PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन Ex 13.1

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन Ex 13.1 Textbook Exercise Questions and Answers

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन Ex 13.1

जब तक अन्यथा न कहा जाए, π = \(\frac{22}{7}\) लीजिए।

प्रश्न 1.
दो घनों, जिनमें से प्रत्येक का आयतन 64 cm है, के संलग्न फलकों को मिलाकर एक ठोस बनाया जाता है। इससे प्राप्त घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए घन की प्रत्येक भुजा = x cm
घन का आयतन = 64 cm³
[घन का आयतन = (भुजा)³]

x³ = 64
x = \(\sqrt[3]{64}\)
= \(\sqrt[3]{4 \times 4 \times 4}\)
x = 4 cm
∴ घन की भुजा = 4 cm.
जब घनों को साथ-साथ जोड़ा जाता है तो घनाभ बन जाता है।
जिसकी लंबाई (L) = 2x cm
= 2(4) = 8 cm
चौड़ाई (B) = x cm = 4 cm
ऊँचाई (H) = x cm = 4 cm

घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2[LB + Bh + hL]
= 2 [8 × 4 + 4 × 4 + 4 × 8]
= 2 [ 32 + 16 + 32]
= 2 [80]
घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 160 cm².

प्रश्न 2.
कोई बर्तन एक खोखले अर्धगोले के आकार का है जिसके ऊपर एक खोखला बेलन अध्यारोपित है। अर्धगोले का व्यास 14 cm है और इस बर्तन ( पात्र) की कुल ऊँचाई 13 cm है। इस बर्तन का आंतरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
अर्धगोले का व्यास = बेलन का व्यास = 14 cm
2R = 14 cm
अर्धगोले की त्रिज्या (R) = 7 cm

बर्तन की कुल ऊँचाई = 13 cm
∴ बेलन की ऊँचाई = (13 – 7) = 6 cm
बर्तन का आंतरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल = बेलन का आंतरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल + अर्धगोले का आंतरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 2πRH + 2πR²
= 2πR [H + R]
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × 7 [6 + 7]
= 44 × 13 = 572 cm²
बर्तन का आंतरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल = 572 cm².

प्रश्न 3.
एक खिलौना त्रिज्या 3.5 cm वाले एक शंकु के आकार का है, जो उसी त्रिज्या वाले एक अर्धगोले पर अध्यारोपित है। इस खिलौने की संपूर्ण ऊँचाई 15.5 cm है। इस खिलौने का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
शंकु की त्रिज्या = अर्धगोले की त्रिज्या (R) = 3.5 cm
खिलौने की कुल ऊँचाई = 15.5 cm
∴ शंकु की ऊँचाई (H) = (15.5 – 3.5) = 12 cm

शंकु की तिर्यक ऊँचाई = \(\sqrt{\mathrm{R}^{2}+\mathrm{H}^{2}}\)
= \(\sqrt{(3.5)^{2}+(12)^{2}}\)
= \(\sqrt{12.25+144}\)
= \(\sqrt{156.25}\)
शंकु की तिर्यक ऊँचाई (1) = 12.5 cm
खिलौने का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल + अर्धगोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल
= πRL + 2πR²
= πR [L + 2R]
= \(\frac{22}{7}\) × 3.5 [12.5 + 2(3.5)]
= \(\frac{22}{7}\) × 3.5 [19.5]
= \(\frac{15015}{7}\)
= 214.5 cm³
∴ खिलौने का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 214.5 cm³

प्रश्न 4.
भुजा 7 cm वाले एक घनाकार ब्लॉक के ऊपर एक अर्धगोला रखा हुआ है। अर्धगोले का अधिकतम व्यास क्या हो सकता है ? इस प्रकार बने ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
घनाकार ब्लॉक की भुजा = 7 cm

अर्धगोले का व्यास = घनाकार ब्लॉक की भुजा = 7 cm
2R = 7
R = \(\frac{7}{2}\) cm
बने ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल = घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल + अर्धगोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 6(भुजा)² + 2πR²
= 6(l)² + πR²
= 6(7)² + 2 × \(\frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2}\)
= 294 + 77
= 371 cm²
ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल = (घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल) – (अर्ध गोले के आधार का क्षेत्रफल) + (अर्ध गोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल)
= 6l² – πR² + 2πR²
= 6l² + πR²
= 6(7)² + \(\frac{22}{7} \times\left(\frac{7}{2}\right)^{2}\)]
= [6 (49) + 11 \(\frac{7}{2}\)] cm²
= 332.5 cm²

प्रश्न 5.
एक घनाकार ब्लॉक के एक फलक को अंदर की ओर से काट कर एक अर्धगोलाकार गड्ढा इस प्रकार बनाया गया है कि अर्धगोले का व्यास घन के एक किनारे के बराबर है। शेष बचे ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए घन की भुजा = a
∴ अर्धगोले का व्यास = घन की भुजा
2R = a
R = a/2

शेष बचे ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल = घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल – घन के तल का क्षेत्रफल + अर्धगोले का आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 6 (भुजा)² – πR² + 2πR²
= 6(a)² + πR²
= 6(a)² + π \(\left(\frac{a}{2}\right)^{2}\)
= 6a² + π \(\frac{a^{2}}{4}\)
= a² [6 + \(\frac{\pi}{4}\)] cm²

