PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन Ex 13.2

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन Ex 13.2 Textbook Exercise Questions and Answers

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन Ex 13.2

(जब तक अन्यथा न कहा जाए, π = \(\frac{22}{7}\) लीजिए।)

प्रश्न 1.
एक ठोस एक अर्धगोले पर खड़े एक शंकु के आकार का है जिनकी त्रिज्याएँ 1 cm हैं, तथा शंकु की ऊँचाई उसकी त्रिज्या के बराबर है।इस ठोस का आयतन के पदों में ज्ञात कीजिए।
हल :
शंकु की त्रिज्या = अर्धगोले की त्रिज्या = 1 cm

R = 1 cm
शंकु की ऊँचाई (H) = 1 cm
ठोस का आयतन = शंकु का आयतन + अर्धगोले का आयतन
= \(\frac{1}{3}\) π R²H + \(\frac{2}{3}\) πR³
= \(\frac{1}{3}\) π R² [H + 2R]
= \(\frac{1}{3}\) π × 1 × 1 [1 + 2 × 1]
= \(\frac{1}{3}\) π × 3
= \(\frac{3 \pi}{3}\)
= π cm³
∴ ठोस का आयतन = π cm³.

प्रश्न 2.
एक इंजीनियरिंग के विद्यार्थी रचेल से एक पतली एल्यूमीनियम की शीट का प्रयोग करते हुए एक मॉडल बनाने को कहा गया जो एक ऐसे बेलन के आकार का हो जिसके दोनों सिरों पर दो शंकु जुड़े हुए हों। इस मॉडल का व्यास 3 cm है और इसकी लंबाई 12 cm है। यदि प्रत्येक शंकु की ऊँचाई 2 cm हो, तो रचेल द्वारा बनाए गए मॉडल में अंतर्विष्ट हवा का आयतन ज्ञात कीजिए। (यह मान लीजिए कि मॉडल की आंतरिक और बाहरी विमाएँ लगभग बराबर हैं।) ।
हल:

शंकु की त्रिज्या = बेलन की त्रिज्या (R) = \(\frac{3}{2}\) cm
R = 1.5 cm
प्रत्येक शंकु की ऊँचाई (h) = 2 cm
∴ बेलन की ऊँचाई = 12 – 2 – 2 = 8 cm
बेलन में हवा का आयतन = बेलन का आयतन + 2 (शंकु का आयतन)
= πR²H + 2 [\(\frac{1}{3}\) πR³h]

बेलन में हवा का आयतन = \(\frac{22}{7} \times \frac{3}{2} \times \frac{3}{2} \times \frac{28}{3}\)
= 22 × 3 = 66 cm³
बेलन में हवा का आयतन = 66 cm³.

प्रश्न 3.
एक गुलाब जामुन में उसके आयतन की लगभग 30% चीनी की चाशनी होती है। 45 गुलाब जामुनों में लगभग कितनी चाशनी होगी, यदि प्रत्येक गुलाब जामुन एक बेलन के आकार का है, जिसके दोनों सिरे अर्धगोलाकार हैं तथा इसकी लंबाई 5 cm और व्यास 2.8 cm है (देखिए आकृति)।

हल :
गुलाब जामुन बेलन के आकार का है। बेलन का व्यास = अर्धगोले का व्यास = 2.8 cm
बेलन की त्रिज्या = अर्धगोले की त्रिज्या (R)
= \(\frac{2.8}{2}\) = 1.4 cm
R = 1.4 cm

बेलनाकार भाग की ऊँचाई = 5 – 1.4 – 1.4
= (5 – 2.8) cm = 2.2 cm.
एक गुलाब जामुन का आयतन = बेलन का आयतन + 2 [अर्धगोले का आयतन]

एक गुलाब जामुन का आयतन = 25.05 cm³
अब 45 गुलाब जामुनों का आयतन = 45 × 25.05 cm³
= 1127.28 cm³
∴ चीनी की चाशनी का आयतन = 45 गुलाब जामुनों के आयतन का 30%
= \(\frac{30 \times 1127.28}{100}\)
= 338.184 cm³
चीनी का चाशनी की लगभग मात्रा = 338 cm³.

