇ PT’ ਚੱਕਰ ਦੀਆਂ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਹਨ ਨੂੰ ਸਿੱਧ ਕਰਨ ਲਈ ਅਸੀਂ ਸਿੱਧ ਕਰਨਾ ਹੈ ਕਿ
∠PTO = ∠PTO = 90°
ਹੁਣ “OP ਚੱਕਰ ‘I’ ਦਾ ਵਿਆਸ ਹੈ ਅਤੇ ∠OTP | ਅਰਧ ਚੱਕਰ ਵਿਚ ਬਣਿਆ ਕੋਣ ਹੈ।
∴ ∠OTP = 90° …(1)
[∵ ਅਰਧ ਚੱਕਰ ਵਿਚ ਬਣਿਆ ਕੋਣ 90° ਹੁੰਦਾ ਹੈ]
ਪਰ “OT’ ਚੱਕਰ ‘I’ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਹੈ ਅਤੇ ਰੇਖਾ ‘PT’ ਚੱਕਰ ਨੂੰ “T’ ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਕਰਦੀ ਹੈ ।
∵ ਇਕ ਰੇਖਾ ਜੋ ਚੱਕਰ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੁ ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਕਰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਉਸ ਬਿੰਦੁ ਉਤੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਦੇ ਨਾਲ 90 ਦਾ ਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ । ਚੱਕਰ ਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ।
∴ PT ਚੱਕਰ (1) ਬਿੰਦੂ (T) ਉੱਤੇ ਬਿੰਦੂ ‘P’ ਤੋਂ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਹੈ । | ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ PT’,QS ਅਤੇ QS’ ਚੱਕਰ I ਉੱਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਹਨ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 4.
5 cm ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਦੇ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ‘ਤੇ ਅਜਿਹੀਆਂ ਦੋ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਖਿੱਚੋ, ਜੋ ਆਪਸ ਵਿੱਚ 60° ਦੇ ਕੋਣ ‘ਤੇ ਝੁਕੀਆਂ ਹੋਣ ।
ਹੱਲ:
ਰਚਨਾ ਦੇ ਪਗ :
1. ਲੋੜੀਂਦੇ ਚਿੱਤਰ ਦਾ ਕੱਚਾ ਖਾਕਾ ਖਿੱਚੋ ।

∵ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ 60° ਦਾ ਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ
∠OTP = ∠OQT = 60°
[ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਉੱਤੇ ਲੰਬ ਹਨ ]
ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦਾ ਝੁਕਾਅ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ∠TOQ + ∠OTP + ∠OQT + ∠TPQ = 360°
[ਚਤੁਰਭੁਜ ਦੇ ਕੋਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਗੁਣੀ]
∠TOQ + 90° + 90° + 60° = 360°
∠TOQ = 360° – 90° – 90° – 60° = 120°
2. 5 cm ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਦਾ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਖਿੱਚੋ
3. ਇਸ ਚੱਕਰ ਦੇ ਦੋ ਅਰਵਿਆਸ ਖਿਚੋ ਜੋ ਆਪਸ ਵਿੱਚ 120° ਦਾ ਕੋਣ ਬਣਾਉਣ ।
4. ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਚੱਕਰ ਨੂੰ ‘A’ ਅਤੇ ‘B’ ਤੇ ਕੱਟਦੇ ਹਨ |
5. A ਅਤੇ B ਉੱਤੇ 90° ਦਾ ਕੋਣ ਬਣਾਉ ਜੋ ਇਕ-ਦੂਜੇ 1 ਨੂੰ ‘P’ ਉੱਤੇ ਕੱਟਣ ।

6. PA ਅਤੇ PB ਲੋੜੀਂਦੀਆਂ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਹਨ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 5.
