PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.4

Punjab State Board PSEB 10th Class Maths Book Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.4 Textbook Exercise Questions and Answers

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.4

प्रश्न 1.
A.P. : 121, 117, 113, … का कौन-सा पद सबसे पहला ऋणात्मक पद होगा ?
हल :
दी गई A.P. है :
121, 117, 113, …………..
यहाँ a = T₁ = 121 ; T₂ = 117; T₃ = 113
d = T₂ – T₁ = 117 – 121 = – 4
सूत्र T_n = a + (n – 1) d का प्रयोग करने पर,
T_n = 121 + (n – 1) (- 4)
= 121 – 4n + 4
= 125 – 4n.
प्रश्न के अनुसार,
T_n < 0
या 125 – 4n < 0 या 4n > 125
या 125 > 4n
या n > 125
या n > 31
परंतु पहले ऋणात्मक पद के लिए n एक पूर्णांक होगा।
n = 32.
∴ अतः, दी गई A.P. का 32वाँ पद पहला ऋणात्मक पद होगा।

प्रश्न 2.
किसी A.P. के तीसरे और सातवें पदों का योग 6 है और उनका गुणनफल 8 है। इस A.P.के प्रथम 16 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए ‘a’ और ‘d’ दी गई A.P. का प्रथम पद और सार्व अंतर है।
पहली शर्त के अनुसार,
T₃ + T₇ = 6
[a + (3 – 1) d] + [a + (7 – 1) d] = 6
[∵ T_n = a + (n – 1) d]
या a + 2d + a + 6d = 6
या 2a + 8d = 6
या a + 4d = 3 ………..(1)
दूसरी शर्त के अनुसार,
T₃ (T₇) = 8
[a + (3 – 1) d] [a + (7 – 1) d] = 8
[∵ T_n = a + (n – 1) d]
या (a + 2d) (a + 6d) = 8
या [3 – 4d + 2d] [3 – 4d + 6d] = 8
[1) से, a = 3 -4d]
(3 – 2d) (3 + 2d) = 8
या 9 – 4d² =8
या 4d² = 9 – 8.
या d² = \(\frac{1}{4}\)
या d = ± \(\frac{1}{2}\)

स्थिति 1.
जब = \(\frac{1}{2}\)

d = \(\frac{1}{2}\) का मान (1), में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं
या a + 4 (\(\frac{1}{2}\)) = 3
या a + 2 = 3
या a = 3 – 2 = 1
सूत्र का प्रयोग करने पर,
\(\frac{n}{2}\) = [2a + (n – 1) d]
S_n = \(\frac{16}{2}\left[2(1)+(16-1) \frac{1}{2}\right]\)

= \(8\left[2+\frac{15}{2}\right]\)

= \(8\left[\frac{4+15}{2}=\frac{19}{2}\right]\)
S₁₆ = 76.

स्थिति II.
जब d = – \(\frac{1}{2}\).
d = – \(\frac{1}{2}\) को (1), में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं
a + 4 (- \(\frac{1}{2}\)) = 3
या a – 2 = 3
a = 3 + 2 = 5
सूत्र S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1) d] का प्रयोग करने पर,

S₁₆ = \(\frac{16}{2}\) [26) + (16 – 1) (- \(\frac{1}{2}\))]

= \(8\left[10-\frac{15}{2}\right]\)

= \(8\left[\frac{20-15}{2}=\frac{5}{2}\right]\)
S₁₆ = 20.

प्रश्न 3.
एक सीढ़ी के क्रमागत डंडे परस्पर 25 cm की दूरी पर हैं ( देखिए आकृति 5.7 )। डंडों की लंबाई एक समान रूप से घटती जाती हैं तथा सबसे निचले डंडे की लंबाई 45 cm है और सबसे ऊपर वाले डंडे की लंबाई 25 cm है। यदि ऊपरी और निचले डंडे के बीच की दूरी 2\(\frac{1}{2}\) m है, तो डंडों को बनाने के लिए लकड़ी की कितनी mलंबाई की आवश्यकता होगी ?