प्रश्न 4.
एक कलमदान घनाभ के आकार की एक लकड़ी से बना है जिसमें कलम रखने के लिए चार शंक्वाकार गड्ढे बने हुए हैं। घनाभ की विमाएँ 15 cm × 10 cm × 3.5 cm हैं। प्रत्येक गड्ढे की त्रिज्या 0.5 cm है और गहराई 1.4 cm है। पूरे कलमदान में लकड़ी का आयतन ज्ञात कीजिए ( देखिए आकृति )।

हल :
घनाभ की लंबाई (L) = 15 cm
घनाभ की चौड़ाई (B) = 10 cm
घनाभ की ऊँचाई (H) = 3.5 cm
शंक्वाकार गड्ढे की त्रिज्या (r) = 0.5 cm
शंक्वाकार गड्ढे की ऊँचाई (h) = 1.4 cm
कलमदान में लकड़ी का आयतन = घनाभ का आयतन – 4 [शंकु का आयतन]
= LBH – 4 [\(\frac{1}{3}\) πr²h]
= 15 × 10 × 3 – \(\frac{4}{3} \times \frac{22}{7}\) × 0.5 × 0.5 × 1.4

= \(\frac{15 \times 10 \times 35}{10}-\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{5}{10} \times \frac{5}{10} \times \frac{14}{10}\)

= (15 × 35 – \(\frac{22}{3 \times 5}\)) cm²

= (525 – 1.466) cm²
= 523.534 cm³.
अतः, कलमदान में लकड़ी का आयतन = 523.53 cm³.

प्रश्न 5.
एक बर्तन एक उल्टे शंकु के आकार का है। इसकी ऊँचाई 8 cm है और इसका ऊपरी सिरे ( जो खुला हुआ है) की त्रिज्या 5 cm है। यह ऊपर तक पानी | से भरा हुआ है। जब इस बर्तन में सीसे की कुछ गोलियाँ जिनमें प्रत्येक 0.5 cm त्रिज्या वाला एक गोला है, डाली जाती हैं, तो इसमें से भरे हुए पानी का एक चौथाई भाग बाहर निकल जाता है। बर्तन में डाली गई सीसे की गोलियों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल:

शंकु की त्रिज्या (R) = 5 cm
शंकु की ऊँचाई (H) = 8 cm
सीसे की प्रत्येक गोली की त्रिज्या (r) = 0.5 cm
मान लीजिए शंकु में डाली गई गोलियों की संख्या = N तो पानी का एक चौथाई भाग बाहर निकल जाता है।
N [सीसे की एक गोली का आयतन] = \(\frac{1}{4}\) शंक में पानी का आयतन

= \(\frac{1}{4 \times 4}\) × 8 × 2 × 10 × 10
= 10 × 10 = 100
सीसे की गोलियों की संख्या = 100.

प्रश्न 6.
ऊँचाई 220 cm और आधार व्यास 24 cm वाले एक बेलन, जिसमें ऊँचाई 60 cm और त्रिज्या 8 cm वाला एक अन्य बेलन आरोपित है, से लोहे का एक स्तंभ बना है। इस स्तंभ का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए, जबकि दिया है 1 cm लोहे का द्रव्यमान लगभग 8g होता है। (π = 3.14 लीजिए।)
हल :
नीचे वाले बेलन का व्यास = 24 cm
नीचे वाले बेलन की त्रिज्या (R) = 12 cm
नीचे वाले बेलन की ऊँचाई (H) = 220 cm
ऊपर वाले बेलन की त्रिज्या (7) = 8 cm
ऊपर वाले बेलन की ऊँचाई (h) = 60 cm
स्तंभ का आयतन = नीचे वाले बेलन का आयतन + ऊपर वाले बेलन का आयतन
= πR² H + πrh
= 3.14 × 12 × 12 × 220 + 3.14 × 8 × 8 × 60
= 99475.2 + 12057.6

स्तंभ का आयतन = 111532.8 cm³
1 cm³ का द्रव्यमान = 8 gm
111532.8 cm³ का द्रव्यमान = 8 × 111532. 8 = 892262.4 gm
= \(\frac{892262.4}{1000}\) kg
= 892.2624 kg
स्तंभ का द्रव्यमान = 892.2624 kg.