8 cm ਲੰਬਾ ਇਕ ਰੇਖਾਖੰਡ AB ਖਿੱਚੋ | A’ ਨੂੰ ਕੇਂਦਰ ਮੰਨ ਕੇ 4 cm ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਦਾ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਅਤੇ ‘B’ ਨੂੰ ਕੇਂਦਰ ਲੈ ਕੇ 3 cm ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਦਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਚੱਕਰ ਖਿੱਚੋ | ਹਰੇਕ ਚੱਕਰ ’ਤੇ ਦੂਸਰੇ ਚੱਕਰ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਤੋਂ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੀ ਰਚਨਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:

ਰਚਨਾ ਦੇ ਪਗ :
1. ਇੱਕ ਰੇਖਾਖੰਡ AB = 8 cm ਖਿੱਚੋ।
2. ‘A’ ਨੂੰ ਕੇਂਦਰ ਮੰਨ ਕੇ 4 cm ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਦਾ ਚੱਕਰ (I) ਖਿੱਚੋ ।
3. ‘B’ ਨੂੰ ਕੇਂਦਰ ਮੰਨ ਕੇ 3 cm ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਦਾ ਚੱਕਰ ‘II’ ਖਿੱਚੋ ।
4. ਰੇਖਾਖੰਡ AB ਦਾ ਲੰਬ ਸਮਦੁਭਾਜਕ ਖਿੱਚੇ ਜੋ ‘AB’ ਨੂੰ ‘M’ ਉੱਤੇ ਕੱਟੇ ।
5. ‘M’ ਨੂੰ ਕੇਂਦਰ ਮੰਨ ਕੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ MA ਜਾਂ MB ਲੈ ਕੇ ਚੱਕਰ (III) ਖਿੱਚੋ ਜੋ ਚੱਕਰ (I) ਨੂੰ ‘S’ ਅਤੇ ‘T’ ਉੱਤੇ ਅਤੇ ਚੱਕਰ (II) ਨੂੰ ‘P’ ਅਤੇ ‘Q’ ਉੱਤੇ ਕੱਟੇ ।
6. ‘AP’ ਅਤੇ ‘AQ’ ਨੂੰ ਮਿਲਾਓ । ਇਹ ਬਿੰਦੁ “A” ਤੋਂ 3 cm ਅਰਵਿਆਸ ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਹਨ |
7. ‘BS’ ਅਤੇ ‘BT’ ਨੂੰ ਮਿਲਾਓ । ਇਹ ਬਿੰਦੁ ‘B’ ਤੋਂ 4.cm ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਹਨ ।
ਰਚਨਾ ਦਾ ਸਪੱਸ਼ਟੀਕਰਣ :
ਚੱਕਰ (III) ਵਿਚ AB ਵਿਆਸ ਹੈ ਤਾਂ ∠ASE ਅਤੇ ∠BPA ਅਰਧ ਚੱਕਰ ਦੇ ਕੋਣ ਹਨ
∴ ∠ASB = 90° …(1)
∠BPA = 90° …(2)
ਪਰ ∠ASB ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਅਤੇ ਰੇਖਾਖੰਡ ‘BS ਦੇ ਵਿਚ ਦਾ ਕੋਣ ਹੈ ਅਤੇ ∠BPA ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਅਤੇ ਰੇਖਾਖੰਡ ਚੱਕਰ (II) AP’ ਦੇ ਵਿਚ ਦਾ ਕੋਣ ਹੈ ।
∵ ਰੇਖਾਖੰਡ ਜੋ ਚੱਕਰ ਦੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਉੱਤੇ ਲੰਬ ਹੈ। ਉਸ ਬਿੰਦੂ ਤੇ ਚੱਕਰ ਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਹੈ ।
∴ BS ਦਾ ਚੱਕਰ (I) ਦੀ ਬਿੰਦੁ ‘S’ ਉੱਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਹੈ ਅਤੇ AP ਚੱਕਰ (II) ਦੀ ਬਿੰਦੂ ‘P’ ਉੱਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਹੈ ।
ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ AQ ਅਤੇ BT ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਚੱਕਰ (II) ਚੱਕਰ (I) ਦੀਆਂ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਹਨ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 6.