प्रश्न 6.
दवा का एक कैप्सूल (capsule) एक बेलन के आकार का है जिसके दोनों सिरों पर एक-एक अर्धगोला लगा हुआ है ( देखिए आकृति)। पूरे कैप्सूल की लंबाई 14 mm है और उसका व्यास 5 mm है। इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल :
कैप्सूल का व्यास = अर्धगोले का व्यास = बेलन का व्यास = 5 mm
2R = 5 mm
R = \(\frac{5}{2}\) mm

कैप्सूल की आंतरिक लंबाई = 14 mm
बेलनाकार भाग की ऊँचाई = (14 – \(\frac{5}{2}\) – \(\frac{5}{2}\)) mm
= (14 – 5) mm
H = 9 mm
कैप्सूल का पृष्ठीय क्षेत्रफल = बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल + 2 अर्धगोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 2πRH + 2 (2πR²)
= 2πRH + 4πR²
= 2πR [H + 2R]
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × \(\frac{5}{2}\) [9 + 2 (\(\frac{5}{2}\))]
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × \(\frac{5}{2}\) [9 + 5]
= \(\frac{22}{7}\) × 5 × 14
= 22 × 5 × 2
= 220 mm²
कैप्सूल का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 220 mm² .

प्रश्न 7.
कोई तंबू एक बेलन के आकार का है जिस पर एक शंकु अध्यारोपित है। यदि बेलनाकार भाग की ऊँचाई और व्यास क्रमश: 2.1 m और 4 m है तथा शंकु की तिर्यक ऊँचाई 2.8 m है तो इस तंबू को बनाने में प्रयुक्त कैनवस (canvas) का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। साथ ही, ₹500 प्रति m- की दर से इसमें प्रयुक्त कैनवस की लागत ज्ञात कीजिए।(ध्यान दीजिए कि तंबू के आधार को कैनवस से नहीं ढका जाता है।)
हल :
शंकु का व्यास = बेलन का व्यास
2R = 4
R = 2 m

शंकु की त्रिज्या = बेलन की त्रिज्या
बेलन की ऊँचाई (H) = 2.1 m
शंकु की तिर्यक ऊँचाई(L) = 2.8m
तंबू का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + शंक्वाकार भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 2πRH + πRL
= πR [2H + L]
= \(\frac{22}{7}\) × 2[2 (2.1) + 28]
= \(\frac{22}{7}\) × 2[4.2 + 28]
= \(\frac{22}{7}\) × 2 × 7
= 44 m²
∴ तंबू का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 44 m²
1m² कैनवस की लागत = ₹ 500
44 m² कैनवस की लागत = ₹ 44 × 500 = ₹ 22000
कैनवस की कुल लागत = ₹ 22000

प्रश्न 8.
ऊँचाई 2.4 cm और व्यास 1.4 cm वाले एक ठोस बेलन में से इसी ऊँचाई और इसी व्यास वाला एक शंक्वाकार खोल (cavity) काट लिया जाता है। शेष बचे ठोस का निकटतम वर्ग सेंटीमीटर तक पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
बेलन का व्यास (D) = 1.4 cm = शंकु का व्यास
∴ बेलन की त्रिज्या = शंकु की त्रिज्या (R) = 0.7 cm
बेलन की ऊँचाई (H) = 2.4 cm

जैसा कि हम जानते हैं, L² = R² + H²
L = \(\sqrt{(0.7)^{2}+(2.4)^{2}}\)
= \(\sqrt{0.49+5.76}\)
= \(\sqrt{6.25}\)
L = 2.5 cm
शेष बचे ठोस का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + बेलन के आधार का क्षेत्रफल + शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 2πRH + πR² + πRL
= πR [2R + R + L]
= \(\frac{22}{7}\) × 0.7 [2(2.4) + 0.7 + 2.5]
= \(\frac{22}{7} \times \frac{7}{10}\) [4.8 + 3.2]
= \(\frac{22}{10}\) [8]
= \(\frac{176}{10}\)
= 17.6 cm²
शेष बचे ठोस का निकटतम वर्ग सेंटीमीटर तक पृष्ठीय क्षेत्रफल = 18 cm².

प्रश्न 9.
लकड़ी के एक ठोस बेलन के प्रत्येक सिरे पर एक अर्धगोला खोदकर निकालते हुए, एक वस्तु बनाई गई है, जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। यदि बेलन की ऊँचाई 10 cm है और आधार की त्रिज्या 3.5 cm है तो इस वस्तु का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल :
बेलन की ऊँचाई (H) = 10 cm
बेलन की त्रिज्या = अर्धगोले की त्रिज्या (R) = 3.5 cm

वस्तु का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + 2 अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 2πRH + 2 (2πR)
= 2πR [H + 2R]
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × 3.5 [10 + 2(3.5)]
= \(\frac{44}{7} \times \frac{35}{10}\) [10 +7]
= 44 × \(\frac{5}{10}\) × 17
= 44 × \(\frac{1}{2}\) × 17
= 22 × 17
= 374 cm² .
∴ वस्तु का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल : = 374 cm².