प्रश्न 7.
एक ठोस में, ऊँचाई 120 cm और त्रिज्या 60 cm वाला एक शंकु सम्मिलित है, जो 60 cm त्रिज्या वाले एक अर्धगोले पर आरोपित है। इस ठोस को पानी से भरे हुए एक लंब वृत्तीय बेलन में इस प्रकार सीधा डाल दिया जाता है कि यह बेलन की तली को स्पर्श करे। यदि बेलन की त्रिज्या 60 cm है और ऊँचाई 180 cm है तो बेलन में शेष बचे पानी का आयतन ज्ञात कीजिए।
हल :
शंकु की त्रिज्या = अर्धगोले की त्रिज्या = बेलन की त्रिज्या

R = 60 cm
शंकु की ऊँचाई (h) = 120 cm
बेलन की ऊँचाई (H) = 180 cm
बेलनाकार बर्तन का आयतन = πRH
= \(\frac{22}{7}\) × 60 × 60 × 180
= 2036571.4 cm³
बेलन में डाले गए ठोस का आयतन = अर्धगोले का आयतन + शंकु का आयतन
= \(\frac{1}{3}\) πR³ + \(\frac{2}{3}\) πR²h =
= \(\frac{1}{3}\) πR² [2R + h]
= \(\frac{1}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) ×60 × 60 [2 × 60 + 120]
= \(\frac{1}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) × 3600 [120 + 120]
= \(\frac{1}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) × 3600 × 240
= 905142.86 cm³
बाहर निकले पानी का आयतन = 905142.86 cm³
∴ बेलन में शेष बचे पानी का आयतन = बेलन का आयतन – बर्तन में डाले गए ठोस का आयतन
= (2036571.4 – 905142.86) cm³
= 1131428.5 cm³
= \(\frac{1131428.5}{100 \times 100 \times 100}\) m³
= 1.131 m³
बेलन में शेष बचे पानी का आयतन = 1.131 m³ .

प्रश्न 8.
एक गोलाकार काँच के बर्तन की एक बेलन के आकार की गर्दन है जिसकी लंबाई 8 cm है और व्यास 2 cm है जबकि गोलाकार भाग का व्यास 8.5 cm है। इसमें भरे जा सकने वाले पानी की मात्रा माप कर, एक बच्चे ने यह ज्ञात किया कि इस बर्तन का आयतन 345 cm है। जाँच कीजिए कि उस बच्चे का उत्तर सही है या नहीं, यह मानते हुए कि उपरोक्त मापन आंतरिक मापन है और π = 3.14.
हल :
गर्दन का व्यास (बेलनाकार भाग) = 2 cm

∴ गर्दन की त्रिज्या (r) = 1 cm
बेलनाकार भाग की ऊँचाई (H) = 8 cm
गोलाकार भाग का व्यास = 8.5 cm
गोलाकार भाग की त्रिज्या (R) = \(\frac{8.5}{2}\) cm
बर्तन में पानी का आयतन = गोले का आयतन + बेलन का आयतन
= \(\frac{4}{3}\) πR³ + πr²h
= \(\frac{4}{3}\) × 3.14 × 4.25 × 4.25 × 2.25 + 3.14 × 1 × 1 × 8
= 321.39 + 25.12
= 346.51 cm³
बर्तन में पानी का आयतन = 346.51 cm³ और वह गलत है।