ਮੰਨ ਲਓ ABC ਇੱਕ ਸਮਕੋਣ ਤਿਭੁਜ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ AB = 6 cm, BC = 8 cm ਅਤੇ ∠B = 90° ਹੈ । B ਤੋਂ AC ‘ ਤੇ BD ਲੰਬ ਹੈ । ਬਿੰਦੁ B, C, D ਤੋਂ ਹੋ ਕੇ ਜਾਣ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਖਿੱਚਿਆ ਗਿਆ ਹੈ । ‘A’ ਤੋਂ ਇਸ ਚੱਕਰ `ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੀ ਰਚਨਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:

ਰਚਨਾ ਦੇ ਪਗ :
1. ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਸ਼ਰਤਾਂ ਅਤੇ ਮਾਪ ਅਨੁਸਾਰ ਕੋਣ △ABC ਦੀ ਰਚਨਾ ਕਰੋ ।
2. BD ⊥ AC ਖਿੱਚੋ ।
3. ਭੁਜਾ BC ਦਾ ਮੱਧ ਬਿੰਦੁ ‘M’ ਲਉ ।
4. ‘M’ ਨੂੰ ਕੇਂਦਰ ਮੰਨ ਕੇ ਅਤੇ BC ਨੂੰ ਵਿਆਸ ਮੰਨ ਕੇ B, C, D ਵਿਚ ਅਰਧ ਚੱਕਰ ਵਿਚ ਬਣਿਆ ਕੋਣ 90° (∠BDC = 90°) ਹੁੰਦਾ ਹੈ | ਪਰਕਾਰ ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਕੇ ਚੱਕਰ ਖਿੱਚੋ ਇਸਨੂੰ I ਮੰਨੋ ।
5. ‘A’ ਅਤੇ ‘M’ ਨੂੰ ਮਿਲਾਉ ।
6. AM ਦਾ ਲੰਬ ਸਮਦੁਭਾਜਕ ਖਿੱਚੋ ਜੋ AM ਨੂੰ ‘N’ ਉੱਤੇ ਕੱਟੇ । ‘N’ ਨੂੰ ਕੇਂਦਰ ਮੰਨ ਕੇ , ‘NA” ਜਾਂ ‘NM’ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਲੈ ਕੇ ਚੱਕਰ (II) ਖਿੱਚੋ ਜੋ ਚੱਕਰ (I) ਨੂੰ ‘B’ ਅਤੇ ‘P ਤੇ ਕੱਟੇ ।
7. AP ਨੂੰ ਮਿਲਾਉ ॥
8. AP ਅਤੇ AB ਲੋੜੀਂਦੀਆਂ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਹਨ ।
ਰਚਨਾ ਦਾ ਸਪੱਸ਼ਟੀਕਰਣ :
ਰੇਖਾਖੰਡ ‘AM’ ਨੂੰ ਵਿਆਸ ਲੈ ਕੇ ਚੱਕਰ (II) ਖਿੱਚੋ ।
∠APM ਅਰਧ ਚੱਕਰ ਹੈ।
∴ ∠APM = 90° [ਅਰਧ ਚੱਕਰ ਦਾ ਕੋਣ]
ਭਾਵ MP ⊥ AP ਪਰ ‘MP’ ਚੱਕਰ (I) ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਹੈ
∴ AP ਚੱਕਰ (II) ਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਹੈ ।
[∵ ਚੱਕਰ ਦੇ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੁ ਉੱਤੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਦਾ ਲੰਬ ਕੋਈ ਰੇਖਾ ਉਸ ਚੱਕਰ ਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ |]
ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ‘AB’ ਚੱਕਰ (I) ਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 7.