[संकेत : डंडों की संख्या = \(\frac{250}{25}\) है।]
हल :
डंडों की कुल लंबाई = 2 \(\frac{1}{2}\) m = \(\frac{5}{2}\) m
= (\(\frac{5}{2}\) × 100) सेमी
= 250 सेमी
प्रत्येक डंडे की लंबाई = 25 सेमी

∴ डंडों की संख्या = डंडों की कुल लम्बाई / प्रत्येक डंडे की कुल लम्बाई
= \(\frac{250}{25}\) = 10

पहले डंडे की लंबाई = 45 सेमी
यहाँ a = 45 ; l = 25 ; n = 10
डंडों के लिए लकड़ी की लंबाई = S₁₀
= \(\frac{n}{2}\) [a + l]
= 10[45 + 25]
= 5 (70)
= 350.
अतः डंडों के लिए लकड़ी की लंबाई 350 सेमी है।

प्रश्न 4.
एक पंक्ति के मकानों को क्रमागत रूप से संख्या 1 से 49 तक अंकित किया गया है। दर्शाइए कि x का एक ऐसा मान है कि x से अंकित मकान से पहले के मकानों की संख्याओं का योग उसके बाद वाले मकानों की संख्याओं के योग के बराबर है। x का मान ज्ञात कीजिए। [संकेत : S_{x – 1} = S₄₉ – S_x है।]
हल :
मान लीजिए ‘x’ किसी मकान की संख्या को व्यक्त करता है
यहाँ a = T, = 1 ; d = 1
प्रश्न के अनुसार,
S_{x – 1}= S₄₉ – S_x

या \(\frac{x}{2}\) [x – 1 + x + 1] = 1225
\(\frac{x}{2}\) × 2x = 1225
x² = 1225
x = 35.

प्रश्न 5.
एक फुटबाल के मैदान में एक छोटा चबूतरा है जिसमें 15 सीढ़ियाँ बनी हुई हैं। इन सीढ़ियों में से प्रत्येक की लंबाई 50 m है और वह ठोस कंक्रीट (concrete)
की बनी हैं। प्रत्येक सीढ़ी में \(\frac{1}{4}\) m की चढ़ाई है और \(\frac{1}{2}\) m का फैलाव (चौड़ाई) है। (देखिए आकृति 58)। इस चबूतरे को बनाने में लगी कंक्रीट का कुल आयतन परिकलित कीजिए।
[संकेत : पहली सीढ़ी को बनाने में लगी कंकरीट का आयतन = \(\frac{1}{4}\) × \(\frac{1}{2}\) × 50 m³ है।]

हल :
पहली सीढ़ी बनाने में लगी कंक्रीट का आयतन = \(\frac{1}{4}\) × \(\frac{1}{2}\) × 50 m³
= (\(\frac{25}{4}\)) ml

दूसरी सीढ़ी बनाने में लगी कंक्रीट का आयतन = (\(\frac{2}{4}\) × \(\frac{1}{2}\) × 50) m²
= (\(\frac{25}{4}\)) m²

तीसरी सीढ़ी बनाने में लगी कंक्रीट का आयतन = (\(\frac{3}{4}\) × \(\frac{1}{2}\) × 50) m²
= (\(\frac{75}{4}\)) m²
इसी प्रकार आगे 15 सीढ़ियों तक।
यहाँ a = T₁ = \(\frac{25}{4}\)

T₂ = \(\frac{25}{2}\)

T₃ = \(\frac{75}{4}\) और n = 15.
d = T₂ – T₂
= \(\frac{25}{2}-\frac{25}{4}\)

= \(\frac{50-25}{4}=\frac{25}{4}\)

चबूतरा बनाने में लगी कंक्रीट का कुल आयतन = S₁₅

अतः, चबूतरे को बनाने में लगी कुल कंक्रीट का कुल आयतन 750 m³ है।