ਕਿਸੇ ਵੰਗ ਦੀ ਸਹਾਇਤਾ ਨਾਲ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਖਿੱਚੋ । ਚੱਕਰ ਦੇ ਬਾਹਰ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਲਓ । ਇਸ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਚੱਕਰ ‘ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੀ ਰਚਨਾ ਕਰੋ ।
ਹੱਲ:
ਕਿਸੇ ਵੰਗ ਦੀ ਸਹਾਇਤਾ ਨਾਲ ਚੱਕਰ ਖਿੱਚਣ ਦਾ ਭਾਵ ਹੈ ਚੱਕਰ ਦਾ ਕੇਂਦਰ ਨਹੀਂ ਪਤਾ ਹੈ। ਸਭ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਅਸੀਂ ਕੇਂਦਰ ਪਤਾ ਕਰਾਂਗੇ ।

ਰਚਨਾ ਦੇ ਪਗ :
1. ਚੂੜੀ ਦੀ ਸਹਾਇਤਾ ਨਾਲ ਚੱਕਰ ਖਿੱਚੋ ।
2. ਚੱਕਰ ਦੀਆਂ ਕੋਈ ਦੋ ਜੀਵਾਵਾਂ AB ਅਤੇ CD ਖਿੱਚੋ ।
3. ਜੀਵਾ AB ਅਤੇ CD ਦਾ ਲੰਬ ਸੰਮਦੁਭਾਜਕ ਖਿੱਚੋ ਜੋ , ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਕੱਟਣ ।
[∵ ਰੇਖਾਖੰਡ ਦਾ ਲੰਬ ਸਮਦੁਭਾਜਕ ਉੱਤੇ ਸਥਿਤ ਕੋਈ ਬਿੰਦੂ ਇਸਦੇ ਸਿਰਿਆਂ ਦੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਤੋਂ ਸਮਾਨ ਦੂਰੀ ਤੇ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ॥]
[∵ ‘O’, AB ਅਤੇ CD ਦੇ ਲੰਬ ਸਮਦੁਭਾਜਕ ਉੱਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ |
∴ OA = OB ਅਤੇ OC = OD
∴ OA = OB = OC = OD
(ਚੱਕਰ ਦੇ ਅਰਵਿਆਸ)
∴ ‘O’ ਚੱਕਰ ਦਾ ਕੇਂਦਰ ਹੈ ।
4. ਚੱਕਰ ਦੇ ਬਾਹਰ ਕੋਈ ਬਿੰਦੂ ‘P’ ਲਉ ॥
5. OP ਨੂੰ ਮਿਲਾਓ।
6. OP ਦਾ ਲੰਬ ਸਮਦੁਭਾਜਕ ਖਿੱਚੋ । ਮੰਨ ਲਓ ‘M’, OP ਦਾ ਮੱਧ ਬਿੰਦੁ ਹੈ ।
7. ‘M’ ਨੂੰ ਕੇਂਦਰ ਮੰਨ ਕੇ “MP” ਜਾਂ ‘MO’ ਅਰਵਿਆਸ ਲੈ ਕੇ ਚੱਕਰ II ਖਿੱਚੋ ਜੋ ਚੱਕਰ (I) ਨੂੰ T ਅਤੇ T’ ਤੇ ਕੱਟੇ ।
8. PT ਅਤੇ PT’ ਨੂੰ ਮਿਲਾਉ ਜੋ ਲੋੜੀਂਦੀਆਂ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਹਨ ।
ਰਚਨਾ ਦਾ ਸਪੱਸ਼ਟੀਕਰਣ :
ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਵਾਲੇ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਹਮੇਸ਼ਾ ਸਮਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ ।
∠PTO = PT’O = 90°.
OT ਨੂੰ ਮਿਲਾਉ ॥
ਹੁਣ ∠PTO ਅਰਧ ਚੱਕਰ 1 ਵਿੱਚ ਹੈ ।
∴ ∠PTO = 90°
[ਅਰਧ ਚੱਕਰ ਵਿੱਚ ਬਣਿਆ ਕੋਣ]
ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ∠PT’O = 90°
∴ PT ਅਤੇ PT’ ਚੱਕਰ ਉੱਤੇ ਬਿੰਦੂ ਅਤੇ T’ ਦੀਆਂ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਹਨ ।